Guias de Calculo II
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Programa de Matemática Cálculo II
a) Si
b) Si
c) Si
d) Si
e) Si
f) Si
g)
h)
i)
Suma o resta
Multiplicación
División
Regla de la cadena
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Programa de Matemática Cálculo II
1. Determine
en cada caso Respuesta:
a) b)
Respuesta:
c) Respuesta: 2. Aplique algebra de derivadas para calcular la derivada de las siguientes funciones: a)
Respuesta:
b)
Respuesta:
c)
Respuesta:
d)
Respuesta:
e)
Respuesta
f) g)
Respuesta Respuesta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h
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Programa de Matemática Cálculo II
1. Determine
en cada caso Respuesta:
a) b)
Respuesta:
c) Respuesta: 2. Aplique algebra de derivadas para calcular la derivada de las siguientes funciones: a)
Respuesta:
b)
Respuesta:
c)
Respuesta:
d)
Respuesta:
e)
Respuesta
f) g)
Respuesta Respuesta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h
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Programa de Matemática Cálculo II
3. Calcule las siguientes integrales: a)
Respuesta: Respuesta:
b) c)
Respuesta:
d)
Respuesta:
e)
Respuesta:
4. Calcule las siguientes integrales definidas:
a) b)
Respuesta:
, donde
es la unidad de medida
Respuesta:
Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning … y en tus apuntes de la asignatura de Cálculo I
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Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 10 Derivadas Parciales 1. Determine todas las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones: a.
(, ) = (2 )4 Respuesta:
b.
(, ) = Respuesta:
1,2) 2. Determine (1,2)
1 = 3(4 2 ) �2
+ =
+ =
(, ) = 2 2 Respuesta:
e.
1 = 6(4 2 ) �2
− (, ) =
Respuesta: d.
= 4(2 )3
(, ) = (4 2 )3�2 Respuesta:
c.
= 8(2 )3
1 = ( 2 2 )− �2
1 = ( 2 2 )− �2
=
(1,2) 1,2),
=
si (, ) = 2 + 3 3
Respuesta: 4 y 37 3. Dada la función (, , ) = 2 + 2 + 3 . Verifique que:
4. Determine
;
+ + = 3
de la función
(, , , ) = Respuesta:
++
= = 4 + + ; = 0
1
Programa de Matemática Cálculo II
+ = 0 se dice que es armónica. Muestre que las siguientes funciones son armónicas:
5. Una función de dos variables que satisface la ecuación de Laplace
a.
(, ) =
b.
(, ) = 2 2
c.
(, ) = 3 3
d.
(, ) = ln( ln(4 2 + 4 2 )
e.
f (x, y) = xey − yex
6. De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si P atmósferas es la presión, V litros es el volumen y T grados es la temperatura en la escala Kelvin, se tiene la fórmula
= Donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga que le volumen de un gas de cierto recipiente es de 12 litros y que la temperatura es de 290ºK, con k=0.6 a. Calcule la tasa de variación instantánea de P por unidad de variación de T si V permanece fijo en 12. Respuesta: 0.05 b. Utilice el resultado del inciso a. para aproximar la variación de la presión si la temperatura se incrementa a 295ºK. Respuesta: 0.25 atm c. Calcule la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de P si T permanece fija en 290ºK. Respuesta: -0.83 d. Suponga que la temperatura se mantiene constante. Utilice el resultado del inciso c. para calcular la variación aproximada del volumen necesario para producir la misma variación en la presión que se obtuvo en el inciso b. Respuesta: disminuye disminuye 0.21 litros 7. Emplee la ley del gas ideal para un gas confinado a fin de demostrar que
∙ ∙ = 1
2
Programa de Matemática Cálculo II
8. Verifique si la función z =
1 2
x
+
2
y
satisface la ecuación:
2
∂ z 2
2
+
∂x
∂ z 2
∂y
3
=z
Respuesta: se cumple la igualdad
9. Si
= 2 + 2. Demuestre que + =
10.Si
= 2 + 2. Demuestre que + = 1
3
Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 11 Máximos y Mínimos
Un punto P
=
(a,b)
es un punto crítico (posible máximo o mínimo) de una función de
z = f ( x, y) si:
∂f (P ) = 0 ∂x ∂ 2 f Sea D = (P ) ⋅ 2 (P ) − (P ) 2 x y ∂ ∂ ∂x ∂y ∂ 2 f
•
•
Si D > 0 y Si D > 0 y
∂ 2 f
∂
2
f 2
∂x ∂
2
f 2
∂x
y
∂f (P ) = 0 ∂y
2
(P ) < 0 entonces
f tiene un máximo local en P
(P ) > 0 entonces
f tiene un mínimo local en P
•
Si D < 0 entonces f tiene un punto silla en P
•
Si D = 0 entonces no se puede decidir que ocurre con f en P
1. Determine los puntos críticos de las funciones y clasifíquelos en máximo, mínimo o punto silla: ( , )= 2 2 + a. 4 Resp. (1,0) mín.
b.
(, ) =
Resp. (0,0) p. silla
c.
(, ) = 3 3 + 2 9 + 4
Resp. (1, -2) min. (-1, -2) p.silla
d.
(, ) = 2 + 4 2 4 Resp. (2,0) min.
e.
(, ) = 2 + 4 2 2 + 8 1 Resp. (1,-1) min.
f.
(, ) = + 2 + 4 Resp. (1,2) min.
1
Programa de Matemática Cálculo II g.
(, ) = −�+−4 Resp. (0,2) max.
2. Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie 2 = 2 + 4 Resp. Distancia mínima es 4
3. Determine el punto en el plano 2 + 4 + 3 = 12 , que es más cercano al origen ¿Cuál es la distancia mínima? 24 48 36 Resp. El punto es 29 , 29 , 29 y la distancia aprox. es 2.2283
4. Un tanque metálico rectángulo sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material de construcción? Resp. Dimensiones 8’ x 8’ x 4’ 5. La conveniencia social de una empresa con frecuencia incluye elegir entre la ventaja comercial y las pérdidas sociales o ecológicas que pueda generar. Suponga que la conveniencia social de una empresa se mide por la función:
(
D( x, y) = (16 − 6x)x − y2 − 4xy + 40 , con x ≥ 0 e y ≥ 0 donde x mide las ventajas comerciales (utilidades y puestos de trabajo) e y mide las desventajas ecológicas (desplazamiento de especies, como porcentaje). La empresa se considera conveniente si D ≥ 0 e inconveniente si D < 0. ¿Qué valores de x e y maximizarán la conveniencia social? Interprete los resultados. ¿Es posible que esta empresa sea conveniente? Resp. Con x = 4 e y = 8 se obtiene un máximo para D, el cual es D = −8, por lo tanto, la empresa se considera inconveniente
6. La compañía de teléfonos planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones para ejecutivos, y espera venderlos a sus mayores clientes comerciales. Se calcula que si el primer tipo de sistema se vende en x cientos de dólares por sistema, y el segundo tipo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente, 40 − 8x + 5y consumidores comprarán el primer tipo y 50 + 9x − 7y comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer tipo es de U$1.000 por sistema y el costo del segundo tipo es de U$3.000 por sistema, ¿qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la máxima utilidad? Resp. Con x = 30 e y = 45 se obtiene un máximo.
2
Programa de Matemática Cálculo II 7. Un cable de electricidad está tendido desde una planta de energía hasta una nueva fábrica ubicada al otro lado de un río poco profundo. El río tiene un ancho de 50 pies y la fábrica está 200 pies río abajo y a 100 pies de la orilla, como se muestra en la figura
Tender el cable bajo el agua cuesta $600 por pie, $100 por pie a lo largo de la ribera y $200 por pie para tenderlo de la ribera a la fábrica. ¿Qué trayectoria debe elegirse para minizar el costo y cuál es el costo mínimo? AYUDA: utilice Teorema de Pitágoras Resp. Aproximadamente (8.4515; 57.737)
Para determinar los máximos y/o mínimos de una función z = f ( x, y) , sujeta a la restricción g( x, y) = 0, se deben determinar los puntos P = (a,b) que satisfagan el sistema: ∂f ∂x ∂f ∂y
= λ = λ
∂g ∂x ∂g ∂y
g(x, y) = 0 Este método se conoce con el nombre de método de los Multiplicadores de Lagrange. Para discriminar entre los máximos y mínimos de la función z = f ( x, y) , los puntos obtenidos del sistema deben ser reemplazados en ella.
3
Programa de Matemática Cálculo II
8. Determine los valores máximos y mínimos de ( , , ) = + 2 + 3 sobre la elipse dada como la intersección del cilindro 2 + 2 = 2 y el plano + = 1
Resp. f(1,-1,2)=5 es el valor máximo y f(-1,1,0)=1 es valor mínimo. 9. ¿Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2? Resp. El área es 2
10.Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos de
(, ) = 2 + 2 Sobre la elipse
2 + 2 = 1 4
Resp. El valor mínimo de f en la elipse dada es -4; el valor máximo es 1 11.Determine el mínimo de
(, , ) = 3 + 2 + + 5 Sujeto a la restricción
(, , ) = 9 2 + 42 = 0 Resp. El mínimo de f sujeto a la condición es
4
16 , 14 , 12 = 29
Programa de Matemática Cálculo II 12.Determine los valores extremos de
f ( x, y) = 2x2 + 4y2 − 3xy − 2x − 23y + 3 sujeta a la restricción x + y = 15 . Resp. (8,7) es máximo.
13.Suponga que U es una función utilidad para la cual U(x,y,z) = xyz donde x,y,z representan el número de unidades de los artículos A,B y C respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona particular. Además suponga que los precios unitarios de A, B y C son US$2, US$3 y US$4, respectivamente, y que el gasto total semanal para estos artículos se ha presupuestado en US$90. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben comprarse semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona? Resp. Para maximizar se necesitan 15 A, 10 B y 7.5 C
14.El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad que la caja puede tener si la cantidad total de dinero disponible para material es de US$12 y el material para el fondo cuesta US$ 0.6 el pie cuadrado. Resp.
15.Un cliente tiene U$280 para gastar en dos artículos, el primero de los cuales cuesta U$2 por unidad y el segundo U$5 por unidad. Si la utilidad obtenida por el cliente al comprar x unidades del primer artículo e y unidades del segundo, es
U (x, y) = 100x0,25 y0,75 , ¿cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades? Resp. (35, 42) es máximo.
5
Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 12 Integrales Dobles 1. Evalúe las siguientes integrales: 1 2
a.
∫ ∫ dxdy 0 1
Resp: 1 3 2
b.
∫ ∫ (2x + 3y)dxdy 0 1
Resp: 22,5 2 3
c.
∫ ∫ (2x + 3y)dydx 1 0
Resp: 22,5 4 2
d.
∫ ∫ (x
2
+ y2 )dydx
2 1
Resp: 70/3 4 4
∫ ∫ (36 − x
2
e.
− y2 )dxdy
0 0
Resp: 1216/3
2. Determine
∫∫ (3y − 2x )dA 2
donde
R
es la región del plano xy que consiste en todos
R
los puntos (x,y) para los cuales − 1≤ x ≤ 2 y 1≤ y ≤ 3. Resp: 24 3. Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie f (x, y) = 4 − como por los planos x = 3 y y = 2, y los tres planos coordenados. Resp: 21,5
1
x2 9
−
y2 16
. Así
Programa de Matemática Cálculo II 4. Calcule mediante integración doble el área de la región del plano xy limitada por de la siguiente gráfica
Resp:
8 3
u2
5. Calcule mediante integración doble el volumen V del sólido bajo la superficie = 4 − 2 − y sobre el rectángulo = {( + ): 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 2}
Resp:
16 3
u3
6. Determine el valor del área comprendida entre las parábolas y2 = 4 − x e y2 = 4 − 4x
Resp: 8 u2 2
Programa de Matemática Cálculo II 7. En los siguientes ejercicios, evalúe la integral iterada 2
5 x
a.
∫ ∫ (4x + 10y)dydx 3 −x
Resp:
10180 3
u3
2 1 y
b.
∫∫
2yexdxdy
0 0
Resp: ( − 2)u3 2 2x
c.
∫ ∫ xy dydx 3
1 0
Resp: 42u3 2 2y
d.
3 xy ∫ ∫ dxdy 1 0
Resp: 21u3 4 y
e.
∫ ∫ dxdy 00
Resp: 8u3 x
4e
f.
x ∫−1∫1 y dydx Resp: 21,666 u3 1 x
g.
2 xy ∫ ∫ dydx 0 x2
Resp: 0,025 u3
3
Programa de Matemática Cálculo II 8. Use integración doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano 3x+6y+4z = 12
Resp: 4 u3
3
9. Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región R.
∫∫
{
(x + y + 1)dA; R = ( x, y) y ≥ x2 + 2x ∧
Resp:
239 20
u3
4
y ≤ 3 ∧ y ≤ 3x + 6}
Programa de Matemática Cálculo II GUIA Nº 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Ejemplos
+ 12 = 3 =
+ 9 = 0 + 5 4 + 8 = 6
∅
Cuando una función definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.
1. Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente.
2 = 3
a. Función:
= 3 + 102 ;
Ecuación:
b. Función:
= 2 + 2 ;
Ecuación:
c. Función: d. Función:
= 2 ; = 2 + 2 ln() , > 0
4 + 4 = 0
Ecuación:
3
Ecuación:
2 3 + 4 = 0
′′′
′′
=0
+3
′
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Programa de Matemática Cálculo II
Ecuación de Variable Separable Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma
= () () Es separable o de variables separables
2. Indique cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de variables separables.
3
a. = 2 +
Respuesta: Si
()
Respuesta: No
b. = c. = d.
Respuesta: No
+ 32+4 = 0
Respuesta: Si
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables separables:
= 0
Respuesta:
= (1 + )
Respuesta:
= √ 2 + 4
) ( + 1) = 0
Respuesta:
= ln( + 1) ( 1) +
Respuesta:
= 23 3 + 32 2 + 1 + 2
a. (1 + )
b. ( 2 + 4) =
c. (
d. = 4 + 3
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Programa de Matemática Cálculo II 4. Resolver las siguientes ecuaciones con problema de valor inicial: a.
= Respuesta:
b.
condición inicial: (1) = 3
=3 ,
>0
+1 = 2−
condición inicial: ( 3) = 4
2 = 12
Respuesta: 3 + + 2 c.
+ − (2 1) = 0
condición inicial: (0) = 1
(2 ) + = 2
Respuesta: 2
d.
1 = (+1) Respuesta:
condición inicial: (0) = 0
1 = 12 2(+1 )
5. El Costo Marginal de un taladro inalámbrico 14.4 volt cuando se producen q unidades es 3 2 + 60 + 4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es de $90000. ¿Cuál es el costo de producción de las 50 primeras unidades?
Respuesta: $198.000.-
dy 4y2 x4 6. Muestre que la ecuación diferencial no es separable pero se dx 4xy convierte en separable con el cambio de variable dependiente de y a v de acuerdo a la transformación y = vx. −
=
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Programa de Matemática Cálculo II
Ecuación Lineal de Primer Orden Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación del tipo:
1() + 0() = () 1(), 0(), () son funciones continuas en un intervalo I. Al dividir ambos lados de la ecuación anterior por el coeficiente 1 ( ), se donde
obtiene una forma más útil, llamada forma estándar de la ecuación lineal.
+ () = ℎ() Cuya solución queda expresada mediante la fórmula:
y( x) = e ∫
− P ( x)dx
C + e∫ P ( x)dxh(x)dx ∫
7. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Respuesta:
= 10 + −5
b.
2 2 =
Respuesta:
= 2 (|| + )
c.
6 4 =
a. + 5 = 50
Respuesta:
−3 Respuesta: = 2 + ( 2 + 1) �2
d. ( 2 + 1) + 3
= 5 4 + 4
= 6
8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con problema de valor inicial a.
11 − = 8 Respuesta:
condición: (0) = 1
= 321 33 − Página 4 de 5
Programa de Matemática Cálculo II b.
3 3 = Respuesta:
condición: (0) = 4
= 12 23 + 4 3
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Programa de Matemática Cálculo II GUÍA Nº 03 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Crecimiento o Decrecimiento Modelo de Malthus. Si () representa la población en el tiempo , un modelo que permite determinar esta población en cualquier instante t , teniendo información de la población en un tiempo 0, es el conocido como Modelo de Malthus: =
, con valor inicial (0 ) = 0
1 En un cultivo de bacterias se tenían x números de familias. Después de una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de cuatro horas, 3000 familias. Determinar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. Respuesta: aprox. 694 familias.
2 Una superficie electrizada se descarga con una velocidad proporcional a la carga. Hallar la carga en función del tiempo. Respuesta: () = 0 − 3 Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótropo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial 0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media Página 1 de 5
Programa de Matemática Cálculo II de ese isótropo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. Respuesta: aprox. 24,180 años
Circuito LR en Serie Si consideramos el siguiente circuito eléctrico
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencial a través del inductor y de la resistencia , es igual a la fuerza electromotriz (fem) () aplicada al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente ()
+ = ()
donde y son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente () es conocida como la respuesta del sistema.
4 Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero. 6 Respuesta: () = 5 (1 −20 ) 5 Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 ohms y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a = 0. Determine la corriente para todo t 25 Respuesta: () = 3 (1 −3 )
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Programa de Matemática Cálculo II Ley de Newton del enfriamiento
Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante. Si es la temperatura ambiente y es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces, a temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación
= ( ) con valor inicial (0) = 0
6 Si la temperatura del aire es de 20ºC y una sustancia se enfría de 100ºC a 60ºC en 30 minutos. Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40ºC. Respuesta: aprox. 60 minutos 7 Al sacar una barra de estaño de un crisol, su temperatura es 300 ºF. Tres minutos después su temperatura es de 200 ºF. ¿Cuál será la temperatura de la barra de estaño a los 7 minutos? Respuesta: aprox. 130.8 ºF
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Programa de Matemática Cálculo II 8 Un termómetro, que está en el interior de una habitación, se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 15º C bajo cero. Después de un minuto el termómetro marca 12.8º C y después de 5 min marca 1.1º C bajo cero. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación? Respuesta: 18,059958 º C aprox.
Diseminación de una enfermedad Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de personas () que la han contraído en el momento , sino también a la cantidad de sujetos, (), que no han sido expuestos todavía al contagio.
Si la tasa es entonces
=
Donde es la constante de proporcionalidad.
9 Suponga que un alumno de DUOC es portador del virus H1N1 y regresa a la sede, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x( 4) 50. =
Respuesta: 276 alumnos.
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Programa de Matemática Cálculo II Otro Modelo 10 Un modelo simple para la forma de un tsunami, está dado por
= √ 4 2 Donde () > 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Resuelva la ecuación diferencial y realice las gráficas de las soluciones que satisfacen la condición inicial (0) = 2.
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Pr ograma de Matemática Cálculo I I GUÍ A Nº 04 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Or den Ecuación Lineal de Segundo Orden H omogénea Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma: ′′
′
ay + by + cy = 0
donde a, b y c son constantes reales, cuya solución es: y = c1 y1 + c2 y2 con c1 y c2 constantes reales.
Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación grado (ecuación característica):
de segundo
am2 + bm + c = 0
cuyas soluciones vienen dada por la fórmula m =
−b±√ ∆ , con 2a
∆= b 2 4ac
Si ∆= 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 como única solución real, por lo tanto, y1 = e mx
e , y2 = xemx
Si ∆> 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá a m1 y m2 como soluciones reales, por lo tanto, y1 = e mx
e , y2 = e mx
Si ∆< 0, la ecuación am2 + bm + c = 0 tendrá soluciones complejas. La ecuación ay′′ + by′ + cy = 0 si tendrá solución, las que no serán tratadas en esta asignatura
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Pr ograma de Matemática Cálculo I I 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes: a. y y 6y = 0
Respuesta: y(x) = c1 e3x + c2e−2x
b. y 2y + y = 0
Respuesta: y(x) = c1 ex + c2 xex
c. y 5y = 0
Respuesta: y(x) = c 1e√ 5x + c2 e−√ 5x
′′
′
′′
′
′′
′′
Respuesta: y(x) = c1 e−6x + c2 xe−6x
′
d. y + 12y + 36y = 0
2. En cada caso, determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución a. y(x) = c1 e2x + c2 e−2x
Respuesta: y 4y = 0
b. y(x) = c 1 e3x + c2 xe3x
Respuesta: y 6y + 9y = 0
c.
′′
′′
y(x) = c1 + c2 e6x
Respuesta: y 6y = 0
d. y(x) = c 1 e−x + c2 e−2x
′′
′
′′
′
Respuesta: y + 3y + 2y = 0
3. Resolver el problema de valores iniciales y(0) = 1 a. y y 2y = 0 con ′′
′
′
5
′
y (0) = 4
2
Respuesta: y(x) = 3 e2x 3 e−x
b. y + 6y 7y = 0 ′′
′
con 1
′
y(0) = 0
y (0) = 4
y(0) = 1
y (0) = 10
1
Respuesta: y(x) = 2 ex 2 e−7x
c. y 3y 10y = 0 ′′
′
con
′
12 5 Respuesta: y(x) = 7 e5x 7 e−2x
Página 2 de 4
Pr ograma de Matemática Cálculo I I d.
con
y′′ + 6y′ − 7y = 0
Respuesta: y(x) =
1 2
x
e −
1 2
y(0) = 0
y′(0) = 4
−7x
e
VARIACIÓN DE PARÁMETROS Una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma: ′′
′
ay + by + cy = h(x)
Si
es la solución de la ecuación ay + by + cy = 0, entonces la solución general de la ecuación no homogénea será: y = c1 y1 + c2 y2
′′
′
y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y1 + c4 y2
, con c1 y c2 constantes reales, y
c3 = ∫
h(x)y dx y y′ −y y′
y c4 =
h(x)y dx y −y y
∫y
′
′
4. Utilizando el método de variación de parámetros, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes a. y + 3y + 2y = 3x2 x + 1 3 13 Respuesta: y(x) = c 1 e−x + c2 e−2x + 2 x 2 5x + 2 ′′
′
′′
′
e
b. y + 4y + 4y = x Respuesta: y(x) = c1 e−2x + c2 xe−2x lnx ∙ e−2x c. y + 4y + 4y = e3x 1 Respuesta: y(x) = c1 e−2x + c2 xe−2x + 25 e3x ′′
′
d. y 9y = 81x2 + 7 Respuesta: y(x) = c1 + c2 e9x 3x3 x2 x ′′
′
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Pr ograma de Matemática Cálculo I I
e. 4y + 4y + y = e− ′′
′
1
Respuesta: y(x) = c1 e− + c2 xe− + 8 x2 e−
5. La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial w d2 y
dy
g dt
dt
2 k
=w
Donde w es el peso del paracaidista, y su altura en el instante t , g la aceleración de la gravedad, y k la constante de amortiguamiento del paracaídas. Si el paracaídas se abre a 2.000 pies, y(0) = 2.000, y en ese instante la velocidad es y (0) = 100 pies/s, para un paracaidista que pese 160 libras, usando k = 8. Determine una función para la altura y que dependa de la variable t. Respuesta: y = 1.950 + 50e−1.6t 20t ′
Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo -
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Ecuaciones Diferenciales con Modelado Editores
-
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Dennis G Zill – Cengage Learning
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Programa de Matemática Cálculo I I GUÍA DE EJERCICIOS Nº 05 SUCESIONES Y LÍMITES DE SUCESIONES
1. Escriba los 5 primeros términos de cada sucesión general) es: n+1
a. an = (− 1) b. an =
c. an =
d. an =
Solución:
2n
(n + 1)3 3
n
+1
1 n!
si su fórmula (término
Solución : 1, -1 , 1, -1, 1
2
n
{an },
1 2
; 1;
Solución: 4; 3;
9 8
; 1;
25 32
16 25 12 ; ; 7 13 7
1 1 1 1 ; Solución: 1; ; ; 2 6 24 120
2. Lea con atención y observe el dibujo. Helge Von Koch procedió de la siguiente manera: un trazo lo dividió en tres partes iguales. Borró el segmento del centro y en ese espacio agregó dos segmentos iguales al borrado, de modo que formaran un triángulo equilátero con el trozo borrado. Repitió el mismo procedimiento con cada nuevo segmento y continuó repitiéndolo “n” veces. Se podría decir que esta es una sucesión dibujada, o dicho correctamente, una iteración por copia.
Del dibujo se observa que el número de lados aumenta de acuerdo a la siguiente sucesión: 1, 4, 16 ¿Cuál es el término siguiente?
Solución: 64 lados
3. Escriba el término general de las siguientes sucesiones: a.
1 2 3 4 5 ; ; ; ; ; ... 2 3 4 5 6
Solución: an =
1
n n+ 1
Programa de Matemática Cálculo I I
b. 1; 6; 11; 16; 21; ...
c.
2 5 8 14 ; ; ;1; ; ... 5 7 9 13
d.
1 3 7 15 31 ; ; ; ; ; ... 2 4 8 16 32
Solución : an
=
Solución: an =
Solución: an =
5n − 4
3n − 1 2n + 3
2n − 1 2n
4. Escribe los términos que van en el triángulo
Solución: 12, 30, 16, 56, 13, 14, 21. 5. Dada la siguiente sucesión
¿Cuál de las tres posibilidades que se ofrecen es la más lógica para continuar la sucesión? Solución: (A) 6. Determine los 5 primeros términos de la sucesión 2
a1
=2
a
an =
n−1
+5
n≥ 2
2an−1 2
Programa de Matemática Cálculo I I
Comparare los términos obtenidos con el valor de
5 obtenido con una calculadora
Solución: La sucesión definida por recurrencia se parece al valor de
5 entre más
alto es el término an 7. Determine la relación por recurrencia común para poder continuar las siguientes sucesiones
Ayuda: Fíjate en la cantidad de letras que tiene el primer número 8. Dada la siguiente sucesión: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19…… Determine el octavo y noveno término de la sucesión dada. Solución: 200, 201. 9. Las siguientes sucesiones están definidas en forma recursiva. En cada una de ellas determine los 6 primeros términos. a. a1 = 2; an = an−1 + 5 b. a1 = 1; an =
1 1+ an−1
, para n ≥ 2
Solución: 2, 7,12,17, 22, 27 1 2 3 5 8 Solución : 1, , , , , 2 3 5 8 13
, para n ≥ 2
c. a1 = 6; an+1 = 2 ⋅ an , para n ≥ 1 d. a1 = 1; a2
=
1; an
1 =
+
an + an 1 , para −
Solución : 6,12, 24, 48, 96,192 n≥ 2
3
Solución : 1,1, 2, 3, 5, 8
Programa de Matemática Cálculo I I
10.Un cultivo tiene al principio 3000 bacterias, y su tamaño aumenta 4% cada hora.
a. ¿Cuántas bacterias hay al final de: 2 hrs, 10 hrs, 100 hrs? b. Deduzca una fórmula para calcular la cantidad de bacterias presentes después de n horas. n Solución: an = 3.000⋅ (1,04) 11.Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 metros sobre una losa de concreto.
Cada vez que rebota, alcanza una altura de
1 de la altura anterior. Determine qué 3
altura alcanza en: 5 m 9 5 Solución: m 81
a. El tercer rebote.
Solución:
b. El quinto rebote.
n
1 Solución: 15⋅ m 3
c. El n-ésimo rebote.
4
Programa de Matemática Cálculo I I
12.Considere la sucesión C n
=
P ⋅ (1+ r ⋅ n) donde:
P es
el capital inicial. r es la tasa de interés anual. n es el número de años. C n es la cantidad acumulada después de
n
años.
a. Si P = 1.000 y r = 0,08 , calcule los 5 primeros términos. Solución: 1080; 1160; 1240; 1320; 1400 b. Si P = 10.000.000 y r = 0,05 , calcule los 5 primeros términos. Solución: 10.500.000; 11.000.000; 11.500.000; 12.000.000; 12.500.000 13.En cada caso, describa qué sucede a los términos de la sucesión aumenta. a. an = b. an =
1 n n2
Solución: los términos crecen indefinidamente
3n
Solución: Los términos tienden a
2n + 5
lim
1
n→∞ n
1 +6 n a. lim 2 n→∞ 2+ n 2 5 2
n
lim →∞
3 2
Solución: Los términos fluctúan entre -3 y 3
14. Sabiendo que
n
n
Solución: Los términos tienden a 0
n3 + 2
e. an = (−1)n ⋅ 3
b.
a medida que
Solución: Los términos tienden a 0
c. an = en d. an =
{an}
+
6 n
3
n
p
=
0 , si p > 0. Calcule los siguientes límites:
Solución: 3
+2
+3
Solución:
2 3
5
Programa de Matemática Cálculo I I
c.
n+ 2
lim →∞ n + 1
Solución: 1
n
d.
7n2 + 1
lim →∞ 4n
2
n
e.
+2
n3 + 2
lim →∞ n
4
n
f.
Solución:
4
Solución: 0
+ 5n
1− n6
Solución: −
lim →∞ 2 + 3n
6
n
15. Sabiendo que
7
n ( ) R lim = 0
1 3
, si − 1< R < 1. Calcule los siguientes límites:
n→∞
n
1 +2 2 a. lim n n→∞ 1 5− 3
Solución:
2 5
n
5 2⋅ + 7 18 b. lim n n→∞ 1 − + 9 8 c.
2n + 7n
lim →∞ 7
n
n
d.
6n + 2n
lim →∞ 8
n
n
e.
+ 3n
n
7 9
Solución: 1
Solución: 0
+ 5n
6n+1 − 2n+ 2
lim →∞
Solución:
3n + 6n
Solución: 6
n
16.
α Sabiendo que lim1+ = eα , n n→∞
6 a. lim1+ n n→∞
α
n
Solución : e6 6
≠ 0 . Calcule los siguientes límites:
Programa de Matemática Cálculo I I
1 b. lim1− n n→∞
n
n + 2 c. lim + 1 n n→∞
Solución : e−1
n
Solución : e
n
n + 5 d. lim n→∞ n − 3
Solución : e8
17. Calcule los siguientes límites: a.
lim
4+
n→∞
2
Solución: 2
n
n
b.
1+ (− 1)
lim →∞ n
c.
3
n
Solución : 0
2
lim →∞ n
n4 − 1
3
n
18. La sucesión
Solución : ∞
− n−1
{an }
converge si
a lim →∞
n
= L ; L un número real. En caso contrario
n
Diverge. En cada caso, determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen. n5 + 1 Solución : Converge a. an = 4n5 + 5n − 1 b. an = n2 − 5 c. an =
d. an =
ln(n + 1) 8
4n + 3n 6n + 5n
Solución : Diverge Solución : Diverge
Solución : Converge
7
Programa de Matemática Cálculo I I
e. an
n + 3 = n + 5
n
Solución : Converge
19.Si se invierten $ 1.000.000 a un interés de 5% anual compuesto, entonces a los n n años, la inversión tiene valor: an = 1.000.000⋅ (1,05) a. Determine los 5 primeros términos de la sucesión {an} . Solución: $1050000; $1102500; $1157625; $1215506; $1276282 b. Es convergente o divergente la sucesión? Explique.
8
Programa de Matemática Cálculo I I
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 06 SERIES NUMÉRICAS Serie
Una aplicación de las sucesiones consiste en representar “sumas infinitas”. Dicho brevemente, si { an} es una sucesión, entonces ∞
∑a
n
= a1 + a2 + a3 +
...
+ an +
...
n=1
es una serie. Las que se clasifican en convergentes o divergentes.
Algunos tipos de series conocidas son: Serie Geométrica
Una serie geométrica de razón
r es
una serie del tipo:
∞
∑ ar
n
a≠
,
0
n= 0
es decir, una serie del tipo: ∞
∑ ar
n
= a + ar + ar 2 +
.....
+ ar n +
...,
a≠ 0
n= 0
además, es sabido que la serie geométrica de razón cambio, para
r
< 1, converge, más aún su suma es: ∞
∑
ar
n
=
n= 0
1
a 1− r
r diverge
para
r
≥ 1. En
Programa de Matemática Cálculo I I
1.
Halle la suma de las siguientes series: ∞
a.
1
∑2
Solución: 1
n
n=1
∞
b.
1
∑2
Solución:
n
n= 4
∞
c.
1
∑2
1 8
Solución: 2
n
n= 0
2.
Calcule el área de los triángulos rosados
Solución:
3.
1 3
Determine la suma de las series dadas a continuación: ∞
a.
n=1
∞
b.
n+ 2
5
∑2 n= 4
∞
c.
−2
∑3
n− 2
3
∑2 n=1
n+ 3
Solución: −
Solución:
Solución:
1 9
5 2
3 8
2
Programa de Matemática Cálculo I I
4.
Se deja caer una pelota de una altura de 6 metros. En cada rebote, la altura que alcanza es
3 4
de la altura anteriormente alcanzada. Determine la distancia
vertical total recorrida por la pelota.
Solución: 42 m 5.
Halle la suma de las siguientes series: ∞
a.
n
3
∑4
n
Solución: 3
n=1
∞
b.
n−1
2
∑3
n+1
Solución:
n= 2
∞
c.
∑ n= 0
6.
n+1
4
n
7
Solución:
2 9 28 3
¿Para cuál(es) de los valores de
a
siguientes la serie siguiente converge? ∞
2a ∑ n=1 3 a. a =
b.
a=
c.
a=
3 4
3 2 7 2
Solución: Converge
Solución: Diverge
Solución: Diverge 3
n
Programa de Matemática Cálculo I I
7.
El disco de un péndulo se balancea en un arco de 24 cm de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo sucesivo es de aproximadamente cinco sextos de la longitud del anterior, usa una serie geométrica para hallar la distancia total que recorre hasta que se detiene Solución: 144 cm
SERIES P
La
p-
serie es de la forma: ∞
1
∑n n=1
p>1
Converge si
8.
y Diverge si
p
=
1
+ p
1
1 p
2
+
1 p
3
+
.....
0< p≤ 1
Dadas las siguientes series, determine si converge o diverge: ∞
a.
b.
∑
1
n
∞
1
∑n ∞
∑ n=1
∞
d.
Solución: Converge
n
n=1
c.
Solución: Diverge
n=1
1 3
4
Solución: Converge
n
1
∑n
Solución: Converge
2
n=1
CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA
Si la sucesión 9.
{a } n
no converge a cero, la serie
∑a
n
es divergente.
Demuestre que las siguientes series divergen. ∞
a.
n
∑ n+ 1 n=1
4
Programa de Matemática Cálculo I I ∞
b.
∑6
n
n=1
∞
7 c. ∑ n= 0 3
2
∞
d.
∑n
2
n=1
∞
e.
n
7n
+ 4n + 1
∑ ( −5)
n
n=1
∞
5 f. ∑ 1+ n n=1
n
5
Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 07 SERIES NUMERICAS Criterio de D'Alembert y de la Integral CRITERIO DE D’ ALEMBERT Este criterio también es conocido como Criterio de la Razón y postula lo siguiente: ∞
Si
∑a
n
una serie con términos positivos:
n=1
∞
∑a
•
n
es convergente si lim
x→ ∞ an
n=1
an+1
∞
∑ an es divergente si lim
•
an+1
x→ ∞
n=1
an
1 o si lim
an+1
x→ ∞
an
El criterio de la razón no es concluyente si lim
•
= ∞.
an+1
x→ ∞ an
=1
1. Use el criterio de la razón para estudiar las convergencia de las siguientes series: ∞
a.
n
2
∑ ∞
b.
n
2
∑
c.
Solución: Diverge
20
n
n=1
∞
Solución: Converge
n!
n= 0
n
n
∑ n!
Solución: Diverge
n=1 ∞
d.
∑ n=1
∞
e.
n+1
2
n 2
Solución: Converge
n
3
n
∑ n+ 1
Solución: El criterio no decide
n=1
∞
f.
n
n
∑ 1⋅ 3⋅ 5⋅ (2n − 3) ⋅ (2n − 1)
Solución: Diverge
n=1
1
Programa de Matemática Cálculo II ∞
2. Sea
∑ n=1
(λ
⋅ n!) (2n + 1) ! 2
n
con λ > 0.
Determine el valor de
λ
para que la serie sea convergente. Solución: λ ∈
]0,2[
CRITERIO DE LA INTEGRAL Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an = f ( n) , entonces: ∞
∑
an
∞
∫ f ( x) dx
y
1
n=1
convergen o divergen ambas simultáneamente
3. Use el criterio de la integral para estudiar la convergencia de las siguientes series. ∞
a.
∑ ne
− n2
Solución : Converge
n=1
∞
b.
1
∑ 4+
n
n=1
∞
c.
n
∑2
Solución : Diverge
Solución : Converge
n
n=1
∞
d.
∑ n=1
1
(ln(6))
n
2 3 + ∑=1 n n n2
Solución : Converge
∞
e.
Solución : Converge
n
∞
f.
1
∑ nln(n)
Solución : Diverge
n= 2
2
Programa de Matemática Cálculo II 4. Use el criterio de la integral para estudiar la convergencia de las siguientes series: a.
b.
1
1
+
3 1
+
+
5 1
4 16
1
+
7 1
+
36
+
1 9
1 64
Solución : Diverge
+
+
Solución : Converge
5. Empareja cada serie con su gráfica de sumas parciales y discuta su convergencia
∞
I)
∑ n=1
2 4
3
n
II )
∞ 2
∑n
∞
II I )
n=1
Solución: I-a diverge
II-d
∑n n=1
diverge
3
2 n
IV )
III-b converge
∞ 2
∑n n=1
2
IV-c converge
Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 08 Series de Potencias, Series de Taylor
Serie de Potencias Se llama serie de potencias a la serie del tipo: ∞
∑a x
n
n
= a0 + a1x + a2x2 + ... + an xn + .... ,
n= 0
Más en general, cualquier serie de la forma ∞
∑ a ( x − c) n
n
2
n
= a0 + a1 ( x − c) + a2 ( x− c) + ... + an ( x− c) + .... ,
n= 0
Se dice que es una serie de potencias centrada en c, donde c es una constante. ∞
El intervalo donde la serie
∑ an (x − c)n
converge se le llama intervalo
n= 0
de convergencia y a R radio de convergencia, el que se puede calcular por: R = lim n→∞
an an+1
∞
Así,
la serie de potencias
∑ an (x − c)n converge
y es continua en
n= 0
cada punto xde su intervalo de convergencia
1.
(c − R, c + R)
Determine el radio de convergencia de las siguientes series de potencias: ∞
a.
∑ n!x
Solución: R = 0
n
n= 0
∞
b.
∑ 3( x − 4)
n
Solución: R = 1
n=0
1
Programa de Matemática Cálculo II n
( −1) x2n+1 ∑ n= 0 ( 2n + 1) ! ∞
c.
∞
d.
∑
(− 1)n 2n xn
1 2
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series: a.
b.
c.
d.
3.
Solución : R =
3n+ 1
n=1
2.
Solución: R = ∞
x−
x2
+
2
x − 2+
x−
x3 3
x3 3
−
x4 4
+
x5 5
−
x6 6
Solución : x∈ ]− 1,1[
+
(x − 2)2 (x − 2)3 (x − 2)4 (x − 2)5 (x − 2)6 +
2
+
x5 5
x7
−
7
−
3
+
x9 9
−
x11 11
+
4
+
5
6
+
2⋅ 3
2
+
3⋅ 3
3
−
Solución : x∈ ]1,3[
Solución : x∈ ]− 1,1[
+
(x − 2) (x − 3)2 (x − 3)3 (x − 3)4 (x − 3)5 (x − 3)6 1⋅ 3
+
+
4⋅ 3
4
5⋅ 3
5
+
6⋅ 3
6
+
Solución : x∈ ]0,6[
Asociar cada gráfica de las diez primeras sumas parciales de la serie ∞
x g(x) = ∑ n=0 3
n
con el valor indicado de la función: I ) g(1)
II)
g(2)
III) g(3,1)
2
IV)
g(-2)
Programa de Matemática Cálculo II
Solución: I)- c)
II)- a)
III) – b)
IV) – d)
Serie de Taylor Sea f una función infinitamente derivable en un intervalo ( c − r,c + r ) Se llama Serie de Taylor de
f ( c) +
f ' ( c) 1!
( x − c) +
f
(centrada) en c a la serie
f "( c) 2!
2
( x − c) + ... +
f(
n)
( c)
n!
n
( x − c) + ....
Cuando c = 0 la series se denomina serie de Maclaurin. La serie de Taylor representa a la función
( c − r,c + r )
f en el intervalo
si y solo sí limRn (x) = 0 n→ 0
donde Rn es el residuo de la fórmula de Taylor ( n) +1
Rn (x) =
4.
(δ ) n+1 ( x − c) ( n + 1)!
f
y
δ
es algún punto en ( c − r, c + r )
Para las siguientes funciones, determine la serie de Taylor correspondiente (sólo hasta el tercer grado), en el punto c indicado: a.
f ( x) = ln(1− x)
b. f ( x) =
1
(1− x)
2
c = -1
c= 2
Solución:
ln(2) −
(x + 1) (x + 1)2 (x + 1)3 2
+
2 ⋅2 2
−
2 ⋅3 3
Solución: 1− 2( x − 2) + 3(x − 2)2 − 4(x − 2)3
3
Programa de Matemática Cálculo II
c.
f ( x) =
x− 1
c= 2
1−
Solución:
(x − 2) ( x − 2)2 (x − 2)3 2
+
8
−
16 2
d. f ( x) = e2x+1
5.
c= −
1 2
1 1 1 x+ x+ x+ 2 2 2 2 3 Solución: 1+ 2 +2 +2 1!
2!
3
3!
Para las siguientes funciones, determine la serie de MacLaurin (sólo hasta el cuarto grado). Realice el gráfico de la función original y del polinomio encontrado a.
− 2x
f (x) = e
b. f (x) = ln(x + 1)
2
Solución :1− 2x +
Solución : x −
4
x2 2
2
2!
+
3
x − 2
x3 3
−
2
3!
x4 4
4
x + 3
2
4!
x4
Programa de Matemática Cálculo II GUÍA DE EJERCICIOS Nº 09 Funciones de dos o más variables. Curvas de Nivel
, ) = 2 + √ (4,9) (3,0) (3, 6) (, 4)
1. Sea ( a. b. c. d.
. Determine el valor de:
√
Respuesta: a. 146
2. Sea ( , ) = a. b. c. d.
(2,1) (3,1) (0,4) 1 ,
c.
∄
d.
6 + √
+ . Determine el valor de:
5
Respuesta: a. 2
, ) = | + | (2,9) (3,0) (, 0) (, )
3. Sea ( a. b. c. d.
b. 3
10
b. 3
c.
∄
d.
2 + 1
. Determine el valor de:
Respuesta: a. ln (11)
b. ln (3)
c. 1
d.
ln (2 )
4. Determine el dominio de las siguientes funciones: a. ( , ) = � Respuesta: {( , ) +3 b. ( , ) = Respuesta: {( , )
c. ( , ) = (4 )
5. Al utilizar
x
∈ 2| ≠ 0} ∈ 2| ≠ 0 ≠ 0} Respuesta: {( , ) ∈ 2 | < 4 }
trabajadores calificados e
y
trabajadores no calificados, un fabricante
puede producir Q( x, y) = 10 x2 y unidades al día. En la actualidad hay 20 trabajadores calificados y 40 trabajadores no calificados. a. ¿Cuántas unidades se producen cada día? b. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador calificado a la fuerza laboral actual? c. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual? d. ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se adiciona un trabajador calificado y un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual? 1
Programa de Matemática Cálculo II Respuesta: a. 160.000 unidades c. Aumenta en 4.000 unidades
b. Aumenta en 16.400 unidades d. Aumenta en 20.810 unidades
6. Determine el dominio de las siguientes funciones:
+ −9 a. b. ( , , ) = 9− − − ( , )=
Respuesta: a. Son los puntos están en el círculo 2 + 2 = 9 , o en su exterior, excepto los que se encuentran en el eje y b. Son los puntos interiores de la esfera de radio 3 centrada en el origen
7. Dibuje las cuatro curvas de nivel que se indican a continuación para cada una de las funciones mencionadas: z 0 ; z 1 ; z 2 y z 3 =
a.
=
=
=
f ( x, y) = x + 2y
2 b. f ( x, y) = x + y x c. f ( x, y) = y
8. La siguiente figura muestra isotermas para Estados Unidos
a. ¿Cuál de las ciudades San Francisco, Denver o aproximadamente la misma temperatura que San Luis?
Nueva
York
tenía
Resp. San Francisco 2
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