GuiaPH

1

PRUE PR UEBA BA PAR PARA A LA MED MEDIA IA

Gu´ Gu´ıa prueba prueb a de Hip´ otesis-Intervalos de Confianza otesis-Intervalos

Docente:Dia Docente:Diana na Carolina Carolina Moreno  Moreno  1.

Prue Prueba ba para para la medi media a

1.1.

σ   conocida

1. Planteamie Planteamiento nto de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) otesis H 0  :µ  : µ  = µ  =  µ 0  : µ =  µ 0 H 1  :µ

H 0  : µ  :  µ µ0  :  µ > µ0 H 1  : µ

H 0  :  µ µ0 H 1  :  µ < µ0

≤



≥

2. Se selecciona selecciona el nivel de significancia significancia α  α 3. Estad´ıstico ıstico de prueba pr ueba  Distribuci´ on on Z como estad´ estad´ıstico de prueba Z c  =

¯ µ X  σ/ n

−√ 

4. Se formula formula la regla de decisi´ decisi´ on on

La parte sombreada corresponde a la zona de rechazo. 5. Conclusiones Conclusiones 1.1.1. 1.1.1.

Inter Interv valo de de confian confianza za

¯ X 

σ  + Z α/ √  − Z α/ √ σn ≤ µ ≤ X ¯  + n 2

2

1

1

1.1. 1.1.2. 2.

PRUE PR UEBA BA PAR PARA A LA MED MEDIA IA

Ejem Ejempl plo o

La producci´ producci´ on on diaria para una planta qu´ qu´ımica local lo cal ha promediado 880 toneladas en los ultimos ´ a˜ nos. nos. A la gerente de control de calidad le gustar´ gustar´ıa saber sab er si este promedio ha cambiado en meses recientes. Ella selecciona al azar 50 d´ıas de entre la base de datos y calcula el promedio y desviaci´ on on est´ andar andar de las 50 obteniendo 817 toneladas y 21 toneladas respectivamente. Pruebe la hip´ otesis otesis apropiada con α  = 0.05 y calcule calcule un interv intervalo alo de confianza de 95 %. 1. Planteamie Planteamiento nto de las hip´ otesis otesis H 0  :µ  : µ H 1  :µ  : µ 2. α  = 3. Estad´ıstico ıstico de prueba pr ueba ¯ µ X  Z c  = = σ/ n

−√ 

4. Se formula formula la regla de decisi´ decisi´ on on

5. Conclusiones Conclusiones

Intervalo de confianza

2

1

1.2.

PRUEBA PARA LA MEDIA

C´ alculo del valor P 

Un valor P  es el nivel (de significancia) m´ as ba jo en el que el valor observado del estad´ıstico de prueba es significativo. Definici´ o n 1.   Si el valor  P   es menor o igual a un nivel de significancia  α  asignado previamente, entonces la hip´  otesis nula puede ser rechazada y se puede informar que los resultados son estad´ısticamente  significativos al nivel  α.

1.3.

σ   desconocido

Las suposiciones que se deben tener en cuenta son La muestra debe ser seleccionada al azar. La poblaci´ on de la que haga muestreo debe estar normalmente distribuida. 1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :µ = µ 0

H 0  : µ

H 1  :µ =  µ 0

H 1  : µ > µ0



≤µ

0

H 0  :  µ

≥µ

0

H 1  :  µ < µ0

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on t-student como estad´ıstico de prueba tc  =

¯ µ X  s/ n

−√ 

4. Se formula la regla de decisi´ on

Los valores cr´ıticos de t α y t α/2, est´ an basados en (n

3

− 1) grados de libertad.

2

1.3.1.

Intervalo de confianza

¯ X  1.3.2.

´ ´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA LA PROPORCI ON 

− tα/ √ sn ≤ µ ≤ X ¯  + tα/ √ sn 2

2

Ejemplo

Un nuevo proceso para producir diamantes sint´eticos puede ser operado a un nivel rentable s´ olo si el peso promedio de ´estos es mayor a 0.5 quilates. Para evaluar la rentabilidad del proceso, se generan seis diamantes que registran pesos de 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57 y 0.54 quilates. ¿Estas seis mediciones presentan suficiente evidencia para indicar que el peso promedio de los diamantes producidos por el proceso es m´as de 0.5 quilates? Realice una prueba de hip´ otesis y halle un intervalo de confianza al 95 %. Suponga que los pesos se distribuyen normal. 1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  :µ H 1  :µ 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba tc =

¯ µ X  = s/ n

−√ 

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

2.

Prueba de hip´ otesis para la proporci´ on Las suposiciones que se deben tener en cuenta son 4

2

np

´ ´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA LA PROPORCI ON 

≥ 5 y nq  ≥ 5

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  : p = p 0

H 0  : p

H 1  : p =  p 0

H 1  : p > p0



≤  p

H 0  :  p

0

≥  p

0

H 1  :  p < p0

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on Z como estad´ıstico de prueba Z c  = Otras notaciones para p es ˆ  p¯

 pˆ  p

 −

 pq n

4. Se formula la regla de decisi´ on

2.0.1.

Intervalo de confianza

 pˆ 2.0.2.

− Z α/

2

 

 pˆ ˆq  n

≤  p ≤  pˆ + Z α/

2

 

 pˆ ˆq  n

Ejemplo

El National Safety Council inform´ o que 52% de los conductores estadounidenses que viajan por autopista de cuota es de g´enero masculino. Una muestra de 300 autom´ oviles que viajaron el d´ıa de ayer por la autopista de Nueva Jersey revel´o que a 170 los manejaban hombres. Con un nivel de significancia de 0.01, ¿puede concluir que por la autopista de cuota de Nueva Jersey manejaba una proporci´on mayor de hombres que lo indicado por las estad´ısticas nacionales?

5

3

EJERCICIOS 

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  : p H 1  : p 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba Z c  = 4. Se formula la regla de decisi´ on

 pˆ  p

 −

 pq n

=

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

3.

Ejercicios 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el a˜ no pasado revel´ o una vida promedio de 71.8 a˜ nos. Si se supone una desviaci´on est´ andar de la poblaci´ o n de 8.9 a˜ nos, ¿esto 6

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4

parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 a˜ nos? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Use el m´etodo del p-valor. 2. La Employment and Training Administration inform´ o que la prestaci´ on media del seguro de desempleo es $238/semana (The World Almanac, 2003). Un investigador del estado de Virginia anticip´ o que datos muestrales indicar´an que la prestaci´on media semanal del seguro de desempleo en el estado de Virginia es menor que la media de todo el pa´ıs. e las hip´ otesis adecuadas de manera que el rechazo de H 0   favorezca la afirmaci´ on del invesa ) D´ tigador. on b ) En una muestra de 100 individuos la media muestral encontrada fue $231 y la desviaci´ est´ andar muestral fue $80. ¿Cu´ al es el valor-p? c ) Si α = 0.05, ¿cu´ al es su conclusi´on? otesis anterior usando el m´etodo del valor cr´ıtico. d ) Repita la prueba de hip´ 3. La cantidad de agua consumida al d´ıa por un adulto sano sigue una distribuci´ on normal, con una media de 1.4 litros. Una campa˜ na de salud promueve el consumo de cuando menos 2.0 litros diarios. Despu´es de la campa˜ na, una muestra de 10 adultos muestra el siguiente consumo en litros: 1.5

1.6

1.5

1.4

1.9 1.4 1.3 1.9

1.8

1.7

A un nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que se ha elevado el consumo de agua? 4. Se considera que un medicamento que se prescribe com´ unmente para aliviar la tensi´ on nerviosa tiene una eficacia de tan s´ olo 60 %. Los resultados experimentales de un nuevo f´ armaco administrado a una muestra aleatoria de 100 adultos que padec´ıan tensi´ on nerviosa revelaron que 70 de ellos sintieron alivio. ¿Esta evidencia es suficiente para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe com´ unmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

4.

Prueba de hip´ otesis para dos poblaciones

4.1.

Prueba de hip´ otesis para la diferencia de medias, µ1

− µ , varianzas conocidas. 2

Supuestos:  Las muestras son independientes y se conoce la varianza de cada poblaci´on.

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :µ1 H 1  :µ1

− µ  = µ − µ  = µ 2

0

H 0  : µ 1

2

0

H 1  : µ 1

− µ  ≤ µ − µ  > µ 2

0

H 0  :  µ 1

2

0

H 1  :  µ 1

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on Z como estad´ıstico de prueba Z c  =

(x¯1

− x¯ ) − (µ − µ ) 2

 

1

σ12 σ22 + n1 n2

7

2

− µ  ≥ µ − µ  < µ 2

0

2

0

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 4.1.1.

Intervalo de confianza

(x¯1 4.1.2.

− x¯ ) − Z α/ 2

2

 

2 1

2 2

σ  σ + n1 n2

≤ µ − µ  ≤ (x¯ − x¯ ) + Z α/ 1

2

1

2

2

 

σ12 σ22 + n1 n2

Ejemplo

Para determinar si la propiedad de un auto afecta el rendimiento acad´emico de un estudiante, se tomaron dos muestras aleatorias de 100 estudiantes de sexo masculino. El promedio de calificaciones para los 100 que no eran due˜nos de autos fue de 2.70 en tanto que un promedio de 2.54 para los otros 100 propietarios de autos. Datos de estudios anteriores indican una desviaci´ on est´ andar poblacional de 0.36 para los no propietarios de autos , y de 0.40 para los propietarios de auto. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar una diferencia en el rendimiento medio entre propietarios de autos y no propietarios? 1. Pruebe usando un nivel de significancia de 0.05. 2. Calcule un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia de medias de propietarios y no propietarios de autos. Interpr´etelo. Datos:

8

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba Z c  =

(x¯1

− x¯ ) − (µ − µ ) = 2

1

2

 

σ12  σ 22 + n1 n2

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

4.2.

Prueba de hip´ otesis para la diferencia de medias, µ1 pero iguales

− µ , varianzas desconocidas 2

Los supuestos que se deben tener en cuenta son: se extraen dos muestras aleatorias independientes de tama˜ nos n 1 y n 2 , respectivamente, de dos poblaciones con medias µ 1 y µ 2 , y varianzas desconocidas pero 9

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4

iguales,σ12 = σ 22 , y la distribuci´ on de cada muestra debe ser aproximadamente normal. 1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :µ1 H 1  :µ1

− µ  = µ − µ  = µ 2

0

H 0  : µ 1

2

0

H 1  : µ 1

− µ  ≤ µ − µ  > µ 2

0

H 0  :  µ 1

2

0

H 1  :  µ 1

− µ  ≥ µ − µ  < µ 2

0

2

0

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on t como estad´ıstico de prueba tc  =

(x¯1

x¯2 )

s2

donde: s2 =

(n1

µ2 )

2 1

1 1 + n1 n2

− 1)s  + (n − 1)s n  + n − 2 1

(µ1

 −  − − 2

2 2

;

gl = n1 + n2

2

−2

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 4.2.1.

Intervalo de confianza

¯1 (X 

− X ¯ ) ± t

donde 2

s =

2

(n1

α/2

   s2

2 1



2 2

− 1)s  + (n − 1)s n  + n − 2 1

4.2.2.

1 1 + n1 n2

2

2

Ejemplo

Puede tomarse un curso con cr´edito ya sea asistiendo a sesiones de clases en horas y d´ıas fijos, o haciendo sesiones en l´ınea que el estudiante puede hacer a su propio paso y en los tiempos que el estudiante escoja. El coordinador del curso desea determinar si estos dos d´ıas de tomar el curso resultaron en una diferencia significativa en rendimiento medido por el examen final para el curso. La siguiente informaci´ on da las calificaciones en un examen con 45 puntos posibles para un grupo de 9 estudiantes que tomaron el 10

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

curso en l´ınea y un segundo grupo de 9 estudiantes que tomaron el curso de clases convencionales. ¿Estos datos presentan suficiente evidencia para indicar que las calificaciones para estudiantes que tomaron el curso en l´ınea son significativamente m´ as altas que las de quienes asistieron a una clase convencional? Suponga varianzas poblacionales iguales. Datos:

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba tc  =

(x¯1

x¯2 )

1

s2

donde: s2 =

(µ1

µ2 )

 −  − −

(n1

n1

+

2 1

=

1

n2

2 2

− 1)s  + (n − 1)s n  + n − 2 1

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

11

2

2

=

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

Intervalo de confianza

4.3.

Prueba de hip´ otesis para la diferencia de medias, µ1 pero diferentes

− µ , varianzas desconocidas 2

Los supuestos que se deben tener en cuenta son: se extraen dos muestras aleatorias independientes de tama˜ nos n1 y n2 , respectivamente, de dos poblaciones con medias µ1 y µ2  de distribuciones normales, y varianzas σ12 = σ 22 .

 

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :µ1 H 1  :µ1

− µ  = µ − µ  = µ 2

0

2

0

H 0  : µ 1 H 1  : µ 1

− µ  ≤ µ − µ  > µ 2

0

2

0

H 0  :  µ 1 H 1  :  µ 1

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on t como estad´ıstico de prueba tc  =

(x¯1

x¯2 )

−   

− (µ − µ ) 1

s21 s22 + n1 n2

2



tiene una distribuci´ on t aproximada con grados de libertad aproximados

gl =

[(s21 /n1 )2 /(n1



−

2

s21 s2 + 2 n1 n2 1)] + [(s22 /n2 )2 /(n2

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 12



− 1)]

− µ  ≥ µ − µ  < µ 2

0

2

0

4

4.3.1.

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

Intervalo de confianza

¯1 (X 

− X ¯ ) − t 2

α/2

 

2 1

2 2

s s + n1 n2

≤

µ1

− µ  ≤ (X ¯ − X ¯ ) + t 2

1

2

[s21 /n1 + s22 /n2 ]2 gl = [(s21 /n1 )2 /(n1 1)] + [(s22 /n2 )2 /(n2

−

4.3.2.

α/2

 

s21 s22 + n1 n2



− 1)]

Ejemplo

Clearwater National Bank realiza un estudio para identificar diferencias entre las cuentas de cheques de sus clientes en dos de sus sucursales; toma una muestra aleatoria simple de 28 cuentas de la sucursal Cherry Grove, y obtuvo un promedio de $1025 y una desviaci´on est´ andar de $150 y otra muestra aleatoria simple e independiente de 22 cuentas de cheques de la sucursal Beechmont,y obtuvo un promedio de $910 y una desviaci´ on est´ andar de $125. Los datan suficiente evidencia para indicar una diferencia entre el saldo medio en las cuentas de cheques de la poblaci´on de clientes de Cherry Grove y el saldo medio en las cuentas de cheques de la poblaci´on de clientes de Becchmont. Pruebe usando un nivel de significancia de 0.01. Suponga que las poblaciones son normales y que las varianzas son diferentes. Datos:

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba

tc  =

(x¯1

− x¯ ) − (µ − µ ) = 2

 

1

s21 n1

+

s22 n2

2



tiene una distribuci´ on t aproximada con grados de libertad aproximados

gl =

[(s21 /n1 )2 /(n1



−

2

s21 s2 + 2 n1 n2 1)] + [(s22 /n2 )2 /(n2

13



− 1)] =

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

4.4.

Prueba de hip´ otesis para la diferencia de medias, muestras pareadas

Las n  diferencias representan una muestra aleatoria tomada de una poblaci´on normal. 1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :µ1 H 1  :µ1

− µ  = µd − µ  = µd 2

H 0  :  µ1

2

H 1  :  µ1

− µ  ≤ µd − µ  > µd 2

H 0  : µ 1

2

H 1  : µ 1

− µ  ≥ µd − µ  < µd 2 2

2. Se selecciona el nivel de significancia α 3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on t como estad´ıstico de prueba tc  =

d¯

− (µ √ − µ ) 1

2

S d / n

¯  S d  son variables aleatorias que representan la media muestral y la desviaci´on est´ donde d y andar de las diferencias de las observaciones. 14

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4. Se formula la regla de decisi´ on

Figura 1: Regla de decisi´ on, para una prueba a una cola a derecha y para una prueba a dos colas 5. Conclusiones 4.4.1.

Intervalo de confianza

d¯ con gl = n 4.4.2.

−t

α/2;gl

sd √   ≤ µD ≤ d¯ + t n

α/2;gl

sd √  n

− 1.

Ejemplo

Para comparar las cualidades de desgaste de dos tipos de llantas de autom´ ovil, A y B, una llanta de tipo A y una de tipo B se asignaron al azar y se montaron en las ruedas traseras de cada uno de cinco ´ autom´ oviles. Estos se hicieron correr un n´ umero especificado de millas y se registr´o la cantidad de desgaste para cada llanta. Estas mediciones aparecen en la tabla ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar una diferencia en el promedio de desgaste para los dos tipos de llantas? Suponga que la diferencia de las medias es normal. Autom´ ovil Tipo A Tipo B

1 10.6 10.2

2 9.8 9.4

Datos:

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 15

3 12.3 11.8

4 9.7 9.1

5 8.8 8.3

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

3. Estad´ıstico de prueba

tc  =

d¯

− (µ √ − µ ) 1

2

S d / n

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

4.5.

Prueba de hip´ otesis para la varianza

Supuesto:  La muestra se selecciona al azar de una poblaci´ on normal.

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :σ 2 = σ 02

H 0  :  σ 2

H 1  :σ 2 =  σ 02

H 1  :  σ 2 > σ02



2. Se selecciona el nivel de significancia α 16

2 0

≤σ

H 0  : σ 2

2 0

≥σ

H 1  : σ 2 < σ02

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on χ2 como estad´ıstico de prueba 2

χ =

(n

2

− 1)s σ02

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 4.5.1.

Intervalo de confianza

(n

− 1)s

χ2α/2 4.5.2.

2

(n 1)s2  0.9 a˜ nos? Utilice un nivel de significancia de 0.05.   Datos:

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α =

17

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

3. Estad´ıstico de prueba

2

χ =

(n

− 1)s

2

σ02

=

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

4.6.

Prueba de hip´ otesis para el cociente de varianzas

Suposici´ on:  Las muestras se seleccionan al azar de poblaciones normal.

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  :σ12 = σ 22

H 0  :  σ 12

H 1  :σ12 =  σ 22

H 1  :  σ 12 > σ22

 

2 2

 ≤ σ

2. Se selecciona el nivel de significancia α

18

H 0  : σ 12

2 2

 ≥ σ

H 1  : σ 12 < σ22

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on F como estad´ıstico de prueba s21 F  = 2 s2 4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 4.6.1.

Intervalo de confianza

s21 s22

 4.6.2.

1 F df 1 ,df 2

σ2 < 12 < σ2

s21 s22



F df 2 ,df 1

Ejemplo

Un experimentador est´a preocupado porque la variabilidad de respuestas que usan dos procedimientos experimentales diferentes puede no ser igual. Antes de realizar su investigaci´ on, realiza un estudio 2 2 previo con muestras aleatorias de 10 y 8 respuestas y obtiene s1 = 7.14 y s2 = 3.21, respectivamente. ¿Las varianzas muestrales presentan suficiente evidencia para indicar que las varianzas poblacionales son desiguales? Datos:

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 19

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

3. Estad´ıstico de prueba

s21 F  = 2 s2 4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

4.7.

Prueba de hip´ otesis para diferencia de proporciones

1. Planteamiento de las hip´ otesis (plantear algunas de las siguientes opciones) H 0  : p1 H 1  : p1

− p  = p − p  = p 2

0

H 0  : p 1

2

0

H 1  : p 1

2. Se selecciona el nivel de significancia α

20

− p  ≤  p − p  > p 2

0

H 0  :  p − p2

 ≥  p

2

0

H 1  :  p 1

0

− p  < p 2

0

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4

3. Estad´ıstico de prueba  Distribuci´ on Z  como estad´ıstico de prueba Z  =

( pˆ1

 pˆ2 )

1

 pˆ ˆq 

con

( p1

 p2 )

 −  − −

 p = ˆ

n1

+

1

n2

x1 + x2 n1 + n2

4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones 4.7.1.

Intervalo de confianza

( pˆ1 4.7.2.

− pˆ ) − Z  2

α/2

 

 pˆ1 ˆ q 1  pˆ2 ˆ q 2 + n1 n2

≤  p − p  ≤ ( pˆ  + pˆ ) + Z  1

2

1

2

α/2

 

 pˆ1 ˆ q 1  pˆ2 ˆ q 2 + n1 n2

Ejemplo

Se organizar´ a una votaci´ on entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se aprueba una propuesta para la construcci´on de una planta qu´ımica. Como el lugar en el que se propone construirla est´ a dentro de los l´ımites de la ciudad, muchos votantes del condado consideran que la propuesta ser´ a aprobada debido a la gran proporci´ on de votantes que est´a a favor de que se construya. Se realiza una encuesta para determinar si hay una diferencia significativa en la proporci´on de votantes de la ciudad y los votantes del condado que favorecen la propuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado tambi´ en lo hacen, ¿estar´ıa usted de acuerdo en que la proporci´on de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es mayor que la proporci´on de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de α = 0.05. Datos:

21

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

1. Planteamiento de las hip´ otesis H 0  : H 1  : 2. α = 3. Estad´ıstico de prueba

Z c  =

( pˆ1

 pˆ2 )

 pˆ ˆq 

con

( p1

 p2 )

 −  − −

 p = ˆ 4. Se formula la regla de decisi´ on

5. Conclusiones

Intervalo de confianza

22

1

n1

+

1

n2

x1 + x2 n1 + n2

=

4

4.7.3.

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

Ejercicios

1. Establezca las hip´ otesis nula y alternativa que usar´ıa para probar las siguientes afirmaciones, y de termine de manera general en d´ onde se localiza la regi´ on cr´ıtica: oximo a˜ no se exportar´a a la Uni´ on Sovi´etica. a ) A lo sumo, 20 % de la cosecha de trigo del pr´ e al d´ıa. b ) En promedio, las amas de casa estadounidenses beben 3 tazas de caf´ on de estudiantes que se graduaron este a˜no en Virginia, especializados en ciencias c ) La proporci´ sociales, es de al menos 0.15. olares. d ) El donativo promedio a la American Lung Association no es mayor de 10 d´ e ) Los residentes de la zona suburbana de Richmond viajan en promedio 15 kil´ ometros para llegar

a su lugar de trabajo. 2. Est´ a generalmente aceptado que existen diferencias ligadas al sexo relacionadas con la respuesta al estr´ es producido por el calor. Se someti´ o a un grupo de 10 varones y 8 mujeres a un programa de ejercicios en´ergicos que implicaba el empleo de una ’cinta sin fin’. El medio era caluroso, y se dispon´ıa de una cantidad m´ınima de agua para los individuos. La variable de inter´es fue el porcentaje de peso corporal perdido. Se obtuvieron los datos siguientes: Varones

Mujeres

2.9 3.5 3.9 3.8 3.6

3.0 2.5 3.7 3.3 3.8

3.7 3.8 4.0 3.6 3.7

4.1 3.6 4.0

on puntual para la diferencia en porcentajes de p´erdida de peso corporal a ) Establecer una estimaci´ entre varones y mujeres que hacen ejercicio en estas condiciones. b ) Encuentre un intervalo de confianza de 98 % para la diferencia en porcentajes de p´erdida de

peso corporal entre varones y mujeres que hacen ejercicio en estas condiciones 3. Se efect´ ua un estudio sobre el color de los escarabajos tigre para conseguir pruebas que apoyen el argumento de que la proporci´ on de escarabajos negros puede variar de un lugar a otro. En una muestra de 500 escarabajos capturados en una extensi´ on pr´oxima a Prov´ıdence, Rhode Island, 95 eran negros. Una captura de 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York, conten´ıa 17 individuos negros. otesis adecuado con dos colas. Realizar el contraste. ¿Cu´ a l es su a ) Construir el contraste de hip´ valor P? on puntual para la diferencia entre las proporciones de escarabajos negros b ) Hallar una estimaci´ en las dos regiones. ¿Piensa, bas´ andose en esta estimaci´ on, que hay diferencia entre las dos proporciones?

23

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

4. Se realiza un estudio para detectar la eficacia de las mamograf´ıas. De 31 casos de c´ ancer de mama detectados en mujeres del grupo de edad de entre los cuarenta y cuarenta y nueve a˜nos, 6 lo fueron a trav´es, exclusivamente, de la mamograf´ıa. En mujeres de m´ as edad, 38 de 101 c´ anceres detectados lo fueron s´olo por mamograf´ıa. ¿Es esto evidencia, al nivel de 0.5, de que la probabilidad de detectar el c´ancer mediante la mamograf´ıa es m´ as alta en las mujeres mayores que en las m´as j´ovenes? Explicar la respuesta construyendo las hip´ otesis estad´ısticas apropiadas y realizando el contraste. 5. En un estudio de la American Automobile Association se estudi´ o si era m´as probable que conductores hombres o mujeres se detuvieran para solicitar indicaciones sobre c´ omo llegar a una direcci´ on (AAA, enero de 2006). En el estudio se preguntaba: ’Si usted y su c´onyuge van en su autom´ovil y se pierden, ¿se detiene para preguntar por la direcci´ on que busca?’ En una muestra representativa se encontr´o que 300 de 811 mujeres dijeron que s´ı se deten´ıan para preguntar y 255 de 750 hombres dijeron que s´ı se deten´ıan para preguntar. otesis de investigaci´ on afirmaba que era m´ as probable que las mujeres se detuvieran para a ) La hip´ preguntar por la direcci´ on. Formule las hip´ otesis nula y alternativa para este estudio. al es el porcentaje de mujeres que dijeron detenerse para preguntar por la direcci´on? b ) ¿Cu´ al es el porcentaje de hombres que dijeron detenerse para preguntar por la direcci´on? c ) ¿Cu´ otesis usando α = 0.05. ¿Cu´ a l es el valor-p y cu´al es la conclusi´ o n a la que d ) ¿Pruebe la hip´ esperar´ıa usted que llegara la asociaci´ on? 6. Una organizaci´ on de cr´ edito y seguros ha desarrollado un nuevo m´etodo de alta tecnolog´ıa para capacitar al nuevo personal de ventas. La compa˜ n´ıa obtuvo una muestra de 16 empleados capacitados de la manera original y encontr´ o ventas diarias promedio de $688 con desviaci´on est´ andar de la muestra de $32.63. Tambi´en tomaron una muestra de 11 empleados capacitados con el m´ etodo nuevo y encontraron un promedio de ventas diarias de $706 con desviaci´on est´ andar de la muestra de $24.84. Para α = 0.05, ¿puede la compa˜ n´ıa concluir que el promedio diario de ventas aumenta con el nuevo plan? 7. El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mam´ıferos en concentraciones de alrededor de 6 mg/100 mL de sangre total. La desviaci´ on t´ıpica normal de esta variable es 1 mg de calcio por cada 100 mL de sangre total. Una variabilidad mayor que ´esta puede ocasionar graves trastornos en la coagulaci´ on de la sangre. Una serie de nueve pruebas realizadas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6.2 mg de calcio por 100 mL de sangre total y una desviaci´ on t´ıpica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 mL de sangre. ¿Hay alguna evidencia, con α = 0.05, de que el nivel medio de calcio para este paciente sea m´as alto del normal? ¿Hay alguna evidencia, a un nivel de significancia de 0.05 de que la desviaci´ on t´ıpica del nivel de calcio sea m´ as alta de la normal? 8. En los inviernos rigurosos, se utiliza sal para quitar el hielo de las carreteras. Para hallar la cantidad aproximada de sal que se est´ a introduciendo en el medio ambiente por esta causa, se realiz´ o un estudio en New England. Se obtuvieron las siguientes observaciones sobre la variable aleatoria X, n´ umero de toneladas m´etricas de sal utilizadas sobre las carreteras por semana, en distritos aleatoriamente seleccionados, a lo largo de la regi´on: 3900

3875 3820 3860

3840

on puntual de µ. a ) Establecer una estimaci´ 24

3852

3800 3825 3790

4

´ PRUEBA DE HIP OTESIS PARA DOS POBLACIONES 

on puntual de σ 2 b ) Establecer una estimaci´ c ) Sup´ ongase que X  est´ a normalmente distribuida. Hallar un intervalo de confianza de µ del 90 %. d ) Establecer intervalos de confianza del 90 % para σ 2 y para σ.

9. Se pens´o que un programa de ejercicios regulares, moderadamente activos, podr´ıa beneficiar a los pacientes que hab´ıan sufrido previamente un infarto de miocardio. Once individuos participaron en un estudio para comprobar este argumento. Antes de que empezara el programa, se determin´o la capacidad de trabajo de cada persona midiendo el tiempo que tard´o en alcanzar una frecuencia de 160 latidos por minuto mientras caminaba sobre una cinta sin fin. Despu´ es de 25 semanas de ejercicio controlado, se repitieron las medidas en la cinta sin fin y se registr´ o la diferencia en tiempo para cada sujeto. Resultaron los siguientes datos: Sujeto

Antes

Despu´ es

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7.6 9.9 8.6 9.5 8.4 9.2 6.4 9.9 8.7 10.3 8.3

14.7 14.1 11.8 16.1 14.7 14.1 13.2 14.9 12.2 13.4 14.0

¿Sostienen estos datos el argumento de los investigadores? Dar la respuesta tomando como base el valor P. 10. Un experimento publicado en The American Biology Teacher estudi´ o la efi cacia de usar 95% de etanol o 20 % de blanqueador, como desinfectante para eliminar la contaminaci´ on por bacterias y hongos en cultivos de tejidos de plantas. El experimento se repiti´ o 15 veces con cada desinfectante usando berenjenas como tejido de planta cultivada. Cinco cortes por planta se colocaron en una caja de Petri para cada desinfectante y se guardaron a 25o C  durante 4 semanas. La observaci´on informada fue el n´ umero de cortes no contaminados de berenjena despu´es del almacenamiento de 4 semanas. Desinfectante

95 % etanol

20 % de blanqueador

Media muestral Varianza muestral Tama˜ no de muestra

3.73 2.78095 15

4.80 0.17143 15

a ) ¿Est´ a usted dispuesto a suponer que las varianzas originales son iguales?

25

5

BIBLIOGRAF ´ IA

on del inciso a), ¿est´ a usted dispuesto a concluir que hay una diferencia b ) Usando la informaci´ significativa en los n´ umeros medios de berenjenas no contaminadas para los dos desinfectantes probados?

5.

Bibliograf´ıa 1. Milton J. Susan. Estad´ıstica para Biolog´ıa y Ciencias de la Salud. 3ra ed. Mc Graw -Hill 2001 2. Mendenhall William/Beaver Robert/Beaver B´ arbara Introducci´ on a la probabilidad y estad´ıstica. D´ecimo segunda edici´on. 2008. Cengage Learning. 3. Walpole & Myers. Probabilidad y Estad´ıstica para Ingenier´ıa y Ciencias 4. David R. A.,Dennis J. S.,Thomas A. W., Estad´ıstica para administraci´ on y econom´ıa.10a. edici´on. 2008

26