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Guía de problemas de Investigación de Operaciones PRIMERA PARTE 1.1) Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40.000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3.500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediado de Sep. A mediados de mayo) y 4.000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5 la hora durante los meses de invierno y 6 $/h en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requiere un desembolso de $1.200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1,5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas en el verano. Cada una producirá un ingreso anual neto $1.000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada de terreno, 0,6 horas-hombre en el invierno, 0,3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3.000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son las siguiente.

horas-hombre en invierno horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)

Soya 20 50 500

Maíz 35 75 750

Avena 10 40 350

Formule el modelo de programación lineal para maximizar los ingresos netos. (Definir las variables de decisión, la función objetivo indicando las unidades de sus coeficientes, y las restricción indicando también las unidades de las tasa físicas y de los recursos) 1.2) La empresa "Color Corporation C.A." comercializa dos tipos de pinturas: SATINADA Y MATE. REQUERIMIENTOS DE MANUFACTURA Y PRECIO POR GALÓN Pintura SATINADA MATE

Cantidad mínima de solvente [unidad/galón] 80 50

Cantidad máxima de azufre [unidad/galón] 15 28

Precio de venta [Bs./galón] 3.100 2.000

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Se utilizan 3 tipos de pinturas base para fabricar las pinturas satinada y mate. CARACTERÍSTICAS DE LAS PINTURAS BASE Pintura Cantidad de Cantidad de Disponibilidad base solvente azufre [u/gal] Máxima [u/gal] galones bimestral Tipo 1 83 10 60.000 Tipo 2 60 20 50.000 Tipo 3 47 14 80.000

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Costo [Bs./galón] 2.500 1.800 1.500

La Color Corporation C.A. Se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 25.000 galones de pintura mate quincenalmente. Plantear este problema como un modelo de Programación lineal cuyo objetivo es mezclar las pinturas base de manera que las utilidades por ventas mensuales de las pinturas satinada y mate sean máximas. 1.3) Un distribuidor de cauchos puede enviar mercancía a los detallistas desde 3 sitios distintos: Caracas, Maracaibo y Barcelona. Dichos detallistas están en Cumaná Valencia y Mérida. Los costos de envío se muestran en la siguiente tabla:(Los precios vienen dados en miles de Bs. por miles de unidades y además la demanda y la oferta en miles de unidades). Las mercancías no distribuidas serán penalizada en un 30% del menor costo de transporte de esa distribuidora. Caracas Maracaibo Barcelona demanda

Cumaná 100 200 50 150

Valencia 50 150 150 250

Mérida 100 70 200 250

oferta 200 300 200

¿Qué rutas se deben usar para minimizar el costo total y cuál es ese costo? Plantear este problema como un modelo de Programación lineal 1.4) Una compañía fabricante de aparatos de televisión tiene que decidir entre el número (entero) de televisores con control y sin control que debe producir. Una investigación del mercado indica que por mes se pueden vender a lo más 1.000 unidades con control y 4.000 unidades sin control. El número máximo de horas-hombre disponibles es de 40.000 por mes. Un televisor con control requiere 20 horas-hombre y uno sin control requiere 15 horas-hombre. La ganancia por unidad de los televisores con control y sin control es de Bs. 7.200 y Bs. 3.600 respectivamente. Se desea encontrar el número de unidades de cada tipo de televisor que la compañía debe producir para maximizar su ganancia. Plantear el problema. 1.5) Una compañía manufacturera fabrica tres productos P1, P2 y P3. El proceso de producción utiliza dos materias primas, R1 y R2, que se procesan en dos instalaciones, F1 y F2. Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

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La disponibilidad diaria máxima de R1, R2, F1 y F2, y los usos por unidad de P1, P2 y P3 se citan en la tabla que sigue: Utilización por unidad de P1 P2 P3 ----------------------------

Disponibilidad diaria Recurso Unidades máxima --------------------------------------------------------------------------F1 minutos 1 2 1 430 F2 minutos 3 0 2 460 R1 libras 1 4 0 420 R2 libras 1 1 1 300 ------------------------------------------------------------------------------------------------------La demanda diaria mínima del producto P2 es de 70 unidades, en tanto que la de P3 no puede ser mayor de 240 unidades. Se estima que las contribuciones a la ganancia por unidad de P1, P2 y P3 son $3, $2 y $5 respectivamente. Plantear es problema como un modelo de P.L. (Definir claramente las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones) 1.6) Una cooperativa agrícola grande opera tres granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla Nº 1 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva tres tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla Nº 2 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en miles de m3 por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200 respectivamente. Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 3 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL. para el problema, que permita a la cooperativa determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maxímicen las utilidades totales esperadas para la cooperativa. TABLA Nº 1 Granja Disponibilidad de agua (m3 ) 1 480.000 2 370.000 3 890.000

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Disponibilidad de tierra (acres) 450 350 500

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TABLA Nº 2 Cultivo A B C

Granja 1 200 150 200

Granja 2 100 150 200

Granja 3 250 100 300

1.7) Una compañía fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de servicios electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción: horneado, lavado y laminado y por último pulimento. Sólo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación, se muestra en la tabla Nº 1. Los costos de las materias primas asociados con la fabricación de los aisladores son de $5 (aplicación general),$6 (aplicación especial) y $10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: $250 (horneado), $200 (lavado y laminado) y $100 (pulimento). Los precios unitarios de venta son $25, $39.75 y $67.50 para los tres productos respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora. Plantear el problema como un modelo de PL. TABLA Nº 1 Tipo de aislador

Horneado

Aplicación general Aplicación especial Alto voltaje

50 40 25

Lavado y Pulimento laminado 40 25 20 20 10 10

1.8) Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de animales para su granja con el objeto de maximizar sus utilidades por la venta de los animales al final del verano. Puede elegir entre comprar borregos, reses o cabras. Cada borrego requiere un acre de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Un borrego cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses esos valores son 4 acres, $30, $40 y $100; y para las cabras los valores son 1/2 acre, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2.500 para invertirlos en la compra y mantenimiento del rebaño. Por último, el granjero no desea que más del 40% de sus animales sean cabras, o que los borregos sean menos del 30%. Plantee este problema en forma de P.L. para maximizar las utilidades al final del periodo. 1.9) Alfredo tiene $2.200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo del 1 ó 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de 2 años. Además, Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

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al principio del segundo año de inversión, el banco ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año. Plantee este problema en forma de P.L. para maximizar sus ganancias totales al final del quinto año. 1.10) Una Factoría elabora dos productos que se pueden fabricar en dos líneas de producción. Ambos artículos logran sus menores costos cuando se fabrican en la línea de producción que es más moderna. Sin embargo, tal línea moderna no tiene capacidad para manejar el total de la producción. Como resultado, alguna parte de la producción tiene que manejarse a través de la línea de producción antigua. Enseguida se muestran los datos sobre los requerimientos totales de producción, las capacidades de las líneas de producción y los costos:

Producto 1 Producto 2 Cap. de producción

Costo unitario de producción Línea moderna Línea antigua 3$ 5$ 2,5$ 4,5$ 900 500

Producción mínima Requerimientos 600 unidades 700 unidades

Formule un modelo de programación lineal que puede utilizarse para tomar decisiones acerca de la producción que minimiza el costo total. 1.11) Cierta compañía tiene dos plantas que pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños, grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de Bs. 75, Bs. 66 y Bs. 55 respectivamente. Las plantas 1 y 2 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750 y 900 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño ó la combinación de tamaño que se pida. Sin embargo, la cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone una limitación en las tasas de producción. Se cuenta con 1.200 m2 y 1.000 m2 de espacio en las plantas, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere 2, 1.5 y 1 m2, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1.000 y 700 unidades diarias correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas, la gerencia ha decidido que la producción que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad con que cuentan. El Gerente quiere saber ¿Cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para Maximizar la ganancia? Formule este modelo como un problema de Programación Lineal. 1.12) Una Compañía fabrica fertilizantes especiales para clientes del mercado de cítricos. La compañía acaba de recibir un pedido de 1.000 toneladas (Tn.) de un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones: a) Cuando menos 20% de nitrógeno b) Cuando menos 30% de potasio Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

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c)

Cuando menos 8% de fosfato. La compañía ha adquirido cuatro mezclas de fertilizantes a partir de los cuales puede fabricar sus fertilizantes especiales. Los porcentajes de potasio, nitrógeno y fosfato que contienen los fertilizantes básicos son: Fertilizante Básico 1 2 3 4

Porcentaje de Potasio 20 10 40 5

Nitrógeno 40 30 20 5

Fosfato 10 5 5 30

Costo por Tn. de los Fer. básico $16 $12 $15 $8

El porcentaje restante de cada fertilizante básico consta de ingredientes inertes. Si utilizamos x1, x2, x3 y x4 para representar las toneladas de cada uno de los fertilizantes básicos que deben incluirse en la mezcla para minimizar el costo de las 1.000 toneladas del fertilizante que debe fabricarse. Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal. 1.13) Una empresa produce aceite monogrado y aceite multigrado, mezclando aceite común con dos aditivos. Por cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son:

Aceite monogrado Aceite multigrado

Aditivo I 3/20 1/4

Aditivo II 1/4 7/20

La empresa dispone de 120 litros de aditivo I, 175 litros de aditivo II y de una cantidad ilimitada de aceite común. Los precios por litro de aditivo I y II son respectivamente 200 Bs. y 160 Bs. y un litro de aceite común vale 80 Bs. El aceite monogrado se vende a 150 Bs. el litro y un litro de aceite multigrado vale 180 Bs. La producción combinada de los dos aceites tiene que ser superior ó igual a 400 unidades (una unidad es igual a un litro de aceite) Plantear y resolver el problema en forma gráfica. 1.14) Una fábrica produce tres artículos A, B y C, en las siguientes tres plantas que posee. La primera y segunda planta pueden fabricar los tres artículos pero la tercera solo los artículos A y C. La demanda de los artículos A, B y C son 600, 800 y 700 unidades diarias respectivamente. La primera como la tercera planta su producción es de 600 unidades diarias y la segunda planta es de 900 unidades diarias. El costo de fabricación $/unidad es:

Planta 1 2 3 Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

A 5 6 7

Artículos B 8 7 -

C 6 5 5

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Plantee el problema como un modelo de Programación Lineal. 1.15) Una compañía produce dos productos que son: semicuero y tela. Esta compañía tiene dificultades de capital, lo cual obliga a un manejo cuidadoso de este recurso escaso. La producción de cualquiera de los productos se demora un mes, y la venta se produce un mes después de su producción. En el caso de las telas, el costo total de producción es de $200 por unidad, de los cuales $100 se deben pagar de inmediato, para comprar la materia prima, y los restantes $100 al final del mes. En el caso del semicuero se debe pagar $25 de inmediato y $100 al final del mes. El precio de venta del semicuero es de $190,43 por unidad y el de la tela es de $362,10 por unidad. La compañía usa una tasa de retorno del 2% mensual. En el momento sólo dispone de $2.400, y dentro de un mes sólo dispondrá de $4.000. Además, el dinero que no se gaste de inmediato no podrá guardarse para dentro de un mes, porque el Auditor lo usara para pagos pendientes de otros compromisos. Plantear y resolver en forma gráfica el problema como un modelo de Programación Lineal, con el objetivo de maximizar el valor presente neto total (VPN). 1.16) El dueño de una destilería clandestina acaba de producir 1.700 litros de licor base a un costo de 80 Bs./lt. Por otra parte dispone de 2.300 lt. de alcohol que le costaron 110 Bs./lt. y de 280 lt. de colorantes cuyo costo es 150 Bs./lt.Nuestro empresario mezcla estos ingredientes para fabricar el Whisky tipo añejo y el Whisky tipo superior, que vende respectivamente a Bs. 600 y Bs. 750 el litro. El Whisky tipo añejo contiene al menos 30% y cuando más 45% de alcohol y por lo menos 8% de colorantes mientras que el Whisky tipo superior contiene no más de 50% de alcohol y al menos 5% y no más de 10% de colorantes. En el proceso de mezclado se pierde el 5% del alcohol utilizado por evaporación. - Plantear el problema como un modelo de Programación Lineal que confronta el empresario. 1.17) Una fabrica produce tres productos (A, B y C) los cuales están constituidos por tres materias primas que son: M1, M2 y M3. Se utiliza 3 litros de M1, 2 litros de M2 y 1 litro de M3 para formar una unidad del producto A; 4 litros de M1, 1 litro de M2 y 3 litros de M3 para formar una unidad del producto B y por ultimo 2 litros de M1, 2 litros de M2 y 2 litros de M3 para formar una unidad del producto C. Se disponen de 180 litros de la materia prima M 1, 120 litros de M2 y 240 litros de M3.. El Beneficio por una unidad del producto A es de $2, $4 del producto B y $3 del producto C. Plantear el problema. 1.18) Un barco posee tres espacios de almacenamiento. Los limites de capacidades son: Proa Centro Popa

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2.000 Tn. 3.500 Tn. 1.500 Tn.

3.000 m3 5.000 m3 2.500 m3

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Las ofertas de carga son: Carga A B

Cantidad (Tn.) 4.000 3.500

m3/Tn. 2,4 1,8

Beneficio Bs./Tn. 500 450

Se puede aceptar todo ó parte de un cargamento. Razones técnicas obligan a que la carga sea distribuida proporcionalmente a las capacidades limites en volumen (m3) Formule el problema como un modelo de programación lineal. 1.19) Una empresa, consumiendo todos los insumos (recursos) destinados para la producción, puede fabricar 20 unidades del producto 1 y ninguna del producto 2 ó 45 unidades del producto 2 y ninguna del producto 1. La empresa puede fabricar menos de 20 unidades del producto 1 y ninguna del producto 2 manteniendo unidades de recursos sobrantes. Para cubrir la demanda de uno de sus clientes debe producir por lo menos 15 unidades del producto 2. Históricamente la demanda del producto 1 ha sido siempre de 5 unidades. El producto 1 contribuye con 120 Bs./unidad a la utilidad total y el producto 2 con 400 Bs./unidad. Plantear el problema, resolverlo gráficamente indicando la región factible. 1.20) Una Compañía puede fabricar dos productos en su fábrica. Se requiere sólo un día para producir una unidad de cada producto, pero la producción esta limitada por el espacio en la fábrica y por la cantidad disponible de mano de obra los datos importantes se proporcionan en la tabla. Productos Área disp. m2/u Mano de obra/u Costo variable $/u Ingreso de venta $/u

1 10 2 20 30

2 30 1 30 50

Disponibilidad 900 m2 80 trabajadores

a) Plantear el problema como un Modelo de P. L. (usando Xj como la producción diaria del producto j) b) Resolverlo gráficamente indicando sus valores óptimos. c) ¿Cuánto debe variar el beneficio del primer producto para que siga la misma solución óptima del apartado b)? 1.21) Una fábrica produce dos productos A y B; la elaboración de una unidad de A se lleva Bs. 80 en mano de obra y Bs. 40 en materia prima; la elaboración de una unidad de B se lleva Bs. 40 en mano de obra y Bs. 120 en materia prima. El desgaste de equipo se supone proporcional a la producción y es de Bs. 2 por cada unidad de A y de Bs. 4 por unidad de B. Solamente se cuenta con Bs. 40.000 para mano de obra y con Bs. 72.000 para materia prima, y no se quiere que el desgaste del equipo exceda de Bs. 3.000. El ingreso por unidad de A es de Bs. 154 y de Bs. 184 para B. Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

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El objetivo de la fábrica es Maximizar su Beneficio. Formular el modelo y resuelva gráficamente. 1.22) Una Compañía fabrica un producto que tiene una demanda variable. La demanda que se ha pronosticado para los próximos tres meses son 2.200, 3.500 y 2.900, respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, la compañía ha encontrado que en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de almacenamiento; en tanto que otros meses no está en posibilidad de cubrir la demanda. La Compañía puede fabricar 2.300 artículos por mes en su turno normal. Utilizando tiempo extra, es posible fabricar 800 artículos mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de Bs. 35 por cualquier artículo que no se fabrique durante el turno normal. Se ha estimado que se incurre en un costo de almacenamiento de Bs. 15 por cualquier artículo que se fabrique en un mes determinado y no se venda durante el mismo. A la compañía le gustaría determinar un modelo óptimo de producción que minimice los costos adicionales de producción y almacenamiento; con el objetivo de satisfacer todas las demandas de ventas. 1.23) Una Compañía fabrica un tipo especial de molde que debe contener cuando menos 20% de hierro y 5% de plomo. La compañía tiene dos tipos de minerales a partir de los cuales puede fabricar los moldes. Los contenidos de hierro y plomo (expresados en porcentaje por Kg.) de los dos minerales aparecen en la siguiente tabla, así como los costos por tonelada de los minerales. Mineral Nº 1 Mineral Nº 2

Hierro(%) 60 13

Plomo(%) 10 3

Costo(Bs./Tn.) 2.600 800

La Compañía desea minimizar el costo total de los moldes. Plantear el modelo de P.L. y luego resolverlo gráficamente. 1.24) Una Compañía fabrica tres clases de zapatos: para damas, Caballeros y niños. Los tres tipos de zapatos se fabrican en dos plantas diferentes. En un día hábil de 8 horas, la planta Nº 1 fabrica 50 pares de zapatos para damas, 80 para caballero y 100 para niños. La planta Nº 2 fabrica 60, 60 y 200 respectivamente. La Compañía ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de calzados en 2.500, 3.000 y 7.000 pares, respectivamente. El costo diario de operación de la planta Nº 1 es de Bs. 250.000, mientras que el costo para la planta Nº 2 es de Bs. 350.000 diario. A la compañía le gustaría determinar el número óptimo de días de operación por mes en las dos diferentes plantas con el objetivo de minimizar el costo total de producción, al mismo tiempo que se satisface la demanda. Plantear el modelo de P.L. y luego resolverlo gráficamente. 1.25) Una empresa elabora dos (2) productos. Cada producto debe pasar por dos(2) centrales de maquinas. El producto A requiere de 4 horas por unidad en la central I y de 8 horas por unidad en la central II. El producto B requiere de 6 horas por unidad en la central I y de 4 horas por unidad en la Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

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central II. Las horas disponibles para procesar estos productos en los centrales de maquinas I y II en una semana son 120 horas y 160 horas respectivamente. El margen de beneficio de los productos A y B se han estimado en Bs. 40 y Bs. 60 por unidad. Formule el problema como un modelo de programación lineal. 1.26) Un fabricante dispone de tres (3) centrales de maquinas para elaborar dos productos A y B; de los cuales se requieren como mínimo la cantidad de 12 y 24 docenas diarias respectivamente. En la central de maquinas I se pueden producir una docena de A y una docena de B por hora de operación; en la central de maquinas II se elaboran 2 docenas de A y una docena de B y en la central de maquinas III se pueden elaborar solo 3 docenas de B. Si los costos de utilización de cada central de maquinas por hora de operación son de: Bs. 3, Bs. 18 y Bs. 6 respectivamente. Formule el problema como un modelo de programación lineal, con el objetivo de minimizar los costos y cumplir con la demanda diaria. 1.27) Una compañía fabrica tres tipos de válvulas de plástico que se utiliza en aviones. Las válvulas se calientan a altas temperaturas y resisten elevadas presiones. El proceso de manufactura que se utiliza para fabricar las válvulas exige que éstas pasen a través de tres departamentos. La válvula Nº 1 requiere tres horas de tiempo de producción en el departamento 1, dos horas en el departamento 2 y una hora en el departamento 3. La válvula Nº 2 requiere cuatro horas de tiempo de producción en el departamento 1, una hora en el departamento 2 y tres horas en el departamento 3. La válvula Nº 3 requiere dos horas de tiempo de producción en el departamento 1, dos horas en el departamento 2 y dos horas en el departamento 3. Las contribuciones en el beneficio de las tres válvulas son $50, $84 y $60 por unidad, respectivamente. Existen disponibles 60 horas de tiempo en el departamento 1, en el departamento 2 de 36 horas y 62 horas en el departamento 3. El objetivo es maximizar el beneficio. Si se define xj como la cantidad de válvulas j fabricadas por la compañía. Plantear el Modelo. 1.28) Alpaca, fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel “estándar” de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos mas angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos mas angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos: Ancho del rollo 80 plg. 70 plg. 60 plg. 50 plg. 40 plg.

Pedidos 1800 900 1200 1400 2600

A Alpaca le gustaría determinar el número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de Programación Lineal apropiado para este problema.

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1.29) Panpero, tiene dos máquinas distintas para procesar melaza y producir alcohol, azucar y papelón. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: Máquina 1 Máquina 2 Ganancia neta

Alcohol 0.3 min/galón 0.2 min/galón 0.72$/galón

Azucar 0.7 min/libra 0.5 min/libra 0.38$/libra

Papelón 1.2 min/libra 1.5 min/libra 0.22$/libra

Supóngase que se dispone de 15 horas en cada máquina diariamente. Como Gerente formule un modelo de PL para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias y produzca un mínimo de 500 galones de alcohol, 300 libras de azúcar y 200 libras de papelón. 1.30) Minerven puede comprar dos tipos de petróleo crudo: petróleo ligero a un costo de $35 por barril, y petróleo pesado a $18 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, aceite y grasa. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, aceite y grasa producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: Crudo ligero Crudo pesado

Gasolina 0.45 0.20

Aceite 0.25 0.35

Grasa 0.18 0.40

La compañía se ha comprometido a entregar 1.560.000 barriles de gasolina, 900.000 barriles de aceite y 300.000 barriles de grasa. Como gerente de producción, formule un modelo de PL para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. 1.31) Tuboven, tiene una máquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la máquina es utilizada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1.5 atascamiento y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamiento por hora. Cada atascamiento requiere 5 minutos de restablecimiento, durante los cuales la máquina no puede producir tubos. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posibles. Formule un modelo de PL para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuánto a la de tubos pequeños. 1.32) La asociación de estudiantes de una institución dispone de $100.000 y ha pensado invertirlos en dos negocios. El primero le reporta una utilidad de $25 mensuales, y el segundo $40 mensuales por cada $100 invertidos. Debido a ciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se debe invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no más del 50% en el segundo. Además, la cantidad invertida en el segundo negocio no debe ser mayor a 1,5 veces la cantidad invertida en el primer negocio. El objetivo de la asociación es obtener un rendimiento máximo en las inversiones. Obtenga e interprete económicamente las soluciones del modelo utilizando el Método Gráfico.

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1.33) Una compañía fabrica dos productos que requieren recursos P y Q. La gerencia quiere determinar cuántas unidades de cada producto fabricar de manera que se maximice la ganancia. Para cada unidad del producto 1 se requieren 2 unidades del recurso P y 5 del Q. Para cada unidad del producto 2 se requieren 4 unidades del recurso P y 2 del recurso Q. La compañía tiene 200 unidades del recurso P y 300 del Q. Además la producción conjunta de ambos productos tiene que ser por lo menos de 20 unidades. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 3 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $ 2, pero por limitaciones del sistema de producción, no se pueden fabricar más de 60 unidades del producto 2. Plantee el modelo de programación lineal, Resuelve gráficamente el problema. Interprete los resultados y además Si la gerencia ordena producir 4 unidades de 1 por cada unidad de 2. ¿Cuál es la solución del problema al introducir esta restricción? 1.34) Un inversionista tiene la posibilidad de realizar las inversiones A, B y C al principio de cada uno de los próximos cinco años. Cada dólar invertido en A al principio de un año genera una ganancia de $ 0,40; dos años después. Cada dólar invertido en B al principio de un año genera $ 0,70, tres años después. Cada dólar invertido en C al principio del año da una ganancia de 0,30 al final de ese año. Además, la inversión D estará disponible una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en D al principio del año 2 da $ 0,90 de ganancia al final del año 5. El inversionista dispone de $ 60.000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulado al principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 1.35) Un fabricante puede elaborar dos productos: A y B. Los requerimientos de mano de obra son 5 horas hombre por unidad de A y 10 horas hombre por unidad de B, en total se disponen de 800 horas hombre al mes. El departamento de mercadeo indica que mensualmente se pueden vender a lo sumo 80 unidades de A y 60 de B. Todos los meses se tiene asegurada la venta de por lo menos 40 unidades de la producción, sin importar el producto. La utilidad por unidad en cada producto es de Bs. 4.000 para A y Bs. 6000 para B. a) Plantee el modelo de programación lineal. b) Resuelve gráficamente el problema. Interprete los resultados. c) ¿Cuánto debe aumentar la utilidad unitaria del producto B para que cambie la solución obtenida en b?. d) Si la gerencia ordena producir 4 unidades de B por cada unidad de A. ¿Cuál es la solución del problema al introducir esta restricción? 1.36) Una compañía manufacturera esta en capacidad de producir tres productos; llámense 1, 2 y 3. En la siguiente tabla aparece la capacidad disponible que puede limitar la producción.

Máquina Fresadora Torno Rectificadora

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Producto1 8 5 4

Producto2 4 4 0

Producto3 5 0 8

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El número de horas-máquina que se requieren para producir cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (en horas máquinas por unidad) Máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible Horas-maquina por semana 500 350 150

El departamento de ventas ha indicado que las venta máximas del producto 3 son de 20 unidades por semana. Las ganancias unitarias son de $50, $30 y $20, respectivamente para los productos 1, 2 y 3. Se desea determinar el nivel de producción que maximiza la ganancia. a) Plantee el modelo de programación lineal. b) Resuelva el problema utilizando el método Símplex. Interprete los resultados. c) Cuánto estarías dispuesto a pagar por una hora adicional de la máquina fresadora. 1.37) Una empresa elabora tres (3) productos. Cada producto debe pasar por dos (2) centros de producción. El producto A requiere de 4 horas por unidad en el centro I y de 8 horas por unidad en el centro II. El producto B requiere de 6 horas por unidad en el centro I y de 4 horas por unidad en el centro II. El producto C requiere de 8horas por unidad en el centro I y de 4 horas por unidad en el centro II. Las horas disponibles para procesar estos productos en los centros de producción I y II en una semana son 168 horas y 216 horas respectivamente. El costo de producción en el centro I es de 5 $/hora y en el centro II es de 7 $/hora. El ingreso de los productos A, B y C se han estimado en $96, $68 y $83 por unidad. Resuelva e interprete la solución óptima del modelo con el objetivo de maximizar la ganancia. 1.38) Una entidad financiera tiene trescientos millones de bolívares disponibles para otorgar préstamos: puede prestar dinero a empresas, conceder hipotecas o conceder préstamos personales. Las políticas de la entidad limitan los préstamos personales a un máximo de un 30 % de todos los préstamos, mientras que la diferencia entre los préstamos a empresas y los prestamos hipotecarios no puede exceder a los 60 millones. También la entidad desea que los préstamos a empresas sean por lo menos 20 % más que los préstamos personales. Los intereses que devengan en promedio cada inversión son: 40 % los préstamos personales, 38 % los préstamos a empresas y 26 % los préstamos hipotecarios. Los fondos que no se presten, se invierten en valores a corto plazo a interés del 20 %. La entidad desea un programa para maximizar el rendimiento del capital invertido. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal.

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1.39) Responda, justificando, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a) En los problemas bidimensionales, la intersección de dos restricciones cualesquiera da un punto extremo de la región factible. b) La solución óptima siempre ocurre en un punto extremo. c)

El siguiente problema de P.L. Máx F= x s.a. x+y+z ≤ 10 -x-z ≥ 20 x, y, z ≥ 0 es no factible.

d) El siguiente problema de P.L. Máx Z= x+5 s.a. 2x-2y ≤ -4 -x+y ≥ 2 x, y ≥ 0 es no factible.

1.40) Resolver los siguientes problemas de programación lineal en forma gráfica: a) Max Z= 4x1+5x2 sa 2x1+3x2 ≤ 120 4x1+3x2 ≤ 160 1x1+1x2 ≥ 120 x1,x2 ≥ 0

b) Max Z=2x - 3y s.a. x+y ≤ 4 x+2y ≥ 2 -y≥ -3 x≥ 1 x+y ≥ 1 x,y ≥ 0

b1) Si en el problema anterior se cambia la función objetivo por Z= - 2x - 3y, ¿Cuál será la nueva solución? c)

Considere el siguiente problema de P.L. Máx Z= 50X+40Y s.a. X+Y ≥ 5 10X+15Y ≤ 150 20X+10Y ≤ 160 30X+10Y ≥ 135 X,Y ≥ 0

c1)

Determine la región de factibilidad y use el método gráfico para hallar la solución óptima.

c2)

¿Cuales restricciones son activas y cuales inactivas?

c3)

¿Cuales son los valores de remanente (déficit o superávit) asociado con cada restricción?

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c4)

Si se incorpora la restricción X - 3Y = 0. ¿Como queda la parte c1) de este problema?

d) Dado el siguiente problema: Máx Z= 15x+7y s.a. x+y ≤ 5 2y ≥ 2 6x+9y ≥ 18 -3y+x ≥ -6 x, y ≥ 0 d1) Identifique la nueva solución si se aumenta en una unidad el recurso correspondiente a la tercera restricción.

e) Máx Z = 2X+2Y s.a.

f)

sa - 2x1+2x2 ≤ 4

X-Y≥ 0 2 -Y ≤ 0 2Y + X ≤ 9 X -4 ≤ 0 X,Y≥ 0 g) Max Z= 21x+9y s.a. x+2y ≥ 6 5x+3y ≥ 15 7x+3y ≤ 42 y≤ 7 x,y ≥ 0 Además, indicar que tipo de solución es. 1.41) Dado el siguiente problema: Max Z = 5x + 2y S. a. 2x + 6y ≥ 18 5x + 4y ≥ 20 8x + 2y ≥ 16 6x + 6y ≤ 42 x, y ≥ 0 Guía de Problemas de Inv. Ope. Parte I Prof. Fernando Salazar

Max Z= 2x1+4x2

2x1+1x2 ≥ 8 x1,x2 ≥ 0

h)

Max Z=-2x - 4y s.a. 7x-4y ≤ 0 7x+4y ≥ 28 7x-2y ≥ -14 y≤ 9 x,y ≥ 0

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a) Use el método gráfico par encontrar la solución óptima, el valor óptimo de la función objetivo, las holguras y los excedentes, además indicar la región de factibilidad. b) ¿Cuál debe ser el coeficiente de “y” en la función objetivo de forma tal que haya soluciones óptimas alternas? 1.42) Resolver los siguientes problemas. (Indicando todos los valores) a) Máx Z = 2 x1 − x2 + 3 x3 s.a. x1 + x2 + x3 = 3 x1 − 2 x2 + x3 ≥ 1 2 x2 + x3 ≤ 2 xi ≥ 0 i = 1,2,3 c) Máx B = x - y + z +5 s.a. x+y+2z ≥ 4 x-2y+z ≤ 2 x,y,z ≥ 0

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b) Min. Z = 3 x1 − 3x2 − x3 + 2 x4 s.a. x1 − x2 − x3 ≥ 2 − x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 ≤ 1 x1 − x2 − x3 + x4 ≥ 4 xi ≥ 0 i = 1,2,3 ,4