UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Departamento de Geología y Minas e Ingeniería Civil Sección Matemáticas
Cálculo
Guía didáctica 6 Créditos Titulaciones
Ciclo
Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Físico Matemáticas Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Físico Matemáticas*
VIII
* Pénsum por asignaturas
Autor:
Marlon Agustín Carrión Martínez
Asesoría virtual: www.utpl.edu.ec
CÁLCULO Guía didáctica
Marlon Agustín Carrión Martínez UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDILOJA Cía. Ltda. Telefax: 593 - 7 - 2611418 San Cayetano Alto s/n www.ediloja.com.ec
[email protected] Loja-Ecuador Primera edición Tercera reimpresión ISBN: 978-9942-08-103-2
Esta versión impresa, ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons Ecuador 3.0 de reconocimiento -no comercial- sin obras derivadas; ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/ Abril, 2013
2. Índice 3.
Introducción ........................................................................................................ 6
4.
Bibliografía ......................................................................................................... 7
5. 6.
4.1Básica .......................................................................................................... 7 4.2 Complementaria ........................................................................................... 8 Orientaciones generales para el estudio .................................................................. 9 Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias ...................................................................................................... 11 PRIMER BIMESTRE 6.1 Competencias genéricas 6.2 Planificación para el trabajo del alumno 6.3 Sistema de evaluación de la asignatura 6.4 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
UNIDAD 1: FUNCIONES ............................................................................................................................. 12
1.1 Definición de funciones ........................................................................................... 12 1.2 Gráfica de una función ............................................................................................ 14 1.3 Operaciones con funciones ...................................................................................... 18 1.4 Funciones trigonométricas ....................................................................................... 19 AUTOEVALUACIÓN 1. ................................................................................................................................ 20 UNIDAD 2:LÍMITES.......................................................................................................................................21
2.1 Introducción a límites ............................................................................................. 21 2.2 Teoremas de límites ............................................................................................... 22 2.3 Límites que involucran funciones trigonométricas ........................................................ 23 2.4 Límites al infinito, límites infinitos............................................................................. 24 2.5 Continuidad de funciones ........................................................................................ 24 AUTOEVALUACIÓN 2 ................................................................................................................................. 25
SEGUNDO BIMESTRE 6.5 Competencias genéricas ....................................................................................... 26 6.6 Planificación para el trabajo del alumno................................................................... 26 6.7 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 28
UNIDAD 3: DERIVADAS ............................................................................................................................. 28
3.1 La recta tangente ................................................................................................... 28 3.2 La derivada ........................................................................................................... 29 3.3 Reglas para encontrar derivadas ............................................................................... 29 3.4 Derivadas de funciones trigonométricas ..................................................................... 30 3.5 La regla de la cadena ............................................................................................. 31 3.6 Derivadas de orden superior..................................................................................... 32 3.7 Derivación implícita ................................................................................................ 32 3.8 Diferenciales y aproximaciones................................................................................. 33 AUTOEVALUACIÓN 3 ................................................................................................................................. 34 UNIDAD 4: INTEGRALES ............................................................................................................................ 35
4.1 Integrales indefinidas.............................................................................................. 35 4.2 Introducción a ecuaciones diferenciales ...................................................................... 35 4.3 Introducción al área ................................................................................................ 37 4.4 La integral definida ................................................................................................ 38 4.5 El primer teorema fundamental de cálculo ................................................................. 39 4.6 El segundo teorema fundamental de cálculo y el método de sustitución.......................... 40 AUTOEVALUACIÓN 4 ................................................................................................................................. 42
7.
Solucionario ........................................................................................................ 43
Guía didáctica: Cálculo
PRELIMINARES
3. Introducción Una parte importante de la Matemática es el Cálculo, que nos ayuda resolver problemas relacionados a pendientes, áreas, volúmenes, velocidad, aceleración , etc. Ésta asignatura proporciona la formación específica y propia de la carrera; se ubica al final de nuestra malla curricular, es decir en octavo ciclo de la Escuela de Ciencias de la Educación Mención Físico Matemáticas en la Modalidad Abierta y a Distancia de la UTPL, por lo tanto estamos preparados con bases fundamentales de matemática, álgebra, geometría y trigonometría que se estudió en los ciclos precedentes preparándonos así para enfrentar este nuevo reto. El Cálculo nos invita a conocer, investigar o explícitamente hablando a calcular; esta asignatura busca que el alumno comprenda los principios y aplicaciones del estudio matemático, de las razones de cambio e incrementos infinitesimales y los aplique a la resolución de problemas. La presente guía es nuestro punto de partida, que lo llevará a recorrer su bibliografía básica por los contenidos propuestos para la aprobación de ésta asignatura, siendo altamente importante revisarla en su totalidad, tomando muy en cuenta la resolución de ejercicios propuestos y de sus autoevaluaciones al final de cada unidad. Tenga siempre presente que de tener alguna dificultad o cualquier inquietud, tiene el respaldo de su profesor tutor a través de los diferentes medios de contacto; nunca se sienta sólo. Revisaremos los conocimientos básicos o generales de cálculo, los mismos que se encuentran agrupados en cuatro unidades, distribuidos dos por cada bimestre. En el primer bimestre nos introduciremos con el estudio de las funciones seguido por el tema de Límites y en el segundo bimestre Derivadas e Integrales. Estamos a un paso de conseguir nuestra meta final, siga con ese espíritu de superación, sabemos que puede lograrlo.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja
5
Guía didáctica: Cálculo
PRELIMINARES
4. Bibliografía 4.1 Básica • Purcel, Edwin; Verberg, Dale y Rigdon, Steven (2007). Cálculo diferencial e integral. Novena edición. Pearson Educación. Impreso en México. 774p Este libro lo utilizamos por su total claridad en la resolución de ejercicios, por su ayuda de gráficas y demostraciones de conceptos, suposiciones y leyes. Así como de una introducción revisando los conocimientos básicos para la materia. • Carrión, Marlon (2011). Guía Didáctica de Cálculo. Loja-Ecuador. Editorial UTPL Tiene la finalidad de orientar al estudiante dónde debe centrar su estudio. 4.2 Complementaria • Stewart, James (2008). Cálculo Trascendentes Tempranas. Sexta edición. Cengage Learning Para complementar y ampliar nuestro estudio, he sugerido revisar en este libro las aplicaciones de la derivada y de la integral. • National Repository of online courses. Universidad de Guadalajara. Mexico. Disponible en: http:// www.cucsh.udg.mx/sitios/calculo/CalculoGralI/coursestart.html [Consulta 01-04-2011] Altamente recomendable visitar esta web; es un curso abierto en el que podrá encontrar videos, explicación, evaluaciones y ejercicios propuestos de forma dinámica e interactiva, referente a funciones, límites, derivadas e integrales.
6
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRELIMINARES
5. Orientaciones generales para el estudio Estimado estudiante: El camino recorrido a través de los diferentes semestres, han inculcado en usted la metodología de estudio adecuada para conseguir la aprobación de las materias precedentes; por lo que me remito solicitarle que en base a estas orientaciones consolide o fortalezca aún más su forma de aprendizaje, teniendo como sugerencias para el desarrollo de ésta materia las siguientes: • Tener a disposición el material básico con el que se va a trabajar (Texto básico y Guía didáctica con su evaluación a distancia), aclarando que es importante para un óptimo desempeño reforzar sus conocimientos revisando el material complementario. • Tenga presente que la asignatura está dividida en dos partes, para el primer bimestre estudiaremos las unidades correspondientes a funciones y límites; mientras que el segundo bimestre abordaremos los temas referentes a la derivada y la integración. • Empiece revisando su guía didáctica; aquí conocerá las unidades y partes del libro base a tratar, actividades (ejercicios y preguntas) a desarrollar direccionando su aprendizaje. • En caso de que tenga dudas o inquietudes, recuerde que puede consultar a su profesor tutor por medio del teléfono en los horarios de tutoría o a través del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA). • Ingrese al EVA por lo menos una vez a la semana, ahí encontrará información que le será de gran ayuda para la comprensión de la materia. • Para trabajar en la evaluación a distancia: en la parte objetiva conforme vaya avanzando en la revisión de su texto básico, conteste los ítems propuestos, no es aconsejable buscar las respuestas de forma directa. En la prueba de ensayo, se sugiere tener predispuestas las reglas, teoremas y fórmulas en conjunto (formulario), también puede ayudarse revisando ejercicios desarrollados que tengan una propuesta similar. • Entre más ejercicios desarrolle, mayor será su dominio de los temas tratados; trate de entender casos especiales que se presenten en los mismos. • Recuerde desarrollar todas las autoevaluaciones propuestas en su guía didáctica; ya que ello le ayudará a medir el nivel de conocimiento adquirido en cada tema estudiado, permitiéndole estar plenamente preparado para rendir sus pruebas presenciales. Seguro de su buen desempeño, le anhelo éxitos en su desarrollo.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja
7
Guía didáctica: Cálculo
PRELIMINARES
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias
PRIMER BIMESTRE 6.1 Competencias Genéricas Capacidad para plantear y resolver problemas. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. 6.2 Planificación para el trabajo del alumno
COMPETENCIAS ESPECIFICAS
INDICADORES DE APRENDIZAJE
Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma que se faciliten, su análisis, solución e interpretación en sus contextos
1. Relaciona la definición de funciones.
2. Plantea funciones a partir de sus características
originales. 1. Formular 2. Traducir 3. Analizar 4. Resolver 5. Interpretar
3. Traduce de forma simbólica y gráfica las características de las funciones. 4. Aplica las operaciones de funciones.
CONTENIDOS Unidades/Temas UNIDAD 1: FUNCIONES 1.1. Definición de funciones 1.2 Gráfica de una función 1.3 Operaciones con funciones 1.4 Funciones trigonométricas Autevaluación 1.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Lectura comprensiva de la primera unidad de la guía didactica y bibliografía complemetaria referente al tema. Revisar y participar costantemente en el EVA.
CRONOGRAMA ORIENTATIVO tiempo estimado Semana 1,2,3 y 4: 8 horas de autoestudio 4 horas de interacción
Practicar realizando gráfi cas de funciones. Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto base. Resolver la autoevaluación al final de la unidad e inicie el desarrollo del trabajo a distancia.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja
9
Guía didáctica: Cálculo
1. Realciona teoremas de límites. 2. Determin los límites de una función 3. Determina los límites infinitos. 4. etermina contiuidad a discontinuidad de funciones.
PRIMER BIMESTRE
UNIDAD 2: LÍMITES 2.1 Intrducción a los límites 2.2. Teoremas de límites. 2.3 Límites que involucran funciones trigonometricas. 2.4 Limites al infinito, limites infinitos. 2.5 Continuidad de funciones Autoevaluación 2
1. Lectura comprensiva del texto básico correspondiente a la unidad. 2. Revisar y participar constantemente en el EVA.
Semana 5,6,7 y 8: 8 horas de autoestudio 4 horas de interacción
3. Desarrollar un formulario. 4. Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto. 5. Resolver la autoevaluación al final de la unidad y finalice el desarrollo del trabajo a distancia.
Repaso de las unidades de la 1 al 2
10
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Preparación para la evaluación presencial para el primer bimestre
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
6.3 Sistema de evaluación de la asignatura (Primero y segundo bimestre)
3. Coevaluación
x x x x x x x x
Interacción en el EVA
x
x
x x
x
x
x
x
x
Prueba Objetiva y de Ensayo
Parte de Ensayo
x x x
x
20% 30%
x
x
x
x
x
x
x
x
Puntaje
2
4
6
TOTAL
x 70%
14
20 Puntos
Actividades Presenciales y en el eva
PORCENTAJE
Estrategia de Aprendizaje
x
Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas
Máximo 1 punto (Completa la evaluación a distancia)
Actitudes
x x
x
Habilidades
x
x
10%
x
Conocimientos
Evaluación Presencial
x
x
x
Aporta con criterios y soluciones
x
Investigación (cita fuentes de consulta)
x
Dominio del contenido
x
Emite juicios de valor argumentadamente
x
Presentación, orden y ortografía
x
x
Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo
x
Creatividad e iniciativa
x
Respeto a las personas y a las normas de comunicación
x
Esfuerzo e interés en los trabajos
x
Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad
x
Comportamiento ético
x
Competencia: Criterio
Evaluación a Distancia** Parte Objetiva
Formas de Evaluación
1. Autoevaluación*
2. Heteroevaluación
Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%. *
Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje.
**
Recuerde: que la evaluación a distancia del primer bimestre y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario.
Señor estudiante:
Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
11
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
6.4 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
UNIDAD 1:
FUNCIONES
Como punto de partida para nuestra visión del cálculo básico, hemos creído conveniente iniciar nuestro estudio con el tema de las funciones, para introducirnos posteriormente con el estudio de los límites, derivadas e integrales. Solicito a usted por favor revisar su texto base en el apartado relacionado al tema funciones y sus gráficas 1.1. Definición de funciones Una función f es una regla de correspondencia o de asignación, en donde a cada valor que ingresa le corresponde uno de salida. Representación: x
F(x) = 3x+1
f (x)
1
4
-1
-2
a
3a + 1
Ejemplos: Relacionar la definición de funciones en el siguiente ejemplo: 1) Sea f(x) = x2 + 2 encontrar f(5); f (1/2 ); f(2b) Bien aquí tenemos nuestro primer ejemplo, reemplazamos los valores 5, 1/2 y 2b en la función f(x) = x2 + 2. -
Se ingresa el valor 5 a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 27.
-
Se ingresa el valor 1/2 a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 9/4.
-
Se ingresa el valor 2b a la ecuación x2 + 2, obtenemos como salida 4b2 + 2.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
13
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Tenemos: f(5) = (5)2 + 2 = 25 + 2 = 27 2
1 1 1 9 f + 2 + 2 4 4 2 2 f(2b) = (2b)2 + 2 = 4b2 + 2
¿Qué pasa si le doy valores negativos, es decir (-5), (-1/2) y (-2b)? Representándolo en los diagramas tenemos: x
F(x) = x2 + 2
s
f (x)
27
1 2
9 4
b
b2+2
Bien; una vez que hemos entendido la definición de función, vamos a denotar sus características: En una función encontramos: Dominio: Son todos los valores que le damos a nuestra función, enmarcados en un conjunto que caracteriza la similitud de los mismos. Por ejemplo; en la siguiente función f(x) = 1/(x-3) Cualquier valor se puede ingresar en la función; excepto el número 3 porque tendríamos una división para cero; por lo tanto el conjunto que caracteriza a este dominio es: {x: x ≠ 3} x → R. Descripción del dominio, el dominio de la función f(x) = 1/(x-3) es el conjunto de las x, tal que x es diferente de 3; en donde x pertenece a los números Reales. Rango: Son todos los valores que obtenemos como respuesta al realizar las operaciones indicadas en nuestra función con los diferentes valores que ingresan. Por ejemplo en la siguiente función f(x) = x2 Cualquier valor que ingrese a la función nos dará como respuesta un valor positivo; por lo tanto el conjunto que caracteriza a este rango o codominio es: {x: x} x → R+.
14
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Descripción del rango, el rango, contradominio o codominio de la función f(x) = x2 es el conjunto de las x, tal que x pertenece a los números Reales Positivos. Variable dependiente: Es la variable que se encuentra dependiendo del valor que ingresa en la función, es decir en la ecuación de la forma y = f(x); su variable dependiente sería y. Variable independiente: Es la variable que no se sujeta a cambios en base a operaciones que se representan en una función, es decir en la ecuación de la forma y = f(x); su variable independiente sería x. 1.2.
Gráfica de una función Para elaborar la gráfica de una función, debemos tomar en cuenta el siguiente procedimiento: 1. 2. 3. 4. 5.
Construir una tabla de datos en la que conste las variables dependiente e independiente. Dar valores a la variable independiente para encontrar los valores de salida. Representación de un par ordenado en el plano cartesiano. Tener en cuenta que en algunas funciones existen asíntotas. Dibujar la gráfica, alineando o suavizando todos los puntos representados.
Por ejemplo; graficar f(x) = x² + 1 x f(x) = x² + 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
(-3)² + 1 = 10 (-2)² + 1 = 5 (-1)² + 1 = 2 (0)² + 1 = 1 (1)² + 1 = 2 (2)² + 1 = 5 (3)² + 1 = 10
Graficar g(x) = 2/(x-1)
x
g(x) = 2/(x-1)
-3
2/ (-3-1) = -1/2
0
2/ (0-1) = -2
-2 -1 1 2 3
2/ (-2-1) = -2/3 2/ (-1-1) = -1 2/ (1-1) = ∞ (asíntota) 2/ (2-1) = 2 2/ (3-1) = 1
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
15
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones? Función Par
Función Impar
Si f(-x) = f(x) Su gráfica es simétrica con el eje y
Si f(-x) = -f(x) Su gráfica es simétrica con respecto al origen
Para comprender mejor, vamos a revisar los siguientes ejemplos: Especifique gráfica y analíticamente si las siguientes funciones son par, impar o ninguna de las dos. 1.- f (x) = 2 x + 1 Analíticamente: Reemplazamos –x por x f (-x) = 2 (-x) + 1 f (-x) = -2 x + 1 Pregunta:
¿ f (-x) = f (x) ?
ó
¿ f (-x) = - f (x) ?
Verificamos -2 x + 1 ≠ 2 x + 1 -2 x + 1 ≠ - (2 x + 1) -2 x + 1 ≠ -2 x – 1 Conclusión: Como ninguna de las dos igualdades son correspondientes, decimos que la función no es par ni impar. Gráficamente:
16
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Tabla x
Gráfica
2 (-3) + 1 = -5
-2
2 (-2) + 1 = -3
-
La gráfica no es simétrica con el eje y.
-
La gráfica es una recta.
2 (1) + 1 = 3
-
La función no es par ni impar.
-1
2 (-1) + 1 = -1
2
2 (2) + 1 = 5
0
2 (0) + 1 = 1
1 3
2.-
-
f(x) = 2 x + 1
-3
Conclusión La gráfica no es simétrica con el origen.
2 (3) + 1 = 7
f (u ) =
u3 8
Analíticamente: Reemplazamos –u por u f (u ) =
u3 8
f (−u ) =
(−u 3 ) 8
Pregunta:
¿ f (-u) = f (u) ?
Verificamos
u3 u − ≠ 8 8
3
ó
¿ f (-u) = - f (u) ?
u3 u − =− 8 8
3
Conclusión: De las igualdades correspondientes vemos que f (-u) = - f (u), por consiguiente
u3 es una función impar. f (u ) = 8
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
17
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Gráficamente:
TABLA u -3 -2 -1 -0 1 2 3
f (u ) =
GRÁFICA
CONCLUSIÓN • La gráfica es simétrica con respecto del origen. • La gráfica no es simétrica con el eje y. • La gráfica es una curva. • La función no es par, es impar.
u3 8
(−3)3 27 =− = −3, 4 8 3 8 (−2) −8 = = −1 8 3 8 (−1) −1 = = −0,125 8 8 03 0 = = 0 8 3 8 (1) 1 = = 0,125 8 8 (2)3 8 = = 1 83 8 (3) 27 = = 3, 4 8 8
¿Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones?. Explique gráfica y analíticamente si la siguiente función es par: h (x) Existen otro tipo de funciones que le sugerimos revisar (función valor absoluto, función máximo entero, función constante, función identidad y función polinomial).
Función
Simbología
Valor absoluto
18
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Gráfica
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
[x]
Máximo entero
La función constante f(x) = 4
Constante
f (x) = k , k es una constante
La función identidad f(x) = x
f (x) = x
Identidad
∫ ( x) = a x n
Polinomial Lineal (Primer grado) Cuadrática (Segundo grado)
n
+ an −1 x n −1 + ... + a1 x1 + a0 Recta
f (x) = ax + b
Parábola f (x) = ax2 + bx
¿Cuál es el dominio y el rango de las anteriores funciones? 1.3
Operaciones con funciones Operación
Simbología
Aplicación : f (x) = x + 2 ; g (x) = x
Suma Diferencia Producto Cociente Potencia
f (x) + g (x) f (x) - g (x) f (x) . g (x) f (x) / g (x) f²(x)
(x+2) + x = 2x + 2 (x+2) - x = 2 (x+2) . x = x² + 2x (x+2) / x (x+2)² = x² + 2x + 4
Composición
g o f (x) = g (f(x))
g (x+2) = x+2
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
19
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Composición de funciones: La composición de funciones la explicamos a través del siguiente ejemplo. Tenemos las siguientes funciones: f (x) = x + 2 ; g (x) =
x
- Composición de f en g f o g (x) = f (g(x)) = f ( x ) =
x +2
- Composición de g en f g o f (x) = g (f(x)) = g (x+2) = ( x + 2) - Composición de f en f f o f (x) = f (f(x)) = f (x+2) = x + 2 + 2 = x+4 - Composición de g en g
x) g o g (x) = g (g(x)) = g (=
= x
4
x
¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones compuestas? Investiguemos: ¿Cuándo una función es creciente o decreciente?. Puede ayudarse revisando en el texto complementario. 1.4 Funciones Trigonométricas Para un completo entendimiento de este tipo de funciones, remítase al apartado 0.7 del texto base y sobre todo es importante graficar las funciones trigonométricas en donde debe tener en cuenta sus diferentes propiedades como su dominio, rango, periodo, amplitud, simetría. A continuación se detallan algunas identidades trigonométricas, que nos servirán para resolver diferentes operaciones en el transcurso de nuestro estudio de esta asignatura. Teniendo en cuenta que en los ciclos precedentes, sobre todo en la materia de Trigonometría se revisó minuciosamente este tema.
20
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Identidades par-impar
Identidades de las cofunciones
π − x = cos x 2
sen ( -x ) = - sen x
sen
π − x = sen x 2
cos ( - x ) = cos x
cos
π − x = cot x 2
tan ( - x ) = - tan x
tan
Identidades pitagóricas
Identidades para la suma de ángulos
sen ² x + cos ² x = 1
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y
1 + tan ² x = sec ² x
cos (x + y ) = cos x cos y - sen x sen y
1 + cot ² x = csc ² x
tan (x + y ) =
Identidades del ángulo doble
Identidades del medio ángulo
sen 2x = 2 sen x cos x
1 − cos x x sen =≠ 2 2
cos 2 x = cos ² x - sen ² x
1 + cos x x sen =≠ 2 2
tan x + tan y 1 − tan x tan y
= 2 cos ² x - 1 = 1 - 2 sen ² x Identidades aditivas
x + y cos x − y 2 2
sen x + sen y = 2 sen
x− y x+ y cos 2 2
cos x + cos y = 2 cos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
21
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 1 A. Conteste con una V si es verdadero o F si es falso, cada uno de los enunciados siguientes. 1. Dominio, son todos los valores que le damos a nuestra función. 2. De y=f(x), x es la variable dependiente. 3. El rango de la función y = x2 es [0, ∞). 4. La función
∫ ( x)
x3 + 3 x es una función par. x 4 + 3x 2 + 4
5. Si f(-x) = -f(x) para toda x, la gráfica es simétrica con respecto al origen. A tal función la llamamos función impar. B. Resolver los siguientes enunciados. 6. Dado que f es la función definida por f(x) = x2 + 3x – 4. Determine f(x-h). 7. Dado que f y g son las funciones definidas por f(x) = √ (x+1) y g(x) √ (x-4)= defina (f . g) y determine el dominio de las funciones resultantes. 8. Dado que f y g están definidas por f(x) =√x y g(x) = x² - 1 calcule f o g. 9.
10.
Trace la grafica de la función y a partir de la gráfica conjeture si la función es par, impar o ninguno de los dos tipos; después confirme la conjetura analíticamente. f(x) = 3x⁴- 2x²+7. Demostrar si la suma de dos funciones pares, su resultado también es una función par.
En nuestra bibliografía complementaria, recomendamos visitar la siguiente página web http://www. cucsh.udg.mx/sitios/calculo/CalculoGralI/coursestart.html que es un curso abierto que le ayudará de manera interactiva y minuciosa revisar los temas tratados en este capítulo. Así mismo, esté pendiente de los anuncios que se irán colocando en el EVA. Como habrá visto, hemos revisado un tema que ya se ha tratado en las materias precedentes, el dominio del mismo es requisito indispensable para el entendimiento de los siguientes temas a revisar en esta asignatura.
22
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
UNIDAD 2:
LÍMITES
2.1 Introducción a límites La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea secante1.
Revise el apartado problemas que conducen al concepto de límite del texto base, para que se vaya formando una idea intuitiva del ¿el por qué del estudio de los límites?. Para precisar el concepto, proponemos los siguientes ejercicios: Encuentre el lim x →1 (5 x − 2) Procedemos a remplazar el valor que tiende a -1 en la función; Cuando x, está cerca de -1; estará cerca de 5 (-1) – 2 = -7. Por tanto:
lim x →−1 (5 x − 2) = −7 Resolver lim x →2
( x 4 − 16) x3 − 8
En este tipo de ejercicios, no podemos aplicar directamente el remplazo en la función. Tenemos que factorar con el fin de que al momento de remplazar encontremos el límite de la función.
Entonces:
(x
− 16 )
( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 4) = ( x 2 + 4) ( x 2 − 4)( x 2 + 4) �� = = x3 − 8 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2 ) ( x + 2) 2 ( x + 2) 4
2
En este momento observamos que, la expresión ya no puede ser más reducida; por lo que procedemos a remplazar el valor de 2, quedando: 1
Stewart, James (2008). Cálculo Trascendentes Tempranas. Sexta edición. Cengage Learning. pp82
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
23
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Actividad complementaria
Revisar el tema de los límites laterales. 2.2 Teoremas de límites Sea n un entero positivo, k una constante y f, g funciones que tengan límites en c. Entonces:
La aplicabilidad de este teorema principal de límites y otros más, los vemos reflejados y explicados detalladamente en el apartado teoremas de límites de nuestro texto base.
Determine Aplicación del teorema principal de los límites.
24
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
Los círculos representan la justificación de los teoremas de límites expuestos en el inicio de este apartado.
Desarrolle el ejercicio anterior probando cuando el límite tiende a -4. 2.3 Límites que involucran funciones trigonométricas Para todo número real c, en el dominio de la función
Determine
3 x tan x x →0 sin x
lim
Desarrollo
lim x →0
=
3 x tan x 3(sin x / cos x) 3x = lim = lim x → 0 x → 0 sin x sin x cos x
0 =0 1
Actividad complementaria
Revisar el tema de límites trigonométricos especiales. 2.4 Límites al infinito, límites infinitos
lim x →∞
Límites al infinito: Encuentre el lim x →∞
1 =0 xk
x x −5
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
25
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
x 1 1 x lim x →∞ = x = = =1 5 x 5 − 1 0 x −5 − 1− x x t2 Encuentre el limt →∞ 7 − t2
limt →∞
t2 t t2 = 1 = 1 = 1 = 7 7 − t2 7 − t2 −1 0 −1 2 2 t t 2
Límites infinitos:
lim x →c+ ∫ ( x) = +∞
Encuentre el
;
lim x →5+
lim x →c− ∫ ( x) = −∞ x2 ( x − 5)(3 − x)
lim x →5−
;
x2 ( x − 5)(3 − x)
lim x →5+
x2 ; x 2 → 25; x − 5 → 0+ ; 3 − x → −2; = −∞ ( x − 5)( x − 3)
lim x →5−
x2 ; x 2 → 25; x − 5 → 0− ; 3 − x → −2; = ∞ ( x − 5)( x − 3)
Para que clarifique el entendimiento de límites al infinito y límites infinitos, es necesario que revise la teoría como los ejercicios desarrollados en el apartado correspondiente del texto base. 2.4 Continuidad de funciones Una función es continua si cumple las siguientes condiciones: -
lim x →c f ( x) existe
-
f (c) existe (es decir c está en el dominio de f)
-
lim x →c f ( x) = f (c)
Para una mejor comprensión, veremos si la siguiente función es continua o discontinua: f (x) = (x-3) (x-4) ; probamos las condiciones -
26
lim x →3 f ( x) = (3 − 3)(3 − 4) = 0 entonces existe para cualquier valor de c
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
PRIMER BIMESTRE
-
f(3) existe (es decir c está en el dominio de f)
- lim x →3 f ( x) = f (3); 0 = 0 La función cumple con las tres condiciones, entonces concluimos que es una función continua. Ahora probemos con la siguiente función:
h( x )
3 x −5
; probamos la condiciones
3 3 = entonces no existe ( x − 5) (0)
-
lim x →5 h( x)
-
f(5) no existe (es decir c no está en el dominio de f)
La función no cumple con las tres condiciones, entonces concluimos que es una función discontinua. Para referirse a la continuidad de diferentes funciones remítase al apartado 1.6 del texto base, en las que incluso se denotan algunos teoremas que le servirán para concluir si una función en un determinado intervalo o si la función resultante de una composición cumple con esta característica de continuidad.
Autoevaluación 3
A. Conteste con una V si es verdadero o F si es falso, cada uno de los enunciados siguientes. 1. La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea secante. 2. El lim x →−1 (5 x − 2) = 3 3. Sea n un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en c. Entonces el lim x →c x es igual a k. 4. El limt →c sen(t ) = cos(c) 5. El lim x →∞
1 =0 xk
B. Resolver los siguientes enunciados. 6.
Resolver el ejercicio 10 del texto guía, página 73 del texto base.
7.
Resolver el ejercicio 7 del texto guía, página 77 del texto base.
8.
Resolver el ejercicio 4 del texto guía, página 81 del texto base.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
27
Guía didáctica: Cálculo
9. 10.
SEGUNDO PRIMER BIMESTRE BIMESTRE
Resolver el ejercicio 33 del texto guía, página 81 del texto base. ¿Cuándo una función es continua?
Hemos revisado nuestro primer tema propiamente relacionado a la materia; si usted tubo inconvenientes en su entendimiento, recuerde que su profesor tutor está siempre disponible en los horarios de tutoría o a través del EVA para que le manifieste sus inquietudes. Es importante que usted desarrolle los ejercicios propuestos en el texto guía para un mejor adiestramiento en el tema. - Siempre obtiene respuestas el que persevera -
Actividad complementaria
28
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TÉCNICA TÉCNICA PARTICULAR PARTICULAR DE DE LOJA LOJA
La La Universidad Universidad Católica Católica de de Loja Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
SEGUNDO BIMESTRE 6.5 Competencias Genéricas Capacidad para plantear y resolver problemas. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
6.6 Planificación para el trabajo del alumno COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
INDICADORES DE APRENDIZAJE
CONTENIDOS
Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma que se faciliten, su análisis, solución e interpretación en sus
1. Relaciona las reglas de la derivada.
UNIDAD 3: DERIVADAS 3.1. La recta tangente 3.2 La derivada 3.3 Reglas para encontrar derivadas 3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 3.5 La regla de la cadena 3.6 Derivadas de orden superior 3.7 Derivada implícita 3.8 Diferenciales y aproximaciones Autevaluación.3
contextos originales.
2. Traduce simbólicamente problemas reales. 3. Aplica la simplicación y equivalencia de funciones trigonométricas. 4. Dtermina la derivada de una función.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Unidades/Temas Lectura comprensiva de la primera unidad del texto basico y bibliografía complemetaria correspondiente a la unidad.
CRONOGRAMA ORIENTATIVO Tiempo estimado Semana 1,2,3 y 4: 8 horas de autoestudio 4 horas de interacción
Revisar y participar costantemente en el EVA. Desarrollar un formulario. Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto base. Resolver la autoevaluación al final de la unidad e inicie el desarrollo del trabajo a distancia.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
29
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
UNIDAD 4: INTEGRALES
1. Relaciona las reglas de la integración. 2. Calcula el área de uan región determinada. 3. resuelve ejercicios con la integral definida.
4.1 Introducción a área. 4.2 La integral definida. 4.3 El primer teorema fundamental de cálculo 4.4 El segundo teorema fundamental de cálculo y el método de sustitución 4.5 El teorema del valor medio para integrales y el uso de la simetría. 4.6 Integración numérica. Autoevaluación 4
Repaso de las unidades de la 3 y 4.
30
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
1. Lectura comprensiva del texto básico correspondiente a la unidad. 2. Revisar y participar constantemente en el EVA.
3. Desarrollar un formulario. 4. Analizar los ejercicios desarrollados en la guia y en el texto. 5. Resolver la autoevaluación al final de la unidad y finalice el desarrollo del trabajo a distancia.
Preparación para la evaluación presencial para el primer bimestre
Semana 5,6,7 y 8: 8 horas de autoestudio 4 horas de interacción
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
UNIDAD 3:
DERIVADAS
Resolver el repaso del capítulo 1 del texto base.
3.1 La recta tangente En un solo punto.
En más de un punto.
El concepto de límite proporciona la mejor manera de obtener una descripción de la tangente en una curva.
mtan = lim h→0 msec = lim h→0
f (c + h ) − f (c ) h
En el apartado correspondiente del texto base, usted encontrará ejercicios referentes a este tema, destacando los problemas en los que se referencia a la velocidad promedio y la velocidad instantánea. Ejemplo: Si una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su distancia dirigida (medida desde el origen) después de t segundos es (-t2 + 4t) pies, ¿cuándo la partícula está momentáneamente detenida? (Es decir, ¿en qué momento su velocidad instantánea es cero?). Relación y planteamiento: f(t) = - t² + 4t Aplicación de la fórmula de la velocidad instantánea:
v = lim h→0
−(c + h) 2 + 4(c + h) − (−c 2 + 4c) h
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
31
Guía didáctica: Cálculo
= lim h→0 = lim h→0
SEGUNDO BIMESTRE
−c 2 − 2ch − h 2 + 4c + 4h + c 2 − 4c h h ( −2c − h + 4 ) = −2c + 4 h
-2c + 4 = 0 cuando c = 2 La partícula está momentáneamente detenida cuando t = 2. Tomando este ejercicio como punto de partida, revisemos en nuestro texto guía los ejercicios que están desarrollados en el apartado 2.1 y pongamos nuestro conocimiento en prueba desarrollando los ejercicios propuestos. 3.2 La derivada La derivada f ´ de una función es otra función.
f '( x) = lim h→0
f ( x + h) − f ( x ) h
f '(c) = lim x →c
f ( x ) − f (c ) x−c
Determinar la derivada de: s (x) = 2x + 1
s '( x) = lim h→0
s ( x + h) − s ( x ) h
[ 2( x + h) + 1] − (2 x + 1) = lim h→0 h 2h = lim h→0 =2 h Para mejor comprensión de la aplicabilidad de estas fórmulas la observamos en los ejercicios desarrollados en el apartado respectivo de nuestro texto básico. Así mismo, poner mucha atención en el teorema que expresa que derivabilidad implica continuidad.
3.3 Reglas para encontrar derivadas. Función constante: f (x) = k ; f ' (x) = 0 Función identidad: f (x) = x ; f ' (x) = 1 Potencia:
f (x) = x ⁿ; f ' (x) = n x ⁿ⁻¹
Múltiplo constante: ( k f' ) (x) = k f ' (x) Suma:
32
(f + g )' (x) = f ' (x) + g' (x) UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Resta:
(f - g)' (x) = f ' (x) - g' (x)
Producto:
(f . g)' (x) = f (x) g' (x) + g (x) f ' (x)
Cociente:
f g ( x) f '( x) − f ( x) g '( x) '( x) = g 2 ( x) g 1 2 3x + 1
Determine la derivada de
1 2 3x + 1
Dx
Justificación
Cociente
Aplicación
(3x 2 + 1) Dx (1) − (1) Dx (3 x 2 + 1) (3 x 2 + 1) 2
Potencia e Identidad
(3 x 2 + 1)(0) − (6 x) (3 x 2 + 1) 2
Simplificación
(6 x ) (3 x 2 + 1) 2
x2 − 2 x + 5 2 x − 2x − 3
ACTIVIDAD: Ahora usted determine la derivada de Dx
x2 − 2 x + 5 2 x − 2x − 3
Justificación
Aplicación
Cociente
________________
Potencia e Identidad
________________
Simplificación
________________
3.4 Derivadas de funciones trigonométricas Dx (sen x) = cos Dx (tan x) = sec2 x Dx (sec x) = sec x . tan x
Dx (cos x) = - sen x Dx (cot x) = - csc2 x Dx (csc x) = - csc x . cot x
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
33
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Para pensar: Determine
Dx (csc x)
Con las igualdades anteriores podemos sacar directamente el resultado que es: Dx (csc x) = - csc x . cot x ¿Podríamos obterner el resultado anterior, si no tuviéramos esa igualdad? Pruebe con csc x = 1/sen x Si obtuvo la respuesta comprenderá que éstas reglas en conjunto con las identidades trigonométricas que revisamos en el capítulo 1, nos servirán para entender los ejercicios desarrollados en el texto base y así mismo para resolver los ejercicios propuestos. He, aquí la importancia que tiene la revisión del tema de funciones en esta materia. 3.5 La regla de la cadena Antes de iniciar con la aplicación de la regla de la cadena es muy importante revisar la Notación de Leibniz, respecto de la derivada. Cuando tenemos inconvenientes para calcular la derivada de una función con las reglas anteriormente expuestas; la regla de la cadena es nuestro camino a seguir. La regla de la cadena es tan importante que rara vez derivaremos una función sin utilizarla. Si y = f (u) ; y, u = g (x) Dxy = Duy . Dxu
dy dy du = . dx du dx Por ejemplo: Encontrar la derivada de la siguiente función: y = (2x2 - 4x + 1)60 u = 2x2 - 4x + 1 Dxy = D (u)60 . D(2x2 - 4x + 1) Dxy = 60 u59 (4x - 4) Dxy = 60 (2x2 - 4x + 1)59 (4x - 4)
34
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Ahora inténtelo, encuentre la derivada aplicando la regla de la cadena en el siguiente ejercicio: Dx [sen4 (x2 + 3x)] Si tiene problemas en el desarrollo solicite tutoría a su profesor a través de los diferentes medios de comunicación (correo, teléfono, EVA). Para ampliar su estudio le invito a revisar el apartado 2.5 del texto base. 3.6 Derivadas de orden superior Recuerde que al iniciar el estudio de la derivada mencionamos que: la derivada de una función es otra función; por lo tanto, si yo vuelvo a derivar esa derivada (función resultante) tendré mi segunda derivada y si vuelvo a derivar esa segunda derivada (segunda función resultante) obtendré una tercera derivada y así sucesivamente. Por ejemplo: Encontrar la tercera derivada de la siguiente función f(x) = 3x3 + 2x2 - 4x + 1 Primera derivada
f ´ (x) = 9x2 + 4x – 4
Segunda derivada
f ´´ (x) = 18x + 4
Tercera derivada
f ´´´ (x) = 18
A partir de la cuarta derivada podemos representar de la siguiente manera, refiriéndonos al ejercicio anterior tenemos: Cuarta derivada
f (4) = 0
Quinta derivada
f (5) = 0
La aplicabilidad de las derivadas de orden superior (segunda derivada) está presente en la fórmula de la aceleración para lo cual le solicito remitirse a el apartado 2.6 del texto base para revisar el tema. 3.7 Derivación implícita Para derivar una función con dos variables, podemos proceder de la siguiente manera: 1. Despejando una variable en función de la otra, y resolver la derivada como hemos venido trabajando. 2. Ó aplicando derivación implícita, por ejemplo: De 3x3 + 2x2 - 4x + 1 = 2y3 + y2 + 2, encontrar
dy dx
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
35
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
dy dy (3x³ + 2x² 4x +1) = dx (2 y³ + y² +2) dx (9x² + 4x - 4 ) = 6y²
(9x² + 4x - 4 ) =
dy dy + 2y dx dx
dy (6y² + 2y ) dx
9x2 + 4x − 4 dy = 6 y2 + 2 y dx Usted puede revisar con más detalle este tema en el apartado 2.7, revise los ejercicios desarrollados y ponga en prueba su conocimiento realizando los ejercicios propuestos. Ánimo sabemos que puede lograrlo.
Actividad complementaria
Para ampliar su conocimiento referente al tema de aplicabilidad de las derivadas, le sugiero revisar el apartado 2.8 razones de cambio relacionadas. 3.8 Diferenciales y aproximaciones Si sabemos como calcular derivadas, también sabemos como calcular diferenciales. Basta con calcular la derivada y multiplicarla por dx. Por ejemplo: Dado 9x² + 4x - 4 encuentre dy, dy = (18x + 4) dx
36
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Reglas de derivación
Reglas de diferenciación
1.
dk =0 dx
1.dk = 0
2.
d (ku ) du =k dx dx
2.d (ku ) = kdu
3.
d (u + v) du dv = + dx dx dx
3.d (u + v) = du + dv 4.d (uv) = udv + vdu
d (uv) dv du 4. =u +v dx dx dx d (u / v) v(du / dx) − u (dv / dx) 5. = dx v2 6.
d (u n ) du = nu n −1 dx dx
u vdu − udv 5.d = v2 v 6.d (u n ) = nu n −1du
En base a los conocimientos, proceda a realizar la autoevaluación correspondiente a ésta unidad. -Siga siendo perseverante -
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
37
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Autoevaluación 3
A. Conteste con una V si es verdadero o F si es falso, cada uno de los enunciados siguientes. 1. El concepto de límite proporciona la mejor manera de obtener una descripción de la tangente en una curva. 2. La derivada f ´ de una función es otra función. 3. Si f(x) = x , f´(x) es igual a 0 4. La velocidad en el tiempo t se la puede determinar con la relación v(t) = ds/dt 5. La derivada del Cos x es Sen x B. Resolver los siguientes enunciados. 6.
¿Cuál es la fórmula para la regla de la cadena?
7.
Encuentre la cuarta derivada de, f(x) = 2x5 + 4x3 + 8
8.
Determine dx =
9.
Encuentre la derivada de
10.
2 x3 + 4 2 x +1 senx + cos x y= cos x
t +1 Encontrar la derivada de la siguiente función polinomial y (t ) = e cos(t )
Actividad complementaria
Resolver el repaso del capítulo 2 del texto base .
38
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
UNIDAD 4:
INTEGRALES
4.1 Integrales indefinidas o antiderivadas Para resolver ecuaciones que incluyan derivadas necesitaremos su operación inversa, que es la antiderivada.
x r +1 ∫ x dx = r + 1 + c r
Potencia:
∫ 1 dx = x + c (caso r = 0) Trigonométricas ∫ sen x dx = - cos x + c ∫ cos x dx = sen x + c Operador Lineal ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫[ f (x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫g (x) dx ∫[ f(x) - g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫ g (x) dx Regla generalizada de la potencia
∫ [ g ( x)]
r
[ g ( x)] g '( x)dx =
r +1
r +1
+c
Ejemplo: Encuentre la antiderivada de f(x) = (3/x2) – (2/x3)
3
∫ x
2
−
2 dx = ∫ ( 3 x −2 − 2 x −3 ) 3 x
Equivalencia de potencias
= 3∫ x −2 dx − 2 ∫ x −3 dx
Operador lineal
Regla de la potencia
=
−1
−2
3x 2x − +C −1 −2
3 1 = − + 2 +C x x
La aplicación de estas reglas en ejercicios resueltos usted podrá revisar en el apartado 3.8 del texto base, en las que incluso existen ejercicios propuestos por el autor para su adiestramiento en este tema. Recuerde al final del libro existe un formulario que describe una amplia gama de fórmulas que usted dependiendo del ejercicio, puede utilizar. 4.2 Introducción a ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas o diferenciales. A continuación detallamos algunas ecuaciones diferenciales simples, con la finalidad de que reconozcan el orden de la misma.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
39
Guía didáctica: Cálculo
dy =x+3 dx d2y = x+3 dx 2
SEGUNDO BIMESTRE
(primer orden)
(segundo orden)
En el estudio de esta asignatura sólo tomaremos las ecuaciones diferenciales de primer orden o primera derivada. Tener muy en cuenta la notación de Leibniz para la solución de este tipo de ejercicios, ya que se encuentran representados en función de esa notación. Para una mejor comprensión resolveremos el siguiente ejercicio:
dy 3 x 2 = dx 2 y 2 Sólo por explicación señalaremos que la ecuación es de primer orden. 2y² dy = 3x² dx Antidiferenciamos en cada miembro así: ∫ 2y² dy = ∫ 3x² dx
Aplicando las reglas de antiderivación escritas al inicio de esta unidad tenemos: 2 ∫ y² dy = 3 ∫ x² dx
2
y3 x3 c =3 + 3 x 3
2y3 = 3x3 + C Continúe su estudio revisando los ejercicios desarrollados en el apartado 3.9
40
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
4.3 Introducción al área Comencemos nuestro estudio de áreas revisando su introducción en las páginas 215 y 216 de nuestro texto base. Tenga presente que para determinar el área de una región curva R, implica los siguientes pasos: 1. Dividir el área a través de rectángulos inscritos que estén contenidos en R
o en rectángulos circunscritos que contengan a R
2. Determinar el área de cada rectángulo, en las gráficas anteriores está detallado el cálculo.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
41
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
3. Sumar las áreas de los n rectángulos. (Revisar notación sigma ) n
∑ i = 1 + 2 + 2 + ... + n = i =1
n
∑i
2
= 12 + 22 + ... + n 2 =
i =1
n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6
n(n + 1) i = 1 + 2 + ... + n = ∑ 2 i =1 n
3
3
3
n
∑ i 4 = 14 + 24 + ... + n4 = i =1
2
3
n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1) 30
4. Tomar el límite cuando n→∞.
A( R) = lim n→∞ A( Rn )
Es requisito primordial, revisar los ejercicios desarrollados en el texto base para que pueda comprender el tema apartado 4.1; cualquier inconveniente en su comprensión comuníquese con su profesor tutor.
4.4 La integral definida Sumas de Riemann.- Comprendido el tema anterior estamos listos para calcular áreas bajo una curva delimitada o de una función definida en un intervalo cerrado. Revisemos el siguiente ejemplo del texto base: f (x) = x3 – 5x2 + 2x + 8
42
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
- - - -
El intervalo cerrado comprende de 0 a 5. En la gráfica observamos las subdivisiones dentro del intervalo. Los puntos que se tiene de la subdivisión no son necesariamente equidistantes. Estos puntos los remplazamos en la suma de Riemann
∫
b
a
−
n
−
|| P||→ 0
∑ f ( x ∆x )
−
−
f ( x)dx = lim
i =1
i
−
−
= f ( x)∆x1 + f ( x 2 )∆x2 + f ( x 3 )∆x3 + f ( x 4 )∆x4 + f ( x 5 )∆x5 = f (0, 5)(1,1 − 0) + f (1, 5)(2 − 1,1) + f ( 2, 5)(3, 2 − 2) + f (3, 6)(4 − 3, 2) + f (2, 5)(5 − 4) = (7, 875)(1,1) + (3,125)(0, 9) + (−2, 625)(1, 2) + (−2, 944)(0, 8) + (18)(1) = 23, 9698
Recuerde que esta guía tiene como objetivo delimitar y centrar su estudio en el texto base en ciertos temas. Referente a la integración definida le sugiero analizar minuciosamente el apartado 4.2 de su texto base.
4.5 El primer teorema fundamental de cálculo Este teorema relaciona las dos clases más importantes de límites que son la derivada y la integral definida. Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto variable en [a, b], entonces x
d = (t )(dt ) = f ( x) dx ∫0
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
43
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
Ejemplo: Plantee una fórmula y haga la gráfica de la función de acumulación A (x) que es igual al área indicada.
Planteamiento:
¿Cómo quedaría la ecuación si tengo la siguiente gráfica:?
En el apartado 4.3 se encuentra detalladamente explicado lo que es una función de acumulación y la demostración de este teorema. Además, usted encontrará información de otros teoremas que le ayudarán en el desarrollo de sus ejercicios. Si en alguna parte de su revisión no tiene claro, solicite tutoría por parte de su profesor a través de los diferentes medios de comunicación que se dispone para el acompañamiento en su estudio.
44
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO BIMESTRE
4.6 El segundo teorema fundamental de cálculo Es estrictamente necesario el aprendizaje y utilización de este teorema, por ser una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Sea f una función continua en [a, b] y sea F cualquier antiderivada de f en [a, b]. Entonces
∫
b a
f ( x)(dx) = F (b) − F (a )
Ejemplo: Determine la integral de:
∫
2
−1
(3 x 2 − 2 x + 3)dx
Aplicación del segundo teorema fundamental :
∫
−2
1
(3 x 2 − 2 x + 3)dx = [ x3 − x 2 + 3 x]−21
= (8 − 4 + 6) − (−1 − 1 − 3) = 15
Para profundizar en el análisis y estudio de este teorema en conjunto con la regla de sustitución tanto para integrales indefinidas y definidas le sugiero revisar los ejercicios desarrollados y propuestos en el apartado 4.4 del texto base.
-Si usted se ha mantenido constante, la meta se avisora con gran visibilidadFelicitaciones
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
45
Guía didáctica: Cálculo
SEGUNDO SOLUCIONARIO BIMESTRE
Autoevaluación 4 A. Conteste con una V si es verdadero o F si es falso, cada uno de los enunciados siguientes. 1. La operación inversa de la derivada, es la antiderivada. 2. Una antiderivada es una familia de funciones. 3. ∫ sen x dx = cos x + c 4. La siguiente ecuación diferencial
dy 3 x 2 es de segundo orden = dx 2 y 2
5. Para encontrar el área bajo una curva, se procede primero dividiéndola en rectángulos inscritos o circunscritos. B. Resolver los siguientes enunciados. 6.
¿Por qué para calcular el área de una región determinada, no se recurre únicamente a las fórmulas deducidas por geometría?
7.
Escriba la fórmula del segundo teorema fundamental de cálculo
8.
Resolver el ejercicio 13 del texto guía, página 202 del texto base.
9.
Resolver el ejercicio 3 del texto guía, página 231 del texto base.
10.
Resolver el ejercicio 13 del texto guía, página 250 del texto base.
Actividad complementaria
Resolver el repaso del capítulo 4 del texto base . Hasta aquí hemos llegado a revisar los conocimientos generales o básicos de Cálculo, estoy seguro de que si usted ha realizado ejercicios referentes a los temas tratados está plenamente preparado para rendir su prueba presencial. Una vez más le felicito por la culminación de su carrera, deseándole el mejor de los éxitos en el desempeño posterior de su tema de tesis y aplicación en el campo laboral. Ha sido un gran gusto, compartir ésta asignatura con usted.
46
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Guía didáctica: Cálculo
SOLUCIONARIO
7. Solucionario
Primer Bimestre Autoevaluación 1. A. 1. V ; 2. F; 3. V; 4. F; 5. V B. 6. x2 – 2xh + h2 + 3x – 3h – 4 7. ( x + 1)( x − 4 ) [ 4, ∞ ) 8. f o g=
x 2 − 1 -1 ≥ x ≥ 1
9.
La gráfica es simétrica con el eje y, por lo tanto es una función par. f(-x) =f (x) function par. 10. f(–x) + g(–x) = f(x) + g(x) Autoevaluación 2. A. 1. V ; 2. F; 3. F; 4. F; 5. V B. 6. 2 √13 7. 3 8. 1 9. −∞ 10. Cuando cumple lo siguiente: -
lim x → c f (x) existe
-
f (c) existe (es decir c está en el dominio de f)
-
lim x → c f (x) = f (c)
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
47
Guía didáctica: Cálculo
SOLUCIONARIO
Segundo Bimestre Autoevaluación 3. A.
1. V ; 2. V; 3. F; 4. V; 5. F
B.
6. Dxy = Duy . Dxu 7. 240x 3 8. 2 x( x + 3 x − 4)
( x 2 + 1) 2
9. sen2x t +1 10. e (cos t + sen t)
Autoevaluación 4. A.
1. V ; 2. V; 3. F; 4. F; 5. V
B.
6. Porque resultan insuficientes e inexactas, el único camino es a través del cálculo.
7.
∫
8.
27 x8 x 6 45 x 4 2 x2 + − + +c 8 2 4 2
9.
481 280
10.
22 5
b a
f ( x)(dx) = F (b) − F (a )
MACM/gnpr/2011-07-18/48 ks/2013-03-18
48
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
