GUIA2 III ELECT Elementos Secundarios Triángulo

Guía de Aprendizaje de Matemática Docente

Fecha

NATALIA JARA / ESTEBAN RIVERA

__ / AGOSTO / 2018

Estudiante

Curso III MEDIO ELECTIVO



Tema

Material Complementario

Elementos Secundarios del Triángulo

03

Elementos Secundarios del Triángulo.

Altura Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

El punto de intersección de las alturas recibe el nombre de Ortocentro (H).

Bisectriz Es el trazo que divide al ángulo interior dado en dos ángulos congruentes.

El punto de intersección de las bisectrices recibe el nombre de Incentro (I). El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo y equidista de sus lados.

Transversal de Gravedad Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

̅  =  ̅   El punto de intersección de las Transversales de Gravedad recibe el nombre de Centro de Gravedad (G).

P

á

g

in

a

1

Simetral Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.

̅ ⃡ ⊥ ̅ 

̅ ̅  ≅ 

El Circuncentro (O) es el punto de intersección de las Simetrales. El Circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y equidista de sus vértices.

Mediana Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo.

̅ ̅   ≅  

̅ ̅  ≅ 

F, D, E puntos medios

Algunos teoremas referentes a los elementos secundarios de los triángulos.  En todo triángulo isósceles ( AC  = distinto.

BC

) coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado

̅   = hc = tc = b   = sc

 En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes en cualquiera de sus lados. C

h = t  = b  = S a

a

a

h = t = b = S b

b

h = t = b c

c

b

c

30

30

a

E

F b

= S

G 30

30

c

30

A

D

B

P

á

g

in

a

2

 En todo triángulo rectángulo la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa mide la mitad de ésta, formando dos triángulos isósceles. C

AD

=

DB

=

DC

t c

 A

B

D

 En todo triángulo, el centro de gravedad divide a cada transversal en la razón 2 : 1 C

CG  : GD

=2 : 1

2k G

1k

D

A

B

 En todo triángulo al trazar las tres transversales se forman 6 triángulos de igual área. C

F

E

A

A

A

A

A

A A

D

B

 En todo triángulo, cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de éste. C

RN y= RN // AB MR MN == RM // BC

y

MN // AC

y

AB 2 BC AC

N

R

22

 A

B

M

 En todo triángulo al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes. C

AMR  MBN  RNC  NRM

N

R

 A

M

B

P

á

g

in

a

3

ITEM II. SELECCIÓN MÚLTIPLE E n cada problema, marque la alternativa corr ecta efectuando los c álculos míni mos nec esarios  para validar s u res pues ta.

1. En el DEF, ̅ bisectriz del FDE. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A) 35° B) 50° C) 60° D) 90° E) 95°

2. En el triángulo ABC, ̅ es bisectriz del ACB y

CD

 =

BC

. Si 1 + 2 = 80°, entonces 3 =

C

A) 40° B) 80°

2

C) 100° D) 160°

3

1 A

E) No se puede determinar

B

D

3. En el PQR de la figura, se trazan la altura RS y las bisectrices SV y QV de los ángulos RSQ y RQT respectivamente. Si SRQ = 60°, entonces el SVQ mide A) 15°

V

R

B) 20°

 x

C) 30° D) 40° P

E) 45°

S

Q

T

4. En el triángulo PQR, H es el ortocentro. ¿Cuál es la medida del ángulo x? R

A) 15°

x

B) 50° C) 55°

H

D) 70°

15º

20º

E) 75°

P

Q

P

á

g

in

a

4

5. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura,

̅   transversal de gravedad. Si CAD = 50°, entonces el

ángulo DCB mide A) 20° B) 25° C) 30° D) 40° E) 5° ̅  y  = 23°, entonces   es 6. El ABC de la figura, es rectángulo en C. Si D es punto medio de    – 

A) 44°

C

B) 46° C) 88° D) 92° E) 96°



  D

A

B

̅ . Si  ̅ =  ̅ , entonces el triángulo EBG es 7. En el triángulo ABC de la figura, ⃡ es simetral de 

A) Obtusángulo

C

F

B) Isósceles - Acutángulo

G

C) Escaleno - Rectángulo D) Escaleno - Acutángulo E) Isósceles - Rectángulo

8. En el triángulo ABC de la figura, que el ABC no puede ser

A

B

E

̅ ̅  son medianas y EDC = ABC. Con estos datos se puede concluir   y  C

A) Equilátero B) Isósceles D

C) Rectángulo

E

D) Obtusángulo E) Escaleno

A

F

B

P

á

g

in

a

5

̅ .̅  es bisectriz del ACB. Entonces x = 9. En la figura ̅ ⊥ 

A) 5ᵒ B) 10ᵒ C) 15ᵒ D) 20ᵒ E) 22,5ᵒ

10. En la figura, ̅ es bisectriz del ACB. Luego, el valor de   es  – 

A) 6° A

D



B) 8°

B



86°

C) 12° D) 43° C

E) Faltan datos

11. En el ABC de la figura,

CD  y BD  son

bisectrices de los ángulos BCE y CBF respectivamente. Entonces, el x

mide E

A) 56° D

C

B) 58°

x

C) 64° D) 68° E) 70°

40° A

B

F

̅   es transversal de gravedad y además es bisectriz del CAB,  ̅  =  ̅  y ̅ 12. En el ABC de la figura,     es

bisectriz del ADC. Entonces, x = C

A) 30° B) 45°

E

C) 60°

 x

D

D) 90° E) 105°

A

B

1

2

3

4

5

6

E

B

C

C

D

C

7

8

9

10

11

12

E

E

B

B

E

B

P

á

g

in

a

6