Guia Usach

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

GESTIÓN DE OPERACIONES GUIA DE ESTUDIO

Profesor: Dr. Pedro Palominos Belmar

INDICE

I UNIDAD PROBLEMAS DE PRONOSTICOS

………………………………………

03

PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS…….

17

PROBLEMAS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE INVENTARIOS……..

45

II UNIDAD PROBLEMAS DE MRP

………………………………………………………

PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN AGREGADA

………………………

PROBLEMAS DE SECUENCIAMIENTO / ASIGNACIÓN

………………

69 76 91

Sugerencias, comentarios y rectificaciones de ejercicios, por favor hacerlas llegar al mail [email protected] 1

I UNIDAD Pronósticos Modelos Deterministas de Inventarios Modelos Estocásticos de Inventarios

2

PROBLEMAS DE PRONOSTICOS

1) Una cadena de ferreterías, experimentó la demanda siguiente para pinturas durante el mes pasado. El procedimiento normal de pronóstico es utilizar las ventas semanales correspondientes al año anterior como pronóstico para este año. Calcular el MAD y el sesgo e interpretar cada uno. Semana Junio 1 Junio 8 Junio 15 Junio 22

Pronóstico de la demanda (galones) 1.320 1.335 1.350 1.370

Demanda real (galones) 1.310 1.325 1.325 1.360

Solución:

1320 − 1310 + 1335 − 1325 + 1350 − 1325 + 1370 − 1360

55 = 13.75 galones 4 4 (1310 − 1320) + (1325 − 1335) + (1325 − 1350) + (1360 − 1370) Sesgo = = −13.75 galones 4 El MAD es un promedio de las desviaciones absolutas y por lo tanto, expresa dimensión del error, lo que indica un error de 13.75 galones en cada predicción, algo así como un 13.75/1344 ≈ 1%. El sesgo indica la tendencia direccional de los errores de predicción y está sobreestimada en 13.75 galones MAD =

=

2) En el área de Atlanta, el número de llamadas diarias para solicitar reparación de las copiadoras Speedy se ha registrado como sigue: OCTUBRE 1 2 3 4 5 6 7 8

LLAMADAS 92 127 103 165 132 111 174 97

a) Prepare un pronóstico por promedio móvil de tres periodos en relación con estos datos, ¿cuál es el error de cada día?

3

b) Prepare un pronóstico por promedio móvil ponderado para tres periodos utilizando pesos de w1 = 0.5, w2 = 0.3, w3 = 0.2 c) ¿Cuál de los dos pronósticos es mejor? d) Prepare pronósticos por Suavizamiento exponencial para los siguientes casos: i. α = 0,1 y F1 = 90 ii. α = 0,3 y F1 = 90 Solución: a) y b) OCTUBRE 1 2 3 4 5 6 7 8

At 92 127 103 165 132 111 174 97

Ft (a) ---------107,33 131,67 133,33 136 139

et (a) ---------57,67 0,33 -22,33 38,00 -42,00

|et| (a) ---------57,67 0,33 22,33 38,00 42,00

Ft (b) ---------108 138,8 136,1 128,1 146,7

et (b) ---------57 -6,8 -25,1 45,9 49,7

|et| (b) ---------57 6,8 25,1 45,9 49,7

c) Según el criterio del MAD:

MAD( a ) = 32,07

MAD(b ) = 36,9

Es mejor (a) porque tiene menor MAD igual a 32,07. d) OCTUBRE 1 2 3 4 5 6 7 8

Ft (i) 90 90,2 93,88 94,79 101,81 104,83 105,45 112,3

Ft (ii) 90 90,6 101,52 101,96 120,87 124,21 120,25 136,37

3) La Yummy Ice Cream Company proyecta la demanda de helados utilizando Suavizamiento exponencial de primer orden. La última semana el pronóstico fue de 100.000 galones de helados y en realidad se vendieron 80.000. a) Utilice α = 0,1 y prepare un pronóstico para la siguiente semana. b) Calcule el pronóstico utilizando α = 0,2 y α = 0,3 para este problema. ¿Qué valor de α brinda el mejor pronóstico suponiendo que la demanda verdadera es de 95.000 galones?

4

Solución: a) F proxima semana = 100.000 + 0,1⋅ (80.000 − 100.000) = 98.000 El pronóstico para la próxima semana es de 98.000 galones de helados. b) Alfa α = 0,2 α = 0,3

Dreal 95.000 95.000

Dpronosticada 96.000 94.000

Error -1.000 1.000

Ambos valores de alfa proporcionan un pronóstico igualmente desviado del valor real, sólo difieren en el hecho de que con α = 0,2 se hace una sobreestimación de la demanda real en 1.000 unidades, y con α = 0,3 se hace una subestimación de la demanda real también en 1.000 unidades. Es decir, no se puede decir con estos datos proporcionados, que algún valor de alfa sea mejor que otro. 4) En la Tabla siguiente, se presentan la demanda mensual “Rocky”. Mes Mayo Junio Julio Agosto

Unidades 100 80 110 115

Mes Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

de la compañía Unidades 105 110 125 120

a) Usando el método de suavizamiento exponencial, pronostique el número de unidades demanda de Junio a Diciembre, asumiendo que el pronóstico inicial para el mes de Mayo fue de 105 unidades. (α=0.2) b) Calcule el porcentaje de Error Absoluto y el MAD. c) Calcule la señal de rastreo al final del mes de Diciembre y opine sobre el desempeño del método de pronóstico. Solución: a) Ft +1 = Ft + α ⋅ (Dt − Ft ) Mes Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Demanda Dt 100 80 110 115 105 110 125 120

Pronóstico Ft 105 105+0,2·(100–105) = 104,0 104,0+0,2·(80–104,0) = 99,2 99,2+0,2·(110–99,2) = 101,4 101,4+0,2·(115–101,4) = 104,1 104,1+0,2·(105–104,1) = 104,3 104,3+0,2·(110–104,3) = 105,4 105,4+0,2·(125–105,4) = 109,3 5

b) Mes t

Demanda mensual Dt

Pronóstico Ft

Error Et

Error absoluto

100 80 110 115 105 110 125 120

105 104 99 101 104 104 105 109

--24 11 14 1 6 20 11 39

-24 11 14 1 6 20 11 87

Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

MAD = 87/7 = 12,4 MAPE = 83,7/7 = 12,0%

∑E

Error porcentual absoluto -30% 10% 12.2% 0.9% 5.4% 16% 9.2% 83.7%

39 = 3.14 MAD 12.4 La señal de rastreo no excede a ± 6, por lo tanto, existe una baja probabilidad de que se hallen grandes desviaciones en el pronóstico.

c) La señal de rastreo =

t

=

5) La demanda de alas de pollo de un restaurante local durante las seis semanas anteriores ha sido la siguiente: Semana Demanda

1 650

2 521

3 563

4 735

5 514

6 596

a) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7, mediante un promedio móvil de cinco periodos. b) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante un promedio móvil ponderado de tres periodos. Utilice los siguientes pesos para hacerlo: W1= 0,5; W2=0,3 y W3=0,2 c) Haga el pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante el suavizamiento exponencial. Utilice un valor α= 0,1 y suponga que el pronóstico para la semana 6 era de 600 unidades. d) Calcule el Sesgo, el MAD y el MAPE. e) ¿Qué suposiciones se hacen para cada uno de los pronósticos anteriores? Solución:

(521 + 563 + 735 + 514 + 596) = 585.8

a)

F7 =

b)

F7 = 0.5 ⋅ 596 + 0.3 ⋅ 514 + 0.2 ⋅ 735 = 599.2

c)

F7 = F6 + α ⋅ ( D6 − F6 ) = 600 + 0.1 ⋅ (596 − 600) = 599.6

5

6

d) Promedio Móvil Simple de cinco periodos: Semana Ft et Dt (t) 1 650 ------2 521 ------3 563 ------4 735 ------5 514 ------6 596 596.6 -0.6 Promedio Móvil Ponderado de tres periodos: Semana Ft et Dt (t) 1 650 ------2 521 ------3 563 ------4 735 567.8 167.2 5 514 640.6 -126.6 6 596 590.1 5.9

|et|

|et|% = |et|/Dt·100

---------------0.6

---------------0.10%

|et|

|et|% = |et|/Dt·100

---------167.2 126.6 5.9

---------22.75% 24.63% 0.99%

Suavizamiento exponencial: NO SE PUEDE CALCULAR, FALTAN MÁS DATOS. Medida Sesgo MAD MAPE

Promedio Móvil Simple -0.6 0.6 0.1%

Promedio Móvil Ponderado 15.5 99.9 16.12%

Suavizamiento Exponencial No se puede calcular No se puede calcular No se puede calcular

e) Se supuso que: • La demanda futura será como la cantidad demandada pasada. • No hay tendencia, estacionalidad y efectos cíclicos. • En el promedio móvil, todos los datos pesan igual. • En el promedio ponderado los datos más recientes pesan más. • En el suavizamiento exponencial el valor de α = 0.1 pone poco peso a la demanda actual y mucho peso al pronóstico pasado. 6) La demanda de National Cereal, uno de los cereales favoritos para el desayuno entre personas nacidas en la década de los 70 en CerealLand, está en una etapa de decadencia. La compañía desea vigilar cuidadosamente la demanda. Para ello ha utilizado el método de suavización exponencial ajustado a la tendencia con α = 0,1 y β = 0,3. Al final de diciembre, la estimación de enero para el número promedio de cajas vendidas para cada mes fue de 900.000 y las tendencias de -50.000 por mes. En la tabla siguiente se presenta la historia de las ventas reales para los meses de enero a marzo:

7

MES Enero Febrero Marzo

VENTAS 890.000 800.000 825.000

a) Genere usted los pronósticos para los meses de febrero, marzo y abril. b) Calcule el Sesgo, MAD y MAPE. ¿Qué opina de los resultados? c) Si la tendencia sigue a la baja, ¿este método de predicción sigue siendo válido? Solución: a) y b) MES Enero Febrero Marzo Abril

At 890.000 800.000 825.000 ----

Ft 900.000 899.000 889.100 882.690

Tt -50.000 -35.300 -27.680 -21.299

PITt 850.000 863.700 861.420 861.391

SESGOt ----63.700 -50.060 ----

MADt ---63.700 50.060 ----

MAPEt ---7,96% 6,19% ----

De los resultados podemos ver que la estimación inicial dada es una subestimación, y lo calculado representa una sobreestimación de las ventas reales. c) Si la tendencia es a la baja, este método de pronóstico es válido, así como otros, en la medida que se corrijan los parámetros alfa y beta, o se tenga bien definida la señal de rastreo, dado que el pronóstico del mes de marzo tuvo una desviación no menor respecto al último periodo. 7) Las llamadas de emergencia del 911 en Florida durante las pasadas 24 semanas son las indicadas: Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Llamadas 50 35 25 40 45 35 20 30 35 20 15 40

Semanas 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Llamadas 55 35 25 55 55 40 35 60 75 50 40 65

8

a) Calcule la previsión exponencialmente alisada de llamadas para cada semana. Suponga una previsión inicial de 50 llamadas en la primera semana y utilice un α=0.1, ¿cuál es la previsión para la semana 25? b) Utilizando la tabla anterior prevea las llamadas de la semana 2 hasta la 25 con un alisado exponencial con ajuste de tendencia. Suponga que la previsión inicial es de 50 llamadas para la semana uno y una tendencia inicial de 0, utilice las constantes de alisado de α=0.3 y β=0.1. ¿Es este modelo mejor que el pronosticado en la pregunta anterior? Solución: Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Llamadas F(α=0.1) F(α=0.3) Tendencia 50 50,00 50,00 0,00 35 50,00 50,00 0,00 25 48,50 45,50 -0,45 40 46,15 39,35 -1,02 45 45,54 39,55 -0,90 35 45,48 41,18 -0,65 20 44,43 39,33 -0,77 30 41,99 33,53 -1,27 35 40,79 32,47 -1,25 20 40,21 33,23 -1,05 15 38,19 29,26 -1,34 40 35,87 24,98 -1,63 55 36,28 29,49 -1,02 35 38,16 37,14 -0,15 25 37,84 36,50 -0,20 55 36,56 33,05 -0,53 55 38,40 39,63 0,19 40 40,06 44,24 0,63 35 40,05 42,97 0,44 60 39,55 40,58 0,15 75 41,59 46,41 0,72 50 44,93 54,98 1,51 40 45,44 53,49 1,21 65 44,90 49,44 0,68 46,91 54,11 1,08

PITt 50,00 50,00 45,05 38,33 38,65 40,54 38,56 32,26 31,22 32,18 27,92 23,35 28,47 36,99 36,30 32,52 39,82 44,87 43,41 40,73 47,13 56,49 54,70 50,12 55,19 MAD Luego, el mejor pronóstico es el de b), por tener menor MAD.

|e1| -15,00 23,50 6,15 0,53 10,48 24,43 11,99 5,79 20,21 23,19 4,13 18,72 3,16 12,84 18,44 16,60 0,06 5,05 20,45 33,41 5,07 5,44 20,10 -13,25

|e2| -15,00 20,05 1,67 6,35 5,54 18,56 2,26 3,78 12,18 12,92 16,65 26,53 1,99 11,30 22,48 15,18 4,87 8,41 19,27 27,87 6,49 14,70 14,88 -12,56

8) El número de intervenciones quirúrgicas de corazón que se realizan en el Hospital General de Heratville ha aumentado sin cesar en los últimos años. La administración del hospital está buscando el mejor método para pronosticar la demanda correspondiente a esas operaciones en 1998. Aquí se muestran los datos de los últimos cinco años. Hace seis años, el pronóstico para 1993 era de 41 operaciones:

9

AÑO 1993 1994 1995 1996 1997

DEMANDA 45 50 52 56 58

La administración del hospital está considerando el uso de los siguientes métodos de pronósticos: i.

Suavizamiento exponencial doble con alfa = 0,6 y beta = 0,5. Utilice una tendencia inicial igual a 5 para 1993. ii. Promedio móvil ponderado de tres años, usando ponderaciones de (3/6), (2/6) y (1/6), y asignando mayor ponderación a los datos más recientes. iii. Modelo de regresión Y = 42,6 + 3,2·X, donde Y es el número de operaciones quirúrgicas y X representa el índice correspondiente al año (por ejemplo, X = 1 para 1993). ¿Qué método de Pronóstico se deberá seleccionar? Si: a) El MAD es el criterio de rendimiento seleccionado por la administración. b) El MSE (Cuadrado del Error Medio) es el criterio de rendimiento seleccionado. c) El MAPE (Error Porcentual Medio Absoluto) es el criterio seleccionado por la administración. Solución: i.

Suavizamiento exponencial doble: Año 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Dt 45 50 52 56 58

Ft 41 43.4 47.4 50.1 53.7 56.3

Tt 5 3.7 3.8 3.3 3.4 3.0

PITt 46 47.1 51.2 53.4 57.1 59.3

et ---2.9 0.8 2.6 0.9 ----

MAD ---2.9 1.9 2.1 1.8 ----

MSE ---8.4 4.5 5.2 4.1 ----

MAPE ---5.8% 3.7% 4.0% 3.4% ----

ii. Promedio Móvil Ponderado de tres años: Año 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Dt 45 50 52 56 58

Ft ---------50.2 53.7 56.3

et ---------5.8 4.3 ----

MAD ---------5.8 5.1 ----

MSE ---------34.0 26.4 ----

MAPE ---------10.4% 8.9% ----

10

iii. Modelo de regresión lineal simple: Año 1993 1994 1995 1996 1997 1998

X 1 2 3 4 5 6

Dt 45 50 52 56 58

Ft = Y(X) 45.8 49 52.2 55.4 58.6 61.8

et -0.8 1 -0.2 0.6 -0.6 ----

MAD 0.8 0.9 0.7 0.7 0.6 ----

MSE 0.6 0.8 0.6 0.5 0.5 ----

MAPE 1.8% 1.9% 1.4% 1.3% 1.3% ----

a) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAD = 0.6 b) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MSE = 0.5 c) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAPE = 1.3% 9) El administrador de la empresa de limpieza de alfombras Aladín S.A., ubicada en Agraba, necesita pronosticar la demanda por sus servicios para el año 2001. Los datos disponibles por él son los siguientes: Trimestre 1 2 3 4 TOTAL

1996 50 350 530 100 1.030

1997 70 370 590 170 1.200

1998 100 585 830 285 1.800

1999 100 725 1.160 215 2.200

2000 110 850 1.390 250 2.600

Como Ud., actualmente esta de vacaciones por Agraba, y se ha hecho amigo de él, ha decidido ayudarlo, dado que Ud. hizo un curso de Administración de Producción en la prestigiosa Universidad de Santiago. Por lo tanto pronostique la demanda por limpieza de alfombras para cada período trimestral del año 2001. (Utilice índice de estacionalidad) Solución: 1º Proyectar la demanda total para el año 2001 Dado que la demanda total tiene una tendencia al alza, utilizaremos regresión lineal: X 1 2 3 4 5 Total

Y 1030 1200 1800 2200 2.600 8.830

X·Y 1030 2400 5400 8800 13.000 30.630

X2 1 4 9 16 25 55

11

Sea el modelo a estimar: Yˆ = aˆ + bˆ ⋅ X 5 ⋅ 30.630 − 15 ⋅ 8.830 = 414 bˆ = 5 ⋅ 55 − 15 2

8.830 15 aˆ = Y − bˆX = − 414 ⋅ = 524 5 5

Yˆ = aˆ + bˆ ⋅ X = 524 + 414 ⋅ X ⇒ Yˆ (6) = 524 + 414 ⋅ 6 = 3.008 , para el año 2001 Otra forma de calcular aproximadamente el valor de Yˆ (año 2001) es mediante tasas: 2.600 −1 1 . 030 i= = 0,3811 , por lo tanto, Yˆ (año 2001) = 1030·(1+0,3811·5) = 2.993 4 2º Determinar los índices de estacionalidad con los datos actuales:

DTrimestral =

Trimestre 1 2 3 4

8.830 = 2207.5 4

Demanda Total Trimestral 430 2.880 4.500 1.020 ∑ = 8.830

Índice de Estacionalidad 430/2.207,5 = 0,1948 2.880/2.207,5 = 1,3046 4.500/2.207,5 = 2,0385 1.020/2.207,5 = 0,4621 ⇒ 8.830/4 = 2.207,5

Luego, para el año 2001, la demanda promedio trimestral es 3.008/4 = 752 3º Aplicar el Índice de Estacionalidad (calculado anteriormente para cada trimestre), sobre la demanda promedio trimestral del año 2001: Trimestre 1 2 3 4 Suma

Pronostico trimestral año 2001 752·0,1948 = 146,5 752·1,3046 = 981,1 752·2,0385 = 1.532,9 752·0,4621 = 347,5 ≈ 3.008

Nota: Otras opciones de resolución más largas, son válidas en torno a estas cifras. 10) El volumen de correspondencia diaria que reciben cada semana las oficinas de correo de Mailville, se registra en la siguiente tabla, que corresponde a dos semanas representativas y están expresadas en miles de piezas postales.

12

Día Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Total

Semana 1 5 20 30 35 49 70 15 224

Semana 2 8 15 32 30 45 70 10 210

Si el director de correos estima que tendrá que clasificar 230.000 piezas de correo durante la semana próxima, pronostique usted, ¿cuál será el volumen correspondiente para cada día de la semana? Solución:

Día Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viérnes Sábado Total Promedio

Semana 1 Factor de Volumen estacionalidad 5 5/32=0.156 20 20/32=0.625 30 30/32=0.937 35 35/32=1.093 49 49/32=1.531 70 70/32=2.187 15 15/32=0.468 224 32

Semana 2 Factor de Volumen estacionalidad 8 8/30=0.266 15 15/30=0.500 32 32/30=1.066 30 30/30=1.000 45 45/30=1.500 70 70/30=2.333 10 10/30=0.333 210 30

Para la próxima semana, se tiene diariamente:

Volumen Pr omedio Esperado = 230.000 / 7 = 32.857

Día Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Total

Resultados Factor prom · vol prom esperado 0.2114·32.857 = 6.948 0.562·32.857 = 18.482 1.002·32.857 = 32.926 1.046·32.857 = 34.397 1.515·32.857 = 49.799 2.260·32.857 = 74.271 0.401·32.857 = 13.177 230.000

13

11) Un alumno de ingeniería industrial presentó un pronóstico para la captura del jurel en Chile. Para ello, realizó una regresión lineal simple, considerando como variable los años comprendidos entre 1992 y 2001. El resultado de la regresión es el siguiente: b0 = 626,153 R2 = 0,6121

y b1 = -312.252,4

La tabla considerada para hacer la regresión es la siguiente: Toneladas de jurel 1992 3212060 1993 3236244 1994 1011117 1995 4404193 1996 3883326 1997 2917064 1998 1612912 1999 1219689 2000 1234299 2001 1649933 Fuente: SERNAPESCA Año

Respecto al estudio de la demanda realizado por el alumno, ¿qué comentario le merece en términos de lo enseñado en el curso? Solución: Graficando los datos, podemos observar: 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1. No es adecuado realizar una regresión lineal simple como técnica dada la poca linealidad entre las variables consideradas, además ocurrieron pronósticos negativos y R2 es bajo.

14

2. El gráfico adjunto muestra cierta estacionalidad o ciclo en la captura del jurel, esto puede deberse a períodos de veda, ciclo de reproducción del jurel, fenómenos climáticos como el niño o la niña, en consecuencia habrá que estudiar una serie más larga a fin de encontrar ciclos, estacionalidad, tendencia, etc. que ayuden a realizar un pronóstico. 3. Se sugiere realizar un pronóstico causal, dado que hay variables explicativas que pueden ayudar a hacer un buen pronóstico o revisar la posibilidad de aplicar un suavizamiento doble (Tendencia y estacionalidad), si tenemos una serie más larga. 12) ¿Qué tipo de componentes por series de tiempo esperaría usted en los siguientes casos? a) Ventas mensuales de leche en un supermercado b) Demanda diaria de llamadas telefónicas c) Demanda mensual de periódicos Solución: a) Tendencia, azar. b) Estacional (fines de semana, vacaciones), tendencia, azar. c) Tendencia, estacional (fines de semana), aleatorio. 13) ¿En base a qué factores se debe seleccionar un método de pronóstico? Solución: -

Sofisticación del usuario y del sistema. El uso o las características de la decisión. El patrón de los datos. El tiempo y los recursos disponibles. La disponibilidad de los datos.

14) ¿Cuáles son las desventajas del modelo de pronóstico de promedios móviles? Solución: -

El incremento en el valor de n suaviza mucho más las fluctuaciones, pero el método lo hace menos sensitivo a los cambios reales en la información. Los promedios móviles no pueden reconocer bien la tendencia (se mantienen dentro de los niveles del pasado y no predican un cambio de nivel)

15

15) Se pidió que todos los vendedores de una compañía realizarán pronósticos de las ventas de sus territorios para el año siguiente. Estos pronósticos se sumarán por línea de producto, distrito, región y por último a nivel nacional. Describa los problemas que surgen al utilizar este pronóstico para decisiones específicas sobre inventario y la programación de las máquinas. Solución: -

Es bastante improbable que el personal de ventas pueda predecir con seguridad un producto individual en menos de un mes, lo que influye sobre todo en la programación de las máquinas. Si manejamos a nivel agregado el pronóstico para propósito de control, no se entenderá.

16) ¿Existen diferencias entre el pronóstico de demanda y el pronóstico de ventas? Solución: La demanda y las ventas no siempre son lo mismo. Cuando la demanda no se ve limitada por la capacidad u otras políticas administrativas, el pronóstico de ésta será el mismo que el pronóstico de ventas. En caso contrario, las ventas podrían ser ligeramente inferiores a la demanda de los clientes.

16

PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS

1) El McDonald’s de la Rotonda Atenas, utiliza 120 vasos de papel, de seis onzas, por día. Los planes de esta sucursal de McDonlad’s son tener abierto 360 días al año. Los vasos tienen un costo de 10 dólares/docena; los costos de orden son de 5 dólares/orden y los costos de manejo son un 50% del costo del artículo. a) Encontrar la cantidad económica a ordenar si la entrega es instantánea. b) En general, se ordenan vasos cada 30 días. Obtener la relación entre la cantidad ordenada real, y la cantidad óptima ordenada. Así como los costos totales reales y los costos totales óptimos del manejo del inventario. Interprete además los resultados obtenidos. Solución: a) DA = 120 unidades/día · 360 días/año = 43.200 unidades/año C0 = 5 US$/orden Ci = 10·0,5/120 = 0,4166 US$/unid.-año Luego: 2C 0 D 2 ⋅ 5 ⋅ 43.200 X* = = = 1.018,31 ≈ 1.019 unidades ó 85 docenas aprox. Ci 0,4166 b) Cantidad real ordenada Q =

43.200 = 3.600 unidades / mes ≈ 300 docenas / mes 12

Situación normal: Costo ordenar = 5 US$/orden · 12 ordenes/año = 60 US$/año Costo manejo = 0,4166·3.600/2 = 749,86 ≈ 750 US$/año Costo total anual = 60 + 750 = 810 US$/año Situación con (EOQ): Costo ordenar = 5 US$/orden · 43.200/1.019 = 211,9 ≈ 212 US$/año Costo manejo = 0,4166·1.019/2 = 212,257 ≈ 212,3 US$/año Costo total anual = 212 + 212,3 = 424,3 US$/año Con el sistema EOQ, McDonald’s puede ahorrar aproximadamente US$385,75 al año, lo que significa un ahorro de 47,61% 2) Suponga que una empresa almacena un producto para satisfacer la demanda de sus clientes, la cual es de origen determinista y es de 300 unidades al año. El costo que se incurre por realizar un pedido es de $25, el costo de almacenamiento es de 0.1 $/unidad – mes y el precio de compra del producto es de 10 $/ unidad, la tasa de interés mensual es de 0.5 % y además la empresa cancela por concepto de seguro por deterioro del producto 0.1 $/unidad- mes.

17

Se sabe además que el costo asociado a la perdida de ventas por agotamiento de inventario es de $1.5 por unidad mes. Calcular: a) Tamaño de la compra b) Frecuencia de la orden c) De qué tamaño deberá ser el inventario de seguridad, de tal forma de no tener agotamiento. Solución: Datos: Nota: Los datos de costos se encuentran en meses, esto implica que hay que trabajar todos los datos en meses.

⎡ unidades ⎤ 300 ⎡ unidades ⎤ D = 300 ⎢ = = 25⎢ ⎥ ⎥ ⎣ año ⎦ 12 ⎣ mes ⎦ C o = $25 C i : costo de almacenamiento + costo de seguro + costo de capital $ ⎡ ⎤ C i = 0.1 + 0.1 + 0.005 * 10 = 0.25⎢ ⎥ ⎣ unidades − mes ⎦ $ ⎡ ⎤ C a = 1.5⎢ ⎥ ⎣ unidades − mes ⎦ En este ejercicio aparece el costo de agotamiento, lo que implica que se debe ocupar el Modelo 3. X = Xs + Xl X S : inventario en mano X L : cantidades de unidades en agotamiento.

a) ⎛ Ci + C a ⎜⎜ ⎝ Ca

⎞ 2 DC O ⎟⎟ : X S = Ci ⎠

⎛ Ca ⎜⎜ ⎝ Ci + C a

⎞ ⎟⎟ ⎠

X=

2 DC O Ci

X=

2 * 25 * 25 ⎛ 0.25 + 1.5 ⎞ ⎡ unidades ⎤ ⎜ ⎟ = 76.37 ⎢ ⎥ ≈ 76 0.25 ⎝ 1.5 ⎣ orden ⎦ ⎠

b) f =

D 25 ⎡ ordenes ⎤ = = 0.32⎢ ⎥ X 76.37 ⎣ mes ⎦

18

Inventario en m ano

Inventario

15 X10 S

5

X-Dt

X 00

t1

-X-5 L

t2

Tiem po

c)

⎛ Ca ⎞ 2 * 25 * 25 ⎛ 1.5 ⎞ ⎡ unidades ⎤ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ = 65.46⎢ ⎥ 0.25 ⎝ 1.5 + 0.25 ⎠ ⎣ orden ⎦ ⎝ Ci + C a ⎠ Estilo del inventario de seguridad XS =

2 DC O Ci

⎡ unidades ⎤ X L = X − X S = 76.37 − 65.46 = 10.91⎢ ⎥ : esta es la cantidad que se d ⎣ orden ⎦ Es la cantidad que debe ser mantenida en inventario de seguridad para no tener costos de agotamiento. 3) Ud. recientemente ha asumido la gerencia de producción de la empresa 3Picture, la cual fabrica “videogame”, el cual tiene un componente, que Ud. puede fabricar o comprar. Los costos de fabricar son de $100 por unidad, y la empresa tiene una capacidad de fabricación de 60.000 unidades al año y sus costos de preparación de máquina son de $500. Por otra parte se sabe que la demanda estimada es de 18.000 unidades al año. La información referente al precio de compra del componente le acaba de llegar y es de $120 por unidad, con un costo de ordenar de $80. Si Ud. asume un costo de inventario del 10%, ¿qué le conviene, comprar o fabricar el producto? Solución: a) Opción de compra: P = 120 $/unidad C0 = 80 $/orden Ci = 0.1·120= 12 $/ unid·año D = 18.000 unid/año

19

X* =

2 ⋅ 80 ⋅ 18.000 = 489,897 ≈ 490 unidades 12

EA = compra actual + almacenamiento + costo de ordenar 12 ⋅ 490 80 ⋅ 18.000 + = 2.165.878,775 E A = 18.000 ⋅ 120 + 2 490 b) Opción de fabricación: X* =

2C 0 DP = C i ( P − D)

E A = 18.000 ⋅100 +

2 ⋅ 500 ⋅18.000 ⋅ 60.000 = 1.603,567 ≈ 1.603 unidades 10 * (60.000 − 18.000)

10 ⋅ (1.603,567) 18.000 ⋅ 500 + = 1.813.630,322 2 1603,567

Por lo tanto, es más conveniente fabricar, dado que su costo total anual es más bajo que al comprar el producto. 4) Una tienda comercial vende dos productos que periódicamente ordena de un mismo proveedor. La tasa de demanda y los costos de inventario están dados en la siguiente tabla: Demanda (unidades/mes) 100 300

Producto A B

Costo de Ordenar ($/orden) 50 50

Costo de inventario ($/unidad-mes) 25 3

Sin embargo, si se ordenan los dos productos conjuntamente, el costo de ordenamiento en que se incurre es de sólo $50 (por los dos productos). En estas circunstancias, ¿cuál es la política de inventario óptimo? Solución: Ordenando independientemente:

X A* = X B* =

2Dm A C o Ci A 2 Dm B C 0 B Ci B

= =

unidades 2 ⋅ 50 ⋅100 = 20 orden 25 unidades 2 ⋅ 50 ⋅ 300 = 100 orden 3

20

Costo total anual:

E Anual E Anual

* * C o Dm B ⎛ C o Dm A XB XA ⎜ = E A + E B = 12 ⋅ + Ci A + + Ci B * ⎜ X * 2 2 XB A ⎝ $ ⎛ 50 ⋅100 25 ⋅ 20 50 ⋅ 300 3 ⋅100 ⎞ = 12 ⋅ ⎜ + + + ⎟ = 9.600 2 100 2 ⎠ año ⎝ 20

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Ordenando conjuntamente (sin utilizar directamente las fórmulas del Modelo 5): ET = ET A + ET B = C o + C i A

X2 X2 + Ci B 2D A 2DB

Donde: T=

D XA XB = ⇒ XB = XA B DA D A DB 2

2

C D X X XB XA ET C o = + C iA + C iB = E A = o A + C iA A + C iB B 2 D AT 2D B T 2 2 XA T T C D X X D E Anual = o A + C iA A + C iB A ⋅ B XA 2 2 DA E Anual C D C C D = − o 2 A + iA + iB ⋅ B = 0 dX A 2 2 DA X A Despejando XA:

XA =

CO D A C iA C iB DB + 2 2DA

Reemplazando los valores: 50 ⋅100 ⎡ unidades ⎤ = 17.15⎢ XA = ⎥ ≈ 17 25 3 ⋅ 300 ⎣ orden ⎦ + 2 2 ⋅100 300 ⎡ unidades ⎤ XB = ⋅17.15 = 51.45⎢ ⎥ ≈ 51 100 ⎣ orden ⎦ Costo total anual: $ ⎛ 50 ⋅100 25 ⋅17,15 3 ⋅ 51,45 ⎞ + + E Anual = 12 ⋅ ⎜ ⎟ = 6.997 2 2 ⎠ año ⎝ 17,15 Por lo tanto, conviene más ordenar conjuntamente, porque así se obtiene un costo anual total menor al de ordenar independientemente.

21

5) La empresa Battery Inc. Compra baterías por US$ 20 c/u y el costo de realizar una orden es de US$ 11. La empresa vende cerca de 10.000 baterías por año a una tasa uniforme. La compañía funciona 5 días por semana, durante 52 semanas a excepción de 6 días de vacaciones al año. El tiempo de ordenamiento es de 4 días y la compañía desea tener un promedio de 2 días como stock de seguridad, cuando una nueva orden está programada por llegar. El costo de mantención es de 24% del valor del ítem por año. Con la información anterior determine: a) Tamaño óptimo del lote b) Nivel esperado del inventario máximo c) Nivel de reordenamiento d) Nivel promedio e) Costo promedio anual de mantención Solución: a) Q * =

2DAC0 2 ⋅ 10.000 ⋅ 11 = = 214,03 unidades / orden Ci 0,24 ⋅ 20

b) Nivel esperado de inventario máximo: 10.000 Promedio de ventas por día es: = 39,37 52 ⋅ 5 − 6 Si la compañía desea tener un inventario de seguridad de 2 días, esto equivale a 39,37·2 = 78,74 unidades ≈ 79 unidades. Por lo tanto, el inventario máximo será: Q*+ stock de seguridad = 214 + 79 = 293 unidades. c) Nivel de reordenamiento: R = D d ⋅ L + B = 39,37·4 + 79 = 236,48 = 237 unidades. d) Nivel promedio = 0,5·(Máximo + Mínimo) = 0,5·(293 + 79) = 186 unidades. e) Costo anual de mantención = 0,24·20·186 = $892,8 al año. 6) Considérese un fabricante que necesita 2.000 piezas pequeñas durante el próximo año. El costo de las unidades es de $5 cada una. Se tienen disponibles en la localidad con un tiempo de entrega de 1 semana, y el costo de ordenar para el fabricante es de $5 por orden. El costo de conservación es de $1,50 al año por almacenamiento, más 10% por unidad por año, debido al costo por unidad del capital. Basado en estos antecedentes, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas unidades debe ordenar el fabricante con el fin de minimizar los costos totales de inventario? b) ¿Cuántos pedidos se harán en un año? c) ¿Cuántos días calendario habrá entre órdenes? d) ¿Cuál es el punto de reorden? e) ¿Cuál es el costo anual de inventario?

22

Solución: DA = 2.000 unidades por año C0 = $5 por orden CI = $1,50 + (10%)($5) = $2 por unidad por año L = siete días = 1 semana a) Q * =

2 ⋅ DA ⋅ C0 = Ci

b) N ° de pedidos = f =

2 ⋅ 2.000 ⋅ 5 = 100 unidades / orden 2 1 D A 2.000 = = = 20 órdenes / año T Q 100

c) Días entre ordenes = T =

365 365 = = 18 días / orden f 20

d) Punto de reorden = R = Dd ⋅ L =

2.000 ⋅ 7 = 38 unidades 365

e) Costo anual de inventario = E A = C o ⋅

DA Q 5 ⋅ 2.000 2 ⋅100 + Ci ⋅ = + = 200 $ / año Q 2 100 2

7) La Vetter Corporation fabrica mesas y estaciones de trabajo para la siempre creciente industria de computadoras. Vetter inició sus operaciones hace tres años con un sólo producto; un soporte para tubo de rayos catódicos (TRC) cuyo precio fijo es $98. Este producto fue diseñado por Vetter, la cual contrató la fabricación completa de las partes pero llevado a cabo el montaje en su propia planta. Desde un principio, Vetter ha estado desarrollando constantemente nuevos productos y realizó esfuerzos para integrar verticalmente sus operaciones de producción y montaje. Actualmente, Vetter fabrica la totalidad de sus cubiertas, hace todo el trabajo de laminado y todo el que se relaciona con láminas metálicas, excepto las patas tubulares de acero cromado para las mesa. Esas patas son fabricadas por una compañía importante situada a 120 millas de distancia aproximadamente. Las ventas de Vetter han aumentado a un ritmo tal que las existencias de patas para mesa han sido constantemente insuficientes. Los encargados del almacén han sido presionados para que mantengan una reserva de patas en existencias. Vetter utiliza 300 juegos de patas diariamente en la fabricación de dos soportes de TRC diferentes. En vista de las demoras y la incertidumbre respecto a la entrega, Vetter ha considerado la posibilidad de fabricar esas patas. Su lote económico ha sido de 6.000 juegos. El costo anual de conservación de cada juego es de $1,20. El Ingeniero Industrial de Vetter estima que, con el equipo adecuado, es posible producir 800 juegos de patas por día. Los costos de preparación del equipo serán de $ 750. Juan Pérez, supervisor de producción, está a favor de que se realice el proyecto adquiriendo el nuevo equipo. Argumenta que “la posibilidad de producir aquí 23

mismo permitirá que virtualmente no haya necesidad de contar con existencias disponibles. Nuestros costos de conservación de inventario disminuirán sustancialmente”. Pedro González, el agente de compras alega que “si vamos a ser los únicos en utilizarlas, el tiempo ocioso acabará sin duda con nosotros”. José Rojas, supervisor del almacén, dice que “sencillamente ya no tenemos espacio para aumentar el inventario. Si fabricándolo nosotros mismos podemos resolver el problema de espacio, estoy a favor del proyecto”. a) ¿Que lote de producción se justificaría si Vetter decidiera comprar el equipo para fabricar las patas? Solución: Si el año tiene 365 días: Dd = 300 patas/día ⇒ Pd = 800 patas/día ⇒ X* =

DA = 300·365 = 109.500 patas/año PA = 800·365 = 292.000 patas al año

2C 0 D A PA = C i ( PA − D A )

2 ⋅ 750 ⋅109.500 ⋅ 292.000 = 14.798,64 unidades / orden 1,2 ⋅ (292.000 − 109.500)

El lote mínimo a producir de tal forma que sea económico es de 14.799 juegos de patas aproximadamente. Lo que hay que evaluar es si hay recursos financieros para tomar la decisión, así como la disponibilidad de espacio. 8) La empresa Pieza 9 necesita 2000 piezas durante el próximo año, el costo de cada unidad es de $ 5. El tiempo de entrega es de 1 semana, y el costo de ordenar es de 5$/orden. El costo de conservación es de 1.5 $/unidad-año, mas el 10 % por unidad por año por el costo de oportunidad del capital. a) ¿Cuantas unidades debe ordenar con el fin de minimizar los costos totales de inventario? b) ¿Cuántos pedidos se harán en el año? c) Si se considera que hay 360 días de calendario en un año ¿cuántos días de calendario habrá entre órdenes? d) ¿Cuál es el punto de reorden? e) ¿Cuál es el costo anual? Solución: Datos:

C o = 5 $ / orden C i = costo de almacenamiento + costo de capital $ ⎡ ⎤ C i = 1.5 + 0.1* 5 = 2⎢ ⎥ ⎣ unidades − año ⎦

⎡ unidades ⎤ D = 2000⎢ ⎥ ⎣ año ⎦ L : lead time = 1 semana

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2 DC 0 = Ci

a) X A* =

b)

f =

c) T =

2 ⋅ 2000 ⋅ 5 ⎡ unidades ⎤ = 100 ⎢ ⎥ 2 ⎣ orden ⎦

D 2000 ⎡ ordenes ⎤ = = 20 ⎢ ⎥ 100 X ⎣ año ⎦ X 100 ⎡ dias ⎤ ⎡ dias ⎤ ⎡ año ⎤ = 18⎢ ⋅ 360 ⎢ = = 0.05⎢ ⎥ ⎥ ⎥ D 2000 ⎣ orden ⎦ ⎣ año ⎦ ⎣ orden ⎦

d)

R = D d L + B = D d L + Z ⋅σ L R=

2000 ⋅ 7 = 38.89 unidades 360

e) E A =

C o D XC i 5 ⋅ 2000 2 ⋅100 $ + + D Pr ecio = + + 2000 ⋅ 5 = $10200 2 100 2 X año

9) La empresa C&B Food envasa café instantáneo, del cual compra periódicamente una cantidad de 120.000 libras. El costo de la mezcla de café en C&B es de 2,40 US$/libra. La compañía embarca 1.200.000 botellas de café instantáneo al año para los distribuidores, cada botella es de 1 libra. La demanda es constante y continua todo el tiempo. ¿Cuál es el costo de llevar inventario, en % al año, si el costo promedio de ordenar es de US$100? Discuta el resultado. Solución: Datos:

Q = 120.000 libras/orden Costo = 2,40 US$/libra DA = 1.200.000 libras/año Co = 100 US$/orden

Luego:

120.000 =

2 ⋅100 ⋅1.200.000 2,40 ⋅ i

⇒ i = 0,0069 = 0,69% anual

i% anual es el costo financiero asociado a mantener inventario, calculado sobre el precio del producto. En este caso este costo porcentual de mantener inventario es extremadamente bajo, en comparación con otros casos.

25

10) Un fabricante cuenta con un equipo limitado para elaborar dos productos, A y B, cuya demanda, tasa de producción y lote económico se indican en la tabla siguiente: Producto Demanda mensual, en unidades Tasa de producción, unidades por mes Lote económico, en unidades

A 100 200 20

B 200 500 180

Según los cálculos del fabricante, él estima que hay capacidad para satisfacer la demanda de los productos, puesto que para satisfacer la demanda total de A, él emplearía la mitad del mes (100/200) y para producir toda la demanda de B emplearía 0,4 de mes (200/500). Sin embargo tiene problemas, puesto que al producir un lote de A y luego uno de B, se produce escasez del producto A para satisfacer a los clientes. Por tanto llamó telefónicamente a su amigo que da clases de Administración de la Producción en la Universidad de Santiago, el cual textualmente le dijo: “Los lotes económicos calculados para productos únicos no resultan económicos en absoluto cuando otros productos compiten por el mismo recurso. Una manera de eludir este problema es producir lotes distintos al lote económico”. Como el fabricante no comprendió bien la idea, le solicitó al profesor que le enviara ha alguno de sus alumnos, para ayudarle. El profesor lo ha seleccionado a Ud. para ayudar al fabricante aproblemado. Por tanto, ¿cómo solucionaría Ud., problema? (Ayuda: solucione matemáticamente el problema). Solución: El lote económico de A es de sólo 20 unidades y se puede producir en 20/200 = 0,1 meses y en duración es de 0,2 meses (20/100). El lote económico de B es de 180 unidades y se puede producir en 180/500 = 0,36 meses y en duración es de 0,9 meses (180/200). Si A es primero, quedará terminada en 0,1 meses y B quedará terminada a los 0,46 meses (0,1+0,36). Sin embargo, el producto A se agotaría a los 0,3 meses (0,1 + 0,2). Por tanto, habrá que producir tamaños de lotes distintos, para ajustarse a la demanda. La cantidad que habrá que producir en un mes será una fracción de mes.

100 ⋅ X unidades de A + 200 ⋅ X unidades de B , donde X está en meses. Por lo tanto:

100 ⋅ X 200 ⋅ X + = 1 ⇒ X = 1,11 meses 200 500

100·X =111 unidades de A se requieren en 111/200 = 0,555 meses. 200·X = 222 unidades de B se requieren en 222/500 = 0,444 meses.

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11) La Slayton’s Furniture Store es una tienda de muebles de alto nivel localizada cerca del lago Michigan, en el centro de Chicago. La tienda generalmente trabaja muebles de alto precio de líneas famosas como Drexel, Heredon y Ethan Allen. Con objeto de mantenerse a la moda con las últimas líneas, alrededor del 50% de los estilos y estampados cambia cada año. Joan Jeffery, compradora de muebles de la tienda Slayton, recibió una llamada de Eric Towsend, el representante de ventas de muebles Drexel. Eric comentó: “Joan, te puedo ofrecer un buen trato de nuestro conjunto de muebles de recámara Dovetail, si compras una cantidad más grande. Hemos recibido una nueva tarifa de nuestra firma de camiones que reduce el costo de embarque de $10 por quintal (o 100 libras) a $9 por quintal siempre y cuando embarquemos un mínimo de 100 quintales. Esto requeriría que compraras cuando menos 10 conjuntos de recámara a la vez, en lugar del tamaño acostumbrado de 6 conjuntos. Si ordenas 10 a la vez, te ahorrarás el flete. Un ahorro de $10 por conjunto sólo en fletes. ¿Qué piensas de esta proposición? “ Después de escuchar la oferta, Joan contestó: “Eric, parece interesante, pero tendría que hacer algunas verificaciones y ponerme a trabajar con el lápiz antes de poder decidir que hacer”. Joan agregó: “¿Podríamos economizar un poco más si ordenáramos 15 conjuntos a la vez” Entusiasmado por la oportunidad de incrementar el negocio, Eric contestó: “La compañía de fletes no reduciría su precio todavía más, pero te podría dar un 2% de descuento en el precio ($12 por conjunto) si ordenas 15 conjuntos o más. Por qué no lo piensas, y yo te llamo la próxima semana para ver qué decidiste”. Después de que Joan colgó el teléfono, se preguntaba que hacer. Había espacio suficiente en la bodega para almacenar los 15 conjuntos de recámara, pero tendría un costo de oportunidad, dado que no se tendría espacio disponible para otras mercancías. También las tasas de interés habían estado subiendo los últimos meses y sería costoso obtener el capital. Joan decidió trabajar con el problema utilizando los datos económicos disponibles para el producto (ver tabla), La obsolescencia era un factor significativo en la mente de Joan. A pesar de que el costo anual de tener existencias incluía un 7% por obsolescencia, se preguntaba si esto sería suficiente. También, ¿es el factor de obsolescencia, incluido en el costo de tener existencias, la forma apropiada para incorporar el riesgo de caídas de mercado futuras, requerido para vender muebles de poco movimiento y obsoletos? Preguntas: a) ¿Qué debe hacer Joan? b) ¿Qué suposiciones están implícitas en el análisis que usted hace de la situación?

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Conjunto de recámara Dovetail Precio de venta (cada uno) $1.000,00 Costo unitario (cada uno)* $600,00 Ventas promedios anuales 80 conjuntos Costo de orden** $40 por orden Costo anual por existencias*** 30% Reserva de seguridad 2 conjuntos Peso por conjunto 1.000 lb Tiempo de espera (promedio) 4 semanas *No incluye el costo de flete. **Este costo incluye la recepción ($20 por orden) y el papeleo ($20 por orden). ***Este costo incluye el costo de capital (15%) y la obsolescencia (7%). Solución: a) Hay que evaluar para diferentes tamaños de lotes 6, 10 y 15 unidades, la función de evaluación es: 80 ⎛Q ⎞ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + Fc (80) + F f (80) E A (Q) = 40 ⋅ Q ⎝2 ⎠ Donde: EA(Q): costo anual $/año (80/Q): número de órdenes al año. 0,3·600 es el costo de inventario. (Q/2+2): nivel de inventarios promedios que incluye el stock de seguridad. Fc: costo unitario que excluyendo el flete, FC = $600 si Q < 15, FC = $588 si Q ≥ 15 (2% de descuento por 80 unidades al año). Ff: costo del flete, Ff = $100 por conjunto si Q < 10, Ff = $90 conjunto si Q ≥ 10, por 80 unidades al año. De esta manera, la estructura de costo anual es como sigue:

E A (6) = 40 ⋅

80 ⎛6 ⎞ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 600 ⋅ 80 + 100 ⋅ 80 = 57.433 $ / año 6 ⎝2 ⎠

E A (10) = 40 ⋅

80 ⎛ 10 ⎞ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 600 ⋅ 80 + 90 ⋅ 80 = 56.780 $ / año 10 ⎝2 ⎠

E A (15) = 40 ⋅

80 ⎛ 15 ⎞ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 588 ⋅ 80 + 90 ⋅ 80 = 46.129 $ / año 15 ⎝2 ⎠

Por lo tanto, a Joan le conviene ordenar 15 conjuntos.

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b) Los supuestos utilizados por Joan son los siguientes: -Tasa de demanda constante. -Suficiente espacio para almacenar. -No hay interacción con otros productos en compras conjuntas. -Precios y costos de transporte constantes. -El abastecimiento está disponible en el futuro. 12) El equipo Bucks Grande de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por semana, en promedio. El equipo compra sus bates del béisbol a Corkys, un fabricante que se distingue porque tiene acceso a la mejor madera maciza. El costo de hacer el pedido es de $70 y el costo anual de manejo de inventario por bate y por año representa el 38% del precio de la compra. La estructura de precios de Corkys es la siguiente: Cantidad del pedido 0-11 12-143 144 o más

Precio por unidad $ 54,0 $ 51,0 $ 48,5

a) ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido? b) ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad del pedido? c) Corky descubre que ha subestimado los costos de preparación, a causa de los procesos especiales de manufactura que requieren los bates de Buck. Entonces, en lugar de elevar los precios Corky agrega una categoría a la estructura de precios con miras a ofrecer un incentivo para que se hagan pedidos más grandes y, de ese modo, reducir el número de operaciones de preparación necesarias. Si los Bucks deciden comprar 180 bates o más, el precio bajará a $ 45,0 cada uno. ¿Será conveniente que los Bucks reconsideren ahora la cantidad del pedido y la reajusten a 180 bates? Solución: C0 = 70 $/orden

DA = 4

bates bates ⋅ 52 semanas = 208 semana año

a) Cantidad de pedido 0-11 12-143 144 o más

Precio por unidad $ 54,0 $ 51,0 $ 48,5

Ci(Precio·38%) $ 20,52 $ 19,38 $ 18,43

29

Q1 =

2D A C 0 2 ⋅ 208 ⋅ 70 = = 37,67 ≈ 38 bates → infactible Ci 20,52

Q2 =

2D AC0 = Ci

2 ⋅ 208 ⋅ 70 = 38,76 ≈ 39 bates → factible 19,38

Q3 =

2D AC0 = Ci

2 ⋅ 208 ⋅ 70 = 39,74 ≈ 40 bates → infactible 18,43

b) E A = P ⋅ D A +

C 0 D A XC i + X 2

Evaluamos el Q factible, y para los precios menores al del intervalo factible: 70 ⋅ 208 39 ⋅19,38 E A (Q = 39) = 51 ⋅ 208 + + = $11.359,24 ⇒ Q* = 39 unidades/orden 39 2 70 ⋅ 208 144 ⋅18,43 = $11.516,07 E A (Q = 144) = 48,5 ⋅ 208 + + 144 2 c) Si X = 180, luego $45 implica Ci = $17,1

E A (Q = 180) = 45 ⋅ 208 +

70 ⋅ 208 180 ⋅17,1 + = $10.979,88 180 2

Por lo tanto, es conveniente ordenar 180 unidades, dado que el costo anual es más barato en relación con la tabla de precios ofertada por Corkys. 13) La empresa Plumbing Supply almacena miles de artículos de plomería. El Sr. Pérez, Gerente General de la empresa, se pregunta cuánto dinero podría ahorrarse todos los años si se utilizara EOQ en lugar de utilizar las reglas prácticas actuales de la empresa. Le da instrucciones a su Ingeniero de Operaciones Ana María, para que realice un análisis sobre un sólo material (la válvula de latón 3925) para ver si pudieran resultar ahorros significativos, usando el EOQ. De la información contable, Ana María desarrolla las siguientes estimaciones: D = 10.000 válvulas por año, Q = 400 válvulas por pedido (cantidad de pedido presente), Ci = $0,40 por válvula por año, y Co = $5,50 por pedido. Se sabe además, que la empresa tiene un departamento adyacente de producción que puede fabricar las válvulas, de tal manera que la empresa puede producir los lotes de producción, los cuales fluirían gradualmente hacia los inventarios en el almacén principal para su uso. El costo de almacenar, de pedir o de preparación y la demanda anual se conservarían aproximadamente igual. Dado que las válvulas realmente fluyen hacia el inventario en lugar de recibirse todas a la vez como lote, el Sr. Pérez se pregunta de qué manera ello afectaría la

30

cantidad de pedido y el costo anual de almacenamiento. Considere 250 días al año y una producción de 120 válvulas diarias. Finalmente, un proveedor de válvulas ha ofrecido al Sr. Pérez descuentos por cantidad, si adquiere más de lo que pide actualmente. Los nuevos volúmenes y precios son: Rango de cantidades de pedido 1 a 399 400 a 699 700 o más

Costo de adquisición por válvula $ 2,20 $ 2,00 $ 1,80

El Sr. Pérez le pide a su Ingeniero de Operaciones, que investigue los nuevos precios bajo dos supuestos. Los pedidos se reciben todos a la vez o las entregas son graduales.

Solución: a) Ana María calcula los costos actuales totales de mantención:

EA =

C 0 D A Ci ⋅ X ⎛ 400 ⎞ ⎛ 10.000 ⎞ + = 5,5⎜ ⎟ = 217,5 $ / año ⎟ + 0,4⎜ 2 X ⎝ 2 ⎠ ⎝ 400 ⎠

Se calcula el EOQ para determinar su costo de mantención:

EOQ =

2D A C0 2 ⋅10.000 ⋅ 5,5 = = 275.000 = 524,4 válvulas / orden Ci 0,4

⎛ 10.000 ⎞ ⎛ 524,4 ⎞ E A (EOQ) = 5,5⎜ ⎟ + 0,4⎜ ⎟ = 209,76 $ / año ⎝ 2 ⎠ ⎝ 524,4 ⎠

∆ Ahorros

= 217 , 5 − 209 , 76 = 7 , 74 $ / año

Por lo tanto, si aplicamos el método EOQ, se genera un ahorro anual de $7,74 en relación a la práctica utilizada actualmente por la empresa. b) Ana María calcula el EOQ (tomando en cuenta el departamento adyacente de producción):

10.000 válvulas = 40 250 día 2C 0 D A Pd 2 ⋅ 5,5 ⋅ 10.000 ⋅ 120 EOQ' = = = 642,26 válvulas / orden C i ( Pd − Dd ) 0,4 ⋅ (120 − 40)

Dd =

31

E A (EOQ') =

C 0 D A C i X ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 642,26 ⋅ (120 − 40) = 171,26 $ / año + = 5,5 ⋅ ⎜ ⎟+ X 2 Pd 2 ⋅120 ⎝ 642,26 ⎠

Si fabricáramos la válvula, se genera un ahorro de ∆ = 209,76 − 171,26 = $38,5 anuales, en relación a ordenar a un proveedor externo, según el lote económico. c) Pedidos recibidos todos a la vez (asumiendo un costo de mantener inventario de 0,2 · Precio):

EOQ 2, 2 =

2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5) = 500 válvulas / orden → infactible 0,2 ⋅ (2,2)

EOQ 2,0 =

2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5) = 524,4 válvulas / orden → factible 0,2 ⋅ (2,0)

EOQ1,8 =

2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5) = 552,8 válvulas / orden → infactible 0,2 ⋅ (1,8)

Por lo tanto es factible analizar el pedido para un precio 2,0 $/válvula con un Q = 524,4 válvulas/orden, y además hay que analizar a un precio de 1,8 $/válvula para un tamaño de lote de 700. d) Pedidos en entrega graduales (sin supuestos)

EOQ =

2 ⋅10.000 ⋅ 5,5 ⎛ 120 ⎞ ⎜ ⎟ = 642,26 válvulas / orden 0,4 ⎝ 120 − 40 ⎠

En consecuencia se analizan los dos últimos, dado que el primer rango no es factible. Q = 642,26 C D X ⋅ Ci ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 642,26 ⎛ 120 − 40 ⎞ + Pr ecio ⋅ D A = 5,5⎜ E A Sistema = 0 A + ⎟+ ⎜ ⎟ 2 Pd 2 X ⎝ 120 ⎠ ⎝ 642,26 ⎠

+ 2 ⋅ 10.000 = 85,6 + 85,6 + 20.000 = 20.171,3

$ año

Q = 700

E A Sistema =

C 0 D A X ⋅ Ci ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 700 ⎛ 120 − 40 ⎞ + + Pr ecio ⋅ D A = 5,5⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ X 2 2 Pd ⎝ 700 ⎠ ⎝ 120 ⎠ + 1,8 ⋅ 10.000 = 78,6 + 93,3 + 18.000 = 18.171,9

$ año

Por lo tanto, las entregas graduales con un tamaño de lote de 700 es el más barato.

32

14) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo de uno de sus productos un poco anómalo, debido a la criticidad de la máquina X, dada por el uso intensivo de ésta por parte de la empresa. En consecuencia en el período de estudio T, se describe la siguiente situación: 1º Etapa:

la máquina X produce a una tasa A un componente durante el período t1. En período t2, la cantidad producida P queda almacenada como inventario de pulmón, pues la máquina X es demandada para fabricar otro producto. En el período t3, la cantidad producida P es demandada nuevamente por la máquina X, a una tasa D, para terminar un acabado especial que no realizó en la primera etapa.

2º Etapa: 3º Etapa:

Si t2 = 4t1 y t3 = 2t1 derive la cantidad Q óptima que minimiza los costos totales de inventario, asumiendo que el almacenamiento se basa en el inventario medio, en función de t1 y A. Solución:

A

D

H

t1

t2

t3

T t 2 = 4t1 ET = C 0 + C i

t 3 = 2t1 t H t1 H + Ci t 2 H + Ci 3 2 2

H = A ⋅ t1

t t1 A ⋅ t1 + C i t 2 A ⋅ t 1 + C i 3 A ⋅ t 1 2 2 C C A E T = C 0 + i A ⋅ t12 + C i A ⋅ 4t12 + i ⋅ 2t12 2 2 C C A C A ⋅ 4t12 C i A 2 C 0 11C i A ⋅ t1 E E A = T = 0 + i ⋅ t12 + i + ⋅ 2t1 = + 7t1 14t1 7t1 14t1 7t1 14 T ET = C 0 + C i

33

dE A (−C 0 ) 11C i A = + =0 dt1 14 7t12 t1 = *

2C 0 11C i A

11C i A C 0 2C 0 = 2 ⇒ t12 = 2 11C i A t1

Si H = Q ⇒ Q* = A·t1* = Q* = A

2C0 = 11Ci A

2C0 A 11Ci

15) Un producto cuesta $15 y es consumido a una tasa uniforme de 100 unidades/día. Se sabe además, que no se permiten faltantes y la tasa de entrega es infinita. El costo de procesar una orden es de $100. El costo de inventario es de $0,02/día para cada uno de los productos en inventario. Hay un cargo de $3/año por producto, basado en el número máximo de productos en inventario. A partir de esto datos, encuéntrense la cantidad óptima de inventario y el costo anual. (Asuma un año de 365 días). Solución: Costo del producto es $15/unidad DA = 100 unidades/día · 365 días/año = 36.500 unidades/año C0 = 100 $/orden $ $ días Ci Anual = 0,02 ⋅ 365 = 7,3 día ⋅ unidad año año ⋅ unidad $ Cargo = 3 año ⋅ unidad Basándose en el número máximo de productos en inventario: X 2 ⋅ Ci D X2 + c arg o ⋅ A 2D A DA X X ⋅ Ci E D + c arg o ⋅ X E A = T = C0 A + 2 T X C + 2c arg o 2C 0 ⋅ D A C D dE A D = −C 0 ⋅ A2 + i + c arg o = 0 ⇒ C 0 A2 = i ⇒ X* = 2 2 C i + 2c arg o dX X X ET = C 0 +

X* =

2 ⋅100 ⋅ 36.500 7.300.000 = = 740,85 ≈ 741 unidades 7,3 + 2 ⋅ 3 13,3

El costo anual es: 36.500 7,3 E A = 10 ⋅ + 741⋅ + 3 ⋅ 741 = 9.853,42 $ / año 741 2 Al costo anual, considerando el sistema, se le agrega P·D = 15·36.500 = $547.000/año EA Total = 557.353,42 $/año

34

16) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo que aparece en la Figura siguiente:

I(t)

H2

A D

H1

A

t tp1

tw

tp2

tc T

Además se sabe lo siguiente: tw = 3tp1 tc = 6tp1 tp1 = 2tp2 A = tasa de llegada D = tasa de agotamiento Sobre la base de esta información, derive la cantidad Q óptima, que minimiza los costos totales de inventario, asumiendo que el costo de almacenamiento, se basa en el inventario máximo. (Nota: exprese la cantidad óptima como función de tp1) Solución: Sea H1 + H2 = Q

ET = C0 + Ci tp1 H 1 + Ci t w H 1 + C0 + Ci tp 2 H 1 + Ci tp 2 H 2 + Ci tc ( H 1 + H 2 ) tp tp tp E T = C 0 + C i ⋅ tp 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C i ⋅ 3tp 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C 0 + C i ⋅ 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C i ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ A 2 2 2 tp ⎛ ⎞ + 6C i ⋅ tp 1 ⋅ ⎜ tp 1 ⋅ A + 1 ⋅ A ⎟ 2 ⎝ ⎠

ET = 2C 0 + 13,75C i ⋅ tp1 ⋅ A 2

Si T = tp1 + t w + tp 2 + t c ⇒ T = 10,5tp1 , luego: 2C 0 E + 1,309C i ⋅ tp1 ⋅ A EA = T = T 10,5tp1

35

2 ⋅ C0 dE A =− + 1.309C i ⋅ A = 0 dtp1 10,5tp 2 1 0,190C 0 2 = tp1 1,309C i ⋅ A Sea

⇒ tp1 = *

⇒ 0,190C 0 = 1,309C i ⋅ A ⋅ tp1

2

0,145C 0 C0 = 0,38 Ci ⋅ A Ci ⋅ A

tp1 ⋅ A 3tp1 ⋅ A = 2 2 * C ⋅A 3tp1 ⋅ A = 0.57 0 ⇒ Q* = 2 Ci Q = H 1 + H 2 = tp1 ⋅ A +

17) Una compañía de alimentos elabora un aliño (condimento), a una tasa de 100 kg/día. Este producto es fabricado a un costo de $3.000 por lote (costo de hornada). El costo de inventario es de $2/kg/día, siendo muy caro los métodos para mantener el material, sin dañarse. Además hay un costo extra el cual es proporcional al tamaño del lote multiplicado por el cuadrado del tiempo que el inventario es mantenido antes que se agote. Así, si un inventario de 1.000 kg se genera en los últimos 10 días, su costo extra será de $10.900. Encuentre el tamaño óptimo del lote. Solución: T: días del ciclo 100T= tamaño del lote (100T/2)= Inventario promedio El costo extra será:

10.900 = k (1.000)(10 2 ) ⇒ k = 0,109

El costo por ciclo será:

100T ·T + 0,109·100T ·T 2 2 1 E T = 3.000 + 100T 2 + 10,9T 3 ⋅ T 3.000 EA = + 100T + 10,9T 2 T dE A 3.000 =− + 100 + 21,8T = 0 ⇒ 21,8T 3 + 100T 2 − 3000 = 0 2 dT T E T = 3.000 + 2($ / kg )

Si T≈ 4, entonces, 21,8·4 3 + 100·4 2 − 3.000 = −4,8 Por lo tanto, Q = 100T = 400 kg

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18) Derive las expresiones de X* y EA*, para el modelo I, bajo el supuesto que el costo de inventario está basado en el inventario máximo y no en el inventario promedio. Solución: Sea

X ⋅ X X 2 T 2D2 = = = T 2D D D D ET = C0 + Ci InvMax = C0 + CiT 2 D , costo por ciclo.

Q máximo =

Ahora, si lo calculamos por período ($/período):

EA =

ET C0 = + Ci DT T T

Buscamos el T que hace mínima la expresión EA:

C C0 dE A = − 02 + C i D = 0 ⇒ T * = dT Ci D T Finalmente:

EA = *

Co C0 Ci D

Q * = DT = D

+ Ci D

C0 = Ci C0 D + Ci C0 D = 2 Ci C0 D Ci D

Co C0 D = Ci D Ci

19) En el siguiente gráfico, demuestre que en el período óptimo el costo es E A = 2C i C 0 D + SC i

Q

………

S t En donde S es el stock de seguridad

37

Solución: Sea el costo por ciclo:

E T = C 0 + C i INV + C i S = C 0 + C i

Q2 + C i ST 2D

El costo por período será:

EA =

C0 D CiQ D Q C0 D CiQ + + Ci S = + + Ci S Q 2 QD Q 2

dE A CD C = − 0 2 + i = 0 ⇒ Q* = 2 dQ Q

2C0 D Ci

Por lo tanto:

EA =

C0 D 2C 0 D Ci

+

2C 0 D + Ci S Ci

Ci 2

Racionalizando se obtiene:

E A = 2C i C 0 D + SC i

20) Determine el costo de inventario de un almacén que describe la gráfica siguiente:

Cantidad en inventario

S2 Q2

S1

Q1 t T1

T12 T2 t1

T23 T3

T4

t2 38

Solución: El comportamiento entre el periodo T1 y T3 se supone que se repite. La cantidad promedio mantenido en inventario durante el periodo T1 a T12 es S1/2; durante el periodo T2 a T23 es S2/2. En consecuencia, la cantidad promedio de IS e IL estará dada por (IL agotamiento): S1 S (T12 − T1 ) + 2 (T23 − T2 ) 2 IS = 2 t1 + t 2

Q2 − S 2 Q − S1 (T2 − T12 ) + 1 (T3 − T23 ) 2 2 IL = t1 + t 2

Durante el periodo T1 y T3 hay dos reaprovisionamientos, luego el número de reaprovisionamiento por unidad de tiempo es: N=

2 t1 + t2

Por lo tanto el costo total de inventario será: C T = I S ⋅ C i + I L ⋅ C a + N ⋅ C o $ C i = Costo de mantener inventario Donde: unidad ⋅ orden $ C a = Costo de agotamiento unidad ⋅ orden $ C o = Costo por ordenar orden 21) La demanda para un producto es uniforme, con una tasa de producción de 2.000 unidades por día. El costo de la orden depende del tamaño del lote y está dado por la siguiente función: C 0 = 16.000 + 5 ⋅ Q 0.5 . El costo de almacenar es de 0,002 $/día para cada unidad. Se asumirá que las entregas son instantáneas. Por otra parte, existe un costo de no daño durante el almacenamiento, que es proporcional al tiempo de inventario multiplicado por el número de unidades inventariadas en dicho período. Si un inventario tiene promedio de 20 días almacenados y son 800 unidades almacenadas, el costo de no deterioro sería de: (0,00015)·(20)·(800) $/día; donde 0,00015 es una constante. Por lo tanto, determine el tamaño óptimo del lote. Solución: Q días / orden , Dd y sabiendo que la

El costo de ordenar es C 0 = 16.000 + 5 ⋅ Q 0.5 , pero sabemos que T = reemplazando Q en la ecuación anterior, como Q = T ⋅ D d demanda es de 2.000 unidades en el último ciclo, tenemos: C 0 = 16.000 + 5 ⋅ (2.000 ⋅ T ) 0.5 = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5

39

Sabemos, además que el inventario declina linealmente, por lo tanto, el inventario es I = 2.000 ⋅ (T − t ) , donde t = tiempo en días en que es mantenido el producto en inventario, el cual va de cero a T para cada ciclo. Luego, el costo de no deterioro durante el ciclo es: T

T

T

T

0

0

0

0

2 ∫ kt (Q − Dt )dt = 0,00015 ⋅ ∫ t ⋅ I (t )⋅ dt = 0,00015 ⋅ ∫ t ⋅ 2.000 ⋅ (T − t ) ⋅ dt = 0,3 ⋅ ∫ (T ⋅ t − t ) ⋅ dt $ / día

Por lo tanto, el costo total en el ciclo será: T

T

0

0

E T = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5 + ∫ 0,3 ⋅ (T ⋅ t − t 2 )dt + ∫ 0,002 ⋅ (2.000 ⋅ (T − t ))dt

$ ciclo

Integrando, se tiene: E T = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5 + 0,3

T3 + 2T 2 6

⋅

E d = 16.000 ⋅ T −1 + 223,6 ⋅ T − 0,5 + 0,05 ⋅ T 2 + 2 ⋅ T

1 T $ día

dE d = −16.000 ⋅ T − 2 − 0,5 ⋅ 223,6 ⋅ T −1,5 + 2 ⋅ 0,05 ⋅ T + 2 = 0 dT = − 16.000 ⋅ T −2 − 111,8 ⋅ T −1,5 + 0,1 ⋅ T + 2 = 0

Mediante iteración se obtiene aproximadamente: T* = 49 días/orden EA = 576,5 $/día · 365 días/año = 210.422,5 $/año Q* = 2.000·49 = 98.000 unidades/orden 22) Consideremos una situación en la que se le ofrece una oportunidad única de adquirir un artículo a un precio unitario reducido (éste es el caso cuando hay un aumento de precio y se da la última oportunidad para comprar al precio antiguo). Debido al cambio de uno de los parámetros, Q varía y el método general basado en analizar lo que ocurre en un horizonte ilimitado a través del promedio anual no sirve. Las alternativas deben compararse dentro de un horizonte finito en el que alcancen un estado idéntico. Desarrolle un modelo matemático que determine el tamaño óptimo en este tipo de decisiones. Solución: Sean Q el tamaño de lote, el costo variable unitario de adquisición (precio) actual Ca1 y el futuro Ca2 (Ca1 < Ca2). Después del aumento de precio el lote será:

40

Q2 =

2 ⋅ D ⋅ Co , y el costo anual será: i ⋅ C a2

E A (Q 2 ) = 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + D ⋅ C a 2

Si aprovechamos la oportunidad se pide un lote de tamaño Q, durante un tiempo Q/D y el costo total del periodo será de: E T (Q ) = C o + Q ⋅ C a1 +

i ⋅ C a1 ⋅ Q 2 Q Q ⋅ i ⋅ C a1 ⋅ = C o + Q ⋅ C a1 + D 2 2⋅ D

Si Q fuese cero, deberíamos pagar Ca2 y el costo correspondiente a un periodo de tiempo T sería ET (Q2 ) Parece razonable seleccionar Q que maximiza: F (Q ) =

i ⋅ C a1 ⋅ Q 2 Q Q ⋅ E A (Q2 ) − ET (Q ) = ⋅ 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + Q ⋅ C a 2 − C o − Q ⋅ C a1 − D D 2⋅ D

Derivamos e igualamos a cero: i ⋅ C a1 ⋅ Q dF (Q ) 1 = ⋅ 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + C a 2 − C a1 − =0 dQ D D

Despejando, obtenemos:

Q* =

2 ⋅ Co ⋅ D ⋅ i ⋅ C a2 i ⋅ C a1

+

⎡C ⎤ D C a 2 − C a1 D C a 2 ⋅ = ⋅ Q 2 + ⎢ a 2 − 1⎥ ⋅ C a1 i C a1 ⎣ C a1 ⎦ i

23) La tienda de electrodomésticos ELCOM se ha especializado en la comercialización de sus productos estrella A y B. El costo por realizar un pedido de cualquiera de estos productos es de 50 $/orden, mientras que el costo anual por almacenarlos corresponde a un 20% del precio de compra, siendo éste igual a 50 $/unidad para el artículo A y 80$/unidad para el artículo B. Se sabe además que la demanda anual por el producto A es de 250 unidades, y para el producto B es de 484 unidades. Por otra parte, la tienda se ha visto restringida económicamente ya que la inversión en artículos A y B no puede superar los 5000 $/orden, y además ha visto restringida su capacidad en bodega, la cual es de un máximo de 500 m2 y en donde cada producto A y B ocupa 10 y 8 m2/unidad, respectivamente. Se pide determinar el tamaño a ordenar de los artículos A y B.

41

Solución: Datos: Co = 50

$ orden

i = 20% P1 = $50 P2 = $80

$ año ⋅ unid $ Ci 2 = $80 ⋅ 0.2 = 16 año ⋅ unid unid D1 = 250 año unid D2 = 484 año Ci1 = $50 ⋅ 0.2 = 10

Restricciones:

Restriccion de presupuesto 50 ⋅ Q1 + 80 ⋅ Q2 ≤ 5000 Restriccion de volumen 10 ⋅ Q1 + 8 ⋅ Q2 ≤ 500 Se calcula el EOQ para cada lectora, es decir, se resuelve el problema no restringido:

Q1 =

2 ⋅ Co ⋅ D1 = Ci1

2 ⋅ 50 ⋅ 250 = 50 10

Q2 =

2 ⋅ Co ⋅ D2 = Ci2

2 ⋅ 50 ⋅ 484 = 55 16

Se verifica si estos valores cumplen con las restricciones: Restricción de Inventario: 50 ⋅ 50 + 80 ⋅ 55 = 6900 > 5000 Los valores determinados no satisfacen la restricción de inventario, por lo tanto se aplica el método de multiplicadores de Lagrange:

42

Para resolver el problema se escoge la restricción de espacio para utilizar Lagrange, puesto que a primera vista parece ser la más restrictiva.

Co ⋅ Di Cii ⋅ Qi 2 ⎛ K (Q1 , Q2 ) = ∑i =1 ⎜⎜ Pi ⋅ Di + + Qi 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ 50 ⋅ 250 10 ⋅ Q1 ⎞ ⎛ 50 ⋅ 484 16 ⋅ Q2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 80 ⋅ 484 + K (Q1 , Q2 ) = ⎜⎜ 50 ⋅ 250 + + + Q1 Q2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ Co ⋅ Di Cii ⋅ Qi ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ ⎟⎟ + λ 2 ⋅ ⎜ ∑ f i ⋅ Qi − C ⎟ + K (Q1 , Q2 , λ 2 ) = ∑i =1 ⎜⎜ Pi ⋅ Di + Qi 2 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ 50 ⋅ 250 10 ⋅ Q1 ⎞ ⎛ 50 ⋅ 484 16 ⋅ Q2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 80 ⋅ 484 + K (Q1 , Q2 , λ 2 ) = ⎜⎜ 50 ⋅ 250 + + + Q1 Q2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ + λ 2 ⋅ (10 ⋅ Q1 + 16 ⋅ Q2 − 500 )

⎞ ⎟⎟ ⎠

Obteniendo las derivadas parciales respecto a las variables:

∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 )) = 0 ⇒ Q1* = ∂ Q1

2 ⋅ Co ⋅ D1 = Ci 1 + 2 ⋅ λ 2 ⋅ f 1

∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 )) = 0 ⇒ Q 2* = ∂Q 2

2 ⋅ Co ⋅ D 2 = Ci 2 + 2 ⋅ λ 2 ⋅ f 2

50 1 + 2 ⋅ λ*2 55 1 + λ*2

∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 )) = 0 ⇒ 10 ⋅ Q1 + 16 ⋅ Q 2 = 500 ∂λ 2 Con el sistema anterior se obtiene: ⎛ 50 10⎜ ⎜ 1 + 2 ⋅ λ* 2 ⎝ λ*2 ≈ 1.76

⎞ ⎛ 55 ⎟ + 8⎜ ⎟ ⎜ 1 + λ* 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ = 500 ⎟ ⎠

Q1* = 23.51 ≈ 23 Q2* = 33.11 ≈ 33 Se verifica esta solucion con la restriccion de presupuesto : 23 ⋅ 50 + 33 ⋅ 80 = 3790 < 5000

Luego, dado que no se viola la restricción, dicha solución es la óptima.

43

Nota: Si se viola la restricción de presupuesto, se debería comenzar a aplicar Lagrange nuevamente pero tomando ahora la restricción de presupuesto para escribir la ecuación de Lagrange. Al obtener los nuevos valores de Q1* y Q2* se debe verificar la restricción de espacio con esta solución. He aquí la importancia de seleccionar bien la restricción a utilizar en la ecuación de Lagrange. Si ahora se viola esta restricción de espacio, no habría otro remedio que utilizar Lagrange con 2 multiplicadores λ1 y λ2 para la restricción 1 y 2, respectivamente, pero lo más probable es que al derivar respecto a Q1, Q2, λ1 y λ2 se llegue a un sistema de ecuaciones no lineales, por lo que habría que resolver este sistema con un método matemático más avanzado. Otra opción, en vez de utilizar Lagrange con 2 multiplicadores, es formular el modelo como un Problema de Programación Lineal, minimizando el costo anual total y sujeto a ambas restricciones, tras lo cual debería solucionarse este problema a través de, por ejemplo, el Método Simplex.

44

PROBLEMAS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE INVENTARIOS

1) La demanda diaria para los mini-ruedas, un juguete muy conocido, está distribuida normalmente con una media diaria de 60 cajas y una desviación estándar de 10 cajas. El abastecimiento prácticamente es seguro, con un tiempo de espera de tres días. El costo de colocación de un pedido es de 6 dólares y los costos anuales de manejo son del 20% del precio unitario, que es de 1,20 dólares. Se desea un nivel de servicio del 90% (Z = 1,282) en nuestro almacén para clientes que colocan pedidos durante el período de reorden. Se puede suponer además que los pedidos llegan a lo largo de 200 días durante el año. a) Determine el punto de reorden b) Determine el nivel de inventario objetivo c) Compare ambos sistemas en términos de costos y cual sistema escogería. Solución: σd =10 cajas Ci = 0,2·1,2 = 0,24 US$/año Z = 1,282

Dd = 60 cajas/día C0 = 6 US$/orden N.d.s. = 90% a) Q * =

L = 3 días Año = 200 días

2 ⋅ 60 ⋅ 200 ⋅ 6 = 775 unidades / orden 0,24

R = Dd L + Zσ L = 60 ⋅ 3 + 1,282 ⋅ 10 3 = 180 + 22,2 = 202,2 ≈ 203 unidades Cuando el punto de reorden llega a 203 unidades debe reabastecerse un lote de 775 unidades (cajas).

b) R' = Dd (T + L) + Zσ (T + L )

T=

775 = 12,91 ≈ 13 días 60

Si L = 3 días: R ' = D d (T + L ) + Z σ (T + L ) = 60 ⋅ (13 + 3) + 1, 282 ⋅ 10 13 + 3 = 960 + 51, 28 = 1011, 28 ≈ 1012 cajas Se revisa el sistema cada 13 días y se ordena la diferencia hasta completar las 1012 cajas. c) Costo anual: E A =

E A a) =

C0 D A ⎛X ⎞ + C i ⎜ + I seg ⎟ + (D A + I seg )⋅ P X ⎠ ⎝2

6 ⋅12.000 ⎛ 775 ⎞ + 0,24 ⋅ ⎜ + 22,2 ⎟ + (12.000 + 22,2 ) ⋅1,2 = US $14.617,87 775 ⎝ 2 ⎠

Por nivel de inventario estimado, asumiendo determinismo con un tamaño de lote igual al EOQ, se tiene para el sistema de revisión periódica:

45

E A b) =

6 ⋅ 12.000 ⎛ 775 ⎞ + 0,24 ⋅ ⎜ + 51,28 ⎟ + (12.000 + 51,28) ⋅ 1,2 = US $14.659,75 775 ⎝ 2 ⎠

Se escogerá, por lo tanto, la alternativa de punto de reorden (revisión continua), ya que es lo más barato debido al menor inventario de seguridad y considerando los supuestos presentados. 2) Un almacén regional compra herramientas manuales a varios proveedores y después las distribuye, de acuerdo con la demanda, a vendedores al detalle de la región. El almacén trabaja cinco días por semana y 52 semanas por año. Sólo puede recibir pedidos cuando está en operación. Los siguientes datos son estimaciones aplicables a los taladros manuales de 3/8 pulgadas, con doble aislamiento y velocidad variable. - Demanda diaria promedio = 100 taladros - Desviación estándar de la demanda diaria = 30 taladros - Tiempo de entrega = 3 días - Costo de manejo de inventario = 9,30 $/unidad·año - Costo de hacer los pedidos = $35/orden - Ciclo del nivel de servicio = 92% a) Si el almacén utiliza un sistema de revisión continua: a1. ¿Qué cantidad de pedido y punto de reorden deberá utilizarse? a2. Si el inventario disponible es de 40 unidades, existe un pedido abierto por 442 taladros y no hay órdenes atrasadas, ¿será conveniente hacer un nuevo pedido? b) Si el almacén utiliza un sistema de revisión periódica: b1. Calcule el valor de P (en días de trabajo, redondeados al día más próximo) que produzca aproximadamente el mismo número de pedidos por año que el EOQ. b2. ¿Cuál es el valor objetivo de inventario T? b3. Ha llegado el momento de revisar este artículo. Y se tiene un inventario en mano de 412 unidades, ¿qué tamaño de unidades habrá que incluir en el nuevo pedido? Solución: a) Sistema de revisión continua: a1. Demanda anual = DA = 100 ⇒

Q* =

2C 0 D A = Ci

taladros días semanas taladros ⋅5 ⋅ 52 = 26.000 día semana año año 2 ⋅ 26.000 ⋅ 35 = 442,37 taladros 9,3

46

R = m + Z·σL; con m = Dd·L = 100·3 = 300 taladros Si se asume aditividad en la varianza: σL2=3·30, luego σ = 30 3 ⇒ B = Z·σL = 1,40·30 3 = 72,75 taladros Entonces R = 300 + 72,75 = 373 taladros. a2. Si hay 40 unidades de inventario en mano y llega una orden de abastecimiento de 442 taladros tendremos 40 + 442 = 482 taladros, por lo cual no es necesario pedir una nueva orden ya que el punto de reorden es 373 unidades, que es inferior a 482. b) Sistema de revisión periódica: b1. T=

Q 442 = ⋅ 260 = 4,42 ≈ 4 dias D 26.000

b2. Nivel de inventario objetivo: R’ = m’ + B’ Con m’ = demanda promedio durante T+ L B’ = inventario de seguridad = Z·σT+L B’ = 1,40·30· 4 + 3 = 111,12 ≈ 111 taladros ⇒ R’ = m’ + B’ = 100·(4+3) + 111 = 811 taladros b3. Si tengo en mano 412 taladros y es tiempo de ordenar, ¿de qué tamaño será la nueva orden? Q = 811 – 412 = 399 unidades 3) La pieza número XB-2001 tiene una demanda independiente anual como piezas de reemplazo de 4.000 unidades, un costo de preparación de 100 dólares, un costo de mantenimiento de inventario de 30% anual y un costo del artículo de 266,67 dólares. Las instalaciones de producción permanecen abiertas cinco días a la semana y 50 semanas al año. El tiempo de entrega para este producto es de 9 días y la desviación estándar de la demanda es de dos unidades diarias. La empresa desea tener un nivel de servicio del 95% para esta pieza de reemplazo (Política I). a) Determine el tamaño óptimo del lote b) Calcule el punto de reorden c) Si la empresa estuviera utilizando un sistema Q de control de inventarios (revisión continua), interprete los resultados de sus cálculos Ahora bien, si consideramos que el producto será administrado según el sistema P, responda lo siguiente: 47

d) ¿Con que frecuencia se deben colocar las órdenes para este producto, si se coloca a intervalos regulares? e) Calcule el nivel objetivo de inventario. f) Declare la regla específica de decisión para este producto con la información que usted ha calculado hasta el momento. g) Suponga que es tiempo para hacer una revisión periódica. Un chequeo del nivel de inventario para este producto nivel que hay 60 unidades disponibles y que 110 se han pedido. ¿Qué se debe hacer? Solución: Sistema Q: a) Q=

b)

2 DC o 2 ⋅ 4000 ⋅100 unidades = = 100 0,3 ⋅ 266,67 Ci orden

Z nds = Z 0,95 = 1,645 ROP = D d ⋅ L + Z nds ⋅ σ L =

4000 ⋅ 9 + 1,645 ⋅ 2 9 = 144 + 9,9 = 153,9 ≈ 154 unidades 5 ⋅ 50

c) Ordenar un lote de 100 unidades cuando el nivel de inventario baja a 154 unidades. Aproximadamente 10 unidades (9,9) en promedio estarán en mano cuando llegue el pedido. En un 5% de los casos habrá un agotamiento de las existencias antes de que llegue el pedido. Sistema P: d) T=

e)

Q 100 años días días días = = 0,025 ⋅ 250 = 6,25 ≈6 D 4000 orden año orden orden

R ' = D d ⋅ (T + L ) + Z nds ⋅ σ (T + L ) =

4000 ⋅ (6 + 9 ) + 1,645 ⋅ 2 6 + 9 250 R ' = 240 + 12,7 = 252,7 ≈ 253 unidades

f) Revisar el inventario cada 6 días y ordenar las unidades necesarias para llegar al nivel de inventario objetivo de 253 unidades. En un 5% de los casos puede haber agotamiento de las existencias durante el tiempo de ciclo más el tiempo de entrega, y para contrarrestarlas, se tiene un inventario de seguridad de aproximadamente 13 (12,7) unidades. g) Inventario = 60 + 110 = 170 ⇒ Q = 253 – 170 = 83 unidades Dado que al revisar las existencias, el inventario es menor al nivel objetivo, se ordena la diferencia del inventario actual con respecto al inventario objetivo, es decir, el tamaño de la orden es de 83 unidades. 48

4) El consultorio de un oftalmólogo permanece abierto 52 semanas al año, 6 días a la semana, y usa un sistema de inventario de revisión continua. Compra lentes de contacto desechables a US$ 11,70 el par. Disponemos de la siguiente información acerca de esos lentes: Demanda = 90 pares /semana Costo de hacer el pedido = US$ 54/pedido Ciclo del nivel de servicio deseado = 80% Z = 0,84 Costo anual de manejo de inventario = 27% del costo Tiempo de entrega = 3 semanas (18 días laborales) Desviación estándar de la demanda semanal = 15 pares Actualmente, el inventario disponible es de 320 pares, sin pedidos abiertos ni ordenes atrasadas. a) b) c) d)

¿Cuál es el EOQ? ¿Cuál sería el tiempo promedio entre pedido (expresado en semanas)? ¿Cuál sería el valor de R? Se acaba de realizar un retiro de 10 pares de lentes del inventario, ¿será éste el momento oportuno para hacer un nuevo pedido? e) La tienda usa actualmente un tamaño de lote de 500 unidades. ¿Cuál es el costo anual de manejo del sistema de inventario con esta política? ¿Y el costo anual de hacer pedidos? Sin calcular el EOQ, ¿de qué manera podría usted deducir, a partir de estos dos cálculos, que el tamaño del lote actual es demasiado grande? f) ¿Cuál sería el costo anual que podría ahorrarse haciendo que el tamaño del lote, en lugar de ser de 500 unidades fuera equivalente al valor de la EOQ? Solución: a) EOQ =

b) T =

2C 0 D A 2 ⋅ 54 ⋅ 90 ⋅ 52 = 400 pares / orden = Ci 0,27 ⋅ 11,70

Q 400 = = 4,44 semanas / orden DS 90

c) R = D S L + Zσ L DS = 90 pares/semana Z =0.84 σL = 15 3 = 15 ⋅1,73 = 25,98 ≈ 26 L = 3 semanas R = D S L + Zσ L = 90 ⋅ 3 + 0,84 ⋅ 26 = 291,84 ≈ 292 pares d) Inventario disponible 320 pares Se retiran 10 pares Inventario actual = 320 – 10 = 310 pares > 292 Por lo tanto, no es el momento de hacer un pedido. e) Q = 500 49

XC i 0,27 ⋅ 11,70 = 500 ≈ 790 2 2 C D 90 ⋅ 52 ≈ 506 Costo de hacer pedido = 0 A = 54 500 X Costo de compras = P ⋅ D A = 11,70 ⋅ 90 ⋅ 52 = 54.756 Costo anual = 790 + 506 + 54.756 = 56.052 US$/año

Costo manejo inventario =

Se puede deducir que el tamaño del lote actual es demasiado grande por el valor del manejo del inventario, el cual es mayor que el costo de hacer el pedido. f) EOQ = 400 C D XC i 54 ⋅ 90 ⋅ 52 0,27 ⋅11,70 EA = 0 A + + DA P = + 400 ⋅ + 90 ⋅ 52 ⋅11,70 ≈ 56.020 US $ / año X 2 400 2 E A500 − E A 400 = 56.052 − 56.020 = 32 US $ / año ⇒ Habrá un ahorro de 32 US$/año

5) La demanda promedio diaria de jeringas desechables en la clínica Santiago es de 50 unidades, el tiempo de entrega son dos días, la cantidad económica del pedido equivale a 300 unidades y el nivel de servicio deseado durante el tiempo de entrega es de 90% (Z0,90 = 1,28). Si la clínica quiere establecer un sistema de revisión periódica en que siempre se haga un pedido durante el periodo de revisión, ¿con qué frecuencia debe revisar sus existencias y cual debe ser el inventario objetivo? Asuma una desviación estándar de la demanda diaria de 5 jeringas. Solución: Datos: Tiempo de entrega = 2 días 90% nivel de servicio Z0,90 = 1,28 Q = 300 unidades/orden σd = 5 jeringas Sistema de revisión periódica: D A = 50 ⋅ 365 unidades / año = 18.250 unidades / año Q 300 T= = = 0,0164 años / orden ≈ 6 días / orden D A 18.250

σ (T + L ) = 5 ⋅ 6 + 2 = 14,142 unidades Luego, el nivel de inventario objetivo: R ' = D d (T + L) + Z ⋅ σ (T + L ) = 50 ⋅ (6 + 2) + 1,28 ⋅14,142 ≈ 418 unidades Así, se revisa el sistema cada 6 días y se ordena la diferencia hasta completar las 418 unidades.

50

6) La empresa ABC mantiene un inventario de 100 artículos diferentes. En promedio, cada artículo cuesta mantenerlo en inventario durante un año un valor de US$10 y hacer un pedido cuesta US$100. La política de la empresa ha sido el entregar un servicio de excelencia, por lo que desea que el nivel de agotamientos se mantenga a un nivel mínimo. Sin embargo, un estudio de consultoría ha demostrado que el número de unidades agotadas en un año es de un 10%, lo que es considerado inaceptable por el gerente de la empresa. Él le ha dicho entonces al consultor que está dispuesto a invertir hasta US$200.000 en aumentar el nivel de servicio desde el 90% actual a un 99,5%. Se pide a usted determinar si es posible realizar el mejoramiento del nivel de servicio de acuerdo a como lo desea el gerente con el presupuesto disponible. Otros datos para un artículo típico son: Demanda promedio anual = 12.500 unidades Demanda promedio durante el tiempo de entrega = 2.000 unidades El tiempo de entrega es aleatorio y varía entre 7 y 9 semanas. Usted puede asumir que se distribuye de acuerdo a una función de probabilidades uniforme entre ambos valores. Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega = 200 unidades Nota: 1 año = 50 semanas Solución: Primero, expresamos los datos para un artículo típico, en función de las unidades totales: Datos:

N = 100 artículos US $ US $ US $ = 10 ⋅100 artículo = 1000 C i = 10 año ⋅ artículo año ⋅ artículo año US $ C o = 100 orden n.d.s.1 = 90% (actual) ⇒ β1 = 0,1 = fracción de unidades agotadas en el año (Política II) n.d.s.2 = 99,5% (deseado) ⇒ β2 = 0,005 = fracción de unidades agotadas en el año (Política II) unidades unidades D A = 12.500 = 12.500 ⋅100 artículo = 1.250.000 unidades artículo artículo unidades unidades D L = 2.000 = 2.000 ⋅100 artículo = 200.000 unidades artículo artículo σL = 200 unidades L ∼ Uniforme [ 7 ; 9 ] , entonces: 7+9 L= semanas = 8 semanas 2 Inversión ≤ 200.000 US$/año 51

Sabiendo que lo deseado es aumentar el nivel de servicios, es decir, aumentar el inventario de seguridad, compararemos los costos anuales de la situación actual con la deseada, para saber si la inversión será suficiente. Para ello, primero calculamos el EOQ para luego obtener el Z1 asociado al nivel de servicio actual: Q* =

β1 =

2 ⋅ D A ⋅ C0 = Ci

σ L ⋅ E (Z 1 ) Q*

=

unidades 2 ⋅1.250.000 ⋅100 = 500 orden 1.000

200 ⋅ E ( Z 1 ) = 0,1 ⇒ E ( Z 1 ) = 0,25 500

De la tabla para E(Z1), obtenemos: E(Z) 0,267 0,25 0,230

Z 0,30 Z1 0,4

Usando interpolación lineal se obtiene: Z1 =

(0,4 − 0,3) ⋅ (0,25 − 0,267) + 0,3 = 0,346 (0,230 − 0,267)

Con estos datos podríamos calcular el inventario de seguridad actual (B1) y posteriormente el costo anual correspondiente (EA1), pero para ahorrarnos algunos cálculos, obtendremos primero los datos necesarios para calcular el inventario de seguridad de la situación deseada (B2). Para ello calculamos:

β2 =

σ L ⋅ E (Z 2 ) Q*

=

200 ⋅ E ( Z 2 ) = 0,005 ⇒ E ( Z 2 ) = 0,0125 500

De la tabla para E(Z2), obtenemos: E(Z) 0,014 0,0125 0,011

Z 1,80 Z2 1,90

Nuevamente, usando interpolación lineal se obtiene:

Z2 =

(1,90 − 1,80) ⋅ (0,0125 − 0,014) + 1,80 = 1,85 (0,011 − 0,014)

52

Finalmente, si restamos los costos anuales de la situación deseada y la actual, obtenemos: E A2 = C 0 ⋅

DA ⎛ Q* ⎞ + Ci ⋅ ⎜ + B2 ⎟ Q* ⎝ 2 ⎠

E A1 = C 0 ⋅

DA ⎛ Q* ⎞ + Ci ⋅ ⎜ + B1 ⎟ Q* ⎝ 2 ⎠

∆E A = E A2 − E A1 = C i ⋅ ( B 2 − B1 ) ∆E A = C i ⋅ ( Z 2 ⋅ σ L − Z 1 ⋅ σ L )

∆E A = 1000 ⋅ (1,85 ⋅ 200 − 0,346 ⋅ 200) US $ ∆E A = 300.800 > 200.000 US $ /año año ∴No es posible realizar el mejoramiento del nivel de servicio, de acuerdo a como lo desea el gerente, dado que la inversión que se debería realizar es mayor que el presupuesto disponible.

7) Considere la empresa I.P.T. donde la demanda anual de su producto “Inter” es de 1.000 unidades, el costo de ordenar es $100 por orden y el costo de conservación de inventario anual es de un 25% sobre precio de $20 por unidad. Además se sabe que la fracción de unidades agotadas en un año es de 5%, el tiempo de entrega es de 15 días y la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega es igual a 50. Con los datos dados determine: a) El EOQ, el ROP y el costo anual para un sistema de revisión continua b) El tiempo de ciclo, el inventario objetivo y el costo anual para un sistema de revisión periódica. c) ¿Qué diferencia hay entre el inventario de seguridad de a) con respecto a b)? y ¿por qué se da esta diferencia? d) Determine a) y b) si ahora se desea que no haya más de una unidad agotada en el año. e) Determine a) y b) si ahora el n.d.s. deseado es de un 95% (Política I). Solución: a) Política II (fórmula β), Revisión Continua: EOQ =

2D ACo = Ci

2 ⋅ 1000 ⋅ 100 unidades = 200 0,25 ⋅ 20 orden

ROP = Dd ⋅ L + Z nds ⋅ σ L

53

Para obtener el Znds:

β = 0,05 =

σ L ⋅ E (Z ) Q

⇒ E (Z ) =

0,05 ⋅ 200 ≈ 0,2 50

De la tabla: E(Z) 0,230 0,200 0,198

Z 0,4 Znds 0,5

Con interpolación lineal: 0,4 − Z nds 0,4 − 0,5 = ⇒ Z nds = 0,49 0,230 − 0,198 0,230 − 0,200 Luego:

ROP =

1000 ⋅ 15 + 0,49 ⋅ 50 = 65,6 ≈ 66 unidades 365

Co D A ⎛Q ⎞ + C i ⎜ + S ⎟ + P (D A + S ) Q ⎝2 ⎠ 100 ⋅ 1000 ⎞ ⎛ 200 EA = + 0,25 ⋅ 20⎜ + 0,49 ⋅ 50 ⎟ + 20(1000 + 0,49 ⋅ 50 ) 200 ⎝ 2 ⎠ $ E A = 21.147 año EA =

b) Política II (fórmula β), Revisión Periódica: Asumiendo determinismo, con un Q = EOQ , se tiene: T=

200 Q días = = 73 Dd 1000 365 orden

Para obtener la desviación estándar durante el tiempo T+L se tiene: σ 2 50 2 σ L 2 = 50 2 ⇒ σ d 2 = L = L 15 (15 + 73) ⇒ σ = 50 15 + 73 ⇒ σ T2 + L = 50 2 T +L 15 15 Luego, para obtener Znds, primero calculamos E(Z) con la siguiente fórmula:

β=

σ T + L ⋅ E (Z ) Q

⇒

E (Z ) =

0,05 ⋅ 200 15 + 73 50 15

= 0,083

54

De la tabla, se tiene que si E(Z) = 0,083 ⇒ Znds = 1 De esta manera obtenemos el nivel de inventario objetivo y el costo anual: R ' = D d ⋅ (T + L ) + Z nds ⋅ σ T + L =

1000 15 + 73 ⋅ (15 + 73) + 1 ⋅ 50 = 362,2 ≈ 362 unidades 365 15

EA =

Co D A ⎛Q ⎞ + C i ⎜ + S ⎟ + P (D A + S ) Q ⎝2 ⎠

EA =

⎛ ⎛ 200 100 ⋅1000 15 + 73 ⎞ 15 + 73 ⎞ ⎟ ⎟ + 20 ⋅ ⎜1000 + 1 ⋅ 50 + 0,25 ⋅ 20 ⋅ ⎜⎜ + 1 ⋅ 50 ⎜ 200 15 ⎟⎠ 15 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 2

E A = 24.027,7

$ año

c) Sb) > Sa) El sistema P siempre requiere mayor inventario de seguridad que el sistema Q para igual nivel de servicio, porque el sistema P debe proporcionar ese porcentaje de satisfacción de la demanda durante un tiempo P+L, mientras que el sistema Q debe protegerse contra inexistencias sólo durante un tiempo L. d) Q y T siguen siendo los mismos. Además, para este ítem utilizamos la fórmula para N, dependiendo si es un sistema Q (a) o un sistema P (b) d.a) Política II (fórmula N), Revisión Continua: D N = A ⋅ σ L ⋅ E (Z ) Q 1000 1= ⋅ 50 ⋅ E (Z ) ⇒ E (Z ) = 0,004 200 De tabla se tiene que si E(Z) = 0,004 ⇒ Znds = 2,3 Luego: ROP =

1000 ⋅15 + 2,3 ⋅ 50 = 156,1 ≈ 156 unidades 365

100 ⋅1000 ⎛ 200 ⎞ + 0,25 ⋅ 20⎜ + 2,3 ⋅ 50 ⎟ + 20(1000 + 2,3 ⋅ 50) 200 ⎝ 2 ⎠ $ E A = 23.875 año

EA =

55

d.b) Política II (fórmula N), Revisión Periódica: D N = A ⋅ σ T + L ⋅ E (Z ) Q 1=

1000 15 + 73 ⋅ 50 ⋅ E (Z ) ⇒ 200 15

E (Z ) = 0,002

De tabla se tiene que si E(Z) = 0,002 ⇒ Znds = 2,5 Luego: R' =

1000 15 + 73 ⋅ (15 + 73) + 2,5 ⋅ 50 = 543,9 ≈ 544 unidades 365 15

EA =

⎛ ⎛ 200 100 ⋅1000 15 + 73 ⎞ 15 + 73 ⎞ ⎟ ⎟ + 20 ⋅ ⎜1000 + 2,5 ⋅ 50 + 0,25 ⋅ 20 ⋅ ⎜⎜ + 2,5 ⋅ 50 ⎜ ⎟ ⎟ 200 2 15 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E A = 28.569,1

$ año

e) Q y T siguen siendo los mismos. Si el n.d.s. = 95%, entonces, de la tabla normal se tiene que Znds = 1,645 ≈ 1,65 e.a) Política I (Z∼Normal), Revisión Continua:

ROP =

1000 ⋅15 + 1,65 ⋅ 50 = 123,6 ≈ 124 unidades 365

100 ⋅1000 ⎛ 200 ⎞ + 0,25 ⋅ 20⎜ + 1,65 ⋅ 50 ⎟ + 20(1000 + 1,65 ⋅ 50) 200 ⎝ 2 ⎠ $ E A = 23.062,5 año

EA =

e.b) Política I (Z∼Normal), Revisión Periódica: R' =

1000 15 + 73 ⋅ (15 + 73) + 1,65 ⋅ 50 = 440,9 ≈ 441 unidades 365 15

EA =

⎛ ⎛ 200 100 ⋅1000 15 + 73 ⎞ 15 + 73 ⎞ ⎟ ⎟ + 20 ⋅ ⎜1000 + 1,65 ⋅ 50 + 0,25 ⋅ 20 ⋅ ⎜⎜ + 1,65 ⋅ 50 ⎜ ⎟ ⎟ 200 2 15 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E A = 25.995,6

$ año

56

8) Miró-Kandinsky una empresa que vende equipos de arte para niños, tiene un costo de lanzamiento de $40 por pedido para el equipo MK-1. El costo de almacenar el inventario del MK-1, es de $5 por equipo al año. Con el fin de cumplir con la demanda, Miró-Kandinsky ordena grandes cantidades de MK-1 siete veces al año. El costo de una falta de inventario para MK-1 se estima en $50 por equipo. En el curso de los últimos años. Miró–Kandinsky ha observado la siguiente demanda durante el plazo de entrega del MK-1: Demanda durante el plazo Demanda durante el plazo de Prob. de reaprovisionamiento reaprovisionamiento 40 0,1 70 50 0,2 80 60 0,2 90

Prob. 0,2 0,2 0,1

El punto de pedido del MK-1 es de 60 unidades. a) ¿Qué nivel de inventario de seguridad se debe mantener para MK-1? b) Suponga que un distribuidor más pequeño le compra este producto a MiróKandinsky, a un precio de $50 y lo vende a un precio de $70 la unidad. Si no vende el producto, este distribuidor puede devolverlo a Miró-Kandisky, a un costo de $5 menos, por manipulación y almacenamiento. Asuma la misma distribución anterior para determinar el número de unidades que el distribuidor más pequeño debe almacenar. Solución: C0 = 40 $/pedido Cf = 50 $/año

Ci = 5 $/año N° de órdenes = 7 veces/año Punto de pedido es de 60 unidades

a) Inventario Costo de Almacenamiento seguridad adicional

Costo de ruptura de inventarios

Costo total

30

30·5 =150

0

$150

20

20·5 =100

10·0,1·50·7 = 350

$450

10

10·5 =50

0

0

10·0,2·50·7+20·0,1·50·7 = 700+700 = 1400 10·0,2·50·7+20·0,2·50·7+30·0,1·50·7 = = 700+1400+1050 = 3.150

$1450 $3.150

En consecuencia el nivel de inventario de seguridad es de 30 unidades, pues es lo que representa un menor costo. b) ML: pérdida marginal = $5 MP: beneficio marginal = $70 – $50 = $20

57

pˆ ≥

ML 5 ⇒ pˆ ≥ = 0,2 ML + MP 20 + 5

Demanda 40 50 60 70 80 90

Probabilidad de que la demanda esté a este nivel 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1

Probabilidad acumulada de que la demanda esté a este nivel o a uno mayor 1 0,9 0,7 0,5 0,3 ≥ 0,2 0,1

Por lo tanto la mejor política es almacenar 80 unidades. 9) Una florista compra rosas cada mañana de su proveedor habitual a 6 dólares la docena y ella las vende al el mismo día al público a 15 dólares. Si las rosas no son vendidas el mismo día, estas son vendidas al día siguiente a 3 dólares por docenas. La demanda por rosas frescas en la florería, esta dado por la siguiente distribución: Demanda (docenas) 06 08 10 12 14 16 18

Probabilidad 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1

Probabilidad acumulada 0,1 0,3 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0

Calcule el número de docenas óptimas de rosas, que la florista deba comprar a fin de maximizar su utilidad diaria. Solución: Sea p = $15 dólares, c = $6 dólares, s = $ 3 dólares De esta manera, la probabilidad crítica es: p − c 15 − 6 = 0,75 P≥ = p − s 15 − 3 Por lo tanto, la cantidad óptima a pedir estará entre 12 y 14 docenas, y si tomamos en cuenta que sólo pueden presentarse las demandas dadas en la tabla, dado que la probabilidad debe ser mayor o igual a 0,75 la florista debería comprar 14 docenas de rosas.

58

10) Se sabe que el tiempo de espera para la entrega de hamburguesas congeladas a un restaurante de servicio rápido es de tres días. La demanda diaria se ha registrado de la siguiente forma: Demanda diaria 1200 1300 1400

Probabilidad 0,3 0,2 0,5

Si el nivel de servicio deseado por la gerencia es de un 85%, según los datos entregados determine: a) El inventario de seguridad necesario para obtener tal nivel de servicio. b) El punto de reorden de este sistema. Solución: Demanda diaria 1200 1300 1400

Probabilidad

Dj·P(Dj)

(Dj - µ)2

(Dj-µ)2·P(Dj)

0.3 0.2 0.5

360 260 700 1320

14.400 400 6.400

4.320 80 3.200 7600

Suma k

µ = ∑ D j P ( D j ) = 1.320 unidades j =1

3

σ 2 = ∑ ( D j − µ ) 2 P ( D j ) = 7.600 ⇒ σ = 7600 = 87,2 unidades j =1

Si el nivel de servicio es del 85%, entonces, asumiendo que la demanda diaria se distribuye normal, se tiene Zn.d.s. = 1,04; luego, tomando en cuenta un sistema de revisión continua: Existencia de seguridad: B = Z n.d .s. ⋅ σ L = 1,04 ⋅ 87,2 3 = 157,08 ≈ 157 unidades Punto de reposición: R = Dd L + B = 1.320 ⋅ 3 + 157 = 4117 unidades 11) Clone Computer Mart estima la distribución de la demanda correspondiente a cajas de disquetes, durante el tiempo de entrega, tal como se indica a continuación:

59

Demanda Probabilidad 20 0,20 40 0,40 60 0,20 80 0,10 100 0,10 a) Si se utiliza un sistema de revisión continua, ¿qué punto de reorden , R, proporciona un ciclo del nivel de servicio de 80%? b) ¿Cuál tendrá que ser el inventario de seguridad? Solución: 1º Método: D L = ∑ Di ⋅ P( Di ) = 20 ⋅ 0,20 + 40 ⋅ 0,40 + 60 ⋅ 0,20 + 80 ⋅ 0,10 + 100 ⋅ 0,10

D L = 50 unidades

(

σ L 2 = ∑ Di − D L

)

2

⋅ P (Di )

σ L = (20 − 50) ⋅ 0,2 + (40 − 50) 2 ⋅ 0,4 + (60 − 50) 2 ⋅ 0,2 + (80 − 50) 2 ⋅ 0,1 + (100 − 50) 2 ⋅ 0,1 σ L 2 = 580 ⇒ σ L = 24,08 ≈ 24 unidades 2

2

Suponiendo que la demanda se distribuye Normal, si se requiere un nivel de servicio de 80%, esto quiere decir: P( X < Z ) = 0,8 De la tabla normal tipificada de 0 a Z se tiene que “una entrada en la tabla es la proporción bajo toda la curva que está entre Z = 0 y un valor positivo de Z”, es decir, en nuestro caso sería necesario buscar el valor de Z para el cual la proporción sea 0.3, recordando que la distribución Normal es simétrica con media cero, y así la proporción bajo la curva para valores menores o iguales a cero es 0,5.

Z0,5 = 0

0,5

Z0,3 = ?

0,3

p = 0,8 n.d.s. = 80% 60

De la tabla se obtiene: Proporción 0,2995 0,3 0,3023

Z 0,84 Z0,3 0,85

Con interpolación lineal: 0,2995 − 0,3023 0,3 − 0,3023 = ⇒ Z 0.3 = 0,8417 ≈ 0,84 Z 0,3 − 0,85 0,84 − 0,85 Por lo tanto: a)

R = D L + Z 0,3 ⋅ σ L = 50 + 0,84 ⋅ 24 = 70,16 ≈ 70 unidades

b)

B = Z 0,3 ⋅ σ L = 0,84 ⋅ 24 = 20,16 ≈ 20 unidades

2º Método: a) Se realiza la distribución acumulada correspondiente a la demanda y se selecciona R de modo que la probabilidad de que la demanda sea menor o igual a R sume en total 0,8: Demanda

Probabilidad

20 40 60 80 100

0,20 0,40 0,20 0,10 0,10 1,00 ∴Se selecciona R = 60 unidades

Probabilidad Acumulada 0,20 0,60 0,80 0,90 1,00

b) El valor de Inventario de Seguridad es R menos la demanda promedio dentro del tiempo de entrega: D L = 50 unidades ⇒ B = R − D L = 60 − 50 = 10 unidades

12) Una empresa X utiliza un sistema de gestión de inventarios con una política de revisión continua para su producto estrella. Éste posee una demanda anual promedio de 1.000 unidades, la cual se divide en una demanda promedio de 4 unidades por día con un tiempo de entrega promedio de 4 días (supóngase que la demanda del tiempo de entrega tiene una distribución normal con desviación 61

estándar de 4). Los costos de ordenar son $10 por orden, el costo de conservación es de $2 por unidad por año y el costo por faltante es de $1 por unidad. Determine la cantidad óptima a ordenar y el punto de reorden que equilibra los costos esperados por faltantes y los de mantener inventario. Solución: Cantidad óptima a ordenar: Q=

2C o D A = Ci

unidades 2 ⋅10 ⋅1000 = 100 orden 2

Para el ROP, dado que contamos con el costo por faltantes y la demanda no es determinística, debemos usar la fórmula “probabilidad de que no ocurra un faltante” (Pr): D Q

1000 100 = 0,833 = Pr = D 1000 C f ⋅ + C i 1⋅ +2 Q 100 Cf ⋅

1⋅

Luego, de tabla normal se tiene que Z0,833 = 0,97 Finalmente:

ROP = D d ⋅ L + Z nds ⋅ σ L = 4 ⋅ 4 + 0,97 ⋅ 4 = 19,9 ≈ 20 unidades 13) Un proveedor de árboles de navidad ha evaluado la demanda semanal en noviembre y diciembre a lo largo de los últimos siete años. La demanda normalmente está distribuida con una media de 350 árboles por semana y con una desviación estándar de 200. Para asegurar suministros frescos y mantener una reputación de calidad, los árboles se cortan con una semana de anticipación a la demanda. Un árbol de navidad en promedio se vende a 6 dólares que es el precio de mayorista local, y si no se vende localmente, otra posibilidad de venta es embarcarlo fuera del estado y venderlo a 2 dólares (vendiéndolo como “no cortado fresco”). El costo de cuidar y cosechar el árbol es de 3,75 dólares. ¿Cuál debe ser el pedido semanal (cosecha) para la próxima temporada de navidad? Hint: En productos perecibles, existe el costo de escasez por no tener existencia (Cu) y los costos de tener demasiada existencia (Co). Por lo tanto la cantidad critica (CC) o cuantil, es el nivel de servicio que aumenta las utilidades. Siendo CC= (Cu) / [(Cu) + (Co)].

62

Solución: Datos: Dsemanal = 350

árboles semana

L = 1 semana dólares Pmayor = 6 árbol

árboles semana dólares Costo = 3,75 árbol dólares Pmenor = 2 árbol

σ semanal = 200

Luego: Cu = Pmayor − Costo = 6 − 3,75 = 2,25 Co = Costo − Pmenor = 3,75 − 2 = 1,75 ⇒ CC =

2,25 Cu = = 0,5625 ⇒ Cu + Co 2,25 + 1,75

n.d .s. = 56,25%

⇒ Z nds = 0,1573

Luego, la cantidad semanal de árboles a pedir (cosechar) para la próxima temporada de navidad está dada por: Pedido Semanal = Dsemanal ⋅ Lsemanal + Z nds ⋅ σ L Pedido Semanal = 350 ⋅1 + 0,1573 ⋅ 200 1 Pedido Semanal = 381,46 ≈ 381 árboles

14) Gemtronic Corporation produce componentes eléctricos para la industria automotriz. La demanda para el modelo XK202 ha mostrado una pequeña variación estacional, sin embargo esta se distribuye normalmente con una media de 700 unidades por día y una desviación estándar diaria de 100. La compañía trabaja usualmente 250 días al año, con un lead time de diez días debido al tiempo de setup y programación de las máquinas para realizar el componente. El costo para iniciar la producción es de US$200 y la tasa de producción para el modelo XK202 es de 4.000 unidades por día. El costo de mantener una unidad de producto es de US$0,25 por año. A partir de la información anterior, calcule: a) La cantidad óptima de producción. b) El punto de reorden, dado un nivel de servicio de 96% (Z96% = 1,75)

63

Solución: a) Dd = 700 unidades ± 100 unidades/día Pd = 4.000 unidades/día C0 = 200 US$/orden Ci = 0,25/250 US$/(unidad·día) = 0,001 US$/(unidad·día) Luego: X * = X* =

2C0 DP Ci ( P − D ) 2 ⋅ 200 ⋅ 700 ⋅ 4.000 = 18.422,65 unidades / orden 0,001 ⋅ (4.000 − 700)

La cantidad óptima, basada en la demanda promedio, es de 18.422,65 ≈ 18.423 unidades/orden. b) R = Dd L + Z n.d .s. ⋅ σ L

σ L = 100 ⋅ 10 = 316,23 unidades Entonces: R = D d L + Zσ L = 700 ⋅10 + 1,75 ⋅ 316,23 = 7.000 + 553,39 = 7.553,39 ≈ 7.553 unidades Cuando el nivel de inventario llega a 7.553 unidades se debe ordenar un lote de 18.423 unidades. 15) La Akaga Corporation distribuye productos de robótica en todo Japón. El gerente de marketing estima que la demanda para el año siguiente será de 60.000 unidades, con una desviación estándar de 12.000 unidades. El precio básico de un sistema de robótica es de $ 7.500 y el costo de hacer un pedido, incluidos los aspectos de ingeniería, es de $ 2.000. El costo estimado de manejo de inventario equivale al 15% del precio base por unidad y por año. La gerencia desea mantener un ciclo del nivel de servicio de 95% (es decir, una probabilidad de 5% de que se presenten faltantes). El tiempo de entrega es de 1 mes. El proveedor ha propuesto el siguiente plan de descuento sobre precios: Pedido mínimo 5.000 10.000 30.000

Descuento 1% 2% 3%

a) ¿Con qué cantidad de pedido óptima y de punto de reorden se minimiza el total de costos? b) ¿Cuáles son los costos totales de inventario y el nivel de inventario de seguridad correspondiente a la política óptima? 64

c) ¿Deberá aprovechar la compañía el plan de descuento de precios? En caso afirmativo, ¿en que nivel? d) ¿Qué proporción del total de los costos corresponde a los costos de inventario, en el caso de la política óptima? e) ¿Cuál sería el impacto en la política óptima si la probabilidad de que se presenten faltantes aumentara a 10% Solución: Datos: ⎛ unidades ⎞ D A = 60.000⎜ ⎟ ⎝ año ⎠ ⎛ unidades ⎞ σ A = 12.000⎜ ⎟ ⎝ año ⎠ L = 1 mes

⎛ $ ⎞ C 0 = 2.000⎜ ⎟ ⎝ orden ⎠ $ ⎛ ⎞ C i = 0,15 ⋅ Pi ⎜ ⎟ ⎝ unidades ⋅ año ⎠ n.d.s. = 95%

Tomando en cuenta el precio básico (P0) y los precios con descuento sobre P0, se tiene la siguiente tabla: P P0 = 7.500 P1 = 7.425 P2 = 7.350 P3 = 7.275

Q Menos de 5.000 5.000 a 9.999 10.000 a 29.999 30.000 ó más

a) Primero calculamos el EOQ para cada intervalo, luego calculamos los costos anuales para los Q factibles, y para los infactibles evaluamos el costo anual en el Q mínimo del intervalo correspondiente. Q ( Pi ) =

2 ⋅ D A ⋅ C 0 ⎛ unidades ⎞ ⎜ ⎟ 0.15 ⋅ Pi ⎝ orden ⎠

Q ( P0 ) =

2 ⋅ 60.000 ⋅ 2.000 ⎛ unidades ⎞ = 461,9 ≈ 462⎜ ⎟ < 5.000 ⇒ Factible 0.15 ⋅ 7.500 ⎝ orden ⎠

Q ( P1 ) =

2 ⋅ 60.000 ⋅ 2.000 ⎛ unidades ⎞ = 464,2 ≈ 464⎜ ⎟ < 5.000 ⇒ Infactible 0.15 ⋅ 7.425 ⎝ orden ⎠

Q ( P2 ) =

2 ⋅ 60.000 ⋅ 2.000 ⎛ unidades ⎞ = 466,6 ≈ 467⎜ ⎟ < 10.000 ⇒ Infactible 0.15 ⋅ 7.350 ⎝ orden ⎠

Q ( P3 ) =

2 ⋅ 60.000 ⋅ 2.000 ⎛ unidades ⎞ = 469⎜ ⎟ < 30.000 ⇒ Infactible 0.15 ⋅ 7.275 ⎝ orden ⎠

65

Para los costos anuales necesitamos el inventario de seguridad, y para ello, el valor de Z que corresponde a un nivel de servicio de 95% (asumiendo que la demanda se distribuye Normal). En el caso de la tabla entregada en la prueba, buscamos Z0,45 y obtenemos: Proporción 0,4495 0,45 0,4505

Z 1,64 Z0,45 1,65

Con interpolación lineal: 0,4495 − 0,4505 0,45 − 0,4505 = ⇒ Z 0.45 = 1,645 Z 0, 45 − 1,65 1,64 − 1,65 Luego, los costos anuales serían: C ⋅D ⎛Q ⎞ E A (Q, Pi ) = 0 A + 0,15 ⋅ Pi ⋅ ⎜ + B ⎟ + D A ⋅ Pi Q ⎝2 ⎠ E A (Q = 462, P0 ) =

⎛ 462 2000 ⋅ 60000 12000 ⎞ ⎛ $ ⎞ ⎟⎟ + 60000 ⋅ 7500 = 456.930.368,3⎜ + 0,15 ⋅ 7500 ⋅ ⎜⎜ + 1,645 ⋅ ⎟ 462 12 ⎠ ⎝ año ⎠ ⎝ 2

E A (Q = 5000, P1 ) =

2000 ⋅ 60000 12000 ⎞ ⎛ 5000 ⎛ $ ⎞ + 0,15 ⋅ 7425 ⋅ ⎜ + 1,645 ⋅ ⎟ + 60000 ⋅ 7425 = 454.655.020,5⎜ ⎟ 5000 12 ⎠ ⎝ año ⎠ ⎝ 2

E A (Q = 10000, P2 ) =

2000 ⋅ 60000 12000 ⎞ ⎛ 10000 ⎛ $ ⎞ + 0,15 ⋅ 7350 ⋅ ⎜ + 1,645 ⋅ ⎟ + 60000 ⋅ 7350 = 452.807.038⎜ ⎟ 10000 12 ⎠ ⎝ año ⎠ ⎝ 2

E A (Q = 30000, P3 ) =

2000 ⋅ 60000 12000 ⎞ ⎛ 30000 ⎛ $ ⎞ + 0,15 ⋅ 7275 ⋅ ⎜ + 1,645 ⋅ ⎟ + 60000 ⋅ 7275 = 459.091.180,5⎜ ⎟ 30000 12 ⎠ ⎝ año ⎠ ⎝ 2

Comparando los costos anuales, el menor se da cuando Q = 10.000 ⎛ unidades ⎞ ∴ Q* = 10.000⎜ ⎟ ⎝ orden ⎠ 12.000 60.000 ∴ ROP = D M ⋅ L + Z 0, 45 ⋅ σ L = ⋅1 + 1,645 ⋅ = 10.698 unid. 12 12 b) ⎛ 10.000 12.000 ⎞ ⎛ Q* ⎞ ⎛ $ ⎞ ⎟⎟ = 11.795.038⎜ CiTOTAL = Ci ⋅ ⎜ + B ⎟ = 0,15 ⋅ 7.350 ⋅ ⎜⎜ + 1,645 ⋅ ⎟ 12 ⎠ ⎝ año ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 12.000 B = Z 0, 45 ⋅ σ L = 1,645 ⋅ = 5.698,4 ≈ 5.698 unidades 12

c) Sí, porque con Q* = 10.000 (unidades/orden), en un nivel de precios P2 = 7.350 ($/unidad) correspondiente a un descuento de 2% sobre el precio básico (P0), se minimizan los Costos Totales.

66

d) %CiTOTAL =

CiTOTAL 11.795.038 ⋅100 = ⋅100 = 2,6% EA 452.807.038

e) Si la probabilidad de que se presenten faltantes aumentara a 10%, disminuiría el inventario de seguridad, disminuyendo así el ROP y los Costos Anuales. Si bien ahora disminuyen los costos de mantener el nuevo inventario de seguridad, esta disminución es casi la misma para los distintos Pi, por lo que la decisión sobre el Q* no cambia, es decir, Q* = 10.000 (unidades/orden) se mantiene. Ahora, para el nuevo n.d.s. de 90% buscamos Z0.40 en la tabla dada, y obtenemos: Proporción 0,3997 0,40 0,4015

Z 1,28 Z0,40 1,29

Con interpolación lineal: 0,3997 − 0,4015 0,40 − 0,4015 = ⇒ Z 0.40 ≈ 1,28 Z 0, 40 − 1,29 1,28 − 1,29 Los nuevos valores para B, ROP y EA serán: B = Z 0, 40 ⋅ σ L = 1,28 ⋅

12.000 12

= 4.434 unidades

12.000 60.000 ⋅1 + 1,28 ⋅ = 9.434 unidades 12 12 2.000 ⋅ 60.000 ⎛ 10.000 ⎞ ⎛ $ ⎞ EA = + 0,15 ⋅ 7.350 ⋅ ⎜ + 4.434 ⎟ + 60.000 ⋅ 7.350 = 451.412.985⎜ ⎟ 10.000 ⎝ 2 ⎠ ⎝ año ⎠

ROP = D M ⋅ L + Z 0, 40 ⋅ σ L =

67

II UNIDAD Planificación de Requerimientos de Materiales (MRP) Planificación Agregada Secuenciamiento / Asignación

68

PROBLEMAS DE MRP

1) Se tiene la siguiente estructura de componentes para un producto A. A

B(1) Prod. A B C D E F

F(3)

D

C(1)

E(1)

B(1)

E

C(1)

Tiempo Inventario de la inicial orden 3 4 5 6 500 200 500 1000 1 200 2000 1000 2 6000 1 1000 200 200 500 500 1 200 200 500 1 200 1000 1500 1000 1 1500 Demanda por periodo

B(1)

F

C(1)

D(1)

Recepciones programadas 2 3 4 200 200 200 6000 200

200 3000 500

3000 500

E(1)

Tipo de lote ordenamiento Lote a lote L. min. 2000 L. min. 3000 L. min. 200 L. min. 600 Lote a lote

Determine las Órdenes de Producción y las Órdenes de Compras sugeridas para los distintos períodos. Por política de la empresa el componente F debe tener un inventario mínimo para cada período de 1.000 unidades. Solución: Producto A (Lote a lote, Lead time = 1) Periodo Req. Bruto Inventario Final Recep. Prog. Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

1

2

200

400 200

3 500 100 200

4 200 100 200 400

5 500 0

6 1000 0

400 400 1000

1000

Producto F (Lote a lote, hijo de A, Inventario mínimo = 1000, Lead time = 1) Periodo

1

2

1500

1500

Req. Bruto Inventario Final Recep. Prog.

3 200 +0 200 1800 500

4 1000 + 3·400 2200 1000 500

5 1500 + 3·1000 4500 1000

6 1000 +0 1000 1000

69

Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

900

900 900 4500

4500 4500 1000

1000 1000

4 200 + 4500 4700 0

5 500 + 1000 1500 0

6 500 +0 500 0

4700 4700 1500

1500 1500 500

500 500

5 200 + 1000 + 500 1700 0

6 500 +0 +0 500 0

1700 1700 600

500 600

Producto D (Lote mínimo = 200, hijo de F, Lead time = 1) Periodo

1

2

0

200 200

Req. Bruto Inventario Final Recep. Prog. Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

700

3 200 + 900 1100 0 200 700 700 4700

Producto E (Lote mínimo = 600, hijo de D y F, Lead time = 1) Periodo

1

0

2 0 0 + 700 700 0

700

700 700 2600

Req. Bruto Inventario Final Recep. Prog. Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

3 0 + 900 + 4700 5600 0 3000 2600 2600 3200

4 200 + 4500 + 1500 6200 0 3000 3200 3200 1700

Producto B (Lote mínimo = 2000, hijo de A, D y E, Lead time = 2) Periodo Req. Bruto Inventario 6000 Final Recep. Prog. Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

1 0 +0 +0 + 700 700

2 0 +0 + 700 + 2600 3300

3 0 +0 + 4700 + 3200 7900

4 0 + 400 + 1500 + 1700 3600

5 2000 + 1000 + 500 + 600 4100

6 1000 +0 +0 +0 1000

5300

2000

100

0

0

0

3500 3500 2000

4100 4100

1000 2000

6000 3500

4100

70

Producto C (Lote mínimo = 3000, hijo de A, D y E, Lead time = 1) Periodo Req. Bruto Inventario 1000 Final Recep. Prog. Req. Neto Recep. Orden Lanzam. Orden

1 0 +0 +0 + 700 700

2 0 +0 + 700 + 2600 3300

300

0

3000

3000 3000 7900

3 0 +0 + 4700 + 3200 7900

4 0 + 400 + 1500 + 1700 3600

5 0 + 1000 + 500 + 600 2100

7900 7900 3600

3600 3600 3000

2100 3000

6 0 +0 +0 +0 0

2) Ford Muebles, fabricante de excelentes muebles de escritorio, mantiene los cajones para el escritorio modelo Ergo XZ en inventario a un costo de $0.25 diarios por unidad. Los costos de preparación son $50. El inventario al comienzo del día 1 es de 40 unidades y el lead time es dos días. El costo de una rotura de existencia es de $5 por unidad y no hay recepciones programadas. En la Tabla siguiente se muestran las necesidades brutas para los siguientes 12 días: Día Necesidades brutas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

35

30

45

0

10

40

30

0

30

55

60

55

Para evitar rupturas para la siguiente programación del taller, se desea tener un inventario de 30 cajones al final del día 12. Sabiendo que no se permiten ventas pendientes y que nos encontramos en el día 1 para realizar la planificación, determine el costo de Ford Muebles basado en: a) b) c) d)

EOQ Costo Mínimo por Periodo (Silver-Meal) Equilibrio de unidades-períodos (PPB) Costo mínimo unitario

Solución: a) D Neta Total = (35 − 40) + 30 + 45 + 0 + 10 + 40 + 30 + 0 + 30 + 55 + 60 + (55 + 30) = 380 D Neta = EOQ =

380 = 31, 6 12 2 D Neta C o = Ci

unidades 2 ⋅ 31, 6 ⋅ 50 = 112,54 ≈ 113 orden 0,25

71

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Necesidades Brutas

35

30

45

0

10

40

30

0

30

55

60

55

5

-25

68

68

58

18

101

101

71

16

69

127

25

45

12

44

113

113

113

Recepciones Programadas Disponible

40

Necesidades Netas Recepción de Pedidos Programados Lanzamiento de los Pedidos Programados

113

113

113

113

113

Nota: El EOQ no asegura mantener exactamente el inventario final deseado, pero para mantener por lo menos las 30 unidades deseadas, ordenamos una vez más para que llegue la orden en el último periodo.

Costo por ruptura = 25 ⋅ 5 = 125 Costo por Ordenar = 4 ⋅ 50 = 200

Costo por Inventario = (5 + 68 + 68 + 58 + 18 + 101 + 101 + 71 + 16 + 69 + 127 ) ⋅ 0,25 = 175,5 Costo Total = 125 + 200 + 175,5 = 500,5 $

b) Costo mínimo por periodo (Silver-Meal) Periodos Combinados 3 3,4 3,4,5 3,4,5,6 6 6,7 6,7,8 6,7,8,9 9 9,10 9,10,11 9,10,11,12

Tamaño de Lote

Costo Acumulado

Costo por Periodo

45 45 + 0 = 45 45 + 10 = 55 55 + 40 = 95 40 40 + 30 = 70 70 + 0 = 70 70 + 30 = 100 30 30 + 55 = 85 85 + 60 = 145 145 + ( 55 + 30 ) = 230

50 50 + 0·0,25·1 50 + 10·0,25·2 55 + 40·0,25·3 50 50 + 30·0,25·1 57,5 + 0·0,25·2 57,5 + 30·0,25·3 50 50 + 55·0,25·1 63,75 + 60·0,25·2 93,75 + 85·0,25·3

50/1 = 50 50/2 = 25 55/3 = 18,333 85/4 = 21,25 50/1 = 50 57,5/2 = 28,75 57,5/3 = 19,667 80/4 = 20 50/1 = 50 63,75/2 = 31,875 93,75/3 = 31,25 157,5/4 = 39,375

12

( 55 + 30 ) = 85

50

50/1 = 50

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Necesidades Brutas

35

30

45

0

10

40

30

0

30

55

60

55

5

-25

10

10

0

30

0

0

115

60

0

30

Recepciones Programadas Disponible

40

72

Necesidades Netas

25

Recepción de Pedidos Programados Lanzamiento de los Pedidos Programados

45

40

30

55

55

70

145

85

55

70

145

85

Costo por ruptura = 25 ⋅ 5 = 125 Costo por Ordenar = 4 ⋅ 50 = 200

Costo por Inventario = (5 + 10 + 10 + 30 + 115 + 60 + 30 ) ⋅ 0,25 = 65 Costo Total = 125 + 200 + 65 = 390 $

c) Equilibrio de unidades-periodo (PPB) Economic Part Period: EPP =

Co 50 = = 200 C i 0,25

Periodos Combinados

Tamaño de Lote

Unidades por Periodos

3 3,4 3,4,5 3,4,5,6 3,4,5,6,7 3,4,5,6,7,8

45 45 + 0 = 45 45 + 10 = 55 55 + 40 = 95 95 + 30 = 125 125 + 0 = 125

0 0 10·2 = 20 20 + 40·3 = 140 140 + 30·4 = 260 260

9 9,10 9,10,11 9,10,11,12 12

30 30 + 55 = 85 85 + 60 = 145 145 + ( 55 + 30 ) = 230 ( 55 + 30 ) = 85

0 55·1 = 55 55 + 60·2 = 175 175 + 85·3 = 430 0

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Necesidades Brutas

35

30

45

0

10

40

30

0

30

55

60

55

5

-25

80

80

70

30

0

0

115

60

0

30

25

45

30

55

125

145

85

Recepciones Programadas Disponible

40

Necesidades Netas Recepción de Pedidos Programados Lanzamiento de los Pedidos Programados

125

145

85

73

Costo por ruptura = 25 ⋅ 5 = 125 Costo por Ordenar = 3 ⋅ 50 = 150

Costo por Inventario = (5 + 80 + 80 + 70 + 30 + 115 + 60 + 30 ) ⋅ 0,25 = 117,5 Costo Total = 125 + 150 + 117,5 = 392,5 $

d) Costo mínimo unitario Periodos Combinados 3 3,4 3,4,5 3,4,5,6 3,4,5,6,7 7 7,8 7,8,9 7,8,9,10 7,8,9,10,11 11 11,12

Tamaño de Lote

Costo Acumulado

Costo unitario

45 45 + 0 = 45 45 + 10 = 55 55 + 40 = 95 95 + 30 = 125 30 30 + 0 = 30 30 + 30 = 60 60 + 55 = 115 115 + 60 = 175 60 60 + (55+30) = 145

50 50 + 0·0,25·1 50 + 10·0,25·2 55 + 40·0,25·3 85 + 30·0,25·4 50 50 + 0·0,25·1 50 + 30·0,25·2 65 + 55·0,25·3 106,25 + 60·0,25·4 50 50 + 85·0,25·1

50/45 = 1,111 50/45 = 1,111 55/55 = 1 85/95 = 0,895 115/125 = 0,92 50/30 = 1,667 50/30 = 1,667 65/60 = 1,083 106,25/115 = 0,924 166,25/175 = 0,95 50/60 = 0,833 71,25/145 = 0,491

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Necesidades Brutas

35

30

45

0

10

40

30

0

30

55

60

55

5

-25

50

50

40

0

85

85

55

0

85

30

25

45

30

60

95

115

145

Recepciones Programadas Disponible

40

Necesidades Netas Recepción de Pedidos Programados Lanzamiento de los Pedidos Programados

95

115

145

Costo por ruptura = 25 ⋅ 5 = 125 Costo por Ordenar = 3 ⋅ 50 = 150

Costo por Inventario = (5 + 50 + 50 + 40 + 85 + 85 + 55 + 85 + 30 ) ⋅ 0,25 = 121,25 Costo Total = 125 + 150 + 121,25 = 396,25 $

3) ¿Cuánta reserva de seguridad se debe llevar en un sistema MRP?, ¿Cuál es el papel de la reserva de seguridad en un sistema MRP?, ¿Dónde se debe llevar una reserva de seguridad?

74

Solución: -

El llevar una reserva de seguridad es para cubrir las incertidumbres de la demanda y las variaciones en los tiempos de entrega, para cumplir con el nivel de servicio fijado. En compras se debe reducir las variaciones con los proveedores y al nivel de piso de taller mediante un control del tiempo de espera, logrando así una mejor necesidad de contar con una reserva de seguridad, en consecuencia si se administra adecuadamente estos dos últimos puntos se debe llevar un nivel bajo de inventarios, tendiendo a cero cuando PM sea fijo y Lead time constante.

-

El rol del inventario de seguridad es absorber las variaciones en el programa maestro de producción o en manufactura, o en el tiempo de compra.

-

Cuando se lleva la reserva de seguridad, con frecuencia se agrega en el nivel de programa maestro. Esto asegura que conjuntos iguales de componentes estén disponibles para los productos finales.

-

Si el programa maestro es fijo y el tiempo de entrega es constante. No es necesario un inventario de seguridad.

75

PROBLEMAS DE PLANIFICACION AGREGADA

1) Dada la siguiente información, resuelva para el plan con el mínimo costo DATOS DE CAPACIDAD DISPONIBLE POR PERÍODO CAPACIDADES Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Tiempo Regular 150 150 150 150 150 Sobre Tiempo 20 20 10 10 10 DEMANDA 150 160 130 200 210 Para la subcontratación, hay 100 unidades disponibles sobre un período de cinco meses. El inventario inicial es de 0 unidades y el inventario final requerido es de 20 unidades. Además los costos de la compañía para cada tipo de capacidad disponible es la siguiente: DATOS DE COSTOS Costo en Tiempo Regular Costo por Sobretiempo Costo por Subcontratación Costo de llevar Inventario por unidad/período

$100 $125 $135 $3

a) Prepare el plan de producción de menor costo, usando el método de tableau. b) ¿Cuánto vale el plan? Solución: a) DEMANDA DE Periodo 1

Periodo 2

Periodo 3

Periodo 4

Periodo 5

PRODUCCION DE

Capacidad no utilizada

Capacidad Total Disponible

Inventario inicial Tiempo regular Tiempo PERIODO 1 extra Subcontratación Tiempo regular Tiempo PERIODO 2 extra Subcontratación

0 150

100

----

103

----

106

----

109

----

112

125

128

131

134

137

135

138

141

144

147

M M M

150 10

100

----

103

125

128

135

138

---10

106 131 141

-------

109 134 144

----

150

20

20

100

100

----

150

----

20

100

100

76

Tiempo regular Tiempo PERIODO 3 extra

M

M

M

M

125

Subcontratación Tiempo regular Tiempo PERIODO 4 extra

M

M

135

M

M

M

M

M

M

Subcontratación Tiempo regular Tiempo PERIODO 5 extra

M

M

M

135

M

M

M

M

M

M

M

M

Subcontratación

M

M

M

M

Demanda total

150

130

160

100

130

20 10

103 128

-------

138 150 10

100 125

200

106 131 141

-------

103 128 138

150 10 70

100 125 135

210 + 20

----

150

----

10

100

100

----

150

----

10

100

100

----

150

----

10

30

100

450

1320

b) C Total = (150 ⋅100) + (150 ⋅100 + 10 ⋅125) + (130 ⋅100) + (10 ⋅131 + 20 ⋅103 + 10 ⋅128 + 150 ⋅100 + 10 ⋅125) + + (150 ⋅100 + 10 ⋅125 + 70 ⋅135) + [(20 ⋅ 3)]

C Total = 90.850 + 60 = $90.910

Costo por mantener el inventario final requerido, al final del periodo 5

2) La empresa Rainbow Company produce una amplia variedad de pinturas de usos comerciales y privados, cuya demanda es altamente estacional. La administración ha realizado un programa de Planificación Agregada considerando los costos a continuación, y además el hecho de que se dispone inicialmente de 250.000 galones de pintura en inventario. DATOS DE COSTOS Costo por galón Tiempo $1,00 Regular Costo por galón con $1,50 Sobretiempo Costo por galón de $1,90 Subcontratación Costo de llevar $0,30 por galón Inventario por trimestre

77

DEMANDA DE PRODUCCIÓN DE Inventario inicial Tiempo regular PERIODO Horas 1 extras Subcontratos Tiempo regular Horas PERIODO extras 2 Subcontratos Tiempo regular Horas PERIODO extras 3 Subcontratos Tiempo regular Horas PERIODO extras 4 Subcontratos Demanda total (miles)

Periodo 1

Periodo 3

Periodo 4

400

----

----

0

450

90

----

0

90

180

200

20 450

300

Capacidad total disponible 250

Periodo 2

250 50

Capacidad no utilizada 0

850

----

----

0

450

90

----

0

90

200

----

0

200

750

----

0

750

150

----

0

150

200

----

0

200

350

100

450

90

90

200

200

570

3570

1500

350

a) ¿Cuánta producción realizada en tiempo regular se espera durante el primer periodo? ¿Cuanto inventario de previsión se espera tener al final del primer periodo? Calcule los costos b) La empresa no tiene inventario final para el periodo 4. Si la empresa decidiera mantener 390 millares de galones en inventario al final del periodo 4, ¿cómo podría conseguirlo? c) Calcule el costo total del Plan Agregado, incluido b). ¿Cuánto sería el costo por mantener inventario al final del periodo 4? Solución: a) P1regular = 50 + 400 = 450 b) Se aprovecha la capacidad no utilizada del periodo 4, la asignación sería:

78

DEMANDA DE PERIODO 4 PRODUCCIÓN DE Tiempo regular Horas PERIODO 4 extras Subcontratos

350 + 100 90 200

c) C Total = (50 ⋅1,0 ) + (400 ⋅1,3 + 450 ⋅1,0 ) + (90 ⋅ 2,1 + 20 ⋅ 2,5 + 90 ⋅1,8 + 200 ⋅ 2,2 + 750 ⋅1,0 + 150 ⋅1,5 + 200 ⋅1,9 ) + (450 ⋅1,0 + 90 ⋅1,5 + 200 ⋅1,9 ) + [(390 ⋅ 0,3)]

C Total = 4.181 + 117 = 4.298 miles de $ = $4.298.000 C Inventario Periodo 4 = 390 ⋅ 0,3 = 117 miles de $ = $117.000

3) La empresa Alexis Golf Company produce tres importantes líneas de excelentes palos de golf. La demanda de sus productos es estacional y alcanza su nivel máximo en el segundo trimestre. Kyle Stone, gerente de manufactura de Alexis, ha presentado un Tableau que se muestra a continuación, con las cantidades representadas en millares: DEMANDA DE PRODUCCIÓN DE Inventario inicial Tiempo regular Horas PERIODO extras 1 Subcontratos Tiempo regular Horas PERIODO extras 2 Subcontratos Tiempo regular Horas PERIODO extras 3 Subcontratos

Periodo 1

Capacidad no utilizada 0

Capacidad total disponible 200

150

0

500

100

0

100

50

150

200

1000

0

1000

200

0

200

200

0

200

500

0

500

100

0

100

100

100

200

Periodo 2

Periodo 3

200 350

Periodo 4

79

Tiempo regular Horas PERIODO extras 4 Subcontratos Demanda total

550

1700

700

500

0

500

100

0

100

50

150

200

650

DATOS DE COSTOS Costo Tiempo Regular $10,00 Costo Sobretiempo $15,00 Costo Subcontratación $19,00 Costo de llevar Inventario $3,0 por trimestre A partir de la información anterior responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué cantidad de producción en tiempo regular se espera en el tercer periodo? ¿Qué cantidad de subcontratación se espera durante el tercer periodo? Calcule el costo b) ¿Cuánta producción realizada en tiempo regular se espera durante el primer periodo? ¿Cuanto inventario de previsión se espera tener al final del primer periodo? Calcule el costo c) La empresa no tiene inventario final para el periodo 4. si la empresa decidiera mantener 250.000 unidades en inventario al final del periodo 4, ¿cómo podría conseguirlo? Solución: P3 regular = 500 mil unidades

a)

P3 subcontratada = 100 mil unidades Costo Total Periodo 3 = 500 ⋅10 + 100 ⋅15 + 100 ⋅19 = 8.400 miles de $ = $8.400.000

P1regular = 350 + 150 = 500 mil unidades Inventario Final Periodo 1 = 150 + 100 + 50 = 300 mil unidades Costo Total Periodo 1 = (350 ⋅10) + (150 ⋅13 + 100 ⋅18 + 50 ⋅ 22) = 8.350 miles de $ = $8.350.000

b)

c) Debemos evaluar cuándo producir las 250.000 unidades, según las capacidades no utilizadas y sus respectivos costos. Las capacidades no utilizadas son: • •

150.000 unidades subcontratadas en el periodo 1. El subcontratar unidades en el periodo 1 para satisfacer la demanda del periodo 4 cuesta 28 $/unidad 100.000 unidades subcontratadas en el periodo 3. El subcontratar unidades en el periodo 3 para satisfacer la demanda del periodo 4 cuesta 22 $/unidad

80

•

150.000 unidades subcontratadas en el periodo 4. El subcontratar unidades en el periodo 4 para satisfacer la demanda del mismo cuesta 19 $/unidad

Luego, para mantener 250.000 unidades al final del periodo 4 utilizaremos primero las 150.000 unidades de capacidad no utilizada del periodo 4 (a 19 $/unidad), y luego las 100.000 unidades de capacidad no utilizada del periodo 3 (a 22 $/unidad), puesto que son las que representan un menor costo. 4) Una empresa de manufactura está tratando de programar su producción para los siguientes tres meses. La demanda de la producción para cada uno de los tres próximos meses se pronosticó en 300, 250 y 325 unidades, respectivamente. Casi siempre hay a la mano un inventario de productos terminados en la planta de 95 unidades. Al final del periodo de programación de tres meses, la empresa desea tener 120 productos terminados disponibles para satisfacer toda la demanda (los pendientes no están permitidos). En el tiempo regular del turno la capacidad de producción es de 200 unidades/mes a un costo de 10 dólares por unidad. Las operaciones de tiempo extra pueden proporcionar hasta 100 unidades/mes a un costo de 15 dólares/unidad. Los costos de mantener inventarios son de 2 dólares/unidad/mes para los productos terminados. a) Plantee el problema como un modelo de Programación Lineal. b) Resuelva el problema por la técnica más adecuada. Solución: a) Modelo 1: Pensando en resolver el problema por el Método de Transporte, las variables son: Pij = Unidades producidas en tiempo regular en el mes i para satisfacer la Oij

demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) = Unidades producidas en tiempo extra en el mes i para satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

Parámetros:

CPij

=

Costo por unidad producida en tiempo regular en el mes i para

COij

=

satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) Costo por unidad producida en tiempo extra en el mes i para

D NETA j

satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) = Demanda neta del mes j (j = 1, 2, 3).

D NETA 1 = 300 − 95 = 205 ; D NETA 2 = 250 ; D NETA 3 = 325 + 120 = 445

81

Función Objetivo: min C T = ∑∑ (CPij ⋅ Pij + CO ij ⋅ O ij ) 3

3

(*)

i =1 j =1

(*) El método de transporte asume que la producción del último periodo es consumida totalmente, por lo que a CT habría que sumarle el costo por mantener las 120 unidades en inventario al final del periodo 3.

Sujeto a:

∑ (P

+ Oij ) =D NETA j

j = 1, 2, 3

∑P

≤ 200

i = 1, 2, 3

≤ 100

i = 1, 2, 3

3

ij

i =1 3

j =1

ij

3

∑O j =1

ij

Pij , Oij ≥ 0

∀ i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3

Pij , Oij ∈ Z

∀ i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3

Modelo 2: Variables: Pt

= Unidades producidas en tiempo regular en el periodo t (t = 1, 2, 3)

Ot = Unidades producidas en tiempo extra en el periodo t (t = 1, 2, 3) I t = Unidades mantenidas en inventario al final del periodo t (t = 1, 2, 3)

Parámetros: = Demanda bruta del periodo t (t = 1, 2, 3).

D BRUTA t

Función Objetivo: 3

min C T = ∑ (10 ⋅ Pt + 15 ⋅ Ot + 2 ⋅ I t ) t =1

Sujeto a:

I t = I t −1 + Pt + Ot − D BRUTA t

t = 1, 2, 3 con I0 = 95

Pt ≤ 200

t = 1, 2, 3

Ot ≤ 100

t = 1, 2, 3

Pt , Ot , I t ≥ 0 Pt , Ot , I t ∈ Z

t = 1, 2, 3

I3 = 120

t = 1, 2, 3

82

b) Solución 1: Por Método de Transporte: DEMANDA DE Periodo 1

Periodo 2

Periodo 3

PRODUCCION DE Inventario inicial

Tiempo PERIODO regular 1 Horas extras Tiempo PERIODO regular 2 Horas extras Tiempo PERIODO regular 3 Horas extras

Capacidad no utilizada

Capacidad Total Disponible

95 200 5

Demanda total

95

10

----

15

0

M M

200 50

12 17 10 15

M

M

M

M

300

250

14

----

19

95

12

----

17

50 200 100

10 15

325 + 120

----

200

----

100

----

200

----

100

----

200

----

100

0

995

C T = (200 ⋅10 + 5 ⋅15 + 95 ⋅19 ) + (200 ⋅10 + 50 ⋅15 + 50 ⋅17 ) + (200 ⋅10 + 100 ⋅15) + 120 ⋅ 2 C T = US $11.220

Solución 2: Como la capacidad total es igual a la demanda total, la única forma de satisfacerla es utilizar toda la capacidad Periodo Demanda Bruta Inventario al I0 = 95 final del periodo Unidades producidas en tiempo regular Unidades producidas en tiempo extra

Mes 1

Mes 2

Mes 3

300

250

325

95

145

120

200

200

200

100

100

100

83

Costo por producción en tiempo normal Costo por producción en tiempo extra

2000

2000

2000

1500

1500

1500

Costo por inventario

190

290

240

Costo Total por periodo

3690

3790

3740

∴ C T = 3690 + 3790 + 3740 = US $11.220 5) La empresa General Motors-Old fabrica un coche Xfort-T, en su planta ubicada en Autolandia. La empresa ha pronosticado la demanda trimestralmente (períodos) para su coche según la Tabla siguiente: P. Demanda

Periodo 1 10.000

Periodo 2 12.000

Periodo 3 9.000

Periodo 4 11.000

La planta produce aproximadamente 25 autos por trimestre por cada trabajador de planta. Cada trabajador recibe un sueldo promedio por trimestre de $ 15.000. Además se sabe que el costo por contratar y entrenar un nuevo trabajador es de $ 7.000 y de despedirlo $ 10.000. Los trabajadores pueden ser contratados o despedidos al inicio de cualquier trimestre. La empresa posee actualmente 480 trabajadores de planta y 200 coches en inventario inicial en el primer trimestre el cual esta disponible para ser usado inmediatamente. El costo de tener un coche en inventario es de $ 1.000 al final del trimestre. a) Calcule el costo de llevar una estrategia de seguir la demanda b) Plantee el modelo de programación lineal para este problema, con la enumeración completa de todas las restricciones. Solución: a) Periodo P. Demanda Inventario Unidades a producir Nº Trabaj. de Planta Nº Trabaj. contratados Nº Trabaj. despedidos

Inicial 200

1 10.000 0

2 12.000 0

3 9.000 0

4 11.000 0

----

9.800

12.000

9.000

11.000

480

9.800 = 392 25

9.000 = 360 25

----

0

12.000 = 480 25 480 – 392 = 88

11.000 = 440 25 440 – 360 = 80

----

480 – 392 = 88

0

0 480 – 360 = 120

0

84

Periodo C x Inventario C x Trabajad. de Planta C x Trabajad. Contratado C x Trabajad. Despedido Costo Total

Inicial

1 0

2 0

3 0

4 0

5.880.000

7.200.000

5.400.000

6.600.000

0

616.000

0

560.000

880.000

0

1.200.000

0

6.760.000

7.816.000

6.660.000

7.160.000

⇒ Costo Total Anual = $28.336.000

b) Sea: Rt: Número de trabajadores regulares en el período t (t = 1,…,4) Ot: Número de trabajadores en sobretiempo en período t (suponiendo que se puede utilizar sobretiempo, a un costo del 50% más que el regular) It: Inventario al final del período t (unidades) (t = 1,…,4) Ht: Número de trabajadores contratados en el período t (t = 1,…,4) Lt: Número de trabajadores despedidos en el período t (t = 1,…,4) Dt: demanda en el período t (t = 1,…,4) F.O: 4

Min Z = ∑ (15.000 Rt + 1,5 ⋅15.000Ot + 1.000 I t + 7.000 H t + 10.000 Lt ) t =1

S.A: I t = I t −1 + Rt + Ot − Dt Rt = Rt −1 + H t − Lt R t , Ot , H t , Lt , I t ≥ 0

∀t = 1,...,4 ; ∀t = 1,...,4 ; ∀t = 1,...,4

con I 0 = 200 con R 0 = 480

6) Un hotel en Orlando, Florida, desea preparar un plan agregado para el año siguiente. El hotel tiene un máximo de 300 habitaciones que se utilizan por completo en invierno, pero hay muchas habitaciones desocupadas en verano, como se muestra en la siguiente tabla: Mes 1 Demanda 185

2 190

3 170

4 160

5 120

6 100

7 100

8 80

9 100

10 120

11 140

12 160

El hotel requiere de 1 empleado al cual se le pagan US $800 al mes por cada 20 habitaciones que se rentan en forma normal. Se puede utilizar hasta el 20% del tiempo extra y también contratar trabajadores eventuales a US $700 al mes. Los trabajadores en tiempo normal se contratan a un costo de US $500 y se despiden con un costo de US $200 por trabajador. No hay costo de contratación y despido en el caso de contratación eventual.

85

a) Con una fuerza de trabajadores normal de 6 empleados y 20% de tiempo extra cuando se necesita, ¿cuánto cuesta esta estrategia al año? b) ¿Cuál es la mejor estrategia a seguir si se utiliza una fuerza de trabajo nivelada con 6 trabajadores normales? Pueden utilizarse varias cantidades de tiempo extra y trabajadores eventuales. c) Formule el problema como un PPL Solución: Asumiendo que los 800 US$ es un sueldo fijo por trabajador, que el costo por sobretiempo cuesta un 50% más, y que los trabajadores eventuales atienden 20 habitaciones al mes por US$700, se tiene: 800 US $ US $ = 40 20 Hab. Hab. 1,5 ⋅ 800 US $ US $ Costo Habitación Sobretiempo = = 60 20 Hab. Hab. 700 US $ US $ Costo Habitación Eventual = = 35 20 Hab. Hab. Costo Habitación Normal =

a) Debemos usar primero: 1º Habitaciones “normales” 2º Habitaciones en sobretiempo (cuando sea necesario) 3º Habitaciones eventuales (cuando sea necesario) Mes Demanda Nº Trabajadores Normal Nº Habitaciones Normal Nº Habitaciones Sobretiempo Nº Habitaciones eventuales

1 185

2 190

3 170

4 160

5 120

6 100

7 100

8 80

9 100

10 120

11 140

12 160

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

24

24

24

24

0

0

0

0

0

0

20

24

41

46

26

16

0

0

0

0

0

0

0

16

C Total Hab. Normal = 40 ⋅120 ⋅12 = 57.600 US $

C Total Hab. Sobretiempo = 60 ⋅ (24 ⋅ 5 + 20) = 8.400 US $

C Total Hab. Eventual = 35 ⋅ (41 + 46 + 26 + 16 ⋅ 2 ) = 5.075 US $ Costo Total Anual = 57.600 + 8.400 + 5.075 = 71.075 US $

b) Si lo único que se pide es mantener a los 6 trabajadores de planta, entonces cuando su capacidad no sea suficiente, se utilizarán sólo trabajadores eventuales, puesto que una habitación eventual es más barata que una en sobretiempo.

86

Mes Demanda Nº Trabajadores Normal Nº Habitaciones Normal Nº Habitaciones Sobretiempo Nº Habitaciones eventuales

1 185

2 190

3 170

4 160

5 120

6 100

7 100

8 80

9 100

10 120

11 140

12 160

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

65

70

50

40

0

0

0

0

0

0

20

40

C Total Hab. Normal = 40 ⋅120 ⋅12 = 57.600 US $ C Total Hab. Sobretiempo = 0 US $

C Total Hab. Eventual = 35 ⋅ (65 + 70 + 50 + 40 + 20 + 40) = 9.975 US $ Costo Total Anual = 57.600 + 0 + 9.975 = 67.575 US $

c) Variables: Rt: Nº de trabajadores de planta en el mes t (t = 1,…,12) Ot: Nº de habitaciones atendidas en sobretiempo en el mes t (t = 1,…,12) Et: Nº de trabajadores eventuales en el mes t (t = 1,…,12) Ht: Nº de trabajadores contratados (de planta) en el mes t (t = 1,…,12) Lt: Nº de trabajadores (de planta) despedidos en el mes t (t = 1,…,12) Función Objetivo: 12

Min Z = ∑ (800 ⋅ Rt + 700 ⋅ E ⋅ +35 ⋅ Ot + 500 ⋅ H t + 200 ⋅ Lt ) t =1

Restricciones: Ot ≤ 0,2 ⋅ 20 ⋅ Rt Rt = Rt −1 + H t − Lt

∀t = 1,...,12 ∀t = 1,...,12

DDAt = 20 ⋅ Rt + Ot + 20 ⋅ E t ∀t = 1,...,12 20 ⋅ Rt + Ot + 20 ⋅ E t ≤ 300 ∀t = 1,...,12 R t , Ot , E t , H t , Lt ≥ 0

∀t = 1,...,12

7) Una empresa desea planificar la producción de los 6 siguientes periodos. Se tienen los siguientes datos: -

Un operario es capaz de producir 400 unidades en cada periodo Mantener una unidad de producto en inventario durante un periodo cuesta $3.000 El costo de un operario en tiempo regular es de $2.000 la hora

87

-

El costo de un operario en sobretiempo es de $3.000 la hora Contratar un operario cuesta $400.000 Despedir un operario cuesta $600.000 Un periodo corresponde a 200 horas de trabajo En un periodo un trabajador puede trabajar como máximo 50 horas en sobretiempo El número inicial de operarios es de 25 personas El inventario inicial es de 1.000 unidades y se desea que no quede inventario al final del horizonte de planificación Cabe hacer notar que no se aceptarán ventas perdidas y pendientes.

La tabla siguiente muestra la demanda estimada: Periodo Demanda

1 5.000

2 6.000

3 8.000

4 12.000

5 14.000

6 8.500

a) Se pide plantear un modelo de programación lineal que permita encontrar la producción en tiempo regular, la producción en sobretiempo y el nivel de mano de obra. Debe escribir explícitamente la función objetivo y todas las restricciones. b) Se pide determinar el costo total de la estrategia de tener mano de obra constante durante los 6 periodos con uso máximo de sobretiempo durante 2 periodos. Se debe recordar que los operarios pueden estar ociosos si ello es apropiado. Solución: a) Cálculo de costos necesarios para el modelo: Costo de Inventario = 3.000

$ unidad ⋅ periodo

horas periodo $ $ Costo de producción en sobretiempo = ⋅ 3.000 = 1.500 unidades hora unidad 400 periodo $ Costo de contratación = 400.000 persona $ Costo de despido = 600.000 persona horas $ $ Costo Mano de Obra = 2.000 ⋅ 200 = 400.000 hora ⋅ persona periodo persona ⋅ periodo

200

88

Variables: Pt Ot It Rt Ht Lt

= Nº de unidades producidas en tiempo regular durante el periodo t = Nº de unidades producidas en sobretiempo durante el periodo t = Nº de unidades en inventario al final del periodo t = Nº de trabajadores de planta (mano de obra) en el periodo t = Nº de trabajadores contratados en el periodo t = Nº de trabajadores despedidos en el periodo t (t = 1,…, 6)

Función Objetivo: 6

Min Z = ∑ (400.000 ⋅ Rt + 1.500 ⋅ Ot + 400.000 ⋅ H t + 600.000 ⋅ Lt + 3.000 ⋅ I t ) t =1

Restricciones: I 0 + P1 + O1 − I 1 = 5.000

R 0 + H 1 − L1 = R1

I 1 + P2 + O 2 − I 2 = 6.000 I 2 + P3 + O3 − I 3 = 8.000

R1 + H 2 − L 2 = R 2 R 2 + H 3 − L3 = R 3

I 3 + P4 + O 4 − I 4 = 12.000

R3 + H 4 − L 4 = R 4

I 4 + P5 + O5 − I 5 = 14.000

R 4 + H 5 − L5 = R 5

I 5 + P6 + O 6 − I 6 = 8.500 con I 0 = 1.000 ; con I 6 = 0

R 5 + H 6 − L6 = R 6 con R0 = 25

Pt ≤ 400 ⋅ Rt

∀t = 1,...,6

Ot ≤ 0,25 ⋅ 400 ⋅ Rt

∀t = 1,...,6

Pt , Ot , I t , Rt , H t , Lt ≥ 0 ∧ ∈ Ζ

∀t = 1,...,6

b) Para determinar las cantidades a producir y la mano de obra necesaria debemos trabajar con las necesidades netas. Sea X el número de trabajadores fijos a encontrar. Si utilizamos el máximo del sobretiempo durante 2 periodos, será recomendable usarlo durante los periodos de mayor demanda. Luego, sabiendo que el máximo de sobretiempo corresponde al 25% del tiempo regular, y que en tiempo regular la producción de un operario es de 400 unidades por periodo, se tiene: Periodo t Dda. Neta Pt Ot

1 5.000 – 1.000 400·X 0

2 6.000 400·X 0

3 8.000 400·X 0

4 12.000 400·X 0,25·400·X

5 14.000 400·X 0,25·400·X

6 8.500 400·X 0

89

Igualando la producción total a la demanda neta, se tiene:

(5.000 − 1.000 ) + 6.000 + 8.000 + 12.000 + 14 .000 + 8.500

= 6 ⋅ 400 ⋅ X + 2 ⋅ 0,25 ⋅ 400 ⋅ X

⇒ X = 20,1923

Luego, con 21 trabajadores fijos más su producción máxima durante 2 periodos podríamos cubrir la demanda, los cuales estarían ociosos durante cierto tiempo para poder cubrir exactamente la demanda y dejar un inventario de cero unidades al final del periodo 6, puesto que la cantidad a producir en tiempo regular durante c/u de los 6 periodos será Pt = 20,1923·400 = 8.076,9 ≈ 8.077 unidades, y la producida en sobretiempo para los periodos 4 y 5 será Ot = 0,25· 8.077 ≈ 2.019 unidades. A continuación se muestra la tabla asociada a dichos cálculos: Periodo t Dda. Bruta Inv. Inicial Pt Ot It Rt Ht Lt Costo x It Costo x Ot Costo x Rt Costo x Ht Costo x Lt C x Periodo

1 2 3 4 5 5.000 6.000 8.000 12.000 14.000 1.000 4.077 6.154 6.231 4.327 8.077 8.077 8.077 8.077 8.077 0 0 0 2.019 2.019 4.077 6.154 6.231 4.327 423 21 21 21 21 21 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 12.231.000 18.462.000 18.693.000 12.981.000 1.269.000 0 0 0 3.028.500 3.028.500 8.400.000 8.400.000 8.400.000 8.400.000 8.400.000 0 0 0 0 0 2.400.000 0 0 0 0 23.031.000 26.862.000 27.093.000 24.409.500 12.697.500

6 8.500 423 8.077 0 0 21 0 0 0 0 8.400.000 0 0 8.400.000

⇒ C Total = $122.493.000

8) Dada la siguiente regla de decisión: Pt = 1,3·Ft + 0,8·Wt-1 – 0,5·It-1 y si la fuerza de trabajo es de 150, el inventario es de 1.000 unidades y el pronóstico de demanda es de 700, 1.200 y 1000 para los próximos tres meses, ¿cuál es el nivel de producción para el mes? Solución: P1 = 1,3 ⋅ 700 + 0,8 ⋅150 − 0,5 ⋅1.000 = 530 I 1 = 1.000 + 530 − 700 = 830 P2 = 1,3 ⋅1.200 + 0,8 ⋅150 − 0,5 ⋅ 830 = 1.265 I 2 = 830 + 1.265 − 1.200 = 895 P3 = 1,3 ⋅1.000 + 0,8 ⋅150 − 0,5 ⋅ 895 = 972,5

90

PROBLEMAS DE SECUENCIAMIENTO / ASIGNACIÓN

1) La empresa Computín S.A se especializa en la reparación de discos duros dañados, los cuales pueden requerir sólo la reconfiguración de su sistema de archivos, mientras que otros requieren la sustitución de partes defectuosas. Actualmente están en espera del servicio cinco discos duros con diversas averías. Las estimaciones más aproximadas acerca de los tiempos de trabajo y los datos de entrega prometidos a los clientes (el número de días para la entrega a partir de hoy) se presentan en la siguiente tabla: Disco Duro HP 1000 Kingston X-230 Samsung 200-Z Kingston 9000 Dell 2K Series

Tiempo estimado de trabajo (días) 5 4 10 1 3

Fecha de entrega prometida (días desde hoy) 8 15 12 20 10

a) Desarrolle programas por separado aplicando las reglas SPT, EDD y mínima holgura. b) Compare los tres programas considerando el tiempo promedio de flujo, el inventario promedio, la utilización de la máquina y la tardanza promedio. ¿Cuál secuencia es mejor según cada una de las anteriores medidas de eficiencia? Solución: a) Se tiene: Trabajo A B C D E

Disco Duro HP 1000 Kingston X-230 Samsung 200-Z Kingston 9000 Dell 2K Series

ti 5 4 10 1 3

di 8 15 12 20 10

Holgura: Hi = di – ti 3 11 2 19 7

Secuencia SPT: D – E – B – A – C Trabajo

ti

D E B A C Suma

1 3 4 5 10 23

Tiempo de Flujo Fi 1 4 8 13 23 49

di 20 10 15 8 12 ----

Tardanza Ti 0 0 0 5 11 16 91

Secuencia EDD: A – E – C – B – D Trabajo

ti

A E C B D Suma

5 3 10 4 1 23

Tiempo de Flujo Fi 5 8 18 22 23 76

di 8 10 12 15 20 ----

Tardanza Ti 0 0 6 7 3 16

Secuencia Mínima Holgura: C – A – E – B – D Trabajo

ti

C A E B D Suma

10 5 3 4 1 23

Tiempo de Flujo Fi 10 15 18 22 23 88

di 12 8 10 15 20 ----

Tardanza Ti 0 7 8 7 3 25

b) Secuencia SPT

EDD

Mínima Holgura

Medida Tiempo promedio de flujo: F (días)

MEJOR MÉTODO

49 = 9,8 5

76 = 15,2 5

88 = 17,6 5

SPT

Inventario WIP promedio

49 = 2,130 23

76 = 3,304 23

88 = 3,826 23

SPT

Utilización

23 = 0,4694 = 46,94% 49

23 = 0,3026 = 30,26% 76

23 = 0,2614 = 26,14% 88

SPT

Tardanza promedio: T (días)

16 = 3,2 5

16 = 3,2 5

25 =5 5

SPT o EDD

92

2) Andrés Arturson es un consultor de software independiente. Después de terminar su mas reciente proyecto, el tiene cinco trabajos esperándolos para su termino. El estima los siguientes tiempos de procesos para completar cada trabajo y además los tiempos de entrega. En la Tabla siguiente se presenta dicha información: Trabajo N° Tiempo de Procesamiento (días) A B C D E

12 16 08 20 06

Fecha de entrega (días a partir del presente) 52 37 28 57 31

Andrés que tomo recientemente un curso de Gestión de Operaciones desea saber que política tomar para realizar los trabajos. Para ello desea aplicar las siguientes reglas SPT (menor tiempo de procesamiento), EDD (fecha de terminación mas temprana); CR (índice crítico) y STR (menor tiempo de holgura). Para cada caso calcule el tiempo promedio del flujo por trabajo, makespan, número de trabajos promedio en el sistema, tardanza a promedio por trabajo y la cantidad de trabajos tardíos al aplicar cada una de las políticas anteriores y decida cual política es más conveniente para él. NOTA: Para el cálculo del makespan use la fórmula a lo menos en dos políticas. Solución: a) Regla SPT Secuencia

Trabajo

1 2 3 4 5

E(6) C(8) A(12) B(16) D(20)

Fecha entrega 31 28 52 37 57 Suma =

Tiempo de Días flujo anticipados 6 25 14 14 26 26 42 62 150 Suma =

Días retrasados 5 5 10

- Tiempo promedio de flujo=150/5=30 días - Makespan: C ( J1 ,1) = 6 C ( J 2 ,1) = C ( J1 ,1) + T ( J 2 ,1) = 6 + 8 = 14 C ( J 3 ,1) = C ( J 2 ,1) + T ( J 3 ,1) = 14 + 12 = 26 C ( J 4 ,1) = C ( J 3 ,1) + T ( J 4 ,1) = 26 + 16 = 42 C ( J 5 ,1) = C ( J 4 ,1) + T ( J 5 ,1) = 42 + 20 = 62

93

- Número de trabajos promedio: 150/62=2.42 trabajos - Tardanza promedio (por trabajo):10/5=2 días - Número de trabajos retrasados: 2 trabajos b) Regla EDD Secuencia

Trabajo

1 2 3 4 5

C(8) E(6) B(16) A(12) D(20)

Fecha entrega 28 31 37 52 57 Suma =

Tiempo de Días flujo anticipados 8 20 14 17 30 7 42 10 62 156 Suma =

Días retrasados 5 5

- Tiempo promedio de flujo=156/5= 31.2 días - Makespan: C ( J1 ,1) = 8 C ( J 2 ,1) = C ( J1 ,1) + T ( J 2 ,1) = 6 + 8 = 14 C ( J 3 ,1) = C ( J 2 ,1) + T ( J 3 ,1) = 14 + 12 = 26 C ( J 4 ,1) = C ( J 3 ,1) + T ( J 4 ,1) = 26 + 16 = 42 C ( J 5 ,1) = C ( J 4 ,1) + T ( J 5 ,1) = 42 + 20 = 62

- Número de trabajos promedio: 156/62= 2.52 trabajos - Tardanza promedio (por trabajo): 5/5= 1 días - Número de trabajos retrasados: 1 trabajos c) Regla CR(índice crítico) Secuencia

Trabajo

1 2 3 4 5

B(16) D(20) C(8) A(12) E(6)

Índice Tiempo de Días crítico flujo anticipados 37/16=2.31 16 22 57/20=2.87 36 21 29/8=3.5 44 52/12=4.33 56 31/6=5.17 62 Suma = 214 Suma =

Días retrasados 16 4 31 51

- Tiempo promedio de flujo= 214/5= 42.8 días - Makespan: 62 - Número de trabajos promedio: 214/62= 3.45 trabajos - Tardanza promedio (por trabajo): 51/5= 10.2 días - Número de trabajos retrasados: 3 trabajos 94

d) Regla STR Secuencia

Trabajo

1 2 3 4 5

C(8) B(16) E(6) D(20) A(12)

Tiempo de Días flujo anticipados 28-8=20 8 20 37-16=21 24 13 31-6=25 30 1 57-20=37 50 7 52-12=40 62 Suma = 174 Suma = Holgura

Días retrasados 10 10

- Tiempo promedio de flujo = 174/5= 34.8 días - Makespan: 62 - Número de trabajos promedio: 174/62= 2.8 trabajos - Tardanza promedio (por trabajo):10/5= 2 días - Número de trabajos retrasados: 1 trabajos Tabla resumen:

SPT EDD CR STR

Tiempo Flujo 30 31.2 42.8 34.8

Makespan 62 62 62 62

N° Trabajos Promedio 2.42 2.52 3.45 2.81

Tardanza Promedio 2 1 10.2 2

N° Trabajos Retrasados 2 1 3 1

Dada la tabla anterior se puede apreciar que la política más adecuada es la EDD dado que tiene el menor número de retraso y el menor tiempo de retraso. 3) Considere los siguientes trabajos y sus tiempos de procesamiento en las tres máquinas. No se permite pasar los trabajos.

TRABAJO A B C D E

Duración (horas) Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ti1 Ti2 Ti3 6 4 7 5 2 4 9 3 10 7 4 5 11 5 2

Con esta información calcule: a) Las secuencias, empleando el algoritmo de CDS b) Cuál de las secuencias anteriores es la mejor, empleando para ello el concepto de makespan (utilice la fórmula para ello) 95

Solución: a) Solución 1: Trabajos A B C D E

M1 6 5 9 7 11

M2 7 4 10 5 2

Secuencia aplicando Johnson: A, C, D, B, E. Solución 2: Trabajos A B C D E

M1 10 7 12 11 16

M2 11 6 13 9 7

Secuencia aplicando Jonson: A, C, D, E, B. b) Secuencia A, C, D, B, E: c ( j1 ,1 ) = t ( j1 ,1 ) = 6 c ( j2 ,1) = c ( j1 ,1) + t ( j2 ,1) = 6 + 9 = 15

c ( j3 ,1) = c ( j2 ,1) + t ( j3 ,1) = 15 + 7 = 22 c ( j4 ,1) = c ( j3 ,1) + t ( j4 ,1) = 22 + 5 = 27 c ( j5 ,1) = c ( j4 ,1) + t ( j5 ,1) = 27 + 11 = 38 c ( j1 , 2) = c ( j1 ,1) + t ( j1 , 2) = 6 + 4 = 10 c ( j1 ,3) = c ( j1 , 2) + t ( j1 ,3) = 10 + 7 = 17

c ( j2 ,2) = max{c( j2 ,1) + c ( j1 ,2)}+ t ( j2 ,2) = 15 + 3 = 18

c ( j2 ,3) = max{c ( j2 ,2) + c( j1 ,3)}+ t ( j2 ,3) = 18 + 10 = 28 c ( j3 ,2) = max{c( j3 ,1) + c( j2 ,2)}+ t ( j3 ,2) = 22 + 4 = 26

c ( j3 ,3) = max{c ( j3 ,2) + c( j2 ,3)}+ t ( j3 ,3) = 28 + 5 = 33 c ( j 4 ,2) = max{c( j 4 ,1) + c( j 3 ,2)} + t ( j 4 ,2) = 27 + 2 = 29 c ( j 4 ,3) = max{c ( j 2 ,2) + c ( j 3 ,3)}+ t ( j 4 ,3) = 33 + 4 = 37

c ( j 5 ,2) = max{c( j 5 ,1) + c( j 4 ,2)} + t ( j 5 ,2) = 38 + 5 = 43

c ( j 5 ,3) = max{c( j 5 ,2) + c( j 4 ,3)}+ t ( j 5 ,3) = 43 + 2 = 45

96

Secuencia A, C, D, E, B: c ( j1 ,1) = t ( j1 ,1) = 6 c ( j 2 ,1) = c ( j1 ,1 ) + t ( j 2 ,1 ) = 6 + 9 = 15 c ( j 3 ,1 ) = c ( j 2 ,1) + t ( j 3 ,1) = 15 + 7 = 22 c ( j 4 ,1) = c ( j 3 ,1) + t ( j 4 ,1 ) = 22 + 11 = 33 c ( j 5 ,1 ) = c ( j 4 ,1 ) + t ( j 5 ,1) = 33 + 5 = 38 c ( j1 , 2 ) = c ( j1 ,1 ) + t ( j1 , 2 ) = 6 + 4 = 10 c ( j1 , 3 ) = c ( j1 , 2 ) + t ( j1 , 3 ) = 10 + 7 = 17

c ( j 2 , 2 ) = max {c ( j 2 ,1) + c ( j1 , 2 ) } + t ( j 2 , 2 ) = 15 + 3 = 18

c ( j 2 , 3 ) = max {c ( j 2 , 2 ) + c ( j1 , 3 ) } + t ( j 2 , 3 ) = 18 + 10 = 28 c ( j 3 , 2 ) = max {c ( j 3 ,1) + c ( j 2 , 2 ) } + t ( j 3 , 2 ) = 22 + 4 = 26 c ( j 3 , 3 ) = max {c ( j 3 , 2 ) + c ( j 2 , 3 ) } + t ( j 3 , 3 ) = 28 + 5 = 33

c ( j 4 , 2 ) = max {c ( j 4 ,1) + c ( j 3 , 2 ) } + t ( j 4 , 2 ) = 33 + 5 = 38

c ( j 4 , 3 ) = max {c ( j 4 , 2 ) + c ( j 3 , 3 ) } + t ( j 4 , 3 ) = 38 + 2 = 40 c ( j 5 , 2 ) = max {c ( j 5 ,1) + c ( j 4 , 3 ) } + t ( j 5 , 2 ) = 38 + 2 = 40

c ( j 5 , 3 ) = max {c ( j 5 , 2 ) + c ( j 4 , 3 ) } + t ( j 5 , 3 ) = 40 + 4 = 44 La mejor solución es A, C, D, E, B; pues el makespan es el menor. 4) Las órdenes A, B y C llegan en orden alfabético y reciben su prioridad sobre la base del primero en llegar y primero en salir. Las rutas y los tiempos de operación se muestran a continuación:

Secuencia de operaciones 1 2 3

Hoja de ruta: Orden A Tiempo Máquina (horas) I 3 II 3 III 2

Hoja de ruta: Orden B Tiempo Máquina (horas) II 3 III 2 I 2

Hoja de ruta: Orden C Tiempo Máquina (horas) I 4 III 4 II 2

a) ¿Cómo programaría las máquinas, según la información entregada? Haga un esquema, tabla, gráfico u otro elemento de apoyo para justificar su respuesta. Cabe señalar que los tiempos limites para las ordenes son de 10 horas para A, de 16 horas para B y 14 horas para la orden C. ¿Qué tanto retraso resulta en el procesamiento de las órdenes? ¿Cuál es el exceso del inventario resultante? b) Es posible proponer otra secuencia, que sea más eficiente. Discútala y evalúela.

97

Solución: a) Secuencia A-B-C Opción no fraccionable: Horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

I A A A B B C C C C

II B B B A A A

III

B B A A

C C C C C C

Opción Fraccionable: Horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

I A A A C C B B C C

II B B B A A A

III

B B A A C C C C

C C

98

Existe retraso en C dado que la fecha límite es 14 horas, en consecuencia (15-17) 3 horas de retraso para la orden C. El retraso es de 1 hora, en el caso fraccionable para C. Inventario en sistema = (8+5+17)/17=1.88 ordenes. Si entrega a tiempo, inventario en sistema = 3/17 = 0.176 ordenes. La fracción de atraso =1/15 = 0.06. b) Secuencia ACB: No fraccionada: Horas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

I A A A C C C C B B

II B B B A A A

III

B B A A C C C C

C C

El tiempo total es de 14 horas para el total de los 3 trabajos, ajustándolos a los tiempos límites. 5) Los últimos pasos del proceso de producción requieren dos operaciones. En algunos trabajos es necesario completar el procesamiento en M1 antes de iniciarlo en M3. Otros trabajos requieren que el procesamiento en M2 se realice antes que en M3. Actualmente, seis trabajos están en espera de ser procesados en M1 y cuatro trabajos en espera de ser procesados en M2. Los siguientes datos han sido generados por el sistema de control del taller de producción:

99

Tiempos de procesamientos (horas) Trabajo

M1

M2

M3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 2 4 5 7 3 -

4 2 6 8

4 1 7 3 4 1 6 10 9 2

Fecha de vencimiento (h) 13 18 22 16 30 29 42 31 48 40

a) Desarrolle el programa para este taller, aplicando la CR, calcule además el tiempo promedio de flujo, las horas promedio de tardanza y de demora, así como el inventario promedio.

Solución: Dado el orden en que se debe realizar cada trabajo, para calcular el índice crítico podemos tomar los datos como parte de un solo gran sistema:

Trabajo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Secuencia : 1 −

Tiempo de procesamiento 10 3 11 8 11 4 10 12 15 10

Fecha de vencimiento 13 18 22 16 30 29 42 31 48 40

Índice Crítico 1.3 6 2 2 2.72 7.25 4.2 2.58 3.2 4

3 − 4 − 8 − 5 − 9 − 10 − 7 − 2 − 6 4 − 3 − 8 − 5 − 9 − 10 − 7 − 2 − 6

100

Utilizando la primera secuencia: Trabajo 1 3 4 8 5 9 10 7 2 6 Suma

Tiempo de Procesamiento 10 11 8 12 11 15 10 10 3 4 94

Tiempo de Flujo 10 21 29 41 52 67 77 87 90 94 568

Fecha de Vencimiento 13 22 16 31 30 48 40 42 19 29 –––

Demora

Tardanza

-3 -1 13 10 22 19 37 45 72 65 279

0 0 13 10 22 19 37 45 72 65 283

Finalmente:

Tiempo de Flujo = Inventario =

568 = 56,8 horas 10

568 = 6,04 trabajos 94

279 = 27,9 horas 10 283 Tardanza = = 28,3 horas 10 Demora =

6) La Quix Company, ha desarrollado un nuevo líquido para lavar platos, y está preparándose para una campaña promocional en televisión. La empresa ha decidido programar una serie de anuncios de un minuto durante las puntas de audiencia de dueñas de casa, de 1:00 a 5:00 P.M. Para abarcar la mayor audiencia posible. Quix Company desea programar un anuncio en cada una de las cuatro cadenas y tener un anuncio durante cada uno de los cuatro bloques de una hora. Los índices de exposición por cada hora, representan el número de televidentes por cada 1.000 dólares gastados y se presentan en la siguiente Tabla. CADENAS HORA 1:00-2:00 P.M. 2:00-3:00 P.M. 3:00-4:00 P.M. 4:00-5:00 P.M.

A 2,71 1,89 1,92 1,15

B 1,81 1,55 1,85 2,14

C 1,13 1,71 0,99 1,68

Independiente 0,95 1,06 0,77 1,28

a) ¿Qué cadena debería ser programada a cada hora para ofrecer una máxima exposición a la audiencia? b) Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal

101

Solución: a)

Para

maximizar

cambiaremos

la

estructura

(10 − xij ) = yij , y a partir de este cambio minimizamos: B 8.19 8.45 8.15 7.85

C 8.87 8.29 9.01 8.32

IND 9.05 8.94 9.23 8.72

Restando el menor de cada fila: A B 1 0 0.9 2 0 0.34 3 0 0.07 4 1 0

C 1.58 0.18 0.93 0.47

IND 1.76 0.83 1.15 0.87

Restando el menor de cada columna: A B C 1 0 0.9 1.1 2 0 0.34 0 3 0 0.07 0.25 4 1 0 0.19

IND 0.93 0 0.32 0.04

1 2 3 4

A 7.29 8.11 8.08 8.85

de

los

datos,

usando

Se tienen sólo 3 líneas, por lo cual es infactible. Luego, restamos el menor de los no cubiertos, sumándoselo a las intersecciones: A B C IND 1 0 0.9 1.26 0.89 2 0.04 0.38 0 0 3 0 0.07 0.71 0.28 4 1 0 0.25 0 Nuevamente se tienen sólo 3 líneas, por lo cual es infactible. Luego, restamos el menor de los no cubiertos, sumándoselo a las intersecciones: A B C IND 1 0 0.83 1.29 0.82 2 0.11 0.38 0 0 3 0 0 0.64 0.21 4

1.07

0

0.25

0

Se tienen 4 líneas = rango, luego estamos en el óptimo.

102

Asignación: Período 1, cadena A Período 2, cadena C-D Período 3, cadena A-B Período 4, cadena B-IND Entonces, finalmente: Período 1, cadena A Período 2, cadena C Período 3, cadena B Período 4, cadena IND b) F.O.: 4

4

∑∑P

MaxZ =

i =1 j =1

ij

X ij

MaxZ= 2.71X11 +1.31X12 +1.13X13 + 0.95X14 +1.89X21 +1.55X22 +1.71X23 +1.06X24 +1.92X31 +1.85X32 + 0.99X33 + 0.77X34 +1.15X41 + 2.14X42 +1.68X43 +1.28X44 Alternativamente:

MinZ =

4

4

∑∑P i =1

j =1

ij

X ij

MinZ= 7.29X11 + 8.19X12 + 8.87X13 + 9.05X14 + 8.11X 21 + 8.45X 22 + 8.29X 23 + 8.94X 24 + 8.08X 31 + 8.15X 32 + 9.01X 33 + 9.23X 34 + 8.85X 41 + 7.85X 42 + 8.32X 43 + 8.72X 44 S.A.: 4

∑

X

ij

= 1 _ i = 1 .. 4

X

ij

= 1 _ j = 1 .. 4

j =1 4

∑

i =1

⎧1 X ij = ⎨ , donde las X ij son variables binarias. ⎩0 7) Un operario de la fábrica LookOut Inc., ubicada al sur de Californa, tiene cinco trabajos que se pueden procesar en cualquiera de las seis máquinas, con sus respectivos tiempos (en horas), las cuales se presentan a continuación:

103

Trabajo Máquina 1 2 3 4 5 6

A-52

E-23

I-56

O-42

U-84

60 22 34 42 30 60

22 52 16 32 18 48

29 16 58 28 22 55

42 32 28 46 15 30

30 18 25 15 45 42

a) Determine la asignación óptima de los trabajos a las máquinas, que dé cómo resultado la minimización del tiempo total de procesamiento. b) Aplique una heurística “golosa” por columnas para hacer la asignación Solución: a) Por el Método Húngaro: Como hay una máquina demás, creamos un trabajo ficticio asignándole altos tiempos de procesamiento, para que una máquina que tenga un bajo tiempo de procesamiento en el resto de los trabajos, no sea asignada a este trabajo ficticio. De esta manera, se tiene:

⎡ 60 ⎢ 22 ⎢ Menor ⎢ 34 de c/fila ⎢ ⎢ 42 ⎢ 30 ⎢ ⎢⎣ 60

Menor de los no cubiertos →

22 52

29 16

42 32

30 18

16

58

28

25

32

28

46

15

18

22

15

45

48

55

30

42

⎡32 0 7 20 8 ⎢ 0 36 0 16 2 ⎢ ⎢12 0 42 12 9 ⎢ ⎢ 21 17 13 31 0 ⎢ 9 3 7 0 30 ⎢ ⎣⎢24 18 25 0 12

8⎤ 14 ⎥⎥ 14 ⎥ ⎥ 15 ⎥ 15 ⎥ ⎥ 0 ⎦⎥

100⎤ 100⎥⎥ 100⎥ ⎥ 100⎥ 100⎥ ⎥ 100⎥⎦

Menor de c/Col. sin ceros →

Iteración final →

⎡38 0 7 20 8 78⎤ ⎢ 6 36 0 16 2 84 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢18 0 42 12 9 84 ⎥ ⎢ ⎥º ⎢27 17 13 31 0 85 ⎥ ⎢15 3 7 0 30 85 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣30 18 25 0 12 70⎥⎦ ⎡25 0 0 20 8 ⎢ 0 43 0 23 9 ⎢ ⎢ 5 0 35 12 9 ⎢ ⎢14 17 6 31 0 ⎢ 2 3 0 0 30 ⎢ ⎣⎢17 18 18 0 12

8⎤ 21⎥⎥ 14 ⎥ ⎥ 15 ⎥ 15 ⎥ ⎥ 0 ⎦⎥

104

Asignación: M1 M2 M3 M4 M5 M6

→ → → → → →

E-23 ó I-56 A-52 ó I-56 E-23 U-84 I-56 ó O-42 O-42 ó Ficticio

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

M1 M2 M3 M4 M5 M6

→ → → → → →

I-56 A-52 E-23 U-84 O-42 Ficticio

Tiempo Total Procesamiento = 29 + 22 + 16 + 15 + 15 = 97 horas b) Una solución puede ser:

⎡60 ⎢22 ⎢ ⎢34 ⎢ ⎢42 ⎢30 ⎢ ⎣⎢60

22 29 42 30⎤ 52 16 32 18 ⎥⎥ 16 58 28 25⎥ ⎥ 32 28 46 15 ⎥ 18 22 15 45⎥ ⎥ 48 55 30 42⎦⎥

Tiempo total de procesamiento = 22 + 16 + 22 + 30 + 15 = 105 horas 8) Gerald Glynn administra el Michaels Distruibution Center. Después de examinar cuidadosamente la información de su base de datos, ha determinado los requisitos diarios para el personal de tiempo parcial que atiende la plataforma de carga. El centro de distribución funciona los siete días a la semana, y los requisitos diarios de personal de tiempo parcial son los siguientes: Día Requisitos

L 6

M 3

M 5

J 3

V 7

S 2

D 3

a) Encuentre el número mínimo de trabajadores que Glynn necesita contratar. Prepare un programa de trabajo para esos individuos, de manera que cada uno disponga de dos días libres consecutivos por semana y que todos los requisitos de personal sean satisfechos. En caso de empate, conceda preferencia a la pareja S-D. b) Plantee el problema anterior como un problema P.L., sin la consideración del requisito de empate.

105

Solución: a) Número mínimo de trabajadores: L 6 5 4 3 2 1 0 0

M 3 2 1 1 0 0 0 0

W 5 4 3 3 2 2 1 0

J 3 2 1 0 0 0 0 0

V 7 6 5 4 3 2 1 0

S 2 2 2 1 1 0 0 0

D 3 3 3 2 2 1 1 0

S-D S-D M-W o W-J S-D L-M o M-W o W-J S-D L-M

Luego, el número mínimo de trabajadores que se necesitan contratar es 7. Programa de Trabajo: Trabajador 1 2 3 4 5 6 7 Disponible Demanda Holgura

L X X X X X X Libre 6 6 0

M X X Libre X X X Libre 5 3 2

W X X Libre X Libre X X 5 5 0

J X X X X Libre X X 6 3 3

V X X X X X X X 7 7 0

S Libre Libre X Libre X Libre X 3 2 1

D Libre Libre X Libre X Libre X 3 3 0

Holgura Total = 8 b) Sabiendo que, para nuestro caso, el número mínimo de trabajadores es 7 (equivalente al requisito de personal máximo), comenzamos probando el modelo con un valor de n = 7, luego 8, 9 y así sucesivamente, hasta el primer n en que se obtenga una solución factible. Ese valor de n es el número mínimo de trabajadores que se necesitan contratar. De esta manera tenemos: Variables:

⎧1 si el trabajador i trabaja el día j Xi j = ⎨ ⎩0 si el trabajador i está libre el día j

i = 1,2,…,n

j = 1,2,…,7

106

Parámetros: Rj = Requisitos diarios de personal durante el día j (j = 1,2,…,7) Modelo: 7 ⎡⎛ n ⎤ ⎞ min H Total = ∑ ⎢⎜ ∑ X ij ⎟ − R j ⎥ j =1 ⎣⎝ i =1 ⎠ ⎦

Sujeto a: i)

n

∑X i =1

ii)

≥ Rj

∀ j = 1,2,...,7

ij

=5

∀ i = 1,2,..., n

7

∑X j =1

iii)

ij

⎛ 6 ⎜ ∑ X i , j − X i , j +1 ⎜ ⎝ j =1

⎞ ⎟ + X i ,7 − X i ,1 = 2 ∀ i = 1,2,..., n ⎟ ⎠

Otra forma de expresar esta restricción, de manera no lineal es:

∑ (X 6

j =1

Con

i, j

⋅ X i , j +1 ) + X i ,1 ⋅ X i , 7 = 4

∀ i = 1,2,..., n

n≥7

9) La regla de Jonson se puede utilizar para minimizar el tiempo de procesamiento para colocar en secuencia un grupo de trabajos a través de dos instalaciones o máquinas. También minimiza el tiempo ocioso total en las máquinas. Explique el porqué. Solución: La idea de la regla de Jonson es hacer que unas cuantas tareas pasen por el procesador 1 con rapidez (trabajos de menor tiempo) para dar al procesador 2 para que tenga algo que hacer (disminuir ocio del procesador 2). Al final del programa el propósito es que queden tareas que requieran poco tiempo para los últimos procesadores de modo que una vez que este completo el procesador 1, el ultimo procesador pueda terminar rápidamente.

107

10) Cuando se programan n tareas en un solo procesador, el tiempo medio del flujo se minimiza secuenciando primero la tarea con el tiempo más corto de Demuestre que cuando se programan n procesamiento, o sea t1 ≤ t2≤ .....≤tn. tareas en un sólo procesador, la demora media se minimiza por la secuencia de t1 ≤ t2≤ .....≤tn. Nota: Si se supone que todas las tareas están disponibles cuando se inicia el programa, el tiempo de flujo de cada tarea es igual a su tiempo de terminación (Fi,s = Ci,s)

Solución:

Secuencia S’

Secuencia S

Supongamos que el programa S’, una secuencia que no es SPT, minimiza el tiempo medio de flujo. Entonces debe existir un par de trabajos en S’, digamos i y j, tales que j está programado inmediatamente antes de i, y tj > ti. Ahora consideremos el programa S, que es el mismo que S’ excepto que los trabajos i y j se intercambiaron, de manera que i está programado inmediatamente antes de j. Las tareas anteriores a i y j se definen dentro del conjunto A y las posteriores pertenecen al conjunto B, los cuales están en la misma posición en los dos programas. Las dos secuencias se pueden ver en la figura a continuación. Obsérvese que las tareas en los conjuntos A y B se inician y completan en los mismos tiempos en ambas secuencias; por tanto, sus tiempos de flujo son los mismos. La única diferencia en los tiempos de flujo de las dos secuencias se presenta en las tareas i y j.

Tareas en A tA

Tareas en A

i

j

ti

tj

j

Tareas en B

i

Tareas en B

El tiempo medio de flujo para cada secuencia está dado por:

FS = = F S' = =

⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ∑ Fk , S ⎟⎟ + Fi , S + F j , S + ⎜⎜ ∑ Fk ,S ⎟⎟⎥ n ⎣⎢⎝ ∀ k en A ⎠ ⎝ ∀ k en B ⎠⎦⎥ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ∑ Fk , S ⎟⎟ + (t A + ti ) + (t A + ti + t j ) + ⎜⎜ ∑ Fk , S ⎟⎟⎥ n ⎣⎢⎝ ∀ k en A ⎠ ⎝ ∀ k en B ⎠⎦⎥ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ∑ Fk , S ' ⎟⎟ + F j , S ' + Fi , S ' + ⎜⎜ ∑ Fk , S ' ⎟⎟⎥ n ⎢⎣⎝ ∀ k en A ⎠ ⎝ ∀ k en B ⎠⎥⎦ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ∑ Fk , S ' ⎟⎟ + (t A + t j ) + (t A + t j + t i ) + ⎜⎜ ∑ Fk , S ' ⎟⎟⎥ n ⎢⎣⎝ ∀ k en A ⎠ ⎝ ∀ k en B ⎠⎥⎦

108

Sustrayendo el flujo medio de S’ del de S se obtiene:

F S − F S' =

[

]

1 ti − t j < 0 n

Esto implica que el tiempo medio de flujo de S es menor que el de S’, lo que contradice la suposición de que S’ es óptimo. Este mismo intercambio de dos a dos de tareas adyacentes se puede repetir siempre que el cambio coloque la tarea más corta adelante de la más larga y que cada intercambio reduzca el tiempo medio de flujo. Estas mejoras se pueden hacer hasta que t[1] ≤ t[2] ≤ … ≤ t[n], lo cual representa el tiempo medio mínimo de flujo. Por lo tanto, un programa óptimo debe estar en el orden SPT. 11) Si se tiene un sistema constituido por 2 máquinas A y B, ¿cuál sería el orden de procesamiento de los siguientes conjuntos de tareas {a}, {b}, {ab} y {ba}? Fundamente su respuesta. Solución: Los trabajos en {ab} deben programarse antes en la máquina A que los trabajos en {ba}, porque no se quiere que la máquina A esté ociosa mientras espera que termine la primera operación de un trabajo {ba} en la máquina B antes de poder procesarlo en la máquina A. Por el mismo argumento, se quiere programar, en la máquina A, todos los trabajos de {a} antes que los trabajos {ba}. Por otro lado, ningún trabajo de {a} debe ir antes que los trabajos {ab} en la máquina A, ya que podría retrasar el proceso de un trabajo {ab} en la máquina B. Esto implica un orden de los conjuntos de trabajos en la máquina A: {ab} {a} {ba}. De la misma manera, el orden en B debe ser {ba} {b} {ab}. En cuanto al orden de los trabajos dentro de los conjuntos, si sólo se tuvieran trabajos {ab}, se podría usar el algoritmo de Johnson para programarlos. También se podría usar para programar los trabajos en {ba}, pero con la máquina B primero y la A después. El orden de los trabajos dentro de {a} y {b} no importa, de manera que el programa de lapso mínimo para un taller de producción intermitente con 2 máquinas es: • •

Máquina A: trabajos {ab} ordenados según el algoritmo de Johnson, después los trabajos {a} en cualquier orden, seguidos de los {ba} en orden inverso al algoritmo de Johnson. Máquina B: trabajos {ba} en orden inverso de Johnson, trabajos {b} en cualquier orden y trabajos {ab} en el orden de Johnson.

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