Guía Técnica de Estadística para Administración I.
May 8, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Guía Técnica de Estadística para Administración I Programa en Competencias
Magaly Oyervides Villarreal
INTRODUCCIÓN
Contenido INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 5 Caracterización de la asignatura. .................................................................................................... 5 Intención didáctica. .......................................................................................................................... 5 Competencias a desarrollar ............................................................................................................ 6 Competencias genéricas:............................................................................................................. 6 Competencias previas.................................................................................................................. 6 Objetivo general del curso ............................................................................................................... 7 Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas) ................................................... 7 Sugerencias de evaluación ............................................................................................................. 7 Prácticas propuestas ....................................................................................................................... 8 UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES ..... 9
1.1
La estadística en las actividades empresariales con un enfoque administrativo ............. 10
1.2
Su importancia y sus aplicaciones .................................................................................... 10
1.3
Conceptos básicos ............................................................................................................ 13
1.4
Aplicación del proceso administrativo en los estudios estadísticos .................................. 15
1.5
Aplicación de la estadística descriptiva en las actividades del administrador .................. 16
Ejercicios unidad 1 ............................................................................................................................ 22 UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .................................................................................. 23
2.1
Tablas de Distribución de frecuencias ............................................................................. 24
2.2
Gráficas (Histogramas, de barras, pictogramas, Polígonos de frecuencias y ojivas) ...... 25
2.3
Diagramas de caja............................................................................................................. 28
Ejercicios unidad 2 ............................................................................................................................ 30 UNIDAD 3 MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS 33 3.1
Media aritmética, Mediana y Moda ................................................................................... 34
3.1.1
Media aritmética ............................................................................................................ 34
3.1.2
La Mediana .................................................................................................................... 35
3.1.3
La Moda ......................................................................................................................... 36
3.2
Cuartiles, Deciles y Percentiles ......................................................................................... 37
3.2.1
Cuartiles ........................................................................................................................ 37
3.2.2
Deciles ........................................................................................................................... 39
3.2.3
Percentiles ..................................................................................................................... 40
3.3
Medidas de dispersión para un conjunto de datos y datos agrupados ............................. 41 Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
3.3.1
Rango ............................................................................................................................ 41
3.3.2
Desviación estándar ...................................................................................................... 41
3.3.3
La Varianza ................................................................................................................... 42
3.3.4
Coeficiente de Variación de Pearson ............................................................................ 42
Ejercicios unidad 3 ............................................................................................................................ 44 UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS .............................................................. 46 4.1
Aspectos generales de la probabilidad ............................................................................. 47
4.1.1
Definición y expresión ................................................................................................... 47
4.1.2
Tipos de probabilidad .................................................................................................... 47
4.1.3
Axiomas de probabilidad ............................................................................................... 47
4.2
Leyes de la probabilidad ................................................................................................... 48
4.2.1
Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes .................................................... 48
4.2.2
Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional .............................. 48
4.2.3
Probabilidad clásica ....................................................................................................... 49
4.2.4
Probabilidad condicional................................................................................................ 51
4.2.5
Reglas de adición .......................................................................................................... 52
4.2.6
Reglas de multiplicación ................................................................................................ 52
4.2.7
Combinaciones y permutaciones .................................................................................. 53
4.3
Aplicación de la probabilidad en la administración ........................................................... 55
4.4
Árboles de probabilidad ..................................................................................................... 56
4.4.1
Diagrama de árbol ......................................................................................................... 56
4.4.2
Análisis combinatorio..................................................................................................... 58
4.4.3
Principio fundamental de conteo ................................................................................... 59
4.5
Teorema de Bayes ............................................................................................................ 59
4.6
Teoría de conjuntos ........................................................................................................... 61
4.6.1
Definición de propiedades y operaciones básicas con conjuntos ................................. 61
4.6.2
Tipos de conjuntos .................................................................................................... 65
4.6.3
Operaciones con conjuntos ........................................................................................... 67
4.6.4
Propiedades de los conjuntos ....................................................................................... 73
Ejercicios unidad 4 ............................................................................................................................ 74 UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN ....... 78 5.1.1 5.1.1.1 5.1.2 5.1.2.1 5.1.3
Binomial ......................................................................................................................... 79 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar .............................................. 81 Poisson .......................................................................................................................... 82 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar .............................................. 83 Hipergeométrica ............................................................................................................ 83 Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
5.1.3.1 5.2.1
Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar .............................................. 84 Normal ........................................................................................................................... 84
5.2.1.1 5.2.2.
Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar .............................................. 87 Aproximación de la Normal a la Binomial...................................................................... 90
5.2.2.1
Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar .............................................. 90
Ejercicios unidad 5 ............................................................................................................................ 91 UNIDAD 6 MUESTREO Y ESTIMACIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS ............ 93 6.1 6.1.1 6.2 6.2.1
Fundamentos técnicos del muestreo y estimación ........................................................... 94 Tipos de muestreo aleatorio, sistematizado, estratificado y conglomerado. ................ 94 Distribución de muestreo; características y aplicación en el área administrativa ............. 95 Distribución muestral de la medias ............................................................................... 96
6.2.2 Distribución muestral de la diferencia entre dos medias con varianza conocida y desconocida. .............................................................................................................................. 96 6.2.3
Distribución muestral de la proporción. ......................................................................... 97
6.2.4
Distribución muestral con diferencia de dos proporciones............................................ 99
6.3
Teorema de límites central. ............................................................................................. 101
6.4
Tipos de estimaciones y características.......................................................................... 102
6.5
Determinación del tamaño de la muestra de una población. .......................................... 104
6.6
Intervalos de confianza para la media, con el uso de la distribución .............................. 107
6.7
Gráficas de control y tipos de variación en los procesos ................................................ 110
6.7.1
Gráficos de Control ...................................................................................................... 110
6.7.2
Variación en el proceso ............................................................................................... 113
Ejercicios unidad 6 .......................................................................................................................... 118 Fuentes de información ................................................................................................................... 121 Anexo 1 ........................................................................................................................................... 122 Distribución Binomial ................................................................................................................... 122 Anexo 2 ........................................................................................................................................... 128 Distribución de Poisson ............................................................................................................... 128 Anexo 3 ........................................................................................................................................... 131 Distribución Normal ..................................................................................................................... 131 Anexo 4 ........................................................................................................................................... 133 Factores para la elaboración de Gráficos de Control.................................................................. 133
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
Introducció n INTRODUCCIÓN El presente documento está desarrollado por la Ingeniera Magaly Oyervides Villarreal cumpliendo con las unidades, temas y subtemas que se especifican en el programa académico basado en competencias que ofrece la especialidad de licenciatura en administración del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos, la cual está siendo impartida en el Instituto Tecnológico de la Laguna, fundamentándose en las bibliografía que se indica en dicho programa además de algunos libros y sitios web que se incluyen en las fuentes de información del presente material.
Caracterización de la asignatura. Esta asignatura aporta al perfil del Licenciado en Administración la capacidad para tomar decisiones en base a los análisis resultantes de la aplicación de herramientas estadísticas tanto descriptiva como inferencial. La probabilidad, el muestreo, la estimación y el control estadístico de procesos son conocimientos auxiliares para el desarrollo de habilidades en la función administrativa que el administrador necesita aprender para implementar procesos de mejora, proyectos de innovación y solución de problemas en las organizaciones.
Intención didáctica. El propósito de la unidad uno es sensibilizar al estudiante de la licenciatura en administración sobre la importancia del uso de las herramientas estadísticas en el ámbito administrativo, despertando su interés en función a tareas fundamentales de la investigación como: la obtención de datos optimizando el tiempo y costo, utilización de métodos para organizar, procesar y analizar la información, concluir y comunicar la información por medio de documentos formales (reportes, presentación oral, artículos científicos, etc.) La segunda unidad aborda en su desglose temático la intención de lograr que el alumno aprenda a utilizar los métodos que incluyen las formas para recolectar datos; la presentación clara, creativa y pertinente de la información con la ayuda de graficas de acuerdo a su forma y combinación de color, así como la descripción apropiada de las diversas características de ese conjunto de datos. Lo anterior, con el uso de las herramientas informáticas. En la unidad tres se consideran los temas generales que desarrollaran en los estudiantes las habilidades para comprender y diferenciar un parámetro de una estimación así como la capacidad para proponer y resumir el comportamiento de un conjunto de datos considerando el grado de variación o dispersión de una variable con respecto a la media aritmética. Como un complemento para analizar otras características de la distribución de los datos se sugiere que el alumno aprenda a dividir los datos en partes iguales que logrará con el estudio de los cuartiles, deciles y percentiles. La unidad cuatro comprende temas de probabilidad y teoría de conjuntos que enfocados al administrador implica el dominio de los métodos y técnicas adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información resultante de los datos que se generan en cualquier actividad económica. Por lo que se considera necesario comprender los conceptos fundamentales de ambas teorías mismos que facilitaran la aplicación de enfoques, reglas, leyes y métodos probabilísticos para tomar decisiones, analizando diferentes alternativas que pueden resultar de un suceso o en eventos futuros. Respecto a la teoría de conjunto se busca que el estudiante aprenda a analizar la relación entre los diferentes grupos de un conjunto de datos. Con la unidad cinco se pretende que el estudiante aprenda a realizar inferencias y a tomar decisiones en base a los resultados obtenidos con los diferentes modelos de distribuciones de probabilidad, para variables discretas o continuas; apoyándose en los aprendizajes de las unidades anteriores Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
que son un fundamento necesario para comprender y utilizar los métodos en sucesos, de la vida cotidiana. Es importante considerar las distribuciones que tienen mayor aplicación en el área de la administración. La unidad seis tiene como propósito construir estimaciones acerca de las características de una población por medio de la información contenida en una muestra considerando los posibles errores del muestreo e intervalos de confianza que permitirán hacer afirmaciones probabilísticas acerca del tamaño del error de la muestra. Se incluye en esta unidad el control estadístico de procesos con la intención que el estudiante pueda relacionar las herramientas de muestreo con la práctica.
Competencias a desarrollar Competencias específicas: Utilizar y comprender las distribuciones de frecuencia en situaciones reales dentro de cualquier ámbito de trabajo. Aplicar las diferentes distribuciones para analizar alternativas de decisión en las organizaciones. Presentar y comparar los elementos de estudio de forma gráfica y clara, en los informes de resultados. Explicar la diferencia entre un parámetro y una estimación en los datos observados. Analizar la variación de los elementos de una muestra en un proceso de calidad Competencias genéricas: Competencias instrumentales Capacidad para observar, identificar, ordenar y clasificar Capacidad para organizar y planificar. Habilidades básicas para el uso de la computadora. Capacidad para indagar, comparar y relacionar información de fuentes diversas. Toma de decisiones. Solución de problemas Competencias interpersonales
Competencias interpersonales Trabajo en equipo. Habilidades directivas y de comunicación. Capacidad crítica y autocrítica. Competencias sistémicas
Competencias sistémicas Ser capaz de aplicar lo aprendido en lo cotidiano. Habilidad creativa. Aplicar procesos de pensamiento. Habilidades de investigación
Competencias previas Comprender los principios del Algebra Lineal y los factores económicos.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
Analizar, interpretar y deducir información con un enfoque crítico. Utilizar la tecnología de información para facilitar la presentación de los datos estadísticos.
Objetivo general del curso Conocer, comprender, analizar e interpretar la estadística descriptiva en las organizaciones.
Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas) Propiciar actividades de búsqueda, selección y análisis en distintas fuentes de información como libros, internet, artículos, entrevistas, encuestas. Integrar equipos de trabajo. Realización de un muestreo en campo o en empresa. Analizar y discutir las definiciones del tema en problemas reales y aplicarlos a los resultados del muestreo realizado. Elaborar un glosario de conceptos estadísticos y variables económicas en base a una investigación documental y de campo Organizar talleres de resolución de problemas. Uso de software (Statgraphics) o la calculadora como las herramientas que faciliten la comprensión de los conceptos, la resolución de problemas e interpretación de los resultados. Investigar en diversas fuentes de información sobre la importancia y la aplicación de la inferencia estadística en el campo de la administración Exposición de temas relacionados con la materia. Resolver ejercicios planteados en clase. Fomentar el trabajo colaborativo con los estudiantes, complementando la información por parte del profesor y orientar en las dudas que se generen. Vincular con la academia económico-administrativa los contenidos de esta asignatura con otras materias.
Sugerencias de evaluación La evaluación de la asignatura se hará con base en el siguiente desempeño: Examen de diagnóstico Revisión y exposición de ejercicios extra clase. Análisis y revisión de las actividades de investigación. Solución e interpretación de problemas resueltos con apoyo del software. Participación individual en clase. Exposición de temas relacionados con la materia.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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INTRODUCCIÓN
Participación en talleres de resolución de problemas. Reporte de trabajos de investigación en equipo. Participar en actividades individuales y de equipo en clase y campo Solución de problemas prácticos en dinámicas grupales. Entrega de glosario por unidades. Exposición de los resultados obtenidos en la investigación de temas estadísticos, que demuestren calidad y relación con los temas de otras asignaturas. Exposición de los temas, apoyados en diferentes métodos y medios didácticos. Cumplir en tiempo y forma con las actividades encomendadas. Concluir sus prácticas en un 100% Exámenes parciales.
Prácticas propuestas Estimar parámetros de interés (media, varianza, desviación estándar) de una población conocida. Construir intervalos de confianza para los parámetros de interés Realizar investigación documental y de campo para diferenciar el censo del muestreo Investigar una empresa que cotice en la bolsa de valores, tomar una muestra de 30 días hábiles de su variación en el mercado bursátil y determinar el valor promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la acción en ese periodo. Elabora la gráfica de barras y pastel. Investigar en empresas líderes de estudio de mercados de la localidad, la forma como determinan el tamaño de la muestra requerido para asegurar que su conclusión sobre datos estadísticos es confiable y vincular la realidad con los objetivos del tema. Presentar resultados en material audiovisual. Investigar en INEGI, la forma como determinan el tamaño de la muestra requerido en los diferentes tipos de muestreo aleatorio para asegurar que su conclusión sobre datos estadísticos es confiable y vincular la realidad con los objetivos del tema. Presentar resultados en material audiovisual.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Unidad 1 UNIDAD 1 PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES 1.1 La estadística en las actividades empresariales con un enfoque administrativo 1.2 Su importancia y aplicaciones 1.3 Conceptos básicos 1.4 Aplicación del proceso administrativo en los estudios estadísticos. 1.5 Aplicación de la estadística descriptiva en las actividades del administrador. La presente unidad tiene como competencias específicas a desarrollar el conocer, comprender y analizar los principios de investigación para el uso de las herramientas estadísticas aplicadas a la administración. Actividades de aprendizaje:
Formar equipos para analizar casos de estudio con el propósito de que identifiquen y deduzcan la importancia del uso de las herramientas estadísticas. Investigar los conceptos básicos de la estadística y elaborar un glosario de términos. Elaborar un ensayo para comprender las diversas aplicaciones de la estadística. Generar una idea de proyecto para relacionar los contenidos de la asignatura en actividades del administrador.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
1.1 La estadística en las actividades empresariales con un enfoque administrativo La estadística, que por muchos académicos, es tomada prácticamente como una definición de la misma, hablaba acerca de que la estadística se ocupa de la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos. La recolección de los datos puede ser una de las tareas más arduas, desde la elección de las fuentes de esos datos, pasando por la elaboración de instrumentos y levantado de información hasta su tabulación y cifrado, prosigue con el esfuerzo por organizar y presentar esos datos de una manera significativa y descriptiva, colocándolos de una manera lógica que revele rápidamente el mensaje que contienen. Posteriormente ya que han sido correctamente organizados y presentados, el estadista deberá analizarlos e interpretarlos para obtener información que facilite la toma de decisiones y ayude en la solución de problemas. Es ahí donde radica esa utilidad para el administrador de una empresa, en que a través de la aplicación de procedimientos estadísticos precisos, pueden predecirse algunos sucesos futuros con cierto grado de exactitud y eso beneficiará profundamente a la empresa. Anticipando algunas condiciones del negocio antes de que ocurran. Por ejemplo si la empresa puede estimar como van a estar sus ventas en algún momento del futuro cercano, puede hacer planes más exactos y efectivos acerca del presente; tomando decisiones relacionadas con los volúmenes de inventario, requerimientos de materia prima, contratación de empleados y otra serie de aspectos de operación del negocio. Y si bien la generación de toda esa información tiene un costo, el mismo es estratégico, ya que contribuirá notablemente a una mejor gestión. Peter Drucker "el padre del management" afirma que las mediciones son la clave. Si usted no puede medirlo, no puede controlarlo. Si no puede controlarlo, no puede gestionarlo. Si no puede gestionarlo, no puede mejorarlo. La falta sistemática o ausencia estructural de estadísticas en las organizaciones impide una administración científica de las mismas. Y es que la Estadística nos ayudara a conocer aspectos clave de diferentes áreas de la empresa, como por ejemplo: (Mercadeo) qué clientes les generan los mayores beneficios, qué zonas o regiones son las que generan mayores ventas en unidades monetarias y volúmenes, cuál es el nivel de rotación o permanencia de clientes, en qué etapa del ciclo de vida se encuentra cada uno de sus productos o servicios, el nivel de satisfacción de los clientes, etc. (Operaciones) cuáles son las reparaciones que más se han producido en el último trimestre, qué tipo de reparaciones han generado mayores egresos, la capacidad de los diferentes procesos en materia de costos, productividad y calidad. (Finanzas) En el cálculo del costeo de todas las operaciones, en qué momento se alcanza el punto de equilibrio, etc.
1.2
Su importancia y sus aplicaciones
Aunque comúnmente se asocie a estudios demográficos, económicos y sociológicos, gran parte de los logros de la estadística se derivan del interés de los científicos por desarrollar modelos que expliquen el comportamiento de las propiedades de la materia y de los caracteres biológicos. La Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
medicina, la biología, la física y, en definitiva, casi todos los campos de las ciencias emplean instrumentos estadísticos de importancia fundamental para el desarrollo de sus modelos de trabajo. Campos de aplicación La estadística es una ciencia de aplicación práctica casi universal en todos los campos científicos: En las ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos. En las ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología aplicada. En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre múltiples parámetros macro y microeconómicos. En las ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los enfermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de eficacia de un medicamento, etcétera. Presentación de datos Los datos estadísticos se presentan generalmente expresando el valor de la frecuencia absoluta que toman las variables significativas de un estudio, ya correspondan a una población o a una muestra. La frecuencia absoluta de un valor o de una modalidad de una variable estadística es el número de datos observados que presentan ese valor o modalidad. El cociente entre la frecuencia absoluta de un valor o modalidad y el número total de datos es llamado frecuencia relativa. También suelen presentarse los datos en forma de porcentaje (es decir, en forma de razón de denominador 100). Una razón se obtiene como el cociente entre dos cantidades numéricas comparables. Si el cociente se refiere a dos cantidades que se indican en unidades distintas, la razón recibe el nombre de tasa. Un ejemplo de tasa es la densidad de población, que se define como el número de habitantes por kilómetro cuadrado y que se aplica habitualmente en los estudios demográficos. Dada una suma de varios sumandos, si el cociente hace referencia a la división numérica entre uno de los sumandos y la suma total, la cantidad expresada se denomina proporción.
Gráficos de sectores que reflejan el Índice de Precios al Consumo (IPC).
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Números índices Otros métodos de presentación de datos utilizados en estadística se basan en el empleo de números índices. Tales números reflejan la evolución que experimenta con el paso del tiempo una variable estadística de interés. Así, se toma como referencia del índice el valor de la variable en un instante dado, de manera que sus valores posteriores se expresan como una razón de cambio con respecto a dicha referencia (a menudo, en forma de porcentaje). Un ejemplo típico de empleo de números índices es el índice bursátil, cuya definición obedece a criterios diferentes en cada país (índice Dow Jones, en la Bolsa de Nueva York; índice Nikkei, en Tokio, etcétera).
El gráfico de evolución de la Bolsa de Valores constituye un ejemplo de número índice. Estadísticas comunes Varios estudios estadísticos comunes que aparecen con frecuencia en los medios de comunicación son los siguientes: Encuesta de Población Activa (EPA), elaborada por el Instituto Nacional de Estadística (INE) con periodicidad trimestral, según recomendaciones de la Organización Internacional del Trabajo (OIT), para obtener y clasificar datos sobre la actividad de la población. Esta encuesta se realiza por muestreo, y los resultados se ordenan por edad, sexo, nivel de estudios, profesión y otros parámetros. Índice de Precios al Consumo (IPC), que mide por medios estadísticos la evolución experimentada por los precios de los bienes y servicios consumidos por la población española. Se basa en la Encuesta de Presupuestos Familiares (EPF), y selecciona varios centenares de artículos, clasificados en ocho grupos, que se consideran representativos de la evolución de los precios. Los artículos seleccionados componen lo que se denomina cesta de la compra, considerada en la encuesta. Producto Interior Bruto (PIB), que registra la producción nacional de un país en bienes y servicios asociados a procesos considerados productivos. Poder adquisitivo, que maneja combinadamente datos del Salario Mínimo Interprofesional (SMI) y el IPC. Gráfico de sectores, o circular, que refleja estadísticamente la aplicación de las matemáticas según el resultado de una encuesta de opinión. Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
1.3
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Conceptos básicos
ESTADISTICA La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Se usa para la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales. La estadística se clasifica en dos grandes áreas:
La estadística descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y minería de datos.
Recopilación de datos Datos, son la materia prima de las operaciones a la Estadística. Por otra parte, nos sirven para establecer tendencias sobre los comportamientos de las personas, objetos y fenómenos, tendencias que son muy útiles, pues sus resultados nos orientan para obrar adecuadamente. Para el especialista, la información necesaria para toda investigación está constituida por datos. A fin de que un análisis estadístico resulte útil en la toma de decisiones, los datos deben ser apropiados. Hay, por lo menos, tres maneras de obtener datos: i) utilizar los datos publicados por fuentes gubernamentales, industriales o particulares; ii) a través de la experimentación; iii) realizando encuestas.
Tipos de datos En una investigación estadística, se manejan diversas características, a las que se denomina variables. Los datos son los resultados que se observan para estas variables. Básicamente existen dos tipos de variables, que producen dos tipos de datos: cualitativos y cuantitativos. Las primeras variables producen respuestas categóricas, en tanto que las segundas producen respuestas numéricas. Por otra parte, los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Los datos cuantitativos discretos son respuestas numéricas que surgen de un proceso de conteo, mientras que los continuos son los que surgen de un proceso de medición. Tipos de datos
Tipos de preguntas
Respuestas
________________________________________________________________________
Cualitativos
¿Posee vivienda propia?
Sí ---No ---
Discretos
¿Cuántos hijos posee?
-------
Continuos
¿Cuál es la superficie cubierta?
-------
Cuantitativos
Población: En la disciplina estadística, la Población es el total de los elementos potencialmente observables Muestra: Es una parte, proporcionalmente pequeña de la Población Parámetro: Es una medida que se calcula para describir una característica poblacional. Estadística: Es una medida utilizada para describir una característica muestral. Gráficos: Un gráfico es una representación de la relación entre variables. Muchos tipos de gráfico aparecen en estadística, según la naturaleza de los datos involucrados y el propósito del gráfico. Entre ellos: barras, circulares, etc. Variable: es un símbolo, tal como X, Y, H, x o B, que puede tomar un conjunto prefijado de valores, llamado dominio de esa variable. Si la variable puede tomar un solo valor, se llama constante. Variable Continua: es una variable que puede tomar cualquier valor entre 2 valores dados. Ej. La estatura de una persona (1.73) Variable Discreta: es una variable que no puede tomar un valor entre 2 valores dados. Ej. El número de hijos en una familia (1 o 2 o 3) Ejercicios: Indica con una C si la variable es continua, y con una D si es discreta Número de acciones vendidas un día en la bolsa de valores __D__ Temperaturas medias en un observatorio cada media hora __C__
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Vida media de los tubos de tv producidos por una fábrica __C__ Ingresos anuales de los profesores de enseñanza media __D__ Longitudes de 1000 tornillos producidos en una empresa __C__
1.4
Aplicación del proceso administrativo en los estudios estadísticos
A lo largo de nuestra vida siempre ha estado presente la toma de decisiones, siempre se nos presentan diversos caminos u opciones, algunas de ellas son correctas y facilitan el camino hacia el éxito y otras nos llevan directamente al fracaso las personas que actúan o deciden racionalmente están intentando alcanzar alguna meta que no se puede lograr sin acción, necesitan comprender en forma clara los recursos alternativos mediante los cuales se pueden alcanzar una meta de acuerdo a las circunstancias y limitaciones existentes, ya que, no todo el tiempo son favorables porque diversos factores son quiénes la regulan, es por ello, que si tomamos una decisión debemos estar conscientes que así como nos puede resultar favorables, a lo largo del tiempo por indeterminada circunstancia puede afectarnos para evitar que una decisión tomada nos afecte, antes de… tenemos que pensar en una alternativa que pueda ayudarnos si en determinado momento esa decisión resulta incorrecta, el tema “aplicación del proceso administrativo en estudios estadísticos” explica cómo se aplica cada una de las etapas del proceso administrativo en un determinado estudio estadístico y las ventajas que tiene saber cómo se aplica el proceso a dichos estudios, ya que, no solamente la estadística auxilia a la administración, sino que tienen una brecha que las relaciona mutuamente. La administración es una herramienta de control, y para llevar a cabo dicho control la estadística le ayuda a recolectar, organizar, analizar e interpretar los datos que se obtienen al terminar el proceso administrativo, se realiza una retroalimentación y es donde se concluye qué mejoras pueden hacerse respecto a algún problema que se tenga.es una herramienta del control, como parte del proceso administrativo (o lo que es lo mismo: planeación, organización, dirección y control) ya que la estadística te ayuda a recolectar, estudiar y al final interpretar los datos que obtienes al terminar el proceso administrativo, te retroalimentas con esta información y al final ves en que puedes mejorar. Las modernas estadísticas acompañadas de las poderosas herramientas informáticas permiten a los directivos, asesores y personal, contar con la suficiente información para mejorar a partir de ella los procesos de la empresa, tomar mejores decisiones. Es muy importante para un buen control los análisis estadísticos de los innumerables aspectos de la operación de un negocio o empresa, así como la presentación clase. La mayor parte de los administradores comprenden mejor los datos estadísticos cuando se le presenta en forma gráfica, allí se representan mejor tendencias y relaciones. los datos deben ser presentados en forma tal que puedan realizarse comparaciones conciertos estándares, puesto que ningún administrador puede hacer nada con respecto al pasado, es esencial que los reportes estadísticos muestren tendencias para que las personas que los observan puedan extrapolar y estimar el rumbo, o tendencia, esto significa que la mayor parte de los datos, cuando se presentan en gráficas, deben estar disponibles en promedios de tiempos para eliminar las variaciones debidas a períodos contables, factores estacionales, ajustes contables y otras variaciones asociados con tiempos determinados. En la actualidad la mayoría de las ciencias y tecnologías basan sus procesos en el
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
apropiado uso de la información y el provecho que puedan obtener de esta para mejorar sus procesos, los cuales por lo general buscan el mejoramiento económico de las empresas.
1.5 Aplicación de la estadística descriptiva en las actividades del administrador No se puede gestionar lo que no se mide. Las mediciones son la clave. Si usted no puede medirlo, no puede controlarlo. Si no puede controlarlo, no puede gestionarlo. Si no puede gestionarlo, no puede mejorarlo. La falta sistemática o ausencia estructural de estadísticas en las organizaciones impide una administración científica de las mismas. Dirigir sólo en base a datos financieros del pasado, realizar predicciones basadas más en la intuición o en simples extrapolaciones, y tomar decisiones desconociendo las probabilidades de éxito u ocurrencia, son sólo algunos de los problemas o inconvenientes más comunes hallados en las empresas. Carecer de datos estadísticos en cuanto a lo que acontece tanto interna como externamente, impide decidir sobre bases racionales, y adoptar las medidas preventivas y correctivas con el suficiente tiempo para evitar daños, en muchos casos irreparables, para la organización. Peter Drucker hace dos afirmaciones básicas. Primero, afirma que pocos factores son tan importantes para la actuación de la organización como la medición. Segundo, lamenta el hecho de que la medición sea el área más débil de la gestión en muchas empresas. Prácticamente todos los autores de libros de gestión han lamentado que la medición sea crítica para el éxito y que la mayoría de los directores no tengan habilidades cuantitativas adecuadas. En otras épocas disponer de los datos y luego analizarlos resultaba una labor costosa y agotadora, pues ella se basaba en la labor manual de los empleados. Pero hoy se cuenta con computadoras cada día más veloces y económicas, al tiempo que se dispone de programas más potentes y flexibles, por lo cual las empresas que utilicen dicho potencial obtendrán una fuerte diferencia competitiva en relación a sus adversarios, pero más aún podrán mejorar continuamente la performance en los diversos ratios y mediciones que hacen a los procesos y actividades de la empresa. Las empresas que no hagan uso de estas nuevas potencialidades y afronten debidamente éstas nuevas exigencias, no sólo perderán capacidad competitiva, sino que quedarán desacoplados ante los continuos cambios del entorno, poniendo en serio riesgo su propia continuidad. En otras épocas con lentos procesos de cambios, los cuales resultaban casi imperceptibles en el tiempo, se podía administrar una empresa con pocos datos estadísticos. Hoy en un mundo de profundos y veloces cambios en todos los órdenes ya no es posible actuar con displicencia. Hoy un empresario necesita predecir a tiempo los niveles de demanda de sus productos, necesita reconocer a tiempo los cambios de tendencia, debe no sólo saber en qué se gastó, sino como se gastó en el tiempo y en que conceptos. Para negociar, para tomar decisiones, para corregir problemas de calidad, para aumentar la productividad, para fijar precios, para mejorar el mantenimiento y disponibilidad de las máquinas e instalaciones, para mejorar la concesión y cobranza de los créditos se requiere sí o sí contar con datos estadísticos.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Toda decisión, todo análisis, todo presupuesto, está prácticamente en el aire si no se cuenta con datos estadísticos suficientes y fiables. (Makridakis, 1998) No sólo a nivel empresa, sino también a nivel país, los que más han avanzado han sido aquellos que hicieron de las estadísticas una herramienta fundamental. W. Edwards Deming, un pionero en métodos estadísticos para el control de calidad, señaló que en Japón se pone mucho énfasis en las estadísticas para directores de empresa. En parte fue la aplicación de las técnicas estadísticas enseñadas por Deming lo que hizo que Japón pasara de ser un fabricante de imitaciones baratas a líder internacional en productos de primera calidad. Sin estadísticas una empresa carece de capacidad para reconocer que actividades o productos le generan utilidades, y cuales sólo pérdidas. No contar con datos e interpretarlos correctamente es para los administradores como caminar en la oscuridad. Contar con los datos les ilumina, les permite ver lo que está aconteciendo y en consecuencia tomar las medidas más apropiadas. (Casas Luengo, 2000) La estadística nos deja ver la realidad de cómo se encuentra la administración de la empresa, respondamos lo siguiente: ¿Qué clientes les generan los mayores beneficios? ¿Qué zonas o regiones son las que generan mayores ventas en unidades monetarias y volúmenes? (en total y por producto) ¿Cuáles son las reparaciones que más se han producido en el último trimestre? ¿En qué día de trabajo de cada mes logra llegar al punto de equilibrio? ¿Qué tipo de reparaciones han generado mayores egresos? ¿Puede decirme cuales son la capacidad de los diferentes procesos en materia de costos, productividad y calidad? ¿Cuál es su nivel en sigma de cada una de las actividades? ¿Cuál es el nivel de rotación o permanencia de clientes? ¿Sabe en qué etapa del ciclo de vida se encuentra cada uno de sus productos o servicios? ¿Cuál es el nivel de satisfacción de sus clientes? Si se tiene y se dirige un sanatorio ¿cuáles son las enfermedades que más clientes reportan? ¿Cuáles son los problemas que más consultas originan? Si posee un restaurante ¿cuáles son los platos más pedidos durante el año y por temporada? ¿Cuáles son los vinos más pedidos y cuáles los más vendidos? Si dirige una librería ¿cuáles son los temas más vendidos? ¿Cuál es la rentabilidad que le aporta cada tema? ¿Cómo contribuye cada tema a lograr el punto de equilibrio?
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Si dirige un hotel ¿cuál es el tiempo promedio de estadía? ¿La cantidad de clientes por zona o región? ¿La cantidad de tiempo por región y su relación con la cantidad de tiempo de estadía? ¿La facturación por profesión, zona, motivo de su visita (turismo, negocios, salud, profesionales, capacitación, otros)? Estás son sólo unas pocas preguntas de las cuales sin la estadística no se podrían responder, o para hacerlo deberá destinar de una gran cantidad de tiempo en personal, aparte de generar una información poco confiable, costosa y fuera de tiempo. Si no cuenta con estos datos, ¿cómo hace usted? para:
Adoptar a tiempo las medidas correctivas; Confeccionar un presupuesto viable y efectivo; Administrar eficazmente su flujo de fondos; Evitar los excesos de stock y la obsolescencia de inventarios; Gestionar la mejora de los diversos procesos; Saber cuándo está mejorando la productividad; Negociar un incremento de precios; Detectar la causa de un problema y solucionarlo.
En pocas palabras: ¿realmente se sabe que está ocurriendo en la organización? Para poder saber que pasa en la organización es necesario contar con datos en tiempo y forma, sabiéndolos interpretar correctamente. Es aquí donde la estadística y los sistemas de información convergen para posibilitar al directivo gestionar con mucha mayor eficiencia y eficacia su organización. ¿Para qué la estadística? Si bien quedó ello claramente expuesto, una enumeración nunca está demás. Así pues las estadísticas son fundamentales a los efectos de gestionar y mejorar temas o actividades tales como: • El control de calidad. • El nivel de averías y sus frecuencias. • Los tiempos para cambios o preparación de herramientas. • Los niveles de productividad de distintos procesos, actividades y productos. • Los costos correspondientes a distintos tipos de conceptos y actividades. • La gestión de créditos y cobranzas. • El seguimiento del flujo de fondos. • Los niveles de satisfacción de los clientes y usuarios. • Los tipos de accidentes y sus frecuencias. • El análisis paretiano de defectos, costes, rentabilidades, ventas.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
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• Ventas por clientes, vendedores, zonas y productos. • Predicciones de ventas por zonas, productos, servicios o sucursales. • Capacidad de los procesos en cuanto a generación de niveles de costes, calidad y productividad. • Tiempos totales de ciclos productivos. • Tiempos de respuestas. • Gestión de inventarios. • Cumplimiento de aprovisionamiento por parte de los proveedores. • Predicción de ventas por canales de comercialización. • Proyectos de inversión. • Probabilidades para la construcción del "Árbol para la Toma de Decisiones". • Evolución de los distintos ratios económicos - financieros y patrimoniales a lo largo del tiempo. • Estudios e investigación de mercado. • Tiempos de máquinas y personas por actividad. • Cantidad y representación porcentual de distintos problemas y sus efectos económicos en la organización. • Tasa de polivalencia del personal. • Productos más demandados, a nivel global, por zona y por canal de comercialización. • Porcentajes de actividades generadoras de valor agregado para los clientes finales, de valor agregado para la empresa y carentes de valor agregado. • Tiempos promedios, máximos y mínimos de reparaciones por tipo de averías. • Cálculos de costes y en especial para el Costeo Basado en Actividades. • Para los cálculos de productividades. • Coeficientes de correlación. • Estadística del personal (directivo y empleado). ¿Por qué se aplican tan poco? En parte por una cuestión cultural de parte de los empresarios, pero en mayor medida a la falta de preparación de los profesionales, en materia estadística, sobre todo de aquellos que asesoran en cuanto a la gestión de las empresas. Lo antes descrito es menos frecuente en los países anglosajones, los cuales tienen una fuerte cultura e inclinación por las estadísticas y las probabilidades.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Otro tanto se da en Japón o Corea, países que dan a la educación de las estadísticas y matemáticas una fuerte preponderancia en sus planes de estudios y luego en la aplicación práctica. Sin lugar a dudas la cuestión no es disponer de datos estadísticos, si los mismos no son debidamente interpretados, o ni siquiera son tenidos en consideración. Por lo tanto es menester concientizar y formar a los directivos y empleados acerca de la fundamental y trascendental importancia de la información estadística a la hora de planificar, dirigir y controlar la marcha de la empresa. Un motivo muy mencionado por algunos empresarios y directivos es que la gestión estadística implica mayor burocracia y un incremento en los gastos. La cuestión es que esa actividad y sus costes son estratégicos, razón por la que el incremento en los costes será compensado en gran forma mediante una mejor gestión, lo cual generará mayores ingresos acompañados de menores costes por unidad monetaria ingresada, aumentando en gran forma la rentabilidad de la empresa. ¿Qué hacer? El primer paso como antes se expresara es concientizar, para luego pasar a capacitar. El tercer paso consiste en la implementación. Diagnosticar para saber qué datos necesita la organización es un paso fundamental, pues a partir de allí se diseñarán el software más apropiado a las actividades, procesos y requerimientos específicos de cada empresa. Si bien la intuición nunca dejará de perder importancia, el tener el respaldo de datos confiables le permitirá poder adoptar decisiones sobre una base más apropiada. Es esto lo que se da en llamar la Gestión Moderna Basada en Estadísticas (GMBE). Es necesario fundamentar y demostrar a los directivos los importantes beneficios generados por la incorporación e implementación de las estadísticas a la organización. La mejor forma de hacerlo es reflejando ello como una importante "palanca" para el incremento de los resultados. Las estadísticas combinadas con el Control de Gestión y el Tablero de Comando están en condiciones de producir resultados verdaderamente arrolladores. Si a ello se le suma las posibilidades para las grandes empresas de disponer de sistemas de simulación, las decisiones estratégicas que se adopten tomarán nuevas formas y colores. Si estamos en la oscuridad, mejor disponer de una vela aunque ésta sea pequeña, que atropellarnos todo en la oscuridad. Las modernas estadísticas acompañadas de las poderosas herramientas informáticas permiten a los directivos, asesores y personal, contar con la suficiente información para mejorar a partir de ella los procesos de la empresa, tomar mejores decisiones comerciales, mejorar la seguridad y hacer un uso mucho más productivo y provechoso de los recursos. Las estadísticas son fundamentales tanto para la administración financiera, como para la administración de operaciones, las ventas, el marketing, las cobranzas, la logística y la gestión de personal entre otras áreas y actividades de toda corporación. Cada día se exige ser más productivos, eliminando sistemáticamente los despilfarros. Hacer ello posible exige de información.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 1
PRINCIPIOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA EN LAS ORGANIZACIONES
Pretender dirigir una empresa como hace cincuenta años ya no es válido ni posible. El empresario tiene en sus manos la decisión de mejorar la empresa a través de una GMBE, o seguir conduciendo su empresa en la oscuridad. (Hanke, 1995)
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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Ejercicios unidad 1
Ejercicios unidad 1 Identifica que tipo de variable se muestran a continuación. Marca con una ¨D¨ si es Discreta, y con una ¨C¨ si es continua.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P er í o do d e d ur ac ió n d e u n au t om óv i l. _ __ _ __ E l d iám etr o d e l as r u e das de var i os c oc h es . __ _ __ _ Núm er o de h ij os d e 5 0 f am il i as . _ __ _ __ Ce ns o an u a l d e l os es pa ñ o les ._ _ __ _ _ Mas c o tas q u e t ie n es . __ _ __ _ E l pr om ed io de u n a l is ta d e e d ad es . _ __ _ _ _
In v es t i g a en un a em pr es a :
1. 2. 3. 4. 5.
¿Q u é pr od uc tos ve n de n c o n c an t id a des de v en t a? ¿Cu á l es e l m ás ve n d i do ? ¿Cu á l es e l d e m enor v en t a? ¿A q u é atr i b u yes qu e no s e v en d a e l pr od uc to ? ¿Q u é d ec is i ó n tom ar í a s s i t ú f uer as e l g er en t e g en er a l?
In v es t i g a en la pá g i na of ic i a l d e IN EG I:
1. 2. 3. 4.
¿Cu a nt os h a bi t an tes t i en e t u p aís ? ¿Cu a nt os h a bi t an tes t i en e c a d a es t a do ? ¿Cu á l es ta d o t ie n e m ás p o bl ac i ón ? ¿Cu á l es ta d o t ie n e m enor po b l ac i ó n?
S ac a u n es ta d ís t ic o q ue m ues t r e los í n dic es d e p ob l ac ió n c l as if ic a dos por gé n er o, e d uc ac i ón y p ob l ac ió n ec o nóm ic am ent e ac ti v a
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Unidad 2 UNIDAD 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 2.1
Tablas (de distribución; de frecuencia para una, dos o múltiples entradas)
2.2
Gráficas (Histogramas, de barras, pictogramas, etc.)
2.3
Diagramas de caja
La presente unidad tiene como competencia específica a desarrollar el conocer, identificar y representar datos estadísticos a través de tablas, gráficas y diagramas para analizarlos y concluir en la toma de decisiones en las empresas.
Actividades de aprendizaje:
Ejemplificar con datos reales el uso de las diferentes gráficas para representar datos, utilizando formas y colores fomentando el uso de su creatividad. Explicar el proceso para ordenar y distribuir los datos y elegir la forma más adecuada para representarlos. Inducir a un proceso de pensamiento para interpretar la información describiéndola en un reporte. Exponer los resultados de los ejercicios realizados en una mesa de discusión para comparar y unificar criterios. Continuar con la construcción del glosario de términos.
Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se recomienda realizar los ejercicios con la ayuda de Excel, utilizando las herramientas estadísticas que el programa nos proporciona, así como las gráficas, funciones y formulando lo necesario para la resolución de los problemas por medio de éste software.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 2
2.1
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tablas de Distribución de frecuencias
Fila de datos: consiste en datos recogidos que no han sido organizados numéricamente, por ejemplo las alturas de 100 estudiantes por letra alfabética. Ordenaciones: es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente. Rango: es la diferencia de un conjunto de números entre el mayor y el menor de todos ellos Distribuciones de frecuencias: al resumir grandes colecciones de datos, es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar el número de individuos que pertenecen a cada clase, llamado frecuencia de clase. Una disposición tabular de los datos por clases junto con las correspondientes frecuencias de clases se llama distribución de frecuencias (o tabla de frecuencia). ALTURA DE 100ESTUDIANTES VARONES DE LA UNIVERSIDAD XYZ ALTURA
NUMERO DE ESTUDIANTES
60-62
5
63-65
18
66-68
42
69-71
27
72-74
8
100 Intervalos de clase y límites de clase: El símbolo que define una clase, como el 60-62 en la tabla se llama un intervalo de clase, los números extremos, 60 y 62, se llaman límite inferior de clase (60) y superior de clase (62). Fronteras de clase: El intervalo de clase 60-62 incluye teóricamente todas las medidas desde 59.5 hasta 62.5, estos números se llaman fronteras de clase o verdaderos límites de clase, el menor (59.5) es la frontera inferior y el mayor (62.5) es la frontera superior. Tamaño o anchura de un intervalo de clase: es la diferencia entre las fronteras de clase superior e inferior. 62.5 – 59.5 = 65.5 – 62.5 = 3 Marca de clase: Es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando los límites inferior y superior de clase. Así que las marcas de clase del intervalo 60-62 es (60+62)/2 = 61. La marca de clase se denomina también punto medio de la clase. Reglas generales para formar distribuciones de frecuencias Determinar el mayor y el menor de todos los datos, hallando así el rango (diferencia entre ambos) Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase del mismo tamaño. Si ello no es factible, usar intervalos de clase de distintos tamaños o intervalos de clase abiertos. Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, según los datos. Los intervalos de clase se eligen también de modo tal que las marcas de clase (o puntos medios) coinciden con datos realmente observados. Ello tiende a disminuir el llamado error de argumento que se produce en análisis ulteriores. No obstante, las fronteras de clase no deberán coincidir con datos realmente observados. Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase esto es, hallar las frecuencias de clase. Esto se logra mejor con una hoja de recuentos.
2.2 Gráficas (Histogramas, frecuencias y ojivas)
de
barras,
pictogramas,
Polígonos
de
Histogramas y polígonos de frecuencias: son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias. Un histograma y los polígonos de frecuencias, consiste en un conjunto de rectángulos con (a) bases en el eje X horizontal, (b) centros en las marcas de clase, y (c) áreas proporcionales a las frecuencias de clase. Un polígono de frecuencias es un gráfico de trozos de la frecuencia de clase con relación a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma.
Histogram de Frecuencias
Polígono de Frecuencia
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0 58- 61- 64- 67- 70- 73- 76-
58-
61-
64-
67-
70-
73-
76-
Distribuciones de Frecuencias Relativas La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. Por ejemplo la frecuencia relativa de la clase 66-68 es 42 / 100 = 42%. La suma de las frecuencias relativas de todas las clases da 1 o sea 100%. Si se sustituyen las frecuencias por las frecuencias relativas la tabla resultante se llama distribución de frecuencias relativas, distribución de porcentajes o tablas de frecuencias relativas.
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
La representación gráfica de distribución de frecuencias relativas se puede obtener del histograma o del polígono de frecuencias solo se cambian las frecuencias a frecuencias relativas.
Histograma de Frecuencias Relativas
Polígono de Frecuencias Relativas
60%
60% 42%
40% 18%
20% 0%
8%
5% 64-
67-
70-
73-
18%
0% 0%
61-
27%
20%
0% 58-
42%
40%
27%
76-
0% 58- 61-
8%
5% 64-
67-
70-
73-
0%
76-
Distribuciones de Frecuencias Acumuladas y Ojivas La frecuencia total de todos los valores menores de la frontera de clase superior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66-68 es 5-18-42=65, lo que significa que 65 estudiantes tienen alturas por debajo de 68.5. Una tabla que muestre tales frecuencias acumuladas se llama distribución de frecuencias acumuladas o distribución acumulada. ALTURA
NUMERO DE ESTUDIANTES
Menor que 59.5
0
Menor que 62.5
5
Menor que 65.5
23
Menor que 68.5
65
Menor que 71.5
92
Menor que 74.5
100
Histograma de Frecuencias Acumuladas (ojivas) 120 100 80 60 40 20 0
Polígono de Frecuencias Acumuladas (ojivas) 120 100 80 60 40 20 0
Menor Menor Menor Menor Menor Menor que que que que que que 59.5 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5
Menor Menor Menor Menor Menor Menor que que que que que que 59.5 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tipos de Curvas de Frecuencias Las curvas de frecuencias que aparecen en la práctica adoptan ciertas formas características:
Simétrica o en forma de de campana
Asimétrica (sesgada) a la derecha (sesgo positivo)
En forma de J
Asimétrica (sesgada) a la izquierda (sesgo negativo)
En forma de J inversa
Bimodal
En forma de U
Multimodal
Las curvas de frecuencia simétricas o en forma de campana, se caracterizan porque las observaciones equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. Ejemplo importante es la curva normal. En las curvas de frecuencia poco asimétricas, o sesgadas, la cola de la curva a un lado del máximo central es más larga que al otro lado. Si la cola mayor está a la derecha, la curva se dice asimétrica a la derecha o asimétrica positiva. En caso contrario, se dice asimétrica izquierda o de asimetría negativa. En una curva en forma de J o de J invertida, hay un máximo en un extremo. Una curva de frecuencia en forma de U tiene máximos en ambos extremos Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Una curva de forma bimodal tiene 2 máximos Una curva de frecuencia multimodal tiene más de 2 máximos.
Pictogramas Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a las frecuencias que representan. Tomemos el Padrón Municipal de Habitantes a 1 de Enero de 2005, podemos hacer una representación gráfica de los habitantes de cada una de las 8 provincias de Andalucía. Una imagen alusiva será la figura de una persona, cuyo tamaño estará relacionado con el número de habitantes de cada provincia. El pictograma correspondiente es el que sigue:
2.3
Diagramas de caja
Los diagramas de Caja-Bigotes (boxplots o box and whiskers) son una presentación visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente. Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido inter cuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana). Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos bigotes Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 2
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente Ejemplo distribución de edades Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias (en tallos y hojas), que representan la edad de un colectivo de 20 personas. 36
25
37
24
39
20
36
45
31
31
39
24
29
23
41
40
33
24
34
40
Ordenar los datos Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la distribución 20
23
24
24
24
25
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33
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36
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39
40
40
41
45
Calculo de cuartiles Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q1= (24 + 25) / 2 = 24,5 Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10; la mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Me= Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5 Q3, el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15, resulta Q2= (39 + 39) / 2 = 39
Dibujar la caja y los bigotes
El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades (Xmín, Q1) La primera parte de la caja a (Q1, Q2), La segunda parte de la caja a (Q2, Q3) El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx)
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Ejercicios unidad 2
Ejercicios unidad 2 1.- Ordenar los números 12, 56, 42, 21, 5, 18, 10, 3, 61, 34, 65 y 24. Hallar su rango.
2.- Los diámetros internos de los tubos fabricados por una empresa se miden con precisión de milésima de pulgada. Si las marcas de clase de una distribución de frecuencias de esos diámetros vienen dadas por: .321, .324, .327, .330,y .333, hallar: A) La anchura del intervalo de clase
B) Las fronteras de clase
C) Los límites de clase
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Ejercicios unidad 2
3.- En la tabla se recogen los pesos de 40 estudiantes varones de una universidad, con precisión de 1 libra.
138
164
150
132
144
125
149
157
146
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
153
140
135
161
145
135
142
150
156
145
128
% ACUM MARCA FRONTERAS PESO (LB) RECUENTO FRECUENCIA OJIVAS (ACUM) RELATIVA (OJIVAS) 118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 163-171 172-180
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
¿Cuál es el rango? ¿Cuál es la anchura del intervalo? ¿Cuáles son las fronteras? ¿Cuáles son las marcas? Cuál es la frecuencia? Construye el histograma y el polígono de frecuencia Realiza la distribución de frecuencia relativa Construye el histograma y el polígono de frecuencia relativa Realiza la distribución de frecuencia acumulada (FA) Realiza la distribución de frecuencia relativa acumulada (FRA) Construye el histograma y la ojiva
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Ejercicios unidad 2
4.- La tabla muestra una distribución de frecuencias de vidas medias de 400 válvulas de radio probadas en la empresa L&M. Determinar: VIDA MEDIA (HRS)
NUM DE TUBOS
300-399
14
400-499
46
500-599
58
600-699
76
700-799
68
800-899
62
900-999
48
1000-1099
22
1100-1199
6
TOTAL
400
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
El límite superior de la quinta clase El límite inferior de la octava clase La marca de clase de la séptima clase Las fronteras de clase de la última clase La anchura de intervalos de clase La frecuencia de la cuarta clase Porcentaje de tubos cuya vida media no pasa de 600 hrs. Porcentaje de tubos cuya vida media es mayor o igual que 900 hrs. Porcentaje de tubos cuya vida media es al menos 500 hrs. Pero menor que 1000 hrs. Construir un histograma y un polígono de frecuencias Construir una distribución de frecuencias relativas, un histograma de frecuencias relativas y un polígono de frecuencias relativas l) Construir una distribución de frecuencias acumuladas, una distribución acumulada de porcentajes, una ojiva (o polígono de frecuencias acumuladas) y una ojiva de porcentajes acumuladas relativas. m) Estimar el porcentaje de tubos con vida media menor que 560 hrs. n) Estimar el porcentaje de tubos con vida media de 970 hrs. o mas o) Estimar el porcentaje de tubos con vida media entre 620 y 890 hrs.
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Unidad 3 UNIDAD 3 MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
3.1
Media aritmética, Mediana y Moda.
3.2
Cuartiles, Deciles y Percentiles
3.3
Rango, Varianza, Desviación Estándar, Coeficiente de Variación y de Pearson.
La presente unidad tiene como competencia específica a desarrollar conocer, comprender y diferenciar un parámetro de una estimación. Generar enunciados con observaciones (datos) estadísticos a través de tablas, gráficas y diagramas para analizarlos y concluir en la toma de decisiones en las empresas.
Actividades de aprendizaje:
Analizar la diferencia entre parámetro y estimación utilizando la técnica de lluvia de ideas. Mediante ejercicios prácticos relacionados con la carrera obtener datos para calcular e interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión. Representar y explicar tendencias y comportamientos a partir de tablas y gráficos de conjunto de datos relacionados a la actividad empresarial. Continuar con la construcción del glosario de términos.
Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se recomienda realizar los ejercicios con la ayuda de Excel, utilizando las herramientas estadísticas que el programa nos proporciona, así como las gráficas, funciones y formulando lo necesario para la resolución de los problemas por medio de éste software.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 3
3.1
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Media aritmética, Mediana y Moda
Un promedio de un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central. Se definen varios tipos, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana y la moda.
3.1.1 Media aritmética La media o media aritmética es el promedio común de un conjunto de mediciones y se representa con el símbolo Ẋ para representar la media muestral, y con una µ para representar la media poblacional. La media aritmética de un conjunto de n medidas o mediciones x1, x2, x3,…..xn, es igual a la suma de los valores dividida entre n. Para datos sueltos: Ẋ = ∑ = X1+X2+X3+X4+X5+X6+…….+XN N N
Donde: Ẋ = Media aritmética ∑X = Sumatoria de X X = Cada elemento de los elementos del conjunto de datos N = Total de datos del conjunto de datos sueltos Ejemplo: La media aritmética de los números 8,3,5,12 y 10 es: Ẋ = ∑ X = 8+3+5+12+10 = 38 = 7.6 N 5 5
Para datos agrupados: Ẋ = ( ∑F)(X)= ∑Fx = F1X1+F2X2+F3X3+F4X4+F5X5+F6X6+…….+FKXK ∑F N F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + ……+ FK
Donde:
Ẋ = Media aritmética F = Frecuencia de cada clase X = Es la marca de clase N = ∑ F =Sumatoria de F
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Ejemplo:
ALTURA DE 100ESTUDIANTES VARONES DE LA UNIVERSIDAD XYZ MARCA DE CLASE
ALTURA
NUMERO DE ESTUDIANTES F
FX
61
60-62
5
305
64
63-65
18
1152
67
66-68
42
2814
70
69-71
27
1890
73
72-74
8
584
N= ∑ F =100
∑FX= 6745
Ẋ = ∑ FX = ∑ FX ∑F N
= 6745 100
= 67.45 in
3.1.2 La Mediana La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor central o la media de dos valores centrales. El conjunto de números 3,4,4,5,6,8,8,8,y 10 tiene mediana 6 El conjunto de números 5,5,7,9,11,12,15,18 tiene mediana (9+11)/2 = 10 Para datos agrupados, la mediana obtenida por interpolación viene dada por:
Mediana = L1 +
N _ ∑ f1 2 c F mediana
Donde: L1 = frontera inferior de la clase de la mediana N = número de datos (frecuencia total) (∑f)1= suma de frecuencias de las clases inferiores a la de la mediana Fmediana = frecuencia de la clase de la mediana C= anchura del intervalo de clase de la mediana. Geométricamente la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a la recta vertical que divide un histograma en dos partes de igual área. Ese valor de X se suele denotar por Ẋ
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UNIDAD 3
3.1.3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
La Moda
La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el valor más frecuente. La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir. Ejemplo: El conjunto 2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , y 18 tiene moda de 9 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, y 16 no tienen moda El conjunto 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 7 , 7 y 9 tiene dos modas 4 y 7, y se llama bimodal. Una distribución con moda única se llama unimodal. En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar los datos, la moda será el valor (o valores) de X correspondiente al máximo (o máximos) de la curva.
Moda = L1 +
d1 . c d1 + d2
Donde: L1: Es la frontera inferior de la clase modal d1: Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia anterior d2: Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia siguiente c: Es la anchura del intervalo de la clase modal
Relación empírica entre la media, mediana y moda Para curvas de frecuencia unimodales que sean poco asimétricas tenemos la siguiente relación empírica: Media - moda = 3 (media - mediana)
Moda
Media
Mediana Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Media
Moda
Mediana
3.2
Cuartiles, Deciles y Percentiles
3.2.1 Cuartiles Los cuartiles son los tres valores de ordenados en cuatro partes iguales.
la
variable
que dividen a
un conjunto de datos
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana. Recordemos la fórmula de la mediana:
Mediana = L1 +
N _ ∑ f1 2 c F mediana
Para calcular los cuartiles usaremos la fórmula: k*N 4
k= 1 , 2 , 3
Q1 = k=1,
Q2 = k=2,
Q3 = k=3
Para datos agrupados se sustituye el resultado de la formula anterior en N/2 de la fórmula de la mediana: :
Q1 = L1 +
1*N _ ∑ f1 4 c F mediana
:
Q2 = L1 +
2*N _ ∑ f1 4 F mediana
c
Q2 coincide con la mediana
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UNIDAD 3
Q3 = L1 +
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
3*N _ ∑ f1 4 c F mediana
Ejemplo: Calcular los cuartiles de la siguiente distribución: F FA 51-60 8 8 61-70 10 18 71-80 16 34 81-90 14 48 91-100 10 58 101-110 5 63 111-120 2 65 65 Cálculo del primer cuartil
(65 ) (1) = 16.25 4 Q1 = 60.5 +
16.25 - 8
X 10 = 68.75
10
Cálculo del segundo cuartil
(65 ) (2) =
32.5
4 Q2 =
70.5 +
32.5 - 18
X 10 = 79.56
16
Cálculo del tercer cuartil
(65 ) (3) =
48.75
4 Q3 =
90.5 +
48.75 - 48
X 10 = 91.25
10
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
3.2.2 Deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los d e ci l es dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D 5 c oi n ci de c on l a m edi an a .
Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra K*N de las frecuencias acumuladas. 10
K=1,2,3,…n, en la tabla
De la misma manea se utiliza la fórmula de la mediana ara los datos agrupados y se sustituye N/2 por K*N K=1,2,3,…9 10 Cálculo del primer decil (65*1)/10 = 6.5 D1 = 50.5 + 6.5 – 0 * 10 = 58.62 8
Cálculo del segundo decil (65*2)/10 = 13 D2 = 60.5 + 13 – 8 * 10 = 65.5 10 Cálculo del tercer decil (65*3)/10 = 19.5 D3 = 70.5 + 19.5 – 18 * 10 = 71.43 16
Cálculo del cuarto decil (65*4)/10 = 26 D4 = 70.5 + 26 – 18 * 10 = 75.5 16
Cálculo del quinto decil (65*5)/10 = 32.5 D5 = 70.5 + 32.5 – 18 * 10 = 79.56 16
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Cálculo del sexto decil (65*6)/10 = 39 D6 = 80.5 + 39 – 34 * 10 = 84.07 14
Cálculo del séptimo decil (65*7)/10 = 45.5 D7 = 80.5 + 45.5 – 34 * 10 = 88.71 14
Cálculo del octavo decil (65*8)/10 = 52 D8 = 90.5 + 52 – 48 * 10 = 94.5 10
Cálculo del noveno decil (65*9)/10 = 58.5 D9 = 100.5 + 58.5 – 58 * 10 = 101.5 5
3.2.3
Percentiles
Los per c e nt i l es son i gu a les .
los 9 9
v a l or es que d i v i de n la
serie
de d at os en 1 0 0
p ar tes
Los per c e nt i l es dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P 5 0 c o i nc i d e c o n l a m e d ia n a. Cálculo de los percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra K*N frecuencias acumuladas. 100
K=1,2,3,…99, en la tabla de las
De la misma manea se utiliza la fórmula de la mediana ara los datos agrupados y se sustituye N/2 por K*N K=1,2,3,…99 100
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Percentil 35 (65*35)/100 = 22.75 P35 = 70.5 + 22.75 -18 * 10 = 73.46 16
Percentil 60 (65*60)/100 = 39 P60 = 80.5 + 39 - 34 * 10 = 84.07 14
3.3
Medidas de dispersión para un conjunto de datos y datos agrupados
La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuan esparcidos se encuentran éstos. Hay varias medidas de tal dispersión, siendo las más comunes el rango, la desviación media y la desviación típica o estándar. 3.3.1 Rango El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y menor de todos ellos. Ejemplo: El rango del conjunto2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10,12 es 12-2 = 10. A veces el rango se indica dando el par de valores extremos, así en este ejemplo, sería: 2-12 3.3.2 Desviación estándar La desviación típica o estándar de un conjunto de N números X1, X2, X3,….. XN se denota y se define: Para datos sueltos: 2 S = √∑ (X - Ẋ) N
donde: S= Desviación estándar X= Cada valor del conjunto Ẋ= Media N= Cantidad de datos
Ejemplo: Hallar la desviación estándar de: 5, 8, 9, 10, 15, 6, 7,5 Ẋ = 5+8+9+10+15+6+7+5 = 8.12 8 2
2
2
2
2
2
2
2
S= √ (5-8) + (8-8) + (9-8) + (10-8) + (15-8) + (6-8) + (7-8) + (5-8) = √76.8 = 3.099 8 8
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41
UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Para datos agrupados: S = √∑f (X - Ẋ) N
2
donde: S= Desviación estándar X= Marca de clase Ẋ= Media N= Cantidad de datos F= Frecuencia
Ejemplo:
Media MARCA
RANGO
Desv. Est. 2
F
FX
(X-Ẋ)
F (X-Ẋ)2
73.5
54
93
4
294
6948.89
27795.56
113.5
94
133
4
454
1880.09
7520.36
153.5
134
173
8
1228
8.18
65.44
193.5
174
213
5
967.5
1354.24
6771.20
233.5
214
253
3
700.5
5898.24
17694.72
273.5
254
293
1 25
273.5 3917.5
13642.24 29731.88
13642.24 73489.51
Ẋ= S=
3.3.3
156.7 √ 73319.76/25 = 54.15
La Varianza
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar y viene 2 dada en consecuencia por S
S= √ 73319.76/25 = 54.15 2
2
S = (54.15) = 2939.58
3.3.4 Coeficiente de Variación de Pearson En estadística el coeficiente de variación de Pearson indica la relación existente entre la desviación típica de una muestra y su media. Al dividir la desviación típica por la media se convierte en un valor exento de unidad de medida. Si comparamos la dispersión en varios conjuntos de observaciones tendrá meno dispersión aquella que tenga menor coeficiente de variación. El principal inconveniente, es que al ser un coeficiente inversamente proporcional a la media aritmética, cuando esta tome valores cercanos a cero, el coeficiente tenderá a infinito. Suele representarse por medio de las siglas CV. Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 3
MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
Se calcula:
Donde σ es la desviación típica. Se puede dar en tanto por ciento calculando:
PROPIEDADES Y APLICACIONES -El coeficiente de variación es típicamente menor que uno. -Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje. -Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dado que cuando ésta es 0 o muy próxima a este valer C.V. pierde significado, ya que puede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión de datos. -El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidad aplicada, como teoría de renovación y teoría de colas. Ejemplo: Determine el coeficiente de variación de los datos salariales dado que: Ẋ = 270.5 S = 33.99 S=σ CV = S x 100 = 33.99 x100 = 12.6% Ẋ 270.5
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Ejercicios unidad 3
Ejercicios unidad 3 1.- La tabla muestra la distribución de porcentajes de ventas totales para plantaciones de tipo familiar en EU en 1982. Usando la tabla responder las siguientes cuestiones:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
VENTAS (DOLARES)
EXPLOTACIONES (%)
Menos de 2500
25.9
2,500-4,999
13.2
5,000-9,999
13
10,000-19,999
11.7
20,000-39,999
11
40,000-99,999
14.4
100,000-249,999
8.5
250,000-499,999
1.8
500,000 o más
0.6
¿Cuál es la anchura del segundo intervalo de clase? ¿y del séptimo? ¿Cuántos tamaños diferentes de intervalo de clase hay? ¿Cuántos intervalos de clase abiertos hay? ¿Cómo habría que escribir el primer intervalo de clase para que su anchura sea igual a la del segundo? ¿Cuál es la marca de clase del segundo intervalo de clase? ¿y del séptimo? ¿Cuáles son las fronteras de clase del cuarto intervalo de clase? ¿Qué porcentaje de las plantaciones tuvo ventas de 20,000 o mas? ¿y por debajo de 10,000? ¿Qué porcentaje logró ventas de al menos 10,000, pero no mayores que 40,000? ¿Qué porcentaje tuvo ventas entre 15,000 y 25,000? ¿Por qué los porcentajes de la tabla no suman 100? ¿Por qué es imposible construir un histograma de porcentajes o un polígono de frecuencias para la distribución de la tabla? El número total de plantaciones en la distribución de la tabla es 1,945,000 a partir de este dato, determinar el número de plantaciones con ventas superiores a 40,000 El número total de plantaciones en la distribución de la tabla es 1,945,000 a partir de este dato, determinar el número de plantaciones con ventas menores que 40,000 El número total de plantaciones en la distribución de la tabla es 1,945,000 a partir de este dato, determinar el número de plantaciones con ventas entre 30,000 y 50,000
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
44
Ejercicios unidad 3
2.- Sacar la media, mediana y moda del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
3.- Sacar el rango, desviación estándar y varianza del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
4.- Sacar el Coeficiente de Variación del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
5.- Sacar los cuartiles del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
6.- Sacar el decil 8 del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
7.- sacar el percentil 78 del ejercicio anterior y de los ejercicios de la unidad 2.
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Unidad 4 UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS 4.1 Aspectos generales de la probabilidad, (conceptos, tipos de probabilidad, enfoques de probabilidad) 4.2 Leyes de probabilidad 4.3 Aplicaciones de la probabilidad en la administración 4.4 Árboles de probabilidad 4.5 Teorema de Bayes 4.6 Teoría de conjuntos; operaciones aplicadas en la administración.
Analizar y evaluar las diferentes alternativas que puedan ocurrir en una situación o suceso para la toma de decisiones.
Actividades de aprendizaje:
Por equipo efectuar una investigación bibliográfica sobre los aspectos generales, leyes y propiedades relacionadas con la probabilidad para analizar y describir la utilidad de la misma.
Elaborar un cuadro comparativo para diferenciar y aplicar los conceptos de permutaciones y combinaciones.
Solucionar casos prácticos para efectuar el análisis de la probabilidad de éxito cuando las variables que intervienen son conocidas en el campo empresarial.
Continuar con la construcción del glosario de términos.
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46
UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
4.1 Aspectos generales de la probabilidad 4.1.1 Definición y expresión La probabilidad es una parte de las matemáticas que nos permite determinar la posibilidad de que ocurra un evento o suceso. La probabilidad es una herramienta básica para la toma de decisiones, ya que al aplicarla a la estadística descriptiva nos permite hacer estimaciones o inferencias, por lo que es considerada como el puente que une a la estadística descriptiva con la estadística inferencial. La probabilidad se estudia en base a la observación de un espacio que nos proporciona la muestra y recibe el nombre de espacio muestral, es decir, es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento. 4.1.2 Tipos de probabilidad La probabilidad se clasifica en: a) Probabilidad de frecuencia relativa b) Probabilidad subjetiva c) Probabilidad clásica Probabilidad de frecuencia relativa: se define como el número de veces que ocurre un suceso dividido por el número total de veces que se realiza el experimento. Probabilidad subjetiva: en ella se reflejan sentimientos y opiniones respecto a las posibilidades de que ocurra un resultado en particular, por ejemplo: si un equipo de administración piensa que existe una probabilidad de 35% de que un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una posibilidad subjetiva ya que dicho valor es una simple opinión más que un valor basado en una evidencia objetiva. Probabilidad clásica: se basa en el supuesto de que los sucesos de un experimento son igualmente probables que una muestra que tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra, y por lo tanto podemos calcular la probabilidad clásica con la fórmula: P (E) = Ne/n donde: P (E) = Probabilidad de un evento, Ne = Número de veces que se repite un evento, n= total de veces que se lleva a cabo el experimento.
4.1.3 1. 2. 3.
Axiomas de probabilidad Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (S) = 1 Si los eventos A y B no tienen resultados en común: P(sucede A o sucede B) = P(A) + P(B)
El primer axioma indica que las probabilidades se escogen convencionalmente entre 0 y 1 El segundo nos indica que la probabilidad 1 corresponde al espacio muestral. El tercero es la generalización de la suma de 2 eventos A y B mientras que no tengan resultados en común.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
4.2
Leyes de la probabilidad
4.2.1 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Eventos mutuamente excluyentes son aquellos eventos en los que la ocurrencia de uno excluye la del otro; es decir; no pueden ocurrir al mismo tiempo por lo tanto no comparten resultados entre ellos. A B Ejemplo: Sea A la probabilidad de sacar un As Sea B la probabilidad de sacar un Rey
P(A) = 4/52 P (B) = 4/52 La probabilidad de sacar un as o un rey en un solo ensayo = 4/52 + 4/52 =8/52 = 4/26= 2/13 1/13 + 1/13 = 2/13
Los eventos no excluyentes son aquellos que si comparten resultados en común es decir, si pueden suceder al mismo tiempo Ejemplo: Sea A la probabilidad de sacar un As Sea B la probabilidad de sacar de corazones negro Sea AB Sacar ambas P(A) = 4/52 P (B) = 13/52 P(AB)= (4/52)+ (13/52)-(1/52) =16/52 =4/13
4.2.2
Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. P(A y B) = P(A) · P (B)
Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Dra. Magaly Oyervides Villarreal
48
UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes. P (azul luego verde) = P (azul) · P (verde)
Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales: P(A y B) = P(A) · P (B)
Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes. P (azul luego verde) = P (azul) · P (verde)
4.2.3 Probabilidad clásica Suponga que un jurado calificador de 200 hombres prueban un nuevo tipo de alimento congelado; en la siguiente tabla se muestran sus opiniones divididas de acuerdo con su estado civil: Malo
Regular
Bueno
Excelente
Total
Soltero
5
9
26
10
50
Divorciado
1
4
16
9
30
Casado
12
23
37
32
104
Viudo
2
8
5
1
16
Total
20
44
84
52
200
Se selecciona un jurado al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que la opinión sea mala? P (mala)
= 20/200 = .1
P (regular)
= 44/200 = .22 Dra. Magaly Oyervides Villarreal
49
UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
P (bueno)
= 84/200 = .42
P (excelente)
= 52/200 = .26
Una cadena de almacenes ha recabado datos sobre la venta de tv en los últimos 5 días; a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana no se vendan televisiones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 2 tv? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan 2 o más tv? Tv vendidas
Cantidad días
0
10
1
15
2
12
3
8
4 o más
5
Total
50
a) 10/50 = .2 b) 13/50 = .26 c) 25/50 = .5
Un distribuidor vende 2 marcas de autos, la marca C y la marca G. El distribuidor hace reparaciones bajo garantía para ambas marcas y clasifica los trabajos conforme al problema que debe corregir: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un problema seleccionado al azar pertenezca a la marca C? b) Se consideran ser los problemas de transmisión y motor ¿cuál es la probabilidad de que un problema seleccionado al azar sean alguno de estos 2 ? c) La marca C reembolsa al distribuidor todas las reparaciones bajo garantía; la marca G únicamente le reembolsa las reparaciones relacionadas con el motor, transmisión y armado. ¿Cuál es la probabilidad que los gastos que ocasiona un problema determinado seleccionado al azar no se reembolse? MOTOR
TRANSMISION
ESCAPE
ARMADO
OTROS
TOTAL
C
106
211
67
133
24
541
G
21
115
16
24
6
182
TOTAL
127
326
83
157
30
723
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
50
UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
a) P( C) = 541/723 = .74 b) P(transmisión y motor) = ( 326 + 127 )/723= .62 c) P(no reembolso) = P(escape G y otros G) = (16+6)/723 = .030
4.2.4 Probabilidad condicional Gran cantidad de probabilidad incluye alguna restricción o condición sobre los procesos aleatorios, esto se define como PROBABILIDAD CONDICIONADA. La probabilidad condicionada de un evento B dado que (/) un evento A ha sucedido y se denota P (B/A), se lee como la probabilidad de B dado que A ya sucedió. P (B/A) = P (AyB) = P (AB) P (A) P (A)
P (A/B) = P (ByA) = P (BA) P (B) P (B)
Ejercicio Una organización de investigación ha estudiado los servicios que ofrecen 50 distribuidores de automóviles; ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los distribuidores que ha estado en el negocio menos de 10 años ofrezca un buen servicio? BUEN SERVICIO
MAL SERVICIO
TOTAL
10 años o más en el negocio
16
4
20
Menos de 10 años en el negocio
10
20
30
TOTAL
26
24
50
P (BS/Menos de 10) = P (-10años BS) = 10/50 = .20 = .33 P (- 10 años) 30/50 .60
Suponga que unos auditores seleccionan al azar una muestra de 216 cuentas por cobrar y de estas, 80 son cuentas grandes; 16 son cuentas grandes y tienen algún error. ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta grande tenga un error?
P (ERR/GDE) = PGDEERR) = 16/216 = .074 = .20 P (GDE) 80/216 .370
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4.2.5
Reglas de adición
Se aplica a uniones de eventos, si (AUB) = P(A) + P (B) – P(AB). Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces: P (A) + P (B), Si A1, A2, A3, A4…… An son mutuamente excluyentes, entonces: P (A1) + P (A2) + P (A3) + P (A4) + ….. +P (An). Si A1, A2, A3,….An es una partición de un espacio muestral S, entonces: P (A1UA2UA3U….UAn) = P (A1) + P (A2) + P (A3) +…. + P (An) = P(S) = 1 Para 3 eventos A,ByC : P (AUBUC) = P(A)+ P(B)+ P(C) – P(AB)- P(AC) – P(BC) – P(ABC) Si A y A ´ son eventos complementarios, entonces: P(A) + P(A ´) = 1
4.2.6 Reglas de multiplicación Si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las 2 operaciones se pueden ejecutar juntas de n1n2 formas.
Ejemplo: Si las probabilidades de A y B de estar vivos dentro de 20 años son .7 y .50 respectivamente, entonces cual es la probabilidad de que ambos lo estén? P(A) * P (B) = (.70)*(.50) =.35
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4.2.7 Combinaciones y permutaciones PERMUTACIÓNES Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto. Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es: n Pn = n! Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía. 3P3 =
3! = 6
Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité? 5P5 =
5! = 120
Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo? 6P6 =
6! = 720
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS. Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos. nPr =___n!___ (n-r)! Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse? Álgebra, Contabilidad Biología 3P2= ___3! __ = 3! = 6 (3 – 2)!
Álgebra Biología
Álgebra Contabilidad
Biología Álgebra
Biología Contabilidad
Contabilidad Álgebra
Contabilidad Biología
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¿Cuántas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra sólo puede utilizarse una sola vez? 26 P 3 = ___26!___ = 26! = 15,600 ( 26 – 3) ¡ 23!
Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas? 8 P 5 = ___8!___ = 8! = 6,720 ( 8 – 5) ¡ 3!
PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES. Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto. El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es: nPn1,n2,n3,…nk= _____n!______ n1! n2! n3!....nk!
¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU? 4P2,2 = _____4!_____ = 24 = 6 2! 2! 4
S = {LLUU, LULU, UULL, ULUL, LUUL, ULLU} ¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse con la palabra Mississippi?. 11P4,4,2,1 = _____11!_____ = 34,650 4! 4! 2! 1!
¿Cuántos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizándolas todas, si son cuatro negra, tres verdes y tres rojas? 10P4,3,3 = _____10!_____ = 4,200 4! 3! 3! PERMUTACIONES CIRCULARES Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos: n Pc = (n − 1)! ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero? 5 Pc = (5 − 1)!= 4!= 24
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4.2.8
COMBINACIONES
Ya sabemos que en una permutación el orden de los elementos es importante, pero cuando el orden de colocación carece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina combinación. Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos. El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es: nCr = _____n!_____ ( n – r )! r! Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse? 3C2 = ______3!_____ = 6 (3 – 2) ! 2! 2
Álgebra Contabilidad
Biología Álgebra
= 3
Contabilidad Biología
Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante. Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres? 5C3 = ____5!____ = _5!_ ( 5 – 3 ) ¡ 3! 2! 3!
= 120 = 10 12
De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse? 20C3= ___20!___ = ____20!___ = 1,140 (20 – 3 )! 3! 17! 3!
4.3 Aplicación de la probabilidad en la administración La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, cuando éstos se comparan con los fenómenos determinísticos. Por ejemplo: Nadie espera predecir con certidumbre el resultado de un experimento tan simple como el lanzamiento de una moneda. Sin embargo, cualquier estudiante de primer año de licenciatura en física debe ser capaz de calcular el tiempo que transcurrirá para que un objeto, que se deja caer desde una altura conocida, llegue al suelo. La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
puede estar equivocada. Sin una adecuada comprensión de las leyes básicas de la probabilidad, es difícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva. Para ilustrar el uso de la probabilidad en la toma de decisiones, considérese el siguiente ejemplo: Una compañía produce un detergente líquido que se envasa en botellas de 500 ml. las que son llenadas por una máquina. Debido a que las botellas que contienen una cantidad mayor de 500 mi representan una pérdida para la compañía y todas aquellas que contienen una cantidad menor constituyen una pérdida para el consumidor (lo que puede desencadenar una acción legal en contra de la compañía), la compañía realiza todos los esfuerzos necesarios para mantener el volumen neto promedio en un nivel de 500 ml. Para mantener un control apropiado se ideó el siguiente esquema de muestreo: se seleccionarán 10 botellas del proceso de llenado, cuatro veces durante el transcurso del día y se determinará su contenido neto promedio. Si éste se encuentra entre 498 y 502 ml, inclusive, el proceso se considerará "bajo control"; de otra manera, éste se encontrará "fuera de control". En este caso se detendrá el llenado, llevando a cabo todos los esfuerzos necesarios para determinar la causa, si es que ésta existe, del problema. Con toda seguridad y para cualquiera de las dos situaciones se tienen riesgos. Si el proceso se considera bajo control, podría encontrarse fuera de éste, y la compañía puede estar perdiendo el producto o sujetándose a una acción legal por parte de las correspondientes oficinas del gobierno. Por otro lado si el proceso se considera fuera de control, puede en realidad encontrarse bajo control y la compañía estará intentando localizar una falla.
4.4
Árboles de probabilidad
Técnicas de conteo Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeración las cuales son:
El Diagrama de Árbol Análisis Combinatorio. Principio fundamental de conteo
4.4.1 Diagrama de árbol Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
Raíz
Ramas
A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a tres preguntas de Verdadero o Falso. Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cada pregunta. Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor. a) V
b) F
2) G. Cantor es de origen francés. a) V
b) F
3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística. a) V
b) F
V V V
F V
F
F V
F
V
F V
F F
Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral. S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Se tienen en un estante 3 libros uno de Álgebra, otro de Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?
C
B
B
C
A
C
C
A
A
B
B
A
A
B
C
S= {ACB, ABC, BCA, BAC, CAB, CBA}
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Álgebra Contabilidad Biología Álgebra Biología Contabilidad Biología Contabilidad Álgebra Biología Álgebra Contabilidad Contabilidad Álgebra Biología Contabilidad Biología Álgebra
4.4.2 Análisis combinatorio Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin,
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el principio fundamental del conteo. 4.4.3 Principio fundamental de conteo Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. n1 x n2 x n3 10 x 9 x 8 = 720 ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000 El símbolo! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n. n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1
4.5 Teorema de Bayes Este teorema es una generalización de la probabilidad Condicionada, el cual está definido de la siguiente manera Sean A1, A2, …….An, sucesos mutuamente excluyentes que ocupan todo el espacio m uestral S. Si cada uno de estos sucesos tiene probabilidad no nula y uno de ellos debe ocurrir, entonces para todo suceso B en el espacio muestral S. El procedimiento que se utiliza para encontrar probabilidades posteriores, a partir de probabilidades previas, se llama regla Bayesiana. Las probabilidades apriori o previas se conocen antes de obtener información alguna del experimento en cuestión. Las probabilidades aposteriori se determinan después de conocer los resultados del experimento. El teorema de Bayes consiste en un método para encontrar la probabilidad de una causa específica cuando se observa un efecto particular. Esto es, si el evento B ha ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de que fue generado por el evento A1 (que es una causa posible) o por el A2 (otra causa posible)? Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Si suponemos que los eventos A1, A2, A3, ...., An, forman una partición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos A1 son mutuamente excluyentes y su unión es S. Ahora, sea B otro evento, entonces :
B = S B = (A1A2A3 ... An) B Donde Ai B son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia: P(B) = P(A1B) + P(A2B) + P(A3B) + ... + P(AnB)
Luego por la regla de multiplicación: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) ... P(An) P(B/An) Si A1, A2, A3, ..., An es una partición de S, y B es cualquier evento. Entonces para cualquier i,
Ejemplo: A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? H:
Sea un hombre
M: Sea una mujer E:
P(H)= 65/100= .65
P(E/H)= .10
P(M)= 35/100= .35
P(E/M)= .06
La persona sea especialista en computación
P(M/E)= _____________ P(M)(E/M)__________ = ________(.35)(.06)_______ = .021 = .244 P(M)(E/M) + P(H)P(E/H) (.35)(.06) + (.65)(.10) .086
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Una empresa manufacturera emplea 3 planes analíticos para el diseño y desarrollo de un producto específico. Por razones de costos, los 3 se utilizan en momentos diferentes, de hecho los planes 1, 2 y 3 se utilizan respectivamente para 30%, 20% y 50% de los productos. La tasa de defectuosos es diferente para los 3 procedimientos, es decir: P(D/P1) = .01
P(D/P2) = .03
P(D/P3) = .02
Donde P(D/Pj) es la probabilidad de un producto defectuoso, dado el plan j. si se observa un producto al azar y se encuentra que esta defectuoso, ¿Cuál fue el plan que se usó con mayor probabilidad y fue el responsable? P(P1)= .30 P(P2)= .20 P(P3)= .50
P(Pj/D)=_________________P(Pj) P(D/Pj)_________________ P(P1)P(D/P1) + P(P2)P(D/P2) + P(P3)P(D/P3)
P(P1/D) =____________(.30)(.01)__________ = .003 = .158 (.30)(.01) + (.20)(.03) + (.50)(.02) .019
P(P2/D)=______________(.20)(.03)_________ = .006 = .315 (.30)(.01) + (.20)(.03) + (.50)(.02) .019
P(P3/D)=_____________(.50)(.02)___________ = .01 = .526 (.30)(.01) + (.20)(.03) + (.50)(.02) .019
4.6
Teoría de conjuntos
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. 4.6.1 Definición de propiedades y operaciones básicas con conjuntos Cuando un elemento 1x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 ∈ A . En caso de que un elemento 1 y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 ∉ A Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: A = { x P(x) }= {x1x,2x,3, ⋅⋅⋅ x,n } que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como 1 2 3x x, x, , etc1 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos. A
.
1 2 3 4 5 6
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn. Solución. Por extensión: V = { u,o,i,e,a } Por comprensión: V = {x │x es una vocal } Por diagrama de Venn:
V a
e
Io u
Ejemplo. Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
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Solución. Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón } Por comprensión: P = { x I x es un planeta del sistema solar } Por diagrama de Venn:
Mercurio Venus Tierra Marte Saturno Urano Júpit P
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”. Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B . Gráficamente, esto es:
B
B
B
A
A
A
A ⊂ B
A ⊄ B
A ⊄ B
B ⊄ A
B ⊄ A
B ⊄ A
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
En los ejemplos anteriores, si F = { o,e,a } es el conjunto de las vocales fuertes y
i
V
u a e oF
F⊂ V S = {Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
jup sat
P
uran
nept tierra marte Mercurio venus
S
S⊂ P.
De la misma forma, nótese como: F
P
a e o
planeta s
S Merc
A e i o u
venus
F⊄P
F
V
S⊄V
S Merc
S Merc
venus
venus
F
a e o
a e o F⊄S
S⊄F
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos η o # . De los conjuntos anteriores: η(V ) = 5 , η(F ) = 3 , η(P) = 8 y η(S ) = 2
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4.6.2 Tipos de conjuntos Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto. Ejemplos. φ = {x I x son los dinosaurios que viven en la actualidad} { }= {x I x son los hombres mayores de 300 años} φ = {x I x son números positivos menores que cero}
• Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo. Ejemplos. U= {x I x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} A = {x I x son los días de la semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} B = {x I x son los días del fin de semana} = {sábado, domingo} C = {x I x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves, sábado} Nótese cómo: A ⊂ U, B ⊂ U, C ⊂ U
• Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplos. J = {x I x es el número de un día del mes de junio} 2
K = {x I x = 4} L = {x I x es la cantidad de autos en la ciudad de México}
• Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida. Ejemplos. N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ⋅⋅⋅} M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ⋅⋅⋅} Q = {x I x es la cantidad de puntos en una línea}
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• Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = Ejemplo. R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0} S = {xIx es un dígito} R=S • Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠. Ejemplo. 2
D = {x I x = 9} E = {− 2,2} D≠E • Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.
Ejemplos. W = {x I x son las estaciones del año} Z = {x I x es un punto cardinal} η(W ) = 4 η(Z) = 4 W≈Z Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto. En el ejemplo anterior:
Primavera
NORTE
Verano
SUR
Otoño
ESTE
Invierno
OESTE
. W
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Z
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4.6.3 Operaciones con conjuntos • La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B. Esto es:
A∪ B = {x I x ∈ A o x ∈ B} Gráficamente:
Ejemplo. A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A∪ B = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía, durazno, melón, plátano}
U
A
B
Mango
durazno
Ciruela
uva
plátano
Manzana
naranja sandia
melón
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es: A ∩ B = {x I x ∈ A y x ∈ B}
Gráficamente:
Ejemplo. A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A∩ B = {uva, naranja, sandía}
U
A
B
Mango
durazno
Ciruela
uva
plátano
Manzana
naranja sandia
melón
• Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo: A {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
E limón, fresa, pera, mandarina, cereza} A∩ E Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A’. Esto es: El
A' xU I xA Gráficamente:
2 3
8
Ejemplo:
U mango,kiwi,ciruela,uva,pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón, plátano A mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía A' kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano
U
A kiwi
pera cereza
B
mango
durazno
ciruela
uva
plátano
manzana
naranja sandia
melón
limón
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
· La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A- B. Esto es:
A B x I xA y xB Gráficamente:
Ejemplo. A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A - B = {mango, ciruela, manzana} B - A = {durazno, melón, plátano} Se puede advertir como A - B ¹ B - A.
U
A
B
U
A
B
Mango
durazno
Ciruela
uva
plátano
Manzana
naranja sandia
melón
A–B
B-A
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Los conjuntos A - B, A∩ B, B - A son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío). Ejemplo. Sean los conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n} A = {a, d, e, g, h, k, l, n} B = {a, c, f, g, k, l, m}
Obtener: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A d) B' e) A – B f) B – A g) A'U B h) (AU B)' i) (A ∩ B)'
U
A
B
d b
g h n
I
e
k l
m c
a
f
j
Solución. a) A∪ B = {a, c, d ,e, f ,g, h, k ,l ,m, n} b) A∩ B = {a, g, k ,l } c) A' = {b, c, f ,i, j ,m } d) B' = {b, d ,e, h, i, j ,n} e) A - B = {d ,e, h, n } f) B - A = {c, f ,m} g) A'UB = {a, b, c, f ,g, i, j ,k ,l ,m} h) (AU B)' = {b, i, j } i) (A∩ B)' = {b, c, d ,e, f ,h, i, j ,m, n}
De acuerdo con las definiciones de unión, complemento y diferencia, se puede establecer que sus respectivas cardinalidades se pueden obtener a través de:
A ∪ BABA ∩ B A' U A A BAA ∩ B
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo. En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen automóvil, que 30 poseen un reproductor de DVD y que 17 tienen ambas cosas. Se desea conocer: a) ¿cuántas familias tienen exclusivamente automóvil?, b) cuántas familias son dueños exclusivamente de un reproductor DVD, c) ¿cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?, d) ¿cuántas familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?
Solución. Identificando los datos por su cardinalidad:
U 120
Número de familias del conjunto universal,
A70 Número de familias con reproductor DVD, D30 Número de familias con automóvil,
A ∩ D17
Número de familias con automóvil y con reproductor DVD,
U
A
D
53 17
13
37
Del diagrama en donde se muestran el número de elementos de los conjuntos se aprecia que: a) El número de familias que exclusivamente tienen automóvil es:
A A ∩ D 70 17 53 b) El número de familias que son dueños exclusivamente de un reproductor DVD es: D A ∩ D 30 17 13 c) El número de familias que son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD es: A ∪ B, Así que:
A∪ DADA∩ D70 30 17 83 d) El número de familias que no poseen ni un automóvil ni un reproductor DVD es:
A ∪ B' Por lo que:
A ∪ D' U A ∪ D120 83 37 Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 4 PROBABILIDAD Y TEORIA DE CONJUNTOS
4.6.4 Propiedades de los conjuntos Sean los conjuntos A, B, C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes: 1. Propiedades de identidad:
A∪ A A∪U U A∩U A A∩ 2. Propiedades de idempotencia:
A∪ A A A∩ A A 3. Propiedades de complemento: A∪ A' U
A∩ A' 4. Propiedades asociativas:
A∪ B∪C A∪ B ∪C A∩ B∩C A∩ B ∩C 5. Propiedades conmutativas
A∪ B B ∪ A A∩ B B ∩ A 6. Propiedades distributivas
A∪ B ∩CA∪ B∩A∪C A∩B ∪CA∩ B∪A∩C
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Ejercicios unidad 4
Ejercicios unidad 4 1.- Representa en un diagrama de Venn las siguientes eventos: S= { 1,2,3,4,5,6,7 } A = { 1, 2, 4, 7 } B = { 1,2,3,6 } C = {1,3,4,5 }
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
AB BC AUC B´ U A ABC AC AUB BUC A´U B´U C´
2.- Considere el espacio muestral S= {Cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno, zinc} A = {Cobre, sodio, zinc} B = {Sodio, nitrógeno, potasio} C = {Oxígeno} a) b) c) d) e) f) g)
Representa en un diagrama de Venn A´ AUC AUB B´C´ ABC AUBUC
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Ejercicios unidad 4
TÉCNICAS DE CONTEO
3.- A los participantes de una convención se les ofrece 6 recorridos a sitios de interés cada uno de los 3 días. ¿De cuantas maneras diferentes se puede acomodar una persona para ir a uno de los recorridos planeados por la convención? Represéntalo en un diagrama de árbol
4.- Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto, ¿Cuántos puntos habrá en el espacio muestral?
PERMUTACIONES 5.- En un año se otorgaran 3 premios ( a la investigación, la enseñanza y el servicio) en un grupo de 25 estudiantes de posgrado del departamento de estadística,. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo ¿Cuántas selecciones posibles habría?
6.- Se van a elegir a un presidente y a un tesorero en un club estudiantil compuesto por 50 personas ¿Cuantos opciones diferentes de funcionarios son posibles?
COMBINACIONES 7.- ¿Cuántas formas hay para seleccionar a 3 candidatos de 8 recien graduados igualmente calificados para las vacantes de una empresa contable?
8.- Un niño tiene 10 juegos de video de Arcada y 5 juegos de deportes: a) ¿Cuantas maneras hay de que su mamá le lleve 3 de arcada en un suceso? b) ¿Cuantas maneras hay de que su mamá le lleve 2 de deportes en un suceso? c) ¿Cuantas maneras hay de que su mamá le lleve los 5 juegos en un solo suceso?
PROBABILIDAD 9.- Una compañía llena automáticamente botellas con 300mls de la bebida que produce: a) Probabilidad de que una botella este mas llena Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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Ejercicios unidad 4
b) Probabilidad de que una botella este llena correctamente c) Probabilidad de que una botella este mas llena o menos llena d) Probabilidad de que una botella este menos llena o correctamente llena MILILITROS < 300 300 >300 TOTAL
# BOTELLAS 20 940 40 1000
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (Adición: P(AUB) = P (A) + P(B)) Y NO EXCLUYENTES 10.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?
11.- Si se tira un dado calcular la probabilidad de: A caen 3 puntos o menos B caen 5 puntos o más
EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES (Multiplicación: P(A) * P(B)) 12.- Sean E1 y E2 los sucesos cara en el quinto lanzamiento y cara en el sexto lanzamiento de una moneda, respectivamente; ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en ambos intentos?
13.- Se quiere seleccionar un equipo de evaluación de 2 personas a partir de un grupo de 10 hombres y 6 mujeres, si cada grupo de 2 personas tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, encontrar la probabilidad de que: a) el grupo este formado por 2 mujeres y, b) encuentre la probabilidad de que al seleccionar 5 personas, las 5 sean mujeres.
14.- En cierto proceso de fabricación es necesario perforar un bloque de metal con acero a especificaciones muy precisas, la experiencia indica que el 90% de las perforaciones se hacen dentro de las especificaciones. Un inspector examina cada perforación, y si no esta dentro de las especificaciones el 90% de los casos el inspector descubre el defecto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bloque este perforado defectuosamente y que el inspector lo descubra? Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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Ejercicios unidad 4
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el bloque este perforado defectuosamente y que el inspector no lo descubra?
PROBABILIDAD CONDICIONAL 15.- S es la población de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un título universitario. Debemos clasificarlos de acuerdo a su sexo y situación laboral: EMPLEADO 460 140 600
HOMBRE MUJER TOTAL
DESEMPLEADO 40 260 300
TOTAL 500 400 900
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sea seleccionada dado que es desempleada? P(M/D) = P(DM) P(D) b) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea hombre dado que tiene empleo? P(H/E) = P(EH) P(E) 16.- La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D)= .83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)=.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(DA)= .78. a) Encuentre la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que salió a tiempo P(A/D)= P(DA) = P(D) b) Encuentre la probabilidad de que salió a tiempo, dado que llegó a tiempo P(A/D)= P(DA) = P(A)
TEOREMA DE BAYES P(D/A)= ____________P(A)P(D/A)__________ P(A)(P(D/A) + P(B)(D/B) + P(C)P(D/C) 17.- En cierta planta de ensamble, 3 máquinas, B1, B2, y B3, montan 30, 45 y 25% de los productos, respectivamente. Por la experiencia pasada se sabe que 2,3 y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen defectos. Si se elige al azar un producto y se encuentra que esta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que este ensamblado con la máquina B3?
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UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
Unidad 5 UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN 5.1 Distribuciones para variables discretas 5.1.1 Binomial 5.1.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar 5.1.2 Poisson 5.1.2.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar 5.1.3 Hipergeométrica 5.1.3.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar 5.2 Distribuciones para variables continuas 5.2.1 Normal 5.2.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar 5.2.2 Aproximación de la Normal a la Binomial 5.2.2.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar
Nota: En la presente unidad se utilizan tablas estadísticas de las diferentes distribuciones vistas, dichas tablas se encuentran al final del libro, en el apartado de anexos.
La presente unidad tiene como competencias específicas a desarrollar conocer, comprender identificar y aplicar las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas. Actividades de aprendizaje:
En equipo investiga, analiza y discute las características que diferencian el uso de las distribuciones de probabilidad y tipos de variables. Reportar los resultados de la actividad anterior en un cuadro comparativo. Analizar los casos prácticos que ayuden al alumno a tomar decisiones sobre el tipo de distribución a utilizar. Realizar mesas de trabajo donde los alumnos propongan casos prácticos relacionados con su perfil de formación que demanden el uso de alguno de los tipos de distribución. Continuar con la construcción del glosario de términos.
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UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
5.1.1 Binomial Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con 2 resultados: éxito (p), o fracaso (q), a este proceso se le llama proceso de Bernoulli. Un experimento binomial es un experimento que posee las siguientes propiedades: 1. El experimento consta de n ensayos o pruebas idénticas 2. Cada prueba puede tener uno o dos resultados: éxito o fracaso 3. La probabilidad de un éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de uno a otro. La probabilidad de un fracaso es (1 – p ) = q 4. Las pruebas son independientes 5. Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas.
Sus valores se denotan como: b(x; n, q) Entonces: n = número de pruebas p =probabilidad de éxito en una sola prueba q = fracaso = ( 1 - p ) r
Se pueden usar las tablas A1 ¨Sumas de probabilidad binomial¨ utilizar la siguiente formula: x
p ( x ) = _____n!_____ p q x!(n–x)!
n-x
b(x;n,p) o también se puede x=0
x = 0,1,2,3,….n
Ejemplo: Las observaciones durante un largo período muestran que un vendedor determinado puede concluir una venta en una sola entrevista con una probabilidad de .20.supongase que el vendedor entrevista a 4 prospectos: a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 prospectos compren el producto? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 prospectos compren el producto? c. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren el producto? Solución: a) Con formula: 2
P ( x=2 ) = _______4!________ (.20) (.80) 2! (4 – 2 )!
4-2
= ______24_______(.040)(.64) 4 =
6 (.040)(.64) = .1536
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Con las tablas: P ( X = 2) n = 4, p= .20 P(X=2)=Pde2 en tablas – P1 en tablas .9728 - .8192 = .1536
b)
P(>_2) = con formula: (al menos 2) = p(2)+ p(3) +p(4) = 1 – p(0) – p (1) 0
P(0)=
_______4!________ (.20) (.80) 0! (4 – 0 )!
4-0
= ______24_______ (.20)0 (.4096) 0 = P(1)=
.4096
_______4!________ (.20)1 (.80) 1! (4 – 1 )! = ______24_______ (.20)1 (.80) 6 = 4 ( .20) ( .512) = .4096
1
4-1
3
- p(0)-p(1) = 1
- (.4096) – (.4096) = .1808
Con tablas:
P (X>=2) n = 4, p = .20 1 – p(0) – p (1) 1 - .4096 – (.8192-.4096) 1 - .4096 - .4096 = .1808
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UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
c) P (X =4) n = 4, p = .20 Con formula: P ( x ) = _______4!________ (.20)4 (.80) 4! (4 – 4 )!
4-4
= ______24_______(.0016)(.80) 24 =
1 (.0016) = .0016
Con las tablas: P ( X = 4) n = 4, p= .20 = 1.000 - .9984 = .0016
5.1.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar Media = µ = np µ = 4 ( .20) µ = .80
Varianza = σ2 = npq σ2 = ( 4 ) ( .20 ) ( .80 ) σ2 = .64
Desviación estándar = σ= Ѵnpq σ= Ѵ(4)(.20)(.80) σ= Ѵ(.64) σ= .80
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0
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5.1.2 Poisson La distribución de Poisson es un buen modelo para la distribución de frecuencias relativas del número de eventos raros que ocurren en una unidad de tiempo, de distancia, de espacio, etc. se utiliza mucho para modelar la distribución de frecuencias relativas, por ejemplo el número de accidentes industriales por unidad de tiempo, o el número de reclamaciones de seguros por unidad de tiempo, o número de llegadas de pedidos recibidos, o el número de clientes que llegan a solicitar un servicio, entre muchos otros. Formula:
x
-µ
P(X) = µ ҽ X!
x= 0, 1, 2,3,…..ⱷ
Donde: X
= Número de eventos raros por unidad de tiempo, de distancia, de espacio,
etc. µ
= Media
ҽ
= 2.71828
Características: 1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria. 2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.
Ejemplo: Durante una fila de un banco el número promedio de clientes que pasan a la caja a ser atendidos en un tiempo de 10 minutos es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 clientes pasen en 10 minutos? X=6
µ=4
-4
6
P (6; 4) = ҽ 4 = .0183156389 (4096) = .1042 6! 720 Con tablas: P (6; 4) = P (6; 4)- P (5; 4) = .8893-.7851 = .1042
El número promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10, las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más, 15 camiones-tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que un día dado los camiones se tengan que regresar? X>15
µ=10 Con tablas: P(x>15; 10) = 1- P (15; 10) = 1-.9513 = .0487 Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
5.1.2.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar
Media = El símbolo µ que aparece en p(x) 2
Varianza = σ = µ Desv. Est. = σ = Ѵµ
5.1.3 Hipergeométrica La aplicación de esta distribución es muy similar a la binomial, el interés se centra en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría específica, la diferencia reside en que la distribución binomial maneja eventos independientes, es decir, muestras CON reemplazo y la distribución hipergeomética no requiere independencia y se basa en el muestreo que se realiza SIN reemplazo. La distribución hipergeomética encuentra aplicaciones en el muestreo de aceptación; donde los lotes de material o las partes se muestran con la finalidad de determinar si se acepta o no el lote completo. En general nos interesa la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados como éxito y n –x fracasos de los N –k artículos que se consideran fracasos cuando una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona de N artículos. Poseen las siguientes características: 1. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazo de N artículos. 2. K de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N – k se clasifican como fracasos. Sus valores se denotan como: h(x; N, n, k) debido a que dependen del número de éxitos k en el conjunto N del que seleccionamos n artículos. Formula:
h(x,N,n,k) =
k x
N–k n - x . = kCx * (N-k)C(n-x) N NCn n
Donde: N = Número total de artículos n = muestra de los artículos de N k = artículos considerados como éxitos en N x = probabilidad de sacar x éxitos de los k
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Ejemplo: Si tenemos un lote de 100 artículos de los cuales 12 están defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 3 defectuosos en una muestra de 10? N=100 k=12
h(3,100,10,12) = 12C3 * 88C7 = .08
x=3
100C10
n=10
5.1.3.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar
Media: µ = nk N 2
(10)(12) = 120 = 1.2 100 100
Varianza: σ = k(N – k)n(N – n) = 2 N (N – 1)
12(100-12)10(100-10) = 950,400 = .96 2 100 (100-1) 990,000
Desv. Estándar: σ = k(N – k)n(N – n) 2 N (N – 1)
= √.96 = .9797
5.2.1 Normal La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal o Gaussiana. Su gráfica se denomina ¨curva normal¨, la cual es una curva con forma de campana, también es llamada curva de Gauss en honor a Karl Friedrich Gauss; sus características son: 1. Tiene un solo pico (moda), por lo cual es unimodal. 2. La media es de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. 3. Debido a su simetría, la mediana y la moda también se encuentran en el centro. 4. Los extremos se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje. 5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1. La desviación estándar es importante ya que mientras mayor sea ésta la curva será más achatada, es decir, los datos se encuentran más retirados de su media; por lo contrario, si es pequeña la curva es elevada y los datos están próximos a su media. De lo anterior se concluye que la distribución normal, depende de su media aritmética y su desviación típica o estándar, y por lo tanto existe una curva para cada población normal que se esté analizando. Para evitar lo anterior se estandariza la curva de la normal y se logra así el modelo único para todo tipo de unidades que se pueda estudiar. Dra. Magaly Oyervides Villarreal
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UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
CURVA NORMAL ESTANZARIZADA Es una curva que tiene media = 0 y a partir de ella marcamos a la derecha y a la izquierda la varianza, para manejar esta curva se deben de cambiar los valores de X eventos por valores de unidades estandarizados que se representan por la letra Z para hacer esto se emplea la siguiente formula: Z=X-µ σ
donde Z = Unidades estandarizadas X = Evento por calcular µ = Media aritmética σ = Desviación estándar
Ejemplo: Dada la distribución normal encuentre el área bajo la curva de: a) b) c) d) e) f)
A la izquierda de Z = 1.43 A la derecha de Z = -0.89 A la izquierda de Z = -1.39 A la derecha de Z = 1.96 Entre Z = -2.16 y Z = -0.65 Entre Z = -0.48 y Z= 1.74
Buscamos en tablas los valores de Z a)
b)
1.43 Z = 1.43
-.89
0.9236
Z = -.89
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
.1867=1-.1867=.8133
85
UNIDAD 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN
c)
d)
-1.39 Z =-1.39
1.96 .0823
e)
Z = 1.96
.9750=1-.9750=.025
f)
-2.16 -.65
-.48
Z=.2.16=.0154yZ-.65=.2578
1.74
Z=-.48 =.3156 y 1.74 = .9591
.2578 - .0154 = .2424
.9591 - .3156 = .6435
Para la distribución normal encuentre el valor de Z si el área bajo la curva es: a) A la izquierda de .1131 buscar en tablas: -1.21 b) A la derecha de .3632 buscar en tablas: -.35 c) P(Z=30), la distribución de muestreo está muy aproximada normalmente distribuida. Nótese que la oblación esta binomialmente distribuida. Ejemplo Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda: a) Entre el 40% y 60% sean caras Primer método: Consideramos los 120 lanzamientos como una muestra de la población infinita de todos los posibles lanzamientos de la moneda. En esa población, la probabilidad de cara es p=1/2 y la de cruz es q = 1 – p = 1 - ½ a) Se pide la probabilidad de que el número de caras en 120 lanzamientos este entre (40% de 120) = 48 y (60% de 120) = 72. Usando la aproximación normal a la binomial, puesto que el número de caras es una variable discreta, entonces nos preguntamos por la probabilidad de que el número de caras este entre 47.5 y 72.5 µ = números esperados de caras = Np = 120 (1/2) = 60
y
σ = = √Npq = √ (120)(1/2)(1/2) = 5.48 47.5 en unidades estándar = 47.5 – 60 = -2.28 5.48 72.5 en unidades estándar = 72.5 – 60 = 2.28 5.48 Probabilidad pedida = área bajo la curva normal entre z= -2.28 y z= 2.28 = 2(área entre z=0 y z= 2.28) = 2(0.4887) = 0.9774
-2.28
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2.28
98
UNIDAD 6 MUESTREO Y ESTIMACIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS
Segundo método: µ = p = ½ = .50
σp = σp = pq = (1/2)(1/2) = 0.0456 √ N 120 40% en unidades estándar = 0.40 – 0.50 = -2.19 0.0456
60% en unidades estándar = 0.60 – 0.50 = -2.19 0.0456 Probabilidad pedida = (área bajo la curva normal entre z= -2.19 y z= 2.19) = 2( 0.4857) = 0.9714 Aunque este resultado es correcto en 2 cifras significativas, no coincide exactamente ya que no se ha hecho uso de que la proporción es en realidad una variable discreta. Para tenerlo en cuenta, restamos 1/2N = ½ (120) de .40 y sumamos ½ N = ½ (120) a .60; así pues, como 1/240 = 0.00417, las proporciones pedidas en unidades estándar son 0.40 – 0.00417 – 0.50 = -2.28 0.0456
y
0.60 + 0.00417 - 0.50 = 2.28 0.0456
Logrando ya el acuerdo con el primer método
6.2.4
Distribución muestral con diferencia de dos proporciones.
Si se extraen muestras independientes de tamaño n1 y n2 de 2 poblaciones, discretas o 2 2 continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ 1 y σ 2, respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las medias, Ẋ1 - Ẋ2, está distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza dadas por µẊ1 - Ẋ2 = µ1 - µ2
y
σ
2
2
Ẋ1-Ẋ2
2
= σ1 +σ2 n1 n2
y
De aquí Z= (Ẋ1 - Ẋ2) – ( µ1 - µ2) σẊ1-Ẋ2
=
Z= (Ẋ1 - Ẋ2) – ( µ1 - µ2) 2 2 √( σ 1 / n1) + (σ 2 / n2
Es aproximadamente una variable normal estándar.
Dra. Magaly Oyervides Villarreal
2
2
σẊ1-Ẋ2 = σ 1 + σ √ n1 n2
2
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UNIDAD 6 MUESTREO Y ESTIMACIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS
Ejemplo: Los cinescopios para tv del fabricante A tienen una distribución media de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años, mientras que los del fabricante B tienen una duración media de 6 años y una desviación estándar de 0.8 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A tenga una duración media que sea al menos de un año más que la duración media de una muestra de 49 cinescopios del fabricante B?
Población 1 µ1 = 6.5 2 σ 1 = 0.9 n1 = 36
Población 2 µ2 = 6 2 σ 2 = 0.8 n2 = 49
La distribución muestral de Ẋ1 - Ẋ2 será aproximadamente normal y tendrá una media y una desviación estándar de:
µẊ1 - µẊ2 = 6.5 – 6 = 0.5
y
σẊ1-Ẋ2 = √ 0.81 + 0.64 = 0.189 36 49
La probabilidad de que la media de 36 cinescopios del fabricante A sea al menos un año mayor que la media de 49 cinescopios del fabricante B está dada por el área de la región sombreada. Con respecto al valor Ẋ1 - Ẋ2 = 1, encontramos que:
Z = 1 - .5 = 2.65 0.189 σẊ1-Ẋ2 = 0.189
Ẋ1 - Ẋ2 0.5 Y de aquí P (Ẋ1 - Ẋ2 >= 1) = P (Z > 2.65) = 1 – P (Z
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