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GUÍA TALLER DE PROBABILIDAD Pr. Wilson Castro Z. I.

Conteo

1. Una señora invita a cenar a 8 amigos después de sentarse ella. ¿De cuántas formas se pueden sentar sus invitados? 2. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra buenaventura? 3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante 5 litros de whisky y 3 botellas de ron, a condición de que 2 litros de whisky estén siempre juntos y dos botellas de ron siempre juntas? 4. Si un estudiante tiene 9 libros y quiere ordenar 5 en un estante, ¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo? 5. Un ingeniero contratado para revisar un equipo de alta tecnología, cree que hay 4 posibles fallas y plantea dar solución a cada una de ellas, señalándolas como A,B,C,D. ¿De cuántas maneras podría dar solución a las fallas si se tiene en cuenta el orden y luego si no importa el orden. 6. Pedro, Maria, Grisel, Juan y Jorge son los candidatos para conformar un comité, compuesto de tres personas. A) ¿Cuántos comités de 3 personas se pueden conformar? B) Grisel y Juan por ser hermanos no pueden estar juntos en un comité, cuántos comités se pueden conformar ahora? 7. Es necesario elegir un comité de 10 personas entre 6 abogados, 8 economistas y 5 ingenieros. Si el comité debe estar conformado por 4 abogados, 3 economistas y 3 ingenieros. 8. ¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de baloncesto infantil de 5 jugadores, si se desea que 3 sean niños y 2 niñas. Enuncie las diferentes posibilidades. Algunas respuestas (la x es una cifra no indicada). 1. xx.32x 2. x6 4. 1x1xx 5. 2x teniendo en cuenta el orden. 6. a) x0 comités, x comités. 7. x4x0 comités. 8. 1x.

II.

Conjuntos

En teoría de conjuntos, al número de elementos de un conjunto se le denomina cardinalidad del conjunto y se denota por n(A) para el conjunto A. Si A tiene una cardinalidad finita, se dice que A es un conjunto finito. En caso contrario, es llamado infinito. Para conjuntos infinitos, se escribe n(A) = ∞. Por ejemplo n(N) = ∞. ¿Pueden tener dos conjuntos infinitos la misma cardinalidad?. La respuesta es Sí. Si A y B son dos conjuntos (finitos o infinitos) y hay una biyección de A hacia B (es decir, una relación uno a uno) entonces los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, se dice que n(A) = n(B).

1. ¿Cuál es la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos?

Ahora, se puede compara números mediante desigualdades. El correspondiente concepto relacionado al conjunto, es de subconjunto. Decimos que A es un subconjunto de B, que se escribe , si y sólo si cada elemento de A es también un elemento de B. Si existe un elemento de A que no está en B, entonces

Ejercicio 2. Suponga que A = {2, 4, 6}, B = {2, 6}, and C = {4, 6}. Determine cuál de estos conjuntos son subconjntos de otro conjunto. Ejercicio 3. Ordene los conjuntos numéricos

utilizando

(Subconjunto de)

Ejercicio 4. Determine si estas preposiciones son verdaderas o falsas y explique su respuesta:

Ejercicio 5: Se realiza una encuesta a 110 estudiantes de primer año en una universidad, sobre si están tomando unos cursos electivos. Entre estos estudiantes, 75 están tomando Inglés, 52 están tomando historia, 50 están tomando matemáticas, 33 están tomando Inglés e historia, 30 están tomando Inglés y matemáticas, 22 están tomando historia y matemáticas, 13 están tomando Inglés, historia y matemáticas. ¿Cuántos estudiantes están tomando (a) Inglés e historia, pero no de matemáticas, (b) ninguna de Inglés, historia, ni matemáticas, (c) matemáticas, pero ni Inglés ni la historia, (d) Inglés, pero no historia, (e) sólo uno de los tres cursos, (f) exactamente dos de los tres cursos.

II. Operaciones con conjuntos Por U se denota el conjunto Universal. Definición: El complemento absoluto de A (un subconjunto de U), es (Ver figura 1-I):

Definición: El complemento relativo de A con respecto a B, es (Ver figura 1- II):

Figura 1. Ejercicio 6. Encuentre el complemento de A = {1, 2, 3} si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Leyes de Morgan.

Algunas reglas relacionadas con la probabilidad:

Ley de la Probabilidad total: Si los eventos E1, E2, … En son particiones de un espacio muestral S, y se considera un evento A, luego:

Ejercicio 7. Exprese cada uno de los siguientes eventos en términos de los eventos A, B, y C, así como las operaciones de complementación, unión e intersección: (a) al menos uno de los eventos A, B, C se produce; (b) como máximo uno de los eventos A, B, C se produce; (c) ninguno de los eventos A, B, C se produce; (d) todos los tres eventos A, B, C se producen; (e) exactamente uno de los eventos A, B, C se produce; (f) los eventos A y B ocurren, pero no C; (g) o bien el evento A se produce o, si no, entonces B tampoco se produce. Escriba a la izquierda la letra con la cual se relaciona la expresión dada:

8) Escriba la letra del diagrama de Venn que representa cada enunciado dado en el ejercicio 7:

9) Traduzca la notación de teoría de conjuntos dada, al lenguaje de eventos, por ejemplo “A U B”, significa “A o B ocurren”.

10. Una encuesta de los hábitos deportivos de un grupo de estudiantes en el último año reveló la siguiente información: (i) 28% tomó gimnasia, (ii) el 29% tomó béisbol, (iii) el 19% tomó fútbol, (iv) 14% tomaron gimnasia y béisbol, (v) el 12% tomaron béisbol y fútbol, (vi) el 10% tomaron gimnasia y fútbol, (vii) el 8% tomaron los tres deportes.

Calcular el porcentaje del grupo que no tomaron ninguno de los tres deportes durante el año pasado. A. 24

B. 36

C. 41

D. 52

E. 60

13. Dentro de un gran grupo de pacientes que se recuperan de lesiones en el hombro, se encuentra que el 22% visita tanto un fisioterapeuta como a un quiropráctico, mientras que el 12% no visita ninguno de estos. La probabilidad que un paciente visita a un quiropráctico supera en un 0,14 la probabilidad de que un paciente visita un terapeuta físico. Determine la probabilidad de que un miembro elegido al azar de este grupo visita un fisioterapeuta. A. 0.26 B. 0.38 C. 0.40 D. 0.48 E. 0.62

PROBABILIDAD CONDICIONAL Este concepto está diseñado para relacionar las probabilidades de dos o más eventos que están ocurriendo. Responde la pregunta: “Dado que el evento B ocurrió, ¿cómo me afecta esto que ocurra el evento A?”. La relación matemática es:

Donde Pr(A│ B) se lee “Probabilidad de que ocurre A dado que B ocurrió.” Para dos eventos A y B, condicionados por la ocurrencia de un tercer evento E que ya ocurrió, se encuentran todas las propiedades de probabilidad que se han descrito, como:

Otras situaciones especiales a tener en cuenta:

Si

Entonces,

14. Una compañía de seguros calcula que el 40% de los clientes que tienen sólo una póliza de automóvil la renovarán el próximo año y el 60% de los clientes que tienen sólo una póliza de vivienda la renovarán el próximo año. La compañía estima que el 80% de los clientes que tienen ambas pólizas (de automóvil y de vivienda), renovarán al menos una de esas pólizas el próximo año. Los registros de la compañía muestran

que el 65% de los asegurados tienen una póliza de automóvil, el 50% una de vivienda y el 15% de los clientes tienen ambos tipos de póliza. Utilizando los estimativos de la compañía, calcule el porcentaje de clientes que renovarán al menos una de las pólizas el año siguiente. A. 20

B. 29

C. 41

D. 53

E. 70

15. Una compañía de seguros examina su grupo de clientes de seguros de automóviles y reúne la siguiente información: (i) Todos los clientes aseguran al menos un coche. (ii) El 70% de los clientes aseguran más de un coche. (iii) El 20% de los clientes aseguran un coche deportivo. (iv) De esos clientes que aseguran más de un coche, el 15% aseguran un coche deportivo. Calcular la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar asegure exactamente un coche y el coche no sea deportivo. A. 0.13 B. 0.21 C. 0.24 D. 0.25 E. 0.30 INDEPENDENCIA DE EVENTOS: Dos eventos son independientes, si:

Esto implica que:

Para tres eventos A, B y C que son independientes entre sí, se cumple que:

16. Un estudio realizó el seguimiento a la salud de un grupo de personas durante cinco años. Al comienzo del estudio, 20% del grupo fueron clasificados como fumadores empedernidos, 30% como fumadores leves, y el 50% como no fumadores. Resultados del estudio mostró que los fumadores leves fueron dos veces más propensos que los no fumadores a morir durante los cinco años del estudio, pero sólo la mitad de probabilidades que los fumadores empedernidos. Un participante seleccionado al azar del estudio murió durante el período de cinco años. Calcular la probabilidad de que el participante era un fumador empedernido. A. 0.20 B. 0.25 C. 0.35 D. 0.42 E. 0.57 17. A su llegada al servicio de urgencias de un hospital, los pacientes se clasifican en función de su estado como crítico, grave o estable. En el pasado año: (i) el 10% de los pacientes de la sala de emergencia estuvieron críticos; (ii) el 30% de los pacientes de la sala de emergencia estuvieron graves;

(iii) El resto de los pacientes de la sala de emergencia se mantuvieron estables; (iv) el 40% de los pacientes críticos murió; (v) 10% de los pacientes graves murió; y (vi) el 1% de los pacientes estables murió. Teniendo en cuenta que un paciente sobrevivió, ¿cuál es la probabilidad de que el paciente se clasificó como grave a su llegada? A. 0.06 B. 0.29 C. 0.30 D. 0.39 E. 0.64 PROBABILIDADES POSTERIORES: REGLA DE BAYES. Es frecuente el caso que sabemos de las probabilidades de ciertos eventos condicionados en otros eventos, pero lo que nos gustaría saber es el "inverso". Es decir, dado P (A | B) nos gustaría encontrar P (B | A). La regla de Bayes es una simple fórmula matemática para calcular P(B|A) dada o conocida P(A|B). Así para dos eventos A y B

Fórmula general de la regla de Bayes: Supongamos que el espacio muestral S es la unión de eventos mutuamente excluyentes H1, H2, · · ·, Hn con P(Hi)> 0 para cada i. Entonces para cualquier evento A y 1 ≤ i ≤ n, tenemos

donde

III PROBLEMAS VARIOS 1.Un director de tesorería está considerando invertir en el capital de una empresa de asistencia petrolera. La valoración de probabilidades del director correspondientes a las tasas de rentabilidad de este capital durante el próximo año se recogen en la tabla adjunta. Sea A el suceso “la tasa de rentabilidad será mayor del 10%” y sea B el suceso “la tasa de rentabilidad será negativa” Tasa de Rentabilidad Menos de -10% Entre -10% y 0% Entre 0% y 10% Entre 10% y 20% Más del 20%

Probabilidad 0,04 0,14 0,28 0,33 0,21

a. Calcular la probabilidad del suceso A b. Calcular la probabilidad del suceso B c. Describir el complementario del suceso A. d. Calcular la probabilidad del complementario del suceso A. e. Describir el suceso intersección de los sucesos A y B. f. Calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B. g. Describir el suceso de unión de los sucesos A y B. h. Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B. i. ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? 2. Una compañía recibe un determinado componente en remesas de 100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientes a los componentes defectuosos de una remesa. Número de Defectuosas Probabilidad 0

0,19

1

0,26

2

0,32

3

0,18

Más de 3

0,05

a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres componentes defectuosos en una remesa? b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un componente defectuoso en una remesa? c. Las cinco probabilidades de la tabla suman 1. ¿Por que ha de ser así? 3. Se lanzan dos dados correctos. Calcular la probabilidad del suceso “la suma de sus caras sea mayor a 8”. 4. Cuantas placas para vehículos se pueden obtener empleando tres letras seguidas de 3 dígitos? 5. Se sabe que el 95% de todos los computadores personales de un modelo determinado funcionarán por lo menos durante un año antes de que necesiten ser reparados. Un gerente compra cuatro de estos computadores. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro computadores funcionen durante un año antes de que necesiten ser reparados? 6. La probabilidad de que Leidy estudie para un examen de estadística es 0,30. Si estudia, la probabilidad de aprobar el examen es 0,75, en tanto que si no estudia, la probabilidad es de 0,40. a) Cual es la probabilidad de que Leidy apruebe su examen final? b) Dado que Leidy aprobó el examen Cuál es la probabilidad de que haya estudiado? 7. La policía planea reforzar los límites de velocidad mediante el uso de un sistema de radar en cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1,L2,L3 y L4 operan 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene

las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad? 8. Se estimó que un 35% de los estudiantes de último curso de un campus universitario estaban seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 28% por sus notas y el 20% por ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último curso elegido al azar en el campus esté seriamente preocupado por al menos una de las dos cosas? 9. Una empresa de venta por correo considera tres posibles errores al enviarse un pedido: A: El artículo enviado no es el solicitado. B: El artículo se extravía. C: El artículo sufre desperfectos en el transporte. Supóngase que el suceso A es independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P (A) = 0,02, P (B) = 0,01 y P (C) = 0,04. Calcula la probabilidad de que uno de estos errores ocurra para al menos un pedido escogido al azar. 10. Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% de los adultos vieron un programa de televisión orientado a temas financieros y empresariales, el 12% leen una publicación orientada a esta temática y el 10% realizan ambas actividades. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea la publicación mencionada? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lee la publicación, vea dicho programa de televisión? 11. Un congreso comienza al mediodía con dos seminarios paralelos. Al seminario sobre gestión de carteras asiste el 40% de los delegados, mientras que al seminario sobre tipos de cambio asiste el 50%. El seminario de la tarde consiste en una conferencia titulada, “¿Ha muerto el paseo aleatorio?”. A esta conferencia asiste el 80% de los delegados. a. Si las asistencias a los seminarios de gestión de carteras y tipos de cambio son mutuamente excluyentes, ¿cuál es la probabilidad de que un delegado escogido al azar asistiese al menos a uno de estos seminarios? b. Si las asistencias al seminario de gestión de carteras y a la conferencia son independientes estadísticamente, ¿cuál es la probabilidad de que un delegado escogido al azar asistiese al menos a uno de estos seminarios? c. El 75% de los que asistieron al seminario de tipos de cambio, lo hicieron también a la conferencia, ¿Cuál es la probabilidad de que un delegado escogido al azar asistiese al menos a uno de estos seminarios?

12. Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si leían regularmente, ocasionalmente o nunca la sección de economía y, también, si habían realizado operaciones en bolsa durante el año anterior. Las proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.

Lectura de la sección Adquisiciones en bolsa

De economía Regularmente

Ocasionalmente

Nunca

Sí

0,18

0,10

0,04

No

0,16

0,31

0,21

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar no lea nunca la sección de economía? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que lee la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha realizado operaciones en bolsa durante el pasado año no lea nunca la sección de economía? e. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lee regularmente la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? 13. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en áreas metropolitanas de Colombia, clasificadas en aquellos que leen o no la prensa y aquellos que votaron o no en las anteriores elecciones.

Votaron

Lectores

No Lectores

Sí

0,63

0,13

No

0,14

0,10

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar votase? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar lea la prensa? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar que no lea la prensa votase? 14. Un grupo independiente de investigación ha estado estudiando las probabilidades de que un accidente en una planta nuclear ocasione una fuga de radiación. El grupo considera que los únicos tipos posibles de accidente en un reactor son incendio, falla mecánica, y error humano, y que 2 o mas accidentes nunca ocurren al mismo tiempo. Ha efectuado estudios que indican lo siguiente: si hubiera un incendio, se produciría una fuga de radiación 20% de las veces; si hubiera una falla mecánica, la fuga de radiación tendría lugar 50% de las veces; y si hubiera un error humano, la fuga se presentaría 10% de las veces. Sus estudios han mostrado además la probabilidad de que: -

Ocurran al mismo tiempo un incendio y una fuga de radiación es de 0,0010

- Ocurran al mismo tiempo una falla mecánica y una fuga de radiación es de 0,0015 - Ocurran al mismo tiempo un error humano y una fuga de radiación es de 0,0012 a. ¿Cuáles son las probabilidades respectivas de un incendio, de una falla mecánica y de un error humano? b. ¿Cuáles son las probabilidades respectivas de una fuga de radiación ocasionada por incendio, falla mecánica y error humano? c. ¿Cuál es la probabilidad de una fuga de radiación? 15. Un equipo capitalino juega el 60% de sus partidos de día. El equipo gana el 40% de sus partidos diurnos y el 80% de los nocturnos. De acuerdo a las noticias que aparecen en un diario de la capital, perdió ayer. Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en el dia? 16. Un fabricante produce 6.000 unidades por semana. Cada unidad pasa por tres puestos de inspección, antes de ser despachada a sus distribuidores. Por lo general, en el primer puesto se rechaza el 5% de las que fueron aceptadas, el 3% se rechazan en la segunda inspección y finalmente en la tercera inspección el 2% aproximadamente, se rechazan. Cuál es la probabilidad que una unidad seleccionada al azar pase las tres inspecciones? 17. Supongamos que un proyecto de ley, debe ser aprobado en primera instancia por la cámara de representantes, luego por el senado y finalmente recibe la sanción presidencial, para convertirse en ley. Un politólogo asevera que las probabilidades son: 0,8; 0,6 y 0,5 respectivamente. Cuál es la probabilidad que el proyecto finalmente se convierta en ley? 18. ¿Cuántos En una facultad de una universidad se sabe que el 35% están matriculados en el diurno y el 65% son del nocturno. La probabilidad de que el estudiante diurno este trabajando es del 15% en tanto, para el estudiante nocturno es del 70%. Se elige al azar un estudiante de esa facultad a) Cual es la probabilidad de que este trabajando? b) Dado que el estudiante elegido este trabajando, determinar la probabilidad que será del diurno. 19. Para Tres distribuidores de gas se reparten el mercado de una ciudad, al distribuidor A le corresponde el 50%, al B el 30% y al C únicamente el 20%. Las autoridades locales hacen una inspección en cada una de las distribuidoras y encuentran que en A el 5% de las válvulas de los tanques están defectuosos, en B el 3% y en C es del 8%. Suponiendo que la distribución no está demarcada por zonas, se presenta un escape con las consecuencias de una explosión que produce daños. Cuál es la probabilidad de que el tanque causante del daño haya sido suministrado por el distribuidor A, B, o C? 20. Un inversionista cuenta con la opción de invertir en dos de cuatro tipos de acción de bolsa. El inversionista ignora que de esos cuatro tipos, sólo dos aumentarán sustancialmente de valor dentro de los últimos dos años. Si el inversionista elige dos tipos de acción al azar, haga una lista de los puntos muestrales de S y asimismo haga una lista de los puntos muestrales de los siguientes eventos. a. A : por lo menos uno de los tipos de acción redituable fue escogido b. B: por lo menos uno de los tipos de acción no redituable fue escogido. c. Calcular : P ( A ) ; P ( B ) ; P ( A  B ) ; P ( A  B ) 21. Los contratistas para la perforación de pozos petroleros, realizan siempre antes de perforar, un experimento, consistente en registrar el comportamiento del subsuelo ante pequeñas explosiones. Si se

detecta lo que llaman una “estructura cerrada” en el subsuelo, se considera ésta un indicio prometedor, mientras que si no se detecta estructura, la probabilidad de un hallazgo de pozo productivo es menor. La tabla que se da a continuación resume la experiencia lograda en muchos lugares en donde se perforó tras haber efectuado el experimento con los explosivos. Bi

B1

B2

No se detecta estructura cerrada

Si se detecta estructura cerrada

A1 : pozo no productivo

0,40

0,10

A2 : pozo productivo

0,15

0,35

Ai

Calcule las siguientes probabilidades: P ( A1 ) ; P ( A2 ) ; P ( A1 / B1 ) ; P ( A2 / B2 ) P ( A1  B2 ) ; P ( B2 / A2 ) ; P ( A2 / A1 ) 22. Dados dos eventos A y B , tales que P ( A ) = 0,7 ; P ( B ) = 0,4 y P (A  B)=0,1, encuentre lo siguiente: a. P ( A / B ) b. P ( B / A ) 23. Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó. Le indica a la policía que el número de la matrícula del automóvil tenía las letras ABC seguidas por tres dígitos el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos pero esta seguro que los tres eran diferentes. Encuentre el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía. 24. Un La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es de 0,6, la de que apruebe Inglés es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,3. Se elije un alumno al azar, calcule las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura. b) Probabilidad de que no apruebe ninguna. 25. Una persona posee una casa en la ciudad y una cabaña en las montañas. En un año cualquiera, la probabilidad de que entran a robar la casa es de 0,01 y de que roben la cabaña es 0,05. Para un año cualquiera, cuál es la probabilidad? a. De que entren a robar ambas. b. Roben en una u otra pero no en ambas. c. No roben en ninguna.

26. Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se supone que 15% de la población contraerá la enfermedad I alguna vez durante su vida, 18% contraerá eventualmente la enfermedad II, y el 3% contraerá ambas. a. Encuentre la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población contraiga al menos una enfermedad. b. Encuentre la probabilidad condicional de que una persona escogida al azar de esta población, contraiga ambas enfermedades, dado que él o ella haya contraído al menos una de ellas. 27. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? 28. En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. Realizada una encuesta, se estima que de la población adulta : 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 4% lee B y C ; 2% lee los tres periódicos. ¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos tres periódicos? De los que leen al menos un ¿Qué porcentaje leen A y B?

periódico,

29. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. Calcular: a) El porcentaje de los que acuden por la tarde. b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

30. En cierto país, se ha encontrado que la probabilidad de que un hombre siga viviendo después de 25 años es de 3 / 5, y la de que su esposa lo esté es de 2 / 3. Hallar la probabilidad de que en ese momento: a. b. c. d.

Ambos estén vivos. Sólo el hombre viva. Sólo viva la esposa. Al menos uno esté vivo.

31. Una persona al llegar a la droguería a comprar antibióticos para una infección a la garganta, encuentra dos marcas, cada una de ellas con dos formulaciones: con anestésico y sin anestésico, ¿cuál es la probabilidad de que elija la marca A con anestésico? 32. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es 0,94. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario?

b. ¿Cuál la de que alguno lo esté cuando se necesite? c. ¿Cuál la de que ambos lo esté cuando se necesite?

33. Se lanza una moneda de tal forma que una cara tiene la posibilidad de ocurrir cuatro veces más que un sello; si la moneda se lanza 3 veces al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos y 1 cara? 34. La San Buenaventura participa en 15 partidos de fútbol en el primer semestre. ¿De cuantas maneras puede el equipo terminar el semestre con 9 victorias, 4 derrotas y 2 empates? 35. Del 100% de madres atendidas en un determinado hospital de Bogotá, el 15% corresponde al grupo de menos de 20 años, el 50% de 20 a 29 años y el 35% restante del grupo de 30 años y más. La incidencia de asfixia neonatal se presenta en un 15% de los RNV de madres menores de 20 años, en el 5% de los RNV de las madres de 20 a 29 años, y en el 12% de los RNV de madres de 30 años y más. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una madre atendida en dicho lugar, su niño nazca con asfixia neonatal? b) Si se diagnostica uno de estos niños con asfixia neonatal, ¿cuál es la probabilidad de que la madre tenga menos de 20 años? 36. Dos eventos A y B son estadísticamente dependientes, P (A) = 0,39, P (A  B) = 0, 47. Encuentre las probabilidades de que: a. No ocurran ni A ni B b. Ocurran A y B c. Ocurra B, si A ha ocurrido d. Ocurra A, si B ha ocurrido

P (B) = 0,21 y

37. El 10% de los alumnos de una institución educativa tiene la vista defectuosa, el 12% tiene problemas dentales y el 4% tienen la vista defectuosa y problemas dentales. ¿Cuál es la probabilidad de tener problemas dentales si se tiene la vista defectuosa? 38. Una empresa de asesoría alquila autos de tres agencias: 30% de la agencia D, 40% de la agencia E y 30% de la agencia F. Si 15% de los autos de la agencia D, 18% de los provenientes de E y 9% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, a. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa contrate un auto con los neumáticos en mal estado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto con neumáticos en mal estado rentado por la empresa provenga de la agencia F? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto con neumáticos en buen estado rentado por la empresa provenga de la agencia E? 39. Se ha nominado a tres miembros del club “El Serrucho” para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad que se elija al señor Morales es de 0,3; que se haga lo propio con el señor Moreno, de 0,5 y que gane la señora Panqueva, de 0,2. En caso de que se elija al señor Morales la probabilidad de que la cuota de ingreso se incremente es de 0,8; si se elige al señor Moreno o a la señora Panqueva, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son de 0,1 y 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de ingreso?

40. Los ayudantes de una gasolinera deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Tiburcio, quien atiende al 25% de todos los autos, no cumple su cometido una vez cada 30 autos; Cinforoso quien atiende el 40% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 15 autos; Milciades quien atiende al 25% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos y Mauricio quien atiende al 10% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 25 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado, a. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto lo haya atendido Mauricio? analice el resultado. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto lo haya atendido Tiburcio? analice el resultado 41. Un grupo de interés público estaba planeando presentar una tutela contra las tarifas de los peajes en una de las tres siguientes ciudades: Bogotá, Cali o Medellín. La probabilidad de que escogiera Bogotá es de 0,40; de que escogiera Cali fue de 0,35; de que escogiera Medellín, fue de 0,25. El grupo sabía además que tenía un 60% de posibilidades de conseguir un fallo favorable si seleccionaba Cali, 45% si seleccionaba Bogotá y 35% si seleccionaba Medellín. Si el grupo tuvo un dictamen favorable. ¿Cuál ciudad tuvo mayores probabilidades de ser escogida para presentar la tutela?

Responda las preguntas 42 y 43 de acuerdo con la siguiente información En un colegio de dos cursos de 11º cada uno de 30 estudiantes, se va a realizar una evaluación con tres materias que los estudiantes seleccionan entre matemáticas, lenguaje e historia. Los estudiantes pueden seleccionar entre una hasta las tres áreas. Se observa que sólo 2/5 de los estudiantes han seleccionado matemáticas, el 60% tomaron lenguaje y dos tercios historia. De estos estudiantes 10 van a profundizar matemáticas y lenguaje pero no historia; 8 matemáticas e historia pero no lenguaje y 6 únicamente historia. 42. ¿Cuántos estudiantes como máximo profundizan en matemáticas, lenguaje e historia a la vez? A. Ninguno

B. 6

C. 10

D. 14

43. Los estudiantes que profundizan en historia y lenguaje pueden ser hasta: A. 6

B. 20

C. 26

D. 36

44. Una urna contiene 10 bolas, 4 rojas y 6 azules. Una segunda urna contiene 16 bolas rojas y una cantidad desconocida de bolas azules. Una sola bola se extrae de cada urna. La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color es de 0,44. Calcular el número de bolas azules en la segunda urna. A. 4

B. 20

C. 24

D. 44

E. 64

45. Una caja contiene 10 bolas, de las cuales 3 son de color rojo, 2 amarillas, y 5 de color azul. Se extraen cinco bolas al azar sucesivamente con reemplazo. Calcular la probabilidad de que menos de 2 de las bolas seleccionadas sean rojas. A. 0.3601

B. 0.5000

C. 0.5282

D. 0.8369

E. 0.9167

46. Una clase contiene 8 niños y 7 niñas. El profesor selecciona 3 de estudiantes al azar y sin reemplazo. Calcular la probabilidad de que el número de niños seleccionados excede el número de

niñas seleccionadas.

47. Una caja contiene 10 canicas blancas y 15 canicas negras. Si se seleccionan 10 canicas al azar y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que x de las 10 canicas sean de color blanco para x = 0, 1, ..10.

48. En una encuesta sobre las preferencias de goma de mascar de los jugadores de béisbol, se encontró que • 22 prefieren sabor a fruta. • 25 gustan de menta. • 39 prefieren uva.  9 gustan de menta y fruta. • 17 gustan de fruta y uva. • 20 prefieren menta y uva. • 6 les gustan todos los sabores. • 4 no les gusta ninguno de los sabores. a) ¿Cuántos jugadores fueron encuestados? Al seleccionar a uno de estos jugadores al azar, cuál es la probabilidad de que b) Le guste los sabores a uva o menta. c) Le guste el sabor a fruta y uva pero no menta verde. 49. Sean A, B, C tres subconjuntos de un universo U con las siguientes propiedades:

A. 10

B. 12

C. 15

D. 20

50. En un estudio médico, los pacientes se clasifican en función de si tienen el tipo de sangre A, B, AB, u O, y también de acuerdo a su presión arterial entre baja (L), normal (N) o alta (H). Utilice un diagrama de árbol para representar los diversos resultados que pueden ocurrir. 51. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas, que consta de 5 parejas, en una fila de 10 asientos, si todas las parejas deben ubicarse en asientos adyacentes? 3000 B. 3840 C. 3520 D. 2000