Guia Problemas Teoria de Colas 02 2011

UNIVERSIDAD DR. JOSÉ MATÍAS DELGADO

Facultad de

Ingeniería

Escuela de Ingeniería Industrial

GUIA TEORIA DE COLAS Investigación de Operaciones II Ing. René Hernán Linares Silva

Presentado por: Mercy Johanna Alvarenga Amaya Víctor Manuel Monrroy Campos José Simón Parada Parada Andrea Vanessa Erroa Murcia San Salvador, Jueves 8 de septiembre del 2011

1

1. En el departamento de servicio de la agencia de automóviles Glenn-Mark, los mecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvil

presentan

sus

formularios

de

solicitud

en

el

mostrador

del

departamento de recambios. El empleado del departamento llena una solicitud mientras el mecánico espera. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40 por hora y un empleado puede llenar 20 solicitudes por hora (exponencial). Si el costo de un empleado del departamento de recambios es de $ 6 por hora y el de un mecánico es de $ 12 por hora, determine el número óptimo de empleados para el mostrador. Modelo (M/M/C): (GD/∞/∞) λ = 40 /hr µ = 20 /hr C1= costo de empleado = $6/hr C2=costo de maquina $12/hr

= costo optimo Ls (c) – Ls (c+1)≤ c1 ≤ Ls (c-1)- Ls (c )

Ls=Lq + ρ C1/C2= 6/12=1/2 Para un servidor Ls= ∞ Para dos servidores Ls= ∞ Para tres servidores

Po= 0.059

2

Ls=Lq+ρ Ls=0.4706 +2 =2.4706 solicitudes Para cuatro servidores

Po= 0.0857

Ls = 0.1143+2 =2.1143 Para cinco servidores

Po= 0.10843

Ls= 0.0231+2 =2.0231 c 1 2 3 4 5

Ls (c ) ∞ ∞ 2.4706 2.1143 2.032

Ls (c-1)- Ls( c ) ∞ ∞ 0.5 0.3563 0.0823

Ls(3) - Ls(4)=0.35632) =1-[(1-0.75) + (1-0.75)(0.75) + (1-0.75)(

) P(x>2) = 0.4218

5. El Servicio de Impuestos NOL analiza sus operaciones de servicio al cliente durante el mes anterior a la fecha límite de abril. Con base en datos anteriores, se ha estimado que los clientes llegan de acuerdo con una distribución de Poisson con un tiempo promedio entre llegadas de 12 minutos. El tiempo necesario para llenar un formulario de declaración de impuestos para cada cliente está distribuido exponencialmente con una media de 10 minutos. Con base en esta información, responda a las siguientes preguntas: a) Si fuera a NOL, ¿cuánto tiempo debería esperar para que elaboraran su declaración de impuestos? b) En promedio, ¿cuánto espacio debe asignarse al área de espera?

5

c) Si el servicio de NOL funcionara 12 horas al día, ¿cuántas horas al día, en promedio, estaría ocupada la oficina? d) ¿cuál es la probabilidad de que el sistema esté inactivo?

e) Si la tasa de llegadas permaneciera sin cambios, pero el tiempo promedio en el sistema tuviera que ser de 45 minutos o menos,¿qué habría que cambiar? λ = 12 min = 5/hora μ = 10 min = 6/hora

ρ = 5/6 = 0.83333

a) Wq= ρ/( μ(1- ρ)) = 0.8333/(6(1-0.8333) = 50 min b) Lq = ρ²/ (1- ρ) = 0.8333²/(1-0.8333) = 4.1667 = 5 espacios c) ĉ = ρ = 0.8333 100%---------12hor 83.33----------x

x = 10hor

d) c = 1- ρ = 1-0.8333 = 0.1667 e) Ws = < 45 min

λ = 5/hora

Ws = 1/( μ(1-5/ μ)) = 0.75 horas

despejando μ

μ = 6.3333/ hora = 9.47 min

6.

En el puesto de inspección de la frontera de California, los vehículos llegan a una tasa de 10 por minuto, en una distribución de Poisson. Para hacer más sencillo el problema, suponga que sólo hay un carril y un inspector, quien puede inspeccionar 12 vehículos por minuto en forma distribuida exponencialmente. a) ¿Cuál es la longitud promedio de la cola? b) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar un vehículo para pasar por el sistema? c) ¿Cuál es la utilización del inspector? d) ¿Cuál es la probabilidad de que, al llegar, estén formados tres o más

vehículos delante de usted?

6

Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞) λ = 10 autos /min µ = 12 autos /min ρ=λ/µ ρ = 10/12 = 0.8333

a)

Lq= 4.155 personas b)

Ws = 1/µ ( 1 – ρ) Ws= 1/12( 1 – 0.8333) Ws= 0.499 minutos

c)

ρ=λ/µ ρ = 10/12 = 0.8333 ρ= 83.33 %

d)

P(x ≥ 3) = 1 = 0.5706

7. Considere el sistema de servicio atendido por una persona que tarda 10 minutos en satisfacer las necesidades de un cliente. Los clientes llegan a este sistema a una tasa de cinco por hora. a)

¿Cuántos clientes esperarían en cola?

b) ¿Cuál sería el tiempo total de un cliente en el sistema? c) ¿Cuál es la probabilidad de que existan tres clientes o más en el sistema? Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞) Λ= 5 clientes /hora µ=6 clientes /hora ƥ= λ/µ ƥ=5/6 7

ƥ=0.833 ws=10 minutos = 0.1667 hora a) ¿Cuántos clientes esperarían en cola? lq= ƥ^2/ (1-ƥ) lq= (0.833) ^2/(1-0.833) lq= 4.17 clientes b) ¿Cuál sería el tiempo total de un cliente en el sistema? W= wq + ws W= (lq/λ) + (1/µ(1-ƥ)) W=( 4.17/5) + (1/6(1-0.833) W= 1.834 horas W= 1 hora, 50 minutos con 24 segundos c)¿Cuál es la probabilidad de que existan tres clientes o más en el sistema? P(n≥3)= 1[(1-0.833)+(1-0.833)(0.833)^1 + (1-0.833)(0.833)^2] P(n≥3)=0.5787 La probabilidad que existan mas de 3 clientes en el sistema es de 57.87%

8. En Nueva York, el túnel Holland que corre bajo el río Hudson cobra peaje. Un día, durante algunas horas sólo funcionaba una de las casetas de cobro. A esta caseta llegaban un promedio de 750 automóviles por hora y el cobrador tardaba cuatro segundos para atender a cada conductor. a) ¿Cuál fue la utilización del cobrador de la caseta? b) ¿Cuánto tiempo tardaría un conductor en llegar, pagar el peaje y continuar? c)

¿Cuántos automóviles estarían en el sistema?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de cuatro vehículos en el sistema? Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞) λ = 750 autos/hr µ = 3600/ 4 = 900 autos/hr a)

ρ=λ/µ ρ = 750/900 = 0.8333

b)

c) Ls= Ws λ 8

Ls=0.0066(750) Ls=4.999 = 5 clientes

d) P(x > 4) = 1- (

Po)

Po= 1- ρ = 1 – 0.8333=0.1667

P(x>4)= 1 = 0.4017

9.

Una mecanógrafa puede, en promedio, escribir una carta en ocho minutos. Esta mecanógrafa trabaja para un gran número de personas, quienes le envían una carta para mecanografía cada 10 minutos. a) ¿Cuál es la utilización de la mecanógrafa? b) Si se acaba de enviar su carta al escritorio de la mecanógrafa, ¿cuánto tendría que esperar para que esté terminada? c) ¿Cuántas cartas estarían en cola? d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de tres cartas en el sistema? Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞) λ = 1/10=0.1 min = 6 hr µ = 8 min 0 7.5 hr a) ρ = λ / µ ρ = 6/7.5 = 0.8 b) Ws=1/(µ(1-ρ)) = 1/ (7.5(1 – 0.8 ) =0.6667 hr 0 40 min c) Lq= = 3.2 cartas

d) P(x ≥ 3) = 1 -

= 0.4096

10. Como se acerca la temporada de gripe, la universidad desea instalar un local

para proporcionar inyecciones a los estudiantes, al personal y a los profesores. La duda que existe tiene que ver con el nivel del personal para atender las 9

distintas demandas posibles. Una opción es contratar a sólo una enfermera. Suponga que la enfermera puede aplicar 120 inyecciones por hora, distribuidas exponencialmente. En promedio, la gente llega cada 36 segundos. a) ¿Cuál es la utilización de la enfermera? b) ¿Cuánta gente habría en el sistema? c)

¿Cuánto tiempo tardaría, si acaba de unirse a la cola, para recorrer el sistema?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de tres personas en el sistema? Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞) λ = 120 inyecciones/ hora μ = 1 persona / 36 segundos; 100 personas/ hora a) Cual es la Utilización de la enfermera ρ = λ /μ= 100/120 = 0.833*100 = 83.33% del tiempo pasa ocupada b) Cuanta gente habría en el sistema Ls = ρ/ 1- ρ Ls = 0.833/ 0.17 Ls = 4.88 personas en el sistema c) Cuanto tiempo tardaria si acababa de unirse a la cola para recorrer el sistema Ws = 1/ μ(ρ/ 1- ρ) Ws = 1/(120)(1-0.8333) Ws = 0.05 horas o 3 minutos d) Cual es la probabilidad de que existan 3 personas en el sistema Pn(n>=3) = ρˆ(n+1) Pn(n>=3) = 0.833ˆ4 Pn(n>=3) = 0.4822

11.Una tienda de alimentación es atendida por una persona. la llegada de clientes los sábados es un proceso de poisson con una tasa de 10 personas por hora y los clientes son atendidos según una política de fifo con un tiempo medio de servicio de 4 minutos. Encontrar: a) la probabilidad de que haya cola b) longitud media de la cola c) tiempo medio de espera en cola d) probabilidad de que el cliente este menos de 12 minutos en la cola

Modelo: (M/M/1);(DG/∞/∞)

10

λ = 10 personas / hora

μ = 15 personas / hora

a)

P(x ≥ 1) = 1 – [(1-0.6667) + (1-0.6667)(0.6667)]

P(x > 1) = 1 – P0

ρ=

ρ=

ρ = 0.6667 P(x > 1) = 0.4444

b) c)

Wq = 0.1333 horas

d)

12.La empresa “abc” estudia la posibilidad de una estación de servicio ubicada en la localidad “z”. Esta estación tiene 4 expendedores de nafta común, 1 de super y otro para gas oil . la llegada de autobuses y camiones que cargan gas oil muestran una distribución que se aproxima a una poisson, mientras que la prestación del servicio muestra una distribución exponencial negativa. el promedio de llegadas de unidades que cargan gas oil es de 5 unidades/hora, mientras que los servicios promedios en ese surtidor de gas oil es de 7 unidades/hora. Solo se puede dar servicio en ese surtidor a una unidad por vez y se sirve la atención en el orden que llegan a la bomba. Encuentre: a)

la probabilidad de encontrar un surtidor de gas oil vacío b) la probabilidad de encontrar una unidad cargando y otras dos esperando en cola.

c)

el numero esperado de unidades que hacen cola

d)

el numero esperado de unidades en el sistema

e)

el tiempo de promedio de espera en la cola

f)

el tiempo promedio para salir del sistema

g)

la probabilidad de que en el sistema se encuentren mas de 3 unidades h) la probabilidad de que una unidad espere en el sistema 1 hora o más para ser

atendido e irse del sistema. Modelo (M/M/1): (GD/∞/∞) λ = 5 unit/hr µ = 7 unit/hr ρ=λ/µ ρ = 5/7 = 0.7143 a) Po= ( 1 – ρ) ρ^n Po= (1-0.7143)(0.7143)^0 Po=0.2857 b) P(x=3) =ρ^3 * Po P(x=3)=(0.7143)^3(0.2857)=0.1041 11

c)

Lq=1.7859 unidades en cola (2 unidades) d) Ls= ρ / 1- ρ Ls= 0.7143/(11-0.7143) Ls= 2.5002 unidades e) Wq= Lq/ λ Wq=1.7859/5 Wq=0.3578 hrs f) Ws= 1/µ(1-ρ) Ws= 1/7(1-0.7143) Ws=0.5 hrs o 30 min g) P(x =3) Para las probabilidades Pn=(1-ρ)ρ^n Po=(1-0.7143)(0.7143)^0=0.2857 P1=(1-0.7143)(0.7143)^1=0.2041 P2=(1-0.7143)(0.7143)^2=0.1450 P3=(1-0.7143)(0.7143)^3=0.1041 P(x>3) = 1 – (Po+P1+P2+P3) =0.2603 h) Ws=60 min Ws=Ls/λ Ls=Wsλ Ls=5 P(x≥5)=1- ∑(0.5)(1-ρ)ρ^n = 0.1328 13.

El área de servicio en el automóvil de una compañía de hamburguesas piensa construir otro puesto en un lugar diferente y necesita decidir cuánto terreno debe alquilar para optimizar el rendimiento, de tal forma de asegurar, con 80% de certeza, que el automóvil que llegue encuentra espacio en el sistema. el espacio de alquiler para automóviles cuesta $ 1,000 al año por espacio. la compañía sabe acerca de la naturaleza altamente competitiva de la industria de comida rápida y que los clientes se irán a otra parte si está lleno el lugar. el terreno que han considerado tiene una tasa potencial de llegada de clientes de 30 por hora (poisson). la tasa para surtir pedidos de los clientes es de 40 por hora (exponencial), ya que la compañía prepara los alimentos por anticipado. el beneficio promedio para cada llegada es de $ 0.60 y el puesto abre de 12

mediodía a medianoche todos los días. ¿cuántos espacios para automóvil debe alquilar? Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞) Λ= 30 clientes/hr µ=40 clientes por hora ρ=λ/µ= 30/40= 0.15 Pn=(1 – ρ) ρ^n acumulado Po =(1 – ρ )= (1- 0.75 )^0

=0.25

0.25

P1 =(1 – ρ )^1= (1- 0.75 )^1=0.1875

0.4375

P2 =(1 – ρ )^2= (1- 0.75 )^2=0.1406

0.5781

P3 =(1 – ρ) ^3= (1- 0.75 )^3=0.1055

0.6836

P4 =(1 – ρ )^4= (1- 0.75)^4=0.07910

0.7627

P5 =(1 – ρ )^5= (1- 0.75)^5=0.0543

0.822

Como la probabilidad para 5 autos es mayor de 0.78 tomamos estos 5 autos. Λperdida =λ * pn =30 (P5) = 30 (0.822) =24 autos/hr Se alquilaran 5 espacios 14. El banco nacional de occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. la gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. el cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. las llegadas son de poisson y el servicio es exponencial, por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con 95% de certeza, que no existan más de tres automóviles en el sistema al mismo tiempo. a)

¿cuál es el nivel de servicio actual para un límite de tres automóviles?

b)

¿qué nivel de utilización del cajero debe lograrse y cuál debe ser la tasa de servicio del cajero para asegurar este nivel de servicio de 95%? (M/M/C) (GD/∞/∞) 13

Λ= 1 5 autos /hora µ= 1/3 de autos / minutos = 20 autos / hora a)¿cuál es el nivel de servicio actual para un límite de tres automóviles? Ws= ls/λ Ws=(3) / (15) Ws= 0.20 horas o 12 minutos el nivel de servicio actual b) ¿qué nivel de utilización del cajero debe lograrse y cuál debe ser la tasa de servicio del cajero para asegurar este nivel de servicio de 95%? ρ= λ/µ ρ= 15/20 ρ=0.75*100 ρ= 75% es la utilizacion del cajero

15.

Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla de servicio para el auto. los autos llegan de acuerdo con una distribución de poisson con una tasa de 2 autos cada 5 minutos. el espacio frente a la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluyendo el que esta siendo atendido. si es necesario, otros vehículos pueden esperar fuera de

este espacio. el tiempo de servicio por

cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. determine lo siguiente: A) la probabilidad de que las instalaciones estén ociosas B) el numero esperado de clientes que esperan el servicio

C) el tiempo de espera estimado para que un cliente llegue a la ventanilla y haga un pedido. D) la probabilidad de que la línea de espera exceda los 10 espacios de capacidad Modelo (M/M/1) :(GD/N/∞) λ = 2 autos cada 5 minutos = 24 autos / hora μ = 1.5 minutos por cliente = 40 autos / hora N = 10 autos ρ = λ /μ ρ = 24/40 = 0.6*100 = 60% a) P○ = 1-ρ/1-ρˆN+1 P○ = 1-0.6/1-(0.6)ˆ10+1 = 0.4/0.9964 = 0.4015 b) El numero esperado de clientes que esperan el servicio Lq = Ls- λefec/μ

14

Ls Ls Ls Ls

= = = =

ρ(1-(N+1) ρˆN + Nρˆ(N+1))/(1-ρ)(1-ρˆ(N+1)) 0.6(1-(10+1)(0.6)ˆ10+10(0.6)ˆ(10+1))/(1-0.6)(1-0.6)ˆ10+1 0.58186/0.39855 1.3507

Lq = 1.3507 – 24/40 Lq = 0.75 = 1 cliente c) El tiempo de espera estimado para que un cliente llegue a la ventanilla y haga un pedido. Wq = ρ/( μ(1- ρ)) Wq = 0.6/40(1-0.6) Wq = 0.0375 horas Wq = 2 minutos 15 segundos espera en cola d) La probabilidad de que la linea de espera exceda los 10 espacios de capacidad P(x>10) = 1-∑(1-ρ)ρˆx = 1-∑(1-0.6)0.6ˆx Pn = (1-ρ)ρˆn/ 1-ρˆN+1 Pn = (1-0.6)(0.6)ˆ10/1-0.6ˆ11 Pn = 0.0024

16. Un puesto de helados con servicio en el automóvil tiene espacio para una cola de cuatro automóviles, incluyendo el que se está atendiendo (el puesto se encuentra en una vía transitada y la cola no puede extenderse a la calle). la tasa promedio de llegadas de los clientes potenciales es de 40 automóviles por hora y la tasa de servicio para servir los helados es de 50 automóviles por hora. el beneficio promedio del helado que se vende a cada automóvil es de $ 0.50. es posible obtener espacio adicional del dueño del terreno vecino, que lo alquila a $ 5 por día. el puesto está abierto 14 horas al día. Suponiendo que las llegadas están distribuidas aleatoriamente (poisson) y que el servicio es exponencial, ¿debe alquilarse el espacio del lote adyacente? de ser así, ¿cuántos espacios? Modelo: (M/M/1);(DG/N/∞) λ = 40 autos / hora ρ = 0.8 n = 4 autos

λp = λ*Pn

μ = 50 autos / hora

λp = 40 * 0.1218

λe = λ – λp λe = 40 – 5

ρ=

ρ=

λp = 4.8720 ≈ 5 λe = 35 autos

Autos perdidos por día: 5 * 14 = 70 autos Ganancias pérdidas diarias: 70 * ($0.50) = $35 diarios Costo de 5 espacios diarios:

5 * ($5) = $25 diarios

Utilidades = ingresos – gastos: $35 - $25 = $10 diarios.

15

17. En las instalaciones de lavado de autos

“el aseo” se opera con una sola

rampa, los autos llegan con una distribución de poisson, con una media de 4 vehículos por hora, y esperan en el estacionamiento de las instalaciones si la rampa esta ocupada. los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordea las instalaciones de lavado. suponiendo que se instalo un nuevo sistema que permite que el tiempo de servicio para todos los autos sea constante e igual a 10 minutos. Encontrar: a) el número promedio de autos que esperan en cola b) el número promedio de autos que esperan en el sistema c) el tiempo promedio de autos que esperan en cola d) el tiempo promedio de autos que esperan en el sistema Modelo (M/M/1) (GD/∞/∞) λ=4 vehículos/hr µ=10 min por vehículos = 6 autos/hr ρ=λ/µ = 4/6 =0.6667 Lq= Lq=( 0.6667)^2/(2(1-0.6667)) Lq=0.6667 autos = 1 auto b) Ls=ρ +Lq Ls=0.6667+0.666701.333 c)Wq=Lq/λ Wq=0.6667/4=0.16667hr= 10 min d)Ws=Wq+(1/µ)=0.1667+(1/6) Ws=0.3333hr=20 min 18. El banco departamental desea operar una nueva sucursal; luego de realizados los estudios el banco considera que con 4 servidores es suficiente. los clientes llegan en promedio a una tasa de 20 por hora de acuerdo a una distribución de 16

poisson y se sabe que se requieren en promedio 2 minutos para atender a cada cliente con una distribución aproximadamente exponencial. Calcular las estadísticas de operación del banco: a) el promedio del tiempo improductivo del sistema b) la cantidad promedio de personas en la línea de espera c) el tiempo promedio que las personas permanecen en la línea de espera d) la cantidad promedio de personas que permanecen en el banco e) el tiempo promedio que una persona permanece en el banco f) el tiempo promedio de la prestacion de un servicio (M/M/C) (GD/∞/∞/) a) el promedio del tiempo improductivo del sistema N=4 Λ= 20 clientes / hora µ= 2 minutos por clientes = 30 clientes por hora ƥ= λ/µ ƥ= 20 /30 ƥ= 0.6667 Po= (Σ[ ρ^n/n!] [ρc/(1-ρ/c))]^-1 desde n=0 hasta -1 Po=(((2/3)^0/0!) + ( 2/3(4)*4!(1-(2/3)/4))))^1 Po= 0.4827 b) la cantidad promedio de personas en la línea de espera Lq=(poƥ^k)/ k!(po)^2 Lq=(0.4827)(0.6667)^4/(4!(0.4827)^2) Lq= 0.01705 el tiempo promedio en que las personas esperan en la linea de espera C) el tiempo promedio que las personas permanecen en la línea de espera Wq= lq/λ Wq= 0.01705/20 Wq=0.0008 horas = 0.05116 minutos. d)la cantidad promedio de personas que permanecen en el banco Ls= lq +ƥ Ls= 0.01705 + 0.6667 Ls=0.68375 clientes = cliente e)el tiempo promedio que una persona permanece en el banco Ws= wq + ( 1/µ) Ws= 0.0008 + (1 /30) Ws= 0.03418 horas= 2.05 minutos 17

F) el tiempo promedio de la prestacion de un servicio Ws= w+wq W=ws-wq W=0.03418-0.0008 W=0.03338 horas = 2.0028 minutos

19.

Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de

ventas por catalogo en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el empleado

esta

ocupado

en

la

línea,

las

llamadas

telefónicas

entran

automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan a 5 dólares la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden. a. Cual es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes b. Cual es el número promedio de llamadores que esperan para colocar la orden. Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞) a) ρ = λ /μ ρ =12/15 = 0.8 Wq = λ/(μ(μ-λ)) = 12/(15(15-12)) = 0.2666 horas = 16 min b) Lq = ρˆ2/(1-ρ) = 0.8ˆ2/(1-0.8) = 3.2 = 4 clientes

20.

Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias

(jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas de Poisson y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número

18

promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4 personas. Modelo: (M/M/1);(DG/∞/∞) λ = 70 personas / hora

μ = 100 personas / hora

ρ=

ρ=

ρ = 0.7

ρ=

ρ = 0.7

P(x = 0) = 1 – ρ P(x = 0) = 0.3 P(x = 3) =

P(x = 3) =

P(x = 3) = 0.1029

Wq = 0.0333 horas Tiempo de servicio: 100 personas / 60min = 1.6667 minutos. P(x = 4) =

21.

P(x = 4) =

P(x = 4) = 0.0720

A un taller llegan los pedidos de reparaciones de máquinas en forma de

distribución Poisson a un promedio de 4 clientes / hora. El operario que los inspecciona para diagnosticar las reparaciones que hay que realizar, efectúa dicha actividad en una forma normal; en promedio tal inspección es constante y le toma 6 minutos.. Calcular las características de operación del sistema: En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema, La cantidad de personas promedio en la cola, En promedio la cantidad de clientes en el sistema, El tiempo de espera promedio en la cola antes de ser atendido un cliente, En promedio el tiempo que un cliente espera en el sistema antes de ser atendido, En promedio el tiempo que dura un servicio. Modelo (M/M/1):(GD/∞/∞)

19

Λ=4 cliente/hr µ=6 clientes/min=10 cliente/hr ρ = λ /μ ρ =4/10 = 0.4 Po=1-ρ = 1- 0.4 =0.6

Lq= 4^2(0.125)+0.4^2)/2*(1-0.4) Lq=1.8 clientes Ls=ρ+Lq=0.4+1.8=2.2= 2 persona Wq=Lq/λ =1.8/4=0.45 hr =27min Ws=wq+1/µ =0.45+1/10=0.55 hr =33 min 22.

Una máquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarias de una oficina para

obtener las copias que su sección requiere; como la magnitud del trabajo difiere de acuerdo al número de copias que cada quien traiga, se hizo un análisis el cual dejó concluir que la máquina tiende a un proceso de Poisson con un promedio de 8 trabajos por hora. Los requerimientos de utilización son también aleatorios de acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora. Calcular: El tiempo promedio ocioso de la fotocopiadora, en promedio el factor de utilización de la fotocopiadora, personas que permanecen en promedio en la fotocopiadora, personas en promedio que esperan para acceder a la fotocopiadora, tiempo total promedio en el sistema, tiempo promedio de espera para obtener un servicio, tiempo promedio de un servicio en la fotocopiadora . (M/M/1) (GD/∞/∞) λ=5 µ=8 ρ= 0.625 ρ=λ/µ ρ= 5/8 ρ= 0.625 a) el tiempo promedio ocioso de la fotocopiadora

Po=

20

Po= Po= 0.4425 b) El factor de utilizacion de la fotocopiadora ρ=λ/µ ρ= 5/8 ρ= 0.625 c) Personas que permanecen un promedio en la fotocopiadora LS=

LS= LS= LS= 0.9497

Pn=

Pn= Pn=

Pn= Pn= 0.1080 Λperdida= λ.pn Λperdida= 5(0.1080) Λperdida= 0.54 Λefectiva= λ – λperdia Λefectiva= 5- 0.54 Λefectiva= 4.46 =5 persona permanece en la fotocopiadora d) Personas qie permanecen en promedio en la fotocopiadora lq= ls Lq= 0.9464 21

Lq=0.9464 -0.5574 Lq= 0.388 e) Tiempo promedio en el sistema ws= ws= ws=0.2122 f) tiempo promedio de espera para obtener un servicio wq=ws – 1/µ wq=0.2122 - 1/8 wq=0.2122 – 0.125 wq= 0.0872 g) tiempo promedio de un servicio en la fotocopiadora ws – wq = 0.2122 – 0.0872 0.125

23.

Una compañía de seguros tiene tres ajustadores de reclamaciones en su

sucursal. La gente con reclamaciones contra la compañía se encuentra que llega según una Poisson, con una tasa media de 20 personas por día de 8 horas. El tiempo que un ajustador utiliza con una de estas personas se encuentra que tiene una distribución exponencial, con tiempo medio de servicio de 40 minutos. Las personas se atienden según el orden de llegada. ¿Cuántas horas a la semana se puede esperar que un ajustador pase con personas que reclamen? ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasa una persona en la sucursal?

22