Guia Practica de Mate II

Prof.Andr´ es P´ erez

Matem´ aticas II

Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Requisito: Matem´aticas I (11015)

Pr´ acticas de Matem´ aticas II

Prof.: Andr´es P´erez

Caracas, Octubre de 2008

UNIDAD I Pr´acticas: 1 y 2 La integral de Riemann: • • • •

Aplicaciones a Familia de Curvas Sumas de Riemann Integrales definidas M´etodos Num´ericos

4 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Aplicaciones a Familia de Curvas

Pr´ actica 1 Prof. Andr´ es P´ erez

1. Determine la funci´on que describe la posici´on de una part´ıcula, si la funci´on aceleraci´on viene dada por a(t) = t2 + 1, la velocidad inicial es v(0) = 4 y la posici´on inicial est´a dada por s(0) = 0. 2. Se estima que dentro de t meses, la poblaci´on de una cierta ciudad variar´a a raz´on de 4 + 5t2/3 personas/mes. Si la poblaci´on en el primer mes es de 10.000 personas, entonces diga, ¿cu´al ser´a la poblaci´on de esta ciudad dentro de 8 meses?. 3. Una estad´ıstica prueba que una cierta ciudad crece a un ritmo proporcional a la ra´ız cuadrada de la poblaci´on P en el instante t. Si la poblaci´on era de 4.000 personas hace 10 a˜ nos, y hoy d´ıa hay 9.000 personas. ¿Cu´anto tardar´a en crecer hasta 16.000 habitantes? 4. La raz´on de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional a la superficie S de la bola. Si el 3 radio de la bola es r = 2, cuando t = 0 y r = 21 , cuando t = 10. Demuestre que r(t) = − t + 2. 20 5. Una compa˜ n´ıa estima que el costo marginal (en d´olares por art´ıculo) para producir x art´ıculos es de 1, 92 − 0, 002x. Si el costo de producci´on de un art´ıculo es de 562 d´olares, encuentre el costo de producir 100 art´ıculos. dC Ayuda: Si la funci´on costo se denota por C(x), entonces el costo marginal est´a dado por . dx 6. El incremento respecto al tiempo de una cierta magnitud q es proporcional al valor de dicha magnitud. Sabiendo que en el instante inicial, se tienen 25 unidades y que a los dos minutos se observan 75 de las mismas, hallar el valor de q a los 6 minutos. 7. Encuentre la ecuaci´on en x e y de la curva que pasa por (1, 2) y cuya pendiente en cualquiera de sus puntos es cuatro veces su coordenada en x. 8. Una bola es arrojada hacia arriba desde un planeta donde la aceleraci´on de la gravedad es k (una constante negativa) v2 pies por segundo cuadrado. Si la velocidad inicial es v0 , demuestre que la altura m´axima es justamente − 0 . 2k 9. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ıa determina que tan r´apido iba el conductor a partir de las marcas m dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro fren´o con una desaceleraci´on de 15 2 . ¿A qu´e velocidad seg iba el auto cuando aplic´o los frenos, si recorri´o 75 m antes de detenerse? 10. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce una desaceleraci´on constante, ¿cu´al es esa desaceleraci´on? ¿Durante cu´antos segundos continuar´a el derrape? 11. La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje coordenado est´a dado por v(t) = (2t − 3)−3 , en metros por segundo. Si el desplazamiento en t = 0 es de 4 metros, encuentre el desplazamiento dos segundos m´as tarde. 12. Inicialmente se ten´ıan 100 mg. de sustancia radiactiva (torio 234). Al cabo de 6 horas, la cantidad inicial disminuy´o en 3 %. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva. 13. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Pasada una hora la cantidad de bacterias es 3N0 /2. Si la rapidez de multiplicaci´on es proporcional al n´ umero de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el n´ umero de bacterias se triplique.

5 14. Cuando un objeto absorve o despide calor en el medio que lo rodea, se verifica la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que: “La variaci´on de la temperatura de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio”. Suponga que una peque˜ na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦ C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90◦ C, si se sabe que su temperatura aument´o 2◦ C en un segundo. ¿Cu´anto demorar´a la barra en alcanzar los 98◦ C?. 15. Un reactor generativo transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el is´otopo plutonio 239. Despu´es de 15 a˜ nos, se determina que 0.043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la semivida de este is´otopo. 16. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300◦ F. Tres minutos despu´es su temperatura es 200◦ F. ¿Cu´anto demorar´a en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70◦ F?. 17. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamos que un fabricante estima que un nuevo operario producir´a A objetos el primer d´ıa de trabajo, y que a medida que va adquiriendo experiencia, producir´a los objetos m´as r´apidamente hasta que produzca un m´aximo de M objetos por d´ıa. Sea f(t), la cantidad de art´ıculos producidos el d´ıa t, para t ≥ 1. Suponga que el ritmo de producci´on f 0 , es proporcional a M − f(t). Entonces: 17.1) Deduzca una f´ormula para calcular la cantidad de art´ıculos producidos en un d´ıa cualquiera. 17.2) Suponiendo que M = 30, f(1) = 5 y f(2) = 8. Estime el n´ umero de art´ıculos producidos el vig´esimo d´ıa. 18. El carbono 14 (C14 ), es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5600 a˜ nos. Es importante en arqueolog´ıa porque el C14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinar el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal, si la concentraci´on de C14 en sus restos, es igual a la tercera parte de la que corresponde con un animal que vive actualmente. 19. Se analiz´o un hueso fosilizado y se encontr´o que conten´ıa la cent´esima parte de C14 . Determine la edad del f´osil. 20. Muchos creen que el sudario de Tur´ın que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de Jes´ us de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorg´o autorizaci´on para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios cient´ıficos independientes llegaron a la conclusi´on de que el manto tiene unos 660 a˜ nos. Edad que coincide con su aparici´on hist´orica. Con ´esta edad, determine ¿qu´e porcentaje de la cantidad original de C14 le quedaba en 1988?. 21. Una peque˜ na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦ C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90◦ C, si se sabe que aument´o 2◦ C en un segundo. ¿Cu´anto demorar´a la barra en alcanzar los 98◦ C? 22. Un term´ometro que est´a en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5◦ F. Despu´es de un minuto el term´ometro marca 55◦ F y despu´es marca 30◦ F. ¿Cu´al es la temperatura inicial de la habitaci´on? 23. Un term´ometro que indica una temperatura de 70◦ F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A trav´es de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el term´ometro despu´es de 12 minuto es de 110◦ F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145◦ F. ¿A qu´e temperatura est´a el horno? 24. A las 9:00 am. un term´ometro marca 70◦ F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15◦ F. A las 9:05 am. marca 45◦ F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´on donde la temperatura se mantiene a 70◦ F. Si a los 5 minutos sube 20◦ F, ¿cu´anto marca a las 9:20 am.?

Los siguientes son problemas para divertirse

6 25. Suponga que despu´es de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ısicas, pero hediondo a mono, estaba lo suficientemente sediento como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la que su respectiva progenitora lo ha rega˜ nado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera se da cuenta que el agua que asumimos es filtrada no estaba muy fr´ıa (unos 15◦ C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensi´on de que otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un poco del ya no tan preciado l´ıquido, que estaba un poco m´as fr´ıo (unos 10◦ C). Pasados otros cinco minutos, realiza un u ´ltimo intento y el agua ya se encontraba a 8◦ C. ¿A qu´e temperatura se encontraba la nevera?, asumiendo que la variaci´on de la temperatura del agua durante el tiempo que estuvo pegada a su boca es despreciable. 26. Hace algunos a˜ nos (no precisar´e cuantos, ya que podr´ıan ser muchos), unos arque´ologos usaron unos trozos de madera quemada (enti´endase chamuscada), es decir, de carb´on vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas prehist´oricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Seg´ un estos tipos, las pinturas esas eran “burda” de bonitas. Determine entonces, cu´antos a˜ nos ten´ıan estos trozos de carb´on, si ellos lograron observar que hab´ıan perdido el 85.5% del carbono C14 . 27. A un amigo m´ıo, hace alg´ un tiempo se le muri´o su suegra (q.e.p.d), este era el u ´nico disponible para retirar un documento que tiene que ver con la declaraci´on de muerte en la jefatura, para efectos de una herencia. Este pana, odiaba a su suegra y por supuesto se dirigi´o a la jefatura con una sonrisa que no le cab´ıa en la cara (el muy desgraciado). Al entrar, un empleado de la jefatura le pregunta la fecha en que falleci´o la occisa y este se acord´o (ya que en alg´ un momento de su vida pas´o por la universidad) que existe un profesor (como el de ustedes) que alguna vez le resolvi´o unos problemas que ten´ıan que ver con data de f´osiles y como a su suegra la consideraba un f´osil, intent´o sacar la cuenta. Se devolvi´o a donde estaba el cadaver (cementerio adentro) y le midi´o la concentraci´on de C14 , notando que le faltaba el 0.015 % de la concentraci´on original. Se devolvi´o a la jefatura, a eso de las 9:30 am. y le dijo al efectivo que hab´ıa muerto seis meses atr´as. El efectivo, le dijo que era un mentiroso y no le dio el papel (este muchacho tambi´en pas´o por la universidad). Podr´ıa determinar usted, hace cu´anto tiempo muri´o la se˜ nora. 28. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los d´ıas. Para ir a la construcci´on, este se˜ nor debe abordar el tren del metro en la estaci´on Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estaci´on Sabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una ´epoca del a˜ no donde los calorones son propios de menop´ausica prematura. El obrero, aborda el vag´on en el que el aire no funciona y con toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al se˜ nor, le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros y Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los dem´as viajeros. Cuando es atendido dentro del mismo vag´on (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontraba en los 39◦ C y el operador de la estaci´on (ir´onico el muchacho) le manifiesta que realmente est´a enfermo, ya que el vag´on se encuentra a unos confortables 19◦ C. A los 5 minutos, ya el se˜ nor ten´ıa 39.5◦ C. Determine si el se˜ nor estaba quebrantado de salud al entrar al vag´on. 29. Suponga que el d´ıa de ayer fu´e al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se le ocurri´o la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en los comerciales de T.V (cosa que nadie cree que es malta). El portu de la esquina, le vendi´o una fr´ıa y la otra caliente, ya que se le da˜ no la nevera. En realidad, la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23◦ C. Cuando usted lleg´o a su casa, lo primero que hizo fu´e introducirla en el “freezer” (enti´endase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a una temperatura de envidiables 2◦ C bajo cero. Como usted ten´ıa mucha sed, abri´o la nevera a los 10 minutos y se percat´o que la lata a´ un estaba en los 10◦ C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumosa, si la mejor temperatura para ingerirla es de 4◦ C. 30. Durante un d´ıa claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar, inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45 pm. y que la temperatura se encuentra a 23◦ C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27◦ C. Interrogando a los curiosos del lugar (que nunca faltan) encontr´o a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ıa le dijo: “al pasar una hora de escuchar los disparos sal´ı con mi term´ometro y Juansito ten´ıa 35◦ C y la lengua afuera, no ten´ıa zapatos y faltaba su cartera, pobre muchacho, el era de su casa”. Al escuchar el relato fu´e directamente donde el detective y le dijo: “ya s´e a que hora muri´o el occiso”. Determine aproximadamente, a qu´e hora muri´o Juansito.

7 31. Sabemos que en las c´arceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un d´ıa haciendo una pesquisa en Yare I, determinaron que en el pabell´on de la muerte (Pabell´on B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal oliente que sople mueren de asfixia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca seg´ un el chavo) y este dec´ıa, que le hab´ıa pasado algo con la tensi´on. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.5◦ C, lo cambiaron al pabell´on de las locas (Pabell´on G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuy´o en 2◦ C. Por si acaso, le volvieron a medir la temperatura pasados 2 minutos m´as (para ver si no era chachara del man este) y ten´ıa 37◦ C.¿A qu´e temperatura se encontraba el Pabell´on G? 32. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como bandera. Un cierto d´ıa, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ıa a Yoshi Toshia - el de la propaganda -). Este, ven´ıa de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga), bueno, el asunto es que el tipo ven´ıa super amotinado y se encontr´o a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le ha metido la mam´a de las patadas, por supuesto, el perro estir´o la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia “Er iluminao” (no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canad´a (estuvo preso), subiendo las escaleras, mir´o al matorral y hallo bien flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, dec´ıa: Chamo pana m´ıo!!!, te dieron bollo, snif, snif, snif (lloriqueaba el muchacho). Este antisocial, era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el C14 al c´anido en cuesti´on y determin´o con sus equipos rudimentarios que hab´ıa perdido el 0.0015% del “C-catolce” (como el dec´ıa). Determine usted hace cu´anto “Er Chino” le dio bollo al Rin Tin. 33*. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios, contrata a una “matraca” de gordo de unos 160 Kg., donde, el arn´es al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despu´es de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250 gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se parti´o en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ıo (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos 3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tard´o el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia al aire de tama˜ na humanidad es de 2 veces la velocidad instant´anea.

8 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Sumas de Riemann ∼ Integrales Definidas ∼ M´ etodos Num´ ericos

Pr´ actica 2 Prof. Andr´ es P´ erez

Parte I: Estimaci´on con sumas finitas 1. Calcule las sumas de Riemann seg´ un se indique, en las particiones que se presenten. √ 1.1) f(x) = x − 1, con la partici´on dada por P = {3, 3.75, 4.25, 5.55, 6, 7} y considerando los puntos: w1 = 3, w2 = 4, w3 = 4.75, w4 = 6, w5 = 6.5. x 1.2) f(x) = − + 3, con la partici´on dada por P = {−3, −1.3, 0, 0.9, 2} y considerando los puntos: w1 = −2, w2 = −0.5, 2 w3 = 0, w4 = 2. x2 1.3) f(x) = + 1 y el intervalo [−1, 2], se divide en seis subintervalos iguales, donde wk , es el punto medio del k-´esimo 2 subintervalo. x3 1.4) f(x) = + 2x + 2 y el intervalo [0, 2], se divide en ocho subintervalos iguales, donde wk , es el punto frontera de la 2 izquierda del k-´esimo subintervalo. 1.5) f(x) = 2x4 + 7x + 5 y el intervalo [−1, 4] se divide en diez subintervalos iguales, donde wk , es el punto frontera de la derecha del k-´esimo subintervalo. 2. Para el primer recuadro, delimitar el ´area de la regi´on sombreada aproximando las sumas superior e inferior, empleando rect´angulos de base 1. Para el segundo recuadro, utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el ´area de la regi´on √ √ √ 1 empleando el n´ umero dado de subintervalos y considerando las funciones y = x, y = x + 1, y = y y = 1 − x2 , x respectivamente.

9 3. Utilice la regla del punto medio A≈

µ ¶ n X xk + xk−1 f ∆x 2

k=1

con n = 4, para aproximar el ´area de la regi´on limitada por la gr´afica de la funci´on y el eje x, sobre el intervalo dado. 3.1) f(x) = x2 + 3

[0, 2]

3.2) f(x) = x2 + 4x

[0, 4]

3.3) f(x) = tan x

£ π¤ 0, 4

3.4) f(x) = sen x

£ π¤ 0, 2

4. Halle una aproximaci´on de las siguientes integrales definidas por medio de las sumas de Riemann, empleando el punto medio para wk y el valor establecido para n. Z1

Z8

2

4.1)

(x + 3x + 1) dx

con n = 4

4.2)

−1

Z6 4.3)

6

Z 2.4

x

e 4 dx

con n = 5

4.4)

2

3.5

con n = 5

(3x4 + 4x2 + 3x + 7) dx con n = 6

1.2

Z 8.7 √ 4.5)

dx x+1

x2 + 3x + 5 dx 5 x + 6x3 + 3

Z e2 con n = 4

4.6) e

1 dx ln x

con n = 5

Parte II: Sumas de Riemann con l´ımite 5. Determine el ´area de la regi´on entre la gr´afica de la funci´on y el eje m, sobre el intervalo indicado. Dibuje la regi´on. 5.1) f(m) = 3m

0≤m≤2

5.2) f(m) = m2

0≤m≤3

5.3) g(m) = 12 m

2≤m≤4

5.4) h(m) = 4m − m2

1≤m≤2

5.5) g(m) = 4m2 − m3

1≤m≤3

5.6) h(m) = m3 + 1

1≤m≤2

6. Calcule las siguientes integrales definidas utilizando la definici´on de Riemann. Luego verifique el resultado por el Teorema Fundamental del C´alculo. Z4 6.1)

Z3

(x2 + 2) dx

0

Z8 6.4)

6.3)

−1

Z2

(3x3 + 5x2 + 7x + 6) dx

Z5 6.6)

−1

Z π/2

Z8 sen 2x dx

6.8)

0

3

(2x + 3) dx 0

(2x2 + 5) dx

6.5)

3

6.7)

Z5

(3x2 + 5x − 1) dx

6.2)

(2x3 + 3x2 − 8x + 9) dx

0

Z π/4

dx 1 + x2

6.9)

sec2 x dx

π/6

7. Utilice la definici´on de Riemann en el intervalo [0, 5], para calcular la integral de las funciones f(x) dadas a trozos y compruebe el resultado usando f´ormulas apropiadas de geometr´ıa plana.      7.1) f(x) =

x

,

si 0 ≤ x ≤ 1

1

,

si 1 < x ≤ 3

    2x + 3 ,

si 3 < x ≤ 5

± 7.2) f(x) =

x + 2, si 0 ≤ x < 2 6 − x, si 2 ≤ x ≤ 5

10 8. Use la f´ormula

n X

¡α¢

cos

sen kx =

2

k=1

para calcular

Z π2

¡£ ¤ ¢ − cos n + 12 α ¡ ¢ 2 sen α 2

sen x dx

0

con una partici´on uniforme. 9. Utilice la definici´on de Riemann, para calcular

Ayuda: Considere wk =

√

Zb a

dx x2

xk xk−1 .

Parte III: Integrales Definidas 10. Utilice el Teorema Fundamental del C´alculo, para hallar las siguientes integrales. Z3 10.1)

Z 36

(ax2 + bx + c) dx

10.2)

0

4

Z0 10.4)

x2

p

Z π/2 x3 + 1 dx

10.5)

−1

Z8 ³

dx √ x

10.3)

sen2 3x. cos 3x dx

Z −1 10.6)

10.7)

(4x + 3 + cos x) dx

10.8)

0

1

Z 3π/4 10.10) π/4

−4

Z3

Z0

x2 + 1 √ dx x3 + 3x

Z1

cos x dx 1 + cos x

10.11) 0

1

´ dx

1

0

Z 3π/2

1

4x 3 + 2x− 3

10.9) −1

1 − x4 dx x2 dx x2 + 2x + 2

Z π/4

cosec 2x dx 2−x

10.12) 0

2 sen x √ dx sec x + ( sec x sen x)2

11. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Zx

Zx

11.1) F(x) =

(2t + 1) dt

11.2) F(x) =

−6

11.3) F(x) =

sen4 t tan t dt ; −

0

Zx p

π π − 2

2 + sen t dt

Zx 11.6) F(x) = 5

11.8) F(x) =

√ t2 + 3t + 5 1 + t2 dt ln(3t + 8)

Z x3 p

1 + t4 dt

x

1

12. Utilice el Teorema de Comparaci´on y Acotamiento para demostrar las siguientes desigualdades. Z2 12.1) 0 < 1

sen x dx ≤ ln 2 x

Z e2 12.3) 1 ≤ e

dx ≤ e(e − 1) ln x

12.2) 1 ≤

Z1 p 0

Z3 √

12.4) 0 < 1

1 + x4 dx ≤

6 5

8 x2 + 1 dx ≤ 3 3 x + 3x + 7

11 13. Sea f ∈ C[a, b], entonces, demuestre que:

¯Z ¯ b ¯ f(x) dx ¯ ¯ a

¯ Z ¯ b ¯ | f(x) | dx ¯≤ ¯ a

14. Utilice una sustituci´on adecuada, o las indicadas, para calcular las siguientes integrales definidas. 14.1∗ )

Za p

Z π/2 a2 − x2 dx

[x = a sen θ]

14.2)

0

√

14.3)

0

Z −1 14.4∗ )

Z π/6 sen x sen(cos x) dx

3−6 3

Z1

2x + 3 dx 2 (x + 4x + 5)2

15.∗∗ Realice la sustituci´on u = tan

[x + 2 = tan θ]

14.5)

0

Z1

x sen(πx2 ) dx

14.6) −2 3

0

³x´ 2

sen3 x cos x dx dx √ (2 + x) 1 + x

, para demostrar que: Z π/2 0

³√ ´ dx 4 = ln 3 3 + 5 cos x

16. Demuestre que: 16.1) Si f es una funci´on par, entonces:

Za

Za f(x) dx = 2

−a

16.2) Si f es una funci´on impar, entonces:

f(x) dx 0

Za f(x) dx = 0 −a

17. Utilice el ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales. Zπ

Z1

17.1)

(sen x + cos x) dx

17.2)

−π

−1

Za p a2 − x2 dx

17.4)

−a

Z3 17.5) −3

x3 dx (1 + x2 )4 x2 + 1 √ dx 3 x3 + 3x

Zπ 17.3) −π

Z1

(1 + 25x − 7x2 + 5x3 ) dx

17.6)

18. Determine el error en la siguiente demostraci´on y halle el valor verdadero. Zπ r Zπ √ 1 + cos 2x dx = cos2 x dx 2 0 0 Zπ = cos x dx = sen x 0

(x5 + | sen x|) dx

−1

¯π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

= sen π − sen 0 = 0 19**. Utilice integraci´on por partes, para calcular las siguientes integrales definidas. Z1 19.1)

ln(x +

Z π/4

p

1 + x2 ) dx

19.2)

0

x arctan2 x dx

Z7 19.3)

0

Z π/4 ∗

19.4 )

3

sec x dx

Z π/4 19.5)

0

19.7 )

e 0

2

x. sec x dx

Z4 19.6)

π/6

Z9 ∗

√ x

Z π/4 dx

19.8) π/6

(2x + 5)e−x dx

3

√

x. ln x dx

1

x cos x dx sen2 x

Ze ∗

19.9 )

sen(ln x) dx 1

12

Parte IV: Teorema del Valor Medio Integral 20. Encuentre los n´ umeros que satisfacen la conclusi´on del Teorema del Valor Medio y adem´as encuentre el valor promedio de f en [a, b]. Z1 20.1) 0

Z3

dx 3 x +1

Z −1 20.4)

8x

−3

Z4

Z8

Z2 dx = −3

20.5)

−1

Z4

3

(4x − 1) dx = 14

20.6)

1

Z1

√ ( x + 1) dx

20.8)

0

√ 3 x + 1 dx = 54

20.3)

−1

−2

20.7)

(3x2 − 2x + 3) dx = 32

20.2)

√ (2 + 3 x) dx = 20

1

Z2

(2x + 1)2 dx

20.9)

−1

(3x3 + 2) dx

−1

21. Resuelva los siguientes problemas de aplicaciones al Teorema del Valor Medio: 21.1) Calcule el valor medio de la funci´on f en el intervalo [a, b] indicado: a)

f(x) = x2 + 3x − 1;

[−1, 2]

b) f(x) = x3 ;

[−1, 1]

21.2) Supongamos que un estudio indica que, entre las 13:00 horas y las 16:00 horas de un dia laborable t´ıpico, la velocidad (en Km/h) del tr´afico de una cierta salida de autopista viene dada por la f´ormula v(t) = 2t3 − 21t2 + 60t + 20, donde t es el n´ umero de horas despu´es del mediod´ıa. Halle la velocidad media del tr´afico entre las 13:00 y las 16:00 horas. 21.3) Supongamos que x horas despu´es de medianoche, la temperatura en una cierta ciudad de Europa Central obedece aproximadamente a la f´ormula 1 T (x) = 2 − (x − 13)2 7 Halle la temperatura media entre las 2:00 am y las 2:00 pm y adem´as, la hora en que se alcanza la temperatura media. 21.4) Sea P un punto que se mueve sobre una recta coordenada y tiene una funci´on continua de velocidad v. Demuestre que el valor medio de v en [a, b], es igual a la velocidad media durante el intervalo de tiempo [a, b].

Parte V: M´etodos Num´ericos 22.

La figura muestra la tasa media de flujo de agua (litros/minuto) en un tanque en un per´ıodo de 10 minutos. Utilice 10 subintervalos en cada caso y estime la cantidad total de agua que fluye en el tanque durante ese per´ıodo empleando: 22.1) La aproximaci´on del trapecio. 22.2) La aproximaci´on de Simpson.

23. La integral el´ıptica

r √ Z π2 2 1 − sen2 θ dθ 8 3 3 0

proporciona la circunferencia de una elipse. Emplear la regla de simpson con n = 8, para aproximar la circunferencia.

13 24.

Utilice la regla parab´olica, o Regla de Simpson, para aproximar la cantidad de agua requerida para llenar una piscina, cuya forma es identica a la de la figura y que adem´as, tiene una profundidad de 6 pies (todas las dimensiones que aparecen en la figura est´an en pies).

Z3 25. ¿Cu´antas divisiones son necesarias para estimar el valor de la integral 1

1 dx, con una presici´on de 0.00005, usando: x

25.1) La regla del trapecio? 25.2) La regla de Simpson? 26. En los problemas (26.1) y (26.2), utilice la aproximaci´on que proporciona la Regla del Trapecio y la que proporciona la Regla de Simpson, para estimar la integral de la funci´on f en el intervalo [a, b], donde f es la funci´on tabulada. 26.1) x f(x)

a = 1.00 3.43

1.25 2.17

1.50 0.38

1.75 1.87

2.00 2.65

2.25 2.31

2.50 = b 1.97

26.2) x f(x)

a=0 23

1 8

2 −4

3 12

4 35

5 47

6 53

7 50

8 39

9 29

10 = b 5

27. Utilice la regla trapezoidal para aproximar el ´area del terreno al borde del lago, como lo muestra la figura. Las dimensiones est´an en pies.

28. Utilice la regla trapezoidal y la regla parab´olica para hallar aproximaciones de las siguientes integrales, con el n´ umero de subintervalos indicado. Z1 28.1)

√

1 + x dx;

n=4

28.2)

0

x

cos(e ) dx;

Z3 n = 10

28.5)

0

Z2 28.7) 1

Z3 1 + x3 dx;

n=6

28.3)

0

Z 1/2 28.4)

Z2 p

0

4

x dx;

Z1 n=8

28.6)

1

(1 + x)−1 dx; n = 6

Z4 28.8) 2

dx ; 1 + x4 2

e−x dx;

n=8

n=6

0

√

1 + sen x dx; n = 4

28.9)

Z π2 π 4

sen x dx; n = 6 x

14 29. Determine el valor de n que debe satisfacer la Regla de Simpson para que en la aproximaci´on de la integral Z8 3

dx 7 − 3x

se cometa un error menor a 0.0001. 30. Encuentre el m´ınimo valor de n, para que el valor de la integral indicada sea menor que el valor inidicado, si el proceso usado es el de los trapecios. Z1 30.1) 1/2

dx x

Z3 0.0001

30.2)

(1 + x)−1 dx

0.001

0

31. Determine n, tal que, en la regla trapezoidal se cometa un error En , menor que 0.01, en el valor aproximado de la integral. Z 1.2 31.1)

Z 0.5

2

e−x dx

31.2)

0

Z2

2

ex dx

31.3)

0

√

Z2 sen x dx

31.4)

1

√ sen x dx

1

32. Determine n, tal que, la regla trapezoidal de un error En , menor que 0.005. Despu´es, use este valor para calcular el valor aproximado de la integral. Z4 32.1) 2

Z4

1+x dx 1−x

32.2)

33. Calcule un valor aproximado de π, mediante la siguiente integral Z1 0

usando la regla parab´olica con n = 10.

ln x dx 2

4 dx 1 + x2

UNIDAD II Pr´actica 3 M´etodos de integraci´on

16 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´ actica 3 Prof. Andr´ es P´ erez

M´ etodos de Integraci´ on

Parte I: Integraci´on Inmediata 1. Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando integraci´on inmediata. Z 1.1)

8x2 + 6x + 4 dx x+1

Z

(nx) Z

1.7)

n−1 n

dx

dx √ 8 − x2 Z

1.10) Z 1.13) Z 1.16)

1.19)

sen ex dx e−x

Z 1.3)

1.22)

Z 1.8)

2x √ dx 1 − 4x

Z

Z

x3 − 3x2 + 1 √ dx x

1.23)

x tan(x2 + 1) dx

1.26)

Z

sec x dx

1.31) Z 1.34) Z

√ 3

1 x+ √ 3 x

1.12) Z 1.15)

¶

Z dx

√ √ x( x + 3 x) dx

1.18) Z 1.21) Z

(xm − xn )2 √ dx p x

1.24)

1 + cos2 x dx 1 + cos 2x

1.27)

Z

Z 2

Z

Z µ ¶x 8 dx 5

1.20)

2 + 6x + 6−x dx (2−x + 3x )2

Z 1.32) Z

x2 dx x+1

1.35)

1 + tan x dx 1 − tan x

1.38)

ln x + ln 5 dx 5x ln 5x 3 sen x dx 2 cos2 x (1 + ex )2 dx 1 + e2x 1 − x4 dx x2 + 1 (x2 + 1)(x2 − 2) √ dx 3 x2 dx 1 + cosh x

Z 2

1.29)

x3 + 2x2 + x + 4 dx x2 + 1 Z

Zµ

Z 1.28)

1.9)

sec 3x. tan 3x dx

1.17)

dx +7

x2 Z

ex (x − 1) dx x2

1.11)

Z 1.25)

1.6)

Z

1.14)

(ax − bx )2 dx (ab)x

Z 3x .ex dx

1.5)

2

ln(ex −4 ) dx x−2

√ Z √ ( a − x)3 √ dx ax Z

1.37)

dx √ x−1+ x+1

Z

Z 1.4)

√

1.2)

cosec x dx

1.30)

√ x − 1 + x2 √ dx 1 − x4

1.33)

(2x + sec x. tan x) dx Z

Z

x2 − 3 dx 7 + x2

1.36)

senh 2x dx

1.39)

Z

Z

cos x dx (7 + sen x)2 x3 dx 1 + x4 dx 1 + cos x

17

Parte II: Sustici´on simple (Cambio de Variables) 2. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de sustituci´on: Z 2.1)

e2x dx 1 + ex

Z 2.2)

Z 2.4)

Z e

Z 2.7)

sen2 x

sen 2x dx

dx x e + e−x Z

2.10) Z 2.13) Z 2.16) Z 2.19) Z 2.22)

sen x cos x √ dx 2 − sen4 x

2.5)

2.8)

ax dx ax + 1

2.17)

x ln(1 + x2 ) dx 1 + x2

2.20)

2.34)

Z

Z

tan3 2x. sec4 2x dx

2.26)

Z

2.37) Z

2.29)

cos(3x − 4y) dx

2.32)

Z

2.40) Z 2.43)

√ tan x √ dx x sec3 x + esen x dx sec x

x3 + 2x2 + x + 4 dx x2 + 1

2.6)

2.9)

Z 2.35) Z 2.38) Z 2.41) Z 2.44)

dx x ln x ln(ln x) dx x cos2 (1 + ln x) sen(4t − 1) dt 1 − sen2 (4t − 1) Z

2.12) Z

x(ax + b) dx

2.15)

√ x x − 1 dx

2.18)

dx cosec x. cos2 x + 2 cos x + 1

2.21)

Z

Z

2.24)

ln(x + 1) − ln x dx x2

2.27)

x2 + x dx 4 − 3x2 − 2x3

2.33)

x dx 1 + x4

2.36)

√

sen 2x dx 2 − cos2 x

x2 √

x+1 dx + 2x + 3

dx x(1 + x)

x2 Z

dx + 15

sec x. tan x √ dx sec2 x + 1

Z x cotan(x2 + 1) dx

2.39)

√

dx q √ (1 + x2 ) ln(x + 1 + x2 )

dx cos2 x(3 tan x + 1)

Z

√

arctan 2x dx 1 + 4x2

x7 dx (1 − x4 )5

Z 2.30)

x−

x dx (x2 + 3) ln(x2 + 3)

Z

x+1 1 dx x x2

tan x dx 1 − sen2 x

ln(x + 1) − ln x dx x(x + 1)

Z

7x3 dx (3 + 2x)1999

Zr

p x2 + 4 dx

sen x − cos x dx sen x + cos x

cos 2x dx

√

Z 2.23)

x2 − 2x + 1 dx 1−x

sen x cos x

n

Z

arccos2 x √ dx 1 − x2

Z √ 5

Z

Z

Z 2.31)

e Z

2.14)

x3

2.3)

Z

2.11)

x3 dx 1 + x8

Z 2.28)

sen x ln(sec x) dx cos x

Z

Z

Z 2.25)

earctan x + x ln(1 + x2 ) + 1 dx 1 + x2

Z 2.42) Z 2.45)

dx x ln2 x x x tan3 . sec2 dx 3 3

18

Parte III: Integraci´on por Partes (IPP) 3. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de integraci´on por partes: Z 3.1)

Z sec3 x dx

3.2)

x. sec2 x. tan x dx

3.5)

ln(x2 + 1) dx x2

3.8)

Z 3.4) Z 3.7)

Z

r

Z arcsen

x dx x+1

Z sen Z 3.22) Z 3.25) Z 3.28)

√

√

Z

√

2

x2 dx a2 − x2

3.29)

1−x 1+x

3.32)

¶

Z dx

3.35) Z

(ln x)2 dx

3.38)

x tan2 2x dx

3.41)

x cos x dx sen2 x

3.44)

Z

x.(arctan x)2 dx Z

3.15)

³ ´ p ln x + 1 + x2 dx

x2 ln x dx

3.18) Z

p

x2 + 4 dx

3.21)

arccos x dx Z

(xex + 2x )2 dx 2

3.24)

5x2 . arctan 2x dx

3.27)

(x2 + 5x + 6) cos 2x dx

3.30)

5x sen 5x dx

3.33)

³ p ´ ln x 1 + x2 dx

3.36)

Z 3.26)

2

x3 .ex dx

3.12)

earcsen x dx Z sen Z

Z

µ

x dx cos2 x

Z

x3

3.23)

dx

x) dx

Z dx

Z x

x ln

Z

³x´

3x . cos x dx

3.17)

Z

3.43)

√

Z x ln x dx

Z

3.40)

x. arccos

3.20)

x arcsen x dx

3.37)

Z

√

Z

3.14)

Z

3.34)

3.9)

Z x + 1 dx

√ arctan( x + 1) dx

e

3.31)

sen(ln x) dx

x ln(1 +

Z (arcsen x)2 dx

3.19)

3.6)

3.11)

Z 3.16)

x arctan x √ dx 1 + x2

Z x. sec x. tan x dx

3.13)

3.3)

Z

Z 3.10)

Z

ln x dx x2

√

x − 1 dx

√ arcsen x √ dx 1−x

Z x sen x cos x dx Z

sen2 x dx ex

Z

xex dx (1 + x)2

3.39)

cos x ln(sen x) dx

3.42)

(x2 − 2x + 3) ln x dx

3.45)

Z

sec5 (ax + b) dx Z

Z

x cos2 x sen x dx Z e2x sen 4x dx

19 4. Utilice el m´etodo de integraci´on por partes para demostrar las siguientes f´ormulas de reducci´on: Z cosn x dx =

4.1)

1 n−1 cosn−1 x sen x + n n

Z

Z cosn−2 x dx

Z n

ln x dx = x ln x − n lnn−1 x dx

4.2)

n

Z

Z n x

x e dx = x e − n xn−1 ex dx

4.3) Z

2na2 x(x2 + a2 )n + (x + a ) dx = 2n + 1 2n + 1 2

4.4)

n x

Z

2 n

(x2 + a2 )n−1 dx,

1 2

n 6= −

5. Utilice el m´etodo de integraci´on por partes, para hallar una expresi´on para las siguientes integrales: Z

Z xn . lnm x dx

5.1) Z

sec x dx Z

5.7)

Z n

5.5)

sen x dx

ax

(x + b) .e

dx

5.8)

senm x cosn x dx

5.6)

Z n

xn . cos ax dx

5.3)

Z n

5.4)

Z xn . sen ax dx

5.2)

Z ax

e

cos bx dx

5.9)

eax senn bx dx

6. Utilice cualquier m´etodo expuesto anteriormente, para hallar las siguientes integrales: Z 6.1) Z 6.4)

Z (ax2 + bx + c).ekx dx

6.2)

7x dx (3 − x2 ) ln(3 − x2 )

6.5)

Z 6.7)

x arctan

p x2 − 1 dx

Z

Z 6.8)

Z

Z √

6.13)

dx 2 x +x+1

Z 2

6.16) Z 6.19)

dx sec x(2 sen x + 3)

6.6)

dx 4x2 + 8x + 4

6.9)

√

6.11) Z 6.14) Z

x ln 1 − x dx

6.17)

sen3 x √ dx 5 cos3 x

6.20)

Z 6.22)

6.3)

Z (cos x + 3x + 7)e3x dx

6.10)

√

cotan x dx 1 − 3 sen2 x

6.15)

³π

´ ³π ´ − x sen + x dx 4 4

ex dx e2x − 6ex + 13

2

ax 3x dx dx x2 + 4x + 5

Z

arctan x dx x2

sen Z

Z

6.12)

Z

6.23)

R

cosec 2x dx 2−x

√ 1 − 3 2x √ dx 2x

√ cos x √ dx x

Z

x dx a2 + b2 x2

√

2 sen x √ dx sec x + ( sec x sen x)2

Z x3 arcsen Z 6.18)

1+

Z √

6.21) Z 6.24)

1 dx x

√

cotan x dx sen2 x

5x dx 1 − x4

dx (cotan x + 1) sen2 x

20

Parte IV: Potencias Trigonom´etricas 7. Resuelva las siguientes integrales de potencias trigonom´etricas: Z

Z

7.1)

sec4 (5x) dx

7.2)

tan3 (2x). sec(2x) dx

7.5)

Z

Z sen4 (3x). cos2 (3x) dx

7.3)

sen3 x. cos3 x dx

7.6)

tan x. sec4 x dx

7.9)

Z

7.4) Z

sen2

7.7)

Z 7.10)

³x´ 2

sen3 Z

7.16)

³x´ 2

³x´ 2

cos5

(cos ax + sen ax)2 dx Z

7.8)

Z

³x´ 2

dx

7.14)

Z³ x´ x tan3 + tan4 dx 3 3

7.12) Z 7.15)

Z

dx 1 − sen x

7.17)

cotan5 x sen2 x dx

7.20)

sen2 x dx cos3 x Z

cosec3 x dx

7.11)

Z 7.19)

Z

Z dx

√ sen x cos x dx

Z 7.13)

cos2

cotan3 (2x) dx

dx cos6 x 1 + tan2 2x dx sec2 2x

Z cotan x cosec3 x dx

7.18)

tan3 x sec6 x dx

7.21)

Z

sen3 3x cos3 3x dx Z (4 − sen 2x)2 dx

Parte IV: Sustici´on trigonom´etrica 8. Utilice sustituci´on trigonom´etrica, para hallar una expresi´on para las siguientes integrales: Z√ 2 Z Z x2 dx x +7 √ 8.3) 8.1) dx 8.2) dx 2 3/2 2 x (16 − x ) 2x 4x − 1 Z√ 8.4) Z 8.7)

1−x √ dx x

dx 2 (x − 2x + 5)3/2 Z

8.10) Z 8.13)

Z 8.22)

2x − 3 dx 2 2x − 6x + 1 dx √ 2 x 25 − x2

√ Z

8.14)

dx

3

Z 8.8)

x4 − 1 dx x(x2 + 2)2

x2 + (2 cos β)x + 1

Z

x

8.11)

p

8.19)

8.5)

ex dx e2x + ex + 2

Z 8.16)

Z

x2

− 4 dx

x2 dx 6x − x2

Z

8.15)

√

2x + 6 dx x2 + 6x + 1

8.18)

√

ax ln a dx 2x a + 2ax + 1

8.21)

dx √ x 4x2 − 2

x2 Z

x dx (3x2 + 9x + 10)2

Z 8.20)

x2 dx 25 − 3x2

Z 8.9)

8.12)

Z 8.17)

8.6)

dx x 4x2 + 9 √

Z

8.23)

Z

p

3x − 1 dx + 2x + 2

x dx 12 + 4x − x2

Z √

ex dx 4 − e2x

Z x Z √ Z 8.24)

dx

p

2

ln x + 3 ln x − 1

x3 dx 16 + 5x2

(9 − x2 )3/2 dx x2

21

Parte VI: Fracciones Simples o Fracciones Parciales 9. Utilice el m´etodo de fracciones simples, para calcular las siguientes integrales: Z 9.1) Z 9.4) Z 9.7)

9.2)

3x + 2 dx x(x2 + 1)

9.5)

4x2 − 5x dx (x2 − x)(x2 − x + 1)2 Z

9.10) Z 9.13) Z 9.16) Z 9.19) Z 9.22) Z 9.25) Z 9.28) Z 9.31) Z 9.34) Z 9.37) Z 9.40) Z 9.43)

Z

2x − 1 dx (x − 2)(x − 1)

dx (x + a)(x + b)

Z

Z 9.8)

9.6)

1 dx 2 (x − 1) (x2 + 1)2

Z

dx 3 x +1

9.17)

3x − 8 dx x3 + x2 + 4x + 4

9.20)

Z

Z

√

Z 9.23) Z

x2 + 2x + 2 dx 27x3 − 1

9.26)

6x2 + 22x − 23 dx (2x − 1)(x2 + x − 6)

9.29)

x3 − 8x2 − 1 dx (x − 1)(x + 3)(x2 + 1)

9.32)

Z

Z 9.35)

x4 dx x4 − 1

9.38)

5x3 + 2 dx 3 x − 5x2 + 4x

9.41)

Z

Z

Z 9.44)

2x2 + 41x − 91 dx (x − 1)(x + 3)(x − 4)

x2 dx (x + 3)2 (x + 4)2

Z (x2 Z 9.9)

x3

x3 Z

9.15)

x3 − 1 dx 4x3 − x

9.18)

x3 + x − 1 dx (x2 + 2)2

9.21)

x2 + x + 1 dx (ax + b)(ax2 + b)

9.24)

x

Z

x2 − 8x + 7 dx (x2 − 3x − 10)2

x4

x3 − 6 dx − 6x2 + 8

Z

9.27) Z 9.30)

2x3 + 5x2 + 16x dx x5 + 8x3 + 16x

9.33)

Z

Z

dx x3 + x2 + x

9.36)

dx (x + 1)(x2 + x + 1)2

9.39)

x3 + x + 1 dx x(x2 + 1)

9.42)

x (x +

Z

x2 dx (2x2 + 2x + 1)2

dx x(x3 + x2 + x)

3x − 1 dx − 6x2 + 2x − 12

5x2 + 6x + 9 dx (x − 3)2 (x + 1)2

Z

dx

x4 dx − 1)(x + 2)

3x − 1 dx + 2x2 + 2x

Z 9.12)

dx x4 + 1

x3 + 2x2 + x + 2 Z

x+3 dx 4x4 + 4x3 + x2

dx x(x4 + x2 + 1)

x2 + 5x + 3 dx (x − 4)(x + 7)(3x + 1)

Z

9.14)

2x + 2 √ √ dx ( 3x + 3)( 5x + 5)

9.3)

9.11)

dx (x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5)

Z

x5 + x4 − 8 dx x3 − 4x

Z

9.45)

+ 1)2

dx

2x3 + 9 dx (x2 + 3)(x2 − 2x + 3) dx x(3 − ln x)(ln x − 1) 3x4 − 2x2 + 3x + 5 dx (x + 1)(x2 − 1)2 3x2 − x + 1 dx x3 − x2 dx dx (x − 2)(3x2 + x − 1)2

Z 4x3 Z

1)3 (x2

x3 − 1 dx + 4x2 − x − 1

x2 dx (x − 2)7

22

Parte VII: Integrales de funciones irracionales 10. Utilice una sustituci´on adecuada, para hallar las siguientes integrales de funciones irracionales: Z 10.1)

dx √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1

Z √ x−1 10.4) √ dx 3 x+1 Zr 3

10.7) Z 10.10)

x+1 dx x−1

dx √ 1+ 3x−2

Z 10.13)

√

dx √ 2x − x + 4

Z 10.2) Z 10.5) Z 10.8)

x √ dx ax + b

Z √

x dx x+2

10.3)

x+1+2 √ dx (x + 1)2 − x + 1

Z r x−1 10.6) x dx x+1

x+3 √ dx x2 2x + 3

10.9)

√

Z

Z√

x+1 dx 1−x

10.11) Z 10.14)

dx √ √ √ 3 x x(1 + 3 x)2

dx √ (2 − x) 1 − x Z √

10.12) Z 10.15)

dx √ x− 4x

dx p√ x+1

Parte VIII: Sustici´ on Universal ¡ ¢

11. Utilice la sustituci´on u = tan x2 , u = tan x, u = sen x ´o u = cos x, para hallar las siguientes integrales de funciones racionales en t´erminos de las funciones sen x y cos x: Z 11.1) Z 11.4) Z 11.7)

11.2)

dx sen x + cos x

11.5)

dx a cos x + b sen x Z

11.10) Z 11.13) Z 11.16) Z 11.19) Z 11.22) Z 11.25)

Z

dx 1 + sen x + cos x

Z

Z 11.8)

11.3)

sen x dx 1 − sen x

11.6)

1 + tan x dx 1 − tan x Z

dx sen2 x + 3 sen x cos x − cos2 x

11.11)

dx 6 − 5 sen x + sen2 x

11.14)

3dx 3 + 2 sec x

11.17)

sen2 x dx 1 + sen x

11.20)

dx (2 − sen x)(3 − sen x)

11.23)

sen x dx (1 − cos x)2

11.26)

Z

dx 3 + 5 cos x

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z 11.9)

cos x dx 1 + cos x dx 8 − 4 sen x + 7 cos x dx 1 + 3 cos2 x Z

cos 2x dx cos4 x − sen4 x

11.12)

cos x dx sen2 x − 6 sen x + 5

11.15)

dx 5 + 4 cos 2x

11.18)

sen 2x dx sen x + cos x

11.21)

dx 3 sen2 x + 5 cos2 x

11.24)

cos 2x dx sen4 x + cos4 x

11.27)

Z

Z

Z

Z

Z

1 − sen x + cos x dx 1 − sen x − cos x dx 3 sen2 x + 5 cos2 x 2dx 3 sen 2x + 1 dx (2 + cos x) sen x dx 2 sen x + cos x + 3 1 + 2 sen x cos x dx sen x + cos x

UNIDAD III Pr´acticas: 4 y 5 Aplicaciones de la integral definida: • • • •

´ Areas de regiones planas S´olidos de Revoluci´on Longitud de arco y superficies de Revoluci´on Sistema de Coordenadas Polares

24 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´ actica 4

´ Areas ∼ Vol´ umenes ∼ Longitud de arco ∼ Superficies de revoluci´ on

Prof. Andr´ es P´ erez

´ Parte I: Areas 1. Halle el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de las funciones y + 4 = x2 y y − x = 2. 2. Halle el ´area de la regi´on encerrada entre las par´abolas x = y2 y x = −2y2 + 3. 3. Calcule el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de y = x + 1, y = −x + 1 y y = 2x − 4. 4. Calcule el ´area de la regi´on limitada por f(x) = −2x2 + 8x − 7 y g(x) = x − 4. 5. Halle el ´area de un circulo de radio r. 6. Calcule el ´area de la regi´on R, limitada por las curvas x =

p

16 − y2 y x2 = 6|y|.

7. Considere la regi´on limitada por las curvas x = (y + 1)2 − 1 y x = 1 − |y + 1|. Halle el ´area de dicha regi´on. 8. Halle el valor positivo de b, para que el ´area de la regi´on limitada por las curvas x = −y2 + 3y

y

y = x + b2 − 1

sea 36 m2 . 9. Encuentre el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de las funciones y = | sen x| y y = 1, con 0 ≤ x ≤ 2π. 10. Determine el ´area de la regi´on limitada por: y = cos x; y = sen x y 0 ≤ x ≤ 2π. 11. Considere la regi´on R, limitada por las siguientes gr´aficas y − x = 6; y = x3 y 2y + x = 0. Encuentre el ´area de dicha regi´on. 12. Determine el ´area de la regi´on acotada por las siguientes curvas y = ex ; y = e−x y x = ±1. 13. Halle el ´area de la regi´on acotada por las gr´aficas de las siguientes curvas y = x3 − x y y = x. √ 14. Determine el ´area de la regi´on encerrada por las gr´aficas de las siguientes curvas y = x y y = x3 . 15. A continuaci´on se da una regi´on R ⊂ R2 , limitada por ciertas curvas. Hallar el ´area de R.  ¯ ¯ y = x3   ¯ ¯ 15.1) R = (x, y) ∈ R2 ¯ y = 8  ¯  ¯ x=0  ¯ ¯   ¯   ¯ 2¯ 15.3) R = (x, y) ∈ R ¯  ¯   ¯  ¯

  

 ¯ ¯ y = x2 + 2x   ¯ ¯ 15.2) R = (x, y) ∈ R2 ¯ 3y = 10 − x  ¯  ¯ x = 2y

 

y = x2 + 8

    

y = (x − 4)2  y=x−2    x=0

 ¯ ¯   ¯   ¯ 2¯ 15.4) R = (x, y) ∈ R ¯  ¯   ¯  ¯

15.6) R =

¯ ² ¯ y = sen x 2¯ p (x, y) ∈ R ¯ ¯ y = π 2 − x2

 ¯ ¯ y = cos x  ¯ 2¯ 15.8) R = (x, y) ∈ R ¯  ¯ y = tan x

± 15.7) R =

 

        

¯ ² ¯ y = x2 − 3x ¯ (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ y = x3 − 3x2

¯ ² ¯ 3y = 3x − x2 ¯ (x, y) ∈ R2 ¯ ¯ x = 2y

±

± 15.5) R =

y = sen x y = sen 2x x=0 x=π

  

, en IIc

  

25

Parte II: S´olidos de Revoluci´on 16. Halle el volumen del s´olido de revoluci´on, que se genera al hacer girar la regi´on acotada por las gr´aficas de las siguientes funciones alrededor del eje indicado. 16.1) x = y2 ;

y=x−2

alrededor del eje

x=0

alrededor del eje

x=1

alrededor del eje

y=2

alrededor del eje

x=4

alrededor del eje

y=0

alrededor del eje

x=0

alrededor del eje

x = −3

x = (y + 1)2 − 1

alrededor del eje

x=4

y = sen x

alrededor del eje

x=5

alrededor del eje

x = −5

y=x

alrededor del eje

y=0

y=x−2

alrededor del eje

x=0

alrededor del eje

x=1

alrededor del eje

y=1

alrededor del eje

x=0

16.2) y = 4x2 ;

y = 8 − 4x

16.3) 16y = 3x2 + 48 ;

16y = x2 + 80

16.4) x = 4 + 6y − y2 16.5) y = x2 + 2 ; 16.6) xy = 2 ; 16.7) g(x) =

√

2y = x + 2 ;

x = 0;

x=1

y=6

f(x) = x2

x;

16.8) x = 1 − |y + 1| ; 16.9) y =

y = 1;

x = 0;

p π2 − x2 ;

16.10)

y = −x2 + x + 12 ;

16.11)

√ y = 2 x;

16.12)

x = y2 ;

16.13)

y = 4x2 ;

16.14)

y = −x2 + x + 12 ;

16.15)

1=

16.16)

y = x2 + 2 ;

2y = x + 2 ;

x = 0;

x=1

alrededor del eje

y=0

16.17)

y = x2 + 2 ;

2y = x + 2 ;

x = 0;

x=1

alrededor del eje

x=0

16.18)

y=

1 ; x

alrededor del eje

x = −5

16.19)

1=

x2 y 2 + 4 9

alrededor del eje

x=3

16.20)

y = 2 − |x| ;

alrededor del eje

y=2

y=x−4

y = 8 − 4x y=x−4

x2 y 2 + 4 9

x = 1;

x = 2;

y=0

p y = − 4 − x2

26

Parte III: Longitud de Arco 17. Calcular la longitud de arco de las siguientes funciones en los valores indicados. 17.1) y = x2 −

ln x 8

entre

x=1

y

x=e

entre

(0, 0)

y

(1, 1)

entre

x=1

y

x=4

entre

x = 1;

y

x=2

entre

x=8

y

x = 27

entre

x=1

y

x=4

entre

x=1

y

x=8

entre

y = −2 y

y = −1

17.9) 30xy3 − y8 = 15

entre

8 ( 15 , 1)

y

( 271 240 , 2)

17.10) 12xy − 4y4 = 3

entre

7 ( 12 , 1)

y

( 67 24 , 2)

17.2) y2 − x = 0 17.3) y = 5 −

17.4) y =

√

x3

1 x3 + 12 x

17.5) y = 5x2/3 − 10

17.6) y =

x4 + 3 6x r ³

√ 3

17.7) y =

4−

17.8) x =

y4 1 + 2 16 2y

x2

´3

Parte IV: Superficies de Revoluci´on 18. Determine el ´area de la superficie de revoluci´on generada al girar la curva dada en torno al eje indicado. 18.1) y =

√

x

con

0≤x≤1

alrededor del eje

x

18.2) y =

1 x5 + 12x3 5

con

1≤x≤2

alrededor del eje

y

18.3) x =

y4 1 + 2 8 4y

con

1≤y≤2

alrededor del eje

x

18.4) y =

2 3/2 x 3

con

1≤x≤2

alrededor del eje

y

con

0≤x≤2

alrededor del eje

x

18.5) y = (2x − x2 )1/2

27 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´ actica 5 Prof. Andr´ es P´ erez

Coordenadas Polares 1. Grafique las siguientes funciones dadas en coordenadas polares. π 6

1.1) r = 5

1.2) θ = −

1.4) r = 4(1 − sen θ)

1.5) r = 8 cos 3θ

1.7) r2 = 9 sen 2θ

1.8) r =

1.10) r =

2 θ

1.13) r = 3 sen 3θ

θ 2

1.3) r = 2 cos θ 1.6) r2 = 4 cos 2θ 1.9) r = eθ

1.11) r = 4 − 4 cos θ

1.12) r = 4 cos 2θ

14) r = 6 sen 3θ

1.15) r = −

1 θ

2. Determine el ´area de la regi´on dentro de la imagen del limaz´on r = 2 + cos θ. 3. Determine el ´area de un p´etalo de la rosa de cuatro p´etalos r = 4 sen 2θ. 4. Determine el ´area de la regi´on fuera del cardioide r = 1 + cos θ y dentro del c´ırculo r =

√

3 sen θ.

5. Determine el ´area de la regi´on fuera del ciclo menor y dentro del ciclo mayor del limaz´on r = 3 − 6 sen θ. 6. Determine el ´area de la regi´on fuera del cardioide r = 2 + 2 sen θ y dentro del cardioide r = 2 + 2 cos θ. 7. Determine el ´area de la rosa de tres p´etalos r = 4 cos 3θ en la regi´on encerrada por ella.

UNIDAD IV Pr´acticas: 6 - 7 - 8 y 9 Integraci´on impropia y Sucesiones: • • • • •

Trabajo Mec´anico y Fuerza Hidrost´atica Centro de masa de l´aminas homog´eneas Teorema de Pappus Integrales impropias Sucesiones

29 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Trabajo Mec´ anico ∼ Fuerza Hidrost´ atica

Pr´ actica 6 Prof. Andr´ es P´ erez

Parte I: Trabajo (Vaciado de Tanques) 1. Un tanque c´onico reposa sobre su base que est´a a nivel del suelo y su eje es vertical. El tanque tiene un radio de 5 pies y una altura de 10 pies. Calcule el trabajo realizado al llenar este tanque con agua bombeada desde el nivel del suelo. Nota: Considere δ=62.4 libras/pie3 . 2. Suponga que el tanque del ejercicio anterior est´a boca arriba, es decir, su v´ertice est´a al nivel del suelo y su base se encuentra a 10 pies sobre el suelo. Nota: Su eje sigue siendo vertical.

3. Un tanque cuyo punto m´ınimo est´a a 10 pies sobre el suelo tiene la forma de un taz´on, obtenida esta al hacer girar la par´abola x2 = 5y, con −5 ≤ x ≤ 5, en torno al eje y. Las unidades de los ejes coordenados est´an en pies. ¿Cu´anto trabajo se realiza al llenar este tanque con petr´oleo cuya densidad es de 50 libras/pie3 , si el petr´oleo se bombea desde el nivel del suelo? 4. La gasolina de una estaci´on de servicio se guarda en un tanque cil´ındrico enterrado a un lado de la estaci´on, de modo que la parte m´as alta del tanque est´a 5 pies debajo de la superficie. El tanque tiene 6 pies de di´ametro y 10 pies de largo. Suponga que la densidad de la gasolina es una constante γ, cuyas unidades est´an dadas en libra/pie3 . ¿Cu´anto trabajo se realizar´a al vaciar toda la gasolina de este tanque, inicialmente lleno a todos los autom´oviles?

5. Considere un tanque esf´erico para agua, cuyo radio es de 10 pies y cuyo centro est´a a 50 pies del suelo. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar este tanque, bombeando agua desde el nivel suelo?. Sugerencia: Los c´alculos pueden ser m´as simples si hace y = 0 en el centro del tanque y se piensa en la distancia que debe levantarse cada rebanada de agua. 6. Un tanque semiesf´erico de radio 10 pies est´a colocado, de modo que, su lado plano reposa sobre una torre de 60 pies de altura. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar este tanque con petr´oleo de densidad 50 libras/pie3 , si el petr´oleo debe bombearse al tanque desde el nivel del suelo?

30 7.

En un Hospital, acaban de construir un nuevo contenedor de agua (v´ease la figura). Sus elementos principales consisten, en un tanque esf´erico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cil´ındrico con radio interno de 1 pie. Suponga, que se bombea agua desde el piso hasta el tanque, por medio del tubo. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar el tubo y el tanque con agua?

8. Encuentre el trabajo que se debe realizar, para vaciar los tanques con las dimensiones se˜ naladas.

Parte II: Fuerza Hidrost´atica 9. En los siguientes problemas se describe una compuerta en la cara vertical de una presa. Detrmine la fuerza total del agua sobre la compuerta, si la parte superior est´a a 10 pies debajo de la superficie del agua. 9.1) Un cuadrado de lado igual a 5 pies, cuya parte superior es paralela a la superficie del agua. 9.2) Un c´ırculo de radio 3 pies. 9.3) Un tri´angulo is´osceles de 5 pies de altura y 8 pies de base. 9.4) Un semic´ırculo de radio 4 pies, cuya orilla superior es su di´ametro (paralelo a la superficie del agua) 10. Suponga que una presa tiene la forma de un trapecio con una altura de 1000 pies, 300 pies de largo en la parte superior y 200 pies de largo en el fondo. ¿Cu´al es la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa, cuando el nivel del agua detr´as de la presa llega hasta su parte superior? 11. Una presa de 60 pies de altura tiene forma de trapecio, el ancho de la parte superior es de 100 pies y de la base 40 pies. Halle la fuerza hidrost´atica si el nivel de agua desciende 10 pies por efecto de una sequ´ıa. 12.

Suponga que la presa de la figura tiene las siguientes medidas: L = 200 pies de largo y T = 30 pies de ancho en su base. Determine la fuerza del agua sobre la presa, si el agua, tiene una profundidad de 100 pies y el extremo inclinado de la presa da cara al agua.

31 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Centro de Masas ∼ Teorema de Pappus

Pr´ actica 7 Prof. Andr´ es P´ erez

1. Calcule la masa de un bate de b´eisbol, con las siguientes caracter´ısticas: El bate tiene 30 pulgadas de longitud y cuya ¶2 µ 1 x + slugs/pulgada (los slugs son unidades para medir en el sistema ingl´es). Esta densidad de masa es δ(x) = 46 690 densidad, tiene en cuenta el hecho de que el bate de b´eisbol es semejante a un cono alargado. Halle entonces la masa del objeto. 2. Calcule el centro de masa del bate del ejercicio anterior. x 3. Calcule la masa y el centro de masa de un objeto cuya densidad es δ(x) = + 2 Kg/m, 0 ≤ x ≤ 6. Explique brevemente 6 en t´erminos de la funci´on densidad, ¿por qu´e el centro de masa no est´a en x = 3? 4. Las siguientes figuras describen l´aminas de acero, cuya densidad asumiremos constantemente igual a δ. Determine el centroide en cada una de estas regiones:

5. Determine el centroide en una l´amina de acero con densidad constante, determinada por la regi´on acotada entre las gr´aficas de las curvas y = x2 − x − 6 y y = 9 − x. 6. Determine el centroide en una l´amina de acero con densidad constante, determinada por la regi´on encerrada por √ x las gr´aficas de las siguientes curvas y = x y y = . 3 7. Determine el centroide en una l´amina de acero con densidad constante, determinada por la regi´on limitada por f(x) = −2x2 + 8x − 7 y g(x) = x − 4. 8. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gr´aficas de f(x) = −2x2 +8x−7 y g(x) = x − 4, alrededor del eje x = 8. 9. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gr´aficas de f(x) = 3 − (x + 1)2 y g(x) = 1 − x, alrededor del eje y = 4. 10. Utilice el teorema de Pappus, para determinar el volumen del s´olido que se genera al hacer girar la regi´on delimitada por las gr´aficas de f(x) = cos x y g(x) = tan x, π π con 0 ≤ x < , alrededor de x = . 2 2

32 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´ actica 8

Integraci´ on impropia ∼ Integrandos discontinuos 1. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor. Z∞ √

1.1) 2

Z∞ 1.4) 0

Z∞ 1.7) 0

Z∞

dx x+3

1.2) 1

1.5)

arctan x dx 1 + x2

1.8)

Z∞

Z∞ 1.13)

1.9)

e−2x cos bx dx

1.12)

2

1.19)

xe

2x

1.17)

1.15) e

Z∞ sen πx dx

1.18)

1

0

Z∞ 1.20)

−∞

1

2. Suponga que la integral

Z∞

ln x dx x2

1.21) 1

Z∞ f(x) dx = L < ∞ −∞

es decir, converge. Suponga adem´as, que a, b ∈ R, con a 6= b. Demuestre que Za

Z∞ f(x) dx +

−∞

Zb

Z∞

f(x) dx = a

f(x) dx + −∞

−∞

Zt t→∞ −t

x dx = 0

Esto evidencia que NO podemos definir

Zt

Z∞ f(x) dx = lim −∞

t→∞ −t

f(x) dx b

Z∞ 3. 3.1) Demuestre que: x dx diverge. 3.2) Demuestre que: lim

sen x dx Z∞

e3x dx

Z∞

dx

dx 5x − 8

Z∞

−∞

Z −1

√ 3

0

Z0

x dx x2 + 5x + 6

dx +9

x2

Z∞

dx (2x − 3)2

0

0

0

−∞

Z∞

1.14)

dx (x + 3)3/2

Z3

−∞

e−x dx

1.16)

1.6)

Z1

1.11)

Z∞

cos x dx

2

0

dx √ 2x + 3 x + 1 + 5

1

1.3)

Z∞

dx (2 + x)(3 + x)

1.10)

Z∞

ln x dx x

f(x) dx

dx x. ln2 x 5 dx 2x + 3 ln x dx x3

33 4. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor. Z∞

−|x|

4.1)

e

Z∞ dx

4.2)

x.e

−∞

Z∞

Z∞ dx

4.3)

−∞

Z∞

2

xe−x dx

4.4)

−x

4.5)

−∞

−∞

Z∞ √ 3

4.7) −∞

−∞

Z∞

x dx 1 + x2

4.6) −∞

Z∞

dx x−1

4.8)

3

x2 .e−x dx

Z∞ x dx

4.9)

−∞

x2

dx + 4x + 9

(2x2 − x + 3) dx

−∞

5. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor. Z4 5.1) 0

Z2 5.5) −2

Z2 5.9) 0

Z9

dx √ x x

−1

Z π/2

dx 2 x −1

5.6)

Z3 0

5.3)

sec2 x dx

5.7)

−1

Z7 5.10) −3

0

Z4

dx (x2 − 1)(x + 3)

5.11) 0

Zπ

dx √ x

5.14)

5.15)

0

5.4) 3

−1

dx (5 − x)2/5

Z1

cos x √ dx sen x

5.8)

x. ln x dx 0

Z π/2

dx x2 + x − 6

Z6 sec x dx

Z8

dx x2

Z π/2

π/4

dx 4x − 5

5.13)

Z2

dx x−9

√ 3

5.2)

5.12)

tan2 x dx

π/4

Z2

dx 2 x − 5x − 6

5.16) 0

x−3 dx 2x − 3

6. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor. Z∞ Z∞ Z∞ 3x2 − 4x + 5 x2 dx √ 6.1) dx 6.2) dx 6.3) 2 3/4 2 − x5/4 x − 4x −∞ (x − 1)(x + 1) 4 0 x Z∞ 6.4) −1

1 x2

r

Z∞

1 1 + dx x

6.5) 0

Z∞

dx √ x(1 + x)

7. Calcule el valor de K, para el cual las siguientes integrales convergen. ¶ Z∞ µ 1 K √ 7.1) − dx 7.2) x2 + 4 x + 2 0

dx √ (3 + x) x − 2

6.6) 2

Z∞ µ 0

x K − x2 + 1 3x + 1

¶ dx

y evalue la integral para dicho valor de K. 8. Sean f, g ∈ C[a, ∞], tales que: f(x) ≥ g(x), para todo x ≥ a. El Teorema de Comparaci´ on y Acotamiento, establece que: Z∞ Z∞ 1. Si f(x) dx converge =⇒ g(x) dx converge a

a

Z∞ 2. Si

Z∞ g(x) dx diverge =⇒

a

f(x) dx diverge a

Z∞ 8.1) 1

sen2 x dx x2

Z∞ √

8.4) 1

1 x3

+1

dx

Z∞ p 8.2) 1

8.5)

Z π2 0

1+ x

dx x sen x

√

x

Z∞ dx

8.3) 1

Z1 8.6) 0

dx x + e2x dx √ x

ex

34 9. Determine los valores de p, para los cuales las integrales Z1 9.1) 0

Z∞

dx xp

9.2) e

Z1

dx dx x(ln x)p

9.3)

xp ln x dx

0

convergen y realice la evaluaci´on para dichos valores. 10. Demuestre que

Z∞

2

x2 e−x dx =

0

11. Demuestre que la integral de Euler de 1era especie (Funci´on Beta) Z1 B(p, q) =

1 2

Z∞

2

e−x dx

0

12. Demuestre que la integral de Euler de 2da especie (Funci´on Gamma) Z∞ Γ (p) = xp−1 e−x dx

xp−1 (1 − x)q−1 dx

0

0

es convergente cuando p > 0.

es convergente cuando p > 0 y q > 0. 13. Utilice el ejercicio 12, para: 13.1) Calcular Γ (1), Γ (2), Γ (3).

13.2) Demuestre que Γ (p + 1) = pΓ (p). Ayuda: Integre por partes.

14. Una funci´ on de densidad de probabilidad, se define como una funci´on ρ : I −→ R, que cumple las siguientes condiciones: i) ρ(t) > 0, para todo t ∈ I y ρ(t) = 0 en otro caso. Z ii) ρ(t) dt = 1. I

14.1) Considere f : R −→ R, definida por f(x) = ce−cx , para x ≥ 0 y c ∈ R+ y 0 en otro caso. Demuestre que f, es una funci´on de probabilidad en R. Z∞ 14.2) Calcule el promedio µ = xf(x) dx −∞

·Z ∞

14.3) Calcule la desviaci´on est´andar σ =

¸1/2 (x − µ)2 f(x) dx

−∞

15. Si f(t) es una funci´on continua pata todo t ≥ 0, la Transformada de Laplace de f, es una funci´on F, definida por Z∞ F(s) = f(t)e−st dt 0

donde el dominio de F, es el conjunto de todos los valores s, para los cuales converge la integral. Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: 15.1) f(t) = k,

k∈R

15.4) f(t) = sen kt,

k∈R

15.2) f(t) = ekt , 15.5) f(t) = cos kt,

k∈R k∈R

15.3) f(t) = tk ,

k∈N

15.6) f(t) = senh kt,

k∈R

35 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Pr´ actica 9 Prof. Andr´ es P´ erez

Sucesiones num´ ericas

1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la f´ormula del t´ermino n-´esimo an , e indique para que valor de n inicia dicha f´ormula. 1.1) 1, 2, 3, 4, . . .

1.2) 1, 3, 5, 7, . . .

1.3) 2, 4, 6, 8, . . .

1.4) 3, 6, 9, 12, . . .

1.5) 3, 5, 7, 9, . . .

1.6) 1, 8, 27, 64, . . .

1 1 1 1.7) 1, , , , . . . 4 9 16

1.8)

1.9) 7, 9, 11, 13, . . .

1.10) 0, 1, 0, 1, 0, . . .

1.11) 2, 6, 18, 54, . . .

1.12) 2, 3, 5, 8, 11, . . .

1.13) 2, 4, 6, 8, 10, . . .

1.14)

1 4 9 16 ,− , ,− ,... 3 5 7 9

1.15)

1 4 9 16 ,− , ,− ,... 3 5 7 9

1.16)

5 7 9 11 , , , ,... 2 4 6 8

4 7 10 13 , , , ,... 7 9 11 13

1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5

1.17)

1 1 1 1 , , , ,... 2 6 12 20

1.18)

1 2 3 4 , , , ,... 2 4 8 16

1.19)

1.20)

1 1 1 , , ,... 1·3 3·5 5·7

1.21)

1 1 1 , , ,... 2 · 5 5 · 8 8 · 11

1.22)

2 4 6 , , ,... 1·3 2·5 3·7

1.23) 1 · 3, 2 · 9, 3 · 27, . . . 1.24)

− 5, 10, −17, 26, . . .

2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 32 de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´esimo rebote. 3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as´ı sucesivamente. ¿Cu´anto recorre el objeto durante el sexto segundo? 4. Sea {an }n≥1 , una sucesi´on infinita con t´ermino general an . Determine cual de las siguientes sucesiones converge o diverge y en caso de que converjan halle su l´ımite. n2 − 1 n2 + 1

4.1) an =

1 5n

√ 4.2) an = 4 n

4.3) an =

4.5) an =

n2 n+1

4.6) an = arctan 2n

4.7) an = cos

3 + (−1)n 4.10) an = n2

µ ¶ 1 4n3 + 3n2 + 1 4.11) an = n 1 − cos 4.12) an = n 5n3 + 3

4.9) an =

³ π ´n 3

4.13) an = n2−n

4.17) an =

√

n+8−

√

n

¡ nπ ¢ 2

4n − 3 3n + 4

4.8) an = (−1)n

n2 1 + n3

2

4.14) an =

ln(2 + en ) 3n

4.15) an = 1 + (−1)n

4.18) an =

cos2 n 2n

4.19) an =

4.23) an =

µ ¶n 4 4.21) an = ln(n + 1) − ln n 4.22) an = 1 − n

4.4) an =

4.16) an =

sen n2 n

2n 3n + 1

4.20) an =

5 − 2−n 6 + 4−n

en − e−n en + e−n

4.24) an = 5 +

5n 3n

36

√ n

4.25) an = 10(n+1)/n

4.26) an =

cos 2nπ 4.29) an = n

en 4.30) an = 4 n

µ 4.33) an = n Zn 4.37) an = 1

µ

n+2 2n − 3

µ

¶ n1 −1

1 dx xp

4.34) an =

¶n

4.41) an =

4.45) an =

n2/3 sen n! n+1

4.42) an =

4.31) an =

n+1 n−1

4.38) an = π−

1 1 + 2 6n

4.27) an = n2/(n+1)

n

¶ 2n−1 4

sen 2nπ n

ln 2n ln 3n µ

4.46) an = n3 sen

2 n3

cos n (−1)n 2 n

2n 4.35) an = n!

4.28) an =

√

√ √ n( n + 1 − n)

à p

4.32) an =

m

2m (n + 1)

µ ¶n 1 4.36) an = +1 2

4.39) an =

ln2 n n

4.40) an =

4.43) an =

sen n 3n

4.44) an = (2n + 1) n

4.47) an =

n5 + 1 4n2

4.48) an =

¶

!nm

√ 3mn

13 + 23 + · · · + n3 n4 1

p n

n2 + n

5. Sucesi´ on de Fibonacci: 5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es f´ertil al mes. Si comenzamos con una pareja de reci´en nacidos. Demuestre que si F1 = 1 y F2 = 1, entonces la sucesi´on de Fibonacci, {Fn } 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . est´a dada por la f´ormula recurrente Fn+1 = Fn + Fn−1 ,

n≥3

5.2) Verifique que el t´ermino general de la sucesi´on es à à √ !n √ !n 1 1 1+ 5 1− 5 Fn = √ −√ 2 2 5 5 demostrando que esta expresi´on satisface la f´ormula recurrente. Fn+1 1 5.3) Sea fn = . Demuestre que fn−1 = 1 + . Fn fn−2 5.4) Sea {Fn } la sucesi´on de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre que √ Fn+1 1+ 5 lim = n→∞ Fn 2 6. Calcule el l´ımite de la siguiente sucesi´on r q ± ² q √ √ √ 2, 2 2, 2 2 2, . . . 7. Se˜ nale si las siguientes sucesiones son mon´otonas. 7.1) an =

1 3n + 5

8. Demuestre que si xn+1 = √ bien a − 2.

7.2) an = 3 + 1 2

³ xn +

2 xn

(−1)n n

7.3)

an =

n−2 n+2

√ 7.4) an =

n+1 5n + 3

´ , para n ≥ 1 y adem´as lim xn existe, entonces la sucesi´on {xn } converge a n→∞

√

2o

37 9. Si a1 = 3 y an+1 = a1n , para todo n ≥ 1. Calcule lim an . n→∞ √ √ 10. Si a1 = 2 y an+1 = 1 + an , para todo n ≥ 1. Calcule lim an . n→∞

11. Si a1 = 2 y an+1 =

1 2 (an

+ 4), para todo n ≥ 1. Calcule lim an . n→∞

12. Demostrar que

±

√

r ² q q √ √ 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2, . . .

converge a 2. 13. Demostrar que si {an } es una sucesi´on que converge a cero y {bn } es una sucesi´on acotada, entonces {an bn }, converge a cero. 14. Sean {an }, {bn } y {cn } sucesiones tales que lim an = lim cn = 1 y an ≤ bn ≤ cn , para todo n. Demostrar que n→∞ n→∞ lim bn = 1. n→∞

15. Demuestre que si {an } y {bn } son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesi´on {an + bn }, tambi´en diverge. 16. Sean {an } y {bn } dos sucesiones convergentes. Demostrar que lim (an + bn ) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

17. Dar ejemplos de sucesiones {an } y {bn } tales que lim an = lim bn = 0, pero n→∞

17.1)

17.3)

n→∞

an lim =0 n→∞ bn lim

n→∞

17.2)

an no existe bn

17.4)

an = +∞ n→∞ bn lim

lim

n→∞

an = −∞ bn

18. Demostrar que si {an } es una sucesi´on convergente y {bn } es una sucesi´on tal que bn 6= 0, para todo n y lim bn = ∞, n→∞ entonces an lim =0 n→∞ bn ¯ ° n! 19. Demostrar que la sucesi´on , converge a cero. nn n≥1 20. Utilice el teorema de sucesiones mon´otonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientes sucesiones ¯ ° ¯ ° 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n! 20.1) 20.2) 2n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n≥1 n≥1 21. Dada la sucesi´on {an } definida por an = arn−1 , donde a y r son constantes. Se define la sucesi´on {Sn } por Sn = a1 + a2 + · · · + an 21.1) Deducir que: Sn = 21.2) Demostrar que {Sn } converge si y s´olo si |r| < 1.

a − arn 1−r

´ APENDICE 1 Repaso de L´ımites y Derivadas

39 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2

Repaso Prof. Andr´ es P´ erez

Repaso de L´ımites y Derivadas

Parte I: L´ımites 1. Calcule en caso de que existan, los siguientes l´ımites. √ 3x + 1 − 4 √ 1.3) lim √ x→5 x−2− 3

2x2 + x 1.1) lim x→3 5x + 1

16 − x2 1.2) lim x→4 4 − x

eax − ebx 1.4) lim x→0 sen ax − sen bx

x3 + x2 − x − 1 1.5) lim x→1 2x3 − 3x + 1 √ √ 1 + sen x − 1 − sen x 1.8) lim x→0 x

1.7) lim

x→0

sen(x + h) − sen x h

sen2 x x→0 x

1.10) lim

1.11) limπ x→ 2

2 cos2 x + cos x − 1 4 cos2 x + 4 cos x − 3

1.13) limπ x→ 3

µ 1.16) lim

x→∞

x2 + 3 3x2 + 1

√ 3

1.19) lim

cosh x − 1 x→0 x

1.14) lim

b

1.17) lim (1 + ax) x x→0

√ 3

µ 1.15) lim

x→∞

9 + 2x − 5 √ 3 x−2

p p 3 3 1.31) lim x3 + x2 + 1 − x3 − x2 + 1 x→∞

2 senx + sen x − 1 2 senx −3 sen x + 1

x+1 x−1

¶x

ln(tan x) 1 − cotan x

1.18) limπ x→ 4

√

1.24) lim

2 3 − 1 − x3 1 − x2

1.26) lim

x→ 6

x→ 4

x3 − 2x + 1 x→1 x5 − 2x + 1

x3 − 1 x→∞ x2 − 1

1.25) lim

1.34) limπ

1 − tan x sen x − cos x

1.12) limπ

5x2 − x4 − x2 x

1.23) lim

x→8

tan x − sen x x

1.21) lim

(x2 − x − 2)20 x→2 (x3 − 12x + 16)10

1.22) lim

1.28) lim

x→0

x + x2 x→0 |x|

1.20) lim

√

1.9) lim

¶x2

x+1

x→∞

x−1−

1 + tan2 x cos2 x

√ 1+ 3x √ 1.6) lim x→−1 1 + 5 x

√ x→4

1 + 2x − 3 √ x−2

√ 4 x−2 1.29) lim √ x→16 x−4 √ 1.32) lim

x→0

x+1−2 x

1.35) lim x cotan 3x x→0

x→0

x→1

√ 3 1.27) lim

x→−2

√ 3 1.30) lim

x→0

1.33) lim

x→∞

x−6+2 x3 + 8

x+1−1 x

√

x+3−x

h ³π ´icotan x 1.36) lim tan −x x→0 4

40

µ 1.37) lim

x→∞

x2 + 1 x2 − 2

¶x2 x→∞

4 − x2 √ x→2 3 − x2 + 5

1.40) lim

1.43) lim √ x→1

1.39) lim (1 + x2 )cotan

1.38) lim x[ln(x + 1) − ln x]

1.41) lim

p 3

x→∞

x−1 x2 + 3 − 2

x3 + 3x2 −

1.44) lim x cos x→0

p x2 − 2x

x2 + x − 2 x→1 (x − 1)2

µ ¶ 1 x

1.45) limπ x→ 3

1 − 2 cos x ¡ ¢ sen x − π3 µ

¶x+3

tan x − sen x 1.47) lim x→0 x3

1.48) lim

x3 − 27 1.49) lim 2 x→3 x − 9

x2 1.50) lim √ x→∞ x x2 − 1

√ 6−x−2 1.51) lim √ x→2 3−x−1

µ ¶ 1 1.53) lim sen x + − sen x x→−∞ x

1.54) lim

1.52) lim

x→−∞

s

−8x3 + x + 1 x−1

√ x+ x−2 e−100 + x3

1.56) lim

x4 ex + 3 sen x x→∞ e−x + 4x2 + 1

1.59) lim

1.55) lim

3

x→∞

1.58) lim

1.61) lim

x→π

sen x x−π

x→∞

x→∞

1 − e−x x→0 sen x

1.57) lim

x4 cos x3 x→∞ (x6 + 1)2

1.60) lim

1.62) lim

x→0

x

1.42) lim

tan 5x 1.46) lim x→0 cos 6x

√ 3

2

x→0

x−4 x+1

1 e−2x (e2x + 1)

x2 + cos x x→∞ x5 + ex x5 + x2 +1 x→∞ (x + 1)3

sen ax sen bx

1.63) limπ (1 + cos x)3 sec x x→ 2

Parte II: Derivadas 2. Utilice la definici´on de la derivada, para calcular la derivada de las siguientes funciones. 2.1) f(x) = x2 2.5) f(x) =

√ 3

x

2.9) f(x) = cos x

1 x

√

2.2) f(x) = x3

2.3) f(x) =

2.6) f(x) = tan x

2.7) f(x) = ln x

2.8) f(x) = ex

2.11) f(x) = x2 − 3x

2.12) f(x) =

2.10) f(x) =

x x−5

2.4) f(x) =

x

√

2x + 1

3. Use las reglas de la suma producto y cociente de la derivada, para hallar la derivada de las siguientes funciones. 3.1) f(x) =

2x 1 − x2

3.4) f(x) = x2 cos x − x sen x

3.2) f(x) =

1 + x + x2 1 + x − x2

3.5) f(x) = ex (x2 − 2x + 2)

3.3) f(x) =

1 1 1 +√ + √ 3 x x x

3.6) f(x) = 3x3

√ 7

x2

41

µ 2

4

3

¶ 1 +2 x

3.7) f(x) = − sen x sec x

3.8) f(x) = (4x + x + 1)(1 − x )

3.9) f(x) = (2x + 1)

3.10) f(x) = ex cosh x

3.11) f(x) = cosec x senh x

3.12) f(x) = 4 sen x + 3 cos x tan x

3.14) f(x) = loga x

3.15) f(x) =

3.13) f(x) =

3 sen x − x4 x3 cos x

1 − sen x 1 + sen x

4. Use Regla de la Cadena, para hallar la derivada de las siguientes funciones. µ µ ¶¶¸ · ³ ´ p 1 1 1 + ln + ln 4.2) f(x) = ln ex + 1 + e2x 4.1) f(x) = ln x x x µ

Ã

¶

h ³ x ´i 4.3) f(x) = ln tan 2

4.4) f(x) =

4.5) f(x) = x[sen(ln x) − cos(ln x)]

4.6) f(x) = ln(ex + cos x)

4.7) f(x) = (5x2 + 2x − 8)3

4.8) f(x) = tan

¶ µ q 4.9) f(x) = ln sec 3 tan (e3x )

4.10) f(x) = cosec(cotan x2 )

2 + 3 sen2 x x4

µ

4.11) f(x) = e

tan(2x−1)

µ ¶ 1 + sen x 4

x2 − 1 x+4

+ cos

1+

√

1 − x2 x

!

¶

4.12) f(x) = senh(x2 − 1)

5. Use la derivada de funciones inversas, para calcular la derivada de las siguientes funciones. 5.1) f(x) = arcsen x

5.2) f(x) = arccos x

5.3) f(x) = arctan x

5.4) f(x) = arcsenh x

5.5) f(x) = arccosh x

5.6) f(x) = arctanh x

5.7) f(x) = arccosec x

5.8) f(x) = arcsec x

5.9) f(x) = arccotan x

6. Utilice las derivadas calculadas en el ejercicio anterior, para calcular las derivadas de las siguientes funciones. r p x 6.1) f(x) = x arcsen 6.2) f(x) = 1 + 1 − x2 arccos x x+1 µ 6.3) f(x) = arctan µ 6.5) f(x) = arccos

6.7) f(x) = arccosh

sen x + cos x sen x − cos x 1 cosh x

¶

µ√ ¶ x+1 √ x−1

¶

2 6.4) f(x) = √ arctan 2 a − b2

Ãr

³x´ a−b tan a+b 2

¡ ¢ 6.6) f(x) = arccos cos2 x − sen2 x

6.8) f(x) = arcsec[ln(1 + x4 )]

!

42 7. Utilice derivaci´on logar´ıtmica para hallar la derivada de las siguientes funciones. 7.1) f(x) = [sen x]cos x + [cos x]sen x 7.3) f(x) = (ex − x)

arcsen x

[ln x]x xln x µ 6 ¶arctan x4 x +7 7.4) f(x) = x2 + 3 7.2) f(x) =

7.5) f(x) = 2tan( x )

7.6) f(x) = x + xx + xx

´i h ³ √ 3 7.7) f(x) = arctan x ln2 sec 2 x

7.8) f(x) = (ln x)e + (cosh x)tan x

1

x

·

x

7.9) f(x) = a + x

ax

x

arcsen(sen2 x) 7.10) f(x) = arccos(cos2 x)

¸arctan2 x

´ APENDICE 2 Coordenadas Polares