Guia Para Docente Matematicas 1 RUIZ

Guía para el docente

Matemáticas Álgebra en acción

Joaquín Ruiz Basto

1

2

Guía para el docente

Matemáticas 1

02400, Ciudad de México

info   editorialpatria.com.m x

www.editorialpatria.com.mx

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Rubén Campos Cárdenas Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Verdugo Diagramación: Braulio Morales S./Jorge A. Martínez Martínez J./Gustavo Vargas Vargas M. Colaboración: “Las prácticas actuales en los docentes”: Dra. Laura Frade Rubio  Matemáticas 1. Álgebra en ac ción. Guía para el docente Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2009, 2011, 2013, 2016, Joaquín Ruiz Basto ©2009, 2011, 2013, 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. ISBN: 978-607-744-332-2 (cuarta edición) ISBN: 978-607-438-517-5 (tercera edición) ISBN: 978-607-438-219-8 (segunda edición) ISBN: 978-607-438-104-7 (primera edición)

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición: 2009 Segunda edición: 2011 Tercera edición: 2013 Cuarta edición: 2016

2

Guía para el docente

Matemáticas 1

02400, Ciudad de México

info   editorialpatria.com.m x

www.editorialpatria.com.mx

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Rubén Campos Cárdenas Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Verdugo Diagramación: Braulio Morales S./Jorge A. Martínez Martínez J./Gustavo Vargas Vargas M. Colaboración: “Las prácticas actuales en los docentes”: Dra. Laura Frade Rubio  Matemáticas 1. Álgebra en ac ción. Guía para el docente Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2009, 2011, 2013, 2016, Joaquín Ruiz Basto ©2009, 2011, 2013, 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. ISBN: 978-607-744-332-2 (cuarta edición) ISBN: 978-607-438-517-5 (tercera edición) ISBN: 978-607-438-219-8 (segunda edición) ISBN: 978-607-438-104-7 (primera edición)

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición: 2009 Segunda edición: 2011 Tercera edición: 2013 Cuarta edición: 2016

Grupo Editorial Patria

3

Introducción E

stimado profesor, ponemos en sus manos la presente publicación que busca apoyarlo en su labor docente. Este recurso académico intenta sumarse a los que utiliza para salir adelante en su quehacer como maestro. Quisimos ofrecerle un material útil del que pudiera echar mano a lo largo del semestre. Para lograr lo anterior, recurrimos a una experta como la doctora Laura Frade para que nos hablara de las prácticas actuales en los docentes que trabajan en el sistema de la DGB. Buscamos alentar el trabajo de las competencias docentes, primero al tratar de razonarlas y después mostrando un ejemplo de su uso en la dosificación que hicimos para cada materia. El texto de la doctora Frade busca reflexionar en el docente qué es lo que está pasando en el bachillerato general con el enfoque por competencias. Tenemos desde 2009 trabajando con este enfoque, las clases han salido todo este tiempo y se han impartido de acuerdo con los criterios de quienes están frente a grupo. La doctora Frade nos invita a reflexionar sobre lo que se ha hecho hasta ahora y lo que puede mejorarse en el campo de las competencias. Entre sus principales reflexiones nos encontramos con la planeación docente, ya que hacerla por

medio de competencias no es un trabajo fácil. Hay factores que tomar en cuenta y podría cometerse el error de pasarlos por alto, pero son necesarios de plantear, entender y resolver. En la segunda parte tomamos en cuenta su experiencia para trabajar con las competencias docentes, mismas que son necesarias para desarrollar en un formato de planeación similar al que se utiliza en ����������. Por ello quisimos explicar el formato y la importancia de su uso correcto. La siguiente sección presenta el plan de clase (dosificación) que utiliza como eje central nuestro libro de texto para desarrollar las competencias en el aula. La planeación está pensada para generar las competencias necesarias para el curso, así como para apoyarlo en su práctica docente al darle sugerencias útiles para realizar en el aula. Finalmente, incluimos las respuestas del libro de texto, para que compruebe los conocimientos de sus estudiantes. Este material fue creado con la inquietud de apoyarlo en su trabajo, pues nuestra meta siempre estará enfocada en la mejora de la educación. Por lo anterior deseamos que esta guía sea útil en su práctica y apoye el conocimiento de sus estudiantes.

4

Guía para el docente

Matemáticas 1

Contenido Las prácticas actuales de la docencia

5

Trabajo por competencias

10

Dosificación

15

Respuestas a los ejercicios del libro

57

Grupo Editorial Patria

Las prácticas actuales de la docencia*

5

Dra. Laura Frade Rubio

D

e la problemática que emerge de un diseño curricular diverso del Marco Curricular Común (MCC), se deriva una práctica curricular que, contraria a la diversidad, cuenta con patrones que se repiten de institución a institución y de docente a docente. ¿Cuáles son las prácticas que se dan hoy día? En los múltiples talleres impartidos sobre pla-

se repiten docente por docente, escuela por escuela, bachillerato por bachillerato a nivel local, estatal e incluso nacional, si consideramos que la muestra de escuelas participantes proviene de varios estados de la república en estos ámbitos de desempeño profesional en que los educadores participan. No obstante, existen excepcionalidades que deben mencionarse para

a) casos se observa de manera objetiva, sino que se realiza por el sujeto docente; es decir, subjetiva. Por ejemplo, a un docente se le puede ocurrir que la competencia genérica puede estar relacionada con ciertas competencias disciplinares, con un propósito u ob jetivo de la propia institución. Si los contenidos están ligados a las metas institucionales, por el mismo será el docente quien realice la articulación. Es decir, que el problema no sólo se encuentra en la cantidad de metas que se han elegido, sino también en cómo se relacionan. b) Si las metas son muchas y no están totalmente vinculadas entre sí por inclusión, rela-

 A continuación se describen las constantes, patrones y excepcionalidades que se han observado. Planeación

 ye llenar formatos ya preestablecidos que dependen de la escuela, o bien, de la institución o subsistema en el que ya trabajan. Lo anterior tiene la intención, por un lado, de cumplir con el MCC y los planes y programas que se han diseñado para tal efecto en cada institución o subsistema en cualquiera de las modalidades; y por el otro que los docentes organicen su trabajo y tengan claro qué harán, cómo lo harán, con qué recursos y cómo determinarán el avance.

1. Cuentan con muchas metas, mismas que los docentes eligen del MCC, de los planes y programas del subsistema o institución en la que laboran, lo que incluye: competencias genéricas, competencias disciplinares, propósitos, objetivos; o bien, competencias de la unidad, contenidos en términos de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes o conceptuales, procedimentales y actitudinales y, en algunos casos, propósitos y metas propios. En algunas ocasiones se observan páginas enteras de metas, entendidas como el lugar al que deberán llegar los estudiantes, en el corto, mediano y largo plazo. mas o retos a superar.

decir, la situación didáctica y la secuencia de actividades, ya que la pregunta es: ¿en qué meta de todas las anteriores se concentra el docente para desarrollarla en el aula?, rar una síntesis determinada por el tema, por lo que poder unir las metas es el tema no l a como centro del actuar docente, buscan desarrollar un tema, lo que no necesariamente los lleva a que los estudiantes aprendan a resolver problemas, o bien , que el conocimiento adquirido se pueda trasladar en diferentes contextos, tal y como verá más adelante.  2. Una vez que se han planteado las múltiples metas que los lleva a la síntesis de un tema, se comienza a diseñar la secuencia de actividades que en el mejor de los casos retoma el consplicación del tema a base de preguntas y respuestas, realizar lecturas en los libros de texto, elaborar mapas y esquemas, hasta el diseño de investigaciones que parten de cuestionarios que llevarán a los estudiantes a buscar las respuestas. Entre las secuencias de actividades a) Indagación inicial sobre los conocimientos previos con preguntas sobre el tema: ¿qué es?, ¿cómo es?, ¿para qué es?, etcétera. b) Explicación del tema para que tomen apuntes utilizando la “mayéutica”; es decir, se pregunta y sobre la base de la respuesta se construye el concepto y el procedimiento. c) Lecturas en los libros de texto, o bien, en la biblioteca. d) Elaboración de cuadros sinópticos, resúmenes, matrices, mapas conceptuales.

*

El presente texto es un fragmento de un texto que Grupo Editorial Patria publicará en el futuro.

6

Guía para el docente

Matemáticas 1

e) Aplicación del conocimiento en actividades como búsqueda de ejemplos similares a los planteados por el docente o realización de ejercicios que pueden incluir problemas que tienen dos variables, como el caso del porcentaje: Pedro quiere comprar una camisa cuyo precio es de $325, si hay una oferta con 15% de descuento, ¿cuánto le costará? Problema que en la vida real no existe porque el descuento se hace con o sin tarjeta, con o sin múltiples etiquetas, en múltiples bancos. Es decir, que la ejercitación propuesta en muchos de los casos no responde a la complejidad que se presenta en la actualidad. 3. Las secuencias planteadas generalmente son largas porque describen muchas actividades que buscan que los estudiantes construyan el conocimiento por la articulación del tema en lugar de que se vinculen por una situación que deberá resolver el estudiante. Esto implica que para abordar el tema sintetizado de las múltiples metas, se establecen secuencias que no están relacionadas una con la otra; por ejemplo: a) sirve ubicarlo? O bien, ¿quiénes viven ahí y cómo viven?

entre éstas, lo que necesariamente implica una carga cognitiva que no todos los alumnos podrán llevar a cabo. En especial porque esto se hace sin intervención docente; es decir, se espera que si se realizan todas las actividades y ejercicios, el alumno podrá abstraer y generalizar el conocimiento a todos los ámbitos. 4. La cantidad de actividades planeadas por hora son demasiadas, lo que implica que lo planeado para cumplir el requisito solicitado no necesariamente se lleva a cabo en el aula; que no todo se pudo realizar, porque cada actividad lleva tiempo. 5.

el estudiante como instrumento para aprender y lo que hará el docente como herramienta para intervenir en el aprendizaje tanto en el proceso como en el resultado.

Esto conlleva a concluir que la planeación se convierte en el cumplimiento de un requisito que ha sido impuesto y que no necesariamente lleva a los docentes a organizar lo que verdaderamente realizan en el aula. Desde el inicio existe el problema conceptual de la aplicación del

b) c)

delimitado en el tema, el paso necesario hacia la resolución de problemas no se da.

d) Realización de una lectura en el libro de texto.

Como excepciones podemos apreciar que algunos docentes, pocos realmente, diseñan situaciones didácticas más complejas como casos, proyectos, investigaciones o experimentos. Cuando lo hacen es porque han considerado algún autor independientemente de los que les recomienda el sistema o subsistema. Muchas veces estos docentes que buscan salir adelante son reprendidos por el supervisor, quien les señala que no deben partir de estas situaciones sino de secuencias didácticas en las que se aborde el tema a partir de los conocimientos pre vios, construyendo el concepto sobre éste de manera gradual.

e) Recuperación de los saberes extraídos de la lectura en preguntas que el docente realiza f) Por equipos, elaboración de un esquema o mapa conceptual en el salón de clases. g) económico y político. Por equipos, cada uno representa los elementos de cada componente. h)

Ejecución

i) Plenaria para recuperar el aprendizaje logrado por los estudiantes.

 A partir de la observación directa en el aula y de los cuadernos y libros de texto de los estudiantes, así como de lo que hace el docente respecto a lo que dijo haría en su planeación, y de las actividades que realizan como tarea, se observa lo siguiente.

Lo anterior implica que todas estas actividades no están articuladas entre sí por una seen un mapa conceptual para luego ejercitarlo en contextos reales, como ver una fotografía en la que los estudiantes puedan hacer uso de lo aprendido; de manera que conozcan el estudiantes llevan a cabo varias actividades como proceso, construirán el conocimiento Cuando se llevan a cabo varias actividades que tienen el mismo tema, el estudiante deberá abstraer el objeto de conocimiento de todas ellas. Esto en un ejercicio que lo lleve a gene-

a) Las actividades planeadas no se realizaron en su totalidad, lo que implica que a veces siguen la secuencia estipulada realizando sólo las tres primeras, o bien, otras que no se consideraron formalmente porque se les dice que ya no se deben llevar a cabo, como explicar, dar clase, pedir la revisión de los apuntes y aplicar exámenes semanales para comprobar que los estudiantes aprendieron los conocimientos estipulados en el tema. b) Las actividades iniciales casi siempre parten de la detección de l os conocimientos previos, por ejemplo: ¿qué es la gravedad?, ¿qué es la química?, ¿qué sabes de la química?, ¿qué es

conforman y que se han estudiado en múltiples actividades estableciendo las relaciones

Grupo Editorial Patria En algunos casos se llega a obser var que si la clase dura de 50 minutos a una hora, esta indagación previa dura hasta 20 minutos y durante el trayecto los estudiantes se distraen, miran para otro lado, dibujan, mensajean con el celular, platican entre ellos, hacen otras tareas. Esto implica un índice de distracción que va, en el mejor de los casos, de 25 a 70%. Es decir, que esta detección de conocimientos previos no les interesa, no fomenta la participación c) Los productos solicitados a los estudiantes, en muchos casos, siguen siendo trabajos que cumplen con la lógica del saber: cuestionarios, esquemas o mapas conceptuales en los que describan literalmente lo que se debe saber, casi con puntos y comas. En muchos casos hay apuntes sobre lo que dice el maestro e n clase, pero como no saben detectar l o que es clave para un tema, o bien, hacer resúmenes propios, puede suceder dos cosas. 1. Escriben todo lo que se les dice que deben apuntar, como cuando el maestro les dice textualmente: “Apunten, por favor”. 2. Tratan de hacer sus propias notas, las cuales están incompletas, ya que no han recuperado lo que resulta clave sobre el tema, y que trae en consecuencia que al estudiar no obtengan el resultado esperado por el docente: que se lo sepan de memoria o que lo reproduzcan tal cual. Los dos puntos anteriores implican que los cuadernos están llenos de trabajos y actividades que conllevan a la reproducción: apuntes de lo que el maestro dice, cuestionarios sobre el tema con preguntas de asociación es decir, que la respuesta se puede tomar textual, copiándola incluso sin razonarla, e incluso llega a haber dictados y copias fotostáticas sobre estudiantes. Algunas veces hay ejercicios para aplicar lo que se ha visto en clase a casos de la vida real. Por ejemplo, pedir a los estudiantes que observen en dónde están los compo-

7

ciones o descripciones, pero no se les pide ir más allá con actividades de análisis, síntesis, evaluación sobre la base de argumentos en los que se observen manifestaciones a favor o en contra. También se observa que los ejercicios o problemas de dos variables ya mencionadas, en muchas ocasiones son ejecutados sin problema; es decir, que la mayoría de los estudiantes los pueden responder y quienes no es porque no cuentan con procesos de retroalimentación no tienen ni apuntes, ni ejercicios, tampoco se observan procesos de retroalimentación en ellos. f) Cuando los estudiantes ya comprendieron, se aplica lo aprendido; es decir, se buscan ejemplos, problemas o casos en los que se representa lo aprendido: como generalmente son construcciones que se realizan en el aula no tienen el mismo nivel de complejidad que números positivos y los negativos se le pide al estudiante resolver un problema simple: Juan debe 16 pesos en la tienda, y ha pagado 15, ¿cuánto le falta por pagar? Esta situación no existe en la vida real de un alumno porque los números positivos y negativos se observan en un estado del banco, o bien, utilizando una chequera, ambos contextos más complejos contexto real en el que el estudiante se desenvuelve diariamente. g) Otra de las prácticas comunes que se realizan en el aula consiste en llevar a cabo procesos de trabajo en equipo, casi en su mayoría son así; el docente deja una tarea, una discusión, una pregunta y entre cinco o seis alumnos deberán resolverla. En la dinámica de las aulas se observa que en general, y sobre todo en esta edad, dos trabajan y el resto se apoya en ellos, hacen lo que les piden, tareas que normalmente pueden ser no importantes, como traer el material, la comida o escribirlo en la computadora. Lo que implica que realmente sólo se

de ellos ha crecido en demasía como la población.  d) La lógica didáctica se basa en el supuesto de que para lograr el aprendizaje el estudiante los temas, pero no de memoria, es decir que lo repita tal como se le entregó en la clase. Las actividades establecidas buscan la reproducción del conocimiento, que genera además heteronomía, es decir, la dependencia del estudiante hacia el docente e n la construcción y adquisición del aprendizaje, lo que se reduce a : “yo me aprendo lo que me digan”, generando

 Algunos docentes han señalado que esta forma de trabajar en equipo se ha vuelto una moda y se les insiste mucho en que laboren así. También aceptan que es menos trabajo para el docente pues cada uno debe atender entre 150 y 400 estudiantes. El trabajo en equipo les resuelve evaluarlos a todos, lo hacen por equipo y entonces la cantidad baja a cinco o 10 productos se tome en cuenta la participación en el equipo como si fuera parte del constructo, de la competencia de unidad, indicador de desempeño o aprendizaje esperado.

a las demandas del entorno. e) meta la aplicación de lo aprendido en general son de fácil manejo para los estudiantes, situación que se observa en muchos cuadernos que tienen el ejercicio terminado, en general porque son actividades de bajo nivel cognitivo, como conocimiento y comprensión, ya que

estudiantes reproduzcan el contenido de manera exacta, sin que exista en ello s un proceso de análisis, síntesis y elaboración propia que los lleve a resolver problemas, a crear y proponer, hacer, pensar, sentir, para salir adelante frente a l as demandas del entorno por sí mismos.

8

Guía para el docente

Matemáticas 1

Evaluación

Partiendo de una planeación que se concentra en el tema y en una ejecución que busca la reproducción heterónoma de lo que se aprende, la evaluación consiste en un proceso para determinar si lo que el docente dijo es reproducido por el estudiante y en qué medida de exactitud lo logra. Por ello, los procesos de evaluación que se llevan a cabo consisten en los siguientes puntos. 1. Evaluar como parte del proceso de enseñanza los aspectos que se consideran “formativos”, como la participación, el trabajo en equipo, la asistencia, incluso su presentación como

la competencia, sus indicadores de desempeño o sus contenidos se observan constructos que no tienen que ver con ellos. Por ejemplo, si se está evaluando:  Diseña modelos o pro(DGB, 2009), se considera también si el estudiante participó o trabajó en el equipo y si lo hizo bien, lo que no quiere decir que realmente diseñe los modelos por sí mismo.  2.

la de antemano y sin observarla como una herramienta más; el proceso de enseñanzaacreditar.

3.

-

sigan cometiendo, y que éstos se observen en un resultado que ya no tiene “remedio”, hasta 4. Revisar que los cuadernos cumplan con las condiciones estipuladas, que estén en orden, 5. Revisar los ejercicios que se llevan a cabo en el aula para corregirlos poniendo palomita cuando están bien, es decir cuando el estudiante reproduce lo que se le ha solicitado; o tache cuando no es así, sin señalar dónde estuvo el error, cuál fue y cómo se debe corregir, pero sobre todo, sin dar la oportunidad de que él mismo lo corrija. 6. Aplicar exámenes de opción múltiple simple en los niveles de dominio de Bloom 1 y 2, que implican hacer preguntas de conocimiento y comprensión, es decir, en las que el estudiante dolas, organizándolas y jerarquizándolas; o bien, sintetizándolas al abstraer o generalizar cluso el error. Es decir, que mientras que en el examen del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés) los niveles de desempeño llevan a los estudiantes a resolver problemas, crear, proponer, generalizar, en México seguimos

no es sólo un problema de los docentes, sino del sistema en general, que a pesar de haber dado el salto cualitativo hacia las competencias, todavía pone en el centro del proceso la construcción del tema y los procedimientos que implica. 7. En términos generales, lo que usa el docente para registrar el aprendizaje son: listas de colas dos primeras se registra qué hizo o no hizo, si vino o no, y si cumplió o no; en las últimas se establecen los criterios con lo s cuales se evaluará, mismas que siguen siendo muy cuantitativas. Por ejemplo: Tabla 3.1 Ejemplo de rúbrica de matemáticas Excelente

Bueno

Regular

Deficiente

Comprende y aplica Comprende y aplica todo el conocimiento varios conocimientos adquirido correctamente . adquiridos correctamente .

Aplica algunos de los conocimientos adquiridos.

No aplica el conocimiento de manera correcta .

Contesta todo el trabajo de manera coherente y acorde  a las características solicitadas .

Contesta bastante del trabajo de manera coherente y acorde  a las características solicitadas .

Selecciona alguna información y la emplea sin ahondar en el tema o cumplir las características.

No contesta el trabajo de manera coherente ni toma en cuenta ninguna de las características solicitadas.

Contesta y argumenta todos los cuestionamientos orales o escritos correctamente.

Contesta y Contesta sólo alguno argumenta casi todo de los cuestionamientos correctamente , los planteados . cuestionamientos orales o escritos.

No contesta ningún cuestionamiento ni se esfuerza por hacerlo.

Entrega todo trabajo requerido en tiempo y forma con las características solicitadas .

Entrega casi todo el trabajo requerido casi a tiempo en forma con las características solicitadas .

No entrega nada en tiempo y forma.

Entrega algo del trabajo a tiempo, pero no contiene las características solicitadas .

rios, algunos, nada; o bien, todo, casi todo, algunos, ningún; o bien, se entrega en tiempo y forma, casi se entrega o no se entrega. El asunto es que los criterios de observación siguen siendo cuantitativos, porque en el fondo el problema continúa: se observa cuánto sabe el alumno y no con qué calidad profundiza, elabora, crea, propone. Además, una rúbrica elaborada así incluye el supuesto del aprendizaje heterónomo; es decir, el docente dice, el estudiante reproduce. Si se sigue observando la cantidad, entonces cabe la pregunta, ¿por qué hacer una rúbrica? Porque los maestros cuentan con esta exigencia que viene de la autoridad, pero en realidad podrían seguir poniendo palomita o tache en un trabajo o producto que sólo observa que se didad del constructo.

Grupo Editorial Patria

9

 Además, una rúbrica así cuenta con adjetivos y adverbios, lo que implica que sea subjetiva, porque lo correcto para el estudiante no lo es para el docente. Entonces, al determinar los criterios

reproducción heterónoma: debe decir lo que se le enseñó en clase, no puede ser menos, pero tampoco más.

trabajar de esta manera, en lugar de caminar hacia la construcción de un proceso de evalua-

Los problemas observados no emergen de un docente que no quiera trabajar, tampoco de que no quiera cambiar el paradigma; si bien existe resistencia, lo que también surge de los talleres

 1.

hecho varios pagaron los cursos y talleres por sí mismos; es decir, que no tuvieron subvención del Estado.

“tonto”, “tenías que ser tú”, “siempre haces lo mismo”, entre muchos otros. En lugar de observarlo como una oportunidad para mejorar el trabajo, para aprender más y mejor. 2. logrado, de manera que el estudiante pueda ubicarse a sí mismo para determinar en qué estudiante del tema elegido, qué tanto ha respondido de acuerdo con la reproducción del contenido, pero no se detecta lo que hizo y lo que le falta por hacer. Se observa só lo el cumplimiento como categoría de análisis, de manera que si obtiene un seis, “ya la hizo” porque pasó, no se corrige el error en el aprendizaje. 3. La evaluación es un proceso de investigación en el que el docente investiga el resultado, lo que implica el uso de instrumentos que buscan detectar qué tanto se aprendió, hasta dónde se llegó, en un proceso de indagación que luego se sistematiza. El docente es un “investigador”, no es un educador que busca intervenir en el aprendizaje del educando para mejorar lo que se ha aprendido. Son dos conceptualizaciones distintas, investigar para saber no es lo mismo que detectar hasta dónde lo logra para intervenir. En suma, debido a que la competencia se traduce en la práctica como el tema a saber, a dominar, lo que se evalúa es la cantidad del conocimiento que se logró obtener en t érminos exclusivamente cuantitativos y en una lógica de si el estudiante sabe o no, cumple lo que se le pidió o no; no se ubica la calidad en el dominio del tema y además lo que se le exige al estudiante es la

Más aún, el problema fundamental es que la práctica emerge de una conceptualización que pudiera considerarse como parte del paradigma educativo pasado: el estudiante debe saber mucho para salir adelante en la vida, para hacerlo debe concentrarse en el aprendizaje del tema, debe aprendérselo de memoria, sin importar si construye o no, por lo que l a autonomía no está permitida, lo que se busca es generar una total heteronomía en el aprendizaje, el maestro dice y el estudiante reproduce. De hecho, algunas de las nuevas adaptaciones al plan y programa de estudios de bachillerato resuelve, de la dependencia en la producción y generación del conocimiento, de la evaluación concentrada en la cantidad de saberes que se plasman en un examen. Lo anterior implica que, haciendo un ejercicio de proyección a futuro que se basa en la obcompetentes laboralmente hablando no se logrará porque las empresas no están contratando a los sujetos por lo que saben (desde las décadas de 1960 y 1970 ya no sucede), sino por su capacidad para resolver problemas, para tener iniciativa, ser autónomos en el trabajo teniendo una autoridad a la que le rinden cuentas, no porque la obedezcan heterónomamente, sino porque por sí mismos, ascender y lo grar una mejor proyección laboral en su vida.

10

Guía para el docente

Matemáticas 1

Trabajo por competencias L

forme al Acuerdo Secretarial 442, publicado en el septiembre de 2008, establece que:

el 26 de

•

¿Qué implicaciones tiene la aplicación de este enfoque educativo en el trabajo que realiza dentro y fuera del aula?

“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, sino comple pertinente el currículo de la EMS”.

•

¿Qué actividades de aprendizaje ha llevado a cabo para aplicar este enfoque?

Para empezar el trabajo docente, les proponemos realizar la siguiente actividad con el propósito de explorar su experiencia sobre este enfoque educativo.

 Actividad INSTRUCCIONES

Tomando en cuenta su experiencia como docente, escriba un breve comentario en cada pregunta. •

•

•

¿Cuáles son los resultados que ha tenido y cómo impactan en el contexto sociocultural de su entidad federativa?

¿Qué es una competencia?

¿Cuáles son sus principales características?

Plan de clase para el docente Dentro de la actividad docente, la planeación se forma a partir de decisiones que se toman con de lograr los objetos de aprendizaje y fomentar los desempeños y el desarrollo de las competencias establecidas en cada libro de texto. La planeación, por tanto, es fundamental para que el docente proporcione a los estudiantes un espacio adecuado para construir su propio conocimiento y movilizarlo a situaciones prácticas de su

Grupo Editorial Patria

11

La planeación de clase es el nivel más detallado de l a enseñanza, de ahí que exista una descripción de lo que sucede paso a paso, en los formatos establecidos para ello.

tudes y valores involucrados para el desarrollo de las competencias genéricas, disciplinares o profesionales, dependiendo la asignatura.

Se recomienda que antes de realizar el desglose de actividades, tenga idea de algunos aspectos importantes:

Debido a lo anterior, debe recordar que en el enfoque educativo basado en el desarrollo de competencias, los conocimientos, las habilidades y las actitudes son movilizados en una situa-

 1. Propósito o meta a alcanzar, destacando lo que los estudiantes podrán hacer o habrán alcanzado en el tiempo establecido. 2. Actividades de enseñanza y aprendizaje.  3. Materiales, medios. 4. Recursos para la evaluación de desempeños y competencias.

La secuencia didáctica tiene la intención de provocar y dirigir una serie de actividades secuenciales para el logro de los desempeños y el desarrollo de competencias. Las competencias se organizarán en estrategias a desarrollar en tres momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje.  Apertura: se integran estrategias que detonarán los saberes disciplinares con los que cuenta

 Actividad

temas a desarrollar.

INSTRUCCIONES

Desarrollo: durante esta etapa se empieza a construir el aprendizaje mediante diferentes estrategias, como búsqueda de información relacionada con el objeto de aprendizaje, se

De acuerdo con cada bloque de aprendizaje del libro de texto, analice las siguientes preguntas, a manera de ideas generales o lluvia de ideas. Lo anterior es con el propósito de ser tomadas en cuenta como una guía permanente para el diseño de su plan de clase.

en los conocimientos que se adquieran. Cierre: las estrategias que se integran en este momento deben llevar a la reconstrucción de acciones de comprobación, aclaración de dudas, resolución de problemas, síntesis y con-

¿Cuál es el propósito del bloque?

¿Cómo lo conseguiré?

Los materiales didácticos son todos aquellos elementos que apoyan el proceso de aprendizaje dentro y fuera de un salón de clases, en este caso el docente los va a seleccionar conforme al desarrollo de los objetos de aprendizaje, usualmente se emplean materiales impresos (libros, diccionarios, cuestionarios, problemarios, entre otros); concretos (material que se puede mamediante el uso de las TIC (presentaciones en PowerPoint, libros digitales, audiolibros, etcétera).

¿Cómo sabré que los estudiantes han logrado el propósito?

Por otra parte, los recursos materiales son todos aquellos de los que puede disponer el docente durante su clase (inmobiliario en general, pizarrón, gi s, papelería, insumos, etcétera). Es importante mencionar que para el uso de los materiales didácticos y recursos, se debe considerar la disponibilidad en las instituciones educativas y serán acordes a su contexto, además de que requieren de un conocimiento sobre su impacto y manejo por parte del docente.

Elementos mínimos que debe incluir un plan de clase Los resultados de aprendizaje se derivan de la organización del trabajo en el aula, los cuales se dan a partir del análisis de los contenidos y propósitos que se establecen en los libros, mismos que se establecen como o bjetos de aprendizaje. Los objetos de aprendizaje son necesarios para lograr los desempeños que se establecen en -

Instrumentos de evaluación •

•

Las actividades y problemas planteados deben ser lo más parecido al entorno del estudiante, y de ser posible generar curiosidad o reto en el alumnado. Se evalúan los desempeños en contextos reales.

12

Guía para el docente

Matemáticas 1

Plan de clase

Desarrollo de competencias, mismas que se incluyen en cada bloque de aprendizaje.

Para elaborar un plan de clase, nuestro formato se integra con los siguientes elementos.

Secuencia didáctica, organizada en tres momentos: apertura, desarrollo y cierre.

Informacióngeneral, en la que se integran los datos de la institución y del docente que l leva

Recursos, a emplear en el salón de clases, los cuales tendrán que estar disponibles en la

a cabo su planeación.

institución y pueden ser impresos, digitales, de laboratorio, entre otros. -

Desarrollo de desempeños

ciplinares que se emplearán durante la secuencia a diseñar.

 Validación, por parte de las instancias educativas correspondientes del plantel.

 A continuación se presenta un ejemplo de plan de c lase trabajado por competencias. En este caso se trabajo de acuerdo con la materia de Ética y valores.

Objetos de aprendizaje, los cuales incluyen saberes conceptuales.

Ejemplo para el registro del Plan de clase

1

Información general

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Ética y valores  Bloque: 1  Fecha: 25 de agosto de 2014.

2

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: 2014-2015 Duración en horas: 8 horas

Periodo en el que se aplica: Semanas 1 y 2

Desarrollo de desempeños

Propósitos: •

•

Identificar la ética como una disciplina filosófica y diferenciar entre la ética y la moral. Reconocer qué es un código de ética para establecer la importancia de la ética y la moralidad como parte fundamental del desarrollo y convivencia dentro de una sociedad.

Competencias genéricas a desarrollar:

Competencias disciplinares básicas del campo disciplinar de humanidades a desarrollar:

1. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

 1. Analiza y evalúa la importancia de la Filosofía en su formación personal y colectiva.  2. Caracteriza las cosmovisiones de su comunidad.  3. Examina y argumenta, de manera crítica y reflexiva, diversos problemas filosóficos relacionados con la actuación humana, potenciando su dignidad, libertad y autodirección.  6. Defiende con razones coherentes sus juicios sobre aspectos de su entorno.

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque:

Otros bloques de esta asignatura con las que se relaciona:

Introducción a las Ciencias Sociales, Ética y valores 1, Ética y valores 2, Historia de México 1, Historia de México 2, Estructura socioeconómica de México, Historia Universal Contemporánea y Filosofía.

Todos.

3 •

•

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias Ética y Filosofía. Ética y moral.

•

•

Disciplinas filosóficas. Juicios de valor.

Grupo Editorial Patria  4 •

5

Competencias a desarrollar

13

Competencias a desarrollar  4

Analiza y evalúa la importancia de la Filosofía en su formación personal y colectiva.

Secuencia didáctica

Secuencia didáctica

5

Apertura Competencias

Actividades

•

•

•

•

•

•

•

(Docentes y estudiantes) Al iniciar, el docente realizará una introducción de la asignatura, tomando en cuenta los temas a tratar dentro de la misma, dará una explicación sobre el aprendizaje basado en el desarrollo de competencias, su relación con el entorno y sus aplicaciones en situaciones de la vida diaria. Explicará cómo se realizará la evaluación, así como las líneas generales sobre el trabajo en clase (fechas de entrega de productos, puntualidad y asistencia, respeto, tolerancia y participación, entre otros). Después de la introducción de la asignatura, el docente dará una explicación general sobre el tema de Ética y Filosofía. Concluida la explicación, el docente organizará en equipos al alumnado para que relocalicen una investigación documental sobre el campo de estudio de la Ética y las disciplinas filosóficas. Del trabajo realizado, cada equipo elaborará un organizador gráfico, en el cual deberán indicar el campo de estudio específico de la Ética y las disciplinas filosóficas, así como las diferencias que existen entre ambas, señalando un ejemplo de su entorno sobre la información obtenida. Para continuar con la actividad, el docente seleccionará al azar a un equipo para que explique su organizador gráfico ante el grupo, promoviendo la participación de todos los estudiantes con el propósito de retroalimentar la información del tema. Como información adicional, se sugiere que el docente realice una lluvia de ideas o genere preguntas detonadoras sobre conceptos, como valores, tipos de valores, dilemas morales, juicios de valor, etcétera.

Gené ric a(s) y atributos •

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Productos de aprendizaje

Dis ciplinar(es) •

•

•

Analiza y evalúa la importancia de la Filosofía en su formación personal y colectiva. Examina y argumenta, de manera crítica y reflexiva, diversos problemas filosóficos relacionados con la actuación humana, potenciando su dignidad, libertad y autodirección. Defiende con razones coherentes sus juicios sobre aspectos de su entorno.

•

Organizador gráfico.

Instrumentos de evaluación •

Lista de cotejo para validar la información que presentan en el organizador gráfico.

Nota: •

Ambos productos (organizador gráfico y lista de cotejo) se pueden integrar al portafolio de evidencias.

14

Guía para el docente

Matemáticas 1 Desarrollo Competencias

Actividades

•

•

•

•

(Docentes y estudiantes) De acuerdo con el tema de Ética y Filosofía, proporcione un artículo de revista o periódico sobre actos o situaciones relacionadas con estos temas y solicite a los estudiantes que lo lean en equipos. Concluida la lectura, organice una plenaria en donde se defina el campo de estudio de la Ética y las disciplinas filosóficas, después de ello los estudiantes deberán plantear ejemplos específicos del entorno en los que se a borden dichas disciplinas. Terminada la plenaria, los equipos elaborarán un organizador gráfico en el que señalarán la relación y diferencias que existen entre la Ética y la Filosofía, así como su importancia de su estudio en la actualidad; enseguida, los equipos expondrán ante el grupo de forma aleatoria su trabajo. Una vez que cada equipo haya expuesto su trabajo, fomente la participación de todos los estudiantes para ampliar la información presentada y para emitir opiniones sobre la actividad realizada.

Genérica(s) y atributos •

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Disciplinar(es) •

•

•

Analiza y evalúa la importancia de la Filosofía en su formación personal y colectiva. Examina y argumenta, de manera crítica y reflexiva, diversos problemas filosóficos relacionados con la actuación humana, potenciando su dignidad, libertad y autodirección. Defiende con razones coherentes sus juicios sobre aspectos de su entorno.

Productos de aprendizaje •

•

Hojas de rotafolio para exponer la información analizada. Organizador gráfico sobre la relación y diferencias entre la Ética y la Filosofía.

Instrumentos de evaluación •

•

•

Coevaluación para validar la información que presentan en las hojas de rotafolio. Utilizar una rúbrica para validar la información que presentan en el organizador gráfico. Estos productos se pueden integrar al portafolio de evidencias.

Cierre Competencias

Actividades

•

•

6

(Docentes y estudiantes) Para finalizar la actividad, guiará la participación de los estudiantes durante la plenaria, con el propósito de que todos emitan su opinión acerca de qué significa para ellos las conductas personales relacionadas con la ética y las disciplinas filosóficas, haciéndolos reflexionar sobre la importancia y el impacto que tienen en su vida personal, así como en su entorno social. Como actividad fuera del salón de clases, se sugiere que organice al grupo para que trabajen de forma individual, en parejas o en tríos (dependiendo de la cantidad de estudiantes), para que elaboren un reporte en donde proporcionen al menos tres ejemplos sobre situaciones específicas sobre la importancia del estudio de la ética.

Genérica(s) y atributos •

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Disciplinar(es) •

•

•

Analiza y evalúa la importancia de la Filosofía en su formación personal y colectiva. Examina y argumenta, de manera crítica y reflexiva, diversos problemas filosóficos relacionados con la actuación humana, potenciando su dignidad, libertad y autodirección. Defiende con razones coherentes sus juicios sobre aspectos de su entorno.

Productos de aprendizaje •

Reporte sobre situaciones específicas de la ética y su estudio en la actualidad.

Recursos a emplear en el salón de clases •

•

Validación Elabora:

Docentes:

Recibe:

•

•

•

 de revistasArtículos y periódicos de su comunidad. para   rotafolio,Papel plumones, cinta adhesiva transparente, etcétera.

7

Instrumentos de evaluación

Avala:

Guía de observación para validar la participación de los estudiantes. Lista de cotejo para verificar la información que presentan en su informe. Estos productos se pueden integrar al portafolio de evidencias.

Grupo Editorial Patria

Matemáticas Álgebra en acción

Joaquín Ruiz Basto

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 1 Fecha:

Semestre: Primero

1

Historia de México

Dosificación 16 semanas 5 hrs / semana 80 hrs / semestre

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

15

Menchaca / Martínez BLOQUE 1 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 1 y 2

Propósitos: Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. •

•

•

•

•

•

•

Competencias genéricas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

16

3 •

•

 4 •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias Representación de relaciones entre magnitudes. Modelos aritméticos y algebraicos.

Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una actitud constructiva, congruente c on los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de su entorno social y/o natural. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente, programa de estudios y principios del aprendizaje por competencias, además de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) El docente propondrá la temática de la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” (p. 3 del libro de texto); puede comenzar la clase mencionando que la aritmética  es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de los números y las relaciones existentes entre ellos al aplicarles las operaciones básicas, como lo son la suma, resta, multiplicación y división.  III. Cambios climáticos. a) El docente puede mencionar lo grave que fueron las consecuencias del tsunami de Japón en 2011 para plantear enseguida la situación didáctica “Cambios climáticos” de la p. 4. Posteriormente, realizar el “Análisis de la situación”, que puede complementar explicando que el volumen de la lluvia caída se calcula midiendo en milímetros la altura que el agua alcanza por metro cuadrado.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 5 del libro de texto. diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 5 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

Genérica(s) y atributos

Apertura (continuación)  Competencia(s) Disciplinar(es)

Producto(s) de aprendizaje

17

Instrumentos de evaluación

b) Los estudiantes llevarán a cabo las actividades mencionadas en la “Secuencia didáctica ” y el “Proyecto de trabajo” de la p. 5. Sugerimos que lo hagan en equipo y el reporte lo entreguen de manera individual, siguiendo las condiciones establecidas en la rúbrica de la misma página. Además, es recomendable que estudien la información contenida en la sección “Conocimientos” de la p. 4.

Actividades: docente y estudiante

I. Variables y números reales a) El profesor explicará el tema “Aritmética y números positivos” de la p. 6 del libro de texto. Mencionará conceptos como números positivos, decimales, enteros, naturales y el cero; además, indicará el orden que se sigue al efectuar operaciones como suma o resta, entre otras, cuando no se usan paréntesis para indicarlas. Sugerimos que desarrolle el procedimiento del ejemplo 1 de la p. 6 para que los alumnos tengan un parámetro de la manera en que se efectúan esas operaciones. Posteriormente, es conveniente que haga lo mismo con el ejemplo 4 de la p. 8; puede complementar su explicación con las “Observaciones importantes” de la misma página. b) Los alumnos resolverán los ejemplos 2 y 3 de la p. 7 apoyándose en el estudio de las secciones “Recuerda” y “Fíjate en lo siguiente” de las pp. 6 y 7. También, contestarán en su cuaderno las preguntas de la sección “Verifica tu avance” (pp. 6 y 7). c) Los estudiantes resolverán la “Autoevaluación 1A” de las pp. 8 y 9. Recomiéndeles que consideren las “Sugerencias para la autoevaluación 1 A”. II. Números y variables a) El docente propondrá la situación didáctica “Tu computadora personal” (p. 10); posteriormente, efectuará el “Análisis de la situación”, puede preguntar el algoritmo necesario para calcular el porcentaje de alguna cantidad así como las preguntas sugeridas en el libro.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Resultados del “Proyecto de análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. trabajo” de la p. 5 del libro de texto. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 1A (pp. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante 8 y 9). procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 11. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su Respuestas a los ejercicios comportamiento. de la Autoevaluación 1B (pp. 14 y 15). Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 11 del libro de texto).

18

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

Matemáticas 1

Genérica(s) y atributos

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Disciplinar(es)

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación

b) Los estudiantes llevarán a cabo las actividades de la “Secuencia didáctica” (p. 11). Pueden trabajar en equipo para desarrollar el “Proyecto de trabajo” correspondiente y entregar el reporte de manera individual siguiendo los parámetros establecidos en la rúbrica de la misma página. c) El profesor hará una exposición de conceptos como expresión algebraica  y modelo algebraico  contenidos en la p. 12 del libro de texto. Sugerimos que desarrolle los algoritmos de solución para los ejemplos 1 y 2 (pp. 12 y 13) considerando las secciones “Recuerda” correspondientes. d) Los alumnos estudiarán las secciones “Observaciones importantes” y “Fíjate en lo siguiente” de las pp. 12 y 13 para contestar las preguntas de “Verifica tu avance” contenidas en las mismas páginas del libro de texto. Además, sugerimos que seleccione a algunos alumnos para que desarrollen en el pizarrón el procedimiento de solución del ejemplo 3 de la p. 14 y que previamente estudien la información contenida en “Fíjate en lo siguiente” y “Recuerda” de la misma página; así como “Ampliando el conocimiento”. e) Los estudiantes resolverán la “Autoevaluación 1B” (pp. 14 y 15) considerando las “Sugerencias para la autoevaluación 1B”; como complemento a su formación, leerán la vida y obra de Francisco Vieta (p. 15 del libro de texto).

Actividades: docente y estudiante

I. Sugerimos que organice una lluvia de ideas en la que participen los alumnos exponiendo alguna duda u observación personal referente a los temas estudiados en este bloque.

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 16 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 17 del libro de texto). Guía de observación (p. 18 del libro de texto). Portafolio de evidencias (p. 25 del libro de texto). Tabla o lista de cotejo (p. 20 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

•

•

•

•

•

•

Cierre (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Disciplinar(es) Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Producto(s) de aprendizaje

19

Instrumentos de evaluación Escala de clasificación (p. 21 del libro de texto).

Recursos a emplear en el salón de clases

6

Validación

7

Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Proyector Libros

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

20

1

Guía para el docente

BLOQUE 2 Información general

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 2 Fecha:

2

Matemáticas 1

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 6 horas

Periodo en el que se aplica:  Semanas 2 y 3

Desarrollo de desempeños

Propósitos: Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa. Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Todos. Física 1, Física 2, Biología 1. •

•

•

•

3 •

•

•

•

•

 4 •

•

•

•

•

•

•

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias Números reales, representación y operaciones. Tasa. Razones. Proporciones. Variaciones.

Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Asume una actitud constructivista, c ongruente con los conocimientos y habilidades con los que c uenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Grupo Editorial Patria •

•

21

Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

Secuencia didáctica Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) Para comenzar la clase sobre la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 23 del libro de texto, el docente puede preguntar a los a lumnos: ¿qué es un número real?, o ¿cómo se clasifica el conjunto de los números?  III. Husos horarios. a) El profesor planteará la situación didáctica “Husos horarios” de la p. 24 del libro de texto; para iniciar puede preguntar: ¿qué hora es en China?, y después leer el texto del libro. Al hacer el “Análisis de la situación” puede preguntar cuál es el resultado de dividir 360 entre 15, cuando contesten que 24, podrá mencionar que es la cantidad de husos horarios en los que está dividido nuestro planeta. b) Los alumnos contestarán las preguntas de la “Secuencia didáctica” de la p. 25. Sugerimos que en equipo estudien la sección de apoyo “Conocimientos” (p. 24) y realicen las actividades del “Proyecto de trabajo” (p. 25), considerando las indicaciones de la rúbrica de la misma página.

Actividades: docente y estudiante

I. Los números reales a) El profesor explicará en plenaria conceptos como números reales, simétricos, racionales, irracio-  nales  o valor absoluto  mencionados en la p. 26. Sugerimos que desarrolle la solución del ejemplo 1 de la misma página para que los alumnos hagan lo propio con los demás ejemplos.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 25 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 25. procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 25 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, Resultados del “Proyecto de geométricos y variacionales, para la comprensión y trabajo” de la p. 39 del libro análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. de texto. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando Respuestas a los ejercicios diferentes enfoques. de la Autoevaluación 2A (pp. 28 y 29, 32 y 33, 36 y 37). Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 39 del libro de texto).

5

22

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

b) Los alumnos se reunirán en equipo para exponer los algoritmos de solución de alguno de los ejemplos 2 a 6 (pp. 27 y 28); recomiéndeles que estudien la información de las cá psulas “Observaciones importantes” y “Fíjate en lo siguiente” contenidas en las mismas páginas. Además, individualmente contestarán las preguntas de las secciones “Verifica tu avance”. c) Sugiera a los estudiantes que complementen su estudio leyendo “Ampliando el conocimiento” y las cápsulas sobre Arquímedes y Pitágoras contenidas en las pp. 28 y 29. Finalmente, contestarán de manera individual la Autoevaluación 2A apoyándose en las “Sugerencias para la a utoevaluación 2A” de las mismas páginas. II. Adición y sustracción de números reales a) El docente dará la definición formal de la sus-  tracción  y la suma de números con signo  (p. 30). Recomendamos que exponga la justificación de la solución para los tres primeros ejemplos correspondientes a estos conceptos, mientras que los alumnos estudian las cápsulas “Fíjate en lo siguiente” y “Recuerda” respectivas. b) Uno o varios estudiantes resolverán frente al grupo el ejemplo 4 de la p. 32. Individualmente estudiarán la sección “Ampliando el conocimiento” y resolverán la Autoevaluación 2A de las pp. 32 y 33, basándose en la exposición del profesor y las “Sugerencias para la autoevaluación 2A”. III. Multiplicación y división de números reales a) Para abordar este tema, el profesor mencionará los procedimientos para resolver la multiplicación de números con signo y la división de números reales (p. 34). Recomendamos que usted desarrolle el ejemplo 1 y que invite a los alumnos a resolver los demás. b) Los alumnos resolverán en el pizarrón, en el orden que indique el profesor, los ejemplos 2-5 de las pp. 35 y 36; recomiéndeles que se apoyen en las cápsulas “Fíjate en lo siguiente”, “Recuerda” y “Observaciones importantes” (pp. 34 a 36). También contestarán las preguntas de “Verifica tu alcance”. Finalmente, responderán la Autoevaluación 2A de las pp. 36 y 37, apoyándose en las “Sugerencias para la autoevaluación 2A”.

Matemáticas 1 Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 8. Participa y colabora de manera efectiva Analiza las relaciones entre dos o más variables de un en equipos diversos. proceso social o natural para determinar o estimar su - Aplica distintas estrategias comu- comportamiento. nicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos se encuentra y los objetivos que con símbolos matemáticos y científicos. persigue.

Producto(s) de aprendizaje Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 2B (pp.  42 y 43, 47).

Instrumentos de evaluación

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

Genérica(s) y atributos

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Disciplinar(es)

Producto(s) de aprendizaje

23

Instrumentos de evaluación

 IV. Razones, tasas y proporciones a) El docente propondrá la situación didáctica “Afluencia turística” de la p. 38; puede iniciar el “Análisis de la situación” preguntando cómo se calcula el valor medio entre dos cantidades o qué operación se emplea cuando se requiere dividir una cantidad en varias partes iguales. b) Los estudiantes completarán los incisos de la secuencia didáctica de la p. 39. En equipo llevarán a cabo el desarrollo del “Proyecto de trabajo” considerando las observaciones de la rúbrica de la misma página. c) El profesor explicará los conceptos: razón, tasa y proporción, así como los ejemplos resueltos (pp. 40 a 42); recomiéndeles que consulten las cápsulas de información contenidas en las columnas laterales de esas páginas. d) Los estudiantes contestarán las preguntas de la sección “Verifica tu avance” y la “Autoevaluación 2B” (pp. 40 a 43) correspondientes. V. Variación directa e inversa a) Como tema final de este bloque, el profesor expondrá los “Modelos de variación proporcional” (p. 44), incluyendo la variación directa e indirecta. Sugerimos que desarrolle los procedimientos de solución para los ejemplos 1, 2 y 3 para que los alumnos resuelvan los ejemplos 4 y 5. Recomiende que estudien las “Observaciones importantes”, “Fíjate en lo siguiente” y “Recuerda” de las pp. 44 a 46. b) Los estudiantes resolverán la “Autoevaluación 2B” (p. 47), considerando las “Sugerencias para la autoevaluación 2B”. Finalmente, leerán parte de la vida y obra de Eudoxio de Cnido, quien fue uno de los primeros pensadores en usar el método de exhaución , origen del cálculo integral.

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general, el profesor puede plantear una pregunta a cada uno de los alumnos, relacionadas con los conceptos aprendidos en este bloque.

Cierre Competencia(s)

Producto(s) de aprendizaje Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. problemas y retos teniendo en cuenta la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y los objetivos que persigue. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 48 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 48 del libro de texto).

24

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

6 •

•

•

•

•

•

•

7

Matemáticas 1 Cierre (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Disciplinar(es) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Presentación con diapositivas Proyector Libros

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación Guía de observación (p. 49 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 3 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

25

BLOQUE 3 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 4 y 5

Propósitos: Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas, así como sus propiedades. Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones. Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión a ritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Todos. Física 1, Física 2, Biología 1. •

•

•

•

•

•

•

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructivista, c ongruente con los conocimientos y habilidades con los que c uenta dentro de distintos equipos de trabajo.

26

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) El docente abordará la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 51 del libro de texto; se recomienda que en su análisis pregunte qué cantidad de cafeína habrá en un organismo después de 24 horas de haber sido ingerida, cuya respuesta correcta es 12.5 mg, considerando los datos de la tabla presentada en esa página. III. Sucesiones y series aritméticas a) El profesor mencionará la situación didáctica “Apertura de un restaurante” de la p. 52; para iniciar puede mencionar que al comenzar un negocio, debe pasar cierto tiempo para que los dueños puedan ver una cantidad importante de utilidades. También puede preguntar cuáles son los factores que intervienen para que un restaurante se establezca permanentemente. Posteriormente, llevará a cabo el “Análisis de la situación” considerando los algoritmos señalados en esa sección. b) Los alumnos contestarán las peguntas de la “Secuencia didáctica” de la p. 53. Además, se recomienda que trabajen en equipo para desarrollar el “Proyecto de trabajo”, aunque el reporte del trabajo y el resumen mencionado en la rúbrica lo entreguen de manera individual.

Actividades: docente y estudiante

I. Sucesiones y series aritméticas a) El docente explicará los términos sucesión  aritmética  y serie aritmética  mencionados en la p. 54 del libro de texto haciendo énfasis en las diferencias existentes entre los dos. Se recomienda que invite a los alumnos a resolver frente al grupo alguno de los ejemplos 1 a 6 de las pp. 54 a 56.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 53 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 53 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 53 del libro de texto).

Producto(s) Instrumentos de aprendizaje de evaluación Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. Rúbrica (p. 59 del libro de la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, texto). geométricos y variacionales, para la comprensión y Resultados del “Proyecto de análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. trabajo” de la p. 59 del libro de texto. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 3A (p. 57 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante del libro de texto). procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

 b) Los alumnos estudiarán individualmente las secciones “Observaciones importantes” y “Fíjate en lo siguiente”, correspondientes al tema (pp. 54-56); también leerán sobre la vida y obra de Gauss y la “Información histórica” (p. 56). Alternadamente, contestarán las preguntas de las secciones “Verifica tu avance” respectivas. Finalmente, responderán la “Autoevaluación 3A” de la p. 57 del libro de texto; recomiéndeles que tomen en cuenta las sugerencias específicas para dicha evaluación.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 7. Aprende por iniciativa e interés propio a Analiza las relaciones entre dos o más variables de un lo largo de la vida. proceso social o natural para determinar o estimar su 8. Participa y colabora de manera efectiva comportamiento. en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 3B (p. 63 del libro de texto).

27

Instrumentos de evaluación

“Ejercicios adicionales” de la p. 63 del libro de texto.

II. Sucesiones y series geométricas a) El docente abordará la situación didáctica “Bienes raíces” de la p. 58; para iniciar puede mencionar que el valor de una casa varía de acuerdo con el estado de deterioro o remodelación en el que se encuentre o con la calidad de acabados que tenga. Posteriormente, llevará a cabo el “Análisis de la situación” señalando los dos procedimientos descritos en dicha sección. b) Los alumnos realizarán las actividades de la “Secuencia didáctica” de la p. 59 desarrollando los dos métodos sugeridos. Sugerimos que hagan el “Proyecto de trabajo” en equipo y entreguen individualmente el reporte mencionado en la rúbrica de evaluación. c) El profesor explicará en qué consisten la sucesión geométrica y las series geométricas (p. 60). Sugerimos que desarrolle los algoritmos de solución de los ejemplos 1 a 4 de las pp. 60 y 61. d) Los alumnos estudiarán las secciones “Fíjate en lo siguiente”, leerán la “Información histórica” y contestarán las preguntas de “Verifica tu avance” de las pp. 60 y 61. También, desarrollarán las soluciones de los ejemplos 5 y 6 de la p. 62. Leerán la vida y obra de Zenón de Elea y “Ampliando el conocimiento” de la misma página. Finalmente, resolverán la “Autoevaluación 3B” y los “Ejercicios adicionales” de la p. 60.

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general puede organizar una dinámica grupal que consista en elegir un papel que tenga escrita una pregunta sobre alguno de los temas estudiados a lo largo de este bloque y

Cierre Competencia(s)

Producto(s) de aprendizaje Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. problemas y retos teniendo en cuenta la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y los objetivos que persigue. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 64 del libro de texto).

28

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

contestarla ante el grupo. De esta manera se puede monitorear el aprendizaje que lograron los estudiantes durante las clases de este periodo.

6 •

•

•

•

•

•

7

Matemáticas 1 Cierre (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Disciplinar(es) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Presentación con diapositivas Libros

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación Lista de cotejo (p. 64 del libro de texto).

Guía de observación (p. 65 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 4 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 10 horas

29

BLOQUE 4 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 6 y 7

Propósitos: Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios. Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor común y agrupación de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos. Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas bá sicas de factorización. Utiliza los productos notables de diferencia de cu adrados y de trinomios cuadrados perfectos. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. •

•

•

•

•

•

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes. Modelos aritméticos o algebraicos.

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructivista, c ongruente con los conocimientos y habilidades con los que c uenta dentro de distintos equipos de trabajo.

30

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) El profesor puede preguntar cuál es la diferencia entre los relojes mecánicos y electrónicos, considerando que la principal diferencia es la energía empleada en su funcionamiento; posteriormente abordará la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 67 del libro de texto.  III. Introducción a) El docente propondrá la situación didáctica “Embalaje de piezas” de la p. 68; para esto, puede formular preguntas como las siguientes: ¿cuántas caras tiene una caja común?, ¿cómo se calcula el volumen de un cubo?, ¿y de un prisma de base rectangular? Posteriormente, desarrollará el “Análisis de la situación”. b) Los estudiantes contestarán lo solicitado en la “Secuencia didáctica” de la p. 69. Se recomienda que trabajen en equipo para llevar a cabo el “Proyecto de trabajo” e individualmente para elaborar el reporte mencionado en la rúbrica.

Actividades: docente y estudiante

I. Suma, resta y multiplicación de polinomios a) El docente explicará en plenaria los conceptos de polinomio en una variable  y la suma, resta y multiplicación de polinomios  mencionados en la p. 70 del libro de texto. Recomendamos que resuelva ante el grupo los ejemplos 1-5 (pp. 70 y 71), mencionando las sugerencias de las secciones “Recuerda”, “Observaciones importantes”, “Fíjate en lo siguiente” y “Ampliando el conocimiento” correspondientes a esos ejemplos. b) Los alumnos explicarán las afirmaciones de la sección “Verifica tu avance” (p. 70). Se recomienda que desarrollen en equipo la solución del ejemplo 6 (p. 72) y alguno de los equipos lo exponga ante el grupo. Individualmente estudiarán la información de la sección “Ampliando

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 69 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 69 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 69 del libro de texto).

Producto(s) Instrumentos de aprendizaje de evaluación Disciplinar(es) Rúbrica (p. 75 del libro de Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. texto). la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, Respuestas a los ejercicios geométricos y variacionales, para la comprensión y de la Autoevaluación 4A (p. 73 análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. del libro de texto). Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando Secuencia didáctica de la diferentes enfoques. p. 75 del libro de texto. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 75 del libro dos o situaciones reales. de texto. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un Respuestas a los ejercicios proceso social o natural para determinar o estimar su de la Autoevaluación 4B (pp. comportamiento. 79 y 85 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

el conocimiento”. Finalmente, contestarán la “Autoevaluación 4A” de la p. 73, considerando las “Sugerencias para la autoevaluación 4A”. II. Productos de binomios (Productos notables) a) El docente propondrá la situación didáctica “Cultivo y venta de pescado” de la p. 74; para comenzar puede mencionar que las truchas se encuentran normalmente en ríos, lagos y estanques especiales para su cultivo. En el “Análisis de la situación” puede pedir que expliquen conceptualmente el signo “=”, pensando en que hablen de una igualdad, que el lado derecho equivale a lo que hay del lado izquierdo. b) Los estudiantes completarán la “Secuencia didáctica” de la p. 75 y recomendamos que desarrollen en equipo el “Proyecto de trabajo”, mientras que el resumen de la rúbrica sea entregado de manera individual. c) El profesor expondrá en qué consisten los productos de binomios con término común, conjugados y al cuadrado (p. 76). Sugerimos que pida a distintos alumnos que pasen al pizarrón a resolver alguno de los ejemplos 1 a 5 de las pp. 76 y 77. d) Los estudiantes resolverán frente al grupo los ejemplos 1 a 5 de las páginas mencionadas; el ejemplo 6 (p. 78) puede ser desarrollado por todo el grupo con ay uda del profesor. Recomendamos que se apoyen en la información contenida en las columnas laterales correspondientes a los seis ejemplos mencionados; además, realizarán la actividad mencionada en “Verifica tu avance” de la p. 76. Finalmente, contestarán la “Autoevaluación 4B” de la p. 79, considerando las recomendaciones de las “Sugerencias para la autoevaluación 4B”. III. Conversión a productos (Factorización) a) El profesor expondrá la definición de la factorización, mencionará cómo se encuentra el factor común y los algoritmos de la factorización con productos notables (p. 80). Sugerimos que desarrolle las soluciones de los ejemplos 1 a 4, mencionando a los alumnos que estudien las secciones “Observaciones importantes”, “Recuerda” y “Fíjate en lo siguiente” de las pp. 80 y 81.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación

31

32

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

Matemáticas 1

Genérica(s) y atributos

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Disciplinar(es)

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación

b) Los alumnos llevarán a cabo lo solicitado en la sección “Verifica tu avance” de la p. 80. Aleatoriamente, el profesor puede seleccionar a alguien para que frente al grupo desarrolle la solución del ejemplo 5 de la p. 82. Estudiarán individualmente la información de “Ampliando el conocimiento”. Posteriormente, resolverán la “Autoevaluación 4B” de la p. 83, atendiendo las sugerencias indicadas para esos ejercicios.

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general puede resolver algunos ejercicios de las autoevaluaciones haciendo énfasis en detectar posibles dudas en los alumnos.

6 •

•

•

•

•

•

7

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Presentación con diapositivas Libros

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 84 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 84 del libro de texto). Guía de observación (p. 85 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 5 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

33

BLOQUE 5 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semana 8

Propósitos: Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x 2 + bx + c  y ax 2 + bx + c  con a ≠ 0, 1 como producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. Expresa trinomios de la forma x 2 + bx + c  y ax 2 + bx + c  como un producto de factores lineales. Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificadas. Utiliza varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en varios factores. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. Obtiene factores comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. Escribe expresiones racionales de forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. •

•

•

•

•

•

•

•

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes. Modelos aritméticos o algebraicos.

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

34

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) Para iniciar a abordar la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 87, el docente puede pedir que interpreten la gráfica y preguntar cuál es el valor en el eje horizontal que corresponde al valor 1 el eje vertical.  III. Introducción a) El profesor planteará la situación didáctica “Alimento para ardillas” de la p. 88; como parte de este planteamiento puede hacer énfasis en la diferencia exponencial entre la expresión C  = x 2 + 24x  + 23 y x  + 1, para poder hacer la distinción en los algoritmos empleados en su solución. Posteriormente, aplicará el “Análisis de la situación” correspondiente. b) Los estudiantes llevará a cabo las actividades de la “Secuencia didáctica” de la p. 89. Llevarán a cabo el “Proyecto de trabajo” y las indicaciones de la “Rúbrica de evaluación” en forma individual.

Actividades: docente y estudiante

I. Factorización de trinomios a) El profesor explicará los procedimientos para realizar la factorización de expresiones con la forma x 2 + bx  + c  y ax 2 + bx  + c  descritas en la p. 90 del libro de texto. Se recomienda que los ejemplos 1 a 4 (pp. 90 y 91) frente al grupo para que los alumnos aprecien de mejor manera la manera de resolver ejercicios de este tipo. b) Los estudiantes estudiarán la información de secciones “Fíjate en lo siguiente” y “Observaciones importantes” correspondientes a los ejemplos 1 a 6. En equipo resolverán los ejemplos 5 y 6 de la p. 92 y seleccionados aleatoriamente, dos equipos para que expongan sus procedimientos ante el grupo. Finalmente, resolverán la “Autoevaluación 5A” de la p. 93, tomando en cuenta las sugerencias indicadas.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 89 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 89 del libro Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 89 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Respuestas a los ejercicios análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. de la Autoevaluación 5A (p. 93 del libro de texto). Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Secuencia didáctica de la p. 95 del libro de texto. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- Resultados del “Proyecto de dos o situaciones reales. trabajo” de la p. 95 del libro de texto. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su Respuestas a los ejercicios comportamiento. de la Autoevaluación 5B (p. 99 del libro de texto).

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 95 del libro de texto).

Rúbrica (p. 101 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

II. Simplificación de expresiones racionales (Fracciones algebraicas) a) El docente planteará la situación didáctica “Venta de churros” (p. 94 del libro de texto). Puede iniciar preguntando a los alumnos de qué manera llevarían el conteo de los churros vendidos si tuvieran un establecimiento parecido. b) La “Secuencia didáctica” y el “Proyecto de trabajo” de la p. 95, considerando las indicaciones mencionadas en la “Rúbrica de evaluación”. c) El profesor explicará los algoritmos empleados para hacer la simplificación de expresiones racionales , así como el Principio para simplificar fracciones  (p. 96). Sugerimos que desarrolle el ejemplo 1 de la misma página y que los alumnos desarrollen los demás. d) Los alumnos estudiarán el desarrollo de las soluciones de los ejemplos 2 a 6 de las pp. 97 y 98, así como la información contenida en las columnas laterales de las páginas mencionadas; además, contestarán las preguntas de “Verifica tu alcance” (p. 97). Resolverán la “Autoevaluación 5B” de la p. 99, aplicando las sugerencias recomendadas. III. División de polinomios a) Para iniciar la situación didáctica “Limpieza de albercas” de la p. 100, el profesor puede comentar que el agua de una alberca exige un tratamiento muy especial como utilizar filtros para detener impurezas, mezcla de cloro y otras sustancias que mantienen la potabilidad del agua, además de cambiarla por completo cada determinado tiempo. Para hacer el “Análisis de la situación” puede mencionar las medidas oficiales de una alberca olímpica: 25 × 50 metros. b) Se sugiere que los estudiantes trabajen en equipo al realizar las actividades de la “Secuencia didáctica” y “Proyecto de trabajo” (p. 101), mientras que las transformaciones algebraicas mencionadas en la rúbrica se conservarán de manera individual. c) El docente expondrá en plenaria los diversos algoritmos mencionados en la p. 102 sobre la División de polinomios. Es conveniente que desarrolle en el pizarrón los procedimientos de los ejemplos resueltos 1, 2 y 3, para que los alumnos entiendan mejor la manera de resolverlos. Le sugerimos que se apoye en la información de las columnas laterales respectivas.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Secuencia didáctica de la p. 101 del libro de texto.

Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 101 del libro de texto. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 5C (p. 105 del libro de texto).

35

Instrumentos de evaluación

36

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

Matemáticas 1

Genérica(s) y atributos

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Disciplinar(es)

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación

d) Los estudiantes contestarán las preguntas de “Verifica tu avance” (p. 104); de manera aleatoria, el profesor seleccionará dos alumnos para que resuelvan uno de los ejemplos 4 o 5 (p. 104) frente al grupo. Recomiéndeles que estudien las secciones “Fíjate en lo siguiente” y “Recuerda” correspondientes a esos ejercicios. Posteriormente, resolverán la “Autoevaluación 5C” (p. 105), aplicarán las “Sugerencias para la autoevaluación 5C” y “Ampliando el conocimiento”.

Actividades: docente y estudiante

I. Sugerimos que hagan un repaso de los temas estudiados en este bloque organizando una dinámica por equipos en la que un equipo plantee un problema a otro y éste lo resuelva, del mismo modo, éste plantee un problema al primer equipo para que también sea resuelto. Todo esto en el pizarrón ante los demás estudiantes, de esta manera será más fácil detectar las fortalezas y debilidades en sus conocimientos.

6 •

•

•

•

•

7

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 106 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 106 del libro de texto). Guía de observación (p. 107 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 6 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

37

BLOQUE 6 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 9 y 10

Propósitos: Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y  =  = mx  +  + b  como  como una ecuación de dos variables como la forma de una función. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. Modela situaciones para escribirlas como una ecu ación lineal y/o una función lineal. Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto de manera algebraica como gráfica. Aplica diferentes técnicas para continuar la gráfica de una función lineal. Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Competencias genéricas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a matemáticas  a desarrollar: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

•

Representación de relaciones entre magnitudes. Uso de la calculadora graficadora y/o una computadora. Modelos aritméticos y algebraicos.

3

38

 4 •

•

•

•

•

5

Guía pa para el el do docente

Matemáticas 1

Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y texto con símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

Apertura Competencia(s)

Genérica(s) y atributos I. Presentación del docente docente de los contenidos y com1. Se conoce y valora a sísí mismo y aborda petencias para este bloque. problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. II. Evaluación diagnóstica. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes mensajes a) El profesor puede puede pedir a los alumnos que pertinentes en distintos contextos meexpliquen con sus palabras lo que entienden por diante la utilización de medios, códigos ecuación para abordar enseguida la sección “¿Qué y herramientas apropiados. sabes hacer ahora?” de la p. 109 del libro de texto. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de  III. Introducción métodos establecidos. a) El docente planteará la situación ón didáctica “Mezcla 7. Aprende por iniciativa e interés propio a de dulces” de la p. 110 del libro de texto. Después lo largo de la vida. hará el desarrollo del “Análisis de la situación”. Se 8. Participa y colabora de manera efectiva efectiva recomienda que durante su exposición, integre a en equipos diversos. los alumnos haciéndoles preguntas relacionadas - Aplica distintas estrategias estrategias comucon los procedimient procedimientos os explicados. nicativas según quienes sean sus b) Los estudiantes resolverán resolverán la “Secuencia didácinterlocutores, el contexto en el que tica” de la p. 111. Posteriormente, llevarán a cabo se encuentra y los objetivos que el “Proyecto de trabajo” y entregarán lo realizado persigue. siguiendo las indicaciones de la “Rúbrica de evaluación”.

Actividades: docente y estudiante

I. Ecuaciones lineales a) El docente explicará en plenaria los algoritmos necesarios para hallar la “Solución de ecuaciones lineales” (p. 112) y resolverá el ejemplo 1 sugerido en la misma página.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 111 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 111 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sísí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 111 del libro de texto).

Producto(s) Instrumentos de aprendizaje de evaluación Disciplinar(es) Rúbrica (p. 121 del libro de Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. texto). la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, Exposición de las soluciones geométricos y variacionales, para la comprensión y a los ejemplos 2 a 10 (pp. 113 análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. a 116 del libro de texto). Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando Respuestas a los ejercicios diferentes enfoques. de la Autoevaluación 6A (pp. 117 a 119 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

b) Sugerimos que los alumnos se organicen en equipos para exponer ante el grupo las soluciones a los ejemplos 2 a 10 contenidos en las pp. 113 a 116. Recomiéndeles que consideren la información contenida en las columnas laterales de las páginas señaladas para que complementen su exposición, además del uso de láminas en rotafolios o presentación de diapositivas expuestas mediante un cañón proyector. Individualmente resolverán las preguntas de las distintas secciones “Verifica tu alcance” (pp. 112 a 115). Finalmente, de manera individual resolverán la “Autoevaluación 6A” de las pp. 117 a 119 y entregarán el debido reporte en hojas blancas. II. Funciones y ecuaciones lineales a) El docente propondrá resolver resolver la situación didáctica “Banco de ostiones” (p. 120) desarrollando el “Análisis de la situación”. Le recomendamos que paralelamente, explique los conceptos mencionados en la sección “Conocimientos” de la columna lateral izquierda de la misma página y considere las instrucciones de la “Rúbrica de evaluación” (p. 121). b) Los estudiantes continuarán el trabajo resolviendo la “Secuencia didáctica” de la p. 121 e implementado el “Proyecto de trabajo” correspondiente. c) En este tema, el profesor explicará los conceptos de la función lineal  y  y la manera de encontrar las intersecciones con los ejes  (p.  (p. 122). d) Sugerimos que los estudiantes sean invitados al frente del grupo para desarrollar en el pizarrón los procedimientos de solución para los ejemplos 1 a 5 (pp. 122 a 124), reproduciendo las tablas o gráficas respectivas; para ello, es conveniente que tomen en cuenta las explicaciones de “Fíjate en lo siguiente”, “Observaciones importantes” y “Recuerda” incluidas en las columnas laterales de las páginas mencionadas. e) Finalmente, los alumnos resolverán la “Au“Autoevaluación 6B” de la p. 125, considerando las sugerencias respectivas.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 5. Desarrolla innovaciones y propone Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante soluciones a problemas a partir de procedimientos y los contrasta con modelos establecimétodos establecidos. dos o situaciones reales. 7. Aprende por iniciativa e interés nterés propio a lo largo de la vida. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un 8. Participa y colabora de manera efectiva efectiva proceso social o natural para determinar o estimar su en equipos diversos. comportamiento. - Aplica distintas estrategias estrategias comunicativas según quienes sean sus Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos interlocutores, el contexto en el que con símbolos matemáticos y científicos. se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Secuencia didáctica de la p. 121 del libro de texto.

Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 121 del libro de texto. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 6B (p. 125 del libro de texto).

39

Instrumentos de evaluación

40

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general, puede proponer varios ejercicios que planteen todos los métodos estudiados en este bloque para que los alumnos los resuelvan en el pizarrón y de esta manera pueda detectar fortalezas y debilidades en sus conocimientos.

6 •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

7

Matemáticas 1

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros Rotafolios Proyector Presentación con diapositivas Láminas en cartulina Material para exposición

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 126 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 126 del libro de texto). Guía de observaciones (p. 127 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 7 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

41

BLOQUE 7 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 11 y 1.3

Propósitos: Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos incógnitas mediante métodos num éricos: determinantes; Algebraicos: eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución; Gráficos. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. •

•

•

•

•

•

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes. Métodos aritméticos o algebraicos.

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

42

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) El docente propondrá reflexionar sobre “¿Qué sabes hacer ahora?” (p. 129); puede preguntar: ¿qué nos indica el punto de intersección de las dos rectas de la gráfica?  III. Introducción. a) Antes de proponer la situación didáctica “Matrimonios y divorcios” de la p. 130, el profesor puede recordar el algoritmo necesario para calcular un porcentaje y preguntar a los alumnos qué representa un el porcentaje con relación a la cantidad original. A continuación, es conveniente que efectúe el análisis descrito en la misma página. Puede apoyarse en la sección “Conocimientos” para complementar su exposición. b) Los estudiantes calcularán lo solicitado en la “Secuencia didáctica” de la p. 131 y llevarán a cabo el “Proyecto de trabajo” de la misma página; es necesario que tomen en consideración las indicaciones señaladas en la rúbrica.

Actividades: docente y estudiante

I. Solución gráfica de sistemas lineales a) El profesor explicará los procedimientos mencionados en la p. 132 respecto a la manera de hallar la solución gráfica de sistemas lineales  2 × 2 basado en encontrar los puntos comunes de dos ecuaciones. Se recomienda que explique la solución de los ejemplos 1, 2 y 3 (pp. 132 y 133) apoyándose en la información contenida en las columna laterales de las páginas mencionadas. b) Los estudiantes analizarán y explicarán frente al grupo los ejemplos 4 y 5 (pp. 133 y 134); también responderán la sección “Verifica tu avance” de la p. 132. Finalmente, resolverán la “Autoevaluación 7A” de la p. 135 del libro de texto.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 131 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 131 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 131 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Respuestas a los ejercicios análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. de la Autoevaluación 7A (p. 135 del libro de texto). Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Secuencia didáctica de la p. 137 del libro de texto. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- Resultados del “Proyecto de dos o situaciones reales. trabajo” de la p. 137 del libro de texto. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su Respuestas a los ejercicios comportamiento. de la Autoevaluación 7B (p. 141 del libro de texto).

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 137 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

c) El docente propondrá la situación didáctica “Esencias para perfumes” de la p. 136. Puede mencionar que los perfumes han sido utilizados desde tiempos antiguos, como el emperador Alejandro Magno en el siglo IV a.n.e.; posteriormente, irá guiando a los alumnos para efectuar el “Análisis de la situación”. Recomiéndeles que consideren las indicaciones de la rúbrica (p. 137). d) Los alumnos contestarán la “Secuencia didáctica” e implementarán el “Proyecto de trabajo” de la p. 137, tomando en cuenta las instrucciones de la “Rúbrica de evaluación”. e) Para abordar el tema “Solución de sistemas lineales 2 × 2” (p. 138), el docente explicará el método algebraico que consiste en reducir  el sistema a una ecuación con una variable; además, resolverá los ejemplos 1, 2 y 3 sugeridos en las pp. 138 y 139. f) Los estudiantes estudiarán los algoritmos de solución para los ejemplos 4 y 5 (p. 140), así como las secciones “Fíjate en lo siguiente” respectivas, y aleatoriamente, los explicarán frente al grupo. Posteriormente, resolverán la “Autoevaluación 7B” de la p. 141, atendiendo las “Sugerencias para la autoevaluación 7B”.

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general, el docente puede plantear algunos ejercicios para que los a lumnos los resuelvan en el pizarrón mediante una lluvia de ideas en la que cada uno de ellos sugiera una parte de la solución.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, una lluvia de ideas. geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

43

Instrumentos de evaluación

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 142 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 142 del libro de texto). Guía de observación para el proyecto de trabajo “Compra de impresoras” 7A (p. 143 del libro de texto).

44

6 •

•

•

•

•

•

•

7

Guía para el docente

Matemáticas 1

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros Rotafolios Láminas en cartulina

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 8 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

45

BLOQUE 8 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 12 y 13

Propósitos: Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: - Numérico: Determinantes - Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta), sustitución   - Gráficos Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. •

•

•

•

•

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes. Métodos aritméticos o algebraicos.

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

46 •

•

•

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación por parte del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) El docente propondrá la temática de la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 145, para ello, puede mencionar que el álgebra sirve para plantear y resolver situaciones en las que intervienen más de dos variables, como es el caso de la gráfica incluida en esa página.  III. Introducción. a) El profesor planteará la situación didáctica “Selección deportiva” de la p. 146. Para fomentar la participación de los alumnos, recomendamos que durante el “Análisis de la situación”, formule las preguntas incluidas en esta sección para que las contesten con argumentos propios y en conjunto, vayan generando las respuestas. Recomiéndeles que estudien la información incluida en la sección “Conocimientos” como apoyo al análisis realizado. b) Los alumnos seguirán los pasos señalados en la secuencia didáctica de la p. 147 para hallar la solución a la situación planteada. De forma individual, desarrollarán el “Proyecto de trabajo” considerando las indicaciones de la “Rúbrica de evaluación”.

Actividades: docente y estudiante

I. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3 a) El docente propondrá la situación didáctica “Distribución y venta de quesos” de la p. 148; puede pedir a algún alumno que justifique el “Análisis de la situación” mientras que los demás hacen propuestas al respecto. Recomiéndeles que estudien la información incluida en la sección “Conocimientos” como apoyo al análisis realizado.

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 147 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 147 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 147 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Secuencia didáctica de la análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. p. 149 del libro de texto.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 149 del libro de texto.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 149 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

b) Los estudiantes resolverán cada uno de los incisos de la “Secuencia didáctica” de la p. 149 de manera individual, además del “Proyecto de trabajo” sugerido en la misma página. c) El docente hará la justificación de los métodos abordados en la p. 150 respecto a la resolución de un sistema 3 × 3 por sustitución y por determinantes. Sugiérales que estudien la sección “Fíjate en lo siguiente” de la misma página. Recomendamos que explique el desarrollo de las soluciones a los ejemplos 1 y 2 (pp. 150 y 151). d) Para abordar el ejemplo 3 de la p. 152, se recomienda que varios alumnos pasen frente al grupo a resolver una parte del ejercicio, de esta manera se fomenta su participación y provoca la detección de fortalezas y debilidades en la asimilación de los procedimientos aprendidos. Finalmente, resolverán en equipo la “Autoevaluación 8B” de la p. 153, atendiendo las “Sugerencias para la autoevaluación 8B” incluidas en la misma página.

Actividades: docente y estudiante

I. El profesor puede sugerir algún ejercicio parecido a los estudiados en este bloque para que los alumnos lo resuelvan en forma grupal, todo esto a manera de repaso general.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante 5. Desarrolla innovaciones y propone procedimientos y los contrasta con modelos establecisoluciones a problemas a partir de dos o situaciones reales. métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a Analiza las relaciones entre dos o más variables de un lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos interlocutores, el contexto en el que con símbolos matemáticos y científicos. se encuentra y los objetivos que persigue.

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 8B (p. 153 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

47

Instrumentos de evaluación

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 154 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 154 del libro de texto). Guía de observación para los proyectos de trabajo (p. 155 del libro de texto).

48

6 •

•

•

•

•

•

7

Guía para el docente

Matemáticas 1

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros Presentación con diapositivas

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 9 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

49

BLOQUE 9 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 14 y 15

Propósitos: Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:   - Completa: ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, 1 o: x 2 + bx + c = 0   - Incompleta: ax 2 + bx = 0, con a ≠ 0, 1 o: ax 2 + c = 0 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: - Por extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones incompletas. - Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable. Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cu adráticas. Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles. •

•

•

•

•

•

•

Competencias genéricas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

Representación de relaciones entre magnitudes. Métodos aritméticos o algebraicos.

3

50

 4 •

•

•

•

•

•

•

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación por parte del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) Para introducir la clase al tema de la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 157, recomendamos que el profesor pregunte al grupo ¿qué es una parábola? o ¿qué entienden por trayectoria parabólica y qué objetos conocen que describan una trayectoria de ese tipo?  III. Introducción. a) La situación didáctica “Víveres para damnificados” de la p. 158 plantea la trayectoria que describen algunos paquetes; antes de hacer el planteamiento, el profesor puede interrogar al grupo respecto a cómo creen que sea la trayectoria que describirán ciertos objetos si se dejan caer de una avioneta en movimiento. Después, guiará a los alumnos en el “Análisis de la situación” siguiendo los incisos “Explora” y “Reflexiona”. b) Los estudiantes trabajarán en equipo para contestar la “Secuencia didáctica” y el “Proyecto de trabajo” de la p. 159, aunque entregarán individuamente el resumen y registro de operaciones mencionados en la “Rúbrica de evaluación”.

Actividades: docente y estudiante

I. Ecuaciones cuadráticas a) El profesor explicará los procedimientos para hallar la solución de ecuaciones cuadráticas completas e incompletas (p. 160); antes de iniciar el tema, puede hacer un breve repaso del algoritmo

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, Evaluación diagnóstica. geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 159 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 159 del libro Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 159 del libro de texto).

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda Construye e interpreta modelos matemáticos mediante problemas y retos teniendo en cuenta la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, los objetivos que persigue. geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Producto(s) de aprendizaje Apuntes. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 9A (pp. 162 y 163 del libro de texto).

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 165 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

aritmético para calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Le recomendamos que resuelva frente al grupo los ejemplos 1 a 4 de las pp. 160 y 161, dejando a los alumnos el estudio de la información de apoyo contenida en las columnas laterales de las páginas mencionadas. b) Los alumnos se reunirán en equipo para justificar la solución del ejemplo 5 (p. 162), considerando las secciones “Fíjate en lo siguiente” y “Ampliando el conocimiento”. Además, resolverán en forma individual la “Autoevaluación 9A” de las pp. 162 y 163. II. Solución general de ecuaciones cuadráticas a) Antes de iniciar el planteamiento de la situación didáctica “Pantalla de plasma PDP” de la p. 164, el docente puede preguntar al grupo qué tipo de pantallas tienen en sus casas y de qué medida. Posteriormente, puede abordar la situación y el análisis de la misma. b) Los alumnos llevarán a cabo las actividades sugeridas en la “Secuencia didáctica” y el “Proyecto de trabajo” de la p. 165. Recomiéndeles que lean la “Rúbrica de evaluación” para que sepan la manera de entregar los reportes del trabajo realizado. c) El profesor explicará el método de completar el trinomio cuadrado perfecto como solución general para las ecuaciones cuadráticas. Es recomendable que resuelva los ejemplos 1 y 2 (pp. 166 y 167) para que los alumnos tengan una referencia precisa de cómo hacerlo y que ellos estudien la información de las columnas laterales correspondientes. d) Pida a algunos estudiantes que pasen frente al grupo a desarrollar las soluciones de los ejemplos de la p. 168, recomiéndeles que estudien la información de la columna lateral de esa página. Además, los alumnos responderán la “Autoevaluación 9B” (p. 169) aplicando las sugerencias incluidas en la columna lateral derecha.

Actividades: docente y estudiante

I. Para hacer un repaso general, se recomienda que el profesor formule preguntas a cada uno de los alumnos, relacionadas con la definición y solución de las ecuaciones cuadráticas.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 4. Escucha, interpreta y emite mensajes Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando pertinentes en distintos contextos me- diferentes enfoques. diante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante 5. Desarrolla innovaciones y propone procedimientos y los contrasta con modelos establecisoluciones a problemas a partir de dos o situaciones reales. métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a Analiza las relaciones entre dos o más variables de un lo largo de la vida. proceso social o natural para determinar o estimar su 8. Participa y colabora de manera efectiva comportamiento. en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Cierre Competencia(s)

Producto(s) de aprendizaje Secuencia didáctica de la p. 165 del libro de texto.

51

Instrumentos de evaluación

Resultados del “Proyecto de trabajo” de la p. 165 del libro de texto. Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 9B (p. 169 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. problemas y retos teniendo en cuenta la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y los objetivos que persigue. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 170 del libro de texto).

52

Guía para el docente

Actividades: docente y estudiante

6 •

•

•

•

•

•

7

Matemáticas 1 Cierre (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Disciplinar(es) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros Presentación con diapositivas

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Producto(s) de aprendizaje

Instrumentos de evaluación Lista de cotejo (p. 170 del libro de texto).

Guía de observación para el proyecto de trabajo (p. 171 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria

Institución educativa: Nombre del plantel: Asignatura: Matemáticas 1 Bloque: 10 Fecha:

Semestre: Primero

Docente(s): Ciclo escolar: Duración en horas: 8 horas

53

BLOQUE 10 Información general

1

Desarrollo de desempeños

2

Periodo en el que se aplica:  Semanas 15 y 16

Propósitos: Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y = ax 2 + bx + c  como una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo. Transforma la función cuadrática y = ax 2 + bx + c  a la forma estándar  y = a (x - h )2 + k , obteniendo así las coordenadas del V( h , k ), para trazar su gráfica. Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “ x ” son la solución cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante b 2 −  4 ac  tienen soluciones reales, imaginarias o complejas. Visualiza que al cambiar los parámetros de “a , b , c ” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical. Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cu ando son o no admisibles. Competencias genéricas a desarrollar: Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, persigue. algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de o formales. medios, códigos y herramientas apropiados. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. establecidos o situaciones reales. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. •

•

•

•

•

•

•

Otras asignaturas con las que se relaciona el bloque: Química 1, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas 2, Química 2, Matemáticas 3, Matemáticas 4, Física 1, Física 2, Biología 1.

Otros bloques de esta asignatura con los que se relaciona: Todos.

Objetos de aprendizaje necesarios para el desarrollo de las competencias •

•

3

Representación de relaciones entre magnitudes. Métodos aritméticos o algebraicos.

Competencias a desarrollar  4 •

•

•

•

•

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con distintos símbolos matemáticos y científicos.

54 •

•

5

Guía para el docente

Matemáticas 1

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Reconoce que la diversidad tiene lugar en u n espacio democrático de equidad, de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas y rechaza toda forma de discriminación.

Secuencia didáctica

Actividades: docente y estudiante

I. Presentación por parte del docente de los contenidos y competencias para este bloque. II. Evaluación diagnóstica. a) Después de plantear la temática de la sección “¿Qué sabes hacer ahora?” de la p. 173, el profesor puede preguntar al grupo ¿cuál será el valor de la variable y cuando la variable x  sea igual a cero?  III. Introducción. a) Para proponer la situación didáctica “Preservación de pandas” (p. 174), el docente puede mencionar que México fue testigo en 1981 del primer oso panda nacido en cautiverio fuera de China; además, realizará el “Análisis de la situación” mencionando los tres pasos a seguir sugeridos en dicha sección. b) Los alumnos llevarán a cabo lo indicado en la “Secuencia didáctica” de la p. 175, así como desarrollar el “Proyecto de trabajo” registrando en el cuaderno lo señalado en la “Rúbrica de evaluación”.

Actividades: docente y estudiante

I. Funciones y ecuaciones cuadráticas a) El docente explicará que una función cuadrática puede representar una parábola, además expondrá la forma estándar de la función cuadrática (p. 176 del libro de texto). Recomendamos que desarrolle los procedimientos de solución para los ejemplos 1 a 3 de las pp. 176 y 177, mencionando la información de las secciones “Observaciones importantes” y “Fíjate en lo siguiente”. b) Los alumnos estudiarán el ejemplo 4 (p. 178) y alguno de ellos será invitado a hacer la demostración frente al grupo; es conveniente que estudien la información de la columna lateral correspondiente. Posteriormente, responderán la “Autoevaluación 10A” (pp. 178 y 179).

Apertura Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Evaluación diagnóstica. análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Secuencia didáctica de la Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando p. 175 del libro de texto. diferentes enfoques. Resultados del “Proyecto de Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante trabajo” de la p. 175 del libro procedimientos y los contrasta con modelos estableci- de texto. dos o situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Desarrollo Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 175 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Apuntes. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y Respuestas a los ejercicios análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. de la Autoevaluación 10A (pp. 178 y 179 del libro de texto). Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Secuencia didáctica de la p. 181 del libro de texto. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos estableci- Resultados del “Proyecto de dos o situaciones reales. trabajo” de la p. 181 del libro de texto. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 181 del libro de texto).

Grupo Editorial Patria Actividades: docente y estudiante

II. La fórmula cuadrática a) El profesor planteará la situación didáctica “Amigas y pulseras” de la p. 180; posteriormente, efectuará el “Análisis de la situación” estudiando la gráfica y examinando el modelo sugerido. b) Los alumnos llevarán a cabo la “Secuencia didáctica” de la p. 181, además del “Proyecto de trabajo”; para esto, deberán considerar las indicaciones de la “Rúbrica de evaluación”. c) A partir de la información de la p. 182, el docente explicará la forma que tiene la fórmula cuadrática y cuál es el discriminante cuadrático. d) Se recomienda que los alumnos sean invitados al pizarrón a resolver alguno de los ejemplos 1 a 5 (pp. 182 a 185), orientados por el profesor y con ayuda de la información contenida en las secciones “Fíjate en lo siguiente”, “Observaciones importantes” y “Recuerda” de las páginas mencionadas. Finalmente, contestarán la “Autoevaluación 10B” de la p. 185, consultando las sugerencias correspondientes.

Actividades: docente y estudiante

I. El profesor puede organizar una rifa que consista en que cada alumno saque un papelito con alguna pregunta relacionada con los temas estudiados en este bloque. Al responderlas, habrá una oportunidad de comprobar qué tanto asimilaron los conceptos aprendidos.

Desarrollo (continuación)  Competencia(s) Genérica(s) y atributos Disciplinar(es) - Aplica distintas estrategias comu- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos nicativas según quienes sean sus con símbolos matemáticos y científicos. interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Cierre Competencia(s) Genérica(s) y atributos 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. - Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Producto(s) de aprendizaje Respuestas a los ejercicios de la Autoevaluación 10B (p. 185 del libro de texto).

Producto(s) de aprendizaje Disciplinar(es) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante Repaso general. la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

55

Instrumentos de evaluación

Instrumentos de evaluación Rúbrica (p. 186 del libro de texto).

Lista de cotejo (p. 186 del libro de texto). Guía de observaciones para los proyectos de trabajo (p. 187 del libro de texto).

56

6 •

•

•

•

•

•

7

Guía para el docente

Matemáticas 1

Recursos a emplear en el salón de clases Libro de texto Pizarrón Marcadores Enciclopedias electrónicas Libros Presentación con diapositivas

Validación

Elabora: Avala:

Recibe: Docente(s):

Grupo Editorial Patria

Matemáticas Álgebra en acción

1

57

Respuestas a los ejercicios del libro

Joaquín Ruiz Basto Bloque 1A ■

Cambios climáticos

■

Secuencia didáctica

Cambios climáticos Argumentación  Los alumnos deben argumentar por qué sólo se calcula el volumen de agua condensada  y no los otros volúmenes de agua en estado líquido o sólido. No se mencionan deshielos simultáneos con la lluvia.

1. Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad máxima promedio de 25 kg de agua.

•

2. Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre la superficie terrestre sería la misma en todos los lugares del planeta. 3. Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el área de su base (1 m 2).

•

Área de la base: 1 m 2 = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm2.

b) No se consideran las condiciones físicas de temperatura  (4 °C) y pureza del agua (destilada) para hacer la equivalencia entre peso y volumen. Estimación general aproximada.

Volumen de agua 25 000 cm = = 2.5 cm Área de la base 10 000 cm2 3

c) ¿Cuántas veces es mayor 9 km que 2.5 cm? 900 000 ÷ 2.5 = 360 000 veces.

 4. Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie, el agua alcanzaría una altura máxima de 2.5 cm.

•

5. El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría la altura de esta capa de agua,

Altura del Monte Everest 900 000 cm = = 360 000 veces  Altura de la capa de agua 2.5 cm •

Comentarios adicionales •

•

Empleo de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Conviene operar con potencias de diez y corroborar resultados con calculadora. Analizar ubicación del punto decimal en productos y divisiones. Destacar el cociente: Volumen ÷ superficie = altura. Comunicación  Alentar a los alumnos a que busquen y expongan al grupo distintas definiciones para 1 m3. Conducir el debate.

El agua de lluvia proviene del vapor atmosférico cuando éste se condensa (pasa del estado gaseoso al líquido). El agua de todo el planeta incluye el agua en estado líquido (océanos, ríos, lagunas, esteros, etc.), en estado gaseoso (vapor atmosférico) y sólido (hielos).

Bloque 1B ■

•

Razonamiento  Debe inducirse al alumno a razonar por qué, para los cálculos: a) Se considera el máximo  de vapor atmosférico en 1 m3 de aire. Situación límite catastrófica.

Volumen máximo de agua: 25 kg = 25 000 g = 25 000 cm3.

=

Observaciones importantes

Los vientos y la humedad crean distintas concentraciones de vapor de agua causando diferentes precipitaciones pluviales, incluso en regiones próximas.

Tu computadora personal

Secuencia didáctica

1. Si la computadora cuesta en este momento $10 000, en la siguiente semana se tendrá:

Nuevo precio: 10 000 + 10%(10 000) = 10 000 + 0.10 × 10 000 = 11 000.

58

Guía para el docente

Matemáticas 1

Nuevo precio con descuento: 11 000 - 10% (11 000) = 11 000 - 1 100 = $9 900. Como este precio es menor que el precio actual, conviene esperar para comprar el equipo en oferta la próxima semana. 2. Para cualquier precio P  (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio, con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así:

Nuevo precio: P + 10% P = P + 0.10P = 1.10P  Nuevo precio con descuento: 1.10P - 10% (1.10P ) = 1.10P - (0.10)(1.10P) = 0.99P . 3. Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computadora en oferta es una centésima menor que el precio inicial. Aplicado a un precio P  de $10 000 anticipa que el nuevo precio en oferta será de $(0.99)(10 000) = $9 900 y para un precio P = $15 000, será de $(0.99)(15 000) = $14 850. Comentarios adicionales •

■

Los precios bajos y medios de las computadoras portátiles oscilan entre $6 500 y $15 000. La variación en el precio depende de dos factores: 1) las características del modelo, 2) el lugar de venta. Observaciones importantes

Tu computadora personal Pensamiento matemático  a) Para una misma computadora ¿habría un precio único en el mercado? Precios variables. ¿Con cuál se realizará el primer cálculo? El promedio de precios. •

Bloque 2A ■

Secuencia didáctica

1. El huso horario del Centro de México, -6, indica que la hora en esa zona del país es 6 horas menos que la de Greenwich. Los husos horarios de la Montaña y del Pacífico son -7 y -8 e indican que están siete y ocho horas antes que la hora de Greenwich. 2. En términos absolutos, entre México y Japón existen -6-9 = -15 = 15 horas de diferencia. Contadas desde cada país, de México a Japón hay 9 - (-6) = 15 horas de diferencia, y de Japón a México (-6) - 9 = -15 horas de diferencia. Entre Perú y E.U. existen -6-9 = -15 = 15 horas de diferencia. 3. Siendo las 10 a.m. en Londres, en México (hora central) son las 10 + (- 6) = 4 a.m.; en Perú: 10 + (-5) = 5 a.m.; en Italia: 10 + (1) = 11 a.m; en Brasil: 10 + (-3) = 7 a.m.; en E.U.: 10 + (-8) = 2 a.m; en Japón: 10 + (9) = 19 horas; en Australia: 20 horas.  4. Ensenada, Baja California, zona Pacífico: 9:45 horas; Los Mochis, Sinaloa, zona de la Montaña: 9:45 + 1 = 10:45 horas; Mérida, Yucatán, zona Central, 9:45 + 2 = 11:45 horas. 5. Usos horarios: Perú: (-5); Alaska: 2 × (-5) = -10. La diferencia de Perú a Alaska es -5 - (-10) = -5 horas. Siendo las 8:12 p.m. en Perú, en Alaska serán las 8:12 + (-5) = 3:12 p.m. Comentarios adicionales •

•

•

b) Si no se cuenta con algún dato sobre el precio, ¿esto sería un impedimento para analizar las opciones de compra? Suponer un precio hipotético. c) Los alumnos deben destacar la ventaja del modelo algebraico que permite predecir resultados para cualquier precio, sobre cálculos aritméticos referidos a precios particulares. d) Reflexionar acerca de dos procesos importantes y típicos del quehacer matemático, presentes en el desarrollo de estas actividades: 1) abstracción y 2) generalización. 1) Reemplazo de conjuntos de precios particulares por variables. 2) Construcción de modelos específícos generales. •

•

Razonamiento  Regularidad: ¿Hay un comportamiento similar en los cálculos del 10% para diferentes precios? Sí. ¿Un patron fijo? Sí. La diferencia es siempre 0.01 del precio inicial. Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  Extracción de factor común: 10 000 + (0.10)(10 000) = (1)(10 000) + (0.10)(10 000) = (1 + 0.10)(10 000) = (1.10)(10 000).

Husos horarios

■

De México a Greenwich hay una diferencia de 6, 7 u 8 horas, según la zona horaria del país. De Greenwich a México son -6, -7 o -8 horas. En la actualidad algunos de los límites de los husos horarios siguen las formas irregulares de las fronteras de los países, por lo que se habla más de “zonas horarias”. La línea internacional de cambio de fecha se halla 12 horas al Oeste de Greenwich (a la derecha en el mapa), en el meridiano de 180° (12 × 15°) situado entre Alaska y Siberia. Observaciones importantes

Husos horarios Argumentación  ¿Influye el orden en las restas de husos horarios? ¿Qué orden debe seguirse para obtener la diferencia de un sitio a otro? - Sí. Intercambiar términos modifica el signo y la interpretación. - Huso del sitio final - huso del sitio inicial. •

•

•

Razonamiento  Los alumnos deben razonar acerca de que los avances en los husos son dirigidos  y que los signos indican la dirección del m ovimiento. - En el mapa, positivos de izquierda a derecha; en la Tierra: Oeste-Este. Representación  Promover el empleo de rectas numéricas cuando sea necesario visualizar ubicaciones de husos o relaciones entre temperaturas.

Grupo Editorial Patria •

•

Comunicación  Alentar a los alumnos para que interpreten los signos al comunicar los resultados de operaciones con husos horarios o con temperaturas.

2. El modelo de variación inversa para los datos de la tabla es xy = 7 × (1 200).

59

Días x  7 Personas  y  1 200

De aquí se establece cuántos días x  durará la despensa para  y  personas:

Empleo de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  - Uso de números simétricos; valor absoluto; orden en la recta numérica.

x = 7 × (1 200)  y 

- Restas: 10 - 6 = 10 + (-6). - Operaciones con números “denominados” (expresados con diversas unidades de una misma magnitud) como 3:45 (3 h, 45 min.) - Fracciones y conversiones: 3 1 7 1 5 10 1 1  hora + 20 minutos + 1  hora en horas: + + = = 3 ; en minutos:  4  4  4 3  4 3 3 655 105 + 20 + 75 = 200. Diversos:  min = 10.91 horas = 10:55. 60

Bloque 2B

Comentarios adicionales •

•

•

Alentar a los estudiantes a que utilicen este último modelo para corroborar el dato obtenido en el punto 1 anterior y, después, para determinar la cantidad de días que durará la despensa para otras variaciones en el número de huéspedes, sean mayores o menores a la inicial. Estas cantidades pueden darse directamente y también mediante porcentajes.

Afluencia turística ■

■

Se reducen las reservas al aumentar los huéspedes, o duran más si éstos disminuyen. Hay que suponer que la despensa no se reabastece antes, y que el consumo promedio por huésped no varía. Las tasas de hospedaje y propinas se obtienen dividiendo cada monto entre la cantidad de huéspedes. Los alumnos podrán escoger libremente esta última en el intervalo de 3 a 4 millones.

Secuencia didáctica

Observaciones importantes

Afluencia turística Pensamiento matemático a) Reflexionar sobre el hecho de que sólo tienen sentido números enteros entre 3 y 4 millones.

Parte a)

•

1. Por cada rubro, la erogación diaria de los turistas fue:

Hospedaje

Comida

Propinas

$11 204 105 000 7 días

$13 130 102 000 7 días

$5 030 000 000 7 días

= $1 600 586 429

= $1 875 728 857

= $718 571 428.6

b) 1. ¿Cuántas posibilidades existen para el número de turistas? Un millón. 2. ¿Cuál cantidad escoger? Cualquier número entero entre 3 y 4 millones (¿Incluiría a 3 o 4 millones?). •

2. La erogación por persona en esa semana fue:

Hospedaje

Comida

Propinas

$11 204 105 000 3 500 000

$13 130 102 000 3 500 000

$5 030 000 000 3 500 000

= $3 201.17

= $3 751.46

= $1 437.14

3. Para hallar el gasto diario por turista en comida, hay dos opciones: dividir el cociente obtenido en el punto 1 entre 3 500 000 o el obtenido en el punto 2 entre 7. En cualquier caso el resultado es: $535.92 por persona, diariamente. Parte b) 1. Huéspedes alojados en el hotel: 1 200 - 7%(1 200) = 1 116. d  1 200 La proporción = , que es inversa, resuelve que, para esos huéspedes, la despensa duró 7 1 116 d = 7.53 días.

Razonamiento  Observar que si el total disminuye 7%, la cantidad resultante es el 93% de la inicial. Esto se refleja al hacer el cálculo: 1 200 - 0.07(1 200) = (1 - 0.07)(1 200) = (0.93)(1 200) = 93% (1 200).

•

•

Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  Uso de la calculadora. Inquirir sobre la supresión de colas de ceros. Redondeo de cifras decimales. Conexiones  Proporción y variación inversa  1 200

1 116

7

d 

La proporción inversa  se escribe tomando los cocientes en cruz 1 200 = 1 116 d  7

60

Guía para el docente

Matemáticas 1

Usando variación inversa  se toman productos por columnas.

 

•

(1 200)(7) = (1 116)(d )

Tarjeta áurea: Geometría . Trazar un triángulo rectángulo cuyos lados estén en razón 1 a 2 (p. ej. 10 y 5 cm) y con un compás trasladar la hipotenusa junto al lado menor.

1) Los valores en el eje vertical, ¿indican el ingreso: a) obtenido en ese año , o b) acumulado hasta ese año ?

Álgebra : ¿longitud de la tarjeta?

2) ¿Influye esta interpretación en el calculo de las ganancias? 1. La gráfica muestra que se trata de la interpretación b): el valor de un año a otro crece verticalmente 0.5. 2. Sí; la interpretación a) daría: 0.5 + 1 + 1.5 = 3 millones de pesos.

Bloque 3A ■

Representación  Interpretación de la gráfica.

Apertura de un restaurante •

Secuencia didáctica

1. La ganancia de 1 millón de pesos se representa en el eje vertical con el número 1 y se asocia mediante un punto de la gráfica con el número -2.5 del eje horizontal. Este número corresponde al año 2009 + 1 = 2010. 2. El valor inicial -3 en el eje vertical, correspondiente al año de apertura del negocio, 2009, indica un egreso por la inversión económica. A partir de allí, de un punto a otro de la gráfica se aumenta verticalmente 0.5 unidades. Por esta razón los valores -3, -2.5, -2, -1.5,…, 1.5, forman una sucesión aritmética en la que a 0 = -3, d = 0.5.

•

 

3. La fórmula para la sucesión anterior, a n  = a 0 + nd = -3 + n (0.5) constituye el modelo algebraico para conocer la ganancia a n  del restaurante en el año n , donde n = 0, 1, 2,…, 9. Para conocer la ganancia en el año 2015, se sustituye en esta fórmula el valor de n = 2015 - 2009 = 6 y se obtiene 0 pesos, que indica que hasta ese año se recupera la inversión inicial. Para el año 2020, n = 11; este valor no es admisible en este modelo.

Argumentación  ¿Por qué es errónea la interpretación a)? - Implicaría valores independientes; p. ej. a la inversión en 2009 seguiría otra  inversión en 2010, otra  en 2011, etc. La gráfica muestra que se partió de una sola inversión en 2009, que fue amortizándose 0.5 cada año hasta 2015, cuando concluye ( y = 0) la recuperación de la inversión inicial. Uso de operaciones y lenguajes técnico, formal y simbólico  Como -2.5 > - 3.5 ¿significa esto que se debe más  dinero en 2010 que en 2009? - Geométricamente, significa que -2.5 está más próximo a 0 (anulación del déficit), que -3.5. - Algebraicamente, en el contexto, el signo menos sólo refiere un déficit ; aritméticamente, las magnitudes (dinero en este caso) se comparan con -2.5 < -3. (Observar que también el valor absoluto indica distancia al origen).

 4. Como en el eje vertical se consignan las ganancias acumuladas hasta ese año, la última pareja de la gráfica, (9, 1.5), indica que la ganancia en esa década fue de 1.5 × 1 000 000 = $1 500 000. Bloque 3B

Comentarios adicionales •

Para x = 7, 8, 9, se obtienen cada año ganancias positivas de 0.5 millones de pesos que, para el año  2018, totalizan 1.5 millones de pesos (este lapso comprende sólo los últimos tres años de esa década). Otra forma: Periodo  2009-2018 (una década ).

 

Ganancia = Ingreso - inversión  = 9(0.5) - 3 = 1.5 millones de pesos . 10(-3 + 1.5) NO tiene sentido utilizar la serie aritmética : S 9 = = -7.5 para determinar las ganancias 2 obtenidas en la década . ■

■

Bienes raíces

Secuencia didáctica

Método 1 1. Si en la tabla aplicamos la equivalencia entre números y años utilizada en la gráfica, se observa una regularidad en los tres primeros renglones. De acuerdo con ésta, para los dos siguientes años (2010 y 2011) se tendrá (ver tabla): 2. Generalizando esta regularidad, se obtiene el patrón de comportamiento: para el año n , el valor a n  de la casa será: a n  = 925(1.12)n . Éste constituye nuestro modelo algebraico.

Año

0 1 2 3  4

Valor 925(1.12)0 925(1.12)1 925(1.12)2 925(1.12)3 925(1.12) 4

Observaciones importantes

Apertura de un restaurante Argumentación  ¿Por qué el modelo a n  = -3 + 0.5d  NO puede utilizarse para 2020? •

- Se establece que el modelo es sólo para una década (2020 ↔ n = 11).

Método 2 1. Si exploramos los cocientes de los términos sucesivos de la última columna de la tabla, observamos que éstos son iguales y que la sucesión es geométrica:

925(1.12) = 1.12 925

925(1.12)2 = 1.12 925(1.12)

925(1.12)3 = 1.12 925(1.12)2

Grupo Editorial Patria 2. Aplicando la fórmula del n -ésimo término para esta sucesión, con a 0 = 925, r = 1.12 obtenemos a n  = 925(1.12)n  (n = 0,..., 9). Para el año 2017, n = 2017 - 2007 = 10. Usando este valor en la fórmula anterior, sabremos que la casa costará $2 872 909.60

Bloque 4A ■

1.  Para x = 5 cm, las dimensiones de la caja serían:

Largo: 4x + 2.5 = 4(2.5) + 2.5 = 12.5 cm Alto: 3x + 0.5 = 3(2.5) + 0.5 = 8 cm Ancho: 3x + 2 = 3(2.5) + 2 = 9.5 cm

En el Proyecto de trabajo sobre niveles de cafeína, cada ciclo abarca 6 horas. El modelo algebraico es     a n  = 200  1  = 200(0.5)n   2  En la gráfica, 15 horas se sitúa horizontalmente entre los valores  2 y  3 (es decir, entre  12 y  18 horas). La respuesta sobre los niveles de cafeína en 15 horas podría variar según se considere discreto o continuo el dominio de esta función. En este caso, lo correcto estrictamente es un dominio discreto pues se trata de una sucesión geométrica que toma valores en los naturales (incluido el cero). En virtud de que 15 ÷ 6 = 2.5 no es un número natural, el modelo discreto no daría una solución . n 

•

•

■

Advertir que sólo permitiendo extrapolar el dominio a valores reales (es decir, utilizando la función exponencial y = 200(0.5)x definida en los reales), el alumno podría estimar gráficamente o con la ecuación el valor solicitado.

•

El valor 925 de la tabla se interpreta como 925 × $1 000 = $925 000. •

 

2. El volumen del separador es la suma de los volúmenes que ocupan las cinco hojas que lo forman:

2 hojas largas + 3 hojas cortas 2(0.5)(3x )(4x + 1.5) + 3(0.5)(3x )(3x + 1) = 25.5x 2 + 9x  3. El volumen de la caja se obtiene mediante el producto:

 

Largo × alto × ancho (4x + 2.5)(3x + 0.5)(3x + 2) = 36x 3 + 52.5x 2 + 22.75x + 2.5.

 4. El espacio libre en la caja se obtiene mediante la diferencia:

Volumen de la caja - volumen del separador 36x 3 + 52.5x 2 + 22.75x + 2.5 - (25.5x 2 + 9x ) = 36x 3 + 27x 2 + 13.75x + 2.5.

Observaciones importantes

Bienes raíces Representación  La información en esta situación se complementa mediante tres fuentes diferentes: 1) enunciado verbal, 2) gráfica, 3) tabla.

Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  (1.12)0 = 1, en virtud de que a 0 = 1, “a  Î Â - {0}. Manejo de signos de agrupación (paréntesis) y factorización (factor común).

5. Sustituyendo el valor x = 10 cm en las anteriores expresiones para el volumen, se determina que la caja ocupa un volumen de 41 480 cm 3 y que el espacio libre que deja el separador es de 38 840 cm 3. El volumen de la caja puede corroborarse obteniendo, para x = 10, su largo, alto y ancho, y el producto de estas tres dimensiones. Comentarios adicionales •

•

Aplicación de las propiedades de división de exponentes con igual base. •

Conexiones y extensión  Proponer que se compare e interprete la gráfica de esta lección con la del inicio del bloque, en donde se muestra el detalle para ocho horas, que corresponde tan solo a un ciclo y un tercio de esta otra en el Proyecto de trabajo. El dominio allí son los números reales en tanto que en el caso presentado en este proyecto el dominio son los números naturales. Aunque los modelos algebraicos muestran que en el primero n  representa horas continuas , en tanto que en el segundo caso (el del proyecto) n  representa ciclos  espaciados de 6 horas .

Embalaje de piezas

Secuencia didáctica

Comentarios adicionales •

61

•

■

Los embalajes son empaques especializados con moldes, compartimientos, protecciones y envolturas para aditamentos y piezas separadas, utilizados para resguardan un producto . Los modelos algebraicos generales para embalajes posibilitan diseñar múltiples cajas con dimensiones análogas. En el Proyecto de trabajo sobre consumo de frutas, para identificar el modelo correspondiente es útil valuar cada expresión en x = 0 (intersección-y ). Observaciones importantes

Embalaje de piezas Empleo de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  - Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas - Operaciones con polinomios: comprobar que sumar varios volúmenes iguales de los separadores equivale a multiplicar uno de ellos por un factor. - Empleo de calculadora para agilizar y comprobar cálculos numéricos y priorizar operaciones con polinomios. •

•

Razonamiento  Al considerar el grueso del cartón ¿cuánto disminuye el volumen interior de la caja?

62

•

•

Guía para el docente

Matemáticas 1

Construcción de modelos  - Necesidad de comprobar su funcionamiento y su utilidad predictiva. - Diferencia entre los volúmenes de envases y sus modelos respectivos. Representación  Diagramas para caja de refrescos:

4 x

6. Sustituyendo en este modelo p  por $90 se obtiene como ingreso I = 67 500 (en cientos de pesos), es decir, 67 500 × 100 = $ 6 750 000. Comentarios adicionales •

•

•

6 x + 1

Las truchas viven en climas fríos, con temperaturas del agua entre 7 °C y  15 °C . El mejor precio produce la mayor ganancia. Corresponde al punto más alto en la gráfica de I vs p. Puede estimarse en esta gráfica como p ≈ $60. Un precio mayor (a la derecha) disminuye ventas e ingreso; precios más bajos (a la izquierda) disminuyen ingreso por desconfianza de los consumidores y costos. Los precios fluctúan debido a la temporada (oferta) y al c onsumo (demanda). Para el proyecto sobre la venta de flores, el modelo para el precio en términos de los arreglos vendidos, p = 475 - 0.05x , se obtiene al escribir G  = 475x - 0.05x 2 = x (475 - 0.05x ) = x p . Solicitar una comparación e interpretación de las siguientes gráficas:

4 x + 0.6

•

Conexiones  Geometría: volúmenes de cuerpos -  Prismas: V = Largo × alto × ancho -  Cilindros: V = ( π r 2)h  1 -  Conos V = ( π r 2)h  3 - Aproximación de volúmenes: Promedio por exceso y por defecto - Física: Exploración del principio de flotación de Arquímedes para obtener el volumen de cuerpos irregulares. Aplicarlo en clase para hallar el volumen de un envase.

Bloque 4B ■

Cultivo y venta de pescado

Secuencia didáctica

1.  Sustituyendo x  por 20 en I = 120x - 0.04x 2 se halla el ingreso por la venta de 20 cientos de truchas:

    ) 1.31     $    e     d 1.04    s    e 0.78    n    o     l     l     i 0.52     M     ( 0.26

0 32

■

 x 

0 1 .5 2 .5 3 .5 4 .6 5 .1 5 .6 6 .6 7 .6 8 .7 9 .7

(Cientos)

Ganancia-arreglos vendidos

Observaciones importantes

Venta de pescado Representación  Dibujar la gráfica de p = 120 - 0.04x  para revisar la relación precio /ventas  p  = p  Observar que: 0.04  4 100 •

•

Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  - Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco: p  = 100 p  = 25 p .  4  4 100 - Intercambiar los términos en una resta implica cambiar su signo: p - 475 =  475 - p . -0.05 0.05

•

 4. El número máximo de truchas para el cual aplica el modelo es cuando p = 0 (las truchas son gratis, el ingreso es 0). Al resolver 120 - 0.04x = 0, x = 3 000, es decir, 3 000 × 100 = 300 000 truchas. 5. Para expresar el ingreso I  en términos del precio p , se despeja la variable x  en p = 120 - 0.04x  y se p  . Se sustituye esta expresión en el modelo I = 120x - 0.04x 2. AI simplificar, resulta obtiene x = 300 0.04 I = 3 000p - 25 p 2 = 25p  (120 - p ).

 p 9 6 1 60 2 2 4 2 88 3 5 2 4 16 4 80

Ganancia-precio

I = 120(20) - 0.04(20)2 = 2 384 = $238 400 2. El modelo I = xp  permite obtener el precio promedio por trucha: 2 384 = 2 384 = p = I  . Para este caso, p =  $119.20 x  x  20 3. Una expresión sencilla para p  puede hallarse simplificando el cociente anterior, o bien escribiendo I = 120x - 0.04x 2 en la forma de producto: I = xp = 120x - 0.04x 2 = x (120 - 0.04x ). El segundo factor debe ser p , es decir, p = 120 - 0.04x .

    ) 1.31 G      $    e     d 1.04    s    e    n 0.78    o     l     l     i 0.52     M     ( 0.26

G 

•

Razonamiento  Importancia del cambio de variable: ¿Qué utilidad tienen las dos expresiones para el ingreso I , una en términos de cantidades x  vendidas y otra en términos del precio p ? Comunicación  Alentar explicaciones acerca de la fluctuación de los precios, particularmente el descenso en el ingreso con precios inferiores o superiores al que proporciona el mayor ingreso.

Grupo Editorial Patria •

Representación 

■

■

•

Número de ardillas en la semana x . Semana Cantidad de ardillas x = 1 x + 1 = 2 x = 2 x + 1 = 3 x = 5 x + 1 = 6

Alimento para ardillas

Secuencia didáctica •

1. Si tres personas pagan cada una en promedio $150.00 por un desayuno, entonces: Costo total = 3 × $150.00, es decir,

Costo total = No. de personas × costo individual. En el caso del costo total del alimento (semanal) de las ardillas,

Costo total = x 2 + 24x + 23 = (x + 1) × costo individual.

•

¿Por qué se multiplica por x + 1? Porque es el número de ardillas por semana 2. Es claro que si expresas x 2 + 24x + 23 como el producto de x + 1 y otro factor lineal, este ú ltimo indicará el costo individual del alimento de las ardillas en la semana x . Puedes hallar este factor de dos maneras. 3. Método 1, factorizando . Si un factor de x 2 + 24x + 23 es x + 1, el otro debe tener la forma x + a . El número a  que hace falta deber cumplir con a × 1 = 23 y a + 1 = 24; por tanto, a = 23 y el factor buscado es x + 23. Éste representa el costo individual del alimento de las ardillas . Método 2, dividiendo . Divide x 2 + 24x + 23 entre x + 1 para obtener el otro factor lineal. El cociente de esta división es igual al factor obtenido antes e indica el costo semanal del alimento por cada ardilla.

•

$23; en la semana 5: $168; en la semana 10: $363; b) en x + a = x + 23 para conocer el costo por alimentar una ardilla en cada una de esas tres semanas: $23; $28; $33. 5. Es posible que, al observar la dotación de cacahuates, cada semana acudan más ardillas al área de alimentación, aumentando el consumo y que el costo del insumo aumente por temporada. Comentarios adicionales

Los costos obtenidos representan costos promedio y con éstos puede obtenerse la cantidad promedio de ardillas alimentadas cada semana.

Representación  ¿Qué representa cada factor de (x + 1)(x + 23)? en términos de la situación descrita? Del enunciado del problema se identifica x + 1 como la cantidad semanal de ardillas; siendo Costo total = cantidad de ardillas × costo individual resulta que el factor x + 23 representa el costo por alimentar cada ardilla en la semana x . Razonamiento y operaciones  ¿Cómo se sabe cuántas ardillas en promedio acudieron a alimentarse en la semana x? costo total costo individual

Ejemplificar para una semana particular como x = 5.

Bloque 5B ■

a) en la expresión x 2 + 24x + 23 para hallar el costo total: inicial:

Empleo de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Técnica para factorizar un trinomio cuadrático con coeficiente principal 1. Para el trinomio x 2 + 24x + 23 se hallan dos números cuyo producto es 23 y su suma 24. Ellos son 23 y 1. El trinomio puede escribirse entonces como ( x + 1)(x + 23). Realización del producto para comprobar la factorización.

Cantidad de ardillas =

x + 23 x + 1 x 2 + 24x + 23 -x 2 - x  0 + 23x + 23 23x - 23 0

 4.  Sustituye x  por 0, 5, y 10:

•

Observaciones importantes

Alimento para ardillas Razonamiento  ¿Qué indica la expresión x + 1?. Obtener su valor interpretando casos particulares, como x = 1, 2, 5.

Interpretación de las dos últimas gráficas: G vs p : Al incrementar el precio aumentan las ganancias; después de un precio óptimo disminuyen (productos muy caros con menor demanda). G vs x : Las ganancias se incrementan al aumentar las ventas. Después del punto óptimo las ganancias disminuyen (por gastos de operación, almacenaje, descomposición de la mercancía, impuestos, etc.). Cotejar ambas gráficas con la de p vs x.

Bloque 5A

63

Venta de churros

Secuencia didáctica

Parte a) 1. A partir de la regularidad observada en la tabla, el modelo algebraico para describir las cantidades vendidas de churros v  en la semana x  es: v = 1 750 + 450x , donde x = 0, 1,…, 11. Parte b) 2. Para conocer el precio promedio de los churros en cada semana, reemplazamos en p = I  las anteriores v  expresiones de I  y v :

p =

I  = -9x 2 + 865x +3 500 .  450x + 1 750 v 

64

Matemáticas 1

Guía para el docente

3. Al factorizar y cancelar factores comunes, se logra una expresión más simple para el precio:

La gráfica I vs p  en el problema de la venta de churros, ¿cómo se relaciona con los valores x  y v ?

p = (9x + 35)(180 - x ) = 180 - x . 50(9x + 35) 50  4. Para visualizar el comportamiento de los precios p  cada semana x , puede construirse una tabla: x  p 

0 3.60

1 3.58

2 3.56

3 3.54

... ...

10 3.40

 I 

73 728

11 3.38

57 344 40 960

5. Otra forma de visualizar el comportamiento de estos registros es mediante una gráfica. Identifica y completa cada una. v

24 576 8 192

 P 

3.67

7 000

0

1

2

3

4

 p

3.33 5 000

•

3.00

3 000

2.67

1 000  x

0 1 2

3 4

5 6

7 8

Ventas por semana

9 10 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

 x 

Precios por semana Bloque 5C

Comentarios adicionales •

•

■

1 Una expresión para el ingreso I en términos del precio p se obtiene como sigue: p  = (180 - x ), 50 de aquí , x = 180 - 50p. Por tanto , I = pv = p [450x + 1 750] = p [450(180 - 50p ) + 1 750]. Simplificando resulta: I = 82 750p - 22 500p 2.

En el proyecto de trabajo sobre empaque para televisión el ancho y el largo de las televisiones deben ser valores enteros positivos mayores o iguales que 4. En cambio, los valores admisibles para x no son necesariamente enteros y estarían, aproximadamente, en el intervalo  [4, 12]. Observaciones importantes

Venta de churros Razonamiento  ¿Cuántas semanas se están considerando en total? Doce. El enunciado refiere: “en las siguientes once semanas” (la primera se cuenta como 0). •

•

•

Razonamiento y operaciones  Relacionar el comportamiento de la gráfica de v vs x  con la de p vs x . Las ventas aumentan al disminuir los precios. Revisar redondeo de cifras en el cálculo de los volúmenes.

Empleo de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Uso de calculadora para cálculos de operaciones de fracciones decimales y cantidades grandes. Ordenar polinomios para dividirlos. ¿Por qué se factoriza antes de dividir? -9 En este caso se evitan c oeficientes fraccionarios; p. ej.  450 Representación  ¿Por qué se usan ejes recortados en las gráficas? Para prescindir de valores en las escalas que están lejanos a las zonas donde aparece la curva.

■

Limpieza de albercas

Secuencia didáctica

1. La fórmula para el volumen, V = largo × alto × ancho , muestra que al dividir V  entre el ancho se obtiene el producto largo × alto . Así, V  x  3 x  2 x   =  48  - 72  + 24 ancho 6x  - 3 2.  Escribiendo 8x 2 - 8x  como producto de dos expresiones algebraicas, una sería el largo y la otra el alto. Por ejemplo, puede escribirse 8x 2 - 8x = 8x (x - 1). 3. ¿Cuál de estos factores correspondería al largo y cuál al alto (profundidad) de la alberca?, ¿cuál dimensión es usualmente mayor en las albercas?, ¿cuál expresión sería mayor en este caso?, ¿por qué?.

Usualmente es mayor el largo. Como x > x - 1, resulta 8x > x - 1. Por tanto, 8x  corresponde al largo de la alberca y x - 1 a su profundidad. Para x = 2.5 m se tendría: largo = 8x = 8(2.5) = 20 m; ancho = 6x - 3 = 12 m; profundidad = x - 1 = 2.5 - 1 = 1.5 m.  4. Otras posibilidades para descomponer 8x 2 - 8x  en dos factores, son: 8(x 2 - x ); 4x (2x - 2); x (8x - 8). No todas son admisibles en el contexto del problema, pues algunas producen dimensiones absurdas. 5. Siendo el ancho 6x - 3, las tres primeras expresiones anteriores darían, para una alberca con un trampolín de 2 m de longitud, las siguientes dimensiones: largo 8 m; ancho 9 m; profundidad 2 m; la cuarta expresión daría: largo 32 m; ancho 9 m; profundidad 0.5 m.

Aceptando que en las albercas: largo ≥ ancho > profundidad , ¿serían admisibles las tres primeras medidas? Según las especificaciones del problema no, pero resultarían admisibles en la realidad porque la distinción entre ancho y largo sería solamente nominal.

Grupo Editorial Patria 6. Para otras medidas del trampolín, entre 1 m y 2.5 m (1 < x ≤ 2.5), ¿qué dimensiones producirían estas expresiones?, ¿cuáles resultan más costosas para el mantenimiento de la limpieza?

Bloque 6A ■

Las respuestas sobre las dimensiones dependen del valor de x . Implican más gasto en limpieza las que originan mayor volumen.

•

•

■

Secuencia didáctica

Dulce caro

En el punto  4 explorar las formas factorizadas asignando valores numéricos. En sentido estricto   4x (2x - 2) no sería aceptable si se admitiera que largo  ≥ ancho . En el punto 5 se requieren los tres factores y valuarlos en x  = 2. Por ejemplo, para x (8x - 8)(6x - 3), se  obtiene : 2, 8 y  9, correspondiendo 9 al ancho .  x  1  Existen infinidad de opciones algebraicas con términos no enteros equivalentes a  16x   −   . Solicitar  2 2  algunas y validar su pertinencia en la solución del problema . Observaciones importantes

 

1. ¿Por qué es posible emplear distintas factorizaciones? 2. ¿Por qué algunas no son admisibles para la solución? 3. ¿Cómo se determina cuál factor representa una dimensión específica? 1. Por ser equivalentes. 2. Producen resultados absurdos. 3. Por los valores numéricos que asumen dentro de la relación largo, ancho, profundidad. •

Argumentación  ¿Por qué se limita la longitud x  del trampolín al intervalo 1 < x ≤ 2.5? En centros recreativos son poco comunes albercas con trampolines que tengan dimensiones menores o mayores a éstas.

Comunicación y representación  Solicitar a los estudiantes que comenten las alternativas más convenientes para la elección de dimensiones en términos de los costos y condiciones del problema.

3 350

Costo total ($)

3(350)

+ 

3 + x 

120

=

120x  

240 240(3 + x )

Para resolver esta ecuación: 1 050 + 120x = 720 + 240x  330 = 120x  330 = x  120

Efectúa los productos   Agrupa x  en un lado

•

•

•

Divide ambos lados entre el coeficiente de x 

3. El resultado de esta ecuación es x = 2.75. Esto significa que, a los 3 kg del dulce más caro, debes agregar 2.75 kg del otro dulce para obtener una mezcla que cueste $24 la bolsita de 100 g. Comentarios adicionales • Comprobación del resultado obtenido:  3 kg del dulce caro deben mezclarse con  2.75 kg del dulce barato.

Esta mezcla con  5.75 kg de peso costará  3($350) + 2.75($120) = $1 380. Un kilo ( 1000 g) de esta mezcla costará $1 380 ÷ 5.75 = $240 y 100 gramos costarán $24.

•

•

En el Proyecto de trabajo sobre la mezcla de avena y chocolate , 7 × 4 = 28 y 8.50 × 4 = 34 representan el precio respectivo de  1 kg de avena y de 1 kg de chocolate . De los precios por kilogramos de la tabla se obtienen precios por bolsitas de  ¼ kg. Avena       e        t       a         l

      o       c       o         h         C

¿Por qué no son admisibles al factorizar variantes como (24 x )(x - 1)(2x - 1). Porque los términos del problema exigen que 6x - 3 sea un factor al ser el ancho de la alberca. •

x 

Cantidad (kg) Precio × kg ($) 

3(350) + 120x = 240(3 + x ).

Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  Aplicar y explorar distintas variaciones en la factorización de una expresión algebraica Razonamiento  Interpretación de resultados:

Mezcla

2. La última línea, la del costo total, es el modelo buscado:

•

•

Dulce barato

Observa que la suma de los componentes es igual a la mezcla, con excepción del precio (pues éste fue estipulado de antemano).

Limpieza de albercas Argumentación  ¿Qué ocurre con el volumen cuando x = 1 metro? - No existiría alberca, pues V = 0. •

Mezcla de dulces

1. Para escribir un modelo algebraico en problemas de mezclas, es útil elaborar un diagrama como se ilustra a continuación. Si desconoces una cantidad, represéntala con una variable.

Comentarios adicionales •

65

•

kg 0 1 6

0 1 0 28 34   - -204 232

10 280 --484

20 560 --764

30 840 --1 044

40 1 120 --1 324

Ejemplo: 1 044 = 1 044 = $ 7.25 24 + 120 144

Proyecto de trabajo sobre productos lácteos : 2(0.4) + x (0.7) = (2 + x )(0.6). Comprobación del resultado : 40% de  2 kg = 0.8 kg ; 70% de  4 kg = 2.8 kg . La mezcla de  2 + 4 = 6 kg contiene  0.8 + 2.8 = 3.6 kg de grasa  (que es  60% de  6 kg ).

66 ■

Matemáticas 1

Guía para el docente

2. Si representas por x  los años, y por  y  las toneladas de ostiones (inicial, extraídas o final), las regularidades observadas en cada renglón pueden expresarse con los modelos:

Observaciones importantes

Mezcla de dulces Razonamiento 

Cantidad inicial y = 6 + 0.2x 

•

¿Qué expresan las entradas de la tabla?

3. Para conocer el valor de x  cuando la extracción es de 2.8 toneladas, se resuelve la ecuación -2.8 = -0.4x  y se obtiene x = 7 años.

Las restantes filas y columnas indican el precio  (en $) que tiene la suma de las cantidades que se agregan de cada dulce.

 4. Al cabo de 3.5 años quedarán y = 6 - 0.2(3.5) = 5.3 toneladas de ostiones; y en 7 a ños, y = 6 - 0.2(7) = 4.6 toneladas.

¿Cómo se halla el precio de 100 g de mezcla en la tabla?

5. Para saber en cuántos años habrán 4.2 toneladas de ostiones, se sustituye este valor para y  en el modelo  y = 6 - 0.2x . Al resolver la ecuación 4.2 = 6 - 0.2x , se obtiene x = 9 años. 6. El banco de ostiones se agotará cuando la cantidad final sea 0, es decir, cuando y = 0 en el modelo  y = 6 - 0.2x . Resolviendo la ecuación 0 = 6 - 0.2x , se halla x = 30 años.

¿Por qué la primera columna de valores de la tabla debe proseguirse hasta el 3? Porque se usarán 3 kg de dulce caro. Proyecto de trabajo 1

Comentarios adicionales

Argumentación y comunicación  ¿Por qué para hallar el precio de una bolsita de ¼ de kg de mezcla que cuesta $1 044 se divide este precio entre 144?

•

•

30 kg de avena y 6 kg de chocolate hacen 36 kg de mezcla cuyo precio es $1 044. De 36 kg se obtienen 36 × 4 = 144 bolsitas de ¼ de kg (ya que cada kg contiene 4 cuartos de kg). El cociente $1 044 ÷ 144 bolsitas, da el precio por bolsita para esta mezcla. [También: (6 + 30) kg = (24 + 120) cuartos de kg = 144 cuartos de kg.] Proyecto de trabajo 2 •

Cantidad final   y = 6 - 0.2x 

La primera columna y la primera fila indican la cantidad  (en kg ) que se agrega de cada dulce.

Cada entrada se divide entre la suma de kg de ambos dulces para hallar el precio de 1 kg. Este valor se divide después entre 10 para obtener el precio de 100 g.

•

Extracción  y = - 0.4x 

•

•

•

Argumentación y comunicación  Construir una tabla de valores para aproximar la cantidad de crema a agregar en la mezcla de productos lácteos y explicar por qué para hallar el porcentaje en cada entrada de la tabla debe dividirse el dato allí consignado entre el total utilizado de ambas cremas.

■

La población con que inicia cada año la temporada de cosecha se incrementa 0.2 ton respecto a la población con que inició la cosecha el año anterior. La tabla muestra dicho incremento. Como la diferencia entre dos términos sucesivos es constante (0.02), la sucesión es aritmética . Toda extracción significa una reducción q ue se expresa con valor negativo (pues dicha cantidad se restará del total). Así, una extracción de 28 toneladas corresponde al valor y = -28. Destacar que en los tres modelos algebraicos el coeficiente de x denota el ritmo de crecimiento anual del banco de ostiones. Para valores enteros de x en la gráfica son puntos aislados; es un segmento cuando toma cualquier valor real en el intervalo  0 ≤ x ≤ 30. Observaciones importantes

Banco de ostiones Pensamiento y razonamiento  1. ¿Es correcto el siguiente razonamiento? La estimación inicial del banco de ostiones es de 6 ton. Al cabo de un año aumenta 0.2 ton pero disminuye 0.4 ton, quedando 6 - 0.4 + 0.2 = 5.8. En el segundo año, la cantidad del año anterior, 5.8 ton, aumenta 0.2 pero disminuye 0.4, quedando 5.6, y así sucesivamente. Es correcto. •

Bloque 6B ■

Banco de ostiones

Secuencia didáctica

1. Los valores obtenidos para la tabla aumentada anterior, son: Años

0

1

2

...

9

10

Aumento

6

6.2

6.4

...

7.8

8

Reducción

0

-0.4

-0.8

...

-3.6

- 4

Ostiones

6

5.8

5.6

...

 4.2

4

2. ¿Cuál es su modelo algebraico?  y = 6 + 0.2x - 0.4x = 6 - 0.2x . 3. ¿Cómo se interpreta la tabla? Cada temporada de cosecha inicia con un aumento de 0.2 ton respecto al inicio de la temporada anterior; a la disminución del año anterior se agrega la del año en curso. Durante el periodo de veda la población crece, hasta el inicio de la siguiente temporada de cosecha.

Grupo Editorial Patria •

Comunicación y representación  Identificar a qué modelo algebraico corresponden las dos gráficas siguientes, compararlas e interpretarlas.  a

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

Grupo 1: y = 62 - 1.5x , Grupo 2: y = 15 + x , Grupo 3: y = 23 + 0.5x . ¿En qué punto coinciden la gráfica de divorcios y la de matrimonios menores a 20 años? (19.5, 32.75) ¿En que año x  ocurre esto? x = 19.5 ↔ 2019.5 ¿Cuál es el porcentaje  y  para ambos grupos? 32.75%. Comentarios adicionales •

•

n

0

5. En el año x  los porcentajes  y  de matrimonios o divorcios, serán:

 y 

n

2

4

6

8

8

0

2

4

6

8

10

 x  •

Explicar cómo se obtienen valores para x  y y mediante los puntos de la gráfica y verificar con el modelo algebraico.

Bloque 7A ■

■

Secuencia didáctica

El dibujo de cada gráfica debe extenderse para visualizar sus intersecciones.

64      s      e        j      a        t      n      e 32      c      r      o        P

1

3 2

8 Interpretación de pendientes: matrimonios con menos de  20 años disminuyen a una tasa de 1.5 matrimonios por año, o bien , 0 3 6 9 12 15 18 21  Años 3 matrimonios cada  2 años , o  6 matrimonios cada  4 años , etcétera : -1.5 -3 -6 = = = ... . Matrimonios con más de 20 años : aumentan a un ritmo de uno por año. Divorcios: 1 2  4 aumentan a una tasa promedio de medio divorcio por año  (o bien, un divorcio cada dos años, etcétera ).

Año 2009: 100% - ( 48.5% + 24%) = 27.5% 2. Los incrementos se hallan mediante una diferencia de valores. Para matrimonios 20 años

-13.5 % m 1 = —————— ————— 9 años

24 - 15 % m 2 = —————— ————— 9 - 0 años

Matrimonios y divorcios Argumentación  ¿Impacta la disminución de matrimonios menores de 20 años, a la población de matrimonios mayores de 20 años? Sí, una porción de aquellos pasa a formar parte de esta otra población (y otra porción pasa a la población de divorcios). •

Grupo 3 Divorcios

27.5 - 23 % m 3 = ——————— ————— 9 - 0 años

3. Simplifica y refiere a 1 año cada tasa. m 1 = -1.5, m 2 = 1, m 3 = 0.5. Éstas son positivas cuando el incremento denota un aumento, y son negativas cuando decrece, como muestran los cocientes y las gráficas. •

0

1

2

…

9

Grupo 1

62 - 1.5(0)

62 - 1.5(1)

62 - 1.5(2)

…

62 - 1.5(9 )

Grupo 2

15 + 1(0)

15 + 1(1)

15 + 1(2)

…

15 + 1(9)

Grupo 3

23 + 0.5(0)

23 + 0.5(1)

23 + 0.5(2)

…

23 + 0.5(9)

Comunicación y representación  ¿Cuántos puntos se requieren mínimamente para trazar una recta? ¿Cuáles serían éstas en las gráficas y divorcios? Dos puntos distintos. Recta 1: (0, 62) y (9, 48.5). Recta 2: (0, 15) y (9, 24). Recta 3: (0, 23) y (9, 27.5). ¿Por qué en la gráfica, la recta con m = 1 no está a 45° de los ejes? Los ejes tienen escalas diferentes.

 4. Reescribe la tabla siguiente con el incremento de estos porcentajes: Año x 

Observaciones importantes

•

Año 2000: 100% - ( 62% + 15%) = 23%

% y 

La gráfica del Grupo 3 (divorcios) se traza con los datos obtenidos en el punto 1.

Matrimonios y divorcios

1. Calcula el porcentaje de divorcios con: 100% - (% de matrimonios).

 

67

Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Intersecciones de cada par de rectas en matrimonios y divorcios: 1 y 2: (18.8, 33.8). 2 y 3: (16, 21). 1 y 3: (19.5, 32.75). Interpretar a) coordenadas, b) punto de intersección.

68

•

Matemáticas 1

Guía para el docente

Pensamiento y razonamiento  ¿Por qué se traza una línea continua para la gráfica del costo de impresoras, si x  sólo toma valores enteros  positivos? ¿No debieran ser puntos aislados, alineados? Sí, pero como interesa el punto de cruce se emplean modelos continuos en los reales, para aproximar la solución de un modelo discreto. Así, la solución del modelo matemático continuo es x = 1 1.66..., pero la solución del problema real es x = 12.

Comentarios adicionales •

•

•

■

Bloque 7B ■

Esencias para perfumes

La lectura de los valores en la gráfica puede proporcionar resultados aproximados a los que se consignan en el punto 3. Alentar la mayor precisión y su comprobación. Las soluciones para los problemas de este segmento deben obtenerse mediante las gráficas y corroborarse después mediante métodos algebraicos. Observaciones importantes

Esencias para perfumes Comunicación y representación  Manejo e interpretación de la información en registros tabulares: ¿Cómo se generan, y qué representan, los datos en la tabla? •

Secuencia didáctica

1. Asigna una variable a la cantidad de mililitros de cada esencia y organiza los datos en un diagrama.

x = ml de esencia de narciso;  y = ml de esencia de gardenia Cantidad de ml

x 

Porcentaje

5%

Total de ml

0.05

 y 

900

9%

+

a) Se eligen dos cantidades de esencia de narciso y de gardenia que sumen 900 ml. Por ejemplo, 500 y 400 ml.

0.09 y  

0.08(900)

   

•

1 000

x + y = 900 0.05x + 0.09 y = 72 0.5x + 0.9 y = 720 5x + 9 y = 7 200

1

875

equivale a y también a

b) De cada porción se calcula el porcentaje indicado, debiendo sumar 72 ml las cantidades resultantes. 5%(500) = 0.05(500) = 25; 9%(400) = 0.09(400) = 32 Suma: 25 + 32 = 57 ≠ 72 ml.

8%

=

2. La primera línea, x + y = 900, y la última, 0.05x + 0.09 y = 0.08(900), conforman el modelo algebraico (describen las condiciones del problema). Los valores donde ambas se cumplen es el punto de intersección de sus graficas. Identifica éstas:

Gráfica 1: Gráfica 2:

Algunas otras combinaciones de porcentajes para la tabla de valores son: 

750

2

625 500 125 000

100

200

300

3. Las coordenadas de este punto son x = 225, y = 675, es decir, para este perfume debes utilizar, aproximadamente, 225 ml de esencia de narciso y 675 ml de esencia de gardenia.

•

 4. El valor preciso de estas cantidades se halla con métodos algebraicos. Empleando suma y resta: -5x - 5 y = - 4 500

x + 675 = 900; x = 900 - 675 = 225.

4 y = 2 700

Pensamiento y razonamiento  ¿Por qué se analiza el comportamiento a derecha e izquierda del punto de intersección? Para comparar las magnitudes antes y después del valor donde resultan iguales. ¿Qué tipo de comprobaciones deben utilizarse para las soluciones? a) Verificar que los valores obtenidos satisfacen el sistema de ecuaciones. b) Corroborar que estos valores cumplen las condiciones del problema.

4 y = 2 700; y = 2 700 ÷ 4 = 675.

5x + 9 y = 7 200

Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  - Intersecciones de pares de rectas. - Eliminación de fracciones decimales en ecuaciones: 0.05x + 0.09 y = 72 equivale a 5 x + 9 y = 7 200. También: 0.05 x + 0.09(900 - x ) = 72 equivale a 5 x + 8 100 - 9x = 7 200. - Comparar soluciones algebraicas con soluciones gráficas. - Usar forma  y = mx + b  para graficar  (y = 170 - 5x ).

Se obtiene x = 225, y = 675. ml

%

ml

%

ml

%

ml

%

Narciso 5%

500

25

400

20

300

15

200

10

Gardenia 9%

 400

32

500

45

600

54

700

63

Total

900

57

900

65

900

69

900

73

Bloque 8A ■

Selección deportiva

Secuencia didáctica

1. La solución del problema con un modelo algebraico es más simple y precisa. Asigna variables a las cantidades buscadas: x = número de delanteros;  y = número de porteros; z = número de defensas.

Grupo Editorial Patria 2. Para el Equipo 1 debe cumplirse: 60%x + 50% y + 30%z = 7; para el Equipo 2, 40%x + 100% y + 10%z = 5 y para el Equipo 3, 20%x + 0% y + 70%z = 8. Expresando cada porcentaje en forma decimal este sistema se reescribe: 0.6x + 0.5 y + 0.3z = 7 0.4x + 1 y + 0.1z = 5 0.2x + 0 y + 0.7z = 8

•

•

3.  Multiplicando los términos por 10 conseguimos un sistema con coeficientes enteros, más fácil de resolver: 6x + 5 y + 3z = 70  4x + 10 y + z = 50 2x + 0 y + 7z = 80

Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  ¿De cuál número es 2 el 5%? 5 200 x = 2; x = = 40. (Solicitar un algoritmo general). 100 5 Comprobación de la solución en la situación real y en el modelo.

5%x = 2;

Equipo 1: 0.6(5) + 0.5(2) + 0.3(10) = 3 + 1 + 3 = 7; Equipo 2: 0.4(5) + 1(2) + 0.1(10) = 2 + 2 + 1 = 5;

5. Al sustituir estos dos valores en la ecuación despejada en el punto 4, se obtiene el valor de la tercera variable: x = 5. Cada equipo posee 5 delanteros, 2 porteros, 10 defensas  y, de cada posición, aportó la siguiente cantidad de jugadores: Equipo 1 2 3 Total

Argumentación  ¿Resulta útil visualizar en la última columna de la tabla la cantidad de jugadores que aporta cada equipo? Sí. Estos datos son importantes para explorar y buscar un modelo. Para completar la tabla del punto 5 responder preguntas de este tipo:

 4. Para resolver este sistema conviene despejar x  o z  en la tercera ecuación y sustituir este valor en las dos restantes. Se consigue así un sistema de ecuaciones de 2 × 2: 5 y - 18z = -170 Resolviendo este sistema se halla el 10 y + 15z = -110 valor de las variables: y = 2; z = 10.

JUGADORES APORTADOS POR LOS EQUIPOS Delanteros Porteros Defensas 3 1 3 2 2 1 1 0 7 6 3 11

Equipo 3: 0.2(5) + 0(2) + 0.7(10) = 1 + 0 + 7 = 8. Utilización de determinantes y de calculadoras electrónicas. •

Construcción de modelos  Organización de la información: Agregar una columna final a la tabla para consignar datos útiles.

Total 7 5 8 20

Asignación de variables: No necesariamente x , y , z . Empleo de modelos equivalentes: 6x + 5 y + 3z = 70

Comentarios adicionales •

•

•

■

El dato en la primera celda de la tabla inicial indica que, del total de delanteros que posee el Equipo 1, sólo 60% está en la selección. En general, todos los porcentajes están dados respecto de los jugadores de cada equipo y no respecto al total de jugadores de la selección (por esto en las columnas la suma no da 100%). En cada columna de la tabla final los valores son distintos, pues corresponden a porcentajes diferentes de una misma cantidad (los tres equipos tienen, para la misma posición, igual cantidad de jugadores, pero aportan porcentajes distintos). Las sumas por filas indican el total de jugadores seleccionados de cada equipo. Observaciones importantes

Selección deportiva Razonamiento y representación  ¿Por qué para cada posición (delantero, portero, defensa) se utiliza una misma variable al denotar la cantidad de jugadores? Los tres equipos poseen igual cantidad de j ugadores en cada una de las tres posiciones. •

69

4x + 10 y + z = 50 2x + 7z = 80

Bloque 8B ■

Distribución y venta de quesos

Secuencia didáctica

1. Designa con: x = cantidad de queso Panela surtido a cada tienda (en kg), y con y , z , la cantidad de quesos Asadero y Manchego, respectivamente. 2. Con base en el modelo verbal: Cantidad vendida = porcentaje vendido × cantidad surtida , se tiene el modelo algebraico para las ventas de queso en cada tienda:

Tienda 1:

0.5x + 0.8 y + 0.6z = 74

Tienda 2:

0.2x + 0.6 y + 0.1z = 38

Tienda 3:

0.3x + 0.4 y + 0.2z = 36

70

Matemáticas 1

Guía para el docente

3. Multiplicando los términos por 10 conseguimos un sistema equivalente con coefcientes enteros, más fácil de resolver: 5x + 8 y + 6z = 740 2x + 6 y + z = 380 3x + 4 y + 2z = 360

•

Explorar al menos dos ternas más (una por cada tienda restante). Pueden fijarse las ternas o dejar libre la selección (individual o por equipos). •

∆

8

6

= 2

6

1 = -28

3

4

2

740

8

6

x = 380

6

1 = -1 120

360

4

2

∆

5

740

6

 y = 2

380

1 = -1 260

3

360

2

∆

Verificar soluciones matemáticas para los sistemas de 3 × 3. •

x 

∆

∆

=

-1 120 = 40, -28

 y =

 y 

∆

∆

=

-1 260 = 45. -28

5. Al sustituir estos dos valores en cualquier ecuación del punto 3 se encuentra el valor para z = 30. Cada tienda recibió la siguiente cantidad de quesos: 40 kg de queso Panela, 45 kg de queso Asadero, y 30 kg de queso Manchego. Cada una vendió en esa semana: Tienda 1 2 3 Total

Panela 20 8 12 40

Asadero 36 27 18 81

Manchego 18 3 6 27

Total 74 38 36 148

Comentarios adicionales •

•

■

En cada una de las tres primeras filas el total indica la cantidad de quesos vendidos por cada tienda. En la última fila el total corresponde a las ventas de queso en las tres tiendas. En las tres primeras columnas los totales indican la cantidad que se vendió de cada tipo de queso; la última columna indica la venta total de las tres tiendas. Observaciones importantes

Distribución y venta de quesos Comunicación  ¿Qué expresan y representan los datos consignados en la tabla inicial? En los renglones, los porcentajes que vendió cada tienda de los tres tipos de queso. En las columnas, los porcentajes que vendieron las tres tiendas de cada uno de los tres tipos de queso. •

•

Argumentación  ¿Por qué en vez de calcular el determinante para z  se sustituyeron en una ecuación los valores ya obtenidos para x  y y ? Por simplicidad operativa.

Se obtienen x  y y  con los cocientes:

x =

Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Eliminar decimales multiplicando por potencias de 10 o dejarlas tal como están y emplear calculadora para hallar el valor de los determinantes.

 4. Para resolver este sistema mediante determinantes se calculan:

5

Razonamiento y operaciones 

Argumentación  ¿Por qué la terna 10, 45, 24 no es solución para el problema? Sus porcentajes no corresponden a las ventas de la Tienda 3. Si no satisface a una de las ecuaciones, la terna no es solución del sistema.

Bloque 9A ■

Víveres para damnificados

Secuencia didáctica

1. Si la avioneta está en movimiento, el paquete seguirá una trayectoria parabólica, independientemente de que el objeto se lance o se deje caer. 2. La velocidad de la avioneta y la fuerza de la gravedad actúan sobre el paquete. El desplazamiento horizontal lo imprime la avioneta y el vertical, la gravedad. 3. El tiempo que tarda en caer el paquete influye en la distancia a la cual caerá. El desplazamiento vertical permite conocer este tiempo:

Altura inicial de la avioneta: velocidad del paquete al soltarlo: altura del paquete al tocar el piso:

 y 0 = 500 metros v  y  = 0 km/h  y = 0 metros

Sustituyendo en y = -5t 2 + v  y  + y 0 , y resolviendo, t = 10 s.  4. El desplazamiento horizontal del paquete, desde que se dejó caer, se obtiene con la fórmula x = v x  t + x 0 , y con los datos:

x o = 0 metros t = 10 s velocidad de la avioneta: v x  = 100 km/h =  100 000 m/s. 3 600 Desplazamiento inicial: tiempo de descenso:

Al sustituir estos datos se obtiene x = 277.77 metros. El paquete caerá 277.77 metros adelante de los pobladores. 5. Al lanzar el paquete en la dirección en que viaja la avioneta, la componente horizontal de la velocidad se incrementa; así, en el punto 4, se tendrá v x  = (100 + 10) km/h = 110 km/h = 110 000 m/s.  En tal caso, la 3 600 distancia del paquete a los pobladores será de x = 305.56 metros.

Grupo Editorial Patria Comentarios adicionales •

•

■

Bloque 9B

Cuando se suelta un objeto no se le imprime velocidad, cosa que sí se hace al lanzarlo. En el primer caso la caída es libre (es decir, con trayectoria vertical hacia abajo y sólo bajo el efecto de la fuerza de la gravedad). Si se suelta el objeto desde un avión en movimiento, sigue una trayectoria parabólica hacia adelante, en la dirección del avión. En el caso del helicóptero suspendido, se trata de un descenso en caída libre.

■

Pantalla de plasma PDP

Secuencia didáctica

1. La figura que forman el largo, el ancho y la diagonal de una pantalla rectangular de plasma, es un triángulo rectángulo. Su diagonal mide 40 pulgadas. 2. Aplicando el teorema de Pitágoras, se relacionan sus tres lados y se obtiene la expresión algebraica: x 2 + (x + 8)2 = 402. Desarrollando y simplificando se llega a la ecuación cuadrática: x 2 + 8x - 768 = 0. 3. Para encontrar el alto x  de la pantalla, se requiere resolver esta ecuación. Utilizando el método de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos (TCP):

Observaciones importantes

Víveres para damnificados Razonamiento  •

1. ¿Por qué se utiliza el valor -5t  en la fórmula para el desplazamiento vertical? 2

El valor -5t 2 es una aproximación cómoda para -g t 2/2 = -9.8t 2/2 = - 4.9t 2. (g = -9.8 m/s2, es la constante de aceleración de la gravedad terrestre). 2. ¿Por qué se considera negativa la aceleración de la gravedad? Porque actúa hacia abajo; el signo negativo indica esta dirección. •

71

x 2 + 8x = 768

Completa el TCP en x :

x 2 + 8x + 42 = 768 + 42

Factoriza el TCP y simplifica:

(x + 4)2 = 784

Extrae raíz y despeja x :

x = -32, o bien, x = 24

 4. De estos valores sólo es admisible el segundo.

Representación  Promover el empleo de diagramas esquemáticos para representar la trayectoria parabólica observada al lanzar objetos desde un punto en movimiento. Por ejemplo:

Aísla términos en x :

Por tanto, el alto de la pantalla es x = 24 pulgadas y el ancho es x + 8 = 32 pulgadas. Multiplicando ambas cantidades por 2.54 se obtiene: alto = 61 cm, ancho = 81.30 cm. 5. Una pantalla con 26 pulgadas de alto y 36 pulgadas de largo tiene una relación distinta a la anterior, pues en este caso 36 ≠ 26 + 8.

Su relación podría expresarse mediante: alto = x , largo = x + 10, o bien con otras expresiones, como: alto = x - 4; largo = x + 6. Comentarios adicionales •

277 m

•

Pobladores

277 m

Argumentación  1. ¿Por qué razón cuando se lanzan los paquetes se suma la velocidad de 10 km/h a la velocidad del avión?

•

•

Porque los paquetes se lanzan horizontalmente, en la dirección del movimiento del avión. 2. ¿Por qué razón se utilizaría la ecuación 0 = -5t 2 - 10t + 100 para determinar el tiempo si se lanzaran verticalmente los paquetes con una velocidad de 10 km/h? [Solicitar sólo el argumento, no la solución]. En este caso la velocidad vertical inicial ya no es cero, sino v  y  = - 10 km/h. (El signo negativo indica dirección hacia abajo).

•

•

Las pantallas de plasma son delgadas, con mayor tamaño y definición que las de rayos catódicos; poseen mayor ángulo de visión que las de cristal líquido pero consumen más energía eléctrica que éstas. Este tipo de pantalla se ilumina por los fotones que se desprenden al ionizar, mediante diferencias de voltaje, los gases neón y xenón contenidos entre dos pantallas de cristal. Las pantallas de cristal líquido, aunque parecidas a las de plasma, tienen colores más brillantes. Poseen numerosos pixeles de color o monocromáticos que se iluminan con una fuente de luz o reflectora —que se halla detrás de ellos— mediante el uso de dispositivos electro ópticos (células de cristal líquido, filtros polarizados y alineación de moléculas de cristal mediante cam pos eléctricos). Están hechas de dos capas finas de vidrio con cristal líquido entre ellas, la externa recubierta con m aterial plástico. Las ventajas o desventajas de cada tecnología, hacen que la discusión sobre cuál es mejor se dirija a factores de duración, calidad de imagen, costos, consumo de energía, etcétera. 40 pulgadas = 40(2.54 cm ) = 101.6 cm .

72 ■

Guía para el docente

Matemáticas 1

Observaciones importantes

Pantalla de plasma Comunicación  Al interactuar en clase sobre las características de las pantallas, conviene tener presente:

3. Se requiere el valor del parámetro a  en la ecuación anterior para completar el modelo algebraico. Para ello se toma otro punto de la curva, como (3, 12); al reemplazar x = 3, y = 12 en dicha ecuación, resulta a = 0.5. El modelo buscado es:

 y = 0.5(x - 1)2 + 10.

•

Las pantallas de plasma: a) Pueden construirse con grandes dimensiones. b) Generan el efecto de “pantalla quemada” (zonas borrosas y/o con manchas permanentes).a causa de imágenes fijas con brillos intensos, lo que reduce su duración Las pantallas de cristal líquido: a) Consumen menos energía al emitir menor radiación, pero tienen un ángulo de visión lateral reducido. b) Crean imágenes “fantasma” (bordes dobles o imágenes que se desvanecen con retardo), debido a los tiempos de respuesta en los cambios de color. •

•

Argumentación  ¿Por qué las medidas de los lados, x  y x + 8, se expresan en pulgadas? La longitud de la diagonal de la pantalla se expresa en esas unidades.

 4. El año 2010 corresponde a x = 5; este valor se obtiene al dividir 2010 - 1960 = 50 entre 10 pues en el eje horizontal de la gráfica cada entero representa una década; para este valor,  y = 18, es decir 18 × 100 = 1 800 osos panda.

El año 2004 corresponde al valor x = (2004 - 1960)/10 = 4.4; para este valor, y = 15.78, es decir, 15.78 × 100 = 1 578 osos panda. 5. El modelo no predice la extinción de los osos panda, pues al resolver la ecuación cuando  y = 0, se obtienen para x valores complejos. Comentarios adicionales •

•

Empleo de operaciones y uso de lenguaje técnico, simbólico y formal  Solicitar que las medidas de las televisiones: a) se expresen en centímetros (1” = 2.54 cm); b) se comprueben con el Teorema de Pitágoras.

Proyecto de trabajo Argumentación  ¿Cuál precio elegirías para los cuernitos: $5.00 o $3.00? — $3.00 requiere mayor número de piezas, insumos y mano de obra. — Bajar el precio de $6.00 a $3.00 podría generar desconfianza en el consumidor.

Representación  Solicitar gráficas para visualizar relación Precios/ventas.

La tabla completa en el análisis de la situación es la siguiente. x 

Año Osos y 

•

•

El peligro de extinción de los osos panda proviene fundamentalmente del hecho de que su fuente única de alimento, el bambú, disminuye drásticamente cada año y a que en cautiverio sólo el 10% de ellos se aparea y se embaraza únicamente el 30%. de las hembras. Ni los programas de inducción psicológica, ni la inseminación artificial, han logrado impactar este índice.

•

■

0 1960 1 050 10.50

1 1970 1 000 10

2 1980 1 050 10.5

3 1990 1 200 12

4 2000 1 450 14.5

5 2010 1 800 18

En el Proyecto de trabajo Sky line/Art Deco, la parábola más ancha c orresponde a la tercera ecuación; la intermedia a la primera y la más angosta a la segunda ecuación debido a que -0.4 < -1.2 < -3.5. Observaciones importantes

Preservación de osos Comunicación  Comentar la información en clase: 1. En la actualidad existen en el mundo cerca de 1 600 osos panda, no obstante los esfuerzos realizados por China y otras naciones por ampliar su hábitat, propiciar su reproducción en cautiverio y penalizar su captura. 2. México logró la mayor reproducción de osos panda en cautiverio (tres generaciones) fuera de China, desde que este país le donó en 1975 una pareja ( Pe Pe  y Ying Ying ) de esta especie. A la fecha sobreviven sólo tres hembras en el Zoológico de Chapultepec, que están en el límite de edad para reproducirse (19, 23 y 24 años) pero no han tenido crías. •

Bloque 10A ■

Preservación de osos

Secuencia didáctica

1. Los datos de las tres primeras columnas de la tabla y la forma de la gráfica, sugieren una parábola pues alrededor del punto más bajo, en (1, 10), hay dos puntos simétricos: (0, 10.5) y (2, 10.5) y, además, la gráfica asciende. 2. La forma estándar y = a (x - h )2 + k  de la ecuación cuadrática, representa una parábola con vértice en el punto (h , k ) que, en este caso, sería el punto más bajo, es decir, sería el punto (1, 10).

Al sustituir estos valores en la ecuación se tiene:

 y = a (x - 1)2 + 10.

•

Representación  1. Solicitar interpretación de los valores que incluyen fracciones en el eje x  de la gráfica, x = 1.4, por ejemplo. — Una forma: 1.4 = 1 década + 0.4 de década = 1 década + 4 años.

Grupo Editorial Patria — Otra forma: como 1 ↔ 10 años, entonces 1.4 × 10 = 14 años. — Los 14 años se cuentan desde el valor x = 0 ↔ 1960.

•

3. Interpolación entre décadas: si x = 4 ↔ 2000; x = 5 ↔ 2010, entonces 2004 ↔ x = ? — Al subdividir el tramo entre 4 y 5 en 10 partes, 2004 ↔ x = 4.4. •

■

Amigas y pulseras

•

1. Al iniciar tu envío la pulsera está 4.5 m debajo de tu amiga, es decir, cuando t = 0 segundos, su altura inicial es h = - 4.5 metros.

•

•

■

Comentarios adicionales •

Se considera que la pulsera asciende y desciende verticalmente.

F

2 0.5

2.5 - 4.5

   t  =

1.5

 t  =

1.5

 t  =

2

 t  =

2

3m

Tiempo

0.5 m 0m

Ubicación de la pulsera 

A

0

4.5 m por abajo del balcón

B

0.5

1/2 metro arriba del balcón (ascenso) 

C

1

3 m arriba del balcón (ascenso) 

D

1.5

3 m por encima del balcón (descenso) 

 t  =

E

2

1/2 metro arriba del balcón (descenso) 

F

2.5

Regresa adonde se lanzó (si no se interceptó) 

2.5

 t  =

2.5

4.5 m

Suelo

4

 y 

3

Interpretación de las posiciones de la pulsera en la gráfica.

C 

D

1

2

2 1 –1

 B

0

E   t  3

–1 –2 –3 –4 –5

 A

F 

–6

Observaciones importantes

•

•

  5  53 Factoriza el TC:  y = −5 t  −   + . El vértice es (1.25, 3.31).    4  16

5.  Para v = 27 km/h = 7.5 m/s, el modelo sería  y = -5t 2 + 7.5t - 4.5. El discriminante cuadrático, b 2 - 4ac = 7.52 - 4(-5)(- 4.5) = -33.75 indica que esta ecuación tiene raíces complejas, y por tanto, que con esta velocidad, la pulsera no llegaría hasta tu amiga.

E

1.5 3

Amigas y pulseras Comunicación  ¿Qué indica el nombre “movimiento rectilíneo uniforme” ? — Que el objeto se mueve en línea recta (vertical, horizontal o en otra dirección) y que en tiempos iguales recorre distancias iguales (mantiene una aceleración constante).

2

•

D

1 3

c) Valor y = 0 (eje horizontal). La pulsera alcanzará dos veces el balcón, una al subir y otra al bajar.

2. La ordenada del vértice indica la mayor distancia que alcanzó la pulsera por arriba de tu amiga; aproximadamente, fue de y = 3.4 m y se alcanzó a los t = 1.25 segundos.

    12.5   − 4.5 t    Extrae -5 como factor de t 2 y t :  y = −5 t 2 +     −5   2     12.5   5 2    5  Completa el TCP en t :  y = −5 t 2 + t  +      − 4.5 + 5      4      4    −5

C

0.5 0.5

b) Derecha del vértice: Los valores positivos de y indican metros que faltan para regresar al balcón; los negativos indican metros que se pasa del balcón en el descenso.

Cuando la pulsera pasa frente a tu amiga, la separación vertical entre la pulsera y tu amiga es 0, es decir,  y = 0; esto ocurre dos veces.

 4. La forma estándar de esta ecuación dará el vértice de la parábola:

B

0 - 4.5

a) Izquierda del vértice. Los valores negativos de y indican metros que faltan para que alcance el balcón; los valores positivos indican metros que se pasa al subir.

Secuencia didáctica

3. La distancia y  recorrida en el tiempo t  por un objeto con movimiento rectilíneo uniforme, es  y = -5t 2 + vt + h . Al sustituir en este modelo la velocidad de la pulsera v = 12.5 m/s, y su altura inicial h = - 4.5, se obtiene la ecuación cuadrática  y = -5t 2 + 12.5t - 4.5.

A

Balcón

Posición

Proyecto de trabajo Sky line/Art Deco Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Destacar el factor del término que se agrega para completar el trinomio y el signo del simétrico que lo anula.  y = -1.2x 2 + 12x - 10 = -1.2(x 2 - 10x + 52) -10 + (1.2)(5)2.

Bloque 10B

Relación entre tiempos y alturas (tabla y diagrama).

t  (segundos) y 

2. Gráfica continua: x  en los reales.

73

•

Argumentación  ¿Por qué la fórmula cuadrática y = -5t 2 + vt + h , no describe la trayectoria del objeto en el movimiento rectilíneo uniforme? — Porque una ecuación cuadrática representa una parábola, no una línea recta (cuya ecuación es lineal). Razonamiento  ¿Se considera la estatura de la persona que lanza la pulsera? — Sí, de acuerdo con el enunciado, 4.5 m es la distancia desde la persona al balcón (NO del suelo al balcón).

74

•

•

Guía para el docente

Matemáticas 1

Uso de operaciones, lenguaje técnico y herramientas de apoyo  Conversión de v = 27 km/h a m/s 27 000 m = 7.5 m . v = 27 km/h = 3 600 s s Construcción de modelos  La diferencia entre las raíces t = 0.44 y t = 2.04 muestra el tiempo que le tomó a la pulsera regresar al balcón. En la gráfica, la altura sobre el balcón puede estimarse en 3.4 m, próximo al valor algebraico del vértice k  de la parábola  y = -5(t - 1.25)2 + 3.3. También: h  es el punto m edio de las intersecciones x 

Proyecto de trabajo Comunicación y representación  Solicitar a los estudiantes que escriban los valores de las escalas en la gráfica del jugador de fútbol. — Se requiere la solución algebraica. •

Grupo Editorial Patria

75