Guia Para Analisis de Experimentos Correg_feb_2014

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos Laboratorios de F´ısica

Preparado por: Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica Facultad de Ciencias B´ asicas Universidad del Atl´ antico Versi´ on corregida, febrero de 2014

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos Laboratorios de F´ısica

Preparado por: Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica Facultad de Ciencias B´ asicas Universidad del Atl´ antico Versi´ on corregida, febrero de 2014

Contenido 1 Introducci´ on

1

1.1

Enfoque del Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Magnitudes F´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Las Unidades B´asicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Prefijos para los M´ ultiplos y Subm´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Factores de Conversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

An´alisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.8

Orden de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Mediciones y Errores

9

2.1

El proceso de medici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Tipos de medici´on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5

2.4.1

Criterio de aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2

Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3

Multiplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Errores Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.1

Errores Sistem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2

Errores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

E. E. Coral

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

ii

CONTENIDO

2.6

2.7

2.8

C´alculo de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.1

Error Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2

Incertidumbre relativa y porcentaje de error . . . . . . . . . . 15

2.6.3

C´alculo pr´actico de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . 16

Propagaci´on de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.1

Incertidumbre en funciones de una sola variable . . . . . . . . 18

2.7.2

Funciones de dos o m´as variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.3

M´etodo general para calcular errores . . . . . . . . . . . . . . 20

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Tratamiento estad´ıstico de medidas 3.1

25

C´omo se minimiza este error? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1

Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2

Desviaci´on de la Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3

Desviaci´on Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4

Desviaci´on Est´andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.5

La Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.6

Incertidumbre Est´andar de la Media . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.7

Error Relativo Porcentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2

An´alisis de error para N peque˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1

3.4

Construcci´on del Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Evaluaci´ on de Experimentos

35

4.1

An´alisis de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2

Linealizaci´on de gr´aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3

4.2.1

Ecuaci´on lineal y m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Gr´aficos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

iii

CONTENIDO

4.4

4.5

4.3.1

Funci´on Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2

Funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.4

Linealizaci´on de modelos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . 44

An´alisis de gr´aficos con ayuda de calculadoras . . . . . . . . . . . . . 45 4.4.1

Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS . . . . . . . . . . . 46

4.4.2

Calculadora Cassio FX350ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Uso de programas de computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.1

4.6

Gr´aficas en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ap´ endices

51

A Instrumentos de Medici´ on 1

53

A.1 Calibrador o Pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.1.1 Principales partes del calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.1.2 Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 B Instrumentos de Medici´ on 2

57

B.1 Micr´ometros y Esfer´ometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.1.1 El micr´ometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.1.2 El Esfer´ometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 C Modelo de informe Referencias bibliogr´ aficas

E. E. Coral

61 63

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Lista de figuras 2.1

Medici´on de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Errores aleatorios y sistem´aticos en un ejercicio de pr´actica de tiro. a)Alta precisi´ on y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos est´an muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son peque˜ nos (buena precisi´on). Debido a que la distribuci´on de disparos est´a centrada en el blanco, los errores sistem´aticos tambi´en son (buena exactitud). b) Alta precisi´ on y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa peque˜ nos, pero los sistem´aticos son mucho m´as grandes, los disparos est´an sistem´aticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisi´ on y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistem´aticos son peque˜ nos, los disparos est´an muy dispersos, pero no est´an sistem´aticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisi´ on y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes. . . . . . . . . . . . 14

3.1

Ejemplo de un Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Histograma para los datos del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1

Ejemplo de una figura bien realizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2

Grafica de la funci´on y = kxn en papel logar´ıtmico . . . . . . . . . . . 41

4.3

Gr´afica de la funci´on y = Aekx en papel semilogar´ıtmico . . . . . . . 42

4.4

Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador . . . . . . . 43

4.5

Linealizaci´on de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.

4.6

La pantalla en el modo Regresi´on Lineal presenta dos columnas x y y. 46

4.7

Pantalla inicial de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8

Selecci´on de la opci´on graficar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

E. E. Coral

43

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vi

LISTA DE FIGURAS

4.9

Selecci´on de ajuste de la gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10 Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionar para el ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.1 Partes del Calibrador o Pie de rey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.2 Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm . . . . . . . . . . . . . . 54 A.3 La divisi´on 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, las puntas se separan 0,3 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.4 Las puntas est´an separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta divisi´on del nonio coincide con una divisi´on de la escala principal . . . . . . . . . 56 B.1 Esquema de un micr´ometro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.2 Imagen de una medici´on con el micr´ometro. . . . . . . . . . . . . . . 58 B.3 Lectura de una medici´on con un micro´ometro. . . . . . . . . . . . . . 58 B.4 Esquema de un esfer´ometro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 B.5 Modo de usar un esfer´ometro para calcular el radio de curvatura. . . 60

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E. E. Coral

Lista de tablas 1.1

Unidades b´asicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Definici´on de las Unidades b´asicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

M´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Subm´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Algunos Factores de conversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Algunos Ordenes de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

Ejemplo de cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . 12

3.1

Mediciones del tiempo de reacci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Intervalos para el histograma

4.1

Datos para an´alisis de un comportamiento lineal . . . . . . . . . . . . 39

4.2

Datos para la descarga de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3

Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4

Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5

Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.1 Longitud de cada divisi´on del nonio al cero de la escala. . . . . . . . . 55

E. E. Coral

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

1.1

Enfoque del Trabajo de Laboratorio

El objetivo del trabajo en el laboratorio es familiarizarse con el aspecto fenomenol´ogico de la F´ısica. En cierta forma, el estudiante comprobar´a las leyes y principios que se imparten en el curso te´orico o que han sido estudiadas previamente por el. Por otro lado y de acuerdo a la orientaci´on del profesor, el estudiante podr´a llegar a las leyes a partir del experimento. Los experimentos propuestos no se realizar´an siguiendo una serie de instrucciones como se ha hecho tradicionalmente. El estudiante debe recordar permanentemente que la F´ısica es una disciplina cient´ıfica y que en su formaci´on, debe hacer destacar su esp´ıritu cient´ıfico y es aqu´ı en el Laboratorio de F´ısica, en donde debe apropiarse de esto, ya que los experimentos propuestos son ante todo un problema que los estudiantes deben resolver, y para lograr soluciones satisfactorias, deben investigar la bibliograf´ıa citada, leer otras gu´ıas de laboratorio, navegar en la Internet, etc. M´as concretamente, el estudiante debe ser conocedor del M´etodo Cient´ıfico y aplicarlo en su investigaci´on. El trabajo en el laboratorio corresponde a una parte de la investigaci´on que los estudiantes van a realizar para resolver su problema experimental. B´asicamente los estudiantes van al laboratorio a medir las magnitudes de las propiedades del sistema f´ısico que van a investigar. Pero, como se insinuaba en el p´arrafo anterior, antes y despu´es de las mediciones, se requiere una buena dedicaci´on de tiempo estudiando y entendiendo el problema de laboratorio, para esto, los estudiantes deber´ıan conocer previamente los siguientes aspectos:

E. E. Coral

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2

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on

a) Conceptos te´oricos involucrados en el tema que se va a experimentar b) El sistema que se va a estudiar. c) Las variables o propiedades que se van a medir. d) Distinguir la variable dependiente de la variable independiente. e) Las unidades en que se van a medir las variables. f ) Los factores que pueden afectar las mediciones. El estudiante debe tener en cuenta todo lo que acontece en el laboratorio, lo m´as aconsejable es que tome nota de todo lo que suceda, especialmente de su propio procedimiento. Cada estudiante debe tener una libreta de apuntes. Al finalizar la pr´actica de laboratorio, cada grupo debe entregar un preinforme de los datos medidos en el formato que aparece al final de esta gu´ıa. Para evaluar los datos experimentales se debe tener el conocimiento b´asico de las Teor´ıa de Errores y An´alisis de Gr´aficos, temas que se van a exponer en una forma breve en esta gu´ıa. El reporte de sus resultados se debe entregar en un informe que presente el formato de Art´ıculo Cient´ıfico que tambi´en se incluye en esta gu´ıa.

1.2

Magnitudes F´ısicas

Magnitud es toda cantidad que se puede medir. Medir significa comparar. Cuando medimos cualquier magnitud, ya sea,una longitud o la intensidad de una corriente el´ectrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con otra de la misma especie que consideramos arbitrariamente como patr´on. Por ejemplo, al determinar una masa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masas patrones (las “pesas” de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sido comparadas (o calibradas) con alg´ un patr´on secundario y al seguir la cadena de comparaciones se llega hasta el patr´on universal de masa (kilogramo) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en S`evres, cerca de Par´ıs, donde fue adoptado mediante convenios internacionales. De igual forma, se definen patrones para otras magnitudes que se consideran magnitudes fundamentales, puesto que las unidades de una de ellas no se puede expresar en funci´on de las otras. Existen diferentes sistemas que definen las unidades de estas magnitudes. Uno de estos, el Sistema Internacional de Unidades (SI) vigente en la mayor´ıa de los pa´ıses desde 1960, considera siete unidades b´ asicas a partir de las cuales se pueden derivar todas las restantes unidades de medida de otras magnitudes f´ısicas, ver tabla 1.1. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

3

1.3 Las Unidades B´ asicas del SI

Tabla 1.1: Unidades b´ asicas del SI

Magnitud longitud masa tiempo temperatura cantidad de sustancia intensidad de la corriente intensidad de la luz

1.3

Unidad S´ımbolo metro m kilogramo kg segundo s Kelvin K mol mol Ampere A buj´ıa o candela cd

Las Unidades B´ asicas del SI

La definici´on de las unidades b´asicas ha venido cambiando por la necesidad de tener patrones o referencias m´as estables y precisas a trav´es del tiempo. La definici´on actual de las unidades b´asicas del SI aprobada por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1983 se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Definici´ on de las Unidades b´ asicas del SI

Magnitud longitud

Definici´ on Distancia recorrida por la luz en el vac´ıo durante un intervalo de 1/299.792.458 s - 17a. CGPM, 1983. masa kilogramo Masa de un cilindro de PLATINO-IRIDIO que se conserva en la BIPM en Par´ıs - 3a. CGPM, 1901. tiempo segundo Duraci´on de 9.192.631.770 vibraciones en la transici´on de dos niveles hiperfinos del ´atomo de 123 Cs -13a. CGPM, 1968. temperatura Kelvin Es 1/273,16 de la temperatura termodin´amica del punto triple del agua - 13a. CGPM 1968.

1.4

Unidad metro

Sistema de unidades

Es importante se˜ nalar que existen varios grupos de unidades asociadas a las magnitudes b´asicas longitud, masa, tiempo, conocidas como sistemas de unidades. Como ya se indic´o anteriormente, el SI es el m´as utilizado en la actualidad, pero existen pa´ıses como los de habla inglesa que usan diferentes unidades de medici´on, E. E. Coral

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4

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on

(ver tabla 1.3). El estudiante debe estar en capacidad de pasar las unidades de un sistema a otro aplicando los factores de conversi´on de unidades. Tabla 1.3: Sistemas de Unidades

Sistema Longitud SI m CGS cm INGLES pie

1.5

Masa Tiempo kg s g s slug s

Prefijos para los M´ ultiplos y Subm´ ultiplos

Los prefijos son nombres que se les da a ciertas potencias de 10 cuando usamos notaci´on cient´ıfica y sirven para determinar los m´ ultiplos y subm´ ultiplos de la unidad principal. Para utilizarlos, basta con expresar una cantidad en notaci´on cient´ıfica y reemplazar la potencia por el s´ımbolo correspondiente seguido de la unidad b´asica. Tabla 1.4: M´ ultiplos

Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

S´ımbolo Y Z E P T G M k h d

Tabla 1.5: Subm´ ultiplos

Factor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

S´ımbolo d c m µ n p f a z y

Veamos como ejemplo el metro: 1 m esta dividido en 100 partes y cada una de estas equivale a 0, 01 m o 10−2 m y de acuerdo a la tabla, corresponde a un cent´ımetro, abreviado 1 cm. La mil´esima parte del metro es igual a 0, 001 m o 10−3 m corresponde a 1 mm. Existen otras magnitudes como la capacitancia el´ectrica que solo se expresa en subm´ ultiplos del Faradio (F ), su unidad de medida, como 10−6 F = 1 µF , 10−9 F = 1 nF , 10−12 F = 1 pF . Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

5

1.6 Factores de Conversi´ on

1.6

Factores de Conversi´ on

Para pasar de un sistema de unidades a otro es necesario conocer la relaci´on que hay entre los distintos sistemas. Muchas veces tambi´en necesitamos pasar m´ ultiplos y subm´ ultiplos a la unidad fundamental o viceversa. Algunas factores de conversi´on entre el Sistema Ingl´es y el SI se encuentran en la tabla 1.6. Tabla 1.6: Algunos Factores de conversi´ on

Longitud 1 m = 39,37 in = 3,281 ft =102 cm 1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 ft = 0,3048 = 30,48 cm = 12 in 1 mi = 5280 ft = 1609 m = 1,609 km

masa 1 lb = 0,454 kg = 16 oz 1 oz = 28,35 g = 0,0625 lb 1Kg = 103 g = 2.2 lb

Veamos como ejemplo las unidades del tiempo que, aunque no corresponden al sistema decimal, si son aceptadas por el SI. ¿Cu´antos segundos tiene un d´ıa? usando los factores de conversi´on tenemos los siguiente: × dia 1 dia = 1 

  60  min 60 s 24  h × ×  = 86400 s   1 dia 1 h 1 min

Ahora, si queremos convertir de km/h a m/s, por ejemplo 72 km/h, procedemos de manera similar al caso anterior pero convirtiendo dos unidades: 72 km/h = 72

 km 

h 

×

1 h 103 m m × = 20  3600 s 1 km s

Otro caso es el de las unidades de capacidad o volumen. Como estas unidades corresponden a unidades lineales elevadas al cubo, lo mejor es escribir el m´ ultimplo 3 de la unidad y elevarlo al cubo, por ejemplo 1 m convertirlo a mililitros (ml): 1 m3 = 1  m3 ×

E. E. Coral

(102 cm)3 1 ml  6 3  = 10 cm × = 106 ml   3  3  1 cm 1 m

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

6

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on

1.7

An´ alisis Dimensional

Para verificar si una ecuaci´on est´a bien formulada, se debe tener en cuenta las variables que operan en dicha ecuaci´on. Al hacer un an´alisis dimensional, las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. Los s´ımbolos empleados para denotar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L, M y T. Dos cantidades que se suman, al igual que los t´erminos a ambos lados de una ecuaci´on, deben tener las mismas dimensiones. Como ejemplo, mostremos que la ecuaci´on x = vt, es dimensionalmente correcta. Por ser x una longitud tiene dimensi´on [x] = L y t tiene dimensi´on [t] = T . La velocidad por medirse en metros sobre segundo, tiene dimensi´on [v] = L/T , por tanto [x] = [v][t] L ×T T L=L

L=

Al cancelar T en la derecha, las unidades tienen la misma dimensi´on que en la izquierda.

1.8

Orden de Magnitud

Cuando queremos hacer c´alculos aproximados de ciertas cantidades, es importante aproximar los factores que intervienen en las operaciones, a la potencia de 10 m´as cercana. De esta forma, se dice, que la potencia de 10 representa el orden de magnitud de una cantidad. El orden de magnitud tambi´en sirve para referirse en forma oral o escrita de ciertas cantidades cuyas cifras son enormes o muy peque˜ nas, como la masa de un electr´on o la masa del sol y su distancia a la tierra. Algunos ejemplos se dan en la tabla 1.7. Tabla 1.7: Algunos Ordenes de Magnitud

Cantidad Radio de la o´rbita tierra-sol Masa del electr´on Edad promedio de un estudiante

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

magnitud 1.5 × 1011 m 9.11 × 10−31 kg 5.7 × 108 s

Orden de Magnitud 1011 m 10−31 kg 108 s

E. E. Coral

7

1.9 Ejercicios

1.9

Ejercicios

Conversi´ on de Unidades 1. ¿Cu´ales de las siguientes unidades no son fundamentales: a) m b) m/s c) ◦ C d) l e) m/s2 f) N

g) s

h) kg.

2. ¿Cu´al es su estatura en pies? 3. Un cohete alcanz´o una altura de 300 km. ¿A cu´anto equivale esta distancia en millas? 4. ¿Cu´antos segundos tiene 1 a˜ no? 5. La rapidez de la luz en el vac´ıo es aproximadamente 3, 00 × 108 m/s. ¿Cu´antos km viajar´ıa un pulso de un l´aser en 1 h? 6. Un a˜ no luz es la distancia que recorre la luz en un a˜ no a 300.000 km/s. ¿Cu´al es esta distancia en m? Exprese la distancia de la tierra al sol en a˜ nos luz. 7. Una certificaci´on de buceo se realiza a 40 pies. ¿Cu´antos metros debe bajar el buzo a pulm´on libre para certificarse? 8. ¿Cu´al es su peso en libras? 9. 1 cm3 equivale a 1 ml. ¿Cu´antos litros hay en 1 m3 ? Orden de magnitud 11. ¿Cu´al es el orden de magnitud de su edad en meses, d´ıas y segundos? 12. Estime el n´ umero de veces que el coraz´on de un humano late en una vida promedio de 70 a˜ nos. 13. El radio promedio de la tierra es de 6, 37 × 106 m, y el de la luna es de 1, 74 × 108 cm. Con estos datos calcule la raz´on entre el a´rea superficial de la tierra y de la luna. 14. Determine el n´ umero aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatro lados de una casa de tama˜ no regular. 15. Una persona utiliza 200 l de agua por d´ıa aproximadamente. ¿Cu´al debe ser el orden de magnitud en m3 del volumen de un recipiente capaz de abastecer de agua a la ciudad de Barranquilla en un d´ıa? E. E. Coral

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8

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on

Determine el orden de magnitud de los resultados de las siguientes operaciones. 16. (3 × 108 m/s) (3 × 105 s) 17. 7000/0,0035 18. (0,501 × 0,042)/420.000.000 19. Suponga que un prot´on tiene la forma de un cubo cuya arista es del orden de 10−13 cm. ¿Cu´al es el orden de magnitud del volumen del cubo? 20. Deseando construir un modelo del sistema solar, un estudiante representa el sol por medio de una pelota de balompi´e. Se sabe que el orden de magnitud del radio del sol es de 109 m y el de la tierra es de 107 m, siendo la distancia de la tierra al sol del orden de 1011 m. ¿Cu´al deber´ıa ser entonces, en este modelo, el orden de magnitud de la esfera que representa la tierra?, ¿La distancia de esta esfera a la pelota de balompi´e? An´ alisis Dimensional Diga si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas. (v es velocidad, a es aceleraci´on, t es tiempo, A es ´area, T periodo y r radio) 21. v 2 = v02 + 2at

25. A = πr2

22. x = xo + vt

26. t =

23. x = at

27. v =

24. v = vo + ax

28. T = 2π

q

2x a

√

2ax − v0 t q

l g

29. ¿Cu´ales son las unidades de las constantes en la ecuaci´on x = At2 + Bt + C, para que sea dimensionalmente correcta? 30. Muestre que si x = At3 + Bt es dimensionalmente correcta cuando x tiene unidades de longitud y t tiene unidades de tiempo, entonces la derivada dx/dt tiene unidades de longitud sobre unidades de tiempo. 31. ¿Cu´al es el valor de los exponentes para que la ecuaci´an v 2 = kam sn sea dimensionalmente correcta? 32. ¿Para qu´e valores de m y n la ecuaci´on x = kam tn es dimensionalmente correcta?

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E. E. Coral

Cap´ıtulo 2 Mediciones y Errores 2.1

El proceso de medici´ on

Medir es comparar una magnitud desconocida con otra llamada patr´on. Al realizar una medici´on de cierta magnitud, se obtiene un n´ umero acompa˜ nado de una unidad asociada a la magnitud respectiva. En el caso m´as general, este resultado debe ir acompa˜ nado por otro n´ umero que representa la incertidumbre en la medici´on.

2.2

Tipos de medici´ on

Las mediciones pueden obtenerse de dos formas: Mediciones Directas: Son el resultado de comparar directamente una magnitud desconocida con un instrumento de medida calibrado seg´ un un patr´on establecido previamente. El resultado se mide directamente en una escala num´erica que posee el instrumento. Mediciones Indirectas: Se obtienen a trav´es de una operaci´on entre dos o m´as mediciones directas o a trav´es de una funci´on de las cantidades medidas. Por ejemplo la densidad se obtiene como funci´on de la masa y el volumen de una sustancia.

2.3

Cifras significativas

El N´ umero de cifras que debe tener el escalar que representa una magnitud medida, est´a muy relacionado con el n´ umero de divisiones que tenga la escala del instrumento de medida. Por ejemplo, si ustedes miden cierta longitud con una cinta m´etrica E. E. Coral

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10

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

que solo est´a graduada en metros (m), el resultado ser´a un entero que representa cuantas veces cabe la unidad patr´on en esa longitud y es una cifra que tiene certeza en su medida. Pero si existe cierta fracci´on de la longitud que no se puede medir directamente con el instrumento, ustedes tendr´an que hacer uso de la apreciaci´on simple vista, dando en este caso, un u ´nico decimal que es incierto. Por ejemplo: 2,4 m de longitud. En este caso decimos que hay dos cifras significativas. Si ahora usamos una cinta m´etrica divida en dec´ımetros dm, al reportar el resultado de la medici´on en metros m, el n´ umero de cifras ciertas corresponde a los metros y a los dec´ımetros. Pero si el extremo de la magnitud a medir se ubica entre una divisi´on de un dec´ametro y el siguiente, podremos ahora apreciar una fracci´on m´as peque˜ na imaginando diez divisiones en este espacio cuyo valor ser´ıa una cifra dudosa dada en cent´ımetros cm. Por ejemplo, la medici´on de la fig. 2.1 se puede reportar como L = 2,46 m. Aunque este resultado est´a por encima de la mitad del intervalo de 1 dm, las mediciones 2,45 m o 2,47 m, tambi´en son v´alidas, ya que la u ´ltima cifra siempre va a ser incierta. De esta manera podemos decir que hay tres cifras significativas en esta medici´on.

Figura 2.1: Medici´ on de una magnitud

Veamos como mejora la medici´on de la misma magnitud, pero usando ahora una cinta m´etrica dividida en cent´ımetros cm. Al reportar el resultado en m, estamos seguros de la posici´on de los metros, los dec´ımetros y los cent´ımetros, pero podemos hacer una apreciaci´on del orden de los mil´ımetros, obteniendo as´ı una u ´ltima cifra dudosa o incierta. Ejemplo: 2,463 m. En este caso la cifra apreciada est´a por debajo de la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na, los cm. Un resultado aceptable tambi´en podr´a ser 2,462 m o 2,464 m. En este caso, tenemos una medici´on con cuatro cifras significativas. Escribir una quinta cifra carece de sentido ya que no hay m´as divisiones en nuestro instrumento de medici´on. Para tener una cifra segura en la posici´on de los mil´ımetros, debemos usar una cinta m´etrica graduada en mil´ımetros y tendr´ıamos as´ı una cuarta posici´on decimal como cifra apreciada, o cifra incierta, para un total de 5 cifras significativas, por ejemplo: 2,3638 m. Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el resultado de una medici´on va acompa˜ nado de un n´ umero de cifras que tienen certeza y una u ´ltima cifra que siempre es dudosa. Estas son las llamadas cifras significativas. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

11

2.4 Operaciones con cifras significativas

En una medici´on se debe tener en cuenta que los ceros a la izquierda no son cifras significativas, mientras que los ceros intermedios y ceros a la derecha si son cifras significativas. Cuando se tenga un n´ umero muy grande de ceros a la izquierda la mejor manera de expresar el resultado de la medici´on es usando potencias de diez, pero conservando el mismo n´ umero de cifras significativas. Algunos ejemplos se dan en la tabla 2.1. Tabla 2.1: Ejemplo de cifras significativas

Magnitud N´ umero de cifras significativas 0,012 mm 2 0,1204 g 4 1,0200 s 5 4,34 ×104 m 3

2.4 2.4.1

Operaciones con cifras significativas Criterio de aproximaciones

Al realizar operaciones resultan n´ umeros con muchas cifras decimales. Algunas de estas cifras deben ser eliminadas (redondeo) para dejar las m´as significativas, de acuerdo al siguiente criterio: 1. La cifra que queda se aumenta en una unidad si la cifra contigua que se quita es > 5. 2. Si la primera cifra que se elimina es < 5, la que queda se deja igual. 3. Si la primera cifra que se elimina es = 5 y no existen otros d´ıgitos a su derecha o son solamente ceros, el n´ umero que queda se aumenta en 1 siempre y cuando la cifra resultante sea par.

2.4.2

Suma

Cuando se suman dos o m´as n´ umeros con distintas cifras significativas, los decimales del resultado debe igualar al operando que posea el menor n´ umero de estos, usando el criterio anterior. Ver ejemplo en la tabla 2.2 E. E. Coral

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12

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

Tabla 2.2: Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas

n´ umero original 20,45 40,1368 20,5500 60.6952 30,365 Suma = 172,1970

2.4.3

aproximaci´ on 20,45 40,14 20,55 60,69 30,37 Suma = 172,20

descripci´ on Menor No. de decimales Elimina 6 y 8. 3 aumenta en 1 Elimina ceros, 5 no cambia Elimina 5 y 2, 9 no cambia Elimina 5, 6 aumenta en impar Aproxima a dos cifras decimales

Multiplicaci´ on

Al multiplicar o dividir dos cantidades, el resultado debe tener el mismo n´ umero de cifras significativas del operando que tenga el menor n´ umero de ellas.

Ejemplo Calcular el volumen de un cilindro circular recto donde r = 4, 5 cm y h = 55, 7 cm. Sabemos que V = πr2 × h. El n´ umero π = 3,14159..., ¿Cu´antas cifras le asignamos al este n´ umero irracional? Como vemos r tiene dos cifras significativas, h tiene tres, por lo tanto, asignamos a π el mismo n´ umero de cifras significativas de h, es decir, 3,14. Valor obtenido con la calculadora:

V = 3541.6845 cm3

Valor obtenido seg´ un el criterio dado:

V = 3, 5 × 103 cm3

Para expresar las dos cifras significativas hemos usado potencias de diez.

2.5

Errores Experimentales

En general, todo procedimiento de medici´on tiene imperfecciones que dan lugar a un error en el resultado de la medici´on, lo que hace que el resultado sea s´olo una aproximaci´on del valor real de la magnitud medida. De acuerdo a la naturaleza de los errores experimentales, se acostumbra a dividirlos en dos clases: Errores Sistem´aticos y Errores Aleatorios. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

13

2.5 Errores Experimentales

2.5.1

Errores Sistem´ aticos

Se deben a diversas causas y se repiten constantemente cuando las mediciones se realizan en las mismas condiciones. Los resultados se ven afectados en el mismo sentido. Estos errores se pueden detectar f´acilmente y se pueden eliminar si se conoce la causa. Algunas fuentes de error sistem´atico son: a) Errores de calibraci´on de los instrumentos de medida. Ajuste del cero, escala inapropiada, construcci´on defectuosa. b) Condiciones de trabajo no apropiadas (presi´on, temperatura, humedad, luminosidad, frecuencia de la red). c) T´ecnicas imperfectas. Generalmente por falta de experiencia del experimentador o por falta de planeaci´on de los procedimientos. d) F´ormulas incorrectas. Cuando se hacen aproximaciones, los resultados experimentales no son exactamente los esperados en la teor´ıa.

2.5.2

Errores Aleatorios

Se deben a perturbaciones peque˜ nas o fluctuaciones y no es posible detectar la causa que los produce. Si un experimento se repite en condiciones id´enticas, los resultados de la medici´on no son siempre los mismos cuando se presenta este error. Para disminuir el error aleatorio, se debe realizar un n´ umero determinado de mediciones y realizar un tratamiento estad´ısticos de los resultados. Se puede dar una idea de c´omo se presentan estos errores: a) Errores de apreciaci´on. Se presentan al leer en la escala de un instrumento haciendo estimaci´on de una fracci´on de la divisi´on m´as peque˜ na de la escala. Al realizar varias mediciones esta apreciaci´on var´ıa aleatoriamente. b) Condiciones de trabajo. La variaci´on de las condiciones ambientales, vibraciones de la mesa de trabajo, se˜ nales electromagn´eticas. c) Falta de definici´on de la cantidad a medir. Como el di´ametro de una esfera ya que esta no es una esfera perfecta. Seg´ un el tipo de error, las mediciones se pueden clasificar en: Precisas.- Son aquellas mediciones que tienen errores aleatorios peque˜ nos. Exactas.- Son aquellas mediciones que tienen errores sistem´aticos peque˜ nos. Esto se puede observar claramente en la figura 2.2, E. E. Coral

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14

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.2: Errores aleatorios y sistem´ aticos en un ejercicio de pr´ actica de tiro. a)Alta precisi´ on y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos est´ an muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son peque˜ nos (buena precisi´ on). Debido a que la distribuci´ on de disparos est´ a centrada en el blanco, los errores sistem´ aticos tambi´en son (buena exactitud). b) Alta precisi´ on y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa peque˜ nos, pero los sistem´ aticos son mucho m´ as grandes, los disparos est´ an sistem´ aticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisi´ on y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistem´ aticos son peque˜ nos, los disparos est´ an muy dispersos, pero no est´ an sistem´ aticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisi´ on y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes.

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E. E. Coral

15

2.6 C´ alculo de Incertidumbres

2.6

C´ alculo de Incertidumbres

2.6.1

Error Absoluto e Incertidubre

En una medici´on la u ´ltima cifra resulta siempre incierta. Esto quiere decir que nunca vamos a obtener el valor real de una medida, pero nos aproximamos a ´el mejorando el procedimiento y los instrumentos de medici´on. Toda medici´on va acompa˜ nada de una incertidumbre y su determinaci´on nos dice que tan cerca estamos del valor real de la magnitud. Definimos el error absoluto , como la diferencia entre el valor real VR y el valor observado VO o valor medido, en la forma  = kVR − VO k

(2.1)

Se expresa como el valor absoluto ya que podemos acercarnos al VR por exceso o por defecto, es decir, que esta diferencia puede ser positiva o negativa. Pero ¿c´omo calcular el error absoluto si jam´as conoceremos el valor verdadero? En la pr´actica el error absoluto se define con relaci´on a una medida arbitraria. Por eso definimos la incertidumbre ∆V tal que para cualquier VO se cumple que  = kVR − VO k ≤ ∆V

(2.2)

Si podemos determinar ∆V , entonces para cualquier medici´on experimental VO se cumple que el valor real de la cantidad satisface la desigualdad: VO − ∆V ≤ VR ≤ VO + ∆V

(2.3)

Esto quiere decir, que al hacer una medici´on, lo que estamos buscando es un intervalo donde se encuentra el valor m´as probable del valor real. En otras palabras, buscamos los l´ımites superior e inferior de una magnitud. Una forma m´as u ´til de expresar este intervalo de medici´on es VR = VO ± ∆V

(2.4)

Esta es la manera como deben reportarse el valor de una medici´on de cualquier magnitud, sea directa o indirecta.

2.6.2

Incertidumbre relativa e incertidumbre porcentual

Muchas veces necesitamos saber que tan significativa es ∆V respecto a VO . Por ejemplo, una incertidumbre de ±1cm en la longitud de un cuaderno es significativo. E. E. Coral

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16

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

Pero si medimos la distancia entre la tierra y la luna o el tama˜ no de una bacteria con el mismo error, este carece completamente de sentido. Es por esto que es necesario comparar la incertidumbre estimada con el valor medido en la forma R =

∆V VO

(2.5)

Esta es la incertidumbre relativa que tambi´en se puede reportar como un porcentaje al multiplicar por 100 en la forma R =

2.6.3

∆V × 100 VO

(2.6)

C´ alculo pr´ actico de la incertidumbre

Al cuantificar la incertidumbre de una cierta magnitud x debemos, en principio, tener en cuenta todos los tipos de incertidumbres que est´en presentes. Una forma de obtener el valor de la incertidumbre total es mediante la suma de los cuadrados de todas las incertidumbres presentes de acuerdo a la siguiente ecuaci´on, (∆x)2 =

N X

∆x2n

(2.7)

n=1

Por lo general en el laboratorios es frecuente encontrar las siguientes incertidumbres: a) Incertidumbre de escala (∆xe ) b) Incertidumbre de calibraci´on (∆xc ) c) Incertidumbre estad´ıstica o aleatoria (∆xa ) En este caso, el c´alculo de la incertidumbre total viene dado por ∆x =

q

(∆xe )2 + (∆xc )2 + (∆xa )2

(2.8)

Normalmente se atribuye como incertidumbre de escala de una medida a la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na. Por ejemplo, si ustedes miden con una regla graduada en mil´ımetros entonces, la incertidumbre atribuida puede ser ± 0.5 mm (± 0.05 cm) (pero esto no es adecuado del todo ya que depende del estado del objeto a medir y del propio instrumento de medida). Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

17

2.6 C´ alculo de Incertidumbres

Si se determina que una longitud tiene 15,00 cm y s´olo tenemos en cuenta esta incertidumbre, entonces el resultado de la medici´on es L = (15, 00 ± 0.05) cm o en otras palabras, su valor verdadero se encuentra en el intervalo 14, 95 cm < L < 15, 05 cm Vamos a adoptar el siguiente m´etodo para obtener un intervalo de una medida, considerando que su instrumento de medici´on est´a bien calibrado. 1. Obtenemos los valores l´ımites , L1 y L2 observando la escala. 2. Calculamos el valor observado Lo como el promedio de estos dos valores Lo =

L1 + L2 2

(2.9)

3. Asignamos la incertidumbre de escala seg´ un la ecuaci´on ∆L =

L1 − L2 2

(2.10)

4. Expresamos el valor de la medici´on como L = (Lo ± ∆L) unidad Por ejemplo, observando en la figura 2.1, se puede apreciar que la longitud L est´a entre L1 = 2, 40 cm y L2 = 2, 50 cm. Con estos l´ımites podemos asignar el valor central u observado Lo =

2, 50 + 2, 40 = 2, 45 cm 2

en donde 5 es la cifra incierta en la medici´on. Ahora obtenemos el valor de la incertidumbre

∆L =

2, 50 − 2, 40 0, 10 = = 0, 05 cm 2 2

la cual coincide con la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na. El resultado final de la medici´on es L = (2, 45 ± 0, 05) cm La calidad de la medici´on se expresa mediante la incertidumbre porcentual. E. E. Coral

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18

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

εr =

0, 05 × 100 = 0, 02 × 100 = 2% 2, 45

Se aclara al estudiante que este m´etodo empleado es meramente did´actico, ya que al usar procedimientos de metrolog´ıa para calcular la incertidumbre en una medici´on, se encuentra que el m´etodo es mucho m´as refinado que el que se expone en estas notas.

2.7

Propagaci´ on de la Incertidumbre

Al hacer una medida indirectamente, como por ejemplo, calcular el a´rea de un campo de f´ utbol, en donde se mide por separado el largo y el ancho, es obvio que la incertidumbre asignada a ambas mediciones conlleva a una incertidumbre en el a´rea calculada. Es por esta raz´on que necesitamos conocer procedimientos matem´aticos para obtener la incertidumbre en una medici´on indirecta, a partir de medidas directas, en donde se involucran funciones de una o m´as variables.

2.7.1

Incertidumbre en funciones de una sola variable

Supongamos que la medida de una magnitud es x = x0 ± ∆x y queremos calcular el valor de z mediante la funci´on z = f (x). Es de esperarse que z = z0 ± ∆z, donde z0 = f (x0 ) y el intervalo ±∆x alrededor de x0 genera un intervalo ±∆z alrededor de z0 . Como ejemplo tomemos el caso de z = x2 . Reemplazando x por x0 ± ∆x obtenemos z = z0 ± ∆z = (x0 ± ∆x)2 = x20 ± 2x0 ∆x + (∆x)2

(2.11)

Como ∆x es peque˜ no, entonces (∆x)2 xm´ax − x 0 (4.4) y = Ax−1 (4.5) kx y = Ae (4.6)

y = Ax + B (4.1) 2 y = Ax + Bx + C (4.2) 3 2 y = Ax + Bx + Cx + D (4.3)

Si ustedes dibujan previamente las formas de las curvas que representan estas ecuaciones les ser´a f´acil asociar las curvas experimentales con alguna de estas ecuaciones. Ejercicio. Usen papel milimetrado para dibujar las curvas correspondientes a las ecuaciones anteriores, asign´andole valores arbitrarios a la variable x.

4.2.1

Ecuaci´ on lineal y m´ınimos cuadrados

Si al dibujar en un plano cartesiano una serie de datos experimentales (parejas xy) y los puntos obtenidos se pueden hacer corresponder con una linea recta, entonces la ecuaci´on matem´atica asociada es la lineal, ecuaci´on 4.1. Escribamos ahora esta ecuaci´on en en la forma habitual y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta que se obtiene gr´aficamente tomando dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) que se encuentren en la mejor l´ınea que une todos los puntos (interpolar) m=

y2 − y1 x2 − x1

(4.7)

b es el punto de intersecci´on o intercepto de la recta con el eje y y se obtiene directamente del gr´afico. Use este m´etodo cuando quiera hacer c´alculos r´apidos y aproximados o cuando no disponga de otra herramienta. Existe un m´etodo estad´ıstico para encontrar la relaci´on lineal de una serie de mediciones, conocido como m´ınimos cuadrados. Se puede aplicar este m´etodo para encontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del gr´afico tienen esta tendencia. Las calculadoras Cassio traen incluido el modo LR (regresi´on lineal ) para E. E. Coral

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38

Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

calcular estos par´ametros. Existen programas de computador para an´alisis de datos experimentales como Excel y Origin que adem´as de graficar, ofrecen la posibilidad de encontrar la ecuaci´on que m´as se ajuste a los datos. Cuando no se tiene una calculadora o un computador disponibles, es f´acil hallar la ecuaci´on de la l´ınea recta aplicando las siguientes ecuaciones que se obtienen por m´ınimos cuadrados (Ver ref.[1] cap. 6 pag. 128, y Ap´endice 2 pag. 172 ): Para obtener la pendiente, n

m=

Pn i

(xi yi ) −

P n n x2

−

i

i

Pn i

xi

Pn i

yi

2

 Pn i

xi

xi

Pn

(4.8)

y para obtener el intersecto, b=

Pn 2 Pn x y i

i

−

i

i

P n n x2 i

i

−

Pn i



Pn i

i

(xi yi )

2

(4.9)

xi

Tambi´en es posible obtener las incertidumbres en m y b con las ecuaciones: Incertidumbre en m ∆m =

√ σ n s P n n x2 i

i

 Pn

−

i

2

(4.10)

xi

Incertidumbre en b sP

∆b = ∆m

n i

x2i n

(4.11)

En donde σ es la desviaci´on est´andar obtenida con el an´alisis por m´ınimos cuadrados, dada por sP

σ=

n i (yi

− mxi − b)2 n−2

(4.12)

Si ustedes saben usar un lenguaje de programaci´on como Qbasic, T urboP ascal, C ++ , se puede realizar un programa usando ecuaciones 4.8 a 4.12 para calcular estos valores. ¡Int´entelo! Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

39

4.2 Linealizaci´ on de gr´ aficos

4.2.2

Ejemplo

Como ejemplo, vamos a ilustrar el m´etodo analizando los siguientes datos que se suponen tienen un comportamiento lineal. Tabla 4.1: Datos para an´ alisis de un comportamiento lineal

n 1 2 3 4 5

x 2 3 4 5 6 Pn i = 20

y 4.5 5.0 7.5 8.0 10.0 35

x2 4 9 16 25 36 90

xy (y − mx − b)2 9 0.09 15 0.36 30 0.25 40 0.16 60 0.04 154 0.90

Para m tenemos m=

5 × 154 − 20 × 35 70 = = 1, 4 2 5 × 90 − 20 50

y para b b=

90 × 35 − 20 × 154 70 = = 1, 4 2 5 × 90 − 20 50

La ecuaci´on de la l´ınea recta que se ajusta a estos datos es y = 1.40 + 1.40x ; 2 ≤ x ≤ 6 Los errores respectivos para A y B con σ = 0.55 son: ∆m = 0.17 ≈ 0.2 ∆b = 0.35 ≈ 0.4 Por tanto m = 1.4 ± 0.2 b = 1.4 ± 0.4 E. E. Coral

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40

Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

4.3

Gr´ aficos no lineales

Cuando obtengan un gr´afico que no presenta forma lineal (el resto de las ecuaciones citadas arriba), el m´etodo que se sigue es el de linealizaci´on, que consiste en transformar de alguna manera la supuesta ecuaci´on que ajusta a sus datos hasta obtener una forma lineal y as´ı, aplicarle el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Por ejemplo, para la ecuaci´on cuadr´atica 4.2 y = Ax2 + Bx + C la forma lineal es y−C = Ax + B x

(4.13)

Si al t´ermino de la derecha le llamamos z, la ecuaci´on toma la forma z = Ax + B

(4.14)

Al realizar un gr´afico de z en funci´on de x, d´andole valores arbitrarios a x, debemos obtener la l´ınea recta que se ajusta a los datos experimentales. El valor del coeficiente B es la intersecci´on de la recta en el gr´afico de z vs. x y el coeficiente A es la pendiente. C es el valor inicial de y en x = 0.

4.3.1

Funci´ on Potencial

En muchos casos el gr´afico de una serie de datos x, y no se ajustan con una forma lineal, ni a una funci´on cuadr´atica, entonces, probando con la funci´on y = Axn en la siguiente forma lineal Para linealizar la funci´on, aplicamos el logaritmo decimal en la siguiente forma:

y = Axn =⇒ log y = log(Axn ) log y = logA + log xn log y = logA + n log x

(4.15)

Si hacemos Y = log y , X = log x, b = log A y m = n la ecuaci´on 4.15 toma la forma lineal: Y = mX + b

(4.16)

Para observar la linealidad en forma logar´ıtmica, se hace el gr´afico log y vs. log x o los datos de las variables se llevan directamente a un papel logar´ıtmico Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

41

4.3 Gr´ aficos no lineales

( papel log-log) como se muestra en la figura 4.3. Los valores de m y b se obtienen por el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Cuando se ha dibujado el gr´afico en papel loglog, recuerde que al calcular la pendiente, los valores usados deben ser los logaritmos de los datos.

Figura 4.2: Grafica de la funci´ on y = kxn en papel logar´ıtmico

4.3.2

Funci´ on exponencial

Si la funci´on es de forma exponencial de base e, se linealiza aplicando el logaritmo natural o neperiano (ln) a ambos lados de la ecuaci´on: y = Aekx =⇒ ln y ln y ln y ln y

= = = =

ln(Aekx ) lnA + ln ekx lnA + k ln ex lnA + kx

(4.17)

la ecuaci´on resultante es de forma lineal, en donde ahora: Y = ln y, X = x, m = k y b = lnA. Al realizar la gr´afica de lny vs. x obtenemos una l´ınea recta, siempre y cuando esa sea la curva que se ajuste a los datos experimentales. En caso contrario, se deja a un lado y se prueba con otra ecuaci´on. Un ejemplo de este tipo de linealizaci´on se muestra en la figura 4.4 en donde se ha usado papel semilogar´ıtmico (semi-log) para observar el comportamiento lineal . E. E. Coral

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Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

Figura 4.3: Gr´ afica de la funci´ on y = Aekx en papel semilogar´ıtmico

4.3.3

Ejemplo

Los siguientes datos muestran el resultado de la medici´on de la descarga en funci´on del tiempo de un elemento electr´onico llamado condensador o capacitor. Los datos se obtuvieron midiendo el voltaje cada 2 segundos. Tabla 4.2: Datos para la descarga de un condensador

Voltaje(V ) 50,0 33,5 22,5 15,1 10,1 6,8 4,5 3,0 2,0 1,4

Tiempo(s) 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

Al realizar la gr´afica del voltaje contra el tiempo, (ver figura 4.4), se observa una curva decreciente. Asumimos hipot´eticamente que la ecuaci´on es de la forma y = Aekx . Para confirmar esto, realizamos un gr´afico de ln x contra t,(figura 4.5). Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

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4.3 Gr´ aficos no lineales

Figura 4.4: Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador

Figura 4.5: Linealizaci´ on de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.

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Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

Como se puede observar, la serie de puntos dibujados muestra una tendencia lineal en la forma de la ecuaci´on 3.3, lo que sugiere que nuestra hip´otesis es verdadera. Aplicando el m´etodo de m´ınimos cuadrados y comprobando con una calculadora, se encuentra que la ecuaci´on de la recta es ln y = −0, 2x + 3, 91 donde ln A = 3, 91 , por tanto A = ln−1 (3, 91) = e3,91 luego A = 50 Para la pendiente tenemos k = −0, 2 Por tanto la ecuaci´on del gr´afico es: y = 50e−0,2x Ahora, usando las variables de los datos iniciales se tiene: V = 50e−0,2t , 0 ≤ t ≤ 18s

4.3.4

Linealizaci´ on de modelos conocidos

En la mayor´ıa de experimentos que ustedes van a realizar, ya conocen de antemano el modelo matem´atico del sistema que se estudiar´a. Para la comprobaci´on de los modelos se pueden basar en los siguientes procedimientos. T´ erminos lineales sencillos Existen algunos modelos en donde los t´erminos se pueden representar directamente como t´erminos lineales, por ejemplo la funci´on Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

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4.4 An´ alisis de gr´ aficos con ayuda de calculadoras

v 2 = 19, 62x

45

(4.18)

Si hacemos Y = v 2 y 4X = x, al graficar Y contra X obtendremos una l´ınea recta de pendiente 19,62 (Unidades). Tambi´en se puede usar la forma equivalente x=

1 v2 19, 62

(4.19)

tomando como variable vertical a x y como variable horizontal a v 2 . Variables Combinadas Existen algunos casos de gr´aficos no lineales en donde no es inmediato obtener el t´ermino lineal. Para lograrlo, se recurre a realizar operaciones en ambos lados de la ecuaci´on hasta obtener t´erminos donde aparecen las variables combinadas que vienen a representar las variables X y Y en la forma lineal. Un ejemplo es el caso del periodo para el p´endulo f´ısico que viene dado por: s

T = 2π

h2 + k 2 gh

(4.20)

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuaci´on y luego multiplicando por h se tiene h2 =

g 2 T h − k2 2 4π

(4.21)

Esta forma de la ecuaci´on ya es lineal, pero si despejamos h2 obtenemos una forma lineal m´as sencilla T 2h =

4π 2 2 4π 2 2 h + k g g

(4.22)

2

Haciendo Y = h2 , X = T 2 h, m = 4πg y b = −k 2 , tenemos una relaci´on lineal y un gr´afico de h2 contra T 2 h ser´a el de una l´ınea recta.

4.4

An´ alisis de gr´ aficos con ayuda de calculadoras

Se puede usar una calculadora Cassio para obtener los par´ametros m y b de una serie de datos experimentales cuya gr´afica tiene comportamiento lineal, ya sea dibujada E. E. Coral

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Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

en papel milimetrado, logar´ıtmico o semilogar´ıtmico.

4.4.1

Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS

Digite las teclas

para entar en el modo REG.

Aparecer´a el siguiente men´ u 1(Lin), 2(Log), 3(Exp). Presione

para entrar en el modo de Regresi´on Lineal.

Inicie siempre el ingreso de datos con

.

Para introducir la pareja de datos (x,y), por ejemplo (2; 4,5), digite: 2 4.5 Repitan el paso anterior para introducir las siguientes parejas de datos. Para obtener los valores de la pendiente y el intercepto, la calculadora usa la f´ormula y = B + Ax, donde A y B corresponden al intercepto y la pendiente respectivamente. Pendiente: Intercepto:

4.4.2

Calculadora Cassio FX350ES

Todos los c´alculos estad´ısticos se realizan en el modo STAT. Para entrar a este modo, presiones las teclas: MODE 2 Para seleccionar el modo de Regresi´on lineal, presione de nuevo la tecla Aparecera la pantalla que se observa en la figura 4.6

2

.

Figura 4.6: La pantalla en el modo Regresi´ on Lineal presenta dos columnas x y y.

Como observa el cursor aparece en la columna x. Si quiere mover el cursor a la columna y utilice las teclas del cursor. La ecuaci´on lineal en la calculadora es y = A+Bx. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

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4.5 Uso de programas de computador

Para ingresar los datos en x, escriba el numero, por ejemplo 12.3 y luego la tecla = , el cursor baja para esperar el siguiente dato. Ubique el cursor en eje y para ingresar los datos de esta columna en la misma forma que en x. Borre la pantalla presionando

AC

.

Para obtener la pendiente A presione las teclas en el orden:

SHIFT

1

7

1

Para obtener el intercepto B presione las teclas en el orden:

SHIFT

1

7

2

Si desean obtener m´as informaci´on pueden descargar el manual completo de la calculadora vistando la pagina de internet: http://www.instructionsmanuals.com/u2 /pdf/calculadoras/Casio-FX350ES-es.pdf

4.5

Uso de programas de computador

Si saben usar programas graficadores para computador tales como Excel, Origin para Windows o los equivalentes en Linux (Ubutu), intenten usarlos y repetir lo realizado anteriormente para comparar resultados. Estos programas tienen subrutinas para realizar la regresi´ on lineal y son capaces de dibujar las gr´aficas que usted necesite evaluar y se puede obtener la ecuaci´ on que se ajusta a sus datos. Cualquier informaci´on se puede obtener a trav´es de Internet.

4.5.1

Gr´ aficas en Excel

Aqu´ı se va a hacer una breve explicaci´on del uso del programa Excell para Windows la cual debe´a ser explorada para entender como funciona. Una vez abierto el programa Excell, aparece la pantalla de la figura 4.7 Inicie escribiendo los datos experimentales en las columnas. Excel siempre interpreta la columna izquierda como la variable x y la columna derecha como la variable y. Al finalizar, seleccione las columnas y ubique en el men´ u de la barra superior la opci´ on insertar. De las opciones que despliega, seleccione dispersi´ on y seguidamente haga clic en el icono que muestra solo puntitos, como se muestra en la figura 4.8. El resultado de toda esta operaci´ on es una gr´ afica en un como plano cartesiano como se ve en la figura 4.9. Cuando se quiere hacer el ajuste a los puntos experimentales, ubique el cursor (flecha) sobre cualquier punto de la gr´ afica y haga click con el bot´on derecho del mousse. Escoja la opci´ on agregar linea de tendencia. Aqu´ı se aparecen otras opciones que se refieren al tipo de curva que va a ajustar (exponencial, lineal, logaritmica) seleccione la opci´on mas adecuada de acuedo a la geometria que adquieren sus puntos. Finalmente seleccione en la misma ventana las opci´ on presentar ecuaci´ on en el gr´ afico.

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Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

Figura 4.7: Pantalla inicial de Excel

Figura 4.8: Selecci´ on de la opci´ on graficar

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4.5 Uso de programas de computador

Figura 4.9: Selecci´ on de ajuste de la gr´ afica

Figura 4.10: Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionar para el ajuste. E. E. Coral

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Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

4.6

Ejercicios

Use los conceptos de linealizaci´ on y m´ınimos cuadrados anteriormente mencionados para encontrar las ecuaciones que relacionan los datos de x y y en las siguientes tablas: Tabla 4.3: Ejercicio 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 4.4: Ejercicio 2

y 10 12 15 19 24 30 37 45 54 64 75

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x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 5 8 14 22 37 61 100 166 273 450 742

Tabla 4.5: Ejercicio 3

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 12,5 6,3 4.2 3.1 2,5 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3

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Ap´ endices

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Ap´ endice A Instrumentos de Medici´ on 1 Los instrumentos de medici´ on son aparatos que poseen una escala num´erica que se ha calibrado de acuerdo a la magnitud que se desea medir. Generalmente las escalas de los instrumentos tradicionales son decimales (SI). Los instrumentos de medici´on modernos poseen visualizadores digitales que son mas precisos. Veamos a continuaci´ on la descripci´on de algunos instrumentos de medici´on u ´tiles en las clases de laboratorios de f´ısica.

A.1

Calibrador o Pie de rey

El calibrador o pie de rey es un instrumento de precisi´on que permite medir d´ecimas de mil´ımetro sin hacer estimaciones. Este instrumento fue inventado en 1631 por el matem´ atico franc´es Pierre Vernier, raz´on por la cual tambi´en se le conoce como Vernier. Este instrumento sirve para medir espesores, di´ametros exteriores e interiores y profundidades (ver figura A.1).

A.1.1

Principales partes del calibrador

1. Escala principal. 2. Nonio o escala m´ ovil. 3. Puntas para medici´ on de espesores y di´ametros exteriores (mand´ıbulas fija y m´ovil). 4. Puntas para medici´ on de di´ametros interiores. 5. Barra para profundidades. 6. Tornillo de fijaci´ on. E. E. Coral

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Ap´ endice A

Figura A.1: Partes del Calibrador o Pie de rey. La escala fija tiene un rango de 15 cm y est´a graduada en mm. Sobre la regla principal, se desliza una peque˜ na regla llamada nonio con una escala de 10 divisiones o m´as que corresponde a lecturas de 1/10, 1/20, 1/40 o 1/50 de mil´ımetro.

A.1.2

Principio de funcionamiento

Escala de 10 divisiones En el caso de un nonio con una escala de 10 divisiones, cuando los dos ceros coinciden, la escala completa del nonio mide 9 mm. De esta forma, una divisi´on del nonio equivale a 9/10 de mm (Ver figuras A.2).

Figura A.2: Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm Observen que la primera divisi´ on del nonio le falta 0,1 mm para completar 1 mm. Si ahora desplazamos el nonio hasta hacer coincidir la primera divisi´on con el primer mil´ımetro de la escala fija, las mand´ıbulas se separen justamente 0,1 mm. Ahora, analizando la segunda divisi´ on, observamos que su distancia hasta el cero es de 1.8 mm, es decir faltan 0,2 mm para alcanzar la segunda divisi´on de la escala fija. Si desplazamos ahora el nonio hasta que la divisi´ on 2 del nonio coincida con la segunda divisi´on superior, se observa que las mand´ıbulas se separan exactamente 0,2 mm. Si continuamos el procedimiento anterior con todas las divisiones, entonces se encuentra que cada divisi´on Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

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A.1 Calibrador o Pie de rey

Tabla A.1: Longitud de cada divisi´ on del nonio al cero de la escala.

divisiones del nonio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

longitud en mm 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1 9,0

diferencias en mm 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1.0

del nonio que coincida con la divisi´on superior que est´e a su derecha, corresponde a una separaci´ on de las mand´ıbulas equivalente a las d´ecimas correspondientes del nonio. En la tabla A.1 se observa lo anterior con m´as claridad. En las figuras A.3 y A.4 se dan dos ejemplos del procedimiento de lectura con el calibrador. Para el caso de la figura A.3, se ha hecho coincidir la tercera divisi´on del nonio con la tercera divisi´ on del la regla principal. De acuerdo con lo relacionado en la tabla A.1 el nonio se ha desplazado 0,3 mm, quedando las puntas separadas en la misma magnitud. En el ejemplo de la figura A.4, el cero del nonio ha superado el primer mil´ımetro de la escala principal pero se encuentra entre la primera y la segunda divisi´on, se observa que la cuarta divisi´ on del nonio coincide con una divisi´on superior, quedando separadas las puntas la cantidad correspondiente a 1,4 mm.

Figura A.3: La divisi´ on 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, las puntas se separan 0,3 mm Una escala del nonio con un rango de 9 mm no es muy pr´actica por lo que es m´ as E. E. Coral

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Ap´ endice A

Figura A.4: Las puntas est´ an separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta divisi´ on del nonio coincide con una divisi´ on de la escala principal diferencias entre las escalas fija y m´ovil se obtiene entre la primera divisi´on y la segunda divisi´on, entre la segunda divisi´ on y la cuarta, etc. para lograr las mismas separaciones entre las mand´ıbulas indicadas en la tabla A.1.

Escalas de 20 y 50 divisiones Una escala de 20 divisiones permite medir hasta 0,05 mm. Esta escala se logra ampliando el rango de la escala m´ ovil hasta 19 mm de tal forma que al dividirlo en 20 partes, cada divisi´on es igual a 19 = 0, 95mm. De esta forma se obtiene una diferencia de 0,05 mm 20 entre la primera divisi´ on del nonio y la primera divisi´on de la escala fija, 0,1 mm entre la segunda divisi´ on del nonio y la segunda en la escala fija, etc. Una escala de 50 divisiones se obtiene cuando la escala del nonio con un rango de 49 49 mm se divide en 50 partes iguales en la que cada divisi´on es equivalente a 50 = 0, 98mm y la diferencia entre las dos primeras divisiones de ambas escalas con las mand´ıbulas cerradas es de 0,02 mm, siendo esta cantidad la sensibilidad del calibrador.

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Ap´ endice B Instrumentos de Medici´ on 2 B.1

Micr´ ometros y Esfer´ ometros

Los micr´ ometros y esfer´ ometros son instrumentos de medici´on de longitudes del orden de 0,01 mm. Los micr´ ometros se usan espec´ıficamente para medir espesores o di´ametros muy finos, mientras los esfer´ ometros, adem´as de medir espesores o alturas muy peque˜ nas, tambi´en sirven para medir indirectamente el radio de curvatura de superficies esf´ericas.

B.1.1

El micr´ ometro

Un micr´ ometro consta de las siguientes partes: 1) yunque de medici´on, 2) husillo de medici´ on, 3) arco, 4) tambor, 5) trinquete, 6) seguro de husillo, 7)tambor graduado, 8) escala principal que se muestran en la figura B.1

Figura B.1: Esquema de un micr´ ometro y sus partes. E. E. Coral

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58

Ap´ endice B

La escala principal tiene un rango de 0 a 25 mm y posee dos graduaciones: las divisiones superiores indican mil´ımetros mientras que las inferiores indican medio mil´ımetros. El tambor graduado tiene una escala m´ovil dividida en 50 partes que equivalen a 0.5 mm, es decir, casa divisi´ on es igual a 0,01 mm. El objeto a medir se coloca entre el yunque y el husillo. El mecanismo del micr´ ometro es un tornillo que avanza de derecha a izquierda mientras se gira con los dedos por medio del tambor. El tornillo avanza 0,5 mm por cada vuelta. El husillo esta unido al extremo del tornillo y cuando este est´a cerca del objeto a medir, lo m´ as recomendable es hacer avanzar el tornillo por medio del trinquete para evitar da˜ nos tanto en el objeto a medir como en el instrumento de medici´on. En la figura B.2 se puede ver la manera adecuada de usar el micr´ometro.

Figura B.2: Imagen de una medici´ on con el micr´ ometro. La figura B.3 muestra un ejemplo de una medici´on. La graduaci´on superior de la escala fija indica mm y la inferior indica 0,5 mm y la lectura de la escala m´ovil se multiplica por 0,01 mm. As´ı, la lectura indicada es: 1 mm + 0,5 mm + 0,9×0,01 = 1,59 mm, siendo 9 la cifra incierta.

Figura B.3: Lectura de una medici´ on con un micro´ ometro.

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B.1 Micr´ ometros y Esfer´ ometros

B.1.2

El Esfer´ ometro

El Esfer´ ometro se usa principalmente para medir el radio de curvatura de objetos esf´ericos. Est´a compuesto por las siguientes partes (ver figura B.4): 1. Tr´ıpode. Son por tres patas terminada en punta que forman un tri´angulo equil´atero. La estructura en la que se ubican las patas tiene una rosca en su centro por donde pasa un tornillo de 1,0 mm o 0,5 mm de paso 2. Tornillo. Este pasa por la rosca de la estructura y termina en punta y corresponde a la punta de medici´ on. 3. Disco met´ alico. Este disco esta unido en la parte superior del tornillo y esta dividido en 100 ´ o 500 partes iguales, dependiendo del paso de la rosca. 4. Regla. Es una escala graduada en mil´ımetros que se encuentra sobre la estructura del tr´ıpode Algunos esfer´ ometros poseen un micr´ometro con tambor graduado, pueden ser tambi´en de reloj o digitales.

Figura B.4: Esquema de un esfer´ ometro y sus partes.

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Ap´ endice B

Uso del Esfer´ ometro Antes de hacer cualquier medici´ on con el esfer´ometro, es necesario ajustar el cero de las escalas. Para esto, se debe colocar el dispositivo sobre una superficie lisa y plana en la que puedan descansar el tr´ıpode y la punta de medici´on y seguidamente se mueve el cero de la escala del disco hasta hacerlo coincidir con el cero de la regla fija. Normalmente no se logra ajustar bien, de ser as´ı, el cero se ajusta con las divisiones que coincidan con el cero de la escala fija. Al hacer una medici´ on, se eleva la punta de medici´on girando el tornillo en sentido contrario hasta una altura adecuada seg´ un la magnitud a ser medida. Luego se ubican las partas sobre la superficie esf´erica y se gira el tornillo hasta que la punta de medici´on toque la superficie, esto se hace por medio del trinquete. Si no existiera el trinquete, entonces use la yema de su dedo ´ındice y tocando suavemente el borde del disco h´agalo girar hasta que la punta de medici´ on tope con la superficie.

Figura B.5: Modo de usar un esfer´ ometro para calcular el radio de curvatura. En la figura B.5 se aprecia un esquema geom´etrico de la relaci´on de las dimensiones medibles con el esfer´ ometro. El tri´ angulo rect´angulo que se forma, nos da la ecuaci´on B.1. R=

x2 + a2 2a

(B.1)

Donde x es la distancia entre una de las patas y la punta de medici´on, medida mientras reposa en la superficie plana y a es la lectura realizada en las escalas del esfer´ometro.

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Ap´ endice C Modelo de informe ESCRIBA EL TITULO ADECUADO DEL EXPERIMENTO REALIZADO J. M. Sarmiento, K. Fonseca, A. Berm´ udez, L. M. Montes Universidad del Atl´antico Departamento de F´ısica Fecha de entrega: junio 2 de 2010 RESUMEN Describa brevemente el contenido de la pr´actica, con un espacio no mayor de 10 renglones, en el cual se viertan los principales aspectos de lo que se realiz´o, como se realiz´ o, para que se realiz´ o y que se obtuvo, de tal manera que al lector se le brinde la oportunidad de decidir si le interesa o no conocer el contenido del reporte con solo leer el resumen. ´ 1. INTRODUCCION Se plantean los objetivos del trabajo y la motivaci´on. Tambi´en se hace una presentaci´ on general del trabajo que est´ an presentando. ´ TEORICA ´ 2. DISCUSION Escriba en forma resumida los aspectos m´as fundamentales de la teor´ıa y que le sirvan de base para la consecuci´ on de los objetivos, presentando la relaci´on de las variables dependientes e independientes, enunciando y enumerando las leyes o ecuaciones que rigen el fen´omeno. ´ 3. METODOS EXPERIMENTALES Escriba el procedimiento seguido paso a paso en forma de p´arrafo, haciendo una descripci´on del equipo de laboratorio usado, como se instalaron los dispositivos. Observe todos los detalles de los equipos como rangos de medici´on, precisi´on de la escala de medida, marca de los aparatos, etc. Se recomienda que culmine esta parte con un diagrama o dibujo indicando la localizaci´ on de los aparatos. Al escribir use un lenguaje impersonal y E. E. Coral

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Ap´ endice C

en pasado (Se realiz´ o..., se construy´o..., etc.) ´ ´ 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION Escriba aqu´ı los resultados obtenidos indicando cuales de las ecuaciones de la secci´on 2 los llevaron a ellos. Interprete los resultados compar´andolos con los esperados te´oricamente. Escriban los errores obtenidos. Justifique sus discrepancias obtenidas. Coloque aqu´ı las gr´aficas realizadas numer´ andolas y escriba sus respectivos comentarios y an´alisis. ´ 5. CONCLUSION Escriba aqu´ı lo que aprendi´ o de su an´alisis, indicando si se cumpli´o el objetivo plenamente y de las respectivas recomendaciones para futuras experiencias. REFERENCIAS Escriban las referencias bibliogr´ aficas consultadas para elaborar el informe en el siguiente esquema: 1. A. U. TOR (iniciales del nombre y apellido), nombre del texto, editorial, p´aginas, fecha. 2. ... Nota: Cuando la gu´ıa de laboratorio tenga preguntas, redacte sus respuestas en las respectivas secciones de su informe sin que aparezcan como respuestas directas a las preguntas.

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Referencias bibliogr´ aficas [1] D. C. BAIRD. “Experimentaci´on, una introducci´on a la teor´ıa de mediciones y al dise˜ no de experimentos”. 2a. Ed. Prentice-Hall Interamericana, S. A. 1991. [2] Vicenzo Giamberardino, Teor´ıa de los errores. Editorial Revert´e. [3] B. J. Brinkworth. An Introduction to Experimentation. The English University Press Ltd. London, 1971. [4] S´ aez R. S., Font A. L. Incertidumbre de la medici´on : Teor´ıa y Pr´actica. Consultores C. A. Maracay, Venezuela 2001. [5] J. Mahecha G´ omez, Manual de Laboratorio de F´ısica I. Editorial Universidad de Antioquia, 1992. [6] C. Brito de Cruz, H. L. Fragnito. Gu´ıa para F´ısica Experimental. IFGW, Universidad de Campinas, Brasil. 1997. (Bajado p´agina de Internet). [7] Ignacio Cruz Encinas; Trabajo en el Laboratorio. Departamento de F´ısica universidad de Sonora. 1997 (Bajado de la Internet). [8] Michel Valero. Gu´ıas de Experimentos de F´ısica General, Departamento de F´ısica. Universidad del Valle, Cali – Colombia, 1996. [9] Bureau International des Poids et Mesures. 8th edition 1998. P´ag. Internet http : //www.bipm.org/f r/si/si brochure/ [10] Alexander Caneva Rinc´ on, Teor´ıa de Errores. P´ag. //newton.javeriana.edu.co/articulos/cif ra/cif rahtm.

Internet

http

:

[11] M. S. Aguirre, S. J. Meza. F´ısica I, Mec´anica y Termodin´amica. Universidad Nacional del Nordeste, Argentina. P´ag. Internet: http : //exa.unne.edu.ar/departamentos/dpto f isica.php [12] Para ampliar el conocimiento. http : //www.librosintinta.com/busca/calculo + de + la + incertidumbre/pdf /

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