Guia Operaciones Unitarias 2
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OPERACIONES UNITARIAS PET-245
CAPITULO 5 “ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA Y PERDIDAS MAYORES” Algunas de las restricciones que se establecieron por el uso de la ecuación de Bernoulli, se pueden eliminar al expandir la ecuación a lo que se conoce como ecuación general de energía. 5.1 PÉRDIDA Y ADICION DE ENERGIA Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli se mencionaron cuatro restricciones para esa ecuación:
Es válida solamente para fluidos incomprensibles. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste. No puede haber pérdidas de energía debida a la fricción.
Para el sistema de flujo como el que se presenta en la figura posterior, existen definitivamente algunas pérdidas y adiciones de energía entre las dos secciones de interés. Para sistemas como éste, ya no es válida la ecuación de Bernoulli.
5.2 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA Para las pérdidas y las adiciones de energía utilizaremos: la letra h, cuando se hable de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente los términos siguientes se usaran: hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser una bomba. hR = Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico, podría ser un motor de fluido.
hL = Pérdida de energía por parte del sistema, debida a fricción en los conductos, o pérdidas menajes debidas a la presencia de válvulas y conectores. Aux. José Luis Huanca P.
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5.3 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA La ecuación general de la energía, es simplemente una expansión de la ecuación de Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía. La interpretación lógica de la ecuación de la energía se puede ver en la figura adjunta, que presenta un sistema de flujo. Los términos El y E2 denotan la energía que posee el fluido por unidad de peso en las secciones 1 y 2 respectivamente. También se muestran las adiciones, remociones y pérdidas de energía hA, hR, hL. Para tal sistema, la expansión del principio de conservación de la energía es:
La energía que posee el fluido por unidad de peso es:
E1 hA hR hL E2 Reemplazando se obtiene: P1 v1 2 P2 v2 2 Z H H H Z 1 A R L 2 2g 2 g
Las unidades en el SI son N*m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de Unidades Ib*pie/lb ó pie. Es de suma importancia que la ecuación general está escrita en la dirección de flujo, es decir desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la ecuación y el punto correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un papel crítico, debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de Fluido que Aux. José Luis Huanca P.
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tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, puede tener una adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o pérdida de energía (-hL), antes de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de energía por unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la ecuación.
5.4 POTENCIA REQUERIDA POR BOMBAS La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica de fluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con que la energía está siendo transferida. La unidad de potencia en el SI es el watt (W), que es equivalente a 1.0 N*m/s y en el sistema Britanico es lb-pie/s, en la práctica es común referirse a la potencia en caballos de fuerza (hp-Horse Power). Con el fin de calcular la potencia transferida, debemos determinar cuántos newton de fluido están fluyendo por la bomba en un intervalo de tiempo. A esto se le conoce como rapidez de flujo de peso. La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por la rapidez de flujo de peso. Es decir: Pott hBomba * * Q
Considerando el rendimiento
Pott
1 hp 500
lb pie ; s
hBomba * * Q
1
lb pie 1.356 W ; s
1 hp 745.7 W
5.5 NUMERO DE REYNOLDS El flujo de un liquido en una tubería puede ser despacio, flujo laminar (también conocido como flujo viscoso). En este tipo flujo las capas o láminas no causan turbulencia. Dado que cuando el caudal aumenta, la velocidad aumenta el flujo puede cambiar de laminar a turbulento esto puede ser debido a la inyección de flujo a la tubería. Un importante parámetro adimencional es el número de Reynolds que es usado para clasificar el tipo de flujo en la tubería. El número de Reynolds es calculado mediante la siguiente ecuación:
Donde:
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V = Velocidad media, m/s, ft/s D = Diámetro interno de la tubería, m, ft ρ = Densidad del liquido, kg/m3, slugs/ft3 μ = Viscosidad Absoluta, N-s/m2, lb-s/ft2 R = Numero de Reynolds, adimencional Dado que la viscosidad cinematica es: ν = μ/ρ el numero de Reynolds puede ser expresado de la siguiente forma:
Donde: ν = Viscosidad Cinematica, m2/s, ft2/s Se debe tener cuidado en las unidades usadas en la ecuación debido a que el Numero de Reynolds es adimensional. 5.6 REGÍMENES DE FLUJO El flujo a través de una tubería está clasificado dentro tres regímenes de flujo, y pueden ser distinguidos de la siguiente manera: 1. Laminar: Numero Reynolds 2000 y Numero Reynolds 4000 Como el líquido fluye a través de la tubería, la energía es pérdida debido a la fricción entre la superficie de la tubería y el líquido y debido también a la interacción entre las moléculas del líquido. De esta forma se refiere a la energía por fricción perdida como perdida de presión debido a la fricción, La perdida de presión por fricción depende del caudal, del diámetro de la tubería, de la rugosidad, la gravedad especifica del liquido y de la viscosidad. Además la pérdida de presión por fricción también depende del número de Reynolds y el régimen de flujo. El objetivo es calcular la pérdida por fricción dado por la fricción, propiedades del líquido y regímenes de flujo. 5.7 PERDIDAS MAYORES La pérdida de presión debido a la fricción en una longitud de tubería, expresada en metros o pies de líquido puede ser calculada usando la ecuación de Darcy-Weisbach:
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Donde: f = Factor de fricción de Darcy, adimencional, usualmente el número varía entre 0.008 y 0.10 L = Longitud de la tubería, ft D = Diámetro interno de la tubería, ft V = Velocidad media del liquido, ft/s g = Aceleración debido a la gravedad, 32.2 ft/s2 en unidades inglesas En un flujo laminar, el factor de fricción “f” solo depende del número de Reynolds. En un flujo turbulento “f” depende del diámetro de la tubería, de la rugosidad de la tubería y del número de Reynolds, como se mostrara. 5.8 FACTOR DE FRICCIÓN Para flujo laminar, con un número de Reynolds R 4000, el factor de fricción f no solo depende del número de Reynolds, sino también del la rugosidad en el interior de la tubería. Dado que la rugosidad incrementa, así también los hace el factor de fricción. Por eso una tubería lisa tiene menor factor de fricción comparada con una tubería rugosa. Mas correctamente, el factor de fricción depende de la rugosidad relativa (e/D) donde e es la rugosidad absoluta de la tubería. Existen varias relaciones para hallar el valor del factor de fricción f . Estos están basados en experimentos realizados por científicos e ingenieros en los últimos 60 años. Una buena ecuación propuesta para un flujo turbulento (donde R>4000) es la ecuación de ColebrookWhite: [
√
]
Donde: f=Factor de fricción de Darcy, adimensional D=Diámetro interno de la tubería, in. e=Rugosidad absoluta de la tubería, in. R=Numero de Reynolds, adimesional Todos los términos en la ecuación son adimensionales Aux. José Luis Huanca P.
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Esta ecuación puede verse que el cálculo no es fácil, dado que el factor de fricción f aparece en ambos lados de la ecuación. Para lo cual se debe resolver con un error. Se puede empezar a asumir un valor de f (0.02) y sustituir en el lado derecho de la ecuación. Esto llevara a una segunda aproximación de f, la cual puede ser usada para re calcular el valor de f por sucesiva iteración. Generalmente, de tres a cuatro iteraciones pueden dar un valor satisfactorio de f. (correcto con 0.001 decimales) Durante las dos últimas décadas varias formulas del factor de fricción para flujo turbulento han sido propuestas por varios investigadores. Todas estas facilitan el cálculo del factor de fricción comparada con la ecuación de colebrook-White estas requieren un error y son llamadas ecuación de Churchill y Swamee-Jain. En la zona critica, donde el numero de Reynolds está entre 2000 y 4000, Generalmente la formula no es aceptada, esto es debido a que es una zona inestable y por eso el factor de fricción es indeterminado. Pero es más comúnmente calculado como si fuera flujo turbulento. Para denotar mejor, la zona de flujo turbulento (R>4000) actualmente consiste en tres diferentes zonas: Flujo Turbulento en tubería lisa Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa Flujo de Transición en una tubería lisa y rugosa 5.8.1 Para flujo turbulento en tubería lisa, La rugosidad en la tubería tiene un efecto despreciable en el factor de fricción f. Por eso, el factor de fricción en esta región solo depende del número de Reynolds como sigue: [
√
]
5.8.2 Para Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa, el factor de fricción f parece depender menos del numero de Reynolds como la rugosidad aumento de valor. En este caso solo dependerá de la rugosidad y el diámetro. Y este puede ser calculado mediante la siguiente ecuación: [
]
5.8.3 Para la zona de transición entre un Flujo turbulento en tubería lisa y un flujo turbulento en tubería rugosa, el factor de fricción f es calculado usando la ecuación de Colebrook-White dado anteriormente:
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[
√
]
La ecuación discutida arriba puede ser graficada sobre un Diagrama de Moddy. La rugosidad relativa es definida como e/D, y es el resultado de simplemente dividir la rugosidad absoluta entre el diámetro interno de la tubería. Los términos de la rugosidad relativa son adimencionales. El diagrama de Moddy refleja un mapa completo para la zona de flujo laminar y turbulento dentro la tubería. El diagrama de Moddy no es confiable debido a que se usa un error para resolver la ecuación para el cálculo del factor de fricción f. Para usar el diagrama de moddy, para
Figura Diagrama de Moody para el factor de fricción.
determinar el factor de fricción f. Primero se debe calcular el número de Reynolds R, luego localizar en el eje horizontal el valor del numero de Reynolds y dibujar una línea vertical hasta interceptar con la apropiada curva de rugosidad relativa (e/D). Desde este punto de intersección sobre (e/D), leer el valor del factor de fricción f sobre el eje vertical de la izquierda.
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Antes de salir de la discusión del factor de fricción, se debe mencionar un término adicional: El factor de fricción de Fanning. Algunos usan este factor de fricción en vez del factor de fricción de Darcy. El factor de fricción de Fanning está definido como sigue: Donde: ff=Factor de fricción de Fanning fd= factor de fricción de Darcy
PROBLEMAS RESUELTOS Numero de Reynolds P-5.1 Un conducto de 4 pulgadas de diámetro lleva 0.20 pies3/s de glicerina (SG=1,26) a
100ºF. ¿Es el flujo Laminar o Turbulento? DATOS: D =0,333pies µ (100ºF)=7,45*10-3 Lb*s/pie2 (Tabla) SG= 1,26 Q=0.20 pie3 /s INCOGNITAS: NR=?
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SOLUCION:
Diametro D Flujo Q
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P-5.2 Calcule la rapidez de flujo de volumen máximo de aceite combustible a 45ºC a la cual
el flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceite utilice SG= 0,895 y una viscosidad dinámica de 4,0 *10-2 Pa-s. DATOS: D =100 mm µ (45ºc)=4,0*10-2 Pa*s SG= 0,895 INCOGNITAS: NR=? SOLUCION:
Considerando flujo laminar NR < 2000
Calculo del caudal empleando la ecuación de continuidad: [ [
]
]
P-5.3 Aire con un peso especifico de 12,5 N/m3 y una viscosidad dinámica de 2,0*10-5 Pa*s,
fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura, con una rapidez de 150 m 3/h. Calcular el número de Reynolds del flujo. DATOS: ν= 2,0*10-5 Pa*s γ= 12,5 N/m3 Q =150 m3/h INCOGNITAS: NR=? SOLUCION: Superficie del área sombreada:
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{[
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(
)]
}
Velocidad de flujo promedio:
Perímetro mojado: √
Calculo del radio hidráulico para sección irregular, para ello se reemplaza los valores de área y perímetro mojado en la siguiente relación:
Calculo del NR empleando la siguiente relación: [
]
P-5.4 En el sistema mostrado en la Figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 l/s de aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es de 2,50 m y entre C y D es de 6,50 m, a) ¿qué potencia en HP debe suministrar la bomba a la corriente? b) Dibujar la línea de alturas totales.
D
A
D 30cm D 30cm
60m
15m
B
C
3m
Figura Aux. José Luis Huanca P.
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DATOS: Q=160 [l/s] Dr=0,762 HA-B=2,5m HC-D=6,5m
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SOLUCION: a) La velocidad de las partículas en A y D es tan pequeña que puede despreciarse las alturas de velocidad. Ecuación de energía entre A y D: 2 PA v A 2 P v Z A H B H perd D D Z D 2g 2g
INCÓGNITAS: a) Pott=? b) Líneas de alturas
0 desprec. 15 H B (2,5 6,5) 0 desprec. 60
H B 54.0m N m3 Potencia Watt * Q * H BOMBA (0.762 * 1000 * 9.81) 3 * (0.16) * 54,0m 64585,9W s m 1HP Potencia ( HP) 64585,9W * 86.58HP 746W Potencia 86.58HP
b) 66.5m
D
15m
60m
A 12.5m 3m
B
C Figura
P-5.5 Una tubería que transporta aceite crudo (SG=0.93) a 1200 l/min está hecha con conducto de acero de 6 plg, Calibre 80. Las estaciones de Bombeo están espaciadas 3,2 Km entre sí. Si el aceite esta a 10 ºC, Calcule: (a) La caída de presión entre estaciones y (b) La potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba.
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DATOS: D (6plg)= 146.3 mm (Tabla) µ (10ºC)= 1.5*10-1 N*s/m2 (Tabla) SG= 0.93 Q= 1200 l/min L= 3,2 Km INCOGNITAS: a) ΔP=? b) Pott=?
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Pr esion PA Bomba
Pr esion PB
A
B
Bomba
Flujo Q
3200 m
SOLUCION: a) Caída de presión entre los puntos A y B Aplicando la ecuación de energía en los puntos A y B:
Despejando de la ecuación de energía la diferencia de presión se tiene: [
]
Velocidad en el conducto: [
]
[
]
Se sabe que la perdida de energía (hL) en el conducto es:
Numero de Reynolds:
Calculo de factor de fricción:
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Sustituyendo el factor de fricción “f” en (2):
Reemplazando la pérdida de energía en (1): [
]
[ [
]
]
b) Calculo de la potencia de la bomba para mantener la misma presión a la entrada de cada bomba.
(
)
P-5.6 A través de una tubería nueva de fundición esta circulan de agua a 20°C y a una velocidad de 4,2(m/s), la tubería es de 150mm de diámetro y tiene una longitud de 400m. Determine la perdida de carga debida a la fricción. DATOS:
SOLUCIÓN: Calculo del Número de Reynolds:
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Calculo de la rugosidad relativa:
Calculo del factor de fricción: : 1 2.51 2 * log f 3.71* D Re* f
2
H L (tuberia)
L v 400 4.2 2 f* * 0.024 * * D 2* g 0.15 2 * 9.81 H L (tuberia) 57.54m
P-5.7 Desde un punto 2 de elevación o cota 66,66 m se está descargando gasolina a través de una tubería, El punto 1, localizado a 965,5 m en la tubería a partir del punto 2, tiene una cota de 82,65 m, y la presión es de 2,50 kPa. Si la tubería tiene una rugosidad de.0,500 mm ¿qué diámetro de tubería es necesario para descargar un caudal de 0,10 m3/s de gasolina (Peso especifico = 7,05 kN/m3,µ = 2,92.10-4 Ns/m2,ρ = 719 kg/m3)? DATOS: Z2=66,66m L=965.5m Z1=82.65m P1=2,50 kPa e=0.500mm Q=0,10 m3/s γ = 7,05 kN/m3 µ = 2,92.10-4 Ns/m2 ρ = 719 kg/m3
SOLUCION:
1
82.65m
L
2
D? 66.66m
INCÓGNITAS: D=? Aux. José Luis Huanca P.
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a) La velocidad de las partículas en 1 y 2 es tan pequeña que puede despreciarse, la presión P2/γ=0 (da a la atmosfera). Ecuación de energía entre 1 y 2: P1 v1 2 P2 v 2 2 Z 1 H perd Z2 2g 2g 2500 m desprec. 82.65m H perd. 0 desprec. 66.66m 7050 H perd. 16.34m
Aplicando la formula de Darcy-Weisbach
2 Q Q 4*Q L v ......( ) ......( ); v H perd. f A 2 * D2 D 2 g D 4 Remplazando β en α:
H perd.
2 2 L 8 * Q L 8 * Q f 5 f 2 4 2 D g * * D D g *
Despejando el diámetro “D” L 8 * Q 2 D5 f H g * 2 perd .
Reemplazando valores: 2 965.5 8 * 0.1 ...............(1) D5 f 2 16.34 9.81 *
Calculo del Número de Reynolds:
Re
V **D
.......( );
V
4*Q ......( ) * D2
Reemplazando β en γ se tiene:
Re
4*Q * * * D
Reemplazando valores:
Re
4 * 0.1 * 719 ...............(2) 2,92 * 10 4 * * D
Calculo rugosidad relativa:
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e 0.0005m ...............(3) D D Página 58
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Ecuación de Colebroock: e 1 2.51 2 log D 3.71 Re f cal f cal
...............(4)
Para el cálculo del diámetro se procederá: 1. Se efectuara el cálculo por tanteo de un valor “ f(supuesto) ” (factor de fricción), determinando “D” por la ecuación (1). 2. Se determinara Re y (e/D) para el valor de “D” con las ecuaciones (2) y (3). 3. Se determinara el valor de “ f(calculado) ” en función de Re y (e/D) con el diagrama de Moody o con la ecuación de colebroock. En caso de que este valor coincida con el valor del supuesto este será el diámetro buscado, en caso contrario será necesario efectuar un nuevo tanteo, suponiendo ahora el “ f ” calculado. f(supuesto) 0.020 0.024
“D” ec. (1) 0.24999 0.25928
Re ec. (2) 1251081.8 1209176.3
e/D ec. (3) 0.002000 0.001928
f(calculado) ec.(4) 0.024 0.024
Este valor de f(supuesto) coincide con el valor de f(calculado). De aquí que el valor correcto de “D” diámetro requerido es 0.25928m
D 26 [cm] P-5.8 Para una tubería de acero de 4 pulgadas Calibre 80 de 25 pies de longitud está fluyendo agua a 100ºF. Calcule la velocidad de flujo de volumen máxima permitida si la pérdida de energía debido a la fricción de la tubería se limitará a 13.061 pies lb/lb. Encontrando los valores: D4" 0.3188[ pies] , 1.5 104 [ pies] , v 7.37 106 [ pies 2 s] SOLUCION: Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f: h D 2g L V2 V L hL f ⟹ Lf D 2g
V
13.061[ pies] 0.3188[ pies] 2 32.2[ pies s 2 ] 10.726[ pies 2 s 2 ] (1) 25[ pies] f f
Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo: D V 0.3188[m] V NR 4.326 104 V (2) v 7.37 104 [ pies 2 s]
Rugosidad relativa:
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D
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1.5 x10 4 [ pies ] 4.7059 x10 4 0.3188[ pies ]
Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración mediante la ecuación de colebroock con valores de prueba inicial de f ó también del diagrama de Moddy f 0.023 y sustituyendo f en (1)
V
10.726[ pies 2 s 2 ] 21.6[ pies s] 0.023
El número de Reynolds se obtiene sustituyendo la velocidad de flujo en (2) N R 4.326 104 21.6 9.34 105
Obteniendo el nuevo factor de f 0.0175 y sustituyendo en (1)
10.726[ pies 2 s 2 ] V 24.76[ pies s] 0.0175 Cálculo del nuevo número de Reynolds bajo la sustitución de V en (2) N R 4.326 104 25.12 1.087 105
Obteniendo nuevo factor de f 0.017 En vista que el valor de f permanece inalterado que la anterior prueba por tanto se acepta la velocidad de flujo de 25.12[ pies s] Cálculo de la velocidad de flujo de volumen:
Q AV
0.3188[ pies]
2
25.12[ pies s] 4 Q 2.0[ pies3 s]
⟹
P-5.9 A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2pulg y un grosor de pared de 0.083 pulgadas se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presión de 68 kPa se observa entre dos puntos en la tubería situada a 30m entre si. El aceite tiene una gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 3.0×10 -5m. Calcule la velocidad de flujo de aceite.
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DATOS: D=2 pulg Espesor=0.083 plg ΔP=68 KPa LA-B=30m GE=0.90 δ=3.0*10-5m
SOLUCION:
INCÓGNITAS: V=?
Empleando la ecuación de la energía en A y en B
PA
REF
ZA
VA2 P V2 hL B Z B B 2g REF 2g
Despejando de la pérdida de energía: PA PB VB 2 VA2 HL (Z B Z A ) 2 g Sg AC .H H 2O Sustituyendo los valores y considerando Z B Z A 0 y VB 2 VA2 2 g 0
68[kN m2 ] HL 7.702[m] 3 0.9 9.81[kN m ] Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f: h D 2g L V2 V L hL f ⟹ Lf D 2g
7.702[m] 0.046584[m] 2 9.81[m s 2 ] 0.23465[m2 s 2 ] V (1) 30[m] f f Calculo del Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo: D V AC .H 0.046584 0.9 1000 V (2) NR 1.398 104 V 3 3.0 10 Rugosidad relativa:
D
3x10 5 [m] 4.7059 x10 4 0.046584[m]
Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración. Como valores de prueba inicial de f se obtuvo del diagrama de Moddy f 0.03 y sustituyendo en (1) Aux. José Luis Huanca P.
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V
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0.23465[m2 s 2 ] 2.797[m s] 0.03
El número de Reynolds se obtiene bajo el sustituto de la velocidad de flujo en (2) N R 1.398 104 2.797 3.91104
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.024 y remplazando en (1)
V
0.23465[m2 s 2 ] 3.13[m s] 0.024
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2) N R 1.398 104 3.13 4.38 104
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.0235 y sustituyendo en (1)
0.23465[m2 s 2 ] 3.16[m s] 0.0235 Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2) V
N R 1.398 104 3.16 4.42 104
Obteniendo el nuevo factor de f del diagrama de Moddy f 0.0235 . En vista que el valor f permanece inalterado que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo de:
V 3.16[m s] .
P-5.10 En un sistema de procesamiento químico, el flujo de glicerina a 60ºF (sg=1.24) en un tubo para que este permanezca laminar con un numero de reynolds aproximadamente igual a 300, pero sin exceder este valor. Determine el tamaño de conducto que transportara una rapidez de flujo de 0.90 pie / s . Entonces, para un flujo de 0.90 pie 3 / s en el tubo que usted ha calculado, calcule la caída de presión entre dos puntos separados entre si a una distancia de 55.0pies, si el tubo está en posición horizontal. Valor encontrado. 4.62 *10 2 lb * s / pie 2 Aux. José Luis Huanca P.
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DATOS: Sg=1.24 Re=300 v=0.90 pie/s L=55.0 pie 4.62 *10 2 lb * s / pie 2 INCÓGNITAS: ΔP=?
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SOLUCION: 55 pies
Expresando la velocidad de flujo en función del diámetro: Q A*v v
Q Q ………………………(Ec-1) A * D2 4
Numero de Reynolds: D * v * GLIC NR ……………..(Ec-2)
Sustituyendo (2) en (1)y despejando D: Q D* * GLIC * D2 4Q * GLIC 4Q * GLIC 4 = *D N R * * D 4Q * GLIC D ………..(Ec-3) N R * * Reemplazando los valores en 3: 4 * 0.9 pie 3 / s *1.24slugs / pie 3 D 0.199 pies 2 lb * s 300 * (4.62 *10 ) * pie 2 Sustituyendo valores en (1) se tiene la velocidad de flujo: 0.9 pie 3 s pies v 28.94 2 s * (0.199 pies ) 4 Empleando la ecuación de la energía en A y B: 2 2 PA V P V Z A A hL B Z B B GLIC 2g GLIC 2g Despejando la diferencia de presiones: V 2 V A2 PA PB B ( Z B Z A ) hL * GLI …………….(Ec-4) 2g Calculo de la perdida de energía hL en el conducto empleando Darcy:
hL f * Aux. José Luis Huanca P.
L V2 * ……….(Ec-5) D 2g Página 63
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Calculo de f empleando la siguiente relación (flujo laminar): 64 64 f 0.2133 N R 300 Sustituyendo el factor f en 5 y se obtiene la pérdida de energía: 55 pies (28.94 pie s) 2 hL 0.2133 * * 766.68 pies 0.199 pie 2 * 32.2 pie s 2 Se obtiene la diferencia de presiones bajo el sustituto de los valores en (4): lb PA PB 0 0 766.68*1.24 * 64.2 pie 3
PA PB 59322.63
lb 1 pie lb * 411.96 2 2 pie (12 pu lg) pu lg 2
P-5.11 En la figura se muestra una bomba que hace circular 300gal/min de aceite de lubricación para maquina, herramientas pesadas a 104ºF (sg=0.890) con el fin de probar la estabilidad de aceite (pesado) y cuya viscosidad cinemática es de 2.15* 10 2 pie 2 / s . La longitud total del conducto de 3 pulgadas es de 75 pies. Calcule la potencia transmitida por la bomba de aceite.
6pies Flujo
22 pies
Línea de descarga conducto de acero de 3’’. Calibre 40
Línea de succión de acero de 4’’ calibre 40
15 pies
Bomba
SOLUCION: Encontrando valores: D3 0.2557 pies (Tabla)
D4 0.3355 pies (Tabla) Empleando la ecuación de la energía en los puntos (1) y (2): 2 2 P1 V P V Z 1 1 hL h A 2 Z 2 2 AC 2g AC 2g Aux. José Luis Huanca P.
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Despejando la energía añadida ( h A ): hA
P2 P1
AC
V V1 ( Z 2 Z1 ) 2 hL …………….. (Ec.-1) 2g 2
2
La velocidad en el conducto de impulso es: 300 gal min* 3.785L / 1gal *1m 3 / 1000 L *1 pie 3 /( 0.3048m) 3 *1 min/ 60s pie V2 13.015 2 s * (0.2557 pies ) 4 Velocidad en el conducto de succión es: 300 gal min* 3.785L / 1gal *1m 3 / 1000 L *1 pie 3 /( 0.3048m) 3 *1 min/ 60s pie V2 7.56 2 s * (0.3355 pies ) 4 Calculo de la perdida de energía en el conducto de succión: 2 L V4 …………………. (Ec.-2) hL f 4 * * D4 2 g
Numero de reynolds: D *V 0.335 pies * 7.56 pies s NR 4 4 1180 v 2.15 *10 2 pies 2 s Factor de fricción: 64 64 f 0.0542 N R 1180
Sustituyendo valores en (2) y se obtiene hL :
(7.55 pie s) 2 25 pie * 3.584 pies 0.3355 pie 2 * 32.2 pie s 2 Calculo de la perdida de energía en el conducto de impulsión: 2 L V3 ………….Ec.-3 hL 3 f 3 * * D3 2 g Numero de Reynolds: D *V 0.2557 pies *13.015 pies s NR 3 3 1548 v 2.15 *10 2 pies 2 s hL 4 0.0542 *
Factor de fricción: 64 64 f 0.0413 N R 1148
Sustituyendo valores en (3) y se obtiene hL 4 : Aux. José Luis Huanca P.
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75 (13005) 2 * 31.863 pies 0.2557 2 * 32.2 m s 2 Se tiene h4 bajo el sustituido de los valores en (1): hL 3 0.0413 *
(13.015 pie s) 2 0 (3.584 31.863) pie 2 * 32.2 pie s 2 hA 1 pie 2.63 pie 35.45 pie hA 39.08 pies
hA 0 1 pie 0
Calculo de la potencia de la bomba PA Q * * hA pies 2 lb * 0.890 * 62.4 3 * 39.08 pies s ie lb * pie 1HP PA 1450.44 * 2.637 Hp lb * pie s 550 s
PA 0.6683
P-5.12 Va a fluir agua a 60° F por gravedad entre dos puntos ubicados a 2 millas uno del otro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130 pies más alto que el extremo interior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere? Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable. DATOS: v = 1,21*10-5 pies2/s ξ = 1,5*10-4 pies
SOLUCION: 2 millas
B
A
Flujo
130 pies
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Empleando la ecuación de la energía en A y B.
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando VA= VB y (PA – PB) = 0 [
]
Expresando la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación de Darcy:
Expresando la velocidad en términos de caudal y el diámetro de la tubería:
Sustituyendo la velocidad de flujo en la ecuación de Darcy ó (3) en (2) (
)
Despejando el diámetro del conducto: ⁄
(
)
Sustituyendo los valores: ⁄
(
⁄
)
Expresando el número de Reynolds en términos del diámetro: (
)
Sustituyendo los valores:
1. Asumiendo un valor de prueba inicial f = 0,0200. 2. Calculo del diámetro del conducto bajo el sustituto de f en (4) ⁄
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3. El numero de Reynolds se obtiene bajo el reemplazo de D en (5)
4. Rugosidad relativa:
5. Obteniendo de nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0208). 6. Compare el nuevo valor de f con el que se asumió en el paso 1 y repita los pasos 1 a 6 hasta que no pueda detectar un cambio significativo en f. Calculo del nuevo diámetro del conducto sustituyendo f en (4) ⁄
Donde en nuevo NR se tiene bajo la sustituto de D en (5)
Nueva rugosidad relativa:
Obteniendo el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233).
Calculo del nuevo diámetro del conducto bajo la sustitución de f en (4) ⁄
El nuevo NR se tiene reemplazando D en (5)
Nueva rugosidad relativa:
Determinado el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233) Comparando el nuevo valor de f con el anterior se ve que existe cambios, por lo tanto se acepta el diámetro calculado (D = 2,123 pies). D 2.123 pie
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CAPITULO 6 “PERDIDAS MENORES” En este capítulo se tratara sobre las pérdidas menores debido a la presencie de válvulas, junturas, cambios en el tamaño de la trayectoria de flujo y cambios en la dirección. 6.1 FUENTES DE PÉRDIDAS MENORES En la mayor parte de los sistemas de flujo, la pérdida de energía primaria se debe a la fricción del conducto, como se describió anteriormente. Los demás tipos de pérdidas de energía son pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia a ellas como pérdidas menores. Las pérdidas menores ocurren cuando hay un cambio en la sección cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo se encuentra obstruida, como sucede con una válvula. La energía se pierde bajo estas condiciones debido e fenómenos físicos bastantes complejos. 6.2 COEFICIENTE DE RESISTENCIA Las pérdidas de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del flujo al fluir éste alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a través de una válvula. Los valores experimentales de pérdida de energía generalmente se reportan en términos de un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:
v2 hL K 2g Donde: hL K V
= Pérdida de energía menor = Coeficiente de resistencia (adimensional) = Velocidad de flujo promedio en el conducto en la vecindad donde se presenta la perdida menor.
En algunos casos, puede haber más de una velocidad de flujo, como las dilataciones o en las contracciones. Es muy importante que usted sepa qué velocidad se debe utilizar del conducto menor. 6.2.1 DILATACIÓN SÚBITA Al fluir un ruido de un conducto menor a uno mayor a través de una dilatación súbita, su Aux. José Luis Huanca P.
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velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia que genera una pérdida de energía. Por consiguiente, la cantidad de pérdida de energía depende del cociente de los tamaños de los dos ductos.
La pérdida menor se calcula empleando la siguiente ecuación:
v12 hL K 2g Donde: v1 es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que está delante de la dilatación. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida K depende de la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la velocidad de flujo. La tabla 1 muestra los valores del coeficiente de resistencia. Tabla 1. COEFICIENTES DE RESISTENCIA-DILATACION SUBITA Velocidad 1 D2/D1
0.6 m/s 2 pie/s
1.2 m/s 4 pie/s
3 m/s 10 pie/s
4.5 m/s 15 pie/s
6 m/s 20 pie/s
9 m/s 30 pie/s
12 m/s 40 pie/s
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.2
0.11
0.10
0.09
0.09
0.09
0.09
0.08
1.4
0.26
0.25
0.23
0.22
0.22
0.21
0.20
1.5
0.40
0.38
0.35
0.34
0.33
0.32
0.32
1.8
0.51
0.48
0.45
0.43
0.42
0.41
0.40
2.0
0.60
0.56
0.52
0.51
0.50
0.48
0.47
2.5
0.74
0.70
0.65
0.63
0.62
0.60
0.58
3.0
0.83
0.78
0.73
0.70
0.69
0.67
0.65
4.0
0.92
0.87
0.80
0.78
0.76
0.74
0.72
5.0
0.96
0.91
0.84
0.82
0.80
0.77
0.75
10.0
1.00
0.96
0.89
0.86
0.84
0.82
0.80
-
1.00
0.96
0.91
0.86
0.86
0.83
0.81
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
Aux. José Luis Huanca P.
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6.2.2 DILATACIÓN GRADUAL Es la transición de un conducto menor a uno mayor menos abrupto. Esto normalmente se hace colocando una sección cónica entre los dos conductos como se muestra en la figura. Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleración y expansión de la corriente del flujo.
La pérdida de energía pare una dilatación gradual se calcula a partir de:
v12 hL K 2g Donde: V1 es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. La magnitud de K depende de la proporción de diámetro D2/D1 como del ángulo de cono, La Tabla 2 muestra los diferentes valores de resistencia (K). Tabla 2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA – DILATACION GRADUAL ANGULO DEL CONO θ D2/D1
2º
6º
10º
15º
20º
25º
30º
35º
40º
45º
50º
60º
1.1
0.01
0.01
0.03
0.05
0.10
0.13
0.16
0.18
0.19
0.20
0.21
0.21
1.2
0.02
0.02
0.04
0.09
0.16
0.21
0.25
0.29
0.31
0.33
035
035
1.4
0.02
0.03
0.06
0.12
0.23
0.30
0.36
0.41
0.44
O.47
0.50
0.50
1.6
0.03
0.04
0.07
0.14
0.26
0.35
0.42
0,47
0.51
0.54
0.57
0.57
1.8
0.03
0.04
0.07
0.15
0.28
0.37
0.44
0.50
0.54
0.58
0.61
0.61
2.0
0.03
O.O4
0.07
0.15
0.29
0.38
0,46
0.52
0.56
0.60
0.63
0.63
2.5
0.03
0.04
0.08
0.16
0.30
0.39
0.43
0.54
0.53
0.62
0.65
0.65
3.0
0.03
0.04
0.08
0.16
0.31
O.40
0.48
0.55
0.59
0.63
0.66
0.66
-
0.03
0.05
0.08
0.16
0.31
0.40
0.49
0.56
0.60
O.64
0.67
0.72
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
6.2.3 CONTRACCION SÚBITA La pérdida de energía debido a una contracción súbita bastante complejo, como la esbozada en la figura adjunta se calcula a partir de: Aux. José Luis Huanca P.
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v 2 hL K 2 2g DONDE: V1 es la velocidad del conducto menor a partir de la contracción. El coeficiente de resistencia K depende de los tamaños de los dos conductos y de la velocidad de flujo. La Tabla muestra diferentes valores de resistencia para contracción súbita. Velocidad 1 D1/D2
0.6 m/s 2 pie/s
1.2 m/s 4 pie/s
1.8 m/s 6 pie/s
2.4 m/s 8 pie/s
3 m/s 10 pie/s
4.5 m/s 15 pie/s
6 m/s 20 pie/s
9 m/s 30 pie/s
12 m/s 40 pie/s
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.1
0.03
0.04
0.04
0.04
0.04
O.O4
0.05
0.05
0.06
1.2
0.07
0.07
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.10
0.11
1.4
0.17
0.17
0.17
0.17
0.18
0.18
0.18
0.19
0.20
1.6
0.26
0.26
0.26
0.26
0.26
0.25
0.25
0.25
0.24
1.8
0.34
0.34
0.34
0.33
0.33
0.32
0.31
0.29
0.27
2.0
0.38
0.37
0.37
0.36
0.36
0.34
C.33
C.31
0.29
2.2
O.40
O.40
0.39
0.39
0.38
0.37
0.35
0.33
0.30
2.5
0:42
0.42
0.41
0.40
0.40
OJ3
0.37
0.34
0.31
3.0
O.44
0.44
0.43
0.42
0.42
0.40
0.39
0.36
0.33
4.0
O.47
0.46
0.45
0.45
0.44
0.42
O.41
O.37
0.34 0.35
5.0
0.48
0.47
0.47
0.46
0.45
0.44
0.42
0.38
10.0
0.49
0.48
0.48
0.47
0.46
O.45
0.43
0.40
0.36
-
0.49
0.48
0.48
0.47
0.47
0.45
0.44
0.41
0.38
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
6.2.4 CONTRACCIÓN GRADUAL La pérdida de energía en una contracción puede disminuir sustancialmente haciendo la contracción más gradual. La figura muestra una contracción de este tipo, formada mediante una sección cónica entre los diámetros con cambios abruptos en las junturas.
Aux. José Luis Huanca P.
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Los cálculos se realizan empleando la misma relación de la dilatación gradual y el mismo principio. v 2 hL K 2 2g El coeficiente K depende de la proporción de diámetros D1/D2 y el ángulo del cono, la figura. Muestra diferentes valores K a ser interpolados. Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA – CONTRACCION GRADUAL
Fuente: Robert Mott 1996
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6.2.5 PERDIDAS DE SALIDA
Durante la salida del flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque, como se muestra en la figura su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso la energía cinética que el fluido poseía en el conducto, indicada por la cabeza de velocidad v2/2g, se disipa. Por lo tanto, la pérdida de energía para esta condición es:
v 2 hL K 1 2g Ésta se denomina la pérdida de salida. El coeficiente de resistencia es igual a uno (K = 1,0) Y dicho valor se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conecta con la pared del tanque. 6.2.6 PERDIDAS DE ENTRADA Un caso especial de una can tracción ocurre cuando el fluido fluye desde un depósito o tanque relativamente grande hacia un conducto. El fluido debe acelerar desde una velocidad relativamente despreciable a la velocidad de flujo del conducto. La facilidad con que se realiza la aceleración determina la cantidad de pérdida de energía y por lo tanto, el valor del coeficiente de resistencia de entrada depende de la geometría de la entrada. La figura siguiente muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K para cada uno.
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Los valores del coeficiente K para la entrada redondeada son las siguientes: r/D2 0.00 0.02 0.04 0.06 0.10 >0.15
K 0.50 0.28 0.24 0.15 0.09 0.01 (Bien redondeada)
Después seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia da la figura, podemos calcular la pérdida de energía en una entrada a partir de:
v 2 hL K 2 2g Donde V2 es la velocidad de flujo en el conducto. 6.2.7 COEFICIENTE DE RESISTENCIA PARA VALVULAS Y JUNTURAS Se dispone muchos tipos diferentes de válvulas y junturas de varios fabricantes para especificación e instalación en sistemas de flujos y pueden ser válvulas de verificación y muchas más. Las junturas dirigen la trayectoria de flujo y ocasionan un cambio en el tamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseñes, te, reductores, boquillas y orificios. La pérdida de energía incurrida con flujos de fluido a través de una válvula o juntura se Guía
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calcula utilizando la ecuación para pérdidas menores ya analizadas. Sin embargo, el método para determinar el coeficiente de resistencia K es diferente. El valer de K se reporta en la forma: Le K fT D El valor de Le/ D, llamado la proporción de longitud equivalente, se reporta en la tabla que se muestra posteriormente y se considera que es una constante para un tipo dado de válvula o juntura. El valor de Le, también se denomina la longitud equivalente y es la longitud del conducto recto del mismo diámetro nominal como la válvula que tendría la misma resistencia que esta. El termino D es el diámetro interno real del conducto. El termino fT es el factor de fricción en el conducto al cual está conectada la válvula o juntura, tomando en la zona de turbulencia completa, como se observa en el diagrama de Moddy donde el factor de fricción es independiente del numero de Reynolds. RESISTENCIA EN VALVULAS Y EN JUNTURAS EXPRESADA COMO LONGITUD EQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTOS, Le/D TIPO
LONGITUD EQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTO Le/D
Válvula de globo-completamente abierta 340 Válvula de ángulo-completamente abierta 150 Válvula de Compuerta-completamente abierta 8 a) ¾ abierta 35 b) ½ abierta 160 c) ¼ abierta 900 Válvula de verificación-tipo giratorio 100 Válvula de verificación-tipo bola 150 Válvula de mariposa-completamente abierta 45 Codo estándar 90º 30 Codo de radio largo de 90º 20 Codo de calle de 90º 50 Codo estándar de 45º 16 Codo de calle de 45º 26 Codo de devolución cerrada 50 Te estándar-con flujo a través de un tramo 20 Te estándar-con flujo a través de una rama 60 Fuente: Válvulas de sifón, IL, Robert Mott 1996
Los valores de fT varían con el tamaño de conducto y de la válvula, ocasionando que el valor del coeficiente de resistencia K también varié. La tabla siguiente enumera los valores de fT para tamaño estándar de conductos de acero comercial nuevo limpio.
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FACTOR DE FRICCION EN ZONA DE TURBULENCIA COMPLETA PARA CONDUCTO DE ACERO COMERCIAL NUEVO Y LIMPIO TAMAÑO DE CONDUCTO NOMINAL (plg) ½ ¾ 1 1¼ 1½ 2 2 ½, 3
FACTOR DE TAMAÑO DE FRICCION CONDUCTO fT NOMINAL (plg) 0.027 4 0.025 5 0.023 6 0.022 8-10 0.021 12-16 0.019 18-24 0.018 Fuente: Robert Mott 1996
FACTOR DE FRICCION fT 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012
6.2.8 CODOS DE TUBERIA A menudo es más conveniente curvar, un conducto o tubo que instalar un codo comercialmente hecho. La resistencia al flujo de un codo depende de la proporción del radio r del codo con el conducto dentro del diámetro D. La figura siguiente muestra que la resistencia mínima ocurre cuando la proporción r/D es aproximadamente tres. La resistencia se da en términos de la proporción de Longitud equivalente Le/D, y por lo tanto, la ecuación K=(Le/D)*fT debe usarse para calcular el coeficiente de resistencia. La resistencia mostrada en la figura incluye tanto la resistencia del codo como la resistencia debido a la longitud del conducto en el codo. Cuando calculamos la proporción r/D, r se define como el radio a la línea del centro del conducto o tubo, denominado el radio medio. Donde r se procede a calcular bajo las siguientes relaciones:
Do 2 Do r Ro 2 Ro Ri r 2 r Ri
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Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA CODO DE RADIO LARGO
Fuente: Robert Mott 1996
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PROBLEMAS RESUELTOS P-6.1 Determine la pérdida de energía cuando 0.04[m3 s] de agua fluye de un conducto estándar Calibre 40 de 6pulg en un depósito grande. SOLUCION: Encontrando los valores: D6 154.1[mm]
Coeficiente de resistencia a la salida K 1.0 Velocidad de flujo en el conducto:
V
Q 0.04[m3 s] 2.145[m s] A (0.1541[m])2 4
Cálculo de la pérdida de energía:
2.145[m s] V2 hL K 1.0 2g 2 9.8[m s 2 ]
2
⟹
hL 0.2345[m]
P-6.2 Determine la pérdida de energía cuando petróleo de una gravedad especifica de 0.87 fluye de un conducto de 4pulg a uno de 2pulg a través de una contracción súbita si la velocidad de flujo en el conducto mayor es de 4.0[ pies s] . SOLUCION: Cociente de los diámetros D4 D2 D4 4[ pulg ] 2 D2 2[ pulg ]
Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg: Q2 Q4
⟹
V2 A2 V4 A4
⟹
V2
4
D2 2 V4
4
D4 2
2
D V2 4 V4 (2)2 4.0[ pies s] 16.0[ pies s] D2
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para una velocidad de 16.0 [pies/s] en el conducto de 2pulg y para un cociente de diámetro de 2, tenemos K=0.34 Guía
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Cálculo de la pérdida de energía:
16[ pies s] V2 hL K 2 0.34 2g 2 32.2[ pies s 2 ] 2
⟹
hL 1.35[ pies]
P-6.3 Determine la pérdida de energía para una contracción gradual de un conducto de acero Calibre 80 de 5pulg a uno de 2pulg para un caudal de 500 [L/min]. El Angulo de cono para la contracción es 105º. SOLUCION: Encontrando los valores: D5 122.3[mm] ;
D2 49.3[mm]
Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:
V2
Q 8.33 103 [m3 s] 4.366[m s] A2 (0.0493[m]) 2 4
Cociente de los diámetros D4 D2 D5 122.3[mm] 2.48 D2 49.3[mm]
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para un cociente de diámetro de 2.48 y un ángulo de cono de 105º, tenemos K=0.23 Cálculo de la pérdida de energía:
4.366[m s] V2 hL K 2 0.23 2g 2 9.81[m s 2 ]
2
⟹
hL 0.223[m]
P-6.4 Determine la pérdida de energía que ocurrirá si fluye agua de un depósito hacia un conducto con una velocidad de 3 m/s si la configuración de la entrada es un conducto de proyección hacia adentro. SOLUCION: Encontrando los valores: Coeficiente de resistencia de entrada K 1.0 Cálculo de la pérdida de energía empleando la siguiente relación: Guía
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3.0[m s] V2 hL K 1.0 2g 2 9.81[m s 2 ] 2
⟹
hL 0.459[m]
P-6.5 Determine la longitud equivalente en metros de conducto de una válvula de compuerta completamente abierta colocada en un conducto Calibre 40 de 10pulg. SOLUCION: Encontrando los valores: D10 254.5[mm]
Longitud equivalente válvula de compuerta Le D 8 Factor de fricción conductos nuevos de acero f10T 0.014
Calculo de K para la compuerta completamente abierta empleando la siguiente relación. K=
Le f T 8 0.014 0.112 D
Determinando la longitud equivalente en metros, empleando la siguiente relación: Le 8 D 8 0.2545[m]
⟹
Le 2.036[m]
P-6.6 Calcule la diferencia a través de una válvula de un ángulo completamente abierta colocada en un conducto de acero Calibre 40 de 5pulg que lleva 650 [gal/min] de petróleo (sg=0.9). SOLUCION: Encontrando los valores: D5 0.4206[ pies]
Longitud equivalente válvula de ángulo completamente abierta Le D 150 Factor de fricción conductos nuevos de acero f5T 0.016 Empleando la ecuación de la energía en los puntos 1 y 2
P1
PET
Z1
V12 P V2 hL 2 Z 2 2 2g PET 2g
Despejando la diferencia de presión Guía
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V 2 V12 P1 P2 ( Z 2 Z1 ) 2 hL PET 2g
(1)
Cálculo de la pérdida de energía debida a la válvula de ángulo:
hL K
V2 Le V 2 fT 2g D 2g
(2)
Velocidad de flujo en el conducto:
V
Q 1.448[ pie3 s] 10.442[ pies s] A (0.4206[ pies])2 4
Sustituyendo valores en la ecuación (2) se tiene hL
hL
10.422[ pies s] 0.016 150
2
2 32.2[ pie s 2 ]
4.048[ pies]
Reemplazando hL en la ecuación (1) y considerando Z 2 Z1 0 y V2 2 V12 2 g 0 por ser el mismo diámetro en ambos puntos y por constituirse en un mismo nivel.
P1 P2 0 0 4.048[ pies] 0.9 62.4[lb pie3 ] P1 P2 227.34
lb 1 pie3 pie2 12 pulg
⟹
P1 P2 1.579[lb pulg 2 ]
P-6.7 De un depósito grande fluye agua a 10 ºC a una velocidad de 1.5 102 [m2 s] a través del sistema que se muestra en la figura. Calcule la presión en B. DATOS: D4" 97.97[mm] ,
1.5 106 [m] , v 1.30 106 [m2 s] Longitud equivalentes codo estándar
Le D 30 INCÓGNITAS: PB=?
SOLUCION: Sabiendo que la velocidad de flujo es: Guía
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Q 1.5 102 [m3 s] 2.0[m s] A (0.09797[m]) 2 4 Empleando la ecuación de la energía en A y en B PA V2 P V2 Z A A hL B Z B B H 2O 2g H 2O 2g V
Despejando de la ecuación de energía PB y considerando PA 0
V 2 VB 2 PB ( Z A Z B ) A hL H 2O 2g Cálculo de hL para el cual existen tres componentes: hL h1 h2 h3 Donde: VB 2 VB 2 h1 K 1.0 Pérdida a la entrada 2g 2g h2 f
(1)
(2)
V2 L VB 2 80.5[m] VB 2 f 821.68 f B Pérdida por fricción D 2g 0.09797[m] 2 g 2g
Le VB 2 VB 2 VB 2 h3 f T 3 f 30 3 90 f Perdida por codos estándar T T 2g 2g D 2g Sustituyendo las perdidas de energia en (2) V2 V2 V2 hL 1.0 B 821.68 f B 90 f T B 2g 2g 2g
VB 2 hL (3) 1.0 821.68 f 90 fT 2g Cálculo de fT para un conducto de 2 pulg de cobre considerando completa turbulencia 1 ⟹ 2log(3.7 D ) fT 2
2
1 1 fT 0.0086 2log(3.7 D ) 2log(3.7 65313)
Guía
Número de Reynolds: DV 0.09797[m] 1.99[m s] NR 1.5 105 5 2 v 1.30 10 [m s] Página 83
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Rugosidad relativa:
[ ] [ ] Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.016 y reemplazando los valores en (3) (2.0[m s])2 hL 1.0 821.68 0.0165 90 0.0085 3.126[m] 2 9.81[m s 2 ]
Sustituyendo valores en (1) se tiene PB .
(2.0[m s]) 2 PB (12[m] 0[m]) 3.126[m] 9.81[ KN m3 ] 2 2 9.81[m s ] PB (12 0.204 3.126)[m] 9.81[ KN m3 ]
⟹
PB 85.05[KPa]
P-6.8 Del sistema mostrado en la figura se bombeará keroseno ( sg 0.82 ) a 20ºC, del tanque A al tanque B incrementando la presión en el tanque sellado A sobre keroseno. La longitud total de la tubería de acero calibre 40 de 2 pulg. es de 38m, los codos son estándar. Calcule la presión que se requiere en el tanque A para causar una velocidad de flujo de 435L/min. DATOS: D2" 52.50[mm] ,
4.6 105 [m] , v 1.30 103 [ Pa s] Longitud equivalentes válvula check Le D 150 Longitud equivalentes válvula de ángulo Le D 150
SOLUCION: Velocidad de flujo:
V
Q 435[l min] 1[m3 ] 1000[l ] 1[min] 60[ s] 3.35[m s] A (0.0525[m])2 4
Empleando la ecuación de la energia en A y en B PA V2 P V2 Z A A hL B Z B B KER 2g H 2O 2g
Despejando de la ecuación de energía PA y considerando PB 0 Guía
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V 2 VA2 PA ( Z B Z A ) B hL KER 2g Cálculo de hL para el cual existen tres componentes: hL h1 h2 h3 h4 h5 h6 Donde: V2 V2 h1 K 1.0 Pérdida a la entrada 2g 2g Le V 2 V2 h2 f T f T 150 Pérdida por válvula check D 2g 2g Le V 2 V2 h3 f T f T 150 Perdida por codos estándar D 2g 2g Le V 2 V2 h4 f T f T 30 Pérdida por codo estándar D 2g 2g VB 2 V2 h5 K 1.0 Pérdida por salida 2g 2g VB 2 L V2 38[m] V 2 Perdida por fricción h6 f f 723.81 f D 2g 0.0525[m] 2 g 2g
(1)
(2)
Sustituyendo las pérdidas de energía en (2) V2 V2 V2 V2 V2 V2 hL 1.0 150 f T 150 f T 30 f T 1.0 723.81 f 2g 2g 2g 2g 2g 2g
V2 hL 1.0 1 150 f T 150 f T 30 f T 1 723.81 f 2g VB 2 hL (3) 2 330 fT 723.81 f 2g Se obtiene de la misma forma que el caso anterior fT 0.019 para un conducto de 2 pulg de acero nuevo. Número de Reynolds:
Guía
C Rugosidad relativa:
[ ] [ ] Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.023 y reemplazando los valores en (3) (3.35[m s]) 2 hL 2 330 0.019 723.81 0.023 14.253[m] 2 9.81[m s 2 ] Sustituyendo valores en (1) y considerando VA2 VB 2 2 g 0 se tiene PA .
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PA 4.5[m] 0 14.253[m] 0.82 9.79[kN m3 ]
⟹
PA 150.5[ KPa]
P-6.9 El agua del tanque mostrado en la figura se va a hacer fluir hacia un drenaje. Determine el tamaño de la tubería de acero Calibre 40 que transportará al menos 400 gal/min del agua a 80° F a través del sistema mostrado. La longitud total de tubería es de 75 pies. A
Datos: Q=400 gal/min L=75 pie v = 9,15*10-6 pies2/s ξ = 1,5*10-4 pies
12 pies
B Válvula de globo completamente abierta Codo
estándar
SOLUCION: Empleando la ecuación de la energía en A y en B
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando PA – PB/γ = 0 y VA = 0 [
] ⁄
Donde los componentes de la perdida de energía son:
Donde:
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Sustituyendo los componentes de la pérdida de energía en (2)
Sustituyendo (3) en (1) y despejando el factor f: (
) [
]
[
]
Por continuidad
Sustituyendo (5) en (4)
Esta ecuación (6) se utilizará para iterar el diámetro D. Puesto que no podemos despejar D en términos de f, la iteración se llevará a cabo como sigue:
Calculo del número de Reynolds en función del diámetro: (
)
Calculo de la rugosidad relativa en función de D:
Procedimiento de Iteración 1. 2. 3. 4.
Guía
Asúmase el valor de D Calcule f en la ecuación (6) Calcule la rugosidad relativa (D/E) empleando la ecuación (8) Calcule el numero de Reynolds empleando la ecuación (7) Página 87
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5. Evalué f y compárelo con el valor calculado en el paso 2 6. Ajuste D de forma que disminuya la diferencia entre los valores de f y repita los pasos 2-5 hasta que se llegue a un acuerdo con los sucesivos de f. 1. Empecemos con el valor de prueba 0,1723 pies para el diámetro interno, correspondiendo a una tubería de 2” pulg.
Prueba 1 2 3 4
D (Pies) 0.1723 0.2557 0.3355 0.4206
f (Ec.-6) -0.0184 -0.0100 -0.0161 -0.0883
D/ξ 1143.667 1704.667 2236.667 2804.000
NR 719664.655 484936.332 369592.310 294113.696
f (Moddy) 0.0196 0.0183 0.0178 0.0175
Cambio req. en D Aumenta Aumenta Aumenta** Disminuye
Las pruebas 3 y 4 muestran que el valor adecuado de D es mayor que 0.3355 pies (4”) pero menor que 0.4206 pies (5”), en vista que no existe una tubería comercial de 4 ½” se acepta la prueba 3 cuyo D = 4 Pulg Calibre 40.
Guía
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CAPITULO Nº7 “SISTEMAS DE LINEAS EN TUBERIAS EN SERIE”
Este capítulo es la culminación de los capítulos anteriores, en los cuales trato el flujo de fluidos en tuberías y tubos, donde se han desarrollado los conceptos de velocidad de flujo de fluidos, la ecuación de continuidad, la ecuación de Bernoulli y la ecuación general de la energía. Se han definido los fluidos turbulentos y laminar, consecuentemente se ha utilizado el número de Reynolds para determinar el tipo de fluido en un sistema dado, Se ha dado la forma de calcular las pérdidas de energía debido a la fricción. Asimismo, hemos establecido los diferentes tipos de pérdidas secundarias del flujo de fluidos a través de válvulas y herrajes y para cambios de velocidad o dirección del fluido. Por supuesto, los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias pérdidas secundarias así como pérdida de energía debido a la fricción conforme el fluido es entregado de un punto a otro. Puede utilizarse más de un tamaño de tubería. A tales sistemas se les llama sistema de línea de tubería en serie. 7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMAS La mayoría de los sistemas de flujo de tubería involucran grandes pérdidas menores. Si el sistema es arreglado de tal forma que el fluido fluye a través de una línea continua sin ramificaciones, éste se conoce con el nombre de sistema en serie. Por otro lado, si el flujo se ramifica en dos o más líneas, se lo conoce con el nombre de sistema en paralelo. Este capítulo trata solamente los sistemas en serie como el que se ilustra en la figura que se muestra a continuación. Si la ecuación de le energía se escribe para este sistema, utilizando la superficie de cada depósito como punto de referencia, se asemejaría a lo siguiente:
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P1
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2
2
v P v Z1 1 hA hL 2 Z 2 2 2g 2g
Los primeros tres términos del lado izquierda de esta ecuación representan la energía que posee en el punto 1 en la forma de cabeza de presión, cabeza de elevación y cabeza velocidad. De manera similar, los términos del Iado derecho de la ecuación representan la energía que posee el fluido en el punto 2. Los dos términos hA, y hL indican la energía agregada al fluido y la energía perdida del sistema en cualquier lugar entre los puntos de referencia 1 y 2. En este problema, hA es la energía agregada por la bomba. La energía se pierde debido a diferentes condiciones. Podemos decir que:
Q ctte
hL h1 h2 h3 h4 h5 h6 Donde: hL = Pérdida de energía total. h1 = Pérdida en la entrada. h2 = Pérdida por fricción en la línea de succión. h3 = Pérdida de energía en la válvula. h4 = Pérdida de energía en los dos codos a 90°. h5 = Pérdida de energía por fricción en la línea de descarga. H6 = Pérdida en la salida. Q = Caudal. En una línea de tubería en serie la perdida de energía total es la suma de las pérdidas individuales grandes y pequeñas. Guía
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En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tubería existen seis parámetros básicos involucrados, llamados: 1. Las pérdidas de energía del sistema o la adición de energía al sistema. 2. La velocidad de flujo de volumen del fluido o la velocidad del fluido. 3. El tamaño de la tubería. 4. La longitud de la tubería. 5. La rugosidad de la pared de la tubería, ε. 6. Las propiedades del fluido como peso específico, densidad y viscosidad. Normalmente, se determinará uno de los parámetros mientras que los demás se conocen o pueden especificarse por el diseñador. El método de llevar a cabo, el diseño o completar el análisis es diferente dependiendo de lo que no se sabe. Los métodos que describimos en este texto se clasifican de la siguiente manera: Se determinarán las pérdidas o adiciones de energía. Se determinará la velocidad del flujo de volumen. Se determinará el diámetro de la tubería.
PROBLEMAS RESUELTOS P-7.1 Según la figura mostrada calcular el caudal en litros/seg y la potencia de la bomba en HP tomando en cuenta que la presión en el punto 2 es 175 KPa. DATOS: tramo Diámetro Longitud (Pulg.) (m) 1-2 3 100 2-3 2 60 -5 e=4.6*10 m Viscosidad cinemática υ= 1.0007*10-6[m2/s] INCÓGNITAS: B a) Q=? (1) b) Pott.=? 5m
(3)
val.comp.100% A
15m
(2)
Figura
k codo 90º 0.64
Guía
kval.comp 0.95
ktk tb 0.80
ktbtk 1.00
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SOLUCION: a) La velocidad de las partículas en 1 y 3 es tan pequeña que puede despreciarse, la presión P1/γ=0 y P3/γ=0 (da a la atmosfera). Balance de energía entre los puntos 1 y 3:
P1
2
2
P V V1 Z1 H perd H bomba 3 3 Z 3 2g 2g
0 desprec. Z1 H perd. H bomba 0 desprec. Z3 H bomba H L(13) Z (13) .............(1) Balance de energía entre los puntos 2 y 3:
P2
2
2
P V V2 Z 2 H L ( 23) 3 3 Z 3 2g 2g P2
2
V 2 H L ( 23) Z 3 2g
P2
2 V2 V2 L2 f 2 K * Z3 2 g D2 2 g
2 V2 V2 L2 f 2 2 * K codo90º K val.comp. K tbtk * Z3 2 g D2 2 g 2 175000 V2 60 V2 f2 2 * 0.64 0.95 1.00 * 15 9810 2 * 9.81 0.0508 2 * 9.81
P2
Despejamos la velocidad en función del factor de fricción:
V23
175000 15 * 2 * 9.81 9810 ...............(2) 60 1 f 2 0.0508 2 * 0.64 0.95 1.00
Numero de Reynolds V * D2 Re 23 23
Re
V23 * 0.0508 ...............(3) 1.0007 *10 6
Rugosidad Relativa
e 0.000046m 0.000906 D23 0.0508 e 1 2.51 2 log D 3.71 Re f cal f cal Guía
...............(4) Página 92
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Ya despejada las ecuaciones se procederá a la iteración: f(supuesto) 0.0200 0.0226 0.0227
V2 ec. (2) 1.4678 1.3877 1.3849
Re ec. (3) 74514.35 70447.63 70304.23
f(calculado) ec.(4) 00.0226 0.0227 0.0227
Como el f(supuesto)= f(calculado) → V2-3 =1.3849 m/s Ahora se procederá a calcular el Caudal:
V * * D23 1.3849 * * 0.05082 m3 l Q 2 3 2.8272 *10 3 Q 2.83 4 4 s s Calculo Potencia de la Bomba de Ec. (1): 2
H bomba H L(13) Z (13) .............(1) H bomba H L(12) H L( 23) Z (13) V 2 V 2 L L H bomba f12 12 K tk tb 12 f 23 23 2 K codo K val. K tbtk 23 Z (13) .............(5) D12 D23 2g 2g 2
Calculo f1-2: Re12
V12 * D12
2 D V23 * 23 * D12 1.3849 * 0.0508 * 0.0762 D12 0.0762 46869.14 1.0007 *10 6
e 0.000046m 0.000604 D1 0.0762 Con la ecuación de colebrook:
f12 0.0226 Remplazando en Ec. (5)
100 60 0.6155 1.3849 H bomba 0.0226 0.8 0.0226 2 * 0.64 0.95 1 10 0.0762 0.0508 2 * 9.81 2 * 9.81 H bomba 13.08m 3 N 3 m Pbomba * Q * H bomba 9810 3 * 2.83 *10 *13.08m 362.79 Watt s m
Pbomba 0.49HP Guía
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P-7.2 Se encuentra fluyendo agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado en la figura. Determine la velocidad de flujo de volumen del agua si la distancia vertical entre las superficies de los depósitos es de 10 m. Ambas tuberías son de hierro cubiertas de asfalto. Los codos son estándar. Encontrando los valores: ν=6,56*10-7 m2/s ξ=1,2*10-4 m Longitud equivalente vál. Mariposa completamente abierta Le/D=340 Longitud equivalente de codo estándar de 90° Le/D=30 Asumiendo D6/D3=1.82 y la velocidad de flujo en el conducto de 3” de 3,5 m/s encontramos K=0,45 SOLUCION: A
Tubería de 3” DI=90.9 mm Longitud total=55m 10m Flujo Tubería de 5” DI=165.2 mm Longitud total=30m
Alargamiento Repentino B Válvula de mariposa completamente abierta
Empleando la ecuación de energía en A y en B:
Despejando la pérdida de energía: [
]
Sustituyendo los valores y considerando PA-PB/γAGUA=0 y VA2- VB2/2g=0 hL = 10m……………………………………………………………………………………….... (Ec.- 1) Velocidad de flujo en ambos conductos: Q6 = Q3 => A6*V6 = A3*V3 Guía
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V62 = (0.3028*V3)2 => V62 = 0.0917V32…………………………………………... (Ec.- 2) Perdida de energía en el sistema para el cual existen 8 componentes: hL = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8………………………………………….... (Ec.- 3) Donde:
(
)
(
)
(Perdida por fricción, 6”)
(Perdida por salida) Calculo de f3T y f6T, considerando completa turbulencia [
Guía
(
]
⁄ )
[
]
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[
(
]
⁄ )
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[
]
Sustituyendo los componentes de la perdida de energía en (3) bajo una factorización de la velocidad de ambos conductos.
………………….….. (Ec.- 4) Sustituyendo (1) y (2) en (4)
⁄
√
⁄
………………………………………………………………. (Ec.- 5)
Numero de Reynolds en el conducto de 3”: ⁄
…………………………….… (Ec.- 6)
Rugosidad relativa conducto de 3”:
Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f3 = 0.023. Numero de Reynolds en el conducto de 6”: ⁄
……………………………….………….. (Ec.- 7)
Rugosidad relativa conducto de 6”: Guía
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Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f6 = 0.0205. Sustituyendo f3 y f6 en (5) √
⁄
Calculo de NR para el flujo en ambos conductos, bajo el reemplazó de las velocidades en (6) y (7).
Obteniendo los nuevos factores f3=0.0217, f6=0.0197 y sustituyendo en (5)
√
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos en (6) y (7)
Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967 y sustituyendo en (5) √
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos en (6) y (7)
Guía
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Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967, donde y estas se encuentran inalteradas que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo de 3.463 m/s. Calculo de la velocidad de flujo de Volumen en el sistema:
Nota: No existe diferencia significativa en el coeficiente de resistencia (K) asumido para el alargamiento repentino, por lo tanto no es necesario realizar una corrección en la velocidad.
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CAPITULO 8 “SISTEMAS DE LINEAS DE TUBERIAS EN PARALELO” El sistema de línea de tubería se presenta cuando el fluido recorre en una línea continua sin ramificaciones a esto se le llama sistema en serie. Por el contrario si el sistema provoca que el fluido se ramifique en dos o más líneas, se llama sistema en paralelo. 8.1 PRINCIPIOS QUE RIGEN LOS SISTEMAS EN PARALELO El análisis de los sistemas de línea de tubería paralelos requiere el uso de la ecuación general de la energía junto con las ecuaciones que relacionan las velocidades de flujo de volumen en las diferentes ramas del sistema y las expresiones para las pérdidas de carga a lo largo del sistema. Las ecuaciones siguientes establecen los principios que relacionan las velocidades de flujo de volumen y las pérdidas de cabeza, Refiriéndose a la siguiente figura se tienen las siguientes relaciones:
Q1 Q2 Qa Qb Qc ..........(1) hL 12 ha hb hc ...........(2) La ecuación 1 establece la condición de continuidad. El flujo total que entra al sistema Q1 se divide en los tres flujos ramales, Qa, Qb y Qc. Después estos salen por una tubería de salida donde la velocidad de flujo es Q2. Por el principio de continuidad, el flujo de salida en la sección 2 es igual al flujo de entrada en la sección 1. En la ecuación 2 el término hL1-2 es la perdida de energía por unidad de flujo entre los puntos 1 y 2 de las líneas principales. Los términos ha, hb y hc son las pérdidas de energía Guía
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por unidad de flujo en cada rama del sistema. Se puede demostrar escribiendo la ecuación de energía utilizando los puntos 1 y 2 como puntos de referencia:
P1
2
Z1
2
v1 P v hL 2 Z 2 2 .............(3) 2g 2g
PROBLEMAS RESUELTOS P-8.1 Un sistema de conducción de agua está constituido por tres tuberías que partiendo del punto A convergen en el punto B. Las características de las tuberías son: Tubería 1 2 3
Longitud [m] 1600 1000 800
Diámetro [in] 6 5 4
e/D 0.0003 0.0004 0.0005
El caudal del agua a través del sistema es de 100 m3/h. La presión en A y B es la atmosférica y el nivel de A está situado 3 m por debajo del nivel de B. Determínese el caudal a través de cada tubería y la potencia teórica de la bomba a instalar. DATOS: Q=100m3/s ZA=3m INCOGNITAS: 3m Q1, Q2, Q3=? Pott=?
1) Caudal supuesto a través de la tubería de 6”
2)
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3) Para la tubería de 5”
√
√
√
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7)
Pbomba 2.74 CV
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P-8.2 Por una tubería de 25 cm de diámetro interno se transporta petróleo a lo largo de una longitud total de 30 Km con un caudal de 1000 m3/día. Con objeto de aumentar el caudal conservando las mismas presiones de entrada y de salida se conecta a la tubería primitiva, 5 Km antes del lugar de descarga, otra tubería del mismo diámetro y paralela a la primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920 Kg/m3 y su viscosidad 5 poises. Determínese el aumento de caudal. DATOS: D=25cm Pr esion P Pr esion P L1=30Km Diametro D Flujo Q Q=1000m3/d L2=5km Diametro D ρ=920Kg/m3 Longitud L1 INCÓGNITAS: Longitud L2 Aumento de Caudal=? 1
2
SOLUCION:
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[
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]
P-8.3 Se encuentra fluyendo 100 gal/min de agua a 60 ºF en una tubería de acero Calibre 40 de 2 pulg. en la sección 1. El intercambiador de calor en la rama tiene un coeficiente de pérdida de k=7.5 basado en la cabeza de velocidad de la tubería. Las tres válvulas están abiertas completamente. La rama b es una línea de bypass compuesta de tubería de acero Calibre 40 de 1 ¼ pulg. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1 y 2 en la rama b es de 20 pies. Debido al tamaño del intercambiador de calor, la longitud de la tubería en la rama es muy corta, por lo que se pueden despreciar las pérdidas de fricción. De este arreglo, determine: Guía
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a) La velocidad de flujo de volumen de agua en cada rama. b) La caída de presión entre los puntos 1 y 2. SOLUCION: Se desconocen las dos velocidades va y vb, puesto que Q=Av:
De los datos proporcionados, Aa=0,02333 pies2, Ab=0,01039 pies2, Q1=100 gal/min. Expresado Q1 en las unidades de pies3/s obtenemos: ⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄
á Se conoce los siguientes datos: faT =0,019 para una tubería Calibre 40 de 2 pulg. Le/D = 30 para cada uno de los codos. Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente. Entonces:
⁄
⁄
⁄
Para la rama b: ⁄
( ⁄
)
⁄ á
( ⁄
)
⁄
( ⁄
)
Los datos conocidos son: FbT =0,022 para una tubería Calibre 40 de 1 ¼ pulg. Le/D = 30 para cada uno de los codos. Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente. Entonces: ( ⁄
)
( ⁄ ) ( ⁄ )
⁄
( ⁄
)
Esta ecuación presenta la incógnita adicional, fb. Podemos utilizar el proceso de iteración. La rugosidad relativa de la rama b ayudará en la estimación del primer valor de la prueba para fb. ⁄ ⁄ Guía
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Del diagrama de Moody una estimación lógica para el factor de fricción fb=0,023. Sustituyendo este en la ecuación para hb obtenemos: ( ⁄
( ⁄
)
)
Ahora tenemos: ⁄
( ⁄
)
Despejando va obtenemos: Entonces:
Después tenemos que: ⁄ [
]
⁄ ⁄
⁄
Puesto que realizamos estos cálculos utilizando un valor supuesto para f b, deberíamos verificar la exactitud del supuesto. Podemos evaluar el número de Reynolds para la rama b. ⁄ De tablas =1.21*10-5 pies2/s. Entonces: ⁄ Utilizando este valor y la rugosidad relativa de 767 de ante, en el diagrama de Moody obtenemos un nuevo valor para fb=0,25. Debido a que este valor es muy diferente del valor supuesto de 0,023, podemos repetir los cálculos: ( ⁄
( ⁄
)
)
⁄ Igualando las pérdidas de cabeza en las dos ramas: ⁄
⁄
Despejando las velocidades: Guía
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Sustituyendo este valor en la ecuación de vb utilizada anteriormente obtenemos: ⁄ [ ] ⁄ ⁄ ⁄ Al volver a calcular el número de Reynolds para la rama b obtenemos: ⁄ ⁄ No existe un cambio significativo en el valor de fb. Por lo tanto, los valores de las dos velocidades calculadas anteriormente son correctos. Ahora calculamos las velocidades de flujo de cabeza Qa y Qb: ⁄
⁄
⁄
⁄
Convirtiendo estos valores a las unidades de gal/min obtenemos Q a=74,5 gal/min y Qb=25,5 gal/min Para calcular la caída de presión, podemos escribir la ecuación de la energía utilizando los puntos 1 y 2 como puntos de referencia. Puesto que las velocidades y elevaciones son las mismas en estos puntos, la ecuación de la energía es: Despejando la caída de presión obtenemos:
Puesto que hL1-2=ha=hb: Entonces:
⁄ ⁄ Observe que esto no toma en cuenta las pérdidas secundarias. Entonces tenemos que:
⁄ ⁄
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CAPITULO 9 “CONDUCCIONES RAMIFICADAS” 9.1 Conducciones ramificadas.- Cuando dos o más tuberías convergen en uno o más puntos y el fluido circula por el conducto principal y las ramificaciones, el sistema de conducción se denomina ramificado. Los problemas que pueden presentarse en este caso son muy variados, y para su resolución puede seguirse el método indicado en el siguiente ejemplo.
PROBLEMAS RESUELTOS P-9.1. Una instalación- petrolífera descarga el petróleo en dos depósitos A y B situados a 25m y 10m de altura sobre un tercer depósito almacén C. De los depósitos A y B parten sendas tuberías de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí con una tubería de diámetro 50 cm que va hasta el depósito C. La longitud de las tuberías que parten de los depósitos A y B es de 800 m, y la que va desde la confluencia de las tuberías anteriores hasta C mide 200 m. Si en las condiciones del transporte la viscosidad del petróleo es 7.10-4 Kg/m*seg, y la densidad 870 Kg/m3, determínese el caudal horario de petróleo descargado en C. SOLUCION: Considerando como nivel de referencia para las alturas el del depósito más bajo, y prescindiendo de las cargas cinéticas, la aplicación de la ecuación de energía a cada ramificación entre cada depósito y el punto de confluencia de las tuberías, nos lleva a
A PD PA
PD PB
PD PC
Z D Z A h f 1
B 25m
10m
Z D Z B h f 2 ZD hf 3
D C Figura
Teniendo en cuenta que PA= PB = PC= presión atmosférica, las cargas de presión son Guía
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análogas en las ecuaciones anteriores; Designando por hD a l suma de la carga de presión y la carga de altura en D, tendremos: z A hD h f 1
z B hD h f 2 hD h f 3 El problema podemos resolverlo por tanteo, dando un valor arbitrario a hD , determinando los valores de las cargas de fricción para este valor de hD , y calculando después los valores de Q1 , Q2 y Q3 , según el método indicado en el ejemplo 1-8. Si tomamos para hD un valor menor que z D ha de cumplirse que: Q1 Q2 Q3 [A] mayor En caso de no cumplirse esta igualdad, si resulta nos indica que el valor menor bajo tomado para hD es , siendo necesario variar el valor de hD hasta que se cumpla la alto igualdad [A]. Si tomamos para hD un valor mayor que z B , ha de cumplirse que: [B] Q1 Q2 Q3 mayor En caso de no cumplirse esta igualdad, si resulta nos indica que el valor menor bajo tomado para hD es , siendo necesario variar el valor de hD hasta que se cumpla la alto igualdad [B]. 1er tanteo: valor supuesto para hD =5m Ramificación AD 0.3 * 870 2 * 9.81* 0.3h f 1 Re f 34260 h f 1 1.53 *105 4 800 7 *10
0.00016 D 1 8.5 f 1 u1 0.0867 * h f 1 3.30m / seg f Q1 820m3 / h
Ramificación BD
Re f 7.66 *10 4 0.00016 D Guía
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1 8.2 f u2 1.57m / seg Q2 410m3 / h
Ramificación DC
Re f
0.5 * 870 2 * 9.81* 0.5h f 3 1.267 *105 h f 3 2.83 *105 200 7 *10 4
0.00009 D 1 9.0 f 1 u3 0.221* h f 3 4.46m / seg f
Q3 3150m3 / h
Como este valor de Q3 es mayor que Q1 Q2 1230 , hemos tomado para hD un valor muy alto. 2do tanteo: valor supuesto para hD =2m Ramificación AD Re f 1.64 *105 1 8.5 f u1 3.46m / seg
Q1 920m3 / h Ramificación BD Re f 1.06 *105 1 8.2 f u2 1.96m / seg Q2 520m3 / h Ramificación DC Re f 1.80 *105 1 8.7 f u3 2.73m / seg Q3 1930m3 / h
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Par el valor tomado de hD =2m, aun resulta Q3 mayor que la suma Q1 Q2 1440 ; sin embargo, ya nos encontramos ante valores próximos, y podemos observar que, aun siendo muy diferentes los valores encontrados para Q3 en los tanteos anteriores, el valor de 1/ f varia poco, siendo también pequeña la variación relativa de Q1 Q2 frente a la de Q3 . Esto nos lleva a poder invertir el razonamiento y suponer para Q3 un valor próximo al de Q1 Q2 encontrado en el segundo tanteo, y calcular el valor de hD que le corresponde a este caudal, efectuando el tercer tanteo con el valor calculado de hD . Tomamos Q3 1500m3 / h u3 2.20m / seg h f 3 1.25m 3er tanteo: valor supuesto hD =1.25m Ramificación AD Re f 1.67 *105 1 8.5 f u1 3.51m / seg
Q1 936m3 / h Ramificación BD Re f 1.01*105 1 8.4 f
u2 2.11m / seg Q2 570m3 / h Ramificación DC Re f 1.42 *105 1 8.65 f u3 2.14m / seg Q3 1513m3 / h
El valor de Q1 Q2 1506m3 / h ; por tanto, para este valor de hD =1.25m se cumple la concordancia deseada, y podemos tomar para el caudal total el valor de 1506m3 / h .
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P-9.2 Para el sistema de tres ramas que se muestra en la figura, determine la distribución de flujo de Qi de agua y la carga piezometrica H en la unión. El aporte de potencia al fluido por parte de la bomba es constante, e igual a γQHp=20kW. Suponga factores de fricción constantes. Tubo L [m] D [m] f ∑K alt 20m alt 13m 1 50 0.15 0.020 2 2 100 0.10 0.015 2 3 300 0.10 0.025 1
2
3
alt 5m P
1
B Figura
SOLUCION: Los equivalentes de los coeficientes de resistencia se calculan de la siguiente forma:
Le 1
0.15 x 2 15m 0.02
Le 2
Considerando:
0.10 x1 6.7m 0.015 f x
Ri
Se tiene:
Le 3
0.10 x1 4m 0.025
L v2 D 2g
hL 8x f x L 2 Q2 g x 2 x D5 2 v x D 4
R1
8 x0.02 x65 1.42 x103 s 2 / m5 5 9.81x 2 x0.15
R2
8 x0.015 x106.7 1.32 x104 s 2 / m5 5 9.81x 2 x0.10
R3
8 x0.025 x304 6.28 x10 4 s 2 / m5 5 9.81x 2 x0.10
Suponiendo las direcciones de flujo que se indican. La ecuación de energía para el tubo 1 desde el depósito hasta la unión B es: Z1 H P H R1Q1
2
Donde H es la carga piezometrica en B. Sustituyendo los parámetros conocidos y despejando H se obtiene: H 10
H 10
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20 x103 2 1.42 x103 Q1 9800Q1
2.4 2 1420Q1 Q1
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Para la iteración se estima un valor de Q1; luego se calcula H y se evalúa Q2 y Q3 con las relaciones: 1/ 2 1/ 2 H Z2 Q2 R2
H 30 1.32 x104
H Z3 Q3 R3
H 15 6.28 x104
1/ 2
1/ 2
En la última columna de la tabla se utiliza un balance de continuidad para verificar la exactitud de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 se basa en una interpolación lineal haciendo ∑Q=0 y utilizando valores de Q1 y ΔQ de la dos primeras iteraciones. Iteración
Q1
H
Q2
Q3
ΔQ= Q1--Q2-Q3
1 2 3
0.050 0.055 0.054
47.25 42.80 43.64
0.0362 0.0311 0.0322
0.0227 0.0210 0.0214
-0.0089 +0.0029 +0.0004
La solución aproximada es H=43.6m, Q1=54 l/s, Q2=32 l/s, Q3=21 l/s.
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CAPITULO 10 “FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES” En los ejemplos indicados anteriormente hemos hecho aplicación de la Ec. de energía considerando los fluidos incompresibles; en el caso de flujo de gases no podemos hacer esa suposición, para la deducción de una ecuación aplicable para estos casos podemos partir de la Ec. de energia, que escrita en forma diferencial (suponiendo que el flujo es horizontal y que no realiza trabajo ni se le suministra calor), se convierte en:
udu dp u 2 dL f 0 g 2 gD Esta ecuación no puede integrarse directamente debido a que la velocidad u varia al variar p, que a su vez es función de la longitud L. Es conveniente poner la ecuación anterior en función de la velocidad másica G, que es la misma en cualquier punto de la canalización. Tendremos en cuenta las relaciones que indicamos seguidamente para su sustitución en la ecuación anterior:
G
u G W u , u , du Gdv V A
GV
GdV g c dp G 2V 2 dL f 0 g g V 2g D
1
Dividiendo por V2
G 2 dV g c dp G 2 dL f 0 g V g V 2g D
2
Para integrar esta expresión es necesario tener en cuenta que f es función del Re = DG/μ, que es independiente de la densidad del fluido, pero que depende de la viscosidad del mismo. De todos modos, la variación de f con la viscosidad es pequeña, y prácticamente podemos tomar la media aritmética de los valores correspondientes a las condiciones extremas:
f
f1 f 2 2
Y considerar este valor constante para efectos de integración. En tales condiciones la integración de la Ec. [1-27] entre los estados 1 y 2 nos lleva a:
G 2 V2 g c ln g V1 g
2
dp G2 L f 0 1 V 2g D
3
Flujo isotermo de un gas ideal.- En este caso particular 2
dp 1 1 V p1V1
2
p dp 1
p 22 p12 2 p1V1
4
Y
V2 p 1 V1 p2 Guía
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Luego
g p 2 p12 p G2 G2 L ln 1 c 2 f 0 g p2 g 2 p1V1 2g D
5
Si designamos por Vm el volumen especifico a la presión media, podemos escribir:
p1 p2 Vm p1V1 2
Y
p 22 p12 p 2 p1 p 2 p1 1 p2 p1 2 p1V1 2 p1V1 Vm
6
Entonces
g p p1 p G2 G2 L 7 ln 1 c 2 f 0 g p2 g Vm 2g D Si la caída de presión a lo largo de la canalización es pequeña en relación con la presión total, el primer termino de la Ec. [1-32], que representa el aumento de la energía cinética del fluido, será pequeño y despreciable frente a los otros dos, y en tales condiciones
P2 P1 G2 L f 0 Vm 2g c D
8
Y de aquí:
P2 P1 Vm * f 2
G2 L 2gc D
1 um L 1 L 2 Vm * f f um m 2 2 g c Vm D 2g D
9
Siendo um y γm la viscosidad y el peso especifico del fluido a la presión media de p1 y p2. Donde: P1= Presión de entrada a la tubería P2= Presión de salida de la tubería Vm= [1/γm] Volumen especifico promedio a Pm (P1+P2/2) γm= Peso especifico promedio a Pm (P1+P2/2) f= factor de fricción L= Longitud de la tubería D= Diámetro interno de la tubería G=Gasto R= Constante universal de los gases M= Peso molecular del gas ρ= Densidad v= Velocidad Guía
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PROBLEMAS RESUELTOS P-10.1 Desde una instalación productora de acetileno hasta el lugar de ampliación situado a 5000 [ ] se transporta este a razón de100 [ ] (Medidos en condiciones normales) por una tubería de hierro de 5´´. Determine ser la presión a que se encuentra el acetileno cuando entra en la tubería si en el lugar de aplicación (a la salida de la tubería) ha de ] de presión. encontrarse a 1 [ El flujo del acetileno a través de la tubería es isotermo a 25 ] es 1.1708 [ ], y su viscosidad a 25 Es (La densidad del acetileno a 0 y1[ poises. Las características de la tubería se dan en la tabla a-19.) SOLUCIÓN: [
Haciendo uso de la Ec.
P1 P2 f *
]
L G2 D 2g * m
[ A continuación se determina el valor de efectuándose el cálculo por tanteo: 1er. Tanteo: presión supuesta,
[
[
]
correspondiente a la presión media, ] [ [
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]
] ]
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[
2do. Tanteo: presión supuesta,
] [
[
3er. Tanteo: presión supuesta,
] [
]
[
]
] [
]
Como resultado encontramos que la presión a que ha de entrar en la tubería ha de ser ]. 11,80[ P-10.2 Por tubería de hierro de 3 ´´ circula una corriente de hidrógeno con un caudal de ]. La longitud total de la tubería, incluidos los accesorios, 500 , medido a 0 y 1 [ ]. es de 400 [ ] Y la presión de entrada del hidrógeno en la tubería es de 30 [ Determine ser la presión de salida si el flujo es isotérmico a 20 . El factor de compresibilidad para el hidrógeno a 20 . En función de la presión es el indicado en la tabla siguiente. Presión Atm 1 10 20 30 40
z 1.0732 1.0791 1.0855 1.0920 1.0985
La viscosidad puede suponerse invariable con la presión, y a 20 . Vale 0.009 cent poises. La densidad a 0
y 1 Atm. es 0.0898 [
].
SOLUCIÓN: A partir de la Ec. [7] despreciando el primer término y haciendo
, tenemos:
En las condiciones del problema: [
Guía
]
[
]
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Sustituyendo en Ec. [1-35] [ Por tanto, la presión
]
[
]
vendrá dada por:
La resolución de esta ecuación la efectuaremos por tanteo: 1er. Tanteo: presión supuesta,
1er. Tanteo: presión supuesta,
[
[
]
[
]
[
]
]
] O sea que la pérdida de presión por fricción a lo largo de La presión debida es de 24 [ ] la tubería es de 6 [ En realidad, podíamos haber resuelto el problema admitiendo que el hidrógeno se comporta como gas perfecto en este intervalo de presiones, ya que aproximadamente es así, podemos observar en la pequeña diferencia del factor de compresibilidad respecto a la unidad para el intervalo de presiones que hemos considerado. P-10.3 De llevarse aire a 25 Por una tubería de 3´´ a lo largo de una conducción de 2000 [ ] De longitud total. ] De sobrepresión, y se desea conocer la presión de El aire entra en la tubería a 2 [ salida si en el lugar de aplicación se necesitan 1000 [ ] (Las características del tubo y del fluido se dan en tablas) SOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que el fluido es isotérmico y suponiendo que el gas se comporta como ideal, haremos uso de la Ec. [7], calculando, en primer lugar, el último término de esta ecuación, que es correspondiente a la fricción. Guía
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En las condiciones del problema: [
]
[
]
El término correspondiente a la fricción valdrá: [
La primera aproximación podemos escribir el término cinético [
]
(
)
quedando entonces:
]
Que podemos poner de la forma: ̅ ̅ Siendo La presión media entre resolviendo la ecuación anterior por tanteo tenemos: P supuesta [Atm] P calculada [Atm] 2 2.85 2.85 2.44 2.50 2.58 256 2.56 Con esta presión calculada determinaremos ahora el valor del término cinético. ( ) Observamos que éste término resulta casi despreciable frente al correspondiente al de la fricción, siendo innecesario efectuar corrección alguna para el valor de este término que no hemos tenido en cuenta en primera aproximación. Si este término resultara significativo, sería necesario incluirlo al efectuar el cálculo por tanteo. En general, suele ser despreciable, y su supresión facilita los cálculos.
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CAPITULO 11 “MEDIDORES DE CAUDAL” P-11.1 Un tubo de pitot se introduce en el centro de una tubería de acero calibre 80 y diámetro de 2 plg que conduce N2 registrándose una lectura de 50 mm de agua en un manómetro inclinado (1/15) en conexión con el pitot la temperatura del nitrógeno es 15ºC y la presión es 850 mmhg. Determine el caudal referido a condiciones normales de presión y temperatura. DATOS: D (3”)= 77.9mm h= 50mmH2O Pendiente= (1/15) T= 15ºC P= 850mmHg Incógnitas: Q=? Calculo de la densidad: PM RT
SOLUCION: Calculo del ángulo: L
h
1 1 tg tg 1 3.814º 15 15
h L * sen 0.05m * sen3.814º 3.326 *103 m
850mmHg * 28 g / mol 1.32 g / l 1.32kg / m3 mmHg * l 62.4 * 288K K * mol Calculo de la diferencia de presión entre A y B:
P h * H 2O 3.326 *103 m * (9.81*1000) N / m3 32.62 N / m2
Balance de energía entre A y B:
PA
2
2
vA P v Z A B B ZB 2g 2g Despejando la velocidad:
PA
vB
P
* 2g
P
Calculo del caudal: QB vB * A vB *
D 2 7.03m / s *
Guía
4 4 3 Q 0.0335 m / s
PB
2
vB 0 2g
32.623 * 2 7.03m / s 1.32
vB
*2
00
(0.0779m) 2
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P-11.2 En una tubería de acero de diámetro interno 22 cm, que conduce agua a 10 ºC, se hace una exploración en 10 puntos con un tubo de Pitot. El manómetro indicador empleado tiene en una de sus ramas tetra cloruro de carbono (ρ=1,60). Para explorar de modo adecuado la sección normal del conducto se divide aquella en cuatro anillos concéntricos y un círculo central, todos de la misma área. Se hacen las lecturas a lo largo de un diámetro, en la intersección con la circunferencia bisectriz de cada anillo (y en la del círculo central), obteniéndose los resultados siguientes: Distancia al centro del tubo, % del radio -----------31,6 54,8 70,7 83,7 94,8
Lectura del manómetro, mm
………………………………. ………………………………. ………………………………. ………………………………. ……………………………….
-------------228 204 168 132 84
Determínese: a) El caudal de agua, en m3/h; b) La lectura manométrica que obtendríamos situando el tubo de Pitot en el centro de la tubería. SOLUCIÓN: a) La carga cinética vendrá dada por la expresión Cl C H 2O hK h *10 3 * 4 h * 6 *10 4 m
H O 2
En los cinco puntos explorados las cargas cinéticas valen: hK1 6 *10 4 * 228 0,1368m hK 2 6 *10 4 * 204 0,1224m hK 3 6 *10 4 *168 0,1008m
hK 4 6 *10 4 *132 0,0792m hK 5 6 *10 4 * 84 0,0504m Las velocidades en cada uno de los puntos serán: 2 g (P) u 2 ghK
u1 1,639m seg u 2 1,550m seg
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u3 1,406m seg
u 4 1,247m seg u5 0,994m seg La velocidad media correspondiente a estos cinco valores es u 1,367m seg El caudal será Q 1,367 * * 0,112 0,052 m3 seg 187 m3 h
Q 187 m 3 h
1,367 * 0,22 *1000 2,31 *10 5 3 1,3 *10 0,81 Re
b) u u máx
u máx 1,688m seg
u2 hK 0,145 2g
0,145 *10 3 h 242mm 0,6 Tiempo de descarga.- Cuando un depósito en el que esta contenido un líquido se está descargando, desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá a medida que va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga de un volumen determinado de líquido dependerá de aquel nivel. En el ejemplo siguiente hacemos un estudio de este problema. P-11.2 Un deposito cilíndrico de 1 m de diámetro y 4m de altura está lleno de agua a 200C. Perpendicularmente al fondo del depósito esta conectando un tubo de 1.5´´ y 5 m de longitud a través del cual de vacía. Calcúlese el tiempo que tarda en descender 1 m el nivel de agua en el depósito. SOLUCIÓN: Considerando un punto del depósito a una altura z, al descender al nivel dz en el tiempo dt, el caudal vendrá dado por: dz [A] Q Adep dt En este instante, a través del tubo de sección A2, circulara el mismo caudal Q = A2 u 2 Guía
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Podemos considerar que la velocidad u1 del agua dentro del depósito es despreciable frente a la velocidad u2 en el tubo. Si tomamos como plano de referencia para alturas el punto inferior del tubo (z2 = 0), la aplicación de la Ec. de energía nos conduce a la expresión: u22 2 gz z1 h f 0; u2 2g 1 fL / D Igualando las expresiones [A] y [B], una vez sustituido el valor de u2 en [B], tendremos: dz 2 gz A1 A2 dt 1 fL / D
A 1 fL / D 2 dt 1 z dz A2 2g 1
A1 1 fL / D 1 z inicial z final A2 2g Para efectuar la integración hemos supuesto que f es constante; en realidad no ocurre esto y debemos operar con un valor medio adecuado, cuyo cálculo se verifica del modo siguiente: Cuando empieza a descargarse el depósito (z = 9) 2 * 9.8 * 9 u2 1 fL /( 40.9 *103 ) La longitud total serán los 5 m de tubería más la longitud equivalente al estrechamiento brusco, que vale 0.6 m; por lo tanto L = 5.6 m y: 13.3 u2 1 137 f El valor de f lo determinaremos por tanteo: 1. er tanteo: Suponemos u2 = 10 m/seg. Re = 4.08*105 ε/D = 0.0012 f = 0.0205 u2 = 6.81 m/seg. 2. ° tanteo: Suponemos u2 = 6.81 m/seg. Re = 2.78*105 f = 0.0212 u2 = 6.73 m/seg. 3. ° tanteo: suponemos u2 = 6.73 m/seg. Re = 2.75*105 f = 0.0212 u2 = 6.73 m/seg. En consecuencia, el valor de f al principio de la operación es: f = 0.0212 t2
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Después de descender 1 m el nivel de agua en el depósito, la velocidad de salida vendrá dada por: 12.53 u2 1 137 f Y el valor de f lo determinamos por tanteo igual que en el caso anterior 1. er tanteo: Suponemos u2 = 6 m/seg. Re = 2.45*105 f = 0.0210 u2 = 6.37 m/seg. 2. ° tanteo: Suponemos u2 = 6.37 m/seg. Re = 2.60*105 f =0.0210 u2 = 6.37 m/seg. En consecuencia, el valor de f al final de la operación es: f = 0.0210 El valor medio de f será f = 0.0211 El tiempo necesario para descender el nivel en el depósito desde los 4 m hasta los 3 m será 2 1 0.0211 *137 t 2 * 9.81 9 8 2 4 4.09 *10
t 1196 * 0.4453 2.829 91 seg t 91 seg
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