Guia Metodologica FI - I

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Presentaci´on Debido a la situaci´ on actual respecto a la pandemia, es posible el regreso a clases de manera presencial, por lo que la presente gu´ıa metodol´ ogica del quinto semestre de F´ısica para ingenier´ıas I, de Oto˜ no 2022 presenta las siguientes mejoras respecto de la gu´ıa anterior que se utiliz´o donde se abordaron los aprendizajes imprescindibles: Se aborda todo el contenido de F´ısica para ingenier´ıas I, ya que durante la pandemia se realiz´ o la gu´ıa metodol´ ogica de los aprendizajes imprescindibles. Se cambiaron los problemas ejemplo y de las tareas para evitar plagio con actividades de semestres anteriores. Se actualizaron las ligas de los materiales complementarios de videos y simulaciones. Se revisaron los instrumentos de evaluaci´on. Se amplio la bibliogr´ afica ya que en la referencia del plan de estudio para algunos temas la informaci´on no es suficiente. Se ampliaron los conceptos de la gu´ıa metodol´ogica. El fin de la presente gu´ıa metodol´ ogica es que se utilice como herramienta de trabajo en las actividades del estudiante tanto como gu´ıa para el docente para abordar los temas del plan de estudios de F´ısica para ingenier´ıas I. De manera general cada tema de la gu´ıa metodol´ogica se compone de: Objetivo de la semana. Aprendizaje esperado. Evidencias de aprendizaje solicitadas al estudiante (actividad de clase y tarea). Instrumento de evaluaci´ on. Tema de la semana. Materiales complementarios (v´ıdeos y/o simulaciones).

´Indice general 1. Temperatura, unidades de medida y escalas termometr´ıcas 1.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Escala Celsius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Escala Fahrenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Escala Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Relaci´ on entre escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Metodolog´ıa para resolver problemas de Temperatura . . . . . 1.4. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 3 3 3 3 3 4 5 5 7

2. Dilataci´ on lineal 2.1. Dilataci´ on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´on lineal 2.3. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 9 11 12 13

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3. Dilataci´ on superficial y volum´ etrica 3.1. Dilataci´ on superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Dilataci´ on volum´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´on superficial y volum´etrica 3.4. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14 15 17 18 19 21

4. Calorimetr´ıa 4.1. Calorimetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Unidades de calor . . . . . . . . . . . . . 4.4. Energ´ıa Interna . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Equivalente mec´ anico del calor . . . . . 4.6. Capacidad calor´ıfica C . . . . . . . . . . 4.7. Calor espec´ıfico Ce . . . . . . . . . . . . 4.8. Equilibrio t´ermico . . . . . . . . . . . . . 4.9. Teorema fundamental de la calorimetr´ıa . 4.10. Mezclas: casos especiales . . . . . . . . . . 4.11. Estrategia para la resoluci´ on de problemas 4.12. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . 4.13. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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22 23 23 23 23 24 26 26 27 27 28 29 30 32

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´INDICE GENERAL

4 5. Cambio de fase y calor latente 5.1. Cambio de fase y calor latente . . . . . . . . . . 5.2. Metodolog´ıa para resolver problemas de cambio 5.3. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . de fase y calor latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Mecanismos de transferencia de calor 6.1. Mecanismos de transferencia de calor . . . . . . . . . . 6.2. Conducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Convecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Metodolog´ıa para resolver problemas de conducci´on de 6.6. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . calor . . . . . .

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33 34 37 37 39

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40 41 41 42 43 45 45 47

7. Leyes de los gases: Boyle, Charles, Gay-Lussac y gas ideal 7.1. Ley de Boyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ley de Charles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ley de Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Ley general de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Ley del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´on superficial y volum´etrica 7.7. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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48 49 51 52 53 54 56 57 58

8. Aplicaci´ on: Leyes de los gases y la ecuaci´ on del gas ideal 8.1. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Ley de Charles (proceso isob´ arico) . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Ley de Gay - Lussac (Proceso Is´ ocoro) . . . . . . . . . . . 8.4. Ley de Boyle - Mariotte (Proceso Isot´ermico) . . . . . . . . 8.5. Proceso Adiab´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Ley general del estado gaseoso . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Ecuaci´ on Universal del Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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59 60 60 61 62 63 63 64 65 67 69

9. Calor y trabajo. Primera y Segunda ley de la Termodin´ amica 9.1. Calor y Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Primera ley de la termodin´ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Segunda ley de la termodin´ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´on superficial y volum´etrica 9.5. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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70 71 71 72 73 74 75

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76 77 78 79 79 80

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10.Procesos termodin´ amicos: isob´ arico, isoc´ orico, isot´ ermico, adiab´ atico 10.1. Procesos isob´ aricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Procesos isoc´ orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Procesos isot´ermico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Procesos adiab´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Metodolog´ıa para resolver problemas de procesos termodin´amicos . . . . .

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´INDICE GENERAL

5

10.6. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.Aplicaci´ on de los procesos termodin´ amicos (trabajo y diagramas 11.1. Procesos cuasiest´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Diagramas P-V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Metodolog´ıa para resolver problemas de trabajo realizado por un gas 11.4. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.Maquinas t´ ermicas: Ciclo de Carnot 12.1. M´aquina t´ermica . . . . . . . . . . . . . . 12.2. M´aquina frigor´ıfica . . . . . . . . . . . . . 12.3. Segundo principio de la termodin´amica . . 12.4. Rendimiento de un motor termodin´amico 12.5. Eficiencia de una m´ aquina frigor´ıfica . . . 12.6. Ciclo termodin´ amico . . . . . . . . . . . . 12.7. Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . 12.8. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . 12.9. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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P-V . . . . . . . . . . . . . . .

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para un gas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13.Maquina de combusti´ on interna y su eficiencia, refrigeraci´ on y su eficiencia 13.1. Maquina de combusti´ on interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Refrigeraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´on superficial y volum´etrica . . . 13.4. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.Hidrost´ atica 14.1. Hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Tensi´on superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Peso espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. Presi´on de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8. Metodolog´ıa para resolver problemas de hidrost´atica 14.9. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.Presi´ on atmosf´ erica, manom´ etrica y absoluta 15.1. Presi´on en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Presi´on atmosf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Presi´on manom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Presi´on absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Metodolog´ıa para resolver problemas de presi´on 15.6. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en fluidos . . . . . . . . . . . .

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81 82 83 84 85 89 90 91

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92 93 94 95 95 96 98 98 101 103

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104 105 106 108 108 110

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111 112 112 113 113 114 114 115 116 116 118

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119 120 122 122 123 124 124 126

´INDICE GENERAL

6 16.Ecuaci´ on Fundamental de la Hidrost´ atica 16.1. La presi´ on de los l´ıquidos . . . . . . . . . 16.2. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . 16.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.Principio de Arqu´ımedes 17.1. Principio de Arqu´ımedes . . . . . . . . . 17.2. Metodolog´ıa para resolver problemas del 17.3. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . 17.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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127 128 135 136 138

. . . . . . . . . . . . . . . Principio de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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140 141 142 143 144

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145 146 146 148 148 150

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18.Principio de Pascal 18.1. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. La prensa hidr´ aulica . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. Metodolog´ıa para resolver problemas de Principio 18.4. Actividad de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . de Pascal . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

1

Semana 1

Temperatura, unidades de medida y escalas termometr´ıcas

Objetivo de la semana: Entender c´ omo se define y se mide en distintas escalas, c´omo los cambios de temperatura pueden afectar a los objetos. Analizar varias escalas con las cuales cuantificar la temperatura, lo mismo que los rangos de temperatura observados en la naturaleza y el laboratorio.

Aprendizaje esperado: Entender el concepto de temperatura, entender las distintas escalas y la relaci´on entre ellas.

Evidencias de aprendizaje: Problemas tipo examen de admisi´ on sobre temperatura. Infograf´ıa sobre los conceptos de temperatura

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de una infograf´ıa.

2

1.1. TEMPERATURA

3

Conceptos y ecuaciones:

1.1.

Temperatura

Es la magnitud escalar que representa el valor medio de la energ´ıa cin´etica del movimiento t´ermico de sus mol´eculas o ´ atomos, es decir, nos indica el grado de excitaci´on molecular. Esto significa que entre mayor sea la temperatura de un cuerpo, mayor ser´a el grado de excitaci´on molecular y mientras menor sea la temperatura de un cuerpo menos intenso ser´a el movimiento molecular. La temperatura a la cual las mol´eculas de un cuerpo tiende a cesar su movimiento, es decir, es el estado de energ´ıa cin´etico molecular m´ınima, pero no igual a cero se denomin´ o CEROABSOLU T O. Medir la temperatura depende del hecho de que si dos objetos est´ as en equilibrio t´ermino con un tercer objeto, est´an en equilibrio t´ermico uno con el otro. Este tercer objeto podr´ıa ser un term´ometro, el cual mide la temperatura. Las mediciones de la temperatura pueden tomarse usando cualquiera de varias escalas comunes.

1.2. 1.2.1.

Escalas de temperatura Escala Celsius

Propuesta en 1742 por Anders Celsius a menudo llamada escala cent´ıgrada. Es determinada al establecer el punto de congelamiento del agua en 0◦ C y el punto de ebullici´on del agua en 100◦ C (a presi´ on atmosf´erica normal). Esta escala se usa en todo mundo excepto en Estados Unidos.

1.2.2.

Escala Fahrenheit

En 1724 por Gabriel Fahrenheit defini´o la unidad (◦ F ), fij´o en 0◦ F para la temperatura de un ba˜ no de agua con sal, 32◦ F para el punto congelaci´on del agua y 96◦ para la temperatura del cuerpo humano, medida bajo el brazo. M´ as tarde, otros cient´ıficos definieron el punto de ebullici´on del agua como de 212◦ F .

1.2.3.

Escala Kelvin

William Thomson (Lord Kelvin) en 1848 propuso otra escala de temperatura llamada escala Kelvin. Esta escala est´a basada en la existencia del cero absoluto, la temperatura m´ınima posible. En la escala Kelvin, el punto de congelaci´ on del agua es de 273.15K y el punto de ebullici´on del agua es de 373.15K. Esta escala de temperatura se usa en muchos c´alculos cient´ıficos por lo tanto es usada en el SI.

Figura 1.1: Representaci´ on intensidad de movimiento molecular y su temperatura.

SEMANA 1. TEMPERATURA, UNIDADES DE MEDIDA Y ESCALAS TERMOMETR´ICAS

4

1.2.4.

Relaci´ on entre escalas

Las relaciones b´ asicas est´ an dadas con los grados Celsius de la siguiente forma: Grados Fahrenheit a Celsius 5 TC = (TF − 32◦ F ) 9 Grados Kelvin a Celsius TC = TK − 273.15K

EJEMPLO 1.1. En EU a menudo se menciona la temperatura ambiente como de 72◦ F . ¿Cu´ al es ´ Usando las f´ormulas anteriores la temperatura ambiente en las escalas Celsius y Kelvin? SOLUCION podemos convertir la temperatura ambiente de grados Fahrenheit a grados Celsius: TC =

5 (72◦ F − 32◦ F = 22.2◦ C) 9

Usando la otra ecuaci´ on podemos expresar la temperatura ambiente en Kelvin como TK = 22◦ C + 273.15◦ C = 295K

EJEMPLO 1.2 En un term´ ometro de columna de mercurio solo aparecen dos marcas, las de la temperaturas de 36◦ C y 37◦ C. La longitud de la columna entre estas marcas es de 1cm. Una persona se pone el term´ometro y constata que la columna de mercurio mide 2.8cm por encima de la marca de 37◦ C su temperatura en ◦ C es de: ´ SOLUCIONEn este problema se tiene: 1cm ∼ = 1◦ C Entonces por regla de tres:

T − 37◦ 2.8cm = ◦ ◦ 37 − 36 1cm ◦ T − 37 = 2.8cm

Figura 1.2: Comparaci´on de escalas.

1.3. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TEMPERATURA

1.3.

5

Metodolog´ıa para resolver problemas de Temperatura

1. Lea el problema detenidamente y despu´es trace un bosquejo, marcando la informaci´on proporcionada. 2. Use sub´ındices cero para distinguir entre los valores iniciales y finales de la temperatura 3. No confunda temperaturas espec´ıficas T con intervalos de temperatura ∆T . 4. La pr´actica de usar la marca de grados antes y despu´es del s´ımbolo es u ´til, por ejemplo, 55circ C − ◦ ◦ 22 C = 33 C

Actividad de clase:

1.4.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1.Un term´ometro de mercurio tiene una escala que marca 0◦ X cuando la temperatura es −20◦ C; y marca 240◦ X para 100◦ C. ¿Cu´ antos grados X corresponden a la temperatura humana de 37◦ C Respuesta: 114◦ 2.¿A qu´e temperatura la escala Celsius y la escala Fahrenheit coinciden en una misma lectura num´erica? Respuesta: -40

Figura 1.3: Problema 1.2.

6

SEMANA 1. TEMPERATURA, UNIDADES DE MEDIDA Y ESCALAS TERMOMETR´ICAS

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de temperatura: Temperatura https://youtu.be/St8tvRdvghk

Simulaci´ on para complementar el tema de Temperatura: Temperatura: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esofisicaquimica/4quincena7/4q7_contenidos_ 3a.htm

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Temperatura y Dilataci´on . En F´ısica conceptos y aplicaciones (330,331). M´exico: Mc Graw Hill. Giancoli, D.. (2008). Temperatura, expansi´on t´ermica y gas ideal. En F´ısica para ciencias e ingenier´ıas (455-459). M´exico: Pearson educaci´ on.

1.5. TAREA

7

Tarea:

1.5.

Tarea

Resuelves los problemas de Temperatura, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

0()()()()

Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

0◦ C y 21.85cm de longitud a 100◦ C. ¿Cu´al es la temperatura si la columna tiene longitud a) de 18.70cm 1.a) La “temperatura ambiente” con frecuencia y b) de 14.60cm? se considera como 68◦ F . ¿A cu´ anto equivale esto en la escala Celsius? b) La temperatura del filamento 3. El Oro se funde a 1336K. ¿Cu´al es la tempera◦ en una bombilla de luz es aproximadamente 1900 C. tura correspondiente en grados Celsius y en grados ¿A cu´anto equivale esto en la escala Fahrenheit? Fahrenheit? Problemas.

2. En un term´ ometro de alcohol en vidrio, la co4. ¿A qu´e temperatura tiene las escalas Kelvin lumna de alcohol tiene una longitud de 11.82cm a y Fahrenheit el mismo valor num´erico?

Semana 2

Dilataci´ on lineal

Objetivo de la semana: Identifica, escribe, y aplica las f´ ormulas de dilataci´on lineal, para la resoluci´on de problemas.

Aprendizaje esperado: Explica los fen´ omenos ocurridos en materiales y objetos lineales al someterlos a cambios de temperatura.

Evidencias de aprendizaje: Problemas de dilataci´ on lineal aplicados al entorno cotidiano.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

8

´ LINEAL 2.1. DILATACION

9

Conceptos y ecuaciones:

2.1.

Dilataci´ on lineal

El efecto mas frecuente producido por cambios de temperatura es un cambio en el tama˜ no. Con pocas excepciones, todas las sustancias incrementan su tama˜ no cuando se eleva la temperatura. Los ´atomos en un s´olido se mantienen juntos en un arreglo regular debido a la acci´on de fuerzas el´ectricas. A cualquier temperatura los ´ atomos vibran con cierta frecuencia y amplitud. A medida que la temperatura aumenta, se incrementa la amplitud (desplazamiento m´aximo) de las vibraciones at´omicas, lo que da por resultado un cambio total en las dimensiones del s´ olido. Un cambio de un s´ olido en una dimensi´on se llama dilataci´on lineal. Los experimentos indican que el cambio en longitud ∆L de casi todos los s´ olidos es, en una buena aproximaci´on, directamente proporcional al cambio en temperatura ∆T , en tanto ∆T no sea demasiado grande. El cambio en la longitud tambi´en es proporcional a la longitud original del objeto, Li .

Figura 2.1: Dilataci´on lineal. Considere la barra de la Figura 2.1. La longitud original es Li y la temperatura inicial es Ti . Cuando se calienta a una temperatura Tf , la nueva longitud de la barra se indica como Lf . Por tanto, un cambio en la temperatura, ∆T = Tf − Ti , produce un cambio de longitud, ∆L = Lf − Li . El cambio de longitud proporcional est´ a dado por: ∆L = α · Li · ∆T

(2.1)

donde α, la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de dilataci´ on lineal para el material particular y tiene unidades de °C −1 . El coeficiente de dilataci´on lineal de una sustancia puede definirse como el cambio de longitud por unidad de longitud por cada grado que cambia la temperatura. Tras despejar α de la Ecuaci´ on 2.1 se obtiene:

α=

∆L Li · ∆T

(2.2)

Al considerar que Lf = Li + ∆L (Figura 2.1), reescribimos esta ecuaci´on como L = Li + ∆L = Li + α · Li · ∆T , o:

´ LINEAL SEMANA 2. DILATACION

10

Lf = Li (1 + α · ∆T )

(2.3)

Si el cambio de temperatura ∆T = Tf − Ti es negativo, entonces ∆L = Lf − Li tambi´en es negativo; la longitud se acorta conforme la temperatura disminuye.

Figura 2.2: Banda bimet´alica. A continuaci´ on se muestra una tabla con algunos coeficientes de dilataci´on lineal: Coeficientes de dilataci´on lineal, cerca de 20 °C Material Coeficiente de dilataci´on lineal, α °C −1 Aluminio 2.5 × 10−5 Lat´ on 1.9 × 10−5 Cobre 1.7 × 10−5 Oro 1.4 × 10−5 Hierro o acero 1.2 × 10−5 Plomo 2.9 × 10−5 Vidrio (Pyrex) 3 × 10−6 Vidrio (ordinario) 9 × 10−6 Cuarzo 4 × 10−7 Concreto y ladrillo ≈ 1.2 × 10−5 M´ armol 1.4 − 3.5 × 10−6 Tabla 2.1: Coeficientes de dilataci´on lineal

EJEMPLO 2.1. Un top´ ografo usa una cinta m´etrica de acero que tiene exactamente 50.000 m de longitud a una temperatura de 20°C. Las marcas en la cinta est´an calibradas para esta temperatura. a) ¿Qu´e longitud tiene la cinta cuando la temperatura es de 35°C? b) Cuando esta es 35°C, el top´ ografo utiliza la cinta para medir una distancia. El valor que se lee de la cinta es de 35.794 m. ¿Cu´ al es la distancia real? ´ SOLUCION a) Se nos dan la longitud y la temperatura iniciales de la cinta, L0 = 50.000 m y T0 = 20°C. En el inciso a) utilizamos la ecuaci´on (2.1) para calcular el cambio ∆ L en la longitud de la cinta en T = 35°C, y usamos la ecuaci´ on (2.4) para encontrar L. (En la tabla 2.1 se presenta el valor de α para el acero):

´ LINEAL 2.2. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DILATACION

11

∆T = T − T0 = 35◦ C − 20◦ C = 15◦ C] ∆L = αL0 = (1.2 × 10−5 K −1 )(50m)(15K)] = 9 × 10−3 m = 9mm L = L0 + = 50m + 0.009m = 50.009m b) Podemos rescribir el ´ algebra del inciso a), como L = L0 (1 + α); a 35°C, cualquier distancia real ser´a mayor que la lectura por el factor 50.009/50.000 = 1 + α∆T = 1 + 1.8 × 10−4 . La distancia real es, por consiguiente, (1 + 1.8 × 10−4 )(35.794m) = 35.8000m

EJEMPLO 2.2 Una varilla graduada de aluminio mide exactamente un metro de largo a 20°C. ¿Cu´anto medir´a si su temperatura desciende a 0°C? ´ Considerando los datos que nos proporciona el ejercicio: SOLUCION L0 = 1m T0 = 20◦ C T = 0◦ C αaluminio = 2.4 × 10−5◦ C −1 L = L0 (1 + α∆T ) Sustituyendo: L = 1m[1 + 2.4 × 10−5◦ C −1 (0◦ C − 20◦ C)] L = 1m[1 − 2.4 × 10−5 (20)] 0.99952m

2.2.

Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´ on lineal

1. Identifica los conceptos importantes: Determine si el problema involucra cambios de longitud (expansi´on t´ermica lineal. 2. Plantear el problema siguiendo estos pasos: a)Lista las cantidades conocidas y desconocidas e identifique las inc´ ognitas. b)Elije la ecuaci´on a utilizar para la expansi´on lineal. 3. Ejecuta la soluci´ on como sigue:a) Despeja las inc´ognitas. Si se da una temperatura inicial T0 y hay que determinar la temperatura final que corresponde a un cambio de longitud dado, obtenga ∆T y calculeT = T0 + ∆T. b) Mantener la consistencia de unidades, tanto L0 como ∆ L deben tener las mismas unidades.

´ LINEAL SEMANA 2. DILATACION

12

4. Eval´ ua tu respuesta: Compruebe que tus resultados sean l´ ogicos.

Actividad de clase:

2.3.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Una regla met´ alica de coeficiente de dilataci´on lineal 5 × 10−4 C −1 , realiza mediciones exactas a 10 °C. Se efect´ ua una medici´ on a 30 °C, obteniendose una lectura de 100 cm dilatados. Determinar la longitud correcta de medici´ on Respuesta: 101 cm 2. Una varilla de acero tiene una longitud de 2 m a 0°C, ¿cu´al es su nueva longitud a 70°C? El coefi ciente de dilataci´ on lineal de la varilla es 11 × 10−6◦ C –1 . Respuesta: 2.00154 m

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Dilataci´on t´ermica: https://www.youtube.com/watch?v=UwxQzu9IqGE

Simulaci´ on para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Dilataci´on lineal: https://www.educaplus.org/game/dilatacion-lineal

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (339, 340). M´exico: Mc Graw Hill. Sears y Zemansky (2013). Temperatura y calor. F´ısica universitaria v1(559). M´exico: Pearson Gutierrez A. C (2009). Temperatura. F´ısica General (245). M´exico: Mc Graw Hill.

2.4. TAREA

13

Tarea:

2.4.

Tarea

Resuelves los problemas de dilataci´ on t´ermica, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

2. Una varilla de lat´on mide 185 cm de longitud y 1.60 cm de di´ametro. ¿Qu´e fuerza debe aplicarse a cada extremo para impedir que la varilla se con1. Uno de los edificios m´ as altos del mundo, de traiga al enfriarse de 120.0 a 10.0°C? acuerdo con ciertos est´ andares arquitect´ onicos, es el Taipei 101 en Taiw´ an, con una altura de 1671 ft. 3. Un alambre con longitud de 1.50 m a 20.0°C se Suponga que esta altura se midi´ o en un fresco d´ıa alarga 1.90 cm al calentarse a 420.0°C. Calcule su primaveral, cuando la temperatura era de 15.5°C. coeficiente promedio de expansi´on lineal para este Este edificio podr´ıa utilizarse como una especie de intervalo de temperatura. term´ometro gigante en un d´ıa caluroso de verano, midiendo con cuidado su altura. Suponga que usted 4. Los rieles de acero para un tren se tienden en realiza esto y descubre que el Taipei 101 es 0.471 ft segmentos de 12.0 m de longitud, colocados extremo m´as alto que su altura oficial. ¿Cu´ al es la tempe- con extremo en un d´ıa de invierno en que la temratura, suponiendo que el edificio est´ a en equilibrio peratura es de -2.0°C. ¿Cu´anto espacio debe dejarse t´ermico con el aire y que toda su estructura est´a entre rieles adyacentes para que apenas se toquen hecha de acero? en verano, cuando la temperatura suba a 33.0°C?

Semana 3

Dilataci´ on superficial y volum´ etrica

Objetivo de la semana: Analiza los efectos de los cambios de temperatura, aplicando las ecuaciones de dilataci´on superficial y volum´etrica, para solucionar problemas donde se alteraren las dimensiones de un cuerpo al modificar su temperatura.

Aprendizaje esperado: Explica la temperatura y su medici´ on a trav´es de la aplicaci´on de las escalas termom´etricas para la descripci´on de los efectos del cambio de temperatura.

Evidencia de aprendizaje: Problemario sobre dilataci´ on superficial y volum´etrica.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

14

´ SUPERFICIAL 3.1. DILATACION

15

Conceptos y ecuaciones:

3.1.

Dilataci´ on superficial

La dilataci´on lineal no se restringe a la longitud de un s´olido. En realidad, la dilataci´on de una superficie es exactamente an´ aloga a una ampliaci´ on fotogr´afica, como se ilustra en la Figura 2.1 a. Observe tambi´en que si el material tiene un agujero, el ´ area de ´este se dilata en la misma raz´on que si estuviera relleno de material. Consideremos el ´ area de dilataci´ on de la superficie rectangular de la Figura 2.4b. Tanto la longitud como el ancho del material se dilatar´ an en una proporci´on dada por la Ecuaci´on 2.3. Por tanto, la nueva longitud y el ancho est´ an dados, en forma de factores por: Largo final de la placa: Lf = Li (1 + α · ∆T ) Ancho final de la placa: Wf = Wi (1 + α · ∆T ) Ahora podemos deducir una expresi´ on para la dilataci´on del ´area determinando el producto de esas dos ecuaciones. ´ Area de la placa: Lf · Wf = Li · Wi (1 + α · ∆T )2 Desarrollando el cuadrado de la suma: Lf · Wf = Li · Wi (1 + 2α · ∆T + α2 · ∆T 2 ) Puesto que la magnitud de α es del orden de 10−5 , con toda certeza podemos despreciar el t´ermino que contiene a α2 .

Figura 3.1: a) La dilataci´ on t´ermica es an´ aloga a una ampliaci´on fotogr´afica. Observe que el agujero se agranda en la misma proporci´ on que el material. b)Dilataci´on superficial.

´ SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA ´ SEMANA 3. DILATACION

16 Luego, podemos escribir:

Lf · Wf = Li · Wi (1 + 2α · ∆T ) Reescribiendo en t´erminos de ´ areas final e inicial: Af = Ai (1 + 2α · ∆T ) donde Af = Lf · Wf representa el ´ area final y Ai = Li · Wi el ´area inicial. Al reordenar los t´erminos se obtiene: Af − Ai = 2α · Ai · ∆T o bien: ∆A = 2α · Ai · ∆T

(3.1)

El coeficiente de dilataci´ on superficial γ (gama) es aproximadamente el doble del coeficiente de dilataci´on lineal. Simb´ olicamente: γ = 2α

(3.2)

donde γ es el cambio en ´ area por unidad inicial de ´area por cada grado que cambia la temperatura. Con esta definici´ on podemos escribir las f´ ormulas siguientes para la dilataci´on superficial. ∆A = γ · Ai · ∆T

(3.3)

Af = Ai + γ · Ai · ∆T

(3.4)

Coeficientes de dilataci´on lineal, cerca de 20 °C Material Coeficiente de dilataci´on lineal, α °C −1 Aluminio 2.5 × 10−5 Lat´ on 1.9 × 10−5 Cobre 1.7 × 10−5 Oro 1.4 × 10−5 Hierro o acero 1.2 × 10−5 Plomo 2.9 × 10−5 Vidrio (Pyrex) 3 × 10−6 Vidrio (ordinario) 9 × 10−6 Cuarzo 4 × 10−7 Concreto y ladrillo ≈ 1.2 × 10−5 M´ armol 1.4 − 3.5 × 10−6 Tabla 3.1: Coeficientes de dilataci´on lineal

´ VOLUMETRICA ´ 3.2. DILATACION

17

EJEMPLO 2.1. Un disco de lat´ on tiene un agujero de 80 mm de di´ametro en su centro. Luego, el disco, que tiene 23 °C, se coloca en agua hirviente durante algunos minutos. ¿Cu´al ser´a el ´area nueva del agujero? ´ Primero se calcula el ´ SOLUCION area del agujero a 23 °C. Luego se determina el aumento del ´ area debido al cambio de temperatura. Recuerde que el coeficiente de dilataci´on superficial es el doble del valor lineal dado en la tabla 2.1. Expresaremos el ´area nueva tambi´en en mm², as´ı que ser´a necesario cambiar las unidades del ´ area. El ´area a 23°C est´ a dada por Ai =

π · D2 = 5, 026.5482 mm2 4

El coeficiente de dilataci´ on del laton es: γ = 2α = 2(1.9 × 10−5 ) ◦ C −1 El cambio del ´ area se determina como: ∆A = γ · Ai · ∆T = 14.7076 mm2 El ´area nueva se establece sumando el cambio al ´area original Af = Ai + ∆A = 5, 027 mm2 + 13.9 mm2 = 5, 041.2558 mm2

3.2.

Dilataci´ on volum´ etrica

La dilataci´on del material calentado es la misma en todas direcciones; por tanto, el volumen de un l´ıquido, gas o s´ olido tendr´ a un incremento en volumen predecible al aumentar la temperatura. El cambio en volumen de un material que experimenta un cambio de temperatura est´a dado por: ∆V = β · Vi · ∆T

(3.5)

donde ∆T es el cambio en temperatura, Vi es el volumen inicial, ∆V es el cambio en volumen y β es el coeficiente de dilataci´ on volum´ etrica. Las unidades de β son °C −1 . Considere un s´ olido rectangular de longitud Li , ancho Wi y altura Hi . Cuando su temperatura cambia por ∆T : su volumen cambia de: Vi = Li · Wi · Hi a: Lf = Li (1 + α · ∆T ) · Wi (1 + α · ∆T ) · Hi (1 + α · ∆T ) utilizando la Ecuaci´ on 2.3 y suponiendo que a es igual en todas direcciones. Por lo tanto:

´ SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA ´ SEMANA 3. DILATACION

18

∆V = Vf − Vi = Vi · (1 + α · ∆T )3 − Vi = Vi [3 · α · ∆T + 3(α · ∆T )2 + (α · ∆T )3 ] Si la cantidad de expansi´ on es mucho menor que el tama˜ no original del objeto, entonces (α · ∆T ) ≪ 1 y podemos ignorar todo menos el primer t´ermino para obtener: ∆V ≈ 3α · Vi · ∆T

(3.6)

´ Esta es la ecuaci´ on (2.8) con β ≈ 3α. Sin embargo, para s´olidos que no son isotr´opicos (es decir, que no tienen las mismas propiedades en todas direcciones), la relaci´on β ≈ 3α no es v´alida. Note tambi´en que la expansi´on lineal carece de significado para l´ıquidos y gases, pues ´estos no tienen formas fijas. EJEMPLO 2.2. Un matraz de vidrio Pyrex se llena con 50 cm³ de mercurio a 20°C. ¿Qu´e volumen se derramar´a si el sistema se calienta de forma uniforme a una temperatura de 60°C? ´ El volumen interior del matraz es el mismo que el volumen del fluido que contiene SOLUCION (50 cm3). El mercurio tiene un coeficiente de dilataci´on volum´etrica m´as grande, lo que significa que el derrame equivaldr´ a a la diferencia entre la dilataci´on del mercurio ∆Vmercurio y la del vidrio ∆Vvidrio . Recuerde que β = 3α. Primero se calcula el cambio de volumen del mercurio: ∆Vmercurio = β · Vi · ∆T = (1.8 × 10−4 ◦ C −1 )(50 cm3 )(60 ◦ C − 20 ◦ C) = 0.36 cm3 Ahora, el cambio de volumen del interior del matraz de vidrio: ∆Vvidrio = 3α · Vi · ∆T = 3(3 × 10−6 ◦ C −1 )(50 cm3 )(60 ◦ C − 20 ◦ C) = 0.018 cm3 El volumen que se derrama resulta de la diferencia entre las dos dilataciones: ∆Vderramado = ∆Vmercurio − ∆Vvidrio = 0.36 cm3 − 0.018 cm3 = 0.342 cm3

3.3.

Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´ on superficial y volum´ etrica

1. Lee el problema detalladamente y dibuja un esquema indicando en ´el la informaci´on proporcionada, as´ı como las inc´ ognitas. 2. Aseg´ urate de que las unidades sean congruentes para las operaciones, puede ser necesario, convertir a unidades del S.I. 3. Utiliza sub´ındices i para distinguir entre los valores iniciales y f para finales ya sea de ´ area , volumen y temperatura. 4. No confundas las temperaturas espec´ıficas Ti o Tf con intervalos de temperatura ∆T , donde ∆T = Tf − Ti .

3.4. ACTIVIDAD DE CLASE

19

5. Los coeficientes de dilataci´ on de ´ area y volumen para s´olidos pueden determinarse multiplicando por dos o por tres, respectivamente, los valores lineales dados en la tabla 3.1. 6. Cuando se le pida determinar un valor inicial o final de longitud, ´area, volumen o temperatura, generalmente es m´ as f´ acil calcular primero el cambio en ese par´ametro (∆l, ∆A, ∆V, ∆T respectivamente) y luego resolver el valor inicial o final. Por ejemplo, puede determinar la temperatura final (Tf ) calculando primero ∆T y luego sumando o restando para encontrar Tf . 7. La dilataci´ on simult´ anea de diferentes materiales debe ajustarse teniendo en cuenta los diferentes grados de un l´ıquido que se encuentra dentro de un recipiente s´olido, el incremento o decremento neto en volumen es igual a la diferencia en los cambios experimentados por cada material.

Actividad de clase:

3.4.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Una placa cuadrada de cobre que mide 4 cm por lado a 20 °C se calienta hasta 120 °C. ¿Cu´ al es el incremento del ´ area de la placa de cobre? Respuesta: 0.0544 cm² 2. ¿Cu´al es el incremento de volumen en 16 litros de alcohol et´ılico cuando la temperatura se incrementa en 30 °C (αalcohol etilico = 3.6 × 10−4 ◦ C −1 )? Respuesta: 0.528 L

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: La Dilataci´on: https://www.youtube.com/watch?v=GWN2Rn3c__4

Simulaci´ on para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Thermal expansion: http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/linear_thermal_expansion.html

20

´ SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA ´ SEMANA 3. DILATACION

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (302, 323). M´exico: Mc Graw Hill. Giancoli, D.. (2008). Fluidos. En F´ısica para ciencias e ingenier´ıas (353, 362). M´exico: Pearson educaci´on.

3.5. TAREA

21

Tarea:

3.5.

Tarea

Resuelves los problemas de dilataci´ on t´ermica, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas.

garse a la taza sin que se derrame? (αbenceno = 3.6 × 10−4 ◦ C −1 )

1. Un matraz Pyrex tiene un volumen interior de 600 ml a 20 °C. ¿A qu´e temperatura el volumen 3. Una hoja rectangular de aluminio mide 6 X 9 interior ser´a de 603 ml? cm a 28 °C. ¿Cu´al es su ´area a 0 °C? 2. Si 200 cm³ de benceno llenan exactamente 4. Una placa cuadrada de cobre que mide 4 cm una taza de aluminio a 40 °C y el sistema se enfr´ıa por lado a 20 °C se calienta hasta 120 °C. ¿Cu´ al es a 18 °C, ¿cu´anto benceno (a 18 °C) puede agre- el incremento del ´area de la placa de cobre?

Semana 4

Calorimetr´ıa

Objetivo de la semana: Estudia conceptos de calor y temperatura para ayudarnos a comprender algunos aspectos de la estructura de la materia, la transformaci´on de calor en trabajo y el orden en que ocurren los procesos naturales as´ı como resolver problemas de calorimetr´ıa.

Aprendizaje esperado: Relaciona el calor y sus efectos a trav´es de la soluci´on de situaciones experimentales para la comprensi´on de los fen´ omenos asociados con la transformaci´on de energ´ıa

Evidencias de aprendizaje: Problemario para calcular calor espec´ıfico, capacidad calor´ıfica.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

22

4.1. CALORIMETR´IA

23

Conceptos y ecuaciones:

4.1.

Calorimetr´ıa

Es una rama de la F´ısica molecular que estudia las medidas de la cantidad de calor que intercambian dos o mas sustancias que est´ an a diferentes temperaturas, y as´ı mismo analiza las transformaciones que experimentan dichas sustancias al recibir o perder energ´ıa calor´ıfica

4.2.

Calor

Antes debemos hacer una distinci´ on entre los conceptos de energ´ıa interna, energ´ıa t´ermica y calor. La energ´ıa interna es toda energ´ıa que pertenece a un sistema mientras esta estacionario (es decir, ni se traslada ni rota), incluidas la energ´ıa nuclear, la energ´ıa qu´ımica, la energ´ıa de deformaci´on, as´ı como la energ´ıa t´ermica. La energ´ıa t´ermica es parte de la energ´ıa interna que cambia cuando la temperatura del sistema cambia. La transferencia de energ´ıa t´ermica es la transferencia de energ´ıa interna producida por una diferencia de temperaturas entre el sistema y sus alrededores, la cual puede o no cambiar la cantidad de energ´ıa t´ermica en el sistema. El calor es una forma de energ´ıa en transito (de frontera a frontera) que intercambian los cuerpos debido exclusivamente a la diferencia de temperaturas entre los cuerpos. El calor es una energ´ıa no almacenable, y solo existe mientras exista una diferencia de temperaturas

Figura 4.1: El calor se difunde del cuerpo con mayor temperatura al cuerpo con menor temperatura

4.3.

Unidades de calor

Hist´oricamente del calor no fue entendido como una forma de energ´ıa en sus inicios. Los cient´ıficos de entonces lo definieron en funci´ on de los cambios de temperatura que producir´ıa en un cuerpo. En consecuencia, la calor´ıa (cal) fue definida como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1g de agua de 14,5º C a 15,5º C. Puesto que el calor se reconoce como una forma de energ´ıa, los cient´ıficos emplean cada vez mas la unidad de energ´ıa de SI, el joule, para el calor.

4.4.

Energ´ıa Interna

Actualmente se considera que cuando crece la temperatura de un cuerpo, la energ´ıa que posee en su interior, denominada energ´ıa interna, tambi´en aumenta. Si este cuerpo se pone en contacto con otro de

SEMANA 4. CALORIMETR´IA

24

m´as baja temperatura, habr´ a una transferencia de energ´ıa del primero al segundo, energ´ıa que se denomina calor. Por lo tanto, el concepto moderno de calor es el siguiente: calor es la energ´ıa que se transmite de un cuerpo a otro, en virtud u ´nicamente de su diferencia de temperatura entre ellos. La transferencia de calor hacia un cuerpo origina un aumento en la energ´ıa de agitaci´on de sus mol´eculas y ´atomos, o sea, que ocasionan un aumento de su energ´ıa interna del cuerpo, lo cual generalmente, produce una elevaci´on de su temperatura. Es importante observar, incluso, que la energ´ıa interna de un cuerpo puede aumentar sin que el cuerpo reciba calor, siempre que reciba otra forma de energ´ıa. Cuando por ejemplo, agitamos una botella de agua, a pesar de que el agua no haya recibido calor, su temperatura aumenta. El aumento de energ´ıa interna en este caso se produjo debido a la energ´ıa mec´anica transferida al agua cuando se efect´ ua el trabajo de agitar la botella

4.5.

Equivalente mec´ anico del calor

Sabemos que cuando en un sistema f´ısico aparecen fuerzas no conservativas, como la fricci´ on, la energ´ıa mec´anica del sistema no se conserva. Diversos experimentos muestran que esta energ´ıa “perdida” no desaparece simplemente, sino que se transforma en energ´ıa t´ermica. La equivalencia entre energ´ıa mec´anica y t´ermica fue establecida por Joule. Un diagrama esquem´atico de su experimento se muestra en la Figura 4.2:

Figura 4.2: Calor´ımetro utilizado por Joule en el desarrollo de su experimento El sistema en inter´es es el agua en un recipiente aislado t´ermicamente. Se hace trabajo sobre el agua al rotar la rueda de paletas, al cual se acciona por medio de las pesas que caen a una velocidad constante. El agua que es agitada por las paletas, se calienta debido a la fricci´on entre ambas. Si se ignora la energ´ıa perdida en los cojinetes y a trav´es de las paredes, entonces la p´erdida en energ´ıa potencial de las pesas es igual al trabajo hecho por la rueda de paletas sobre el agua. Si las dos pesas caen una distancia h, la p´erdida de energ´ıa potencial es 2mgh, y esta energ´ıa es la que calienta el agua. Al variar las condiciones del experimento, Joule encontr´o que la p´erdida de energ´ıa mec´anica, 2mgh, es proporcional al aumento de la temperatura del agua, ∆T . Se encontr´o que la constante de proporcionalidad era aproximadamente 4.18 g∗Jo C . 1 cal = 4.186 J

(4.1)

4.5.

´ EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR

25

En la simulaci´ on de la experiencia de Joule, se desprecia el equivalente en agua del calor´ımetro, recipiente del calor´ımetro y otras p´erdidas debidas al rozamiento en las poleas.

Sea M la masa del bloque cuelga y ”h”su desplazamiento ”m”la masa del agua del calor´ımetro. T0 la temperatura inicial del agua y T la temperatura final g = 9.81 sm2 la aceleraci´ on de la gravedad La conversi´on de energ´ıa mec´ anica integramente en calor se expresa mediante la siguiente ecuaci´ on: Q = mCe (T − T0 ) Ya que la energ´ıa potencial gravitacional y el calor tienen las mismas unidades podemos expresar la ecuaci´on anterior de la siguiente manera: M gh = mCe (T − T0 ) Se despeja el calor espec´ıfico del agua que estar´a expresado en

Ce =

(4.2) J kg K

M gh m (T − T0 )

(4.3)

Como el calor espec´ıfico del agua es por definici´on Ce = 1 gcal o C obtenemos la equivalencia entre las unidades de calor y energ´ıa

EJEMPLO 4.1. Considere el aparto de Joule descrito en la Figura 2.3. La masa de cada uno de los dos bloques es 1.50 kg y el tanque aislado est´a lleno con 200 g de agua. ¿Cu´al es el aumento en la temperatura del agua despu´es que los bloques caen una distancia de 3m?

Figura 4.3: Experimento de Joule para determinar el equivalente mec´anico de calor

SEMANA 4. CALORIMETR´IA

26

´ El contenedor est´ SOLUCION a aislado t´ermicamente, por lo que no se transfiere energ´ıa por calor, como son dos pesas la energ´ıa potencial gravitacional (Eg ) se multiplica por 2, por lo tanto nos queda: Q = mCe ∆T 2mgh = mCe ∆T Al despejar la raz´ on de cambio de temperatura nos queda: 2mgh ∆T = magua Ce
2 (1.50 kg) 9.81 sm2 (3 m)   ∆T = (0.200 kg) 4186 kgJo C ∆T =

4.6.

88.29 J = 0.105 o C 837.2 J

Capacidad calor´ıfica C

Es caracter´ıstica de un cuerpo en particular, se define como la cantidad de calor que se debe entregar o sustraer a un cuerpo, tal que su temperatura var´ıe en la unidad

C = Unidades:

4.7.

Q ∆T

(4.4)

cal J oC , oC

Calor espec´ıfico Ce

Es caracter´ıstica de una sustancia homog´enea, se define como la cantidad de calor que se debe entregar o sustraer a cada unidad de masa de una sustancia, tal que, su temperatura var´ıe en la unidad De esta definici´ on tenemos que la energ´ıa t´ermica Q transferida entre una sustancia de masa m y sus alrededores para un cambio de temperatura ∆T es: Q = mce ∆T

(4.5)

EJEMPLO 4.2. La temperatura de una barra de plata se eleva 10 o C cuando absorbe 1.23 kJ de energ´ıa por calor. La masa de la barra es 525 g. A partir de estos datos, determine el calor espec´ıfico de la plata ´ Encontramos su calor espec´ıfico a partir de la definici´on Q = mCe SOLUCION ∆T plata Q m ∆T 1.23 × 103 J = (0.525 kg) (10 o C

Cplata = Cplata

Cplata = 234.285

J kg ·o C

4.8.

´ EQUILIBRIO TERMICO

27 Calor espec´ıfico Sustancia Agua Aire Alcohol et´ılico Aluminio Cobre Hielo Hierro Mercurio

de algunas sustancias cal g∗o C

J kg∗K

1 0.24 0.6 0.22 0.09 0.53 0.12 0.03

4, 186 1, 003 2, 511 920 376 2, 215 502 126

Tabla 4.1: Coeficientes de dilataci´on lineal

4.8.

Equilibrio t´ ermico

Cuando en un recipiente cerrado y aislado t´ermicamente son introducidos dos cuerpos uno caliente y el otro fr´ıo, se establece un flujo de calor entre los cuerpos, de manera que disminuya la temperatura del cuerpo caliente debido a que pierde calor y el otro aumenta su temperatura debido a que gana calor. El flujo de calor entre los cuerpos alcanzan temperaturas iguales, entonces, se dice que han alcanzado el equilibrio t´ermico, defini´endose el equilibrio t´ermico como aquel estado en el cual no existe flujo de calor

4.9.

Teorema fundamental de la calorimetr´ıa

Cuando mezclamos dos o mas cuerpos a diferentes temperaturas, ocurre que el calor que ganan los cuerpos fr´ıos lo pierden los cuerpos calientes. Del principio de conservaci´on de la energ´ıa se cumple que: Qganado = −Qperdido

(4.6)

  EJEMPLO 4.3. Un recipiente contiene 800g de aceite CeAc = 0.5 gcal a 20 o C. ¿A qu´e tempeo · C   ratura debe ingresar una pieza de aluminio CeAl = 0.22 gcal de 500 g de masa para que se logre la ·o C o temperatura final de equilibrio igual a 25 C (despreciar la capacidad del recipiente)? ´ Haciendo el diagrama lineal SOLUCION

Figura 4.4: Diagrama lineal Por conservaci´ on del calor tenemos: Qganado = −Qperdido

SEMANA 4. CALORIMETR´IA

28

mAl CeAl ∆T = mac Ceac ∆T     cal cal (500 g) 0.22 o (25 − T ) = − (800 g) 0.5 o (25 − 20)o C g · C g · C   o (800 g) 0.5 gcal o · C (5 C) o   25 C − T = − (500 g) 0.22 gcal ·o C 25o C − T = −

2000cal 110 cal oC

25o C − T = −18.18 o C ∴ T = 25o C + 18.18o C = 43.18o C

4.10.

Mezclas: casos especiales

1. Dos masas iguales de la misma sustancia. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

T1 + T2 2

(4.7)

2. Dos masas diferentes de la misma sustancia. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

m1 T1 + m2 T2 m1 + m2

(4.8)

3. Tres masas diferentes de la misma sustancia. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

m1 T1 + m2 T2 + m3 T3 m1 + m2 + m3

(4.9)

4. Dos masas diferentes y de sustancias diferentes. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

m1 C1 T1 + m2 C2 T2 m1 C1 + m2 C2

(4.10)

´ DE PROBLEMAS DE CALORIMETR´IA 4.11. ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCION

29

5. Tres masas diferentes y de sustancias diferentes. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

m1 C1 T1 + m2 C2 T2 + m3 C3 T3 m1 C1 + m2 C2 + m3 C3

(4.11)

6. Cuatro masas diferentes y de sustancias diferentes. La temperatura de equilibrio es:

Teq =

m1 C1 T1 + m2 C2 T2 + m3 C3 T3 + m4 C4 T4 m1 C1 + m2 C2 + m3 C3 + m4 C4

(4.12)

C: calor espec´ıfico de la sustancia

EJEMPLO 4.4. En un calor´ımetro de plomo cuya masa es de 200 g se encuentra a una temperatura de 20o C se colocan 50 g de agua a 40o C y 60 g de agua a 80o C. Determinar la temperatura del equilibrio t´ermico (en o C). Dato: Cepb = 0.03 gcal ·o C o ´ Datos: m1 = 200g; T1 = 20o C; Ce = 0.03 cal SOLUCION pb g ·o C ; m2 = 50 g de H2 O; T2 = 40 C; m3 = 60 g de H2 O; = T3 = 80o C

Teq =

m1 Ce1 T1 + m2 Ce2 T2 + m3 Ce3 T3 m1 Ce1 + m2 Ce2 + m3 Ce3

Sustituyendo los datos en la f´ ormula 5 de mezclas especiales       o C) + (50 g) 1 cal o C) + (60 g) 1 cal o (20 (40 (200 g) 0.03 gcal ·o C g ·o C g ·o C (80 C)       Teq = cal cal (200 g) 0.03 gcal + (50 g) 1 + (60 g) 1 o o o · C g· C g· C 6920 ∴ Teq = 59.65o C 116

Teq =

4.11.

Estrategia para la resoluci´ on de problemas de calorimetr´ıa

1. Aseg´ urese de tener suficiente informaci´on para aplicar la conservaci´on de la energ´ıa 2. aplique la conservaci´ on de la energ´ıa: ganancia de calor = −perdida de calor Para cada sustancia en el sistema, un t´ermino de calor (energ´ıa) aparecer´a en el lado izquierdo o en el derecho de esta ecuaci´ on. [Alternativamente, utilice ΣQ = 0] 3. Si no ocurren cambios de fase, cada t´ermino en la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa tendr´ a la forma: Qganancia = mc (Tf − Ti ) Qperdida = mc (Tf − Ti )

SEMANA 4. CALORIMETR´IA

30

4. Realice un bosquejo general de la situaci´on es decir dibuje un diagrama lineal 5. Aseg´ urese de que cada t´ermino aparezca en el lado correcto de la ecuaci´on de energ´ıa (calor ganado o calor perdido) y que cada ∆T sea positivo 6. Note que, cuando el sistema alcanza equilibrio t´ermico, la temperatura final de cada sustancia tendr´ a el mismo valor. S´ olo hay una Tf . 7. Despeje la inc´ ognita de la ecuaci´ on de energ´ıa 8. Nota: Al analizar el problema se concluye que puede aplicarse alguna de las f´ormulas directas de casos especiales omitir los pasos anteriores.

Actividad de clase:

4.12.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Las capacidades calor´ıficas espec´ıficas en gcal ·o C de ciertas sustancias son Aluminio=0.22; Hierro=0.11; Cobre=0.093; Bronce=0.088. Si en un recipiente de uno de estos metales de masa 300 g y a 98o C se vierten 15 g de agua a 12.2o C, se observa que la temperatura final del agua y el recipiente es de 68o C. Diga usted ¿de qu´e metal est´ a hecho el recipiente a) Aluminio b) Hierro c) Cobre d ) Bronce Respuesta: Cobre 2. En un calor´ımetro de plomo cuya masa es de 200 g y que se encuentra a 20o C, se colocan 50 g de agua a 40o C y 60 g de agua a 80o C. Determine la temperatura de equilibrio t´ermico. Cepb = 0.03 gcal ·o C a) 42.8o C b) 48.7o C c) 54.6o C d ) 59.6o C Respuesta: 59.6o C

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de calorimter´ıa:

4.12. ACTIVIDAD DE CLASE

31

Calorimetria: F´ ormula sin cambio de estado https://www.youtube.com/watch?v=V0lWDBAoQJc&t=354s

Simulaci´ on para complementar el tema de calorimetr´ıa: Calorimetr´ıa: Ingresa al siguiente enlace para realizar de la pr´actica virtual https://bit.ly/3rL5e5o

Referencias bibliogr´ aficas: Walter P´erez Terrel. (2007). F´ISICA: P´erez, W.. (2007). CAP´ITULO 13: CALOR. En F´ISICA: Teor´ıa y pr´actica(pp.552-537). Jr. D´ avalos Liss´ on 135, Lima, Lima, Lima: San Marcos E. I. R. L.. Bautista Bautista, M. Salazar, L.. (2011). Unidad 8 Termodin´amica. En HIPERTEXTO F´ısica 1(pp.243-250). Calle 80 No. 9-69 Bogot´ a, Colombia: SANTILLANA S. A. ´ CuzVera, A.. (2005). CALORIMETR´IA. En CALOR Teor´ıa y Problemas(pp.57-63). LIMA-PERU: cano S. A. C..

SEMANA 4. CALORIMETR´IA

32

Tarea:

4.13.

Tarea

Resuelves los problemas de calorimetr´ıa, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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ˆ Las cantidades que debes calcular.

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ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

lla la temperatura de equilibrio cuando se mezclan AyC

1. Se tienen 2 cubos del mismo material y de aristas a y 2a con temperaturas de 9 y 90o C respectivamente. Dos de sus caras se ponen en contacto por un cierto tiempo hasta llegar al equilibrio t´ermico. Si no hay cambio de fase durante el proceso, ¿cu´al es la temperatura de equilibrio?

3. En un calor´ımetro de equivalente en agua 10 g, se encuentran 20 g de agua a 20o C, si se introduce un cuerpo de 40 g a 50o C, la temperatura de equilibrio se logra a 40o C. Determinar el calor espec´ıfico del cuerpo

2. En un recipiente de capacidad calor´ıfica despreciable se realizan sucesivos experimentos con los l´ıquidos A, B y C de masas iguales y cuyas temperaturas iniciales son 15, 24 y 31o C respectivamente. Cuando se mezclan los l´ıquidos A y B la temperatura final de equilibrio es de 20o C pero cuando se mezclan B y C la temperatura final es de 29o C. Ha-

4. Dos esferas del mismo material pero de masas ”m ”4m”son ubicadas en un calor´ımetro impermeable al calor. Si ”4m.esta a 60o C y ”m.a 10o C ¿qu´e energ´ıa interna (en cal) se transfiere de una esfera a la otra al alcanzar el equilibrio t´ermico? se sabe que m = 2g y el calor espec´ıfico del material de las esferas es de 3 gcal ·o C 2

Semana 5

Cambio de fase y calor latente

Objetivo de la semana: Entender que agregar suficiente calor puede fundir un s´olido o vaporizar un l´ıquido, la cantidad de calor dependendera del material. Resolver ejercicios que relaciona el calor necesario para cambiar de fase dependiendo del calor latente del material junto con con la cantidad de material.

Aprendizaje esperado: Identifica las variables f´ısica y aplica la f´ormula de cambio de fase, entiende la diferencia entre calor espec´ıfico y calor latente para resolver problemas, explica el comportamiento de distintas sustancias en los cambios de fase.

Evidencias de aprendizaje: Problemas tipo examen de admisi´ on sobre cambio de fase y calor latente. Infograf´ıa sobre los conceptos de cambio de fase y calor latente.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de una infograf´ıa.

33

34

SEMANA 5. CAMBIO DE FASE Y CALOR LATENTE

Conceptos y ecuaciones:

5.1.

Cambio de fase y calor latente

Los tres estados de la materia en ocasiones tambi´en llamados fases son s´olido, L´ıquido y gas. En los materiales el cambio de temperatura es proporcional a la cantidad de calor que se agrega. Si se agrega suficiente calor en un s´ olido se funde en un l´ıquido, si se agrega suficiente calor a un l´ıquido se vaporiza en un gas, estos son conocidos como cambios de fase o transiciones de fase. Durante un cambio de fase, la temperatura de un objeto permanece constante. El calor que se requiere para fundir un s´olido, dividido entre su masa, se llama calor latente de fusi´ on Lf usi´on . El calor que se requiere para vaporizar un l´ıquido, dividido entre la masa, se llama calor latente de vaporizaci´on Lvaporizaci´on , la vaporizaci´on cambia una sustancia de l´ıquido a gas. La temperatura a la cual el s´olido se funde a un l´ıquido es el punto de fusi´on Tf usi´on . La temperatura a la cual el l´ıquido se vaporiza a un gas es el punto de ebullici´ on Tebullici´on . La relaci´on entre la masa de un objeto a su punto de fusi´on y el calor necesario para cambiar el objeto de un s´olido a un l´ıquido est´a dada por Q = mLf usi´on (paraT = Tf usi´on ) De forma similar, la relaci´ on entre un objeto y su punto de ebullici´on y el calor necesario para cambiar al objeto y su punto de ebullici´ on y el calor necesario para cambiar el objeto de un l´ıquido a gas est´ a dado por Q = mLvaporizaci´on (paraT = Tebullici´on ) Las unidades de medidas de los calores latentes en el SI son (J/Kg), a menudo se usan unidades de calor´ıa por gramo (cal/g). El calor latente de fusi´on de una sustancia dada es diferente al calor latente de vaporizaci´on para la misma sustancia. La siguiente tabla muestra algunos valores de calor latente:

Figura 5.1: Cambios de fase que involucran los tres estados del agua los cuales est´an presentes en esta fotograf´ıa.

5.1. CAMBIO DE FASE Y CALOR LATENTE

35

EJEMPLO 5.1. ¿Cu´ anto calor, Q, se requiere para convertir 0.500kg de hielo (agua congelada) a ◦ una temperatura de −30 C en vapor a 140◦ C? ´ SOLUCIONEl problema tiene distintas situaciones, una elevaci´on en la temperatura (en una misma fase) y cambio de fase. Primero calculamos cu´anto calor se requiere para elevar el hielo de −30◦ C a 0◦ C. El calor espec´ıfico del hielo es de 2.06kJ/(kgK), as´ı que el calor requerido es Q1 = cm∆T = (2.06kJ/(kgK))(0.500kg)(30K) = 30.9kJ Se agrega m´as calor al hielo en este punto hasta que todo se funda y cambie de fase a l´ıquido. El calor latente de fusi´on el hielo es de 334kJ/kg, as´ı que el calor requerido es Q2 = mLf usi´on = (334kJ/kg)(0.500kg) = 167kJ Una vez que todo el hielo se funda en agua, continuamos agregando calor hasta que el agua alcanza el punto de ebullici´ on, a 100◦ C. El calor requerido para este paso es Q3 = cm∆T = (4.19kJ/(kgK))(0.500kg)(100K) = 209.5kJ En este punto se agrega m´ as calor para el cambio de fase. El calor requerido es Q4 = mLvaporizaci´on = (2260kJ/kg)(0.500kg) = 1130kJ Ahora calentamos el vapor y elevamos su temperatura desde los 100◦ C hasta 140◦ C. El calor necesario para este paso es Q5 = cm∆T = (2.01kJ/(kgK))(0.500kg)(40K) = 40.2kJ De esta manera, el calor total requerido es Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 = 39.9kJ + 167kJ + 209.5kJ + 130kJ + 40.2kJ = 1580kJ

EJEMPLO 5.2. Si 10g de vapor a 100◦ C se introducen en una mezcla de 200g de agua y 120g de hielo determine la temperatura final del sistema y la composici´on de la mezcla. ´ SOLUCIONEl hecho de que la cantidad de vapor sea tan peque˜ na, en comparaci´on con el hielo y el agua, nos lleva a preguntarnos si ser´ a suficiente el calor que desprende el vapor para fundir todo el hielo.

Figura 5.2: Algunos materiales con su punto de fusi´on y ebullici´on con su calor latente correspondiente.

36

SEMANA 5. CAMBIO DE FASE Y CALOR LATENTE

Para resolver esta duda, calcularemos el calor necesario para fundir todo el hielo. Lo compararemos con el calor m´aximo que podr´ıa desprender el vapor (tomando el agua condensada a menos de 0◦ C). Despu´es podremos aplicar las leyes de la conservaci´on para calcular la temperatura final y la composici´ on de la ◦ mezcla. Cualquier mezcla de agua y hielo en equilibrio debe tener una temperatura de 0 C. La cantidad de calor requerido para fundir todo el hielo es Q1 = mhielo Lf usi´on = (120g)(80cal/g) = 9600cal El calor m´aximo que esperamos que desprenda el vapor es Q2 = mvapor Lvaporizaci´on + mvapor cagua (100◦ C − 0◦ C) (10)(540) + (10)(1)(100) = 6400cal Puesto que se necesitaban 9600cal para fundir todo el hielo y s´olo 6400cal pueden ser proporcionadas por el vapor, la mezcla final debe consistir en hielo y agua a 0◦ . Para determinar la composici´on final de la mezcla observ´e que ser´ıan necesarias 3200cal adicionales para fundir el hielo restante. Por consiguiente, mhielo Lf usi´on = 3200cal mhielo =

3200cal = 40g 80cal/g

Por lo tanto debe haber 40g de hielo en la mezcla final. La cantidad de agua restante es Aguarestante = aguainicial + hielof undido + vaporcondensado = 200g + 80g + 10g = 290g La composici´on final consiste en una mezcla de 40g de hielo en 290g de agua a 0circ C

Figura 5.3: Gr´ afica de la temperatura contra calor agregado dl ejemplo 5.1.

5.2. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CAMBIO DE FASE Y CALOR LATENTE 37

5.2.

Metodolog´ıa para resolver problemas de cambio de fase y calor latente tem Lea el problema cuidadosamente, luego trace un esquema, marcando en ´ella informaci´ on proporcionada y establezca qu´e es lo que va a calcular.Tenga cuidado de incluir las unidades para todas las cantidades f´ısicas Si resulta una p´erdida o ganancia de calor en un cambio de temperatura, necesitar´a decidir qu´e unidades son las apropiedadas para el calor espec´ıfico y calor latente Si hay cambio de fase, identificar si tomamos calor latente de fusi´on o de vaporizaci´on. Recordar que la temperatura permanece constante durante un cambio de fase. La conservaci´on de la energ´ıa exige que la p´erdida total de calor sea igual a la ganancia total de calor. La condensaci´on o la congelaci´ on del l´ıquido indican p´erdida de calor. Una elevaci´on en la temperatura, fusi´on o vaporizaci´on ocurre cuando hay una ganancia de calor. Podemos sumar los valor absolutos de las p´erdidas a de, lado izquierdo y establecer la igualdad con las ganancias totales del lado derecho. Como ejemplo, considere la masa mvapor del vapor a 100◦ C mezclado con una masa mhielo de hielo a 0◦ C. El resultado es agua a la temperatura de equilibrio te mvapor Lvaporizaci´on + mvapor cagua (100 − te ) = mhielo Lf usi´on + mhielo cagua (te − 0) Observ´e que la diferencia de temperatura se indican como alta menos baja en cada caso para obtener los valores absolutos ganados o perdidos.

3. 2. 6. 1. 5. 4. Actividad de clase:

5.3.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1.¿Qu´e cantidad de calor se necesita para convertir 2kg de hielo a −25◦ C en vapor a 100◦ C? Respuesta: 6.13 ×106 J 2. Una persona emiti´ o 180kcal de calor en la evaporaci´on del agua en su piel en una sesi´on de ejercicios. ¿Cu´anta agua perdi´ o esta persona, suponiendo que el calor emitido s´olo se us´o para evaporar el agua? Respuesta: 330g

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema cambio de fase y calor latente: Cambio de fase y calor latente:

38

SEMANA 5. CAMBIO DE FASE Y CALOR LATENTE https://youtu.be/-36uo5HjrEw

Simulaci´ on para complementar el tema cambio de fase y calor latente: Cambio de fase y calor latente: https://phet.colorado.edu/es/simulations/states-of-matter-basics

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Cambio de fase. En F´ısica conceptos y aplicaciones (358-363). M´exico: Mc Graw Hill. Bauer, W.. (2011). Calor Latente y transiciones de fase. F´ısica para ciencias e ingenier´ıas y ciencias (592,596). M´exico: Mc Graw Hill.

5.4. TAREA

39

Tarea:

5.4.

Tarea

Resuelves los problemas de cambio de fase y calor latente, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas.

sobre un cubo de hielo de 60g con una temperatura de −5◦ C. Si todo el hielo se funde , ¿cu´ al es la ◦ 1. ¿Cu´antos gramos de vapor a 100 C es nece- temperatura final del agua? Si no todo el hielo se sario a˜ nadir a 30g de hielo a 0◦ C para obtener una funde, ¿cu´anto hielo queda cuando la mezcla aguatemperatura de equilibrio de 40◦ C?R=6g hielo alcanza el equilibrio? 4. Un calentador el´ectrico que produce 900W 2. Un bloque de aluminio de 1.3kg a 21◦ C se ha de potencia se utiliza para vaporizar agua. ¿Cu´ anto de fundir y darle nueva forma. ¿Cu´ anto calor debe ◦ agua a 100 C se puede transformar el calentador fluir hacia el bloque con objeto de fundirlo? en vapor a 100◦ C en 3min?(Para el agua a 100◦ C, 3. Suponga que 400g de agua a 30◦ C se vierten Lv = 2.26 × 106 J/kg) R=71.7g

Semana 6

Mecanismos de transferencia de calor

Objetivo de la semana: Demuestra la comprensi´ on acerca de la conductividad t´ermica, convecci´on y radiaci´on, para la resoluci´on de problemas.

Aprendizaje esperado: Relaciona el calor y sus efectos a trav´es de la soluci´on de situaciones experimentales para la comprensi´on de los fen´ omenos asociados con la transformaci´on de energ´ıa.

Evidencias de aprendizaje: Problemas de mecanismos de transferencia de calor.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

40

6.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

41

Conceptos y ecuaciones:

6.1.

Mecanismos de transferencia de calor

Nos hemos referido al calor como una forma de energ´ıa en tr´ansito. Siempre que hay una diferencia de temperatura entre dos cuerpos o entre dos partes de un mismo cuerpo se dice que el calor fluye en la direcci´on de mayor a menor temperatura. Hay tres m´etodos principales por los que ocurre tal intercambio de calor: conducci´ on, convecci´ on y radiaci´ on.

Figura 6.1: Dilataci´on lineal.

6.2.

Conducci´ on

La conducci´ on es el proceso por el que se transfiere energ´ıa t´ermica mediante colisiones de mol´eculas adyacentes a lo largo de un medio material. El medio en s´ı no se mueve. La ley fundamental de la conducci´ on t´ermica es una generalizaci´on de resultados experimentales relacionados con el flujo de calor a trav´es de un material en forma de placa. Consideremos la placa de espesor L y ´area A Una cara se mantiene a una temperatura t y la otra a una temperatura t’. Se mide la cantidad de calor Q que fluye en direcci´ on perpendicular a la cara durante un tiempo τ . Si se repite el experimento para diversos materiales de diferentes espesores y ´areas de la cara, estaremos en condiciones de hacer algunas observaciones generales relacionadas con la conducci´on de calor:

1. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo es directamente proporcional a la diferencia de temperatura (∆t = t′ − t) entre las dos caras. 2. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo es directamente proporcional al ´area A de la placa.

42

SEMANA 6. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

3. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo es inversamente proporcional al espesor L de la placa.

Figura 6.2: Medici´on de la conductividad t´ermica Estos resultados se pueden expresar en forma de ecuaci´on introduciendo la constante de proporcionalidad k. As´ı pues, escribimos:

H=

Q ∆t = kA τ L

(6.1)

donde H representa la raz´ on con la que se transfiere el calor, A el ´area transversal y L la longitud.La constante de proporcionalidad k es una propiedad de cada material que se conoce como conductividad t´ermica:

k=

QL τ A∆t

(6.2)

En el SI, las unidades corresponden a J/(sm◦ C) o bien W/mK. Las conductividades t´ermicas de diversos materiales se muestran en la tabla siguiente:

6.3.

Convecci´ on

La convecci´ on es el proceso por el que se transfiere calor por medio del movimiento real de la masa de un fluido. Una corriente de l´ıquido o de gas que absorbe energ´ıa de un lugar y lo lleva a otro, donde lo libera a una porci´on m´ as fr´ıa del fluido recibe el nombre de comente de convecci´on. Si el movimiento de un fluido es causado por una diferencia de densidad originada por un cambio de temperatura, la corriente producida se conoce como convecci´on natural.

´ 6.4. RADIACION

43 Conductividad t´ermica W kcal J Sustancia ◦ m·K m·s· C m · s ·◦ C Plata 406 10 × 10−2 420 −2 Cobre 385 10 × 9.2 380 Aluminio 205 5 × 10−2 200 −2 Acero 50.2 1.1 × 10 40 Vidrio 0.8 2 × 10−4 0.84 Ladrillo 0.8 2 × 10−4 0.84 −4 Concreto 0.8 2 × 10 0.84 Agua 0.6 1.4 × 10−4 0.56 Corcho 0.04 0.12 × 10−4 0.048 Aire 0.024 5.5 × 10−6 0.023 Tabla 6.1: Conductividad t´ermica de ciertos materiales

Figura 6.3: Ejemplo de convecci´on natural Cuando un fluido es obligado a moverse por la acci´on de una bomba o unas aspas, la corriente producida se conoce como convecci´ on forzada. A diferencia de la conductividad t´ermica, la convecci´on no es una propiedad del s´olido o del fluido, sino que depende de muchos par´ ametros del sistema. Se sabe que var´ıa seg´ un la geometr´ıa del s´olido y el acabado de su superficie, la velocidad y la densidad del fluido y la conductividad t´ermica. Las diferencias de presi´on influyen tambi´en en la transferencia de calor por convecci´on.

6.4.

Radiaci´ on

La radiaci´on es el proceso por el que el calor se transfiere mediante ondas electromagn´eticas. Las mediciones experimentales han demostrado que la raz´on a la que es radiada la energ´ıa t´ermica desde una superficie var´ıa directamente a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo radiante. Un objeto que absorbe toda la radiaci´ on que incide sobre su superficie se llama absorbedor ideal. Un objeto de este tipo ser´ a tambi´en un radiador ideal. No existe un absorbedor realmente ideal; pero, en general, cuanto m´ as negra sea una superficie, tanto mejor absorber´a la energ´ıa t´ermica.

44

SEMANA 6. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

A veces un absorbedor ideal o un radiador ideal se conoce como cuerpo negro. Aunque tales cuerpos no existen en realidad, el concepto es u ´til como un patr´on para comparar la emisividad de diversas superficies. La emisividad e es una medida de la capacidad de un cuerpo para absorber o emitir radiaci´on t´ermica, que tiene un valor entre cero y uno. La raz´on de radiaci´ on R de un cuerpo se define formalmente como la energ´ıa radiante emitida por unidad de ´area por unidad de tiempo; dicho de otro modo, la potencia por unidad de ´area. En forma simb´olica esto se expresa:

R=

E P = τA A

(6.3)

Relacionando la ecuaci´ on con la Ley de Stefan-Boitzmann, se puede escribir como:

R=

P = eσT 4 A

(6.4)

La constante de proporcionalidad cr es una constante universal completamente independiente de la naturaleza de la radiaci´ on. Si la potencia radiante se expresa en watts y la superficie en metros cuadrados, a tiene el valor de 5.67 × 10−8 W/m2 K 4 . la Ley de Prevost del intercambio de calor: Un cuerpo que se halla a la misma temperatura que sus alrededores irradia y absorbe calor con la misma raz´on:

R=

P = eσ(T14 − T24 ) A

(6.5)

EJEMPLO 6.1. Una hielera de poliestireno tiene un ´area de pared total (incluida la tapa) de 0.80 m2 y un espesor de pared de 2.0 cm; est´ a llena con hielo, agua y latas de Omni-Cola a 0°C. Calcule la tasa de flujo de calor hacia el interior de la caja, si la temperatura de la pared exterior es de 30°C. ¿Cu´ anto hielo se derrite en 3 horas? ´ Suponemos que el flujo total de calor es aproximadamente el que habr´ıa a trav´es de SOLUCION una placa plana de 0.80m2 de ´ area y 2.0 cm = 0.020 m de espesor. Obtenemos k de la tabla mostrada anteriormente: H = kA

∆ L T

= (0.027W/mK)(0.08m2 )(

30◦ C − 0◦ C ) 0.020m

= 32.4W = 32.4J/s El flujo total de calor es Q = Ht, donde t = 3h = 10, 800s. El calor de fusi´on del hielo es Lf = 3.34x105 J/Kg, as´ı que la cantidad de hielo fundida por ese calor es: m=

(34.5J/s)(10, 800s Q = Lf 3.34 × 105 J/Kg = 1Kg

´ DE CALOR 6.5. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CONDUCCION

45

EJEMPLO 6.2 Una placa de acero delgada cuadrada, de 10 cm por lado, se calienta en una forja de herrero a una temperatura de 800°C. Si su emisividad es de 0.60, calcule la tasa total de emisi´ on de energ´ıa por radiaci´ on. ´ El ´ SOLUCION area superficial total es 2(0.10m)2 = 0.020m2 y T = 800°C = 1073 K, entonces: H = Ae4 = (0.020m2 )(0.60)(5.67 × 10−8 W/m2 K 4 )(1073K)4 = 900W

6.5.

Metodolog´ıa para resolver problemas de conducci´ on de calor

1. Identifica el mecanismo de calor al que se refiere el problema. 2. Plantear la soluci´ on del problema siguiendo estos pasos: - identifica la direcci´ on de flujo de calor en el problema (de caliente a fr´ıo). - Liste las cantidades conocidas e identifique la inc´ognita 3. Ejecuta la soluci´ on como sigue: - Si fluye calor a trav´es de un solo objeto, despeje la inc´ognita de la ecuaci´on requerida. - Si el calor fluye por dos materiales distintos en sucesi´on (en serie), la temperatura T en la interfase de los materiales es intermedia entre TH y TC:(TH - T) y (T - TC). En estado estable, debe pasar el mismo calor a trav´es de los dos materiales, por lo que la corriente de calor H debe ser la misma en ambos. - Si el flujo de calor sigue dos o m´as trayectorias paralelas, la corriente de calor total H es la suma de las cantidades H1, H2, . . . para las trayectorias individuales. - Utilice unidades consistentes. Si k se expresa en W/m2 K, por ejemplo, use distancias en metros, calor en joules y T en kelvins.

Actividad de clase:

6.6.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. La superficie del Sol tiene una temperatura aproximada de 5 800 K. El radio del Sol es de 6.96x108 m. Calcule la energ´ıa total radiada por el Sol cada segundo. Suponga que la emisividad del Sol es 0.986. Respuesta: 3.77x1026 W 2. En una casa, un ventanal tiene 0.620 cm de espesor y dimensiones de 1.00 m 3 2.00 m. Un cierto d´ıa la temperatura de la superficie interior del vidrio es 25.0°C y la temperatura de la superficie exterior es 0°C. (a) ¿A qu´e rapidez se transfiere energ´ıa por calor a trav´es del vidrio? (b) ¿Cu´anta energ´ıa se transfiere por la ventana en un d´ıa, suponiendo constantes las temperaturas en las superficies? Respuesta: a) 6.43 kW, b)5.57x108 J

46

SEMANA 6. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: el calor y sus mecanismos de transferencia: https://www.youtube.com/watch?v=hq5M-lTauFI

Simulaci´ on para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Transmisi´on de calor por convecci´ on: https://www.educaplus.org/game/transmision-del-calor-por-conveccion

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Transferencia de calor. En F´ısica conceptos y aplicaciones (370, 371, 372, 375, 376, 377). M´exico: Mc Graw Hill. Sears y Zemansky (2013). Temperatura y calor. F´ısica universitaria volumen 1(573,575). M´exico: Pearson

6.7. TAREA

47

Tarea:

6.7.

Tarea

Resuelves los problemas de transferencia de calor, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas. 1. Calcule la tasa de radiaci´ on de energ´ıa por unidad de ´area de un cuerpo negro a: a) 273 K y b) 2730 K.

estas superficies. Calcule los radios de las siguientes estrellas (sup´ongalas esf´ericas): a) Rigel, la estrella azul brillante de la constelaci´on de Ori´on, que radia energ´ıa a una tasa de 2.7 × 1032 W y tiene una temperatura superficial de 11,000 K; b) Procyon B (visible solo con un telescopio), que radia energ´ıa a una tasa de 2.1 × 1023 W y tiene temperatura superficial de 10,000 K.

2. Una ventana tiene dimensiones de 1.40 m × 2.50 m y est´a hecha de vidrio de 5.20 mm de espesor. En un d´ıa de invierno, la temperatura exterior es de 4. Un extremo de una varilla met´alica aislada se -20.0°C, mientras que la confortable temperatura en el interior es de 19.5°C. ¿A qu´e tasa se ha perdido mantiene a 100.0°C, y el otro se mantiene a 0.00°C con una mezcla de hielo-agua. La varilla tiene 60.0 calor a trav´es de la ventana por conducci´ on? cm de longitud y ´area de secci´on transversal de 3. La superficie caliente luminosa de las estrellas 1.25cm2 . El calor conducido por la varilla funde 8.50 emite energ´ıa en forma de radiaci´ on electromagn´eti- g de hielo en 10.0 min. Calcule la conductividad ca. Es una buena aproximaci´ on suponer e = 1 para t´ermica k del metal.

Semana 7

Leyes de los gases: Boyle, Charles, Gay-Lussac y gas ideal

Objetivo de la semana: Comprende el comportamiento de las variables de estado (P, V, T), relacionando las ecuaciones de las leyes de los gases con sus gr´ aficas de P-V, para explicar como se relacionan las variables de estado de un gas cuando alguna de las variables se mantiene constante.

Aprendizaje esperado: Explica los procesos termodin´ amicos y sus variables a trav´es de la aplicaci´on de las leyes de Boyle, Gay-Lussac, Charles y gas ideal en la comprensi´on de fen´omenos de transformaci´on de energ´ıa.

Evidencia de aprendizaje: Cuadro sin´ optico sobre las leyes de los gases.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de un cuadro sin´optico.

48

7.1. LEY DE BOYLE

49

Conceptos y ecuaciones:

7.1.

Ley de Boyle

Siempre que la masa y la temperatura de una muestra de gas se mantengan constantes, el volumen de dicho gas es inversamente proporcional a su presi´on absoluta. V ∝

1 P

Por ejemplo, si la presi´ on sobre un gas se duplica, el volumen se reduce a la mitad de su volumen original, por lo que, otra manera de escribir la ley de Boyle, tomando en cuenta esa relaci´on es: P · V = constante Esto es, a temperatura constante, si se permite la variaci´on de la presi´on o del volumen de una cantidad fija de gas, la otra variable tambi´en cambia de manera que el producto P V permanece constante. Consideremos, por ejemplo, el caso de un cilindro cerrado provisto de un ´embolo m´ovil, como se muestra en la Figura 7.1. En la Figura 7.1a, el estado inicial del gas se describe por medio de su presi´ on P1 y de su volumen V1 . Si el ´embolo se presiona hacia abajo hasta que llegue a la nueva posici´ on que aparece en la Figura 7.1b, su presi´ on se incrementar´a a P2 mientras su volumen disminuye a V2 .

Figura 7.1: Cuando se comprime un gas a temperatura constante, el producto de su presi´on por su volumen siempre es constante; o sea, P1 · V1 = P2 · V2 Este proceso se muestra gr´ aficamente en la Figura 7.2. Si el proceso ocurre sin que cambie la temperatura, la ley de Boyle se puede escribir como:

P1 · V1 = P2 · V2

(m y T constantes)

(7.1)

Dicho de otro modo, el producto de la presi´on por el volumen en el estado inicial (que en algunos libros se escribe como 1 o como i) es igual al producto de la presi´on por el volumen en el estado final (que en algunos libros se escribe como 2 o como f ). La presi´on P debe ser la presi´on absoluta y no la presi´ on manom´etrica.

50

SEMANA 7. LEYES DE LOS GASES: BOYLE, CHARLES, GAY-LUSSAC Y GAS IDEAL

Figura 7.2: Un diagrama P − V muestra que la presi´on de un gas ideal var´ıa inversamente respecto a su volumen

Figura 7.3: Representaci´ on gr´ afica de la ley de Boyle: a) Variaci´on de la presi´on a temperatura constante. b) Presi´on contra volumen de una cantidad fija de gas a una temperatura constante, que muestra la relaci´on inversa establecida por la ley de Boyle: conforme la presi´on disminuye, el volumen aumenta. c) Variaci´on del volumen a temperatura constante.

EJEMPLO 2.1. Un gas a temperatura y presi´on ambiente est´a confi nado en un cilindro mediante un pist´on. Despu´es, el pist´ on se empuja de modo que el volumen se reduce a una octava parte de su valor inicial. Luego de que la temperatura del gas regresa a la temperatura ambiente, ¿cu´al es la presi´ on manom´etrica del gas en kPa? La presi´ on atmosf´erica local es de 740 mm de mercurio. ´ SOLUCION La presi´on inicial, es: P1 = 740 mmHg Expresamos el volumen final en t´erminos del volumen inicial: V2 =

V1 8

Al sustituir los datos se obtiene:   V1 = (740 mmHg)(8) = 5, 920 mmHg P2 = P1 V2 La presi´on manom´etrica es la diferencia entre la presi´on efectiva y la atmosf´erica. Por tanto: Pmanom´etrica = 5, 920 mmHg − 740 mmHg = 5, 180 mmHg Ya que 760 mmHg = 101 kPa, la presi´on manom´etrica en kPa es:

7.2. LEY DE CHARLES

51

 (5, 180 mmHg)

7.2.

101 kP a 760 mmHg

 = 690 690 kP a

Ley de Charles

Mientras la masa y la presi´ on de un gas se mantengan constantes, el volumen de dicho gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. V ∝T Para un sistema entre dos estados, inicial y final el enunciado matem´atico de la ley de Charles se escribe como: V1 V2 = T1 T2

(m y P constantes)

(7.2)

Figura 7.4: Variaci´ on del volumen como funci´on de la temperatura. Cuando el volumen se extrapola a cero, la temperatura de un gas es la del cero absoluto (0 K).

Figura 7.5: Representaci´ on gr´ afica de la ley de Charles: a) Variaci´on de la temperatura a presi´on constante. b) Variaci´ on del volumen a presi´ on constante. c) Volumen contra temperatura de una cantidad fija de gas a una presi´ on constante, que muestra la relaci´on inversa establecida por la ley de Charles: conforme la temperatura aumenta, el volumen se incrementa.

EJEMPLO 2.2. Un cilindro sin fricci´on se llena con 2 L de un gas ideal a 23 °C. Un extremo del cilindro est´a fijo a un pist´ on movible y el gas puede expandirse a una presi´on constante hasta que su volumen llega a 2.5 L. ¿Cu´ al es la nueva temperatura del gas?

52

SEMANA 7. LEYES DE LOS GASES: BOYLE, CHARLES, GAY-LUSSAC Y GAS IDEAL

´ La masa y la presi´ SOLUCION on del gas permanecen constantes, as´ı que el cambio en la temperatura debe ser proporcional al cambio en el volumen, y la ley de Charles se puede aplicar para determinar la nueva temperatura. Recuerde usar las temperaturas absolutas. Resolvemos la ley de Charles para T2 : T2 =

7.3.

(2.5 L)(296 K) V2 · T1 = = 370 K V1 2L

Ley de Gay-Lussac

Si el volumen de una muestra de gas permanece constante, la presi´on absoluta de dicho gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. P ∝T Esto significa que si se duplica la presi´ on aplicada al gas, su temperatura absoluta se duplicar´a tambi´en. La ley de Gay-Lussac en forma de ecuaci´ on puede escribirse como: P1 P2 = T1 T2

(m y V constantes)

(7.3)

Figura 7.6: Representaci´ on gr´ afica de la ley de Gay-Lussac: a) Presi´on contra temperatura de una cantidad fija de gas a un volumen constante, que muestra la relaci´on inversa establecida por la ley de GayLussac: conforme la temperatura aumenta, la presi´on se incrementa. b) Variaci´on de la presi´on a volumen constante. c) Variaci´ on de la temperatura a volumen constante.

EJEMPLO 2.3. El neum´ atico de un autom´ovil se infla a una presi´on manom´etrica de 207 kPa (30 lb/in2) en un momento en que la presi´ on de los alrededores es de 1 atm (101.3 kPa) y la temperatura es de 25°C. Despu´es de manejarlo, la temperatura del aire del neum´atico aumenta a 40°C. Suponga que el volumen de gas cambia s´ olo ligeramente, ¿cu´al es la nueva presi´on manom´etrica en el neum´atico? ´ Como el volumen y la masa son constantes, la presi´on debe aumentar en la misma SOLUCION proporci´on que la temperatura; aplicaremos la ley de Gay Lussac para determinar la presi´on absoluta final. La presi´on manom´etrica, por tanto, se obtiene al restar la presi´on del ambiente (101.3 kPa). Primero determinaremos las temperaturas absolutas y la presi´on absoluta. P1 = 207 kP a + 101.3 kP a = 308 kP a T1 = 25 + 273.15 = 298.15 K

7.4. LEY GENERAL DE LOS GASES

53

T2 = 40 + 273.15 = 313.15 K La nueva presi´ on se calcula a partir de la ley de Gay Lussac: P2 =

7.4.

(308.15 kP a)(313.15 K) P1 · T2 = = 323.4955 KP a T1 298.15 K

Ley general de los gases

La ley de Boyle, se aplica a una muestra de gas cuya temperatura no cambia. La ley de Charles, se aplica a una muestra de gas a presi´ on constante. La ley de Gay-Lussac, corresponde a una muestra de gas a volumen constante. Por desgracia, generalmente ninguna de estas condiciones se satisface. Lo m´ as com´ un es que un sistema sufra cambios de volumen, de temperatura y de presi´on como resultado de un proceso t´ermico. Una relaci´ on m´ as general que combina las tres leyes es la siguiente: P1 · V1 P2 · V 2 = T1 T2

m constante

(7.4)

donde (P1 , V1 , T1 ) pueden considerarse como las coordenadas del estado inicial y (P2 , V2 , T2 ) las coordenadas del estado final.

EJEMPLO 2.4. Una masa de ox´ıgeno ocupa 0.02 m³ a presi´on atmosf´erica, 101 kPa, y 5 ºC. Determine su volumen si su presi´ on se incrementa hasta 108 kPa mientras su temperatura cambia a 30 ºC. ´ Resolvemos la ley general de los gases para V2 . SOLUCION  V2 = V1

P1 P2



T2 T1



Determinamos las temperaturas absolutas. T1 = 5 + 273.15 = 278.15 K

T2 = 30 + 273.15 = 303.15 K Sustituyendo los datos: 3

V2 = (0.02 m )



101 kP a 108 kP a



303.15 K 278.15 K



= 0.02038 m3

54

SEMANA 7. LEYES DE LOS GASES: BOYLE, CHARLES, GAY-LUSSAC Y GAS IDEAL

7.5.

Ley del gas ideal

Las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac para los gases se obtuvieron mediante una t´ecnica cient´ıfica muy u ´til: mantener una o m´ as variables constantes para ver con claridad los efectos de una de ellas como resultado del cambio en otra variable. Estas leyes ahora se pueden combinar en una sola relaci´ on m´ as general entre la presi´ on absoluta, el volumen y la temperatura absoluta de una cantidad fija de gas. Esta relaci´on indica c´ omo variar´ a cualquiera de las cantidades P, V o T cuando las otras dos cambien. Esta relaci´on se reduce a la ley de Boyle, de Charles o de Gay- ussac cuando se mantiene constante T, P o V, respectivamente. Finalmente, se debe incorporar el efecto de la cantidad de gas presente. Cualquier persona que haya inflado un globo sabe que cuanto m´as aire se introduzca en el globo, m´as grande ser´ a su tama˜ no. De hecho, experimentos cuidadosos demuestran que, a temperatura y presi´on constantes, el volumen V de un gas encerrado aumenta en proporci´on directa en relaci´on con la masa m del gas presente. De esta forma, escribimos: P ·V ∝m·T Esta proporci´ on se convierte en una ecuaci´on al insertar una constante de proporcionalidad. Los experimentos demuestran que esta constante tiene un valor diferente para distintos gases. Sin embargo, la constante de proporcionalidad es la misma para todos los gases si, en vez de la masa m, se usa el n´ umero de moles. La masa at´omica de un elemento es la masa de un ´atomo de dicho elemento comparada con la masa de un ´atomo de carbono tomado como 12 unidades de masa at´omica. La masa molecular M es la suma de las masas at´omicas de todos los ´atomos que componen la mol´ecula. Por ejemplo, una mol´ecula de ox´ıgeno (O2 ) contiene dos ´atomos de ox´ıgeno. Su masa molecular es de 16 u x 2 = 32 u. Una mol´ecula de di´ oxido de carbono (CO2 ) contiene un ´atomo de carbono y dos ´ atomos de ox´ıgeno. Por lo tanto, la masa molecular del CO2 , es de 44 u. Un mol se define como la cantidad de sustancia que contiene tantos ´atomos o mol´eculas como hay precisamente en 12 gramos de carbono 12 (cuya masa at´omica es exactamente 12 u). Tomando como base esta definici´ on, 1 mol de carbono debe ser igual a 12 g. Puesto que la masa molecular de cualquier sustancia se basa en el carbono 12 como patr´on, entonces: Una mol es la masa en gramos num´ericamente igual a la masa molecular de una sustancia. Por ejemplo, 1 mol de hidr´ ogeno (H2 ) es 32 g, 1 mol de ox´ıgeno (O2 ) es 32 g, y 1 mol de di´ oxido de carbono (CO2 ) es 44 g. Dicho en otras palabras, 2 g de H2 , 32 g de O2 , y 44 g de CO2 ; tienen el mismo n´ umero de mol´eculas. A este n´ umero N se le conoce como n´ umero de Avogadro. La raz´on del n´ umero de mol´eculas N al n´ umero de moles n debe ser igual al n´ umero de Avogadro NA . Simb´olicamente,

NA = El valor aceptado para NA es:

N n

moleculas por mol

(7.5)

7.5. LEY DEL GAS IDEAL

55

NA = 6.023 × 1023

moleculas por mol

N umerodeavogadro

(7.6)

La forma m´ as sencilla de determinar el n´ umero de moles n contenidas en un gas es dividiendo su masa m en gramos entre su masa molecular M por mol. Por tanto: n=

m M

numero de moles

(7.7)

EJEMPLO 2.5. (a) ¿Cu´ antas moles de gas hay en 200 g de CO2 ? (b) ¿Cu´antas mol´eculas hay? ´ (a) Primero debemos determinar la masa molecular del CO2 , que se calcul´o como 44 SOLUCION g/mol anteriormente en esta secci´ on. Al dividir la masa del gas entre su masa molecular se obtiene el n´ umero de moles presentes. Por tanto, el n´ umero de mol´eculas se calcula a partir del n´ umero de Avogadro. n=

m 200 g = = 4.55 mol M 44 g/mol

´ (b) Como el n´ SOLUCION umero de Avogadro NA es el n´ umero de mol´eculas por mol, calculamos que el n´ umero de mol´eculas de gas en 4.55 moles de gas es N = n · NA = (4.55 mol)(6.023 × 1023 ) = 2.74 × 1024 moleculas Ahora vamos a considerar el efecto de un cambio de masa en el comportamiento de los gases. Si la temperatura y el volumen de un gas confinado se mantienen constantes, al a˜ nadir m´as gas habr´ a un incremento proporcional en la presi´ on. En forma similar, si la presi´on y la temperatura se mantienen fijos, al aumentar la masa habr´ a un aumento proporcional en el volumen del recipiente. Podemos combinar estas observaciones experimentales con la Ecuaci´on 7.4 para obtener la relaci´on general: P1 · V 1 P2 · V 2 = m1 · T1 m2 · T2

(7.8)

Si se sustituye el n´ umero de moles n para la masa m en la Ecuaci´on 7.8, podemos escribir: P1 · V1 P2 · V 2 = n1 · T1 n2 · T2

(7.9)

Esta ecuaci´ on representa la forma m´ as u ´til de una ley general de los gases cuando se conocen todos los par´ametros de los estados inicial y final, excepto una sola cantidad. Una expresi´on alternativa de la Ecuaci´on 7.9 es: P ·V =R n·T

(7.10)

donde R se conoce como constante universal de los gases. R = 8.314J/(mol · K) = 0.0821L · atm/(mol · K) = 1.99cal/(mol · K)

(7.11)

56

SEMANA 7. LEYES DE LOS GASES: BOYLE, CHARLES, GAY-LUSSAC Y GAS IDEAL

La Ecuaci´on 7.10 se conoce como ley de los gases ideales, y generalmente se escribe en la siguiente forma: P ·V =n·R·T

(7.12)

Otra forma u ´til de la ley de los gases ideales se basa en el hecho de que n = m/M , por lo que:

P ·V =

m M

R·T

(7.13)

EJEMPLO 2.6. Determine el volumen de 1 mol de cualquier gas ideal en condiciones est´ andares de temperatura (273 K) y de presi´ on (101.3 kPa). ´ Recuerde que 1 mol de cualquier gas contiene el mismo n´ SOLUCION umero de mol´eculas, as´ı que mientras se trata al gas como un gas ideal, se puede usar la ecuaci´on (19.11) para calcular su volumen. Como 1 mol est´ a a una presi´ on de 1 atm, usaremos 0.0821 L ˆ atm/mol ˆ K para R. Al resolver para V: V =

7.6.

(1 mol)(0.0821 l · atm/(mol · K))(273.15 K) nRT = = 22.4256 L o 0.0224 m3 P 1 atm

Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´ on superficial y volum´ etrica

1. Lee el problema detalladamente y dibuja una representaci´on gr´afica del comportamiento de las variables del sistema, ya sea P, T, V. 2. A partir del gr´ afico de las variables, identifica la variable que permanezca constante para identificar si se trata de un problema de la ley de Boyle, Charles, Gay-Lussac o de la ley general de los gases. 3. En caso de que ninguna variable se mantenga constante deber´as resolver el problema bajo la ley general de los gases. 4. En caso de que ninguna variable se mantenga constante y presente la cantidad del gas utilizando mol, deber´ as resolver el problema bajo la ley del gas ideal. 5. No olvides utilizar valores absolutos de temperatura y presi´on. 6. Utiliza sub´ındices i o 1 para distinguir los valores iniciales y f o 2 para distinguir los valores finales del sistema de P, T y V.

Actividad de clase:

7.7. ACTIVIDAD DE CLASE

7.7.

57

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Si 3.8 m³ de un gas inicialmente a PTE (valores de presi´on y temperatura est´andar) se someten a una presi´on de 3.2 atm, la temperatura del gas se eleva a 38 °C. ¿Cu´al es el volumen? Respuesta: 1.35 m³. 2. Si 14 moles de gas helio se encuentran a 10 °C y una presi´on manom´etrica de 0.35 atm, calcula: a) El volumen del gas helio en estas condiciones. b) La temperatura si el gas se comprime precisamente a la mitad del volumen a una presi´ on manom´etrica de 1 atm. Respuesta: a) 0.241 m³ b) -63 °C.

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de las leyes de los gases: Leyes de los gases: https://www.youtube.com/watch?v=a4iiyGTMl2Q

Simulaci´ on para complementar el tema de las leyes de los gases: Ideal gas law: https://www.compadre.org/Physlets/thermodynamics/ex20_3.cfm

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Propiedades t´ermicas de la materia. En F´ısica conceptos y aplicaciones (384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391). M´exico: Mc Graw Hill. Giancoli, D.. (2008). Fluidos. En F´ısica para ciencias e ingenier´ıas (464, 465). M´exico: Pearson educaci´on.

58

SEMANA 7. LEYES DE LOS GASES: BOYLE, CHARLES, GAY-LUSSAC Y GAS IDEAL

Tarea:

7.8.

Tarea

Realiza un cuadro sin´ optico sobre conceptos b´asicos de las leyes de los gases abordando el comportamiento de las variables, ecuaciones, graficas y un ejemplo en tu vida cotidiana de las leyes de los gases, tomando en cuenta la lista de cotejo de evaluaci´on de un cuadro sin´optico. La tarea se entregar´ a en la fecha y hora establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´ on de un cuadro sin´ optico, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Recuperaci´ on y Aplicaci´ on

Alcanzado

No alcanzado

Marco te´ orico

Emplea las ideas principales para abordar la tem´ atica del cuadro sin´ optico (conceptos, leyes, gr´ aficas y ecuaciones).

2.5 ( )

0()

Figuras, gr´ aficas y dibujos

Ilustra con diagramas, gr´ aficas y dibujos la informaci´ on presentada.

2()

0()

Ejemplo de la tem´ atica en tu vida cotidiana

Relata un breve ejemplo de una situaci´ on de la vida cotidiana relacionada con la tem´ atica.

2()

0()

Estructura del cuadro sin´ optico

Construye y utiliza un dise˜ no jer´ arquico separando las ideas principales y secundarias de la tematica.

2.5 ( )

0()

Referencias

Cita y utiliza en formato APA las fuentes de consulta de acuerdo al tema abordado en la infograf´ıa.

1()

0()

Semana 8

Aplicaci´ on: Leyes de los gases y la ecuaci´ on del gas ideal

Objetivo de la semana: Soluciona problemas de gases ideales, por medio de las leyes de Charles, Boyle, Lussac y la ley general de los gases, para la aplicaci´ on del conocimiento en su vida cotidiana

Aprendizaje esperado: Explica los procesos termodin´ amicos y sus variables a trav´es de la aplicaci´on de las leyes de Boyle, Gay Lussac, Charles y Gas ideal en la comprensi´on de fen´omenos de transformaci´on de energ´ıa

Evidencias de aprendizaje: Resoluci´on de problemas de las leyes de los gases

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

59

60

´ LEYES DE LOS GASES Y LA ECUACION ´ DEL GAS IDEAL SEMANA 8. APLICACION:

Conceptos y ecuaciones:

8.1.

Gas ideal

Un gas ideal es un gas hipot´etico que posibilita hacer consideraciones pr´acticas que facilitan algunos c´alculos matem´ aticos. Esta compuesto de peque˜ nas part´ıculas en movimiento que no interact´ uan entre s´ı y obedecen la ley de los gases ideales. A presiones bajas o moderadas y a temperaturas no muy bajas, los siguientes gases comunes se pueden considerar como ideales: aire, nitr´ogeno, ox´ıgeno, helio, hidr´ogeno y ne´on. Casi cualquier gas qu´ımicamente estable se comporta como gas ideal, si se encuentra alejado de condiciones de licuefacci´on o solidificaci´ on. En otras palabras un gas real se comporta como uno ideal cuando sus ´ atomos o mol´eculas est´ an tan separadas que no interact´ uan de manera apreciable entre s´ı.

8.2.

Ley de Charles (proceso isob´ arico)

Para una misma masa de gas y a presi´on constante los cambios de volumen y temperatura absoluta son directamente proporcionales. De acuerdo con la Figura 8.1 vemos que a una temperatura de 0K, es decir, en el cero absoluto de temperatura y equivalente a −273o C, el volumen de un gas es nulo, lo cual significa que todo el movimiento de las mol´eculas ha cesado. En el cero absoluto de temperatura, la ausencia de volumen del gas y del movimiento de sus part´ıculas implica el estado m´ınimo de energ´ıa y, por consiguiente, la m´ınima temperatura posible

Figura 8.1: Gr´ afica ”V”vs ”T”para una misma masa de gas a 3 diferentes presiones Donde: P1 , P2 , P3 se denominan Is´ obaras. Al considerar a un gas bajo dos diferentes condiciones de volumen y temperaturas (por ejemplo al tomar P3 ) tenemos V1 V2 = T1 T2

(8.1)

´ 8.3. LEY DE GAY - LUSSAC (PROCESO ISOCORO)

61

EJEMPLO 8.1. Un gas ocupa un volumen de 30 litros cuando su temperatura es de 27o C y su presi´on 2 atm. Hallar su volumen si su temperatura se reduce a −13o C ´ Datos: V1 = 30 lts, T1 = 27o C + 273 = 300 K, V2 = ?‘ ?, T2 = −13o C + 273 = SOLUCION ´ 260 K por ser un proceso ISOBARICO (presi´on constante); aplicamos la Ley de Charles: V2 30 V1 V2 = → = T1 T2 300 260 ∴ V2 = 26 litros

8.3.

Ley de Gay - Lussac (Proceso Is´ ocoro)

Para una misma masa de gas y a volumen constante la variaci´on de la temperatura absoluta son directamente proporcionales. Lo anterior significa que si la temperatura de un gas aumenta, tambien aumenta su presi´on en la misma proporci´on, siempre y cuando el volumen del gas permanezca constante

Figura 8.2: Gr´ afica ”P”vs ”T”para una misma masa de gas a 3 diferentes volumenes Donde: V1 , V2 , V3 se denominan Is´ ocaras. Al considerar a un gas bajo dos diferentes condiciones de presiones y temperaturas (por ejemplo al tomar V3 ) tenemos P1 P2 = T1 T2

(8.2)

EJEMPLO 8.2. Una botella de ox´ıgeno contiene 10 m3 de gas a 0o C y a la presi´on de 2.73 atm. ¿Qu´e presi´on se ejerce cuando se calienta hasta 40o C? ´ Datos: T1 = 0o C + 273 = 273 K, P1 = 2.73 atm T2 = 403o C + 273 = 313 K P2 = SOLUCION ´ ?‘? como el volumen no cambia se trata de un proceso ISOCORO. Aplicamos la Ley de Gay - Luss´ ac: P1 P2 = T1 T2

´ LEYES DE LOS GASES Y LA ECUACION ´ DEL GAS IDEAL SEMANA 8. APLICACION:

62

2.73 atm P2 = 273 K 313 K P2 atm = 0.01 K 313 K ∴ P2 = 3.13 atm

8.4.

Ley de Boyle - Mariotte (Proceso Isot´ ermico)

Para una misma masa de gas y a temperatura constante los cambios de presi´on y volumen son inversamente proporcionales Lo anterior quiere decir que cuando un gas ocupa un volumen de un litro a una atm´osfera de presi´ on, si la presi´on aumenta a dos atm´ osferas, el volumen del gas ser´a ahora de medio litro

Figura 8.3: Gr´ afica ”P”vs ”V”para una misma masa de gas a 3 diferentes temperaturas De acuerdo con la Figura 8.3 tenemos que existe un estado 1 de presi´on y volumen y existe un estado 2 de presi´on y volumen, por tanto P1 V 1 = P2 V 2

(8.3)

donde T1 , T2, T3 se denominan Isot´ermas EJEMPLO 8.3. Usted compra una bolsa ”herm´etica”de papas fritas empacada a nivel del mar y la lleva consigo en un vuelo de avi´ on. Cuando saca las papas del equipaje, nota que la bolsa se ”hincho”notablemente. Las cabinas de avi´ on por lo general estan presurizadas 0.75 atm y suponiendo que la temperatura dentro de un avi´ on es aproximadamente la misma que dentro de una planta procesadora de papas fritas ¿en que porcentaje se hincho la bolsa en comparaci´on con el volumen que ten´ıa cuando se empaco? ´ La presi´ SOLUCION on dentro de la bolsa cambiar´a a la presi´on del aire circundante a medida que cambia el volumen de la bolsa. Suponemos que la cantidad de gas y la temperatura del gas son constantes.   1 atm P1 P1 V1 = P2 V2 → V2 = V1 = V1 = 1.33 V1 P2 0.75 atm

´ 8.5. PROCESO ADIABATICO

63

As´ı la bolsa se ha expandido un 30

8.5.

Proceso Adiab´ atico

Es aquel en el cual no hay transferencia de calor y se cumple para dos estados: P1 V1γ = P2 V2γ

(8.4)

donde γ : constanteadiab´ atica. Ademas se cumple: T2 = T1



P2 P1

γ −1



γ

=

V1 V2

γ − 1 (8.5)

EJEMPLO 8.4. Se tiene una cierta cantidad de gas ideal de un cilindro que no permite la entrada ni salida de calor (proceso adiab´ atico). La presi´on inicial del gas es P1 = 105 P a; se conoce que la relaci´ on V1 de los vol´ umenes V2 = 100. Hallar la presi´on final P2 . La constante adiab´atica γ = 1.5 ´ Datos: P1 = 105 P a ; SOLUCION Para un proceso adiab´ atico:

V1 V2

= 100 ; P2 = ?‘? ; γ = 1.5 P1 V1γ = P2 V2γ  γ V1 P2 = P1 V2γ  γ P2 V1 = V2 P1 P2 105

(100)1.5 = 3

P2 = (100) 2 · 105 √ 3 P2 = 100 · 105 P2 = 103 · 105 ∴ P2 = 108 P a

8.6.

Ley general del estado gaseoso

Con base en las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac, se estudia la dependencia existente entre dos propiedades de los gases conserv´ andose las dem´as constantes. No obstante, se debe buscar una relaci´ on real que involucre los cambios de presi´ on, volumen y temperatura sufridos por un gas en cualquier proceso en que se encuentre. Esto se logra mediante la expresi´on: P1 V1 P2 V 2 = T1 T2

(8.6)

´ LEYES DE LOS GASES Y LA ECUACION ´ DEL GAS IDEAL SEMANA 8. APLICACION:

64

La relaci´on anterior recibe el nombre de ley general del estado gaseoso y resulta de gran utilidad cuando se desea conocer alguna de las variables involucradas en el proceso, como la presi´on, el volumen o la temperatura de una masa dad de un gas del cual se conocen los datos de su estado inicial y se desconoce alguno de ellos en su estado final. EJEMPLO 8.5. Si 6.5 lts de ox´ıgeno a 18o C y una presi´on absoluta de 2.45 atm se comprimen a 48.8 lts y al mismo tiempo la temperatura se eleva a 56o C ¿Cu´al ser´a la nueva presi´on? ´ Asumiendo que el ox´ıgeno es un gas ideal y dado que la cantidad de gas es una constante SOLUCION PV el valor de T es una constante tambi´en   P2 V 2 V1 T2 61.5 lts (273 + 56)K P1 V 1 = ← P2 = P1 = (2.45 atm) = 3.49 atm T1 T2 V2 T1 48.8 lts (273 + 18)K

8.7.

Ecuaci´ on Universal del Gas Ideal

Como ya hemos estudiado, sabemos de la ley general del estado gaseoso: P1 V 1 P2 V 2 P3 V3 = = T1 T2 T3 Por tanto:

PV = K T

O bien: P V = KT El valor de K se encuentra determinado en funci´on del n´ umero de moles (n) del gas en cuesti´on K = nR Sustituyendo este valor en la ecuaci´ on P V = KT tenemos: P V = nRT

(8.7)

En esta ecuaci´ on se ven involucradas las propiedades de un gas de masa ”m¸confinado en un recipiente de volumen ”V.a una presi´ on ”P a una temperatura ”T”donde: P: presi´on absoluta V: volumen (m3 ) m n: N o de moles (mol); n = M donde m es la masa del gas y M masa molecular del gas T: temperatura absoluta (K) R: constante universal de los gases: R = 8.314 molJ ·K 2

La ley del gas ideal es una herramienta extremadamente u ´til. Con frecuencia nos referimos a condiciones est´andar o presi´ on y temperatura est´ andar (PTE, lo que significa: T = 273 K (0o C) y P = 1 atm = 1.013 × 105

N = 101.3 kP a m2

EJEMPLO 8.6. Un globo de helio para fiesta, que se supone como una esfera perfecta, tiene un radio de 18 cm. A temperatura ambiente (20o C), su presi´on interna es de 1.05 atm. Determine el n´ umero de moles de helio en el globo y la masa de helio necesaria para inflar el globo a estos valores

8.8. EJERCICIOS RESUELTOS

65

´ Podemos usar la ley del gas ideal para encontrar n, pues se conoce P y T; por otro lado SOLUCION se puede determinar V a partir del radio indicado: 4 3 4 πr = π (0.180 m)3 = 0.0244 m3 3 3

V =

La presi´on est´ a dada como 1.05 atm = 1.064 × 105 mN2 . La temperatura debe expresarse en kelvin, as´ı J que convertimos 20o C a (20 + 273) K = 293 K. Finalmente usamos el valor de R = 8.314 mol·K porque estamos empleando unidades del SI. Por lo tanto:

1.064 × 105 mN2 0.0244 m3 PV
n = = 1.066 mol = J RT (293 K) 8.314 mol·K g La masa del helio (masa at´ omica = 4 mol como aparece en la tabla peri´odica) se obtiene a partir de  g  = 4.26 g o 4.26 × 10−3 kg masa = n × masamolecular = (1.066 mol) 4 mol

8.8.

Ejercicios resueltos

EJEMPLO 8.7. Un gas ideal con presi´on inicial de 4 P a realiza un proceso adiab´atico. Si su volumen final es 8 veces su volumen inicial. Determine la presi´on final. Considere la constante adiab´atica= 43 ´ Datos: P1 = 4 P a, V1 = V, P2 = ?‘?, V2 = 8V, γ = 4 Para un proceso adiab´ SOLUCION atico: 3 P1 V1γ =, P2 V2γ (4 P a) (V )γ = P2 (8V )γ  4  4 4 (4 P a) V 3 = (P2 ) (8) 3 V 3  4 (4 P a) V 3  4 P2 = 4 (8) 3 V 3 P2 =

4Pa 4

 4 1 3 = (4 P a) 8

83  4  3 ! 43 1 3 1 = (4 P a) P2 = (4 P a) 3 2 2  v s  u  3 !4  3 4 u 1 1  3  3 P2 = (4 P a)  t  = (4 P a)  2 2  4   1 1 P2 = (4 P a) = (4 P a) 2 16 P2 = ∴

1 Pa 4

P2 = 0.25 P a

66

´ LEYES DE LOS GASES Y LA ECUACION ´ DEL GAS IDEAL SEMANA 8. APLICACION:

EJEMPLO 8.8. Si 3.80 m3 de un gas inicialmente a PTE se someten a una presi´on de 3.20 atm, la temperatura del gas se eleva a 38o C. ¿Cu´ al es el volumen? ´ Datos:Suponga que la cantidad que el gas es ideal. Como la cantidad de gas es constante, SOLUCION PV el valor de T es constante P2 V 2 P1 V1 = T1 T2 P1 T2 V2 = V1 P2 T1  
1 atm (273 + 38) K V2 = 3.80 m3 = 1.35 m3 3.2 atm 273 K EJEMPLO 8.9. En un motor de combusti´on interna, el aire a presi´on atmosf´erica y una temperatura aproximadamente 20o C se comprime en un cilindro mediante un pist´on a 81 de su volumen original (indice de compresi´ on= 8). Estime la temperatura del aire comprimido, suponiendo que la presi´on alcanza 40 atm PV T

´ Suponga que el aire es un gas ideal. Como la cantidad de aire es constante, el valor de SOLUCION es constante: P1 V 1 P2 V 2 P2 V 2 = → T2 = T1 T1 T2 P1 V 1    1 40 atm T2 = (293 K) 1 atm 8 ∴ T2 = 1465 K = 1192o C

EJEMPLO 8.10. Si 14 moles de gas helio se encuentran a 10o C y una presi´on atmosf´erica de 0.350 atm, calcule a) el volumen del gas helio en estas condiciones b) la temperatura si el gas se comprime precisamente a la mitad del volumen a una presi´ on manom´etrica de 1 atm ´ a) Suponga que el helio es un gas ideal por lo tanto se usa la ley de los gases ideales para SOLUCION calcular el volumen. Se debe utilizar la presi´on absoluta aunque se proporcione la presi´on manom´etrica Pabs = Pman + Patm y la temperatura debe de estar en grados Kelvin nRT P
J (14 moles) 8.314 mol·K (283.15 K)
V = Pa (1.350 atm) 1.013 × 105 atm P V = nRT , → V =

V = 0.2410 m3 b) Ya que la cantidad de gas no cambia , el valor de

PV T

es una constante

P1 V 1 P2 V 2 P2 V 2 = → T2 = T1 T1 T2 P1 V 1

8.9. ACTIVIDAD DE CLASE

67  T2 = (283.15 K)

2 atm 1.350 atm

  1 2

T2 = 210 K = −63o C

Actividad de clase:

8.9.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un tanque de buceo se llena con aire a una presi´on de 204 atm cuando la temperatura del aire es de 29o C. Luego un buzo salta al oc´eano y, despu´es de un corto tiempo en la superficie, comprueba la presi´ on del tanque y descubre que s´ olo es de 194 atm. Suponiendo que el buzo inhal´o una cantidad despreciable de aire del tanque, ¿cu´ al es la temperatura del agua en el oc´eano? a) 27.54o C b) 44.56o C c) 14.33o C d ) 30.49o C Respuesta: 14.33o C 2. Un contenedor met´ alico sellado contiene un gas a 20o C y a 1 atm. ¿A que temperatura se debe calentar el gas para que la presi´ on se duplique a 2 atm? (ignore la expansi´on del contenedor) a) 40o C b) 146.5o C c) 166.57o C d ) 313.15o C Respuesta: 313.15o C

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Ley de Charles: https://www.youtube.com/watch?v=R-N5BnKwJns Ley de Gay - Lussac:

68

´ LEYES DE LOS GASES Y LA ECUACION ´ DEL GAS IDEAL SEMANA 8. APLICACION: https://www.youtube.com/watch?v=C_OFN7ULqUQ Ley de Boyle - Mariotte: https://www.youtube.com/watch?v=7MQKKjzjp30 Ecuaci´on de estado de un gas ideal ——UPV: https://www.youtube.com/watch?v=LnNpeqC76go

Simulaci´ on para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Propiedades de los gases: https://phet.colorado.edu/es/simulations/gas-properties

Referencias bibliogr´ aficas: ´ Vera, A.. (2005). TERMODINAMICA. En GASES IDEALES Teor´ıa y Problemas(pp.77-11). LIMA´ PERU: Cuzcano S. A. C.. ´ PEREZ, H.. (2014). TERMOLOG´IA. En F´ISICA general(pp.342-348). Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegaci´ on Azcapotzalco, M´exico, D.F.: Grupo Editorial Patria. Bueche, F. Hetch, E. (2007). GASES IDEALES. En F´ısica General(pp155-157). Prolongaci´ on paseo ´ de la reforma 1015, Colonia desarrollo Santa Fe, delegaci´on Alvaro Obreg´on, M´exico, D.F.: Mc. Graw Hill.

8.10. TAREA

69

Tarea:

8.10.

Tarea

Resuelves los problemas de Aplicaci´ on de las leyes de los gases y la ecuaci´on del gas ideal, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

0()()()()

Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas.

se agregan 25 kg adicionales de nitr´ogeno sin modificar la temperatura?

1. Un proceso adiab´ atico realizado por un gas ideal se inicia a P1 = 3 × 105 P a y V1 = 1.2 m3 y termina cuando P2 = 15 × 105 P a y V2 = 0.6 m3 . Hallar la constante adiab´atica

3. ¿Cuantas veces pesara m´as el aire que llena un local en invierno (7o C) que el que lo llena en verano (37o C). La presi´on es la misma

2. Un tanque de almacenamiento a PTE contiene 28.5 kg de nitr´ ogeno N2 . a) ¿Cu´ al es el volumen del tanque? b) ¿Cu´ al es la presi´on si

4. Determinar la masa del anhidrido sulfuroso g
que ocupa un volumen de SO2 ; M = 64 mol 25 litros a la temperatura de 27o C y a la prej si´on de 760 mmHg R = 8.3 mol·K .

Semana 9

Calor y trabajo. Primera y Segunda ley de la Termodin´ amica

Objetivo de la semana: Demostrar mediante definiciones y ejercicios que ha comprendido la primera y segunda ley de la termodin´amica. Escribir y aplicar una relaci´on para determinar la eficiencia ideal de una m´ aquina t´ermica.

Aprendizaje esperado: Identifica las variables f´ısicas mediante la aplicaci´on de la primera y segunda ley de la termodin´ amica para la descripci´ on de los fen´ omenos t´ermicos.

Evidencias de aprendizaje: Problemas tipo examen de admisi´ on sobre primera y segundo ley de la termodin´amica . Infograf´ıa sobre los conceptos de la primera y segunda ley de la termodin´amica.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de una infograf´ıa.

70

9.1. CALOR Y TRABAJO

71

Conceptos y ecuaciones:

9.1.

Calor y Trabajo

El calor y el trabajo son dos formas de energ´ıa. Es posible extraer calor de un sistema or tiempo indefinido, siempre que se le suministre trabajo externo al sistema. El trabajo, lo mismo que el calor, supone transferencia de energ´ıa, pero existe una diferencia importante entre estos dos t´erminos. En mec´ anica definimos el trabajo como una cantidad escalar, igual en magnitud del producto de una fuerza por un desplazamiento. La temperatura no interviene en esta definici´on. El calor, por otra parte, es energ´ıa que fluye de un cuerpo a otros causa de la diferencia de temperatura. Una condici´on indispensable para que se transfiera calores que exista una diferencia de temperatura. El desplazamiento es la condici´on necesaria para que se realice un trabajo. Se reconoce que el calor y el trabajo son cambios qu´e ocurre en un proceso. Generalmente estos cambios van acompa˜ nados de una variaci´on de energ´ıa interna, en las figuras la energ´ıa interna del agua aumenta debido a un flujo de calor.

9.2.

Primera ley de la termodin´ amica

La primera ley de la termodin´ amica es simplemente una nueva exposici´on del principio de la conservaci´on de la energ´ıa: Laenerg´ıanopuedecrearseodestruirse, s´ olotransf ormarsedeunaf ormaaotra. Al aplicar esta ley a un proceso termodin´ amico se observa, a partir de la ecuaci´on: ∆Q = ∆U + ∆W Esta ecuaci´on representa la primera ley de la termodin´amica, la cual puede enunciarse como: En cualquier proceso termodin´ amico, el calor neto absorbido por un sistema es iguala la suma del trabajo net que este realiza y el cambio de su energ´ıa. Cuando se aplica la primera ley de la termodin´amica es preciso reconocer que el calor Q suministrado en un sistema es positivo y el que lo expulsa o pierde es negativo.

Figura 9.1: Aumento de la energ´ıa interna de un sistema a) realizando trabajo y b) suministrando calor al sistema.

´ 72 SEMANA 9. CALOR Y TRABAJO. PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA

9.3.

Segunda ley de la termodin´ amica

De acuerdo a la primera ley de la termodin´amica, la energ´ıa mec´anica se ha transformado en calor con una eficiencia de 100 ∆W = ∆Q Este tipo de transformaci´ on puede continuar indefinidamente en tanto se suministre trabajo. El proceso inverso no podr´ıa ocurrir por ejemplo no es o si le recupera todo el calor perdido al frenar un autom´ ovil con el prop´osito de que las ruedas empiecen a girar de nuevo. La conversi´on de energ´ıa t´ermica en trabajo mec´anico es un proceso de p´erdidas. La segunda ley de la termodin´amica nos ayuda a explicar de la siguiente forma: es posible construir una m´ aquina que funcionando de manera continua, no produzca otro efecto que la extracci´ on de calor de una fuente y la realizaci´ on de una cantidad equivalente de trabajo. La eficiencia de una m´ aquina t´ermica se define como la raz´on del trabajo u ´til realizado por una m´ aquina respecto al calor suministrado a ´esta, y generalmente se expresa como porcentaje. Ef iciencia =

T rabajodesalida T rabajodeentrada

e=

Qent − Qsal Qent

e=

Tent − Tsal Tent

EJEMPLO 9.1. Una m´ aquina t´ermica realiza 240J de trabajo durante el cual su energ´ıa interna disminuye en 400J. ¿Cu´ al ser´ a el intercambio de calor neto en este proceso? ´ La energ´ıa interna disminuye, as´ı que ∆U es negativo; el trabajo lo efect´ SOLUCION ua un motor, as´ı que ∆W es positivo. La magnitud y el signo del intercambio de energ´ıa t´ermica ∆Q se halla con base en la primera ley de la termodin´ amica. Al sustituir ∆U = −400J y ∆W = +20J

Figura 9.2: Convenciones de signos de la primera ley de la termodin´amica

´ SUPERFICIAL Y VOLUMETRICA7 ´ 9.4. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DILATACION Se obtiene ∆Q = ∆U + ∆W = (−400J) + (240J) = −400J + 240J = −160J El signo negativo del intercambio de calor indica que el calor neto es expulsado por el sistema. Si no hay cambio de fase, la temperatura del sistema disminuir´a.

EJEMPLO 9.2. ¿Cu´ al es la eficiencia de una m´aquina t´ermica a la cual se le suministran 6000cal para obtener 12600 Joules de calor de salida? ´ Tomando en cuenta la segunda ley de la termodin´amica y analizando los datos necesiSOLUCION tamos un cambio de unidades 1cal Qsal = 12600J = 3000cal 4.2J Sustituimos en la f´ ormula de eficiencia los valores de calor de entrada y salida e=

6000cal − 3000cal = 0.5 6000cal

Por lo general la respuesta est´ a en t´erminos des porcentaje y por lo tanto ser´ıa una eficiencia del 50

9.4.

Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´ on superficial y volum´ etrica

1. Cuando use la la primera ley de la termodin´amica, verifique los signos del calor y el trabajo. 2. El trabajo y el calor son cantidades dependientes de la trayectoria, pero el cambio en la energ´ıa interna es independiente de la trayectoria. De esta manera para calcular un cambio en la energ´ıa interna, usted puede usar cualesquiera procesos que comiencen desde la misma posici´on inicial y terminen en la misma posici´ on final en el diagrama pV . El calor y el trabajo pueden variar, dependiendo de la trayectoria en el diagrama, pero su diferencia, Q − W , permanecer´ıa igual. Para estos tipos de problemas, aseg´ urese de tener un sistema claramente definido y de conocer cu´ ales son las condiciones iniciales y finales para cada paso en el proceso. 3. Para los problemas calor´ımetros, la conservaci´on de la energ´ıa demanda que las transferencias de energ´ıa sumen cero. En otras palabras, el calor ganado por un sistema debe ser igual al calor perdido por los alrededores o alg´ un otro sistema. Este hecho establece la ecuaci´on b´asica que describe cualquier transferencia de calor entre objetos. 4. La primera ley de la termodin´ amica es una ley de conservaci´on. La segunda ley de la termodin´ amica no es una ley de conservaci´ on; la entrop´ıa no se conserva; siempre o se queda igual o incrementa y nunca disminuye en un sistema cerrado.

Actividad de clase:

´ 74 SEMANA 9. CALOR Y TRABAJO. PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA

9.5.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. En un proceso qu´ımico industrial, se suministran 600cal de calor a un sistema, mientras un trabajo de 200J es realizado por el sistema. ¿Cu´ al es el incremento en la energ´ıa interna del sistema? Respuesta:2.31kJ 2. Una m´aquina de vapor toma vapor de un calentador a 200◦ C y lo expulsa directamente al aire a 100◦ C. ¿Cu´al es su eficiencia ideal? Respuesta: 21.1 por ciento

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Leyes de la Termodin´ amica: https://youtu.be/Bvfn6eUhUAc https://youtu.be/e9-wTBcInw4

Simulaci´ on para complementar el tema Leyes de la termodin´amica : Leyes de la Termodin´ amica: http://www.objetos.unam.mx/fisica/termodinamica2/index.html http://www.objetos.unam.mx/ fisica/termodinamica4/index.html Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Termodin´ amica. En F´ısica conceptos y aplicaciones (404,406,412). M´exico: Mc Graw Hill. Giancoli, D.. (2008). Calor y 1a Ley de la Termodin´amica, 2a Ley de la Termodin´amica . En F´ısica para ciencias e ingenier´ıas (496,528). M´exico: Pearson educaci´on.

9.6. TAREA

75

Tarea:

9.6.

Tarea

Resuelves los problemas de leyes de la termodinamica, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

3. Durante un ciclo termodin´amico completo, un sistema absorbe 600cal de calor y libera 200cal al 1. Un sistema absorbe 200J y al mismo tiempo medio ambiente. a)¿Cu´antos joules de trabajo se realiza un trabajo de 50J. ¿Cu´ al es el cambio de realizan? b) ¿Cu´al es la eficiencia del ciclo? energ´ıa interna? 2. Un pist´on realiza un trabajo de 300f tlb sobre 4. Si un motor trabaja al 50 por ciento de su un gas, que luego se expande, desarrollando un tra- eficiencia m´axima y el motor opera entre las tempebajo de 2500f tlb sobre sus alrededores. ¿Cu´al es el raturas de 500K y 200K, determine el trabajo que cambio en la energ´ıa t´ermica del gas en Btu? realiza en cada ciclo si se absorben 1200J de calor.

Semana 10

Procesos termodin´ amicos: isob´ arico, isoc´ orico, isot´ ermico, adiab´ atico

Objetivo de la semana: Identificaras, escribir´ as, y aplicaras las f´ormulas de trabajo en los diferentes procesos termodin´ amicos para la resoluci´ on de problemas.

Aprendizaje esperado: Aplica las leyes de la termodin´ amica y la descripci´on de los procesos termodin´amicos y su uso para la descripci´on del funcionamiento de m´ aquinas y su eficiencia.

Evidencias de aprendizaje: Problemas de los diferentes procesos termodin´amicos aplicados al entorno cotidiano.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

76

´ 10.1. PROCESOS ISOBARICOS

77

Conceptos y ecuaciones:

10.1.

Procesos isob´ aricos

Consideremos primero el trabajo efectuado por el gas cuando se dilata a una presi´on constante P = F/A. La fuerza F ejercida por el gas sobre el ´embolo ser´a igual al producto de la presi´on P por el ´ area A del ´embolo de la siguiente figura:

Figura 10.1: Trabajo realizado por un gas que se dilata a presi´on constante

F = PA

(10.1)

Recuerde que el trabajo equivale al producto de la fuerza por el desplazamiento paralelo. Si el ´embolo se mueve hacia arriba a lo largo de una distancia ∆x El trabajo realizado ser´a: ∆W = F ∆x = (P A) ∆x

(10.2)

Pero el aumento del volumen ∆V del gas es simplemente A∆x, as´ı que podemos reordenar los factores de arriba para determinar que el trabajo hecho por un gas que se dilata a presi´on constante est´a dado por ∆W = P ∆V

(10.3)

´ Este es un ejemplo de lo que se denomina un proceso isob´arico. Cabe se˜ nalar que el cambio de volumen ∆V es el valor final menos el inicial, de modo que una disminuci´on del volumen resulta en trabajo negativo, en tanto que un aumento en trabajo positivo.

Figura 10.2: El trabajo es igual al ´area debajo de la curva en un diagrama P − V .

´ ´ ´ ´ ´ 78SEMANA 10. PROCESOS TERMODINAMICOS: ISOBARICO, ISOCORICO, ISOTERMICO, ADIABATICO Un proceso isob´ arico es un proceso termodin´ amico que sucede a presi´ on constante

EJEMPLO 10.1. El gas del cilindro de la fi gura 16.6 est´a sometido a una presi´on de 5000 Pa y el ´embolo tiene un ´ area de 0.15m2 . Al agregar calor el gas empuja el ´embolo una distancia de 3 cm. Calcula el trabajo que realiz´ o el gas sobre el entorno. Imagina que la presi´on permanece constante. ´ Primero se obtiene el volumen ∆V : SOLUCION ∆V = (0.15m2 )(0.003m) = 0.0045m3 Por lo tanto, el trabajo realizado se obtiene de: W = P ∆V = (5000P a)(0.0045m3 ) = 22.5J

10.2.

Procesos isoc´ orico

Otro caso especial de la primera ley se presenta cuando no se realiz´o trabajo, ni por el sistema ni sobre el sistema. Este tipo de proceso se conoce como proceso isoc´orico. Tambi´en recibe el nombre de proceso isovolum´etrico porque no puede haber cambio de volumen sin la realizaci´on de trabajo.

Figura 10.3: Proceso isoc´orico Un proceso isoc´ orico es aquel en el que el volumen del sistema permanece constante. Al aplicar la primera ley a un proceso en el que∆W = 0se obtiene: ∆Q = ∆U

(10.4)

Por tanto, en un proceso isoc´ orico toda la energ´ıa t´ermica absorbida por un sistema incrementa su energ´ıa interna. En este caso, generalmente hay un incremento en la temperatura del sistema. Este tipo de sistema se puede representar cuando se calienta el agua en un recipiente con volumen fijo.

EJEMPLO 10.2. Una masa de agua de 1.0 kg se mantiene a volumen constante en un recipiente cerrado mientras se le proporcionan poco a poco 850 J de calor por medio de una flama. ¿Cu´ al es el cambio de energ´ıa interna que experimenta? ´ SOLUCIONDe la primera Ley de la Termodin´amica: ∆Q = ∆U + W Donde W = P ∆V = 0 Por tanto: ∆Q = ∆U ∆U = 850J El calor sirvi´ o para incrementar la energ´ıa interna del agua.

´ 10.3. PROCESOS ISOTERMICO

10.3.

79

Procesos isot´ ermico

Un gas puede comprimirse en un cilindro de forma tan lenta que pr´acticamente permanece en equilibrio t´ermico con sus alrededores. La presi´ on aumenta a medida que el volumen disminuye, pero la temperatura es pr´acticamente constante.

Figura 10.4: Proceso isot´ermico

Un proceso isot´ ermico es aquel en el que la temperatura del sistema permanece constante. Si no hay cambio de fase, una temperatura constante indica que no hay cambio en la energ´ıa interna del sistema. Al aplicar la primera ley a un proceso en el que ∆U = 0 se obtiene: ∆Q = ∆W

(10.5)

Por tanto, en un proceso isot´ermico toda la energ´ıa absorbida por un sistema se convierte en trabajo de salida. EJEMPLO 10.3. ¿En cu´ anto cambia la energ´ıa interna de 70 g de hielo a 0 °C al transformarse en agua a 0 °C? Desprecia el peque˜ no cambio de volumen. ´ SOLUCIONDe la Primera Ley de la Termodin´amica ∆Q = ∆U + W como ∆Q = ∆U , para conocer ∆U se determina el calor necesario para fundir el hielo: ∆Q = mLf = (70g)(80cal/g) = 5600cal Por tanto ∆U = 5600cal

10.4.

Procesos adiab´ atico

Suponga que hay un sistema completamente aislado de sus alrededores, de modo que no puede haber un intercambio de energ´ıa t´ermica Q. Cualquier proceso que ocurra totalmente dentro, como en una c´ amara aislada, se denomina proceso adiab´ atico y se dice que el sistema est´a rodeado por paredes adiab´ aticas.

Figura 10.5: Proceso adiab´atico

´ ´ ´ ´ ´ 80SEMANA 10. PROCESOS TERMODINAMICOS: ISOBARICO, ISOCORICO, ISOTERMICO, ADIABATICO Un proceso adiab´ atico es aquel en el que no hay intercambio de energ´ıa t´ ermica ∆Q entre un sistema y sus alrededores. Al aplicar la primera ley a un proceso en el que ∆Q = 0 se obtiene: ∆W = −∆U

(10.6)

La ecuaci´on nos muestra que en todo proceso adiab´atico, el trabajo se realiza a costa de la energ´ıa interna. Generalmente, la disminuci´ on de energ´ıa t´ermica va acompa˜ nada de un descenso en la temperatura. EJEMPLO 10.4. Una muestra de 1.0 mol de un gas ideal se mantiene a 0.0°C durante una expansi´ on de 3.0 L a 10.0 L. ¿Cu´ anto trabajo se realiza sobre del gas en un proceso adiab´atico? ´ SOLUCION Considerando la Ley de los Gases Ideales W = −P (Vf − Vi ) = −

W =−

nRTi (Vf − Vi ) Vi

(1mol)(8.31J/mol ∗ K)(273K) 10 × 10−3 m3 W = .0016J

La temperatura y volumen iniciales se emplearon para calcular el trabajo efectuado, porque la temperatura final es desconocida. El trabajo realizado sobre el gas es positivo, porque el gas se comprimi´o

10.5.

Metodolog´ıa para resolver problemas de procesos termodin´ amicos

1. Identifica el tipo de sistema termodin´amico. 2. Identificar los estados inicial y final de los procesos. 3. Reconocer las cantidades conocidas y las inc´ognitas. 4. Utilizar adecuadamente las ecuaciones de acuerdo a los procesos termodin´amicos presentes. 5. Utilizar las unidades de manera consistente. 6. Realzar los despejes necesarios hasta hallar una expresi´on que permita sustituir de forma directa las cantidades conocidas. 7. Verificar que los resultados sean razonables.

Actividad de clase:

10.6. ACTIVIDAD DE CLASE

10.6.

81

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Durante una expansi´ on isob´ arica, una presi´on constante de 250 kPa hace que el volumen de un gas pase de 1 a 3 L. ¿Qu´e trabajo realiza el gas? Respuesta: 500 Joules 2. Dos litros de un gas ideal tienen una temperatura de 300 K y una presi´on de 2 atm. El gas soporta una dilataci´on isob´ arica mientras su temperatura se eleva hasta 500 K. ¿Qu´e trabajo ha realizado el gas?. Respuesta: 269.5 kJ

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de procesos termodin´amicos: Procesos termodin´ amicos: https://www.youtube.com/watch?v=46jT61KJ_70

Simulaci´ on para complementar el tema de procesos termodin´amicos: Procesos termodin´ amicos. Adiab´ atico: https://aulaenred.ibercaja.es/wp-content/uploads/termodinamica_1_4.html

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Termodin´ amica. En F´ısica conceptos y aplicaciones (407,408,410,411,412,423). M´exico: Mc Graw Hill. Sears y Zemansky (2013). Primera Ley de la Termodin´amica. F´ısica universiyaria v1(632). M´exico: Pearson Gutierrez A. C (2009).Termodin´ amica . F´ısica General (273,274,275). M´exico: Mc Graw Hill.

´ ´ ´ ´ ´ 82SEMANA 10. PROCESOS TERMODINAMICOS: ISOBARICO, ISOCORICO, ISOTERMICO, ADIABATICO

Tarea:

10.7.

Tarea

Resuelves los problemas de los diferentes procesos termodin´amicos estudiados, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

0()()()()

Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas.

perdido calor?

1. Un cilindro con un gas ideal est´ a cerrado por 3. Durante una compresi´on isot´ermica de gas un pist´on m´ovil cuya ´ area es de 60cm2 . Si est´a so- ideal, es preciso extraer 335 J de calor al gas para metido a una presi´ on de 200 KPa cuando el gas se mantener la temperatura constante. ¿Cu´anto trabacalienta el pist´on recorre 10 cm. Calcula el trabajo jo efect´ ua el gas durante el proceso? que realiza el gas para mover el pist´ on. 4. En un proceso termodin´amico la energ´ıa in2. La energ´ıa interna de un sistema disminuye terna del sistema se incrementa en 500 J. ¿Cu´ anto en 400 J al tiempo que se realiza un trabajo de 300 trabajo realiz´o el sistema si en el proceso fueron abJ. ¿Cu´al es el valor de Q? ¿El sistema ha ganado o sorbidos 1 100 J de calor?

Semana 11

Aplicaci´ on de los procesos termodin´ amicos (trabajo y diagramas P-V para un gas)

Objetivo de la semana: Examina los efectos de las variables de estado (P ,V, T) de un sistema termodin´amico, analizando los diagramas P-V, para calcular el trabajo, calor y energ´ıa de un sistema.

Aprendizaje esperado: Aplica las leyes de la termodin´ amica y la descripci´on de procesos termodin´amicos y su uso para la descripci´on del funcionamiento de maquinas y su eficiencia.

Evidencia de aprendizaje: Problemario sobre trabajo y diagramas P − V de un gas.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

83

´ DE LOS PROCESOS TERMODINAMICOS ´ 84SEMANA 11. APLICACION (TRABAJO Y DIAGRAMAS P-V PA

Conceptos y ecuaciones:

11.1.

Procesos cuasiest´ aticos

En termodin´ amica el estado de un sistema se describe con variables tales como presi´ on, volumen, temperatura y energ´ıa interna. Como resultado, estas cantidades pertenecen a una categor´ıa llamada variables de estado. Un estado de un sistema se especifica s´olo si el sistema est´a en equilibrio t´ermico interno. En el caso de un gas en un contenedor, requiere el equilibrio t´ermico interno que cada parte del gas est´e a la misma presi´ on y temperatura. Considere un gas contenido en un cilindro ajustado con un pist´on m´ovil (Figura 11.). En equilibrio, el gas ocupa un volumen V y ejerce una presi´on uniforme P sobre las paredes del cilindro y sobre el pist´ on. Si el pist´on tiene un ´ area de secci´ on transversal A, la fuerza ejercida por el gas sobre el pist´on es F = P ·A. Ahora suponga que el pist´ on se empuja r´apidamente hacia adentro y comprime el gas, inicialmente la presi´on cerca del pist´ on sera mayor que en un lugar mas alejado. Finalmente, el gas se estabilizar´ a en una nueva presi´on y temperatura y no podremos determinar las variables de estado para el sistema gaseoso completo hasta que el equilibrio se restaure en el gas.

Figura 11.1: Gas confinado en un cilindro t´ermicamente aislado dotado de un pist´on m´ovil. Cuando el pist´on se desplaza una distancia dx, el volumen de gas varia en dV = A dx. El trabajo realizado por el gas es PA dx = P dV.

Sin embargo, si movemos lentamente el pist´on en peque˜ nos desplazamientos y permitimos que se restablezca el equilibrio despu´es de cada desplazamiento, podemos comprimir y dilatar el gas de forma que se aleje poco de su estado de equilibrio. Este tipo de proceso se denomina proceso cuasiest´ aico, en el cual, el gas pasa por una serie de estados de equilibrio, es decir, con la suficiente lentitud que le permita al sistema permanecer, en esencia, en equilibrio t´ermico interno en todo momento. Si la fuerza ejercida por el gas sobre el pist´on es P · A, donde A es el ´area del pist´on y P es la presi´ on del gas. Si el pist´ on se desplaza una distancia dx, el trabajo realizado por el gas sobre el pist´on es: dWpor el gas = Fx dx = P · A dx = P dV donde dV = A dx es el incremento del volumen del gas. Durante la expansi´on, el pist´on ejerce sobre el gas una fuerza de magnitud P · A, pero en sentido opuesto a la fuerza del gas sobre el pist´on. As´ı, el trabajo realizado por el pist´ on sobre el gas es exactamente el realizado por el gas cambiando de signo.

11.2. DIAGRAMAS P-V

85

dWsobre el gas = −dWpor el gas = −P dV

11.2.

Diagramas P-V

Para calcular el trabajo realizado por un gas, se necesita saber como var´ıa la presi´on durante la expansi´on o compresi´ on. Los estados de un gas pueden representarse en un diagrama de P en funci´on de V . Dado que especificando ambos valores de P y V , especificamos el estado del gas, cada punto sobre el diagrama P − V indica un estado particular del gas. La Figura 11.2 muestra un diagrama P − V con una linea horizontal que representa una serie de estados en que todos tienen el mismo valor de P . Esta recta representa una compresi´on a presi´ on constante, proceso que recibe el nombre de compresi´on isobara. para una variaci´ on de volumen ∆V (∆V es negativo en una compresi´on), por lo que el trabajo sobre el gas es: Wpor el gas = P · ∆V

(11.1)

Figura 11.2: Cada punto de un diagrama P − V , como el (P1 , V1 ), representa un estado particular del gas. La recta horizontal representa estados con una presi´on constante P1 . El trabajo realizado sobre el gas cuando se comprime una cantidad |∆V | esta representado por la zona sombreada P1 |∆V | En la Figura 11.3, se ven tres posibles trayectorias o procesos sobre un diagrama P − V para un gas que inicialmente esta en el estado (P1 , V1 ) y al final se encuentra en el estado (P2 , V2 ). Suponemos que el gas es ideal, de forma que P1 · V1 = P2 · V2 = n · R · T . Como la energ´ıa interna depende solo de la temperatura, las energ´ıas internas iniciales y finales son iguales. En la Figura 11.3a, el gas se calienta a volumen constante hasta que su presion es P2 y luego se enfr´ıa a presi´on constante hasta que su volumen es V2 . el trabajo realizado sobre el gas a lo largo dela trayectoria A es −P1 (V2 − V1 ), para la parte horizontal del la misma, y es nulo en la trayectoria a volumen constante. En la Figura 11.3b, primero se enfr´ıa el gas a presi´on constante hasta que su volumen es V2 y despu´es se calienta a volumen constante hasta que su presi´on vale P2 . el trabajo realizado a la largo dela trayectoria B es −P1 (V2 − V1 ), que es mucho menor que el obtenido a lo largo de la trayectoria A, como ose observa al compararse las regiones sombreadas de las Figuras 11.3a y 11.3b En la Figura 11.3c, la trayectoria C representa una compresi´ on isoterma, es decir, un proceso a temperatura constante (mantener la temperatura durante la compresi´on exige que e extraiga calor a lo

´ DE LOS PROCESOS TERMODINAMICOS ´ 86SEMANA 11. APLICACION (TRABAJO Y DIAGRAMAS P-V PA

Figura 11.3: Tres trayectorias sobre un diagrama P-V para conectar un estado inicial (Pi , Vi ) y un estado final (Pf , Vf ). El trabajo realizado a lo largo de cada trayecto esta indicado por las zonas sombreadas. largo de ese proceso). el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria C puede calcularse teniendo en cuenta que P = (n · R · T )/V . De aqui que el trabajo realizad sobre el gas cuando se comprime isot´ermicamente desde V1 hasta V2 es:  Wisotermo = −n · R · T · ln

V2 V1

 (11.2)

Vemos que la cantidad de trabajo realizado sobre el gas es diferente en cada uno de los procesos que aparecen en la Figura 11.3. La variaci´ on de energ´ıa interna del gas depende de los estados inicial y final del gas, pero no depende de la trayectoria seguida. La variaci´on de la energ´ıa interna es igual al trabajo realizado sobre el gas mas el calor suministrado al gas.

EJEMPLO 11.1. Un gas ideal experimenta un proceso ciclico A − B − C − D − A, como el de la Figura 11.4, calcula el trabajo total realizado sobre el gas y el calor total a˜ nadido durante un ciclo.

Figura 11.4: Diagrama P − V del ejemplo 11.1. ´ SOLUCION De A − B el proceso es una expansi´ on isobara, por lo que el trabajo realizado sobre el gas es negativo: WA−B = −P ∆V = −(2 atm)(2.5 L − 1 L) = −3 atm · L

11.2. DIAGRAMAS P-V

87

Convertimos las unidades del trabajo a joules:  WA−B = −3 atm · L

101.3 J 1 atm · L

 = −304 J

De B − C, el gas se enfria a volumen constante y el trabajo es cero: WB−C = 0 Como el gas experimenta una compresion isobarica en C − D, el trabajo realizado sobre el gas es positivo: WC−D = −P ∆V = −(1 atm)(1 L − 2.5 L) = −1.5 atm · L Convertimos las unidades del trabajo a joules:  WC−D = 1.5 atm · L

101.3 J 1 atm · L

 = 152 J

Puesto que al volver a su estado original A, el gas se calienta a volumen constante, y no se realiza trabajo: WD−A = 0 El trabajo total realizado sobre el gas es la suma de los trabajos realizados en cada trayectoria: Wtotal = WA−B + WB−C + WC−D + WD−A = (−304 J) + 0 + 152 J + 0 = −152 J Dado que el gas vuelve a su estado inicial, el cambio total de energ´ıa interna es: ∆Eint = 0 La cantidad de calor transferida al gas se deduce de la primera ley de la termodin´amica: ∆Eint = Q + W Resolviendo para Q: Q = ∆Eint − W = 0 − (−152 J) = 152 J

EJEMPLO 11.2. Un gas se lleva a trav´es del proceso c´ıclico descrito en la Figura 11.5. Encuentre la energ´ıa neta transferida al sistema por calor durante un ciclo completo. ´ SOLUCION La trayectoria del proceso A−BC constituye un proceso c´ıclico, cuya ´area, determina el trabajo es una superficie triangular, por lo cual, al calcular el ´area de la superficie del triangulo estar´ıamos calculando el trabajo del sistema. 1 W = −Area del triangulo = (4 m3 )(6 kP a) = 12 kJ 2

´ DE LOS PROCESOS TERMODINAMICOS ´ 88SEMANA 11. APLICACION (TRABAJO Y DIAGRAMAS P-V PA

Figura 11.5: Diagrama P − V del ejemplo 11.2. Dado que el gas vuelve a su estado inicial, el cambio total de energ´ıa interna es: ∆Eint = 0 La cantidad de calor transferida al gas se deduce de la primera ley de la termodin´amica: ∆Eint = Q + W Resolviendo para Q: Q = ∆Eint − W = 0 − (12 kJ) = −12 kJ

EJEMPLO 11.3. Un sistema formado por 0.32 moles de un gas ideal monoat´omico ocupa un volumen de 2.2 L a una presi´ on de 2.4 atm. El sistema describe un ciclo formado por tres procesos: 1. El gas se calienta a presi´ on constante hasta que su volumen es 4.4 L en el punto B. 2. El gas se enfr´ıa a volumen constante hasta que la presi´on disminuye a 1.2 atm en el punto C. 3. El gas experimenta una presion isoterma y vuelve al punto A. a) Calcula la temperaturas en los puntos A, B y C. b) Calcula el W para cada trayectoria y para el ciclo completo.

Figura 11.6: Diagrama P − V del ejemplo 11.3. ´ SOLUCIONa) A partir de la ley de los gases ideales, se puede determinar las temperaturas de todos los puntos A, B y C. Ten en cuanta que en el proceso 3 la temperatura es constante por lo que la

11.3. METODOLOG´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TRABAJO REALIZADO POR UN GAS89 temperatura en el punto A (TA ) es la misma que la temperatura en el punto C (TC ). TA = TC = TB =

PA · V A (2, 4 atm)(2.2 L) = = 201K n·R (0.32 mol)(0.08206 atm · L/(mol · K))

PB · V B (2, 4 atm)(4.4 L) = = 402K n·R (0.32 mol)(0.08206 atm · L/(mol · K))

b) Para el trabajo en la trayectoria 1 tenemos que: W1 = −PA ∆V = −(2.4 atm)(2.2 L − 2.5 L) = −5.28 atm · L Convertimos las unidades del trabajo a joules:  W1 = −5.28 atm · L

101.3 J 1 atm · L

 = −534.9 J

En la trayectoria 2, el gas se enfr´ıa a volumen constante y el trabajo es cero: W2 = 0 en la trayectoria 3, el gas experimenta una compresi´on isoterma:   VA W3 = −n · R · TA · ln = −(0.32 mol)[8, 314 J/(mom · K)](201 K)(ln 2) = 371J VC El trabajo total realizado sobre el gas es la suma de los trabajos realizados en cada trayectoria: Wtotal = W1 + W2 + W3 = (−534.9 J) + 0 + 371 J = −163.9 J

11.3.

Metodolog´ıa para resolver problemas de trabajo realizado por un gas

1. Lee el problema detalladamente y dibuja una representaci´on gr´afica del comportamiento de las variables del sistema, ya sea P y V. 2. Si el volumen V es constante, entonces dV es cero y W = 0. 3. Si la presi´ on P es constante, entonces W = P (∆V ).  4. Si la temperatura es constante, entonces P = n · R · T /V y el trabajo W = n · R · T · ln

 Vf . Vi

5. Si la trayectoria cerrada es un triangulo calcula el trabajo calculando el ´area de ese triangulo. 6. Utiliza sub´ındices i o 1 para distinguir los valores iniciales y f o 2 para distinguir los valores finales del sistema de P, T y V. 7. Ten en cuenta que si el volumen aumenta el trabajo debe ser positivo, y viceversa.

Actividad de clase:

´ DE LOS PROCESOS TERMODINAMICOS ´ 90SEMANA 11. APLICACION (TRABAJO Y DIAGRAMAS P-V PA

11.4.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Una muestra de un gas ideal pasa por el proceso que se muestra en la Figura 11.7. De A a B, el proceso es adiab´ atico; de B a C, es isob´ arico con 100 kJ de energ´ıa que entran al sistema por calor. De C a D, el proceso es isot´ermico; de D a A, es isob´arico con 150 kJ de energ´ıa que salen del sistema por calor. a) Calcula el trabajo y la energ´ıa en la trayectoria B − C. b) Calcula el trabajo y la energia en la trayectoria D − AC − D. Respuesta: a) W = 94.2 kJ y E = 194.3 kJ, b) W = −101 kJ y E = 251 kJ REVISAR 2. Calcula el trabajo que realiza un gas en una expansion isotermica desde un volumen inicial de 3 L a 20 atm hasta un volumen final de 24 L.. Respuesta: 12.6 kJ.

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de aplicaci´on de los procesos termodin´amicos (trabajo y diagramas P-V para un gas): 9.10 DIAGRAMA P-V GAS IDEAL: https://www.youtube.com/watch?v=q4A8kAlbYzA

Simulaci´ on para complementar el tema de aplicaci´on de los procesos termodin´amicos (trabajo y diagramas P-V para un gas): The Pressure-Volume (PV) diagram: http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/PV_diagram.html Transformaciones termodin´ amicas: https://www.educaplus.org/game/transformaciones-termodinamicas

Referencias bibliogr´ aficas:

Serway, R. A & Jewett, J. W.. (2008). Primera ley de la termodin´amica. En F´ısica para ciencias e ingenier´ıa (564, 565, 566). M´exico: Cengage Learning Editores.

11.5. TAREA

91

Tarea:

11.5.

Tarea

Resuelves los problemas de trabajo y diagramas P-V para un gas, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

tiene 2.5 moles de ox´ıgeno gaseoso. El gas se enfr´ıa hasta que la presi´on disminuye al 30 % de su valor 1. Dos moles de gas ideal se calientan a presi´on original. Se puede despreciar la contracci´on t´ermica constante desde T 5 27 °C hasta 107 °C. del cilindro. a) Dibuje una gr´ afica pV para este proceso. a) Dibuje una gr´afica P − V para este proceso. b) Calcule el trabajo efectuado por el gas. b) Calcule el trabajo efectuado por el gas. 2. Dos moles de gas ideal est´ an comprimidos en 4. Durante el tiempo en que 0.305 moles de un un cilindro a temperatura constante de 85.0 °C hasgas ideal sufren una compresi´on isot´ermica a 22.0 ta que se triplique la presi´ on original. °C, su entorno efect´ ua 518 J de trabajo sobre ´el. a) Dibuje una gr´ afica pV para este proceso. a) Si la presi´ o n final es de 1.76 atm, ¿cu´ al fue la b) Calcule la cantidad de trabajo efectuado. presi´on inicial? 3. Un cilindro met´ alico con paredes r´ıgidas con- b) Dibuje una gr´afica pV para e1 proceso.

Semana 12

Maquinas t´ ermicas: Ciclo de Carnot

Objetivo de la semana: Reconoce la importancia de una m´ aquina t´ermica en los procesos industriales o en la vida diaria, analizando el ciclo de Carnot, para la resoluci´on de problemas

Aprendizaje esperado: Aplica las leyes de la termodin´ amica y la descripci´on de procesos termodin´amicos y su uso para la descripci´on del funcionamiento de m´ aquinas y su eficiencia

Evidencias de aprendizaje: Soluci´on de problemas sobre la aplicaci´on de las leyes de la termodin´amica

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

92

´ ´ 12.1. MAQUINA TERMICA

93

Conceptos y ecuaciones:

12.1.

M´ aquina t´ ermica

Es aquel dispositivo que transforma parte del calor que recibe en trabajo mec´anico, esta constituido por una fuente caliente (caldera u horno) que entrega calor (Q1 ) a la m´aquina y otra fuente fr´ıa (condensador)donde se expulsa el calor residual (Q2 ). El trabajo u ´til que se obtiene de la m´aquina t´ermica es: W = Q1 − Q2

(12.1)

Figura 12.1: a) Locomotora (tren de vapor)

η¯ =

W Q1

(12.2)

EJEMPLO 12.1. Un gas ideal realiza un ciclo termodin´amico como se muestra en la gr´afica. Si la energ´ıa suministrada en el ciclo es de 40 kJ determine la energ´ıa liberada y el rendimiento del ciclo

Figura 12.2: a) Locomotora (tren de vapor) ´ SOLUCION En el siguiente gr´ afico:

´ SEMANA 12. MAQUINAS TERMICAS: CICLO DE CARNOT

94

Figura 12.3: a) Locomotora (tren de vapor)

´ WN eto = Area
0.2 m3 100 × 103 ⇒ WN eto = 2 ⇒ WN eto = 1014 J Adem´as: |Qsuministrado | = |Qliberado + WN eto | ⇒ 4 × 104 = Qliberado + 104 J ∴

Qliberado = 3 × 104 J

Adem´as se sabe que: Ef iciencia = η = ⇒ η =

12.2.

Wneto Qsuministrado

104 J × 100 ∴ 4 × 104 J

η = 25 %

M´ aquina frigor´ıfica

M´aquina refrigerante o frigor´ıfica es todo ingenio que evoluciona c´ıclicamente consumiendo trabajo y haciendo pasar calor de un foco a otro de mayor temperatura

Figura 12.4: a) Sistema de refrigeraci´on

´ 12.3. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

95

La eficiencia media de la m´ aquina frigor´ıfica se define como la relaci´on entre la cantidad de calor que extrae del foco fr´ıo y el trabajo que para ello consume

ϵ¯ =

12.3.

Q2 W

(12.3)

Segundo principio de la termodin´ amica

Seg´ un la primera ley de la termodin´ amica, un aumento en forma de energ´ıa debe acompa˜ narse por alguna disminuci´ on en alguna otra forma de energ´ıa. No impone restricciones en los tipos de conversiones de energ´ıa que pueden ocurrir. La segunda ley de la termodin´ amica establece cuales procesos pueden ocurrir y cuales no en la naturaleza. Hay dos formas cl´ asicas de enunciar el segundo principio, la debida a Kelvin-Plank y la debida a Clausius y son las siguientes: Enunciado de Kelvin-Plank.No puede existir un motor termodin´ amico que funcionando c´ıclicamente produzca trabajo intercambiando calor con un solo foco t´ermico Enunciado de Clausius.No puede existir una m´ aquina frigor´ıfica de funcionamiento c´ıclico que haga pasar calor de un foco a otro de mayor temperatura sin aporte de trabajo exterior Ambos enunciados, aunque aparentemente distintos, son equivalentes, ya que la violaci´on de uno de ellos lleva consigo la violaci´ on del otro. Para entender mejor los enunciados consideremos los siguientes ejemplos de procesos que son consistentes con la primera ley de la termodin´amica pero que proceden en un orden gobernado por la segunda ley:

Cuando dos objetos a diferentes temperaturas se ponen en contacto t´ermico entre s´ı, la energ´ıa t´ermica siempre fluye del objeto m´ as caliente al m´as fr´ıo, nunca del m´as fr´ıo al m´as caliente Una bola de hule que se deja caer al suelo rebota varias veces y finalmente queda en reposo, pero una bola que se encuentra en el suelo nunca empieza a botar por si sola. Debido a los choques con las mol´eculas de aire y la fricci´on, un p´endulo mec´anico se convierte en energ´ıa t´ermica; la transformaci´ on inversa de energ´ıa nunca ocurre. Todos estos son procesos irreversibles, es decir, procesos que ocurren de manera natural en una sola direcci´on. Por otro lado, un proceso reversible es uno que puede efectuarse de manera tal que, a su conclusi´on, tanto el sistema como sus alrededores, hayan regresado a sus condiciones iniciales exactas.

12.4.

Rendimiento de un motor termodin´ amico

De acuerdo con el segundo principio, un motor termodin´amico debe siempre funcionar intercambiando calor con dos focos t´ermicos. Su funcionamiento es el indicado en la Figura...: toma la cantidad de calor Q1 del foco caliente, cede la cantidad de calor Q2 al foco fr´ıo y produce un trabajo W La aplicaci´on del primer principio da:

´ SEMANA 12. MAQUINAS TERMICAS: CICLO DE CARNOT

96

Figura 12.5: representaci´on de una m´aquina t´ermica

Q1 − Q2 = W

(12.4)

Con ello, el rendimiento puede expresarse de la forma:

η =

Q1 − Q2 Q2 W = = 1− Q1 Q1 Q1

(12.5)

Puesto que siempre debe ser Q2 < Q1 , el rendimiento de un motor termodin´amico es mayor que cero. Adem´as, de acuerdo con el segundo principio, debe ser siempre Q2 > 0 y jam´as se puede conseguir un motor de rendimiento igual o mayor que la unidad. EJEMPLO 8.1. Encuentre la eficiencia de una m´aquina que introduce 2000 J de calor durante la fase de combusti´ on y pierde 1500 J en el escape. ´ Por definici´ SOLUCION on de eficiencia: η = 1− ∴

12.5.

Qf 1500 J = 1− Qe 2000 J e = 0.25

Eficiencia de una m´ aquina frigor´ıfica

Una m´aquina frigor´ıfica funciona consumiendo trabajo W , extrayendo calor de un foco fr´ıo Q2 y cediendo la cantidad de calor Q1 a un foco caliente Figura...: La aplicaci´on del primer principio da: −Q1 + Q2 = W o´ Q1 − Q2 = W es decir la misma ecuaci´ on ... y la eficiencia de la m´aquina puede expresarse: ϵ =

Q2 Q1 − W Q1 = = −1 W W W

´ 12.5. EFICIENCIA DE UNA MAQUINA FRIGOR´IFICA

97

Figura 12.6: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica

ϵ =

Q1 Q1 − (Q1 − Q2 ) −1 = Q1 − Q2 Q1 − Q2

ϵ =

Q1 − Q1 + Q2 Q2 = Q1 − Q2 Q1 − Q2

∴ ϵ =

Q2 Q1 − Q2

(12.6)

Por lo tanto la eficiencia de una m´ aquina t´ermica es la relaci´on entre el trabajo neto entregado por la m´aquina y el calor invertido para su funcionamiento proveniente del foco caliente η =

Ocupando la relaci´ on de Kelvin

Q1 − Q2 Q2 = 1− Q1 Q1

T1 Q1 = y sustituyendo en la ecuaci´on tenemos: T2 Q2 η = 1−

T2 T1

(12.7)

EJEMPLO 12.2. La temperatura de la caldera de una m´aquina de vapor es 500 K y la de su condensador es de 300 K. Sabiendo que su rendimiento real es el 25 % de su rendimiento ideal, halle su rendimiento real.

Figura 12.7: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica

´ SEMANA 12. MAQUINAS TERMICAS: CICLO DE CARNOT

98

´ Calculo del rendimiento ideal: SOLUCION η =

500 K − 300 K ′ T1 − T2 = , ⇒ η = 0.4 T1 500 K

Calculo del rendimiento real: ηreal = 25 % (ηideal ⇒ ηreal = (0.25) (0.4) = 0.1 ∴ η = 10 %

12.6.

Ciclo termodin´ amico

Es aquel proceso termodin´ amico, en donde el sistema retorna a su estado inicial por un camino diferente. En todo ciclo termodin´ amico la variaci´on de la energ´ıa interna es igual a cero. El trabajo neto realizado por el sistema durante el ciclo es igual al ´area encerrada por las curvas

Figura 12.8: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica

Wneto = Q1 − Q2

(12.8)

Q1 (+) : cantidad de calor entregado al sistema Q2 (−) : cantidad de calor liberado por el sistema En un proceso termodin´ amico, cuando el sistema se expande (el volumen aumenta) el trabajo realizado por el sistema es positivo, si el volumen se comprime (el volumen disminuye) el trabajo realizado es negativo (trabajo realzado sobre el sistema) Si el ciclo termodin´ amico tiene sentido horario, el trabajo realizado es positivo. Si el ciclo termodin´ amico tiene sentido antihorario el trabajo neto realizado es negativo

12.7.

Ciclo de Carnot

En 1824 un ingeniero franc´es llamado Sadi Carnot describi´o una m´aquina te´orica conocida como m´ aquina de Carnot. Demostr´ o que una m´aquina t´ermica que funcione en un ciclo reversible ideal, denominado ciclo de Carnot, entre dos dep´ositos t´ermicos, es la m´aquina m´as eficiente posible. El teorema

12.7. CICLO DE CARNOT

99

Figura 12.9: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica de Carnot puede enunciarse como sigue: Ninguna m´ aquina t´ermica real que opera entre dos dep´ ositos t´ermicos puede ser m´ as eficiente que una m´ aquina de Carnot operando entre los mismos dos dep´ ositos Para describir el ciclo de Carnot, supongamos que la sustancia que trabaja entre las temperaturas Ta y Tb , es un gas ideal contenido en un cilindro con un ´embolo m´ovil en un extremo. Las paredes del cilindro y el ´embolo no son conductores t´ermicos. As´ı, mostramos a continuaci´on las 4 etapas del ciclo de Carnot:

1 − 2 Esta transformaci´ on es una isoterma; el sistema se expande en contacto con un foco t´ermico a temperatura constante T1 , absorbiendo la cantidad de calor Q1 y produciendo un trabajo W12 2 − 3 Es una transformaci´ on adiab´ atica; el sistema, aislado t´ermicamente, sigue expandi´endose a cuenta de su energ´ıa interna, enfri´ andose desde la temperatura T1 hasta la T2 y produciendo el trabajo W23 3 − 4 Se trata de una transformaci´ on isoterma durante la cual el sistema est´a en contacto con un foco fr´ıo de temperatura T2 , siendo comprimido por un aporte exterior de trabajo, W34 y cediendo el sistema al foco fr´ıo la cantidad de calor Q2 . 4 − 1 Es una transformaci´ on adiab´ atica que devuelve al sistema al estado inicial, comprimi´endolo mediante un aporte exterior de trabajo, W41 y elevando su temperatura desde T2 hasta la inicial T1 Los procesos anteriores tambi´en pueden ser vistos en un diagrama P-V El trabajo neto realizado en este proceso c´ıclico reversible es igual al ´area encerrada por la trayectoria abcda del diagrama P-V. Para todo ciclo de Carnot se cumple lo siguiente

´ SEMANA 12. MAQUINAS TERMICAS: CICLO DE CARNOT

100

Figura 12.10: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica

Q2 T2 = Q1 T1

(12.9)

Y desde que δU = 0 tenemos que el trabajo efectuado en el ciclo es igual al calor neto transferido al sistema: Wneto = Q1 − Q2

(12.10)

En consecuencia, la eficiencia t´ermica de una m´aquina de Carnot es:

eCarnot = 1 −

T2 Q2 = 1− Q1 T1

(12.11)

EJEMPLO 12.3. El esquema representa una m´aquina t´ermica. Determine si esta m´aquina es reversible o irreversible, sabiendo que; Q1 = 300 KJ y Q2 = 210 KJ

Figura 12.11: representaci´on de una m´aquina frigor´ıfica ´ SOLUCION La eficiencia de cualquier m´aquina t´ermica reversible o irreversible se puede hallar usando la siguiente f´ ormula: n1 =

Q1 − Q2 300 KJ − 210 KJ = ⇒ n1 = 0.3 o 30 % Q1 300 KJ

12.8. ACTIVIDAD DE CLASE

101

La m´aquina ser´ a reversible si usando las temperaturas se obtiene la misma eficiencia, de lo contrario ser´a irreversible: 500 K − 300 K T1 − T2 = n2 = ⇒ n2 = 0.4 o 40 % T1 500 K Como n2 > n1 ⇒ la m´ aquina es irreversible. Una m´aquina t´ermica es reversible, ideal o de Carnot cuando: Q2 T2 Q2 T2 = 1− ∴ = n1 = n2 = 1 − T1 Q1 T1 Q1 Una m´aquina t´ermica es irreversible o real cuando: n2 > n1 ∴ 1 −

T2 Q2 Q2 T2 >1 − ∴ > T1 Q1 Q1 T1

Actividad de clase:

12.8.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Una m´aquina de Carnot trabaja entre dos isotermas .A ”B.a las temperaturas TA = 27o C y TB = −73o C. Si recibe 120 cal de la fuente caliente durante cada ciclo. ¿Cu´anto calor (en calorias) cede en cada ciclo a la fuente fria? 2

a) 80 cal b) 90 cal c) 120 cal d ) 180 cal

Respuesta: 80 cal KJ 2. Una m´aquina t´ermica que realiza un trabajo de 100 ciclo , devuelve 25 KJ de calor a la fuente fr´ıa. ¿Cu´al es la eficiencia (en %)?

a) 20 % b) 40 % c) 60 % d ) 80 %

Respuesta: 80 %

Materiales complementarios:

´ SEMANA 12. MAQUINAS TERMICAS: CICLO DE CARNOT

102

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Ciclo de Carnot y M´ aquina de Carnot: https://www.youtube.com/watch?v=8-jijfaTKhE Eficiencia de una m´ aquina de Carnot: https://www.youtube.com/watch?v=Jh8Ok_bI3R8

Simulaci´ on para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Simulador ciclo de Carnot: https://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/template.php?s=mf_carnot&l=es

Referencias bibliogr´ aficas: Walter P´erez Terrel. (2007). F´ISICA: P´erez, W.. (2007). CAP´ITULO 13: CALOR. En F´ISICA: Teor´ıa y pr´actica(pp.589-593). Jr. D´ avalos Liss´ on 135, Lima, Lima, Lima: San Marcos E. I. R. L..

12.9. TAREA

103

Tarea:

12.9.

Tarea

Resuelves los problemas de m´ aquina de Carnot, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

0()()()()

Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas. 1. Las temperaturas de operaci´ on de una m´aquina de Carnot son 210 y 45o C. La salida de potencia de la m´ aquina es 950 W .Calcule la tasa de salida de calor 2. Una planta el´ectrica nuclear opera al 65 % de su m´ axima eficiencia te´ orica (de Carnot) entre temperaturas de 660 y 330o C. Si la planta produce energ´ıa el´ectrica a la tasa de 1.2 GW , ¿cu´ anto calor de escape se descargar por hora? NOTA: la potencia total generada se puede encontrar de la siguiente manera: P otencia Real = (potencia total)(m´ axima ef iciencia) (ef icienciaoperativa)

3. Una m´aquina de Carnot realiza trabajo a una tasa de 520 KW , con una entrada de 950 kcal de calor por segundo. Si la temperatura de la fuente de calor es de 560o C ¿a qu´e temperatura se expulsa el calor de desecho? 4. Suponga que un alpinista de 65 Kg necesita 4 × 103 kcal de energ´ıa para suministrar el valor energ´etico requerido del metabolismo de un d´ıa. Estime la altura m´axima a la que la persona puede escalar en un d´ıa, usando s´ olo esta cantidad de energ´ıa. Como una predicci´on aproximada, considere al individuo como una m´aquina t´ermica aislada, que opera entre la temperatura interna de 37o C(98.6o F ) y la temperatura ambiental del aire de 20o C

Semana 13

Maquina de combusti´ on interna y su eficiencia, refrigeraci´ on y su eficiencia

Objetivo de la semana: Entender la aplicaci´ on de las leyes de la termodin´amica en motores de combusti´on y refrigeraci´ on mediante algunos ejemplos basados en el ciclo de Carnot.

Aprendizaje esperado: Identifica las variables f´ısicas mediante la aplicaci´on de la primera y segunda ley de la termodin´ amica aplicados a motores de combusti´ on y refrigeraci´on.

Evidencias de aprendizaje: Problemas tipo examen de admisi´ on sobre m´aquinas de combusti´on y refrigeraci´on . Infograf´ıa sobre los conceptos de los motores de combusti´on y refrigeraci´on.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de una infograf´ıa.

104

´ INTERNA 13.1. MAQUINA DE COMBUSTION

105

Conceptos y ecuaciones:

13.1.

Maquina de combusti´ on interna

Una m´aquina t´ermica se representa en general como lo indica la figura 13.1. El significado de los s´ımbolos usados en las ecuaciones que se representan a continuaci´on, pueden interpretarse a partir de esa figura. El trabajo efectuado por la m´ aquina es la diferencia entre el calor de entrada y el calor de salida. W = Qent − Qsal La eficiencia, e, de un motor t´ermico se define como e=

W QH

Donde W es el trabajo u ´til extra´ıdo del motor y QH es la energ´ıa que se provee al motor en forma de calor. El ciclo ideal que usa un ingeniero para perfeccionar un motor de gasolina se muestra en la figura 13.2. Se conoce como el ciclo de Otto. La carrera de compresi´on se representa en la curva ab. La presi´on aumenta adiab´atica mente a medida que el volumen se reduce. En el punto b se enciende la mezcla, suministrando una cantidad de calor Qent al sistema. Esto ocasiona una brusca elevaci´on en la presi´on, como indica la l´ınea bc. En la carrera de trabajo (cd) los gases se expanden adiab´atica ente efectuando trabajo externo. Luego el sistema se enfr´ıa a volumen constante hasta el punto a, cediendo una cantidad de calor Qsal . Los gases de la combusti´ on son expulsados en la siguiente carrera del ´embolo hacia arriba, suministr´ andose m´as combustible en la siguiente carrera cuando el pist´on se mueve hacia abajo. Despu´es el ciclo vuelve a empezar. La raz´ on de vol´ umenes V1 /V2 , como indica el diagrama P − V , se llama raz´on de compresi´ on y es igual a 8 para la mayor´ıa de los motores de autom´ovil. La eficiencia del ciclo de Otto ideal se muestra

Figura 13.1: Diagrama de una m´aquina t´ermica.

´ INTERNA Y SU EFICIENCIA, REFRIGERACION ´ Y SU EFIC 106SEMANA 13. MAQUINA DE COMBUSTION en la siguiente ecuaci´ on e=1−

13.2.

1 (V1 /V2 )γ−1

Refrigeraci´ on

Se puede pensar que un refrigerador es una m´aquina t´ermica que opera en sentido inverso. Un diagrama esquem´atico de un refrigerador aparece en la figura 13.4. Durante cada ciclo, un compresor o un dispositivo

Figura 13.2: Motor a gasolina de cuatro tiempos:a) carrera de admisi´on, b) carrera de compresi´ on, c) carrera de trabajo, d) carrera de expulsi´ on.

Figura 13.3: Ciclo de Otto para un motor de gasolina de cuatro tiempos.

´ 13.2. REFRIGERACION

107

similar proporciona trabajo mec´ anico W al sistema, extrayendo una cantidad de calor Qf rio de un dep´ osito fr´ıo y cediendo una cantidad de calor Qcal a un dep´osito caliente. De acuerdo a la primera ley, el trabajo de entrada est´a dado por W = Qcalor − Qf rio La eficiencia de cualquier refrigerador se determina por la cantidad de calor Qf rio extra´ıda con el m´ınimo gasto de trabajo mec´ anico W . De este modo, la raz´on Qf rio /W es una medida de la eficiencia de enfriamiento del refrigerador y se le llama su coeficiente de rendimiento K simb´olicamente K=

Qf rio Qf rio = W Qcal − Qf rio

La eficiencia m´ axima puede expresarse en t´erminos de temperaturas absolutas: K=

Tf rio Tcal − Tf rio

EJEMPLO 13.1. Calcule la eficiencia de un motor de gasolina para el cual la raz´on de compresi´ on es 8 y γ = 1.4. ´ SOLUCION@0 A partir de la informaci´on proporcionada, observemos que V1 =8 V2 γ − 1 = 1.4 − 1 = 0.4 Sustituyendo en la ecuaci´ on e=1−

1 = 0.57 80.4

Por lo tanto tiene una eficiencia de 57 por ciento.

EJEMPLO 13.2. Un refrigerador ideal funciona entre los 500K y los 400K. En cada ciclo extrae 800J de un dep´ osito frio. ¿Cu´ anto trabajo se lleva a cabo en cada ciclo y cu´anto calor se libera al medio? ´ Calculamos el coeficiente de rendimiento K a partir de la temperatura proporcionada. SOLUCION Como K es la raz´ on de calor extra´ıdo Qf rio (800J) a calor de entrada, despu´es determinaremos el trabajo

Figura 13.4: Diagrama de un refrigerador

´ INTERNA Y SU EFICIENCIA, REFRIGERACION ´ Y SU EFIC 108SEMANA 13. MAQUINA DE COMBUSTION hecho en cada ciclo. El calor de salida puede entonces hallarse porque el trabajo es iguala a la diferencia (Qf rio − Qcal ). Sustituyendo obtenemos K=

Tf rio 400K = =4 Tcal − Tf rio 500K − 400K

Entonces el trabajo en un ciclo se determina c´omo sigue Went =

Qf rio 800J = = 200J K 4

Ahora tenemos Qcalor = Went + Qf rio = 200J + 800J = 1000J Cabe advertir que en este ejemplo hemos usado el coeficiente de rendimiento m´aximo posible. En un refrigerador real, un valor de K m´ as peque˜ no resulta en la necesidad de m´as de 200J de trabajo por ciclo.

13.3.

Metodolog´ıa para resolver problemas de dilataci´ on superficial y volum´ etrica

1. Algunos problemas que involucran motores t´ermicos tienen que ver con la potencia y con la tasa de transferencia t´ermica. La potencia es trabajo pr unidad de tiempo y la tasa de transferencia de energ´ıa t´ermica es calor por unidad de tiempo. Usted puede tratar a estas cantidades como el trabajo y el calor, pero recuerde que involucran la unidad de tiempo 2. Recuerde la primera y segunda ley de la termodin´amica tem Recuerde que la entrop´ıa de un sistema cerrado siempre permanece igual o se incrementa (nunca disminuye). Pero aseg´ urese de que en un problema la situaci´ on es realmente acerca de un sistema cerrado.

Actividad de clase:

13.4.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un motor con 37 por ciento de eficiencia pierde 400J de calor en cada ciclo. ¿Qu´e trabajo se realiza y cu´anto calor se absorbe en cada ciclo? Respuesta:235J, 635J 2. Un refrigerador extrae 400J de calor de una caja en cada ciclo y expulsa 600J hacia un recipiente a alta temperatura. ¿Cu´ al es el coeficiente de rendimiento? Respuesta:2

Materiales complementarios:

13.4. ACTIVIDAD DE CLASE

109

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: M´aquina de combusti´ on y refrigeraci´ on : https://youtu.be/v6Xhjr7bbjA https://youtu.be/cdUge74ZlOU

Simulaci´ on para complementar el tema m´aquinas de combusti´on y refrigeraci´on : M´aquinas de combusti´ on y refrigeraci´ on : http://www.objetos.unam.mx/fisica/termodinamica3/index.html

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Termodin´ amica. En F´ısica conceptos y aplicaciones (415, 418). M´exico: Mc Graw Hill. Bauer, W.. (2011). La segunda ley de la Termodin´amica. F´ısica para Ingenier´ıas y Ciencias (649,677). M´exico: Mc Graw Hill.

´ INTERNA Y SU EFICIENCIA, REFRIGERACION ´ Y SU EFIC 110SEMANA 13. MAQUINA DE COMBUSTION

Tarea:

13.5.

Tarea

Resuelves los problemas de m´ aquinas de combusti´on y refrigeraci´on, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

´ coeficiente de rendimiento de un refrigera3. El dor es 5. ¿Cu´anto calor se desecha si el compresor 1. ¿Cu´al es la eficiencia de una m´ aquina ideal realiza 200J de trabajo durante cada ciclo? que opera entre las temperaturas 525K y 300K? Problemas.

2. Una m´aquina de Carnot absorbe 1200cal durante cada ciclo cuando funciona entre 500 y 300K. ¿Cu´al es la eficiencia? ¿Cu´ anto calor es expulsado y cu´anto trabajo se realiza, en joules, durante cada ciclo?

4. ¿Cu´anto calor se extrae del recipiente frio si el compresor de un refrigerador realiza 189J de trabajo en cada ciclo? El coeficiente de rendimiento es 4 ¿Cu´anto calor se expulsa hacia el recipiente caliente?

Semana 14

Hidrost´ atica

Objetivo de la semana: Define y aplica los conceptos de densidad, gravedad especifica, peso especifico, tensi´on superficial, presi´on y presi´ on de un fluido

Aprendizaje esperado: Define el concepto de fluidos y las variables f´ısicas que los describen mediante la aplicaci´ on del principio de Arqu´ımides para relacionarlos con los diferentes fen´omenos f´ısicos que implican fluidos.

Evidencias de aprendizaje: Problemas de hidrost´ atica aplicados al entorno cotidiano.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

111

´ SEMANA 14. HIDROSTATICA

112

Conceptos y ecuaciones:

14.1.

Hidrost´ atica

La comprensi´ on del comportamiento de fluidos como el agua y el aire le ha permitido al ser humano construir sistemas hidr´ aulicos y neum´ aticos capaces de levantar objetos pesados aplicando fuerzas peque˜ nas. En este cap´ıtulo estudiaremos algunas propiedades de los l´ıquidos en reposo. Un fluido es una sustancia cuya forma se adapta a la del recipiente que lo contiene. Esto se debe a que las fuerzas de cohesi´ on de sus mol´eculas no son tan intensas como las que existen entre las mol´eculas de un s´olido. Los fluidos son sustancias que no ofrecen resistencia a la deformaci´on por un esfuerzo de corte.

14.2.

Tensi´ on superficial

La tensi´on superficial (γ) en una pel´ıcula l´ıquida se define como la fuerza por unidad de longitud que act´ ua a lo largo de una l´ınea cuando se estira la “superficie del l´ıquido”. Matem´aticamente se expresa as´ı:

γ=

F L

(14.1)

Donde F es la fuerza de tensi´ on superficial y L es la longitud de la pel´ıcula sometida a la fuerza F. La tensi´on superficial se mide en N/m en el SI. La tensi´on superficial del agua es mayor que la de la mayor´ıa de los l´ıquidos. En la tabla se presentan los valores de la tensi´on para algunas sustancias. Tensi´on superficial a 20°C L´ıquido Tensi´on superficial, γ Alcohol et´ılico 0.0223 Glicerina 0.0631 Agua 0.728 Agua jabonosa 0.25 Mercurio 0.465 Tabla 14.1: Tensi´on superficial

EJEMPLO 14.1. El alambre en forma de U de la figura siguiente se moja con agua a 20 °C. El alambre deslizante tiene 0.11 m de longitud y su masa es de 0.001 kg, ¿cu´al es el valor de la fuerza de tensi´on superficial? ´ Si se considera que la pel´ıcula tiene dos superficies, entonces: SOLUCION L = 2l = 2(0.11m) = 0.22m Por lo tanto, la fuerza de la tensi´ on superficial se calcula de:

14.3. DENSIDAD

113

Figura 14.1: Figura del ejemplo 14.1

F = γL = (0.078N/m)(0.22m) F = 0.016N

14.3.

Densidad

La densidad absoluta () de una sustancia es el cociente entre su masa y volumen. Matem´aticamente se define por: ρ=

m V

(14.2)

Donde m es la masa del objeto o cuerpo y V su volumen. En el SI la densidad absoluta se mide en kg/m3 . Sin embargo, en la vida cotidiana todav´ıa se sigue empleando el g/cm3 .

EJEMPLO 14.2. Un cubo de madera, hecho de roble, de 10 cm de lado tiene una masa de 710 g, ¿cu´al es la densidad absoluta del roble? ´ Primero se determina el volumen del cubo: SOLUCION V = L3 = (10cm)3 = 1000cm3 A continuaci´on, se aplica la ecuaci´ on para calcular la densidad: ρ=

14.4.

m 710g = = 0.710g/cm3 V 1000cm3

Densidad relativa

La densidad relativa (d) de una sustancia se defi ne como el cociente entre la densidad absoluta de dicha sustancia y la densidad absoluta del agua. Matem´aticamente:

d=

ρsustancia ρagua

(14.3)

La densidad relativa de una sustancia nos indica cu´antas veces es m´as o menos densa la sustancia que el agua. Es decir, representa la relaci´ on entre la masa de la sustancia y la masa del agua, cuando ambas tienen el mismo volumen.

´ SEMANA 14. HIDROSTATICA

114

EJEMPLO 14.3. ¿Cu´ al es la densidad relativa del n´ ucleo de la Tierra, si su densidad absoluta es 3 de 9 500 kg/m ? ´ SOLUCION d=

14.5.

9500Kg/m3 ρn´ucleo = = 9.5 ρagua 1000Kg/m3

Peso espec´ıfico

Los cient´ıficos definieron el peso espec´ıfico de una sustancia o cuerpo como su peso por unidad de volumen. Matem´ aticamente se expresa por:

Pe =

W V

(14.4)

Donde W es el peso del cuerpo y V su volumen. En el SI el peso espec´ıfico se mide en N/m3 . A partir de las definiciones del peso espec´ıfico, peso y densidad se puede encontrar la relaci´on entre el peso espec´ıfico y la densidad. Es decir:

Pe =

mg = ρg V

(14.5)

A continuaci´ on se muestra una tabla con algunos valores de densidad y peso espec´ıfico para algunos materiales:

EJEMPLO 14.4. ¿Cu´ al es el valor del peso espec´ıfico de la glicerina? ´ SOLUCION Pe = ρg = (1260Km/m3 )(9.81m/s2 ) = 12348N/m3

14.6.

Presi´ on

A la fuerza normal por unidad de ´ area se le llama presi´on. Simb´olicamente, la presi´on P est´ a dada por:

P =

F A

(14.6)

donde A es el ´ area donde se aplica la fuerza perpendicular F. La unidad de presi´on resulta de la relaci´on entre cualquier unidad de fuerza y la unidad de ´area. Por ejemplo, newtons por metro cuadrado y libras por pulgada cuadrada. En el sistema SI de unidades, al N/m2 se le llama pascal (Pa).

EJEMPLO 14.5. Sandra tiene una masa de 50 kg y se pone de pie sobre un ´area de 1cm2 , a) ¿Cu´ al es la presi´on sobre el ´ area en que est´ a parada? ´ SOLUCIONPrimero se determina el peso de Sandra, ya que es la fuerza que se aplica al ´area de 1 cm2 .

´ DE UN FLUIDO 14.7. PRESION

115

Densidad (ρ) y peso especifico (D) kg g lb Sustancia ρ, 3 ρ, D, 3 m cm cm3 Acero 7,800 7.8 487 Aluminio 2,700 2.7 169 Cobre 8,890 8.89 555 Hielo 920 0.92 57 Hierro 7,850 7.85 490 Lat´ on 8,700 8.7 540 Oro 19,300 19.3 1,204 Plata 10,500 10.5 654 Plomo 11,300 11.3 705 Vidrio 2,600 2.6 162 Agua 1,000 1 62.4 Alcohol 790 0.79 49 Benceno 880 0.88 54.7 Gasolina 680 0.68 42 Mercurio 13,600 13.6 850 Aire 1.29 0.00129 0.0807 Helio 0.178 0.000178 0.011 Hidr´ ogeno 0.09 0.00009 0.0058 Nitr´ ogeno 1.25 0.00125 0.0782 Oxigeno 1.43 0.00143 0.00892 Tabla 14.2: Relaci´on entre densidad y peso espec´ıfico

W = mg = (50kg)(9.8m7/s2 ) = 490N Sabiendo que 1 cm2 equivalea0.0001m2 sedeterminaelvalordelapresi´ on : P =

14.7.

F 490N = = 4900kP a A 0.0001m2

Presi´ on de un fluido

La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene siempre act´ ua en forma perpendicular a esas paredes. Los fluidos ejercen presi´ on en todas direcciones. La presi´on del fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad bajo la superficie del fluido: P = ρgh

(14.7)

EJEMPLO 14.6. ¿A qu´e profundidad un buzo experimenta una presi´on hidrost´atica igual a la presi´on atmosf´erica a nivel del mar (1.013 × 105 Pa)? La densidad del agua es de 1 000 kg/m3 .

´ SEMANA 14. HIDROSTATICA

116 ´ Despejando h en la ecuaci´on de presi´on de un fluido: SOLUCION h=

P 1.013 × 105P a = ρg (1000gm3 )(9.8m/s2 ) h = 10.33m

14.8.

Metodolog´ıa para resolver problemas de hidrost´ atica

1. Dibuja una figura y marca con las cantidades proporcionales y las que deben calcularse. Usa las unidades de forma congruente. 2. Debes utilizar presi´ oon absoluta a menos que el problema incluya una diferencia de presi´on. 3. La diferencia de presi´ on entre dos puntos es proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad en el fluido.

Actividad de clase:

14.9.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un submarino se sumerge a una profundidad de 120 ft y se nivela. El interior del submarino se mantiene a la presi´ on atmosf´erica. ¿Cu´ ales son la presi´on y la fuerza total aplicadas a una escotilla de 2 ft de ancho y 3 ft de largo? El peso espec´ıfico del agua del mar es de 64lb/f t3 aproximadamente. Respuesta: 53.3lb/in2 , b) 46 080 lb 2. ¿Qu´e volumen de agua tiene la misma masa que 100cm3 de plomo? Respuesta: 1130cm3

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de hidrost´atica: La ciencia de la presi´ on: https://www.youtube.com/watch?v=SFcLbAe1P1w

Simulaci´ on para complementar el tema de hidrost´atica:

14.9. ACTIVIDAD DE CLASE

117

Presi´on hidrost´ atica: https://labovirtual.blogspot.com/2011/12/presion-hidrostatica.html

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (304, 305, 315, 325). M´exico: Mc Graw Hill. Gutierrez A. C (2009). Hidrost´ atica: fluidos en reposo. F´ısica General (205, 206, 207, 208, 209, 210). M´exico: Mc Graw Hill.

´ SEMANA 14. HIDROSTATICA

118

Tarea:

14.10.

Tarea

Resuelves los problemas de hidrost´ atica, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

2()()()()

0()()()()

Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

2()()()()

0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas.

3. Si el nitr´ogeno tiene una densidad de 1.25kg/m3 a 0°C bajo las condiciones de la pre1. Un alambre de cobre en forma de U se moja si´on atmosf´erica, ¿cu´al es la masa de 100cm3 de con agua a 0°C. El alambre deslizante tiene 0.10 m nitr´ogeno a dicha presi´on? de longitud y una masa de 0.0012 kg. ¿Cu´al es el valor de la fuerza de tensi´ on superficial? 4. En el oc´eano Pac´ıfico se encuentra la falla Mariana, que tiene una profundidad aproximada de 11 2. Un acr´obata de 65 kg realiza un acto de equi- 000 m. Si la densidad del mar es de 1025kg/m3 , librio sobre un bast´ on. El extremo del bast´on, en ¿cu´al es la presi´on hidrost´atica que experimenta un contacto con el piso, tiene un ´ area de 2cm2 . Deter- ser vivo a dicha profundidad? mina la presi´on que el bast´ on en estas condiciones ejerce sobre el piso.

Semana 15

Presi´ on atmosf´ erica, manom´ etrica y absoluta

Objetivo de la semana: Comprende el efecto de la altura sobre la presi´on de fluidos, a partir de la relaci´on de fuerza sobre ´area, para explicar las diferencias entre presi´on atmosf´erica, manom´etrica y absoluta.

Aprendizaje esperado: Identifica los tipos de fluidos y las variables f´ısicas que los describen mediante la aplicaci´ on del principio de Arqu´ımides para relacionarlos con los diferentes fen´omenos f´ısicos que implican fluidos.

Evidencia de aprendizaje: Cuadro sin´ optico sobre presi´ on atmosf´erica, manom´etrica y absoluta.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de un cuadro sin´optico.

119

´ ATMOSFERICA, ´ ´ SEMANA 15. PRESION MANOMETRICA Y ABSOLUTA

120

Conceptos y ecuaciones:

15.1.

Presi´ on en fluidos

La presi´on y la fuerza est´ an relacionadas; sin embargo, no son lo mismo. La presi´on se define como fuerza por ´area unitaria, donde la fuerza F se entiende como la magnitud de la fuerza que act´ ua perpendicularmente a la superficie de ´ area A. As´ı cuando un fluido como el agua entra en contacto con la superficie de u solido, el fluido ejerce una fuerza perpendicular a la superficie del cuerpo en cada punto de la superficie. GIANCOLLI 341 Aunque la fuerza es un vector, la presi´ on es un escalar. La presi´on s´olo tiene magnitud. La unidad del SI para presi´on es N/m2 . Esta unidad tiene el nombre oficial de pascal (P a), en honor de Blaise Pascal; 1 P a = 1 N/m2 . Sin embargo, por sencillez, en general usaremos N/m2 . Otras unidades que tambi´en se emplean son dina/cm, lb/in2 (abreviada a veces como ”psi”).

P =

F A

(15.1)

El concepto de presi´ on es particularmente u ´til al tratar con fluidos. Es un hecho experimental que un fluido ejerce una presi´ on en todas direcciones.

Figura 15.1: La presi´ on es la misma en todas direcciones en un fluido que permanece est´atico a una profundidad dada; si no fuera as´ı, el fluido empezar´ıa a moverse.

EJEMPLO 15.1. Los pies de una persona de 60 kg cubren un ´area de 500 cm2. a) Determine la presi´on que ejercen los dos pies sobre el suelo. b) Si la persona se para sobre un pie, ¿cu´al ser´a la presi´ on debajo de ´este? ´ SOLUCION Suponga que la persona est´a en reposo. El suelo la empuja con una fuerza igual a su peso mg, y ella ejerce una fuerza mg sobre el suelo donde sus pies (o pie) hacen contacto. Como 1 cm2 = (10−2 m)2 = 10−4 m2 , por lo tanto, 500cm2 = 0.050 m2 . a) La presi´on que ejercen los pies sobre el suelo es: P =

F m·g (60 kg)(9, 8 m/s2 ) = = = 12 × 103 N/m2 A A (0.05)2

´ EN FLUIDOS 15.1. PRESION

121

b) Si la persona est´ a parada sobre un solo pie, la fuerza es la misma; sin embargo, el ´area se reduce a la mitad, por lo que la presi´ on se duplica: 24 × 103 N/m2 Calculemos ahora cuantitativamente c´ omo var´ıa con la profundidad la presi´on en un l´ıquido de densidad uniforme. Consideremos un punto que est´a a una profundidad h por debajo de la superficie del l´ıquido (es decir, la superficie est´ a a una altura h por arriba de este punto), como se muestra en la Figura 15.2. La presi´on debida al l´ıquido a esta profundidad h es provocada por el peso de la columna de l´ıquido encima de ´el. As´ı, la fuerza debida al peso del l´ıquido que act´ ua sobre el ´area A es F = m·g = (ρ·V )g = ρ·A·h·g, donde A · h es el volumen de la columna de l´ıquido, ρ es la densidad del l´ıquido (que se supone constante) y g es la aceleraci´ on de la gravedad. Por lo tanto, la presi´on P debida al peso del l´ıquido es: P =

F ρ·A·h·g = A A P =ρ·g·h

(15.2)

Figura 15.2: C´ alculo de la presi´on a una profundidad h en un l´ıquido. Para la situaci´ on com´ un de un l´ıquido en un recipiente abierto, como el agua en un vaso, una alberca, un lago o el oc´eano, se tiene una superficie libre en la parte superior. En tal caso es conveniente medir las distancias desde esta superficie superior. Es decir, llamamos h a la profundidad en el l´ıquido, donde h = y2 − y1 , como se observa en la Figura 15.3. Si y2 es la posici´on de la superficie superior, entonces P2 representa la presi´ on atmosf´erica, P0 , en la superficie libre:

Figura 15.3: La presi´ on a una profundidad h = y2 − y1 ) en un l´ıquido de densidad ρ es P = P0 + ρ · g · h, donde P0 es la presi´ on externa en la superficie superior del l´ıquido.

122

´ ATMOSFERICA, ´ ´ SEMANA 15. PRESION MANOMETRICA Y ABSOLUTA

EJEMPLO 15.2. La superficie del agua en un tanque de almacenamiento est´a 30 m por arriba de un grifo de agua en la cocina de una casa. Calcule la diferencia en la presi´on del agua entre el grifo y la superficie del agua en el tanque ´ . Suponemos que la presi´on atmosf´erica en la superficie del agua en el tanque de almaSOLUCION cenamiento es la misma que en el agua que sale por el grifo. La diferencia de presi´on entre el grifo y la superficie del agua en el tanque es: ∆P = ρ · g · h = (1 × 103 kg/m3 )(9.8 m/s2 )(30 m) = 2.9 × 105 N/m2

15.2.

Presi´ on atmosf´ erica

La presi´on del aire en un punto determinado de la Tierra var´ıa ligeramente de acuerdo con el clima atmosf´erico. Al nivel del mar la presi´ on de la atm´osfera, en promedio, es igual a 1.013 × 105 N/m2 2 (o 14.7 lb/in ). Este valor se usa para definir una unidad de presi´on com´ unmente usada, la atm´ osfera (abreviada atm): 1 atm = 1.013 × 105 N/m2 = 101.3 kP a Otra unidad de presi´ on empleada con frecuencia (en meteorolog´ıa y en mapas del tiempo) es el bar, que se define como: 1 bar = 1 × 105 N/m2 Por lo general, la presi´ on atmosf´erica se mide en el laboratorio con un bar´ometro de mercurio. El principio de su operaci´ on se muestra en la Figura 15.4. Un tubo de vidrio, cerrado en un extremo, se llena de mercurio. El extremo abierto se tapa y el tubo se invierte en una cubeta de mercurio. Si no se tapa el extremo abierto, el mercurio fluye hacia afuera del tubo hasta que la presi´on ejercida por la columna de mercurio equilibra exactamente la presi´ on atmosf´erica que act´ ua sobre el mercurio de la cubeta. Puesto que la presi´on en el tubo sobre la columna de mercurio es cero, la altura de la columna por arriba del nivel del mercurio en la cubeta indica la presi´on atmosf´erica. Al nivel del mar, una presi´on atmosf´erica de 14.7 lb/in2 har´ a que el nivel del mercurio en el tubo se estabilice a una altura de 76 cm, o 30 in.

Figura 15.4: Bar´ometro.

15.3.

Presi´ on manom´ etrica

Es importante notar que los man´ ometros para neum´aticos, y de otros tipos, registran la presi´ on por encima de la presi´ on atmosf´erica, llamada presi´on manom´etrica. La mayor´ıa de los dispositivos que

´ ABSOLUTA 15.4. PRESION

123

permiten medir la presi´ on directamente miden en realidad la diferencia entre la presi´on absoluta y la presi´on atmosf´erica. Un aparato muy com´ un para medir la presi´on manom´etrica es el man´ometro de tubo abierto, mostrado en la Figura 15.5. El man´ ometro consiste en un tubo en forma de U que contiene un l´ıquido, que generalmente es mercurio. Cuando ambos extremos del tubo est´an abiertos, el mercurio busca su propio nivel ya que se ejerce 1 atm de presi´ on en cada uno de los extremos abiertos. Cuando uno de los extremos se conecta a una c´ amara presurizada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que las presiones se igualan. La diferencia entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presi´on manom´etrica: la diferencia entre la presi´ on absoluta en la c´amara y la presi´on atmosf´erica en el extremo abierto. El man´ometro se usa con tanta frecuencia en situaciones de laboratorio que la presi´on atmosf´erica y otras presiones se expresan a menudo en cent´ımetros de mercurio o pulgadas de mercurio.

Figura 15.5: Man´ ometro de tubo abierto. La presi´on se mide por la altura h de la columna de mercurio.

15.4.

Presi´ on absoluta

La presi´on absoluta Pabs se obtiene a partir de la presi´on manom´etrica Pman sum´andole la presi´ on atmosf´erica Patm : Pabs = Pman + Patm

(15.3)

Por otro lado, cuando caminamos en la playa sabemos que estamos sometidos a la presi´on atmosf´erica al nivel del mar. Pero al sumergirnos en ´este, adem´as de estar sometidos a la presi´on que ejerce el agua, tambi´en habr´a que agregarle la presi´ on que ejerce la atm´osfera sobre la superficie libre del agua que est´ a encima de nosotros. La suma de estas dos presiones se conoce como presi´on absoluta o total. En forma matem´atica se expresa por: Pabs = ρ · g · h + Patm

(15.4)

EJEMPLO 15.3. Un submarino est´a sumergido a una profundidad de 100 m, ¿cu´al es la presi´ on absoluta que experimenta en su superficie exterior? La densidad del agua en ese lugar es de 1020 kg/m³. ´ Utilizando la Ecuaci´ SOLUCION on 15.4 tenemos: Pabs = ρ · g · h + Patm = 102, 300 P a + (1020)(9.81)(100)P a = 1, 100, 900 P a

´ ATMOSFERICA, ´ ´ SEMANA 15. PRESION MANOMETRICA Y ABSOLUTA

124

EJEMPLO 15.4. Suponga que los recipientes de la Figura 15.5 se llenan con gasolina hasta que el nivel del fluido es de 20 cm por arriba de la base de cada recipiente. Las ´areas de las bases de los recipientes A y B son de 20 cm² y de 10 cm², respectvamente. Compare la presi´on y la fuerza total sobre la base de cada recipiente. ´ La densidad de la gasolina es de 680 kg/m3 . La presi´on es la misma en la base para SOLUCION cualquier contenedor y est´ a dada por ρ · g · h. No obstante, la fuerza total no es la misma ya que el peso del agua por encima de la base es diferente. La fuerza total se define como el producto de la presi´ on por el ´area. La presi´on de la base de cualquier contenedor es P = ρ · g · h = (680 kg/m3 )(9.81 m/s2 )(0.2 m) = 1, 330 P a Necesitamos convertir las ´ areas de cm² a m², recuerde que 1 cm2 = 1 × 10−4 m2 . Por tanto, la presi´ on de determina al resolver para la fuerza en la Ecuaci´on 15.1 F = P · A = (1, 330 P a)(20 × 10−2 m2 ) = 2.66 N F = P · A = (1, 330 P a)(10 × 10−2 m2 ) = 1.33 N

15.5.

Metodolog´ıa para resolver problemas de presi´ on en fluidos

1. Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene son siempre perpendiculares a dichas paredes. 2. La presi´on del fluido es directamente proporcional a la profundidad del fluido y a su densidad. 3. A cualquier profundidad, la presi´ on del fluido es la misma en todas direcciones. 4. La presi´on del fluido es independiente de la forma o del ´area del recipiente que lo contiene.

Actividad de clase:

15.6.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un tubo contiene agua bajo una presi´on manom´etrica de 400 kPa. Si se cubre un orificio de 4 mm de di´ametro en el tubo, con un trozo de cinta adhesiva, ¿qu´e fuerza tendr´a que ser capaz de resistir la cinta? Respuesta: 5.03 N. 2. La presi´on manom´etrica en un neum´atico de autom´ovil es de 28 lb/in². Si la rueda soporta 1000 Ib, ¿cu´al es el ´area del neum´ atico que est´ a en contacto con el suelo?. Respuesta: 37.5 in².

15.6. ACTIVIDAD DE CLASE

125

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de presi´on en fluidos: 11 Presi´on absoluta, atmosf´erica y relativa: conceptos: https://www.youtube.com/watch?v=6YQrwMwao2E

Simulaci´ on para complementar el tema de las leyes de los gases: Pressure in a static fluid: http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/pressure.html

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (304, 305, 306, 307, 308, 309, 325). M´exico: Mc Graw Hill. Giancoli, D.. (2008). Fluidos. En F´ısica para ciencias e ingenier´ıas (341, 342, 343, 345). M´exico: Pearson educaci´on. Gutierres, A.. (2009). Hidrost´ atica: Fluidos en reposo. En F´ısica General (213, 214). M´exico: Mc Graw Hill.

´ ATMOSFERICA, ´ ´ SEMANA 15. PRESION MANOMETRICA Y ABSOLUTA

126

Tarea:

15.7.

Tarea

Realiza un cuadro sin´ optico sobre conceptos de presi´on, presi´on de un fluido, presi´on atmosf´erica, presi´on manom´etrica y presi´ on absoluta abordando las variables, ecuaciones, y un ejemplo en tu vida cotidiana de las leyes de los gases, tomando en cuenta la lista de cotejo de evaluaci´on de un cuadro sin´optico. La tarea se entregar´ a en la fecha y hora establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´ on de un cuadro sin´ optico, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Recuperaci´ on y Aplicaci´ on

Alcanzado

No alcanzado

Marco te´ orico

Emplea las ideas principales para abordar la tem´ atica del cuadro sin´ optico (conceptos, leyes, gr´ aficas y ecuaciones).

2.5 ( )

0()

Figuras, gr´ aficas y dibujos

Ilustra con diagramas, gr´ aficas y dibujos la informaci´ on presentada.

2()

0()

Ejemplo de la tem´ atica en tu vida cotidiana

Relata un breve ejemplo de una situaci´ on de la vida cotidiana relacionada con la tem´ atica.

2()

0()

Estructura del cuadro sin´ optico

Construye y utiliza un dise˜ no jer´ arquico separando las ideas principales y secundarias de la tematica.

2.5 ( )

0()

Referencias

Cita y utiliza en formato APA las fuentes de consulta de acuerdo al tema abordado en la infograf´ıa.

1()

0()

Semana 16

Ecuaci´ on Fundamental de la Hidrost´ atica

Objetivo de la actividad: Aplica el teorema fundamental de la hidrost´atica,identificando la presi´on hidrost´atica y atmosf´erica que afectan al problema, para explicar el funcionamiento de aparatos y dispositivos utilizados en la vida cotidiana y/o en el entorno que los rodea

Aprendizaje esperado: Identifica los tipos de fluidos y las variables f´ısicas que los describen mediante la aplicaci´ on del principio de Arqu´ımedes para relacionarlos con los diferentes fen´omenos f´ısicos que implican fluidos.

Evidencias de aprendizaje: Problemario sobre la aplicaci´ on del principio de Arqu´ımedes y las variables f´ısicas que describen a los fluidos.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

127

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

128

Conceptos y ecuaciones:

16.1.

La presi´ on de los l´ıquidos

¿Has experimentado alguna vez la sensaci´on de presi´on en los o´ıdos cuando te sumerges en una piscina?. Lo que ocurre en este caso es que la presi´on que ejerce agua sobre ti, es mayor a medida que estas m´as abajo. Veamos c´omo se explica f´ısicamente este fen´omeno: Considera que el agua de la piscina es el l´ıquido contenido en un recipiente y tu cuerpo es un s´olido que se ha sumergido en dicho recipiente. El l´ıquido contenido en el recipiente, ejerce una fuerza en direcci´on perpendicular a las paredes en cada punto de ´el como en la figura 12.1 a). Por tal raz´on al sumergir el s´olido dentro del l´ıquido, en cada punto de las paredes del s´ olido, el l´ıquido ejerce fuerza en direcci´on perpendicular como en la Figura 12.1 b)

Figura 16.1: a) Presi´ on del l´ıquido sobre las paredes del recipiente. b) presi´on del l´ıquido sobre un objeto sumergido Ahora, consideremos un recipiente cil´ındrico que contiene un l´ıquido de densidad ρ, en el cual la altura del l´ıquido con respecto al fondo del recipiente es h y el pare de la base del cilindro es A como en la Figura 2 La fuerza F que soporta la superficie de la base es igual al peso de la columna del l´ıquido que hay por encima de ella, es decir F = m ·g A partir de la expresi´ on m = ρ · V , tenemos: F = ρ·V ·g Adem´as el volumen del cilindro se expresa como V = A · h. Luego, la expresi´on para la fuerza ser´ıa; F = ρ·A·h·g

´ DE LOS L´IQUIDOS 16.1. LA PRESION

129

Figura 16.2: Recipiente cil´ındrico lleno de agua hasta una altura h A partir de la definici´ on de presi´ on, en la superficie del fondo se cumple que: P =

F⊥ A

Por ende, al reemplazar se tiene que: P ·A = ρ·A·h·g P =

ρ·A·h·g A

Y al simplificar el ´ area, se obtiene que: P = ρ·g·h

(16.1)

Este resultado es v´ alido para cualquier punto interior de un l´ıquido contenido en un recipiente a una profundidad h. A partir de esto podemos deducir que: La presi´on en un punto del interior de un l´ıquido en reposo es proporcional a la profundidad h. Si se consideran dos l´ıquidos diferentes, a la misma profundidad, la presi´on es mayor cuando el l´ıquido es m´ as denso. La presi´on no depende del ´ area del recipiente y, en consecuencia, no depende del volumen del l´ıquido contenido. Si ahora consideramos dos puntos, 1 y 2, cuyas profundidades dentro del l´ıquido en equilibrio son h1 y h2 , respectivamente como en la Figura 3 tenemos que la presi´on en cada punto es: P1 = ρ · g · h1

P 2 = ρ · g · h2

130

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

Figura 16.3: Puntos en un l´ıquido que est´an a profundidades h1 y h2 Por ende, la diferencia de presiones es: P1 − P2 = ρ · g · h1 = − ρ · g · h2 Lo cual se puede expresar como: P1 − P2 = ρ · g · (h1 − h2 )

(16.2)

Esta igualdad recibe el nombre de ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica y es una ecuaci´on b´ asica en el estudio de los fluidos en reposo, ya que relaciona las presiones entre dos puntos, la distancia entre ellos y la densidad del fluido. Para ilustrar su utilidad consideremos las siguientes situaciones: Caso 1Suponiendo que el punto P2 se encuentra en la superficie libre de un l´ıquido de densidad ρ y que el punto P1 est´ a a la profundidad h, entonces de la ecuaci´on 12.2 P1 − P2 = ρ · g · (h1 − h2 ) Como P2 = Patm y P1 = P la ecuaci´ on anterior se convierte en: P − Patm = ρgh ∴

P = Patm + ρgh

Expresi´on que ya se hab´ıa obtenido y donde P representa la presi´ on total o absoluta en un punto de un l´ıquido a una profundidad h

EJEMPLO 12.1. En el planeta Vulcano la presi´on dentro de un l´ıquido, contenido en un recipiente abierto, varia con la profundidad seg´ un la gr´afica que se muestra. Si la densidad del l´ıquido fuera 2 veces mayor, ¿cu´al ser´ıa su presi´ on manom´etrica (en KPa) a 10 metros de profundidad? ´ El valor de la presi´ SOLUCION on atmosf´erica en dicho planeta, se obtiene cuando h = 0, seg´ un la gr´afica Patm = 20KP a; entonces a 10 m de profundidad Pa = 100KP a

´ DE LOS L´IQUIDOS 16.1. LA PRESION

131

Figura 16.4: Figura ejercicio 12.1

Figura 16.5: Informaci´on obtenida de datos del problema En el punto soporta la presi´ on atmosf´erica y la presi´on hidrost´atica: PA = Patm + PH PA = Patm + ρl´ıqg·h 100KP a = 20KP a + ρl´ıqg·h ρl´ıqg·h = 80KP a Cuando la densidad del l´ıquido es el doble, multiplicamos por dos ambos miembros de la ecuaci´ on anterior 2ρl´ıqg·h = 2(80KP a) 2ρl´ıqg·h = 160KP a La presi´on manom´etrica se obtiene: Pabs = PmanA + Patm PH∗ A + Patm = PmanA + Patm PH∗ A = PmanA 2ρl´ıqg·h = PmanA ∴

PmanA = 160KP a

Caso 2 Supongamos que esta ocasi´ on los puntos P1 y P2 est´an a la misma profundidad. Como en este caso no existe un desnivel entre ambos, h es igual a cero. Al sustituir este valor en la ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica se obtiene: P1 − P1 = ρg(h1 − h1 = 0 ∴ P1 = P2 Este resultado nos indica que la presi´ on es la misma en cualquier punto de un l´ıquido (o un fluido) a la

132

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

misma profundidad.

EJEMPLO 12.2. Se utiliza un bar´ ometro con un l´ıquido de densidad ρ. Si h = 70 cm para una presi´on atmosf´erica de 0.9 × 105 P a, la presi´on atmosf´erica (en Pa) para h = 60 cm es:

Figura 16.6: Figura ejercicio 12.2 ´ SOLUCION Los bar´ ometros son instrumentos que miden la presi´on atmosf´erica. Analizamos el primer caso, cuando h = 70 cm

Figura 16.7: Caso 1 h = 70 cm

P1 = P0 = ρgh

En el segundo caso la altura del l´ıquido cambia a h2 = 60 cm

Figura 16.8: Caso 2 h = 60 cm P2 = P0∗ = ρgh2

´ DE LOS L´IQUIDOS 16.1. LA PRESION Dividiendo

133

P0∗ ρgh2 = P0 ρgh1

P0∗

h2 P0∗ = P0 h1   h2 P0∗ = P0 h1  
60 cm 5 = 0.9 × 10 P a 70 cm ∴

P0∗ = 0.77 × 105 P a

Una de las demostraciones experimentales de ´esta u ´ltima conclusi´on se presenta en el principio de los vasos comunicantes, que son dos o m´ as recipientes de diversa forma y tama˜ no que entre si contienen un fluido.

Figura 16.9: La presi´ on que experimentan los puntos A, B, C y D es la misma Como la presi´ on solo depende de la profundidad y no de la forma del recipiente, entonces esta ser´ a la misma en todos los puntos que est´en a la misma profundidad. Podemos concluir que la ecuaci´ on fundamental de la hidrost´atica muestra que: La diferencia de presi´ on entre dos puntos de un fluido en reposo depende de la diferencia de alturas. Si los dos puntos est´ an a la misma profundidad en el interior del l´ıquido, soportan la misma presi´ on independientemente de la forma del recipiente Un ejemplo cotidiano de los vasos comunicantes ocurren cuando los alba˜ niles quieren nivelar horizontalmente un muro, puesto que suelen usar una manguera transparente que contiene agua, cuyos extremos permiten ubicar los puntos del muro en los cuales el nivel del agua es el mismo. Cuando el agua queda quieta marcan el nivel de modo que la linea P Q quede horizontal

Figura 16.10: obteniendo el nivel horizontal en una construcci´on

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

134

EJEMPLO 12.3. El diagrama muestra los niveles de los l´ıquidos equilibrados. Halle la presi´ on (en g Pa) del nitr´ogeno si la presi´ on del aire es de 10KP a. La densidad del aceite empleado es 0.6 cm3

Figura 16.11: Bosquejo para el problema 4 ´ Analizando el diagrama y colocando las medidas en metros y trazando la is´obara teneSOLUCION mos:

Figura 16.12: Bosquejo para el problema ... La is´obara atraviesa los puntos (1) y (2), los cuales soportan la misma presi´on, por tanto: P1 = P2 PN2 + PHaceite + PHHg = Paire + Pagua Calculo de las presiones a) PHaceite = ρ haceite aceite g 
kg PHaceite = 600 m3 10 sm2 (0.5m) PHaceite = 300P a b) PHHg = ρHg ghHg  
kg PHHg = 13600 m 10 sm2 (0.05m) 3 PHHg = 6800 P a c) Pagua = ρ  agua g hagua
kg 10 sm2 (0.4 m) Pagua = 1000 m 3 Pagua = 4000 P a d ) Paire = 10000 P a Reemplazando en la f´ ormula PN2 = 3000 P a + 6800 P a = 10000 P a + 4000 P a

16.2. COMENTARIOS

135 ∴ PN2 = 4200 P a

16.2.

Comentarios

En caso de tener un tubo inclinado con cierto l´ıquido, la presi´on se determina tomando la altura vertical

Figura 16.13: Tubo inclinado con cierto l´ıquido con densidad γ La presi´on en el fondo

⇒ γH = γ h senθ

Figura 16.14: Tubo con varias inclinaciones con cierto l´ıquido con densidad γ La presi´on en el fondo: P = γH = γ (h1 + h2 + h3 ) ∴

P = γ (h1 + L1 senθ + L2 senα

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

136

Se llaman L´ IQUIDOS INMISCIBLES a aquellos que cuando se juntan no llegan a mezclarse. Los menos densos tienden a subir a la superficie y los m´as densos tratan de quedarse en el fondo

Figura 16.15: L´ıquidos inmiscibles

Actividad de clase:

16.3.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Determine la presi´ on absoluta (en 105 P a) en el fondo del recipiente mostrado que contiene mercurio. g ρHg = 13.6 cm3 ; g = 10 sm2 ; Patm = 105 P a

Figura 16.16: Figura para el problema uno de la actividad de clase a) 1.68 b) 1.36 c) 0.36 d ) 0.68 Respuesta: A) 2. En el gr´afico mostrado, el tubo en U de igual secci´on contiene dos l´ıquidos no miscibles en equilibrio. g g Si la densidad del l´ıquido (2) es de 5 cm ıquido (1) en cm 3 , determine la densidad del l´ 3 a) 3.5 b) 4 c) 4.5 d) 5 Respuesta: A)

16.3. ACTIVIDAD DE CLASE

137

Figura 16.17: Figura para el problema dos de la actividad de clase

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de dilataci´on t´ermica: Ecuaci´on fundamental de la hidrost´ atica: https://www.youtube.com/watch?v=M5RWKv5up0A

Referencias bibliogr´ aficas: Bautista, M. Salazar, L.. (2011). Unidad 7. Mec´anica de fluidos. En HIPERTEXTO F´ISICA 1(pp.215217). Calle 80 No. 9-69 Bogot´ a Colombia: SANTILLANA. ´ Vera, A.. (2005). HIDROSTATICA. Hidrodin´amica fen´omenos moleculares en los l´ıquidos(pp.17-20). ´ Cuzcano S. A. C.. LIMA-PERU:

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ SEMANA 16. ECUACION

138

Tarea:

16.4.

Tarea

Resuelves los problemas de dilataci´ on t´ermica, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on

Alcanzado

Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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0()()()()

Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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0()()()()

Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

2()()()()

0()()()()

Orden

Problemas. 1. Se conecta un man´ ometro de mercurio ρ = g 13.6 cm3 a un recipiente que contiene gas, como se muestra en la figura. Determine la altura h (en cm) si la presi´ on manom´etrica del gas es 40.8 KP a

2. La figura muestra un tubo delgado con mercurio. Halle la diferencia de presiones en g KP a entre los puntos A y B. ρHg = 13.6 cm 3

3. En el gr´afico la presi´on en A es 1 × 105 P a. Determine la presi´on en C en   KPa kg 3 ρHg = 13.6 × 10 m3

16.4. TAREA

139 ramas del man´ometro de mercurio a nivel del mar. Si la presi´on del gas es 900 mmHg, determine h (en cm)

4. La figura muestra la diferencia de nivel de las

Semana 17

Principio de Arqu´ımedes

Objetivo de la semana: El alumno entender´ a un principio b´ asico para los fluidos en reposo, el principio de Arqu´ımedes. Como los objetos parecen perder peso al ser sumergido en l´ıquidos.

Aprendizaje esperado: Identifica y comprende el principio de Arqu´ımedes, aplica en distintos ejercicios de fluidos en reposo

Evidencias de aprendizaje: Problemas tipo examen de admisi´ on sobre Principio de Arqu´ımedes. Infograf´ıa sobre los conceptos del Principio de Arqu´ımedes.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de una infograf´ıa.

140

17.1. PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

141

Conceptos y ecuaciones:

17.1.

Principio de Arqu´ımedes

Cualquier persona que est´e familiarizada con la nataci´on y otros deportes acu´aticos ha observado que los objetos parecen perder peso cuando se sumergen en agua. En realidad, el objeto puede incluso flotar en la superficie debido a la presi´ on hacia arriba ejercida por el agua. Arqu´ımedes fue el primero en estudiar este empuje y el principi´ o de Arqu´ımedes se enuncia de la siguiente forma: Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente (empuje) igual al peso del fluido desalojado. Considere un disco de ´area A y de altura H que est´e totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la figura 17.1. Recuerde que la presi´on a cualquier profundidad h en el fluido est´a dada P = ρgh

Donde ρesladensidaddemasadelf luidoygeslaaceleraci´ ondelagravedad.P orsupuesto, sideseamosrepresentarlapresi´ o ejercida sobre la parte superior del disco seg´ un la figura 17.1, es por lo tanto P1 = Pa + ρgh1 (haciaabajo)

Donde Pa eslapresi´ onatmosf e´ricayh1 eslaprof undidadenlapartesuperiordeldisco.Enf ormasimilar, lapresi´ onhaciaa Pa +ρgh2 (haciaarriba)Donde h2 eslaprof undidadmedidaenlaparteinf eriordeldisco.P uestoqueh2 esmayorqueh1 , lapre P1 AyF2 = P2 ALa fuerza neta hacia arriba ejercida or el fluido sobre el disco se llama empuje y est´ a dada por FB = F2 − F1 = A(P2 − P1 ) = A(Pa + ρgh2 − Pa − ρgh1 ) =Aρg(h2 − h1 ) = AρgHDonde H es la altura del disco. Finalmente si recordamos que el volumen del disco es V = AH obtenemos este importante resultado FB = V ρg = mg

Figura 17.1: El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que se desplaza.

SEMANA 17. PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

142

empuje = pesodef luidodesalojado Este es el principio de Arqu´ımedes. EJEMPLO 17.1. Un corcho tiene un volumen de 4cm3 y una densidad de 207kg/m3 . ¿Qu´e volumen del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? ´ SOLUCIONEl corcho desplazar´ a un volumen de agua igual a su propio peso. Recordando que 1cm3 = 1 × 10−6 m3 , el peso de 4cm3 de corcho es W = ρgV = (207kg/m3 )(9.8m/s2 )(4 × 10−6 m3 ) = 8.11 × 10−3 N Puesto que W = ρgV , el volumen del agua desalojada es V =

8.11 × 10−3 N (1000kg/m3 )(9.8m/s2 )

= 8.28 × 10−7 m3 = 0.828cm3 Por lo tanto, el volumen del corcho bajo el agua es tambi´en esa cantidad.

EJEMPLO 17.2. Un globo meteorol´ogico tiene que operar a una altitud donde la densidad del aire es de 0.9kg/m3 . A esa altitud, el globo tiene un volumen de 20m3 y est´a lleno de hidr´ogeno (ρH = 0.09kg/m3 ). Si la bolsa del globo pesa 118N , ¿qu´e carga es capaz de soportar a este nivel? ´ El empuje es igual al peso del aire desalojado, por lo tanto SOLUCION FB = ρgV = (0.9kg/m3 )(9.8m/s2 )(20m3 ) = 176N El peso de 20m3 de hidr´ ogeno es WH = ρH gV = (0.09kg/m3 )(9.8m/s2 )(20m3 ) = 17.6N LacargaquesoportaesWL = FB − WH − WB = 176N − 17.6N − 118N = 40.4N

17.2.

Metodolog´ıa para resolver problemas del Principio de Arqu´ımedes

1. Dibuje una figura y m´ arquela con las cantidades proporcionadas y las que deben calcularse 2. Use unidades congruentes para ´el ´ area, volumen, densidad y presi´on 3. No confundir presi´ on absoluta con presi´on manometrica o densidad con peso espec´ıfico 4. Tenga claro el principio de Arqu´ımedes 5. Recuerde que el empuje depende tanto de la densidad como del volumen del fluido desalojado 6. Si el objeto se encuentra totalmente sumergido, el volumen del objeto y el fluido desplazados son iguales, este hecho puede aprovecharse para determinar el empuje en esos casos

Actividad de clase:

17.3. ACTIVIDAD DE CLASE

17.3.

143

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un cubo de 100g que mide 2cm en cada uno de cuyos lados, se ata al extremo de una cuerda y se sumerge totalmente en agua. ¿Cu´ al ser´ a el empuje y cu´al ser´a la tensi´on en la cuerda? Respuesta:0.0784N, 0.902N 2. Un cubo de madera de 5cm de lado flota en agua con las tres cuartas partes de su volumen sumergido. a) ¿Cu´al es el peso del cubo? b) ¿cu´ al es la masa del cubo? c) ¿cu´al es la gravedad espec´ıfica de la madera? Respuesta: 0.919N, 93.8g, 0.75

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de Principio de Arqu´ımedes: Principio de Arqu´ımedes: https://youtu.be/cQA_DQJIpV0

Simulaci´ on para complementar el tema Principio de Arqu´ımedes : Principio de Arqu´ımedes: https://phet.colorado.edu/es/simulations/under-pressure

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (311, 313). M´exico: Mc Graw Hill.

SEMANA 17. PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

144

Tarea:

17.4.

Tarea

Resuelves los problemas de principio de Arqu´ımedes, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

3. La masa de un trozo de piedra es de 9.17 g en el aire. Cuando la piedra se sumerge en un fluido 1. Un objeto s´ olido pesa 8N en el aire. Cuando cuya densidad es de 873kg/3 , su masa aparente es este objeto se suspende de un dinam´ ometro y se su- tan solo de 7.26g. ¿Cu´al es la densidad de la piedra? merge en agua, el peso aparente es de 6.5N. ¿Cu´al R = 4191kg/m3 es la densidad del objeto? 4. Un globo de 40m de di´ametro se llena con he2. Una pieza de metal de 20g tiene una densi- lio. La masa del globo, junto con la canasta que lleva dad de 4000kg/m3 . Se sumerge en un recipiente con unida es de 18kg. ¿Qu´e masa adicional ser´ a capaz aceite (1500kg/m3 ) mediante un hilo delgado hasta de levantar este globo? que se sumerge por completo. ¿Cu´ al es la tensi´on en el hilo?

Semana 18

Principio de Pascal

Objetivo de la semana: A trav´es del Principio de Pascal descubre el comportamiento de los fluidos en diferentes sistemas y sus aplicaciones.

Aprendizaje esperado: Explica el Principio de Pascal y su aplicaci´on.

Evidencias de aprendizaje: Problemas de dilataci´ on lineal aplicados al entorno cotidiano.

Instrumento de evaluaci´ on: Lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas.

145

146

SEMANA 18. PRINCIPIO DE PASCAL

Conceptos y ecuaciones:

18.1.

Principio de Pascal

La atm´osfera de la Tierra ejerce presi´ on sobre todos los objetos con los que est´a en contacto, incluyendo otros fluidos. La presi´ on externa que act´ ua sobre un fluido se transmite por todo ese fluido.

El primero en enunciar este hecho fue el matem´atico franc´es Blas Pascal (1623- 1662), y se conoce como ley de Pascal. En general, se enuncia como sigue:

Una presi´ on externa aplicada a un fluido confinado se transmite uniformemente a trav´es del volumen del l´ıquido.

La mayor´ıa de los dispositivos que permiten medir la presi´on directamente miden en realidad la diferencia entre la presi´ on absoluta y la presi´ on atmosf´erica. El resultado obtenido se conoce como la presi´ on manom´etrica.

Presi´on absoluta = presi´ on manom´etrica + presi´on atmosf´erica

18.2.

La prensa hidr´ aulica

Para ver c´omo funciona este dispositivo, supongamos que los pistones de entrada y salida est´ an a la misma altura (por lo menos aproximadamente). La fuerza externa de entrada Fent , por el principio de Pascal, incrementa la presi´ on en la misma cantidad en todo el fluido, por lo tanto, al mismo nivel.

Figura 18.1: Prensa hidr´aulica De acuerdo con el principio de Pascal, una presi´on aplicada al l´ıquido en la columna izquierda se transmitir´a ´ıntegramente al l´ıquido de la columna de la derecha. Por lo tanto, si una fuerza de entrada Fi act´ ua sobre un ´embolo de ´ area Ai , causar´a una una fuerza de salida Fo que act´ ua sobre un ´embolo de ´area Ao de modo que: La presi´ on de entrada = La presi´on de salida

´ 18.2. LA PRENSA HIDRAULICA

147

Fo Fi = Ai Ao

(18.1)

La ventaja mec´ anica ideal de tal dispositivo es igual a la relaci´on de la fuerza de salida con respecto a la fuerza de entrada. Simb´ olicamente escribimos:

MI =

Fo Ao = Fi Ai

(18.2)

Una peque˜ na fuerza de entrada puede ser multiplicada para producir una fuerza de salida mucho mayor utilizando simplemente un ´embolo de salida con una ´area mucho mayor que la del ´embolo de entrada. La fuerza de salida est´ a dada por:

Fo = Fi

Ao Ai

(18.3)

Si la fuerza de entrada Fi recorre una distancia si mientras la fuerza de salida Fo viaja una distancia so , podemos escribir: Trabajo de entrada = Trabajo de salida

Fi si = Fo so

(18.4)

Esta relaci´on conduce a otra expresi´ on u ´til para la ventaja mec´anica ideal de una prensa hidr´ aulica:

MI =

Fo si = Fi so

(18.5)

Observe que la ventaja mec´ anica se gana a expensas de la distancia de entrada. Por esta raz´ on, la mayor´ıa de las aplicaciones utilizan un sistema de v´alvulas para permitir que el pist´on de salida se eleve por una serie de impulsos cortos del pist´ on de entrada.

EJEMPLO 18.1. En un elevador de autom´oviles que se emplea en un taller, ¿qu´e fuerza se debe ejercer en el ´embolo peque˜ no que tiene una secci´on transversal de 0.008m2 (un radio aproximado de 5 cm)? El ´embolo grande tiene una secci´ on transversal de 0.070m2 (un radio aproximado de 15 cm) y el auto ubicado en ´el pesa 12 000 N. ´ SOLUCIONAplicando el Principio de Pascal para una prensa hidr´aulica: F f = A a Se despeja f de la ecuaci´ on anterior: f=

Fa (12000N )(0.008m2 ) = = 1371.4N A 0.07m2

148

SEMANA 18. PRINCIPIO DE PASCAL

18.3.

Metodolog´ıa para resolver problemas de Principio de Pascal

1. Dibuje una figura y m´ arquela con las cantidades proporcionadas y las que deben calcularse. Use unidades congruentes para el ´ area, volumen, densidad y presi´on. 2. No confunda presi´ on absoluta con presi´on manom´etrica o densidad con peso espec´ıfico. Debe usar la presi´on absoluta a menos que el problema incluya una diferencia de presi´on. 3. Tenga cuidado con las unidades si intenta usar peso espec´ıfico, que es fuerza por unidad de volumen. 4. Elija la ecuaci´ on que m´ as convenga, de acuerdo a lo solicitado. 5. Escribe el resultado en la unidad correcta.

Actividad de clase:

18.4.

Actividad de clase

Resuelve los siguientes problemas: 1. El ´area de un pist´ on en una bomba de fuerza es de 10in2 . ¿Qu´e fuerza se requiere para elevar el agua con el pist´ on hasta una altura de 100 ft? Respuesta: 433 lbf 2. Una fuerza de 400 N se aplica al pist´on peque˜ no de una prensa hidr´aulica cuyo di´ametro es 4 cm. ¿Cu´al deber´a ser el di´ ametro del pist´ on grande para que pueda levantar una carga de 200 kg? Respuesta: 8.86 cm

Materiales complementarios:

V´ıdeo para complementar el tema de Principio de Pascal: el Principio de Pascal y la Prensa Hidr´aulica: https://www.youtube.com/watch?v=CUc5T0fxXqI&t=60s

Simulaci´ on para complementar el tema de Principio de Pascal: Principio de Pascal: https://www.geogebra.org/m/uudeuaze

18.4. ACTIVIDAD DE CLASE

149

Referencias bibliogr´ aficas:

Tippens, P.. (2011). Fluidos. En F´ısica conceptos y aplicaciones (308, 310, 311, 326). M´exico: Mc Graw Hill. Gutierrez A. C (2009). Hisdrost´ atica: fluidos en reposo. F´ısica General (216). M´exico: Mc Graw Hill.

150

SEMANA 18. PRINCIPIO DE PASCAL

Tarea:

18.5.

Tarea

Resuelves los problemas de Principio de Pascal, tomando en cuenta la lista de cotejo para la evaluaci´ on de problemas. La tarea se entregara en la fechas establecida por el docente. Lista de cotejo para la evaluaci´on de problemas, Oto˜ no 2022 Estudiante:

No. de lista:

Grupo:

Fecha de entrega:

Profesor:

No. de actividad:

Tema :

Calificaci´ on:

Criterio

Nivel: Aplicaci´ on Muestras la comprensi´ on del problema al incluir:

Comprensi´ on del problema

Alcanzado

No alcanzado

P1 P2 P3 P4

P1 P2 P3 P4

ˆ El principio f´ısico que rige el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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ˆ Las cantidades conocidas del problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

0()()()()

ˆ Las cantidades que debes calcular.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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ˆ Las ecuaciones que se relacionan con el problema.

0.5 ( ) ( ) ( ) ( )

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Elaboraci´ on del diagrama

Dibujas un diagrama con la informaci´ on impl´ıcita del problema.

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Desarrollo algebraico

Construyes un procedimiento algebraico para encontrar la soluci´ on en forma de su m´ınima expresi´ on algebraica.

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Calculo num´erico

Resuelves las operaciones matem´ aticas, utilizando unidades de medici´ on en los c´ alculos para encontrar la soluci´ on num´ erica de la m´ınima expresi´ on algebraica.

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Muestras un orden cronol´ ogico para encontrar la soluci´ on del problema.

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Orden

Problemas.

1. En una prensa hidr´ aulica, el pist´ on mayor en la secci´on transversal tiene un ´ area A = 200cm3 , y el ´area de la secci´ on transversal del pist´ on peque˜ no 3. Dos l´ıquidos no miscibles est´an en el tubo U que 2 se muestra. Determinar la relaci´on entre las es a = 10cm . Si una fuerza de 200 N se aplica sobre presiones hidrost´aticas en los puntos A y B. el pist´on peque˜ no, ¿cu´ al es la fuerza F en el pist´on grande?

2. Determinar la magnitud de la fuerza F aplicada a la palanca carente de peso. Los ´embolos 1 y 2 son ingr´ avidos, b = 3a, Q = 30kN, A1 = 0.1m2 , A2 = 1m2 yg = 10m/s2 .

18.5. TAREA 4. En la prensa hidr´ aulica mostrada. Determinar la magnitud de la fuerza F aplicada al ´embolo 1 para mantener en equilibrio el bloque Q de peso 60 kN. Los ´embolos 1 y 2 son ingr´ avidos, A1 = 0.3m2 y A2 = 3m2 .

151