Guia Matematica 2 Secundaria

Guía 2 Docente del

Recursos didácticos para el docente

Matemática

SECUNDARIA

Organización de la Guía del docente ¿Qué recursos didácticos podemos encontrar en la guía? Páginas iniciales

Sugerencia de temporalización

La Sugerencia de temporalización ubica el desarrollo de la unidad en el calendario escolar.

12

Rectángulo

El Vocabulario matemático es una lista de los nuevos términos matemáticos que ofrece la unidad y de aquellos otros que, sin ser novedosos, son esenciales en la construcción de los nuevos conceptos. Las Sugerencias metodológicas de estas páginas ofrecen generalmente alguna pauta didáctica que es importante a lo largo de la unidad.

Más información

Clasificación de los polígonos

115o

50o 140o

Polígono cóncavo

Polígono convexo

Polígono cóncavo

A = s ^s - ah ^s - bh ^s - ch donde: s = a + b + c 2

b

a c

Según sus lados y sus ángulos Un polígono es regular si sus lados tienen la misma medida y sus ángulos internos también.

Polígonos irregulares Para calcular el área de un polígono irregular, lo dividimos en triángulos y calculamos el área de cada uno de ellos. El área total será la suma de las áreas de los triángulos.

Un polígono es irregular si al menos uno de sus lados y/o al menos uno de sus ángulos internos es distinto de los otros.

A1

Actividades

A2

A = A1 + A2 + A3 A3

– Traza un polígono irregular de 4 lados cuyos ángulos interiores midan 70c , 110c , 70c y 110c . – Mide los ángulos interiores de cada polígono e indica si es cóncavo o convexo.

– En un polígono regular, las medidas del apotema, el radio y el lado están relacionadas. Por ejemplo, no es posible que el lado tenga una cierta medida y el apotema pueda tener cualquier otra medida. Se debe tener presente este hecho en el momento de “inventar” polígonos para plantear ejercicios y problemas.

Para calcular el área de un triángulo cualquiera cuyos lados miden a, b y c podemos usar la fórmula de Herón.

66o

Polígono convexo

Perímetro $ apotema 2 lado $ N.c de lados $ apotema 2

Triángulos

240o 255o

225o

150o

apotema

Área = Área =

130o 70o

– El área de un polígono irregular se puede calcular descomponiendo el polígono en triángulos y calculando el área de cada triángulo mediante la fórmula de Herón.

Polígono irregular

Polígono regular

Polígono regular

Polígono regular

a)

1. Clasifica cada polígono en cóncavo o convexo y en regular o irregular. b)

a)

c)

Recursos

1. Calcula el área del triángulo y la del polígono irregular. b) 3 cm

d)

2,5 cm

3,5 cm

f)

e)

3 cm 4,5 cm

a)

Actividades

2 cm

Calcula el área del siguiente pentágono regular tomando las medidas necesarias.

cm

Recursos

Un polígono es cóncavo si al menos uno de sus ángulos internos mide más de 180c.

El área de un polígono regular está dada por las siguientes fórmulas:

lado

Los polígonos tienen nombres especiales según su número de lados. Los que tienen 9 lados se denominan eneágonos; los que tienen 10 lados, decágonos; de 11, undecágonos; de 12, dodecágonos; si tienen 13, 14 o más lados se denominan, simplemente, polígonos de 13 lados, de 14 lados, etc.

Un polígono es convexo si cada uno de sus ángulos internos mide menos de 180c.

A = b$h 2 b: base

Mayo

33 cm

b h: altura

15 cm

Polígono regular

20 cm

15 m

d)

e)

r

,2

cm

12

13,1

a

Julio A=

Agosto

p: perímetro

 p$a 2

Vocabulario matemático

44 m

Círculo

Junio

Capacidad

m

Cilindro A = r $ r2

19 m

14 cm

Cono

r : radio

a: apotema

Esfera

g)

f)

1 cm

18 m

Septiembre

Múltiplo de una unidad de medida Pirámide

Octubre

Prisma Medidas de volumen El volumen de un cuerpo es una medida del espacio que el cuerpo ocupa.

Valores

• Si la densidad se mide en gramos por centímetro cúbico (g cm 3 ), ¿qué volumen ocupan 500 g de oro de densidad 19,3 g cm 3 ?

Arquímedes y la corona del rey Arquímedes (287-212 a.C.) fue uno de los grandes matemáticos y físicos del mundo antiguo.

El texto se relaciona con el valor de la honestidad. La honestidad hace posible las relaciones de confianza entre las personas. El joyero de la historia realiza una acción deshonesta, pues miente e intenta engañar al rey para obtener una cantidad de oro que no le pertenece. Arquímedes utiliza el razonamiento físico y matemático para encontrar una manera de poner al descubierto la deshonestidad del orfebre.

Los estudiantes tendrán dificultades si no saben calcular el área de distintas figuras geométricas planas.

c)

h: altura

Se cuenta que el rey de Siracusa solicitó a un joyero que le fabricase una corona de oro y que, para tal efecto, le dio una cierta cantidad de metal. Cuando el orfebre entregó la corona, el rey quiso asegurarse de que no había sido engañado. Aunque la joya pesaba lo mismo que el oro entregado, ¿cómo podía saberse si una parte del oro no había sido sustituida por otro metal? El rey pidió a Arquímedes que descubriera la verdad sin dañar la corona.

• ¿Qué significa ser honesto? ¿Por qué la falta de honestidad es tan común?

Para medir el volumen de un cuerpo se establece una unidad de volumen y se determina cuántas veces está contenida la unidad en el cuerpo. •

Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 centímetro cúbico (1 cm3).

•

Un cubo de 1 dm (10 centímetros) de arista tiene un volumen de 1 decímetro cúbico (1 dm3).

•

Un cubo de 1 m (100 centímetros) de arista tiene un volumen de 1 metro cúbico (1 m3).

Semiesfera

2. Convierte. b) 8,5 dm3 a cm3

g) 12 m3 a cm3

Submúltiplo de una unidad de medida

c) 60 cm3 a dm3

h) 3,8 m3 a cm3

Volumen

f) 400 dm3 a m3

a) 3 dm3 a cm3

d) 5 m3 a dm3

i) 60 000 cm3 a m3

e) 7,6 m3 a dm3

j) 580 dm3 a m3

Las equivalencias entre estas unidades son:

1 cm3 1 cm

1 m 3 = 1 000 dm 3 1 dm 3 = 1 000 cm 3

La historia, o la leyenda, dice que Arquímedes encontró la forma de resolver el problema mientras se sumergía en su bañera y que puso en evidencia el engaño del orfebre. No se sabe a ciencia cierta cuál fue el procedimiento que utilizó Arquímedes, pero es posible que se fundamentase en la idea física de densidad.

218

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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219

Sugerencias metodológicas – Repase los conocimientos referidos al perímetro y al área de las figuras planas. – Repase los conocimientos referidos al concepto de volumen y a las medidas de volumen. – En el desarrollo de la unidad pida a los estudiantes que fabriquen en cartulina distintos cuerpos geométricos.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Algunas precisiones sobre los polígonos

Polígonos regulares

En un polígono cóncavo, la prolongación de al menos un lado pasa por el interior del polígono.

Según sus ángulos

4

Un polígono es una figura geométrica cerrada limitada por segmentos de recta.

16 cm

b

A = b$h b: base

b)

a)

h

Páginas de desarrollo de contenidos

Más información

Área de un polígono

Polígonos

Triángulo h

Noviembre

En Posibles dificultades en la unidad se indican aquellas limitaciones en el conocimiento de conceptos y procedimientos matemáticos que podrían dificultar que el estudiante pueda abordar la unidad con éxito.

1. Calcula el área de las siguientes figuras.

Área de figuras planas

Marzo Abril

La sección Valores señala el valor contenido en la lectura inicial y explica el significado particular que tiene en ella. El valor de esta página ofrece el contexto ético para las actividades de la página final de la unidad.

Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

Volumen de cuerpos

Febrero

4,5

cm

2,5 cm

La sección Más información contiene breves notas con información disciplinar o didáctica. Estas notas sirven para puntualizar algunas ideas, para recordar otras o para exponer conceptos nuevos que no es usual desarrollar en el libro del estudiante. En la sección Recursos se ofrecen ejercicios adicionales, preguntas de pensamiento crítico o investigación y otras actividades que pueden servir para enriquecer el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

2,5 cm

2. Calcula el área de los siguientes parques.

Polígonos cóncavos y polígonos convexos. Debajo de cada polígono hay que escribir “cóncavo” o “convexo”.

64

40

En la sección TIC se explica en qué consisten los recursos interactivos asociados a la página.

35 m ,3

m

23

40

m

m

c) Todos los polígonos convexos son irregulares. d) Hay polígonos cóncavos de lados iguales y ángulos internos desiguales.

22

,5

16 m

24 m

a) Un polígono puede tener dos lados. b) Todos los polígonos regulares son cóncavos.

m

Pensamento crítico. Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

m

Tic Clasificación de polígonos. Hay que arrastar cada nombre hasta el polígono que le corresponde.

3.

c) 40

b)

b)

20 m

a)

es convexo?

m

37

2. Traza un polígono de lados iguales y ángulos internos diferentes. ¿Es cóncavo o

40

m

40 m

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Las Sugerencias metodológicas ofrecen pautas para el proceso de enseñanza.

65

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Tic Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

Como una forma de realizar una introducción al tema, pida a los estudiantes que nombren a los polígonos según su número de lados. Muéstreles polígonos de 8, 7, 6, 5, 4 y 3 lados. Indique que no puede haber un polígono de menos de 3 lados.

Pida a los estudiantes que, trabajando en parejas, dibujen polígonos irregulares e, individualmente, calculen el área a partir de medidas tomadas (también individualmente) por ellos mismos. Luego, pídales que confronten sus resultados. Incluso si no han cometido errores de cálculo, obtendrán resultados distintos que surgen de las diferencias en las medidas tomadas.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Área de polígonos. En cada casilla se escribe la expresión que corresponde al área de un polígono. Polígonos y áreas. En cada polígono se escribe la operación que le corresponde.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Más información

Planear

Resolver

Promedio de calificaciones 1. Programa una hoja de cálculo de Excel para que calcule tus promedios trimes-

3.° Se extraen de la tabla los datos necesarios para calcular la probabilidad pedida.

En un almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. Al elegir entre postre y café, eligen postre 15 hombres y 20 mujeres. Si escogemos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿Y de que elija café? ¿De que sea hombre y elija postre? ¿De que sea mujer y elija café?

Las calificaciones de un estudiante en las materias de Lenguaje, Matemática, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Idiomas y Artes Plásticas, en los cuatro bimestres y sobre 100 puntos, fueron:

Escribe “Matemática” en B3; “Lenguaje” en B4; “Historia y Geografía” en B5; “Ciencias Naturales” en B6 y “Promedio trimestral” en B7. Además, en C2, D2, E2 y F2 escribe “Primer Trimestre”, “Segundo Trimestre”, “Tercer Trimestre” y “Promedio anual”, respectivamente.

En el almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. De los hombres, 15 eligen comer postre y de las mujeres 20 realizan esa misma elección. Debemos calcular cuatro probabilidades, la probabilidad de que una persona escogida al azar: 1) sea hombre; 2) tome café; 3) sea hombre y coma postre; 4) sea mujer y tome café. En el problema, la característica Sexo tiene las modalidades Hombre y Mujer; la característica Elección tiene las modalidades Postre y Café. Necesitamos determinar cuántas personas hay en cada modalidad y cuántas en cada uno de los cuatro conjuntos determinados por el cruce de modalidades. Una vez establecido esto, calculamos las probabilidades con la regla de Laplace. Elaboramos una tabla (llamada de contingencia) donde se cruzan las modalidades y realizamos cálculos sencillos para colocar las cantidades respectivas. Hombre

Mujer

15

20

Café

35

13

12

25

28

32

60

Calculamos las probabilidades con la regla de Laplace: P (hombre) = 28 = 46, 7 % 60 P (café) = 25 = 41, 7 % 60

Ejercicios En un curso hay 12 chicos y 23 chicas; de ellos, 10 chicos y 8 chicas usan lentes. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y no use lentes?

Actividades

trales de todas las materias y tus promedios anuales por área de estudio. •

Postre

Recursos

Recursos

Taller de Matemática

Verificar

Elaboramos una tabla de contingencia para calcular la probabilidad de acontecimientos en los que características con varias modalidades se cruzan entre sí.

2.° Se completa la tabla.

En estas páginas se encuentran las secciones Más información, Recursos y Sugerencias metodológicas, cuyo contenido es similar al de las secciones homónimas de las páginas de desarrollo de contenidos.

Comprender

Utilizar tablas de contingencia

Las tablas de contingencia, llamadas también tablas de doble entrada, proporcionan una forma práctica de calcular la probabilidad de un suceso compuesto. El procedimiento tiene los siguientes pasos: 1.° Se colocan los datos del problema en una tabla de contingencia.

Páginas especiales

Solución de problemas

El método de tablas de contingencia

P (hombre y postre) = 15 = 25 % 60 P (mujer y café) = 12 = 20 % 60

•

Escribe tus notas en las celdas correspondientes.

•

Para calcular el promedio del primer trimestre, escribe en la celda C7 la siguiente fórmula: =PROMEDIO (C3:C6). Para el segundo trimestre, en la celda D7 la fórmula =PROMEDIO (D3:D6). Para el tercer trimestre, en E7 la fórmula =PROMEDIO (E3:E6). Para los promedios anuales escribe en la celda F3 la fórmula =PROMEDIO (C3:E3). Luego copia esta fórmula en las celdas F4, F5 y F6.

•

Puedes adaptar las orientaciones dadas para ampliar la tabla de tal modo que en ella aparezcan todas o algunas de las áreas de estudio que faltan. También puedes hacer una tabla para calificaciones bimestrales.

•

Selecciona las celdas con números y en la pestaña Inicio, en la opción Número, elige Número y disminuye los decimales hasta una sola posición decimal.

•

Coloca bordes y da formato a los textos.

Para verificar estos resultados podemos revisar el razonamiento y los cálculos.

Lenguaje : 75 78

80

75

Matemática 45 50

52

62

C. Naturales 50 55

60

61

C. Sociales 49 52

59

60

Idiomas 55 43

60

48

A. Plásticas 60 65

70

71

a) Calcula el promedio de cada bimestre, es decir, el promedio de las calificaciones bimestrales.

1. En una guardería hay 10 niños, de los cuales 4 aún no saben andar, y 12 niñas,

b) Calcula el promedio anual de cada materia.

de las cuales 6 aún no caminan. Si elegimos al azar a un niño o a una niña, ¿cuál es la probabilidad de que sea niño y no sepa andar?

2. En la aldea de Bree, en la taberna El Pony Pisador, se han reunido 14 enanos, de los cuales 3 piden agua, 1 vino y el resto cerveza; 6 hobbits, de los cuales 1 pide agua, 1 vino y el resto cerveza; y 12 elfos, de los cuales 10 piden vino y 2 agua (es bien sabido que no les agrada la cerveza). Si elegimos uno de estos seres al azar, ¿cuál es la probabilidad del hecho indicado? a) Que sea enano y beba agua.

Evalúa tus logros 1. ¿Qué polígonos son convexos y cuáles cóncavos? a)

7. Calcula el valor de los ángulos indicados con las letras a, b y c .

c)

a)

c

b)

110o

68o

c

b

100o

75o

– Actividad 23. Hay que identificar la fórmula que corresponde a cada figura.

b)

d)

85o

115o

b 100o

8. Calcula el ángulo externo y el ángulo central de un polígono regular de:

2. Traza un polígono:

a) 12 lados.

a) Regular cóncavo de 6 lados.

b) 18 lados.

9. Indica los elementos de la circunferencia que han

b) Regular convexo de 3 lados.

sido denotados.

c) Irregular cóncavo de 5 lados.

A

d) Irregular convexo de 6 lados

3. Calcula el área de cada figura. cm

5,2

cm

E

3 cm

a) IG b) AB

4 cm 4 cm

3 cm

5 cm

5 cm

J

B O

b) OB

e) Que no beba cerveza. f) Que no sea elfo y beba cerveza.

f)

g) BK > ;; ? h) BAD

CD

Honestida a y valores Matemátic

d

D

A

C

M

a)

78

r

c) OC

r

c) Dos circunferencias secantes cada una de 3 cm de radio. Valores

D 14. Considera dos circunferencias, una de 5 cm de raHONESTIDA

a) Un triángulo equilátero de 2,5 cm de lado. b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm. c) Un cuadrado de 5 cm de lado. d) Un pentágono regular cuyo radio mida 4 cm.

22. Inscribe una circunferencia en:

Muchas veces. Pocas veces. – Preparo material didáctico para explicar los temas. Muchas veces.

Masa: 70

La sección Sobre las actividades proporciona pistas para resolver algunos ejercicios o problemas planteados en la sección Evalúa tus logros y en el Repaso acumulativo.

b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm. c) Un pentágono de 4 cm de radio.

La sección Mi desempeño como docente promueve la reflexión del profesor sobre su labor de enseñanza. En cada unidad se plantean algunos criterios referidos al trabajo específico en la unidad o al trabajo docente en general.

kg

20 cm 25 cm

78

©Santillana

S.A. Prohibida

su fotocopia.

Páginas de evaluación

Pocas veces.

a) Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y cuyo lado diferente mida 3 cm.

kg

35 cm de cada medir la arista ¿cuánto debería d anterior, liviano? la activida que el más datos de de 1,05 kg? 29. Con los que todos pesen igual 3 tiene una masa 0,1 dm cubo para ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322. de de plata pura litros de meros con 2 que una barra Si la llenam 30. ¿Es verdad de 0,5 kg. una masa vacía tiene cobre botella llena? un cubo de 31. Una botella será la masa de la del colocamos ¿cuál la arista curio, es masa de 1 m de nte. ¿Cuál nte cúbico el recipie os de agua de un recipie 32. Dentro 5 kg de masa y llenam será el puro de plata, ¿cuál a? similar de agua utilizad una masa ad? 200 g por ¿cuál su densid sustituimos metales?, kg de oro 33. Si en 1 de la combinación de volumen

79

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

La sección Valores, asociada a la página Matemática y valores o al Proyecto productivo, explica la relación entre el valor que se indica y las actividades planteadas para los estudiantes.

237

Ley 1322.

237

. Ley 1322.

na S.A. Prohibida

su fotocopia

©Santilla

II

213

– Promuevo la aplicación de los conceptos matemáticos a situaciones y objetos de la vida diaria.

B d) Un octógono de 5 cm de radio. dignas J 2 cm persod)nas A d = 0 cm la satisfaca) d 2 8 cm G r laI F N H tendremos 23. Determina la medida de los ángulos a y b en las za y e) d 1 2 cmne del mismo b) d = 8 cm ad para aprecia E n y capacid L ayuda a buscar figuras. provie ciónf)que sobre volume ento Kque c) d = 2 cm 2 cm 1 dhones 1 8 cm to. A un instrum a) C 45o c) ser D Utiliza ática como hecho de de la matem s. tan15. Calcula la longitud de una circunferencia detivo, 2 cm utilización La posición del punto respecto de la circunferencia: Densidad ámbito educa en otros campo B a En elradio 246o 114o 3 de radio y la de otra cuyo mide el triple quelos la verdad (g/cm ) a Sustancia ores como a) Punto E;cias circunferencia pequeña. los profes sustan el de la anterior. ¿En to cuánto aumenta la longitud pudo en caer de las ¿Cómo n . ad b) Punto B; circunferencia 7,8 A esta unidad grande. que y la densid de una circunferencia cuando el radiopuede se triplica? C estudiantes Acero página de B Es posible Arquímedes deshoc) Punto K; de circunferencia oro puro? pequeña. 85o de la primera formas de 1,0 as no era a la historia distint 16. ¿Cuál es el radio y el diámetro de una circunferenad. os corona rdinaAgua la Volvamde un polí- rir que deladensid La posición recta respecto de:la circunferencia: Calcula la suma de ángulos internos No es extrao to físicode 2,7 cia de 46 cm de longitud? edes descub B 110o el concep nestidad. b) d) Arquím n de un cuerpo E Aluminio gono regular de 15 lados y el valor de uno dehaya sus utilizado volume d) Recta ; circunferencia grande. y el AD suceda. Como 3 edes eso masa a ) la Arquím que 8,8 dm b entre rio determinado por un la C 3 17. ¿Cuál es la longitud del arco ángulos internos. en kg A pequeña. e) Recta KM ;3 ,circunferencia os án-tenBronce kg m o ad es la razón tes tenemde 8 cm La densid en g cm circunferencia 148o docen 8,96 gulo central de 125c en una masa (se mide formas del marpequeña. f) Recta NP ; circunferencia D las Indica si el polígono convexo existe o no. tabla solo la Cobre = n de diámetro? ver fica (ver Densidad volume 88o dencia a puro es la 7,9 LMespecí ; circunferencia grande. g) densid Recta ad 40o ad que son s de oro a) Número de lados: 18; SAI = 3 240c. una D Hierro s distinto cia tiene C B desho 18. ¿Cuánto mide el ángulo que una nestid circunferencia iantes pesará más cuerpo de en de sustan LM ; circunferencia pequeña. h) dos Recta de el de oro 13,6 a b) Número de lados: 12; SAI = 1800c Cada. tipo de plata, densidad3 en los estud de 10 cm de radio determina un arco Mercurio tanto, la comunes de 10 cm detrampa de oro y otro gen); por . plata. os un cm 19,3 longitud? A lo, hacer si tomam ad que la do al orfebre Oro (por ejemp misma, y resido entrega desalojada, mayor densid oro tiene nes), pero 10,5 oro que había porque el n del agua peso del en los exáme de ”) y voPlata el volume 79 conocía el midiendo masaS.A.(“peso poco acerca la©Santillana Prohibida su fotocopia.la Ley 1322. ©Santillana 11,3 S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322. Arquímedes en agua y, datos de ad con flexionamos as la corona Plomo . Con los ró esa densid concluyó Sumergió as circunstanci de la corona ad. Compa tes, volumen las divers s sosu densid eran diferen calculó el mismo que calculó ros y, viendo la corona en que nosot de oro puro lumen de nestos. de una pieza oro puro. én desho densidad mos tambi no era de 3 . que la corona 3 en kg dm kg m y hechos cia están del oro en ad sustan está la densid ina de qué La masa 27. Expresa ades, determ una sustancia pura. de densid hechos de do la tabla 28. Utilizan suponiendo que están . los cubos kg a los enteros Masa: 116 aproximada

Masa: 123

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Pocas veces.

6 cm

21. Circunscribe una circunferencia en:

5 cm

6.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

213

– Promuevo la creatividad en la realización de trazados con instrumentos geométricos.

4. Calcula la suma de ángulos internos deltus polígono. conocimientos

5.

212

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Muchas veces.

b) 3 cm

dio y otra de 3 cm de radio. Indica la relación entre os serem tos ellas cuando la distancia d de entre sus centros es hones nSi somos tal que: de confia

P

c) El área de un sector circular determinado por un ángulo central de 224c.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

r

b) Dos circunferencias tangentes interiores, una de 3,5 cm de radio y otra de 2,5 cm de radio.

L

% e) BCD

10. Observa la figura e indica.

a) El área del círculo. b) El área de un sector circular determinado por un ángulo central de 54c.

C

Compara la longitud de los segmentos OA , OB y OC con el radio r y escribe el signo 1, 2 o = según corresponda. r

Mi desempeño como docente

19. En un círculo de 12 cm de radio calcula:

20. Calcula el área de la región coloreada.

a) Dos circunferencias concéntricas, una de 3 cm de radio y otra de 2,5 cm de radio.

F

H

c) C % d) AD

recta exterior, una recta secante y una recta tangente. También se han trazado, desde el centro O de la circunferencia, los segmentos perpendiculares a las rectas indicadas.

a) OA

D

G K

6 cm

c)

B

I

roja que no pase por el centro, una recta exterior verde, y dos rectas azules tangentes a la circunferencia.

13. Traza:

C

b)

cm

4

2,5

a)

11. Dibuja una circunferencia y traza una recta secante

12. En la siguiente circunferencia se han trazado una

a

a

cm

– Actividad 7. Hay que relacionar los conceptos de ángulo interior y ángulo exterior de un polígono.

4

Sobre las actividades

d) Que beba agua.

b) Que sea elfo y beba vino. c) Que sea hobbit y no beba cerveza.

212

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Las TIC en Santillana Interactiva El uso creciente de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) está modificando las formas de acceder, difundir y generar conocimiento y, por lo tanto, las maneras de enseñar y de aprender. Sin duda, las TIC tienen un gran potencial para apoyar los procesos de aprendizaje, promover la construcción social del conocimiento y desarrollar habilidades que permitan a los estudiantes aprender de forma autónoma y cooperativa a lo largo de toda su vida. La serie Santillana Interactiva es una propuesta innovadora que responde al desafío de incorporar las TIC en el aula de manera sencilla y dinámica, en el marco curricular de la nueva Ley de Educación.

Para el estudiante, Santillana Interactiva presenta un CD de recursos digitales en el que se incorporan actividades interactivas para apoyar, reforzar y ampliar los conocimientos construidos en cada una de las unidades del texto. Las actividades interactivas pueden ser trabajadas al final de la unidad como repaso y cierre de la misma. Para ello, el maestro deberá reservar un periodo mensual en la sala de computación. Asimismo, el estudiante que tenga acceso a una computadora podrá trabajar las actividades en su casa para reforzar las temáticas que se presentan en las situaciones didácticas de cada unidad.

Para el docente, la serie presenta por primera vez el Libromedia. Este contiene la versión digital del libro del alumno con los vínculos a los recursos TIC que pueden ser usados en computadoras o pizarras digitales. Además, cuenta con diferentes herramientas para trabajar sobre el libro (se puede ir de una página a otra, escribir, subrayar, marcar, buscar palabras, etc.) e incluye recursos digitales con más información del área y de otras áreas, evaluaciones, tutoriales para el uso de diversos programas (Word, Excel, Power Point, etc.) y herramientas para el trabajo del maestro (horario, calendario, registro de control de asistencia, registro de evaluaciones, entre otras).

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

III

Enfoque del área Componentes

Indagación matemática

El área tiene cinco componentes: Números y operaciones, Geometría, Medida, Probabilidad y Estadística, Álgebra.

El programa de estudio del nivel de educación primaria vocacional postula que el enfoque del área debe ser investigativo porque “desarrolla el razonamiento matemático que nos permite convivir y coordinar nuestras acciones en situaciones complejas del entorno”. Al hablar del concepto de competencia matemática hemos enfatizado la idea de que la matemática es una herramienta para pensar los objetos del mundo y para obrar sobre ellos.

Competencia matemática El concepto de competencia matemática se refiere a la capacidad de entender los distintos usos que hacemos de la matemática y, por tanto, a la capacidad de utilizar la matemática para actuar de manera constructiva y reflexiva en la sociedad y en la vida ciudadana. Este concepto es muy similar al de alfabetización matemática definido en el enfoque de habilidades para la vida del LLECE (Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación) como un “proceso permanente” que habilita a las personas “para la inserción en la sociedad como ciudadanos plenos, críticos y responsables”. El propósito de desarrollar la competencia matemática está en consonancia con la exigencia planteada por el Ministerio de Educación: “relacionar la matemática con el contexto […] logrando una educación productiva en el ámbito escolar y en la sociedad en su conjunto”.

El enfoque del LLECE sostiene que “La enseñanza de la matemática debe ser organizada de forma tal que los temas seleccionados, y su tratamiento escolar, contribuyan a desarrollar una concepción de la matemática como instrumento para conocer y transformar el mundo y, a la vez, como un campo de conocimiento con objetos, reglas y fundamentos propios”. En otras palabras, el enfoque del LLECE plantea que la investigación de los objetos matemáticos es una actividad educativa importante, pues enseña “la racionalidad propia de la matemática, a partir de los modos de los alumnos de concebir sus objetos y de elaborar justificaciones acerca de su naturaleza y sus propiedades”.

La idea de competencia matemática implica que los conceptos matemáticos son herramientas que nos permiten organizar los fenómenos del mundo físico, social y mental. Esta idea es afín a la noción de comprensión del enfoque de Educación para la Comprensión y coincide también con el enfoque del LLECE, para el cual “el foco de la enseñanza [de la matemática] está puesto en la motivación y gestión del conocimiento y en que el estudiante desarrolle la capacidad de utilizar conceptos, representaciones y procedimientos matemáticos para interpretar y comprender el mundo real”.

El espíritu de indagación está especialmente presente en dos aspectos de los libros:

El propósito de desarrolar la competencia matemática se concreta en varios aspectos de nuestros libros:

El pensamiento crítico es la capacidad de examinar una idea para evaluar su coherencia, su veracidad o su fundamentación. El pensamiento crítico se enfrenta a una idea (una afirmación o una argumentación) sin saber de antemano si esta es o no correcta y acepta la tarea de determinar por sí mismo el grado en que esa idea es aceptable o no.

• Los conceptos matemáticos son explicados a partir de una situación real, de tal manera que, desde un principio, ellos se ofrecen como un medio para estructurar aspectos significativos del mundo. • Los ejemplos y las actividades ayudan a percibir cómo los conceptos matemáticos se aplican a los objetos del mundo y sirven para anticipar las características de estos objetos. • Los conceptos matemáticos se utilizan en contextos en los que actuamos u obramos sobre el mundo. Estos contextos tienen muchas veces aspectos éticos y cívicos y, por tanto, las herramientas matemáticas son parte de una actuación que es, al mismo tiempo, práctica, moral y ciudadana. • Las actividades ayudan a tomar conciencia del rol que la matemática tiene en la sociedad en distintos ámbitos de la vida social y ciudadana. • Los proyectos productivos permiten que los estudiantes utilicen los conceptos matemáticos en una actividad que aporta a la vida y a las necesidades de alguna comunidad de la que ellos son parte (el colegio, el barrio, la ciudad, etc.).

IV

• Se enseñan estrategias para resolver problemas. • En la minisección Investiga se plantean cuestiones que deben ser resueltas por una actividad de reflexión y exploración sobre los objetos matemáticos.

Pensamiento crítico

La educación en general y la educación matemática en particular pueden atenuar el desarrollo del pensamiento crítico debido a que frecuentemente se asume que la enseñanza se reduce al acto de comunicar ideas verdaderas, puntos de vista válidos y procedimientos para obtener la respuesta correcta (o al menos aceptable en el “juego” escolar). Aunque los estudiantes de matemática deben ejercer un control crítico sobre sus procedimientos y soluciones, lo hacen generalmente en un contexto en el que los criterios de ese control han sido dados. Rara vez son enfrentados a la tarea de determinar sus propios criterios para juzgar si una afirmación y un procedimiento son correctos o equivocados. El desarrollo del pensamiento crítico se concreta así: • En las páginas de desarrollo de contenidos y en las actividades finales se inserta la minisección Pensamiento crítico. En esta sección se anima a los estudiantes a examinar la veracidad de una afirmación matemática (por ejemplo, una generalización) o la

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corrección de un razonamiento o una argumentación. La existencia de esta sección no implica que el razonamiento crítico esté completamente ausente de otras actividades.

Matemática y lenguaje Diversas propuestas educativas enfatizan actualmente la importancia de integrar la comprensión del lenguaje natural en la enseñanza de la matemática. Se considera que un trabajo de este tipo debería servir para que los estudiantes superen las dificultades que tienen para comprender los enunciados de los problemas y para traducirlos de manera reflexiva y correcta al formular operaciones matemáticas. Desde una perspectiva más general podemos sostener que, puesto que el lenguaje natural es el medio que utilizamos primaria y normalmente para hablar y pensar acerca de las cosas del mundo, la posibilidad de establecer un nexo entre ese lenguaje y los conceptos matemáticos debe jugar un rol central en la capacidad de relacionar esos conceptos con las situaciones reales. Como todas las ciencias, la matemática tiene conceptos propios que se expresan en una determinada terminología. Debido al significado que los términos matemáticos encierran se pueden usar de manera correcta y significativa solo en construcciones de determinada forma. Cultivar la capacidad de usar el lenguaje matemático de manera clara, correcta y coherente es entonces un objetivo educativo importante. Este elemento del enfoque se concreta de la siguiente manera: • Se da mayor presencia al tipo de actividad que los docentes llaman “problema” (como algo distinto de un ejercicio) pues los problemas plantean el desafío de relacionar la realidad, el lenguaje y los conceptos y estructuras matemáticas. • En las actividades finales se incluye la minisección Matemática y Lenguaje con actividades para reflexionar sobre la definición de conceptos matemáticos y para utilizar palabras de manera apropiada en textos que tienen información matemática. • En la sección especial Solución de problemas se plantean estrategias que favorecen el análisis de la relación entre enunciados de problemas y operaciones matemáticas.

Matemática y TIC En nuesro proyecto las TIC no son solo un medio para hacer matemática y una referencia para las habilidades que los estudiantes deben aprender como parte de su educación en el área, son también un elemento que permite dar una nueva identidad al material educativo. • Los libros incorporan recursos interactivos que motivan y favorecen la comprensión de los conceptos matemáticos.

Matemática y valores La posibilidad de integrar la enseñanza de la matemática con la comprensión y el desarrollo de valores éticos resulta del hecho de que la matemática puede utilizarse como una herramienta para entender el mundo y actuar en él. Las siguientes descripciones indican de manera general distintas formas de relacionar la matemática con la formación de valores • Utilizar la matemática como un recurso para analizar hechos o información con el propósito de emitir una opinión de contenido moral sobre una acción, una norma, etc. • Utilizar la matemática en contextos en los que hay que tomar decisiones, realizar acciones, construir objetos o modificar algún aspecto de la realidad. • Reconocer los valores personales y éticos que están implícitos en el estudio y la investigación científica, especialmente en el ámbito de la matemática. Este aspecto del enfoque se concreta del siguiente modo: • En las actividades se plantean problemas que expresan algunas de las posibilidades de integrar matemática y valores descritas más arriba. • En la sección especial Matemática y valores se reflexiona en torno a situaciones y problemas de contenido ético que surgen en distintos ámbitos: la vida ciudadana, el deporte, la relación con la naturaleza, el trabajo, las relaciones interpersonales en la familia, la escuela o la comunidad.

La evaluación en Matemática Los libros responden a una concepción moderna e integral de la evaluación. Las actividades permiten que la evaluación pueda realizarse al inicio, en el desarrollo y en el cierre de todas las unidades didácticas. Las unidades comienzan con una sección en la que se repasan los conceptos y procedimientos que constituyen un requisito para abordar la unidad. Cada uno de los temas que conforman una unidad tiene actividades que permiten afianzar y evaluar la comprensión. Al final de cada unidad se ofrece una sección de evaluación de logros. Las actividades de esta sección recogen los logros fundamentales de cada unidad y permiten evaluar también logros más avanzados, relacionados con la investigación, el pensamiento crítico, la conexión entre matemática y lenguaje, la solución de problemas y la utilización creativa de los conceptos y procedimientos fundamentales. Esta evaluación final está conectada con una sección de Matemática y valores en la que el pensamiento matemático es parte del razonamiento y la acción ética.

• En el último curso de primaria y en los dos primeros cursos de secundaria, en la sección especial Taller de Matemática, se sistematizan los procedimientos de cálculo que hacen uso de la calculadora científica y se enseña a utilizar programas corrientes para explorar conceptos matemáticos de manera creativa.

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V

Valores para vivir bien Libertad La serie Santillana Interactiva se orienta a la formación integral de los estudiantes y se enmarca en una visión pluralista de la sociedad, desde la que se rescatan diversos valores universales. Asimismo, responde a las perspectivas de la nueva Ley de Educación Avelino Siñani-Elizardo Pérez, donde se afirma que la educación se sustenta en diferentes valores para vivir bien (Ley N.º 070, artículo 3, inciso 13). De acuerdo con ello, las propuestas didácticas presentes en los textos se estructuran en torno a las dimensiones del ser, saber, hacer y decidir, con el propósito de potenciar tanto la sensibilidad moral como el desarrollo intelectual y afectivo de los niños y niñas. Específicamente, la formación en valores se trabaja a partir de actividades de reflexión, contextualizadas con los contenidos de cada área y relacionadas con las situaciones de la vida cotidiana. Así, se favorece el desarrollo personal de los estudiantes y su capacidad para relacionarse de manera armónica con su entorno social y natural. A continuación definimos brevemente algunos de los valores que se trabajan en los textos de los diferentes cursos.

Aunque la libertad es una facultad de todas las personas, consistente en la capacidad de optar y decidir, como valor humano se refiere a la capacidad de pensar y actuar resistiendo, o sin tomar en consideración, las diversas presiones e influencias que tratan de dirigirnos en una dirección u otra. Una sociedad libre protege la posibilidad de elección de sus ciudadanos y les proporciona un conjunto de derechos y libertades que estén resguardados de la intervención social o estatal.

Justicia Una persona justa da a cada quien lo que le corresponde y no atenta contra los derechos de otros para obtener algún beneficio. Una sociedad justa protege a las personas para que no se violen sus derechos y garantiza las normas del “debido proceso” en el tratamiento de cuestiones de justicia.

Respeto

Dignidad Una persona digna es respetuosa de las otras personas y demanda de ellas el mismo respeto. Por lo tanto, no denigra a otras personas, no se denigra a sí misma en su relación con ellas y tampoco acepta ser denigrada. Una sociedad que reconoce la dignidad humana entiende que, por encima de cualquier diferencia, todas las personas son merecedoras de igual respeto y de ciertas condiciones de vida y de trato compatibles con la consideración hacia su naturaleza. Por ello, garantiza la vigencia de los Derechos Humanos y genera mecanismos para su protección sin ningún tipo de discriminación.

Igualdad Una sociedad igualitaria proporciona los mismos derechos, responsabilidades, oportunidades y bienes básicos a todos sus ciudadanos. La igualdad exige el acceso universal a la educación, la salud y los servicios básicos.

VI

Una persona respetuosa reconoce ciertos límites en su relación con la naturaleza, los seres vivos y otras personas. Esos límites le prohíben actuar de ciertas formas en consideración del bienestar y la dignidad de otros seres y personas. Una sociedad es respetuosa si el conjunto de sus normas e instituciones y su funcionamiento efectivo expresan el reconocimiento de la dignidad de todas las personas y protegen el entorno de las mismas.

Solidaridad Una persona solidaria tiene la disposición a ocuparse del bienestar de otras y a construir relaciones de cooperación y beneficio mutuo. Una sociedad solidaria busca que el funcionamiento de sus distintas instituciones haga posible el bienestar de todas las personas. Por ello, ofrece servicios de salud y educación a todos, si es necesario redistribuye recursos y utiliza recursos públicos para ayudar a las personas o grupos que requieren un apoyo especial.

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Honestidad

Paz

Una persona es honesta o transparente cuando no busca algún beneficio engañando a otra persona o abusando de ella.

Una sociedad busca la paz cuando respeta la dignidad y los derechos de todas las personas. La paz es la condición y el contexto para que los conflictos puedan ser solucionados de forma justa y no violenta, de manera que no se genere resentimiento en ninguna de las partes.

Una sociedad es honesta si sus instituciones funcionan de tal modo que satisfacen aceptablemente las finalidades para las que han sido creadas.

Tolerancia Una persona tolerante es capaz de admitir y respetar las ideas, las opiniones y las acciones de los demás, aunque no esté de acuerdo con ellas. Una sociedad tolerante protege ampliamente las expresiones de diversidad, libertad e individualidad que son compatibles con el respeto a los derechos de las personas.

Responsabilidad Una persona es responsable cuando cuida de los diversos aspectos que implica la realización de una tarea y tiene disposición a hacerse cargo de las consecuencias de sus acciones.

Autoestima Una persona tiene autoestima (aprecio por sí misma) si cuida de sí y asume constructivamente su vida.

Participación

Autonomía

Una sociedad que promueve la participación crea normas e instituciones que permiten que las personas puedan hacer escuchar su opinión y puedan ser parte de las decisiones que afectan a sus vidas.

Una persona es autónoma si tiene la capacidad de conducir su vida y de definir sus metas de acuerdo con su propio juicio.

Autocontrol Cooperación Una sociedad que promueve la cooperación reconoce el valor del aporte que puede realizar cada persona en la búsqueda de un fin común. Para que un acto sea cooperativo debe existir reciprocidad; sin esta no se puede hablar de cooperación, sino de ayuda.

Reciprocidad Una sociedad manifiesta el valor social de la reciprocidad cuando tiene instituciones de servicio mutuo por las cuales cada persona se compromete a colaborar a las otras cuando así lo requieran y, por tanto, puede también contar con la cooperación de ellas.

Una persona tiene autocontrol o templanza si es capaz de ordenar y controlar sus acciones para encaminarlas hacia una meta valiosa.

Amistad Una relación de amistad se basa en el afecto personal desinteresado y recíproco. Un amigo nunca busca dominar al otro, sino que se preocupa por su bienestar.

Valentía Una persona es valiente si persigue fines nobles a pesar de las amenazas, el temor o la posibilidad de alguna forma de sufrimiento.

Complementariedad Una sociedad manifiesta el valor de la complementariedad cuando considera que su vida y desarrollo requieren del aporte de visiones y formas de ser distintas que, por consiguiente, no deben ser consideradas antagónicas ni excluyentes.

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VII

Bibliografía Baldor, Aurelio. Álgebra. Editorial Cádiz S.A., Madrid, 1981. Bosch G., Carlos; Gómez W., Claudia. Matemáticas. Curso de Álgebra. Editorial Santillana, México D.F., 2004. Ignatiev, E.I. En el reino del ingenio. Editorial Mir, Moscú, 1979. Ley de Educación “Avelino Siñani - Elizardo Pérez”. Gaceta oficial del Estado Plurinacional de Bolivia. La Paz, 20 de diciembre de 2010. Organización para la cooperación y el desarrollo económico. PISA 2006. Marco de Evaluación. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Santillana, Madrid, 2006. OREALC/UNESCO; Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE). Aportes para la enseñanza de la Matemática. Segundo estudio regional comparativo y explicativo. UNESCO-LLECE. Santiago de Chile, 2009. Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca, Barcelona, 1977. Repetto, Celina; Linskens, Marcela; Fesquet, Hilda. Aritmética 3. Kapelusz, Buenos Aires, 1978. Santillana Ed. Matemática 1. Santillana, México D.F., 2003. Santillana Ed. Matemática 1. Santillana, Costa Rica, 2001. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, Buenos Aires, 2005. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, Costa Rica, 2003. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, La Paz, 2003. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, La Paz, 2006. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemática 8. Santillana, Santiago de Chile, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Santillana, Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Santillana, Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 2 ESO. Santillana, Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 2 ESO. Santillana, Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Santillana, Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Santillana, Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Santillana, Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas I. La enciclopedia del estudiante. Tomo 15. Santillana El País, Madrid, 2005. Santillana Ed. Matemáticas II. La enciclopedia del estudiante. Tomo 16. Santillana El País, Madrid, 2005. www.minedu.gob.bo. Viceministerio de Educación Regular. Programas de Estudio. Campo: Ciencia Tecnología y Producción. Documento de trabajo 2011. Consultado en marzo de 2012.

VIII

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Matemática

2

SECUNDARIA

Nombre: _ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________

Curso: ___________________________________________________________________________________________ Año: ____________________________ Colegio: _____________________________________________________________________________________________________________________________

Organización del libro El libro está organizado en 12 unidades, en las que aprenderás sobre números reales, álgebra, funciones, figuras y cuerpos geométricos, probabilidad y estadística.

Páginas iniciales

7

• En la página de la izquierda encontrarás una lectura que te permitirá reflexionar tanto sobre conceptos matemáticos como sobre valores éticos.

Productos y cocientes notables

RECUERDA 1. Calcula el área del rectángulo.

Área de un rectángulo El área de un rectángulo es igual al producto de la base (b) por la altura (h).

Volumen de un prisma de base rectangular El volumen de un prisma recto de base rectangular es igual al producto de las longitudes de sus aristas.

• En la página de la derecha, en la sección RECUERDA, encontrarás información y ejercicios sobre temas que probablemente ya conoces y que, de todos modos, debes conocer para abordar la unidad con éxito.

1.º Potencias y raíces. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Adiciones y sustracciones. Las operaciones entre paréntesis o dentro de un signo radical se realizan primero en el orden indicado.

Multiplicación de polinomios • ¿Por qué a n + b n = c n se cumple si n = 2 ?

Unidos por el álgebra

• ¿Cuáles son las obras colectivas de la humanidad en las que más te gustaría participar?

^ x + 2h3 = ^ x + 2h2 ^ x + 2h = ^ x2 + 4x + 4h ^ x + 2h x 2 + 4x + 4 x+2 x 3 + 4x 2 + 4x 2x 2 + 8 x + 8 x 3 + 6x 2 + 12x + 8

6x 3 + 3x 2 - 6x - 7 - 6x 3 + 18x 2

57x - 7 - 57x + 171 ^164 h ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

b)

Cuando las aristas de las caras laterales son perpendiculares a las aristas de las bases se dice que el prisma es recto; en caso contrario, se dice que el prisma es oblicuo.

h

h

 Las secciones se forman al cortar los cuerpos paralelamente a la base, a cualquier altura. Los dos cuerpos tienen secciones iguales. Por el principio de Cavalieri, tienen el mismo volumen.

El volumen de un prisma, recto u oblicuo, está dado por el producto de su altura, h, y el área de su base, AB.

c) h

h = 9 cm  = 6 cm a = 4.1 cm

h = 7 cm  = 3 cm a = 2, 6 cm

h

3

a)



c)

b)

1

3 5

Prisma oblicuo

V = AB $ h = 87 $ 32 = 2 784 cm

3

4 5

b) Un prisma de base triangular tiene un volumen de 1 200 cm3. Si su base es un triángulo equilátero de 48 cm2 de área, ¿cuál es la altura del prisma? ¿Cuál es la altura del triángulo que forma la base si su lado mide aproximadamente 10,528 cm?

4.

Investiga. Las tres dimensiones de un ortoedro son 25 cm, 8 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la arista de un cubo con el mismo volumen que ese ortoedro?

5.

Investiga. ¿Cuántos cubos de 2 cm de arista, que no pueden ser fraccionados, caben en la caja? ¿Y cuántos cubos de 3 cm de arista que tampoco pueden ser fraccionados?

32 cm

5 cm

6. Resuelve los problemas.

3

1, = 2, 784 , 1 000 ml

4

a) Un prisma de base cuadrada tiene una altura de 25 cm y un volumen de 1 500 cm3. Calcula la longitud del lado de la base.

Los prismas cuya base es un cuadrilátero se llaman paralelepípedos, y si son rectos se llaman ortoedros.

8 cm

7

cm

5,8

cm

c) Una piscina con forma de prisma rectangular tiene las siguientes dimensiones: 12 m de largo, 9 m de ancho y 2 m de altura. ¿Cuánto tardará en llenarla, hasta una altura de 70 cm, una manguera que proporciona 25 litros por minuto?

Despejamos la altura en la fórmula del volumen: V = A B $ h ( h = V = 600 = 24 cm AB 5$5

d) ¿Cuántas cajas de 1 m de largo, 8 dm de ancho y 6 dm de altura se pueden apilar en una sala de 4 # 3, 2 m de planta y 2,4 m de altura?

La altura del prisma es de 24 cm. 5 cm

222

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

8 a6 + ^2ah2 e)

c)

16a 4 b2 ' 2ab

d) ^2a + 4ah2 $ ^2b + 4bh2

12a 2 + 4a 2 - ^ 8a 2 ' 2a h

f) 7 4a2 $ 16a 4 + ^a + 2ah3 A ' 5a

4. Multiplica siguiendo el ejemplo. a) ^ x + 3h3

d) ^a - 1h3

c) ^a - 5h3

3 f) ^ x2 - 1h

b) ^ x + 7h3

e) ^m + 4h3

a) x2 - 6x - 1 entre x + 2 . b) x 3 + 3x2 + 5x - 3 entre x - 2 . c) x 4 + x2 + 3x - 1 entre x - 2 . d) 3x5 - x 3 + x - 6 entre x + 3 . e) x 4 - 1 entre x + 1 .

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125

Los personajes dan información adicional, destacan ideas importantes o te recuerdan conceptos anteriormente desarrollados.

b) ¿Hasta qué altura se debe llenar la jarra del ejemplo 1 para que contenga exactamente 1 litro? ¿Y para que contenga 2 litros?

2. Un prisma recto cuya base es un cuadrado de 5 cm de lado tiene un volumen de 6 000 cm3. Calcula su altura.

3

2 2 b) ^3a2h ^2b 3h

9 cm

a) Calcula la capacidad de un tanque de agua de 1,2 m de altura cuya base es un cuadrado de 1 m de lado.

Convertimos los cm3 a litros: 2 784 cm 3 = 2 784 ml $

1

3. Calcula las longitudes indicadas.

1. Una jarra tiene la forma de un prisma recto cuya base es un hexágono regular. Observa sus medidas y calcula su capacidad máxima.

Calculamos el volumen de la jarra:

1

3

Según el Principio de Cavalieri, si dos cuerpos tienen alturas iguales, bases iguales y si las secciones producidas al cortarlos por planos paralelos a la base tienen igual área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen. Por consiguiente, todos los prismas oblicuos que tiene la misma base y altura que un prisma recto tienen el mismo volumen que este.

Calculamos el área de la base: perímetro $ apotema AB = 2 ^ 5, 8 $ 6 h $ 5 AB = = 87 cm 2 2

7 3

Prisma oblicuo

a)

El libro te ofrece la información fundamental claramente expuesta, ejercicios y problemas resueltos, y muchas actividades para que apliques tus nuevos conocimientos en ejercicios, problemas y desafíos de investigación y pensamiento crítico.

6

Prisma recto

x

4

3

7 h

h

+1

En estas páginas aprenderás nuevos conceptos y procedimientos matemáticos.

a

2. Calcula el volumen de los cuerpos (las medidas están en cm).

Volumen = A B $ h

h

2x

a

h = 12 cm a = 4 cm b = 6 cm

b

a

x+3

3. Determina.

Desarrollo de contenidos

1. Calcula el volumen de los siguientes prismas rectos.

h

x-3 6x 2 + 21x + 57

21x 2 - 6x - 21x 2 + 63x

124

x

5. Divide e indica si la división es exacta.

División de polinomios

El álgebra, como toda la matemática, es producto del trabajo de muchas personas de distintas culturas, tiempos y lugares. Es como una gran obra de cooperación, constancia y perseverancia colectivas. Cada matemático hace su contribución en un esfuerzo que se desarrolla a través de los siglos.

del prisma.

2x + 1

La jerarquía de las operaciones:

El año 825, el gran matemático árabe Al-Khowarizmi escribió el libro Kitab al-jabr w’al-muqâbalah. Del título de esta obra que influyó profundamente en los matemáticos europeos proviene la palabra “álgebra”.

2. Calcula el volumen

V = a$b$c

Operaciones combinadas con monomios

En el siglo XVII, el matemático francés Pierre de Fermat escribió en el margen de un libro que estaba leyendo: “no existen a, b, c, enteros positivos tales que si n 2 2 se cumpla an + bn = c n ”, pero no escribió la prueba que dijo había descubierto. Durante más de trescientos años nadie logró demostrar este teorema hasta que, en 1995, lo hizo el matemático británico Andrew Wiles.

a)

x+2

b

a

Volumen de un prisma

x 2x + 1

b

c

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales). La altura de un prisma es la distancia entre las bases.

x+1

A> = b $ h

h

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Secciones especiales • En SOLUCIÓN DE PROBLEMAS aprenderás estrategias para resolver problemas matemáticos. • En el TALLER DE MATEMÁTICA explorarás conceptos matemáticos mediante material concreto, la calculadora o programas de computación.

223

El icono

S

permite acceder a recursos interactivos.

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Taller de Matemática

Verificar

Utilizar tablas de contingencia

Promedio de calificaciones

Elaboramos una tabla de contingencia para calcular la probabilidad de acontecimientos en los que características con varias modalidades se cruzan entre sí.

1. Programa una hoja de cálculo de Excel para que calcule tus promedios trimestrales de todas las materias y tus promedios anuales por área de estudio. •

Escribe “Matemática” en B3; “Lenguaje” en B4; “Historia y Geografía” en B5; “Ciencias Naturales” en B6 y “Promedio trimestral” en B7. Además, en C2, D2, E2 y F2 escribe “Primer Trimestre”, “Segundo Trimestre”, “Tercer Trimestre” y “Promedio anual”, respectivamente.

•

Escribe tus notas en las celdas correspondientes.

•

Para calcular el promedio del primer trimestre, escribe en la celda C7 la siguiente fórmula: =PROMEDIO (C3:C6). Para el segundo trimestre, en la celda D7 la fórmula =PROMEDIO (D3:D6). Para el tercer trimestre, en E7 la fórmula =PROMEDIO (E3:E6). Para los promedios anuales escribe en la celda F3 la fórmula =PROMEDIO (C3:E3). Luego copia esta fórmula en las celdas F4, F5 y F6.

•

Puedes adaptar las orientaciones dadas para ampliar la tabla de tal modo que en ella aparezcan todas o algunas de las áreas de estudio que faltan. También puedes hacer una tabla para calificaciones bimestrales.

•

Selecciona las celdas con números y en la pestaña Inicio, en la opción Número, elige Número y disminuye los decimales hasta una sola posición decimal.

•

Coloca bordes y da formato a los textos.

En un almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. Al elegir entre postre y café, eligen postre 15 hombres y 20 mujeres. Si escogemos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿Y de que elija café? ¿De que sea hombre y elija postre? ¿De que sea mujer y elija café? En el almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. De los hombres, 15 eligen comer postre y de las mujeres 20 realizan esa misma elección. Debemos calcular cuatro probabilidades, la probabilidad de que una persona escogida al azar: 1) sea hombre; 2) tome café; 3) sea hombre y coma postre; 4) sea mujer y tome café. En el problema, la característica Sexo tiene las modalidades Hombre y Mujer; la característica Elección tiene las modalidades Postre y Café. Necesitamos determinar cuántas personas hay en cada modalidad y cuántas en cada uno de los cuatro conjuntos determinados por el cruce de modalidades. Una vez establecido esto, calculamos las probabilidades con la regla de Laplace. Elaboramos una tabla (llamada de contingencia) donde se cruzan las modalidades y realizamos cálculos sencillos para colocar las cantidades respectivas. Hombre

Mujer

Postre

15

20

35

Café

13

12

25

28

32

60

Calculamos las probabilidades con la regla de Laplace: P (hombre) = 28 = 46, 7 % 60 P (café) = 25 = 41, 7 % 60

P (hombre y postre) = 15 = 25 % 60 P (mujer y café) = 12 = 20 % 60

Para verificar estos resultados podemos revisar el razonamiento y los cálculos.

1. En una guardería hay 10 niños, de los cuales 4 aún no saben andar, y 12 niñas, de las cuales 6 aún no caminan. Si elegimos al azar a un niño o a una niña, ¿cuál es la probabilidad de que sea niño y no sepa andar?

2. En la aldea de Bree, en la taberna El Pony Pisador, se han reunido 14 enanos, de los cuales 3 piden agua, 1 vino y el resto cerveza; 6 hobbits, de los cuales 1 pide agua, 1 vino y el resto cerveza; y 12 elfos, de los cuales 10 piden vino y 2 agua (es bien sabido que no les agrada la cerveza). Si elegimos uno de estos seres al azar, ¿cuál es la probabilidad del hecho indicado? a) Que sea enano y beba agua.

d) Que beba agua.

b) Que sea elfo y beba vino.

e) Que no beba cerveza.

c) Que sea hobbit y no beba cerveza.

f) Que no sea elfo y beba cerveza.

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Evalúa tus logros a)

b)

a)

b) 10,3 cm

5,2 cm

6 cm

14 cm

e) 4,5 hl a cl f) 70 600 ml a dal

c) 385 , a kl

3. Convierte.

A

b)

4 cm

1

4 cm 4 cm

4 cm

a) 46 300 dm3

c) 750 000,5 cm3

b) 6 500 300 m3

d) 25 380,2538 hm3

8 cm

C

5. Expresa en forma incompleja.

3 cm

a) La arista de un recipiente cúbico de 8 litros de capacidad.

4 cm

4 cm

d) 23,543 km3, 450 000 cm3 y 670 dm3 en hm3.

9. Calcula el volumen de los cilindros. a)

b) De una pila manan 140 dm de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo será necesario para llenar un depósito de 9 m3? c) De una pìla manan 24,1 , de agua por minuto. ¿Cuánto tarda en llenar un depósito de 24,75 m3 y 160 dm3? d) Una laguna contiene 3 542 millones de m3 de agua. En verano pierde 875 000 , por día. ¿Cuántos m3 le quedarán después de 20 días?

14 cm

12 cm

10. Calcula el volumen de las pirámides.

g) El radio de una esfera si un sector esférico cuyo ángulo mide 60º tiene un volumen de 560 cm3.

b)

15 cm

8 cm

234

3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

cm

2 cm

4 cm

b)

f)

3 cm

4 cm

6 cm

4 cm

g)

c)

4 cm

4 cm

a) En un día, las precipitaciones de lluvia fueron de 60 ,/m2. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 2 dm de arista? b) Una empresa vende jugos de fruta en recipientes cilíndricos de 320 ml de capacidad y 7 cm de diámetro. ¿En cuántos milímetros debería aumentar la altura de los recipientes para que tengan una capacidad de 350 ml conservando el mismo diámetro?

5 cm

cm

2 cm

14. Resuelve los problemas.

8 cm 6

e)

a)

f) El diámetro de una semiesfera de 428 cm3 de volumen.

r = 4 cm

a)

Evaluación En la sección EVALÚA TUS LOGROS podrás verificar si has desarrollado los aprendizajes fundamentales de la unidad y los aprendizajes avanzados relacionados con la solución de problemas, el pensamiento crítico y la investigación.

15. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

d) La altura de una pirámide oblicua de 800 cm3 de volumen y apotema de la base igual a la mitad del lado de 10 cm. e) La altura de un cono de 945 cm3 de volumen cuya altura es tres veces el radio de la base.

r 8 cm

b) La altura de un prisma de 600 cm3 de volumen, cuya base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12 cm. c) El radio de un cilindro oblicuo de 525 cm3 de volumen cuya altura es igual al radio de su base.

b)

3

a = 75c

13. Calcula las magnitudes indicadas.

8 cm

4 cm

c) 25 hm3, 3 895,5 cm3 y 24,85 dm3 en m3.

a) El consumo anual de agua en una vivienda ha sido de 140 m3 y 256 dm3. ¿Cuánto han pagado si el metro cúbico cuesta Bs 2,5?

r

r = 15 cm

3 cm

6. Resuelve los problemas.

2 dm

d) La Géode es un cine construido en Francia que tiene la forma de una esfera de 36 m de diámetro. Calcula su volumen.

2 cm

D

a) 0,5 dam3, 9 m3 y 3 dm3 en cm3. b) 350,6 hm3, 7,345 m3 y 0,5 dm3 en dm3.

14 cm

r = 5 cm

a)

4. Expresa en forma compleja.

5 cm

14 cm

12. Calcula el volumen de la esfera y del sector esférico.

B

d) 24,75 hl a hm3

b) 56,67 m3 a ml

r

volumen, aplicando el principio de Cavalieri.

c) 0,575 , a cm3

a) 6,2 dm3 a ,

cm

8 cm

15 cm

8. Identifica cuáles de estas figuras tienen el mismo

4 cm

d) 24,5 , a dl

b) 54 835 ml a ,

5

9 cm

6 cm

a) 0,85 hl a ,

8 cm

4 cm

d)

h) 3 cm

6 cm

7 cm

2. Convierte.

4 cm

5 cm

f) 56,75 m3 a cm3

2 cm

e) 3 600 000 cm3 a m3

c) 0,016 m3 a dm3

4 cm

d) 0,5 dm3 a mm3

b) 426 dm3 a dam3

c) Un puesto de venta de pipocas tiene dos recipientes distintos. Uno tiene forma de cono y el otro de pirámide. ¿Cuál de los recipientes puede contener una mayor cantidad de pipocas?

11. Calcula el volumen de los conos.

7. Calcula el volumen de los prismas.

a) 5,16 km3 a m3

4 cm

1. Convierte.

235

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Matemática y valores

Proyecto socioproductivo

Autonomía y creatividad

Las señalizaciones de tránsito

Utiliza tus conocimientos matemáticos de álgebra y factorización para apreciar la creatividad del procedimiento de factorización de Euler.

La situación de la cual surge nuestro proyecto Las señalizaciones de tránsito que se colocan en las ciudades están destinadas a regular el movimiento de automóviles y personas y a dar la información que se necesita para moverse en el ambiente urbano. Su finalidad es hacer que la vida en la ciudad sea más fácil y que la convivencia sea más respetuosa y ordenada.

El método de factorización de Euler Cuando un número es grande, el procedimiento de factorización que se enseña en la escuela primaria (ver si el número es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, ...) se vuelve ineficiente. De ahí la importancia de la búsqueda de métodos de factorización más potentes y efectivos. El método de factorización de Leonhard Euler (1707-1783) se basa en el hecho de que algunos números naturales pueden expresarse de dos maneras distintas como la suma de dos cuadrados.

La sección MATEMÁTICA Y VALORES cierra la sección de evaluación de cada unidad planteando problemas que te harán reflexionar sobre la relación entre la matemática y los valores éticos.

N = a2 + b2 = c2 + d2 N = a 2 + b 2 - ^b 2 + c 2h = c 2 + d 2 - ^b 2 + c 2h N = a2 + b2 - b2 - c2 = c2 + d2 - b2 - c2 N = a2 - c2 = d2 - b2 N = ^a - ch ^a + ch = ^d - bh ^d + bh

61 @

Ahora se define una constante k, tal que: k = m.c.d. 7^ a - c h, ^ d - b hA Por lo tanto: a - c = k $ L 6 2a @ ;

d - b = k $ M 6 2b @

Sin embargo, es frecuente que no reconozcamos el valor de las normas incorporadas en las señalizaciones; a veces, porque creemos que ninguna norma puede oponerse a nuestros fines particulares; otras veces, porque pensamos que esas normas son inútiles y es mejor no reconocerlas.

Solo los números que pueden expresarse como la suma de dos cuadrados de dos formas distintas pueden factorizarse con el método de Euler.

Los números L y M deben ser primos entre sí, pues si tuvieran un divisor común, el número k no podría ser el m.c.d. de ^a - ch y ^d - bh .

Este desprecio por las normas se refleja en la forma en que tratamos las señalizaciones de tránsito: las destruimos o colocamos papeles sobre ellas. Hay personas que las roban para venderlas como material.

El propósito de nuestro proyecto Estimar el costo que implica la destrucción de las señalizaciones de tránsito e informar a la comunidad de nuestros resultados. Deseamos fomentar el respeto por las señalizaciones y por las normas que comunican.

Nuestras actividades

Sustituyendo [2a] y [2b] en [1] tenemos:

N = k $ L ^ a + c h = k $ M ^d + b h ( N = L ^ a + c h = M ^d + b h

•

Elegir algún sector de la ciudad o alguna avenida importante y determinar la cantidad y formas de las señales de tránsito.

•

Realizar las mediciones pertinentes (o estimar las medidas visualmente) de tal modo que tengamos los datos necesarios para calcular el área de cada tipo de señalización.

Como L y M son primos entre sí, ^a + ch tiene que ser divisible por M y, por lo tanto, tiene que ser igual al producto de M y otro número P:

En el PROYECTO SOCIOPRODUCTIVO utilizarás la matemática para, junto con tus compañeros, hacer algo en beneficio de tu comunidad.

a + c = M $ P 63 @

Por consiguiente:

a+c = M$P ( M $ P = M ^d + bh ( d + b = L $ P 6 4 @ a + c = M ^ d + b h4 L L

50 cm

N = :a k k + a P k D $ ^ M 2 + L2h 2 2 2

2

37. Si 1 000 009 = 1 000 + 3 = 972 + 235 , encuen2

2

2

tra una factorización del número 1 000 009.

38. Factoriza 65 y 221 con el método de Euler.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

20 cm

40 cm

50 cm

40 2 - 20 2 = 20 3 cm ^40 $ 6 h $ 20 3 A= = 4 156, 9 cm 2 2

p = 50 + 50 + 50 = 75 2 A = 75 $ ^75 - 50 h3 = 1 082, 5 cm 2

a=

Utilizando estas cuatro expresiones, Euler demostró la siguiente fórmula de factorización del número N:

2

50 cm

40 cm 20 cm

De [2a], [2b], [3] y [4] se deducen las siguientes expresiones: k = a-c M = d-b P = a+c L = d+b L k M P •

Calcular el área aproximada total de las señalizaciones.

•

Averiguar el costo del material del cual están hechas las señalizaciones y el precio de ese material. Por ejemplo. ¿cuál es el precio del metro cuadrado de plancha de fierro de 6 mm de espesor?

•

Calcular el costo aproximado total de todas las señalizaciones y, por tanto, el costo de destruirlas físicamente o arruinar su función.

•

Informar a la comunidad de nuestros resultados, según el propósito de nuestro proyecto.

•

Evaluar lo que hicimos bien o mal en la realización del proyecto, o lo que podríamos haber hecho mejor.

39. Busca un número que se pueda expresar como la suma de dos cuadrados de dos formas distintas y factorízalo.

159

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80 cm

A = 80 $ 20 A = 1 600 cm 2

81

Repaso acumulativo 1 1. Indica si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). (El signo d se lee: “pertenece al conjunto”).

b) 7 ! Q

b) Tienen el mismo signo y la misma parte literal. c) Tienen la misma parte literal.

c) 12 ! Z

g) 0, 125 z N

d)

h) - 3 3 ! QC

2 !Q

a) 0

^ - 3 h2 + ^ - 2 h ^ - 2 h3 - 27 - 32 - 5 + 1 - 3 0 b2 l -2

a) 0

3

d) Ninguna de las anteriores.

b) 7

de la mitad de la suma de un número y ocho”. n +8 2

c)

b)

n +8 2

d) N.A.

a) 1 x 2 2

b) 1 x 2 6

c) 6x 2

a) Multiplican.

c) Restan.

2x

+

2

b) Suman.

d) N.A.

n+8 2

a)

3x

2 a) - a 25b

+

12 b) 25b2 a

c)

b2 25a 2

a) x -1 y -10

8 x 3 + 4 x2 + 25 x + 1 51 71 2

b) - 1

c) 0

d) N.A.

35

11. Segmento de recta que limita un polígono. 12. La expresión 1 se denomina _______ de a. a 13. Figura plana cerrada limitada por varios lados. 14. El _________ algebraico expresa la información mediante letras y números. 15. El primer conjunto de números que el ser humano inventó. 16. Circunferencia que rodea a un polígono.

m

15 m

17. Longitud del borde de un polígono.

26 m

a) 107, 4 m2

c) 177,4 m2

b) 207,7 m2

d) N.A.

18. a + ^b + c h = ^a + b h + c es la propiedad _______. 19. Parte de una circunferencia. 20. Números que no se expresan como fracciones. 21. Números racionales y números irracionales. 1

40c

2 3

24 cm

d) N.A.

a) 90 cm y 270 cm2

c) 100 cm y 120 cm2

b) 98 cm y 170 cm2

d) N.A.

4 5 6

19. Llena el crucigrama.

7

Dos grandes problemas que afectan al mundo

0, 04x 4 y2 - 1 x 2 y 5 1 x 9 ^- 5y h10 3 3

1

2

8

1. Segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia. d) N.A.

13. El grado de un polinomio está determinado por:

b) 51 x 3 - 71 x2 - 25 x - 1 8 4 2

9 10

2. En la división de potencias de la misma base, las potencias se _________.

11

3. Circunferencia dentro de un polígono.

12

a) El mayor de los coeficientes.

4. Punto de unión de dos lados de un polígono.

13

c) 51 x 3 + 71 x2 + 25 x + 1 4 2 8

b) El grado del término de mayor grado.

5. Se dice de dos circunferencias que tienen un punto común.

14

d) N.A.

d) N.A.

6. El cero es el elemento ________ de la adición.

16

7. Mayor potencia de la variable de un polinomio P(x).

17

c) La suma de los exponentes.

^ 3x 2 - y h ^ a 3 - x h

6. Indica el valor numérico de x - y + 2a - 1 para x = 1; y =- 2; a =- 3 .

a) -25

b) 18

c) 35

14. Indica el valor del polinomio para los siguientes números asignados a sus variables: x =- 1; y = 2 . P ^ x, y h = 5x 3 - 3x 2 y + 1 xy 2 + y 3 2

d) N.A. a) -5

82

c) 8

9. Segmento que une un punto de la circunferencia con su centro. 10. Cuerda máxima de una circunferencia.

6 cm

1 3 2 3 2 ;^- 5ab h b 5a l E

x +1 2 x +1 2

b) 7

18. El perímetro y el área de la figura son:

12. Indica el resultado de la siguiente operación:

3x + 5

a) 9

17. Indica el área del triángulo

11. Indica el resultado de la siguiente operación:

5. Indica la suma de los volúmenes de los cuerpos.

x

suma de ángulos internos es igual a 900c es:

d) N.A.

ponentes se:

4. Expresa en lenguaje algebraico: “La raíz cuadrada a)

d) N.A.

10. Al multiplicar potencias de la misma base, los ex-

d) N.A.

c) -7

c) a

d) N.A.

16. El número de lados de un polígono convexo cuya

- ; 1 x 2 + 2 x + b - 2 x 2 - 1 x lE + 5 x 2 3 3 4 12

0, 142857142857... + 58 ' ^ - 29 h 14 a) 0

b) -b

9. Indica el resultado de la siguiente operación:

3. Indica el valor de la siguiente expresión:

c) 7x 3 - 7x2 + 2x - 1

2

b) 7x - x - 2x - 1

-^a + bh + ^- a - bh - ^- b + ah + ^3a + bh

c) -1

b) 1

3

8. Indica el resultado de la siguiente operación:

^- 3 h $ 2 + ^ - 1h3 -

P ^ x h = 7x 3 - x 2 + 3x - 6 Q ^ x h = 6x 2 - 8x + 3 R ^ x h = 9x - 8 a) 7x 3 + 7x2 - 2x + 1

d) N.A.

2. Indica el valor de la siguiente expresión: 1+ 9 +

15. Indica el resultado de P - ^Q + Rh si:

7. Dos o más términos son semejantes si: a) Tienen el mismo coeficiente.

e) 1 ! Q 3 f) 10 z Z

a) - 6 ! N

b) 5

c) 1

d) N.A.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

8. Al proceso de asignar un número a la variable de un polinomio P(x) y realizar el cálculo se denomina _____.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

15

18 19 20 21

83

Cada cuatro unidades encontrarás un REPASO ACUMULATIVO para evaluar tus logros fundamentales de las cuatro unidades anteriores.

Índice 1

2

3

4

Los números reales

6

Recuerda

7

Los números racionales

8

Los números irracionales

10

Los números reales. Adición y sustracción

12

Los números reales. Multiplicación y división

14

Los números reales. Potenciación

16

Los números reales. Radicación

18

Solución de problemas

20

Taller de Matemática

21

Evalúa tus logros

22

Matemática y valores

25

Operaciones con monomios

26

Recuerda

27

El lenguaje algebraico

28

Expresiones algebraicas y valor numérico

30

Monomios

31

Adición y sustracción de monomios

32

Multiplicación y división de monomios

34

Potenciación y radicación de monomios

36

Operaciones combinadas

38

Solución de problemas

40

Taller de Matemática

41

Evalúa tus logros

42

Matemática y valores

45

Adición y sustracción de polinomios

46

Recuerda

47

Polinomios

48

Adición de polinomios

50

Sustracción de polinomios

52

Adiciones y sustracciones combinadas

54

Solución de problemas

56

Taller de Matemática

57

Evalúa tus logros

58

Matemática y valores

61

Polígonos, circunferencia y círculo

62

Recuerda

63

Clasificación de los polígonos

64

Área de un polígono

65

Suma de ángulos internos

66

Suma de ángulos externos y suma de ángulos centrales

67

Elementos de la circunferencia y del círculo

68

Posiciones relativas: punto, recta y circunferencia

69

Posiciones relativas de dos circunferencias

70

5

Longitud de una circunferencia y de un arco

71

Área de un círculo y de un sector circular

72

Circunferencia circunscrita

73

Circunferencia inscrita

74

Ángulos en la circunferencia

75

Solución de problemas

76

Taller de Matemática

77

Evalúa tus logros

78

Proyecto socioproductivo

81

Repaso acumulativo 1

82

Multiplicación y división de polinomios

84

Recuerda

85

Multiplicación de un monomio por un polinomio

86

Multiplicación de polinomios

88

Multiplicación de tres o más polinomios

90

División de un polinomio entre un monomio

92

Operaciones combinadas

94

División de polinomios

96

La regla de Ruffini y el teorema del resto

6

98

Solución de problemas

100

Taller de Matemática

101

Evalúa tus logros

102

Matemática y valores

105

Productos notables

106

Recuerda

107

Cuadrado de la suma de dos términos

108

Cuadrado de la diferencia de dos términos

110

Cuadrado de un trinomio

112

Cuadrado de un polinomio

113

Producto de la suma por la diferencia de dos términos 114

Producto de la forma ^ x ! a h ^ x ! bh Producto de la forma ^mx ! a h ^nx ! b h Solución de problemas

116 117 118

Taller de Matemática

119

Evalúa tus logros

120

Matemática y valores

123

7

Productos y cocientes notables

124

Recuerda

125

Cubo de un binomio

126

El triángulo de Pascal y la potencia n–ésima de un binomio

128

10

Método alternativo para el desarrollo de ^a ! b hn 130 Cocientes notables. División de a n - b n entre a - b 131

8

Cocientes notables. Divisibilidad de a n ! b n entre a ! b

132

Solución de problemas

134

Taller de Matemática

135

Evalúa tus logros

136

Matemática y valores

139

Factorización

140

Recuerda

141

Factor común monomio

142

182

Recuerda

183

Coordenadas cartesianas

184

Concepto de función

186

Formas de expresar una función

188

De la ecuación a las otras formas de definición

190

La función lineal y la función afín

192

La función de proporcionalidad directa

194

La función de proporcionalidad inversa

195

Solución de problemas

196

Taller de Matemática

197

Evalúa tus logros

198

Matemática y valores

201

Probabilidad y estadística

202

Recuerda

203 204

Factor común polinomio

143

Experimentos aleatorios y sucesos

Diferencia de cuadrados. Binomios

144

La regla de Laplace

205

Suma y diferencia de cubos. Binomios

145

Diagrama de árbol

206

Suma y diferencia de n-ésimas potencias. Binomios

146

Medidas de centralización: la media aritmética

208

148

Medidas de centralización: la mediana y la moda

210

Medidas de dispersión: el rango

211

Trinomio cuadrado perfecto. Trinomios

9

11

Funciones

Trinomio cuadrático de la forma x 2 + Mx + N . Trinomios

149

Solución de problemas

212

Trinomio de la forma Px 2 + Mx + N . Trinomios

150

Taller de Matemática

213

Factorización de cuatrinomios y polinomios mayores 151

Evalúa tus logros

214

Factorización de polinomios en general

152

Matemática y valores

217

Solución de problemas

154

Taller de Matemática

155

Evalúa tus logros

156

Volumen de cuerpos

218

Matemática y valores

159

Recuerda

219

Repaso acumulativo 2

160

Volumen y capacidad

220

Volumen de un prisma

222

Volumen de un cilindro

224

Volumen de una pirámide

226

12

Ecuaciones e inecuaciones

162

Recuerda

163

Volumen de un cono

228

Ecuaciones e identidades

164

Volumen de una esfera

230

Grado y solución de una ecuación

165

Solución de problemas

232

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

166

Taller de Matemática

233

Ecuaciones de primer grado con denominadores

168

Evalúa tus logros

234

Ecuaciones con radicales

169

Matemática y valores

237

Problemas que se resuelven mediante ecuaciones

170

Repaso acumulativo 3

238

Intervalos

172

Bibliografía

240

Inecuación y solución de una inecuación

173

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita

174

Solución de problemas

176

Taller de Matemática

177

Evalúa tus logros

178

Proyecto socioproductivo

181

Sugerencia de temporalización

1

Los números reales

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores El agua dulce de la cual podemos disponer es poquísima comparada con la totalidad de agua que hay en nuestro planeta. Por esta razón debemos utilizar el agua con responsabilidad.

El planeta azul

No es aceptable malgastar el agua potable en el lavado de automóviles; más aún si pensamos que no tenemos sistemas que nos permitan reutilizar esa agua.

Una persona necesita consumir alrededor de 2 litros de agua diariamente, pero muchos de los productos que usamos requieren muchísima agua en su proceso de elaboración. Por ejemplo, se requiere 200 toneladas de agua para producir una de hierro y 8 000 toneladas de agua para producir una de trigo.

En las ciudades, deberíamos buscar formas de usar el agua de lluvia para satisfacer ciertas necesidades.

La Tierra es el planeta azul porque aproximadamente el 75% de su superficie está cubierta de agua. Sin embargo, de toda esa agua solo un pequeño porcentaje puede ser utilizado por las personas; el 97,4% es agua salada contenida en mares y océanos y únicamente el 2,65% es agua dulce como la que usamos en nuestras casas, en la agricultura y en la industria. Y del agua dulce, el 98% está contenido en hielos perpetuos y solo el 2% restante es agua dulce líquida.

6

• ¿Puedes expresar mediante fracciones simplificadas todas las cantidades mencionadas en el texto? • ¿Qué puedes hacer tú para contribuir a que el agua se utilice de manera racional y responsable?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Para estudiar esta unidad con éxito los alumnos deben comprender claramente las reglas de signos que permiten realizar la adición y la multiplicación de números enteros.

6

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Posibles dificultades en la unidad

RecueRda El conjunto de los números naturales (N) Los números naturales son aquellos con los que aprendemos a contar. N = "1, 2, 3, 4, f ,

el conjunto de los números naturales tiene un primer elemento (el 1), es infinito y ordenado: 1 1 2 1 3 1 4f

El conjunto de los números enteros (Z) el conjunto de los números enteros resulta de añadir el cero y los números negativos al conjunto de los números naturales. Z = "- 4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, f ,

el conjunto de los números enteros no tiene primer ni último elemento, es infinito y ordenado:

1. Escribe 1 (menor que) o 2 (mayor que) entre las siguientes parejas de números. a) 107

e) -571

98

b) 3098 c) 43 038 d) -250

f)

3140 39878

0

199 1245

g) 17 h) 0

-345

–– Es posible que los estudiantes piensen erróneamente que los conceptos de número racional y fracción son totalmente similares. Es necesario explicar la diferencia entre esos conceptos.

-170 -999

2. Indica si el resultado de la operación pertenece

–– Es importante recordar que la raíz de un número puede ser tanto un número racional como un número irracional.

(d ) o no al conjunto mencionado. a) 45 - 67 d N b) 45 ' 7 d Z c) 100 ' 10 d Z d) 82 - 23 d N

e) 0, 5 $ ^ - 8 h d Z f)

81 ' ^ - 9 h d Z

g) ^ - 12 h + ^ - 5 h d N h) ^ - 2 h $ 3 d N

–– Hay que llamar la atención sobre los procedimientos incorrectos para simplificar fracciones. Es incorrecto:

f -3 1 -2 1 -1 1 0 1 1 1 2 1 3 f

Adición y multiplicación con números enteros •

Para sumar enteros de signos iguales se suman como si fueran naturales y se anota el mismo signo. -3 - 7 =-10

•

Para sumar enteros de signos distintos se restan como si fueran naturales y se anota el signo del número que tiene mayor valor absoluto. -6 + 2 =-4

•

+4 + 11 =+15

-9 + 12 =+3

Para multiplicar números enteros se sigue la regla de los signos.

^+h $ ^+h = ^+h ^+h $ ^-h = ^-h ^-h $ ^-h = ^+h ^-h $ ^+h = ^-h

^-3 h $ ^+7 h = ^-21 h

3. Calcula. a) - 4 - 12

e) -6 + 8 - 10

b) + 9 + 11

f) 7 + 4 - 17

c) - 11 - 23

g) -9 + 13 + 9

d) - 18 + 9

h) -23 - 10 + 29

4. Calcula.

a) ^ -6 h $ ^ -7 h

e) ^ -3 h $ ^ -8 h $ ^ -5 h

c) ^ +11 h $ ^ -14 h

g) ^ +7 h $ ^ -17 h $ ^ +12 h

b) ^ -8 h $ ^ +12 h d) ^ +9 h $ ^ +13 h

447 = 44 3 37

Sin embargo, es correcto: 3470 = 347 25 250

f) ^ -2 h $ ^ +3 h $ ^ -5 h

Vocabulario matemático

h) ^ -8 h $ ^ -15 h $ ^ +7 h

^-6 h $ ^-3 h = ^+18 h

Fracciones equivalentes dos fracciones son equivalentes si representan un mismo valor. Si dos fracciones son equivalentes, sus productos cruzados son iguales. 4 = 2 & 4$3 = 6$2 6 3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

5+3 =3 5

Elemento neutro Elemento opuesto

5. Indica si las fracciones son equivalentes.

Fracciones equivalentes

a) 5 y 6 4 5

4 y -1 c) - 12 3

Fracción periódica

b) 9 y 3 6 2

d) - 2 y 1 8 4

Notación científica Número irracional Número racional

7

Número real

7

Más información

Los números racionales

Comparación de fracciones Para determinar si una fracción es menor que otra debemos considerar dos casos:

Podemos obtener un conjunto infinito de fracciones escribiendo fracciones que tengan números enteros en el numerador y en el denominador: f f

–– Si los numeradores son iguales, entonces es menor la fracción que tiene mayor denominador.

f f f

Por ejemplo: 4 1 4 7 3 –– Si los denominadores son iguales, entonces es menor la fracción que tiene menor numerador. Por ejemplo: 2 1 3 5 5 Para comparar fracciones es conveniente igualar los numeradores o los denominadores utilizando la técnica de obtener el mínimo común múltiplo. También se puede dividir el numerador entre el denominador (si es necesario con una calculadora) y comparar los números decimales resultantes.

f

Tic Conjuntos numéricos. Se escribe verdadero (V) o falso (F) al lado de cada afirmación.

8

-4 3 -4 2 -4 1 -4 -1 -4 -2 -4 -3

-3 3 -3 2 -3 1 -3 -1 -3 -2 -3 -3

-2 3 -2 2 -2 1 -2 -1 -2 -2 -2 -3

-1 3 -1 2 -1 1 -1 -1 -1 -2 -1 -3

0 3 0 2 0 1 0 -1 0 -2 0 -3

1 3 1 2 1 1 1 -1 1 -2 1 -3

2 3 2 2 2 1 2 -1 2 -2 2 -3

3 3 3 2 3 1 3 -1 3 -2 3 -3

4 3 4 2 4 1 4 -1 4 -2 4 -3

Todos los números que pueden expresarse mediante un conjunto (que es infinito) de estas fracciones se llaman racionales ya que una fracción es la razón de dos números. - 2 es racional: -2 = $ ... - 4 , - 2 , 2 , 4 ... . 2 1 -1 -2 0 es racional: 0 = $... 0 , 0 , 0 , 0 ... . -2 -1 1 2 ! ! 1, 1 6 es racional: 1, 1 6 = $ ... -14 , -7 , 7 , 14 ... . -12 -6 6 12

5 3 5 2 5 1 5 -1 5 -2 5 -3

f f f f f f

Todos los números enteros y todos los números decimales, exactos o periódicos, son racionales.

un número racional es un número que puede expresarse mediante una fracción a , en la que a y b son enteros y b es distinto de cero. b -3

-7 4 –3

–2

8 3

1 2 –1

0

1

2

3

3

Características de los números racionales •

Fracciones, decimales exactos y decimales periódicos Para saber si una fracción irreducible es equivalente a un número decimal finito, basta analizar el denominador. Si en la factorización prima del denominador aparecen solo el número 2 y/o el número 5, entonces la fracción es equivalente a un decimal finito; si aparecen otros factores, es equivalente a un decimal periódico.

-5 3 -5 2 -5 1 -5 -1 -5 -2 -5 -3

el conjunto de los números racionales, que se representa mediante la letra Q: –

es infinito: hay una infinita cantidad de números racionales.

–

No tiene primer ni último elemento.

–

es ordenado: dados dos números racionales distintos uno es necesariamente mayor que otro.

–

es denso, es decir, entre dos números racionales cualesquiera existe un número infinito de otros números racionales.

•

Los números enteros (los naturales, el cero y los enteros negativos) y muchos (pero no todos) los números decimales son racionales porque pueden expresarse en forma de fracción. • Los números a y 1 se denominan recíprocos o inversos. Son inversos: a 3 y 1;-2 y -5; 1 y 8 3 5 2 8

8

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Sugerencias metodológicas –– Por la importancia que tiene la representación de fracciones en la recta numérica, es importante dar a los estudiantes la oportunidad de representar distintas fracciones. –– Cuando los estudiantes transformen fracciones en decimales periódicos es conveniente que hagan los cálculos manualmente y que utilicen la calculadora solo para comprobar sus resultados.

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Recursos

1. Ordena los números de menor a mayor y represéntalos en una recta numérica. a) - 1 ; 4 ; - 2 ; 1 ; 2 2 3 3 2 5

b) - 3 ; 2 ; - 0, 5; - 5 ; 0 4 3 2

Pensamiento crítico e investigación –– Sea la fracción a , positib va o negativa, con a 2 0 y b 2 0. Si a se mantiene constante y b aumenta cada vez más, ¿qué ocurre con el valor de la fracción?

2. Expresa mediante un número decimal. 1. 3 4

3 4 (0) 0, 75

a) 7 4 b) - 13 5

3 = 0, 75 4

5 6 2 0, 833...

2. 5 6

c) 15 8 d) - 5 6

e) - 23 2 f) - 17 3

5 = 0, 8 ! 3 6

g) 12 5 h) 5 12

3. Expresa mediante una fracción.

–– Indica si estás de acuerdo con las siguientes afirmaciones y explica por qué.

De decimal finito o exacto a fracción Numerador: el número sin la coma. denominador: el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales. De decimal periódico a fracción Numerador: el número (sin la coma) menos la parte no periódica. denominador: tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica situada después de la coma.

4.

a) 4,5

c) 6,4

b) 7,2

d) 0,25

b) No existe el cociente de un número dividido entre cero.

$ - 13 = 1303 : 1, 31616... = 1, 316 = 1316 990 990

$ - 2 = 215 : 2, 1717... = 2, 17 = 217 99 99 i)

0, 52323 ...

j)

6, 0312312 ...

Ejercicios Convierte en decimal periódico. a) 1 3

b)

c) 1 333

b) 1 33

-2 ; - 2 ; 1 ; -2 ; 2 - 10 5 5 - 5 10

Investiga. Busca un número racional entre los dos racionales dados.

a) 1 y 5 2 2 3 b) y 1 4 3

6.

! 0 = 7 : 0, 777... = 0, 7 = 7 9 9

( g) 0, 4 132 ! h) 6, 131 7

% e) 0, 16 % f) 0, 1 23

a) Cero dividido entre cualquier otro número, distinto de cero, es igual a cero.

¿Cuáles de las fracciones expresan el mismo número racional? a) 3 ; - 1 ; 6 ; - 2 ; 9 4 2 8 - 4 12

5.

5, 2 = 52 = 26 10 5

c) - 4 y 4 3 3 7 d) y -1 2 2

e) - 6 y - 3 4 13 f) 0, 2 y 2

Pensamiento crítico. Indica si estás o no de acuerdo y explica por qué.

a) existe un número entero que no tiene inverso. b) el número 7,25 no es racional porque no es una fracción. ! c) 0, 9 = 1

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9

Tic Fracciones equivalentes. Se clasifican diversas fracciones en familias de fracciones equivalentes.

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9

Más información

Los números irracionales

Números irracionales Hay dos números irracionales muy especiales: –– El número pi: r = 3, 14159... , frecuentemente empleado en problemas de tipo geométrico. –– El número e: e = 2, 718281... , que es la base de los logaritmos naturales.

Observemos los números decimales escritos en la parte derecha de las siguientes igualdades: r = 3, 1415926 ... 2 = 1, 4142135 ... r = 3, 1415926 ... - 5 =-2, 2360679 ... 3 2 = 1, 4142135 ... 3 = 1, 4422495 .. - 5 =-2, 2360679 ... 3 3 = 1, 4422495 .. No son decimales exactos pues los puntos suspensivos indican que la parte decimal tiene infinitas cifras. No son decimales periódicos pues en las cifras decimales no hay un conjunto de cifras que se repita. Por lo tanto, estos números no pueden ser racionales.

Este es uno de los números irracionales más famosos.

Los números irracionales son números que pueden expresarse mediante un número decimal de infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto, no pueden representarse mediante una fracción.

r=3

, 1415

9 26 5

3 589

79...

Características de los números irracionales el conjunto de los números irracionales, que se representa mediante la c letra Q : •

es infinito: hay una infinita cantidad de números irracionales.

•

No tiene primer ni último elemento.

•

es ordenado: dados dos números irracionales distintos uno es necesariamente mayor que otro.

•

es denso: entre dos números irracionales hay una infinita cantidad de otros. además, entre dos números racionales siempre existen otros irracionales.

Los números irracionales en la recta numérica La recta numérica en la que ubicamos los números racionales no “se llena” con estos. aunque aparentemente está completa, en realidad tiene muchos “huecos”, los cuales corresponden a los números irracionales. empleando el teorema de Pitágoras podemos ubicar algunos números irracionales en la recta numérica. el número

2 es irracional. ubiquémoslo en la recta numérica.

1.º Trazamos una recta numérica.

3.º Trasladamos con un compás la medida de la hipotenusa sobre la recta numérica. así determinamos la ubicación del número irracional 2 sobre la recta. Observa cómo en la misma recta determinamos la ubicación de

10

2

2

2

=

5

2

+

1

2

=

2

+1

1

2.º Sobre la recta numérica trazamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 unidad. en ese triángulo aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el valor de la hipotenusa, que es 2 .

0

1

2

2

5

5.

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Sugerencias metodológicas –– A veces los estudiantes confunden los decimales periódicos con los números irracionales. Por ello es importante que el profesor haga una diferenciación precisa entre estos dos tipos de números. –– Es importante recordar a los estudiantes que el número r no vale exactamente 3,1416 (valor que suele utilizarse en la resolución de problemas geométricos) ya que el número r es un número irracional que tiene, por tanto, infinitas cifras decimales.

10

3

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Recursos

1. Determina si los números son racionales o irracionales.

2.

a) 0,131313...

c) 1,7307307...

e) 0,1211212...

b) 2,23152974...

d) 0,4517126...

f) -5,607121005...

Ejercicios –– Representa en la recta numérica los siguientes números irracionales.

Investiga. Descubre la regla a la que obedecen los dígitos del número irracional

y escribe algunos de los dígitos que siguen. Podemos escribir un número irracional escribiendo dígitos que siguen alguna regla, la que, sin embargo, no determina la formación de un periodo.

a) - 2 b) - 5 c) - 8

a) 6,2322322232...

c) 0,331331133111...

b) 1,1121231234123...

d) 4,28292102112...

–– Indica cuáles de los siguientes números son racionales.

3. Aplicando el teorema de Pitágoras ubica en la recta numérica los siguientes números irracionales. a)

b)

8

10

c)

13

d)

14

4. Encuentra un número irracional entre los dos números racionales dados.

a) 7

d) 3 1

b) 9

e) 3 10

c) 11

f)

3

8

Para encontrar un número irracional entre 1 y 1 : 5 6 1 1 y mediante números decimales: 1.º expresamos 5 6 ! 1 = 0, 2 1 = 0, 16666... = 0, 16 5 6 2.º Buscamos un número racional que esté entre 0,2 y ! 0, 16 . un número tal es 0,18. 3.º al número racional encontrado en el paso anterior le añadimos una parte no periódica e infinita. 1 = 0, 2 5

a) 3 y 0,7

5.

! 1 = 0, 16 6

0, 18242242224...

b) 3 y 7 4 8

Si la raíz n entero no es exacta, entonces es un número irracional.

c) 2 y 5 3 2

d) - 7 y 1 4 3

Calculadora. Escribe en forma decimal y con al menos 6 cifras decimales cada uno de los siguientes números irracionales:

a)

7

b)

15

c)

20

d) - 34

6. Identifica los números irracionales y escríbelos con al menos 6 cifras decimales. a)

5

c)

b)

17

d)

3

23

e)

21

f)

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5

25

g) 2 64

5

h) 3 3

11

Tic Números racionales y números irracionales. Se escribe verdadero (V) o falso (F) al lado de cada afirmación.

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Más información

Los números reales. Adición y sustracción

Adición de números enteros En la adición de números enteros hay que distinguir entre los signos de los números y los signos de la operación. Por ejemplo:

el conjunto de los números reales, R , está formado por la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

- 2 - 7 + 10 = 1

Z Q

C

Q R

Números reales (R )

^- 2h + ^- 7h + ^+ 10h = + 1

Sin embargo, en la práctica se puede obviar el signo + de la operación y aplicar la regla de signos para presentar la operación de manera abreviada:

N

Números racionales (Q)

Números decimales

Números enteros (Z) Negativos (Z - )

0

Números irracionales (Q C )

Naturales (N)

exactos

Periódicos

en el conjunto de los números reales se define la operación de adición y, a partir de esta, la operación de sustracción.

Número racional Un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes entre sí. Este conjunto de fracciones tiene un representante que es la fracción irreducible. Por ejemplo: 2 2 3 10 8 3 & 3 0 = & 3 , 9 , 15 , 12 , - 9 , ... 0 -

Adición. a cualquier par de números reales, a y b, le corresponde un número real a + b llamado suma. Sustracción. La sustracción a - b de los números reales, a y b, se define como la suma de a y el inverso aditivo o negativo de b, es decir: a - b = a + (- b ) como la adición de dos números reales produce un número real se dice que esta operación es cerrada en el conjunto de los reales. en la siguiente tabla se indican algunas propiedades referidas a la adición de números reales (en la tabla, a, b, y c representan números reales).

Representante En la práctica, las operaciones entre números racionales se realizan con la fracción representante. Conjuntos numéricos y operaciones Como N 1 Z 1 Q , las propiedades de los números racionales son válidas en los números enteros, y las propiedades de los números enteros son válidas en los números naturales.

Propiedad conmutativa asociativa elemento neutro elemento simétrico (opuesto) cancelativa

Simbolización

Ejemplo

a+b = b+a

2+5 = 5+2

^a + bh + c = a + ^b + ch

^2 + 3h + 4 = 2 + ^3 + 4h

a+0 = a

6+0 = 6

a + ^- ah = 0

8 + ^- 8h = 0

2 = 1 + 1 & 2 + 3 = ^1 + 1h + 3

a = b & a+c = b+c

1. Escoge tres números reales negativos y ejemplifica las propiedades de la adición. 2. Halla el resultado. a) -6 + 8

c) -10 - 15

e) 22 - 33

g) -15 - 8

i) -9 - 8

b) -6 + 4

d) 3 - 12

f) -10 + 7

h) 15 - 7

j) - 38 + 47

12

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Sugerencias metodológicas Tic Definición de conjuntos numéricos. Con una flecha, se une cada conjunto numérico con su respectiva definición.

12

Utilice diagramas circulares para que los estudiantes vean las relaciones de inclusión entre los conjuntos numéricos.

N

Z

Q

Qc

R = Q , Qc

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3. Halla el resultado. a) 1 - 7 2

d) - 1 + 5 8 2

b) - 3 + 1 3 1 c) - + 6 5

e) 3, 5 - 0, 25 f) 10, 31 - 4, 8

Recursos

! g) 4, 7 - 2, 91

Pensamiento crítico e investigación

h) 0, 1313... - 3 5 $ 17 i) - 1, 235 3

–– Si a 1 b , ¿qué sucede con el sentido de la desigualdad si se suma a ambos miembros una cantidad positiva? ¿Y qué si se suma una cantidad negativa?

4. Halla el resultado. a) 4 - 6 - 8

e) - 2 + 30 - 26 + 12

b) - 3 - 6 + 12

f) - 34 + 11 + 34 - 77 - 10

c) - 23 - 10 + 8 - 5

g) 321 - 21 + 320 - 20 - 31

d) 17 - 7 - 23 + 32

h) - 73 - 47 - 90 + 40 - 300

–– Si a 1 b , ¿qué sucede con el sentido de la desigualdad si se multiplican ambos miembros por una cantidad positiva? ¿Y qué si se multiplican por una cantidad negativa?

5. Halla el resultado. a) 1 + 5 - 1 4 3 2 b) 9 + 4 - 1 - 2 13 13 13 13 c) 7 - 1 + 5 - 3 9 3 18 2 d) 3 - 7 + 0, 5 5 10

e) - 1 + 0, 25 - 7 4 3 ! f) - 1, 7 + 1 - 1, 13 3 $ g) 4, 5 - 2 + 2, 17 7 ! h) 3 - 6 + 1, 23 8 5

–– ¿Tiene inverso el número cero?, ¿por qué?

6. Resuelve las operaciones combinadas con paréntesis. a) - ` 2 - 4 j + ` 2 - 1 j 3 5 3 4 1 2 b) - 2 - ` - + j 3 2 6 c) - 1, 5 + ` 2 - 0, 2 - 1 j 3 2 1 7 d) 4, 3 - ` 1, 5 - + j 2 2

e) - ` 1, 2 + 1 j + ` 2 - 5, 2 j 2 5 ! 1 2 f) 3, 5 - ` - 1, 3 + j 3 2 $ g) 4 + ` - 1 + 1, 21 - 5 j 3 3 3

h) - 2 + 8- 1 + 3 - ^ 1, 2 + 7, 33... hB 2 4

7. Resuelve los problemas. a) una empresa constructora pavimentó en una primera etapa 1 de un ca3 mino, 2 en la segunda etapa y, por último, 2 partes. ¿Qué fracción del 15 5 camino le falta pavimentar? b) un agricultor vende una tercera parte de su propiedad, una octava parte la alquila y la parte restante la cultiva. ¿Qué parte de la propiedad cultiva? c) un empleado gana mensualmente Bs 2 000. Gasta Bs 500 2 en la alimen9 tación de su familia, Bs 600 en el alquiler de su casa y Bs 180 1 en otros 3 gastos. ¿cuánto puede ahorrar mensualmente? d) Tres confeccionistas disponen de 200 metros de tela. uno emplea 53 2 m 7 y el otro 84 1 m. ¿cuántos metros de tela quedan para el tercero? 2

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13

13

Más información ¿Es la división una operación fundamental? Algunos autores no consideran que la división sea una operación fundamental porque, para serlo, debería satisfacer propiedades similares a las que satisfacen las operaciones de adición y multiplicación. Operaciones combinadas Al realizar operaciones combinadas se debe observar la siguiente jerarquía de operaciones. 1.° Se realizan las operaciones que están dentro de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) en el orden indicado en los siguientes puntos. 2.° Se realizan las multiplicaciones y las divisiones, en orden de izquierda a derecha. 3.° Se realizan las adiciones y sustracciones, en orden de izquierda a derecha.

Los números reales. Multiplicación y división

División. La división a ' b de los números reales, a y b, se define como la multiplicación de a por el inverso multiplicativo o recíproco de b, es decir: a ' b = a $ 1 o también a = a $ 1 con b ! 0 b b b como la multiplicación de dos números reales produce un número real se dice que esta operación es cerrada en el conjunto de los reales.

6litros@ 6litros@ ' min = 6 @ = 7litrosA $

6min@ = 6min@ 7litrosA

En la multiplicación, el inverso de a es 1 . a

en la siguiente tabla se indican algunas propiedades referidas a la multiplicación de números reales (en la tabla, a, b, y c representan números reales). Propiedad conmutativa asociativa elemento neutro

Simbolización

Ejemplo

a$b = b$a

3$7 = 7$3

^a $ bh $ c = a $ ^b $ ch

^5 $ 3h $ 6 = 5 $ ^3 $ 6h

a$1 = a

8$1 = 8

elemento simétrico (inverso o recíproco)

a$ 1 = 1 a

9$ 1 = 1 9

distributiva respecto de la adición

a $ ^b + ch = a $ b + a $ c

6 $ ^5 + 3h = 6 $ 5 + 6 $ 3

cancelativa Productos con 0

a = b & a $ c = b $ c; c ! 0

2 = 1 + 1 & 2 $ 5 = ^1 + 1h $ 5

a$0 = 0

9$0 = 0

a $ b = 0 & a = 0 y/o b = 0

6 $ 0 = 0 & 6 = 0 y/o 0 = 0

Las siguientes propiedades de los cocientes con reales son válidas si los denominadores son distintos de cero. Propiedad

Ejemplo

Propiedad

Ejemplo

a = c + a$d = b$c b d

1 = 4 + 1$8 = 2$4 2 8

a + c = ad + cb b d bd

1 + 2 = 1 $ 3 + 2 $ 4 = 11 4 3 4$3 12

a$d = a b$d b

2$5 = 2 3$5 3

a $ c = ac b d bd

2 $ 3 = 2$3 = 6 5 4 5$4 20

a + c = a+c b b b

4 + 5 = 4+5 = 9 6 6 6 6

a ' c = a $ d = ad b d b c bc

3 ' 5 = 3 $ 4 = 3 $ 4 = 12 2 4 2 5 2$5 10

Simplificación de unidades Al multiplicar o dividir medidas, las unidades se simplifican como si fueran expresiones algebraicas.

En la adición, el opuesto de a es ^- ah .

Multiplicación. a cualquier par de números reales, a y b, le corresponde un número real a $ b llamado producto.

1. Elige números reales para ejemplificar las propiedades de la multiplicación y las propiedades especiales señaladas para los cocientes con reales.

2. Halla el resultado. a) -9 $ 6

b) -18 ' 3

14

c) - 8 $ ^ -12 h

d) -15 ' 5

e) 10 $ ^ -12 h

f)

36 ' ^ -9 h

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Los estudiantes no deben utilizar calculadora hasta que adquieran práctica y seguridad en la realización de las operaciones.

14

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

3. Halla el resultado. a) 2 3 b) 2 3

$5 4 '1 2 c) ` - 17 j $ ` - 8 j 5 17 5 1 d) - ' 4 4

e) 24 $ 0, 5 g) ^ - 5, 25 h $ 8

h) ^ - 4, 25 h ' 5 i)

4, 33... ' ` - 5 j 9

4. Halla el resultado. a) 1 4 b) 2 5 c) 3 5

$2$3 5 8 $ `- 1 j $ 4 8 7 $ ` - 1 j $ ` - 15 j 9 4 d) ` - 3 j $ 7 $ 16 $ ` - 2 j 8 4 7 3 5 1 e) - 0, 2 $ ` - j $ ` - j 3 4

Pensamiento crítico e investigación

f) 10, 5 ' 1, 2

Cuando en una operación hay fracciones y decimales es conveniente convertir los decimales a fracciones.

–– Las operaciones de sustracción y división no son, en general, conmutativas, ¿pero hay alguna sustracción y alguna división específicas que sean conmutativas?

3 $ - 0, 3... $ - 5 ^ h ` 7 12 j ! 1 g) 2, 7 $ ` $ 1, 5 10 j h) - 3 $ 17 $ ` - 3 j 2 99 17 ! i) 1, 25 $ ^ - 1, 7 h $ ^ - 0, 9 h f)

j)

–– ¿Es asociativa la división? Apoya tu conclusión con ejemplos.

$ $ 0, 23 $ 0, 25 $ 3 $ 5 4 6

5. Halla el resultado. a) ` - 5 j $ ` - 20 j ' 5 4 3 9 b) 7 ' ` - 7 j $ ^ - 0, 1 h 5 25

6. Halla el resultado. a) 2 - 1 ' 0, 2 3 3 b) 0, 7 $ ` 1 - 5 j 2 3 ! c) ^ - 4, 5 h $ 1 - 1 + 2 $ 0, 5 3 6 3

7.

c) ` - 6 $ 10 j ' ` 1 $ 12 j 5 4 2 d) ^ - 5, 4 h $ 5 ' ` - 6 j 9 5 $ ! d) 0, 5 $ ` 0, 83 - 1 j ' 8^ 0, 25 + 0, 3 h $ 1 B 2 2 ! e) 4 + 1, 6 $ ^ - 3 h - 1 ' ^ - 2 h 9 4 2 1 3 f) ` - $ 2 j $ ` ' 2 - 1 j + 1 3 9 4 3

Pensamiento crítico. Indica cuáles de los siguientes procedimientos de cálculo

son correctos y cuáles no. Justifica tu respuesta. a) 4 + 9 = 4 + 3 3 3 5

35 + 8 = 13 b) 35 + 8 = 7 7 1

c) 4 $ 15 = 4 $ 5 = 20 3 3 3 5

35 $ 8 d) 35 $ 8 = = 40 7 7 1

8. Resuelve los problemas. a) Si una pila vierte 3 3 litros de agua por minuto y otra vierte 2 1 litros por 4 5 minuto, ¿en qué tiempo llenarán un depósito de 59,5 litros de capacidad? b) Si 4 pilas vierten 2 1 litros de agua por minuto cada una, ¿en qué tiempo 2 llenarán un depósito de 125 litros de capacidad?

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Tic Expresiones numéricas con operaciones combinadas. Se elige la operación que expresa correctamente el ejercicio planteado.

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Más información Alcance de las propiedades de la potenciación –– La propiedad ^a $ bhn = a n $ b n se puede extender a más factores.

^a $ b $ ch n = an $ bn $ cn

–– De la misma manera, la n propiedad ^ a mh = a m $ n se puede extender a más exponentes.

6^amh n @p = am $ n $ p

Operaciones combinadas Al realizar operaciones combinadas se debe observar la siguiente jerarquía de operaciones. 1.° Se realizan las operaciones que están dentro de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) en el orden indicado en los siguientes puntos. 2.° Potencias. 3.° Multiplicaciones y divisiones. 4.° Adiciones y sustracciones.

Los números reales. Potenciación Si a es un número real y n es un número natural, la expresion a n significa el producto de a por sí mismo n veces. La expresión a n es la potencia n-ésima de a. el número a se llama base y el número n se llama exponente.

a n = a $ a $ a $ ... $ a 1 444 2 444 3

Estos son los términos de la potenciación.

donde a es R y n es N.

n veces

exponente

cuando n es cero o un número negativo y a es distinto de cero, la potenciación se define del siguiente modo: 0

a =1

a es R y a ! 0.

a

-n

an = b

= 1n a

base

4 4. ^ 0, 25 h4 = ` 1 j = 1 $ 1 $ 1 $ 1 = 1 4 4 4 4 4 256 5. 5 - 2 = 12 = 1 = 1 5$5 25 5 1 1 -3 6. (- 4) = = = 1 =- 1 - 64 64 (-4) $ (-4) $ (-4) (-4) 3

1. 2 3 = 2 $ 2 $ 2 = 8 2. ^ -12 h2 = ^ -12 h ^ -12 h = 144 3 3. ` - 1 j = ` - 1 j $ ` - 1 j $ ` - 1 j =- 1 3 3 3 3 27

en la siguiente tabla se indican algunas propiedades de la potenciación con números reales, a y b, y números enteros, m y n. Los exponentes racionales se examinan al describir las propiedades de los radicales. Propiedad m

n

a $a = a

m+n

Ejemplo 3

^- ahimpar = ^-h

2 $ 2 = 2 3 + 4 = 2 7 = 128 25 ' 23 = 25 - 3 = 22 = 4

^a $ bh n = a n $ b n

(2 $ 3) 4 = 2 4 $ 3 4 = 16 $ 81 = 1 296

^a mh n = a m $ n

am ' an = 1n = 1

1 an - m

n1 = n

(10 ' 2) 3 = 10 3 ' 2 3 = 1000 ' 8 = 125 ^ 2 3h 4 = 2 3 $ 4 = 2 12 = 4096

23 ' 25 =

1 = 1 = 1 4 25 - 3 22

1 25 = 1

25 1 = 25

1. Calcula. a) 5 3 b) ^- 4h4

El signo de la potencia es -, si la base es - y el exponente es impar; de lo contrario es +.

4

am ' an = am - n

^a ' bh n = a n ' b n

potencia

2 e) ` - 1 j 3

-2 f) ` 5 j 12

c) 10 - 3

g) 0, 04 3

d) ^- 2h- 4

h) 0, 5

-3

i)

^ -1, 5h

% -1 m) ^-2, 235h

j)

^ 0, 1 7h

n) 121 0

!

!

2

3

!4 k) ^- 1, 6h % -2 l) ^3, 23h

ñ) 1 7 o) 0 1

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Sugerencias metodológicas –– Al elevar un número a un cierto exponente, frecuentemente los estudiantes cometen el siguiente error:

^2xh3 = 6x 3

Es decir, multiplican la base de la potencia por el exponente.

Esta situación debe ser bien aclarada. Lo correcto es ^2xh3 = 8x 3 .

–– Los estudiantes deben realizar manualmente los ejercicios con notación científica. Esto les ayudará a comprender cómo se aplican las propiedades de la potenciación.

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Recursos

2. Calcula aplicando las propiedades de la potenciación. d) ^ 1, 5 $ 10 h3

2

a) 4 $ 4

h) 64 $ ^ - 7 h@ 0

e) ^ 6 ' 1, 5 h- 3

b) ^ - 3 h2 $ ^ - 3 h $ ^ - 3 h2

f) 6^ - 1 h @

c) ^ - 25 h ' ^ - 25 h 15

g) ^ -2 h12 ' ^ -2 h15

4 5

13

i)

3. Calcula. a) ^ - 6 h2 ' ^ - 3 h2 - 7 $ ^ - 2 h

b) 6^ - 5 h $ ^ - 2 h - ^ - 4 h $ ^ - 3 h@ 3

4. Calcula.

Pensamiento crítico e investigación

^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h -3

-6

9

–– ¿Es asociativa la potenciación? Explica tu respuesta y utiliza ejemplos para fundamentarla.

c) ^ -2 h2 $ ^ -2 h $ ^ -2 h3 + ^ - 3 h6 ' ^ - 3 h3 + 6^ -1 h3@ 2

d) ^ - 5 h7 ' ^ - 5 h3 ' ^ - 5 h + "6^ - 5 h2@0 ,4 - ^ - 5 h $ ^ - 5 h2

–– ¿Cuál es el valor de 00 ? ¿Por qué?

-1 c) - ` 1 + 3 j + ` - 1 - 1 j 2 2 6 0 d) ` 1 - 1 + 2 j $ ` - 3 - 1 j 4 6 4

3 a) ` 1 j - 2 $ 5 + 1 2 3 2 4 -1 2 b) ` j + 5 - ^ - 3 h $ 2 3 4 5

–– ¿Es conmutativa la potenciación? Explica tu respuesta y utiliza ejemplos para fundamentarla.

5. Expresa cada número en notación científica, calcula y expresa el resultado también en notación científica. un número positivo escrito en notación científica tiene dos factores, uno es un número mayor que 1 y menor que 10, y el otro es una potencia de 10. 0, 0035

en notación científica

3, 5 $ 10 - 3

cuando se opera con notación científica se aplican las propiedades de las potencias de igual base. 5 810 000 = 8, 1 $ 10 = 8, 1 $ 10 5 -^- 3h = 3 $ 10 8 -3 0, 0027 2, 7 2, 7 $ 10

a) 42 600 000 000 ' 0, 0000213 b) 0, 0028 $ 160 000 000 ' 0, 000056 c) 0, 00005 $ ^ 0, 000005 ' 0, 00002 h

d) 36 000 000 ' ^ 0, 0003 $ 0, 00004 h

6.

e) ^ 0, 0001054 ' 52 700 000 h $ 300 000 f)

0, 00000000000000009 ' ^ 510 000 000 ' 0, 00017 h

g) 36 000 000 ' ^ 2 000 000 $ 900 000 h

h) 72 000 000 000 000 ' ^ 360 000 000 $ 0, 0004 h

Investiga. Reflexiona a partir de ejemplos y responde.

a) una potencia de exponente entero positivo, ¿es siempre mayor que la base?; si es mayor que la base, ¿en qué casos? b) una potencia de exponente entero negativo, ¿es siempre mayor que la base? ¿Hay algunos valores de la base para los que la potencia es menor?

7. Roberto paga una deuda entregando Bs 32 la primera semana y, en las semanas siguientes, la mitad de lo que entregó la semana anterior. Cuando entrega 25 centavos su deuda se extingue. a) expresa este proceso en forma de potencias. b) ¿en cuántas semanas Roberto pagó su deuda? ¿cuál era el monto de ella?

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17

17

Más información

Los números reales. Radicación

Alcance de las propiedades de la radicación –– La raíz de una multiplicación se puede aplicar a más de dos factores.

Si a es un número real y n es un entero positivo mayor que 1, la expresión n a designa la raíz n-ésima de a. La expresión n a es un radical, el número a es el radicando y el número n es el índice.

–– La raíz de una raíz se puede aplicar a más de dos raíces. n

p

a =

m$n$p

a

n

Si a = 0, n a = 0. Si a 2 0, n a es el R positivo, b, tal que b n = a. Si a 1 0 y n es impar, n a es el R negativo, b, tal que b n = a.

a$b$c = a $ b $ c

m

¡Cuidado!

La radicación se define del siguiente modo:

Si a 1 0 y n es par,

n

a+b ! n a +n b a2 + b2 ! a + b

a no es un R.

Si a 2 0 y n es par, existe también un R negativo, b, tal que b n = a . Por eso suele decirse que el valor positivo es la raíz principal.

1. 2.

3.

49 = 7 porque 7 2 = 49 También ^ -7 h2 = 49; pero 7 es el valor positivo.

3

5

4.

porque ^ -2 h5 = 32

-32 =-2

-49 no es un numero real.

porque 4 3 = 64

64 = 4

en la siguiente tabla se indican algunas propiedades de los radicales que son válidas si y solo si existen las raíces indicadas. Propiedad n n

Ejemplo

a n = a (si a $ 0 o a 1 0 y n es impar) a n = a (si a 1 0 y n es par) ^n a h = a

a$b = n

m n n

n

a = b

3

^ 4h = 4

a b=

1 = 1 3 9

1 = 9

a b 3

a = m$n a n

- 4 no existe en R .

16 $ 9 = 16 $ 9 = 4 $ 3 = 12

a$ b n

^ -8 h2 = -8 = 8

2

n

n

^ -8 h3 = -8

^ - 4 h ! -4 porque

2

n

n

32 = 3

64 = 6 64 = 6 2 6 = 2

2 5 = 3 2 3 $ 5 = 3 8 $ 5 = 3 40

n

3

a b

con los radicales podemos definir los exponentes racionales. Si m n es un número racional (con denominador positivo y mayor que 1), y si a es un número real (tal que n a existe en reales), entonces: a1 n = n a

1. 64 1

3

2. 125 2

a m n = ^n a h = n a m m

a m n = ^ a 1 n h = ^ a mh1

= 3 64 = 4 3

= 3 125 2 = 3 ^ 5 3h2 = 3 ^ 5 2h3 = 5 2 = 25

18

m

n

0, 2 5 = ^ 2 10 h5

3. 0, 2 5

2

=

4. 64 - 1

3

= 3 64 - 1 = 3

1 = 64

3 3

1 = 1 4 64

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Sugerencias metodológicas Aclare que la radicación no es distributiva con respecto a la adición y la sustracción.

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Recursos

1. Calcula la raíz si existe en R . a) 4

b)

121

c)

16

d)

3

- 27

e)

100

f)

5

-1

g)

3

- 81

h)

3

125

i)

-8

j)

- 49 4

Ejercicios

625

Escribe números en las casillas de tal modo que se verifiquen las igualdades.

2. Calcula la raíz (si existe en R ) aplicando propiedades. a)

1, 25 4

4

b) ^ 4 - 16 h

4

c)

25 16

e)

d)

0, 36

f)

3

- 1 64

3

g)

361 256

h)

100 $ 121

729

i)

3

- 10 3

j)

5

243

a) 3

3. Extrae las raíces enteras hasta donde sea posible. a)

-108 = 3 ^ -27 h $ 4 = 3 -27 $ 3 4 =-3 3 4

3

b)

c)

50 2 27

3

d)

72 3

-3 8

4. Introduce bajo el signo radical el número que está afuera utilizando la propiedad a) 2 2

d) 2 3

c) 3 3 3

b) - 5 3

5

e) - 1 3 - 6 2

5. Eleva a las potencias racionales. 1

6.

c) ^ - 54 h3

1

1

b) 64 3

a) 48 2

= 2

b)

$ 81 $

c)

144 = 12

d) 5

a n b = n an b .

64

$3

= 100

e) 5

= 32

f)

= 10

3

= 5$

d) 16 0,25

Calculadora. Encuentra el resultado mediante aproximación.

existen potencias irracionales de números racionales. 3

2

. 3 1, 4 = 3 14

10

2

b) 17

5

= 5 3 7 = 5 2 187 . 4, 7

c) b 3 l 4

2

a) 2

= 37

d) 3

3

2

e) 5

3

3

f) b 4 l 3

3

2

3

7. Calcula. a)

3

1 - 9 - ^ - 2 h2 $ 3 ' ^ - 6 h

e) 6 ^ - 6 h2 - ^ - 3 h2 - 5 2 - 2 0 @ ' 6^ - 2 h3 ' 8@ 5

b) 620 ' 25 + 3 - 27 $ ^ - 2 h2@ c)

2

f)

4 $ ^ - 5 h2 - ^ - 3 h2 - ^ - 2 h $ ^ - 5 h - ^ - 2 h3

g) c 3 - 1 + 1 m $ ^ 5 10 - 3 8 2

d) ^ - 1 h - ^ - 2 h $ ^ - 6 h + 4 - 62 $ ^- 4 h - 3@

8.

2 3 $ 2 $ 5 ^ - 2 h6 ' ^ - 2 h - 3 ^ - 4 h2 $ ^ - 4 h

4

2h

Pensamiento crítico. Indica si la afirmación es correcta y explica por qué.

a) en

n

a = b : si a = 0 , entonces b = 0.

c) en

b) en

n

a = b : Si n = 1 , entonces a = b

d)

n

a = b : si a 1 0 y n es par, entonces b 2 0.

-4 $ -9 =

36

9. Un agricultor desea cercar con un alambrado un terreno que tiene la forma de dos cuadrados unidos. Si el terreno mide 45 000 m2, ¿cuántos metros de alambre necesita para dar tres vueltas al terreno?

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19

19

Más información Potencias de base 2 Observando la secuencia de las primeras potencias de 2 y analizando las potencias impares podemos determinar la última cifra de 2113.

Recursos Pensamiento crítico e investigación

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

empezar con problemas más sencillos Resolvemos un problema más sencillo que el que se nos plantea y obtenemos pautas para encontrar la respuesta. ¿Cuál es la última cifra de 4271?

4271

No se nos pide hallar el resultado de 4271, sino la última cifra de ese resultado. Intentar ver la última cifra en el resultado mismo de 4271 no tiene sentido: deberíamos hacer un cálculo que es tan largo que ni siquiera las calculadoras ofrecen el resultado de esa potencia. Intentaremos hallar una regularidad en las potencias de 4. empezaremos resolviendo casos más sencillos, es decir, calculando el resultado de potencias con exponente pequeño. Veamos. 1

Exponente

Calcula la última cifra de: a) 3121 b) 5 342

2

3

4

5

6

7

Resultado

4 =4

4 = 16

4 = 64

4 = 256

4 = 1024

4 = 4 096

4 = 16 384

Última cifra

4

6

4

6

4

6

4

1

2

3

4

5

6

7

con exponentes 1, 3, 5 y 7, la última cifra es 4. con exponentes 2, 4 y 6, la última cifra es 6. es decir, los exponentes impares producen números cuya última cifra es 4, y los pares, números cuya última cifra es 6. el número 271 es impar, luego la última cifra de 4271 es 4. Podemos verificar la respuesta revisando nuestro razonamiento y nuestros cálculos.

1. ¿Cuál es la última cifra de la potencia 2113 ? ¿Cuál es la secuencia que sigue la última cifra en las potencias de 2?

2. En la figura se muestra una forma de calcular el cuadrado de los números 11 y 111 (se colocan tantas filas de unos como cifras tenga el número y se suman las columnas). ¿Sabrías decir cuál es el cuadrado de 111 111? ¿Y del número 11 111 111?

1 + 1 1 1 1 2 1 11 2 = 121

+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 111 2 = 12 321

3. ¿Cuál es el resultado de esta adición? 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 22 23 24 25 26 Prueba sumando los dos primeros, los tres primeros ... ¿el resultado te indica el valor total?

20

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Más información

Taller de Matemática

Utilización de la calculadora

Realización de operaciones con calculadora

Al resolver la operación 3 + 3 con calculadora, se puede cometer el siguiente error:

1. Analiza cómo se construyen las expresiones para potencias y radicales y realiza las operaciones combinadas de las actividades 3 y 4 (página 17) y de la actividad 7 (página 19). (Nuestra calculadora de referencia es la casio fx-350eS). Trabajaremos en el modo Natural Textbook display, el que permite construir las operaciones tal como se ven en un libro de texto. Selecciona este modo así: SHIFT

• •

SETUP

1

1:MthI0

elevar al cuadrado: 6 2 elevar al cubo: 2

3

3+ 3= 6 2.449489743 (incorrecto)

62

6

2

2

3

7

6

2

2

Lo correcto es teclear así: 3_ + 3= 3+ 3 4.732050808 (correcto)

3

•

elevar a cualquier potencia: 4

•

Sacar la raíz cuadrada:

•

Sacar la raíz cúbica:

3

8

•

Sacar cualquier raíz:

4

16

•

Para calcular el resultado de (-5 + 7) + (3 - 8 + 16 ) tecleamos así:

4

25

7 SHIFT

25

25

2

Replay

25

3

(

5 + 7 )

+

SHIFT

(

3

8

SHIFT

4

SHIFT

3

SHIFT

8

Replay

3

Replay

8

Recursos

16

Replay

Ejercicios

8

Replay

+

Halla el resultado utilizando calculadora. 16

Replay

)

=

a) 15 + 2 - 5 32

4

b) 18 + 2 20

2. Analiza cómo se construyen las expresiones en notación científica y realiza la actividad 5 de la página 17. •

Para escribir 2, 3 $ 10 7 : 2 · 3 x10 7

•

Para escribir 5, 2 $ 10 - 8 : 5 · 2 x10

•

7 5

Para calcular el resultado de (3, 2 $ 10 ) + (1, 64 $ 10 4) y obtener el resultado en notación científica: 1.º establecemos el modo de notación científica: SHIFT

7:Sci

SETUP

Sci 0–9

7

y elegimos el número de

cifras, por ejemplo 9.

2.º Tecleamos así: 3 · 2 x10 5 + 1 · 64 x10 4 = •

3,36400000x10 5

Para calcular el resultado de (1, 8 $ 10 - 2) ' (2 $ 10 - 7) tecleamos así: 1 · 8 x10

2 ÷ 2 x10

7 =

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9,00000000x10 4

21

Sugerencias metodológicas –– En este curso es conveniente utilizar la calculadora principalmente para comprobar los resultados, pero no para resolver los ejercicios. –– Las instrucciones para utilizar un tipo de calculadora dan normalmente las pistas suficientes para utilizar una calculadora distinta. Sin embargo, puede ser necesario que cada alumno estudie el manual de su propia calculadora.

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21

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– En las actividades en las que se tiene que calcular la potencia de un número decimal periódico, es conveniente, primero, expresar el decimal periódico en forma de fracción y, luego, calcular la potencia de la fracción. –– Al efectuar operaciones combinadas es conveniente recordar la jerarquía de las operaciones: primero, las operaciones dentro de los signos de agrupación; luego, las potencias y raíces; seguidamente, las multiplicaciones y divisiones; finalmente, las adiciones y sustracciones.

1. Indica si la afirmación es correcta. a) - 2 1 1

8. Señala los números que son irracionales.

e) - 5 1 - 12 7 14 21 32 f) 1 32 21 13 g) 2 17 7 5

b) - 15 2 2 c) 41 2- 41 d) 23 1- 32

2. Ordena los números racionales de menor a mayor. a) 3 ; 4 ; - 2 4 3 3 2 3 b) - ; ; -1 3 2 13 c) ; - 17 ; - 3 14 18 2

d) - 5 ; - 13 ; - 7 4 9 6 9 17 15 e) ; ; 17 9 7 4 f) ; 0,5; 3 15

3. Expresa mediante números decimales. a) 5 2

c) 19 4 d) - 2 3

b) - 7 8

e) 23 24 f) - 17 7

4. Expresa mediante fracciones. a) 1,2

c) 0,03

b) 0,25

d) 4,125

e) 7,333... $ f) 4, 21

5. Encuentra un número racional entre los dos números racionales dados. a) 1 y 4 b) - 1 2 c) - 2 5

3 4 y 5 2 y 2 5

d) 1 y 6 5 e) - 2 y 1 2 f) - 2 y - 7 3 3

6. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales. a) - 0, 25 7 3 333

e) 1, 1703512...

b)

f) - 5 32

c) 1 - 5 d) 1 6

g) 7, 121212... > ;; ? h) 4, 171

7. Encuentra un número irracional entre los dos números racionales dados. a) 1 y 2 b) - 3 4 c) 4 y 3

22

22

5 2 y 7 2 17 5

d) - 1 y 1 3 3 e) - 0, 2 y 15 2 $ $ f) 0, 22 y 0, 23

5

3

d)

b)

3

-8

e)

50

c)

3

10

f)

121

a)

1

9. Calcula. a) - 6 - 8

d) - 8 + 15 - 7

b) - 10 + 7

e) 4 - 19 - 23

c) - 9 + 13

f) - 18 + 5 + 13

10. Calcula. a) 3 + 1 - 7 5 5 5 b) 2 - 7 + 1 3 4 6

c) 3 + 1 - 7 5 2 10 d) 5 - 8 - 10 8 10 12

11. Calcula. a) - 16, 2 + 7, 2 - 5, 51 b) 4, 18 - 0, 21 + 7, 47 c) 6, 63 - 1, 8 - 3, 6 + 0, 29 $ ! d) 2, 54 - 0, 3 + 0, 5 - 3, 6

12. Calcula. a) - 2 - ^ - 4 + 6 - 1 h

b) - 7 - 6- 5 + ^ 12 - 20 h + 3@ + 9

c) - 2 - 5 - 1 - ` - 2 + 1 j 3 3 6 3 3 1 1 d) + 5 - `2 - j + 4 + ` 1 + 1j 3 2 3 1 2 4 e) - 0 , 5 - j + + ^ - 1 - 0, 2 h 2 ` 3 3 ! ! ! 1 f) ^ 1 + 1, 9 h - ` + 4, 2 j + ` 1 - 2, 5 j 2 2 $ g) ` 5 - 1 j - ` 4, 31 + 1 j + ` 7 + 0, 5 j 2 4 3 2

13. Calcula. a) 2 $ ` - 1 j 3 8 6 b) $ -7 5 ` 3j

c) ` - 1 j $ ` - 8 j 2 5 d)

1 $ - 22 22 ` 3 j

14. Calcula. a) 2 ' 1 5 10 b) ` - 7 j ' 4 3 9

c) ` - 7 j ' ` - 7 j 8 4

d) ` - 13 j ' ` 26 j 8 16

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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15. Calcula el producto.

19. Escribe los números de la operación y el resultado de esta en notación científica.

a) 2 $ 5 $ 1 3 4 10 b) - 7 $ ` - 6 j $ ` - 4 j 8 5 3 4 1 15 c) $ $ 5 ` 24 j ` 8 j d) - 37 $ ` - 1 j $ 19 19 2 37 3 4 e) - $ ` j $ ` - 9 j $ ` 0 j 4 3 20 12

b) ^ 320000000 ' 40000000 h $ 0, 000023

c) ^ 70000000 ' 0, 00000051 h ' 0, 00003

d) ^ 0, 000123 ' 0, 00054 h ' ^ 81000 $ 90000 h

20. Calcula la raíz si existe en R . a) b)

a) ` 2 $ 9 j ' 7 3 5 9 4 7 b) ' - $9 5 ` 3 7j c) ` 7 $ 4 j ' ` - 3 $ 20 j 8 7 5 9 4 9 d) $ + -7 ' 7 3 ` 5j ` 8j 4 e) - 3 ` 1 + 3 - 1 j 5 2 4 4 f) 7 - ` 1 + 2 j - 8- 2 + ` - 4 + 1 jB 2 3 5 5 g) 2 + 2 ` - 3 - 1 j + 5 ` 4 - 2 j 3 3 4 4 3

! h) ` 1 - 0, 6 $ 5 + 1 j + 31 8 2 4 24 ! 5 i) - 8- 0, 5 $ + 2, 3 ^ -1 hB - 1 2 2

17. Calcula. b) ^ - 2 h6 c) 9 - 2

d) ^ - 3 h- 2 -1 e) ` 1 j 4 f) ^ 0, 25 h

-2

–– Promuevo la participación de los estudiantes.

a) 0, 000028 $ 0, 000016

16. Calcula.

a) 7 3

Mi desempeño como docente

g) ^ 1, 17 h2 $2 h) ^ 0, 31 h ! -2 i) ^ - 1, 07 h > ;; ? - 1 j) ^ - 4, 1321 h k) ^ - 1 h- 5 l)

18. Calcula.

^ - 3, 21717f h2

a) 5 7 ' 5 5 + ^ -2 h4 - ^ -1 h4 $ ^ -1 h7 b) ^ - 3 h6^ -6 h2 ' 3 2 - ^ -2 h2@

c) 6^ -2 h3@4 ' ^ -2 h10 + 6^ -7 h2 + 50@ 2 -2 d) ` 2 j - ` 1 j + 3 ` 5 - 9 - 1 j 3 3 4 3

3

c)

81

d)

27

e)

196

f)

3

3

Pocas veces. Muchas veces. –– He explicado el concepto de número irracional.

-1

g)

3

125

- 16

h)

4

10000

Con poca claridad.

-64

i)

7

-1

Con suficiente claridad.

21. Calcula. 3 2 - 8 + 16 $ 9

a)

b) 64 1 2 + 5 2 c)

3

d)

3

16

1 - 32 + ^ 2 4 - - 4 2 h2 ^ h ^ h 4

^ -2 h7 ' ^ -2 h2 $ ^ - 8 h^ - 8 h0

5

22. Expresa como raíz y calcula. 1

1

a) 81 4 b) 49

c) 1024 5

-1 2

d) (- 243)

-1 5

23. Indica si las siguientes igualdades son correctas. a) ^ - 1 h4 =- 4

f) ^ + 2 h4 =- 8 g) ^ - 3 h2 = 6

b) 2 2 = 4 3

c) 3 = 9 d) e)

3

2$

3

7=

3

2$7

100 + 36 = 10 + 6

h) ^ - 1 h100 = 1 i)

j)

6^ 2 3 h2@

-1

= 24

23 $ 2-1 = 22

24. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a)

3 es equivalente a 12 . 0, 5 2

b) - 6 es equivalente a - 2 . 7 - 14 c) 0, 242424... es equivalente a 8 . 33

25. Matemática y Lenguaje. Elige dos propiedades de la adición, dos de la multiplicación, dos de la potenciación, dos de la radicación y exprésalas en el lenguaje corriente.

e) 6^ - 2 - 5 h7 $ ^ - 1 - 6 h 8@ 2 ' 6^ - 4 - 3 h 4@ 7 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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23

Sobre las actividades –– En la actividad 27, para determinar cuál de las opciones proporciona el valor z = 1, 61803398874... es necesario medir los elementos marcados en el polígono y efectuar las divisiones. Muy probablemente, la fracción correcta no proporcione exactamente el número indicado. La opción correcta es z=

26. Pensamiento

crítico. Anota verdadero (V) o falso (F) al lado de cada afirmación.

a) Si a es R - entonces - a es R + . b) Todo número decimal se puede expresar como fracción. c) Todo número entero se puede representar como fracción.

2 1 litros de leche por día. 4 a) en promedio y en centimétros cúbicos, ¿cuál es el consumo diario aproximado de cada miembro de la familia? b) ¿cuántos litros compran en una semana?

d) Toda fracción se puede expresar como número decimal.

27. Investiga. Determina mediante qué medidas de la figura se obtiene una expresión equivalente al número irracional z = 1, 61803398874 ... . Escoge una de las opciones.

o

lad

diagonal . lado

–– En la actividad 28, para determinar si las afirmaciones son correctas es conveniente analizar varios ejemplos. Sin embargo, no hay que olvidar que muchos ejemplos favorables a una conclusión general no indican que la conclusión sea universalmente cierta.

30. En una familia de siete miembros se consumen

radio

dia

go

radio diagonal z = lado diagonal z = radio lado z=

na

l

diagonal radio diagonal z= lado z = lado radio z=

28. Pensamiento crítico. Indica si estas afirmaciones son ciertas. a) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional.

31. En un día de trabajo, un confeccionista de ropa utilizó primero 5 1 m de tela; después, 7 1 m; final2 4 mente, 13,5 m. Si cada día utiliza la misma cantidad de tela, ¿cuántos metros utiliza en 30 días?

32. En un campo ferial que ocupa 10 000 m2, una quinta parte de la superficie está destinada a la venta de comida. Los espacios de los expositores ocupan la mitad del resto del campo ferial y la otra mitad está destinada a los espacios comunes. a) ¿cuántos metros cuadrados ocupa el espacio de comidas? b) ¿cuántos metros cuadrados ocupa el espacio de los expositores?

b) La raíz cuadrada de una fracción es siempre un número irracional. c) La raíz par de un número real negativo es un número irracional. d) La potencia racional de un número racional es necesariamente un número racional.

29. Una habitación cuyo piso tiene forma cuadrada ocupa una superficie de 36 m2. a) ¿cuántos metros de cable eléctrico se necesita para bordear el piso? b) ¿cuál es el costo total del cable si el metro vale Bs 5,50?

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Matemática y valores

Responsabilidad

Valores RESPONSABILIDAD

utiliza tus conocimientos sobre las operaciones con números reales para analizar información referida al consumo de agua.

Después de analizar el cuadro y realizar las actividades, los estudiantes pueden comprometerse a realizar diferentes acciones con la finalidad de que el consumo de agua sea más racional y para que ellos puedan influir positivamente en su familia y en su comunidad.

Analiza el consumo de agua en algunas ciudades de Bolivia

Ciudad

Población

Consumo (en m3) por habitante

cobija

36 833

8,9

cochabamba

603 324

7,7

el alto

890 533

4,5

La Paz

835 267

5,6

Oruro

216 706

4,1

Potosí

151 996

3,9

Santa cruz

1 506 152

8,5

Sucre

265 336

6,3

Tarija

182 684

6,6

Trinidad

89 516

8,2

Fuente: INE Anuario Estadístico 2006

el siguiente cuadro muestra la población y el consumo mensual promedio del agua potable por habitante en algunas ciudades de Bolivia.

33. Calcula el consumo mensual de agua (en metros cúbicos) en cada una de las ciudades mencionadas en el cuadro.

34. Calcula el consumo mensual total del conjunto de 10 ciudades mencionadas en el cuadro. Si toda esa agua estuviera contenida en un recipiente de base cuadrada de 50 metros de lado, ¿cuál sería la altura de ese recipiente?

35. Calcula el consumo promedio mensual de una familia de 5 miembros en cada una de las ciudades.

36. Si una familia de 5 miembros recibe una factura en la que se indica que el consumo mensual ha sido de 30 m3 y que el costo de ese consumo es de Bs 71,40: a) ¿cúantos litros diarios consume en promedio cada miembro de la familia? (1 mes = 30 días) b) ¿cuál es el costo de 1 m3 de agua?

37. Supón que una persona hace correr el agua del lavamanos mientras se lava los dientes, de tal modo que gasta 3 dm3 de los cuales solamente aprovecha 1 dm3. Si esa persona se lava los dientes 3 veces al día: a) ¿cuántos dm3 ahorraría si gastara solo el agua que aprovecha? (1 m3 = 1 000 dm3) b) ¿cuántos m3 ahorraría en un mes de 30 días?

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25

25

Sugerencia de temporalización

2

Operaciones con monomios

Febrero Marzo Abril Mayo

a

Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores

Vivienda y solidaridad social La falta de vivienda es un importante problema social en nuestro país. Para atenuar este problema, en los últimos años se ha realizado un programa solidario de construcción en comunidades rurales.

La falta de vivienda o la pobre calidad de esta constituyen uno de los grandes problemas sociales de Bolivia. Muchos bolivianos carecen de vivienda propia y muchos otros tienen viviendas precarias o viviendas sin los servicios de agua y energía eléctrica. Para responder a este problema, algunas instituciones gubernamentales y otras no gubernamentales promueven proyectos de vivienda sostenidos por fondos solidarios.

En el plano de estas viviendas se puede observar que si designamos con la letra a el ancho de la cocina, entonces: •

El largo de la cocina es 7 a .

•

El ancho de la sala comedor es igual al largo de la cocina, y su largo

• Si el ancho de la cocina fuera de 2 metros, ¿cuántos metros cuadrados tendría toda la casa? • ¿Cómo imaginas que puede ser un programa solidario de construcción de viviendas?

4

es 13 a .

4

•

El ancho del dormitorio es 13 a y el largo es 17 a .

8

8

Estas casas han sido construidas en lugares donde el agua potable no llega de forma individual a cada vivienda y, por ello, el baño se construye en un espacio separado.

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Sugerencias metodológicas Para que los estudiantes puedan abordar esta unidad con éxito es necesario que sepan realizar sin problemas operaciones con números racionales. Son especialmente importantes las operaciones de potenciación y radicación, de las cuales los estudiantes deben conocer sus propiedades.

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Posibles dificultades en la unidad

ReCueRda Adición y sustracción de fracciones a + c + ad + bc b d bd

a - c = a + -c b d b a dk

ejemplos: 2 + 7 + 8 + 21 = 29 12 12 3 4 3 - 1 = 3 + - 1 = 6-1 = 5 = 1 5 10 5 b 10 l 10 10 2

Multiplicación y división de fracciones a $ c = a$c b d b$d

a'c = a$d b d b c

Regla de los signos: (+) $ (+) = (+) (+) $ (-) = (-) (-) $ (+) = (-) (-) $ (-) = (+)

(+) ' (+) = (+) (+) ' (-) = (-) (-) ' (+) = (-) (-) ' (-) = (+)

ejemplos: 8 $ - 7 =- 56 =- 28 5 b 6l 30 15

1. Halla el resultado expresado mediante un número entero o una fracción.

Es posible que los estudiantes tengan dificultades al realizar operaciones con números enteros y números racionales. Si es así, hay que repasar estos temas, ya que las operaciones con monomios se fundamentan en las propiedades de las operaciones con números reales.

d) 1 + 2, 5 4 ! e) 1, 3 + 1 - 5 2 4 1 f) - - b - 4 l 3 6

a) 3 + 1 4 2 b) 2 + 1 - 2 5 3 5 1 c) -2 5 3

2. Halla el resultado expresado mediante un número entero o una fracción. a) 2 $ 4 3 10

e) 1 $ b - 1 l ' 10 8 3 4

b) 8 ' 2 5 3

f)

c) - 0, 7 $ b - 3 l 4

g) b 3 + 1 l ' b 1 + 1 l 4 3 4

3, 5 ' b - 7 $ 4 l 4 3

Vocabulario matemático

h) b 1 - 1 l $ b 2 - 3 l 2 4

d) b - 3 l ' 3 4 7

Coeficiente

3 ' 5 = 3 $ 8 = 24 = 6 4 8 4 5 20 5

Expresión algebraica Lenguaje algebraico Monomio

3. Calcula.

Potenciación an = a $ a $ a $ f $ a 1 444 2 444 3 n veces

Nota. La potenciación no es distributiva respecto de la adición y la sustracción, es decir: n n ^ a ! b hn ! a ! b

a) ^ - 2 h3 $ ^ - 2 h2

Parte literal

b) ^ - 6 h0 - ^ - 3 - 2 h2

Signo de agrupación

c) 1 7 + b 1 l - b - 1 l 2 4 -1 -1 d) ^ - 2 h0 - b 4 l + b 1 l 5 5 2

2

Valor numérico

4. Calcula.

Radicación n

a = b + bn = a

Nota. La radicación no es distributiva respecto de la adición y la sustracción, es decir: n

a!b ! n a !n b

b)

3

c)

3

d)

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^ - 2 - 7 h $ ^ - 1 h + 3 ^- 8 h2

a)

1 + -1 $ -1 2 8 b 2l b 2l

-64 + 16 + b 1 l 2 2 16 - - $ ^ - 3 h $ 1-1 3 8 2

27

27

Más información Lenguaje natural y lenguaje algebraico –– Las palabras como aumentar, incrementar o añadir implican una adición, es decir, la utilización del signo +. –– Las palabras como disminuir, rebajar o restar implican una sustracción, es decir, la utilización del signo -. –– Expresiones como n veces, el doble, el triple, duplicar, triplicar o producto implican una multiplicación, es decir, la utilización del signo : o # . –– Expresiones como la mitad, la tercera parte o la cuarta parte implican una división entre dos, tres o cuatro.

El lenguaje algebraico La propiedad conmutativa de los números reales se puede ilustrar mediante múltiples ejemplos concretos que hacen uso del lenguaje numérico: 1+2 = 2+1 2+3 = 3+2 16 + 2 = 2 + 16 4 5 5 4 Pero también se puede representar de manera general mediante una sola expresión que hace uso del lenguaje algebraico: a+b = b+a a, b d R . a, b d R significa: a, b pertenecen al conjunto R

Como podemos ver, el lenguaje algebraico tiene una capacidad de generalización que no tiene el lenguaje numérico. el lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números. el lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y números. en los siguientes ejemplos vemos que dada una idea general expresada en el lenguaje corriente, el lenguaje numérico solo permite dar ejemplos de ella y que, en cambio, el lenguaje algebraico permite expresarla en su carácter general.

–– Muchas veces es conveniente simbolizar una variable con la primera letra de la misma. Por ejemplo, número con la letra n, lado con la letra . –– Al leer 3x + 4 se dice: “tres x más 4” que significa “3 por x más 4”. –– En una expresión como 2 ^ a + bh es conveniente leer el paréntesis como un resultado; se dice: “el doble de la suma de a + b ”; la expresión a2 - 1 se lee: “la raíz cuadrada de la diferencia de a2 - 1 ”. –– La lectura de las expresiones algebraicas debe ser precisa, si no es así dará lugar a expresiones ambiguas. Por ejemplo, al leer 2x + 3 es incorrecto 5 decir “2 x más 3 dividido entre 5”; lo correcto es decir: “2 x más 3, todo dividido entre 5”.

28

La palabra álgebra proviene del título del libro Al-jabr escrito alrededor del año 825 por el matemático árabe Mohamed Al-Khowarizmi.

Lenguaje corriente

Lenguaje númerico

Lenguaje algebraico

La suma de tres números reales.

2+5+7

a + b + c a, b, c d R

el triple de un número real.

3 $ 10

3a a ! R

un número real menos cinco.

1-5

n-5 n ! R

Los números pares positivos.

2, 4, 6, 8, f

2n n ! Z+

Las potencias naturales de 2.

2, 4, 8, 16, f

2n n ! N

La propiedad asociativa de los números racionales.

1 3 1 3 b 2 + 4 l + 1 = 2 + b 4 + 1l

^a + bh + c = a + ^b + ch a, b, c ! Q

52 = 42 + 32

a2 = b2 + c2

el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

5

3 4

28

a

c b

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Sugerencias metodológicas En la introducción al álgebra es importante aclarar a los estudiantes que la letra o variable a puede tomar cualquier valor y no necesariamente el valor 1; de forma similar, la letra b puede tomar cualquier valor y no exclusivamente el valor 2.

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Recursos

1. Expresa en lenguaje algebraico. a) el triple de un número al que se le disminuye 2. b) La mitad de un número aumentada en 1.

Ejercicios

c) el cuadrado de una cantidad aumentado en 3.

Escribe la lectura de:

d) dos números naturales consecutivos.

a) x + 5 3

e) el cuadrado de una cantidad aumentado en el triple de ella.

b) 2x + 1 7

2. Escribe en lenguaje corriente las siguientes expresiones en las que las letras representan números reales. g) 2 ^ a + b h

x -2x 2 e) a 2 b d)

a) 3x - 4 b) a + b c) n 3

f)

a2 + a3

h)

x

i)

a2 - 1

Mi edad es n, la de mi gato es 2.

3. Si n representa la edad de Nora, une cada frase con su correspondiente expresión en lenguaje algebraico.

n+5

a) el doble de la edad de Nora.

n-5

b) La cuarta parte de la edad Nora.

2n

c) La edad de Nora hace 5 años .

n 4

d) La edad de Nora dentro de 5 años.

4. Ejemplifica en lenguaje numérico y expresa en lenguaje algebraico las siguientes ideas matemáticas a las que nos referimos en lenguaje corriente. a) Los números naturales impares. b) Las potencias naturales de 4. c) Los múltiplos de 10. d) el área de un triángulo. e) La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

5. Reflexiona y responde utilizando el lenguaje algebraico. a) en un establo hay n vacas. ¿Cuántas patas hay en total? ¿Cuántas orejas? b) en un salón lleno de personas hay n dedos de la mano. ¿Cuántas personas hay? ¿Cuántos ojos? ¿Cuántas extremidades superiores o inferiores?

6. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro y el área de los rectángulos. a)

b) a

3a

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3a

5a

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Tic Lenguaje algebraico. Se señala la expresión algebraica que corresponde a cada expresión del lenguaje corriente.

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Más información

Expresiones algebraicas y valor numérico

Valor numérico Al calcular el valor numérico de una expresión algebraica se debe respetar la jerarquía de operaciones. Monomios semejantes Para que dos monomios sean semejantes es suficiente con que sus partes literales sean iguales. Los coeficientes pueden ser iguales o diferentes.

una expresion algebraica es una combinación de letras, números y símbolos de operaciones metemáticas. •

Las letras se denominan variables.

•

Los números se denominan constantes.

al representar la multiplicación entre un número y una letra, o entre dos o más letras, no es necesario anotar el signo de multiplicación, es decir: se escribe

3$a

3a

a$b

se escribe

5$a$b$c

ab

se escribe

5abc

No es necesario escribir el 1 si este es exponente o factor, es decir: se escribe

1 $ a2

a2

1 $ a1

se escribe

Son expresiones algebraicas: • 2a + 3

Raíz principal Cuando se calcula la raíz par de un número positivo se considera solamente la raíz principal, es decir, la raíz positiva.

Las letras o variables representan números desconocidos o números en general.

2

• 6 x y

se escribe

1 $ a1 $ b 2

a

!

• 1, 7a - 0, 5b + 0, 2c

• 3 xyz

• 1 g t 2 2

•

ab2

3m 3 + 5n 2 Evaluar una expresión algebraica significa calcular su valor numérico para determinados números.

Valor numérico el valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por determinados números y realizar las operaciones indicadas.

evaluamos las expresionea algebraicas para los valores indicados. 1. 12a - b 12a - b 2

2. a - 3b a 2 - 3b

para a = 2 y b = 3 para a =-1 y b = 4 para a = 2 y b = 3 para a =-2 y b =-3

12 $ 2 - 3 = 21 12 $ (-1) - 4 =-16 2

2 - 3 $ 3 =-5 (-2) 2 - 3 $ (-3) = 13

1. Escribe tres expresiones algebraicas distintas que tengan la constante −3 y las variables a, b y c.

2. Calcula el valor númerico de d = 12 g t 2 con g = 10 . a) Si t = 1 .

b) Si t = 5, 5 .

c) Si t = 10 .

d) Si t = 20 .

3 3. Calcula el valor númerico de 7 x 2 y 3 - 5 xy 2 + 2x + 2y para x =- 8 e y = 4 .

Tic Expresiones algebraicas. Se arrastra la expresión algebraica hasta el enunciado que le corresponde. Valor numérico. Se da un valor a la variable y hay que calcular el valor numérico que toma la expresión algebraica.

30

30

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Sugerencias metodológicas –– Los estudiantes deben practicar el cálculo del valor numérico hasta que puedan realizar con facilidad este tipo de actividad. –– Los estudiantes deben comprender claramente el concepto de “términos semejantes”. Así podrán reconocer fácilmente los términos semejantes y no tendrán dificultad en reducir monomios semejantes. –– Si bien la calculadora ayuda mucho para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, no es conveniente utilizarla hasta que el estudiante tenga suficiente práctica en el cálculo manual.

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Recursos

Monomios

Ejercicios Las expresiones algebraicas más sencillas son las que están formadas por productos de letras y números. Se llaman monomios. Son monomios: 4

-7

a

1 x2 2

3a

Primero, pinta del mismo color las fichas que corresponden a términos semejantes. Después, reduce los términos semejantes.

- 1 x2 y 2

un monomio consta de un número y/o una o varias letras. el número (incluido su signo) se llama coeficiente. Las letras que lo acompañan, incluyendo sus exponentes, se denominan parte literal. Llamamos grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

Un número puro es un monomio de grado cero. 6 x0 = 6

•

Cuando un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1. x3 coeficiente 1 ab 2 coeficiente 1

•

un monomio constituido aparentemente solo por números tiene una parte literal elevada a la potencia cero, es decir equivalente a 1. se escribe simplemente como

4a 0 Monomio

Coeficiente

3x2 y

- 1 x2 y2 4

- 7z0

- 3xy2

50

4$1 = 4

Parte literal

Grado

- x2 y

3x

3

x

1

-8

-8

x0

0

-2 ab

-2

ab

1+1 = 2

2

x y

1

2

x y

2+1 = 3

- 6a2 b3

-6

a2 b3

2+3 = 5

xy2 1 2

1. Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios. a) 13 x y 2

d) -a 3b 3

b) - 1 x 3 y 2 c) - 3 abc 2

e) 28a f)

h) -a 0 i) 5 4

5

3x y2 z

j)

ra2

k) r a 0 b 4

g) 5 x 0 y 0

2. Pinta del mismo color los monomios semejantes. Utiliza un color distinto para cada grupo de monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal. el orden de las letras no es relevante en una parte literal formada solo por factores.

4a

6 ab

0,5

-8 2

1 ab 2

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7a0

7 abc 0

6a

- 8 ba 2

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Sugerencias metodológicas Los estudiantes deben comprender claramente el concepto de “términos semejantes”. Así podrán reconocer fácilmente los términos semejantes y no tendrán dificultad en reducir monomios semejantes.

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Más información

Adición y sustracción de monomios

Monomios semejantes

a, b, c representan los coeficientes; x representa la parte literal.

9x 2x

La suma o la diferencia de los monomios que no son semejantes se deja indicada.

16 x

1. Realiza la adición y sustracción de monomios semejantes. 1. 15 x y 2 - 6 x y 2 - x y 2 = (15 - 6 - 1) x y 2 = 8 x y 2 2. 1 m 3 n + 2m 3 n - 3 m 3 n = ` 1 + 2 - 3 j m 3 n = 5 m 3 n 3 2 3 2 6 a) 5x - 7x

Monomios y signos de agrupación A veces, es necesario introducir monomios dentro de signos de agrupación (paréntesis o corchetes). Al hacerlo, se debe tomar en cuenta el signo, + o - , que precede al signo de agrupación:

El proceso de sumar y restar monomios semejantes se conoce también como reducción de términos semejantes.

La suma o la diferencia de dos o más monomios semejantes es otro monomio cuyo coeficiente resulta de la suma o la diferencia de los coeficientes de los monomios semejantes y cuya parte literal es la misma que la de aquellos. ax ! bx ! cx ! f = (a ! b ! c ! f) x

5x

Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes. Así, por ejemplo, los monomios - 0, 5a2 b 3 c y 7a2 b 3 c son semejantes; en cambio, 12ab y - 5b a no son semejantes porque no tienen las mismas letras en la posición de base y en la posición de exponente.

e) 1 a 3 bc + 2 a 3 bc - a 3 bc 2 5 f) - 3 t 7 - 1 t 7 + 7 t 7 - t 7 4 3 12 1 2 2 2 2 g) 0, 2x y - x y - 2 x 2 y 2 3 3 ! 1 3 2 3 2 h) 5, 2a b c - a b c + 0, 3a 3 b 2 c + 0, 25a 3 b 2 c 4

b) 4 ab 2 - 6 ab 2 - ab 2 c) - 8x 3 yz - 9x 3 yz + 13x 3 yz d) 19m 4 n + 23m 4 n - 37m 4 n - m 4 n

2. Realiza la adición y sustracción de monomios semejantes. Si hay dos o más clases de términos semejantes, reducimos por separado cada una de las clases y dejamos indicada la suma (o resta) de los términos no semejantes.

–– Si el signo es -, todos los monomios entran dentro de los signos de agrupación con el signo cambiado.

a) 6a - 5b + 3a - b

e) 2 - x + 7x - 1 + 5 x 5 2 4

–– Si el signo es +, todos los monomios entran dentro de los signos de agrupación con el mismo signo.

b) 6m 2 - 6mn + 3mn - 6m 2 c) 1 xy + 2x 2 y - xy + 1 x 2 y + x 2 y 4 4 2 5 d) b - 2 + b + ab 3 3

f) 7x 2 - 6x + 3 - 8x - x 2 + 10

-6 ab - 3a 2 + 5ab - a 2 - 7ab = = (-6 + 5 - 7) ab + (-3 - 1) a 2 =- 8 ab - 4a 2

3. Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

g) 4a 2 bc 3 - 2ab 2 c + 3a 2 bc 3 - 2ab 3 c h) 7 a 3 - 1 a + 1 - a 3 + 1 a - 3 3 2 4 2 8

a)

b)

c) 2x 3

x x

32

2x 3

2x 3 2x

2x 3

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Sugerencias metodológicas Para hallar la suma o la diferencia de monomios que tienen coeficientes fraccionarios, es conveniente operar con los coeficientes de manera independiente en un apartado de operaciones auxiliares.

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Recursos

4. Realiza la adición y sustracción con signos de agrupación. Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves),

Pensamiento crítico e investigación

1.º Se eliminan los signos de agrupación tomando en cuenta que: a) el signo menos (–) cambia los signos de los monomios dentro del signo de agrupación y el signo más (+) no los cambia: - ^ a - b h =- a + b

–– ¿Cuánto debe valer n para que los monomios sean del mismo grado?

+ ^a - bh = a - b

b) Se eliminan los signos de agrupación en orden: se comienza con los signos de agrupación internos y se va hacia los signos de agrupación externos.

- 3x n + 1 y

–– Escribe los números que faltan en los casilleros para que los términos sean semejantes.

2.º una vez eliminados los signos de agrupación se reducen los términos semejantes. 5 - 63x + ^7 - x h - 12@ =

= 5 - 63x + 7 - x - 12@ = = 5 - 3x - 7 + x + 12 =

Eliminamos paréntesis Eliminamos corchetes

= 5 - 63x + 7 - x - 12@ =

4a b 3 c

= 5 - 3x - 7 + x + 12 =

Reducimos términos semejantes

3 x5 y n 4

- a5 b c 4

= 10 - 2x

a) 3x - ^ x - 2 h - ^ - x + 8 h

e) a - ^ 2, 3b 2 c - 5, 2a h - ^ - 3, 5a + 4, 2b 2 c h

b) - 3a + 6- 7b - ^ - 8a + 5b h + 2a@

f) - 1 - 8- ` a + b j - ` 6a - 8b j + 2 B 3 5 3 5 3 3 ! ! ! ! g) ^ 1, 1a - 2, 3b h + ^0, 00 1a + 0, 03b h

c) 6- ^ - 15m + 2n h + ^ - 3n + 1 h@ - 64m - ^ 5n + 1 h@ d) 2a - " - 7b - 64c - ^ a + 2b - c h@ + 3a , - b - c

h) 3 x - ` - 6 y - 0, 2x j - ^ - 0, 08x - 0, 45y h 5 11

5. Escribe el monomio con el que se cumple la igualdad. decimos que dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son números opuestos. La suma de dos monomios opuestos es cero. a) 3a 2 +

=0 2

b) - 8ab +

=0

c) 10ab 2 c 2

d) - 0, 2 a b -

=0 =0

e) - a 3 b 3 f) - ab 2

=0 =0

6. Escribe un monomio de tal manera que se cumpla la igualdad. a) 3a 2 +

= 9a 2

b) a 3 -

=-2a 3

c) 3a 2 d) -7x 2 y -

= 10a 2 =-8x 2 y

e) 6m 3 -

- 10m 3 =-20m 3

f) - 7 a 3 b - 6a 3 b + 2

=-6 a 3 b

7. Inventa sumas de monomios. a) una operación de seis monomios, todos semejantes, sin signos de agrupación, cuyo resultado sea 20 x 2 . b) una operación combinada que inicialmente presente 8 monomios, que tenga dos signos de agrupación y cuyo resultado sea 5 a - 8b.

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33

Tic Aprende a sumar monomios. Se elije la respuesta correcta para cada suma de monomios.

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33

Más información Multiplicación y división de monomios Al multiplicar y dividir monomios es conveniente seguir el siguiente orden: 1.° Determinar el signo del producto o del cociente. 2.° Operar con los coeficientes. 3.° Operar con las letras o variables. Al multiplicar las variables, se aplica la propiedad de multiplicación de potencias de la misma base, es decir: m

n

a $a = a

Multiplicación y división de monomios el producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente (ab) es el producto de los coeficientes de los factores y cuya parte literal ( x n + m ) es el producto de las partes literales de los factores. ax n $ b x m = ^ a $ b h $ ^ x n $ x mh = ab x n + m

am $ an = am+n am = am - n an

1. Halla el producto o el cociente según sea el caso. 1. 6 $ 2a 5 = ^ 6 $ 2 h $ ^ a 5h = 12a 5

2. 5a 2 $ 3a 3 $ a -1 = ^ 5 $ 3 $ 1 h $ ^ a 2 + 3 + (- 1) h = 15a 4 3. 20a 6 ' 10 = b 20 l $ ^ a 6h = 2a 6 10

m+n

4. -12a 5 ' 4a 2 = b - 12 l $ c a 2 m =- 3a 5 - 2 =- 3a 3 4 a 5

Al dividir las variables, se aplica la propiedad de división de potencias de la misma base, es decir: am = am - n an Si hay un factor igual a cero, el producto es cero.

Al multiplicar, se suman los exponentes; al dividir, se restan.

el cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente (a b) es el cociente de los coeficientes del dividendo y el divisor, y cuya parte literal ( x n - m ) es el cociente de las partes literales del dividendo y el divisor. ax n ' b x m = ^ a ' b h $ ^ x n ' x mh = a x n - m b

a) 12 $ 5x 4 3

b) - 6x $ 7x

2

c) -7a 2 $ ^ - 8a h

d) 12x $ ^ -7x h $ ^ - x h 3

3

e) - 15a 2 $ ^ - a 2h $ ^ - 7a 2h

i) - 15a 4 ' ^ - 30 h

g) - 2x 4 $ ^ - 8x 3 h $ ^ - 5x 2 h $ x

k) 20x ' ^ -5x 2h

f)

6n $ ^ - 7n h $ ^ - 6n h $ n 2

j) - 48c ' ^ - 6c h

5

l) - 36b -4 ' ^ -9b -5 h

5

h) 24x ' 8

2. Halla el producto o el cociente según sea el caso. en los números reales: a m $ a n = a m + n y a m ' a n = a m - n . Por estas propiedades, cuando la parte literal tiene 2 o más letras, se opera con cada tipo de letra por separado. 1. ^ - 6 a 2 b h $ b - 1 ab 3 c l = ;^ - 6 h b - 1 lE ^ a 2 $ a h ^ b $ b 3 h ^ c h = 3 a 3 b 4 c 2 2 3 4 2. ^ 4 a 3 b 4 c h ' ^ 10 a 3 b 3 h = b 4 l c a 3 m c b 3 m ^ c h = 2 a 3 - 3 b 4 - 3 c = 2 bc 10 a 5 5 b

a) - 4ab 3 $ ^ - 8ab 2 h

b) - 1 m 2 n 2 p $ ^ - 4mn 3 p h 2

c) 12a 2 bc $ ^ - 5ab 2 c h $ ^ - 3ab h d) 0, 5xy 5 $ ^ - 5x 5 y h $ 10xy 2

34

e) 1 a 8 b $ ^ - 3a 5 b 4h $ ^ - ab 2h 3 f) 3 x 4 b 5 $ ^ - 4xb h $ 7x -2 b -3 2 g) 34x 3 y 2 ' 2 x y

h) 63pqr 3 ' ^ -9 h

i) -17a 3 b ' 17a 3 b j) -18 ab 2 c 8 ' 3 ab - 1 c 3 k) - 0, 125d 2 ' ^ - 0, 25e 2 h ! l) 36 x 4 y z 7 ' ^ - 1, 6 x y z - 2 h

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Sugerencias metodológicas Como los ejercicios no demandan mucho tiempo, es conveniente que los estudiantes los realicen en el pizarrón; de este modo se pueden destacar los aciertos y corregir los errores.

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Recursos

3. Halla el producto o el cociente según sea el caso. Cuando en la parte literal hay exponentes con letras, al operar con los exponentes es necesario aplicar las técnicas de las operaciones con monomios.

Ejercicios Indica si la igualdad es correcta o no.

1. 2 x n y 2m $ 3 x 2n y m $ x -n y -3m = ^ 2 $ 3 $ 1 h ^ x n $ x 2n $ x -n h ^ y 2m $ y m $ y -3mh = = 6x n + 2n - n y 2 m + m - 3m =

a) 6x2 $ ^- 7x 3h = - 42x5

= 6x 2n y 3m - 3m = 6x 2n y 0 = 6x 2n

b) 1 a 3 b $ 6ab 3 = 3a 4 b 4 2

m m-1 y n -1 2. 144 x m y n -1 ' ^ - 9 x y n h = b 144 l b x l d n n =-16 x m - 1 y n - 1 - n =-16 x m - 1 y -1 =- 16x -9 x y y

a) 5a m $ ^- 2a m nh

c) b - 1 m 4 n l $ 12mnp = 3 = - 4m 3 np

d) 0,6x y ' ^-2x $ y h m 4

b) - 7x n y m $ ^- 2x 2n y 3mh

3

e) 36x2n y m ' ^- 0,5x n y mh ! f) - 1, 6a -m b n c -m ' 9 a m b -2n 16

c) - 2a 2n $ ^- 9a n b nh $ ^- 5a nh

2 d) 4a b = 4 a 7ab 7

4. Calcula el área de las figuras y expresa el resultado con un monomio. b)

a)

e)

3x

c) x

x

Pensamiento crítico e investigación

1b 2

2x

¿Cuál es el factor que falta para que la igualdad sea verdadera?

b x

5. Halla el resultado realizando un cálculo mental. a) ^ - 15a 2 b h $ ^ - 10ab 2h $ 0 b)

c) - 13a 2 bc n $ b -

r xy 5 $ _ - r xy i

12x 7 y $

1 l 13a 2 bc n

d) 739m 5 n 7 $ ^ - 17m 5 n -9hA

b) 75a 2 b 7 c $

= 64x 8 y 7 =-15a 3 b 9 c 2

c) - 45a 3 bc 4 $

=-15a 2 c 3

d) - 2 a 2 bc 3 $ 3

= 12a 3 b 2 c 3

e) 24x 3 y ' f)

$ 1 xy = 2

= - 12x 9 y 6

0

¿Cuál ha sido tu razonamiento?

6. Escribe el monomio que hace cumplir la igualdad. Calcula mentalmente. a) 16x 7 y 4 $

35x 3 y4 = 3x 2 y 3 5xy

= 8x 2 ' 9abc =- 4abc 2

g) 1 x m y n - 2 ' 3 h) 3 abc 2 ' 5

=- 3 x y n = 2 a2 c3 3

7. Inventa multiplicaciones y divisiones de monomios. 2 a) una multiplicación de tres monomios cuyo resultado sea x . 2y

b) una multiplicación de tres monomios cuyo resultado sea a - 2 b 2 . c) una división cuyo resultado sea 4a - 1 b - 1 . d) una división cuyo resultado sea 1 x 3 y - 3 . 2

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35

Tic Multiplicar sin tablas. Se arrastra cada producto hasta la multiplicación que le corresponde.

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35

Más información Puntualizaciones sobre la potenciación y la radicación –– El signo de una potencia es negativo si la base es negativa y el exponente es impar, en cualquier otro caso es positivo. –– La raíz par de un radicando negativo no existe. –– La raíz impar de un radicando positivo es positiva, y la raíz impar de un radicando negativo es negativa. –– Todas las propiedades de la potenciación y la radicación con números reales se cumplen en la potenciación y radicación de monomios.

Potenciación y radicación de monomios La potencia de un monomio es otro monomio cuyo coeficiente (a n) es la potencia del coeficiente y cuya parte literal (x n) es la potencia de la parte literal.

La potencia de una fracción es igual a la potencia del numerador entre la potencia del denominador.

^ axhn = ^ a nh $ ^ x nh = a n x n

Si la parte literal tiene exponentes distintos de 1: ^ ax mhn = ^ a nh $ ^ x mhn = a n x m $ n

a n an abk = n b

La raíz n-ésima de un monomio es otro monomio cuyo coeficiente ( n a ) es la raíz n-ésima del coeficiente y cuya parte literal ( n x ) es la raíz n-ésima de la parte literal. n

ax = ^ n a h $ ^ n x h

Si la parte literal tiene exponentes distintos de 1: n

ax m = ^ n a h $ ^ n x m h = n a x m

n

1. Halla la potencia o la raíz según sea el caso. 1. ^ 4 x h2 = 4 2 $ x 2 = 16 x 2

4.

2. ^ 3 x 5h2 = 3 2 $ ^ x 5 h2 = 9 x 10 3. ^ 2 x h

2 -2

=2

a) ^ 7a h2

-2

$ ^x h

2 -2

b) ^ - 2x 3 h3

d) ^ - 12m h

36 x = 3

f)

256 a

x =9 x

36 $

x2 = 6 $ x2

5 x2 = 3 5 $ 3 x2 = 3 5 $ x2

169 x 24

e)

4 -2

6.

81 $

2

5.

= 12 x -4 = 1 x -4 = 1 4 4 2 4x

c) ^ 3x 6h4

81 x =

26

g)

3

64 x 2

h)

3

3x

2. Halla la potencia o la raíz según sea el caso. en los números reales: (a $ b) n = a n $ b n y

n

2

= 6x

3

Es conveniente dejar indicadas las raíces cuyo resultado es un número decimal.

a$b = n a $n b.

Por estas propiedades, si la parte literal tiene dos o más factores literales, el exponente o la raíz se aplican a todos ellos por separado. 1. ^ -5 x 2 y h3 = ^ -5 h3 $ ^ x 2h3 $ ^ y h3 = -125 x 6 y 3

6 2 2 2. b - 3 a 3 b -2 l = b - 3 l $ ^ a 3 h2 $ ^ b -2 h2 = 9 a 6 b -4 = 9 a 4 4 4 16 16 b

9a 5 b =

3. 4.

3

9 $ a5 $ b = 3 $ a5 2 $ b1

2

= 3 a5 2 b1

2

- 8 x 6 z 3 = 3 - 8 $ 3 x 6 $ 3 z 3 =- 2 $ x 6 3 $ z 3 27 27 3

a) ^ -2 x 3 y 2h3 b) ` - 1 ab 3 j 3

2

c) ^ 0, 2 x 2 y h3

d) ^ - x 3 y 5 z h6

g)

e) ^ - 0, 2x - 2 y 3h3

f) ^ - 3 - 2 p 2 q h

36

3

3

=- 2 x 2 $ z 3

16 x 2 y

j)

h)

3

- 8 p3 q9

k)

i)

4

16a 2 b 4

l)

5

- 10 a 2 b 5 c 10 1 a4 b2 25

3

0, 064 x 3 y 18 z

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Sugerencias metodológicas Para practicar tanto la potenciación como la radicación es conveniente realizar ejercicios consistentes en hallar la raíz de un monomio y, a modo de comprobación, elevar la raíz calculada a un exponente igual al índice de la raíz.

36

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Recursos

3. Halla la potencia o la raíz según sea el caso. Si la parte literal es una fracción, se utilizan las siguientes propiedades de los números reales: a n an `bj = n y b

a = b

n

n n

5 3 4 20 12 20 12 2 p5 q3 4 2 4 ^ p q h = 16 $ p q = 16 p q j 2 m = `4 8 4 8 2 4 1 a b a b ab ^ ab h

2.

16 a 2 b 4 = p3

a) c - 5 a b m 4 7

17 2

c) c

3

b) c - 2 a 2b m 5x 5

a2 b4 = 4 $ a2 2 b4 p3 2 p3

a2 b4 = 4 $ p3

9x 4 y 5 2 m 10 z 3

5 12 4 d) c - m n 3 m 2pq

Indica si las siguientes igualdades son correctas o incorrectas.

a. b

1. c -

16 $ 1

Ejercicios

a) ^3x2 y h = 6x 4 y2 2

2

b) ^10ab 3h = 1 000a 3 b9

2 = 4 ab p3 2

3

e)

25a 4 b 2 c6

g)

3

- a5 8b 6

f)

144x 3 y 2 81 z 2

h)

5

32x 10 y a 5 b 15

4 c) b- 1 x7 l = - 1 x28 2 16

d) 3 - 64x12 = - 4x 4 Pensamiento crítico e investigación

4. Halla la potencia o la raíz según sea el caso.

–– ¿Qué valores hay que escribir en los casilleros para que la igualdad se verifique?

Cuando en la parte literal hay exponentes con letras o hay índices radicales con letras, al operar es necesario aplicar las técnicas de las operaciones con monomios.

8^- 2ab2h B

1. ^ 7a n b n - 1h2 = ^7 2h^ a n b n - 1h2 = 49 $ a 2 n b 2 ^n - 1h = 49 a 2n b 2n - 2 2. 3.

25 a n

2n

25 $

=

a

2n

= 5$a

2n 2

= 5a

n

–– Demuestra que la altura de un triángulo equilátero de lado b es b 3 . 2

25 a 2n = n 25 $ n a 2n = n 25 $ a 2n n = n 25 $ a 2

a) ^ - 9x n y 2mh2

c)

169x m

e) c -

0, 5 x m y 4 m 0, 2 x m

g)

n

2x n y 2n

b) ^ 4a n - 1 b nh3

d)

10x 6n $ y 2m

f) c -

0, 2a m 3 m 0, 5b n

h)

3

x 3 y 9n z 6m

= 4 096a6 b12

5. Calcula el área de las siguientes figuras. b)

a)

3a

1d 2

6a 3a

1d 2

9a

6. Anota la expresión que falta en el casillero. a) b) c)

y 2 = 7x 2 y

d)

x

=-2x 7

e) ` 8x

225 x 2 y

=

49 x 3

x y2

f) `

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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1 a6 b 27 y3j

= 1 a2 b 3 = 64x 6 y 6

a 3 b j =- 8a 9 b 12 3

g) ` - 2 a 3 c 4 j 3

=1

3 h) e - 2 x y 2 o =- 8 x 9 y 125

37

37

Más información Puntualizaciones sobre las operaciones combinadas –– Cuando se efectúan operaciones combinadas debe observarse la jerarquía de las operaciones. Si hay signos de agrupación, deben realizarse primero las operaciones que se hallan dentro de esos signos. –– Puede haber más de una forma de efectuar una operación combinada (respetando la jerarquía de operaciones); algunas de esas formas serán más directas que otras. –– Al realizar operaciones combinadas se pueden aplicar todas las propiedades de las diferentes operaciones con números reales.

Operaciones combinadas Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de monomios se pueden combinar en una sola expresión algebraica llamada operación combinada. Resolver una operación combinada significa hallar una expresión algebraica más simple que es igual a la expresión original. una misma operación se puede resolver de más de una forma aplicando las reglas para operar con números reales y monomios. La jerarquía de operaciones es similar a la que se utiliza en las operaciones combinadas con números reales:

n

a an

1.º Potencias y raíces.

# '

2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º adiciones y sustracciones. 4.º Si hay operaciones agrupadas con paréntesis, primero se resuelven ellas en el orden indicado.

+ -

1. Resuelve la operación ^ - 2 x 2 y h $ 3 x y - 1 x 3 y $ ^ - 8 y h . 2 Resolvemos las ^ -2 x 2 y h $ 3 x y - 1 x 3 y $ ^ - 8 y h = multiplicaciones =-6 x 3 y 2 - ^ - 4 x 3 y 2 h = 2 =-6 x 3 y 2 + 4 x 3 y 2 =

Resolvemos la adición

=-2 x 3 y 2

2. Resuelve la operación 7^ - a 2 b h2 ^ - ab 2 h3A . 2

Podemos hacerlo de dos formas:

Segunda forma

Primera forma

7^- a 2 b h2 ^- ab 2h3A = 7^- a 2 b h2A 7^- ab 2h3A = = ^ - a 2 b h4 $ ^ - ab 2 h6 = = ^ - a 2 h4 b 4 $ ^ - a h6 ^ b 2 h6 =

7^- a 2 b h2 ^- ab 2h3A = 7^- a 2h2 $ b 2 $ ^- a h3 $ ^b 2h3A = 2 = 7a 4 $ b 2 $ ^- a 3 h $ b 6A = 4 2 2 2 3 2 = ^ a h $ ^b h $ ^- a h $ ^b 6 h2 = 2

2

2

2

2

= a 8 b 4 $ a 6 b 12 =

= a 8 $ b 4 $ a 6 $ b 12 = = a 14 b 16

= a 14 b 16

1. Resuelve. a) 2x 3 y - 2 ` - 1 x 3 y j 4 b)

121x 4 y 2 + 3x 2 y

c)

9xy 3 + ^ 4y h2 xy

3 d) 4 ` - 2 a 3 j a 9 11

e) 3x x 6 - 7x 4 2 f) ` 1, 2xy + 1 xy j 2

g) ^ - 0, 25x 2 h3 $ x 2

h) 1 ^ - 2a 2 b h4 ab 2 2

38

i)

6m ^ - 2m h2 - 2

j)

c 1, 2a 2 b -

k) 3a $ 9a $ e

9m 6 2

a4 b2 m 5 2

a9 o 36a 2

3

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Sugerencias metodológicas –– Es conveniente que los estudiantes realicen las actividades en la pizarra para observar, discutir y corregir sus errores. –– Es esencial observar la jerarquía de las operaciones. Muchos estudiantes cometen errores como el siguiente: 5a - 3a $ 7b = 3a $ 7b = 21ab ; cuando respetando la jerarquía de las operaciones lo correcto es: 5a - 2a $ 7b = 5a - 14ab .

38

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Recursos

2. Resuelve.

a) 4ab 2 ^ - ab h - 7a 2 ^ - 2b 3h

Ejercicios

b) - 6x 2 y z 3 $ ` - 1 x y 2 z j + 9xy ` - 1 x 2 y 2 z 4 j 2 3 c) - 7a 2 b $ ^ - ab 3h - 4a ` - 1 a 2 b 4 j + 3a 2 b 2 ^ - 3ab 2h 2

Efectúa.

a) 73a 5 $ ^- 5b 3 hA

d) 6xy ^ - 3y 2 z h - 5x ^ - 7y 2 z h ^ - 2y h

3. Resuelve.

b) ^3a5 - 5b 3h

2

c) ^1 + 10m7h

2

a) 6^ - 2a b h ^ - ab h @

c) 6^ x y z h ^ - x y h ^ - y z h @

2 3 3

2

3

4 5 6 2

b) 6^ x y z h ^ - x y z h @

7

4. Resuelve.

a) 6^ - 2x 2 h 3 ^ - x y 4h 2@ ' 6- ^ - x 2 y h2 ^ - x y 2 h 3@ 2

4 5

2

d) ^1 $ 10m7h

8 4 2 6

3 3

d) "6^ a b h ^ b c h @ ,

5 2 2 5 2

3 3

4

2

8 3 4

2

3

Pensamiento crítico e investigación

c) 6^ -a 2 b 3h2 ' ^ a 3 b 2h@ ' ^ - ab 2h2 2

3

Indica si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Apoya tu opinión con ejemplos.

d) 6^ - 6x 2 h ^ - 2xy 2 h - 10x 3 y 2@ 2 ' ^ - x 4 y 2 h 3

b) 6^ 4a 3 b h 3 ' ^ - ab 2 h 2@ $ 6^ -2a 2 b 2 h ' ^ ab 3 h 2@ 2

5. Calcula el área y el perímetro de las figuras. a)

x 3x 2

2x

b)

3x 2

a

c)

d

3d

a

a) El coeficiente del producto de dos monomios es siempre mayor que los coeficientes de los factores.

d a

3d

2a

d 3d

x

6. Calcula. a)

4ac2 - 2c a + 32 ac2

e) 3 81x 3 y 4 ' 9xy

b)

b +2 b 2

f)

9b - b 4

1 4

49x 3 y7 ' x y 3 x y 4m2 `- 3 4

16m 4 n j

2 c) c 7x + 4x - 1 m^- 2yh y y y

g) 2 3

d)

2 h) ^ 25x 3 y 3 ' 5 3x2 y h `- 1 y j 2

4 ^ p + m h ^ p + m h2 ' a a

b) El grado de la potencia nésima de un monomio es igual al grado de la base multiplicada por n.

3

5

7. Calcula. x 64 y 32 -x y

a) b)

4

`

x 32 $ y 6

x 16 $ y j

2

-1 c) "6^ - 2a 2 b h2@ , $ ^ - 64ab h 3

0 d) "6^ - 5xy 3 h 2@ , $ ` 1 x 2 j - ^ 0, 25x 3h 2 2 3

3

8. Inventa operaciones combinadas de monomios. a) una operación que tenga las seis operaciones estudiadas y cuyo resultado sea 5 a2 . b) una operación con signos de agrupación anidados de la forma: 6^ h^ h@ 6^ h^ h@ , y cuyo resultado sea 6 a2 b2 .

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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39

39

Recursos Otro acertijo numérico 1.° Piensa un número.

S

Solución de problemas

analizar acertijos utilizando el álgebra

2.° Multiplícalo por 2.

Utilizamos operaciones algebraicas para comprender cómo funcionan los acertijos numéricos.

3.° Añade 5 al resultado.

Un acertijo numérico es un divertimento matemático en el cual una persona “adivina” el número en el que otra persona ha pensado.

4.° Multiplica por 5. 5.° Añade 75. 6.° Multiplica por 10. 7.° Dime el número que has obtenido y te diré el número que has pensado.

Examina el siguiente acertijo. en la siguiente tabla: •

La columna de operaciones expone el desarrollo de un acertijo.

•

La columna de análisis algebraico permite comprender cómo funciona el acertijo.

•

La columna de ejemplo ilustra el funcionamiento del acertijo para un número específico.

Análisis algebraico del acertijo

Operaciones

1.° n

Análisis algebraico

Ejemplo

x

5

2x

10

^ 2 x h2 = 4 x 2

100

1.º Piensa en un número.

2.° 2n

2.º duplícalo.

3.° 2n + 5 4.° ^2n + 5h $ 5

3.º eleva el resultado al cuadrado.

5.° ^2n + 5h $ 5 + 75

6.° 6^2n + 5h $ 5 + 75 @ $ 10

7.° Reduciendo esta última expresión obtenemos:

^10n + 25 + 75 h $ 10 = = ^10n + 100 h $ 10 = = 100n + 1 000 Entonces, si conocemos el resultado R, podemos deducir el número pensado, n:

20

5.º al resultado réstale el número pensado.

4x - x = 3x

15

6.º Preguntamos a la persona el número que tiene. dividiendo ese número por 3 obtenemos el número en que ella pensó.

3x = x 3

5

a) Piensa en un número par; triplícalo; toma la mitad del número obtenido y luego triplícala. dividiendo esta última cantidad entre 9 puedes “adivinar” el número pensado. ¿Por qué? b) Piensa en un número; súmale 3; multiplica este resultado por 3 y al nuevo resultado réstale 6; a esta cantidad réstale el número que pensaste; por último, al número que tienes réstale 3. a partir de este último resultado, ¿qué debes hacer para “adivinar” el número pensado?

2. Inventa y analiza tú mismo un par de acertijos numéricos.

40

40

4 x = 4x x

1. Realiza en cada acertijo el análisis algebraico correspondiente.

R = 100n + 1000 ( ( n = R - 1000 100 Es decir, para obtener el número pensado, al resultado final le restamos 1000, y la diferencia así obtenida la dividimos por 100.

4.º divide la cantidad obtenida entre el número que pensaste.

2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Taller de Matemática Operaciones con monomios en Matemáticas de Microsoft

Operaciones en Matemáticas de Microsoft

1. Conoce algunos aspectos básicos del programa.

El programa Matemáticas de Microsoft puede calcular los resultados de las operaciones con monomios y ofrecer la justificación de cada uno de los pasos del proceso de solución.

•

al ingresar al programa, tienes dos opciones de trabajo: Hoja de cálculo y Gráficas. elige Hoja de cálculo.

•

en la hoja de cálculo, tienes un espacio llamado Entrada de datos en el cual se escriben las expresiones matemáticas. Tienes, además, las opciones Borrar e Intro.

•

en la parte izquierda hay una especie de calculadora, que si es necesario se la habilita en la pestaña Ver. Con el teclado de esa calculadora puedes escribir las expresiones que desees.

•

en la pestaña Opciones selecciona Números reales.

Es recomendable que los estudiantes analicen el proceso de razonamiento que expone el programa, pues ese proceso puede servir como modelo para justificar las operaciones realizadas “manualmente”.

2. Aprende a resolver operaciones con el programa. •

en Entrada de datos escribe la siguiente suma de monomios: 3x 2 - 7x - 9x 2

•

al pulsar Intro la expresión que has escrito se carga en la hoja de cálculo como Entrada de datos. en otro espacio, como Salida de datos, se ve la solución: - 6x 2 - 7x

•

una vez que la hoja muestra la solución, ofrece también la opción Pasos de resolución. Si haces clic allí, el programa te explica cómo aplica las propiedades de los números reales para obtener el resultado.

El programa tiene ciertas limitaciones en la realización de operaciones, especialmente en el cálculo de raíces.

Recursos Ejercicios

Los pasos de resolución no se muestran en todas las operaciones, pero cuando aparecen es importante examinar cómo el programa te enseña a justificar, paso a paso, una operación con monomios.

Calcula con el programa Matemáticas de Microsoft.

3. Resuelve operaciones con el programa y, siempre que sea posible, analiza los

a) 2x 3 - 4x + x 3 + 2x2 - 1 + x b) ^- 5x2h $ ^- 12x2 y h

pasos de resolución. a) Multiplicación de monomios: 6a 2 $ (-9a 3) .

c) b 1 x z6 l $ ^4 x z h 2

b) división de monomios: - 16a 4 ' (32a 5) . c) Potenciación de monomios: ^ -5x 3h2 . d) Radicación de monomios:

d) 50y 6 z

64x 8 .

e) Operaciones combinadas: ^ 2x 2 + 4x 2h2 . ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

e) 48x 10 y2

41

41

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 10. Es conveniente expresar los números decimales como fracciones. Las operaciones dentro de los signos de agrupación se deben realizar en orden: primero, las que están entre paréntesis; después, las que quedan agrupadas dentro de corchetes y, finalmente, las que quedan agrupadas dentro de llaves. –– Actividades 12 y 13. Es conveniente seguir el siguiente orden: primero, multiplicar o dividir los signos; luego, multiplicar o dividir los coeficientes; finalmente, multiplicar o dividir las partes literales. –– En la actividad 16 y en otras donde se presentan radicales, en las raíces pares de radicandos positivos hay que tomar en cuenta solo la raíz principal cuyo signo es positivo.

1. Escribe en lenguaje algebraico.

6. Completa.

a) un número natural multiplicado por su consecutivo. b) La mitad del producto de dos números.

5x

c) el cuadrado de la suma de dos números. d) Las tres cuartas partes del producto de tres números. e) La suma de los cuadrados de dos números. f) La suma de tres números naturales consecutivos.

f)

c) ^ x + 1 h

d) 1 n + 1 3

h)

a 4a

d) d

x+3

d

x

4. Completa. Constante

Variables

- 8x2

h) 1, 2x 3 z

8. Suma algebraicamente los monomios. b) 4ab - 17ab - 6ab c) 1 x 2 - 6x 2 + 1 x 2 3 2 2 2 d) ab - 0, 2ab 2 - ab 2 5

9. Suma algebraicamente los monomios. a) 7a 2 b - 6ab - 12a 2 b + 15ab b) 4xy - 7x + 13xy - 32x - 12xy

a) - 6 + ^- 7x - 8h - ^12x - 3h

- 2 abc 3

b) - 74ab 3 - ^ 6a 2 b - ab 3h - ^ 3ab 3 + a 2 b hA

2

3 m np

5. Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas para: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 . a) ^ a - 7 h

2

b) ^ ac - 3c h2 - d 2

c) ^ 3b - 7a h ^ - 5c + d h

d) 1 a 3 - 2 a + 1 a 3 - a 3 + 1 a 2 3 4 3

10. Elimina signos de agrupación y reduce.

- 0, 5 x 2 y 3

42

2 ab 5

c) - 5x 3 y - 16z + 8z - 15x 3 y - 1

Monomio

42

g)

a) - 7x + 9x - 6x

b

b)

b) 31x y c) - 1 ab 3 3 d) - m 3 p 5

c) a

e) 2 x y z 3 f) - 128

2

figuras. Deja las operaciones indicadas.

a

7 - 1 a2 b 2

a) - 12x

n2 - 1

3. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de las a)

Grado

7. Escribe el monomio opuesto.

x + y3

g) 3 ^ x - y h

2

Parte literal

- m 4 np5

e) x 3 y

b) x 2

Coeficiente

2

0, 25 a 3 b 3

2. Escribe en lenguaje corriente. a) 3x + 1

Monomio

d) 4 3 12bc 2 d e) b 1 + 1 l b 1 - 1 l a b c d

c) 4 - ;6x 3 y 2 z - ^ - 7x y 2 z 3 - 4 h - b 5x 3 y 2 z + 1 lE 2 3 d) 0, 25 + ( - 1 + x y + ;3x y - b 4 - 5 x y lE - 7x y 2 2 2

! ! e) 2 - ( 1 a + ;1, 3 - b 6a - 1 l + 6E - 0, 6 2 3 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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11. Expresa el perímetro con un polinomio.

16. Calcula.

b)

a)

d

+1

+2

49x 4 y2

a)

2x

2x

Mi desempeño como docente

3d - 1 2x

b)

3

27a b c

c)

3

0, 064x 9 y 15 z 6

2

3

12

d)

3

e)

3n

f)

4

9

- 27a b 125 n

64 $ x

6

-6n

16m 8x x 4n p 2x

Muchas veces.

17. Calcula.

a) ^ - 3x y h $ ^ - 12x y h 2

2

3

2

c)

c) b 3 a m b n l $ b - 4 a 2m b n l 5 8

e) b - 1 x 2 y l $ b - 1 x y 2 l $ b - 1 x 3 y l $ b - 32 y 3 l 4 8 3 2 f) ^ - 5x 2n y - 1 h $ ^ - 0, 2x y n h $ x n y n

g) b - 2 a x + 1 b x - 3 c 2 l $ b - 44 a x - 3 b 2 - x c l 3 11 x-2

! h) ^ 3x n y m - 1h $ _ - 0, 7 x n + 1 y m + 1 i

13. Halla el cociente.

- 1, 75 x 7 y - 3 b 2 1, 25 x - 1 y - 5 b - 2

d)

28x m - 1 y n - 1 - 49x 1 - m $ y n - 1

a) 6^ - x 3 y 2 h3 $ ^ - 2 x y 3 h2@

5

a) ^11x 3h2

4 b) b - 1 a 2 b l 2

15. Calcula. a) ^0, 2x- 2 y n z- 1h- 3 6 b) ^2a x 2 b x 2h

Pocas veces.

4

c) 6^ - m 3 n 4 p 7 h2 $ ^ - mn 5 h3 $ ^ n 3 p 2h2@

3

d) ^ - x 8 y z - 1 h2 $ ^ - y z 4 h4 $ ^ - x - 5 z - 1 h3

e) 6^ 60a 3 b 6 h4 ' ^ 2ab 3 h5@ $ ^ - 4 a 4 b 3 c 2 h 4m 6 n 5 $ ^ - 36n 7 h

x 8 y 10 h $ ^ - 3 x y 7 h

19. En el tangrama que muestra el dibujo hay siete figuras. A3

A1 x A4

- 1 a x - 1 xa - 1 15 e) 1 xa - 2 a x - 3 90

14. Calcula.

Muchas veces.

2

b) 6^ a 2 bc 4h5 $ ^ - ab 2 c 3h2@

g) ^ 3 - 27x 6 y 9 '

b) ^- 216a b h ' ^- 3a h c)

- 8x 4 y z ' ^ - x 2 y z 3 h

18. Calcula.

f)

a) ^ 36x 5 y h ' ^ - 9x 2 y h 3

3

2 d) b - 1 x y 3 l $ 36x 2 y 6 $ ^ 2x y h3 3

d) b 7 a 3 y 2 l $ b - 1 ay 4 z l $ b - 36 y z 5 l 4 14 3

6

–– Promuevo el trabajo grupal en la realización de las prácticas.

3 b) b 1 ab 4 l $ 144a 2 b 5 2

b) ^ 7ab h $ ^ - ab h $ ^ - 9abc h 2

Pocas veces.

a) ^- 2x 3 y h4 $ 25x6 y2

12. Halla el producto.

–– Motivo a los estudiantes para que sientan interés por los temas algebraicos.

A5 x

c) ^- 5x2 y 3h3 3 d) b 4 a - 2 b 4 l 5

! 2 c) _ - 0, 2 a - n y - m $ z 1 2 i $ 32 532 d) _ 0, 25 a y i

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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A2

A7

A6

a) determina una expresión algebraica que represente el área de cada figura. b) Suma el área de todas las figuras y demuestra que es igual a 2x $ 2x , es decir, a 4x 2 .

43

43

Sobre las actividades Actividad 22. Los cuerpos se pueden descomponer en prismas. Por ejemplo, el cuerpo del inciso c) se puede descomponer de la siguiente forma: x

20. Encuentra una fórmula para calcular el área de la corona circular. Después, evalúa la fórmula para los valores de los radios indicados en los incisos.

2x

S = W 0, 425 $ h 0, 725

r

donde S es el área en metros cuadrados (m2), W es el peso en kilogramos (kg) y h es la estatura en centímetros (cm).

2r

b) r = 20 cm

21. Para calcular la altura desde la que cae un cuerpo en el vacío se aplica la fórmula h = 1 gt 2 donde: 2 • h es la altura.

1 2x

de calcular de manera aproximada mediante la siguiente fórmula:

a) r = 10 cm

2x

2

x

3x

El volumen del bloque 2 es: V 2 = 3x $ x $ 2x = 6x 3

•

g es el valor de la aceleración de la gravedad, 9, 8 m/s 2 .

•

t es el tiempo que dura la caída.

Calcula la altura aproximada de un acantilado si al soltar una piedra desde la parte superior tarda en llegar al agua:

El volumen del bloque 1 es: V 1 = x $ 2x $ 2x = 4x 3

a) 3 segundos.

b) 5 segundos.

del siguiente modo: c

V Total = 4x 3 + 6x 3 = 10x 3

a

b

Volumen = a $ b $ c

escribe una fórmula para el volumen de los siguientes cuerpos. a)

c) 2x a 2

3a 5a

x

x x

x

2,5x

2x

x x

x x

1,2x

44

rio las dimensiones de las habitaciones son las siguientes: • El largo de la cocina es el doble de su ancho. • El baño tiene las mismas dimensiones que la cocina. • El ancho de la sala-comedor es igual al largo de la cocina y su largo es 4 veces el ancho de la cocina. • El ancho del dormitorio es la mitad del largo de la sala y su largo es 2 1 veces el ancho de la 2 cocina.

b) Si el ancho de la cocina fuera a = 1, 80 m , ¿cuál sería la superficie de la vivienda?

3x

d)

b)

b) Calcula la superfice corporal de un adulto de 1,72 m de estatura y 75 kg de peso.

a) encuentra una expresión algebraica para la superficie de la vivienda.

x

x 2x

3x 2 3x 4 2x 3x 4

a) Calcula la superficie corporal de un niño de 2 años que mide 86 cm y pesa 13 kg.

24. En el plano de una vivienda de un solo dormito-

22. Sabiendo que el volumen de un prisma se calcula

Luego, el volumen total es:

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23. El área de la superficie del cuerpo humano se pue-

x

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Matemática y valores Solidaridad

Valores SOLIDARIDAD

Utiliza tus conocimientos sobre evaluación de expresiones algebraicas para realizar cálculos referidos a acciones de solidaridad.

La solidaridad es un valor que deberíamos practicar todos.

Calcula el material que se necesita para fabricar carpas y construir viviendas

En Bolivia, muchas personas resultan afectadas por los fenómenos climáticos: sequías, lluvias, inundaciones, deslizamientos de tierra, etc. Podemos prepararnos colectivamente con anticipación para enfrentar las consecuencias de estos fenómenos. Podemos, por ejemplo, construir carpas o preparar casas prefabricadas.

25. Se construirán carpas de lona para dar albergue a personas que han perdido su casa. Estas carpas deben tener forma cilíndrica y un techo de forma cónica, tal como se ve en la figura.

g

h r

La superficie total (T ) de las carpas en metros cuadrados (m2) se calcula con la siguiente fórmula: T = r $ r ^ 2h + g h donde: r - 3, 14 r = radio de la base h = altura de la parte cilíndrica g = distancia de la cúspide a un punto del borde

a) ¿Cuántos m2 de lona serán necesarios para construir una carpa de r = 3 m, h = 3, 5 m y g = 2, 2 m . b) ¿Cuántos m2 se necesitán para 700 carpas? c) ¿Cuántos m2 se necesitan para 400 carpas de r = 2, 5 m, h = 3 m y g = 2, 7 m ?

Analiza costos de construcción de viviendas solidarias

26. Considera las viviendas de las que se habla en la primera página de esta unidad. a) encuentra una expresión algebraica que describa la superficie de esas viviendas. La variable de esa expresión debe ser el ancho de la cocina (a). 17 a 8

b) ¿Cuántos m2 tendrá la superficie construida si a = 2, 40 m ? c) ¿Cuántas bolsas de cemento son necesarias para construir el piso de la sala comedor de 400 viviendas si una bolsa alcanza para 6 m2? d) ¿Cuántos m2 de madera son necesarios para cubrir el piso del dormitorio de 400 viviendas?

13 a 8 a

e) ¿Cuáles serían las dimensiones de las tres habitaciones si se trabajara con a = 2, 80 m ? 7a 4

13 a 4

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45

45

Sugerencia de temporalización

3

Febrero

Adición y sustracción de polinomios

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto CURVA DE DEMANDA ENERGÉTICA

Septiembre

70

Calorías / hora $ m2

60

Octubre Noviembre

50 40 30 20 10 0

Valores

Energía y alimentación Tu cuerpo consume energía en todo momento, incluso cuando estás durmiendo. La fuente de esa energía está en los alimentos. Por eso, una buena alimentación es esencial para que puedas realizar tus actividades diarias.

En los últimos años, muchos niños y adolescentes, y también muchas personas adultas, se han dejado llevar por el consumo de comida rápida. Ellos no siempre piensan acerca de si esas comidas son buenas o no para la salud. La responsabilidad en la alimentación es muy importante, solo así cada persona puede proteger una de las cosas más importantes que tiene: su salud.

El contenido energético de los alimentos se mide en calorías, que es una unidad física para medir la energía. La demanda de calorías varía con la edad, tal como muestra el gráfico. Tu cuerpo necesita energía, pero también una gran diversidad de sustancias (minerales, vitaminas, aminoácidos, ...). Por eso, no es aconsejable consumir solo alimentos ricos en contenido energético (como los que tienen mucha grasa o azúcar). Cada persona requiere una cierta cantidad de calorías diarias, ni mucho menos ni mucho más. Lo importante es una dieta balanceada.

46

5

10 15 20 Edad (en años)

25

• Observa la curva de demanda energética. ¿Cuál es la demanda de energía de una persona de tu edad? • ¿Puedes decir cuáles son los defectos más comunes en los hábitos alimenticios de las chicas y los chicos de tu edad?

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Sugerencias metodológicas –– En las operaciones con polinomios la precisión es muy importante. Recomiende a los estudiantes que efectúen las operaciones con mucho cuidado, revisando por lo menos una vez los cálculos numéricos y las transformaciones algebraicas realizadas. –– Otro aspecto muy importante en la realización de operaciones con polinomios es el manejo cuidadoso de los signos: un solo descuido puede afectar a todo el resultado.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA 1. Halla el valor numérico de las expresiones al-

Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la expresión cuando se reemplazan sus variables por números y se realizan las operaciones indicadas. Por ejemplo: El valor numérico de 7ab2 para a = 4 y b =- 3. es: 7 $ 4 $ ^- 3h2 = 28 $ 9 = 252

gebraicas si: a=3 a) 6a 2 b

b= 1 2

Para estudiar esta unidad, los estudiantes deben poder realizar con facilidad las diferentes operaciones con monomios; si no es así, tendrán dificultades en el estudio de los polinomios.

x =- 2

b) 4ab 2 - 2a 2 b + x 2 c) a 3 - a 2 b + 2ab 2 x 2 + b 0 d) - 3x 3 + 3 4x - 6ab 2

2. Realiza la descomposición polinómica de los

Descomposición polinómica Un número está descompuesto en forma polinómica cuando está expresado como la suma indicada de cada una de sus cifras multiplicada por una potencia de 10, la cual indica el valor de posición.

siguientes números. a) 352

c) 2 507

b) 796

d) 79 326

Vocabulario matemático

Por ejemplo:

Adición de polinomios

5347 = 5 $ 10 3 + 3 $ 10 2 + 4 $ 10 1 + 7 $ 10 0

Grado de un monomio Reducción de monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Al reducirlos, los expresamos mediante un solo monomio equivalente a su suma. Por ejemplo: 1 x2 y - 3 x2 y + 2 x2 y = 3 2

reduciendo

=- 11 x2 y 6

Adiciones y sustracciones combinadas En las adiciones y sustracciones combinadas con signos de agrupación se eliminan estos hasta quedar con una suma (o resta) de expresiones numéricas. Por ejemplo: - 8 3 + 1 + `- 3 + 7 j - 6 B + 10 = 2 2 2 3 1 7 3 =- 8 + - + - 6 B + 10 = 4 2 2 =- 3 - 1 + 3 - 7 + 6 + 10 = 4 2 2 = 57 4

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Grado de un polinomio

3. Reduce términos semejantes.

Operación combinada

a) 3 a - 7a + 15 a

Polinomio

b) 4x2 - 7y - 9x2 - y2 + 3

Sustracción de polinomios

c) 6mn + 4m2 n - 1 mn + 13mn2 2 2 1 2 d) 0,5 a - b + a2 + 1,2b - 4,5 5 3

4. Efectúa. a) - 6 + 3 - 8 + 3 b) 8 - 12 + 9 - 15 c) - 13 + 10 - 16 - 7

d) - 6 + 3 - ^4 - 6 + 12h

e) 1 + 3 - 1 3 4 2 f) 2 - 7 - 6 + 1 - 8 4 2 1 3 g) - 2 - j + `2 + 5j - 6 4 3 6 5 ` 2 3 h) - 1 - + 6j - 6 4 5 3 ` 2 i) 6 - 8- 6 + + `- 6 + 1 + 5j - 2 B - 1 5 2 5

47

47

Más información

Polinomios

Algunas precisiones sobre los polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la adición (o sustracción) de dos o más monomios no semejantes.

–– El término independiente puede ser considerado como un monomio de grado cero.

• Los monomios se llaman términos del polinomio. • El término independiente es el monomio de grado cero. • El grado de un polinomio está dado por el grado del término de mayor grado.

–– Cuando un polinomio de dos variables se ordena en forma creciente o decreciente con respecto a una variable, la otra también se ordena en forma decreciente o creciente.

• Los polinomios se designan con letras mayúsculas, indicando entre paréntesis las variables que intervienen.

Polinomio P^ xh = 6 - 7 x - 9 x + 2 x

–– Es frecuente tratar a los polinomios como funciones polinómicas. –– Al evaluar un polinomio para diferentes valores de sus variables, debe tomarse en cuenta la jerarquía de las operaciones.

Variables 2

3

Q ^a, bh = 2 a 2 b 2 + 6 ab

R ^a, bh = 8 a - 2 b - 5 2

Términos

x

6; -7 x; - 9 x ; 2 x

a; b

2 a 2 b 2; 6 ab

2

a; b

Término independiente

Grado

6

El de 2 x 3: 3

No tiene

El de 2 a 2 b 2: 4

-5

El de - 2 b 2: 2

3

2

8 a; -2 b ; -5

El polinomio P^xh = 6 - 7x - 9x2 + 2 x 3 se puede designar también simplemente con la letra P o se lo puede escribir sin la letra: 6 - 7x - 9x2 + 2 x 3 . Los polinomios se describen por su número de términos: •

Monomio: polinomio que tiene 1 término.

•

Binomio: polinomio que tiene 2 términos.

•

Trinomio: polinomio de 3 términos.

•

Cuatrinomio: polinomio de 4 términos.

El grado de un término se halla sumando los exponentes de la parte literal. 7 a 2 b es de grado 3.

El polinomio opuesto de un polinomio P (x) es otro polinomio que se designa mediante - P (x) y que se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P (x) .

Si P ^ x h = 4 x 3 - 7 x 2 + 6 x + 10 ,

el polinomio opuesto es: - P ^ x h =- 4 x 3 + 7 x 2 - 6 x - 10 .

1. Completa el cuadro. Polinomio 4

3

Variables

Términos

T. independiente

Grado

2

P (x) = 2x + 4x - 6x + 2x - 6 P (x, y) = 9 - x 4 - 6 x2 y2 + y 3 P (a, b) = a2 - 71ab + 17

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Tic Los polinomios. Recurso interactivo que ofrece información teórica sobre los polinomios. Grado de un monomio y de un polinomio. Hay que unir cada monomio o polinomio con el grado que le corresponde.

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Sugerencias metodológicas –– Se debe enfatizar el estudio de polinomios ordenados y polinomios completos. La capacidad de ordenar un polinomio, en forma creciente o decreciente, es una condición para realizar operaciones como la división de polinomios. –– El cálculo del valor numérico es también importante, ya que constituye la base de los procedimientos para comprobar las operaciones con polinomios.

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Recursos

2. Escribe el polinomio opuesto de cada uno de los polinomios. a) P ^ x h = 12 x + 18 x - 6 x - 8 b) Q ^ x h = 5 - 8 x + 1 x 2 + x 3 2 3

c) P ^a, x h = 5 x + 8 x a - xa + a d) P ^ x, y h = - 1 x 3 - 6 x 2 y - 2 xy 2 + 8 y 3 2 3

2

3

2

2

3

Pensamiento crítico e investigación

3. Lee las definiciones y completa el cuadro escribiendo Sí o No.

–– ¿El coeficiente de un término (dentro de un polinomio) puede ser un número irracional?

Polinomio homogéneo: polinomio cuyos términos tienen el mismo grado. Polinomio completo respecto de una variable: polinomio en el cual la variable presenta todos los grados iguales o menores al grado del polinomio (incluyendo el grado cero).

–– ¿Un cuatrinomio puede ser de grado 2?

Polinomio ordenado: polinomio cuyos términos están ordenados de forma creciente o decreciente según su grado.

Polinomio

Ordenado

Completo

–– Al evaluar el polinomio P ^ x h = x2 + 10x - 12 el resultado es - 10 . ¿Cuál o cuáles pueden ser los valores de su variable x?

Homogéneo

P ^ x h = x - 3 x + 6 x - 10 4

2

Q ^ x, y h = 3 x 5 - x 3 + 1 x - 5

Ejercicios

R^ xh = 2 x + 4 x3 + x2 - 3

Ordena en forma decreciente los siguientes polinomios.

P^a, bh = - 7a 4 - a2 b2 - 2b 4

4. Obtén una expresión algebraica para el área de cada figura y reduce los términos semejantes para obtener el polinomio correspondiente.

x

x

5

5 4x

2x

b) Q ^ x h = 9 + 3x2 - 8x + 4x 3 c) P ^a h = 7a - 15a 3 + 12 - a 4 - 2a 2

4x $ x + 3 $ x + 5 $ 4 x + 5 $ 3 = = 4x2 + 3x + 20x + 15 & & P (x) = 4x2 + 23x + 15

3

1

x

x

2

b)

2 2x

a) P ^ x h = 5x2 - 7x + x 3 + 5

3

4x

a)

Este polinomio es ordenado, completo y homogéneo. 5 x 3 - 1 x 2 y + xy 2 - 6 y 3 2

1

5x

2 x

x 3

3 5x

2

5. Evalúa los polinomios para los valores dados a sus variables. Evaluar un polinomio significa hallar su valor numérico para ciertos valores dados a sus variables. a) P ^ x h = x 2 - x + 3 para x = 5.

b) Q ^ x h = 9x 3 - x 2 - 3x - 1 para x =-2.

6.

c) P ^ x, y h = 9x 3 y - x 2 y 2 - 3x y 3 para x = 2 y y = 2. d) P ^ a, b h = a 3 - ab - b 3 + 2 para a = 1 y b = 3.

Pensamento crítico. Reflexiona y responde.

a) ¿Puede ser completo un polinomio homogéneo de una variable? ¿Por qué? b) ¿De qué grado es un binomio completo de una variable? c) ¿Es verdad que 3ab + 6ba es un binomio? ¿Por qué?

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Tic Clasificación de polinomios. En cada polinomio hay que indicar si es un monomio, un binomio, un trinomio, etc. Valor de un polinomio. Hay que unir cada expresión algebraica con su valor numérico.

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Más información Algunas precisiones sobre la adición de polinomios –– Cuando sumamos polinomios de varios términos, es conveniente disponerlos en forma vertical; pero si sumamos polinomios de pocos términos, es conveniente realizar la suma de manera horizontal. –– Se dice que un polinomio es neutro si todos los coeficientes son ceros. N ^ x h = 0x 0 + 0x 1 + + 0x 2 + ... + 0x n Al sumar el polinomio neutro con cualquier otro polinomio no nulo se obtiene el mismo polinomio no nulo. –– Al sumar un polinomio con su opuesto se obtiene el polinomio nulo. –– Para sumar polinomios en forma vertical es necesario que el primer polinomio esté ordenado en forma creciente o decreciente. Los términos de los otros polinomios se colocan debajo de sus semejantes. Finalmente, se realiza la suma reduciendo términos semejantes.

Adición de polinomios La suma de dos o más polinomios es otro polinomio que se obtiene reduciendo los términos semejantes en los sumandos.

Si P ^ x h = 5 x 3 - 4 x 2 - 3 x + 8 y Q ^ x h = 2 x 3 + x 2 - 6 x + 5 calcula P^ x h + Q^ x h.

Para sumar polinomios es conveniente ordenarlos.

Primero, escribimos los polinomios uno a continuación de otro: P ^ x h + Q ^ x h = 5x 3 - 4x 2 - 3x + 8 + 2x 3 + x 2 - 6x + 5

Después, identificamos los términos semejantes y los reducimos. P ^ x h + Q ^ x h = 5x 3 - 4x 2 - 3x + 8 + 2x 3 + x 2 - 6x + 5 =

= ^5 + 2hx 3 + ^-4 + 1hx 2 + ^- 3 - 6hx + ^8 + 5h =

= 7x 3 - 3x 2 - 9x + 13

Disposición vertical. Para sumar dos o más polinomios se colocan los polinomios uno debajo del otro, de tal manera que los términos semejantes queden en una misma columna. Después, se suman los términos semejantes sumando sus coeficientes.

Suma los polinomios P (x) = x 3 + 4 x 2 - 3 x + 8; Q (x) =- 6 x 2 - 5 x 3 + 1 y R (x) = 7 x 2 + 10 x - 8 . Ordenamos los polinomios uno debajo de otro:

Sumamos los coeficientes de los términos semejantes:

x 3 + 4x 2 - 3x + 8 - 5x 3 - 6x 2 +1 7x 2 + 10x - 8

x 3 + 4x 2 - 3x + 8 - 5x 3 - 6x 2 +1 7x 2 + 10x - 8 - 4x 3 + 5x 2 + 7x + 1

1. Calcula horizontalmente la suma de los polinomios dados. Con coeficientes enteros: a) P ^ x h = 1 - 2x + 5x 2 - 3x 3

Q ^ x h =- 3 + 5x - 6x + 7x 2

–– En el proceso de comprobar por evaluación los resultados de una adición de polinomios, los valores negativos deben escribirse entre paréntesis.

3

b) P ^ x, y h = 6x 2 - x y + 7y 2 Q ^ x, y h =-6x y - y

2

c) P ^ x, y h = 5x 2 - x y + 6x 2 y 2 + 10y 2 Q ^ x, y h =- 8x 2 y 2 - y 2 + 7x y

Con coeficientes enteros y fraccionarios: d) P (x) = 1 x 4 - 5x2 + 2 x - 5 ; Q (x) = 4 x 4 - 8x 3 - 3 x + 1 2 3 2 3 2 e) A^xh = 1 + 2 x + 1 x2; B^xh = 1 + 1 x + 3 x2 + x 3; C^xh = 1 x2 + 2x 3 - 3x 4 4 2 3 4 2 2 3 f)

A^xh = x 3 - 1 x - 1 x2 + 2 ; B^xh = 11 - x5; C^xh = 4 - 3x5 2 4 3 17 17

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Sugerencias metodológicas –– Cuando los polinomios de una adición tienen coeficientes fraccionarios, es conveniente sumar esos coeficientes de forma separada en un apartado de operaciones auxiliares. –– No es conveniente ejercitar el procedimiento de evaluación (para comprobar sumas de polinomios) con polinomios de muchos términos (menos aún si estos tienen coeficientes fraccionarios) ya que el proceso se vuelve largo y tedioso.

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Recursos

2. Calcula la suma de los siguientes polinomios utilizando la disposición vertical. Con coeficientes enteros:

Investigación y pensamiento crítico

a) P (x) = 5x 2 - 7x 3 + x - 10; Q (x) = 8x 3 + 12x + 11 b) A (a, b) = 9a 2 b + ab 2 + a 3; B (a.b) =- 7a 2 b + 10ab 2 - 7

–– ¿Cuál es el grado del polinomio suma cuando el grado de uno de los sumandos es mayor al de los otros y los sumandos tienen una sola variable?

c) C (x) = 15x 4 + 6x 2 - 8x - 6; D (x) =- 4x 3 - 6x + 10; E (x) = x 3 + 11x 2 d) F (m, n) = 12m 3 - 6mn 2 - 8m 2 n - n 3; G (m, n) = 6mn 2 - 5m 3; H (m, n) = 9m 2 n - mn 2 + 3n 3 Con coeficientes enteros y fraccionarios: e) P ^ x h = 2 x 3 + 6x + 1 x 2 - 1 ; Q ^ x h = 1 x 2 - 2 x + 1 3 3 4 6 3 2 f)

–– Si un polinomio P^ x h es de grado 4 y otro Q^ x h es de grado 3, ¿cuál es el grado del polinomio suma P^ x h + Q^ x h ?

P^ah = 1 a 3 - 3 a + 2 a 2 + 1 ; Q^ah = a 2 + 1 a - 2 3 4 5 3 4 3

g) P ^ a, b h = 5a 3 + 1 a 2 b - 7 ab 2 - b 3; Q ^ a, b h = 2 a 3 - 1 ab 2 + 2 b 3; R ^ a, b h = 1 a 2 b - ab 2 - 1 b 3 4 3 3 3 3 2 6 h) P ^ x, y, z h = 2 x + 1 y - 4z; Q ^ x, y, z h = 5 y - 1 z ; R ^ x, y, z h = x - 1 y - 2 z 4 2 4 4 6 5

3. Expresa el perímetro mediante un polinomio. a)

x2 + 7x

x+5

b)

2 3 5 x +x 2

1 + 3

3x2 + 2x + 1

1 x 4

1 x 3 + 1 x2 + 1 2 2

1 x3 + 3 x2 + 3 3 2

4. Suma los polinomios y comprueba tu resultado mediante el procedimiento de evaluación. 1.º A las variables que intervienen en la adición se les asigna números, preferentemente pequeños, distintos entre sí y distintos de cero. 2.º Se evalúan los polinomios sumandos y el polinomio suma para los valores dados. 3.º Si la suma de polinomios está bien realizada, la suma de los valores numéricos de los sumandos es igual al valor numérico de la suma. 2x 2 + 6xy - 3y 3 - 8xy - 5y

3

2x 2 - 2xy - 8y 3

para x = 2; y =- 1 para x = 2; y =- 1 para x = 2; y =- 1

a) P ^ x h = 4x 2 - 6x - 1 Q^ x h = x + 3 2

2 $ 2 2 + 6 $ 2 ^ - 1 h - 3 ^ - 1 h3 = 8 - 12 + 3 = -1 - 8 $ 2 ^ - 1 h - 5 ^ - 1 h3 =

16 + 5 = 21

2 $ 2 2 - 2 $ 2 ^ - 1h - 8 ^ - 1 h3 = 8 + 4 + 8 = 20 b) P ^ x h = 5x 3 + 3x + 7

Q ^ x h =- x 3 - 4x 2 - 9

5. Comprueba mediante evaluación algunas de las adiciones realizadas en la actividad 2.

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Más información Algunas precisiones sobre la sustracción de polinomios –– La sustracción de polinomios no es conmutativa ni asociativa. –– La sustracción de polinomios se efectúa solamente con dos polinomios: el minuendo y el sustraendo. Equivale a sumar el minuendo y el polinomio opuesto del sustraendo. El proceso, entonces, requiere cambiar los signos del sustraendo.

Sustracción de polinomios La diferencia de dos polinomios se obtiene sumando al minuendo el polinomio opuesto del sustraendo. P^xh - Q^xh = P^xh + 6- Q^xh@

El procedimiento de la sustracción se basa en la regla por la cual un signo menos (-) delante de una expresión entre paréntesis cambia los signos de todos los términos afectados por los paréntesis.

a-b= c diferencia sustraendo minuendo

Resta Q ^ x h =- 9 x 2 - 5 x + 6 del polinomio P ^ x h = 5 x 3 - 6 x 2 + x - 7 . P ^ x h - Q ^ x h = P ^ x h + 7-Q ^ x hA =

= 5x 3 - 6x 2 + x - 7 + 7- ^ - 9x 2 - 5x + 6 hA = = 5x 3 - 6x 2 + x - 7 + 9x 2 + 5x - 6 = = 5x 3 + 3x 2 + 6x - 13

–– En las operaciones con polinomios se cumple la siguiente propiedad: P^ x h + Q^ x h = R^ x h ( P^ x h = R^ x h - Q^ x h (* Q^ x h = R^ x h - P^ x h

El opuesto de - 3 x + y es + 3 x - y .

Para realizar la suma, primero se cambian los signos de los términos del polinomio sustraendo y, después, se reducen términos semejantes.

Disposición vertical. Para restar dos polinomios se colocan los polinomios minuendo y opuesto del sustraendo uno debajo del otro, de tal manera que los términos semejantes queden en una misma columna. Después, se suman algebraicamente los términos semejantes.

Resta el polinomio Q ^ x h = 6 x 2 - 9 del polinomio P ^ x h = 3 x 3 - 7 x + 3 . Ordenamos los polinomios uno debajo de otro:

Sumamos los coeficientes de los términos semejantes:

3x 2 - 7x + 3 - 6x 2 + 9

3x 2 - 7x + 3 - 6x 2 + 9 - 3x2 - 7x + 12

1. Calcula P − Q en forma horizontal. Con coeficientes enteros: a) P ^ x h = 3x - 5x 2 + 2 Q ^ x h = 5x 2 - 2x + 1

b) P ^ t h = 7t 4 - 3t 3 + t - 7 Q ^ t h = 5t 4 - 4t 3 - t 2 + t + 7

c) P ^ a, b h = 10a 3 b 3 + a 4 b - 5 Q ^ a, b h = a 4 b - 7a 2 - 5 a 3 b 3 - 6

Con coeficientes enteros y fraccionarios: d) P^xh =- 1 x 3 + 6x2 - 1 x + 9; Q^xh = 2 x2 + 2x + 1 2 3 5 4 e) P^x, yh = 6x2 - 2 xy + 1 y2; Q^x, yh =- 5 xy - 3y2 5 2 2

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Sugerencias metodológicas –– Si los polinomios de una sustracción tienen muchos términos, es conveniente operar en forma vertical. Y si los coeficientes son fraccionarios, es mejor operar con los coeficientes de manera separada en un apartado de operaciones auxiliares. –– Al realizar una sustracción de polinomios se debe identificar el minuendo y el sustraendo, para determinar correctamente el polinomio que debe ser restado del otro.

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Recursos

2. Calcula P − Q utilizando la disposición vertical. Con coeficientes enteros:

a) P ^ a h = 4a 2 - 6a - 8 Q ^ a h = 12a + 9

b) P ^ x h = 6x 3 + 4x - 7 Q ^ x h = 9x 2 - 8x - 15

c) P ^ a, b h = 9a 2 - 8ab + 9b 2 Q ^ a, b h = 8ab + 13b 2

Ejercicios Calcula la diferencia de los siguientes polinomios.

Con coeficientes enteros y fraccionarios: 1 2 d) P (a, b) = 6a 2 b - ab 2 + ab 3 4 Q (a, b) =- a 2 b + 2 ab 3

A = 2 x 3 - 8 + 1 x2 3 2 B = - 8 - 2 x 3 + 1 x2 3 2

e) P (a, b) = 1 a 3 b 2 - 6a 2 b 3 - 1 a 4 b 2 - 1 ab 2 - 5 ab 2 2 2 3 1 4 2 2 3 3 2 4 2 Q (a, b) = ab - 5a b + a b - a b - ab 5 2

Pensamiento crítico e investigación

3. ¿De qué polinomio se debe restar Q para obtener la diferencia R?

–– ¿Cuál es el grado del polinomio diferencia? ¿Es mayor, menor o igual al grado de los polinomios de la sustracción?

a) Q^xh = x 4 + 3x 3 - 3x2 + x + 2;

R^xh = 2x 4 - 3x 3 + 4x 2 + 2x + 2 ! ! b) Q ^ a, b h = 5a 3 b - 0, 2a 2 b 2 + 0, 3ab 2; R ^ a, b h =- 0, 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 0, 5ab 2 c) Q ^ a, b h =- 1 a 3 b 3 - ab + 1 a 2 b 2 - 9; 4 5 3

R ^ a, b h = 2 a 3 b 3 - 1 a 2 b 2 - 3 ab + 1 3 2 2

4. Calcula el área coloreada.

–– ¿Puede ser nulo el resultado de la resta de polinomios?

Área del rectángulo = 4x2 + 3x - 5 Área del trapecio = x2 - 4x - 3 Área coloreada = ...........

5. Comprueba la diferencia de polinomios mediante evaluación. De P ^ a, b h = 3a 2 b - 6ab 2 - b 3 resta Q ^ a, b h = a 2 b + 7ab 2 - 9b 3 . P ^ a, b h = 3a 2 b - 6ab 2 - b 3

- Q ^ a, b h = - a b - 7ab + 9b

para a = 4; b =- 1

3

para a = 4; b =- 1

2a 2 b - 13ab 2 - 8b 3

para a = 4; b =- 1

2

2

a) A^xh = x2 - 6x - 7 B^xh = 4x - 5

2

B^xh =- 7x + x - 3x + 1 3

-4 ^- 1h - 7 $ 4 ^- 1h + 9 ^- 1h 2

2

3

= -71 = -21

2 $ 4 2 ^- 1 h - 13 $ 4 ^- 1 h2 + 8 ^- 1 h3 = -92

c) P^x, yh = 5x2 - 7xy + 9y2

b) P^xh = 4x + 7x - x + 5 3

3 $ 4 2 ^ - 1 h - 6 $ 4 ^ - 1 h2 - ^ - 1 h3

2

Q^x, yh = 9x2 - 9y2 - y

d) P^x, yh = 6xy 3 - 3x2 y2 + xy 3

Q ^x, yh = 2x 3 y + 7x 2 y 2 - xy 3

6. Comprueba mediante evaluación algunas de las sustracciones realizadas en la actividad 2.

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Tic Adición y sustracción de polinomios. Presentación con diapositivas en la que se explica el procedimiento para sumar o restar polinomios. Hay enlaces a páginas de Internet.

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Más información Algunas precisiones sobre la sustracción de polinomios –– Cuando se realizan adiciones y sustracciones combinadas es necesario interpretar correctamente la operación, es decir, diferenciar en cada etapa del proceso los sumandos, el minuendo y el sustraendo. –– Cuando en una operación combinada aparecen signos de agrupación (paréntesis y corchetes), estos signos se eliminan aplicando la regla de los signos. Área del triángulo El área del triángulo se calcula aplicando la fórmula: A9 = base $ altura 2

Adiciones y sustracciones combinadas Se va a colocar el zócalo a una sala cuyos lados miden 2a + 1 y 3b + 2 y cuya puerta tiene un ancho de 3a - b, tal como muestra la figura. Encuentra una expresión algebraica para la cantidad de zócalo necesario.

3b + 2

No lo olvides.

2a + 1

+ ^ a - bh = a - b

- ^ a - bh = - a + b

3a - b

Al perímetro de la sala le restamos el ancho de la puerta:

7^2a + 1 h + ^3b + 2 h + ^ 2a + 1 h + ^3b + 2 hA - ^3a - b h 1 444444444444 2 444444444444 3 Perímetro de la sala

14 24 3

Ancho de la puerta

Despejamos los paréntesis y reducimos términos semejantes: 2 a + 1 + 3 b + 2 + 2 a + 1 + 3 b + 2 - 3 a + b = a + 7b + 6 La cantidad de zócalo que se necesita está dada por la expresión a + 7b + 6. Para sumar y restar polinomios de manera combinada simplemente se eliminan los signos de agrupación respetando las reglas de los signos. Después, se reducen términos semejantes.

1. Realiza las operaciones combinadas con los polinomios dados. Con P ^ x h = 6 x 3 - x 2 + 3 x + 8; Q ^ x h = 6 x 2 - 11 x - 5 y R ^ x h = x 3 + 7 x - 12 determina P - Q + R . P - Q + R = ^ 6x 3 - x 2 + 3x + 8 h - ^ 6x 2 - 11x - 5 h + ^ x 3 + 7x - 12 h = = 6x 3 - x 2 + 3x + 8 - 6x 2 + 11x + 5 + x 3 + 7x - 12 = = 7x 3 - 7x 2 + 21x + 1

Los polinomios: A ^ x h = 7 x 3 + 5 x + x 2 - 6 C^ xh = 6 x3 + 3 x2 + x

Las operaciones:

a) A ^ x h - B ^ x h - C ^ x h

b) B ^ x h + C ^ x h - D ^ x h

2. Con los polinomios:

B ^ x h = 6 x 2 + x + 10 D^ x h = x 3 + 5 x - 8

c) A ^ x h - C ^ x h + D ^ x h d) B ^ x h - C ^ x h - D ^ x h

A ^ a, b h = a 3 + 3 a 2 b - 6 ab 2 - b 3

e) A ^ x h + A ^ x h - B ^ x h

f) 7A ^ x h + B ^ x hA - 7B ^ x h + D ^ x hA

B ^ a, b h = 5 a 2 b + 7 ab 2 + b 3

C ^ a, b h =- 2 a 3 - 9 ab 2 - 7 b 3

realiza las siguientes operaciones: a) A + ^ B - C h

b) B - ^ A + C h

54

c) A - ^ B - C h

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Sugerencias metodológicas Las operaciones combinadas pueden plantearse de distintas maneras según la manera de referirnos a los polinomios: mediante expresiones de la forma P^ x h , mediante letras (A, B, C, etc.) o escribiendo los polinomios mismos (por ejemplo, 6x 3 - 7x2 + 3 ). El estudiante debe ser capaz de reconocer las distintas formas de plantear las operaciones combinadas y de trabajar con los polinomios que aparecen en ellas.

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Recursos

3. Con los polinomios: P (x) = 5 x 3 - 2 x 2 + 1 x + 3 2 4

Q (x) =- 8 x + 15 x 2 - 4 x 3

R (x) =- 7 x 2 + 6 x - 1 2 4

S (x) = 5 x 3 + 7 x 2 + 2 x - 3 4

Pensamiento crítico e investigación Dados los polinomios expresados en forma general:

realiza las siguientes operaciones combinadas: a) ^ P + Q h - R

c) P + ^ Q - S h

b) Q - ^ R + S h

A = a0 x 0 + a1 x 1 +

d) ^ P + Q h - ^ R + S h

+ a2 x 2 + ... + an x n

4. Con los polinomios: A (a) = 6 a 2 - a 3 + 1 a - 0, 2 2 1 2 D (a) = + 5 a - a 2 3 4

B (a) = 12 a 2 - a + 2 5 1 2 E (a) = a + 1, 5 a - 5 a 3 5 4

realiza las siguientes operaciones:

a) - 7A + ^ C - D hA

b) A + 7B - ^ C + D hA

C ( a) = 3 a 3 - 1 a 3 2 F (a) = 3 a - 2 a + 3 , 5 5

B = b0 x 0 + b1 x 1 + + b2 x 2 + ... + bn x n C = c0 x 0 + c1 x 1 +

c) E - 7A - ^ B - C hA

+ c2 x 2 + ... + cn x n

d) -D + 7F - ^ E + A h + ^ B - C hA

Encuentra el resultado de A - ^B + C h .

5. Calcula el área de la región coloreada. a)

c)

4x y y

3x x

x

x

2x

2x y

x

2y

x

Ac x

2y

x 4x

d)

b) x 2

x

2a

x x

2a

6. Con los polinomios dados realiza las operaciones combinadas y verifica utilizando el método de evaluación. P = 8 x2 - y2 + 9 x y

Q = 6y2 - x2

R = 6 x 2 - 7 x y + 15 y 2

a) P - ^ Q + R h y verifica evaluando con x = 4; y =- 3.

b) ^ P + Q h - R y verifica evaluando con x =- 2; y = 5. c) ^ P - Q h - R y verifica evaluando con x = 1; y =- 1 . 2

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55

55

Más información

S

El lenguaje algebraico La gran ventaja del lenguaje algebraico es su capacidad de generalización. Al describir una figura o cuerpo geométrico refiriéndonos a sus dimensiones mediante expresiones algebraicas, estamos en realidad describiendo un conjunto de figuras, semejantes o no (según sean aquellas expresiones algebraicas). Al sustituir las variables por valores específicos se generan figuras o cuerpos concretos.

Solución de problemas

Planear

Resolver

Verificar

Utilizar el lenguaje algebraico Utilizamos el álgebra para traducir las relaciones generales entre las variables que intervienen en el problema que estamos analizando. Calcula el área de la figura si la diagonal mayor del rombo vale x = 12 cm . La figura cuya área debemos calcular está formada por: • • •

x (diagonal mayor)

Un rombo cuya diagonal mayor mide x y cuya diagonal menor mide ^ x - 2h. Dos triángulos obtusángulos similares que comparten una misma base de longitud x/4.

La altura de estos triángulos es x/2, que es la mitad de la diagonal mayor del rombo.

x/4 x – 2 (diagonal menor)

Debemos encontrar expresiones algebraicas para el área del rombo y los triángulos. Sumando esas expresiones encontraremos la que corresponde al área de nuestra figura. El área del rombo es: Ao =

x ^ x - 2h diagonal mayor $ diagonal menor = 2 2

El área de cualquiera de los dos triángulos obtusángulos es: 2 ^ x ' 4h ^ x ' 2h = x A i = base $ altura = 2 2 16

Recursos

El área total de nuestra figura es: 2 x ^ x - 2h x ^ x - 2h x 2 A o + 2A i = + 2 $b x l = + 16 2 8 2

Ejercicios Dada la siguiente figura: z

Para verificar la expresión encontrada, podemos suponer que x = 12 y encontrar el área buscada usando fórmulas de áreas. Después, evaluamos la expresión algebraica del área para x = 12 : x = 12 & A =

y x a) Si el largo disminuye en 1 unidad y el ancho aumenta en 1 unidad, ¿cuál será el volumen?

12 ^ 12 - 2 h ^ 12 h2 + = 78 cm 2 2 8

Si ambos valores son iguales, nuestra expresión algebraica es correcta.

1. Llena la tabla, correspondiente al volumen de un paralelepípedo, escribiendo algebraicamente cada uno de los cambios. Cada cambio ocurre con respecto a la situación anterior.

b) Si el largo disminuye en 2 unidades, el ancho aumenta en 1 unidad y la altura se triplica, ¿cuál será el volumen?

1.er cambio. El largo aumenta 5 unidades y la altura disminuye 2 unidades. 2.o cambio. El largo se duplica y el ancho disminuye 3 unidades. 3.er cambio. El largo disminuye 10 unidades y la altura aumenta 3 unidades.

56

56

Comprender

Inicio

Largo x

Ancho y

Altura z

Volumen

1. cambio er

2.o cambio 3.er cambio

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Más información

Taller de Matemática

Evaluación de polinomios con la calculadora

Evaluación de polinomios 1. Reproduce las siguientes instrucciones (o adáptalas a tu calculadora) para apren-

Si un polinomio tiene tres variables se puede utilizar tres memorias (A, B y C).

der a evaluar polinomios usando una calculadora científica (Casio fx-350ES). Cálculo directo (modo Line) •

Evalúa el polinomio P (x) = 3x 4 - 2x 3 + 5x - 8 para x =- 3 . 3 (

3 )

– 2

4 )

(

3 )

3 ^- 3 h4

3 )

+ 5

(

– 8 =

3 )

Si queremos evaluar P ^ x, y, z h = 3x 4 + 4xy + 2y2 - z para x = - 2 ; y = 3 ; z = - 3 hacemos lo siguiente:

274

5 ^- 3h

2 ^- 3 h3

Los paréntesis son necesarios por el signo de x =- 3 . •

1.° Guardamos -2 en la memoria A, 3 en la memoria B y -3 en la memoria C

Evalúa el polinomio P (a, b) = 7a 3 - 3 a2 b + 5 ab2 - 2b 3 para a = 4 y b = 6 . 7 × 4

– 3 × 4

3 )

3 =

448

2 $ 63

5 $ 4 $ 62

3 $ 42 $ 6

7 $ 43

– 2 × 6

× 6 + 5 × 4 × 6

2.° Tecleamos de la siguiente manera en el modo Line I0.

Cálculo usando las memorias (modo Line) Podemos guardar cualquier número en las distintas memorias de la calculadora. Estas corresponden a las teclas que tienen letras mayúsculas (A, B, C, etc.). Los valores guardados en las memorias pueden ser usados en diversos cálculos. •

A

STO

7

A

Para borrar la memoria.

7 SHIFT RCL •

3 ALPHA A x 4 _ + 4 ALPHA A ALPHA B + 2 ALPHA B x2 - ALPHA C =

Guarda 7 en la memoria A. 7

CLR

4

SHIFT

3

Evalúa el polinomio P (x) = 3 x - 2 x + 5 x - 8 para x =- 3 . A

STO

2

=

El resultado debe ser igual a 45.

Memory

3 SHIFT RCL

1.º Guarda - 3 en la memoria A:

9

Yes

2.º Realiza la operación colocando A en vez de - 3 . A

4 )

3 ALPHA

A

3 )

ALPHA

+ 5

A

ALPHA

3A (4) – 2A (3)+5A – 8 ; después pulsa

En la pantalla verás •

– 2

3

2

2

=

– 8

Recursos

274

Ejercicios

3

Evalúa el polinomio P (a, b) = 7a - 3 a b + 5 ab - 2b para a = 4 y b = 6 .

Calcula utilizando las memorias de la calculadora.

1.º Guarda 4 en la memoria A y 6 en la memoria B. 2.º Realiza la operación utilizando las memorias A y B. A

7

ALPHA

3 B

ALPHA

En la pantalla verás

)

– 2

– 3

A

ALPHA

B

ALPHA

+ 5

ALPHA

a) P ^ x, y, z h = x 3 + 6x2 y - yz 3 si x = 1; y =- 2; z = 4

=

b) A ^ a, b, ch = a5 + 3a 3 b - b2 c 4 si a = 2 ; b = - 10 ; c = 5

A

B

3 )

ALPHA 2

2

7A (3) – 3A B+5A B – 2 B (3) ; después pulsa

448

2. Evalúa los siguientes polinomios para los valores dados. a) P (x) = 5 x 3 - 4 x + 3 para x =- 3. b) P (a, b) = 2 a2 b - 3 ab2 + 3 ab para a = 2 y b =- 3. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

57

57

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 5. Un polinomio de grado n tiene n + 1 términos; por tanto, el polinomio de 5.º grado tiene 6 términos. –– Actividades 12 y 18. En una expresión de la forma “De A resta B” el minuendo es A (el polinomio del cual debemos restar otro) y el sustraendo es B (el polinomio que debe ser restado de otro). Los signos del sustraendo cambian al realizar la resta. –– Actividad 20. Para calcular el valor del lado L se debe restar del perímetro de la figura la suma de los otros lados.

1. Identifica las variables, términos, término independiente y grado de los siguientes polinomios. 2

3

a) P (x) = 106x - 7x + x + 5 3

4 3

c) R (x, y) = x + 4x - x - 9 + 4x y

d) S (x, y, z) = 7x 2 yz - 3xy 2 z + 8xyz 2

2. Escribe el polinomio opuesto. a) P^ah =- 8a - 2a + 4a + a - 7 4

3

2

b) P^a, bh = 6a 4 b + 9a 3 b2 - a2 b 3 + ab 4 + ab c) P ^ a, b h =- 1 a 4 b + 2 a 3 b 2 - 3 a 2 b 3 + 4ab 4 4 3 2

3. Halla los valores numéricos para el polinomio P (x, y) = 2 x 2 y + xy 2 - 3 xy + 5 x - 6 y + 9 . a) x = 0; y = 0

c) x = 1; y = 2

b) x = 1; y = 1

d) x = 1; y =-2

4. Ordena de forma decreciente e indica si el polino-

calcula: a) A + B

c) A + C

b) B + C

d) A + B + C

10. Calcula la diferencia.

a) ^ 5a - b + 3c h - ^ 8a + 3b + c h b) ^ 9x - 3y - z h - ^ x + 17z h

c) ^ 5a 2 - 7a + 3 h - ^ 12a 2 + a - 5 h

d) ^ x 2 - 6x y - 7y 2 + 9 h - ^ x 2 + 6y 2 + 13 h

11. Con los polinomios:

A (x) = 6 - x 3 - x B (x) =- 8 x 2 + 5 x - 4 C (x) = 6 x 3 - 9 x + 6 x 2 - 7

a) P^xh = 2x 4 - 3x5 - 4 + 2x2 - 5x

D (x) = x 4 + 25 x 2 + 15

c) R^xh = 7x2 - 1 x 4 - 3x5 - x + 1 2

5. ¿Cuántos términos tiene un polinomio completo de quinto grado y una sola variable?

6. Escribe números en los casillleros para que el polinomio sea de cuarto grado, completo y ordenado. P (x) = 7x + x - 6x + 7x - 10

7. Calcula la suma.

a) ^ 6a - 7b + c h + ^ - 4b + 3c h

b) ^ 5a - b - 3c h + ^ a - b + 7c h c) b 1 a - 2 b - c l + b 1 a - 1 b + 2 c - d l 3 4 3 3 2 ! ! 4 d) b - a + 0, 6b - 5c l + b 5a + 0, 2b + 1 c l 5 8

8. Calcula P (x) + Q (x) . a) P (x) = ^2x 4 - x 3 + 2x2 - 3x + 7h Q (x) = ^- 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + 4x - 4h b) P (x) = ^5x5 - 3x 4 - x + 10h

Q (x) = ^- 3x5 + 4x 4 - 3x2 + x - 2h

58

C (x) = 5 x 3 + x 2 - 16

mio es completo. b) Q^xh = 3x 3 + 2x2 - x 4 + x - x5

58

A (x) = 6 x 3 - 7 x 2 - 6 x + 3 B (x) = x 2 - 5 x + 9

b) Q (x, y) =-2x 5 - x 2 y 2 + 8x 3 + 2 2

9. Con los polinomios:

calcula: a) A - B

c) D - C

b) C - B

d) D - B

12. Calcula. a) De x 2 - 3x resta -5x - 3 . b) De x 2 + y 2 + 3x y resta - y 2 + 3x 2 + 4x y . c) De y 2 + 6y 3 - 8 resta 2y 4 + 3y 2 - 6y . d) De x 4 + 9xy 3 - 11y 4 resta -8x 3 y + 6x 2 y 2 - 20y 4.

13. Con los polinomios: A (x) = 1 x 3 + 4 5 B (x) = x 3 3 C (x) = 3 x 3 2

2 x2 3 1 x2 + 2 1 x2 + 2

1x+2 2 1x-1 3 1x+4 4

calcula: a) A + (B - C) b) (A - C) + B

c) ^ A + B h - ^ A + C h d) ^ B - C h + ^ C - A h

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19. Expresa el perímetro de las siguientes figuras me-

5x + 3

a)

2

3

5x

-

d) ^3a2 + ab - 6b2h - P =-5b2 + 8ab + a2

x

15. Escribe el polinomio P que falta. a) b 1 x 3 - 3x y + 2y 2 l + P =- 3x 3 - 1 x y + 1 y 2 2 3 2

b)

2x x + 3

b) b 2a 3 - 1 b 3 l - P =- 5 a 3 + 2a 2 b - 1 b 3 2 9 9

d) b 8 m 2 + 1 mn - 5n 2 l - P = 3 mn - 1 n 2 4 3 4 4

16. Con los polinomios:

–– Creo oportunidades para que los estudiantes desarrollen el pensamiento crítico.

3

c) b - 3m 2 - 2 mn + 9n 2 l + P =- 2 mn + 9n 2 5 5

Pocas veces.

-1

x2 - 7 x2 - 5

20. El perímetro de la figura es

x4 + 3x3 + 7x2 + 5x + 3. Calcula la expresión que corresponde al lado L. -5

P ^ x h = 10 x 2 - x + 18

2x

3x

Q ^ x h = 13 x 2 - 7 x - 12

a) Calcula la suma P ^ x h + Q ^ x h y comprueba evaluando para x = 2.

b) Calcula la diferencia P ^ x h - Q ^ x h y comprueba evaluando para x =- 3.

17. Con los polinomios:

2

4x

+x

–– Preparo material complementario para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los temas. Muchas veces.

x2 + 2x - 1

x

c) ^m + n - ph + P =- 3n + 4m + 5p

+

b) ^6a2 b - 8a 3h - P = 7a2 b + 5ab2

diante un polinomio. (Antes de obtener el polinomio tendrás que reducir los términos semejantes).

x

a) ^ x2 - 5xh + P =- x2 + 6

+2

14. Escribe el polinomio P que falta.

Mi desempeño como docente

-

5

x2 + x 2

3

L

4

x

x

+

x

+

Pocas veces. –– Valoro la responsabilidad en la presentación de los trabajos prácticos.

3

-2

Muchas veces.

x

Muchas veces.

21. Escribe el polinomio que expresa el área coloreada

Pocas veces.

de cada una de las siguientes figuras.

P ^ a, b h = 1 a 3 b + a 2 b - 2 ab 2 + 3 b 3 2 5 Q ^ a, b h =- 2 ab 2 + 2 a 2 b - b 3 + 3 a 3 b 4 3

ATotal = 5 x 2 + 1 x - 1 2 2

a) 1x 2

a) Calcula la suma P ^ a, b h + Q ^ a, b h y comprueba

x

evaluando para a = 2; b =- 1 .

b) Calcula la diferencia P ^ a, b h - Q ^ a, b h y comprueba evaluando para a = 2; b =- 1 .

b)

x 3x 2

18. Calcula.

3x 2

a) De a2 - ab resta la suma de ab + b2 con a 2 - 5b 2 . b) De -7x2 y resta la suma de 4x y2 - x 3 con 5x 2 y + y 3 . 3

5x - 1

c)

x 3x - 1

2

c) De a - 1 resta la suma de 5a + 6a + 4 con 2a 3 - 8a + 6.

2x

x

3x

d) De x 2 + x + 1 resta la suma de 2x 2 - x + 3 con - x 2 + 2x - 4. 2x

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59

59

Sobre las actividades 22. Escribe en los casilleros los términos que faltan.

2

- 8x + 5x - 5x 3 -

+ 6x - 5

2x 3 + 6x 2 -

+6

d) P (x) = k x 6 + k x 3 + k x + k

28. Expresa el perímetro de las siguientes figuras mediante un polinomio. a)

23. De qué polinomio se debe restar Q(x) para obtener el polinomio R(x).

a) Q ^ m h = 6m 2 - 5m + 8 R ^ m h = 3m 2 - 17m + 15 3 2 b) Q ^ x h = x - x + x - 1 2 3 4 5 3 2 R^ x h = x - x + x - 1 4 2 2

b)

2x

2x

3x

2x2 + 1

2x

3x

29. En una empresa el costo de la mano de obra para producir u unidades es M = 4 u 2 - u + 5 , y el costo de los materiales es W = 2 u 2 + u + 6 .

24. Matemática

y lenguaje. Indica cuáles de las siguientes instrucciones se pueden cumplir y cuáles no. Explica por qué.

a) Escribe un polinomio de dos variables, de grado 7 y que tenga un término de grado 3.

Luego, k debe ser igual a 1.

b) Escribe un polinomio de cuatro variables, de grado 3 y que tenga un término de grado 4. c) Escribe un polinomio completo de tres términos, una variable y dos grados. d) Escribe un polinomio de tres variables, de grado 3 y sin término independiente.

25. Pensamiento crítico. Escribe verdadero (V) o falso (F) al lado de cada afirmación. a) Un polinomio homogéneo es siempre completo. b) Un polinomio es una suma algebraica de monomios no semejantes. c) Todos los términos de un polinomio tienen grados distintos. d) Los coeficientes de un polinomio no son necesariamente números naturales.

26. Si P (x) tiene grado 5 y Q (x) tiene grado 2, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios: a) P (x) + Q (x) b) P (x) - Q (x)

60

60

c) P (x) = 9x 5 + k x 2 + k x - k

2x2 + x + 3a

b)

+3

b) P (x) = k x 4 + k x 3 + 4

x2 + a

3x 3 + 3x 2 -

3

k$1 +1 +3$1+1 = 6 k+1+3+1 = 6 k+5 = 6 k = 6-5 k=1

- 6x - 5

x2 + a

+ 2x -

a) P (x) = k x 7 + x 3 + 3x + 1

5x - 1

3

P ^ x h = kx7 + x 3 + 3x + 1 7

+ 4x 2 - 3x +

5x - 1

–– Actividad 27. Por ejemplo, en el inciso a) se debe sustituir x por 1, igualar a 6 y determinar el valor de k.

que si se lo evalúa para x = 1 se obtiene 6.

a)

–– Actividad 25. a) Un polinomio homogéneo no siempre es completo. b) La afirmación es correcta. c) No, todos pueden tener el mismo grado. d) Correcto.

27. Calcula el valor de k en cada polinomio sabiendo

5x - 1

–– Actividad 23. Hay que sumar el polinomio R con el polinomio Q.

a) Determina el polinomio que representa el costo total C de u unidades si C = M + W. b) Determina el costo total cuando se producen y venden 15 unidades.

30. Una fábrica de embalajes de cartón produce su caja tradicional que tiene las siguientes proporciones.

2 x + 20

2x

x

a) Expresa con un polinomio la cantidad mínima de cartón necesaria para fabricar el embalaje. b) Si x = 30 cm , ¿cuáles son las dimensiones del embalaje? c) Si x = 30 cm , ¿qué cantidad de cartón (en cm2) se necesita para construir 8 cajas?

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Matemática y valores

Responsabilidad

Valores RESPONSABILIDAD

Utiliza tus conocimientos sobre polinomios para realizar cálculos relativos a la demanda energética del cuerpo y al valor energético de los alimentos.

Las actividades se plantean en un contexto de responsabilidad porque las personas pueden utilizar el saber científico y matemático para tomar decisiones acerca de su alimentación, decisiones que tienen consecuencias sobre su salud.

El metabolismo basal El metabolismo basal (MB) es una medida de la cantidad de energía, en kilocalorías por día (kcal/día), que requiere nuestro cuerpo para funcionar cuando está en reposo, pero no dormido. Sin embargo, como no pasamos todo el día en reposo, nuestro requerimiento de energía es en realidad más alto que el metabolismo basal. El metabolismo basal depende del sexo, la masa, la estatura y la edad. Su valor se puede calcular de manera aproximada mediante los polinomios de Harris Benedict:

El calculo del metabolismo basal permite conocer la cantidad de kilocalorías que requiere cada persona de acuerdo con su edad y contextura física (descrita mediante su peso y estatura). Si conocemos nuestro metabolismo basal y sabemos cómo calcular el valor energético de los alimentos, podemos tomar decisiones informadas acerca de nuestra alimentación.

Hombres: 66, 473 + 13, 751 m + 5, 0033 h - 6, 55 e Mujeres: 665, 51 + 9, 463 m + 1, 8 h - 4, 6756 e Donde m es la la masa (en kg); h, la estatura (en cm); y e, la edad (en años),

31. Calcula el metabolismo basal de los miembros de tu familia. 32. Calcula el metabolismo basal de un hombre adulto a sus 20 años, 35 años y 50 años, suponiendo que su estatura de 1,75 m, y su peso, de 72 kg, no varían. ¿Aumenta o disminuye?

33. Calcula tu metabolismo basal y el de cuatro de tus amigos. El valor energético de los alimentos El valor energético de los alimentos se calcula a partir de los gramos de carbohidratos, grasas y proteínas que contienen. Carbohidratos (c)

Proteínas (p)

Grasas (g)

4 kcal

4 kcal

9 kcal

Por 1 gramo

Por consiguiente, la energía que proporciona un alimento se representa mediante el siguiente polinomio: Valor energético = 4c + 4p + 9g . El resultado nos informa de la cantidad de kilocalorías (kcal). Las letras c, p y g corresponden al peso en gramos de los carbohidratos, proteínas y grasas, respectivamente.

34. Calcula el valor energético de los siguientes alimentos. Alimento

Cantidad

Carbohidratos

Proteínas

Grasas

Valor energético = 4c + 4p + 9g

Leche

100 ml

12,5 g

1,7 g

1,8 g

4 $ 12, 5 + 4 $ 1, 7 + 9 $ 1, 8 = 73 kcal

Avena

40 g

26,8 g

6,4 g

2,5 g

Fideos

100 g

63 g

12,0 g

16 g

Flan

100 g

98 g

0g

0g

Leche en polvo

30 g

11,6

7,5

7,8

ENSURE*

100 g

54,8 g

14,0 g

31,2 g

*Suplemento alimenticio

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61

Sugerencia de temporalización

4

Febrero

Polígonos, circunferencia y círculo

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores En las ciudades de nuestro país se realizan diferentes construcciones viales en bien de la colectividad. Estas se entregan limpias, “en orden” y con todos los elementos necesarios para que puedan ser utilizadas. Lamentablemente, no pasa mucho tiempo hasta que esas obras están deterioradas: sucias, pintarrajeadas y con sus señalizaciones deterioradas o destruidas. Esperamos que los estudiantes aprecien los bienes y servicios públicos, que los cuiden y los respeten y, sobre todo, que sepan que la razón de ser de aquellos es mejorar la calidad de vida de las personas.

62

Los puentes trillizos En la ciudad de La Paz se han construido los puentes trillizos, los cuales unen cuatro zonas. El puente Independencia mide 215 m y conecta la zona de IV Centenario con la Avenida de Los Leones. El puente Unión, que mide 195 m, une la Avenida de Los Leones con la zona de San Jorge. El puente Libertad, de 233,5 m, vincula San Jorge con el barrio de Cotahuma. Antes de que estos puentes fueran construidos, un automóvil podía demorar 25 minutos en ir desde IV Centenario hasta Cotahuma. Ahora una persona puede ir caminando en la mitad de ese tiempo. Los puentes permiten trasladarse rápidamente, pero son también un bonito lugar para pasear y mirar la ciudad.

62

• ¿Qué tiempo tarda en cruzar los puentes un automóvil que se mueve a una velocidad promedio de 40 km/h? ¿Cuántas vueltas da su rueda de 50 cm de diámetro? • ¿Cuál es la obra pública de tu ciudad que más aprecias tanto por su utilidad como por la experiencia de estar en ella?

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Sugerencias metodológicas El profesor debe establecer si los estudiantes pueden utilizar los términos geométricos con propiedad; por ejemplo, si diferencian y utilizan correctamente los conceptos de círculo y de circunferencia.

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Posibles dificultades en la unidad

ReCUeRDA 1. En el siguiente polígono irregular:

Elementos de un polígono rno

inte

ma

ote

ap

diag

á

–– Es posible que el estudiante necesite recordar algunos conceptos elementales de geometría

E

onal

lo ngu

F

A

vértice radio

centro

lado

B

D C

–– El posible que el estudiante necesite recordar y practicar algunas técnicas de trazado utilizando instrumentos geométricos.

a) Indica los lados y los vértices.

•

Lado: segmento de recta que limita al polígono.

b) Traza todas las diagonales.

•

Vértice: punto donde se unen dos lados.

c) Indica los ángulos internos.

•

Ángulo interno: ángulo formado por dos lados consecutivos dentro del área del polígono.

•

Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

2. En el siguiente polígono regular: B C

A

Un polígono regular tiene además: •

Centro: punto que equidista de los vértices

•

Radio: segmento que une el centro con un vértice.

•

Apotema: segmento trazado desde el centro al punto medio de cualquier lado del polígono.

E

Vocabulario matemático

D

a) Indica el centro. b) Traza el radio. c) Traza el apotema.

Ángulo externo Ángulo interno

Algunas rectas notables del triángulo

I es el incentro (intersección de bisectrices)

C es el circuncentro (intersección de mediatrices)

Las mediatrices son las rectas perpendiculares en el punto medio de cada lado.

Arco

b) Las bisectrices

a) Las mediatrices C

I

C

Apotema

3. En los triángulos dibuja: N

Área Círculo P

A

B

Circunferencia Circunferencia circunscrita

M

Circunferencia inscrita

Las bisectrices son las rectas que dividen cada ángulo interno en dos ángulos de igual medida.

Polígono cóncavo Polígono convexo

4. Señala los ángulos adyacentes que se observan

Ángulos adyacentes Ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen un lado en común y suman 180º.

a

Polígono

b

a + b = 180c

en la figura. A

Sector circular

B C E D

a y b son adyacentes

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63

63

Más información

Clasificación de los polígonos

Polígonos Un polígono es una figura geométrica cerrada limitada por segmentos de recta. Los polígonos tienen nombres especiales según su número de lados. Los que tienen 9 lados se denominan eneágonos; los que tienen 10 lados, decágonos; de 11, undecágonos; de 12, dodecágonos; si tienen 13, 14 o más lados se denominan, simplemente, polígonos de 13 lados, de 14 lados, etc.

Recursos

En un polígono cóncavo, la prolongación de al menos un lado pasa por el interior del polígono.

Según sus ángulos Un polígono es convexo si cada uno de sus ángulos internos mide menos de 180c. Un polígono es cóncavo si al menos uno de sus ángulos internos mide más de 180c.

130o

115o

50o

70o 140o

150o

Polígono convexo

240o 255o

225o 66o

Polígono cóncavo

Polígono convexo

Polígono cóncavo

Según sus lados y sus ángulos Un polígono es regular si sus lados tienen la misma medida y sus ángulos internos también. Un polígono es irregular si al menos uno de sus lados y/o al menos uno de sus ángulos internos es distinto de los otros.

Actividades –– Traza un polígono irregular de 4 lados cuyos ángulos interiores midan 70c , 110c , 70c y 110c . –– Mide los ángulos interiores de cada polígono e indica si es cóncavo o convexo.

Polígono irregular

Polígono regular

Polígono regular

Polígono regular

1. Clasifica cada polígono en cóncavo o convexo y en regular o irregular. a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

2. Traza un polígono de lados iguales y ángulos internos diferentes. ¿Es cóncavo o es convexo?

b)

Tic Clasificación de polígonos. Hay que arrastar cada nombre hasta el polígono que le corresponde. Polígonos cóncavos y polígonos convexos. Debajo de cada polígono hay que escribir “cóncavo” o “convexo”.

64

3.

Pensamento crítico. Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Un polígono puede tener dos lados.

c) Todos los polígonos convexos son irregulares.

b) Todos los polígonos regulares son cóncavos.

d) Hay polígonos cóncavos de lados iguales y ángulos internos desiguales.

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Sugerencias metodológicas Como una forma de realizar una introducción al tema, pida a los estudiantes que nombren a los polígonos según su número de lados. Muéstreles polígonos de 8, 7, 6, 5, 4 y 3 lados. Indique que no puede haber un polígono de menos de 3 lados.

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Más información

Área de un polígono

Algunas precisiones sobre los polígonos

Polígonos regulares el área de un polígono regular está dada por las siguientes fórmulas:

Perímetro $ apotema 2 lado $ N.c de lados $ apotema Área = 2

lado

apotema

Área =

–– El área de un polígono irregular se puede calcular descomponiendo el polígono en triángulos y calculando el área de cada triángulo mediante la fórmula de Herón.

Triángulos

–– En un polígono regular, las medidas del apotema, el radio y el lado están relacionadas. Por ejemplo, no es posible que el lado tenga una cierta medida y el apotema pueda tener cualquier otra medida. Se debe tener presente este hecho en el momento de “inventar” polígonos para plantear ejercicios y problemas.

Para calcular el área de un triángulo cualquiera cuyos lados miden a, b y c podemos usar la fórmula de Herón. s ^s - ah ^s - bh ^s - ch donde: s = a + b + c 2 A=

b

a c

Polígonos irregulares Para calcular el área de un polígono irregular, lo dividimos en triángulos y calculamos el área de cada uno de ellos. el área total será la suma de las áreas de los triángulos. A1

A2

A = A1 + A2 + A3 A3

Recursos

1. Calcula el área del triángulo y la del polígono irregular. a)

b) 3 cm

Actividades

2 cm 2,5 cm

3,5 cm

Calcula el área del siguiente pentágono regular tomando las medidas necesarias.

4

cm

3 cm 4,5 cm

4,5

cm

2,5 cm

2,5 cm

2. Calcula el área de los siguientes parques.

,3

40

m

23

m

m

37

22

,5

m

m

40

16 m

35 m

40

24 m

c) 20 m

b)

m

a)

40

m

40 m

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Tic Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que, trabajando en parejas, dibujen polígonos irregulares e, individualmente, calculen el área a partir de medidas tomadas (también individualmente) por ellos mismos. Luego, pídales que confronten sus resultados. Incluso si no han cometido errores de cálculo, obtendrán resultados distintos que surgen de las diferencias en las medidas tomadas.

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Área de polígonos. En cada casilla se escribe la expresión que corresponde al área de un polígono. Polígonos y áreas. En cada polígono se escribe la operación que le corresponde.

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Más información

Suma de ángulos internos

Suma de ángulos internos A medida que el número de lados de un polígono aumenta, la suma de los ángulos interiores también aumenta.

Si desde uno de los vértices de un polígono convexo trazamos todas las diagonales posibles, la superficie interna del polígono se divide en triángulos.

Recursos Pensamiento crítico e investigación ¿Es posible calcular la suma de los ángulos internos de un polígono cóncavo con la fórmula SAI = ^n - 2 h $ 180c? ¿Por qué? Dibuja un polígono cóncavo, mide sus ángulos internos y comprueba si tu respuesta es válida o no.

Polígono

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

...

N.º de lados

4

5

6

7

8

...

N.º de triángulos

2

3

4

5

6

...

Podemos generalizar la regularidad que muestra el cuadro y decir que un polígono convexo se puede dividir en tantos triángulos como el número de lados menos dos. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180c , entonces:

Un triángulo no tiene diagonales, pero también satisface la fórmula de la SAI.

La suma de los ángulos internos (SAI ) en un polígono convexo de n lados es: SAI = ^ n - 2 h $ 180c Número de lados Cantidad de triángulos

SAI = ^n - 2h $ 180 c SAI = ^3 - 2h $ 180 c SAI = 1 $ 180 c = 180 c

Suma de ángulos de un triángulo

en un polígono regular de n lados cada ángulo interno (AI) mide: AI = 7^ n - 2 h $ 180cA ' n = 180c - 360c n

1. Considera un cuadrilátero, un pentágono, un hexágono, un heptágono y un octógono convexos. a) ¿Cuál es la suma de sus ángulos internos? b) Si además son regulares, ¿cuánto mide cada ángulo interno?

2. Indica cuántos lados tiene un polígono convexo cuya SAI es: a) 900c

3.

b) 1 260c

c) 1 620c

Pensamiento crítico. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o

falsas (F). Explica por qué. a) La SAI de cualquier cuadrilátero es igual a la SAI de un cuadrado. b) Los AI de un pentágono regular miden la mitad que los del decágono regular. c) existe un polígono convexo cuya SAI es igual a 1 350c.

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Sugerencias metodológicas Tic Suma de ángulos internos. Se arrastran medidas de ángulos hasta el ángulo correspondiente.

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Pida a los estudiantes que (individualmente o en parejas) expliquen (oralmente o por escrito) la deducción, expuesta en el libro, de la fórmula de la SAI, o que intenten crear una deducción alternativa de esa fórmula.

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Suma de ángulos externos y suma de ángulos centrales

Suma de ángulos externos Un ángulo externo es cualquier ángulo adyacente a un ángulo interno. Por consiguiente, un ángulo externo está formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo.

ángulo externo

En cada vértice de un polígono hay dos ángulos externos. Estos ángulos son opuestos por el vértice y, por tanto, tienen la misma medida. Por consiguiente, el teorema sobre la suma de los ángulos externos es válido cualquiera que sea el ángulo externo que se considere en cada vértice.

Dos ángulos a y b son adyacentes si juntos forman un ángulo llano.

ángulo central

¿Cuál es la suma de los ángulos externos (SAE) en un polígono convexo? •

en cada vértice el ángulo interno y el ángulo externo suman 180c.

•

Por tanto, si el polígono tiene n lados, todos los ángulos internos y todos los ángulos externos suman: n $ 180c.

•

entonces: SAE = ^ n $ 180c h - SAI SAE = ^ n $ 180c h - 7^ n - 2 h $ 180cA = 180n - 180n + 360c = 360c en cualquier polígono convexo, la suma de los ángulos externos (SAE) es igual a 360c.

Recursos a

en un polígono regular cada ángulo externo (AE) mide: AE = 180c - b 180c - 360c l = 360c n n

b

Actividades

a + b = 180c

Mide los ángulos externos del siguiente polígono y comprueba que se cumple la generalización referida a la suma de los ángulos externos de un polígono.

Por el gráfico es evidente que cada ángulo central mide: Ángulo central = 360c ' n

1. ¿Pará qué polígonos convexos se verifica que SAI = SAE? 2. ¿Cuántos ángulos externos puedes trazar en cada vértice de un polígono? ¿Tienen la misma medida? ¿Por qué?

3. Calcula el valor de los ángulos nombrados con letras. a)

b)

55º

c)

z

120º

y

55º

105º 120º

x

x 143º

96º

x

y

118º

y 119º

70º

50º

4. Traza en tu cuaderno un pentágono, un hexágono, un heptágono, un octógono y un decágono regulares. En cada caso: a) Calcula el valor de un ángulo externo y verifica esa medida en tu dibujo. b) Calcula el valor de un ángulo central y verifica esa medida en tu dibujo.

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que determinen claramente cuáles de las generalizaciones sobre suma de ángulos se cumplen con cualquier polígono convexo y cuáles solo con polígonos regulares.

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Elementos de la circunferencia y del círculo

Radio y ángulo central Si el radio de una circunferencia aumenta, la medida del ángulo central no varía.

Recursos Pensamiento crítico e investigación Al trazar un segmento de recta desde un punto cualquiera de una circunferencia hasta otro punto cualquiera, ¿cuáles de los elementos de una circunferencia podemos estar trazando?

•

Una circunferencia es una línea curva cerrada (situada sobre un plano) cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto llamado centro.

cu n cir

Un círculo es una superficie plana formada por una circunferencia y por todos los puntos situados dentro de ella.

•

el centro es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

•

el radio es un segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

P

•

Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

R

•

el diámetro es un segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. el diámetro equivale a dos radios.

•

Un ángulo central es un ángulo formado por dos radios.

•

Un arco es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Dos puntos sobre la circunferencia determinan dos arcos (ver figura). – –

•

Con medidas de longitud: en este caso la medida del arco es la medida de la parte de la circunferencia que constituye el arco. Con medidas de ángulos: en este caso la medida del arco es la medida del ángulo central correspondiente al arco.

Un sector circular es una superficie determinada por dos radios y el arco correspondiente.

círculo O

O

•

Un arco se puede medir de dos maneras:

ferenc ia

M

a

Q

0

N S

• Centro O • Radio OP • Cuerda MN y cuerda RS • Diámetro PQ • Arco de puntos extremos M y N que no & contiene al punto P: MN

• Arco de puntos extremos M y N que contie> ;; ? ne al punto P: MPN

% • Ángulo central a = MON

& • el ángulo central a subtiende el arco MN .

1. Dibuja una circunferencia de radio 6 cm y señala en ella un diámetro, un radio, un ángulo central y el arco que subtiende, una cuerda y los dos arcos que determina.

2.

Pensamiento crítico. Indica si estás de acuerdo con las siguientes afirmaciones

y explica por qué. a) el diámetro es una cuerda. b) el radio es una cuerda. c) A cada cuerda le corresponden dos arcos. d) el círculo es un sector circular. e) Un arco no puede medir más de 180c.

3.

Investiga. Con tres puntos distintos situados sobre la circunferencia, ¿cuántos arcos puedes formar? ¿Y con cuatro? ¿Y con n puntos?

4. ¿Cuáles de estos elementos pueden tener distintas medidas en una misma circunferencia? Radio

Cuerda

Diámetro

Arco (en grados)

Ángulo central

5. En dos círculos diferentes, dos ángulos centrales iguales, ¿subtienden arcos iguales (medidos en grados)?, ¿y medidos en unidades de longitud?

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que, organizados en grupos, señalen los diferentes elementos del círculo y la circunferencia.

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Posiciones relativas: punto, recta y circunferencia

Diámetro y recta secante De un punto con respecto a una circunferencia Dada una circunferencia, un punto puede situarse en diferentes posiciones. •

A es un punto interior a la circunferencia.

•

B es un punto de la circunferencia.

•

C es un punto exterior a la circunferencia.

El diámetro de una circunferencia está contenido en una recta secante.

El centro, O, es un punto interior.

B

O C

A

Recursos

De una recta con respecto a una circunferencia

Actividades

Dada una circunferencia, una recta puede situarse en tres posiciones: Una recta es secante si tiene dos puntos de contacto (A y B) con la circunferencia.

Una recta es tangente si tiene solo un punto P de contacto con la circunferencia.

Dibuja una circunferencia y traza rectas secantes, tangentes y exteriores.

Una recta es exterior si no tiene ningún punto común con la circunferencia.

tangente secante O

r O

B

O

P

exterior

A

el radio r que también pasa por P es perpendicular a la recta tangente en ese punto. es decir, toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

1. Observa la figura del margen e indica la posición relativa de cada una de las rectas respecto de la circunferencia.

2. Traza en cada caso una circunferencia de r = 4 cm y una recta cuya distancia al centro de la circunferencia sea d. Determina si tal recta es secante, tangente o exterior a la circunferencia. La distancia d corresponde al segmento que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a la recta. a) d = 2 cm

b) d = 3 cm

c) d = 4 cm

d) d = 5 cm

e) d = 6 cm

3. A partir de la actividad anterior deduce la relación entre el radio r y la distancia

u

v O

r

s w t

d para las tres posiciones relativas de una recta y una circunferencia. Posición de la recta respecto de la circunferencia

Relacion entre el radio r y la distancia d

Secante Tangente exterior

4. Dos rectas son tangentes a una circunferencia (en puntos distintos) y son paralelas entre sí. Si unes los puntos de tangencia con un segmento, ¿qué es de la circunferencia ese segmento? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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69

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Posiciones relativas de dos circunferencias

Tres circunferencias Los conceptos que describen las posiciones relativas de dos circunferencias (concéntricas, interiores, tangentes, etc.) pueden aplicarse a tres circunferencias, de tal modo que esos conceptos sean válidos para cualquier pareja de ellas.

Recursos Pensamiento crítico e investigación –– ¿Dos circunferencias concéntricas pueden ser exteriores? –– ¿Tres circunferencias exteriores de dos en dos pueden ser tangentes exteriores de dos en dos?

Dos circunferencias ocupan diferentes posiciones relativas según sea la relación entre sus radios, r y r’, y la distancia, d, entre sus centros. Circunferencias concéntricas. Una está dentro de otra. No tienen puntos comunes, tienen el mismo centro y distinto radio. La distancia d entre sus centros es cero: d = 0 .

Circunferencias tangentes interiores. Una está dentro de otra y tienen un solo punto común. La distancia d entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios: d = r - r l.

Circunferencias interiores. Una está dentro de otra. No tienen puntos comunes ni tienen el mismo centro. La distancia d entre sus centros es menor que la diferencia entre sus radios: d 1 r - r l .

r’ r

r’ r A

d r

d r’

Circunferencias secantes. Tienen dos puntos de contacto. La distancia d entre sus centros es mayor que la diferencia de sus radios, pero menor que su suma: d 2 r - r l y d 1 r + rl .

d

Circunferencias tangentes exteriores. Una está fuera de la otra y tienen un único punto común. La distancia d entre sus centros es igual a la suma de sus radios: d = r + r l .

r

A r’

Circunferencias exteriores. Una está fuera de la otra y no tienen ningún punto en común. La distancia d entre sus centros es mayor que la suma de los radios: d 2 r + r l .

B r d

r’ A

d r

r’

1. Dibuja dos circunferencias que cumplan la condición dada e indica la posición relativa entre ellas. a) d = r + r l ; r = r l

c) d = 0; r = 2 r l

e) d 2 r + r l ; r = r l

b) d 1 r + r l ; r = r l

d) d 1 r - r l ; r = 2 r l

f)

d = r - rl; 3 r = 2 rl

2. Dibuja tres circunferencias, A, B y C, que cumplan las siguientes condiciones. a) A y B son secantes, A y C son interiores, C y B son exteriores. b) A y B son tangentes interiores, A y C son tangentes interiores, B y C son tangentes exteriores. c) A y B son concéntricas, B y C son secantes, A y C son secantes.

3. Tenemos dos circunferencias, una de radio 3 cm y otra de radio 4 cm. La distancia entre los centros de estas circunferencias es de 4 cm. a) ¿Pueden ser tangentes exteriores? ¿Y tangentes interiores? b) ¿Qué posición relativa ocupan?

70

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Sugerencias metodológicas –– Dibuje varias circunferencias en la pizarra y pida a los estudiantes que identifiquen la posición relativa de varias parejas de ellas. –– Pida a los estudiantes que comparen conceptos identificando similitudes y diferencias. Por ejemplo, ¿cuáles son las características comunes y las características diferentes en las circunferencias interiores y las circunferencias concéntricas?

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Más información

Longitud de una circunferencia y de un arco

El número r Longitud de una circunferencia

El número r = 3, 14159... es un número irracional, es decir, un número que no se puede representar como el cociente indicado de dos números enteros.

el perímetro de un círculo corresponde a la longitud de la circunferencia que lo delimita. Si extendemos una circunferencia y la comparamos con su diámetro, encontramos que la longitud de la circunferencia (C) es un poco más que tres veces la longitud del diámetro (D). C

El número r tiene infinitas cifras decimales, pero el valor aproximado 3,1416 es suficiente en la mayoría de los cálculos.

C

D

D

D

D

La relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro se representa con la letra griega r (pi), cuyo valor es un número irracional, un decimal no periódico con infinitas cifras decimales. r=

longitud de la circunferencia = 3, 141592... longitud del diámetro

Por lo tanto: r = C & C = r D & D

C = 2 r r pues D = 2 $ radio

Coherencia de unidades Cuando se aplica la fórmula de la longitud de un arco, la medida del radio puede estar expresada en cualquier unidad, y la medida resultante del arco tendrá las mismas unidades que la medida del radio.

3,14159265358979 323846264338329 750288419716939 937510582097494 459230781640628 620899862803482 5342117067982148 086513282306647 09384460955058 223172535940...

Longitud de un arco Un arco está determinado por un ángulo central a. Si a la circunferencia le $ corresponde un ángulo central de 360c, al arco AB le corresponde el ángulo a. entonces, la longitud L del arco está dada por:

Recursos Actividades

Longitud de la circunferencia $ 360c 2 r r $ 360c _ _ L = 2r r a 360c Longitud del arco $ a L$a

Traza una circunferencia de r = 1 pulgada y determina la longitud de la circunferencia.

1. Traza con compás dos circunferencias, mide el radio de cada una y calcula su circunferencia.

2. Traza una circunferencia de radio r y calcula su longitud. a) r = 2, 5 cm

b) r = 3 cm

c) r = 3, 5 cm

3. Calcula la medida del radio, dado el valor C de la circunferencia. a) C = 45 cm

b) C = 82 cm

c) C = 25 r cm

4. Traza una circunferencia de radio r y en ella un ángulo central b . Calcula la longitud del arco determinado por el ángulo central. a) r = 4 cm; b = 60c

b) r = 3, 5 cm; b = 80c

c) r = 4, 2 cm; b = 145c

5. Indica la longitud que debe tener el radio para que un ángulo central b determine un arco de longitud L. a) L = 45 cm; b = 25c

b) L = 25 cm; b = 50c

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c) L = 50 cm; b = 100c

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que obtengan varios valores experimentales del número r , midiendo el borde y el diámetro de distintos objetos circulares y obteniendo el cociente que resulta de dividir la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro.

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Más información

Área de un círculo y de un sector circular

Área del círculo y área del sector circular

Área de un círculo •

Cuantos más lados tiene un polígono regular, más se parece a una circunferencia y el apotema se aproxima cada vez más al radio.

•

en un polígono de infinitos lados el apotema coincidirá con el radio del círculo. Por lo tanto: A8 =

r

a=

a

a

m ote

ap

6 lados

longitud de la circunferencia $ radio perímetro $ apotema & A5 = 2 2

8 lados

r

r a

a

A5 = 2 r r $ r & A5 = r r2 2

entonces:

10 lados

12 lados

perímetro

A

Un sector circular está determinado por un ángulo central a. Si a un círculo le corresponde un ángulo central de 360c, al sector circular AOB le corresponde el ángulo central a.

dd

e la circunfe re

radio

r a

r

a

O r

16 lados B

2 r r 2 $ 360c Área del círculo $ 360c _ _ Asc = r r a 360c Asc $ a Área del sector circular $ a

Actividades Calcula el área de la región sombreada determinada por los círculos de la figura.

1. Deduce una fórmula para calcular el área de una corona circular si el radio del

corona circular

círculo menor es r y el del círculo mayor es R.

2. Traza un círculo de radio r y calcula su área. cm

itu

ia

Área de un sector circular

Recursos

15

radio = r

nc

–– A cada posible valor del área de un sector circular corresponden infinitas medidas del radio (ya que el área de un sector circular está determinada tanto por el radio como por el ángulo a que forma el sector).

Observa los polígonos regulares inscritos en circunferencias de igual radio.

l on g

–– A cada posible valor del área de un círculo corresponde una sola medida del radio.

a) r = 5 cm

10 cm

b) r = 2, 5 cm

r

c) r = 3, 3 cm

R

d) r = 3, 5 cm

3. Traza un círculo de radio r y en él un ángulo central b . Calcula el área del sector circular determinado por el ángulo central. a) r = 4, 5 cm; b = 60c

b) r = 2, 4 cm; b = 75c

c) r = 3, 8 cm; b = 135c

4. En un círculo de 10 cm de radio, ¿cuánto debe medir el ángulo central b para que el sector circular tenga el área A? a) A = 200 cm 2

b) A = 100 cm 2

c) A = 75 cm 2

5. Halla el área de cada región coloreada. b)

a)

c)

m

c 1,4

d)

m

10 m

5

m

80º

15

25 m

21 cm

126º 60º 30 cm

72

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Sugerencias metodológicas Los estudiantes deben trabajar con instrumentos geométricos (compás, transportador, regla, etc.).

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Más información

Circunferencia circunscrita

Mediatriz La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Una circunferencia está circunscrita en un polígono si toca todos sus vértices, es decir, si la circunferencia encierra al polígono.

En un triángulo el centro de la circunferencia circunscrita se encuentra en el circuncentro del triángulo. Para trazar una circunferencia circunscrita:

Figura 1

radio

circuncentro

O

O

dio ra

1.º Traza la mediatriz de cada lado del triángulo. el punto de intersección de las mediatrices es el circuncentro O (figura 1).

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus lados.

Figura 2

2.º Traza la circunferencia haciendo centro en el circuncentro O y con un radio igual a la distancia entre O y cualquier vértice (figura 2).

Recursos Actividades

En un polígono regular el centro de la circunferencia circunscrita se encuentra en el centro del polígono y su radio es el segmento que une ese centro con cualquiera de los vértices.

Figura 3

1.º Halla el centro O del polígono regular trazando un par de mediatrices o un par adecuado de diagonales (figura 3).

Traza la circunferencia circunscrita a un pentágono de 1,5 pulgadas de radio.

Figura 4

O io

O rad

2.º Haciendo centro en O, traza la circunferencia cuyo radio es el segmento que une O con cualquier vértice del polígono (figura 4).

1. Traza un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2,5 cm y circunscribe una circunferencia en él.

2. Traza un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm y cuya hipotenusa mida 5 cm. Circunscribe una circunferencia en ese triángulo.

3. Circunscribe una circunferencia en cada polígono regular. a) en un cuadrado

b) en un pentágono

c) en un heptágono

4. Reproduce el diseño formado por circunferencias circunscritas en una serie de pentágonos regulares.

5.

Pensamiento crítico. Reflexiona y responde.

a) ¿es posible circunscribir una circunferencia en algún polígono irregular? ¿Por qué? b) ¿es posible circunscribir una circunferencia en algún polígono cóncavo? c) Si la circunferencia circunscribe a un polígono regular de muchos lados, ¿cómo es la relación entre el apotema del polígono y el radio de la circunferencia?

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Sugerencias metodológicas Recomiende a los estudiantes que antes de determinar el centro de un polígono mediante alguna técnica de trazado, estimen la ubicación de ese punto.

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Más información

Circunferencia inscrita

Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo también se puede trazar utilizando un transportador.

Una circunferencia está inscrita en un polígono si todos los lados del polígono son tangentes a la circunferencia, es decir, si la circunferencia está dentro del polígono.

Centro de un polígono

En un triángulo

En los polígonos regulares cuyo número de lados es par, se puede determinar el centro mediante la intersección de dos diagonales (segmentos que unen dos vértices opuestos).

el centro de la circunferencia inscrita se encuentra en el incentro del triángulo. Para inscribir una circunferencia en un triángulo: 1.º Traza la bisectriz de cada ángulo. el punto de intersección de las bisectrices es el incentro O (figura 1). 2.º Con una escuadra encuentra el punto de tangencia M y el radio de la circunferencia inscrita (figura 2).

Figura 1

Actividades –– Traza un polígono de 12 lados utilizando un transportador e inscribe en él una circunferencia. –– Traza una circunferencia circunscrita y otra inscrita en un decágono.

Figura 3

incentro

O

O

3.º Haciendo centro en el incentro O, traza la circunferencia inscrita de radio OM (figura 3).

Recursos

Figura 2

O radio

radio M

M

En un polígono regular el centro de la circunferencia inscrita se encuentra en el centro del polígono y su radio es el apotema del polígono. Para inscribir una circunferencia en un polígono regular: 1.º Traza las mediatrices de dos lados para encontrar el centro O y el punto M (el punto medio de uno de los lados) (figura 4). 2.º Haciendo centro en O, traza la circunferencia cuyo radio es el apotema OM del polígono (figura 5).

Figura 4

Figura 5

O M

O M

M

M

1. Inscribe una circunferencia en los siguientes triángulos. a) equilátero

b) Isósceles

c) Rectángulo

d) escaleno

2. Inscribe una circunferencia en los siguientes polígonos regulares. a) Cuadrado

3.

b) Pentágono

c) Hexágono

d) Octógono

Investiga. Descubre una manera de trazar una circunferencia inscrita en un

rombo.

4. Inscribe una circunferencia de 4 cm de radio en un cuadrado. 5.

Investiga. Dibuja un triángulo cualquiera y traza en él una circunferencia inscrita y otra circunscrita. ¿Cómo debe ser un triángulo para que la circunferencia inscrita y la circunscrita tengan el mismo centro?

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que recuerden y practiquen alguna técnica para trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

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Más información

Ángulos en la circunferencia

Medida de un arco Ángulo central

Ángulo inscrito

es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

es el que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro secante. B

B

B 0

A

0 A

% W O = AB = 62c

Su medida es igual a la mitad de su arco. % W O = AB = 100 c = 50 c 2 2

Su medida es igual a la mitad de su arco. % W B = AB = 90 c = 45 c 2 2

Ángulo interior

Ángulo exterior

Ángulo circunscrito

es el que tiene su vértice en un punto interior de la circunferencia.

B

C

0

a) 110c y 36c

Pensamiento crítico e investigación

C

D A

b) 70c y 40c

B

0

–– ¿Cuánto miden los arcos que determinan un ángulo exterior de 90c ?

A

A

Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarca. % % W O = AB - CD = 2 = 90 c - 30 c = 30 c 2

1. Halla el ángulo inscrito en una circunferencia que

Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarca. % % W O = AB - CD = 2 = 250 c - 110 c = 70 c 2

4. Traza una circunferencia de radio 3 cm y dibuja un

abarca un arco de: b) 104c

–– Calcula el ángulo exterior que abarcan los ángulos dados.

B

D

Su medida es igual a la semisuma de los dos arcos que abarca. % % W O = AB + CD = 2 = 80 c + 20 c = 5 0 c 2

a) 40c

Ejercicios

es el que tiene su vértice en un pun- es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus lados son secantes. to exterior y sus lados son tangentes. 0

D

Recursos

A

Su medida es igual a la de su arco.

C

La medida de un arco es la medida del ángulo central respectivo.

Ángulo semiinscrito

es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos rectas secantes.

ángulo exterior. c) 82c

a) Determina con transportador la medida del ángulo y de los arcos que abarca.

d) 148c

2. Calcula el ángulo interior de una circunferencia

b) Calcula su medida aplicando la regla respectiva a las medidas de los dos arcos.

que abarca dos arcos de: a) 90c y 30c

c) 60c y 120c

b) 48c y 72c

d) 110c y 30c

3. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y marca un diámetro AB. Señala un punto P de la circun% ferencia y calcula APB .

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5.

Pensamiento crítico. Calcula los ángulos señalados. W B

W D W C

W A

75

Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que diferencien los diferentes ángulos en la circunferencia realizando trazados rápidos a mano alzada.

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Más información Área de figuras complejas Para calcular el área de figuras complejas, estas deben analizarse como composiciones (por adición o sustracción) de figuras geométricas básicas. De este modo, el área de una figura compleja resulta de la adición o sustracción de áreas de figuras básicas.

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Reducir el problema a otro conocido Simplificamos la resolución de un problema complejo transformándolo en la resolución de un conjunto de problemas más simples. Calcula el área de la región de color anaranjado. Debemos encontrar el área de la región anaranjada, compuesta por dos zonas que tienen forma de media luna, pero que no son semicírculos. No sabemos cómo calcular directamente el área de una media luna, pero podemos reducir el problema a otros dos más simples.

4 cm 5 cm

1.º Obtenemos el área total de las regiones de color celeste restando el área de un triángulo al área de un semicírculo.

-

4

3

3 cm

=

radio = 2,5

Recursos

r $ 2, 5 2 A4 = = 9, 8 cm 2 2

Actividades Calcula el área de las regiones sombreadas.

A4 = A4 - A4 A 4 = 9, 8 cm 2 - 6 cm 2 = 3, 8 cm 2

2.º Obtenemos el área total de las regiones anaranjadas restando el área de los sectores de color celeste al área total de los semicírculos de color marrón.

2

-

=

5

1,

5 cm

=

=

io

d ra

dio

3 cm

ra

a)

b)

A 4 4 $ 3 = 6 cm 2 2

2 r $ 1, 5 2 A4 = r $ 2 + = 9, 8 cm 2 2 2

A 4 = 3, 8 cm 2

A4 = A4 - A4 A 4 = 9, 8 cm 2 - 3, 8 cm 2 = 6 cm 2

el área total de las regiones anaranjadas es de 6 cm2. Podemos verificar este resultado revisando nuestro razonamiento y nuestros cálculos.

8 cm

1. Calcula el área de las regiones coloreadas. a)

b)

d) 2 cm

5 cm

e)

2,5 cm

2 cm

76

76

2 cm

2 cm

c)

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Recursos

Taller de Matemática el tangrama ovoide

Pensamiento crítico e investigación

1. Construye las piezas del tangrama ovoide.

–– Busca una manera de construir con regla y compás el tangrama elipsoidal.

Trabaja sobre un material adecuado: cartulina gruesa, cartón, madera o goma eva. •

Dibuja una circunferencia de centro O, traza en ella dos diámetros perpendiculares y determina los puntos A, B y O’.

•

Traza los segmentos AOl y BOl y prolóngalos. % • Con centro en A y radio AB traza el arco BQ . Con centro en B $ y radio AB traza el arco AP . $ • el punto P es la intersección del arco AP con la semirrecta BP. % el punto Q es la intersección de BQ con la semirrecta AQ . $ • Con centro en O’ y radio OPl traza el arco PQ . •

Remarca los arcos que forman el ovoide.

•

Determina las superficies que corresponden a las fichas del tangrama y recórtalas. P

–– Utilizando las piezas del tangrama anterior forma figuras interesantes.

Q O'

A

O

B

2. Arma las siguientes aves.

3. Construye tus propias figuras utilizando todas las piezas del tangrama ovoide.

4. Existen muchas variedades de tangrama. Fíjate en la figura y construye el tangrama con forma de corazón.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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77

77

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 7. Hay que relacionar los conceptos de ángulo interior y ángulo exterior de un polígono.

1. ¿Qué polígonos son convexos y cuáles cóncavos? a)

7. Calcula el valor de los ángulos indicados con las letras a, b y c .

c)

a)

c

b)

110o

68o

c

b

100o

75o

–– Actividad 23. Hay que identificar la fórmula que corresponde a cada figura.

b)

115o

a

a

d)

85o

b 100o

8. Calcula el ángulo externo y el ángulo central de un polígono regular de:

2. Traza un polígono:

a) 12 lados.

a) Regular cóncavo de 6 lados.

b) 18 lados.

9. Indica los elementos de la circunferencia que han

b) Regular convexo de 3 lados.

sido denotados.

c) Irregular cóncavo de 5 lados.

A

d) Irregular convexo de 6 lados

3. Calcula el área de cada figura. cm

cm

4

C

b)

2,5

a)

5,2

cm

J

L

b) AB

4 cm 4 cm

5 cm

% e) BCD

c) C % d) AD

a) IG

F

H

K 6 cm

3 cm

D

G

3 cm

c)

B

I

E

f)

g) BK > ;; ? h) BAD

CD

10. Observa la figura e indica. D

5 cm

B C 2 cm

5 cm

4. Calcula la suma de ángulos internos del polígono.

A E

P M

J

G

F

H K

I

N

L

La posición del punto respecto de la circunferencia: a) Punto E; circunferencia pequeña. b) Punto B; circunferencia grande. c) Punto K; circunferencia pequeña.

5. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono regular de 15 lados y el valor de uno de sus ángulos internos.

6. Indica si el polígono convexo existe o no. a) Número de lados: 18; SAI = 3 240c. b) Número de lados: 12; SAI = 1800c.

78

78

La posición de la recta respecto de la circunferencia: d) Recta AD ; circunferencia grande. e) Recta KM ; circunferencia pequeña. f) Recta NP ; circunferencia pequeña. g) Recta LM ; circunferencia grande. h) Recta LM ; circunferencia pequeña.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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11. Dibuja una circunferencia y traza una recta secante roja que no pase por el centro, una recta exterior verde, y dos rectas azules tangentes a la circunferencia.

12. En la siguiente circunferencia se han trazado una recta exterior, una recta secante y una recta tangente. También se han trazado, desde el centro O de la circunferencia, los segmentos perpendiculares a las rectas indicadas.

B O

r

b) OB

19. En un círculo de 12 cm de radio calcula: a) el área del círculo. b) el área de un sector circular determinado por un ángulo central de 54c. c) el área de un sector circular determinado por un ángulo central de 224c. a)

–– Promuevo la creatividad en la realización de trazados con instrumentos geométricos. Muchas veces.

20. Calcula el área de la región coloreada. A

b)

Pocas veces.

r

r

c) OC

4

r

13. Traza: a) Dos circunferencias concéntricas, una de 3 cm de radio y otra de 2,5 cm de radio. b) Dos circunferencias tangentes interiores, una de 3,5 cm de radio y otra de 2,5 cm de radio. c) Dos circunferencias secantes cada una de 3 cm de radio.

14. Considera dos circunferencias, una de 5 cm de radio y otra de 3 cm de radio. Indica la relación entre ellas cuando la distancia d de entre sus centros es tal que: a) d 2 8 cm

d) d = 0 cm

b) d = 8 cm

e) d 1 2 cm

c) d = 2 cm

f) 2 cm 1 d 1 8 cm

–– Promuevo la aplicación de los conceptos matemáticos a situaciones y objetos de la vida diaria.

cm

3 cm

C

Compara la longitud de los segmentos OA , OB y OC con el radio r y escribe el signo 1, 2 o = según corresponda. a) OA

Mi desempeño como docente

6 cm

Muchas veces.

21. Circunscribe una circunferencia en: b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm. c) Un cuadrado de 5 cm de lado. d) Un pentágono regular cuyo radio mida 4 cm.

Pocas veces.

a) Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y cuyo lado diferente mida 3 cm. b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm. c) Un pentágono de 4 cm de radio. d) Un octógono de 5 cm de radio.

23. Determina la medida de los ángulos a y b en las figuras. a)

de radio y la de otra cuyo radio mide el triple que el de la anterior. ¿En cuánto aumenta la longitud de una circunferencia cuando el radio se triplica?

45o

C

c)

D

A

gulo central de 125c en una circunferencia de 8 cm de diámetro?

18. ¿Cuánto mide el ángulo que en una circunferencia de 10 cm de radio determina un arco de 10 cm de longitud?

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246o

a

114o

A

b)

d)

B a

B

110o

E

C

b

A

a

C

B

85o

16. ¿Cuál es el radio y el diámetro de una circunferen17. ¿Cuál es la longitud del arco determinado por un án-

–– Preparo material didáctico para explicar los temas. Muchas veces.

22. Inscribe una circunferencia en:

15. Calcula la longitud de una circunferencia de 2 cm

cia de 46 cm de longitud?

Pocas veces.

a) Un triángulo equilátero de 2,5 cm de lado.

148o

D 88o C

40o B

D

a A

79

79

Sobre las actividades ocupa cada color en esta baldosa de forma hexagonal.

b) Circunferencias exteriores del mismo centro. c) La longitud de un sector circular. d) Un ángulo circunscrito determinado por arcos de 80c y 70c.

a

34,6 cm

a) el área de una circunferencia.

35. Calcula el área que

36. Calcula el perímetro y el área de cada figura. a)

25. Investiga. ¿Cuánto mide el tercer lado de un trián-

c)

50o

2,7 m

1,3 m

gulo de 6 cm2 de área y dos lados de 3 cm y 4 cm?

26. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular de 50 cm2 de área, lado de 4 cm y apotema de 5 cm?

60o

27. Halla el número de lados de un polígono regular con el ángulo central indicado. b) 27c 41\ 32, 3_

28. En una circunferencia de 14 cm de diámetro: a) Calcula la longitud de un arco determinado por un ángulo central de 72c. b) Calcula el área de un sector circular determinado por un ángulo central de 135c.

29. Una circunferencia tiene 12 cm de radio.

d)

b)

8m

a) 36°

8m

–– Actividad 34. Se debe aplicar el concepto de longitud de una circunferencia.

y Lenguaje. Explica por qué las siguientes frases son vacías, es decir, por qué no designan ningún concepto ni objeto matemático.

82,5 m

–– Actividad 30. Si un polígono tiene un número impar de lados, el centro se determina mediante la intersección de mediatrices. El método de intersección de diagonales es inaplicable en este caso.

24. Matemática

3,2 m

–– Actividad 24. Todas las construcciones lingüísticas de esta actividad encierran contradicciones conceptuales. Los estudiantes deben mostrar y explicar esas contradicciones.

30 m 8m

37. ¿Qué superficie tiene la señal de tránsito?

b) ¿Cuál es el perímetro del hexágono inscrito?

30. Circunscribe una circunferencia de 5 cm de radio

62 cm

a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado circunscrito?

en un polígono regular de 9 lados.

PARE

31. Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio circuns-

32. Traza: a) Un ángulo inscrito cuyo arco mida 64˚. b) Un ángulo semiinscrito cuyo arco mida 165˚. c) Un ángulo interior cuyos arcos midan 50˚ y 20˚. d) Un ángulo exterior cuyos arcos midan 75˚ y 40˚. e) Un ángulo circunscrito cuyos arcos midan 250˚ y 110˚.

33. Un ángulo exterior de una circunferencia mide 26˚ y uno de los arcos mide 84˚. ¿Cuánto mide el otro arco?

26 cm

38. Calcula la superficie de la cara en forma de hexágono regular de esta tuerca. El diámetro del agujero central es igual a la longitud del lado. El lado mide 7 mm y el apotema 6,1 mm.

39. Calcula la superficie de esta letra U. 2 cm

2 cm 6 cm

6 cm

crita a un cuadrado. ¿Cuánto miden el perímetro y el área del cuadrado?

34. Calcula la longitud que ha recorrido una bicicleta cuando su rueda de 64 cm de radio ha dado 100 vueltas.

80

80

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Proyecto socioproductivo

Valores

Las señalizaciones de tránsito

Es frecuente ver señalizaciones de tránsito dañadas, empapeladas o con inscripciones ajenas a su finalidad.

La situación de la cual surge nuestro proyecto Las señalizaciones de tránsito que se colocan en las ciudades están destinadas a regular el movimiento de automóviles y personas y a dar la información que se necesita para moverse en el ambiente urbano. Su finalidad es hacer que la vida en la ciudad sea más fácil y que la convivencia sea más respetuosa y ordenada.

El propósito de este proyecto es que los estudiantes ayuden a las personas de su comunidad a tomar conciencia de las consecuencias negativas que tiene la destrucción de señalizaciones.

Sin embargo, es frecuente que no reconozcamos el valor de las normas incorporadas en las señalizaciones; a veces, porque creemos que ninguna norma puede oponerse a nuestros fines particulares; otras veces, porque pensamos que esas normas son inútiles y es mejor no reconocerlas. este desprecio por las normas se refleja en la forma en que tratamos las señalizaciones de tránsito: las destruimos o colocamos papeles sobre ellas. Hay personas que las roban para venderlas como material.

El propósito de nuestro proyecto

Las acciones de este tipo afectan a la economía de los municipios, impiden la comunicación útil y necesaria, expresan negligencia hacia las necesidades y el bienestar de las personas y fomentan una cultura de desprecio hacia los bienes comunes.

estimar el costo que implica la destrucción de las señalizaciones de tránsito e informar a la comunidad de nuestros resultados. Deseamos fomentar el respeto por las señalizaciones y por las normas que comunican.

Nuestras actividades •

elegir algún sector de la ciudad o alguna avenida importante y determinar la cantidad y formas de las señales de tránsito.

•

Realizar las mediciones pertinentes (o estimar las medidas visualmente) de tal modo que tengamos los datos necesarios para calcular el área de cada tipo de señalización.

50 cm

50 cm

40 cm

20 cm

20 cm

40 cm

50 cm

40 2 - 20 2 = 20 3 cm ^40 $ 6 h $ 20 3 A= = 4 156, 9 cm 2 2

p = 50 + 50 + 50 = 75 2 A = 75 $ ^75 - 50 h3 = 1 082, 5 cm 2

a=

•

Calcular el área aproximada total de las señalizaciones.

•

Averiguar el costo del material del cual están hechas las señalizaciones y el precio de ese material. Por ejemplo. ¿cuál es el precio del metro cuadrado de plancha de fierro de 6 mm de espesor?

•

Calcular el costo aproximado total de todas las señalizaciones y, por tanto, el costo de destruirlas físicamente o arruinar su función.

•

Informar a la comunidad de nuestros resultados, según el propósito de nuestro proyecto.

•

evaluar lo que hicimos bien o mal en la realización del proyecto, o lo que podríamos haber hecho mejor.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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80 cm

A = 80 $ 20 A = 1 600 cm 2

81

81

Repaso acumulativo 1

Sobre las actividades –– Actividad 2. El valor de la expresión se calcula respetando la jerarquía de operaciones. –– Actividad 5. El volumen de un prisma recto de base cuadrada o rectangular se calcula con la siguiente fórmula:

1. Indica si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). (El signo d se lee: “pertenece al conjunto”).

b) 7 ! Q c) 12 ! Z

g) 0, 125 z N

d)

2 !Q

b) Tienen el mismo signo y la misma parte literal. c) Tienen la misma parte literal.

3

h) - 3 ! Q

d) N.A.

C

8. Indica el resultado de la siguiente operación:

-^a + bh + ^- a - bh - ^- b + ah + ^3a + bh

2. Indica el valor de la siguiente expresión:

^ - 3 h2 + ^ - 2 h ^ - 2 h3 - 27 - 32 - 5 + 1 - 3 0 ^- 3 h $ 2 + ^- 1 h3 b2 l -2 1+ 9 +

V = largo $ ancho $ alto –– Actividad 9. El signo - delante de un signo de agrupación cambia el signo de todos los términos que están dentro de los signos de agrupación; el signo + no los cambia.

a) Tienen el mismo coeficiente.

e) 1 ! Q 3 f) 10 z Z

a) - 6 ! N

a) 0

3

b) 1

d) Ninguna de las anteriores.

3. Indica el valor de la siguiente expresión:

4. Expresa en lenguaje algebraico: “La raíz cuadrada de la mitad de la suma de un número y ocho”. n +8 2

c)

b)

n +8 2

d) N.A.

a) 1 x 2 2

b) 1 x 2 6

c) 6x 2

d) N.A.

ponentes se:

d) N.A.

a)

d) N.A.

10. Al multiplicar potencias de la misma base, los ex-

0, 142857142857... + 58 ' ^ - 29 h 14 c) -7

c) a

- ; 1 x 2 + 2 x + b - 2 x 2 - 1 x lE + 5 x 2 3 3 4 12

c) -1

b) 7

b) -b

9. Indica el resultado de la siguiente operación:

a) 0

a) 0

7. Dos o más términos son semejantes si:

a) Multiplican.

c) Restan.

b) Suman.

d) N.A.

11. Indica el resultado de la siguiente operación:

n+8 2

1 3 2 3 2 ;^- 5ab h b 5a l E 2 a) - a 25b

5. Indica la suma de los volúmenes de los cuerpos.

12 b) 25b2 a

c)

b2 25a 2

d) N.A.

12. Indica el resultado de la siguiente operación: x 3x + 5

2x

+

2

x +1 2 x +1 2

a)

3x

+

0, 04x 4 y2 - 1 x 2 y 5 1 x 9 ^- 5y h10 3 3

1

2

a) x -1 y -10

8 x 3 + 4 x2 + 25 x + 1 51 71 2

c) 51 x 3 + 71 x2 + 25 x + 1 4 2 8

b) el grado del término de mayor grado.

d) N.A.

d) N.A.

a) -25

b) 18

c) 35

d) N.A.

a) el mayor de los coeficientes. c) La suma de los exponentes.

^ 3x 2 - y h ^ a 3 - x h 6. Indica el valor numérico de x - y + 2a - 1 para x = 1; y =- 2; a =- 3 .

14. Indica el valor del polinomio para los siguientes números asignados a sus variables: x =- 1; y = 2 . P ^ x, y h = 5x 3 - 3x 2 y + 1 xy 2 + y 3 2

d) N.A. a) -5

82

c) 0

13. El grado de un polinomio está determinado por:

b) 51 x 3 - 71 x2 - 25 x - 1 4 2 8

82

b) - 1

b) 5

c) 1

d) N.A.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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15. Indica el resultado de P - ^Q + Rh si:

P ^ x h = 7x 3 - x 2 + 3x - 6 Q ^ x h = 6x 2 - 8x + 3 R ^ x h = 9x - 8 a) 7x 3 + 7x2 - 2x + 1

c) 7x 3 - 7x2 + 2x - 1

b) 7x 3 - x2 - 2x - 1

d) N.A.

16. El número de lados de un polígono convexo cuya suma de ángulos internos es igual a 900c es: a) 9

b) 7

c) 8

d) N.A.

17. Indica el área del triángulo 35

10. Cuerda máxima de una circunferencia. 11. Segmento de recta que limita un polígono. 12. La expresión 1 se denomina _______ de a. a 13. Figura plana cerrada limitada por varios lados. 14. el _________ algebraico expresa la información mediante letras y números. 15. el primer conjunto de números que el ser humano inventó. 16. Circunferencia que rodea a un polígono.

m

15 m

17. Longitud del borde de un polígono.

26 m

a) 107, 4 m

c) 177,4 m

b) 207,7 m2

d) N.A.

2

9. Segmento que une un punto de la circunferencia con su centro.

Actividad 18. El perímetro de una figura geométrica es la medida del contorno de la figura.

2

18. a + ^ b + c h = ^ a + b h + c es la propiedad _______. 19. Parte de una circunferencia. 20. Números que no se expresan como fracciones.

18. El perímetro y el área de la figura son:

21. Números racionales y números irracionales. 1

40c

2

6 cm

3

24 cm

a) 90 cm y 270 cm2

c) 100 cm y 120 cm2

b) 98 cm y 170 cm2

d) N.A.

4 5 6

19. Llena el crucigrama.

7

Dos grandes problemas que afectan al mundo

8

1. Segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.

9 10

2. en la división de potencias de la misma base, las potencias se _________.

11

3. Circunferencia dentro de un polígono.

12

4. Punto de unión de dos lados de un polígono.

13

5. Se dice de dos circunferencias que tienen un punto común.

14

6. el cero es el elemento ________ de la adición.

16

7. Mayor potencia de la variable de un polinomio P(x).

17

8. Al proceso de asignar un número a la variable de un polinomio P(x) y realizar el cálculo se denomina _____.

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15

18 19 20 21

83

83

Sugerencia de temporalización

5

Febrero

Multiplicación y división de polinomios

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores La responsabilidad es uno de los valores fundamentales. Una persona responsable puede cuidar de otros y de sí misma. En la medida en que nuestras acciones y decisiones están influidas por nuestras creencias, el conocimiento es un factor que contribuye a la responsabilidad.

El riesgo de la velocidad Cuando un automóvil choca, su velocidad disminuye rápidamente desde la velocidad que tenía inmediatamente antes de chocar hasta cero. Lo mismo ocurre cuando un objeto cae desde cierta altura: al llegar al suelo su velocidad se hace nula en fracciones de segundo. La comparación anterior nos sugiere que chocar a una cierta velocidad equivale a caer desde una cierta altura. Para un pasajero sin cinturón de seguridad, la experiencia de chocar en un automóvil que lleva una velocidad de 100 km/h equivale a caer desde una altura aproximada de 40 metros.

84

• Si un cuerpo cae desde una altura h (en metros), llega al suelo con una velocidad v (en m/s) de modo tal que v 2 = 20 h . ¿Corrobora esta fórmula la información del texto? • Si las personas no tienen derecho a arriesgar la vida de otros, ¿por qué lo hacen tan frecuentemente?

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Sugerencias metodológicas Los estudiantes deben adquirir seguridad y precisión en la realización de multiplicaciones y divisiones de polinomios. Para alcanzar ese objetivo es importante que los ejercicios que les proponga estén adecuadamente organizados por su grado de dificultad. No es recomendable plantear ejercicios muy extensos.

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Posibles dificultades en la unidad

RECuERDA Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción Si a, b y c son números reales:

a $ ^b ! ch = a $ b ! a $ c

Esta propiedad se puede aplicar de forma consecutiva: ^a ! bh $ ^c ! dh = ^a ! bh $ c ! ^a ! bh $ d = = ac ! bc ! ad ! bd

División exacta y división entera Divisón exacta

División entera

Dividendo divisor (0) cociente

Dividendo divisor (residuo) cociente

D = d$c

D = d$c+r

1. Calcula aplicando la propiedad distributiva una

Los estudiantes tendrán dificultades con la multiplicación y división de polinomios si no tienen dominio de los procedimientos para multiplicar y dividir monomios.

vez o de forma consecutiva. a) 7 ^ 3 - 5 + 3 h

b) 2 ^ 4 - 6 + 9 - 24 h 3 c) - 1 ^ 8 - 4 - 16 + 36 h 4 d) ^ 5 + 9 h ^ 8 + 6 h

e) b 1 - 3 l ^ 8 - 4 h 2 4 1 f) b + 1 l ^ 8 - 4 + 12 - 36 h 2 4

Vocabulario matemático

2. Realiza las divisiones y escribe la relación entre los términos. a) 38 2

c) 35 4

Cociente

b) 144 36

d) 147 12

Cociente de potencias de la misma base Dividendo

Algunas propiedades de operaciones en Q. •

•

a!b = a ! b c c c a a ' c = b = a$d b d c b$c d

•

a $ c = a$c b d b$d

con b ! 0; d ! 0

Jerarquía en las operaciones combinadas: 1.º Multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparecen. 2.º Adiciones y sustracciones, en el orden en que aparecen.

Ley de signos y signo de una fracción - a = + a =+ a -b +b b • - + a =- - a =+ + a =+ - a =+ a -b +b +b -b b • + a = - a =- a -b +b b a a + • + =+ =- - a =- + a =- a b -b +b -b +b •

3. Calcula.

Divisor

a) 2 + 8 3 3

2+3-5 7 7 7

f)

b) 3 $ 6 5 7

g) 3 $ 5 + 1 $ b - 5 l 4 5 6 2

c) 4 ' 6 5 7

h) 4 ' 6 $ 1 + 3 5 7 2 4

Evaluación de polinomios

d) 5 - 11 6 12

i)

1'2'3'4 2 3 4 5

e) 8 $ 3 9 5

j)

4 - -5 $ 4 + -5 5 b 4l 5 b 4l

Factores Producto Producto de potencias de la misma base Regla de Ruffini Resto o residuo Teorema del resto

4. Simplifica la fracción y coloca su signo. a) - 6 -3 18 b) +6 c) + 24 - 18 + 45 d) + 35

e) - - 12 - 60 f) - - 144 + 36 + g) - 72 - 18 h) - + 24 + 96

i) + - 24 - 63 j) - - 24 - 28 k) - - 42 - 48 l) - - 36 - 48

Podemos omitir la escritura del signo + .

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Tic Repaso de polinomios. Actividades de conocimientos previos en las que hay que elegir la respuesta correcta.

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Más información

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Pautas para multiplicar polinomios

Considera los dos rectángulos cuyas medidas se indican en el dibujo.

–– En la multiplicación de un monomio por un polinomio se aplica la ley de signos de la multiplicación. –– Al multiplicar coeficientes fraccionarios es conveniente realizar simplificaciones siempre que sea posible. –– Al multiplicar las partes literales se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias de la misma base: a m $ a n = a m + n .

m

m x

y

El área del rectángulo azul es: m $ x . El área del rectángulo anaranjado es: m $ y .

Por lo tanto, el área total de ambos rectángulos es: ^ m $ x h + ^ m $ y h . Si colocamos lado a lado el rectángulo azul y el anaranjado formamos un nuevo rectángulo cuyos lados miden m y x + y.

Multiplica los signos correctamente cuando distribuyas el monomio en los términos del polinomio.

m x

y

El área de este nuevo rectángulo es: m $ ^ x + y h .

Como el nuevo rectángulo resulta de unir los otros podemos concluir que su área es igual a la suma de las áreas de los otros dos: m $ ^ x + y h = mx + my

Esta última expresión es equivalente a la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. En general:

- 3 x (- 7 x 2 - 2 x + 3 ) = = + 3x $ 7 x2 + 3x $ 2x - 3x $ 3

ax $ ^ by + cz + ... h = ^ ax $ b y h + ^ ax $ c z h + f

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

- (a - b) = - a + b - (a + b) = - a - b - (- a - b) = a + b

1. Multiplica el número (monomio de grado cero) por el polinomio. 3 $ ^ x 3 + 7 x 2 - 5 x + 2 h = 3 $ x 3 + 3 $ 7x 2 - 3 $ 5 x + 3 $ 2 = = 3x 3 + 21x 2 - 15x + 6 a) 6 $ ^ x2 - 9x + 11h

b) - 9 $ ^a 3 - 6a2 - 3a + 8h

c) - 12 $ ^- 5x2 + 8x - 6h d) - 8 $ ^4x2 y - 7xy2 - 5h

2. Multiplica el monomio por el polinomio, horizontal y verticalmente. Horizontalmente 2x 2 y $ ^ 4xy 2 - 2y + 5x h = = 2x 2 y $ 4xy 2 - 2x 2 y $ 2y + 2x 2 y $ 5x = = 8x 3 y 3 - 4x 2 y 2 + 10x 3 y a) 3m $ ^ 4m + 2 h

b) - 5a $ ^ - 8b + 6c h

Verticalmente 4xy 2 - 2y + 5x # 2x 2 y 3 3 2 2 8x y - 4x y + 10x 3 y

c) - 7x $ ^ 3x - 6x 2 - 7 h

d) - 16p $ ^ 3p + 5p - 8p h

86

2

3

e) 6ab $ ^ - 9ab - 11a + 9b h

f) - 5a 2 b 2 $ ^ - 9a - 1 b + 5ab - 1 + a - 1 b - 1h ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Es conveniente que la multiplicación de un monomio por un polinomio de pocos términos se realice en forma horizontal. –– Elabore para el aula un cuadro con las propiedades de las potencias. Señale en el cuadro la propiedad que se usa para multiplicar un monomio por un polinomio.

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Recursos

3. Multiplica el monomio por el polinomio. a) - 3a b 2a - ab + 5b 2 l 3

f) - 3, 5x y ^ 2x y - 1, 2xy - 6, 1xy h

b) 6a b - 7a - 1 a + 3 l 2 2

g) 3 ab 2 b 0, 5a 3 - 4 a 2 b 2 + 2, 5b 3 l 4 3

c) 3 p 3 b 4 p 2 + 1 p - 3 l 9 5 2 5

h) - 7 y 2 b - 5 xy - 3 y 3 - 1 y 2 z l 2 7 7 5

d) - 2 x b 1 x 3 - 9 x 2 - 6x - 18 l 2 5 3

i)

1 m 4 n 6mn 4 - 1 m 2 n - 27n 4 b l 3 5

j)

3 5 4 6 10 4 7 bn - 2 n + 5 n - n l b- 3 nl

3

2

2

e) 0, 2x ^0, 3x 3 - 0, 5x 2 + 0, 7x - 0, 5 h

4. Calcula el producto.

2

2

a) x n ^ x 2 + 3x h

d) 12a m ^ 7a m + 3a m - 1 + a m - 2 h

c) - 6x m ^3x2m - 5x m - 9h

f)

b) p a ^3p a - p2ah

Actividades Sean las figuras cuyas dimensiones son:

y

e) ax n ^bx m + cx n - 2x + x1 - nh

1 x a 2 x a + 1 + 4x a + 2 - 6 x a + 3 l 2 b3 5

c z

$ ^ 2 x 2 + 6 x - 1 h = 14 x 5 + 42 x 4 - 7 x 3

a) Calcula el área de cada una de las figuras por separado.

Para obtener el monomio es suficiente resolver la siguiente división de monomios: 14x 5 ' 2x 2 = 7x 3 Entonces: 7x 3 $ ^2x 2 + 6x - 1 h = 14x 5 + 42x 4 - 7x 3

b) c) d)

b) Suma las áreas obtenidas en el inciso anterior.

$ ^ x + x 3 + 5 h = a 2 x 2 + a 2 x 4 + 5a 2 x

c) Calcula el área de la figura que se obtiene al juntar las figuras mostradas en los dibujos.

$ ^2b 3 y + 4a 2 b 2 - 4ab h =- 6b 7 y - 12a 2 b 6 + 12ab 5 $ ^ - 3a 3 - 6a 2 b + b 3h =- 12a 4 b - 24a 3 b 2 + 4ab 4 $ ^ t 2 r 2 - 2tr + 5 h =- 5t 8 r 3 + 10t 7 r 2 - 25t 6 r

e) b 6a 2 b + 1 ab - 1 a l $ 2 3

d) Compara las áreas obtenidas en los incisos b) y c).

= 36a 3 b 3 c + 3a 2 b 3 c - 2a 2 b 2 c

6. Descubre el polinomio P faltante. a) 4x $ P = 20x 3 - 24x 2 + 36x b) - 6x 2 y $ P =- 24x 5 y + 18x 4 y 3 + 6x 2 y 4

7.

x b

5. Descubre el monomio faltante.

a)

a

Podemos omitir el signo de multiplicación entre el monomio y el polinomio.

c) 1 ab 2 $ P = 1 a 3 b 2 - 2a 2 b 3 - 3 ab 4 2 2 10 d) - 3 x 2 $ P =- 3x 5 + 6x 3 - 3 x 2 2 4

Investiga. Reflexiona y responde.

a) ¿Cuál es el monomio que multiplicado por un polinomio cualquiera da 0? b) ¿Cuál es el monomio que multiplicado por un polinomio cualquiera da el mismo polinomio?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Multiplicación de polinomios

Propiedades de la multiplicación de polinomios.

Considera los rectángulos cuyas medidas se indican en los dibujos.

–– Conmutativa: P^ x h $ Q^ x h = Q^ x h $ P^ x h

–– Asociativa: P ^ x h $ 6Q ^ x h $ R ^ x h@ = = 6P ^ x h $ Q ^ x h@ $ R ^ x h

–– Elemento absorbente: P^ x h $ N^ x h = N^ x h , donde N^ x h es el polinomio nulo.

x x+y y a

a+b

b

En el dibujo de la izquierda, las áreas de los rectángulos son: = ax

= bx

= ay

= by

Y la suma de estas cuatro áreas es: ax + bx + ay + by .

El área del rectángulo de la derecha es: ^ a + b h ^ x + y h .

Como el rectángulo de la derecha está formado por los rectángulos del dibujo de la izquierda, las áreas son iguales, es decir:

^a + b h ^ x + y h = ax + bx + ay + by

Para multiplicar dos polinomios se distribuye cada término de uno de ellos a cada término del otro.

En general:

^aw + b x + f h $ ^c y + d z + ... h = ^aw $ c y h + ^ aw $ d z h + f + ^b x $ c y h + ^ b x $ d z h + f

El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro polinomio, y sumando después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

1. Halla el producto multiplicando horizontalmente. ^ x 2 + 8 x - 4h ^2 x 3 + 5 x - 1h

Aplicamos la propiedad distributiva considerando el polinomio 2x 3 + 5x - 1 como un número real único.

^ x 2 + 8 x - 4 h ^ 2 x 3 + 5 x - 1 h = x 2 ^ 2 x 3 + 5 x - 1 h + 8 x ^ 2x 3 + 5x - 1 h - 4 ^ 2x 3 + 5x - 1 h

Aplicamos la propiedad distributiva y reducimos términos:

x 2 ^ 2x 3 + 5x - 1 h + 8x ^ 2x 3 + 5x - 1 h - 4 ^ 2x 3 + 5x - 1 h =

= ^ x 2 $ 2x 3 + x 2 $ 5 x - x 2 $ 1 h + ^ 8x $ 2x 3 + 8x $ 5x - 8x $ 1 h - ^ 4 $ 2x 3 + 4 $ 5 x - 4 $ 1 h = = ^2x 5 + 5x 3 - x 2 h + ^16x 4 + 40x 2 - 8x h - ^8x 3 + 20x - 4 h = = 2x 5 + 5x 3 - x 2 + 16x 4 + 40x 2 - 8x - 8x 3 - 20x + 4 = = 2x 5 + 16x 4 - 3x 3 + 39x 2 - 28x + 4 a) ^ 6x - 4 h ^ 5x 2 - 7x + 6 h

e) b 5 m - 6 m 2 + 1 l b 2 m 2 - 6m - 2 l 5 3 3 4 3

c) ^7x 3 + 4x2 y + xy2 + 6y 3h ^ x2 - 9xy + 3y2h

g) b m 3 - 1 m 2 + 3 l b 0, 5 - 2 m + 3, 5m 2 l 4 6 3 ! 2 $ 9 1 2 3 h) b 1, 3 x y - xy l b x + x 2 y + 0, 13 xy 2 - y 3 l 3 5

b) ^ x 2 - 7x + 3 h ^ 8x 2 - x + 12 h

d) b a 2 + 3 a - 1 l b 5 a 2 + 4a - 1 l 3 2 4 2

88

f) b 4 x 2 - 1 x + 2 l b x 3 + 6 x - 1 x 2 l 6 3 5 2 3

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Sugerencias metodológicas –– Es conveniente realizar en forma vertical la multiplicación de polinomios de varios términos. Al multiplicar de esta manera, hay que tener cuidado al ordenar los productos parciales, colocando los términos semejantes en una misma columna. –– La verificación de una multiplicación por el método de evaluación requiere que los cálculos del valor numérico se realicen con mucho cuidado.

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Recursos

2. Halla el producto multiplicando verticalmente. ^3 x 3 - 5 x - 2h ^ x 2 + 3 x - 4h

Actividades Compara el área de la figura 1 y la suma de las áreas de la figura 2.

1.º Ordenamos los polinomios respecto de la misma variable. 2.º Escribimos los productos parciales de tal forma que los términos semejantes queden en columna. Se deja un espacio vacío si no existe el término de un cierto tipo.

x+y+z

3.º Sumamos verticalmente los términos semejantes. (En la práctica se omiten las explicaciones escritas a la derecha). 3x 3 - 5x - 2 x 2 + 3x - 4 - 5x 3 - 2x 2 3x 5 - 15x 2 - 6x 9x 4 3 - 12x + 20x + 8 3x 5 + 9x 4 - 17x 3 - 17x 2 + 14x + 8 a) ^ 6a 2 - 3 h ^ a 2 - 7a + 3 h

z

d) ^ 3x - 6x - 6 h ^3x - 6x - 8 h

a

b

c

h) b 3 x 3 + 6x 2 y - 0, 5xy 2 l b 5 x 2 y - 1 xy 2 l 4 4 2

2

3. Multiplica horizontal y verticalmente. a) ^ x 4 - x + 1 h ^ x 2 + 1 h

d) ^5x2 - x6 + 1h ^ x6 + x2 - 1h

c) ^2x - 1h ^ x - 3x + 5x + 7h

f) ^2x2 + x - 3h ^5x 3 + 4x2 + xh

b) ^ x + 1h ^ x + x - 1h

e) ^3x2 - x + 5h ^2x2 + 3x - 1h

2

3

y

g) b 2 a 3 - 6ab 2 - b 3 l b 1 a 2 - 7ab - 1 b 2 l 3 2 3

2

2

x

f) b 1 x 2 y - 7xy 2 l b 2 x 3 - 6xy 2 - y 3 l 2 3

c) ^ 5x + 6x - 3 h ^ 4x - 7x + 3 h 2

a+b+c

e) ^ 2a 3 - 7ab + a 2h ^ 6a 2 - 7ab - b 2h

b) ^ 4x 2 - 7x + 3 h ^6x 2 - 5x + 9 h 3

! x 2 ^ 3x 3 - 5x - 2 h ! 3x ^ 3x 3 - 5x - 2 h ! - 4 ^ 3x 3 - 5x - 2 h

2

4. Multiplica y comprueba evaluando con valores que tu elijas. ¿Está bien realizada la siguiente multiplicación?

^ 3 x 2 - 6 x y + 8 y 2h ^ 4 x - y h = 12 x 3 - 27 x 2 y + 38 x y 2 - 8 y 3 Para comprobarlo evaluamos los factores y el producto para ciertos valores de sus variables. 3x 2 - 6x y + 8y 2 4x - y

x=2 y=1

x=2 y=1

3 $ 22 - 6 $ 2 $ 1 + 8 $ 12 = 8

4$2-1 = 7

12x 3 - 27x 2 y + 38 x y 2 - 8y 3

x=2 y=1

12 $ 2 3 - 27 $ 2 2 $ 1 + 38 $ 2 $ 1 2 - 8 $ 1 3 = 56

Como 8 $ 7 = 56 la multiplicación está bien realizada. a) ^ 4x 3 - 7x + 3 h ^6x - 7 h

b) ^ 6x 2 - 7xy + 9 h ^ 3x + y h

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c) ^5a2 - 6ab + 2b2h ^a2 + 8ab - b2h

d) ^m 3 - 7m2 + 4m + 9h ^5m2 - 4m - 6h

89

89

Más información

Multiplicación de tres o más polinomios

La propiedad asociativa Hay una cantidad infinita de prismas cuyos lados tienen longitudes dadas por los binomios ^5x - 2h, ^ x + 2h y ^3x2 - 1h . El volumen de estos prismas está determinado por el siguiente producto de polinomios: V = ^5x - 2h ^ x + 2h ^3x2 - 1h

3x2 - 1

La propiedad asociativa de la multiplicación proporciona un método alternativo para comprobar una operación: si obtenemos el mismo producto con otras asociaciones de términos, podemos concluir razonablemente que la operación ha sido bien realizada.

La propiedad asociativa de la mutiplicación de polinomios permite multiplicar más de dos factores. P ^ x h $ 7Q ^ x h $ R ^ x hA = 7P ^ x h $ Q ^ x hA $ R ^ x h

5x - 2

Para multiplicar tres o más polinomios se asocian los factores y se van realizando las multiplicaciones. Si es posible, es conveniente reducir términos semejantes en algunas partes del proceso.

1. Multiplica reduciendo términos semejantes en la parte final del proceso. 5 x ^ x - 3h ^2 x 2 + 3 x - 1h

x+2

Podemos asociar los factores de distintas formas.

Asociamos los dos primeros factores y su producto lo multiplicamos con el tercer polinomio:

75x ^ x - 3 hA ^2x 2 + 3x - 1 h = = 65x 2 - 15x@ ^ 2x 2 + 3x - 1 h =

= 10x 4 + 15x 3 - 5x 2 - 30x 3 - 45x 2 + 15x =

Reducimos términos semejantes: = 10x 4 - 15x 3 - 50x 2 + 15x a) 6x 2 ^ x + 2 h ^ x 2 - 7x - 1 h

b) 4a ^ a - 1 h ^ a - 6a + 3 h 3

2

2

c) - 5x 2 ^ x 2 - 3x h ^ 5x 2 - 6x + 3 h

d) 7x 2 y ^ x 2 - xy h ^ 3x 2 - 6xy + y 2 h

e) - 5a 2 b ^ 3a 2 - b h ^ 12a 2 - ab - b 2 h f) 1 x 3 ^ 6x + 3 h ^ 5x 2 - 6x + 7 h 3

2. Encuentra el polinomio correspondiente al volumen de cada uno de los prismas. Los lados de los prismas satisfacen los polinomios dados. b) 3x 2 - 2

4x

x 2 + 5x + 4

x+

2

x2 + x + 1

3x

a)

3. Indica las dimensiones y el volumen de dos prismas para cada uno de los dibujos de la actividad anterior.

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Sugerencias metodológicas –– En las actividades para multiplicar varios polinomios no proponga polinomios con muchos términos; el procedimiento se hace muy extenso y los estudiantes pierden interés. –– Al verificar una multiplicación mediante el método de evaluación, es conveniente asignar a las letras valores enteros positivos.

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Recursos

4. Multiplica reduciendo términos semejantes en medio y al final del proceso. ^3 x - 1h ^5 x + 2h ^ x - 3h ^2 x + 1h

Pensamiento crítico e investigación

Asociamos los factores y los multiplicamos:

7^3x - 1 h^5x + 2 hA 7^ x - 3 h^2x + 1 hA = = ^ 15x 2 + 6x - 5x - 2 h ^ 2x 2 + x - 6x - 3 h =

–– Determina, sin efectuar la operación, el grado del producto.

Reducimos términos semejantes y multiplicamos los dos polinomios que obtenemos:

^3x 2 - 2x + 10 h ^6x - 8 h $ $ ^ 5x 3 - 2x 2 + x - 1 h

= ^ 15x 2 + x - 2 h ^ 2x 2 - 5x - 3 h =

= 30x 4 - 75x 3 - 45x 2 + 2x 3 - 5x 2 - 3x - 4x 2 + 10x + 6 =

–– Determina el primer y el último término.

Reducimos términos semejantes: = 30x 4 - 73x 3 - 54x 2 + 7x + 6 a) ^ 5x + 2 h ^ x + 7 h ^ x - 5 h ^ 2x + 1 h

d) ^3x - 2h ^ x + 3h ^ x + 1h ^ x + 3h

c) ^a - 2h ^a + 3h ^a - 5h ^a - 1h

f) ^m2 - 2h ^m - 1h ^m2 + 3h ^m2 - 3h

^ a 2 - 6a - 3 h ^ 5a + 3 h $ $ ^ 2a - 1 h

e) ^ x - 1h ^ x - 2h ^ x + 3h ^2x2 - x + 3h

b) ^6 - xh ^7x - 1h ^4x - 4h ^ x + 3h

5. Multiplica.

^ x - 2 h2 ^ x + 3h2 =

= 7^ x - 2 h ^ x - 2 hA 7^ x + 3 h ^ x + 3 hA =

= 6x 2 - 2x - 2x + 4@ 6x 2 + 3x + 3x + 9@ = = 6x 2 - 4x + 4@ 6x 2 + 6x + 9@ =

= x 4 + 6x 3 + 9x 2 - 4x 3 - 24x 2 - 36x + 4x 2 + 24x + 36 = = x 4 + 2x 3 - 11x 2 - 12x + 36 a) ^ x - 1h2 ^ x + 2h2

d) ^a - 2h2 ^a - 3h2

c) ^ x + 5h ^2x - 3x - 1h

f) ^3a2 + 3h ^a - 7h2

2 2 e) ^5a2 - 1h ^a2 + 2h

b) ^2x - 3h2 ^ x - 1h2 2

2

6. Multiplica y comprueba evaluando.

¿Cuál de los polinomios 3 a 3 + 2 a 2 - 19 a + 6 y 3 a 3 + 9 a 2 - 19 a + 6 es el resultado correcto de la operación ^ a - 2 h ^ 3 a - 1 h ^ a + 3 h ? Evaluamos la multiplicación y los posibles productos para a = 3: : ^ a - 2 h ^ 3a - 1 h ^ a + 3 h

a=3

^3 - 2 h ^3 $ 3 - 1 h ^3 + 3 h = 1 $ 8 $ 6 = 48

3

2

a=3

3 $ 3 3 + 2 $ 3 2 - 19 $ 3 + 6 = 81 + 18 - 57 + 6 = 48

3

2

a=3

3 $ 3 3 + 9 $ 3 2 - 19 $ 3 + 6 = 81 + 81 - 57 + 6 = 111

: 3a + 2a - 19a + 6 : 3a + 9a - 19a + 6

El resultado correcto es 3a 3 + 2a 2 - 19a + 6. a) ^ x + 3h ^ x + 1h ^ x + 4h

d) ^a - 3h ^a + 5h ^a2 - a - 7h

c) ^ x + 3h ^ x - 4h ^5x - 1h

f) ^a + 6h ^a2 - 6h ^a2 - 6a + 3h

b) ^2x - 1h ^ x - 1h ^3x + 1h

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e) ^a2 - 1h ^2a + 1h ^a2 + 2a - 1h

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Más información Puntualizaciones sobre la división de un polinomio entre un monomio –– El monomio divisor no puede ser el monomio nulo. –– La regla de signos de la división es similar a la regla de signos de la multiplicación. –– Es mejor que el polinomio dividendo esté ordenado, aunque el resultado será el mismo si no lo está.

División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. by cz ^by + cz + ... h ' ax = ax + ax + f

Ten en cuenta las relaciones entre los signos.

Al dividir los términos del polinomio entre el monomio es conveniente encontrar primero el signo resultante siguiendo la regla de los signos: + =+ + =- =+ - =+ + Y también es importante tener en cuenta la relación entre los signos del numerador y el denominador y el signo que antecede a la fracción: + + a =+ - a =+ - a =+ + + a =+ +b -b +b -b - + a =+b

- + a =+ -b

- -a = +b

- - a =-b

1. Divide el polinomio por el número (monomio de grado cero). ^12 x 2 - 18 x + 9 h ' ^ - 3 h

12x 2 - 18x + 9 = + 12x 2 + - 18x + + 9 =- 4x 2 + 6x - 3 -3 -3 -3 -3

A veces es mejor dejar el cociente indicado.

O también:

3 - 5a = - 5 a2 2a 2

12x 2 - 18x + 9 = 12x 2 - 18x + 9 =- 4x 2 + 6x - 3 -3 -3 -3 -3 a) ^18x2 - 6x + 10h ' ^- 2h b) ^8x - 24x - 56h ' 8 2

c) ^6a2 - 5a + 15h ' ^- 3h

d) ^7a2 - ab + 42b2h ' ^- 7h

2. Divide el polinomio entre el monomio. Si el cociente entre los coeficientes no es exacto, déjalo indicado en forma de fracción.

^6 x 5 + 4 x 4 - 8 x 3 - 7 x 2h ' ^- 2 x h

6x 5 + 4x 4 - 8x 3 - 7x 2 = 6x 5 + 4x 4 - 8x 3 - 7x 2 = - 2x - 2x - 2x - 2x - 2x =- 3x 4 - 2x 3 + 4x 2 + 7 x 2

a) ^9x 3 - 15x2 + 3xh ' ^- 3xh

f) ^8x 8 - 5x7 + 14x6 - 18x5 + x 4 - 18x 3h ' ^- 2x 3h

c) ^28x - 10x - 2x + 12xh ' ^- 2xh

h) ^17p9 - 12p 8 - 10p7 + 15p6 + p5 - 7p 4h ' ^- p 3h

b) ^14x 3 - 7x2 - 21xh ' 7x 4

3

2

d) ^9a7 - 12a6 + 9a5 - 3a 4h ' 3a

e) ^16b6 - 8b4 + 3b 3 + 4bh ' ^- 4bh

92

g) ^ - 16m 8 + 24m 7 - 4m 6 - 10m 5 + 8m 4 h ' 8m 4 i) j)

^36t9 + 144t7 + 18t6 - 72t5 + 27t 4h ' ^- 9t 3h

^- 36t10 - 18t9 + 30t 8 - 6t7 - t6 + 6t 4h ' ^- 6t 4h

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Sugerencias metodológicas –– Muestre que la división de un polinomio entre un monomio se basa en la propiedad distributiva de la división. a!b!c = a ! b ! c d d d d –– Recomiende a los estudiantes que, al operar con coeficientes fraccionarios, simplifiquen sus resultados hasta hallar la fracción irreducible. Y que si la fracción obtenida es irreducible no la sustituyan por el número decimal equivalente.

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3. Divide.

Pensamiento crítico e investigación

1 3 1 2 3 1 b 2 x - 3 x + 2 x l ' b - 12 x l

Escribe términos en los casilleros de manera que se cumpla la igualdad.

Para dividir fracciones podemos multiplicar en forma cruzada. 2 ' - 5 = - 12 = - 4 3 15 5 +6

1 1 1 1 3 1 2 ; 2 ' b - 12 lE x - ; 3 ' b - 12 lE x + ; 2 ' b - 12 lE = = b - 12 l x 2 - b - 12 l x + b - 36 l = 2 3 2

a)

=- 6x 2 + 4x - 18 a) b 2 x 3 3 1 b) b x 4 4

1 x2 + 2 2 x3 + 3

1x ' -2x 4 l b 3 l 1x ' -1x 6 l b 2 l

c) b 2 x 4 5 d) b 2 x 5 3

1 x3 + 4 1 x4 + 2

1 x2 + 2 7 x3 + 2

- 6m 3 + 10m 2 2m = 4m 3 - 3 m 2 + 5 m - 1 2

3 x ' 1 x2 2 l 5 1 x2 ' - 3 x2 4 l b 2 l

b)

4. Divide.

a) ^ 16x 5 y 4 - 8x 3 y 3 + 24x 2 y 4h ' ^ - 8x 2 y 3 h

- 12x 2a - 6x 3a = 46x a a - 2x -

b) ^ 27x 4 y 5 - 81x 3 y 6 - 9x 5 y 7h ' 9x 3 y 2

c) ^ 16a 7 b 3 - 8a 6 b 4 + 4a 5 b 5 - a 4 b 6 - 20a 3 b 7h ' ^ - 4a 3 b 3 h

d) ^ 16ab + 8a 1 b -1 - 4a 2 b -2 - a 3 b -3 + 20a 4 b -4 h ' 0, 5a -2 b -2

5. Divide.

a) ^- 10x a y b + 20x a + 1 y b - 1 - 15x a + 2 y5h ' ^- 5x 3 y 3h b) b 2 x 2m - 5 x 2 + m - 1 l ' b - 1 x m l 2 3 5

c) b 2 a x + 1 - 1 a x - 1 - 2 a x l ' 1 a x - 2 4 5 20 3

d) b 1 x a y b + 20x a + 1 y b + 1 - 3 x a + 2 y b + 2 l ' 1 x a y b 2 2 4

6. Descubre el monomio divisor. - 4 x 6 - 8 x 4 - 10 x 2 =- 2 x 4 - 4 x 2 - 5 Para obtener el monomio es suficiente resolver la siguiente división de monomios: - 4x 6 ' ^ - 2x 4h = 2x 2 6 4 2 Entonces: - 4x - 8x - 10x =-2x 4 - 4x 2 - 5 2x 2

5 3 a) - 4x + 16x - 12x = x 4 - 4x 2 + 3

a+1 a a-1 = x a - 2 - 3x a - 3 + x a - 4 c) 3x - 9x + 3x

7 5 4 b) 15a - 75a - 30a =- a 4 + 5a 2 + 2a

3x 2x x 2 d) a - a - a + a = a 2x - a x - 1 + a 2 - x

7. Descubre el polinomio P faltante. a) P ' 2x 2 = 3x 4 - 5x 2 - 6

b) P ' ^-5xh =-12x 3 + 14x2 + 15x

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c) P ' 10x 2 = 0, 5x -1 - 0, 2x -2 + 0, 3x -3 d) P ' 0, 5x -2 =-6x 3 - 8x 4 + 3x

93

93

=

Más información Puntualizaciones sobre las operaciones combinadas –– En las operaciones combinadas pueden presentarse varios signos de agrupación. Las operaciones situadas dentro de esos signos se realizan primero. –– Las operaciones combinadas tienen varias aplicaciones en temas que se estudiarán en cursos posteriores.

Operaciones combinadas En las operaciones combinadas entre polinomios: •

Respeta la jerarquía de las operaciones.

Las operaciones entre polinomios se realizan respetando la jerarquía de las operaciones. 1.º Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 2.º Adiciones y sustracciones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

•

Suele ser conveniente desarrollar primero las multiplicaciones expresadas como potencias.

•

Hay que reducir términos semejantes siempre que sea posible.

•

Cuando sea lícito realizar dos o más operaciones se las puede hacer en el orden que se juzgue conveniente.

•

Dentro de los paréntesis se opera respetando los criterios anteriores.

1. Calcula la operación combinada con los polinomios dados. Con P (x) = x 4 - 3 x 2 - 5 x + 4 y Q (x) = 5 x 4 + 3 x 2 - 3 realiza 6 P - 2 Q . 6 P - 2 Q = 6 ^ x 4 - 3 x 2 - 5 x + 4 h - 2 ^ 5 x 4 + 3x 2 - 3 h = = 6x 4 - 18x 2 - 30x + 24 - 10x 4 - 6x 2 + 6 = =- 4x 4 - 24x 2 - 30x + 30 Los polinomios: P =- 7 y 3 + 2 y 2 - 5 y + 8 ; Q =- 1 + 3 y - 4 y 2 + 2 y 3 ; R = 5 y 2 - 2 y + 3 . Las operaciones: a) 2P - 3Q - R

2. Simplifica.

b) 4 ^P + Qh - 2R

c) - 2 ^3R - P h + 3 ^Q + 2Rh

a) x - 3 - 2 73a + 2 ^ x + a - 2 hA

b) 5 7a - 3 ^ 4a - 5b hA - 4 73 ^2a - b h - 2 ^ b - 2a hA

c) 2a - - 3x + 2 $ - a + 3x - 2 7- a + b - ^2 + a hA.

d) - 3 ^ x + y h - 4 $ - x + 2 7- x + 2y - 3 ^ x + y - 2 h - 2xA. e) - 3 ^ x - 2y h + 2 $ - 4 7- 2x - 3 ^ x + y hA. - 4 ^ x + 2y h

f) - 4 $ m - 2n - 73n + 2 ^ 2n - m h + 5 ^ 4n - 3m hA. + 5 ^ m - n h

3.

Investiga. Escribe el polinomio con el cual la igualdad es verdadera.

+ ^ 28m 5 - 35m 4 - 49m 3h ' ^ - 7m 3h = 0

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Sugerencias metodológicas –– Recuerde a los estudiantes que si un signo de agrupación está precedido por un número, este número debe multiplicarse por todos los términos del polinomio contenido dentro de los signos de agrupación. –– Recuérdeles también que si un signo de agrupación está precedido del signo - , al eliminar los signos de agrupación cambian los signos, + o - , de los términos (situados dentro de los signos de agrupación); y que si está precedido del signo + , los signos no cambian.

94

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

4. Calcula. ^ x - 3 h ^2 x - 1 h - ^ 4 x 2 - 20 x h ' ^- 2 x h = ^ 2x 2 - x - 6x + 3 h - ^ - 2x + 10 h = Multiplicando y dividiendo:

Ejercicios –– Calcula.

= ^ 2x 2 - 7x + 3 h - ^ - 2x + 10 h =

Reduciendo términos semejantes:

a) ^ x - 7h ^2x2 - 1h ^ x + 7h

= 2x 2 - 7x + 3 + 2x - 10 =

Restando:

b) ^m 2 + mn + n 2 h $

= 2x 2 - 5x - 7

Reduciendo términos semejantes:

$ ^m - nh - n 3

a) ^ x - 4h ^3x + 1h - ^9x - 12x + 6x h ' ^- 3xh 4

3

c) ^a 2 - 2ab + b 2 h $

2

b) ^ x + 3h ^ x2 - 2x - 5h + ^8x 4 - 16x 3 - 8x2 + 4xh ' 4x

$ 7^a - b h^a + b h - ^a 2 + b 2hA

c) ^a2 - 1h ^a2 + 3a - 2h - ^a 8 - a6 + a 4h ' ^- a 4h

–– ¿Qué polinomio es P^ x h si sumado con 2 ^ x 3 - 6x2 - 3h da como resultado el polinomio nulo?

d) ^8m5 - 6m 4 - 26m 3h ' 2m + ^m2 - 1h ^m2 + 1h

5. Calcula.

^ x - 3 h2 - ^9 x 4 - 6 x 3h ' ^ - 3 x h Desarrollando la potencia: Multiplicando y dividiendo: Reduciendo términos semejantes: Restando: Reduciendo y ordenando: a) ^ x + 4 h2 + ^7x 4 - 4x 3 - 6x 2h ' ^ - x h

= ^ x - 3 h ^ x - 3 h - ^ 9x 4 - 6x 3 h ' ^ - 3x h =

= ^ x 2 - 3 x - 3 x + 9 h - ^ - 3x 3 + 2x 2 h = = ^ x 2 - 6 x + 9 h - ^ - 3x 3 + 2x 2 h = = x 2 - 6x + 9 + 3x 3 - 2x 2 = = 3x 3 - x 2 - 6x + 9

b) ^ 2x - 1 h2 - ^ 18x 5 - 42x 4 + 24x 2 h ' 6x 2

c) ^ x + 1 h3 + ^ x - 1 h2 - ^ 5x 6 + 15x 7 - 10x 8h ' ^ - 5x 6h d) ^ 21a 2 + 28a 3 - 7a 4 h ' ^ - 7a 2 h + ^ a 2 - 1 h2 ^ a + 1 h

6. Expresa el perímetro de cada figura como un polinomio. a)

b)

x+5 3x

-1

5 r 3 + 3 r 2 t 2 + 6 rt

3x

-1

x2 + x - 4

7. Expresa el área de la región coloreada mediante un polinomio. c)

a) 3x x2 - 2x + 1

7x

3x + 1 x

5x3 + x2 + 5x + 3

x+2 3x

x 2x2 + 5x + 4

d)

b)

x-1

x

x+4

2

x x+4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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x+3

x+5

95

95

Más información

División de polinomios

El orden de los polinomios Generalmente se recomienda que para dividir un polinomio entre otro se los ordene en forma decreciente, pero ordenándolos en forma creciente el cociente es el mismo.

Para que sea posible dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor. El cociente es un polinomio. El residuo es un polinomio, que puede ser también un polinomio de grado cero (es decir, un número puro).

Divide 6 x 3 - 20 x + 3 x 2 + 3 por 2 x - 3 y 2 x 3 + 40 + 5 x 2 por x + 4 . 1.º Ordenamos en forma decreciente ambos polinomios. Si falta un término, dejamos un espacio vacío. 2.º Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; así obtenemos el primer término del cociente. 3.º Multiplicamos el primer término del cociente por el divisor; el resultado lo restamos del dividendo. 4.º Bajamos el siguiente término del dividendo para formar el nuevo dividendo. 5.º Dividimos el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del divisor. 6.º Realizamos un proceso similar al realizado desde el paso tercero, hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

Divisor 64 74 8 6 x + 3 x - 20 x + 3 2 x - 3 1 44444 2 44444 3

Divisor H 2x + 5x + 40 x + 4 1 44444 2 44444 3

6 x 3 + 3 x 2 - 20 x + 3 2 x - 3 3x2

2x3 + 5x2

6 x 3 + 3 x 2 - 20 x + 3 2 x - 3 - 6x3 + 9x2 3x2

2x3 + 5x2 - 2x3 - 8x2

3

2

Dividendo

12 x 2

División de polinomios. Presentación de Power Point en la que se explica el concepto de división de polinomios y los pasos del procedimiento.

96

2

Dividendo

+ 40 x + 4 2x2

+ 40 x + 4 2x2

- 3x2

6 x 3 + 3 x 2 - 20 x + 3 2 x - 3 3x2 - 6x3 + 9x2 . 12 x 2 - 20 x ! nuevo dividendo

6 x 3 + 3 x 2 - 20 x + 3 2 x - 3 - 6x3 + 9x2 3x2 + 6x 12 x 2 - 20 x 6 x 3 + 3 x 2 - 20 x + 3 2 x - 3 - 6x3 + 9x2 3x2 + 6x - 1 2 12 x - 20 x - 12 x 2 + 18 x - 2x + 3 2x - 3 ^0h ! residuo

2x3 + 5x2 + 40 x + 4 2x2 - 2x3 - 8x2 - 3 x 2 ! nuevo dividendo

2x3 + 5x2 - 2x3 - 8x2

+ 40 x + 4 2x2 - 3x

- 3x2 2x3 + 5x2 - 2x3 - 8x2

+ 40 x + 4 2 x 2 - 3 x + 12

- 3x2 + 3 x 2 + 12 x 12 x + 40 - 12 x - 48 ^- 8h ! residuo

El cociente es C (x) = 3 x 2 + 6 x - 1 .

El cociente es C (x) = 2 x 2 - 3 x + 12 .

El residuo es 0 .

El residuo es - 8 .

96

Tic

3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Explique detalladamente el procedimiento para dividir polinomios. Pida a algunos estudiantes que resuelvan divisiones en el pizarrón. Observe los errores y corríjalos. –– Recuerde a los estudiantes que restar un polinomio equivale a sumarlo con los signos cambiados.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

1. Divide.

a) ^ x2 + 2x - 3h ' ^ x + 3h

b) ^a2 - 20 + ah ' ^a - 5h

c) ^ x + 15 - 8xh ' ^ x - 3h 2

d) ^- 15 - 8y2 + 22y h ' ^2y - 3h e) ^5a2 + 8a - 21h ' ^a + 3h

f) ^2x - x - 3 + 7xh ' ^2x + 3h 4

3

Recursos

g) ^2a 3 - 2 - 4ah ' ^2a + 2h h) ^ x 3 + x2 + 6h ' ^ x - 3h

Ejercicios

^2x - 5x - 6h ' ^ x + 2h

Divide el polinomio 6x 3 - 20x + 3x2 + 3 entre 2x - 3 ordenando ambos polinomios en forma creciente. Compara el resultado con el obtenido en el ejemplo de la página 96.

3

i)

^4y 4 - 13y2 - 3y - 20h ' ^2y + 5h

j)

k) ^5a 4 - a 3 + 2a - 1h ' ^a - 2h

^7x5 - 3x4 + 4x2 - x + 2h ' ^ x - 1h

l)

2. Divide.

a) ^ x 4 - 6x 3 + 17x + 4x 2 - 12 h ' ^ x 2 - x - 4 h b) ^ x 4 - x2 - 2x - 1h ' ^ x2 + x + 1h

c) ^2x5 + 3x 4 - 10x 3 + 10x2 - 7x + 2h ' ^2x2 - 3x + 1h

Pensamiento crítico e investigación

d) ^m5 - 5m 4 + 20m2 - 16mh ' ^m2 - 2m - 8h

e) ^a6 + 6a 3 - 2a 5 - 7a 2 - 4a + 6h ' ^a 4 - 3a2 + 2h

Calcula el polinomio B ^ x, y h que verifica la igualdad:

f) ^ x6 - 5x5 + 31x2 - 8x + 21h ' ^ x 3 - 2x - 7h

A ^ x, y h ' B ^ x, y h = C ^ x, y h

3. Divide.

Los polinomios A y C son los siguientes:

^ - 9 xy 2 + 8 x 2 y + 3 x 3 + 2 y 3 h ' ^3 x - y h Ordenamos de forma decreciente con respecto a la letra x.

A ^ x , y h = 8x 2 y + 3x 3 - 9xy 2 + 2y 3

3x 3 + 8x 2 y - 9xy 2 + 2y 3 3x - y x 2 + 3xy - 2y 2 - 3x 3 + x 2 y

C ^ x, y h = x2 + 3xy - 2y2

a) ^12ab - 8a - 4b h ' ^b - ah

9x 2 y - 9xy 2 - 9x 2 y + 3xy 2

2

- 6xy 2 + 2y 3 + 6xy 2 - 2y 3

^0h

2

b) ^ 5m 2 - 40mn + 60n 2h ' ^ 2n - m h

c) ^3x 3 y - 5xy 3 + 3y 4 - x 4h ' ^ x2 - 2xy + y2h

d) ^4m 3 - m2 n - 2mn2 + n 3h ' ^m2 - n2 - 3mnh

4. Divide y comprueba que también en la división de polinomios se cumple que Dividendo = divisor $ cociente + residuo . 2a 3 - 7a 2 + 13a - 8 2a - 1 a 2 - 3a + 5 - 2a 3 + a 2 2

- 6a + 13a 6a 2 - 3a 10a - 8 - 10a + 5 ^- 3h a) ^ x 3 + x 2 - 14x + 6 h ' ^ x - 3 h

b) ^ 6 + a + 5a - 7a h ' ^ a + 7 h 3

2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Aplicando la propiedad:

dividendo 6 44444 7 44444 8 6 4divisor 7 4 8 6 44cociente 4 7 444 8 residuo F 2a 3 - 7a 2 + 13a - 8 = ^ 2a - 1 h ^ a 2 - 3a + 5 h + ^ - 3 h =

= 2a 3 - 6a 2 + 10a - a 2 + 3a - 5 - 3 = = 2a 3 - 7a 2 + 13a - 8 1 44444 2 44444 3 dividendo

c) ^ 2n - 2n 3 + n 4 - 1 h ' ^ n 2 - 2n + 1 h

d) ^ a 6 - 5a 5 + 31a 2 - 8a + 21 h ' ^ a 3 - 2a - 7 h

97

97

Más información

La regla de Ruffini y el teorema del resto

La regla de Ruffini Para que la regla de Ruffini se pueda aplicar a una división de polinomios, A ^ x h ' B ^ x h , el polinomio divisor B ^ x h debe ser un binomio de la forma x ! a, donde x es un término de primer grado y a es una constante.

La regla de Ruffini Por medio de la regla de Ruffini, o división sintética, se determina el cociente de la división P ^ x h ' ^ x - a h utilizando solo los coeficientes de P ^ x h y el término independiente a del divisor ^ x - ah . Halla el cociente y el residuo de ^ x 4 - 13 x 2 - 15 x - 3 h ' ^ x - 4 h

Esta regla debe su nombre al matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) quien realizó valiosos aportes a la matemática.

1.º Escribimos los coeficientes de los términos del dividendo ordenados en forma decreciente. Colocamos ceros donde faltan términos. Escribimos el término independiente del binomio divisor ^ - 4 h con el signo cambiado. 1

0

-13

-15

1. ra fila

-3

2. da fila 3. ra fila

4

2.º Bajamos el primer coeficiente (1) a la 3.ra fila. Multiplicamos 1 por 4 y el resultado (4) lo colocamos en la 2.da fila, debajo del 0. Después, sumamos 0 y 4 y el resultado (4) va en la 3.ra fila. 1

0

1

4 4

4

-13

-15

-3

3.º Multiplicamos el 4 de la 3.ra fila por el 4 azul y el resultado (16) lo colocamos en la 2.da fila debajo de - 13 . Luego, sumamos - 13 y 16 y el resultado (3) va en la 3.ra fila. 1 4 1

0 4 4

-13 16 3

-15

-3

4.º Aplicamos el mismo procedimiento hasta obtener el residuo. 1 4

0

-13

-15

4 16 12 -3 1 4 3 1 44444 2 44444 3 cociente

-3 - 12 - 15 Z

También es posible examinar la división entre (x + a) porque

^x + ah = 7x - ^- ahA .

residuo

Los coeficentes del cociente son 1, 4, 3, y - 3 , es decir, el cociente es el polinomio x 3 + 4x 2 + 3x - 3 .

El primer término del cociente ^ x 3h tiene un grado menos que el primer término del dividendo ^ x 4h . El resto o residuo es el número - 15 .

Tic 98 Regla de Ruffini. Presentación de Power Point en la que se explica mediante un ejemplo el procedimiento conocido como la Regla de Ruffini. Cuestionario sobre la regla de Ruffini. Se escribe verdadero (V) o falso (F) al lado de cada afirmación.

98

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Pida a algunos estudiantes que salgan al pizarrón a resolver algunas divisiones. Observe los errores y corríjalos. –– Recuerde a los estudiantes que si la base de una potencia es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa; y que la potencia es positiva en cualquier otro caso.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

El teorema del resto

Para calcular el residuo o resto de la división P ^ x h ' ^ x - ah no es necesario realizar la división completa. En general, si

P ^ xh x - a

^Rh C^ x h

entonces P ^ x h = ^ x - a h $ C ^ x h + R .

Si evaluamos esta última expresión para x = a tenemos que:

P ^ah = ^a - ah0 $ C ^ah + R & P ^ah = 0 $ C ^ah + R & P ^ah = R

Pensamiento crítico e investigación

Una división es exacta si el residuo es igual a cero.

Determina el valor de k para que el polinomio x 3 + 3x2 + kx + 1 sea divisible entre x - 1 .

El residuo de la división P ^ x h ' ^ x - a h es igual al resultado de evaluar el polinomio P ^ x h para x = a .

Cuando P ^ah = 0 , entonces el residuo es cero y la división es exacta. Aplica el teorema del resto a la división ^ x 4 - 13 x 2 - 15 x - 3 h ' ^ x - 4 h.

Si evaluamos el polinomio dividendo ^ x 4 - 13x 2 - 15x - 3 h para el término independiente del binomio divisor ^ x - 4h cambiado de signo, es decir, para x = 4 , tenemos que: P ^ 4 h = 4 4 - 13 $ 4 2 - 15 $ 4 - 3 = 256 - 208 - 60 - 3 =- 15

El resto de la división ^ x 4 - 13x 2 - 15x - 3 h ' ^ x - 4 h es - 15 .

1. Dados los esquemas de la regla de Ruffini, completa y escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y el resto. 3 3

-1 -6 -7

0 14 14

20 -28 -8

5

-4

-3

-2

a) - 2

b)

-10 16 6 0

1

1 5

-3

2. Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto. a) ^ x 3 - 6x 2 + 12x - 8 h ' ^ x - 2 h

d) ^10y5 - 16y 3 + 12y2 - 7h ' ^ y + 2h

c) ^3a + 4a - 2a - 6 h ' ^a - 3h

f) ^5x 3 - 3x2 + x - 5h ' ^ x - 3h

b) ^ x + 3x + 3x + 1h ' ^ x - 1h 3

2

6

4

2

e) ^- 3x2 + 8x - 5h ' ^ x - 1h

3. Determina el residuo de las divisiones e indica si son exactas. a) ^ x 3 - 2x 2 + x - 10 h ' ^ x - 3 h

e) ^ x5 - 2x 4 + 3x2 - 10x + 7h ' ^ x - 2h

c) ^2x 3 - 8x5 + 6x6 - x 4 + 12h ' ^ x + 1h

g) ^ x 3 - 9x2 + 27x - 27h ' ^ x + 3h

b) ^2x - 4x + 6h ' ^ x + 2h 2

d) ^ x - x + x - xh ' ^ x + 1h 6

5

4

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f) ^4x 4 - 2x2 + 1h ' ^ x - 2h

h) ^4x 4 - 25x2 + 36h ' ^ x + 2h

99

Tic Teorema del resto. Hay que elegir la opción correcta para el valor de una variable k situada en el dividendo. Cociente y resto. Hay que arrastrar el cociente y el resto hasta las casillas correspondientes.

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Más información Problemas con series Para resolver un problema mediante series, generalmente se analizan los primeros términos y se busca una relación entre ellos.

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Construir una serie Construimos una serie para investigar si un conjunto de objetos se comporta según una ley y para encontrarla. Una ley es una expresión matemática general de la cual se deducen las características particulares de los objetos que la ley abarca.

¿Hay alguna ley que permita deducir la longitud de la hipotenusa a partir de la posición que ocupa el triángulo rectángulo correspondiente en la espiral de la figura? Las hipotenusas de la espiral tienen diferente longitud y cada triángulo tiene un número que indica su posición en la espiral. El problema consiste en investigar si hay alguna relación matemática general entre el número que indica la posición del triángulo en la espiral y la longitud de la hipotenusa en ese triángulo. Si una ley así existe, podremos deducir la longitud de la hipotenusa a partir de la posición del triángulo.

1 1

7

2 1

3

1

8

1

1

6 5

4

1

1 1

1

Para investigar si hay una ley como la que buscamos, calcularemos la longitud de las hipotenusas partiendo del triángulo número 1 cuyos catetos tienen longitud 1. Con las longitudes encontradas formaremos una serie: h 1, h 2, h 3, h 4, f y buscaremos alguna ley o regularidad en esta serie. •

La hipotenusa del triángulo 1 es:

1

h1 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 •

un cateto del triángulo 2 es la hipotenusa del triángulo 1, entonces la hipotenusa del triángulo 2 es: h2 =

•

12 + ^ 2 h = 1 + 2 = 3

h3 h1

h2

1

2

un cateto del triángulo 3 es la hipotenusa del triángulo 2, entonces la hipotenusa del triángulo 3 es: h3 =

•

12 + ^ 3 h = 1 + 3 = 4 2

La hipotenusa del triángulo 4 es: h3 =

12 + ^ 4 h = 1 + 4 = 5 2

La serie con las longitudes de las hipotenusas es: 2 , 3 , 4 , 5 , ... Analizando la serie encontramos que cada término es la raíz cuadrada del número que indica la posición del triángulo aumentado en 1. Entonces, la ley que buscamos es: hn = 1 + n Podemos predecir la longitud de la hipotenusa en los triángulos 5, 6, 7 u 8 utilizando la ley y comparar esos resultados con los que se obtienen usando el teorema de Pitágoras.

1. Fíjate en la figura e indica la ley que permite predecir el área de los cuadrados interiores.

100

100

1

1

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Más información

Taller de Matemática

Cociente exacto

La regla de Ruffini

Si la suma de la última columna es cero, el residuo es cero, es decir, el cociente es exacto. En este caso, el polinomio dividendo es divisible entre el polinomio divisor. Si el resultado de la última columna no es cero, no existe esa relación de divisibilidad.

1. Construye una planilla de cálculo de Excel que puede dividir polinomios aplicando la regla de Ruffini. •

En las celdas C3, D3, E3, F3, G3 y H3 se escriben los coeficientes del dividendo.

•

En la celda B4 se escribe el término independiente del divisor con el signo cambiado.

•

En la celda C5 escribe la fórmula =C3.

•

En D4 escribe la fórmula =B4*C5. En E4, la fórmula =B4*D5. En F4, la fórmula =B4*E5. En G4, la fórmula =B4*F5. En H4, la fórmula =B4*G5.

•

En D5 escribe la fórmula =D3+D4. En E5, la fórmula =E3+E4. En F5 escribe la fórmula =F3+F4. En G5, la fórmula =G3+G4. En H5, la fórmula =H3+H4.

•

Coloca las líneas. Da a los números el formato con cero decimales.

2. Utiliza la planilla que has construido para realizar la siguiente división de polinomios.

Recursos

^ 5x 5 - 4x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 1 h ' ^ x + 3 h • En las celdas C3 a H3 escribe los coeficientes del polinomio dividendo: En C3 escribe 5; en D3, -4; en E3, -3; en F3, 2; en G3, 0; en H3, 1. • En la celda B4 escribe -3. • En las celdas C5 a G5 encuentras los coeficientes del polinomio cociente; en la celda H5 encuentras el resto:

Ejercicios –– Halla el cociente y el residuo. a) b 3x 4 - 7x 3 + 1 x 2 2 - 12x + 4 h ' ^ x - 3 h

b) b 3x 3 - 12x 2 + 4x + 1 l ' 2 ' ^ x + 3h c) b 5x 3 + 3 x 2 - x + 3 l ' 4 ' ^ x + 2h

4

3

–– Indica si P^ x h es divisible entre Q^ x h .

2

Cociente = 5x - 19x + 54x - 160x + 480; residuo =-1 439

a) P ^ x h = x 3 + x 2 - 14x + 6

3. Utilizando la planilla de Excel determina entre cuáles de los siguientes binomios

P^ x h = ^ x - 3h

es divisible el polinomio x 5 - 18x 3 + 12x 2 + 65x - 60 . a) x + 1

c) x + 2

e) x + 3

g) x + 4

i)

x+5

b) x - 1

d) x - 2

f)

h) x - 4

j)

x-5

x-3

b) P ^ x h = x 4 - 13x 2 + 2 Q^ x h = ^ x + 4h

c) P ^ x h = 0, 3x 3 - 2x + 5 q^ x h = ^ x - 4h

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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101

101

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividades 3 y 18. Es mejor calcular mentalmente la suma o la resta de los exponentes literales. –– Actividad 4. Para determinar el factor faltante, se divide el producto entre el factor conocido. –– Actividad 19. Para determinar el polinomio divisor, se divide el polinomio dividendo entre el polinomio cociente.

1. Multiplica.

8. Multiplica.

a) 3 ^ x2 - 7x + 3h

b) - 6 ^ x2 - 10x - 8h

a) 6x ^ x + 3h ^ x - 5h

b) - 3x2 ^5x - 1h ^2x - 6h

c) - 9 ^3x - 5x - 8x + x - 6h 4

3

c) - 4a 3 ^a2 - 1h ^a2 - 3a - 3h

2

2. Multiplica.

9. Multiplica.

a) 3x2 y ^6x2 - 7x y - 4y2h

a) ^ x - 3h ^ x + 5h ^ x - 6h ^ x + 1h

b) - 5ab2 ^9a 3 - 6a2 b + 8ab2 - b 3h

b) ^2x - 1h ^ x + 3h ^3x + 1h ^ x - 7h

c) 9m n ^6m - 8m n + mn - n h 3

2

3

2

2

c) ^a + 2h ^a - 6h ^a + 3h ^a - 2h

3

d) 2 x y 3 b 1 x y2 - 3 x2 y - 9x y l 3 4 2

10. Multiplica.

a) ^ x + 3 h 2 ^ x - 1 h 2

e) - 1 ab2 c b- 6 a2 b - 1 abc + 12bc2 l 4 5 2

3. Multiplica.

a) 3a ^a - 5a m

m

m-1

b) ^ 2x - 1 h 2 ^ x + 3 h 2

c) ^ p 3 - 2 h 2 ^ p 3 - 3 h 2

h

11. Halla el polinomio que expresa el volumen.

b) - 7x m y n ^2x m y - 6x m y n + 3y n + 1h

c) 12a x - 1 b y - 1 ^4a x - 3a x - 1 b y + 1 + b y - 2h

4. Descubre el polinomio faltante.

$ ^ x 3 - 6x - 3 h = x 5 - 6x 3 - 3x 2

a)

5x - 3

$ ^ 6a - a 2 + 5a 3h = 18a 2 - 3a 3 + 15a 4

b) c) - 5x 3 $

x2 + 4x - 1

=-10x 6 + 30x 5 + 5x 4

2

5

d) 3a b $

3

2

12. Multiplica y comprueba evaluando. 2

= 18a b - 24a b - 3a b

4

5. Multiplica horizontalmente. b) ^6x + 1h ^3x2 - 4x - 2h

c) ^ x - 3x + 4h ^ x - 6x - 3h 2

d) b 1 x2 - 6x y - 2 y2 l b 4 x - 1 y l 4 3 3 3 a) ^6a - 3h ^a - 70a + 3h 2

d) b 3 a2 - 1 a + 3 l b 1 a - 2 l 4 2 2 4 3

7. Halla el producto y comprueba evaluando. para a = 3 para x = 5

c) ^ a - b h ^ 5a 2 + 7ab - 3b 2h para a = 2; b =- 3

102

b) ^ x + 1h ^ x - 5h ^ x - 1h ^ x + 5h

c) ^a + b - ch ^a + b + ch ^a + bh

a) ^15x 3 - 9x2 + 3h ' ^- 3h

c) ^3a2 - 6a - 3h ^a + 5a2h

102

a) ^ x - 3h ^ x2 + 9h ^ x + 3h

14. Divide.

b) ^a + 9h ^2a2 - 17a - 5h

b) ^ x2 + 3h ^ x2 - 7x - 4h

13. Realiza las siguientes operaciones.

d) ^m - nh ^m 3 + m2 n + mn2 + n 3h ^m + nh

6. Multiplica verticalmente.

a) ^a2 - 7a + 3h ^4a - 5h

a) ^6x - 1h ^ x + 2h ^ x - 5h para x = 6

b) ^ x2 - 1h ^ x + 3h ^ x - 1h para x =- 2

c) ^a + 2h ^a - 3h ^a2 - 2a + 1h para a = 4

a) ^3x - 2h ^ x2 - 10x + 3h 2

1 2 x -

b) ^10x 3 - 14x2 - 8x - 12h ' ^- 2h c) ^4a5 - 24a 4 - 12a2 - 28h ' 4

15. Divide.

a) ^5x 3 - 20x 4 - 45x5h ' ^- 5x2h b) ^6m 4 - 18m 3 - 24m2h ' 3m

c) ^- 121p 3 - 44p2 + 33ph ' ^- 11ph

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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16. Divide.

22. Calcula.

a) b 3 x 4 - 1 x 3 + 3 x2 l ' b- 3 x2 l 5 2 4 2 b) b 1 a 3 - 6 a 2 + 7 a l ' 4 a 5 2 3 2 c) b 2 m 4 - 5 m 8 - 8 m12 l ' b- 1 m10 l 3 2 5 2

17. Divide.

a) ^6a2 b 3 - 8ab2 - 12a 4 b 4h ' ^- 2ab2h b) ^ 12x 5 y + 9x 4 y 2 - 21x 3 y 3h ' 3x 2 y

c) ^30a 4 b 3 c2 - 15a 3 b 4 c 3 + 5a2 b 3 ch ' ^- 5a2 b 3 ch

a) ^ x + 7h ^ x - 2h + ^ x 3 - 6x2 - 8xh ' ^- xh

b) ^ x - 2h ^ x2 - 6x - 1h - ^6x 4 - 8x 3 - 12x2h ' ^- 3xh

23. Realiza las siguientes operaciones. a) ^ a + b h 2 - ^ a - b h 2 b) ^ a + b h 2 + ^ a - b h 2

d) ^a + bh ^a - bh - 2a ^a - abh + 2b ^b - a2h

24. Expresa con un polinomio el área sombreada.

- 8a

n-2

+ 12a

n-3

19. Descubre el monomio divisor.

–– Promuevo el trabajo en grupo.

x

Todas las veces.

b) x x-1

x+7 x+2

7 6 3 b) 18a - 42a - 39a =-6a 5 + 14a 4 + 13a

x-1

- 1 x3 y + 2 x4 y2 + 1 x5 y3 2 3 2 =

A veces.

x

x+3

4 5 6 a) 6x - 18x + 6x = 3x - 9x 2 + 3x 3

c)

–– Incentivo la participación. Todas las veces.

x

x+3

h ' 4a

c) b 1 a m + 1 - 2 a m - 1 a m - 1 l ' b- 3 a m l 3 4 2 2

Todas las veces.

A veces.

a)

a) ^21x 3n - 7x2n + 49x nh ' ^- 7x nh n-1

–– Propongo actividades para que los estudiantes recuerden y practiquen sus conocimientos previos. A veces.

c) ^ a + b h 3 + ^ a - b h 3

18. Divide.

b) ^4a

Mi desempeño como docente

x+7

x+4

c)

=- 1 x + 2 x 2 y + 1 x 3 y 2 3 2 2

x-2

20. Con los polinomios: P = x2 - 6x - 2, Q = 3x2 - 2 y R = x2 - 5x Determina: a) 2P + Q b) P - 2R

x+7

c) P - 3Q

d) 2 ^P - Qh + R

d)

x+6

21. Simplifica.

a) - 3 + a - 74a - 2 ^1 - ahA

x+6

b) 6x + 7- x + 3 ^ x - 2h - 2 ^ x - 1hA 2

c) - 2 ^ x + y h - 2 $ - x + 1 + 7- 2x + 3 ^ x + 1 hA + + ^ 4x - y h -

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x+9

103

103

Sobre las actividades –– Actividad 28. Para verificar el resultado, los estudiantes pueden realizar la división con el procedimiento normal. –– Actividad 30. Para verificar el resultado, los estudiantes pueden utilizar la hoja de cálculo de Excel que han programado en el Taller de Matemática. –– Actividad 32. Se aplica el teorema del resto para plantear una ecuación sencilla y, luego, se despeja k.

25. En cada caso realiza la división P ^ x h ' Q ^ x h . a) P^ x h = x - 5x + 6; Q^ x h = x - 2 2

b) P^ x h = x 3 + 2x2 + 1; Q^ x h = x2 + 1

c) P^ x h = x - 4x + 5x; Q^ x h = x - 2 3

2

4 3 2 d) P ^ x h = 6x + 19x + x - 33x + 17 Q ^ x h = 3x - 4

26. Divide.

b) ^4x 4 - 9x 3 + x2 + 9x - 5h ' ^ x2 - 2x + 1h

c) ^3x 4 - 9x 3 - 5x2 + 14x + 8h ' ^3x2 - 6x - 8h

27. Realiza las siguientes divisiones y comprueba que

P^ x h = Q^ x h $ C^ x h + R^ x h , donde C ^ x h es el cociente y R ^ x h es el resto

a) P^ x h = x - 3x + 2; Q^ x h = x - 1 2

b) P^ x h = x - 4x + 5x; Q^ x h = x - 2 2

c) P^ x h = 2x 4 - 3x + 5; Q^ x h = x2 + 2x - 3

28. Divide el polinomio P ^ x h entre el polinomio Q^ x h aplicando la regla de Ruffini.

a) P^ x h = x 4 + x2 + 3x - 1; Q^ x h = x - 2

b) P^ x h = 3x5 - x 3 + x - 6; Q^ x h = x + 3

c) P^ x h =-5x + x + x + 3; Q^ x h = x - 5 4

3

2

29. Analiza los siguientes esquemas de la regla de Ruffini y escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y residuo. a)

1

0

1

-3 -3

-3

3

b) 2

3

0 6 6

1 9 10 -6 12 6

4 - 30 -26 0 12 12

guientes divisiones sean exactas. Usa la regla de Ruffini. a) ^ x5 + 5x 4 + 6x 3 + x2 + 4x + mh ' ^ x + 3h

b) ^2x7 - 4x6 + x 3 - 2x2 + x + mh ' ^ x - 2h

c) ^ x5 + 2x 4 + 2x 3 + 2x2 + 2x + mh ' ^ x + 1h

d) ^3x5 - 8x 4 - 11x 3 - 20x2 + 2x + mh ' ^ x - 4h

32. Investiga. Calcula el valor de k para que las si-

a) ^2x 4 - 3x - 1h ' ^ x2 + 2x - 3h

3

31. Investiga. Calcula el valor de m para que las si-

guientes divisiones sean exactas. Utiliza el teorema del resto o residuo. a) ^ x2 - k h ' ^ x + 1h

b) ^ x 3 + 3x 2 + k x - 12 h ' ^ x - 2 h c) ^k x 4 + k x 3 + 54h ' ^ x + 3h

33. Pensamiento crítico. ¿Cuál es el defecto de las siguientes instrucciones?

a) Divide ^5x2 - 7x + 3h entre ^ x5 - 2x 3 + 3xh .

b) Divide ^3x2 - 6x - 1h entre ^ x - 2h y comprueba para x = 2.

c) Divide ^ x 3 - 6x2 - 3x - 1h entre ^ x2 - 2x - 1h por la regla de Ruffini.

34. Una fórmula para calcular la temperatura aproximada T (en ºC) a la cual hierve el agua a una cierta altitud h (en metros sobre el nivel del mar) es la siguiente: h = 1 000 ^ 100 - T h + 580 ^ 100 - T h2

Esta fórmula es válida entre 95 # T # 100 .

3 78 81

-25 24 -1

30. Calcula el residuo sin efectuar la división e indica si la división es exacta.

a) ^4x5 + 3x 4 - 12x2 + x + 3h ' ^ x - 2h b) ^ x 4 - 3x2 - 7x - 1h ' ^ x + 3h

c) ^ x 3 + 2x2 + 3x - 6h ' ^ x - 1h

104

104

a) Expresa la fórmula eliminando paréntesis. b) Averigua a qué altitud el agua hierve a T = 98cC

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Matemática y valores

Responsabilidad

Valores RESPONSABILIDAD

utiliza tus conocimientos sobre operaciones con polinomios para realizar cálculos que te muestren la importancia de ser responsable cuando se conduce un automóvil.

Mientras más alta es la velocidad que tiene un automóvil, mayor es la distancia que necesita para frenar hasta detenerse o alcanzar una velocidad menor. Por eso, conducir a velocidades muy altas acrecienta el riesgo de accidentes.

La distancia de frenado un automóvil no puede detenerse instantáneamente una vez que se pisa el freno. El tiempo que tarda en detenerse y la distancia que recorre hasta que eso ocurre dependen de la velocidad que lleva, de su peso y de las condiciones del piso y los neumáticos. La distancia que recorre un automóvil antes de detenerse se llama distancia de frenado. Se han propuesto distintas fórmulas matemáticas para calcular esa distancia a partir de la velocidad, v, del automóvil. Todas esas fórmulas nos permiten entender por qué en ciertas condiciones conducir más allá de cierto límite de velocidad es un acto de negligencia con la vida propia y con la de otras personas y seres vivos.

Los estudiantes deben tener conciencia de la responsabilidad que implica conducir un automóvil y deben comprender las razones científicas por las que conducir a altas velocidades es, en muchas circunstancias, peligroso.

35. El polinomio D (v) = 0, 0062 v 2 + 0, 14 v + 2, 3 ofrece una aproximación a la distancia de frenado para distintas velocidades. La distancia que se calcula con este polinomio incluye la distancia que recorre el automóvil durante el tiempo de reacción del conductor. El tiempo de reacción son las fracciones de segundo que transcurren desde que se percibe el peligro hasta que se aplican los frenos. Utiliza este polinomio para completar la siguiente tabla. Velocidad (km/h)

20

40

60

80

100

130

160

Los polinomios que se presentan en esta página permiten calcular la distancia de frenado a partir de la velocidad que tiene un automóvil.

Distancia (m)

36. Otro polinomio que se utiliza para calcular la distancia de frenado es D (v) = 0, 0455 v 1, 616 . Calcula las distancias de frenado para este polinomio y para las velocidades dadas en la tabla de la actividad anterior. ¿Hay diferencias?

37. Un polinomio que se utiliza en Estados Unidos para calcular la distancia de fre-

2 nado es D (v) = v + v ; sin embargo, en esta expresión la velocidad debe estar 20 en millas y la distancia de frenado resulta en pies. Si 1 milla = 1 609 m y 1 pie = 0, 3048 m , a partir del polinomio dado obtén uno que nos proporcione la distancia en metros para velocidades en km/h.

38. Indica la velocidad máxima que puede tener un automóvil si es posible que el conductor tenga que aplicar los frenos cuando vea a una persona 20 metros delante. Utiliza el primer polinomio.

39. Utiliza el segundo polinomio (el de la actividad 36) para proponer la velocidad máxima en una calle donde hay una escuela. Justifica tu respuesta.

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105

105

Sugerencia de temporalización

6

Productos notables

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

La eficiencia

Valores

En muchas situaciones no es importante tan solo alcanzar una meta, sino hacerlo con la menor cantidad de recursos y en el menor tiempo. También en la matemática la búsqueda de métodos eficientes es muy importante.

En diversas circunstancias realizar una tarea responsablemente implica realizarla eficientemente. El concepto de eficiencia es una forma de comparar los resultados que obtenemos y los recursos que utilizamos. Una persona eficiente utiliza, comparativamente, pocos recursos para obtener buenos resultados. Una persona ineficiente alcanza los mismos resultados pero utilizando muchos más recursos, o alcanza pobres resultados con recursos que deberían ser suficientes para alcanzar resultados buenos.

Si queremos factorizar un número n con N dígitos decimales ( n . 10 N ), tendríamos que dividirlo por 2, 3, ..., n y comprobar si el resto es cero. Por tanto, resolver el problema requiere llevar a cabo n . 10 N 2 divisiones. Una computadora que fuera capaz de realizar 1010 divisiones por segundo, tardaría aproximadamente n 1010 segundos en factorizar un número n. Si ese número tiene N = 100 dígitos ( n . 10100 ), el tiempo necesario para factorizarlo sería del orden de 10 40 segundos (¡un tiempo muchísimo mayor que la edad estimada del universo!). Sin embargo, en 1994, el matemático Peter Shor propuso un nuevo algoritmo que incorporado en una computadora cuántica podría factorizar un número de 100 dígitos ¡en apenas una fracción de segundo!

106

• ¿Puedes realizar una estimación del tiempo que toma multiplicar dos números de 10 000 dígitos (todos distintos de cero) con el método que se enseña en la primaria? • ¿En qué casos la eficiencia es tan importante que resulta irresponsable no ser eficiente?

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Sugerencias metodológicas –– Para empezar el desarrollo del tema explique el significado del concepto de producto notable. –– Un producto notable nos permite abreviar la realización de una multiplicación. Sin embargo, realizar la multiplicación de manera normal puede servir para comprobar el resultado obtenido mediante la aplicación de uno o más productos notables.

106

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Posibles dificultades en la unidad

REcUERDa Área del cuadrado y área del rectángulo

1. Calcula el área total de cada figura.

Para abordar el tema de productos notables, los estudiantes deben conocer la definición y las propiedades de la potenciación.

a) a

a

A4 = a2

a

a

b

b) A= = a $ b

b

a

c

a

a b

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición ^ a + b h ^c + d h = ^ a + b h $ c + ^ a + b h $ d = ac + bc + ad + bd

Vocabulario matemático

2. Multiplica aplicando la propiedad distributiva. Reduce términos semejantes si es posible a) ^2 + xh ^3 + y h

b) ^4 - bh ^5 + ah

Cuadrado de un polinomio

c) ^a + 11h ^a - 11h

Cuadrado de un trinomio

d) ^ x + 3h ^ x + 3h

Cuadrado de una suma Cuadrado de una resta

Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los polinomios por cada término del otro polinomio. Después, se reducen términos semejantes.

3. Multiplica.

b) ^ x - 7y h ^ x2 - xy + 2y2h c) ^a + b + ch ^a + bh

d) ^2 + x - x2h ^3 - 2x + 4x2h

4. Calcula.

Signo de una potencia

a) ^- 2h3

exponente

d) ^- 3h4

b) ^- 7h

2

base

ab = c

potencia

Una potencia es negativa solo cuando la base es negativa y el exponente es impar.

Potencia de un monomio

^ax m y hn = a n x m $ n y n

c) ^+ 11h

2

5. Halla.

f) ^- 2h5

e) ^ - 2x 5 y 3h 4

c) ^ 17a 3 b 2 c h 2

5 g) b- 1 x 4 y5 l 2

b) ^ - 3a 2 b 3h 3

3

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e) ^+ 5h3

a) ^ - 4x 2 y h 2

d) b 3m2 l 5n

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Producto notable

a) ^ 3x - 5 h ^ 4x 2 - 6x - 3 h

f) ^ 10a n b mh 3

h) d- 2x 3 n 3y

2 4

107

107

Más información Presentación del cuadrado de una suma Típicamente, el cuadrado de una suma se presenta así:

Cuadrado de la suma de dos términos El producto notable ^a + bh2 = a2 + 2ab + b2 puede interpretarse geométricamente como el área de un cuadrado de lado ^a + bh .

^a + bh2 = a2 + 2ab + b2

a

b

a2

ab

b

ab

+

ab

+

ab

a2

=

pero también podría presentarse con los términos cuadráticos en primer lugar, de este modo:

^a + bh2 = a2 + b2 + 2ab

a

+

b2

b2

a+b

^a + b h2

=

a2

+

2ab

+

b2

En general:

^ a + b h = ^ a + b h ^ a + b h = a + ab + ab + b = a + 2ab + b 2

2

2

2

2

a 2 + b 2 ! ^a + bh2

Por lo tanto:

^a + b h2 = a 2 + 2ab + b 2 cuadrado del primer término Doble producto de ambos términos cuadrado del segundo término

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.

1. Desarrolla aplicando el producto notable. ^3x + 5y 3h2 = ^3xh2 + 2 $ 3x $ 5y 3 + ^5y 3h2 = = 9x2 + 30xy 3 + 25y6 a) ^ 2x + 7y h2 b) ^ 4x + 3y h

2

c) ^ 9a + 5b h2

e) ^ 12 + 8y 2h2

d) ^ 6 + 3x h

f) ^ 6a + b h

2

2

3 2

g) ^ 7ab 2 + 10a 3h2 h) ^ x 3 y + 9x y 2 z h2

2 1 4 1 42 1 4 3 3 3 2 b 3 a + 4 b l = b 3 a l + 2 $ 3 a $ 4b + ^ 4b h =

= 1 a 8 + 8 a 4 b 3 + 16b 6 9 3 i) j)

2 5 b 2 a + 2l 2 7 b 3 x + 3l

2 k) b5a2 + 3 b l 2

l)

^0, 2a 3 + 1, 5b 3h2

2 m) b0, 25 + 1 a 3 b l 3

n) b 3 + 1, 2mn 3 l 4

108

2

2 ñ) b 2 x 3 + 3 xy l 3 4

2 o) b 1 x 8 + 1 x9 y l 2 4

2 p) b 5 a2 b + 3 ab l 3 4

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Sugerencias metodológicas Tic Cuadrado de la suma de dos términos. Hay que elegir la expresión que es igual a la expresión del primer miembro de la igualdad.

108

–– Es conveniente que los estudiantes memoricen el desarrollo de este producto notable. –– Invite a los estudiantes a resolver ejercicios en el pizarrón y oriéntelos en la aplicación del producto notable.

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Recursos

2. Utiliza el producto notable para encontrar el cuadrado de un número. 24 = ^20 + 4h 242 = ^20 + 4h2 & 2 2 & 24 = 20 + 2 $ 20 $ 4 + 42 = 400 + 160 + 16 = 576 a) 13

b) 25

c) 31

d) 42

Ejercicios

e) 65

Completa con el término que falta.

f) 104

a) ^7 + x h2 =

3. Desarrolla.

+ x2

= 49 +

b) ^12x + 3 h2 =

El cuadrado de la suma de dos términos negativos es igual al cuadrado de la suma de los términos positivos respectivos. 2 ^- a - b h2 = 7^- a h + ^- b hA = = ^ - a h2 + 2 ^ - a h ^ - b h + ^ - b h2 = = a 2 + 2ab + b 2 Por lo tanto: ^- a - b h2 = ^ a + b h2 Ejemplo: ^- 3a - 5 h2 = ^ 3a + 5 h2 = 9a 2 + 30a + 25

a) ^- 3a - 7bh2

b) ^- 7x - 6xy h2

=

+ 72x + 9

c) _ a 3 +

i = 6 3 = a + 2a + 1

2 c) ^- 4x2 y - 6xy h

2

1 2 2 d) b m + 2 n l =

2 d) b- 1, 2a2 - 3 ab2 l 4

= m4 +

4. Desarrolla y reduce términos semejantes.

+ 1 n2 4

e) ^ x 5 + 0, 2y 3 h = = x 10 + 2 x 5 y 3 + 5 2

El producto notable del cuadrado de la suma de dos términos se aplica también si sustituimos los términos por polinomios. 2 7^ x + 1 h + ^ x + 3 hA = ^ x + 1 h2 + 2 ^ x + 1 h^ x + 3 h + ^ x + 3 h2 = = x 2 + 2x + 1 + 2 ^ x 2 + 4x + 3 h + x 2 + 6x + 9 =

= x 2 + 2x + 1 + 2x 2 + 8x + 6 + x 2 + 6x + 9 = = 4x 2 + 16x + 16

a) 7^ 3x + 5 h + yA

b) 76x + ^ 7 + x 2 hA

2

c) 7^ a + 3b h + ^ a + 5b hA

2

2

d) 7^ 2 + x h + ^ 7 + x 2hA

2

5. Escribe como un polinomio el área de cada región. a)

2x + 4

x+2

x+3

b)

x+1

x+2

x+3

6. Realiza las operaciones y reduce términos semejantes. 2 a) ^ x2 + 2y2h + ^ x2 - 2y2h ^ x2 + 2y2h

b) ^- 2x - 3h + ^3x + 2h 2

7.

x+2

x+1

2

2x + 4

2x + 4

2x + 4

c) ^ x + 3h 7^ x + 3h2 - ^ x - 1h ^ x + 1hA

d) 7^ x + 2 h2 + ^ x + 2 h A + 7^ - x - 2 h2 + ^ - x - 2 h A

Pensamiento crítico. Indica si la igualdad es correcta y explica por qué.

a) ^2x + 1h2 = 4x2 + 1

b) ^3x + 2h2 = 6x2 + 4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

c) ^2a + 3bh2 = 4a2 + 6ab + 9b2 d) ^5b + 1h2 = 25b2 + 10b + 2

109

109

Presentación del cuadrado de una diferencia Típicamente, el cuadrado de una diferencia se presenta así: ^a - bh2 = a2 - 2ab + b2

Cuadrado de la diferencia de dos términos El producto notable ^a - bh2 = a2 - 2ab + b2 puede interpretarse geométricamente como el área de un cuadrado de lado ^a - bh .

a

b2

a-b

a2

pero también podría presentarse con los términos cuadráticos en primer lugar, de este modo:

^a - bh2 = a2 + b2 - 2ab

b

b b

a

a-b

Más información

b a

^a - bh2

b

ab

^a - b h2

=

ab

a

a2 + b2

a2 + b2

a 2 - 2ab + b 2

= ^ a - b h2

Solo el doble producto cambia de signo.

^a + bh2 = a 2 + 2 ab + b 2 ^a - bh2 = a 2 - 2 ab + b 2

En general:

^ a - b h2 = ^ a - b h ^ a - b h = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2

Por lo tanto:

^a - bh2 = a2 - 2ab + b2 cuadrado del primer término Doble producto de ambos términos cuadrado del segundo término

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.

1. Desarrolla aplicando el producto notable. ^5a - 3bh2 = ^5ah2 - 2 $ 5a $ 3b + ^3bh2 = = 25a2 - 30ab + 9b2 a) ^7x - 3y h2 b) ^6a - 7bh

2

c) ^9x - 1h2

2 e) ^5x - y2h

d) ^13a - 3h

f) ^7 - x y h

2

2

2 g) ^24m2 n - 1h

2 h) ^2x 3 y - 4x y 3h

2 1 2 2 2 2 1 1 2 b 3 x - 2 y l = b 3 xl - 2 $ 3 x $ y + b 2 y l = 2 = 4 x2 - 2 x y + 1 y2 9 3 4 i)

5 2 2 b 2 x - 3 yl

l)

j)

1 2 2 b4 a- 3l

2 m) b 1 x2 - 2 y2 l 4 3

2 k) b 1 a - 7ab l 2

! 2 ñ) b 7 m 3 - 0, 6n l 2

3 2 2 bx - 5 l

n) b0, 75 a 3 b2 - 1 b2 l 6

110

2

2 o) b 11 m 3 - 2 mn l 4 3 ! 2 p) _ 0, 8 x - 0, 3 y 6 i

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Sugerencias metodológicas Tic Cuadrado de la resta de dos términos. Hay que arrastrar la ficha que corresponde al cuadrado de la resta de dos términos.

110

–– Es conveniente que el estudiante memorice el desarrollo de este producto notable. –– Llame la atención sobre el hecho de que solo el término que corresponde al doble producto es negativo; los otros dos términos son positivos. –– Indique que el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia tienen desarrollos similares y solo se diferencian en el signo del doble producto.

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Recursos

2. Utiliza el producto notable para encontrar el cuadrado de un número. 37 = ^40 - 3h 372 = ^40 - 3h2 & 2 2 & 37 = 40 - 2 $ 40 $ 3 + 32 = 1600 - 240 + 9 = 1369 a) 18

b) 26

c) 48

Ejercicios

d) 67

e) 99

Completa con el término que falta.

f) 107

a) ^5 - x h2 =

3. Aplica la generalización e indica qué igualdades son verdaderas. b) b- 2 x - 5y l = b5y + 2 x l 5 5 2

^a - b h = a - 2ab + b ^b - a h2 = b 2 - 2ab + a 2 Por lo tanto: ^ a - b h2 = ^ b - a h2 2

2

= 100a 2 -

2

•

+9

c) ^ x 3 - 1 h2 =

c) ^ 8x 2 - 5y 2 h2 = ^ 5y 2 - 8x 2h2

= x 6 - 2x 3 +

2 2 d) b- 1 x - 3 y l = b- 3 y + 1 x l 2 4 4 2

d) ^8x 2 y - 2 h2 =

4. Calcula aplicando directamente las identidades de Legendre. •

- 10x + x 2

b) ^10a - 3 h2 =

2 2 a) ^- 2x - 3x2h = ^- 3x2 - 2xh

El cuadrado de la diferencia de dos términos es el mismo, cualquiera que sea el término que se resta del otro. 2

=

- 32x 2 y + 4

=

^a + b h2 + ^a - b h2 = ^ a 2 + 2ab + b 2h + ^ a 2 - 2ab + b 2h = = a 2 + 2ab + b 2 + a 2 - 2ab + b 2 = = 2a 2 + 2b 2

e) b 2 m l = 3 = 4 m2 - 4 m + 1 9 3

^a + bh2 - ^a - bh2 = a2 + 2ab + b2 - ^a2 - 2ab + b2h = = a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = = 4ab

f) _

a) ^5 + xh2 + ^5 - xh2

- 9b i = = 36a - 108ab + 81b 2

d) ^10a + bh2 + ^10a - bh2

b) ^8a + bh + ^8a - bh 2

2

e) ^7 + xh - ^7 - xh 2

2 2 c) ^7m + n2h + ^7m - n2h

2

2

f) ^9 + mh2 - ^9 - mh2

2

2

g) ^10m + nh2 - ^10m - nh2

2 2 h) ^12x2 + 1h - ^12x2 - 1h

i)

^6xy + y h2 - ^6xy - y h2

5. Desarrolla y reduce términos semejantes. El producto notable del cuadrado de la diferencia de dos términos se aplica también si sustituimos los términos por polinomios.

2 7^7 + x h - ^4 - x hA = ^7 + x h2 - 2 ^7 + x h^4 - x h + ^4 - x h2 = = ^ 49 + 14x + x 2 h - 2 ^28 - 3x - x 2 h + ^ 16 - 8x + x 2 h =

= 49 + 14x + x 2 - 56 + 6x + 2x 2 + 16 - 8x + x 2 = = 4x 2 + 12x + 9

a) 7a - ^ 2a - b hA

c) 7^ x 3 - 1 h - x 2A

2

b) 7^ x - 3y h - x 3A

d) 7^ 3x - 1 h - ^ x + 3 hA

2

6. Realiza las operaciones y reduce términos semejantes. a) ^- 5a - 3bh2 - ^- 3b + 5ah2 b) 7^ m - 2n h - ^ 2m - n h A 2

2

2 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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2

e) 7^ a 2 b + b h - ^ a 2 b - 3 hA

2

f) 7^ 12 - x 2 y h - ^ 12 + x 2 y hA

c) 3 ^a - 5bh2 - 2 ^- a - 2bh2

2

d) ^3 - 2y h2 ^3 + 2y h2 - ^ y2 + 1h

2

111

111

Más información

Cuadrado de un trinomio

Los términos cuadráticos del desarrollo siempre tienen signo positivo porque el exponente es par. El signo de los otros términos del desarrollo depende de los signos que tienen los términos en el trinomio. Términos que son decimales periódicos Los términos del trinomio pueden ser también decimales periódicos o tener coeficientes con decimales periódicos. ! 2 _ 0, 3 + x + y i = = b 1 + x + yl = 3

El cuadrado de un trinomio puede interpretarse geométricamente como el área de un cuadrado de lado ^a + b + ch . bc

ab a2

+

b2

c2

+

+

+ ab

^a + b + c h2 = a 2 + b 2 + c 2 +

ac

+

+

b

c

a

a

2

ab

ac

b

ab

b2

bc

c

ac

bc

c2

= ac

bc

2ab

a

a+b+c

Signos de los términos

2bc

+

2ac

a+b+c

En general:

2 ^a + b + c h2 = 7^a + b h + cA = ^a + b h2 + 2 ^a + b h c + c 2 = = a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de los términos y el doble de todos los posibles productos entre dos términos.

2

1. Desarrolla.

= 1 + x2 + y2 + 2 $ 1 x + 9 3

1. ^3x + 2y + 5z h2 = ^3xh2 + ^2y h2 + ^5z h2 + 2^3xh^2y h + 2^3xh^5z h + 2^2y h^5z h = = 9x2 + 4y2 + 25z2 + 12x y + 30xz + 20yz

+ 2 $ 1 y + 2xy = 3

2. ^2x - 5y + z h2 = ^2xh2 + ^- 5y h2 + ^ z h2 + 2 ^2xh ^- 5y h + 2 ^2x h z + 2 ^- 5y h z = = 4x2 + 25y2 + z2 - 20x y + 4xz - 10yz

= 1 + x2 + y2 + 2 x + 9 3 + 2 y + 2xy 3

a) ^4a + 7b + 3ch2 b) ^6x + 9y + ch

2

2 c) ^ x2 + 6x + 1h

d) ^3x + x + 3h 2

2

e) ^6x - 2y + 4z h2 f) ^3x - 7y + z h

2

g) ^5x + 3y - 2z h2 h) ^4m + n - 3ph

2

i) j)

^5a - 2b + 6ch2 ^ x2 - 3x - y h2

2. Realiza las operaciones y reduce términos semejantes. ^2a - 3b + 5h2 - ^2a - 3bh2 + ^5 - 2ah2 = = 4a2 + 9b2 + 25 - 12ab + 20a - 30b - ^4a2 - 12ab + 9b2h + ^25 - 20a + 4a2h = = 4a2 + 9b2 + 25 - 12ab + 20a - 30b - 4a2 + 12ab - 9b2 + 25 - 20a + 4a2 = = 4a2 - 30b + 50 a) ^a + 2b - ch2 + ^a + 3bh2

2 2 b) ^m2 - 2m + 1h - ^m2 + 2m + 1h

112

c) ^ x - 2y h2 - ^3 - xh2 - ^2y - x - 3h2

d) 7^ a - 3b + c h2 + ^ 2a - b h2 - 5 ^ a 2 + 2b - 2ab hA

2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Cuadrado de un trinomio. Hay que arrastrar tres fichas para formar el cuadrado del trinomio.

112

Es fácil memorizar este producto notable: primero, van los tres términos positivos que son los cuadrados de los términos del trinomio; después, van los dobles productos de las combinaciones de dos términos multiplicados con sus signos respectivos.

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Más información

Cuadrado de un polinomio

Cuadrado de un polinomio Desarrollamos el cuadrado de un cuatrinomio para obtener una conclusión general acerca del cuadrado de un polinomio.

^a + b + c + d h = 7^a + b + c h + dA = = ^ a + b + c h2 + 2 ^a + b + c h d + d 2 = = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc + 2ad + 2bd + 2cd + d 2 = = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

La regla para el desarrollo del cuadrado de un polinomio es una generalización de la regla del cuadadro de un trinomio.

Los productos notables simplifican la realización de las operaciones.

2

2

En general:

2 2 ab + 2ac + 2bc + ... ^a + b + c + ...h2 = 1a444 + b42 2 + c444 +4...3 + 2 1 44444 2 44444 3

los cuadrados

Recursos

los dobles productos

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de todos los términos (con signo positivo) y el doble de todos los posibles productos entre dos términos (cuyos signos varían de acuerdo con los signos de los términos).

Ejercicios Completa con el o los términos que faltan.

+ 1i = a) _ 2x = 4x 2 + 9y 2 + 1 - 12xy + + 4x - 6y 2

1. Desarrolla. ^2a + 5b + 4c + dh2 = 2 2 2 = ^2ah + ^5bh + ^4ch + d2 + 2^2ah^5bh + 2^2ah^4ch + 2^2ah d + 2^5bh^4ch + 2^5bh d + 2^4ch d = 2 2 2 = 4a + 25b + 16c + d2 + 20ab + 16ac + 4ad + 40bc + 10bd + 8cd a) ^7a + b + 3c + 2dh2 b) ^4x + 5y + z + w h2

2 c) ^ z + x + 3x2 + 4x 3h

2 d) ^6a 3 + 2a2 + 6a - 3h

b) ^ x 2 + 2x - 3 h2 =

= + +9+ + 4x 3 - 6x 2 - 12x

2 e) ^4b + 7b2 + b 3 + 2b 4h 2 f) ^ y 3 + 3y2 + 10y + 5h

^w + 3x - 2y + 4z h2 = 2 2 2 = w2 + ^3xh + ^- 2y h + ^4z h + 2w^3xh + 2w^- 2y h + 2w^4z h + 2^3xh^- 2y h + 2^3xh^4z h + 2^- 2y h^4z h = 2 2 2 2 = w + 9x + 4y + 16z + 6wx - 4wy + 8wz - 12xy + 24xz - 16yz g) ^3a - b + 3c - dh2 h) ^ x + 2y - 4z - w h2

2. Desarrolla.

2 a) ^2 + 3x - x2 + 4x 3 - x 4h

i) j)

^5m - 6n + p - 4qh2 ^2a - 5b - 7c - dh2

2 k) ^ x 4 - 2x 3 - x2 + xh

l)

^3x 3 + 10x2 - x - 1h2

b) ^a + 3b - 4c - 10d + eh2

3. Desarrolla una interpretación gráfica para ^a + b + c + dh2 . 4.

Investiga. Responde al siguiente problema mediante una generalización y justifícala: Si al desarrollar el cuadrado de un polinomio de n términos no surgen términos semejantes que puedan ser reducidos, ¿cuántos términos tiene el desarrollo?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

113

Sugerencias metodológicas Si el estudiante ha memorizado la regla del cuadrado de un trinomio, podrá fácilmente memorizar la regla del cuadrado de un polinomio.

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113

Enunciado de la suma por la diferencia Este producto notable se puede enunciar del siguiente modo: “El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del minuendo (del factor diferencia) menos el cuadrado del sustraendo”.

Producto de la suma por la diferencia de dos términos El producto notable ^a + bh ^a - bh = a2 - b2 puede representarse geométricamente como el área de un rectángulo. a

b

a-b

a

a

a

b b

El orden de los términos en el resultado es igual al que tienen los términos en el factor formado por la diferencia: ^ a + bh ^ b - a h = b 2 - a 2 .

a-b a-b

a-b

Más información

a+b

Es incorrecto: ^ a + bh ^ b - a h = a 2 - b 2 .

b2

b2

b

a-b Trasladamos el rectángulo pequeño.

El área coloreada es a2 - b2.

El área coloreada es ^a - bh ^a + bh .

En general: ^a + bh ^a - bh = a2 - ab + ab - b2 Por lo tanto:

^a + bh ^a - bh = a2 - b2 cuadrado del primer término cuadrado del segundo término

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

1. Desarrolla aplicando el producto notable. 1. ^3x - 5y h ^3x + 5y h = ^3xh2 - ^5y h2 = 9x2 - 25y2

2 2 2. b 1 m2 + 3 n l b 3 n - 1 m2 l = b 3 n l - b 1 m2 l = 9 n2 - 1 m 4 2 4 4 2 4 2 16 4

a) ^6a - 3bh ^6a + 3bh b) ^2m - nh ^2m + nh

c) ^8x + 2y h ^8x - 2y h 2

2

d) ^6x + y 3h ^ y 3 - 6xh

! 2 2 ! 2 2 b 0, 3 - 9 a l b 0 , 3 + 9 a l ! ! j) _ 0, 1 x - y 3m i _ 0, 1 x + y 3m i k) b 2 x 2n + 3y 2n l b 2 x 2n - 3y 2n l 5 5 ! 2 ! 1 l) b xy - 0, 4 y l b 0, 16xy + 4 y 2 l 9 6

e) ^a 3 b - 10ch ^a 3 b + 10ch

i)

f) ^12 + abch ^12 - abch g) b5x + 1 l b5x - 1 l 5 5 1 1 1 h) b x - l b + 1 x l 4 6 6 4

2. Aplica el producto notable para expresar un número entero como una diferencia de cuadrados perfectos. Sigue el ejemplo. 2 2 ^7 + 2h ^7 - 2h = 72 - 22 4 & 45 = 7 - 2 ^7 + 2h ^7 - 2h = 9 $ 5 = 45

a) ^11 - 8h ^11 + 8h

b) ^12 + 7h ^7 - 12h

c) ^14 + 9h ^9 - 14h

d) ^21 - 5h ^21 + 5h

Tic 114 Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Con una flecha se une el producto notable con su desarrollo. Producto de la suma por la diferencia. Hay que señalar la figura que corresponde al producto notable mostrado.

114

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Subraye que este producto notable se aplica solamente cuando en un factor los términos se suman y en el otro los mismos términos se restan. –– Llame la atención sobre este error que frecuentemente cometen los estudiantes:

^ x + 2h ^ x - 2h = ^ x - 2h2

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Recursos

3. Desarrolla y encuentra el polinomio resultante. El producto notable del producto de la suma por la diferencia de dos términos se aplica también si sustituimos los términos por polinomios.

Ejercicios

= 4a 2 - 12a + 9 - 25b 2 + 40b - 16 = 4a 2 - 25b 2 - 12a + 40b - 7

a) ^7 + xh ^7 - xh = 49 -

7^2a - 3 h + ^5b - 4 hA 7^2a - 3 h - ^5b - 4 hA = = ^ 2a - 3 h2 - ^5b - 4 h2 = ^4a 2 - 2 $ 2a $ 3 + 3 2h - ^25b 2 - 2 $ 5b $ 4 + 4 2h =

Completa con el o los términos que faltan.

b) b 1 - x 3 l b 1 + x 3 l = 4 4 = - x6

a) 7^ 3x - 7 h + ^ 6x - 8 hA 7^3x - 7 h - ^ 6x - 8 hA b) 7^9x - 5h + ^9x - 6hA 7^9x - 5h - ^9x - 6hA

c) 7^a - 2bh + ^3a - bhA 7^a - 2bh - ^3a - bhA

c) _ 2a 5 -

d) 7^ x - 1h + ^ x + 1hA 7^ x - 1h - ^ x + 1hA 2

2

2

$ _ 2a +

2

5

e) 7^16m - nh - ^7m + 2nhA 7^16m - nh + ^7m + 2nhA

d) _

f) 7^3x2 y - 1h - ^ x + 2y2hA 7^3x2 y - 1h + ^ x + 2y2hA

$_

4. Desarrolla aplicando la estrategia explicada en el recuadro.

i$ i = 4a 10 - 9b 2

+ m6i $ - m 6 i = 100p 4 - m 12

al multiplicar polinomios, podemos reagrupar los términos de manera que sea posible aplicar el producto notable. 1. ^ x 2 + y - 1 h ^ x 2 + y + 1 h = = 7^ x 2 + y h - 1A 7^ x 2 + y h + 1A = = ^ x 2 + y h2 - 1 2 = = x 4 + 2x 2 y + y 2 - 1

: Agrupamos. : Aplicamos ^ a - b h ^a + b h = a 2 - b 2 . : Aplicamos ^ a + b h2 = a 2 + 2ab + b 2 .

2. ^ 5x - 2y - 3z - 1 h ^ 5x + 2y - 3z + 1 h = = 7^ 5x - 3z h - ^ 2y + 1 hA 7^ 5x - 3z h + ^ 2y + 1 hA = = ^ 5x - 3z h2 - ^ 2y + 1 h2 = = 25x 2 - 30xz + 9z 2 - ^ 4y 2 + 4y + 1 h = = 25x 2 - 30xz + 9z 2 - 4y 2 - 4y - 1

: Agrupamos. : Aplicamos ^ a - b h ^a + b h = a 2 - b 2 . : Aplicamos ^ a + b h2 = a 2 + 2ab + b 2 .

a) ^ x2 - y + 1h ^ x2 - y - 1h

d) ^2m - n + a - 3bh ^2m + n - a - 3bh

c) ^a + a - 1h ^a - a + 1h

f) ^1 + x + x2 - x 3h ^1 + x + x2 + x 3h

e) ^1 + x + x2 - x 3h ^1 - x + x2 - x 3h

b) ^ x - y - 1h ^ x + y + 1h 2

2

2

2

5. Desarrolla aplicando productos notables.

a) ^1 - ah ^1 + ah ^1 + a2h ^1 - a2h + a2 ^1 + a2 - a 4h b) 7^ x2 + y - 1h ^ x2 + y + 1h - x2 ^ x2 + 2y hA

2

c) 7^1 + x + x2h - ^1 - xh ^1 + xhA - 7^1 - xh2 + ^ x + 1h2 A

d) 7^m + nh2 + ^m - 2nh2 A + 7^m - nh ^n + mh - ^2n - mh ^m + 2nhA

6.

Investiga. Expresa los números como una diferencia de cuadrados perfectos.

a) 23

b) 24

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

c) 160

d) 187

115

115

En el desarrollo de este producto notable hay tres términos. El primer término es el primer término de los binomios elevado al cuadrado; el segundo término debe estar acompañado de la raíz cuadrada del primer término; el tercer término es independiente.

El producto notable ^ x ! ah ^ x ! bh puede representarse geométricamente como el área de un rectángulo de lados ^ x + ah y ^ x + bh . x

a

x

x2

ax

b

bx

ab

x

=

x2

=

2

+

x+a

^ x + ah ^ x + bh

ax

a+b

El producto de la forma ^ x ! ah ^ x ! bh

Producto de la forma ^ x ! ah ^ x ! b h

x+b

Más información

+

ab

+

ab

En la práctica, los cálculos intermedios se realizan mentalmente.

bx

x

+

^a + bhx

En general:

^ x + a h ^ x + b h = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + ^a + b h x + ab

El resultado tiene las siguientes características:

Recursos

•

Está formado por tres términos.

•

El primer término es el cuadrado del primer término de los binomios: x2 .

•

El coeficiente del segundo término es la suma de los términos independientes (con sus signos) de los binomios.

•

El tercer término es el producto de los términos independientes (con sus signos) de ambos binomios.

Ejercicios

–– ^5x - 4y h ^5x - 3y h –– ^ x2 - 2nh ^ x2 + 7nh

–– ^ x m + y3h ^ x m - 2y3h

–– ^ a n + 1 + 1h ^ a n + 1 + 3h

1. Desarrolla aplicando el producto notable. 1. ^ x + 3 h ^ x + 5 h = x 2 + ^ 3 + 5 h x + 3 $ 5 = x 2 + 8x + 15

2. ^ x + 7 h ^ x - 2 h = x 2 + 77 + ^ - 2 hA x + 7 $ ^ - 2 h = x 2 + 5x - 14

3. ^ x - 11 h ^ x - 4 h = x 2 + 7^ - 11 h + ^- 4 hA x + ^ - 11 h $ ^ - 4 h = x 2 - 15x + 44 a) ^ x + 7h ^ x + 2h

b) ^ x + 10h ^ x + 8h

c) ^ x + 6h ^ x - 8h

d) ^a - 9h ^a + 1h

e) ^m - 10h ^m - 8h f) ^ x - 12h ^ x - 5h

2. Desarrolla generalizando el procedimiento del producto notable. El producto notable puede generalizarse para el caso de dos binomios que tienen un término igual (ax) y los otros dos (by y cy) semejantes:

^ax + by h ^ax + cy h = ^axh2 + ^by + cy h ax + ^by $ cy h Las letras x e y representan partes literales de cualquier tipo.

Ejemplo: ^ 2x + 7b h ^ 2x - 4b h = ^ 2x h2 + 7^ 7b h + ^ - 4b hA $ 2x + 7^ 7b h $ ^ - 4b hA = 4x 2 + 6bx - 28b 2 a) ^ x + 5ah ^ x - 2ah

b) ^3x + 9bh ^3x + bh

c) ^ x 3 - 10mh ^ x 3 - 3mh

d) ^ x2 - 4m2h ^ x2 + 8m2h

e) ^ x - 7y nh ^ x + 11y nh

f) ^a m - 6b nh ^a m - 13b nh

116

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Es conveniente analizar, y practicar con, las distintas combinaciones de signos: –– ^ x + ah ^ x + bh –– ^ x + ah ^ x - bh –– ^ x - ah ^ x + bh –– ^ x - ah ^ x - bh

116

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Producto de la forma ^mx ! ah ^nx ! bh

Recursos Ejercicios

El producto notable ^ x ! ah ^ x ! bh puede generalizarse para el producto de dos binomios de la forma ^mx + ah ^nx + bh .

–– ^7x - 8h ^3x + 5h

El producto PEIU.

–– ^15n - 6h ^n - 7h

–– ^4x2 + 10h ^5x2 - 2h

En general: ^mx + ah ^nx + bh = mnx2 + mbx + nax + ab = = mnx2 + ^mb + nah x + ab

–– ^m 3 - 12h ^7m3 - 10h

Este producto notable se conoce como producto PEIU (Primeros, Externos, Internos, Últimos).

^ mx + a h ^ nx + b h = Internos Externos

mnx 2

^mb + na h

+

Producto de los primeros

x+

Suma de los productos de los externos y los internos

ab Producto de los últimos

1. Desarrolla aplicando directamente el producto notable. ^3x + 4 h ^5x + 1 h = ^ 3 $ 5 h x 2 + ^3 $ 1 + 5 $ 4 h x + 4 $ 1 = 15x 2 + 23x + 4 a) ^6x + 3h ^3x + 2h

c) ^10a + 3h ^7a - 8h

b) ^7x + 4h ^5x + 9h

e) ^8x - 6h ^10x - 4h

d) ^11m - 8h ^7m + 4h

f) ^16x - 1h ^5x + 2h

2. Desarrolla generalizando el procedimiento del producto notable. El producto notable puede generalizarse para el caso de dos binomios sin términos independientes y cuyos términos son semejantes dos a dos.

^ax + by h ^cx + dy h = acx2 + ^ad + bch xy + bdy2 Las letras x e y representan partes literales de cualquier tipo. Ejemplo:

^4x + 7y h ^6x - 5y h = ^4 $ 6 h x 2 + 7^4 h ^- 5 h + 7 $ 6A xy + 77 $ ^- 5 hA y 2 = = 24x 2 + 22xy - 35y 2

a) ^3a - 2bh ^5a + 8bh

c) ^2m + 9nh ^7m + 2nh

b) ^7x - 15y h ^ x - y h

e) ^- 4x + y h ^7x - y h

d) ^10x + 3y h ^ x - 6y h

f) ^ 3x - 5y h ^ - 8x + 2y h

3. Resuelve aplicando los productos notables estudiados en esta unidad. a) 7^1 + x + x2h - ^1 - xh ^1 + xhA - 7^1 - xh2 + ^ x + 1h2 A

f) 7^ p - 4q h ^ p + 4q hA - 7^ q + 4p h ^ 4p - q hA

c) 7^ x 2 + y - 1 h ^ x 2 + y + 1 h - x 2 ^ x 2 + 2y hA

h) 7^ x 2 - x + 3 h2 - ^ x 2 + 1 h2 + 2x ^ x 2 + 3 hA

b) ^1 - ah ^1 + ah ^1 + a2h ^1 + a 4h ^1 + a 8h d) 7^ a - 3b h ^ a + 3b h + 5b 2A

2

e) 7^ a n + b n h ^ a n - b nh ^ a 2n + b 2n hA

2

2

g) 72 - ^ 3a - 4 h 2A i)

2

j)

2

2

2

7^ x - 7 h ^ x + 3 h + ^2x - 5 h ^3x + 1 h - 16x 2A

7^3a - 2 h ^5a - 7 h + ^a - 10 h2 - 114A

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

2

2

117

Sugerencias metodológicas La suma de los productos de los externos y los internos debe calcularse mentalmente.

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117

Más información

S

Solución de problemas

Puntualizaciones sobre las reglas de cálculo mental

Utilizar el álgebra para abreviar los cálculos aritméticos

–– Los productos notables permiten resolver operaciones aritméticas mediante el cálculo mental.

Utilizamos el álgebra para construir métodos que facilitan la realización de cálculos aritméticos.

–– La regla aplicada al cuadrado de un número terminado en 5 no puede generalizarse para números que acaban en otras cifras. Sin embargo, la regla del cuadrado de una suma o la regla del cuadrado de una diferencia pueden aplicarse a cualquier número.

•

Para elevar al cuadrado un número terminado en 5 multiplicamos el número que está delante del 5 por su inmediato superior y escribimos 25 a continuación. 95

2

205

2

9 $ ^ 9 + 1 h = 90

Por consiguiente

35 2 = 1 225

Por consiguiente

95 2 = 9 025

20 $ ^20 + 1 h = 420

Por consiguiente

205 2 = 42 025

Justificación de la regla. Un número acabado en 5, como a5, puede expresarse como 10a + 5 . El cuadrado de este número es:

^10a + 5h2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a ^a + 1h + 25

9 997 $ 10 003 = = ^10 000 - 3 h ^10 000 + 3 h = = 10 000 2 - 3 2 = = 100 000 000 - 9 = = 99 999 991

El producto de 100 y la expresión a ^a + 1h se ubica justo delante de 25.

•

Para elevar al cuadrado un número podemos usar los productos notables de la suma o la diferencia de dos términos. 272 = ^30 - 3h2 = 302 - 2 $ 30 $ 3 + 32 = 900 - 180 + 9 = 729

272 = ^25 + 2h2 = 252 + 2 $ 25 $ 2 + 22 = 625 + 100 + 4 = 729 632 = ^60 + 3h2 = 602 + 2 $ 60 $ 3 + 32 = 3 600 + 360 + 9 = 3 969

•

Recursos

3 $ ^ 3 + 1 h = 12

35 2

Para obtener el cuadrado de un número también podemos usar el producto notable de la suma por la diferencia. 988 2 = ^ 988 + 12 h ^ 988 - 12 h + 12 2 1 444444 2 44444 43 2 2

Ejercicios

988 - 12

Calcula mentalmente. a) 752

e) 712

b) 1052

f) 982

c) 3052

g) 1062

= 1000 $ 976 + 144 = 976 000 + 144 = 976 144

62 2 = ^ 62 + 2 h ^ 62 - 2 h + 2 2 1 4444 2 4444 3 2 2 62 - 2

Las personas con grandes habilidades para los cálculos simplifican las operaciones usando transformaciones algebraicas.

= 64 $ 60 + 2 2 = 3 840 + 4 = 3 844 El método se basa en la siguiente identidad algebraica:

a2 = ^a2 - b2h + b2 = ^a + bh ^a - bh + b2

d) 432 •

Para multiplicar dos números cercanos cuya diferencia es par usamos el producto notable de la suma por la diferencia. 97 $ 103 = ^100 - 3h ^100 + 3h = = 1002 - 32 = 10000 - 9 = 9991

1. Halla el resultado operando de la manera más eficiente que puedas. a) 552 b) 495

118

118

2

c) 482

e) 2792

2

2

d) 72

f) 561

g) 104 $ 96 h) 310 $ 290

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Taller de Matemática

Explicación del modelo geométrico del producto notable ^ a + bh ^ a - bh = a2 - b2

construye modelos geométricos 1. Construye en cartulina los modelos geométricos de los productos notables estudiados en la unidad. Los productos notables pueden analizarse mediante modelos geométricos. Utilizando estos modelos, los productos notables se justifican examinando la relación entre las áreas de superficies rectangulares y cuadradas.

1.° Construimos un rectángulo cuyos lados midan a + b y a - b.

1.º Dibuja, ampliándolos, cada uno de los siguientes modelos en cartulina. b a-b

a a

b

a

b

a-b

b a

a-b

b

b

2.° Separamos el pequeño rectángulo de lados a - b y b.

a

^a - bh2 = a2 - 2ab + b2

^a + bh2 = a2 + 2ab + b2 a+b+c

a-b

b

a b

b

c

a b

a a-b

c a

^a + bh ^a - bh = a2 - b2

3.° Colocamos el pequeño rectángulo al lado superior derecho de la figura.

^a + b + ch2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

2.º Escribe la expresión algebraica que corresponde a cada una de las superficies. Pinta de un mismo color las superficies que tienen la misma expresión algebraica. 3.º Recorta las piezas cortando por las líneas continuas.

a

4.º arma y desarma las figuras de cada modelo para justificar cada uno de los productos notables.

b b a

2. Desarrolla un modelo geométrico para cada uno de los siguientes productos notables. Dibújalo en cartulina y recórtalo.

a) ^a + b + c + dh2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd b) ^a + bh2 - ^a - bh2 = 4ab

c) ^a + bh2 + ^a - bh2 = 2a2 + 2b2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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119

4.° En esta última figura, la parte coloreada es precisamente a2 menos b2 , es decir: a2 - b2 . Luego: ^ a + bh ^ a - bh = a2 - b2

119

Evalúa tus logros

Sobre las actividades Actividades 8, 10 y 14. Después de desarrollar los productos notables, hay que reducir términos semejantes.

1. Desarrolla.

a) ^5x + y h2 b) ^1 + xh

d) ^9m + nh2

e) ^ p + 10qh

2

2

f) ^ x + 2h

c) ^7x + 2y h

2

2

3

2. Desarrolla. 2 a) b 3 x + y l 4

2 c) b 6 x + 1 l 5 2

2 b) b 5 a2 + 1 l 2

2 d) b 3 a2 b - 1 ab l 5 3

3. Desarrolla.

a) ^-7 - 4xh2

2 c) ^- 6x2 - 3xy h

2 b) ^- 12m - 4m2 nh

d) ^- 12abc2 - 6a 3 ch2

4. Desarrolla.

a) 7^ x + y h + 1A

8. Desarrolla aplicando las identidades de Legendre. a) ^7 + xh2 + ^7 - xh2

b) ^a + bch2 + ^a - bch2

c) ^9x + 1h2 + ^9x - 1h2

d) ^3x + 7h2 - ^3x - 7h2

e) ^12a + bh2 - ^12a - bh2

2 2 f) ^11m + 12m2h - ^11m - 12m2h

9. Desarrolla y luego reduce términos semejantes. a) 73 - ^ 5x - 1 hA

2

b) 7^ x - 6 h - x A

2 2

c) 7^ a - ab h - ^ 3a - 1 hA

2

d) 7^ 2x - y h - ^ 4x + 3y hA

2

10. Desarrolla aplicando productos notables. a) ^ a - 3b h2 - ^ a + 3b h2 + ^ 3a + b h2

2

b) 7y + ^ 6y 2 + 3 hA

b) ^ x 2 - 1 h2 + ^ 1 - x 2h2 - ^ 1 - x h2

2

c) 7^ x 2 + 1 h + ^ x 2 + 3 hA

c) ^ x2 + y2 + 2xy h ^ x2 + y2 - 2xy h

2

d) 7^ m + 3m 2h + ^ 3m + 1 hA

d) ^7 - mh2 + ^m + 7h2 - ^m - 7h2

2

5. Expresa con un polinomio el área de la figura. x-2 x+7

x-2

2 2 e) b 1 + x l - b x - 1 l + b x + 1 l 2 2 2

11. Obtén el cuadrado del número aplicando el producto notable del cuadrado de la suma de dos términos o el producto notable del cuadrado de la diferencia de dos términos. a) 27

x+1 x+7

b) 45

c) 62

12. Desarrolla.

a) ^5x + 2y + 4z h2

x+1

2 c) ^1 + x + 3x2h

b) ^a + 3b + 7ch

2 d) ^5 + a + 9a2h

2

6. Desarrolla.

a) ^3x - 2y h2

2 d) ^4x2 - 1h

c) ^7x - 3y h2

f) ^4 - x h

b) ^6x - y h

2

2 e) ^2x - y2h 2 2

7. Desarrolla. 2 a) b 2 x - 1 y l 2 3 2 b) b 4 a - b l 5

2 c) b 1 a - 2 ab l 4 3

2 d) b 2 a2 b - 7 a l 3 2

d) 78

13. Desarrolla.

a) ^4a - b - 5ch2

c) ^m - 3n + 4ph2

b) ^a + 3b - 7ch

d) ^6p - 3q + 5r h2

2

14. Desarrolla.

a) ^7 + 3a - bh2 + ^a - 2b + ch2

b) ^- 7 - ah2 + ^7 + 2ah2 - ^a - bh2 c) ^ x - y + z h2 - ^ y - x - z h2

d) ^1 - xh2 + ^1 + x - x2h - ^1 - xh2 2

120

120

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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15. Desarrolla.

a) ^m + 3n + 4p + 1h2

c) ^7m + 4p + q + 3r h2

2 b) ^5x 3 + 6x2 + x + 7h

d) ^ x + 3y + z + 3w h2

2 a) ^1 - x2 + 2x 3 + x 4h

2

y reduciendo términos semejantes cuando sea pertinente.

d) ^6 + 3m - 3n + 4ph2

a) ^a + b + ch2 - ^a - bh ^a + bh

17. Desarrolla.

2

c) ^ a - 2b - c h2 - ^ b - c h ^ b + c h + + 2 ^ 2bc - ac - 2ab h

b) ^a - 3b + 4c - d + eh

2

2 c) ^ x2 - 3x - 6 + y + z h

d) ^m - 2p - q + r h2 - ^m + 2p + q - r h2 + 2m2

2 d) ^1 - n + n2 + 2n 3 - 3x 4h

25. Desarrolla aplicando diferentes productos notables

18. Desarrolla y reduce.

a) ^a + 2b - ch2 - ^a - 2b + ch2

2 2 b) ^ x - 2x2 + x 3h + ^ x + 2x2 - x 3h - 2x6

c) ^m + 2n - p - qh - ^m + n - p + qh 2

2

19. Desarrolla aplicando productos notables.

c) ^m - 10nh ^m + 10nh d) ^2x + y h ^ y - 2xh

20. Multiplica utilizando el producto notable de la suma por la diferencia de dos términos. c) 31 $ 15

d) 25 $ ^- 9h

21. Desarrolla.

a) 73x - ^ 6 - x hA 73x + ^ 6 - x hA

b) 77a + ^ a - 1 hA 77a - ^ a - 1 hA

c) 7^ 4x - y h - 2xA 7^ 4x - y h + 2xA d) 7^ m - n h + 2pA 7^ m - n h - 2pA

22. Desarrolla.

a) 7^ a - b h + ^ b - c hA 7^ a - b h - ^ b - chA

b) 7^ 2x - 1 h + ^ 3x + 1 hA 7^ 2x - 1 h - ^ 3x + 1 hA

c) 7^ m 2 + 1 h - ^ m 2 - 2 hA 7^ m 2 + 1 h + ^ m 2 - 2 hA d) 7^ 3 - x h + ^ 3 + x hA 7^ 3 - x h - ^ 3 + x hA

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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y reduciendo términos semejantes cuando sea pertinente. a) ^ x + 5h ^ x - 5h ^ x2 + 1h

b) ^a + 1h ^a - 1h ^a + 2h ^a - 2h

c) ^a + 7h2 ^a - 7h2 - ^a - 7h ^a + 7h

d) ^a - 3h ^a + 8h

c) ^ x - 7h ^ x + 10h

f) ^n - 4h ^n - 11h

27. Desarrolla.

a) ^a + 7bh ^a + 3bh

b) ^m - 6xh ^m + 5xh

–– Preparo material didáctico. A veces. Todas las veces. –– Promuevo el trabajo cooperativo para que los estudiantes compartan sus conocimientos. Todas las veces.

a) ^ x + 3h ^ x + 9h b) ^ x + 6h ^ x + 4h

A veces.

A veces.

2 2 d) ^ x2 + x - 1h - ^ x2 + x + 1h

26. Desarrolla.

–– Realizo actividades para recuperar los conocimientos previos de los estudiantes y, de este modo, facilitar el aprendizaje. Todas las veces.

b) ^2x - y + 3h + ^ x - y h ^ x + y h - 6 ^2x + y h

a) ^2a + b - c + d - 3eh2

b) 54 $ 36

b) ^n + 2n + 1h ^n - 2n - 1h 2

24. Desarrolla aplicando diferentes productos notables

2 c) ^1 - a + a2 - 3a 3h

a) 37 $ 23

a) ^m + n - 2h ^m - n + 2h

d) ^2a - b - ch ^2a - b + ch

2 b) ^6x2 - 16x - 5w - v h

b) ^ x + 7y h ^ x - 7y h

ferencia de dos términos agrupando previamente.

c) ^a2 - 2a + 3h ^a2 + 2a + 3h

16. Desarrolla.

a) ^a + 3bh ^a - 3bh

23. Aplica el producto notable de la suma por la di-

Mi desempeño como docente

e) ^m - 8h ^m - 7h

c) ^ p - 8qh ^ p + 4qh d) ^m - 6ah ^m - ah

28. Desarrolla.

a) ^ x2 - 6h ^ x2 - 9h

b) ^ x2 + 2y h ^ x2 - 5y h c) ^ y2 - 6xh ^ y2 - 4xh

d) ^m 3 - 8ph ^m 3 + 5ph

29. Desarrolla.

a) ^4x - 3h ^5x - 2h b) ^8x + 6h ^5x - 3h

c) ^9x + 3y h ^9x - 5y h

d) ^12a - bh ^3a + 4bh

121

121

Sobre las actividades y reduciendo términos semejantes cuando sea pertinente. a) ^ x - 2h2 - ^ x - 2h ^ x + 2h

34. Expresa el área de las figuras mediante un polinomio. Utiliza productos notables. 2x + 5

a)

2x - 5

b) 6x ^ x - 3h ^ x + 3h - ^ x - 3h2 c) 2 ^ x + y h2 + 1 - ^2x2 + 1h

x+2

d) y2 ^1 - 2y h ^2 + 2y h

x+2

31. Ilustra las siguientes multiplicaciones utilizando el área del rectángulo. Observa el ejemplo. ^ x + 1h ^ x + 3h

x

1

x

3

x2

3x

rLA2 - rLB2

c) ^ x + 3h2

b) ^2x + 2h ^ x + 1h

d) ^ x + 3h ^ x - 3h

32. Escribe el producto notable que está representado en el siguiente modelo geométrico. a

x+1

bricar una tubería de concreto de longitud L, radio interior B y radio exterior A es:

Área = ^ x + 1h ^ x + 3h = x2 + 4x + 3

a) ^ x + 2h ^ x + 3h

2x + 3 x+1

35. La cantidad de cemento que se necesita para fa-

3

x

4x - 5

3x - 4

2x + 3

b)

x+1

f) ^ x2n - x n + 1h ^ x2n - x n - 2h

4x + 5

e) x2 ^4 - xh ^2 - 3xh

x+1

–– Actividad 35. La fórmula resulta de sustraer el volumen de un cilindro de radio B y altura L al volumen de un cilindro de radio A y altura L.

30. Desarrolla aplicando diferentes productos notables

3x + 4

–– Actividad 30, inciso f. Hay que reagrupar los términos de tal modo que la operación tenga la forma: ^ X + ah ^ X - bh

b

a

b

33. Desarrolla aplicando diferentes productos notables y reduciendo términos semejantes cuando sea pertinente.

L

A

B

Halla la cantidad de cemento que se necesita para fabricar 1 000 m de tubería (1 000 m de largo) con un diámetro interior de 65 cm y un diámetro exterior de 69,5 cm. Utiliza r = 3, 14 .

36. Cuando se remodelaron dos calles perpendiculares y adyacentes a un terreno cuadrado, ubicado en una esquina, el terreno perdió un área de 94 m2. Una calle le quitó 3 metros en uno de sus lados y la otra 2 m en el otro lado. ¿Cuáles eran las dimensiones originales del terreno y cuáles son las nuevas dimensiones?

2 2 2 a) ^a2 + 2ab - b2h + ^a2 - 2ab - b2h - ^a2 + b2h

b) ^a - b + c - dh ^a - b - c + dh + ^c - dh2 + ^a + bh2 c) ^ x + 1 h ^ x - 1 h ^ x 2 - x + 1 h ^ x 2 + x + 1 h $ $ ^ x 2 + 1h ^ x 4 - x 2 + 1h

d) ^a + b + ch2 + ^a + b - ch2 - ^a - b + ch2 2 -^ a - b - c h

122

122

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Matemática y valores

Responsabilidad

Valores RESPONSABILIDAD

Utiliza tus conocimientos sobre productos notables para buscar procedimientos eficientes en la realización de cálculos algebraicos.

37. Busca un método eficiente para encontrar el polinomio resultante de: ^m 2 - m + 1 h2 ^m 2 + m + 1 h2

2 2 Observa que si desarrollas ^m2 - m + 1h y ^m2 + m + 1h como una multiplicación de polinomios, obtendrás 9 términos en cada caso. Después, al multiplicar ambos desarrollos, obtendrás 9 $ 9 = 81 términos. Finalmente, tendrás que reducir los términos semejantes. aunque este procedimiento es efectivo es demasiado largo.

En algunas situaciones, la eficiencia es una forma de responsabilidad.

38. Considera la siguiente expresión y responde a las preguntas. 7^ x 2 - 1h + ^ x + 3 hA - 7^ x 2 - 1h - ^ x + 3 hA 2

2

a) Si desarrollas la expresión realizando solo multiplicaciones (sin utilizar productos notables) y no reduces términos semejantes, ¿cuántos términos obtienes?

En la matemática, muchos cálculos son largos y morosos si se los realiza con los procedimientos normales. Para acortar el proceso es conveniente aplicar leyes o propiedades matemáticas. Los productos notables son leyes (del tipo de las identidades) que permiten calcular productos de forma directa. La búsqueda de métodos eficientes en la matemática, además de su interés teórico, tiene importancia práctica. Las tecnologías de la información, por ejemplo, requieren de procedimientos matemáticos eficientes.

b) Si aplicas una de las identidades de Legendre, ¿cuántos términos obtienes antes de reducir términos semejantes? ¿cuál es el resultado? Identidades de Legendre ^ a + b h2 + ^ a - b h2 = 2a 2 + 2b 2 ^ a + b h2 - ^ a - b h2 = 4ab

39. Considera la siguiente expresión y responde a las preguntas.

^ x 3 - 2 x 2 + x - 2 h2 + ^ x 2 - 3 x - 1 h2 - ^ x 3 - 1 h2 + ^ x 2 + 2 x h2 - x 2 ^ x 4 + 3 x 2 - 8 x + 3 h + 5

a) Si desarrollas la expresión realizando solo multiplicaciones (sin utilizar productos notables) y no reduces términos semejantes, ¿cuántos términos obtienes? b) Si aplicas productos notables, ¿cuántos términos obtienes antes de reducir términos semejantes? ¿cuál es el resultado?

40. Expresa el área de la figura mediante un polinomio.

2x + 1

x+1

2x + 1

3x + 2

2x + 1

2x + 1

a) calcula el área realizando solo multiplicaciones de polinomios (sin usar productos notables). b) calcula el área aplicando productos notables.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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123

123

Sugerencia de temporalización

7

Febrero

Productos y cocientes notables

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores

• ¿Por qué a n + b n = c n se cumple si n = 2 ?

Unidos por el álgebra El año 825, el gran matemático árabe Al-Khowarizmi escribió el libro Kitab al-jabr w’al-muqâbalah. Del título de esta obra, que influyó profundamente en los matemáticos europeos, proviene la palabra “álgebra”.

La disciplina y la originalidad son valores importantes en todas las actividades humanas. Gracias a esos valores la matemática se ha construido para beneficio de la humanidad. En la educación debemos formar personas capaces de afrontar sus desafíos con originalidad y disciplina.

En el siglo XVII, el matemático francés Pierre de Fermat escribió en el margen de un libro que estaba leyendo: “no existen a, b, c, enteros positivos tales que si n 2 2 se cumpla an + bn = c n ”, pero no escribió la prueba que dijo había descubierto. Durante más de trescientos años nadie logró demostrar este teorema hasta que, en 1995, lo hizo el matemático británico Andrew Wiles.

• ¿Cuáles son las obras colectivas de la humanidad en las que más te gustaría participar?

El álgebra, como toda la matemática, es producto del trabajo de muchas personas de distintas culturas, tiempos y lugares. Es como una gran obra de cooperación, constancia y perseverancia colectivas. Cada matemático hace su contribución en un esfuerzo que se desarrolla a través de los siglos.

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que repasen sus conocimientos sobre multiplicación y división de polinomios y sobre los productos notables estudiados en la unidad anterior.

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Posibles dificultades en la unidad

RECuERdA 1. Calcula el área del rectángulo.

Área de un rectángulo El área de un rectángulo es igual al producto de la base (b) por la altura (h).

x

A> = b $ h

h

Los estudiantes tendrán dificultades si no han comprendido el concepto de producto notable y si no dominan los productos notables estudiados en la unidad anterior.

x+1

2x + 1

x+2

b

Volumen de un prisma de base rectangular El volumen de un prisma recto de base rectangular es igual al producto de las longitudes de sus aristas.

del prisma.

x

2x + 1

c

V = a$b$c

x+3

b

a

Operaciones combinadas con monomios La jerarquía de las operaciones: 1.º Potencias y raíces. 2.º Multiplicaciones y divisiones. 3.º Adiciones y sustracciones. Las operaciones entre paréntesis o dentro de un signo radical se realizan primero en el orden indicado.

Multiplicación de polinomios

^ x + 2h = ^ x + 2h ^ x + 2h = ^ x + 4x + 4h ^ x + 2h x 2 + 4x + 4 x+2 x 3 + 4x 2 + 4x 2x 2 + 8x + 8 3 x + 6x 2 + 12x + 8 3

2

2

2

6x + 3x - 6x - 7 - 6x 3 + 18x 2

2x

+1

Vocabulario matemático

x

Cociente notable

3. Determina. a)

3

8 a6 + ^2ah2

2 2 b) ^3a2h ^2b 3h

c)

Cubo de un binomio

16a 4 b2 ' 2ab

Divisibilidad

d) ^2a + 4ah2 $ ^2b + 4bh2

Triángulo de Pascal

12a 2 + 4a 2 - ^ 8a 2 ' 2a h

e)

f) 7 4a2 $ 16a 4 + ^a + 2ah3 A ' 5a

4. Multiplica siguiendo el ejemplo. a) ^ x + 3h3

d) ^a - 1h3

c) ^a - 5h

3 f) ^ x2 - 1h

b) ^ x + 7h3

3

e) ^m + 4h3

5. Divide e indica si la división es exacta.

División de polinomios 3

2. Calcula el volumen

x-3 6x 2 + 21x + 57

2

21x - 6x - 21x 2 + 63x 57x - 7 - 57x + 171 ^164 h ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

a) x2 - 6x - 1 entre x + 2 . b) x 3 + 3x2 + 5x - 3 entre x - 2 . c) x 4 + x2 + 3x - 1 entre x - 2 . d) 3x5 - x 3 + x - 6 entre x + 3 . e) x 4 - 1 entre x + 1 .

125

125

Más información Puntualizaciones sobre el cubo de un binomio

Cubo de un binomio El cubo de un binomio puede representarse geométricamente mediante el volumen de un cubo cuya arista es igual a a + b .

–– Los números que aparecen (como coeficientes o como términos independientes) en el binomio que se eleva al cubo pueden pertenecer a cualquier conjunto numérico: natural, entero, racional o irracional. –– El cubo de un binomio, ^a + bh3, se puede desarrollar también a partir de otros productos notables: ^a + bh3 = ^a + bh2 ^a + bh

a+ a

b

ab2

b

b

a2b

a2b

a

a3

a a+b b

b

ab

2

a2b

Hay que tener en cuenta que: ^- a + bh3 ! ^a - bh3 ^- a - bh3 = - ^a + bh3

b3 ab2

b a

^a + b h3

=

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

El producto a 3 b 0 + 3a 2 b + 3ab 2 + a 0 b 3 tiene las siguientes características: •

Está formado por cuatro términos.

• El primer término del binomio se presenta en el producto siguiendo

esta pauta: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 ; es decir, su exponente va disminuyendo. • El segundo término del binomio se presenta en el producto siguiendo

esta pauta: b 0 + b1 + b2 + b 3 ; es decir, su exponente va aumentando. •

Los términos segundo y tercero tienen coeficiente 3. En general:

^a + bh3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b 3

El cubo de la suma de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. El cubo de una resta se deduce de la fórmula del cubo de la suma:

^a - b h3 = 7a + ^- b hA = a 3 + 3a 2 ^ - b h + 3a ^ - b h2 + ^ - b h3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 3

En el desarrollo de ^a + bh3 todos los signos son + .

En el desarrollo de ^ a - b h3 los signos se intercalan: +-+- .

1. Desarrolla utilizando el producto notable. ^ x + 2 h3 = x 3 + 3 $ x 2 $ 2 + 3 $ x $ 2 2 + 2 3 = = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 a) ^ x + 3h3

b) ^2x + 3h3

c) ^ x + 5y h3

d) ^10 + mh3

3 e) ^3p2 + 1h

3 f) ^n 3 + 12h

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Sugerencias metodológicas Tic Cubo de un binomio. Un juego de tiro al blanco sirve para identificar la respuesta correcta.

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–– Con sus estudiantes dibuje sobre cartulina todos los modelos geométricos de los productos notables vistos hasta el momento y, junto con ellos, colóquelos en las paredes del aula. –– Pida a los estudiantes que memoricen la regla del cubo de un binomio. –– Otorgue particular importancia a que sus estudiantes comprendan la demostración geométrica del cubo de un binomio. –– Aclare que ^ a + bh3 ! a 3 + b 3 .

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Recursos

2. Desarrolla. ^5x + 3y h3 = ^5xh3 + 3 $ ^5xh2 $ 3y + 3 $ 5x $ ^3y h2 + ^3y h3 = = 125x 3 + 3 $ 25x2 $ 3y + 3 $ 5x $ 9y2 + 27y 3 = = 125x 3 + 225x2 y + 135xy2 + 27y 3 a) ^5a + 2bh3

3 e) ^3xy2 + yz h

i)

3 b) ^7x + y2h

3 f) ^10a2 b 3 + 2bh

j)

3 g) ^0, 5x 3 + 3xy h

c) ^10xy + 3y h3

3 h) ^6a2 + 2, 5abh

3 d) ^ x2 + 5y h

Ejercicios Desarrolla.

a) ^3x5 + 0, 777...h

3

3 b) b0, 2a 3 - 1 l 3

3 3 5 b3 +y l

3 4 b 3 x + 2xy l

3 c) b 2 x 3 + 3 l 3 2

3 k) b 1 x2 + 3 yz l 2 4

l)

b

0, 2 4 m 3 l mn 5

3. Desarrolla aplicando el producto notable. 1. ^ x - 2 h3 = x 3 - 3 $ x 2 $ 2 + 3 $ x $ 2 2 - 2 3 = = x 3 - 6x 2 + 12x - 8 3 3 2 2. b 1 - x 3 l = b 1 l - 3 b 1 l ^ x 3h + 3 b 1 l ^ x 3h2 - ^ x 3h3 = 2 2 2 2 = 1 - 3 $ 1 $ x3 + 3 $ 1 $ x6 - x9 = 2 4 8 = 1 - 3 x3 + 3 x6 - x9 8 4 2 3 e) ^ x 3 - 2y h

a) ^ x - 3h3

b) ^ x - 2y h3

c) ^2a - 5bh3

i)

f) ^0, 2a - bh3

j)

3 h) b 2 x2 - 3xy l 3

l)

g) ^1, 5x - 3, 5h3

3 d) ^ x2 - 1h

3 3 1 b 3 mn - 2n l

1 3 b4ab - b l 3 k) b- 1 x 4 y - 2x2 y5 l 2 x3 y 3 c 3 + m 10 3

4. Verifica la desigualdad y la igualdad del recuadro. ^- a + b h3 ! ^a + b h3 y ^ - a - b h3 =- ^a + b h3 a) ^- 5 + xh3 ! ^5 - xh3

b) ^- x + 2y h ! ^ x - 2y h 3

3

5. Desarrolla aplicando productos notables. a) ^a + bh3 - ^a - bh3 b) ^a + bh + ^a - bh 3

6.

3

c) ^- 6 - xh3 =-^6 + xh3

3 3 d) ^- 2 - x2h =-^2 + x2h

c) ^m + 2nh3 - m ^m + 2nh2 - 8n ^n + 2mh2 d) ^m - 1h3 ^m + 1h3

Investiga. Indica si las siguientes igualdades son correctas y explica por qué.

a) ^m + nh3 = m 3 + n 3 + 3mn ^m + nh b) ^m - nh3 = m 3 - n 3 + 3mn ^n - mh

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127

Más información Puntualizaciones sobre el triángulo de Pascal –– El triángulo de Pascal siempre se inicia en un triángulo en cuyos vértices se escribe el número 1, es decir: 1 1 1

El triángulo de Pascal y la potencia n-ésima de un binomio La siguiente disposición de números se conoce como “Triángulo de Pascal”. En cada fila, los números ubicados entre los unos del principio y el final se obtienen sumando los dos números adyacentes de la fila superior. fila 0 fila 1 fila 2 fila 3 fila 4 fila 5 fila 6 fila 7 fila 8 fila 9 fila 10

–– El triángulo de Pascal solo se aplica a las potencias de un binomio, pero puede utilizarse para cualquier polinomio que pueda reescribirse como un binomio.

...

–– El exponente del binomio debe ser un número natural.

1 1 1 1

3

1

4

1 1 1

7

10 15

21

1 4

10 20

35

El llamado Triángulo de Pascal fue estudiado, antes que por Pascal (s. XVII), por los matemáticos chinos de los siglos XIII y XIV.

1 3

6

5 6

1 2

1 5

15 35

1 6

21

1 7

1 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 h 1

8

28

Ordenando en forma triangular las potencias del binomio ^a + bh y comparándolas con el triángulo de Pascal podemos encontrar una regularidad que nos permita hallar el producto notable de ^a + bhn .

^a + b h0 =

1

^a + b h1 = ^a + b h2 = ^a + b h3 = ^a + b h4 = ^a + b h5 =

1a 3 1a 4 + 1a 5 + 5a 4 b

1a

+

1b

1a 2

+

2ab

+

1b 2

+

3a 2 b

+

3ab2

+

4a 3 b

+

6a2 b2

+

4ab 3

+

10a 3 b2

+

10a2 b 3

+

^a + b h6 = 1a6 + 6a5 b + 15a 4 b2

+

20a 3 b 3

+

1b 3 + 1b 4 5ab 4 + 1b5

15a2 b 4 + 6ab5 + 1b6

Observemos el triángulo de Pascal y el desarrollo de las potencias del binomio. •

•

En el desarrollo de los binomios hay tantos términos como el exponente del binomio aumentado en 1. Y en cada fila del triángulo de Pascal hay un término más que el número de fila.

Los coeficientes de los desarrollos de ^ a + b hn coinciden con los números del triángulo de Pascal.

•

En el desarrollo de los binomios, los exponentes de a comienzan con el mismo exponente de ^ a + b hn y luego disminuyen de uno en uno hasta a 0 (que desaparece pues a 0 = 1 ).

•

Los exponentes de b se comportan de manera similar a los de a, pero en sentido contrario.

•

Los signos de todos los términos de ^ a + b hn son positivos, pero los signos de los términos de ^ a - b hn se alternan: + , - , + , - , ...

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Sugerencias metodológicas –– Quizá sea necesario que los estudiantes practiquen previamente con potencias de números naturales. 12 13 22 23 32 192 202 10 3 –– Si plantea ejercicios con exponentes grandes (8, 9, 10, ...) cuide que en el binomio aparezcan números pequeños o solo letras. Evite los ejercicios “agotadores”.

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Recursos

1. Determina las filas 11 y 12 del triángulo de Pascal. 2. Desarrolla las potencias utilizando el triángulo de Pascal. ^ x + 2h5

Ejercicios Desarrolla aplicando el triángulo de Pascal.

utilizamos los números de la fila 5 del triángulo de Pascal.

^ x + 2 h5 = 1 $ x 5 + 5 $ x 4 $ 2 + 10 $ x 3 $ 2 2 + 10 $ x 2 $ 2 3 + 5 $ x $ 2 4 + 1 $ 2 5 = = x 5 + 10x 4 + 40x 3 + 80x 2 + 80x + 32

a) ^ x + 2h4

c) ^2x + 1h6 7 d) ^2 - y2h

b) ^ x + 3h5

4 e) ^3x2 y + 5xy h

5 f) ^0, 1x2 + 10xy2h

a) ^1 - x 3h

12

b) ^ a2 b + bch

3 g) ^1 + 3x2 y h

c) b 2 x - 0, 1777... l 3

h) ^3x + 2h10

3. Desarrolla. 1 24 b3x - 2 xy l

13 5

utilizamos los números de la fila 4 del triángulo de Pascal.

1 24 1 2 1 22 1 23 1 24 4 3 2 b 3x - 2 xy l = 1 $ ^ 3x h - 4 $ ^ 3x h $ b 2 xy l + 6 $ ^ 3x h $ b 2 xy l - 4 $ ^ 3x h $ b 2 xy l + 1 $ b 2 xy l = = 81x 4 - 4 $ 27x 3 $ 1 xy 2 + 6 $ 9x 2 $ 1 x 2 y 4 - 4 $ 3x $ 1 x 3 y 6 + 1 x 4 y 8 = 8 16 4 2 27 3 1 4 4 2 4 4 4 6 4 8 x y - x y + x y = 81x - 54x y + 2 2 16 a) b x - 1 l 2

6 c) b 3 x - y l 4

5

5 b) b a - 3 b l 2

7 e) b1 - 3 ab 3 l 4

6 d) b x 3 - 2 y l 3

7 f) b 3 m - 1 m2 n l 4 3

4. Sin desarrollar, halla el término central. Si n es un número par, el desarrollo del binomio ^ a + b hn tiene un término central, que es el único en el cual los exponentes de a y de b son ambos iguales a n . El coeficiente de ese término se toma del triángulo de Pascal. 2

^3x - 2 h4

para hallar el término central utilizamos el 6 central de la fila 4 del triángulo

6 $ ^ 3x h2 $ 2 2 = 216x 2

Observa que el término central del desarrollo de ^ a - b h4 es positivo. a) ^2x - 1h4

6 b) ^ x2 - 3y h

5. 6.

6 c) a x + 4y k 2

8 d) b0, 5a - 2 l 3

8 e) a3 - x k 2

8 f) b 2 n2 + m l 5 n

10 g) b 2 x2 y + 3 xy l 3 2

12 h) b 1 ab 3 - 2 bc l 4 5

Investiga. ¿Cuál es el binomio y cuál su exponente si el término central del desarrollo es - 20 $ 27 x 3 $ 8 ? Investiga. Busca una manera de desarrollar el trinomio ^ x + y + z h4 utilizando

el triángulo de Pascal.

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Más información Puntualizaciones sobre el método alternativo –– El exponente del binomio tiene que ser un número natural. –– En el desarrollo del procedimiento es útil simplificar las fracciones que surgen.

Método alternativo para el desarrollo de ^a ! bhn Existe una técnica para calcular los coeficientes del desarrollo de ^a + bhn que no requiere del triángulo de Pascal. Fíjate en el siguiente ejemplo.

^a + b h5 = 1a 5 + 5a 4 b 1 + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5a 1 b 4 + 1b 5 5$4 = 10 1+1

•

Cuando hemos obtenido el término n , encontramos el coeficiente del término n + 1 del siguiente modo: multiplicamos el coeficiente del término n por el exponente de la variable a y el resultado lo dividimos por el exponente de la variable b aumentado en 1.

•

Los coeficientes se repiten simétricamente a partir de la mitad del desarrollo.

Desarrolla

b) ^0, 2a + 5h5

En la matemática hay diversos caminos para resolver un problema, unos más largos, otros más directos.

5$1 =1 4+1

El coeficiente del segundo término es igual al exponente de ^a ! bh n .

Recursos

a) ^2x - 0, 1212...h4

10 $ 2 =5 3+1

Para hallar los coeficientes de ^ a ! b h n debemos tener en cuenta que: • El coeficiente del primer término es siempre 1. •

Ejercicios

10 $ 3 = 10 2+1

1. Desarrolla utilizando el método estudiado en esta página. 1. ^ 4x 3 + 2 h5 = ^ 4x 3 h5 + 5 $ ^ 4x 3 h4 $ 2 1 + 10 $ ^ 4x 3 h3 $ 2 2 + 10 $ ^ 4x 3 h2 $ 2 3 + 5 $ ^ 4x 3 h $ 2 4 + 1 $ 2 5 = 5$4 = 10 1+1

10 $ 3 = 10 2+1

10 $ 2 =5 3+1

5$1 =1 4+1

= 1 024x 15 + 5 $ 256x 12 $ 2 + 10 $ 64x 9 $ 4 + 10 $ 16x 6 $ 8 + 5 $ 4x 3 $ 16 + 32 = = 1 024x 15 + 2 560x 12 + 2 560x 9 + 1 280x 6 + 320x 3 + 32 6 6 5 4 3 2 1 2. ` x - 3 j = ` x j - 6 ` x j $ 3 1 + 15 ` x j $ 3 2 - 20 ` x j $ 3 3 + 15 ` x j $ 3 4 - 6 ` x j $ 3 5 + 1 $ 3 6 = 2 2 2 2 2 2 2

6$5 = 15 1+1

15 $ 4 = 20 2+1

20 $ 3 = 15 3+1

15 $ 2 =6 4+1

6$1 =1 5+1

6 5 4 3 2 = x - 6 $ x $ 3 + 15 $ x $ 9 - 20 $ x $ 27 + 15 $ x $ 81 - 6 $ x $ 243 + 729 = 64 32 16 8 4 2 6 9 135 135 1215 x 5 4 3 2 x + x x + x - 729x + 729 = 64 16 16 2 4

a) ^ x - 2h5

7 c) ^2x2 - 3h

b) ^2x + 3h4

6 d) b 3x + 2 l 2 3

8 e) a x + 2 k 2

5 f) b 2 + 3m l m

g) ^4x - 0, 5h4 7 h) b0, 5a2 + 2 l a

2. Halla los primeros cuatro términos de cada desarrollo. a) ^ x + y h15

b) a2x +

y 12 k 4

130

c) ^ x - y h17

20 d) b a2 + 1 l 12

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Tic Potencias enteras y el triángulo de Pascal. Hay que elegir la respuesta correcta.

Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que elaboren en cartulina un esquema que muestre cómo se obtienen los coeficientes en el desarrollo del binomio.

Triángulo de Pascal. Con una flecha hay que señalar la ficha que verifica la igualdad.

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Más información

Cocientes notables. División de a n - b n entre a - b

Puntualizaciones sobre los cocientes notables

En ciertas divisiones algebraicas se dice que el cociente es notable porque puede obtenerse sin necesidad de realizar la división paso a paso, sino simplemente examinando la forma del dividendo y el divisor.

Toda división de la forma

n n uno de los cocientes notables tiene la forma a - b . a-b

a n - b n , sea n par o impar, a-b se puede desarrollar como cociente notable.

Observemos el cociente y el resto en las siguientes divisiones que tienen la forma indicada. a3 - a3 + a2 b

- b3

a4

a-b a 2 + ab + b 2

- b4

- a4 + a3 b a3 b

2

a b - a 2 b + ab 2

n n Si no tiene la forma a ! b a!b

a-b a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3

3

2

no se puede desarrollar como cociente notable.

2

-a b+a b a2 b2

ab 2 - b 3 - ab 2 + b 3

^0h

- a 2 b 2 + ab 3 ab 3 - b 4

(división exacta)

- ab 3 + b 4 ^0h

3 3 Luego: a - b = a2 + ab + b2 a-b

Recursos (división exacta)

Ejercicios

4 4 Luego: a - b = a 3 + a2 b + ab2 + b 3 a-b

Desarrolla como cociente notable. 8 a) 16 - x2 2-x

n n Las divisiones de la forma a - b son exactas ( resto = 0 ) y el cociena-b te tiene la forma general:

a n - b n = a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b2 + f + a2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1 a-b

b)

4 c) a - 81 a-3

1. Desarrolla aplicando el cociente notable. 8x 3 - 1 2x - 1

llevando a la forma general

x9 - 27y 3 x 3 - 3y

^2xh3 - 1 3 3 1 3 2 = ^2x h - + ^2xh - $ 1 3 - 2 + 1 3 - 1 = 4x2 + 2x + 1 2x - 1

5 a) 32x - 1 2x - 1

6 c) 27x2 - 8 3x - 2

7 e) x - 128 x-2

3 b) 1 - z 1-z

12 d) 1 - m 3 1-m

f)

243m10 - n5 3m 2 - n

x15 g) 125 - 343 5 - 7x 5

i)

1 - 512a9 1 - 2a

4 8 h) 16m - 812n 2m - 3n

j)

a2 - b2 a-b

2. Inventa cuatro cocientes notables que tengan la forma estudiada en esta página. 3. ¿Cuáles de las siguientes divisiones corresponden al cociente notable estudiado? 2 a) a - 49 a-7

2 c) 4 + x 2-x

e)

625x - y 4 5x - y

6 2 g) 36 - a3 b 6-a b

3 b) 1 - z 1-z

12 d) 1 - m 3 1-m

f)

243m10 - n5 3m 2 - n

4 h) 81a + 1 3a + 1

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

131

Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que resuelvan algunas divisiones mediante dos métodos: el de productos notables y el de la división corriente de polinomios. Que comparen los cocientes obtenidos.

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131

Más información

Cocientes notables. Divisibilidad de a n ! b n entre a ! b

La forma general de los cocientes notables

n n Examinemos los cuatro casos posibles de divisibilidad del tipo a ! b : a!b

En la forma general de los n

n n 1) a - b a-b

n

cocientes notables, a ! b , a!b se observa que los términos a y b del denominador se hallan en el numerador elevados al mismo exponente; este exponente debe ser un número natural.

n n 2) a - b a+b

n n 3) a + b a+b

n n 4) a + b a-b

Analicemos cada uno de los casos mediante el teorema del resto o residuo. El teorema del resto sostiene que el resto de la división P^ x h ' ^ x - ah es igual al resultado de evaluar el polinomio P^ x h para x = a . Por tanto, si P^ah = 0 , el resto es cero y la división P ^ x h ' ^ x - a h es exacta.

n n Solo la división a - b a-b es siempre exacta, sea n par o impar.

En los cuatro casos, consideramos el polinomio en a P ^ a h = a n ! b n y evaluamos el polinomio P^ah en b para conocer el residuo. •

n n Caso a - b . Evaluamos el polinomio P^ah en b: a-b

P^bh = b n - b n = 0 •

El resultado es 0. Por lo tanto:

a n - b n es exacta. a-b

n n Caso a - b . Evaluamos el polinomio P^ah en - b: a+b

n n n n P^- bh = ^- bhn - b n *si n es par: ^- bh - b = b - b = 0 n n n si n es impar: ^- bh - b =- b - b n =-2b n

n n Por lo tanto: a - b es exacta solo si n es par. a+b

•

n n Caso a + b . Evaluamos el polinomio P^ah en - b: a+b

n n n n n P^- bh = ^- bhn + b n *si n es par: ^- bh + b = b + b = 2b n n n n si n es impar: ^- bh + b =- b + b = 0

n n Por lo tanto: a + b es exacta solo si n es impar. a+b

•

n n Caso a + b . Evaluamos el polinomio P^ah en b: a-b

P ^ b h = b n + b n = 2b n

El resultado no es 0. Por lo tanto:

a n + b n no es exacta. a-b

El resultado de nuestro análisis se resume en la regla SPIN: •

a n - b n siempre es exacta. a-b

S

•

a n - b n es exacta solo si n es par. a+b

P

•

a n + b n es exacta solo si n es impar. a+b

I

•

a n + b n nunca es exacta. a-b

N

132

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Tic Cocientes notables. Hay que elegir la respuesta correcta. Divisibilidad en cocientes notables. Hay que elegir el término que sirve para formar un cociente notable.

132

Sugerencias metodológicas –– Pida a los estudiantes que elaboren en cartulina un cuadro con el resumen de la regla SPIN y otros cuadros con las características de los cocientes de cada uno de los tipos de cocientes notables. Algunos de estos cuadros pueden colocarse en las paredes del aula. –– Es muy importante que los estudiantes puedan reconocer si una división corresponde o no a alguno de los tipos de cocientes notables o si puede reescribirse de tal manera que pueda resolverse aplicando alguno de los cocientes notables.

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Los cocientes de las divisiones exactas se adecúan a los siguientes patrones generales: •

a n - b n = a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b2 + f + a2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1 a-b

•

a n - b n = a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... - a 2 b n - 3 + ab n - 2 - b n - 1 (n es par) a+b

•

a n + b n = a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... + a 2 b n - 3 - ab n - 2 + b n - 1 (n es impar) a+b

Los cocientes tienen las siguientes características: •

Tienen n términos.

•

El primer término es a n - 1 ; en los siguientes términos el exponente de a disminuye de uno en uno.

•

El segundo término es a n - 2 b ; en los siguientes términos el exponente de b aumenta de uno en uno, hasta llegar al último término que es b n - 1 .

•

Si el divisor es a - b , todos los signos del cociente son positivos.

•

Si el divisor es a + b , los signos del cociente se alternan: +, -, +, ...

1. Realiza las divisiones del modo usual e indica el cociente y el residuo. 3 a) 125 - x 5+x

2 b) 4x + 9 2x - 3

12 c) m 3 + 1 m +1

5 d) n - 32 n+2

2. Calcula el cociente de las divisiones aplicando cocientes notables. 64x 12 - y 6 = 2x 2 + y

llevando a la forma general

=

^ 2x 2h6 - y 6 = 2x 2 + y

= ^ 2x 2 h5 - ^ 2x 2 h4 y + ^ 2x 2 h3 y 2 - ^ 2x 2 h2 y 3 + ^ 2x 2 h y 4 - y 5 = = 32x 10 - 16x 8 y + 8x 6 y 2 - 4x 4 y 3 + 2x 2 y 4 - y 5 125 - ^a + 1h3 5 - ^a + 1h

6 a) 1 - a 1+a

c)

x6 - 49y6 x 3 + 7y 3

e)

1 024x10 + 243y15 4x 2 + 3y 3

g)

12 b) 1 - x 4 1-x

d)

1 000x6 + 8y12 10x2 + 2y 4

f)

729 - 512b 3 9 - 8b

h)

243m10 + 1 32 3m 2 + 1 2

g)

16 + p16 2 - p4

h)

^a + bh6 + c6 ^a + bh - c

3. Aplica la regla SPIN para determinar si la división es exacta. Si lo es, indica el cociente. Si no lo es, indica el residuo. a)

27 - 8y 3 3 - 2y

6 c) a 2- 64 a +4

21 7 e) a 3 + b a -b

b)

49 - y6 7 + y3

6 3 d) 27a2 + b 3a + b

f)

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m 4 + 10 000 m + 10

133

133

Recursos

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Pensamiento crítico e investigación

Buscar regularidades y generalizar

Enuncia una regularidad que permita determinar el número de diagonales de un polígono convexo. Indica si la conclusión es válida tanto para polígonos regulares como para polígonos irregulares y explica por qué.

Para encontrar generalizaciones matemáticas analizamos casos particulares buscando las regularidades que se manifiestan en ellos.

Resolver

En la figura 1 aparecen los cuatro primeros números cuadrados y en la figura 2 aparecen los cuatro primeros números triangulares. ¿Qué es un número cuadrado? ¿Qué es un número triangular?

Verificar

Figura 1

debemos encontrar dos enunciados generales, uno que enuncia una propiedad de los números cuadrados y otro que enuncia una propiedad de los números triangulares.

1 = 12

1+3 = 4 1 + 3 = 22

1+3+5 = 9 1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 = 42

Analizaremos los ejemplos de números cuadrados y de números triangulares buscando una regularidad en su formación. Generalizando las regularidades encontradas, determinaremos las propiedades que buscamos. Buscamos una regularidad en los números cuadrados: 12 = 1

el primer impar

2

2 = 1+3 32 = 1 + 3 + 5

la suma de los 2 primeros impares la suma de los 3 primeros impares

42 = 1 + 3 + 5 + 7

la suma de los 4 primeros impares

Generalizamos: “un número cuadrado es la suma de números impares consecutivos”.

Figura 2

Buscamos una regularidad en los números triangulares: 1=1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4

el primer numero natural la suma de los 2 primeros naturales la suma de los 3 primeros naturales la suma de los 4 primeros naturales

Generalizamos: “un número triangular es la suma de números naturales consecutivos”.

1=1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Verificamos nuestras generalizaciones examinando si con ellas podemos determinar y construir otros números cuadrados y triangulares.

1. Enuncia una regularidad para: b) Los números tetraédricos.

a) Los números piramidales.

1 1

4

5

10

14 30

134

134

20

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Recursos

Taller de Matemática

Ejercicios

El triángulo de Pascal en Excel

Desarrolla el binomio ^ x 3 - y h8 aplicando los coeficientes obtenidos con el programa Excel.

1. Construye el triángulo de Pascal en una hoja de cálculo de Excel. 1.º Escribe las etiquetas: une las celdas B2, C2, D2 y E2 y escribe en ellas “El triángulo de Pascal”; en la celda B4 escribe “Potencia”. 2.º En las celdas desde B5 hasta B14 escribe los exponentes de las potencias: desde 0 hasta 9. 3.º Para encontrar los coeficientes del desarrollo del binomio, inicialmente escribe en las celdas C5, C6 y D6 el número 1. Estos tres números 1 serán el inicio para construir el triángulo de Pascal. 4.º En las celdas desde D5 hasta L5 escribe 0; haz lo mismo en las celdas desde E6 hasta L6. 5.º En la celda D7 escribe la fórmula = C6+D6. En esa celda aparece el número 2. 6.º Copia la fórmula de D7 en las celdas E7-L7: puedes seleccionar D7 y “agarrando” el vértice inferior derecho de la celda (aparece un cruz negra cuando lo haces) arrastar su contenido horizontalmente hasta L7. 7.º Copia las fórmulas de las celdas D7-L7 en todas las filas de abajo: D8L8, D9-L9, ... D14-L14. Puedes seleccionar el conjunto horizontal de celdas D7-L7, “agarrar” el vértice inferior derecho de la celda D7 y arrastrar verticalmente su contenido hasta D14-L14. Con los pasos 6.º y 7.º obtienes los números del triángulo de Pascal. Puedes dar distintos formatos a las celdas y a su contenido.

2. Aplica las orientaciones de la actividad anterior para ampliar el triángulo de Pascal hasta la potencia 15.

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135

135

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 7. Se puede comprobar mediante el método alternativo. –– Actividades 13 a la 16. Los dos términos del dividendo deben reescribirse con exponentes iguales. –– Actividad 18. El valor de n se determina del siguiente modo. x5n - 12 - y4 La expresión xn - y debe ser equivalente a una expresión de la forma ^ x nh4 - y4 porque los xn - y exponentes del dividendo deben ser iguales, es decir:

^ x n h4 - y 4 x 5n - 12 - y 4 = = n x -y xn - y x 4n - y 4 = n x -y Comparando las expresiones inicial y final obtenemos una ecuación sencilla: 5n - 12 = 4n ( n = 12 Y como el exponente es 4, el desarrollo tiene 4 términos.

7. Desarrolla utilizando el triángulo de Pascal.

1. Completa las afirmaciones.

a) El desarrollo de ^a + bh3 tiene ____ términos.

b) El signo del segundo término de ^a - bh3 es ____.

c) ^- x - y h es igual a - _ d) _m

e) _ x +

i. 3

3

2

2

i es igual a x 3 + 3

2. Desarrolla.

a) ^ x + 8h3

3

b) ^10 + xh

3

c) ^3x + 5y h3

d) ^4x + 5xy h3

3. Desarrolla.

+ 64.

+

3 e) ^ x2 + 3h

3 f) ^ x2 + 3y h

g) ^ x + 2x y h 2

3

c) ^2x - 10y h3

3 g) ^1 - 3xy 3h

c) b 1 - 5xy l 2

7

8 d) a a - ab k b

5 b) b 1 + 2xy l 5

a) ^6a - 3bh6

10 d) b 2 - xy l 3

10 c) ^5m - mn2h

12 f) b 1 a 3 b2 - 1 l 4

10 e) b 1 x + 3y2 l 2

a) El cuarto término de ^ x - y h8 .

9 b) El quinto término de ^ x 3 + 3y h .

3 h) ^ x - 5x2 y h

10 c) El sexto término de ^2a2 - 3bh .

3 a) b 2 a - 1 b l 3 2

d) b1, 2a2 b + 1 ab2 l 2

3 c) b0, 5 - 2 b2 l 3

3 f) b 6 xy2 + 1 x2 y l 5 3

3

3 e) b 3 m - 4 m2 n l 4 3

5. Desarrolla.

a) ^a - bh3 - ^2a + bh3 b) 2 ^ x + y h3 - ^ x - y h3

11 d) El sexto término de b 1 x + 2xy l . 3

12 e) El cuarto término de b 2 ab - 1 b l . 3 4

12 f) El quinto término de a x + x 3 y k . 2

11. Desarrolla aplicando el método alternativo. a) ^ x - 4h5

8 d) a x + 2 k 3

6 c) b 2 x2 - 1 l 3

f) b0, 5a2 - 1 l a

b) ^3x + 2h4

c) ^ 2a - b h3 + ^ a + 2b h3 d) ^2x - y h3 - ^ x + y h3

6 e) b 3 - 2m l m

7

12. Halla el término indicado de cada desarrollo apli-

6. Completa las afirmaciones.

a) El desarrollo de ^2x + 1h tiene ____ términos.

cando el método alternativo.

c) El signo del cuarto término de ^ 1 - 10m h12 es ____.

b) El quinto término de ^2x + 3h12 .

n

b) El segundo término de ^3x + y h es _________. 10

d) El último término de ^5x + 2h7 es _________.

e) El coeficiente del quinto término del desarrollo de ^ x - yz h10 es ____.

136

136

4 a) b3x - 1 l 4

10. En los binomios dados halla los términos indicados.

3 f) ^ x2 - 5y h

4. Desarrolla. 3 b) b 1 a + 1 b l 4 3

8 f) ^3 - m2 n 3h

7 e) ^3x + y2h

6

b) ^4x + y h8

3 h) ^ x2 y 3 + x 3 y2h

e) ^3x - 8y h3

d) ^5x - 2xy h3

c) ^ x + 4h

b) ^ x - 3h

9. Sin desarrollar, halla el término central.

a) ^ x - 5h3 b) ^3 - xh3

7 d) ^m2 - 1h

5

8. Desarrolla utilizando el triángulo de Pascal.

n i = m - 3m n + 3mn - n 3 3

a) ^ x + 4h4

a) El cuarto término de ^a - bh12 .

15 c) El tercer término de b 2 - x 3 l . 3

16 d) El cuarto término de b a2 + 1 ab2 l . 4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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13. Lleva a la forma general del cociente notable

16. Encuentra el residuo en los siguientes casos.

a n - b n e indica el cociente. a-b 2

a) 4x - 1 2x - 1 1 - 32y5 b) 1 - 2y

a) 6

3

e)

27x - 64y 3x 2 - 4y

f)

1 - 256x 8 y 4 1 - 4x2 y

4 c) 256 - x 4-x

24 g) x 3 - 1 x -1

6 d) x - 729 x-3

h)

81x20 - y 4 3x 5 - y

14. Aplica la regla SPIN para reconocer en cada caso si se trata de un cociente notable. Si no es un cociente notable, explica por qué. 3 a) 27 - n 3-n

b)

x 4 + y16 x + y4

3 c) 216 - 8x 6 + 2x

d)

1 + x21 y7 1 + x3 y

1 - 81y20 e) 1 + 3y 5 f)

625x 4 - 16 5x - 2

256x12 - y 8 g) 4x 3 - y 2 3 12 h) m + n4 m-n

i)

343 - m12 7 + m4

j)

a5 b10 + 32 ab2 - 2 2

b)

y 4 + 16 y+2 3

x - 27y x + 3y

4 e) x + 256 x+4 3

15. Aplica cocientes notables e indica el cociente. En los

8

3

d) m2 + 1 m +1 siguientes instrucciones?

a) Halla el octavo término del desarrollo de ^3x - 2h5 .

x 5n - 12 - y 4 xn - y sea un cociente notable y determina el número de términos que debe tener el cociente.

19. Realiza las siguientes operaciones utilizando cocien-

1 000 - x 3 10 - x

2 a) x 2 - 5x - 6 $ ^ x 2 - 1 h x + 2x + 1

3 b) a - 343 a-7

j)

a 15 + 32b 5 a 3 + 2b

6 c) 1 - n 1+n

4 4 k) m n - 256 mn + 4

4 d) 16x - 625 2x - 5

l)

21 e) x 3 + 1 x +1

4 4 m) 5 - 3 5-3

3 g) a + 64 a+4

3 3 ñ) 2 + 4 2+4

4 h) a - 625 a+5

3 3 o) 11 - 5 11 - 5

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A veces. Muchas veces.

18. Halla el valor de n para que la expresión:

i)

4 4 n) 7 - 4 7+4

–– Promuevo la participación en clases.

b) determina el término central del desarrollo de 9 1 b 2 x + yl . c) Halla el cuarto término del cociente de la divi4 sión exacta 81x + 1 . 3x - 1 d) Encuentra el cociente de la división exacta x 7 - 128 . x+2

2 a) x - 25 x-5

1 296a 4 - 16 6a + 2

Muchas veces.

17. Matemática y Lenguaje. ¿Cuál es el defecto de las

tes notables.

f)

A veces.

h) x + 1 000 x - 10

últimos cuatro incisos no uses calculadora.

243x 20 + y 5 3x 4 + y

a -1 a+1

4 g) x + 81 x-3

6

m 4 n20 + 81n 4 mn5 - 3n

f)

–– Fomento la creatividad de los estudiantes.

5

3 c) 27x - 1 3x + 1

k) m + n3 m-n l)

Mi desempeño como docente

b) ^ 3x 2 + 1 h^ 2x 2 - 5 h - ^ 1 - 2x h3 - 8x ^ 1 + 4x 2 h + 10x 4

5 3 2 c) x - 1 - x + 1 - ^ x2 + 1h + 1 x-1 x+1

d)

x 3 - 8 + 2x x-2 ^ x + 2 h2

e) -

^3y - 2xh ^2x + 3y h ^4x2 + 9y2h 2x - 3y

^ a - b h ^ a + b h + ^ a - b h + 2 ab ^3 a - 3 b h ^3 a 2 + 3 a 3 b + 3 b 2 h + b 2

f)

137

137

Sobre las actividades Actividad 23. Para calcular el valor de k, primero hay que llevar el cociente a la n

n

forma a ! b ; después, se a!b plantea una igualdad que permite hallar el valor de k.

20. Pensamiento crítico. En todos los casos los cocien-

26. Investiga. Si el cociente de la siguiente división:

tes deberían ser exactos. Encuentra los errores y escribe el ejercicio correcto. 3 a) 8a + 1 2a - 1

9 512 e) m m3 - 2

10 b) 3 125a + 1 5a + 1

f)

6 3 c) 27a2 + 4b 3a + 2b

g)

8 d) 16a 2 + 81 2a + 3

14 h) 128b2 - 1 2b + 1

16b5 + c5 2b + c

xm - ym x2 - y2 tiene 5 términos y la división es exacta, ¿puedes decir cuál es el valor del exponente m?, ¿puedes decir cuál es el cociente?

125 + ^a + 1h3 5 - ^a + 1h

21. Investiga. Determina el número de términos del polinomio resultante de 7^ a + b h4 + ^ a - b h4A . 2

22. Investiga. Determina el número de términos del polinomio resultante de 7^ a + b h4 ^ a - b h4A . 2

27. Desarrolla la siguiente expresión, simplifícala e indica el valor de E. E = ^ x + y + z h3 - ^ x + y h3 - 3 z ^ x + y h^ x + y + z h

28. Investiga. Expresa el resultado de las siguientes

23. En cada una de las siguientes expresiones encuentra el valor de k para que la fracción represente un caso de cociente notable. 3 a) k + x 5+x

d)

16x 8 - y12 2x 2 + k

8 b) 81x2 - k 3x - 2

e)

64y6 - k 2y + 3x

5 c) 243m + 32 k+2

f)

8y 3 + k 2y + ^ x + 2 h

divisiones teniendo en cuenta el razonamiento del recuadro referido a la relación entre el dividendo (D), el divisor (d), el cociente (C) y el resto (R). D = d$C+R ( D = d$C + R ( d d d ( D = C+ R d d

32 = 6 + 2 ( D = C + R 5 5 d d

24. Investiga. ¿Es verdadera la siguiente igualdad? ¿Por qué?

^ a - b h3 =- ^b - a h3

25. Demuestra las siguientes igualdades:

3 a) ^a2 + ax - x2h = a6 + 3a5 x - 5a 3 x 3 + 3ax5 - x6

b) 7^ x - y h3 - ^ x + y h3A = 36x 4 y 2 + 24x 2 y 4 + 4y 6 2

138

138

3 3 a) a - b a+b

4 4 c) a + b a-b

3 3 b) a + b a-b

4 4 d) a + b a+b

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Matemática y valores

Constancia y originalidad

Valores CONSTANCIA Y ORIGINALIDAD

utiliza tus conocimientos matemáticos para explorar algunas de las numerosas propiedades que tiene el triángulo aritmético.

El triángulo de Pascal es un objeto matemático fascinante por sus interesantes y a menudo insospechadas propiedades. Sin embargo, esas propiedades no “saltan a la vista”, su descubrimiento es el resultado de la disciplina y constancia que requieren el estudio y la búsqueda de verdades nuevas.

El triángulo aritmético

1 1 1 1

13 14

15 16

120

55

91

105

286

364

455

560

220

1 820

495 715

1 001

1 365

1 287

8 008

1 716

3 003

5 005

2 al 3 al al

4

ag on

al

ag on

220 715

5 005

1 10

1

55

2 002

11 440

6

ag on

al

5

ag on 165

1 287

6 435

12 870

9 45

495

3 003

1

36

330

1 716

1 8

120

792

3 432

6 435

11 440

84

462 924

7 28

210

El hecho de que este triángulo haya reclamado la atención de los matemáticos a lo largo de los siglos, muestra que la matemática es como el fruto de una constancia colectiva que se despliega a través del tiempo y las personas.

1

21

126

462

1 6

56

252

792

2 002

3 003

4 368

70 126

330

5

35

210

1

15

35

84

165

10 20

56

120

4

10 15

21

36 45

6

5

28

9

78

1

di 8

66

3

4

6 7

1

12

1 di

1 1 1

1

1

3

di

fila 5

11

2

di 1

fila 6

1

1

1 1

fila 4

10

al di

1 1

fila 2 fila 3

1

ag on

di

fila 0 fila 1

1

ag on

di

ag on

al

0

El triángulo aritmético conocido actualmente como Triángulo de Pascal es un objeto matemático fascinante por sus interesantes y a veces insospechadas propiedades. Fue estudiado por los matemáticos chinos de principios del siglo XIV. También lo estudió el matemático italiano Nicolo Fontana (1499-1557) en el siglo XVI, y el genio matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) le dedicó un tratado en el siglo XVII.

286

3 003

1

66

1 001

8 008

11 12

1

78 364

1 365 4 368

13 91

455 1 820

1 14

105 560

1 15

120

1 16

1

29. Suma los números de las filas 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... y descubre una regularidad en esas sumas. Aplica esa regularidad y responde utilizando una calculadora: ¿cuánto suman los números de la fila 25?

30. ¿Qué clase de números conforman la diagonal 1? ¿Y la 2? ¿Y la 3? 31. ¿Cómo encuentras un número triangular que sea también tetraédrico? 32. Suma los primeros cuatro números naturales, ¿dónde encuentras el valor de esa suma? ¿Y dónde está la suma de los primeros siete números naturales? ¿Y la de los primeros 14? ¿Cuál es tu conclusión general?

33. ¿Dónde está la suma de los primeros n números de cualquier diagonal? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

139

139

Sugerencia de temporalización

8

Factorización

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores En la matemática y en muchas actividades es muy importante realizar las cosas con creatividad. La creatividad, sin embargo, no es una iluminación repentina, es el resultado de entregar plenamente nuestra mente a alguna tarea. Por esta razón, una solución creativa puede ser el resultado de realizar diferentes pruebas o ensayos, hasta encontrar una conveniente y original.

Creatividad y matemática En la enseñanza de la matemática es usual resolver ejercicios mediante métodos conocidos. En la investigación matemática la situación es muy distinta: el desafío creativo para los matemáticos consiste en encontrar métodos para resolver problemas que, por el momento, nadie sabe cómo resolver. La investigación sobre ecuaciones proporciona un ejemplo de la creatividad en la matemática. En el siglo XVI, los italianos Del Ferro y Ludovico Ferrari indagaron sobre la forma de resolver ecuaciones cúbicas. En 1545, Jerónimo Cardano publicó soluciones algebraicas para ecuaciones cúbicas y de cuarto grado. En el siglo XIX, Niels Abel (18021829) probó que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante radicales. Evariste Galois (1811-1832) descubrió un método general para decidir si una ecuación puede o no resolverse mediante radicales.

140

• ¿Qué opinas de la afirmación de que la matemática no es creativa porque en ella 2 + 2 es siempre igual a 4? • ¿Qué crees que debería hacerse en tu colegio para fomentar el desarrollo de la creatividad en la matemática?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Inicie el tema mostrando en la pizarra algunas factorizaciones numéricas, con factores primos y/o no primos. 24 = 4 $ 6 45 = 3 $ 15 14 = 2 $ 7 29 = 1 $ 29 –– Pida a los estudiantes que expongan ejemplos de productos y cocientes notables.

140

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Posibles dificultades en la unidad

REcUERDa Números primos y números compuestos •

•

•

1. ¿Cuáles de los siguienes números son primos? 11

Un número natural es primo si es divisible solo por sí mismo y por la unidad. Por ejemplo, el número 3 es primo. Un número natural es compuesto si es divisible por al menos un número más, aparte de él mismo y la unidad. Por ejemplo, el número 4 es compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto.

Factorización y factorización prima •

Factorizar un número natural significa expresarlo como una multiplicación indicada de factores.

•

La factorización prima de un número natural es una factorización cuyos factores son todos primos. La factorización prima de un número es única.

Ejemplo. Distintas factorizaciones de 60 son: 60 = 15 $ 4 60 = 3 $ 5 $ 4 60 = 3 $ 5 $ 2 $ 2

12

13

14

15

16

–– El estudiante debe estar familiarizado con el concepto de factorización ya desarrollado en la aritmética.

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

2. Indica 10 números compuestos comprendidos

–– El estudiante debe ser capaz de desarrollar todos los casos de productos y cocientes notables vistos hasta el momento.

entre 20 y 45.

3. ¿Todos los números primos son impares?, ¿por qué?

4. Obtén la factorización prima de los siguientes números. a) 24

e) 200

b) 60

f) 250

c) 100

g) 300

d) 180

h) 360

Vocabulario matemático Cuadrado perfecto

5. Verifica si:

La única factorización prima de 60 es: 60 = 3 $ 5 $ 2 $ 2 .

a) 2 $ 3 $ 7 es la factorización prima de 168.

Cuatrinomio

La factorización prima de 60 se obtiene así:

b) 22 $ 32 $ 52 es la factorización prima de 940.

Factor común

3

60 ' 2 = 30 $ 30 ' 2 = 15 $ $ 15 ' 3 = 5 $ 5 ' 5 = 1

Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) •

•

El m.c.d. de dos o más números es el mayor divisor común de ellos. Se obtiene con los factores primos comunes elevados al menor exponente. El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común de esos números. Se obtiene con los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

m

ax =

n

a$

n

m

x =

Monomio Polinomio

6. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de: a) 8 y 4

e) 3; 8 y 6

Potencia

b) 10 y 15

f) 9; 3 y 12

Trinomio cuadrado perfecto

c) 24 y 18

g) 6; 15 y 24

d) 30 y 24

h) 8; 2; 12 y 48

7. Halla la raíz de los monomios.

Raíz n-ésima de monomios n

Factorizar

n

a $x

m n

a) b)

3

c) d)

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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3

4b 4

e)

125b 3

f)

1 x2 y 4 4

g)

27 m 3 n6 64

h)

3

27a 3 121c6 4 a2 b6 9

3

- 1 x6 y 3 125

141

141

Más información

Factor común monomio

Puntualizaciones sobre el factor común monomio –– El factor común se puede colocar también a la derecha del paréntesis pues la multiplicación es conmutativa. –– Para verificar la factorización se multiplican los factores obtenidos. Si la factorización es correcta, el producto debe ser igual al polinomio original. –– En algunos polinomios, el factor común es solo un número, en otros es solo un factor literal, en otros es un término formado por números y letras. –– No todos los polinomios pueden factorizarse mediante el método del factor común monomio.

Un polinomio es una adición y/o sustracción indicada de dos o más monomios no semejantes. Factorizarlo significa expresarlo como una multiplicación de otros monomios o polinomios de menor grado. Son ejemplos de factorización: • •

15x2 - 12xy2 = 3x ^5x - 4y2h

x2 + 7x + 12 = ^ x + 4h ^ x + 3h

• •

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción.

x2 - 64 = ^ x + 8h ^ x - 8h x2 - 10x + 25 = ^ x - 5h2

Para factorizar polinomios existen algunos métodos. El primero que estudiaremos se refiere al monomio que es un factor común. a ^b + c h = ab + ac

Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común constituido por un monomio, este puede ser extraído para ser factorizado.

a ^b - c h = ab - ac

axy ! bxz = x ^ay ! bz h

Este método de factorización es una aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción. •

El coeficiente del factor común monomio es el m.c.d. de los coeficientes de los términos del polinomio.

•

La parte literal del factor común monomio está formada por las letras comunes con el menor exponente.

Los términos del polinomio que se multiplica por el factor común monomio son “lo que queda” después de extraer el factor común monomio.

1. Factoriza. Factoriza 24x 5 y 3 - 8x 4 y 5 + 16x 3 y 4 .

Recursos

24x 5 y 3 = 2 3 $ 3 $ x 3 $ x 2 $ y 3 = 8x 3 y 3 $ 3x 2 8x 4 y 5 = 2 3 $ x 3 $ x $ y 3 $ y 2 = 8x 3 y 3 $ xy 2 16x 3 y 4 = 2 3 $ 2 $ x 3 $ y 3 $ y = 8x 3 y 3 $ 2y

Ejercicios

24x 5 y 3 - 8x 4 y 5 + 16x 3 y 4 = 8x 3 y 3 ^ 3x 2 - xy 2 + 2y h

Factoriza: a) 6x2 - 7xy b) 9x - 18y

a) 8x - 4y

g) 2x - 6x2 - x 3

b) 3 - 6a + 12b

h) 10ab - 2ab2

2

c) 3x - 6x d) 5a - 15a 3 5

4

3

e) x - x + x - x f)

2

8x 4 y2 - 24x2 y

i)

9 x 3 y 4 z 3 - 6x 5 y 3 z 2

j)

4 a 2 b 4 - 2 a 3 b 2 - 6a 2

k) 12m5 n2 + 9m 4 n + 6m 3 n2 l) - 5x6 y2 + 15x 4 y 4 - 10x2 y6

2. Factoriza.

c) 5a2 - 25a

10 x2 + 4 x - 2 x 3 = 12 3 9 a) 6 a - 2 b + 4 c 3 5 4 b) 3 a2 b - 15 ab2 14 8

el m.c.d. de los numeradores es 2 el m.c.d. de los denominadores es 3

= 2 x b 5 x + 2 - 1 x2 l 3 4 3

9 m2 - 3 m 3 + 3 m 4 25 10 10 d) 14ab 3 + 21a2 b2 + 7 a 3 b 2 c)

142

e) 3 x2 y 3 - 6 x 3 y 3 - 15 x2 y5 2 7 8 f) 18a 2 b - 27ab 6 + 27 ab 2

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Sugerencias metodológicas Tic

Haga notar a los estudiantes que para obtener el factor polinomio que se halla entre paréntesis basta dividir el polinomio dado entre el factor común monomio.

Factor común monomio. Hay que elegir el factor que sirve para completar una igualdad.

142

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Más información

Factor común polinomio

Puntualizaciones sobre el factor común polinomio

El factor común de los términos de un polinomio puede ser otro polinomio. Este factor común polinomio puede ser factorizado.

–– El factor común es un polinomio presente en todos los términos.

1. Factoriza. 1. x (3a - b) + y (3a - b) =

–– En algunos casos, para obtener un polinomio como factor común es necesario reagrupar los términos o realizar cambios en los signos de los términos.

= (3a - b) ^ x + y h

factor común 3a - b

2. 3 ^ x + y + 1 h2 + x + y + 1 = 3 ^ x + y + 1 h ^ x + y + 1 h + ^ x + y + 1 h = =

factor común x+y+1

= ^ x + y + 1 h 73 ^ x + y + 1 h + 1A =

= ^ x + y + 1 h ^ 3x + 3y + 4 h a) 7x ^4x - 3h - 4 ^4x - 3h

d) a ^1 + x2h - 3b ^1 + x2h

c) a ^2d - f h - 2b ^2d - f h

f)

b) 6 ^3x + bh - y ^3x + bh

e) ^a - 2bh2 - 5 ^a - 2bh

2. Factoriza.

y ^3 - xh + z ^3 - xh2

En algunos casos podemos obtener un factor común polinomio mediante el procedimiento conocido como “factorización del signo”, que consiste en factorizar - 1 y, de este modo, cambiar los signos de algunos términos. agrupamos

= a ^ 3x - y h - 1 ^ 3x - y h =

Factoriza

a) 6 ^ x - y h + a ^ y - xh

b) m ^ x - y + 1h2 + x - y + 1

h) 0, 30 ^ x + 1h2 - 3, 5b ^ x + 1h + x + 1

3. Factoriza.

= a ^ 3x - y h + ^ - 3x + y h =

Ejercicios

x ^ 3x + y h e) 7 x ^3x + y h2 - 3 x2 ^ y + 3xh + 4 4 4 2 1 2 f) m ^a - 2bh - m ^a - 2bh + a - 2b 5 3 2 1 g) ^ x - y - 1h + n ^ x - y - 1h - 1 n2 ^ x - y - 1h 3 2 3

a) 1 ^a + bh - 2 x ^a + bh 2 3 b) a ^ x - 4h + 1 b ^ x - 4h 2 7 2 7 c) x ^ 3x + y h - 3 x 2 ^ 3x + y h 4 4 2 3 1 d) a ^m + 1 h + b ^m 2 + 1 h 5 2

a ^ 3x - y h - 3x + y =

Recursos

= a ^ 3x - y h + ^ - 3x + y h =

factorizamos el signo factorizamos el polinomio común

: - m - n = - 1 ^ m + nh = - ^ m + nh : a - b = - 1 ^ - a + bh = - ^ b - a h : 5 x - 3 y - 1 = -^ - 5 x + 3 y + 1 h

= a ^ 3x - y h - 1 ^ 3x - y h =

= ^ 3x - y h ^ a - 1 h

a) y ^b + 1h - b - 1

d) 3 ^a + bh + x ^- a - bh

c) - 2a - b + x ^2a + bh

f) ^3y + 1 - 5xh ^a + 2h + 5x - 3y - 1

b) ^a + b + 1h ^ x2 + 1h - x2 - 1

Otros ejemplos de factorización del signo.

e) 5a ^ x - 1h + ^1 - xh

4. ¿Cuál es el polinomio cuya factorización es ^3x - 1h 7^3x - 1h2 - 4 ^3x - 1hA ?

5. Inventa cuatro polinomios que no sean factorizables mediante el método de factor común monomio ni mediante el de factor común polinomio. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

143

Sugerencias metodológicas Repase con los estudiantes las técnicas para manipular los signos de una expresión algebraica sin alterar el significado original de esta.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

143

Más información Puntualizaciones sobre la diferencia de cuadrados –– Este es el caso más sencillo de factorización de binomios. –– El minuendo y el sustraendo del binomio deben tener raíz cuadrada exacta.

Diferencia de cuadrados.

Binomios

Debido al producto notable ^a - bh ^a + bh = a2 - b2 , la diferencia de cuadrados, a2 - b2 , se factoriza del siguiente modo:

¡Advertencia! La suma de cuadrados a 2 + b 2 no es factorizable.

a2 - b2 = ^a - bh ^a + bh

donde a y b son las raíces cuadradas de a2 y b2, respectivamente. La expresión - b2 + a2 es también una diferencia de cuadrados puesto que, por la propiedad conmutativa de la adición, - b2 + a2 = a2 - b2 .

–– No existe el caso de suma de cuadrados. Las sumas de cuadrados no se pueden factorizar, a menos que puedan expresarse también como una suma de potencias impares.

9x es la raíz cuadrada de 81x 2

1. 81x 2 - 16y 2 =

4y es la raíz cuadrada de 16y 2 x 3 es la raíz cuadrada de 11 y 2 es la raíz cuadrada de 12

6 y4 = 2. x 121 144

= ^ 9x - 4y h ^ 9x + 4y h

x6 121 y4 144

3 3 y2 y2 mc x m =c x + 11 12 11 12

1. Factoriza.

Recursos Ejercicios

a) 25a2 - 1

c) - 81x2 + 49y2

e) - 25m 4 + 100n 8

b) 64x2 - y2

d) - 1 n2 + 1 a 4 4 9

f) 2, 25a2 b6 - 0, 01

49 a6 - 121 m 4 144 169 h) - 1 a6 b2 + 0, 0625 a 4 b 8 9

g)

2. Factoriza.

Factoriza 100 - 1 x2 . 4

^ x + 2y h2 - 4y 2 =

(x + 2y) es la raíz cuadrada de (x + 2y) 2 2y es la raíz cuadrada de 4y 2

= 6 x + 2y - 2y @ 6 x + 2y + 2y @ = x ^ x + 4y h

a) ^a + bh2 - a2

c) ^5a - 3bh2 - 49b2

b) 9x - ^2x - 1h 2

= 7^ x + 2y h - 2yA 7^ x + 2y h + 2yA = e) ^ x - 1h2 - ^3 + xh2

d) ^a - bh - ^a + bh 2

2

2

3. Factoriza aplicando factor común y diferencia de cuadrados perfectos. x3 - x =

4.

Factor común

= x ^ x 2 - 1h =

f) ^m + nh2 - ^m - 3h2

x ^ x - 1h ^ x + 1h

Diferencia de cuadrados perfectos

a) x 3 - 4x

c) 9a - ab2

e) b2 - 16b 4

b) m 3 - 16m

d) x 3 - 9xy2

f)

81xy - x 3 y

g) 1 - 2x2 2 h) 18 - 4, 5a 4

Investiga. Busca tres números naturales cuya raíz cuadrada no sea exacta y que puedan expresarse como la diferencia de dos cuadrados perfectos. Después, encuentra una factorización de esos números.

2091 = 46 2 - 5 2 ( 2091 = ^ 46 + 5 h^ 46 - 5 h ( 2091 = 51 $ 41

144

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Diferencia de cuadrados. Hay que señalar con una flecha la expresión que corresponde a una diferencia de cuadrados dada.

144

Presente algunas factorizaciones erróneas referidas a este caso para que los estudiantes identifiquen y expliquen los errores.

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Suma y diferencia de cubos.

Más información

Binomios

Los signos de la expresión factorizada 3 3 Por los cocientes notables a - b = a 2 + ab + b 2 y a-b a 3 + b 3 = a 2 - ab + b 2 , las sumas y diferencias de cubos se factoria+b zan del siguiente modo:

Cuando se trata de una suma de cubos, el signo que, en el binomio de la expresión factorizada, separa a las raíces cúbicas es positivo y los signos del otro factor (del trinomio) se alternan comenzando por el signo +.

Observa la relación de signos en el binomio y en el trinomio de la factorización.

a 3 + b 3 = ^ a + b h ^ a 2 - ab + b 2h a 3 - b 3 = ^ a - b h ^ a 2 + ab + b 2h

1. x 3 - 27 =

expresando como una diferencia de cubos

= x3 - 33 =

aplicando la fórmula

= ^ x - 3 h ^ x 2 + 3x + 3 2 h = ^ x - 3 h ^ x 2 + 3x + 9 h

= ^ 2y 2h3 + 5 3 =

expresando como una

2. 8y 6 + 125 =

suma de cubos

=

de la factorización

aplicando la fórmula de la factorización

En cambio, cuando se trata de una resta de cubos, el signo que separa a las raíces cúbicas es negativo y los signos del otro factor son todos +.

=

= ^ 2y 2 + 5 h 7^ 2y 2h2 - 2y 2 $ 5 + 5 2A = ^ 2y 2 + 5 h 64y 4 - 10y 2 + 25@

1. Factoriza. y3 + 1 8 27 6 1 n) a - 8 b3 64 125 m)

a) x 3 - y 3

e) 64x6 + 1

i)

729a9 + 125b 3

b) m 3 - 1

f) 27m 3 - 8n 3

j)

216x 6 y 3 - 1 000

c) 1 + a 3

g) 125a6 + 64b 3

k) a9 b 3 + c6

d) 8 + y 3

h) 343x 3 y6 - 64b 3

l)

Recursos

ñ) x 3m + y 3n

1 - a3 8

o) 8a6x - b9x

Pensamiento crítico e investigación

2. Factoriza. 3

2

2

3

= 6x - 1 + x@ 6x - 2x + 1 - x + x + x @ = 2

2

2

b) ^ x + 1h3 - x 3

3

2

2

: Eliminando paréntesis.

= ^ 2x - 1 h ^ x 2 - x + 1 h a) ^ x + 1h3 + x 3

¿Cuáles de las siguientes expresiones no se pueden factorizar mediante la suma o diferencia de cubos? ¿Por qué?

: Porque a + b = ^ a + b h ^ a - ab + b h .

^ x - 1 h + x = 7^ x - 1 h + xA 7^ x - 1 h - x ^ x - 1 h + x A = 3

: Efectuando operaciones.

c) a 3 - ^a + 2h3 d) t 3 + ^t - 2h3

a) 1 - x 3

e) ^ x - 1h3 - ^ x + 1h3

f) ^a + 1h3 + ^a - 1h3

b) 28x 3 - x 3 + 1 c) 10 3 + a6 b 3

3. Factoriza aplicando, primero, factor común y, luego, suma y diferencia de cubos. a) x 4 - x b) a + a

c) 16 - 2x 3

4

4

d) a + 27ab

e) x 4 y - xy 4 3

f)

5

2

m +m n

d) 1 000x6 + 100

g) 16x 3 - 54 3

7

h) a - 125a

4

e) 9m 3 - 8

4. Demuestra la siguiente fórmula de factorización:

a 9 - b 9 = ^ a - b h ^ a 2 + ab + b 2 h ^ a 6 + a 3 b 3 + b 6 h

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

145

Sugerencias metodológicas –– Antes de abordar el tema permita que los estudiantes practiquen la extracción de la raíz cúbica de cubos perfectos. –– Llame la atención de los estudiantes sobre la pauta que relaciona los signos del binomio y los signos del trinomio en la expresión factorizada.

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Tic Suma o diferencia de cubos. Hay que arrastrar las fichas con las que se construye la igualdad.

145

Más información

Suma y diferencia de n-ésimas potencias.

Puntualizaciones sobre la suma y diferencia de n-ésimas potencias

Diferencia de potencias pares

La suma de potencias pares no es factorizable, a menos que se pueda transformar en una suma de potencias impares. Por ejemplo, la expresión a 8 + b 8 no es factorizable porque no puede expresarse como suma de potencias impares; en cambio, la expresión a12 + b12 se puede transformar en ^a4h3 + ^b4h3 y factorizarse como suma de potencias impares.

Binomios

La diferencia de potencias pares a n - b n se puede factorizar: 1) como diferencia de cuadrados. Fórmula Ejemplo

a 2n - b 2n = ^a n - b nh ^a n + b nh

16 - x 4 = 2 4 - x 4 = ^2 2 - x 2h ^2 2 + x 2h = ^ 2 - x h ^ 2 + x h ^4 + x 2h

2) considerando el cociente notable: a n - b n = a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... - a 2 b n - 3 + ab n - 2 - b n - 1 a+b Fórmula Ejemplo

El binomio x 6 - 1 puede también ser factorizado del siguiente modo. x 6 - 1 = ^x 3h - 1 = = ^x 3 - 1h^x 3 + 1h = = ^x - 1h^x 2 + x + 1h $ 2

a n - b n = ^a + bh ^a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... - a 2 b n - 3 + ab n - 2 - b n - 1h x 6 - 1 = x 6 - 1 6 = ^ x + 1h ^ x 5 - x 4 $ 1 1 + x 3 $ 1 2 - x 2 $ 1 3 + x $ 1 4 - 1 5h = = ^ x + 1h ^ x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 1h

$ ^x + 1h^x 2 - x + 1h

3) considerando el cociente notable: a n - b n = a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b2 + f + a2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1 a-b Fórmula Ejemplo

a n - b n = ^a - bh ^a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + f + a 2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1h x 6 - 1 = x 6 - 1 6 = ^ x - 1h ^ x 5 + x 4 $ 1 1 + x 3 $ 1 2 + x 2 $ 1 3 + x $ 1 4 + 1 5h = = ^ x - 1h ^ x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1h

Diferencia de potencias impares La diferencia de potencias impares a n - b n se puede factorizar considerando el cociente notable: a n - b n = a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + f + a 2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1 a-b Fórmula Ejemplo

a n - b n = ^a - bh ^a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + f + a 2 b n - 3 + ab n - 2 + b n - 1h x 5 - 1 = x 5 - 1 5 = ^ x - 1h ^ x 4 + x 3 $ 1 + x 2 $ 1 2 + x $ 1 3 + 1 4h = = ^ x - 1h ^ x 4 + x 3 + x 2 + x + 1h

Suma de potencias impares La suma de potencias impares a n + b n se puede factorizar considerando el cociente notable: a n + b n = a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... + a 2 b n - 2 - ab n - 2 + b n - 1 a+b Fórmula Ejemplo

a n + b n = ^a + bh ^a n - 1 - a n - 2 b + a n - 3 b 2 - ... + a 2 b n - 2 - ab n - 2 + b n - 1h a 5 + 32 = a 5 + 2 5 = ^a + 2h ^a 4 - a 3 $ 2 + a 2 $ 2 2 - a $ 2 3 + 2 4h = = ^a + 2h ^a 4 - 2a 3 + 4a 2 - 8a + 16h

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Con los estudiantes analice las fórmulas de factorización expuestas en estas dos páginas utilizando el cuadro de la regla SPIN referido a los casos de cocientes notables. –– Haga notar que cuando, en la expresión factorizada, los términos del binomio están separados por el signo - , en el otro paréntesis todos los signos son positivos; y cuando se hallan separados por el signo +, en el otro paréntesis los signos se van alternando comenzando con el signo positivo.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

Suma de potencias pares n

n

La suma de potencias pares a + b no es factorizable, a menos que se pueda expresar también como una suma de potencias impares. En ese caso, se aplica la regla de la suma de potencias impares. Fórmula

La de suma de potencias impares cuando es posible.

Ejemplo

x6 + 26 = ^ x2h + 4 3 = ^ x2 + 4h 7^ x2h - x2 $ 4 + 42 A = = ^ x2 + 4h ^ x 4 - 4x2 + 16h 3

Ejercicios –– Escribe 5 binomios (con potencias iguales) que sean factorizables. –– Escribe 3 binomios (con potencias iguales) que no sean factorizables.

2

–– Factoriza siempre que sea posible.

1. Factoriza como diferencia de cuadrados. a) x 8 - 1

c) 81x 4 - y 4

4

b) a - 16

8

d) 1 - a b

4

e) 16x 4 - 1 6

f) 64x - 1

g)

1 - y8 16

a) 8 - x 3

h) 16 a12 - b 8 81

b) a18 + b18

2. Factoriza según el segundo caso de la diferencia de potencias pares. a) x6 - 1 6

b) a - b

c) x 8 - y 8 6

10

d) m - n

e) a 4 - 16b 4 10

4

f) 1 - a b

4

c) x 4 + 16 g) 64 - y6

d) 1 + p5

h) 1 - b6 16

3. Factoriza según el tercer caso de la diferencia de potencias pares. a) a 4 - 16

c) a 8 - 1

e) x10 - y10

g) 64x6 - y6

b) x6 - y6

d) m 8 - 256

f) 1 - a 8 b 4

h)

e) a9 - b9

g) 128 - x7

1 - y8 81

4. Factoriza como diferencia de potencia impares. a) a5 - b5

c) m7 - n7

5

7

b) x - 32

d) a - 1

9 9

f) 1 - x y

h) 243 - y5

g) 1 + y7

5. Factoriza como suma de potencias impares. a) a7 + b7

c) a5 + 243

e) a7 + 128

b) 32m5 + 1

d) 1 + 243y5

f)

x5 +

y5 z5

h) x9 + y9

6. Factoriza expresando el binomio previamente como suma de potencias impares. a) m6 + 1

c) 1 + a14

e) 32x10 + y10

g) 1 + a12 8

b) x6 + y6

d) a12 + 8b12

f) 27x6 + 64y6

h) x10 + 32 243

7. Factoriza, primero, como una diferencia de cuadrados; después, como una suma o diferencia de cubos. a) x6 - y6

b) 64 - m6

c) a6 b6 - 1

d) x12 - 1

b) 27a 3 - 1

c) 32 + y5

d) x 18 + 1

8. Factoriza. a) 16 - y 4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

147

147

Más información

Trinomio cuadrado perfecto.

Trinomios

Método gráfico Un recurso gráfico que se utiliza para reconocer un TCP es el siguiente: x 2 - 12x + 36 . . x 6 2 $ 6x

Un trinomio cuadrado perfecto (TcP) es el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio elevado al cuadrado. a2 + 2ab + b2 = ^a + bh2 1 444 2 444 3 TCP

a 2 - 2ab + b 2 = ^ a - b h2 = ^ b - a h2 1 444 2 444 3 TCP

Un trinomio cuadrado perfecto tiene las siguientes características: a 2 = a;

b 2 = b.

•

Dos de los términos tienen raíz cuadrada exacta:

•

El término restante es, prescindiendo del signo que le antecede, igual al doble producto de las raíces de los términos anteriores: 2ab.

•

Los términos con la raíz cuadrada exacta (a2 y b2) son positivos.

+ 2 ab - b 2 2 2 • 9 x - 12 x y - 4 y 2 • x - 1 + 2 x 2 • 4 x - 4 + x 2 • - 9 + x - 6 x • a

2

4

Recursos

Analiza si los siguientes trinomios son trinomios cuadrados perfectos; si lo son, factorízalos.

Pensamiento crítico e investigación

Dos términos tienen raíz cuadrada exacta y son positivos:

Factoriza si es posible y, si piensas que no es posible, explica por qué. a) x2 - x + 1 6

a)

16x 2 = 4x;

b)

25 = 5

9x 4 = 3x 2;

4y 4 = 2y 2

El tercer término es el doble producto de las raíces de los otros dos: a) 2 $ 4x $ 5 = 40x b) 2 $ 3x 2 $ 2y 2 = 12x 2 y 2

- 16

Entonces, los dos trinomios son TcPs y su factorización es: a) 16x 2 + 40x + 25 = ^ 4x + 5 h2

3

b) x + 200x + 10 4 c) a - a + 1 4 d) 9x2 + 9xy - 9 y2 4

b) 9x 4 + 4y 4 - 12x 2 y 2

a) 16x2 + 40x + 25

Los términos con la raíz cuadrada exacta deben ser positivos. Estos NO son trinomios cuadrados perfectos.

b) 9x 4 + 4y 4 - 12x 2 y 2 = ^ 3x 2 - 2y 2 h2 o también ^ 2y 2 - 3x 2h2

2

1. En cada caso, indica si es un trinomio cuadrado perfecto; si lo es, factorízalo. a) x2 - 10x + 25

d) y2 + 24y - 144

g) 9a6 + 15a 3 + 25

b) x2 + 6x + 9

e) 4x 4 - 12x2 + 9

h) 16a6 - 16a 3 + 4

c) x2 + 225 - 30x

f)

40m2 + 16 + 25m 4

i)

x2 + x + 1 4

9x 2 + 3x + 1 4 k) 1 q2 + 1 + 1 q2 4 2 4 j)

l)

9x 4 - x 2 + 1 4 9

2. En cada caso, indica si es un trinomio cuadrado perfecto; si lo es, factorízalo.

3.

a) m 4 - 2m2 n + n2

d) 36m2 n 4 - 24mn2 x 3 + 4x6

b) 36t2 + 9s2 + 36 t s

e) 25x2 + 4y2 - 10xy

c) 12x5 y2 + 9y 4 + 4y10

f)

g) 4x6 + 4 x 3 y + 1 y2 3 9 h) 1 m2 - 2mn + 9 n2 4 9 4 2 2 i) 0, 16m + m n + 1 n2 4 5

9 x6 + 12 x 3 y + 4y2 25 5

Investiga. ¿Cómo se factorizaría el trinomio 3x 2 - 10 3 x 2 y + 25x 2 y 2

usando la fórmula de factorización de un trinomio cuadrado perfecto?

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Trinomio cuadrado perfecto. Hay que determinar la expresión factorizada correcta.

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Llame la atención sobre algunos errores frecuentes que se presentan al factorizar un trinomio aplicando la regla del TCP.

–– a 2 - 10 a + 25 = ^a - 5 h el trinomio es un TCP, pero en la factorización no se ha escrito el exponente 2 en el paréntesis.

–– x 2 + 3 x + 9 = ^ x + 3 h2 producto de 3x.

el trinomio no es un TCP porque su término central no es el doble

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Más información

Trinomio cuadrático de la forma x 2 + Mx + N . Trinomios

Disposición práctica Una disposición práctica para factorizar estos trinomios es la siguiente.

Debido al producto notable ^ x + a h ^ x + b h = x 2 + ^ a + b h x + ab , un trinomio de la forma x 2 + Mx + N se factoriza así: x 2 + Mx + N = ^ x + a h ^ x + b h

–– Paréntesis: x 2 - 6x - 16 = h^ =^

donde: ab = N y a + b = M

Este método de factorización se puede generalizar de tal forma que las letras M, N y x designen expresiones algebraicas cualesquiera.

–– La raíz cuadrada del primer término: x 2 - 6x - 16 = = ^x h ^x h

2

Factoriza x - 6x - 16 . •

Buscamos dos números a y b tales que: ab =-16; a + b =-6 .

•

Los números buscados son -8 y 2: - 8 $ 2 =-16; - 8 + 2 =-6 .

•

Entonces: x 2 - 6x - 16 = ^ x - 8 h ^ x + 2 h .

–– El signo del segundo término: x 2 - 6x - 16 = = ^x - h ^x h

1. Factoriza si es posible; indica los casos en los que no es posible. a) x2 + 8x + 12

d) x2 - 3x + 4

2

g) m2 + 4m - 21

2

b) x + 5x - 6

2

e) a + 11a - 60

2

c) b - b - 2

f)

h) x + 12 - 13x

2

i)

t + t - 30

2

p - 10p - 25

j)

x2 - 10x + 24

l)

2

x - 9x + 18

x 2 + 3xy - 40y 2 = x 2 + 3yx - 40y 2 Buscamos dos expresiones a y b tales que: ab =- 40y 2; a + b = 3y .

Para encontrar a y b tanteamos con los factores primos. En el ejemplo, N =- 40 y 2 .

Las expresiones son 8y y -5y : 8y $ ^ - 5y h =- 40y 2; 8y - 5y = 3y . • Entonces: x 2 + 3xy - 40y 2 = ^ x + 8y h ^ x - 5y h . •

a) x2 + 7xy + 10y2 2

b) x + 5xy - 36y

2

c) x2 - 3xy - 10y2 2

d) m - 6mn + 5n

2

–– El producto de los signos del segundo y el tercer términos: x 2 - 6x - 16 = = ^x - h ^x + h

k) n2 - 12n - 27

2. Factoriza.

•

–– Dos números que multiplicados den - 16 y sumados con sus signos respectivos den - 6: x 2 - 6x - 16 = = ^ x - 8h ^ x + 2h

8 $ ^- 5h = - 40

8-5 = 3

e) b2 + 18a2 b - 63a 4 f)

h

a2 - 15ab2 + 36b 4

3. Factoriza. x 6 + 5x 3 z 2 + 6z 4 = ^ x 3h2 + 5z 2 x 3 + 6z 4

•

Buscamos dos expresiones a y b tales que: a $ b = 6z 4; a + b = 5z 2 .

•

Las expresiones son 3 z 2 y 2 z 2 : 3 z 2 $ 2 z 2 = 6 z 4; 3 z 2 + 2 z 2 = 5 z 2 .

•

Recursos

Entonces: x 6 + 5x 3 z 2 + 6 z 4 = ^ x 3 + 3 z 2h ^ x 3 + 2 z 2h .

a) x 8 - 12x 4 y + 11y2

c) a6 - 3a 3 b - 10b2

e) m 8 + m 4 - 12

b) x 4 - 10x2 + 21

d) p6 - 14p 3 + 48

f)

g) ^a + bh2 + 5 ^a + bh - 24

i)

h) ^m - ph + 6^m - ph + 9 2

j)

^abh4 + 2a ^abh2 + a2

^ x - 1 h + ^ x - 1 h - 30

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2

Pensamiento crítico e investigación Factoriza si es posible y, si piensas que no es posible, explica por qué.

x 8 + 3x 4 y - 70y2

k) ^ pqh2 + 5pqr - 24r2 l)

^m + n + ph2 + 6 ^m + n + ph - 7

a) x2 + 4x - 21

149

b) x2 - 10x + 16 c) x2 + 3x - 10

Sugerencias metodológicas Tic Pida a algunos estudiantes que factoricen trinomios en la pizarra; observe, analice y corriga los errores.

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Trinomio cuadrático. En un juego de básquet hay que señalar la expresión que corresponde al trinomio cuadrático.

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Más información

Trinomio de la forma Px 2 + Mx + N . Trinomios

Valoración de dos métodos En la página se explican dos métodos para factorizar trinomios de la forma Px 2 + Mx + N. El método del aspa es más rápido, siempre que se tenga la práctica suficiente para tantear con diferentes números.

Un trinomio cuadrático de la forma Px2 + Mx + N puede factorizarse reduciéndolo a un trinomio de la forma X 2 + MX + N .

1. Factoriza 6x 2 - 11x + 4 llevando el trinomio a la forma X 2 + MX + N .

Recursos Ejercicios Factoriza por el método del aspa y comprueba factorizando por el primer método.

1.º Multiplicamos y dividimos por el coeficiente de 6x2, es decir, por 6.

6 ^ 6x 2 - 11x + 4 h 6

2.º Llevamos a la forma X 2 + MX + N, donde X = 6x .

^6x h - 11 ^6x h + 24 6

3.º Factorizamos el trinomio X 2 - 11X + 24 , con X = 6x .

7^6x h - 8A 7^6x h - 3A

4.º Extraemos el factor común en cada paréntesis.

2 ^ 3x - 4 h $ 3 ^ 2x - 1 h 6

5.º Finalmente, simplificamos 2 y 3 con el 6 del denominador.

^ 3x - 4 h ^ 2x - 1 h

El método del aspa depende de procedimientos de ensayo y error, y funciona también con los trinomios anteriores.

2

6

2. Factoriza 6x 2 - 11x + 4 con el método del aspa. 1.º Buscamos al tanteo dos factores de 6x2 y otros dos de +4 y los colocamos en columna debajo de 6x2 y 4, respectivamente.

a) 12x2 + 7x - 6 b) 18x2 - 9x - 5

2.º Multiplicamos los factores en cruz (aspa) y sumamos algebraicamente los productos esperando obtener el término -11x:

c) x2 - x - 90

6x 2 - 11x + 4 3x + 2 = 4x 2 +10x 2x + 2 = 6x ¡No funciona!

6x 2 - 11x + 4 -4 =- 8x 3x 2 -11x -1 =- 3x 2x ¡Funciona!

3.º Escribimos los factores que hemos encontrado: 6x 2 - 11x + 4 = ^ 3x - 4 h ^ 2x - 1 h

1. Factoriza los siguientes trinomios con ambos métodos. a) 3x2 + 7x + 2

c) 5y2 + 4y - 1

e) 2a2 - 13a + 15

g) 6a2 - 5a - 21

b) 3x2 - 14x + 8

d) 5a2 - 9a - 2

f) 2x2 + 5x - 12

h) 20b2 - 7b - 6

a) 8b2 + 7b - 1

d) 7p2 + 13p - 2

g) 3h2 - 11h + 6

j)

b) 6m2 + 13m - 15

e) 6x2 + 7x - 5

h) 6y2 - 5xy - 4x2

k) 17a + 18a2 - 15

2. Realiza las operaciones.

2

c) 3m - 7m - 20

3.

f)

2

8x - 14x + 3

i)

2

20m - 9m - 20

l)

12x2 - x - 6 15n2 - 34n + 15

Investiga. ¿Cómo factorizarías 3x 4 + 7x 2 + 2 con el primer método estudiado

en esta página?

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Muestre a los estudiantes que si, al aplicar el método del aspa, falla solamente el signo, el “detalle” se arregla conmutando los signos.

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Más información

Factorización de cuatrinomios y polinomios mayores

¡Cuidado con los signos! Para factorizar polinomios de cuatro o más términos es necesario agrupar los términos para buscar un factor común o para buscar trinomios o binomios que puedan ser factorizados.

1. Factoriza los siguientes polinomios agrupando términos.

Existen varias formas de agrupar los términos; debes escoger una adecuada.

Si se introduce un signo negativo delante de un paréntesis, hay que cuidar que la nueva expresión sea matemáticamente equivalente a la original.

1. 2ax - 5a + 2bx - 5b =

= ^ 2ax - 5a h + ^ 2bx - 5b h = = a ^ 2x - 5 h + b ^ 2x - 5 h =

= ^ 2x - 5 h ^ a + b h

: :

Factorizamos el factor común monomio.

:

Factorizamos el factor común polinonomio.

Agrupamos buscando factores comunes.

Recursos

2. 3x - 2ab + nx - 2bx + an + 3a =

= ^ 3x + 3a h - ^ 2bx + 2ab h + ^ nx + an h = : Agrupamos buscando factores comunes. = 3 ^ x + a h - 2b ^ x + a h + n ^ x + a h = : Factorizamos el factor común monomio. = ^ x + a h ^ 3 - 2b + n h : Factorizamos el factor común polinonomio.

a) a2 m + b2 m + a2 + b2

f) 7x + y - xy - 7 - z2 + xz2

b) 14xy - 7xz + 2y - z

g) m2 n - m2 - 13 - nx + x + 13n

c) 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

h) 2am - m - 2an + 2a + n - 1

d) am - an + ax - bn + cn + bm - cm + bx - cx

i)

x 3 - x2 - x + 1

j)

x 2 - y 2 + 5x - 5y

2

2

e) 2a b - 3ab + 4am - 6bm

Ejercicios Factoriza la expresión agrupando convenientemente. a 2 - b 2 + 6a + 9 + 2b - 1

2. Factoriza los siguientes polinomios buscando binomios o trinomios factorizables. x 2 - y2 + 9 - 6x - 25 + 10y = = x 2 - 6x + 9 - y 2 + 10y - 25 = = ^ x 2 - 6x + 9 h - ^ y 2 - 10y + 25 h = = ^ x - 3 h2 - ^ y - 5 h2 = = 7^ x - 3 h + ^ y - 5 hA 7^ x - 3 h - ^ y - 5 hA = = 6x + y - 8@ 6x - y + 2@ a) x2 - y2 - 10x + 25 2

2

: Reordenamos buscando TCPs. : Agrupamos los TCPs. : Factorizamos los TCPs. : Factorizamos la diferencia de cuadrados. : Abrimos los paréntesis.

e) x2 - y2 - 12x + 36 - 6y - 9 a2 + b2 - c2 - 4d2 + 2ab - 4cd

b) a - b + 14a + 49

f)

c) x2 - y2 + 8y - 16

g) x2 - 2x + 1 - y2 - 2yz - z2

4

4

2

d) m - n - 2n - 1

h) x2 - y2 - 10x + 25 - x 4 + 2x2 y

3. Factoriza aplicando la mejor estrategia. a) 3a + a2 - 3b - ab 2

2

e) x2 - y2 + 6x + 9 + 4y - 4 m 2 - 4m + 4 - n 2 - 2np - p 2

b) x - y + 10x + 25

f)

c) mn - n - 3m + 3

g) x2 - y2 + xy - y - x - xy

d) 6b - 3c - a2 - 2ab + ac + 3a

h) 9a2 + b2 - 6ab - a2 + 4ab - 4b2

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Sugerencias metodológicas Muestre que no todas las agrupaciones son igualmente efectivas para conseguir la factorización de un polinomio. Los estudiantes deben practicar mucho para desarrollar la capacidad de encontrar una agrupación conveniente.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

151

Más información Puntualizaciones sobre la factorización de polinomios en general –– Para factorizar un polinomio cualquiera debemos conocer los diferentes casos de factorización. –– Dado un polinomio, debemos identificar los casos de factorización que es posible aplicar y el orden en que deben aplicarse esos casos. –– Existen polinomios que no se pueden factorizar, así como, en aritmética, hay números (los números primos) cuya única factorización posible es la multiplicación del mismo número por la unidad.

Factorización de polinomios en general Para factorizar un polinomio cualquiera, en muchos casos es necesario combinar varios casos de factorización. cuando los factores no pueden ser ya factorizados, se dice que el polinomio está factorizado en factores primos o factorizado completamente. Una expresión algebraica es prima si no puede ser factorizada. Estas expresiones son primas.

Procedimiento general de factorización 1.º Extraemos factores comunes si es posible. 2.º analizamos los factores que resultan del paso anterior. •

Si hay binomios, examinamos si pueden ser factorizados como diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos, o sumas (o diferencias) de potencias pares e impares.

•

Si hay trinomios de la forma Px 2 + Mx + N , estudiamos si son TcPs o trinomios cuadráticos de alguna de las formas que sabemos factorizar.

•

• 5x 2 • x 2 + xy + y 2 •x

Si hay cuatrinomios o polinomios más grandes, los agrupamos de manera conveniente buscando aplicar algunos de los casos de factorización más simples.

2

+1

•x-5 •x

2

+ 5 x + 25

3.º Volvemos a analizar los factores siguiendo las pautas del segundo paso, hasta estar seguros de que ningún factor puede ser factorizado.

Factoriza completamente. 1. x 3 y + 9xy - 6x 2 y =

= xy ^ x 2 + 9 - 6x h = = xy ^ x - 3 h2

: Extraemos el factor común x y y reconocemos un TCP. : Factorizamos el TCP.

4

2. 5x - 625x =

= 5x ^ x 3 - 125 h = 5x ^ x 3 - 5 3 h = 5x ^ x - 5 h ^ x 2 + 5x + 5 2 h = 5x ^ x - 5 h ^ x 2 + 5x + 25 h

: Extraemos el factor común 5x. : Identificamos una diferencia de cubos. : Factorizamos la diferencia de cubos.

3. 9 - x2 - 2xy - y 2 =

= 9 - ^ x 2 + 2xy + y 2h

: Factorizamos el signo y reconocemos un TCP.

= 3 - ^x + yh

: Reconocemos una diferencia de cuadrados.

= 9 - ^ x + y h2 2

2

= 73 + ^ x + y hA 73 - ^ x + y hA = ^3 + x + y h ^3 - x - y h

: Factorizamos el TCP.

: Factorizamos la diferencia de cuadrados. : Abrimos los paréntesis.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Pida a algunos estudiantes que factoricen trinomios en la pizarra; observe, analice y corriga los errores. –– Pida a los estudiantes que justifiquen cada paso del proceso de factorización indicando el caso de factorización empleado.

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Recursos

4. ax 3 + 2bx 3 - axy 2 - 2bxy 2 =

= x ^ax2 + 2bx2 - ay2 - 2by2h =

: Extraemos el factor común x.

= x 7 x 2 ^ a + 2b h - y 2 ^ a + 2 b h A =

: Factorizamos x e y y reconocemos el factor común (a + 2b) .

= x 7^ax2 + 2bx2h + ^- ay2 -2by2hA = = x ^ a + 2b h ^ x 2 - y 2 h =

Actividades

: En el cuatrinomio agrupamos por factor común. 2

Elaboren un cuadro-resumen de todos los casos de factorización estudiados.

2

: Factorizamos (a + 2b) y reconocemos una diferencia de cuadrados.

= x ^ a + 2b h ^ x + y h ^ x - y h

: Factorizamos la diferencia de cuadrados.

Ejercicios

5. x 2 + 5x - y 2 - 5y =

= ^ x2 - y2h + ^5x - 5y h

: Agrupamos e identificamos una diferencia de cuadrados.

= ^x + yh ^x - yh + 5 ^x - yh

: Factorizamos x - y y el factor común 5.

b) a 4 + a 3 - a 3 b + b2 - ab2 - b2

: Identificamos el factor común (x - y) .

= ^ x - y h ^ x + y + 5h

c) 6xy - 16 - x2 - 9y2

: Factorizamos (x - y) .

= ^ x - y h + ^5x - 5y h 2

2

Factoriza.

a) 6ax2 + 6a - 12ax + 2b ^ x - 1h2

: También identificamos el factor común 5. 2

= ^x + yh ^x - yh + 5 ^x - yh

2

1. Factoriza completamente. a) 5x2 + 5y2 - 10xy

f) 5b 4 + 5b

k) a 3 b2 + 11a 3 b - 60a 3

b) - 2x 3 + x2 + x 4

g) n 4 - 81

l)

9 7

7 9

2

c) 3x y - 12x y

h) 6ax - 28ax + 16a

d) 3x2 + 3x + 3 4

i)

e) 20 x5 b 3 - 5x 3 b 9

j) - 2z2 + 2z + 144

ay 3 + 10ay2 + 25ay

18x 3 - 2x

m) 40 + 5x 3 n) x2 - y2 - 6x + 9 ñ) 32p - 8pq 8

2. Factoriza y obtén tres factores. a) a 3 - a2 - a + 1

e) pq5 + 32p

b) a2 m - b2 m - a2 n + b2 n 3

2

2

3

El trinomio que resulta de factorizar una suma o una diferencia de cubos ya no es factorizable.

3

2

2

c) x b - b n + x m - m n

f) 3

d) n 3 + 3n2 - 16n - 48

ax 3 + b - a - bx 3

g) x2 y - 6xy + 9y - x2 + 6x - 9 h) 2x 3 + 7x2 - 15x

3. Factoriza completamente. a) a 8 + a 4 - 2

2 b) ^a2 + 2ah - 2 ^a2 + 2ah - 3

f)

x2 - y2 + 9 - 6x - 25 + 10y

g) 2ax 3 + 6bx 3 - 2a - 6b

c) a5 - a

h) x2 + 2xy - 2x - 3x - 4y + 6

d) mn - 5m + 5n - n 2

i)

a2 - 1 a - 3 4 4

e) ^ x2 - 2x - 15h ^ x2 - 9x + 20h

j)

1 a 3 x2 - 1 a 3 y2 - 1 ax2 + 1 ay2 8 2 8 2

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a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2) 1 444 2 444 3 No es factorizable

153

Tic Factorizando. Hay que arrastrar los factores que sirven para formar la factorización de los polinomios propuestos.

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153

Recursos Ejercicios Factoriza. a) m3 + 27m + 27 + 9m2 b) a 3 - 12a2 - 64 + 48a c) a2 x - bx - 7a2 + 7b

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Ensayo y error Cuando no tenemos una idea clara acerca de cómo resolver un problema, podemos ensayar con distintos procedimientos hasta encontrar aquel que nos conduzca a la solución. Factoriza x 3 - 6x 2 + 12x - 8 . Debemos expresar el polinomio como una multiplicación de factores; estos factores pueden ser números reales, monomios u otros polinomios. No es sencillo percibir el o los procedimientos de factorización que debemos aplicar. Ensayaremos con diferentes maneras de agrupación buscando obtener un factor común polinomio.

¡Lo logré!

Primer ensayo agrupamos los dos primeros términos, por una parte, y los dos últimos, por otra. Factorizamos cada una de las agrupaciones y vemos cómo continuar. x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = ^ x 3 - 6x 2 h + ^12x - 8 h = = x 2 ^ x - 6 h + 4 ^ 3x - 2 h

No se puede continuar, pues no hemos conseguido un factor común. Segundo ensayo agrupamos el primer término con el tercero y el segundo con el cuarto. x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = ^ x 3 + 12x h + ^ - 6x 2 - 8 h = x ^ x 2 + 12 h - 2 ^ 3x 2 + 4 h

Tampoco hemos conseguido un factor común.

Tercer ensayo agrupamos el primer término con el cuarto y el segundo con el tercero. x 3 - 6x2 + 12x - 8 = ^ x 3 - 8h - ^6x2 - 12xh =

= ^ x - 2 h ^ x + 2x + 4 h - 6x ^ x - 2 h = 2

= ^ x - 2 h ^ x + 2x + 4 - 6x h = 2

= ^ x - 2 h ^ x - 4x + 4 h = 2

= ^ x - 2h ^ x - 2h = 2

: Reconocemos una diferencia de cubos. : Factorizamos la diferencia de cubos. : Factorizamos el factor común polinomio. : Reconocemos un TCP. : Factorizamos el TCP.

= ^ x - 2h

3

Por lo tanto: x 3 - 6x2 + 12x - 8 = ^ x - 2h3

Verificamos la factorización desarrollando el binomio al cubo:

^ x - 2h3 = x 3 - 3 $ x2 $ 2 + 3 $ x $ 22 - 2 3 = x 3 - 6x2 + 12x - 8

1. Aplica la estrategia de ensayo y error para factorizar los siguientes polinomios. a) 3x2 + 2ax - 3 - 2a 3

154

d) a - b + bx2 + ax2 - 2ax

b) 75a + a + 15a + 125

e) 12a 4 + 64 - a6 - 48a2

c) x2 - y2 + a2 - b2 - 2ax + 2xb

f)

154

2

m 3 + b + bm2 - 1 + bm

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Taller de Matemática Procedimiento gráfico de factorización

Puntualizaciones sobre la graficación de polinomios

1. Aprende a factorizar polinomios utilizando un graficador de funciones.

–– Generalmente, los polinomios en una variable pueden graficarse utilizando la graficadora de funciones.

Utilizaremos la opción Gráficas del programa Matemáticas de Microsoft. Factorizaremos el polinomio x 3 - 6x 2 + 8x . Para hacerlo, graficaremos la función respectiva y = f ^ x h = x 3 - 6x 2 + 8x.

1.º Después de abrir el programa Matemáticas de Microsoft, elegimos la opción Gráficas. Una vez dentro de esta opción, elegimos la opción Funciones y escribimos nuestra función:

–– Los puntos de intersección con el eje X no siempre corresponden a números enteros.

y = f ^ x h = x 3 - 6x 2 + 8x

Para escribir los exponentes, utilizamos la tecla /, situada entre los botones de la opción Estándar de la especie de calculadora que se ve en la parte izquierda.

–– En algunos casos, es difícil determinar los puntos exactos de intersección con el eje X debido a que los valores máximos y mínimos de los ejes determinan que la cuadrícula y los puntos de intersección no coincidan.

2.º Después de escribir la función, hacemos clic en Intro. Y después hacemos clic en Gráfica. El programa muestra la gráfica de la función. 3.º Para ver la gráfica con mayor claridad, en las opciones de Presentación, dentro de los Controles de la gráfica, seleccionamos la opción de Rango del área a plotear y escribimos: x Mínimo: -2 Máximo: 6 y Mínimo: -15 Máximo: 15 4.º añadiendo cuadrícula a la gráfica (desde las opciones de Presentación) podemos ver con claridad los puntos en los que la curva de la función corta al eje X. Esos puntos se conocen como ceros de la función y, en el caso de nuestra gráfica, son: x=0

x=2

x=4

Recursos

5.º con los ceros de la función determinamos la factorización del polinomio: x 3 - 6x 2 + 8x = ^ x - 0 h ^ x - 2 h ^ x - 4 h = x ^ x - 2 h ^ x - 4 h

Ejercicios Factoriza utilizando el graficador. a) x2 - 2x - 8 b) x 3 - 2x2 - 3x c) x 3 - 5x2 + 2x + 8

2. Aplica las orientaciones de la actividad anterior para factorizar los siguientes polinomios. Utiliza el graficador del programa Matemáticas de Microsoft o cualquier otro programa graficador de que dispongas. a) x2 - x - 6

b) x 3 + x2 - 6x

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 13. Multiplicando por 2 el producto de la raíz del primer término y la raíz del último debemos obtener el término central.

1. Indica si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). a) Factorizar significa expresar como una multipli-

res siempre son iguales.

–– Actividad 23. Se debe aplicar la técnica de agrupación de términos.

c) La expresión 4x 2 + 2x 2 - 2y - y es una factori-

–– Actividades 27 y 28. Primero, se obtiene el área de cada figura básica; después, se suman las áreas de las figuras básicas y, finalmente, se factoriza la expresión resultante.

e) Las expresiones 3x y ^ x - 7h son factores de

–– Actividad 29. Se factoriza la expresión y se examina la relación entre los dos números representados por las expresiones entre paréntesis.

zación de 6x 2 - 3y. d) Todos los polinomios son factorizables. 2

3x - 21x .

2. Factoriza mediante factor común monomio. a) 2x - 6

d) 4m + 12n

b) x2 + xy

e) 5 x - 3 2 2 f) 2a 2 - 2 ab 3

3. Factoriza mediante factor común monomio. a) 15a - 6b - 3c b) 2x2 - xy + 7x c) 6x 3 y - 3x2 y - xy + 3y

d) 27x 3 - 1

9. Factoriza como suma de cubos. a) x 3 + 8y 3

c) 125x 3 + y 3

b) 64m 3 + 1

d)

10. Indica los binomios que no son factorizables. a) x 3 + z 3

e) 16 + x6

b) x6 + y 4

f)

5

d) 27 - n

6

h) 1 - x

11. Factoriza. a) 1 + x5

c) 16 - y 4

b) x7 - 1

d) 144 - n 8

12. Factoriza. c)

b) 0, 25 - y6

d) a7 - 128b7

a) x2 - 6x +

c) ^3x2 + 1h y + ^3x2 + 1h z

d) x2 +

b) a ^ x - 1h + b ^ x - 1h

c)

d) 4 ^ x + y - 1h - x ^ x + y - 1h

2

c) 16a - b

b) 9x - 1

d) 36 - x

2

2

6. Factoriza como diferencia de cuadrados. a) x 4 - 1 4

b) 25a - b

c) m 8 - 1 6

6

d) 4x - y z

156

c) x2 - 0, 25 d)

+ 4y 2

a) x2 - 14x + 49

d) m2 - 2m + 1

b) x2 + 5x + 25

e) a2 + 6a - 36

2

c) a + 4ab + b

2

4 a2 - 1 b2 25 9

f)

p2 + 36 + 12p

15. Factoriza los trinomios cuadrados perfectos. a) a2 - 6a + 9

4 4

7. Factoriza como diferencia de cuadrados. a) 1 - b2 4 25 b) x2 - 1 9

+ 6a + 9

14. Identifica los trinomios cuadrados perfectos.

5. Factoriza como diferencia de cuadrados. 2

1 x6 + 1 27

a) 8x 6 - 27

b) m2 - 10m +

a) 4 - x

x7 + z7

g) a 8 + 1

c) x - 32

a) 6 ^a + bh - a ^a + bh

2

1 + b6 64

13. Completa para obtener un TCP.

d) mn - 3n 3 + 5n2 - 5n + n 4

4. Factoriza mediante factor común polinomio.

156

c) m 3 - 125

b) x - 27

b) En la factorización de un polinomio los facto-

c) 2ab - 4b

a) a 3 - 1 3

cación indicada de factores.

2

8. Factoriza como diferencia de cubos.

2

b) m + 8m + 16

c) x2 - 16x + 64 d) a2 + 81 + 18a

16. Factoriza los trinomios cuadrados perfectos. a) 1 - y + y2 4 b) 4 x 4 - 4 x2 + 1 9 3

c) 1 x2 + 4x2 y2 - 4 x2 y 3 9 d) 1 + n + 4n2 16

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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17. Factoriza como trinomio cuadrático. a) x2 + x - 12

c) m2 - 5m - 24

2

2

b) a - 16a + 55

d) x + 10x + 21

18. Factoriza como trinomio cuadrático. a) x2 - 14xy + 40y2

c) a2 + 16ab2 + 63b 4

b) a2 - 2ab - 48b2

d) x2 - xy2 z 3 - 56y 4 z6

19. Factoriza como trinomio cuadrático.

Mi desempeño como docente

25. Descompón en tres factores. a) 30x2 - 55x - 50

–– Desarrollo el pensamiento crítico de los estudiantes.

b) xz 2 - x 2 z - yz 2 + xyz

c) ^a + bh ^a2 - b2h - ^a2 - b2h

Pocas veces.

d) x2 y - y - 2x2 + 2

Muchas veces.

26. Descompón en seis factores.

–– Promuevo el trabajo grupal.

a) 3a6 - 75a 4 - 48a2 + 1 200

a) x 4 - 17x2 + 60

c) m6 + 23m 3 n + 90n2

6 5 5 4 2 b) a - a c - a b + a bc - a + ac + ab - bc 2 2 2 2 2 2 2 2

b) a 4 + 18a2 b2 + 45b 4

d) x2 + 22xyz - 48y2 z2

c) m - m17 9

20. Factoriza los trinomios de la forma Px 2 + Mx + N . a) 2a2 + 5a - 3

e) 4a2 - 3a - 10

b) 3x2 + 5x + 2

f) 5a2 - 16a + 3

c) 5a2 - 17a + 6

g) 6x2 + 8xy - 8y2

d) 4x2 + 11x - 3

h) 10a2 - 3ab - 18b2

8

d) a c - ab c

27. Encuentra una expresión factorizada para el área de cada una de las figuras. a)

2x

x

c) 4a 4 + 23a2 + 15

b) 3x 4 + 14x2 - 5

d) 9m 4 - 8m2 - 1

x 2x

x x

a) xy - 3y - 2x + 6

2x

28. Expresa el área de cada región coloreada mediante una expresión factorizada.

c) 6m - 12n - 2mp + 4np d) 2a - 2b - 6 + ac - bc - 3c

a)

c)

2x

23. Factoriza. 2

Muchas veces.

x 3x

22. Factoriza. b) 5a - 10b + ab - 2b2

–– Pondero el orden y la creatividad en la presentación de las prácticas.

x

21. Factoriza los trinomios de la forma Px 2 + Mx + N . a) 2x 4 - 5x2 + 3

Muchas veces.

Pocas veces.

b)

x

Pocas veces.

2r

y

r r

2

a) x - 4x + 4 - y + 6y - 9 b) a2 + 6a + 9 - b2 + 2b - 1 c) m2 - m2 n2 - 10m + 2mn + 25 - 1 2

2

d) a 2 - 2a + 1 - c 2 - 2ac - a 2 b d b d

24. Factoriza completamente.

b)

d)

r r

r

r

2r

4r n

r

a) 4a2 - 25x2

f)

a6 + 729b 3

b) x16 - y16

g) m12 - 1

c) m7 - 8m5 + 10m 3

h) x 3 + x2 - 4x - 4

d) 1 - x2 - 2xy - y2

i)

25x2 - 80xy + 64y2

e) a 3 + b 3 + a + b

j)

a 3 - 9b2 - 27b 3 + a2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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29. Investiga. El producto de dos números es n2 + 3n + 2. ¿Qué relación hay entre esos dos números?

157

157

Sobre las actividades –– Actividad 33. Se factoriza el trinomio a2 + 6a - 16 y se examina la relación entre los dos factores. –– Actividad 36. La suma o la diferencia de cubos se determina mediante la estrategia de ensayo y error.

30. Encuentra el polinomio.

33. El área de un terreno de forma rectangular pue-

a) ¿Qué expresiones algebraicas multiplicadas dan como resultado el polinomio 2x 3 - 14x 2 - 36x ? b) ¿Qué polinomios multiplicados dan como resultado el polinomio 3x - 2ab + nx - 2bx + an + 3a ?

de ser representado por el trinomio a 2 + 6a - 16 . ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el largo y el ancho del terreno?

31. Factoriza los polinomios que representan las áreas de las figuras y responde: si la variable x puede valer solo 5, ¿a qué figura corresponde cada polinomio? A1 = x2 + 4x + 4

A2 = x2 + 4x + 3

A3 = 9x2 + 12x + 4

A4 = 2x2 - x - 3

34. René quiere cercar su terreno con un rollo de alamA C

B

32. Pensamiento

D

bre de ^ 15y + 35x h metros de longitud. ¿Cuántas filas de alambre tendrá el cerco si el terreno tiene la siguiente forma?

se demuestra que 2 = 3 de la siguiente manera:

x y

4 - 10 = 9 - 15

Se transforma a la forma de un TcP: 4 - 2 $ 2 $ 5 + 25 = 9 - 2 $ 3 $ 5 + 25 2 4 2 4 Se factoriza el TcP: 5 2 5 2 b2 - 2 l = b3 - 2 l Se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros: 5 2 b2 - 2 l =

5 2 b3 - 2 l

Se saca la raíz cuadrada a ambos miembros: 2- 5 = 3- 5 2 2 Se suma 5 a ambos miembros y se obtiene: 2 2=3 ¿Dónde está el error del razonamiento?

x

x

Se presenta la siguiente igualdad: Se suma 6 1 a ambos miembros: 4 4 - 10 + 6 1 = 9 - 15 + 6 1 4 4

x

x+y

crítico. En una comedia algebraica

x

x y

35. Investiga. Estudia los primeros 24 números naturales. a) ¿cuáles pueden expresarse como una diferencia de cuadrados perfectos? Por ejemplo: 13 = 7 2 - 6 2 b) Encuentra una factorización de los números encontrados en el inciso anterior utilizando la diferencia de cuadrados. Por ejemplo:

13 = 7 2 - 6 2 = ^ 7 + 6 h^ 7 - 6 h = 13 $ 1

c) ¿cuáles de las factorizaciones encontradas en el inciso anterior son distintas de N = N $ 1 ?

36. Investiga. Expresa los siguientes números como una suma o como una diferencia de cubos perfectos y utiliza la suma y diferencia de cubos para encontrar una factorización de ellos. Por ejemplo:

91 = 4 3 + 3 3 = ^ 4 + 3 h^ 4 2 - 4 $ 3 + 3 2h = 7 $ 13

a) 72

158

158

b) 316

c) 370

d) 448

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Matemática y valores

Autonomía y creatividad

Valores AUTONOMÍA Y CREATIVIDAD

Utiliza tus conocimientos de álgebra y factorización para apreciar la creatividad del procedimiento de factorización de Euler.

La autonomía de pensamiento y la creatividad son esenciales para realizar descubrimientos matemáticos importantes.

El método de factorización de Euler cuando un número es grande, el procedimiento de factorización que se enseña en la escuela primaria (ver si el número es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, ...) se vuelve ineficiente. De ahí la importancia de la búsqueda de métodos de factorización más potentes y efectivos. El método de factorización de Leonhard Euler (1707-1783) se basa en el hecho de que algunos números naturales pueden expresarse de dos maneras distintas como la suma de dos cuadrados. N = a2 + b2 = c2 + d2 Por lo tanto: a 2 + b 2 - ^b 2 + c 2h = c 2 + d 2 - ^b 2 + c 2 h a2 + b2 - b2 - c2 = c2 + d2 - b2 - c2 a2 - c2 = d2 - b2 ^a - ch ^a + ch = ^d - bh ^d + bh

61 @

En 6 1 @ d y b deben ser ambos pares o ambos impares.

ahora se define una constante k, tal que: k = m.c.d. 7^ a - c h, ^ d - b hA Por lo tanto: a - c = k $ L 6 2a @ ;

d - b = k $ M 6 2b @

Solo los números que pueden expresarse como la suma de dos cuadrados de dos formas distintas pueden factorizarse con el método de Euler.

Los números L y M deben ser primos entre sí, pues si tuvieran un divisor común, el número k no podría ser el m.c.d. de ^a - ch y ^d - bh . Sustituyendo [2a] y [2b] en [1] tenemos:

k $ L ^a + ch = k $ M ^d + bh ( L ^a + ch = M ^d + bh

como L y M son primos entre sí, ^a + ch tiene que ser divisible por M y, por lo tanto, tiene que ser igual al producto de M y otro número P: Por consiguiente:

a + c = M $ P 63 @

a+c = M$P ( M $ P = M ^d + bh ( d + b = L $ P 6 4 @ a + c = M ^ d + b h4 L L

El procedimiento de factorización propuesto por Euler fue utilizado para analizar números cuyo carácter primo o no primo era desconocido en su momento. Como se sabe, la búsqueda de métodos para determinar si un número es primo o compuesto tiene un enorme interés en la matemática. El método de Euler, creativo e interesante en sí mismo, tuvo éxitos, pero también limitaciones, en su contribución a la investigación matemática de los números primos.

De [2a], [2b], [3] y [4] se deducen las siguientes expresiones: k = a-c M = d-b P = a+c L = d+b L k M P Utilizando estas cuatro expresiones, Euler demostró la siguiente fórmula de factorización del número N: 2 2 N = :a k k + a P k D $ ^ M 2 + L2 h 2 2

37. Si 1 000 009 = 1 000 2 + 3 2 = 972 2 + 235 2 , encuentra una factorización del número 1 000 009.

38. Factoriza 65 y 221 con el método de Euler. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

39. Busca un número que se pueda expresar como la suma de dos cuadrados de dos formas distintas y factorízalo.

159

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Repaso acumulativo 2

Sobre las actividades –– Actividad 4. Hay que eliminar los paréntesis, luego los corchetes, y reducir términos semejantes. –– Actividad 7. Al sustituir la x del dividendo por el término independiente del divisor resulta una expresión cuya única variable es k. Se iguala esta expresión a 0, se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de k. –– Actividad 11. Se lleva la expresión a la forma n

n

a ! b y, aplicando la a!b regla SPIN, se determina el tipo de cociente notable que hay que desarrollar.

1. Halla el producto.

9. Opera utilizando productos notables.

a) ^7x 3h ^- 12xy h ^- 3y 3h

b) b 1 a l b- 3 ab l b 10 ab l ^- 6b h 5 3 3 2

2

3

c) ^-a mh ^-2abh ^-3a2 b nh

2. Realiza las siguientes multiplicaciones. b) ^a2 + a - 1h ^a2 + 1 + ah

c) ^a 3 - 5a + 2h ^a2 - a + 5h

3. Realiza las siguientes multiplicaciones. a) ^ x - 1h ^ x2 + 1h ^ x + 1h

c) m ^m - 4h ^m - 6h ^3m + 2h

4. Opera y simplifica.

a) ^b + 5h ^5 - bh - ^1 - bh2 - 3b ^2 - bh

b) 76 ^ x - 1h - 2 ^3 - xhA - 74 ^2 - xh + 7 ^ x + 1hA 2 3 xy y2 y c) c x + ma x + k- x 16 8 4 4 2 64

5. Realiza las siguientes divisiones. a) ^2x - 6x - 5h ' ^ x - 3h 2

b) ^3x2 + 2x - 10h ' ^ x + 2h

c) ^ x 4 + x 3 + 5x2 + x - 1h ' ^ x2 + x + 5h

6. Aplica la regla de Ruffini para calcular los cocientes. a) ^2x 3 - 2x2 + x - 2h ' ^ x - 2h

b) ^ x5 + x 4 - x2 - 4x - 2h ' ^ x + 4h

7. Usa el teorema del residuo para determinar los valores de k con los cuales las siguientes divisiones son exactas. Luego comprueba que esos valores producen divisiones exactas. a) ^ x2 - 5x + k h ' ^ x - 1h b) ^ x2 - k h ' ^ x + 2h

8. Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.

160

d) ^ x - y - 1h2

e) ^ x + 3h3 + ^ x - 3h2 - ^6 - xh g) 7^ x + y h - 3A 7^ x + y h + 3A h) 75 - ^ x - y hA 75 + ^ x - y hA i)

^x - 7 + yh ^x + 7 + yh

10. Establece la correspondencia entre los productos y ^ x - 3h ^ x + 3h ^ x - 3h ^ x - 3h ^3 + x h ^ x + 3 h ^ x + 3 h ^3 - x h

: : : :

: : : :

x 2 - 6x + 9 9 - x2 x2 - 9 9 + 6x + x 2

11. Calcula los siguientes cocientes notables. a)

x6 - y6 x-y

4 4 d) 16m - 81n 2m + 3n

b)

x12 - y12 x4 - y4

4 e) x2 - 1 x +1

4 c) x - 1 x-1

f)

a 5 + 32 a+2

12. Desarrolla el triángulo de Pascal hasta la sexta fila y escribe los coeficientes de un binomio elevado a la sexta potencia.

13. Desarrolla utilizando el triángulo de Pascal. a) ^3a - 1h3

5 d) b 3a - b l b a

b) ^ x + 4y h4 c) c2x +

5 e) b1 + x2 l y

y3 4 m 2

6 f) b 1 + a l a 2

14. Factoriza.

c) ^2x2 - 3x + k h ' ^ x + 1h

160

c) ^ x - 1h ^ x + 5h + x ^ x + 1h2

sus respectivos desarrollos.

b) 5a ^a - 2bh ^a - 3bh

b) ^n - 2mh2

b) ^a + bh ^a - bh + ^a - bh2

f) ^a + 3h ^a2 + ah ^a - 3h

a) b- 1 - x l b- 2 + x l 3 2 5 3

a) ^2m - nh2

a) ^ x + 2h2 - ^ x - 1h ^ x + 1h

c) ^0, 1 + 10xh2

2 d) b 3 a2 - 2 ab l 2 5

a) 25x 4 - 81y2 b) x 3 - 64x 4 c) ax + a - x - 1 d) c 4 - 16d 4 e) x 3 + 6x2 y + 12xy2 + 8y 3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Sobre las actividades 6. Polinomio que puede ser factorizado con el producto notable ^ b + c h2 = a 2 + 2ab + b 2 : ________ cuadrado perfecto.

f) 1 + 18ab + 81a2 b2 10

8

6

g) a - a + a + a

4

h) 2am - 3b - c - cm - 3bm + 2a i) j)

7. El teorema del _________ permite conocer el resto de una división de polinomios sin efectuar la división.

a2 - m2 - 9n2 - 6mn + 4ab + 4b2

8 ^a + 1h3 - 1

k) 36a 4 - 84a2 b2 + 49b 4 l)

8. Se dice de aquellos productos cuyo resultado se conoce sin realizar la multiplicación.

125x 3 - 25x2 - 135x + 27

9. cuerpo geométrico con seis caras iguales.

m) 1 - 9x2 + 24xy - 16y2 2

10. La regla de ___________ permite factorizar polinomios utilizando solo los coeficientes.

2

n) m + 5m - n - 5n

15. Factoriza en tres factores.

11. Expresión algebraica compuesta por la suma de varios términos no semejantes.

a) x 3 - 4x + x2 - 4 b) x 3 - x + x2 y - y

12. Proceso por el cual un polinomio se expresa como el producto de varias expresiones algebraicas.

c) n 4 - 81

d) ^a + bh ^a2 - b2h - a2 + b2

13. Una diferencia de _________ se factoriza así: a 2 - b 2 = ^a - bh ^a + bh.

e) a6 + a

f) 6ax - 2bx + 6ab - 2b

Actividad 16. Se aplican diferentes casos de factorización.

2

14. Paralelogramo cuyos ángulos internos son todos rectos.

16. Factoriza completamente. a) 2x 4 + 6x 3 - 2x - 6

15. Figura geométrica de cuatro lados iguales, cuyos ángulos internos son todos rectos.

b) x6 - 7x 3 - 8 c) a 4 + 2a 3 - a2 - 2a

1

d) 5a 4 - 3 125 8

2

4

e) x + x - 2 f)

3

3a2 m + 9am - 30m + 3a2 + 9a - 30 4

3

2

2

2

2

g) 2a - 2a - 4a - 2a b + 2ab + 4b

4

2

5

h) 3x6 - 75x 4 - 48x2 + 1 200

6

17. Resuelve el crucigrama.

7

Valor que te hace mejor persona y mejor estudiante

8

1. La propiedad a ^b + ch = ab + ac que permite la factorización se denomina propiedad _______. 2. Los cocientes ______ permiten hallar el cociente directamente. 3. Matemático francés del siglo XVII que escribió el libro Tratado del triángulo aritmético. 4. Para factorizar un polinomio de cuatro o más términos, una de las técnicas adecuadas es la _______ de términos.

9 10 11 12 13 14 15

5. cada una de las expresiones algebraicas que multiplicadas reproducen un polinomio. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Sugerencia de temporalización

9

Ecuaciones e inecuaciones

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Gráfico según original

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores El texto nos propone el valor de la responsabilidad en nuestras afirmaciones y creencias. ¿Somos responsables para formarnos una opinión? ¿Somos creíbles cuando hacemos una afirmación? ¿Nos interesa que nuestras creencias sean verdaderas o adoptamos creencias con ligereza? Una persona responsable puede “hacerse cargo” de lo que dice. La matemática proporciona un modelo de racionalidad y responsabilidad científica y también ayuda a emitir opiniones fundamentadas en otros campos. Y aunque en la vida cotidiana y en muchas esferas de opinión es difícil seguir el modelo matemático de racionalidad, este nos recuerda que también en la búsqueda de la verdad podemos ser o no ser responsables.

162

Cuando resuelves un problema de matemática, ¿razonas con cuidado?, ¿te preocupas por comprobar tu respuesta?, ¿te aseguras de que tus métodos conducen a una solución acertada?

• ¿Cuál es en la matemática la diferencia entre un teorema y una conjetura? ¿Conoces alguna conjetura matemática famosa?

El objetivo de los matemáticos es encontrar verdades matemáticas profundas e interesantes. Cuando un matemático descubre una verdad y una manera de probarla se dice que ha descubierto un teorema. Es ajeno al espíritu científico de la matemática presentar como un teorema una afirmación que no puede demostrarse mediante un razonamiento lógico y sin errores.

• ¿En la vida cotidiana eres responsable con lo que dices? ¿O es común que afirmes cosas que no has pensado bien o no puedes fundamentar?

Conjeturar y demostrar

Si un matemático cree que algo es verdad pero no lo puede demostrar, se dice que tiene una conjetura. Algunas conjeturas son famosas y durante décadas, y a veces siglos, los matemáticos han buscado averiguar si son verdaderas o falsas.

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Sugerencias metodológicas –– Repase reducción de términos semejantes, operaciones con polinomios y productos notables. –– Procure que los estudiantes trabajen en grupos para que puedan compartir sus conocimientos y desarrollar su responsabilidad en las tareas asignadas.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDa Características de las ecuaciones Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta solo para uno o algunos valores de sus letras o variables. Ese o esos valores son la solución (o las soluciones) de la ecuación. Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado del signo de igualdad. Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros. Primer miembro

Segundo miembro

3x + 8 = 17

1. Explica por qué cada una de las siguientes exLos estudiantes tendrán dificultades si no tienen suficiente conocimiento de las operaciones con polinomios y de los productos notables.

presiones no es una ecuación o es una ecuación sin solución. a) x + 1 = x

c) x - 2 = x - 2

b) 3x - 6 =

d) 6 + 4 = 10

2. Identifica los miembros y los términos de las siguientes ecuaciones. a) 4x - 7 = 15

c) 120 = 15 + 2x + 5

b) 5 + x = 3x

d) 15x + 12 = 10 + 17x

Vocabulario matemático

3. Escribe la solución de las ecuaciones. c) x + 1 = 5x - 49

a) 3x - 5 = 7

Términos

La solución de la ecuación 3x + 8 = 17 es x = 3 porque: 3 $ 3 + 8 = 17 .

d) x + 2^ x + 5h =-20

b) 9 + x = 78

Ecuación Ecuaciones de primer grado

4. ¿Qué ecuaciones son equivalentes en cada uno

Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen exactamente las mismas soluciones. Por ejemplo, las dos siguientes ecuaciones: x+5 = 7

3x - 1 = 5

son equivalentes porque la única solución de ambas es x = 2 . En efecto:

: x+5 = 7 : 3x - 1 = 5

x=2 x=2

2 + 5 = 7 & 7 = 7 (verdad) 3 $ 2 - 1 = 5 & 5 = 5 (verdad)

Propiedades de las ecuaciones Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. 3x - 1 = 8

sumando 7

3x + 6 = 15

Ecuaciones equivalentes

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. 6 - x =- 4

multiplicando por 2

12 - 2x =- 8

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

de los grupos? a) : x - 9 = 3 : x =4 3

Identidad

: 5-x = 6 : 3x + 9 = 6

b) : -5 + 2x = 11 : 3x - 2 = 11 2

Inecuación Intervalo

: x + 12 = 3x - 4 : x=8

Solución de una ecuación Transposición de términos

5. Escribe tres ecuaciones equivalentes a la dada. b) 10x + 8 =- 4x - 6

a) 5x + 8 =-2

6. Realiza la misma operación en ambos miembros de la ecuación y comprueba que la ecuación resultante es equivalente a la original. a) 6x - 5 = 19

Sumar - 4

Restar 5x b) 7x = 5x + 20 x c) +4 = 3 Multiplicar por 2 2 d) 2x - 5 = 7

Dividir entre 2

7. Resuelve las ecuaciones aplicando las propiedades. a) 8x - 1 = 2x + 23

c) 4x - 6 = 6x - 7

b) 5x - 3x = x + 13

d) 3 - x + 8 = 3x - 1

Estas propiedades se utilizan para resolver ecuaciones, es decir, para hallar su solución.

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Más información

Ecuaciones e identidades

Ecuaciones e identidades Una identidad puede transformarse algebraicamente en una expresión de la forma a = a . Sin embargo, una identidad no se manifiesta de manera tan obvia, de ahí que una identidad puede parecer una ecuación. ¿Cómo podemos saber si tenemos una identidad o una ecuación? Un paso importante es reducir términos semejantes. Es posible que después de esa reducción una igualdad manifieste más claramente si es una identidad o una ecuación.

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que es verdadera solo para uno o algunos valores de sus variables o letras.

Las identidades se llaman también leyes matemáticas.

Una identidad es una igualdad de dos expresiones algebraicas que es verdadera para todos los posibles valores de sus variables.

Todos los productos notables son identidades.

1. 3x - 5 = 7 es una ecuación porque es verdadera solo para x = 4 . x=4

3 $ 4 - 5 = 7 & 7 = 7 (verdad)

x=1

3 $ 1 - 5 = 7 & -2 = 7 (falso)

x=2

3 $ 2 - 5 = 7 & 1 = 7 (falso)

2. x2 - x = 6 es una ecuación porque es verdadera solo para x =- 2 y x = 3 . x =-2 x=3 x=1

^-2 h2 - ^-2 h = 6 & 4 + 2 = 6 & 6 = 6 (verdad) 3 2 - 3 = 6 & 9 - 3 = 6 & 6 = 6 (verdad) 1 2 - 1 = 6 & 1 - 1 = 6 & 0 = 6 (falso)

3. ^ x - 3h2 = x2 - 6x + 9 es una identidad porque es verdadera para cualquier valor de x. x =-2 x=2 x=3

^- 2 - 3 h2 = ^- 2 h2 - 6 $ ^- 2 h + 9 & ^- 5 h2 = 4 + 12 + 9 & 25 = 25 (verdad) ^2 - 3 h2 = 2 2 - 6 $ 2 + 9 & ^- 1 h2 = 4 - 12 + 9 & 1 = 1 (verdad) ^3 - 3 h2 = 3 2 - 6 $ 3 + 9 & 0 2 = 9 - 18 + 9 & 0 = 0 (verdad)

Cualquiera que sea el valor numérico que demos a la variable x, siempre obtendremos una identidad numérica.

Recursos

1. Demuestra por evaluación que las siguientes igualdades son ecuaciones.

Ejercicios

a) 6x = 18

c) 2x + 1 = 11

e) x - 2 = 2x

Indica si la igualdad es una ecuación o una identidad.

b) x + 6 = 5

d) 5x - 3 = 7

f)

4x + 12 = 2x

2. Demuestra algebraicamente que las siguientes igualdades son identidades.

a) 6x - 11 = 5x

g) x - ^ 6 - 2x h = 6

h) 2x - ^ x + 20 h =- 4x

Si una igualdad es una identidad, realizando transformaciones algebraicas en ambos miembros de la igualdad por separado es posible llegar a una expresión de la forma a = a.

b) x2 - 1 = ^ x - 1h ^ x + 1h c) x2 - 5 = 4

18 - 2^ x + 6h = 3x - ^5x - 6h ( 18 - 2x - 12 = 3x - 5x + 6 ( 6 - 2x = 6 - 2x

d) ^ x + 2h ^ x + 2h = x2 + 4x + 4

a) - 6 ^ x - 2h + 5 =- 2 ^3x - 3h + 11 b) 3x + 2 ^2 - xh = 7 + ^ x - 3h

c) ^ x + 3h2 - 6x = x^ x + 3h - 3^ x - 3h 2 2 d) ^ x2 + 1h - ^ x2 - 1h = ^2xh2

3. Verifica por evaluación, para al menos dos valores de la variable x, que cada una de las igualdades de la actividad anterior es una identidad.

4. Escribe dos ecuaciones y dos identidades. 5.

Investiga. Calcula el valor de a para que la ecuación x 2 - 3 x + a = 0 se cumpla

para x = 2 .

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Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que expliquen las diferencias y similitudes entre identidades y ecuaciones.

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Recursos

Grado y solución de una ecuación

Ejercicios Comprueba que la raíz de x + 5 = 8 es x = 3 y que la solución de la ecuación 2x - 1 = 3 es x = 2 .

El grado de una ecuación es el máximo exponente que lleva cualquiera de sus variables o incógnitas después de que se han realizado las operaciones indicadas. Las soluciones o raíces de una ecuación son los valores numéricos de la o las variables para los cuales la igualdad se verifica. El conjunto de todas las soluciones se denomina conjunto solución.

Hay casos en los que ningún valor asignado a la variable verifica la ecuación. En estos casos se dice que la ecuación no tiene solución.

Las ecuaciones de primer grado con 1 incógnita tienen 1 sola solución.

1. Indica el grado y el número de incógnitas de las siguientes ecuaciones. a) 2x - 5 = 13 - x b) x2 - x = 6

de segundo grado con una incógnita.

c) x 3 - 2x2 - x + 2 = 0

de tercer grado con una incógnita

d) 5x + 2y = 3

de primer grado con dos incógnitas

e) y - 1 = x

3x = 2 + 3x x2 + 1 = - 5

de primer grado con una incógnita.

2

de segundo grado con dos incógnitas

2. Verifica que x =- 2 es la solución de 3 x - 5 =- 15 - 2 x . =3x - 5 =- 15 - 2x 3 ^-2h - 5 =-15 - 2 ^-2h ( ( -6 - 5 =-15 + 4 ( -11 =-11 (verdad) x

2

3. Verifica que x =- 1; x = 2 son las soluciones de x 3 - 2 x 2 - x + 2 = 0 .

^-1h3 - 2 ^-1h2 - ^-1h + 2 = 0 ( ( -1 - 2 + 1 + 2 = 0 & 0 = 0 (verdad)

: x 3 - 2x 2 - x + 2 = 0

x =- 1

: x 3 - 2x 2 - x + 2 = 0

x=2

2 3 - 2 $ 22 - 2 + 2 = 0 ( ( 8 - 8 - 2 + 2 = 0 & 0 = 0 (verdad)

1. Determina el grado y el número de incógnitas de cada una de las ecuaciones. d) 2x - 1 = x2 + 3

a) x + 5 = 8

2

2

e) x + x = 1 + x

2

f) 2x - 3y = 10

b) x + 3 = 7 c) x + 6x = 7

3

g) 2x - 3y2 = 10 h) 4x2 + 4y2 = 1 i)

2x 3 + x - y + y 2 = 0

2. Determina si los valores son soluciones de las ecuaciones correspondientes. a) 2x - 5 = 13 - x

x = 0; x = 5; x = 6; x =- 3

b) x2 + 2x - 3 = 0

x =- 3; x =-1; x = 1; x = 2

c) x 3 = 4x

x =- 3; x =-2; x = 0; x = +2; x = 3

2

d) 3 - x = x + 1

3.

x =-2; x =-1; x = 0; x = 1; x = 2

Pensamiento crítico. ¿Cuál es el grado de las siguientes ecuaciones? ¿Por qué?

a) 3 ^5 - xh - 7 ^2 - xh = 4x + 1

b) 4x ^5 - xh + 2 = 3x ^3 + 2xh - 1 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

c) ^ x - 1h2 - x2 = 2

d) ^ x + 2h2 - ^ x - 1h2 = 1

e) ^2x - 3h2 - ^3x - 2h2 = 0

f) ^ x - 1h3 - ^ x - 1h2 = x - 1

165

Sugerencias metodológicas Llame la atención de los estudiantes sobre la utilización de la palabra raíces para referirse a las soluciones de una ecuación. Distinga este significado de la palabra del sentido que tiene cuando hablamos de la raíz (cuadrada, cúbica, ...) de un número.

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Más información Puntualizaciones sobre las ecuaciones de primer grado –– Cualquier letra puede utilizarse para representar la variable o incógnita de una ecuación. –– Cuando el coeficiente de la incógnita es negativo, antes de realizar el despeje se multiplican ambos miembros de la ecuación por ^- 1h . Así el coeficiente de la incógnita es positivo y al realizar el despeje la incógnita no queda con signo negativo.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Cuando resolvemos una ecuación de primer grado con una incógnita, realizamos transformaciones algebraicas en la ecuación dada hasta encontrar una ecuación equivalente de la forma x = a (donde a es un número real) que nos proporciona la solución de la ecuación original. Por ejemplo: 5x - 8 = 2x + 1

realizamos transformaciones algebraicas

x=3

Las transformaciones algebraicas se realizan utilizando la regla de transposición de términos: •

Si un término está sumando en un miembro de la ecuación, puede pasar al otro a restar. Y si está restando, puede pasar a sumar. 5x - 8 = 2x + 1

•

2x pasa a restar -8 pasa a sumar

5x - 2x = 1 + 8

Si una expresión está multiplicando a todo un miembro, puede pasar al otro a dividir. Y si está dividiendo a todo un miembro, puede pasar al otro a multiplicar. 3 pasa a dividir 3x = 9 x= 9 3

Los dos puntos de la regla de transposición se pueden utilizar en cualquier orden.

Dependiendo del tipo de ecuación, la fundamental regla de transposición de términos necesita ser complementada con otras pautas. Veamos las que corresponde a las ecuaciones con paréntesis. En este caso: 1.º Se eliminan los paréntesis realizando operaciones. 2.º Se agrupan los términos con la incógnita en un miembro y los demás términos en el otro miembro. Para pasar los términos de un miembro a otro se utiliza la regla de transposición. 3.º Se reducen términos semejantes. 4.º Se despeja la incógnita transponiendo su coeficiente (en virtud de la regla de transposición). De este modo se halla el valor de la incógnita. 5.º Se verifica la solución.

1. Resuelve la ecuación 1 ^ 5x - 12 h + 40 = 65 - 3 ^ x - 8 h . 4 4 1 5x - 12 + 40 = 65 - 3 x - 8 h h 4^ 4^ 5 x - 3 + 40 = 65 - 3 x + 6 4 4 5 x + 3 x = 65 + 6 + 3 - 40 4 4 2x = 34 x = 34 & x = 17 2

166

: Eliminando los paréntesis. :

Transponiendo términos.

: Reduciendo términos. :

Transponiendo términos.

Verificación: 1 5 $ 17 - 12 + 40 = 65 h 4^ 1 73 + 40 = 65 4^ h 73 + 40 = 65 4 233 = 233 4 4

3 17 - 8 h 4^ 3 9 4^ h 27 4

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Sugerencias metodológicas –– Invite a algunos estudiantes a resolver ecuaciones en el pizarrón. Comente y discuta sus errores. Los errores son una oportunidad para aprender. –– Haga que los estudiantes trabajen en grupos para que puedan compartir sus conocimientos. –– Pida a los estudiantes que intenten resolver mentalmente algunos de los acertijos numéricos de la actividad 4.

166

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

2. Resuelve la ecuación 2 ^ x - 4h2 - ^ x - 2h2 = ^ x - 8h ^ x + 8h - 16 . 2^ x - 4h2 - ^ x - 2h2 = ^ x - 8h ^ x + 8h - 16

2 ^ x - 8x + 16h - ^ x - 4x + 4h = x - 64 - 16 2

2

2

2

: Desarrollando los productos notables.

2

: Eliminando los paréntesis.

2x - 16x + 32 - x + 4x - 4 = x - 80 2

2

Ejercicios

2

2

2x - 16x - x + 4x - x =- 80 + 4 - 32 - 12x =- 108 x = - 108 - 12 x=9

Resuelve.

a) 4 ^ x - 1h = 3x - ^ x + 3h

b) 3 - 2 ^ x + 3h = 1 + ^7x - 1h

: Transponiendo términos.

c) 2 + 3 ^ x + 2 h = 4x - ^- 3x - 1 h

: Reduciendo términos. : Transponiendo términos.

d) 1 ^ x - 1 h - 1 ^ x - 2 h = 2 3 1 = ^ x - 3h 4

Verifica la solución encontrada.

e) ^ x - 1 h3 + x - 2 = x 3 - 5 -

1. Resuelve. a) 7x + 5 = 26

d) 35 + x = 45

g) 3x - 10 =- x + 5x

b) 8 - 5x =- 12

e) x + 16 = 1 - 3x

h) 5x - 2x = 8 - x + 4

c) 6x - 12 = 600

f)

i)

5x+ 1 = 7 3 3 1 k) 8 = - 3 x 2 2 3 l) x+ 7 = 7 4 5 5

m) 1 x - 4 = 1 3 2 3 2 4 7 n) x+ = x- 2 5 6 3 3 1 3 5 ñ) x+ = x2 2 2

j)

4x + 6 =- 4 - x

2. Resuelve.

3x - 4x = 12 + 3x - 8

o) 2 x - 1 = 4 + 1 x 2 2 3 1 3 1 p) - x = x+1 2 4 2 q) 3 x - 2 x = 3 x + 4 5 10 4

a) 2 ^ x - 5h = 3 ^ x - 1h - 3

d) 2 ^ x - 1h - ^ x + 3h = 5 ^ x + 1h

c) - 3 ^4 - xh = x - 2 ^ x + 1h

f) -5^ x + 4h - ^ x - 3h = 3^ x - 3h

b) 2 ^ x - 3h = 4x + 14

3. Resuelve.

e) -^ x + 3h + 2^ x - 1h = 4^ x - 1h

a) ^ x + 1h ^ x - 1h = ^ x - 3h ^ x + 5h

d) ^ x - 2h2 - ^3 - xh2 = 1

c) ^5 - 2xh ^4 - 6xh = ^3x - 4h ^4x - 3h

f) ^3x - 1h2 - ^9x + 2h^ x - 1h = 0

b) 1 + ^ x - 2h ^ x + 7h = x2 + 4 ^2x - 1h

- 3x 2 + 5x

e) ^ x + 9h2 - ^ x - 9h2 = 54

4

4. Resuelve los acertijos numéricos y encuentra el número. a) Multiplico un número por 3, al producto le sumo 2 y obtengo 17. b) a la cuarta parte de un número le resto 1 y obtengo 3 . 2 2 c) a un número le resto 30, multiplico la diferencia por 13 y obtengo 195. d) a un número le sumo 5, multiplico la suma por 3 y divido el producto por 10; obtengo 6. e) Multiplico un número aumentado en 2 por el número disminuido en 2 y obtengo la suma del número y su cuadrado. f) al cuadrado de un número le resto 5 y obtengo el producto del número por el número disminuido en 1. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

167

Tic Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se debe unir con una flecha la ecuación con su solución.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

167

Más información Una variante del método expuesto Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y se lo anota a un costado. Se divide ese m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador respectivo. De esta manera los denominadores desaparecen y se prosigue con la resolución.

Ecuaciones de primer grado con denominadores Para resolver ecuaciones con denominadores: 1.º Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2.º Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo. Se realizan las operaciones hasta obtener la ecuación sin denominadores. 3.º Se aplican los pasos usuales para resolver una ecuación: •

Se eliminan los paréntesis.

•

Se agrupan los términos semejantes: en un miembro los que tienen la incógnita, en el otro miembro los términos puramente numéricos.

•

Se reducen términos semejantes.

•

Se despeja la incógnita.

36 es el m.c.m. de 4,6 y 9 porque 36 es el menor número divisible por 4, 6 y 9.

4.º Se verifica la solución.

Recursos

Resuelve la ecuación x - 3 - x - 5 = 2x - 13 . 4 6 9

Ejercicios

1.º El mínimo común múltiplo de 4, 6 y 9 es 36.

Resuelve

2.º

5 ^ x - 1h a) x - 1 - x + 1 = 3 9 3 b) t + 2 + 2t - 1 = - t + 1 18 9 6

36 $ : x - 3 - x - 5 D = 36 $ : 2x - 13 D 9 6 4

36 $ ^ x - 3h 36 $ ^ x - 5h 36 $ ^2x - 13h = 4 6 9 9 $ ^ x - 3h - 6 $ ^ x - 5h = 4 $ ^2x - 13h

3.º 9x - 27 - 6x + 30 = 8x - 52 & 9x - 6x - 8x =- 52 - 30 + 27 & & - 5x =- 55 & x = - 55 & x = 11 -5 4.º

11 - 3 - 11 - 5 = 2 $ 11 - 13 & 4 6 9 & 8 - 6 = 9 & 2 - 1 = 1 & 1 = 1 (verdad) 9 4 6

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. k)

2 ^5 - xh - 2x = 4x 3

g) x + 1 - 4x + 2 = x - 1 5 3 6

l)

1 ^2 - xh = ^ x + 5h 1 4 3

c) 3x + 1 = 3 - 2x 15 10

h) 1 x + x + x = x - 25 4 6 2

m) 7 b x - 1 l = 1 a x + 1 k 2 5 2

d) x - 1 = x - 2 + x - 3 3 4 2

i)

3x - 2 - x =- 1 + x - 1 7 3

2 ^ x + 1h n) 5x + 1 =7-x 3 2 6 2

e) 6 - x - 4 - x = x + 6 4 2 12

j)

x - 3x + 5x 2 - 3 = 2 x 2 - 1 5 2 10 4

ñ) 3 + 2x - b2 - 3 - x l = x 3 5

a) 2x + 7 = 9 3

f)

b) x - 5 = 2x - 6 3 2

168

4x = 5x - x + 1 3 6 4

2

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Sugerencias metodológicas Se debe tener mucho cuidado con el signo - que va delante de una fracción, pues este signo hace cambiar los signos de los términos que están en el numerador de la fracción.

168

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Más información

Ecuaciones con radicales

Sobre el procedimiento de resolución

Para resolver ecuaciones con radicales: 1.º aislamos en un miembro la expresión que contiene al radical. 2.º Elevamos ambos miembros a un exponente igual al índice del radin cal. así, por la propiedad ^ n a h = a , eliminamos el radical.

Las soluciones extrañas surgen porque al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, no obtenemos necesariamente una ecuación equivalente a la original.

3.º Resolvemos la ecuación resultante. 4.º Verificamos la solución encontrada.

al resolver ecuaciones con radicales pueden surgir soluciones extrañas, es decir, soluciones que resultan del proceso, pero que realmente no son soluciones de la ecuación dada.

x2 + 5 + 5 = x

1.

x2 + 5 = x - 5

:

_ x + 5 i = ^ x - 5 h2 2

Y 2

2

Aislamos el radical.

: Elevamos al cuadrado.

x 2 + 5 = x 2 - 10x + 25

2

2

x - x + 10x = 25 - 5

: Eliminamos el radical y desarrollamos. : Resolvemos la ecuación resultante.

10x = 20 x = 20 = 2 10

: Resolvemos la ecuación resultante. : Resolvemos la ecuación resultante.

Verificamos: 22 + 5 + 5 = 2 & 9 + 5 = 2 & 3 + 5 = 2 (falso) . Entonces, 2 no es realmente una solución de la ecuación. 2.

y+3 - y-2 = 1

_ y + 3 i = _1 + y - 2 i 2

2

:

y + 3 = 1 + 2 y - 2 +_ y - 2i

2

Si a = b, se sigue que a 2 = b 2 . Pero de a 2 = b 2 no se sigue que a = b, sino que a = b o a = - b . Por ejemplo, de 2 2 = ^- 2h2 no se sigue que 2 = - 2 .

: Desarrollamos el paréntesis.

y-2

: Reducimos términos y aislamos el radical.

22 = _ y - 2 i

2

: Elevamos al cuadrado.

4 = y-2 & y = 6

Verificamos:

Aislamos el radical y elevamos al cuadrado.

: Desarrollamos el paréntesis.

y+3 = 1+2 y-2 +y-2 2=

El primer paso expuesto en el libro (aislar el radical en un miembro de la ecuación) no es estrictamente necesario. También es posible comenzar en el segundo paso (elevar ambos miembros de la ecuación a un exponente igual al índice del radical), pero en este caso el proceso se hace más largo.

: Encontramos la posible solución.

6 + 3 - 6 - 2 = 1 & 9 - 4 = 1 (verdad)

1. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las soluciones. i)

x-5 -2 =

j)

b + 5 - b + 12 = 1

a)

2x - 1 = 3

e)

3

b)

5a - 1 - 2 a + 1 = 0

f)

3

c)

x2 + 8 - x - 4 = 0

g)

x + x+4 = 2

k)

d)

y 2 - 2y + 1 = 9 - y

h) 13 - 13 + 4x = 2 x

l)

x 3 - 3x + 1 - x = 0

x ^ x - 3h - 2 + 1 = x 2

x+3

2x - 1 + 2x + 6 = 8x + 9 3 x-1 -2 x+6 =

x-9

169

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Sugerencias metodológicas –– Explique con cuidado y claridad el error que contiene la siguiente cadena de razonamiento: a2 = b2 (

a2 =

¿?

b2 ( a = b

Asegúrese de que los estudiantes comprenden por qué de a2 = b2 no se sigue que a = b. –– Pida a los estudiantes que analicen la solución extraña encontrada en el primer ejemplo: ¿en qué momento del proceso de razonamiento obtenemos una ecuación que no es equivalente a la original?, ¿de cuáles de las ecuaciones del proceso de razonamiento es x = 2 una solución verdadera?, ¿de cuáles es una solución extraña?

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169

Más información Importancia de interpretar los problemas En la resolución de problemas mediante ecuaciones son cruciales los dos primeros pasos. El primero se refiere a la interpretación correcta del problema, y el segundo implica el paso del lenguaje corriente al lenguaje simbólico. Si estos dos pasos no se realizan bien, se podrá resolver correctamente una ecuación, pero no la ecuación que ayude a encontrar una solución al problema planteado.

Problemas que se resuelven mediante ecuaciones Muchos problemas pueden ser resueltos planteando con sus datos una ecuación de primer grado. Para resolver un problema seguimos los siguientes pasos. 1.º Entender el problema • Comprender la información (los datos). • Identificar aquello que se desea encontrar (la incógnita). • Determinar las relaciones entre los datos y la incógnita. 2.º Plantear la ecuación • Determinar qué representa la incógnita. • Traducir al lenguaje algebraico la información del problema.

¿Puede cambiarme un billete de Bs 100 en billetes de Bs 10 y monedas de Bs 2?

3.º Resolver la ecuación y verificar la solución 4.º Responder al problema • Interpretar la solución de la ecuación y responder a la pregunta del problema. • algunos problemas tienen soluciones inesperadas o difíciles de entender. Es importante analizarlas para dar una respuesta coherente al problema.

1. Rubén cambió en un banco un billete de Bs 100 por billetes de Bs 10 y monedas de Bs 2. Si le dieron 22 monedas y billetes en total, ¿cuántos billetes y cuántas monedas tiene Rubén? 1.º Entender el problema Rubén tiene Bs 100 en billetes de Bs 10 y monedas de Bs 2. Tenemos que averiguar cuántos billetes de Bs 10 y cuántas monedas de Bs 2 tiene, sabiendo que tiene 22 monedas y billetes. 2.º Plantear la ecuación x (la variable)

Número de billetes de Bs 10 Número de monedas de Bs 2 Dinero en billetes de Bs 10

^22 - xh

10x

Dinero en monedas de Bs 2

2 ^22 - xh

El valor de los x billetes más el de las ^22 - xh monedas es igual a Bs 100. así planteamos la ecuación: 10x + 2 ^22 - xh = 100

3.º Resolver la ecuación y verificar la solución 10x + 2 ^22 - xh = 100 & 10x + 44 - 2x = 100 & 8x = 56 & x = 7 Verificamos: 10 $ 7 + 44 - 2 $ 7 = 100 & 70 + 44 - 14 = 100 (verdad)

4.º Responder al problema

Rubén tiene 7 billetes de Bs 10 y 15 ^ 22 - 7 = 15 h monedas de Bs 2.

170

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Sugerencias metodológicas

Tic Ecuaciones y monedas. Hay que plantear y resolver un problema.

170

–– Resuelva varios problemas pidiendo a los estudiantes que le ayuden a interpretar el problema y a plantear la traducción al lenguaje algebraico. Discuta con ellos las distintas interpretaciones y propuestas. –– Pida a los estudiantes que resuelvan ecuaciones en la pizarra. Analice con ellos la interpretación del enunciado, la traducción al lenguaje algebraico y la interpretación de la solución numérica.

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Recursos

2. Guillermo tiene 32 años y su hija tiene 5 años. ¿Al cabo de cuánto tiempo la edad de Guillermo será 10 veces la de su hija?

Actividades

1.º Entender el problema

Resuelve los siguientes problemas planteando una ecuación.

Debemos encontrar el tiempo que transcurrirá desde ahora hasta que la edad del padre sea 10 veces la edad de la hija. 2.º Plantear la ecuación El tiempo buscado

a) Calcula las dimensiones de un rectángulo que tiene 84 cm de perímetro y cuyo ancho es 2 de su 5 largo.

x (la variable)

La edad de Guillermo dentro de x años La edad de la hija dentro de x años

32 + x 5+x

Dentro de x años, la edad de Guillermo debe ser 10 veces la de su hija. Entonces, la ecuación es: 32 + x = 10 ^5 + xh

3.º Resolver la ecuación y verificar la solución

b) Jorge tiene un perro 12 años menor que él. Dentro de 4 años, Jorge tendrá el triple de la edad del perro. ¿Cuál es la edad de Jorge? ¿Cuál la de su perro?

32 + x = 10^5 + xh & 32 + x = 50 + 10x & -9x = 18 & x =-2

Verificamos: 32 + ^- 2h = 50 + 10 ^- 2h & 32 - 2 = 50 - 20 (verdad)

4.º Responder al problema

La edad de Guillermo será 10 veces la de su hija dentro de -2 años. ¿Qué significa esto? Significa que esa relación de edades se verificó hace dos años. Entonces, Guillermo tenía 30 años y su hija 3.

1. Resuelve los problemas. a) Una caja de manzanas pesa 3 kg más que una caja de naranjas. Dos cajas de manzanas y cuatro de naranjas pesan juntas 42 kg. ¿Cuánto pesa una caja de naranjas? ¿Cuánto una de manzanas?

d) Un corredor de autos recorre 748 km en tres etapas. En la segunda recorre 124 km más que en la primera, y en la tercera recorre 100 km menos que en la segunda. ¿Cuánto recorre en cada etapa?

b) Rafael salió de su casa con cierta cantidad de dinero. Gastó la mitad en el cine y la quinta parte en el supermercado. Si aún le quedan Bs 36, ¿cuánto dinero tenía cuando salió de su casa?

e) Un auto sale de la ciudad a y se dirige a la ciudad B con una velocidad constante de 45 km/h. al mismo tiempo, otro sale de B y se dirige a a con una velocidad constante de 35 km/h. Si la distancia entre a y B es de 400 km, ¿a qué distancia de a se encontrarán los autos?

c) Un frutero vende su provisión de naranjas de la siguiente forma: la mitad a Bs 5,60 el kilogramo (kg); la quinta parte de la otra mitad a Bs 5,50 el kg; y el resto a Bs 5 el kg. ¿Cuántos kilogramos de naranjas vendió si en total recibió Bs 385,2?

c) Un objeto del tipo A cuesta Bs 28 más que un objeto del tipo B. Sabiendo que 10 objetos del tipo B y 20 del tipo A cuestan juntos Bs 1 760. ¿Cuánto vale cada objeto A y cada objeto B?

f) Si a un terreno le quitásemos 10 m2, su área sería equivalente a la de un terreno cuadrado de 25 m de lado. ¿Cuál es el área del terreno?

2. Responde a los problemas analizando críticamente la solución. a) En un corral hay 92 aves entre gallinas y patos. Si hay 27 gallinas más que el doble de patos, ¿cuántas aves de cada clase hay? b) El cuadrado de un número natural más 4 veces su consecutivo es igual al cuadrado del siguiente. ¿Cuál es ese número?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

c) Tres hermanos heredan 1 120 cabezas de ganado. Según el testamento, el mayor recibe la mitad de lo que recibe el hermano del medio, y el menor seis cabezas menos que el triple del mayor. ¿Cuántas cabezas le corresponden a cada uno?

171

171

Más información

Intervalos

La representación de los intervalos abiertos En algunos libros se utilizan corchetes abiertos hacia afuera para denotar intervalos abiertos. Así, el intervalo que nosotros representamos mediante ^a, bh en esos libros se representa de este otro modo: @ a, b 6

Un intervalo es un conjunto infinito de números reales formado por los números comprendidos entre otros dos, o entre un número y el infinito. Los números entre los que está comprendido el intervalo se llaman extremos y pueden o no ser parte del intervalo. En un intervalo abierto los extremos, a y b, no pertenecen al intervalo y se representan con paréntesis y con círculos vacíos.

^ a, b h

a

Por ejemplo: -2 -1

0

1

@ - 2, 3 6

2

3

0

-2

^ - 2, 4 h

4

-2 1 x 1 4

En un intervalo cerrado los extremos, a y b, pertenecen al intervalo y se representan con corchetes y con círculos llenos.

6a, b@

Recursos

Hay una infinidad de números reales comprendidos entre dos números reales cualesquiera.

a1x1b

b

^a, b h

6a, b @

a

significa

5

a#x#b

b

0

-1

-5

3

6- 1, 3 @

-1 # x # 3

En un intervalo semiabierto uno de los extremos pertenece al intervalo y el otro no. Se dice que el intervalo es cerrado por uno de sus extremos y abierto por el otro.

Ejercicios –– Expresa gráficamente. a) ^- 3, 3h

a

b) :- 1 , 3 l 2 c) 60, 3h

a

b

6a, bh

a#x1b

b

^ a, b @

a1x#b

Los intervalos infinitos tienen un solo extremo y continúan hasta el infinito por el otro de sus lados. El “extremo” infinito se representa con paréntesis.

–– Expresa simbólicamente de dos formas: con paréntesis y corchetes, y con la notación de desigualdad. a)

significa

-3

0

1

-40

-10

0

-2

0

b)

c)

a

^a, 3h

a

x2a

6a, 3h x $ a

^3, ah

x1a

^3, a@ x # a

a

a

1. Expresa simbólicamente los intervalos y represéntalos usando desigualdades. a)

7

b) -1

8

0

9

1

10

2

3

c) -6

d)

0

-5

1 3

-4

1

2. Grafica los intervalos y represéntalos usando desigualdades. a) 63, 6h

b) ^3, 1h

172

c) 6- 7, 1 @

-3

2

d) ^- 5, - 1 @

e)

f)

-1

-1 2

0

1

0

4,5

e) 6- 7, 3h

f) b- 3 , 5 D 2

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Sugerencias metodológicas Tic

Ayude a los estudiantes a interpretar las diferentes notaciones y a relacionarlas con la representación de los intervalos en la recta de números reales.

Intervalos y desigualdades. Hay que expresar como intervalos las desigualdades dadas.

172

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Recursos

Inecuación y solución de una inecuación

Ejercicios

Una inecuación se parece a una ecuación, salvo que en vez del signo de igualdad (= ) tiene uno de los siguientes signos: 1; 2; #; $. 1

#

2

$

(menor que)

(menor o igual que)

(mayor que)

(mayor o igual que)

También es posible que algunas inecuaciones no tengan solución.

Son ejemplos de inecuaciones: 2x + 3 1 x + 6

5 + 3x 2 2 x + 8

x - 7 # 5x - 3

–– Determina si los números dados pertenecen al conjunto solución. a) 3x - 2 > 7 x = 3; 4; 5 b) x # 3x - 1 x = 1; 2; 3

9x - 5 $ 2 + x

La inecuación x + 3 # 10 traduce el esquema de afirmación: “el número x aumentado en 3 es igual o menor que 10”. Son soluciones de esta inecuación los números 6 y 7, entre una infinidad de otros.

–– Determina si el intervalo dado es la solución de la inecuación. a) 5 - x < 2x - 1

Una inecuación es una desigualdad de expresiones algebraicas que es verdadera para un conjunto de valores de sus variables o letras.

b) 4x + 1 $ x - 8

Por lo general, una inecuación no es verdadera para todos los números reales, pero sí para un intervalo de estos números, intervalo conocido como conjunto solución (Cs) de la inecuación.

^2, 3h

^- 3, 3h

1. Determina si los números dados pertenecen al Cs de la inecuación. Un número pertenece al Cs de una inecuación si al sustituir la variable por el número se obtiene una desigualdad verdadera. •

x = 5 pertenece al Cs de 3 - x 1 2x + 1 porque: 3 - x 1 2x + 1

•

x=5

3 - 5 1 2 $ 5 + 1 & -2 1 11 (verdad)

x =-5 no pertenece al Cs de 3 - x 1 2x + 1 porque: 3 - x 1 2x + 1

a) 6x - 1 1 4x + 3 b) x + 7 # 4 - 5x

x =- 5

3 - ^ -5 h 1 2 $ ^ -5 h + 1 & 8 1 -9 (falso)

x =- 1; 2; 3 x =- 3; 0; 3

c) 2 + x - 1 # 5x - 3 d) 5x - 7 1 x + 7

x =-2; 0; 4 x = 1 ; 1; -2 2

2. Determina si el intervalo dado es la solución de la inecuación. El Cs de las inecuaciones que estamos estudiando es un intervalo infinito. Si un intervalo dado es el Cs de una inecuación, se cumplen las siguientes tres condiciones: •

• •

a) 6 - x # 3x + 2

El extremo numérico del intervalo es la solución de la ecuación respectiva (de la inecuación x 2 3 - 2x la ecuación respectiva es x = 3 - 2x ).

b) 4 + x # 10 - 5x

Un número cualquiera que pertenece al intervalo pertenece al Cs (es suficiente probar con un solo número).

d) 7 - 3x 1 4 - 4x

El intervalo es de la forma 6a, 3h o ^3, a @ si la inecuación tiene los signos # o $; y de la forma ^a, 3h o ^3, ah si la inecuación tiene los signos 1 o 2 .

Si una de estas condiciones no se cumple, el intervalo no es el Cs.

c) 7x - 1 2 2 + 8x e) 4x + 2 1 5x - 6 f) 7 - 3x $ 5 - x g) 3x 2 5x + 12 h) 4 - 5x + 1 $ 0

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

61, 3h

^3, 1h

^3, -1h

^3, - 3h

^3, 8h

61, 3h

^3, -6h

^3, -1 @

173

Sugerencias metodológicas Enfatice la idea de que el conjunto solución de una inecuación está formado por un conjunto infinito de números, este conjunto infinito constituye un intervalo.

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173

Más información

Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Solución de una inecuación Una vez que se ha resuelto una inecuación, la solución debe ser representada gráficamente. La simbología Cs = " x ! R x $ 3 , se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto formado por todos los números x, pertenecientes al conjunto de los números reales, tales que esos x son mayores o iguales que 3”.

Las inecuaciones de primer grado con una incógnita tienen infinitas soluciones comprendidas en un intervalo infinito. Por ejemplo, la solución de la inecuación x + 3 # 10 es cualquier número real igual o menor que 7, es decir:

Conjunto solución = )

Cs = " x ! R x # 7 ,

Los números, pertenecientes al conjunto de 3 los reales, que son menores o iguales que 7.

La representación gráfica del conjunto solución es:

-2

0

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Para hallar el conjunto solución de una inecuación se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades: •

Si se suma (o resta) una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad se mantiene. Por ejemplo: sumando - 2

-3 1 5 •

(verdad)

Si se multiplican (o dividen) ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad se mantiene. Por ejemplo: -3 1 5

•

- 3 + ^- 2h 1 5 + ^- 2h & -5 1 3

multiplicando por 2

- 3 $ 2 1 5 $ 2 & -6 1 10

(verdad)

Si se multiplican (o dividen) ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Por ejemplo: -3 1 5

multiplicando por - 2

- 3 $ ^- 2h 2 5 $ ^- 2h & 6 2 - 10

La siguiente desigualdad es verdadera: 3 1 6 (verdad) Pero si la multiplicamos por un número negativo, como - 2 , sin invertir el signo de la desigualdad, obtenemos la siguiente desigualdad falsa: - 6 1 - 12 (falso)

(verdad)

Estas propiedades fundamentan la regla de transposición para las inecuaciones: •

Si un número o un término está sumando en un miembro de la inecuación, puede pasar al otro a restar. Y si está restando, puede pasar a sumar.

•

Si un número o una expresión está multiplicando a todo un miembro, puede pasar al otro a dividir. Y si está dividiendo a todo un miembro, puede pasar al otro a multiplicar. Si el número (o la expresión) es positivo el sentido de la desigualdad se mantiene; si es negativo, el sentido cambia.

En la práctica, las inecuaciones se resuelven como las ecuaciones, pero sin olvidar que al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Que los estudiantes se organicen en parejas para resolver una misma inecuación y comparar los resultados. –– Llame la atención sobre el detalle de los puntos llenos y los puntos vacíos: un punto lleno representa un punto extremo que pertenece al intervalo; un punto vacío representa un punto extremo que no pertenece al intervalo.

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Recursos

1. Resuelve la inecuación 4x + 8 + 6x < 8x + 12 . 4x + 8 + 6x 1 8x + 12

Actividades

4x + 6x 1 8x + 12 - 8 4x + 6x 1 8x + 4 4x + 6x - 8x 1 4 2x 1 4 x1 4 2 x12

: 8 pasa a restar. : Operando. : 8x pasa a restar. : Operando. : 2 pasa a dividir.

18 1 20

-1

0

1

2. Resuelve la inecuación x + 15 $ x + 1 . 2 3 x + 15 $ x + 1 3 2 6x + 90 $ 6x + 6 : Multiplicando por 6. 3 2 : Simplificando. 2x + 90 $ 3x + 6 2x - 3x $ -90 + 6 :

Transponiendo.

: Reduciendo. : Multiplicando por - 1.

- x $ - 84 x # 84 Cs = " x ! R x # 84 ,

4x + 8 + 6x 1 8x + 12 4 $ 1 + 8 + 6 $ 1 1 8 $ 1 + 12 4 + 8 + 6 1 8 + 12

: Operando.

Cs = " x ! R x 1 2 ,

(verdad)

2

Verificamos para x = 12: x + 15 $ x + 1 3 2 12 + 15 $ 12 + 1 3 2 4 + 15 $ 6 + 1 19 $ 7

82

Elaboren en cartulina, o en otro material, un cuadro con las propiedades de las desigualdades expuestas en la página 174. Este cuadro ayudará a memorizar las propiedades que fundamentan la regla de transposición de términos que sirve para la resolución de inecuaciones.

Verificamos para x = 1:

83

(verdad)

84

1. Resuelve las inecuaciones y grafica el conjunto solución. Grupo 1

a) 2x - 3 $ 7 - 3x

c) 3x + 1 < 4x + 8

b) x + 7 > 3 + 3x

d) 3x - 1 # 7x + 3

Grupo 2

g) - 6 ^ y + 2h + 7y # - 12

Grupo 3

j)

Grupo 4

^5x + 7h ^ x - 1h > 5x2

k) ^3x - 4h ^ x - 2h # 3x2 + 6

e) 1 x + 3 # 2 1 f) x+ 2 < 3 3

h) 3 ^ x + 3h < 2 - ^ x - 1h l)

3 -x 4 4x- 1 3 2

i)

x + 5 $ 2x + 3 2 3

^ x - 4h ^ x + 5h $ ^ x - 3h ^ x - 2h

m) ^ x - 2h ^ x - 3h < ^ x + 1h ^ x - 4h

n) 4 ^ x - 1h2 - ^2x + 1h2 # 10 ^ x - 2h + 1

ñ) ^ x - 1h3 + 2 > x 3 - 3 ^ x + 2h2

2. Resuelve los acertijos numéricos planteando una inecuación. a) ¿Cuáles son los números enteros cuya tercera parte aumentada en 15 es mayor que su mitad aumentada en 1? b) ¿Cuáles son los dos números naturales consecutivos y más pequeños tales que la suma de un tercio del menor y un cuarto del mayor excede a 19? c) ¿Cuáles son los números enteros cuyo triple menos 6 es mayor que su mitad más 4 y cuyo cuadrúple aumentado en 8 es menor que su triple aumentado en 15?

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Tic Planteando inecuaciones. Hay que arrastrar el planteamiento que corresponde al enunciado del problema. Inecuaciones. Hay que relacionar cada inecuación con la representación gráfica de su solución.

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Más información Puntualizaciones sobre la estrategia de Elegir la incógnita –– La elección de la incógnita determina el grado de la ecuación. –– Un mismo problema puede resolverse con distintas ecuaciones que tienen distintas soluciones. Sin embargo, la interpretación correcta de esas diversas soluciones conduce a una solución única para el problema original.

S

Solución de problemas

a) Elige como incógnita al número menor. b) Elige como incógnita al número del medio. c) Elige como incógnita al número mayor.

Verificar

La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 434. ¿Cuáles son esos números? Buscamos tres números naturales tales que la suma de sus cuadrados sea igual a 434. Es decir, si esos números son a, b y c, entonces a2 + b2 + c2 = 434. Si dos números naturales son consecutivos, la diferencia entre el mayor y el menor es 1 o, lo que es lo mismo, el mayor se obtiene sumando 1 al menor. Podemos resolver el problema de dos maneras. Si designamos con n al número menor, los siguientes serán n + 1 y n + 2 .

Si designamos con n al número intermedio, el anterior es n - 1 y el posterior es n + 1 . n

n -1

+2

n2 + ^n + 1h2 + ^n + 2h2 = 434

Recursos

La suma de tres números naturales pares y consecutivos es 36, ¿cuáles son los números?

Resolver

En los problemas que presentan más de una cantidad, una medida o un número desconocido, la elección adecuada de la incógnita permite plantear una ecuación más sencilla.

La ecuación resultante será:

–– Resuelve el siguiente problema de distintas formas, eligiendo una incógnita distinta en cada una de ellas.

Planear

Elegir la incógnita

+1

Actividades

Comprender

+1

La ecuación resultante será:

^n - 1h2 + n2 + ^n + 1h2 = 434

Para intentar resolver estas ecuaciones, desarrollamos los productos notables y reducimos términos semejantes: n2 + n2 + 2n + 1 + n2 + 4n + 4 = 434 & & 3n2 + 6n + 5 = 434 Obtenemos una ecuación de segundo grado que aún no sabemos resolver.

n2 - 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 = 434 & & 3n2 + 2 = 434 & n2 = 434 - 2 = 144 & 3 & n = 144 = 12 Los números son 11, 12 y 13.

Verificamos nuestro resultado: 112 + 122 + 132 = 121 + 144 + 169 = 434 (verdad)

1. La diferencia entre dos números naturales es 2 y su

+2

producto es 168. Para hallar estos números: a) Escribe la ecuación resultante cuando la incógnita es uno de los números y cuando la incógnita es el número intermedio entre los dos buscados. b) Resuelve la ecuación más sencilla de las dos y halla los números.

-1

+1 +4

-2

+2

2. Halla dos números naturales tales que su diferencia sea 4 y su producto sea 96. 3. La suma de tres números naturales consecutivos es 96. ¿Cuáles son esos números?

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Recursos

Taller de Matemática Rompecabezas geométrico

Pensamiento crítico e investigación

Los juegos matemáticos desarrollan varias capacidades y características personales positivas: concentración, razonamiento deductivo, perseverancia y creatividad. El siguiente rompecabezas consta de 24 triángulos equiláteros coloreados.

–– ¿Es posible armar un decágono regular? –– ¿Es posible armar un polígono regular de 12 lados?

1. Fabrica las siguientes figuras en cartón o cartulina gruesa.

La única regla del rompecabezas es la siguiente: “Dos triángulos se pueden unir solo por los lados en que sus colores coinciden“.

correcto

incorrecto

2. Forma las siguientes figuras geométricas. a) Triángulos equiláteros de 4, 9 y 16 piezas. b) Hexágonos de 6 piezas.

3. Forma un hexágono con todas las piezas. Este es el rompecabezas más difícil, ¿crees que tiene más de una solución?, ¿has encontrado alguna estrategia para armar la o las figuras de este tipo?

4. Crea tus propias figuras.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividades 8, 9 y 10. Hay que tener cuidado en la eliminación de los paréntesis. Las incógnitas que tienen grado 2 deben eliminarse en el proceso porque en esta unidad se resuelven solo ecuaciones de primer grado. –– Actividad 17. Se sustituye la incógnita por cada uno de los valores dados y se determina si, en cada caso, se verifica la desigualdad. –– Actividad 21. Primero, se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Después, se aplica la regla de transposición de las inecuaciones.

1. Evalúa las siguientes igualdades para los números

a) 2 - ^ x + 7h = 3 ^2x - 5h

a) 6x - 3 = 9

x = 1; x = 2; x = 3

b) x - 7 = 13

x = 18; x = 19; x = 20

c) x + 2 ^ x - 5 h = 1 + ^ - 3x + 1 h

c) - 2x + 3 = 5

x =- 1; x = 0; x = 1

d) 3x + 9 = 24

x = 3; x = 5; x = 7

2. Demuestra algebraicamente las identidades. a) ^ x + 8h (x - 2) = (x - 4) (x + 4) + 6x

3. Verifica dando, en cada caso, tres valores a la variable x que las siguientes igualdades son identidades. a) ^ x - 1h2 + 2x = x2 + 1

b) ^ x - 5h^ x - 3h = ^ x - 4h2 - 1 c)

9. Resuelve.

a) ^ x - 1h ^ x + 3h = ^ x + 2h ^ x - 3h

b) ^ x + 5h ^ x + 1h - 4 = ^ x - 1h ^ x + 3h

10. Resuelve.

2 + 1 = 3x - 5 x-1 x-2 x 2 - 3x + 2

a) x2 + 3 ^ x - 1h = ^ x - 2h2

b) x2 - ^4x - 2 + xh = 2 + ^ x + 1h2 c) ^ x - 7 h ^ x + 6 h = x 2 - 6

d) 1 - ^ x + 1h3 =- x ^3x + x2h

11. Resuelve.

^ x + 2h - ^ x - 2h =8 x 2

d) 6 - 2 ^3x + 1h = 5 + ^- 3x + 2h

d) 6 + ^ x - 4h ^ x - 2h = ^ x - 3h ^ x + 3h

c) ^2x + y h2 + ^2x - y h2 = 2^4x2 + y2h d)

b) 4x + ^2x - 1h - 3 ^ x - 2h = 0

c) 2x + 5 + x2 = ^ x - 3h ^ x + 3h

b) ^ x - 1h3 + ^7x2 + 2h = ^ x + 1h3 + x2

a) x - 2 - x + 1 - x - 1 =- 5 6 3 2 2 k k k 1 1 3 + + b) =- 2 6 5 8

2

d) ^ x2 + x + 1h ^ x2 - x + 1h = x 4 + x2 + 1

4. Indica el grado de cada ecuación.

4 ^m + 8 h m 3 ^m + 5 h m = 4 3 3 4 n n n 1 2 5 3 + d) + = 2 4 3 c)

a) 4x - 1 = 7 + x

c) 3 + x = x - 10x

b) 3x2 - 6 = 2x + 1

d) 3y - 5x2 = 1

2

3

5. Determina si el número dado es la solución de la ecuación.

12. Resuelve y verifica las soluciones. a)

x 2 - 6x + 9 = x + 3 x + 2x + 7 = 8

a) 8x - 3 = 13

x=2

b)

b) 2x - 5 = 1

x=4

c)

x + 6 = 4x + 4 - 1

c) 10 = x + 8

x =- 2

d)

5x + 4 + 7x - 3 = 17x + 8

d) 3x + 7 = x + 27

x = 10

6. Resuelve. d) 7x - 21 = 28

b) 9x - 3 = 21

e) 3x + 8 = 24

c) 5x - 1 = 10 + 2x

f) 10x + 3 = 25 - x

a) x + 1 = 1 2 2 1 3 b) x+ = 1 4 8 2

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13. Resuelve los acertijos numéricos planteando y resolviendo ecuaciones.

a) 3x - 5 = 0

7. Resuelve.

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8. Resuelve.

dados y explica por qué todas estas igualdades son ecuaciones.

c) x - 1 = 1 2 2 d) 2x - 1 = 1 3

a) Un número es el doble de otro aumentado en 3. La suma de ambos es 27. Encuentra los números. b) La suma de tres números enteros consecutivos es 39. Encuentra los tres números. c) La suma de dos enteros pares consecutivos es 134. Encuentra los números. d) La suma de dos enteros impares consecutivos es 76. Encuentra los números. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

14. Resuelve los problemas planteando y resolviendo ecuaciones. a) En una granja, entre gallinas y conejos hay 30 cabezas y 80 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en la granja?

Mi desempeño como docente

16. Grafica los intervalos. a) 6- 7, 7@

e) - 1 # x # 8

b) ^ 4, 10 h

–– Motivo a los estudiantes para que estén predispuestos a estudiar los temas.

f) 2 1 x # 6

c) 6- 7, 0 h

g) x $- 1 h) x 1 1 2

d) ^ 3, 6@

17. Determina si los números dados pertenecen al conjunto solución de las inecuaciones.

b) Miguel tiene cierto número de canicas. La mitad de ellas son rojas, la tercera parte son azules, y 20 son amarillas. ¿Cuántas canicas tiene Miguel? c) En el estante de una biblioteca hay 470 libros. El número de cuentos es el doble que el de ensayos, y hay 30 cuentos más que novelas de ciencia ficción. ¿Cuántos libros hay de cada género?

a) 3x - 6 2 8

x =- 3; x = 5

b) 6x + 1 # 7

x = 0; x = 4

c) x - 6 1 3x + 2

x =- 4, x = 4

d)

x = 2; x = 5

3x - 1 $ x + 8

Muchas veces.

18. Determina si los intervalos son el conjunto solución de las inecuaciones. a) 5x - 14 # 6 + 4x b) - 8x + 12 $ 6 - 10x c) 20 - 5x 2 10 + 15x d) 14x - 8 1 2 + 4x

Pocas veces.

–– Propongo actividades que permiten aplicar ecuaciones e inecuaciones en situaciones de la vida cotidiana. Pocas veces.

620, 3h

Muchas veces.

6- 3, 3h

^3, 0, 5h

^3, 1 @

19. Halla el conjunto solución de las inecuaciones. a) 1 + y # 39 b) 5x + 2 $ 3 - 6x c) 6x - 1 2 5x + 10 d) 6 - 14x 1 12 - 3x + 1

20. Halla el conjunto solución de las inecuaciones. d) Las edades de Orieta y Eugenia suman 65. Dentro de 10 años, la edad de Orieta será 5/12 la edad de Eugenia. ¿Cuál es la edad actual de cada una?

15. Expresa simbólicamente los siguientes intervalos. a)

b) 7 - 5y # 2 ^ y + 3h - 5y

c) 5x + 4 2 3x - 6 ^ x + 1h

d) 3 ^ x + 1h + 5 ^ x - 4h 1 2 ^ x + 3h - 5 ^2x - 1h

21. Halla el conjunto solución de las inecuaciones.

2

4

a) x - 7 + x - 2 1 7 8 4

-3

1

b)

b) c) -12

d)

a) 6 ^7 + 2xh $ 5 ^- 3xh + 14

-2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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5 ^ x - 6h c) 1 x - 2 2 2 3 6 d) 2x - 3 - 3x + 14 # 1 9 5

-5

e)

4 ^ x - 5h $ x +1 5 5 2

12

179

179

Sobre las actividades –– Actividades 22 y 23. Es muy importante interpretar correctamente el enunciado del problema y traducirlo correctamente al lenguaje algebraico. –– Actividad 27. Se eleva al cuadrado una y otra vez para anular las raíces y se realizan reducciones en el proceso.

22. Resuelve los problemas planteando y resolviendo inecuaciones. a) Halla los tres mayores enteros consecutivos cuya suma es inferior a 30.

25. Pensamiento crítico. Explica por qué no es necesario resolver las siguientes ecuaciones con radicales para darse cuenta de que no tienen solución. a)

x - 9 =-5

x2 + 10 = x - 1

b)

b) Se suma un mismo número natural al numerador y al denominador de 2 . Determina el 3 conjunto de todos aquellos números que se pueden usar para formar una fracción menor o igual que 9 . 11

26. Pensamiento crítico. Explica por qué no es necesa-

c) Sara obtuvo 65, 73 y 68 sobre 100 en sus primeros tres exámenes. ¿Cuánto deberá obtener en el cuarto examen para subir su promedio a por lo menos 76?

27. Resuelve.

d) Seis paracaidistas con mochilas que pesan 15 kg y cuatro con mochilas que pesan 12 kg suben a un avión que puede cargar como máximo una tonelada. ¿Cuál es el máximo peso promedio, en números enteros, que pueden tener los diez paracaidistas sin tomar en cuenta sus mochilas?

rio resolver las siguientes inecuaciones para darse cuenta de que el intervalo dado no es su solución. a) - 3x + 3 (5x + 8) $ 0 b) 2x + 5 1 7 + 4x

3+

3+

x+

^ - 2, 3 h

6- 1, 3 h

x2 + x =

5

28. Inventa: a) Una igualdad que sea falsa para cualquier valor de su variable. b) Una desigualdad que sea verdadera para cualquier valor de su variable. c) Una desigualdad que sea falsa para cualquier valor de su variable.

29. Investiga. Encuentra la solución de la inecuación x + 3 $ 10 . Después encuentra la solución de la inecuación x + 3 # 10 . Indaga otros casos, resolviendo una inecuación y otra similar pero con el signo de desigualdad en el otro sentido. ¿Puedes obtener alguna conclusión general?

30. Un grupo de 65 estudiantes está dividido en cuatro 23. Resuelve el problema planteando y resolviendo una ecuación. Un albañil puede pintar una casa en 20 horas. Su ayudante puede pintar la misma casa en 30 horas. ¿Cuánto tiempo necesitan para pintar la casa entre los dos?

grupos: A, B, C y D. El número de estudiantes de cada grupo es 2 del anterior. ¿Cuántos estudian3 tes hay en cada grupo?

24. Matemática y Lenguaje. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? a) a $ b significa que a 2 b y a = b. b) a $ b significa que a 2 b o a = b. c) a $ b significa que si a ! b , entonces a 1 b. d) a $ b significa que si a ! b , entonces a 2 b.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Proyecto socioproductivo

Valores

Las señalizaciones para conductores

El proyecto expresa los valores de solidaridad y responsabilidad. El objetivo de que las calles y avenidas sean lugares seguros para todas las personas que se mueven en ellas es una responsabilidad compartida: de los peatones, de los conductores, del tránsito y de los municipios.

La situación de la cual surge nuestro proyecto Muchas de las señalizaciones de tránsito proporcionan a los conductores información que debe afectar la velocidad con la que conducen, pasando de una cierta velocidad a otra más baja. El ejemplo más claro es la señalización que indica la presencia de un rompemuelles, pero muchas otras (como la de curva peligrosa, velocidad máxima o zona escolar) pueden también exigir al conductor que reduzca su velocidad. Estas señalizaciones deben estar colocadas de tal manera que el conductor tenga el tiempo y el espacio suficientes para desacelerar hasta un nivel de velocidad conveniente. Hemos observado que en muchos casos las señalizaciones necesarias no existen o están mal ubicadas.

En el proyecto nos concentramos en un aspecto muy concreto que contribuye a la seguridad: la pertinencia de la ubicación de las señalizaciones que ofrecen información a los conductores. Para evaluar esa pertinencia se utilizan fórmulas físicas y matemáticas.

El propósito de nuestro proyecto Evaluar si las señalizaciones de tránsito están colocadas de manera adecuada o indicar donde sería conveniente que hubiera una señalización y a qué distancia. Informar a la comunidad y a las autoridades sobre los fundamentos y conclusiones de nuestro trabajo. Nuestra meta es ayudar a que nuestras calles y avenidas sean más seguras para peatones y conductores.

Nuestras actividades •

Elegir calles o avenidas donde existan, o deberían existir, señalizaciones que exigen al conductor un cambio de velocidad

•

Medir la distancia que hay entre la señalización y la particularidad de la cual aquella informa (por ejemplo, medir la distancia entre un letrero de rompemuelles y el rompemuelles mismo).

•

Evaluar con ecuaciones físicas si esa distancia es adecuada. La fórmula física que nos permite calcular la distancia mínima (d) que necesita un automóvil para pasar de una velocidad inicial (vi ) a otra final v f considerando un cierto valor (negativo) de desaceleración (a) es: v f2 = vi2 + 2ad

•

Elaborar una tabla que indique la distancia mínima que debería existir entre una señalización y la particularidad de la que informa, teniendo en cuenta la máxima velocidad permitida en la calle o avenida y el siguiente promedio de desaceleración de los automóviles: a =- 2, 5 m s2 (la velocidad disminuye en 2, 5 m s cada segundo) Por ejemplo, si la máxima velocidad permitida en una avenida es de 80 km/h (22,2 m/s) y un automóvil debe llegar a un rompemuelles con velocidad cercana a 0, la señalización que indique la presencia del rompemuelles debería estar a una distancia de: v f2 = v i2 + 2ad ( 02 = 22, 22 + 2 $ ^- 2, 5h $ d ( d = 98, 57 m

•

Informar a la comunidad sobre nuestros resultados.

•

Evaluar lo que hicimos bien o mal en la realización del proyecto, o lo que podríamos haber hecho mejor.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Sugerencia de temporalización

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Funciones

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores

Los niños músicos de Urubichá Urubichá es una palabra del idioma guarayo que significa Agua Grande y es el nombre de un pueblo situado en el norte del departamento de Santa Cruz.

El texto se relaciona con distintos valores. –– En primer lugar, desea promover una forma de solidaridad entre todas las personas y pueblos de nuestro país, solidaridad expresada en el deseo de superar el desconocimiento y el desprecio mutuos; en el deseo de conocernos en nuestra diversidad y de apreciarnos en ella; en la valoración de las virtudes y talentos de otros; y en la disposición a alegrarnos por sus logros. –– Por otro lado, muestra la autoestima entendida como una manera constructiva y creativa de asumir la identidad cultural propia, formada a partir de raíces e influencias diversas.

Las principales actividades económicas del pueblo son la agricultura y la manufactura de tejidos. Y aunque se considera que gran parte de la población es pobre por sus necesidades básicas insatisfechas, los urubichanos tienen una gran riqueza cultural, que cultivan y de la que se sienten orgullosos.

• ¿Cuáles son las principales dificultades que tiene que afrontar la ciudad donde vives? ¿En qué crees que reside su mayor riqueza? • ¿De qué factores depende la riqueza de un pueblo, una comunidad o un país?

La interpretación musical y la construcción de instrumentos son antiguas tradiciones. La música guaraya, la sacra y la barroca son parte de su memoria. Al instituto de formación musical de Urubichá asisten casi 300 niños. La orquesta del pueblo es muy apreciada en Bolivia y en otros países y, el año 2002, los niños músicos de Urubichá fueron declarados por la UNESCO Embajadores Culturales de Bolivia.

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Sugerencias metodológicas –– Repase las características de los conjuntos numéricos y su representación en la recta numérica de los números reales. –– Repase también el tema de ecuaciones.

–– Finalmente, muestra la fortaleza y valentía que se expresan en la voluntad de cultivarnos y ser creativos incluso en condiciones materiales difíciles.

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Posibles dificultades en la unidad

RECuERDA 1. Escribe ! (pertenece) o ! (no pertenece) según

Los números reales El conjunto de los números reales está formado por:

corresponda.

•

a) 10

Z

e) 7

b) -5

Z

f) 1, 5

Q’

2 1

Q

• •

•

Los números naturales: N = " 1, 2, 3, 4, 5, f , Los números enteros:

Z = " f, -2, -1, 0, 1, 2, f ,

Q

Los números racionales:

c) - 10

N

g)

Q = & f, -1, f, - 3 , f, - 1 , f, 0, f, 1 , f, 3 , f, 1, f 0 2 4 4 2

d) - 2

Q’

h) 25

N

Los números irracionales:

Q C = " f, - 10 , f, - 7 , f, r, f, 7 , f, 10 , f ,

Los naturales son enteros y los enteros son racionales, pero los racionales y los irracionales son conjuntos sin elementos comunes.

2. Interpreta el siguiente gráfico que muestra la tempera-

Podemos expresar la relación entre dos variables mediante un gráfico de coordenadas. En el eje horizontal colocamos los valores que puede tomar una variable, y en el eje vertical los valores que puede tomar la otra variable.

Precipitación (,/m2)

Por ejemplo:

Vocabulario matemático

8 6 4 2 Mes F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Coordenadas

b) ¿Cuáles son los dos meses más calientes? c) ¿En qué meses la temperatura es inferior a 6 ºC? A S O N D

Proporcionalidad directa e inversa

•

10

a) ¿Cuál es el mes más frío?

E F M A M J J Mes

•

12

E

200 175 150 125 100 75 50 25

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra aumenta (o disminuye) en la misma proporción.

d) ¿En qué meses la temperatura es inferior a 10 ºC, pero superior a 4 ºC?

3. Indica si la relación entre las magnitudes es de proporcionalidad directa o inversa. a) Velocidad y tiempo en cubrir un determinado trayecto con velocidad constante.

Por ejemplo, el precio total y la cantidad de productos (de un mismo tipo) comprados.

b) Espacio y tiempo en un movimiento con velocidad constante.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra disminuye (o aumenta) en la misma proporción.

c) Número de comensales y cantidad de alimento, si todos comen la misma cantidad.

Por ejemplo, la cantidad de horas diarias que se dedica a un cierto trabajo y la cantidad de días en que se concluye dicho trabajo.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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–– También tendrán dificultades si no pueden despejar variables en una ecuación y si no saben evaluar expresiones algebraicas para valores numéricos dados.

tura promedio mensual de Oruro durante un cierto año. Temperatura promedio (ºC)

Gráficos de dos variables

–– Los estudiantes pueden tener dificultades si no conocen las relaciones entre los distintos conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales y reales).

Eje de abscisas Eje de ordenadas Función Función afín Función lineal Proporcionalidad Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

d) Número de albañiles y tiempo que tardan en hacer una obra. e) El diámetro de una circunferencia y la longitud de la circunferencia.

183

183

Más información

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas –– El plano cartesiano se denomina así en honor de su creador, el matemático francés René Descartes (1596-1650). –– Las coordenadas cartesianas se llaman también coordenadas rectangulares o coordenadas ortogonales, haciendo referencia al hecho de que el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas se cortan formando un ángulo recto o de 90º. –– Los pares ordenados no son conmutativos, es decir: ^ x, y h ! ^ y, xh

Para describir la posición de los puntos en un plano se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema de coordenadas se construye con dos rectas de números reales perpendiculares entre sí, una horizontal y otra vertical, que se cortan en el punto correspondiente al número cero. •

•

•

•

Ambas rectas se llaman ejes de coordenadas. La recta horizontal se llama eje X o eje de abscisas. La recta vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. Se cortan en el punto llamado origen de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro sectores llamados cuadrantes (figura 1). Los ejes y los cuadrantes forman lo que se conoce como plano cartesiano. La posición de un punto en el plano se indica mediante sus coordenadas: la coordenada en el eje X, o abscisa del punto, y la coordenada en el eje Y, u ordenada del punto.

Eje vertical o eje de ordenadas

Segundo cuadrante

Primer cuadrante

Origen de coordenadas Eje horizontal o eje de abscisas

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Las coordenadas de un punto P en el plano están determinadas por un par ordenado de números reales, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto. P ^ x, y h ordenada

abscisa

•

Figura 1

Las coordenadas de los puntos se diferencian por la posición de los puntos en el plano cartesiano (figura 2). Primer cuadrante

abscisa positiva y ordenada positiva Segundo cuadrante Abscisa negativa y ordenada positiva Tercer cuadrante Abscisa negativa y ordenada negativa Cuarto cuadrante Abscisa positiva y ordenada negativa Sobre la parte derecha del eje X Abscisa positiva y ordenada 0

por ejemplo

por ejemplo

por ejemplo

por ejemplo

por ejemplo

Sobre la parte izquierda del eje X por ejemplo Abscisa negativa y ordenada 0 Sobre la parte superior del eje Y Abscisa 0 y ordenada positiva Sobre la parte inferior del eje Y Abscisa 0 y ordenada negativa Sobre el origen de coordenadas Abscisa 0 y ordenada 0

A^3, 2h

por ejemplo

por ejemplo

B^-5, 3h

Figura 2 Y 6 5

G B

3

C^- 4, -5h D^5, -2h

E^4, 0h F^- 3, 0h

4

A

2 1

F –6 –5

–4 –3

E

K –2 –1 –2 –3

1

2

3

H

4

6 X

5

D

–4

C

–5 –6

G^0, 4h H^0, -2h

K^0, 0h

184

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Sugerencias metodológicas Tic Coordenadas cartesianas. Hay que colocar un conjunto de puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas.

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Los alumnos deben practicar dos habilidades fundamentales: 1) representar en el plano cartesiano un punto descrito mediante un par ordenado y 2) determinar el par ordenado que describe las coordenadas de un punto dibujado sobre un plano cartesiano.

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Recursos

1. Representa los puntos en el plano cartesiano e indica el cuadrante en que se hallan.

A^-5, 4h

B^6, 2h

E^2, -2h

C ^ 3, - 5 h

F^-1, -6h

2. Representa los puntos en el plano cartesiano. A ^ 4, 0 h M b- 7 , 0 l 2

B ^0 , 6 h N b 0, 5 l 2

D^- 3, - 3h

G^2, 5h

H^- 4, 6h

C^- 3, 0h

D^0, -5h

P^5, 3; 0h

Ejercicios –– Escribe siete pares ordenados que correspondan a puntos ubicados en la diagonal del primer y tercer cuadrantes.

Q^0; - 4, 3h

–– Escribe las coordenadas de los vértices de la letra que se ha dibujado sobre un plano cartesiano.

3. Anota las coordenadas de los puntos. a)

b)

Y

A

–6

Y

B

5

S

5

4

4

3

3

2

T 2

1

1

–5 –4 –3 –2 –1

1 2

–2 –3

3

X

4 5

–6

–5 –4 –3 –2 –1

P

Y

1 2

3

4 5

X

–2

C R

–4

D –5

–4 –5 –6

–6

1

–3

0

1

X

Q

4. Indica el cuadrante o la parte de los ejes en el que se encuentra cada punto. A^- 3, 0h

E^14, 0h

B ^ 4, - 8 h

C^-2, 1h

F^0, - 3h

G^-7, -9h

D^0, 12h

H^10, 1h

5. Representa en un plano cartesiano los puntos A ^2, 3h, B ^0, 1h y C ^2, -1h . Halla las coordenadas de otro punto que, junto con ellos, forme los vértices de un cuadrado.

6. Examina el gráfico e indica si las afirmaciones son ciertas. Y Peso (kg)

30 20

b) A es más bajo que B. A

40 Altura (cm)

René Descartes (1596-1650), creador del sistema de coordenadas cartesianas.

c) C es el más alto y más pesado.

B

10 20

7.

a) B pesa más que C.

C

40

60

X

d) B es el más bajo y el menos pesado.

Pensamiento crítico. Indica si las afirmaciones son verdaderas. Explica por qué.

a) Los puntos cuya ordenada es 2 forman una línea paralela al eje Y. b) Los puntos cuya abscisa es 4 forman una línea perpendicular al eje X.

c) Los puntos de abscisa y ordenada iguales, ^a, ah , forman una línea recta.

d) Los puntos de abscisa y ordenada iguales y negativas, ^- a, - ah , forman una línea recta.

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185

185

Más información

Concepto de función

Otra definición del concepto de función Una función es un conjunto de pares ordenados, ^ x, y h, tales que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer componente. Así, por ejemplo, el conjunto formado por los pares ordenados ^1, 3h , ^2, - 1h y ^3, - 1h es una función ya que no existen dos pares ordenados cuyo primer número sea el mismo. En cambio, el conjunto formado por ^1, 3h , ^1, - 1h y ^3, - 1h no es una función pues los dos primeros pares tienen como primer elemento el mismo número, el 1.

Se denomina función a la relación que asocia a cada elemento x de un conjunto, el conjunto inicial, un único elemento y de otro conjunto, el conjunto final. Se dice que el elemento y es la imagen del elemento x. •

Los elementos de los conjuntos inicial y final pueden ser de cualquier tipo: personas, cosas o números. Sin embargo, en la matemática es más usual analizar relaciones entre conjuntos cuyos elementos son números.

•

Cuando los elementos del conjunto inicial y el conjunto final son los valores numéricos que toman dos magnitudes o variables se dice que la magnitud X (del conjunto inicial) es la variable independiente, y la magnitud Y (del conjunto final) es la variable dependiente. Estas funciones se simbolizan, en general, del siguiente modo:

b = f ^ a h se lee “b es la imagen de a mediante la función f”.

y = f^ x h

que significa: “la variable Y está en función de la variable X” o “Y es función de X” o “Y depende de X”. 1. Analiza si las siguientes relaciones son funciones. a) A

b) A

B

4

5

b

8

c

4

b c

c) A

B a

a

a

4

5

b

8

c

B

d) A

B a

4

5

b

5

8

c

8

a) No es una función porque b no tiene imagen. b) Es una función porque cada elemento de A tiene una sola imagen. c) No es una función porque b tiene dos imágenes, el 5 y el 8. d) Es una función porque cada elemento de A tiene una sola imagen. 2. Analiza si las siguientes relaciones entre el conjunto inicial de los números reales (en el eje X) y el conjunto final de los números reales (en el eje Y) son funciones. a)

b)

Y

-6

6

X

Una función puede representarse mediante pares ordenados. La función del ejemplo 1.b) se representa mediante los pares ^a, 4h, ^b, 4h, ^c, 8h .

Y

X

a) No es una función porque no todos los valores de X tienen imagen y porque los valores de X comprendidos entre 6 y -6 (- 6 1 x 1 6 ) tienen dos imágenes. b) Es una función porque todos los valores de X tienen imagen, y solo una imagen, en Y.

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Sugerencias metodológicas Tic Representando una función. Hay que completar una tabla con las coordenadas de determinados puntos de una función.

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–– Asegúrese de que el concepto de función ha sido correctamente comprendido. –– Dibuje distintas relaciones de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos y pida a los estudiantes que expliquen cuáles de esas relaciones corresponden a funciones y cuáles no.

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Recursos

3. ¿Existe una relación funcional entre las magnitudes lado y área de un cuadrado?

Ejercicios

Como no es posible que dos cuadrados del mismo lado tengan áreas distintas, la relación L A es una función: a cada medida del lado corresponde una y solo una medida del área.

–– Indica si las siguientes relaciones son funciones. a) A

Como no es posible que dos cuadrados de la misma área tengan lados distintos, la relación A L es una función: a cada medida del área corresponde una y solo una medida del lado.

1. Dado el conjunto inicial A = " 3, 6, 10, 15 , determina el conjunto final si a cada

número le asociamos el número o los números determinados por la regla de correspondencia indicada. ¿En qué casos existe una función? a) Su doble más 2.

d) Los números de los que es su valor absoluto.

b) Su doble y su triple.

e) Su cuadrado más 1.

c) El cuadrado perfecto más cercano.

f) Su potencia cero.

b) A

B

4 3 2 1

10

a

4

b

5

c

b)

Y

2

c

3 B

m

c) A

c)

Y

2 4

d) A

B

-2 -1 0 1 2

a

1

1

b

2

0

c

3

d)

Y

6

B

4

–– En el siguiente diagrama considera la relación “Su tercera parte es” y traza las flechas que van del conjunto A al conjunto B. Indica si se trata de una función.

3. Analiza si las siguientes relaciones X $ Y son funciones. a)

b

n B

3

1

b) A

2. Analiza si las siguientes relaciones son funciones. a) A 5

B a

Y

A

B 0

X

X

X

X

3

4. ¿Entre qué magnitudes hay una relación funcional? a) Edad del padre

21

-1 0 1 7

Edad del hijo mayor

b) Radio de un círculo

Área de un círculo.

c) Volumen de un cubo

Arista de un cubo.

d) Peso de las personas e) Costo de la llamada f) Masa de un material

Estatura de las personas. Cantidad de segundos hablados. Densidad del material.

5. Considera dos conjuntos: el conjunto M de todas las mujeres (de cualquier tiempo) y el conjunto H de todos los seres humanos (de cualquier tiempo). ¿La relación “madre de” que va de M a H es una función? ¿Y la relación “hijo de” que va de H a M es una función? ¿Por qué?

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Tic Funciones. Dadas varias relaciones, hay que determinar cuáles de ellas son una función.

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Más información

Formas de expresar una función

Otra forma de expresar una función Una función puede ser expresada también mediante pares ordenados agrupados en un conjunto.

Las funciones pueden definirse de diversos modos, mediante: • una descripción verbal o enunciado.

• una tabla.

• una ecuación o una fórmula.

• una gráfica.

Sin embargo, no siempre es posible expresar una determinada función de las cuatro formas.

Por ejemplo, la función: f

A 1 2 3

se expresa así:

a

B

b

Definida por una descripción verbal La relación entre las variables de una función la podemos expresar de forma verbal.

c d

f = "^1, bh, ^2, bh, ^3, dh,

Ejemplo

Sea el conjunto inicial " -1, 0, 1, 2, 3 , .

Podemos construir una función descrita por el enunciado: “A cada número le asignamos el doble de su cuadrado disminuido en cinco”.

Definida por una ecuación o fórmula

Describimos esta función mediante una ecuación:

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión algebraica. Esta expresión se denota mediante la expresión y = f ^ x h y se llama ecuación de la función.

A partir de la ecuación, calculamos los valores que toma y para los valores de x:

La fórmula y = f ^ x h significa que “y es la imagen de x mediante la función f ”.

Dando un valor a la variable independiente, x, y sustituyendo ese valor en la ecuación de la función, podemos calcular el valor de la variable dependiente, y.

f ^ x h = 2x 2 - 5 o y = 2x 2 - 5

• • • • •

Definida por una tabla de valores

Los pares de valores ^ x, y h que obtenemos de una función los podemos organizar en una tabla denominada tabla de valores de la función.

Para x = -1: f ^- 1h = 2 $ ^- 1h2 - 5 = - 3

Para x = 0: f ^0h = 2 $ 0 2 - 5 = -5

Para x = 1: f^1h = 2 $ 12 - 5 = - 3 Para x = 2: f^2h = 2 $ 22 - 5 = 3

Para x = 3: f^3h = 2 $ 32 - 5 = 13 X

-1

0

1

2

3

Y

-3

-5

-3

3

13

Definida por una gráfica

Y

Los pares ordenados de valores relacionados de una función, ^ x, y h , determinan puntos del plano en un sistema de ejes cartesianos. La representación de todos esos puntos forma la gráfica de la función.

15 (3, 13) 10 5

La variable independiente, X, se representa en el eje de abscisas y la dependiente, Y, en el de ordenadas.

-1

(-1, -3) -5

(2, 3)

1 (1, -3)

4 X

(0, -5)

A partir de la ecuación que expresa a una función podemos encontrar los pares de valores de la tabla y la gráfica. Sin embargo, no siempre es posible representar una función mediante una ecuación. Por ejemplo, la función que relaciona a las personas con su mes de nacimiento no puede representarse mediante una ecuación porque esa función no relaciona números. En otras ocasiones ocurre que no es fácil encontrar una ecuación que relacione dos conjuntos de números.

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Sugerencias metodológicas –– Describa una función de una forma y pida a los estudiantes que, individualmente o en parejas, propongan descripciones de la misma función mediante las otras tres formas. Repita este ejercicio las veces que considere pertinente. –– Pida a los estudiantes que se organicen en grupos o parejas. Un grupo inventa una función y los otros la expresan mediante las otras tres formas.

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Recursos

Examina la siguiente tabla de valores, explica por qué representa una función y analiza si puede expresarse de las otras tres formas.

Ejercicios

Fecha

Jueves 22

Viernes 23

Sábado 24

Domingo 25

Lunes 26

Martes 27

Miércoles 28

Temperatura máxima

29,5º C

33,4º C

33,5º C

35,2º C

36,2º C

34,8º C

36,8º C

La tabla representa una función porque a cada uno de los días (los valores de la variable Fecha) le corresponde una y solo una temperatura máxima (los valores de la variable Temperatura máxima).

•

La función puede expresarse verbalmente indicando la temperatura que corresponde a cada fecha.

•

La función no puede expresarse mediante una fórmula porque los números de las fechas funcionan solo como nombres, no como cantidades.

•

37 Temperatura máxima (º C)

•

Expresa la función representada en el dibujo mediante una descripción verbal, una ecuación, una tabla y una gráfica.

36

f

A

35 34 33 32

2

5

3

6

31 30 29

Fecha 22 J

La función puede expresarse mediante una gráfica. La fecha es la variable independiente, va en el eje horizontal. La temperatura máxima es la variable dependiente, va en el eje vertical.

23 V

24 S

25 D

26 L

27 M

4

28 M

El detalle significa que hemos prescindido de los valores inferiores a 29º C porque no son necesarios.

4

B

7 8 9

1. Dada la función que asocia a cada número su cuarta parte más 3:

b) Calcula f^8h, f^- 4h y f^10h .

a) Escribe su expresión algebraica.

2. Expresa mediante un enunciado las siguientes funciones. b) y =- x - 3

a) y = 2x - 1

3. Dado el conjunto inicial "- 2, 0, 2, 4, 6 , y la función descrita verbalmente por

“A cada número asociamos su mitad más uno”, expresa la función mediante una ecuación, una tabla y una gráfica.

4. Dada la función f ^ x h = x2 - 1 , exprésala verbalmente, construye una tabla para 5. 6.

el conjunto inicial "- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 , y luego construye una gráfica.

Investiga. La relación que asigna a cualquier número el número 3, ¿es una función? En caso afirmativo, ¿cuál es su ecuación? Investiga. Hemos visto que la función que relaciona cada día con su temperatura máxima no puede expresarse mediante una ecuación. ¿Puedes poner otros tres ejemplos de funciones similares?

7. En un cine, la entrada cuesta Bs 35. Expresa mediante una ecuación la relación entre el número de personas que ingresan y el dinero recaudado. Haz una tabla para 10, 15, 20, 35, 50 y 70 personas.

8. Expresa la siguiente función mediante una gráfica. ¿Puede expresarse mediante una fórmula? ¿Por qué? Estatura y edad de una niña Edad (años)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Altura (cm)

48

65

75

84

95

102

105

108

112

116

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Más información

De la ecuación a las otras formas de definición

Rectas y curvas A una función que se expresa mediante una ecuación de primer grado le corresponde la gráfica de una recta, y para graficar una recta es suficiente encontrar dos puntos. A una función que se expresa mediante una ecuación de segundo grado le corresponde la gráfica de una curva, y para graficar una curva es necesario encontrar varios puntos.

A partir de la ecuación o fórmula que define a una determinada función, podemos encontrar las otras formas de definir dicha función: el enunciado, la tabla, la gráfica. Elaborar una tabla es el paso previo para construir la gráfica. Para elaborar la tabla asignamos algunos valores a la variable independiente (correspondiente al eje X) y calculamos los valores que, en cada caso, toma la variable dependiente (correspondiente al eje Y). Los pares de valores ^ x, y h que obtenemos se colocan en un plano cartesiano y se unen los puntos. 1. Expresa de las otras tres formas la función definida por la ecuación y = x 2 - 1.

Enunciado: A cada número real le asignamos su cuadrado disminuido en 1. Elaboramos una tabla de valores para x =-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 . X

Y

Y

-3

8

-2

3

-1

0

0

-1

1

0

2

3

3

8

^-3, 8 h

8

^-2, 3 h ^-1, 0h

4

^0, -1 h ^ 1, 0 h

^ 2, 3 h ^ 3, 8 h

La línea que traces pasará por puntos que no has encontrado en la tabla. Si quieres estar más seguro de la forma de la línea, puedes encontrar más puntos.

6

2

-4

-2

2

-1

4

X

La gráfica es una línea curva llamada parábola. 2. Expresa de las otras tres formas la función definida por la ecuación y = 2x + 6 . 3 Enunciado: A cada número real le asignamos la tercera parte de su doble aumentado en 6. X

Y

Y 6

^ - 3, 0 h

-3

0

-2

2 3

2 b - 2, 3 l

-1

4 3

4 b -1, 3 l

0

2

1

8 3

2

10 3

3

4

4

2

^ 0, 2 h

8 b 1, 3 l 10 b 2, 3 l

-4

-2

-1

2

4

X

^ 3, 4 h

La gráfica es una línea recta.

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Sugerencias metodológicas –– Para representar gráficamente una función definida mediante una ecuación, los estudiantes necesitan saber calcular el valor numérico. Quizá sea necesario que previamente repase ese tema con sus estudiantes. –– Enfatice la idea de que los valores de la variable independiente se ubican en el eje de abscisas (eje X u horizontal) y los de la variable dependiente en el eje de las ordenadas (eje Y o vertical).

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3. El precio de la gasolina es de Bs 3,74 por litro. ¿Cuánto cuestan aproximadamente 40 litros de gasolina? Si representamos con X el número de litros y con Y el costo de la cantidad de litros, obtenemos la siguiente expresión que indica que el costo total Y está en función de la cantidad de litros X: X

Y

200

0

0

180

5

18,7

140

37,4

20

74,8

30

112,2

50

187

...

...

Observa el ejemplo 3: cada eje del plano cartesiano puede ser graduado en una escala diferente.

160 Costo en Bs

10

Y

Recursos Ejercicios Grafica las siguientes funciones. a) y = 2x - 3 b) y = 1 x + 1 2 c) y = 2 - 3x

120

d) y = x2 - 4

100 80

e) y = 1 - x2

60 40 20

X 10

20 30 Litros de gasolina

40

50

De la gráfica resulta que 40 litros cuestan aproximadamente Bs 150.

1. Expresa las siguientes funciones mediante un enunciado, una tabla y una gráfica. a) y = 0, 15x

c) y = x2

e) y = x 3 + 1

b) y = 2x - 1

d) y = 1 x2 - 2 2

f)

y = x 3 - 4x

2. Por una pila salen 0,15 litros de agua por segundo. a) Determina la ecuación que relaciona las variables Tiempo y Volumen de agua. b) Construye una tabla y una gráfica de la función.

3. Un auto recorre 70 km en una hora. a) Determina la ecuación que relaciona las variables Tiempo y Distancia. b) Construye una tabla y una gráfica de la función.

4. Escribe la ecuación y determina la gráfica que relaciona las siguientes magnitudes. a) El radio de una circunferencia y su longitud. b) El radio de una esfera y su área. c) El área de un círculo y su radio. d) El lado de un cuadrado y su área. e) La base y la altura de un rectángulo de 1 m2 de área.

5.

Pensamiento crítico. Considera, como ejemplo, la tabla del ejemplo 2 y responde.

a) ¿Es posible que esa tabla corresponda a una función distinta a f ^ x h = 2x + 6 ? ¿Por qué? 3 b) ¿Por qué una tabla no define de forma unívoca a una función cuya variable independiente es el conjunto de los números reales?

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191

191

Más información

La función lineal y la función afín

La pendiente y la inclinación de la recta

una función lineal es una función cuya ecuación tiene la forma y = m $ x , siendo m un número. Por ejemplo: y = 2 x ; y = 1 x ; y =- x ; y =- 1 x 2 3 una función afín es una función cuya ecuación tiene la forma y = m $ x + n, siendo m y n números. Por ejemplo: y = 2 x - 1 ; y = 1 x + 2 ; y =- x + 1 ; y =- 1 x - 1 2 3

Cuando la pendiente es positiva, la recta se inclina hacia la izquierda, o sube de izquierda a derecha. Cuando la pendiente es negativa, la recta se inclina hacia la derecha, o baja de izquierda a derecha. Para determinar si un punto pertenece a una recta, en la ecuación de la recta se sustituye la variable x por el primer componente del par ordenado, y la variable y por el segundo componente del par ordenado. Solo si resulta una identidad numérica, el punto pertenece a la recta.

La gráfica de la función lineal pasa por el origen de coordenadas. La gráfica de la función afín no lo hace.

La función lineal y la función afín tienen las siguientes características: • •

Su gráfica es una línea recta.

Solo la recta de la función lineal pasa por el punto ^ 0, 0 h . El número m se llama pendiente de la recta. El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta. Y

Y

Y

n

n

n X

X

Si m 2 0 , la función es creciente.

•

Si m 1 0 , la función es decreciente.

Si m = 0 , la función es constante.

La recta es más inclinada cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente. Y

: y = 2x

4 2

–4

–2

2

4

X

–2 –4

•

X

: y = x-1

Y

m=2 : y =- x m =-1 : y = 3x m=3 : y =- 3x m =- 3

m=1

4

: y =- x + 2

2

m =-1 –4

–2

2

4

X

: y = 3x + 1

–2

m=3

: y =-2x - 3

–4

m =-2

El número n, que aparece solo en la función afin, es la ordenada en el origen, es decir, la función afín corta al eje Y en el punto ^ 0, n h . Y

y = x+2 y =-2x - 3

2

–2

2 –2

X

y = x+2 y =-2x - 3

192

la ordenada en el origen es la ordenada en el origen es

n=2

la recta corta al eje Y

n =-3

en el punto

^0 , 2 h

la recta corta al eje Y en el punto

^0, -3h

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic

Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Un estudiante escribe la ecuación de una función y el otro realiza la gráfica. Después, un estudiante grafica una función y el otro determina la ecuación. Se van turnando en los roles.

La función lineal y la función afín. Hay que relacionar gráficas con su ecuación o fórmula.

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Recursos

En general, para graficar una función a partir de su ecuación podemos elaborar una tabla de valores. Pero, si sabemos que una función es lineal o afín, es suficiente encontrar dos puntos y unirlos con una línea recta.

Ejercicios

Por ejemplo, para obtener la representación gráfica de la ecuación y = 1 x + 1 es suficiente encontrar dos puntos: 2 X

0

4

Y

1

3

–– Representa gráficamente las siguientes funciones. a) y = 3x

Puntos (0, 1) y (4, 3)

b) y = - 2x - 2

También podemos determinar un punto e, interpretando la pendiente, encontrar otro punto. En nuestro ejemplo:

c) y = 1, 5 - x

Punto: ordenada en el origen ^ 0, 1 h . • Colocamos la pendiente en forma de fracción (si es que no está en esa forma) y nos movemos horizontalmente hacia la derecha tantas unidades como el denominador, y hacia arriba (si m 2 0 ) o hacia abajo (si m 1 0 ) tantas unidades como el numerador. • Como la pendiente es m = 1 , a partir del punto ^ 0, 1 h nos movemos 2 uni2 dades a la derecha y 1 unidad hacia arriba; obtenemos así el punto ^ 2, 2 h.

3

•

Y

d) y = 2 x - 3 3

2 1 -2

1

–– Escribe la función que corresponde a cada una de las rectas graficadas.

2 2

-1

X

4

Y

Gráfica de y = 1 x + 1 . 2

1. Grafica encontrando dos puntos de la función. a) y = x

c) y =- 3x

b) y = x + 5

d) y = 1 - 2x

e) y = 3 x 4 f) y = 2 x - 3 3

0

g) y =-0, 5x

X

h) y =- 1 x - 3x 4

2. Grafica determinando la ordenada en el origen e interpretando la pendiente. a) y = 2x - 8

d) y =- 4 x - 2x 3

c) y = 3 x + 1 5

b) y =- 3x + 4

3. Determina la ecuación dadas la pendiente y la ordenada en el origen. a) m = 2 ; b =-1 3

c) m =- 4 ; b = 3 5

b) m = 1; b = 0

d) m = 0, 3; b = 1

4. Grafica determinando la ordenada en el origen e interpretando el valor de la pendiente. No olvides que: y = ax + b ( y = ax + b c c c

a) y = 3x - 6 2

b) y = 9 - 4x 3

5. A partir de la gráfica determina la pendiente, la ordenada en el origen, la ecuación, e indica si la función es lineal o afín. a)

b)

Y

c)

Y

d)

Y

Y

4

4

4

2

2

2

6 4 -4

2

1

3

X

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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2

-2

4

X

-4

2

-2

X

-4

2

-2

-2

-2

-2

-4

-4

-4

4

X

193

193

Más información

La función de proporcionalidad directa

Dos variables están en relación de proporcionalidad directa si el cociente entre cada par de valores correspondientes se mantiene constante (si una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción). y constante de =k x proporcionalidad

una función de proporcionalidad directa es una función que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales. Su ecuación corresponde a una función lineal del tipo y = mx . Su gráfica es, por tanto, una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

X

El valor de la constante de proporcionalidad directa está dado por el valor de la pendiente, m, de la recta.

y = mx m10

La magnitud Distancia que recorre un móvil, con velocidad constante, es directamente proporcional a la magnitud Tiempo que viaja con esa velocidad. Por ejemplo, supongamos que un automóvil circula con una velocidad constante de 120 km/h. Si aumentamos el tiempo al doble, la distancia recorrida será el doble; si lo aumentamos al triple, la distancia será el triple.

Recursos

Tiempo (h)

1

2

3

x

Distancia (km)

120

120 $ 2

120 $ 3

120 $ x

Ejercicios

•

La ecuación de la función es y = 120x .

Calcula la constante de proporcionalidad de las siguientes rectas que corresponden a funciones de proporcionalidad directa.

•

La constante de proporcionalidad es igual a la pendiente: 120.

•

Con la ecuación de la función construimos una tabla de valores y, con la tabla, graficamos la función.

Y

Tiempo (h)

1

2

3

4

5

6

Distancia (km)

120

240

360

480

600

720

720 600 480 360 240 120

X 1

Y

•

12 10

y = mx m20

Y

Distancia (km)

Otra definición de la función de proporcionalidad directa

2

3

4

5

6

Tiempo (h)

La gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

1. Indica la ecuación y la constante de proporcionalidad directa, construye una

8

tabla y elabora una gráfica.

6 4

a) El peso como función de la longitud del cable: 1 m de cable para tendidos eléctricos pesa 3 kg.

2

b) El precio como función del volumen: 1 litro de aceite vale Bs 12. 1

2

3

4 5

6 X

Y

c) El precio como función de la cantidad de un producto: 4 panes cuestan Bs 1,60.

2.

Investiga. ¿Cómo se determina la ecuación de una función de proporcionalidad directa conociendo un punto que le pertenece? Encuentra la función que pasa por el punto dado.

a) ^2, - 3h

b) ^- 4, -7h

c) ^-9, 5h

a)

b)

4

c)

2

d) 2

4

X

d) ^10, 8h

3. Determina la ecuación de las funciones de la gráfica del margen.

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Sugerencias metodológicas Tic

Prepare material gráfico para facilitar la comprensión del tema.

Gráfica y proporcionalidad. Hay que completar la tabla que corresponde a una función y responder preguntas.

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Más información

La función de proporcionalidad inversa

Otra definición de la función de proporcionalidad inversa

Y

una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. Su ecuación tiene la forma y = k . La gráfica de esta función es una x curva llamada hipérbola; esta curva no corta a los ejes.

y = k con k 2 0 x

Dos variables están en relación de proporcionalidad inversa si el producto entre cada par de valores correspondientes se mantiene constante (si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción).

X

El valor de la constante de proporcionalidad inversa está dado por el valor del número k.

y = k con k 1 0 x

La magnitud Tiempo que le lleva a un automóvil recorrer una determinada distancia fija es inversamente proporcional a la magnitud Velocidad con la que se mueve.

constante de x$y = k proporcionalidad

Por ejemplo, supongamos que un automóvil tiene que recorrer una distancia de 360 km. Si aumentamos la velocidad al doble, el tiempo invertido se reduce a la mitad; si la aumentamos al triple, el tiempo se reduce a la tercera parte. Velocidad (km/h)

10

20

30

x

Tiempo (h)

360 ' 10

360 ' 20

360 ' 30

360 ' x

Recursos Ejercicios

La ecuación de la función es y = 360 . x • La constante de proporcionalidad es 360.

A partir de la gráfica elabora una tabla y determina la constante de proporcionalidad inversa.

•

•

Con la ecuación de la función construimos una tabla de valores y, con la tabla, graficamos la función. Velocidad (km/h)

10

20

30

40

50

60

80

Tiempo (h)

36

18

12

9

7,2

6

4,5

36

Tiempo (h)

•

Y

28 20

30

12

Y

4

La gráfica es una hipérbola que se acerca a los ejes pero no los toca.

10

30

50

70

20

90 X

Velocidad (km/h)

10

X

1. Grafica las siguientes funciones de proporcionalidad inversa. a) y = 2 x

b) y =- 1 x

c) y =- 3 x

d) y = 10 x

2. La tabla del margen corresponde a una función de proporcionalidad inversa. Completa la tabla, escribe la ecuación de la función y grafícala.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 1 2

3. La superficie de un rectángulo mide 60 cm . Construye una tabla con diferentes

3

valores enteros (en centímetros) de la base y la altura. Traza la gráfica, halla la constante de proporcionalidad y determina la ecuación.

4

2

4. Una mamá quiere repartir 90 chocolates entre sus hijos. ¿Cuántos chocolates le

Y

1 4

5

corresponderían a un solo hijo? ¿Y a 2, 3, 4, 5 y 6 hijos? Elabora una tabla, traza la gráfica y escribe la ecuación.

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Sugerencias metodológicas Prepare material gráfico para facilitar la comprensión del tema.

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Tic Funciones de proporcionalidad directa e inversa. Hay que indicar si las funciones dadas son de proporcionalidad directa o de proporcionalidad inversa.

195

Más información

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

La importancia de los gráficos

Realizar un gráfico

Los gráficos ayudan mucho en la solución de problemas porque muestran visualmente el comportamiento de las variables. En una representación visual es fácil determinar el valor máximo que toma una función.

Para resolver un problema graficamos la función que expresa la relación entre las variables o magnitudes.

Recursos Ejercicios –– Determina las dimensiones del rectángulo de 40 m de perímetro cuya área es la máxima posible. –– Determina las dimensiones de un triángulo rectángulo de 5 m de hipotenusa cuya área es la máxima posible.

Resolver

Verificar

Un granjero desea construir un corral rectangular. Uno de los lados es un muro donde ya no es necesario colocar valla. Si el granjero puede colocar 24 m de valla, ¿qué dimensiones debe tener el corral para que su área sea la máxima posible? El granjero puede colocar 24 m de valla. Como uno de los lados del corral rectangular es un muro, los 24 metros formarán los otros tres lados. Podemos formar corrales de distintas dimensiones; deseamos saber cuál es el área máxima que podemos cercar con los 24 m de valla. Primero, buscaremos expresiones algebraicas para el largo y el ancho del corral. Después, con la fórmula del área del rectángulo, expresaremos el área como una función de las medidas de los lados. Graficaremos la función y veremos en qué punto el área es máxima. •

Llamamos x al ancho del corral y llamamos y a su largo.

•

Los 3 lados donde se coloca la cerca miden 24 metros en total: y + 2x = 24 .

•

De la fórmula anterior despejamos y: y = 24 - 2x .

•

El área del corral rectangular es A = x $ y (ancho por largo). Expresamos el área A en función de x: A = x $ ^ 24 - 2x h

•

Elaboramos una tabla de valores para la función A = x $ ^24 - 2xh .

•

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

0

22

40

54

64

70

72

70

64

54

40

22

0

A 80 70

Punto máximo

72

60 50 40 30 20 10 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 X

Observando la gráfica podemos concluir que el área máxima es de 72 m2 y que se obtiene cuando x = 6 m y, por lo tanto, cuando y = 24 - 2 $ 6 = 12 m .

1. Con 60 m de valla se quiere formar un recinto rectangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del recinto para que tenga la mayor área posible?

2. Una pequeña empresa fabrica juguetes de madera. El costo mensual C de fabricar x juguetes está dado por C = x 2 - 60x + 2 000 , para x = 10 hasta x = 90 (de 10 en 10). ¿Cuál es el número de juguetes que la empresa debe fabricar en un mes para que el costo sea el menor posible?

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Recursos

Taller de Matemática

Ejercicios

Gráfica de una función en Excel

Grafica las siguientes funciones.

1. Construye en EXCEL una tabla de valores para la función y = 360 . x •

En la columna B, desde B5 hasta B15, introduce los valores de la variable X:

•

Para obtener en la columna C los valores de la variable Y como función de los valores de X, escribe, primero, en C5 la fórmula =360/B5; luego, copia la fórmula de C5 en las celdas C6 hasta C15.

•

Añade bordes y formato a la tabla.

1

2

3

4

5

6

9

10

12

15

a) y = 3x - 1 para valores desde 0 hasta 3.

20

b) y = x2 - x + 1 para valores desde -1 hasta 2.

2. Ahora obtén la gráfica de la función y = 360 . x •

Marca las columnas B y C desde la fila 4 hasta la fila 15 y haz clic en la pestaña Insertar. En las opciones de Gráficos elige la opción Dispersión con líneas suavizadas y marcadores.

•

Haz clic sobre la gráfica. En la pestaña Presentación (de Herramientas de gráficos), en Etiquetas, elige la opción Título del gráfico y selecciona una opción. Escribe el título de la gráfica.

•

Haz clic sobre la gráfica. En la pestaña Presentación (de Herramientas de gráficos), en Ejes, elige la opción Líneas de la cuadrícula. Para las líneas horizontales elige la opción Líneas de división principales; y para las líneas verticales, la opción Líneas de división secundarias.

3. Grafica las siguientes funciones para los valores de x indicados. a) y = x 3 - 4x de x =- 3 hasta x = 3 b) y = x2 - 5x + 6 de x =-2 hasta x = 6 c) y = 1 x = ! 4, ! 2, ! 1, ! 1 , ! 1 x 4 2 d) y = x - 1 de x =- 3 hasta x = 3 4

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 11. Hay que diferenciar las funciones que se representan mediante rectas y las que se representan mediante curvas. Para las rectas es suficiente determinar dos puntos; para las curvas, más de dos puntos. –– Actividad 17. La ecuación de una recta es y = mx + n, donde n es la distancia entre el origen y el punto de corte con el eje Y, y m es el cociente de la división entre el cateto vertical y el cateto horizontal de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa se halla en la recta.

1. Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. A ^5, 2h

B ^-2, 5h

C ^4, -7h

G b 3 , - 5l 2

H b- 3 , - 5 l 4 2

K b 2 , 0l 5

D ^0, -5h

E ^-2, -2h

F ^- 3, 6h

C

1

X

1 I

G

F

8. Dado el conjunto inicial " - 3, -2, 0, 1, 4 , y la fun-

H

3. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre conjuntos corresponden a una función. B c) A a) A

B

d) A

B

b) A

B

b) Regla: sus múltiplos.

descrita por el enunciado “A cada número le asociamos su triple y le restamos 1”, expresa dicha función mediante una ecuación, una tabla y una gráfica.

B D

a) Regla: su cubo.

7. Dado el conjunto inicial " - 2, 0, 1, 3 , y la función

Y

E

ción funcional si el conjunto inicial y el final son el conjunto de los números naturales? ¿Por qué?

c) Regla: el número aumentado en 1 . 2 d) Regla: su tercera parte.

2. Escribe las coordenadas de cada punto. A

6. ¿La regla de asignación dada determina una rela-

ción descrita por la ecuación y = x 2 + x + 1 , expresa dicha función mediante un enunciado, una tabla y una gráfica.

9. Un CD de música cuesta Bs 35.

a) Haz una tabla (para 1, 3, 5, 7 y 9 discos) que relacione el número de discos con su costo.

4. Indica si existe una relación funcional que va de la primera magnitud a la segunda. a) Número de lápices b) Área de un cubo

Costo de los lápices. Arista de un cubo.

c) Base de un rectángulo

Área de un rectángulo.

d) Número de pisos de los edificios los edificios.

Altura de

e) Base de un triángulo de una área determinada Altura de un triángulo.

5. Dado el conjunto inicial " 2, 4, 6, 8 , , determina el conjunto final si a cada número le asociamos: a) Su triple. b) Su cuadrado aumentado en 1. c) Su mitad disminuida en 1. d) El número impar mayor y más cercano.

198

198

b) Expresa la función mediante una ecuación. c) Elabora la gráfica correspondiente a la función.

10. En un partido de baloncesto se elabora una tabla con los puntos marcados por cada equipo. Antes de llegar al final del 2.º cuarto podemos ver la siguiente tabla. Minuto

4

6

8

10

12

14

16

Equipo A

10

12

15

18

20

22

24

Equipo B

6

8

14

18

18

24

26

a) Realiza las gráficas de ambos equipos (la del equipo A en azul; la del B en rojo). b) Explica por qué ambas gráficas representan funciones y analiza de cuántas maneras se pueden expresar.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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11. Expresa las siguientes funciones mediante un enunciado, una tabla (de al menos cuatro pares de valores) y una gráfica. a) y = x + 2 3 b) y = 1 - 1 x 2 2

c) y = 2x + 1

d) y = 1 - x

17. A partir de la gráfica determina la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la función. a)

–– Motivo a los estudiantes para que tengan interés en el tema.

Y

2

1

e) y =- x2 f)

1

Pocas veces.

X

3

y = x -3

Muchas veces.

12. Haz una tabla de las siguientes funciones para los valores comprendidos entre 3 y - 3 . a) y = x - 6 b) y = x2 - 4

c) y = x2 + x + 2

–– Facilito la participación. b)

Y

Pocas veces.

3

d) y = x - x - 3

Muchas veces.

1

13. Carlos tiene un empleo donde le pagan por horas.

1

X

–– Promuevo la aplicación de los conceptos matemáticos a problemas de la vida diaria.

Por 3 horas de trabajo ha cobrado Bs 90.

18. Una docena de bolígrafos cuesta Bs 54. a) Determina la ecuación que expresa el costo en función del número de bolígrafos.

14. Representa gráficamente las funciones a partir de una tabla de al menos 4 pares de valores. a) y = 5x b) y =- 3x - 1

c) y = 2x - 1 2 x 3 + d) y = 2

15. Representa gráficamente las funciones encontrando dos puntos de la gráfica correspondiente. a) y =-7x b) y = 5 x 6

c) y = 1 x - 1 2 2 x 5 d) y = 3

16. Grafica determinando la ordenada en el origen e interpretando el valor de la pendiente. a) y = x - 5 b) y =- x + 1 2

c) y = 3x - 2 3 20 x-4 d) y = 5

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19. Un granjero tiene 240 amarros de cebada para alimentar a 80 vacas. a) Determina la ecuación que expresa la cantidad de amarros en función de la cantidad de vacas. b) Indica la constante de proporcionalidad directa. c) Construye una tabla de valores y elabora una gráfica.

20. El área de un triángulo es 18 cm2. Construye una tabla con diferentes valores de la base y la altura, y representa la función que nos da la altura en función de la base. Determina la expresión algebraica que relaciona esos valores y represéntala gráficamente.

6 cm

9 cm

3 cm

c) Elabora la gráfica correspondiente.

Muchas veces.

c) Construye una tabla de valores y elabora una gráfica.

4 cm

b) utilizando la ecuación, haz una tabla (para 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas) que relacione los ingresos con las horas de trabajo.

Pocas veces.

b) Indica la constante de proporcionalidad directa.

6 cm

a) Escribe la ecuación de la función .

Mi desempeño como docente

12 cm

199

199

Sobre las actividades –– Actividad 21 inciso a). Se puede descomponer 240 en factores primos y con esa descomposición “armar” diferentes multiplicaciones con 2 factores. –– Actividad 22. Es aconsejable expresar la función mediante una tabla. Al multiplicar las dos coordenadas de un punto se determina la constante de proporcionalidad inversa.

21. Analiza el número 240 empleando funciones. a) Expresa 240 de todas las formas posibles como producto de dos enteros positivos. Considera cada par de factores como un par ordenado y grafica los pares en un sistema de coordenadas.

25. Pensamiento crítico. En cada gráfica indica si exisX o ninguna de te la función X Y, la función Y ellas. Ten en cuenta que los conjuntos X e Y son el conjunto de los números reales. a)

c)

Y

b) Explica por qué se trata de una función de proporcionalidad inversa.

Y

X

X

c) Determina la ecuación e indica la constante de proporcionalidad.

22. Dada la gráfica, escribe la ecuación de la función

b)

d)

Y

de proporcionalidad inversa. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Y

X

X

Y

26. Considera el siguiente proceso.

1 1

X

23. Matemática

y Lenguaje. Dados dos conjuntos A y B cuyos elementos están relacionados de cierta manera, ¿cuáles de los siguientes hechos son suficientes por sí solos para afirmar que existe la función A B?, ¿cuáles para afirmar que no existe esa función?, ¿cuáles son insuficientes para afirmar o negar que existe esa función?

Tenemos un trozo de hielo a 10 grados bajo cero (-10 ºC) y lo colocamos cerca de una fuente de calor. Durante 12 minutos la temperatura del hielo sube uniformemente hasta 0 ºC. Después, el hielo se derrite completamente durante 30 minutos sin aumentar su temperatura. una vez que el hielo se ha transformado en agua a 0 ºC, recibe calor durante 15 minutos y alcanza una temperatura de 10 ºC.

a) Algunos elementos de A no tienen imagen en B. b) Algunos elementos de A tienen más de una imagen en B. c) Algunos elementos de B no son imagen de ningún elemento de A. d) Todos los elementos de A tienen la misma imagen en B. e) Todos los elementos de A tienen alguna imagen en B. f) Todos los elementos de B son la imagen de algún elemento de A.

24. Busca ejemplos de dos variables A y B tales que: a) A es función de B y B es función de A. b) A es función de B, pero B no es función de A. c) A no es función de B y B no es función de A.

200

200

a) Grafica el proceso colocando la variable Tiempo en el eje horizontal y la variable Temperatura en el eje vertical. b) ¿Es la Temperatura una función del Tiempo? ¿Y el Tiempo una función de la Temperatura? ¿Por qué? c) Si hay alguna relación funcional entre las variables, ¿puede expresarse con un enunciado?, ¿mediante una ecuación?, ¿con una tabla?

27. Investiga. Escribe una función afín que cumpla las siguientes dos condiciones a la vez. a) f ^ 0 h = 5

b) Su gráfica es paralela a la gráfica de la función g ^ x h =- 1 x - 2 . 2 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Matemática y valores

Solidaridad

Valores SOLIDARIDAD

Utiliza tus conocimientos matemáticos sobre funciones para entender algunas de las condiciones naturales de vida de los habitantes de nuestro país.

Precipitación pluvial y temperatura en Bolivia Las siguientes tablas muestran la Precipitación pluvial y la Temperatura en las capitales de departamento. Los números que aparecen son promedios de varios años; aunque son una referencia importante no están actualizados con datos recientes. Promedios de precipitación pluvial mensual (mm o

,

m 2 )*

Ene.

Feb.

Mar.

Abr.

May.

Jun.

Jul.

Ago.

Sep.

Oct.

Nov.

Dic.

258

295

298

175

86

16

17

89

67

104

219

222

Cochabamba

97

57

80

30

5

5

2

2

12

26

26

87

La Paz

108

91

66

23

10

4

6

10

32

31

47

84

Oruro

87

49

64

25

8

4

6

6

23

37

27

40

Potosí

68

52

67

37

1

6

2

1

20

23

30

32

Santa Cruz

212

182

150

120

116

106

102

60

73

71

162

179

Sucre

182

81

110

51

8

1

0,3

2

16

63

30

98

Tarija

143

105

61

22

0,1

0,4

0,3

0,2

3

32

104

128

Trinidad

301

225

246

110

182

19

52

71

97

111

197

280

Cobija

Apreciamos los distintos lugares de nuestro país tal como son.

*En un recipiente de 1 m2 de base un litro de agua forma un volumen de 1 mm de profundidad. Promedios de temperatura mensual (ºC)

Cobija

Ene.

Feb.

Mar.

Abr.

May.

Jun.

Jul.

Ago.

Sep.

Oct.

Nov.

Dic.

26

26,2

26

25,8

24,7

23,7

23

25,3

25,4

26,4

26,2

26,0

19

18,5

18,4

17,6

15,6

13,5

13,3

15,8

17

18,9

19,8

19,8

La Paz

11,1

10,8

11,2

10,7

9,7

8,4

8,1

9,2

10,2

11,5

12,3

11,4

Oruro

11,5

11

10,5

9,2

5,8

3,4

2,7

4,9

7,2

9,4

10,9

11,7

Potosí

10,4

9,5

9,5

9,5

8,4

6,4

6,4

8,4

9,5

10,3

11,2

11,4

Santa Cruz

26

26,2

25,8

24,6

20,6

20,5

19,4

23,0

22,9

25,9

26,8

26,3

Sucre

16

14,7

15,4

15,2

13,6

12,8

11,7

14,0

14,2

15,4

16,1

16,2

Tarija

21

19,8

20,2

19

14,9

13,2

12,7

15,4

16

19,4

21,1

20,9

Trinidad

27

27

27,2

26,4

23,5

21,8

22,2

24,3

25

26,9

27,4

26,9

Cochabamba

28. Analiza las relaciones funcionales en ambas tablas. a) De los siguientes conceptos: Precipitación pluvial, Temperatura, Mes, Ciudad, ¿cuáles corresponden a magnitudes?, ¿por qué? b) ¿Se puede decir que la Precipitación pluvial y la Temperatura están en función del Mes? ¿Por qué? c) ¿En qué ciudades se puede decir que el Mes está en función de la Precipitación? ¿En cuáles no? ¿Y en qué ciudades se puede decir que el Mes está en función de la Temperatura? ¿En cuáles no? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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29. Elige tres ciudades, las que tú quieras, y en un mismo sistema de coordenadas cartesianas coloca los datos correspondientes a la Precipitación (utiliza un color para cada ciudad). En otro sistema de coordenadas cartesianas haz lo mismo para la Temperatura.

¿Cómo se relaciona la solidaridad con el contenido de esta página? De la manera explicada en la página motivadora de esta unidad. Los estudiantes deben conocer y apreciar la diversidad geográfica y cultural de su país, deben saber reconocer el particular tipo de belleza que encierra cada lugar, evitando el “egocentrismo” que nos hace despreciar un lugar por “frío y seco” o por “caluroso y húmedo”. Deben saber que todos los bolivianos se esfuerzan por vivir en lugares que presentan sus propios desafíos, pero que también ofrecen un tipo particular de calidez y belleza. Esta apertura de mente y de espíritu hacia la diversidad geográfica de nuestro país puede favorecer el sentimiento de solidaridad entre todos los bolivianos. Por tanto, en esta ocasión no relacione la solidaridad con la ayuda a los daminificados por las lluvias o las sequías.

30. ¿En las tres ciudades elegidas para el cuadro anterior coinciden los meses de mayor Precipitación? ¿Coinciden los meses de ascenso y descenso del nivel de Precipitación? ¿Y qué puedes decir de la Temperatura?

201

201

Sugerencia de temporalización

11

Probabilidad y estadística

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores

La ruleta La ruleta es un juego de azar cuyo nombre proviene del término francés roulette que signfica “pequeña rueda”. El juego consiste en soltar una bolita en una rueda que gira, la cual tiene los números del 0 al 36 en orden aleatorio. El 0 es de color verde y hay 18 números negros y 18 números rojos. La bolita cae al azar en alguno de estos números.

El texto plantea el problema general de la justicia en los juegos y el problema particular de la justicia en el juego de la ruleta. En la ruleta, hay dos problemas de justicia distintos: a) si el juego es justo en la relación entre los jugadores; b) si el juego es justo en la relación entre la casa y los jugadores. En ambos casos podemos aplicar la fórmula explicada en la última página de la unidad. Con respecto a la relación entre los jugadores, el juego es justo porque todos los jugadores tienen la misma esperanza independientemente de la apuesta que hagan. Con respecto a la relación entre los jugadores y la casa, el juego no es estrictamente justo porque la probabilidad debería calcularse considerando que hay 37 números y no 36.

202

Los jugadores apuestan un monto de dinero a un número o a un conjunto de números y el casino (o la casa) les paga si aciertan. El monto del pago depende de la apuesta realizada. Si alguien apuesta a los números rojos, tiene aproximadamente una probabilidad de ganar de 1 en 2 y, si acierta, la casa le paga 2 veces el monto apostado. Si alguien apuesta a un solo número tiene aproximadamente una probabilidad de 1 en 36 de ganar y, si acierta, la casa le paga 36 veces el monto apostado. Mientras más riesgosa es la apuesta, mayor es el monto que paga la casa.

202

• ¿Por qué la probabilidad de que la bolita caiga en un número rojo es mayor que la probabilidad de que caiga en un número entre 1 y 12? • ¿Es justo o no que las apuestas más riesgosas obtengan un mayor pago que las apuestas menos riesgosas? ¿Por qué?

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Sugerencias metodológicas Con sus estudiantes analice diferentes juegos y discuta el significado que tiene la expresión “juego justo” en cada uno de ellos.

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Posibles dificultades en la unidad

RECuERda Equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes un fracción, un decimal y un porcentaje pueden expresar un mismo valor. Todas las fracciones se pueden expresar mediante un número decimal, y todos los decimales se pueden expresar de manera exacta o aproximada mediante un porcentaje. 1 = 0, ! 3 . 33, 3 % 3 Particularmente, las fracciones cuyo denominador es 100 son fácilmente expresables mediante decimales y porcentajes. 50 = 0, 5 = 50 % 100

1. Expresa mediante una

Los estudiantes tendrán dificultades si no saben operar con fracciones.

fracción, un decimal y un porcentaje el valor representado en el gráfico.

2. Representa mediante decimales y porcentajes. a) 3 8

b) 1 7

c)

4 10

d)

27 100

3. Expresa mediante fracciones y decimales. a) 7 %

c) 14,5 %

b) 70 %

d) 48,3 %

Vocabulario matemático Diagrama de árbol Espacio muestral Experimento aleatorio

Probabilidad

Media

4. Una ruleta tiene 6 colores.

Mediana

La probabilidad de un suceso es una medida de la posibilidad de que ese suceso ocurra.

Medidas de centralización

Para medir esa probabilidad se divide el número de acontecimientos que confirman el suceso entre el número total de acontecimientos posibles. La probabilidad se expresa mediante un número entre 0 y 1, o mediante los porcentajes equivalentes. Por ejemplo, al lanzar un dado son posibles seis acontecimientos y la probabilidad de obtener un número menor o igual a 4 es: 4 = 2 . 0, 67 = 67 % 6 3

Medidas de dispersión Moda a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso “Salir rojo”? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso: “Salir azul”? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso “Salir verde”?

Probabilidad Regla de Laplace Rango Suceso Suceso elemental Suceso imposible

Estadística Cuando se realizan estudios estadísticos referidos a un conjunto de cosas o personas es importante establecer la población, la muestra y la variable. La población es el conjunto de todas las cosas o personas que tienen una característica que se desea conocer.

5. Se quiere saber qué periódicos leen los habitantes de una ciudad. Identifica la población, la muestra y la variable.

Suceso posible Suceso seguro

6. Se quiere saber el deporte que practican los alumnos de un colegio. Identifica la población, la muestra y la variable.

La muestra es la parte representativa de la población sobre la que se efectúa el estudio. La variable estadística es la característica que se estudia en cada uno de los elementos de la población.

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203

203

Más información Otra definición de experimento aleatorio Un experimento que repetido varias veces y en las mismas condiciones genera resultados diversos que no pueden ser determinados previamente se llama experimento aleatorio.

Experimentos aleatorios y sucesos al lanzar un dado, sabemos cuáles son los resultados posibles, pero ninguno de esos resultados está ya determinado y, por tanto, no podemos saber cuál de ellos se obtendrá exactamente. Se dice que lanzar un dado es un experimento aleatorio. •

Cada resultado posible de un experimento aleatorio se llama suceso elemental, y el conjunto de los sucesos elementales es el espacio muestral E del experimento. al lanzar un dado, el espacio muestral es: E = "1, 2, 3, 4, 5, 6 ,

•

Los sucesos conformados por dos o más sucesos elementales se llaman sucesos compuestos. al lanzar un dado, son sucesos compuestos:

Recursos Pensamiento crítico e investigación –– Indica si el experimento es aleatorio o no y explica por qué. a) Predecir que ocurrirá un terremoto en un cierto lugar y en una cierta fecha. b) Extraer al azar un bolo rojo de una bolsa que tiene 3 bolos, uno rojo, uno amarillo y uno azul. c) El resultado de un partido de fútbol. –– Indica si el suceso es posible, seguro o imposible y explia por qué

Cuando el resultado de un experimento está unívocamente definido y, por tanto, puede ser anticipado, se dice que el experimento es determinista.

“Obtener un número impar” = " 1, 3, 5 , (3 sucesos elementales)

“Obtener un número mayor a 4” = " 5, 6 , (2 sucesos elementales)

Los sucesos pueden ser: •

Posibles, si son confirmados por uno o algunos de los sucesos elementales. Por ejemplo, al lanzar un dado, “Obtener un número impar” es un suceso posible que se verifica con los sucesos simples “Obtener 1”, “Obtener 3” y “Obtener 5”.

•

Imposibles, si no son confirmados por ningún suceso del espacio muestral. Por ejemplo, “Obtener 7” es un suceso imposible.

•

Seguros, si son confirmados por todos los sucesos del espacio muestral. Por ejemplo, “Obtener un número igual o menor que 6”.

1. ¿Qué experimentos son aleatorios? ¿Cuáles deterministas? ¿Por qué? a) Lanzar una moneda.

d) Golpear con fuerza un vidrio simple corriente.

b) No comer durante varias semanas.

e) Multiplicar dos números con calculadora.

c) Extraer una carta de una baraja.

f) Predecir el resultado de una elección.

2. Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio. a) Lanzar una moneda.

c) Lanzar tres monedas.

b) Elegir un mes del año al azar.

d) Lanzar una moneda y un dado.

a) Que salga 1, 2, 3, 4, 5, o 6 al lanzar un dado.

3. Escribe tres sucesos compuestos para cada uno de los experimentos aleatorios

b) Que salga al menos un número 1 al lanzar 100 dados.

4. Describe un suceso imposible, uno posible y otro seguro cuando:

c) Que todos los números sean iguales al lanzar 50 dados. d) Que la suma de los números obtenidos sea 1 al lanzar dos dados.

Tic Ejercicios sobre sucesos aleatorios. Hay que indicar los sucesos elementales que forman el espacio muestral de un experimento aleatorio y determinados sucesos compuestos.

204

de la actividad anterior.

a) Se lanza una moneda.

b) Se lanzan dos dados.

c) Se extrae una carta de una baraja.

5. Describe el suceso que es confirmado por los sucesos simples que se indican. a) Experimento: lanzar un dado y una moneda. Sucesos favorables = {cara 1, cara 3, cara 5}

204

b) Experimento: lanzar tres monedas. Sucesos favorables = {cara cara cara, cara cara cruz}

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Sugerencias metodológicas No siempre es fácil comprender el concepto de espacio muestral o determinar el espacio muestral de un cierto experimento. Por tanto, analice y discuta varios ejemplos con sus estudiantes; es importante intentar visualizar el espacio muestral de la manera más clara y objetiva que sea posible.

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Más información

La regla de Laplace

Espacio muestral equiprobable

La regla de Laplace dice que si todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son igualmente probables, la probabilidad P de un suceso es la razón entre el número de sucesos elementales favorables y el número de sucesos elementales posibles. Probabilidad = Número de sucesos favorables 0#P#1 Número de sucesos posibles

Cuando todos los sucesos simples de un espacio muestral tienen la misma probabilidad, se dice que el espacio muestral es equiprobable.

La probabilidad de un suceso puede expresarse como porcentaje. 3 = 1 = 0, 5 = 50 % 6 2

El máximo valor de la probabilidad es 1, para un suceso seguro; y el mínimo es 0, para un suceso imposible. Los sucesos posibles, pero no seguros, tienen una probabilidad entre 0 y 1 ( 0 1 P 1 1 ). Estos valores pueden también expresarse como porcentajes.

En un espacio muestral equiprobable, la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de eventos simples que verifican el suceso y el número de eventos del espacio muestral. Es decir:

En el experimento “Lanzar un dado”, los resultados elementales son seis: " 1, 2, 3, 4, 5, 6 , . Veamos las probabilidades de ciertos sucesos: P = 1 , porque hay solo 1 resultado elemental 6 favorable de un total de 6. • Obtener un número impar. P = 3 = 1 , porque hay 3 resultados ele6 2 mentales favorables, " 1, 3, 5 , , de un total de 6. • Obtener un número entre 1 y 6 incluidos estos. P = 6 = 1 . Es un 6 suceso seguro porque hay 6 resultados favorables de un total de 6. • Obtener un número mayor que 6. P = 0 = 0 . Es un suceso imposible 6 porque ningún suceso elemental le es favorable. •

Obtener el número 5.

P ^E h =

Recursos

1. Calcula las probabilidades de los sucesos en fracciones y en porcentajes.

Ejercicios

Experimento: “Lanzar un dado”. a) “Obtener un número primo”

–– En una bolsa hay cuatro bolas de diferentes colores: rojo, blanco, verde y amarillo. Calcula la probabilidad de:

b) “Obtener un número menor a 8”

Experimento: “arrojar tres monedas”. c) “Obtener dos o más caras”

e) “Obtener tres cruces”

d) “Obtener al menos una cara”

f) “Obtener al menos dos cruces”

Experimento: “Extraer una carta de una baraja de 52 cartas sin comodines”.

2.

a) Sacar una bola verde.

g) “Extraer un as de corazón”

j) “Extraer una carta roja”

m) “Extraer una figura de diamante”

h) “Extraer un 10”

k) “Extraer una jota negra”

n) “Extraer una carta roja o una negra”

i) “Extraer un trébol”

l) “Extraer una figura”

ñ) “Extraer un comodín”

–– Halla la probabilidad de estos sucesos.

Pensamiento crítico. Se ha trucado un dado para que la probabilidad de que

a) Obtener un número menor que 3 al lanzar un dado.

salga 5 sea cinco veces la probabilidad de que salga cualquier otra cara. ¿Qué afirmación es cierta? a) P ^ cara 5 h = 2 3

b) P ^ cara 5 h = 1 2

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c) P ^ cara 5 h = 5 6

d) P ^ cara 5 h = 1 6

205

Sugerencias metodológicas Pida a los estudiantes que realicen cálculos empíricos de la probabilidad de un suceso. Que, por ejemplo, lancen un dado seis veces y calculen la frecuencia de cada número; que extraigan 52 veces una carta de una baraja y vean la frecuencia de una carta específica, o de una carta de un palo específico, etc.

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b) Sacar una bola de algún color. c) Sacar una bola azul.

Investiga. Se lanza un dado y se suman los puntos de todas las caras menos la

de arriba. Obtén el espacio muestral y la probabilidad de obtener un múltiplo de 3.

3.

n ^eh n ^E h

b) Sacar un 2 al lanzar un dado en forma de tetraedro con caras numeradas del 1 al 4. c) Sacar cara al lanzar una moneda.

Tic La regla de Laplace. Con una flecha hay que relacionar sucesos con conjuntos formados por sucesos elementales.

205

Más información

Diagrama de árbol

Un ejemplo más Juan tiene 2 corbatas (una azul y una roja) y 3 camisas (una azul, una negra y una blanca). Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿de cuántas maneras puede resultar vestido?

Realizar un diagrama del árbol es un procedimiento útil para hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio y, por tanto, para calcular la probabilidad de un suceso.

1. Determina el espacio muestral de lanzar 3 monedas. Construimos un diagrama de árbol:

Resolver este problema equivale a determinar un espacio muestral. Podemos hacerlo construyendo un diagrama de árbol. CA

CR

ca

CA y ca

cn cb

CA y cn CA y cb

ca

CR y ca

cn cb

CR y cn CR y cb

1.ra moneda

2.da moneda

3.ra moneda

Resultados posibles

C

+

del diagrama de árbol resulta el siguiente espacio muestral:

E = " ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c, +++ ,

2. Un mago tiene tres cubiletes -azul, rojo y verde- y tres bolitas del mismo color. Si coloca al azar cada bolita en un cubilete, ¿cuál es la probabilidad de que los colores coincidan en solamente un cubilete? determinamos todos los resultados posibles construyendo un diagrama de árbol.

Los sucesos elementales de la derecha forman el espacio muestral, es decir:

•

En el primer cubilete (cualquiera que sea el color de este) el mago puede colocar cualquiera de las 3 bolitas.

E = " CA y ca; CA y cn; CA y cb; CR y ca; CR y cn; CR y cb ,

•

una vez que el primer cubilete tiene una bolita, quedan solamente 2 posiblidades para el segundo cubilete.

•

Cuando el primer y el segundo cubilete tienen su bolita, queda solo 1 bolita para el tercer cubilete. Resultados posibles 3 coincidencias 1 coincidencia (bola azul) Casos favorables

1 coincidencia (bola verde) 0 coincidencias 1 coincidencia (bola roja) 0 coincidencias

El número de resultados posibles es 3 $ 2 $ 1 = 6 . En 3 de esos 6 resultados los colores coinciden en un cubilete. Entonces, la probabilidad es: P = 3 = 1 = 0, 5 = 50 % 6 2

206

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Sugerencias metodológicas Tic

Es importante que los estudiantes analicen varios ejemplos en los que tengan que construir un diagrama de árbol para determinar el espacio muestral.

Diagrama de árbol. Hay que completar un diagrama de árbol y calcular probabilidades.

206

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Recursos

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 números iguales al lanzar 5 dados?

Ejercicios

Como hay 6 posibilidades para cada dado, el número de resultados posibles es:

–– Se lanzan al aire 4 monedas. Construye un diagrama de árbol y determina.

6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 = 6 5 = 7 776 posibilidades Los resultados favorables son seis: los lados pueden ser todos 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Entonces, la probabilidad es:

a) El espacio muestral.

P = 65 = 14 = 1 = 0, 00077 = 0, 077 % 1296 6 6

b) La probabilidad de obtener 2 caras.

Esta probabilidad significa que podemos esperar que el acontecimiento ocurra una vez cada 1 300 lanzamientos: 0, 077 = 100

c) La probabilidad de obtener 3 cruces.

1 1 . . 1 100 1298, 7 1300 0, 077

–– Se lanzan una moneda y un dado. Determina el espacio muestral mediante un diagrama de árbol.

1. Enrique tiene 3 poleras (verde, azul y blanca), dos pantalones (marrón y azul) y dos pares de zapatillas (grises y blancas). Escribe todas las posibles combinaciones de su ropa.

–– En una bolsa hay una bola roja, dos azules y cuatro verdes. Se extraen al azar dos bolas, una después de la otra, sin devolver la primera a la bolsa. Calcula la probablidad de obtener:

2. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de los siguientes experimentos? a) Lanzar dos dados.

c) Sacar dos cartas de una baraja sin comodines.

b) Lanzar cinco monedas.

d) Sacar tres cartas de una baraja sin comodines.

3. Con el diagrama de árbol del ejemplo 1 determina la probabilidad de obtener: a) un número impar de caras.

b) Solamente una cruz.

4. Con el diagrama de árbol del ejemplo 2 determina la probabilidad de obtener: a) Tres coincidencias.

c) Cero coincidencias.

b) dos coincidencias.

d) una o ninguna coincidencia.

a) Tres verdes. b) Dos azules. c) Una roja y dos verdes.

5. En una urna hay tres bolas azules, dos verdes y una roja. En cada caso determi-

En cada caso determina el espacio muestral y calcula las probabilidades.

na el espacio muestral y calcula las probabilidades. Si se extraen al azar dos bolas, una después de otra sin devolver la primera a la urna, calcula la probabilidad de obtener: a) dos azules.

c) dos rojas.

e) dos de distinto color.

b) dos verdes.

d) una verde y una azul.

f) al menos una azul.

Si se extraen tres bolas, una después de otra sin devolver las dos primeras a la urna, calcula la probabilidad de obtener:

6.

g) Tres bolas azules.

i) dos bolas verdes y una roja.

h) una bola roja y dos azules.

j) una bola de cada color.

Pensamiento crítico. Considera la urna de la actividad anterior. En un juego de apuestas se extraen tres bolas sin devolver las dos primeras. El jugador gana si salen bolas de distinto color o tres azules, y la casa gana si salen dos bolas de un mismo color. ¿Es justo el juego? Si no lo es, ¿para quién no lo es?

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207

207

Más información Puntualizaciones sobre las medidas de centralización –– Las medidas de centralización son parámetros estadísticos que indican los valores más representativos de un conjunto de datos. –– Las principales medidas de centralización son la media aritmética, la mediana y la moda. –– La media aritmética es un valor numérico que está entre el menor y el mayor de un conjunto de datos, puede no coincidir con ninguno y ser un número decimal. –– La media aritmética se puede obtener solamente con datos cuantitativos.

Medidas de centralización: la media aritmética un promedio es un número que resume una serie de valores indicando el valor al que tienden. La media aritmética ^ x h es un tipo de promedio que se calcula sumando todos los valores y dividiendo el resultado entre el número de datos.

Las notas de Ismael se ven en la tabla. Su papá le ha ofrecido un premio si su promedio supera los 60 puntos. ¿Merece Ismael el premio?

Matemática

65

El promedio de Ismael es:

Lenguaje

56

Ciencias Naturales

58

x = 65 + 56 + 58 + 64 + 66 + 55 = 364 = 60, 66 - 61 6 6 El promedio de Ismael es 61. Su papá le debe un premio.

Ciencias Sociales

64

artes Plásticas

66

Educación Física

55

Los promedios tienden a ubicarse “por el medio” de una serie de valores. La media aritmética es una especie de punto de equilibrio. Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, la media aritmética se calcula multiplicando cada valor de la variable por su frecuencia, sumando estos productos y dividiendo la suma entre el número de datos. Edad

N.º de jugadores

19

4

20

5

21

8

23

7

25

7

La tabla del margen muestra las edades de los jugadores de un equipo de fútbol. ¿Cuál es la edad promedio? x = 19 $ 4 + 20 $ 5 + 21 $ 8 + 23 $ 7 + 25 $ 7 + 30 $ 2 = 740 = 22, 42 33 33 La edad promedio es 22,42 años.

30

2

Total

33

Hay casos en los que no todos los valores de una variable tienen la misma importancia, peso o ponderación. En estos casos, para calcular el promedio ponderado, multiplicamos el valor de cada variable por su ponderación (su peso), sumamos los productos y dividimos entre 100.

La tabla muestra las calificaciones de Lizeth en distintos aspectos del área de Lenguaje. Cualquier aspecto se califica entre 0 y 7, pero no todos tienen el mismo peso en la nota final. ¿Cuál es la nota final de Lizeth? La calificación final se obtiene calculando la media aritmética ponderada. x = 7 $ 5 + 7 $ 15 + 4 $ 20 + 7 $ 10 + 5 $ 20 + 4 $ 30 = 5, 1 100 La calificación final de Lizeth es 5,1.

208

Aspectos

Puntaje

Ponderación

Cuaderno de apuntes

7

5%

archivador de tareas

7

15 %

Producción de textos

4

20 %

Lectura y expresión oral

7

10 %

Examen parcial

5

20 %

Examen final

4

30 %

Total

100 %

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Sugerencias metodológicas Tic

Pida a los estudiantes que practiquen el cálculo de la media aritmética utilizando la máquina calculadora. Si es necesario, que estudien el manual de su calculadora.

La media aritmética. Diversos ejercicios para calcular la media aritmética de un conjunto de datos.

208

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Recursos

1. Calcula la media aritmética de la siguiente serie de datos. 0 0 0 1 1 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9 9

Ejercicios

2. La tabla muestra los puntajes y las cantidades de alumnos, de dos paralelos,

–– Gabriela quiere comprar un regalo para su mejor amiga. Antes de hacerlo, averigua el precio en varias tiendas. Los datos que obtiene son los siguientes:

que obtuvieron esos puntajes en un examen de Matemática. Puntaje

1

2

3

4

5

6

7

Total

2.º A

1

3

2

11

15

7

1

40

2.º B

4

3

3

2

20

8

2

42

a) Calcula la media aritmética de cada curso.

48 50 60 45 50 52 55 50

b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento promedio?

¿Cuál es el precio promedio del regalo?

3. La tabla muestra las temperaturas registradas en Trinidad durante las horas de sol de un cierto día. Temperatura (ºC)

21

22

24

27

28

29

31

32

32

31

26

29

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Hora

–– Las estaturas de 24 estudiantes de un mismo curso medidas en centímetros son: 140 148 144 150 142 146

Calcula la temperatura promedio del día durante las horas de sol.

152 148 144 142 140 148

4. Calcula las calificaciones finales en Lenguaje de Rodolfo, Paula y Mario. Utiliza la

150 140 142 144 140 150

misma ponderación usada para calcular la nota de Lizeth (en el tercer ejemplo). Actividad

Rodolfo

Paula

Mario

3

5

6

Cuaderno de apuntes archivador de tareas

4

5

5

Producción de textos

7

4

7

Lectura y expresión oral

4

6

7

Examen parcial

6

7

4

Examen final

5

1

6

140 144 148 142 140 140

¿Cuál es la estatura promedio del grupo?

5. En una universidad se han presentado dos postulantes para obtener una cátedra. En la selección se califican tres parámetros (todos sobre 10). Parámetro

Peso

Postulante A

Postulante B

Méritos (currículum)

40 %

8,7

3,2

Examen escrito

35 %

6,2

7,8

Examen oral

25 %

5,1

8,2

a) Calcula el puntaje final de cada postulante. b) ¿Cuál de los dos postulantes obtuvo la cátedra?

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209

209

Más información Puntualizaciones sobre la mediana y la moda –– La media aritmética no siempre es representativa de los datos estudiados. En esos casos, es relevante calcular otras medidas de tendencia central como son la mediana y la moda. –– La mediana no coincide necesariamente con alguno de los datos; la moda sí.

Medidas de centralización: la mediana y la moda La moda (Mo) de una serie de datos es el dato que más se repite. La mediana (Me) de una serie de datos es un valor tal que hay la misma cantidad de datos mayores y datos menores que él. •

Si la serie de datos tiene un número impar de valores, la mediana es el valor central. Por ejemplo:

•

Si la serie de datos tiene un número par de valores, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Por ejemplo:

1 1 3 4 9

45 51 59 70

Me = 3

Si al calcular la moda, son dos los datos que más se repiten, se dice que la serie de datos es bimodal.

Me = 51 + 59 = 55 2

Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los números de zapato de un grupo de estudiantes: 37 39 36 37 38 35 37 38 36 38 36 35 36

Recursos Ejercicios –– Indica qué valor podemos añadir al siguiente conjunto de datos para que la mediana sea la misma. 18 8 7 9 12 15 21 12 –– En una prueba de Química, sobre 100 puntos, unos estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones. 1 estudiante obtuvo 50 puntos. 3 estudiantes obtuvieron 70 puntos. 1 estudiante obtuvo 80 puntos. 2 estudiantes obtuvieron 40 puntos.

Primero ordenamos los datos: 35 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 Media aritmética Moda

x = 35 $ 2 + 36 $ 4 + 37 $ 3 + 38 $ 3 + 39 = 36, 8 13

Mo = 36 (el valor que más se repite)

Mediana

Me = 37 (hay seis valores por encima y otros seis valores por debajo de 37)

1. Halla la media aritmética, la mediana y la moda de

168, 156, 166, 158, 160, 168, 160, 168, 158, 156, 164, 162, 166, 164, 168, 160, 162, 162, 158, 156, 166, 160, 168.

a) 5, 8, 9, 5, 3, 5, 3, 5, 8, 4 b) 39, 36, 37, 34, 38, 40, 39, 37, 39

Realiza el recuento de datos y construye la tabla de frecuencias. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de las estaturas.

2. Las notas en Ciencias Sociales que Norah obtuvo este trimestre fueron 7, 6, 4, 7 y 8,5 (sobre 10). Todas tienen el mismo peso. a) Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de sus notas. b) Calcula x , Mo, Me si en la próxima prueba de Ciencias Sociales, Norah obtiene una nota igual a su promedio (media aritmética) actual.

3. Las edades de un grupo de amigas son: 18, 19, 21, 22, 19, 18, 17, 19, 23, 20. Halla la media aritmética, la mediana y la moda de las edades.

a) ¿Cuál es la mediana? b) ¿Cuál es la moda?

4. Las estaturas, en cm, de 25 alumnos son: 158, 160,

las siguientes series de datos:

210

5.

Pensamiento crítico. La tabla muestra la música que más gusta a varios estudiantes de secundaria.

Música

N.º de alumnos

Rock

18

Hip Hop

24

Tecno

12

Cumbia

10

Pop

6

¿Se puede determinar la media aritmética? ¿Y la mediana? ¿Y la moda? ¿Por qué? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Media, mediana y moda. Diversos ejercicios para determinar si se trata de la media, la mediana o la moda.

210

Explique las diferencias entre las tres medidas de tendencia central. Reflexione con los estudiantes acerca de si estas medidas pueden coincidir y pídales que den ejemplos para apoyar sus respuestas.

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Más información

Medidas de dispersión: el rango

Otras medidas de dispersión •

Las medidas de dispersión indican cuán dispersos están los datos respecto de la media aritmética. Cuando un conjunto de valores es muy disperso, la media aritmética no es representativa.

•

una de las medidas de dispersión es el rango o recorrido, que es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor.

Además del rango existen otras medidas de dispersión que se estudian en cursos posteriores: la desviación media, la varianza y la desviación estándar.

En una habitación hay tres hombres adultos, de 170 cm, 180 cm y 184 cm de estatura, y tres bebés, de 61 cm, 65 cm y 72 cm de estatura. a) ¿Cuál es la estatura promedio de las seis personas?

Recursos

x = 170 + 180 + 184 + 61 + 65 + 72 = 122 cm 6 Este promedio es poco representativo pues todas las estaturas están bastante alejadas de él.

Ejercicios

El rango, es decir, la diferencia entre la mayor y la menor estatura es:

En un sábado y un domingo consecutivos, en una determinada ciudad, se tomaron seis medidas de la temperatura (en grados centígrados). Estos son los datos obtenidos:

Rango = 184 - 61 = 123 cm Este rango es alto e indica que los datos tienen alta dispersión. La dispersión alta explica que la media aritmética no sea muy representativa. b) ¿Cuál es la estatura promedio de los tres hombres adultos? x = 170 + 180 + 184 = 178 cm 3

123

Este promedio es bastante representativo pues las tres estaturas están cerca de él.

61

En este caso, el rango de las estaturas es:

Los datos se alejan de la media.

Día sabado: 11 ºC, 12 ºC, 13 ºC, 13 ºC, 14 ºC y 15 ºC.

178

Día domingo: 8 ºC, 11 ºC, 12 ºC, 14 ºC, 15 ºC y 18 ºC.

65

72

170 180 184

Rango = 184 - 170 = 14 cm Este rango es bajo e indica que los datos no están dispersos; por esta razón, la media aritmética es representativa.

170

180

184

Los datos están cerca de la media.

¿Qué día la temperatura fue menos variable?

1. Los pesos (en kg) de los 11 jugadores de un equipo infantil de fútbol son: 45 52 43 48 49 54 56 40 43 47 42 Los pesos de los 11 jugadores de otro equipo infantil de fútbol son: 49 42 51 42 44 53 49 48 47 50 51 a) Halla el rango de los pesos y el peso medio de cada equipo. b) ¿En cuál de los dos casos el promedio de peso es más representativo?

2. Las calificaciones, sobre 10 puntos, de cuatro amigas en el área de Ciencias Naturales en el primer trimestre han sido: Ana: 7; 6,25; 8; 6,5; 5,75 Luisa: 4,5; 7,25; 6; 6,25; 7

Elena: 9; 8,25; 7,5; 6; 8 Eva: 6,5; 7; 7,25; 6,75; 7

¿Las notas de qué alumna tienen mayor dispersión?

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Sugerencias metodológicas Explique las diferencias entre las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.

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Más información

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

El método de tablas de contingencia

utilizar tablas de contingencia

Las tablas de contingencia, llamadas también tablas de doble entrada, proporcionan una forma práctica de calcular la probabilidad de un suceso compuesto. El procedimiento tiene los siguientes pasos:

Elaboramos una tabla de contingencia para calcular la probabilidad de acontecimientos en los que características con varias modalidades se cruzan entre sí.

1.° Se colocan los datos del problema en una tabla de contingencia. 2.° Se completa la tabla. 3.° Se extraen de la tabla los datos necesarios para calcular la probabilidad pedida.

Recursos

Verificar

En un almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. Al elegir entre postre y café, eligen postre 15 hombres y 20 mujeres. Si escogemos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿Y de que elija café? ¿De que sea hombre y elija postre? ¿De que sea mujer y elija café? En el almuerzo hay 28 hombres y 32 mujeres. de los hombres, 15 eligen comer postre y de las mujeres 20 realizan esa misma elección. debemos calcular cuatro probabilidades, la probabilidad de que una persona escogida al azar: 1) sea hombre; 2) tome café; 3) sea hombre y coma postre; 4) sea mujer y tome café. En el problema, la característica Sexo tiene las modalidades Hombre y Mujer; la característica Elección tiene las modalidades Postre y Café. Necesitamos determinar cuántas personas hay en cada modalidad y cuántas en cada uno de los cuatro conjuntos determinados por el cruce de modalidades. una vez establecido esto, calculamos las probabilidades con la regla de Laplace. Elaboramos una tabla (llamada de contingencia) donde se cruzan las modalidades y realizamos cálculos sencillos para colocar las cantidades respectivas. Hombre

Mujer

Postre

15

20

35

Café

13

12

25

28

32

60

Calculamos las probabilidades con la regla de Laplace: P (hombre) = 28 = 46, 7 % 60 P (café) = 25 = 41, 7 % 60

Ejercicios En un curso hay 12 chicos y 23 chicas; de ellos, 10 chicos y 8 chicas usan lentes. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y no use lentes?

Resolver

P (hombre y postre) = 15 = 25 % 60 P (mujer y café) = 12 = 20 % 60

Para verificar estos resultados podemos revisar el razonamiento y los cálculos.

1. En una guardería hay 10 niños, de los cuales 4 aún no saben andar, y 12 niñas, de las cuales 6 aún no caminan. Si elegimos al azar a un niño o a una niña, ¿cuál es la probabilidad de que sea niño y no sepa andar?

2. En la aldea de Bree, en la taberna El Pony Pisador, se han reunido 14 enanos, de los cuales 3 piden agua, 1 vino y el resto cerveza; 6 hobbits, de los cuales 1 pide agua, 1 vino y el resto cerveza; y 12 elfos, de los cuales 10 piden vino y 2 agua (es bien sabido que no les agrada la cerveza). Si elegimos uno de estos seres al azar, ¿cuál es la probabilidad del hecho indicado? a) Que sea enano y beba agua.

d) Que beba agua.

b) Que sea elfo y beba vino.

e) Que no beba cerveza.

c) Que sea hobbit y no beba cerveza.

f) Que no sea elfo y beba cerveza.

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Recursos

Taller de Matemática

Actividades

Promedio de calificaciones

Las calificaciones de un estudiante en las materias de Lenguaje, Matemática, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Idiomas y Artes Plásticas, en los cuatro bimestres y sobre 100 puntos, fueron:

1. Programa una hoja de cálculo de Excel para que calcule tus promedios trimestrales de todas las materias y tus promedios anuales por área de estudio. •

Escribe “Matemática” en B3; “Lenguaje” en B4; “Historia y Geografía” en B5; “Ciencias Naturales” en B6 y “Promedio trimestral” en B7. además, en C2, D2, E2 y F2 escribe “Primer Trimestre”, “Segundo Trimestre”, “Tercer Trimestre” y “Promedio anual”, respectivamente.

•

Escribe tus notas en las celdas correspondientes.

•

Para calcular el promedio del primer trimestre, escribe en la celda C7 la siguiente fórmula: =PROMEDIO (C3:C6). Para el segundo trimestre, en la celda D7 la fórmula =PROMEDIO (D3:D6). Para el tercer trimestre, en E7 la fórmula =PROMEDIO (E3:E6). Para los promedios anuales escribe en la celda F3 la fórmula =PROMEDIO (C3:E3). Luego copia esta fórmula en las celdas F4, F5 y F6.

•

Puedes adaptar las orientaciones dadas para ampliar la tabla de tal modo que en ella aparezcan todas o algunas de las áreas de estudio que faltan. También puedes hacer una tabla para calificaciones bimestrales.

•

Selecciona las celdas con números y en la pestaña Inicio, en la opción Número, elige Número y disminuye los decimales hasta una sola posición decimal.

•

Coloca bordes y da formato a los textos.

Lenguaje : 75 78

80

75

Matemática 45 50

52

62

C. Naturales 50 55

60

61

C. Sociales 49 52

59

60

Idiomas 55 43

60

48

A. Plásticas 65 60

70

71

a) Calcula el promedio de cada bimestre, es decir, el promedio de las calificaciones bimestrales. b) Calcula el promedio anual de cada materia.

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213

213

Evalúa tus logros

Sobre las actividades Actividad 5. Previamente se debe determinar el espacio muestral. Actividad 15. El problema se puede resolver calculando, mediante una regla de tres, el porcentaje que corresponde a cada una de las puntuaciones. Después, se suman los porcentajes de cada competidora y, mediante otra regla de tres, se expresa esa suma como un puntaje (sobre 10 puntos).

1. Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas. a) acercar un papel a la llama de una vela. b) Predecir la máxima temperatura de mañana. c) Sumar dos números con calculadora. d) Lanzar dos dados.

2. Escribe el espacio muestral de: a) Formar al azar un número de cuatro cifras con los dígitos 1, 2, 3 y 4.

8. Se elegirá una carta entre 500 a fin de obsequiar un boleto para un concierto. Si enviaste 25 cartas, ¿cuál es tu probabilidad de obtener el boleto?

9. Construye el diagrama de árbol del experimento aleatorio consistente en extraer consecutivamente dos fichas de una bolsa que contiene tres –una roja, una blanca y una azul– devolviendo a la bolsa la ficha extraída en primer lugar.

10. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del

b) Formar al azar una bandera de tres franjas horizontales de igual alto con los colores blanco, rojo y amarillo.

experimento consistente en formar un número de tres cifras colocando en cada posición uno de los dígitos del 2 al 8 elegido al azar? ¿Y cuántos elementos si los números no pueden repetirse?

3. Describe un suceso imposible, uno posible y otro

11. Sinforosa tiene una camisa azul, una roja, una ver-

seguro cuando: a) Se lanzan dos dados y se resta el número menor del mayor. b) Se elige al azar un número natural menor que 20 y se lo eleva al cuadrado.

4. Una bolsa tiene 3 bolas rojas, 2 verdes, 2 blancas y

de y una lila; una falda roja y una lila; un par de medias azules, otro par verde y otro lila. Para ella, las tres prendas del mismo color se ven elegantes; y las tres de distinto color, un desastre. Si Sinforosa elige las tres prendas al azar, calcula la probabilidad de que se crea elegante y la de que se sienta un mamarracho.

1 negra. Si sacamos una bola sin mirar: a) ¿Qué color es más probable que salga? b) ¿Qué color es menos probable? c) ¿Qué colores tienen la misma probabilidad?

5. Considera el experimento de lanzar un dado y calcula la probabilidad de obtener: a) El número 3.

c) un cuadrado perfecto.

b) un divisor de 2.

d) un múltiplo de 5.

6. En una caja hay 5 bolas amarillas y 7 bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola amarilla? ¿Y la de sacar una bola roja?

7. Sacas una bolita al azar. Calcula la probabilidad de extraer una bolita:

12. Un estudiante de Biología obtuvo las siguientes calificaciones (sobre 70) en cinco prácticas de laboratorio: 45,2 38,4 31,2 50,5 48,2 ¿Cuál es su promedio de calificaciones?

13. Los estudiantes de un curso tienen los pesos (en kilogramos) indicados en la siguiente tabla:

a) Azul.

50

36

41

41

64

44

48

59

b) Azul o roja.

40

49

58

50

35

46

56

43

c) No amarilla.

48

42

46

45

52

39

47

55

47

52

37

38

48

43

40

46

56

38

47

49

51

54

63

50

d) amarilla. e) No roja.

Calcula el promedio.

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14. Andrea quiere comprar el último CD de su grupo de

17. En un barrio se realizó una encuesta preguntando

música favorito. Antes de hacerlo, pregunta el precio en varias tiendas y elabora la siguiente tabla:

acerca del número de integrantes de la familia. Estas son las respuestas que se obtuvieron.

Precio en Bs

N.º de tiendas

5

4

4

3

4

5

6

5

2

50

1

8

2

5

4

5

4

3

5

6

70

3

80

1

40

2

Calcula la media aritmética, la mediana y la moda.

18. La siguiente tabla muestra las edades (en meses) a las que comenzaron a sentarse solos un grupo de niños de una guardería infantil.

¿Cuál es el precio promedio del CD?

15. En una competencia femenina de patinaje se califican, sobre 10 puntos, cuatro aspectos: perfección técnica, impresión artística, originalidad y vestuario. La ponderación de cada aspecto se indica en la tabla. ¿Cuál es la puntuación (sobre 10) de cada participante? ¿Cuál de ellas ganó la competencia?

Perfección técnica

35%

9

8

Impresión artística

30%

7

8

Originalidad

25%

6

8

Vestuario

10%

10

7

16. Un inspector de tránsito se ubica en un punto estratégico para controlar la velocidad de los automóviles que circulan por una autopista. Estas son las velocidades (en km/h) registradas por el inspector. 68

70

65

72

80

55

70

48

54

60

61

57

74

65

60

72

65

72

48

73

65

64

62

58

–– Preparo los materiales necesarios para facilitar la comprensión del tema.

36

28

14

7

6

1

A veces.

Meses

5

6

7

8

9

10

11

12

Siempre.

a) ¿a qué edad en promedio empezaron los niños a sentarse solos?

en seis carreras de 100 metros planos.

Ana

Siempre.

23

19. La tabla muestra las marcas de Nicolás y Andrés

Olga

A veces.

10

c) ¿Cuál es la moda?

Ponderación

–– Planifico el tema de acuerdo al horario del curso.

N.º niños

b) ¿Cuál es la mediana?

Aspecto

Mi desempeño como docente

–– Promuevo el aprendizaje cooperativo formando grupos de trabajo que tienen alumnos con distintos niveles de compensión. A veces. Siempre.

Nicolás

13 s

15 s

13 s

14 s

14 s

15 s

Andrés

12 s

17 s

12 s

18 s

12 s

13 s

a) Calcula el promedio de Nicolás y el de andrés. b) Calcula el rango para los tiempos de cada uno. c) ¿Quién tiene un rendimiento más homogéneo?

20. A un grupo de nueve amigos (indicados con letras en la tabla de abajo) se les preguntó por el número de veces que fueron al cine y al estadio en el curso de un año. Las respuestas fueron las siguientes: a

B

C

d

E

F

G

H

K

Cine

15

7

24

4

8

10

12

8

7

Estadio

16

5

6

27

9

6

21

10

6

a) Calcula el promedio, la mediana, la moda y el rango de asistencia al cine y los de asistencia al estadio. b) Calcula el promedio, la mediana y la moda de asistencia a cualquiera de esos espectáculos.

a) Calcula la media aritmética. b) Calcula la mediana. c) Calcula la moda. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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215

215

Sobre las actividades –– Actividad 21. Los dos experimentos son deterministas. Aunque no podemos anticipar el resultado de una multiplicación compleja, ese resultado es único y no se modifica cada vez que realizamos la operación en una calculadora. –– Actividad 26. Solo el inciso a) es falso. El inciso b), por ejemplo, es verdadero, tal como se ve por la serie de datos “30, 34, 42, 47, 48, 49, 50, 100” cuya media aritmética es 50.

21. Pensamiento crítico. Analiza la siguiente opinión de Esteban: Si multiplicamos 4 # 5 en la calculadora, podemos prever el resultado que aparecerá en la pantalla, pero si multiplicamos 57264 # 34982 no podemos decir con anticipación el resultado que saldrá. Por lo tanto, realizar la primera multiplicación es un experimento determinista, pero realizar la segunda multiplicación es un experimento aleatorio. ¿Qué opinas tú? ¿Puede apoyarse la conclusión de Esteban en la definición de Experimento aleatorio dada en la página 204?

22. Investiga. Un profesor de Matemática lleva a su clase 5 cajitas iguales, numeradas del 1 al 5, y las coloca lado a lado. De su bolsillo saca 3 monedas iguales y las coloca en las cajas, de modo que cada una contenga como máximo una moneda.

26. Pensamiento crítico. Si tenemos un conjunto de 8 datos distintos y los ordenamos de menor a mayor: d1 1 d2 1 d3 1 d4 1 d5 1 d6 1 d7 1 d8 ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) La media aritmética puede ser igual al dato d1 . b) La media aritmética puede ser igual al dato d7 . c) La media aritmética puede ser igual al promedio de los datos d4 y d5 . d) La media aritmética puede ser igual al promedio de los datos d1 y d2 .

27. Pensamiento

crítico. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) La media aritmética y la mediana son necesariamente iguales. b) La media aritmética y la mediana pueden coincidir. c) La media aritmética y la moda pueden coincidir.

Construye un diagrama de árbol e indica cuántas disposiciones distintas de cajas y monedas se pueden dar.

23. Pensamiento crítico. Cuando lanzamos dos dados,

d) Es posible que la mediana no coincida con ningún dato.

28. La media aritmética del peso de 6 amigas es igual a 62 kg. Si los pesos de 5 de ellas son: 58, 65, 59, 65 y 72 kg, ¿cuánto pesa la sexta amiga?

¿la probabilidad de que ambos caigan en 1 es mayor, menor o igual que la probabilidad de que un dado caiga en 1 y el otro caiga en 2? ¿Por qué?

24. Investiga. Nuria se durmió a las 0:0000 y se despertó a las 7:0000. Ella dice que en cierto momento, entre esas horas, despertó y vió su reloj. ¿Cuál es la probabilidad de que haya visto la hora 04:0457?

29. La media aritmética de dos números diferentes formados por una sola cifra es 8. ¿Cuáles son dichos números? ¿Es la solución única?

30. La media aritmética de tres números diferentes formados por una sola cifra es 8. ¿Cuáles son dichos números? ¿Es la solución única?

31. A un conjunto de cinco números cuya media es 25. Investiga. Una bolsa contiene seis bolas rojas, cuatro verdes y cinco amarillas. ¿Cuántas bolas rojas debemos añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea 4 5 ?

216

216

7,51 se le añade los números 4,47 y 10,15. ¿Cuál es la media aritmética del nuevo conjunto de números?

32. La media aritmética de 10 números es 18. Al agregar un determinado número, la media aritmética cambia y es igual a 20. ¿Qué número se agregó? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Matemática y valores

Justicia

Valores JUSTICIA

Realiza cálculos de probabilidad para evaluar la justicia en ciertos juegos.

Un juego de azar es justo cuando la esperanza matemática de cada jugador es la misma. Esperanza = = premio $ probabilidad

Juegos y justicia un juego es justo o equitativo cuando el producto del premio que se recibe por la probabilidad de ganar ese premio (producto llamado esperanza del jugador) es el mismo para todos. Esto significa que cuanto menor sea la probabilidad de ganar, mayor ha de ser el premio. E1 = Esperanza del jugador 1 = Premio $ Probabilidad E2 = Esperanza del jugador 2 = Premio $ Probabilidad Juego justo: E1 = E2

33. En un juego para dos o más jugadores, se lanzan dos dados y se suman las puntuaciones (ver tabla del margen). En cada lanzamiento, los jugadores anticipan la suma que saldrá y reciben cierta cantidad de puntos si aciertan. Gana el jugador que suma el mayor puntaje en una determinada cantidad de jugadas.

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

a) Completa la siguiente tabla para que el juego sea justo. Suma

2

3

4

5

6

7

Probabilidad

8

9

10

11

12

Por tanto, no estamos diciendo que en un juego justo todos tienen la misma probabilidad de ganar, sino que el producto del premio por la probabilidad es la misma para todos. Solo en el caso particular en que los jugadores reciben el mismo premio, la probabilidad de ganar debe ser igual para todos.

6 36 1

Premio (en puntos)

b) utiliza la tabla construida en el inciso anterior e indica quién es el ganador (si lo hay) del siguiente juego de 6 lanzamientos jugado por 2 competidores. 1.º

2.º

3.º

4.º

5.º

6.º

Suma

9

7

8

7

2

4

Anticipación del jugador A

7

5

7

4

2

4

Anticipación del jugador B

9

8

8

7

7

5

Lanzamiento

c) Construye una tabla similar a la del primer inciso, pero para un juego en el que las puntuaciones de los dados se multiplican en vez de sumarse. dale un premio de 1 punto al producto que es más probable.

34. Lucía y Juan han inventado un juego con las siguientes reglas. Lanzan dos monedas consecutivamente. Si las dos salen cara, Lucía gana un punto. En caso contrario, Juan gana un punto. ¿Crees que es un juego equitativo?

35. Lucía y Juan continúan jugando con dos monedas, pero ahora el juego es otro. Lanzan las dos monedas a la vez; si salen dos caras, Lucía avanza su ficha una casilla en el tablero; si sale una cara solamente, Juan avanza su ficha dos lugares en el tablero. Gana el que antes llegue a la meta. ¿Es justo este juego? Juan Lucía

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Esta fórmula traduce nuestra idea intuitiva de justicia por la cual creemos que los jugadores que realizan apuestas más arriesgadas deben obtener un premio más grande que aquellos que hacen apuestas más seguras.

217

En el inciso a) de la actividad 33, los jugadores que apuestan al 2 o al 12 deben recibir 6 puntos de premio, de este modo su esperanza es la misma que la del jugador que apuesta al 7. El jugador que apuesta al 4 debe recibir 2 puntos de premio. E2 = 6 $ 1 36 E12 = 6 $ 1 36 E4 = 2 $ 3 36

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

217

Sugerencia de temporalización

12

Volumen de cuerpos

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Valores

Arquímedes y la corona del rey Arquímedes (287-212 a.C.) fue uno de los grandes matemáticos y físicos del mundo antiguo.

El texto se relaciona con el valor de la honestidad. La honestidad hace posible las relaciones de confianza entre las personas. El joyero de la historia realiza una acción deshonesta, pues miente e intenta engañar al rey para obtener una cantidad de oro que no le pertenece. Arquímedes utiliza el razonamiento físico y matemático para encontrar una manera de poner al descubierto la deshonestidad del orfebre.

Se cuenta que el rey de Siracusa solicitó a un joyero que le fabricase una corona de oro y que, para tal efecto, le dio una cierta cantidad de metal. Cuando el orfebre entregó la corona, el rey quiso asegurarse de que no había sido engañado. Aunque la joya pesaba lo mismo que el oro entregado, ¿cómo podía saberse si una parte del oro no había sido sustituida por otro metal? El rey pidió a Arquímedes que descubriera la verdad sin dañar la corona.

• Si la densidad se mide en gramos por centímetro cúbico (g cm 3 ), ¿qué volumen ocupan 500 g de oro de densidad 19,3 g cm 3 ? • ¿Qué significa ser honesto? ¿Por qué la falta de honestidad es tan común?

La historia, o la leyenda, dice que Arquímedes encontró la forma de resolver el problema mientras se sumergía en su bañera y que puso en evidencia el engaño del orfebre. No se sabe a ciencia cierta cuál fue el procedimiento que utilizó Arquímedes, pero es posible que se fundamentase en la idea física de densidad.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Repase los conocimientos referidos al perímetro y al área de las figuras planas. –– Repase los conocimientos referidos al concepto de volumen y a las medidas de volumen. –– En el desarrollo de la unidad pida a los estudiantes que fabriquen en cartulina distintos cuerpos geométricos.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Posibles dificultades en la unidad

RECUERda 1. Calcula el área de las siguientes figuras.

Área de figuras planas Rectángulo

Triángulo

16 cm

h

15 cm

h

b

33 cm

b

A = b$h b: base

b)

a)

A = b$h 2

h: altura

b: base

Polígono regular

20 cm

c) 15 m

h: altura

Vocabulario matemático

44 m

Círculo

d)

e) cm

2,2

r

1

13,1

a

Capacidad

m

Cilindro

 p$a A= 2 p: perímetro

Los estudiantes tendrán dificultades si no saben calcular el área de distintas figuras geométricas planas.

A = r $ r2

19 m

14 cm

Cono

r : radio

Esfera

g)

f)

a: apotema

1 cm

18 m

Múltiplo de una unidad de medida Pirámide Prisma

El volumen de un cuerpo es una medida del espacio que el cuerpo ocupa. Para medir el volumen de un cuerpo se establece una unidad de volumen y se determina cuántas veces está contenida la unidad en el cuerpo. •

Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 centímetro cúbico (1 cm3).

•

Un cubo de 1 dm (10 centímetros) de arista tiene un volumen de 1 decímetro cúbico (1 dm3).

•

Un cubo de 1 m (100 centímetros) de arista tiene un volumen de 1 metro cúbico (1 m3).

Las equivalencias entre estas unidades son: 3

1 m = 1 000 dm

Semiesfera

2. Convierte.

Medidas de volumen

a) 3 dm a cm

f) 400 dm a m

b) 8,5 dm3 a cm3

g) 12 m3 a cm3

Submúltiplo de una unidad de medida

c) 60 cm3 a dm3

h) 3,8 m3 a cm3

Volumen

d) 5 m a dm

i) 60 000 cm3 a m3

e) 7,6 m3 a dm3

j) 580 dm3 a m3

3

3

3

3

3

3

1 cm3 1 cm

3

1 dm 3 = 1 000 cm 3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

219

219

Más información Puntualizaciones sobre las unidades de volumen –– En el cuadro de equivalencias los múltiplos y submúltiplos varían de 1 000 en 1 000 porque las unidades de volumen resultan de elevar al cubo las unidades de longitud del sistema métrico decimal cuya base es 10. –– También existen medidas de volumen en unidades derivadas de las medidas de longitud del sistema inglés: pulgada cúbica, pie cúbico, yarda cúbica, etc.

Volumen y capacidad El volumen de un cuerpo es una medida de la cantidad de espacio que ocupa. La unidad fundamental de volumen es el metro cúbico (m3), que es un cubo de 1 m de arista. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son: Múltiplos del metro cúbico

Submúltiplos del metro cúbico

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

centímetro cúbico

hm3

dam3

metro cúbico

decímetro cúbico

km3

dm3

cm3

mm3

1000000000 m 3

1000000 m 3

1000 m 3

m3

0, 001 m 3

0, 000001 m 3

0, 000000001 m 3

milímetro cúbico

Para encontrar equivalencias multiplicamos o dividimos por 1 000: # 1000

km3

# 1000

hm3 ' 1 000

# 1000

dam3 ' 1 000

# 1000

m3 ' 1 000

# 1000

dm3 ' 1 000

# 1000

cm3 ' 1 000

mm3 ' 1 000

La capacidad de un recipiente equivale al volumen de la sustancia que lo llena, pero se expresa en otras unidades. La unidad fundamental de capacidad es el litro, que es la capacidad de un recipiente cúbico de 1 dm de arista: 1 dm 3 = 1 , .

1 dm3 y 1 cm3

El volumen de una sustancia suele también expresarse mediante unidades de capacidad. Por ejemplo, hablamos de 1 litro de leche, pues esa cantidad de leche llena un recipiente cuya capacidad es de 1 litro. El litro tiene múltiplos (kilolitro, hectolitro, decalitro) y submúltiplos (decilitro, centilitro, mililitro). Las equivalencias entre las unidades de volumen y capacidad son: Volumen

m3

Capacidad

kl

dm3 hl

Por consiguiente: 1 m 3 = 1 kl

dal

cm3 dl

,

1 dm 3 = 1 ,

cl

ml

1 cm 3 = 1 ml

Para encontrar equivalencias multiplicamos o dividimos por 10: # 10

kl

# 10

hl ' 10

# 10

dal ' 10

Por consiguiente: 1 , = 1000 ml 1 m 3 = 1000 ,

# 10

dl

, ' 10

# 10

' 10

# 10

cl ' 10

ml

1 m 3 = 1 000 litros

' 10

1 ml = 0, 001 , 1 , = 0, 001 m 3

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Volumen y capacidad. Ejercicios para relacionar diversos cuerpos con su volumen y capacidad.

220

–– Converse con sus estudiantes sobre las medidas de volumen y capacidad que se utilizan en productos como gasesosas, jugos o leche. –– Pida a los estudiantes que indiquen productos comerciales de cualquier tipo cuya cantidad se expresa en centimétros cúbicos o mililitros, en milímetros cúbicos o en metros cúbicos.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

1. Expresa en la unidad indicada. a) 756 km 3 $ m 3

c) 250 cm 3 $ m 3

e) 3, 5 m 3 $ cm 3

b) 304 dm 3 $ hm 3

d) 0, 02 dam 3 $ mm 3

f)

i)

25 kl $ ,

k) 680 , $ hl

m) 0, 2 kl $ cl

ñ) 35 hl $ ,

j)

8500 ml $ ,

l)

n) 325 dl $ dal

o) 0, 6 , $ ml

3

0, 05 , $ cl 3

g) 2500000 mm 3 $ cm 3

8000 dm 3 $ dam 3

3

p) 6, 67 m $ ,

r) 750 cm $ ,

t) 3284, 8 , $ m

q) 982 dm 3 $ ml

s) 0, 58 , $ cm 3

u) 8000 ml $ dm 3

Ejercicios

h) 7, 09 km 3 $ dm 3

–– Convierte. a) 1 430 dm3 a m3. b) 12,5 cm3 a dm3.

3

v) 0, 75 dm $ ml

c) 70 m3 a cm3.

w) 70000 cl $ m 3

d) 450,7 cm3 a mm3.

2. Expresa en forma compleja.

e) 0,2 dm3 a m3.

Si una medida de volumen está expresada con varias unidades, se dice que está expresada en forma compleja.

f) 60 m3 a dam3.

Expresa 35 622,31 cm3 en forma compleja.

Para expresar una medida en forma compleja, podemos utilizar el cuadro de unidades: se agrupan las cifras de tres en tres ordenando de derecha a izquierda los valores enteros, y de izquierda a derecha los valores decimales.

dm3

cm3

mm3

35

622

310

–– Expresa en forma compleja. a) 428,672 m3

35 dm , 622 cm y 310 mm 3

a) 9,6 dam3

c) 57 784,325 dam3

e) 85 245,9847 m3

b) 6 000,75 m3

d) 782 760,432 cm3

f) 6 257 229,503 dm3

3

3

b) 3 240,51 cm3

3. Expresa en forma incompleja. Si una medida de volumen está expresada con una sola unidad, se dice que está expresada en forma incompleja.

Expresa 7 km3; 8,2 hm3 y 23 dm3 en dam3. km3 7

7

hm3

dam3

m3

dm3

000

000

8

200

008

0

000

023

200

000

023

7008200, 000023 dam 3 c) 4450 dam3; 2600,25 m3 y 500 cm3 en hm3.

a) 1,4 km3; 23 hm3 y 18 dam3 en m3. b) 0,625 dm ; 850 cm y 589 mm en m . 3

3

3

3

d) 98 m3; 4800 dm3 y 5600 cm3 en dm3.

4. En una botella de refresco se indica que el contenido es de 750 ml. Expresa la capacidad de la botella en litros e indica los m3 que ocupan 750 ml de líquido.

5. Una planta potabilizadora de agua genera 25 000 m3 de agua limpia al día. ¿Cuántos hm3, dam3 y m3 potabilizará en un año?

6.

Pensamiento crítico. ¿Es correcto el siguiente razonamiento? ¿Por qué?

“Si 1 metro cúbico es un cubo de 1 metro de lado, entonces 10 metros cúbicos son un cubo de 10 m de lado”.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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221

221

Más información

Volumen de un prisma

La base de un prisma

El área de un polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula: p$a (donde p es A= 2 el perímetro y a es el apotema) Cuando aplicamos esta fórmula al área de un cuadrado tenemos: A4 =

4 $  p$a 2 = = 2 2

2 = 4 =  2 4

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales). La altura de un prisma es la distancia entre las bases. Cuando las aristas de las caras laterales son perpendiculares a las aristas de las bases se dice que el prisma es recto; en caso contrario, se dice que el prisma es oblicuo.

h

h

Las secciones se forman al cortar los cuerpos paralelamente a la base, a cualquier altura. Los dos cuerpos tienen secciones iguales. Por el principio de Cavalieri, tienen el mismo volumen.

El volumen de un prisma, recto u oblicuo, está dado por el producto de su altura, h, y el área de su base, AB. Volumen = A B $ h

h Prisma recto

h

h Prisma oblicuo

Prisma oblicuo

Según el Principio de Cavalieri, si dos cuerpos tienen alturas iguales, bases iguales y si las secciones producidas al cortarlos por planos paralelos a la base tienen igual área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen. Por consiguiente, todos los prismas oblicuos que tienen la misma base y altura que un prisma recto tienen el mismo volumen que este.

Los prismas cuya base es un cuadrilátero se llaman paralelepípedos, y si son rectos se llaman ortoedros.

1. Una jarra tiene la forma de un prisma recto cuya base es un hexágono regular. Observa sus medidas y calcula su capacidad máxima. Calculamos el área de la base: perímetro $ apotema AB = 2 ^ 5, 8 $ 6 h $ 5 AB = = 87 cm 2 2 Calculamos el volumen de la jarra:

5 cm

32 cm

La base de un prisma es un polígono. Este polígono puede ser cóncavo o convexo. Los polígonos convexos pueden ser regulares o irregulares.

V = AB $ h = 87 $ 32 = 2 784 cm 3 Convertimos los cm3 a litros: 2 784 cm 3 = 2 784 ml $

1, = 2, 784 , 1 000 ml

5,8

cm

2. Un prisma recto cuya base es un cuadrado de 5 cm de lado tiene un volumen de 6 000 cm3. Calcula su altura. despejamos la altura en la fórmula del volumen: V = A B $ h ( h = V = 600 = 24 cm 5$5 AB La altura del prisma es de 24 cm. 5 cm

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Sugerencias metodológicas Tic Capacidades y volúmenes. Información y ejercicios sobre capacidad y volumen.

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–– Analice con sus estudiantes distintos cuerpos geométricos y converse con ellos acerca de cuáles reúnen las condiciones necesarias y suficientes para ser clasificados correctamente como prismas. –– Comprender la deducción de la fórmula para calcular el volumen de un prisma es esencial para comprender también la deducción de las fórmulas correspondientes a otro cuerpos.

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Recursos

1. Calcula el volumen de los siguientes prismas rectos. b)

a)

h

c) h

h = 9 cm  = 6 cm

h = 12 cm a = 4 cm

Actividades

h = 7 cm  = 3 cm a = 2, 6 cm

h

b = 6 cm

a = 4.1 cm

Calcula el volumen de la habitación.

a b

a

7m



2.8 m

8m



a

2. Calcula el volumen de los cuerpos (las medidas están en cm). 3

a)

c)

b)

1

3

4

3

3m

5

2.5 m

6 7

4m

7 3

1

1

4

3

4

3

5

3. Calcula las longitudes indicadas. a) Un prisma de base cuadrada tiene una altura de 25 cm y un volumen de 1 500 cm3. Calcula la longitud del lado de la base. b) Un prisma de base triangular tiene un volumen de 1 200 cm3. Si su base es un triángulo equilátero de 48 cm2 de área, ¿cuál es la altura del prisma? ¿Cuál es la altura del triángulo que forma la base si su lado mide aproximadamente 10,528 cm?

4.

Investiga. Las tres dimensiones de un ortoedro son 25 cm, 8 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la arista de un cubo con el mismo volumen que ese ortoedro?

5.

Investiga. ¿Cuántos cubos de 2 cm de arista, que no pueden ser fraccionados, caben en la caja? ¿Y cuántos cubos de 3 cm de arista que tampoco pueden ser fraccionados?

6. Resuelve los problemas.

8 cm 7

cm

9 cm

a) Calcula la capacidad de un tanque de agua de 1,2 m de altura cuya base es un cuadrado de 1 m de lado. b) ¿Hasta qué altura se debe llenar la jarra del ejemplo 1 para que contenga exactamente 1 litro? ¿Y para que contenga 2 litros? c) Una piscina con forma de prisma rectangular tiene las siguientes dimensiones: 12 m de largo, 9 m de ancho y 2 m de altura. ¿Cuánto tardará en llenarla, hasta una altura de 70 cm, una manguera que proporciona 25 litros por minuto? d) ¿Cuántas cajas de 1 m de largo, 8 dm de ancho y 6 dm de altura se pueden apilar en una sala de 4 # 3, 2 m de planta y 2,4 m de altura?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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223

223

Más información

Volumen de un cilindro

Volumen del prisma y volumen del cilindro El volumen de un cilindro de altura h y área de la base B es igual al volumen de un prisma que tenga la misma altura y una base con la misma área. h

h

= AB

Un cilindro es un cuerpo limitado por dos bases circulares paralelas y una superficie lateral curva. La altura de un cilindro es la distancia entre los dos planos de las bases. En el cilindro recto (o cilindro de revolución) la recta que une los centros de las bases es perpendicular al plano de las mismas. En un cilindro oblicuo, esa recta no es perpendicular al plano de las bases.

El cilindro recto es un cilindro de revolución.

Podemos asemejar un cilindro a un prisma de altura h cuya base es un círculo de radio r. Por tanto, el volumen de un cilindro, recto u oblicuo, está dado por el producto del área de la base por la altura. V = AB $ h = r r 2 $ h

AB h

h r

r

Cilindro recto

h r

Cilindro oblicuo

Cilindro oblicuo

En el caso del cilindro, tal como ocurre con el prisma, cualquier sección de un plano paralelo a la base es idéntica a la base. Por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri, resulta que dos cilindros con la misma altura y con bases de igual área tendrán también el mismo volumen. 1. Calcula la capacidad de la taza, la cual tiene una profundidad (altura) de 8,5 cm y un diámetro interior de 7,4 cm. V = r $ r2 $ h

7, 4 2 $ 8, 5 2 l V = 3, 14 $ 13, 69 $ 8, 5

8,5 cm

V = 3, 14 $ b

V = 365, 39 cm 3 Convertimos los cm3 a litros: 365, 39 cm 3 = 365, 39 ml $

1, = 0, 36 , 1 000 ml

7,4 cm

despejamos el radio en la fórmula del volumen: V (r= V = r r2 $ h ( r2 = V ( r2 = r$h r$h Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos: r=

1 200 ( r = 3, 14 $ 15

V r$h

1 200 ( r . 5, 05 cm 3, 14 $ 15

224

15 cm

2. Un cilindro recto tiene un volumen de 1 200 cm3 y una altura de 15 cm. Calcula el radio de la base circular.

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Sugerencias metodológicas Tic Volumen de un cilindro. Diversos problemas acerca de una piscina cilíndrica.

224

Pida a los estudiantes que calculen el volumen de distintos cilindros utilizando dos aproximaciones al valor del número pi: r = 3, 14 y r = 3, 1416 . Luego, utilizando la calculadora, que realicen los mismos cálculos introduciendo el número r con el teclado (no escribiendo una aproximación). Que comparen los tres resultados y determinen cuán significativas son las diferencias. Finalmente, que decidan si es suficiente la aproximación 3,14 o es mejor la aproximación 3,1416.

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Recursos

1. Calcula el volumen de los siguientes cilindros. b)

a)

c)

0,2 m

Actividades

2m 5 cm

1,5 m

¿Cuántas latas de refresco de 350 cm3 se necesitan para llenar un recipiente que tenga las medidas indicadas en la figura? Si las latas de refresco tienen forma cilíndrica y 8 cm de diámetro, ¿qué altura tienen?

2 cm 24 cm

2. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. a)

b)

r = 4,5 cm

c)

d = 5,5 cm

12 cm

d)

d = 4 cm

d = 6 cm

10 cm

20 cm

16 cm

70 cm

3. Calcula las dimensiones indicadas.

50 cm

a) ¿Cuál es la altura de un cilindro recto de 314 cm3 de volumen cuya base tiene un diámetro de 10 cm?

30

cm

V = 350 cm 3

b) ¿Cuál es el radio de un cilindro oblicuo que tiene 1 m de altura y un volumen de 2 826 cm3? c) ¿Cuál es el área de la base de un cilindro recto con una altura de 8 cm y que tiene el mismo volumen que un cubo de 6 cm de arista?

4.

Investiga. Si los volúmenes de dos cilindros son iguales y sus radios son uno el doble del otro, ¿qué relación hay entre sus alturas?

5.

Investiga. Si en un cilindro, el radio se duplica y la altura se mantiene constante, ¿se duplica también el volumen?

6. Calcula la capacidad de los siguientes envases. a)

d)

c)

10,1 cm

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10,5 cm

8,5 cm

10,3 cm

11,8 cm

4 cm

b)

7,5 cm

9,6 cm

225

225

Más información

Volumen de una pirámide

La base de la pirámide La base de la pirámide puede ser un polígono convexo de cualquier número de lados. Sin embargo, solo si la base es un polígono regular, podemos hablar de apotema de la base y de apotema lateral. Si la base de la pirámide es un polígono irregular, la base no tendrá apotema y los triángulos de los lados tendrán distintas alturas.

Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene por base un polígono convexo cualquiera y sus caras son triángulos que convergen en un punto llamado cúspide. La altura de una pirámide es la distancia entre el plano de la cúspide paralelo a la base y el plano de la base.

cúspide

h

apotema

Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles (o equiláteros). Si no es así, decimos que es oblicua. Una pirámide es regular si es recta y tiene por base un polígono regular. Si no cumple estas condiciones, se dice que es irregular. Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de cualquiera de los triángulos que forman sus caras laterales. El volumen de una pirámide, recta u oblicua, es la tercera parte del volumen de un prisma que tenga igual base y altura que la pirámide.

Las pirámides irregulares no tienen apotema.

V = 1 AB $ h 3

h

h

B B

AB = AB’

B’

B’ Pirámide oblicua

Pirámide recta AB = AB’

Puede demostrarse que dos pirámides de la misma altura y cuyas bases sean de la misma área tienen el mismo volumen. Por consiguiente, si la cúspide de una pirámide se mueve en un plano paralelo a la base, el volumen de la pirámide no cambia.

El volumen de la pirámide es: V = A B $ h ( V = 3 $ 5 = 5 cm 3 3 3

226

m

2. ¿Cuál es el volumen de la pirámide contenida en el prisma? La base de la pirámide es un triángulo rectángulo: A B = 3 $ 2 = 3 cm 2 2

10

10 cm

cm

3 cm

2c

1. ¿Cuál es el volumen de la pirámide de la figura? V = 1 AB $ h 3 V = 1 $ ^ 10 $ 10 h $ 15 3 15 cm V = 1500 3 V = 500 cm 3

5 cm

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Sugerencias metodológicas Es sencillo memorizar la fórmula del volumen de una pirámide. Es la misma expresión del volumen de un prisma, pero dividida entre 3.

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Recursos

1. Calcula el volumen de las pirámides cuya base es un polígono regular. b)

a) 8 cm

d)

c) 3 cm

1,38 cm

Actividades

30 cm

29 cm

Para verificar que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tenga la misma base y la misma altura que la pirámide, construye una pirámide y un prisma que tengan la misma altura y la misma área basal y que estén abiertos por su base. Llena la pirámide con arena, pasa esa arena al prisma y comprueba que necesitas la arena de tres pirámides para llenar el prisma.

10 cm 2 cm

20 cm

15 cm

2. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. a)

b)

c) 3 cm

12 cm

2 cm 3 cm 5 cm 6 cm

m

3,5 c

4 cm

3. Calcula las dimensiones indicadas. a) Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada que tiene un volumen de 120 m3 y cuya base tiene 6 m de lado. b) Una pirámide de 605 cm3 de volumen y 15 cm de altura tiene por base un polígono regular de 5 cm de lado y 6,05 cm de apotema. ¿Cuántos lados tiene la base? c) En la caja de base cuadrada que se ve en el dibujo se ha introducido una pirámide. ¿Cuál es la capacidad del espacio que queda entre la caja y la pirámide?

6 dm

5 dm

4. Calcula el volumen de las pirámides. a) La pirámide de Keops, la mayor pirámide de Egipto, tiene una altura de 147 m y una base cuadrada cuyos lados miden 230,4 m.

5.

b) La pirámide de cristal del Museo del Louvre, en París, tiene 22 m de altura y su base es un cuadrado de 30 m de lado.

3 cm y el apotema de la base mide 3 3 cm. ¿Qué forma poligonal tiene la base, si la medida del lado de la base es igual a un número natural? Investiga. El volumen de una pirámide es de 54 cm3, su altura mide

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227

227

Más información

Volumen de un cono

La generatriz del cono La generatriz de un cono es el segmento que tiene por puntos extremos el vértice del cono y un punto cualquiera del borde del círculo que constituye la base.

generatriz (g)

Un cono es un cuerpo geométrico limitado por una base circular y una superficie lateral curva que converge en un punto llamado vértice. La altura de un cono es la distancia entre el vértice y el plano de la base. Un cono es recto si la perpendicular trazada desde el vértice hasta el plano de la base cae en el centro del círculo. En cualquier otro caso, se dice que el cono es oblicuo.

B

h

Cono recto

Cono oblicuo

AB = AB’

h

B’

B Cono recto

B’ Cono oblicuo

El cono recto es un cono de revolución.

AB = AB’

Puede demostrarse que dos conos de la misma altura y cuyas bases tengan la misma área tienen el mismo volumen. 1. Calcula el volumen del cono de la figura. V = 1 $ r $ r2 $ h 3 V = 1 $ r $ 32 $ 7 3 3, 14 $ 9 $ 7 V= 3 V = 65, 94 cm 3

g

h

h

El volumen de un cono, recto u oblicuo, es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga igual base y altura que el cono. V = 1 r $ r2 $ h 3

h

En algunos problemas no se proporciona como dato el valor de la altura, sino el valor de su generatriz. En estos casos, calculamos la altura trazando un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y el radio de la base y cuya hipotenusa es la generatriz. Es decir:

vértice

vértice

7 cm

3 cm 3 cm

2. Un cono está inscrito en un cubo cuya arista mide 10 cm. Calcula el volumen comprendido entre el cubo y el cono.

r

Primero calculamos el volumen del cubo y el del cono:

Por el teorema de Pitágoras: g2 = h2 + r2

V Cubo =  3 V Cubo = 10 3 = 1000 cm 3

Por lo tanto: h2 = g2 - r2 ( h =

V Cono = 1 $ r $ r 2 $ h 3 3, 14 $ 5 2 $ 10 = 261, 67 cm 3 V Cono == 3

2

g -r

2

ahora restamos el volumen del cono al del cubo: V Cubo - V Cono = 1000 - 261, 67 = 738, 33 cm 3 El volumen del cubo no ocupado por el cono es de 738,33 cm3.

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Tic Volumen de un cono. Diversos ejercicios acerca de un helado con forma de cono.

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Recursos

1. Calcula el volumen de los siguientes conos rectos. c)

4 cm

d)

9 cm

6 cm

Ejercicios

3 cm

Calcula el volumen del cono si r = 6 cm y g = 16 cm.

8 cm

b)

a)

5 cm

2,5 cm

3 cm

r

2. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. a)

b)

c)

d)

g 7,5 cm

3,5 cm 10 cm

15 cm

36 cm 11 cm

25 cm

4 cm

16 cm 20 cm 2 cm

Calcula el volumen de un cono en términos de r y de k considerando que el radio de la base es 3k y que la altura es 1 del radio. 3

3. Calcula las longitudes indicadas. a) Calcula la altura de un cono recto que tiene un volumen de 75,36 cm3 y cuya base tiene un diámetro de 6 cm. b) Calcula el radio de la base de un cono oblicuo que tiene un volumen de 93,42 cm3 y una altura de 10 cm. c) Calcula la generatriz de un cono recto que tiene 900 cm3 de volumen y cuyo radio de la base mide 5 cm. (La generatriz es el segmento de recta que une el vértice y un punto cualquiera de la circunferencia de la base).

Actividades

4. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. a)

c)

b)

d)

2 cm

7 cm

6 cm 16 cm

6 cm

12 cm

35 cm

4,4 cm

10 cm

20 cm

5.

Investiga. Dado un cono de radio r y altura h, ¿cómo aumenta más su volumen: al aumentar 1 cm al radio o al aumentar 1 cm a la altura?

6.

Investiga. Cortamos un cono recto a la mitad de su altura mediante un plano pa-

Pensamiento crítico e investigación

h 2 h

Para verificar que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura que el cono, construye un cilindro y un cono que tengan la misma altura y la misma área basal y que estén abiertos por su base. Llena el cono con arena, pasa esa arena al cilindro y comprueba que necesitas la arena de tres conos para llenar el cilindro.

ralelo a la base y obtenemos un tronco de cono y un cono más pequeño. ¿Cuántas veces mayor es el volumen del cono original que el volumen del cono pequeño?

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229

Más información Puntualizaciones sobre la esfera –– La esfera es un cuerpo de revolución porque puede ser engendrada por un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.

Volumen de una esfera Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. La distancia entre un punto cualquiera de la superficie y el centro se denomina radio. Si tenemos una esfera cuyo diámetro es igual al diámetro y a la altura de un cilindro, entonces el volumen de la semiesfera respectiva es un tercio el volumen del cilindro. Por lo tanto, el volumen de la esfera es dos tercios el volumen del cilindro.

La mitad de una circunferencia es una semicircunferencia. De la misma manera, a la mitad de una esfera se le llama semiesfera.

2r

eje de giro

2r

2r

V Semiesfera = V Cilindro ( V Esfera = 2 $ V Semiesfera = 2 $ V Cilindro ( 3 3 2 A r r $ $ 2r ( Base cilindro $ h Cilindro ( V Esfera = 2 $ ( V Esfera = 2 $ 3 3 V Esfera = 4 r $ r 3 3

radio centro

Volumen de un sector esférico. La porción de una esfera limitada por dos semicírculos cuyo diámetro es el de la esfera se llama sector esférico.

–– El volumen de una esfera depende exclusivamente de la medida del radio.

Un sector esférico tiene un ángulo, a, que es el ángulo comprendido entre los dos semicírculos y tiene un radio que es el mismo radio de la esfera correspondiente. Para calcular el volumen de un sector esférico:

r

a

1.º Se calcula el volumen de la esfera correspondiente: V = 4 r r 3 . 3 2.º Se plantea una regla de tres: a 360c

le corresponden

a

le corresponderán

a

4 r r3 3 x

x=

a $ 4 r r3 360c 3

1. La Tierra y la Luna son aproximadamente esferas de 6 400 y 1 238 km de radio, respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la Tierra? ¿Cuántas lunas caben en la tierra? El volumen de la Tierra es; V T = 4 r $ r 3 = 4 $ r $ 6400 3 = 1, 098066219 $ 10 12 km 3 (. 1 billón de km 3) 3 3 En la Tierra caben; 3 4 3 $ r $ r T3 VT VT r3 V V = = T3 ( T = 6400 3 ( T = 138, 16 lunas 3 ( V VL VL V 4 3 $ r $ rL rL 1238 L L

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Tic Ejercicio sobre la esfera. Diversos ejercicios acerca de un balón de fútbol.

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Recursos

1. Calcula el volumen de las siguientes esferas. a) Una esfera cuyo diámetro mide 12 cm.

Actividades

b) El planeta Júpiter, aproximadamente una esfera de 71 492 km de radio.

Elabora en cartulina un resumen de las fórmulas que permiten calcular el volumen de los cuerpos estudiados en esta unidad.

c) El Sol, aproximadamente una esfera de 697 000 km de radio.

2. ¿Cuántas Tierras caben en Júpiter? ¿Y cuántas en el Sol? 3. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. b)

a)

c)

d) R 4c

r

m

10 cm

8 cm

R = 7 cm r = 3 cm

16 cm

4. Calcula el volumen de los sectores esféricos. a) r = 8 cm

a = 36c

c) r = 10 dam

a = 90c

b) r = 5 m

a = 120c

d) r = 12 cm

a = 150c

r

a

5. Calcula las magnitudes indicadas. a) El radio de una esfera cuyo volumen es de 34 cm3. b) El radio de un sector esférico de 90c y 10 000 r cm 3 de volumen. c) El ángulo de un sector esférico de 25 cm de radio y 6 250r cm 3 de volumen.

6. Halla el volumen del helado, de la garrafa y de la naranja sin el gajo desprendido. a)

b)

c) 3 cm

6

cm

10

10 cm

cm

12 cm

La naranja entera tiene 8 gajos. 6 cm

7.

Investiga. Si se duplica el radio de una esfera, ¿se duplica también el volumen?, ¿cuántas veces aumenta el volumen?

8.

Investiga. ¿Cuál es la relación entre el volumen de una esfera de radio r y el de un cono de radio r y altura 2r?

2r

r

r

9.

Investiga. Calcula el volumen comprendido entre un cubo y una esfera contenida en él y tangente a las seis caras del cubo.

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Tic Ecuaciones de volúmenes. Hay que relacionar distintos cuerpos con las fórmulas de su volumen.

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Recursos

S

Actividades Se quiere construir un complejo comercial gigante de 20 m de altura en el terreno de forma irregular que muestra la figura. 225

m

170 m

330

m 285 m

20

0

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Empezar analizando un problema más sencillo Analizamos una situación similar a la planteada en el problema, pero más sencilla, y, de este modo, encontramos una pista para resolver el problema inicial más complejo. ¿Cuántas veces más pesado es un hombre alto de 2 m de estatura que un pequeño hombre adulto de 1 m? La respuesta irreflexiva “el doble” es errónea. Sin embargo, no podemos dar una respuesta exacta porque la información es muy escueta y porque la forma del cuerpo humano es compleja. además, los cuerpos de dos personas tan distintas físicamente no pueden ser geométricamente semejantes. Necesitamos una estrategia para dar una respuesta aproximada.

330 m

170 m

Solución de problemas

m

¿Qué volumen tendrá el complejo comercial?

Para simplificar el problema vamos a suponer que el cuerpo del hombre alto y el del hombre pequeño son semejantes. Entonces, el hombre de 2 metros será no solo 2 veces más alto, sino también 2 veces más ancho y 2 veces más “profundo”. Podemos, entonces, simplificando el problema, comparar el volumen de dos prismas rectos cuyas dimensiones son: Prisma pequeño: altura = a; anchura = b; profundidad = c Prisma grande: altura = 2a; anchura = 2b; profundidad = 2c Comparando el volumen de estos prismas obtendremos una respuesta aproximada a nuestro problema original. El volumen del prisma pequeño es: APP = ABase $ altura = ^b $ ch $ a = abc

El volumen del prisma grande es: APG = ABase $ altura = ^2b $ 2ch $ 2a = 8abc

Por consiguiente, el volumen del prisma grande es 8 veces el volumen del pequeño. Proyectando esta solución al problema original diremos que el volumen del hombre alto es 8 veces el del pequeño.

2a a b

c

2c 2b

Para verificar nuestra solución podemos revisar el razonamiento y los cálculos.

1. En la región europea de Alsacia vivió un hombre gigante de 2,75 m de estatura. En contraste, uno de los enanos más pequeños que haya existido medía solo 40 cm. ¿Cuántos enanos de 40 cm de estatura serían necesarios para igualar el peso del gigante alsaciano?

2. En la película King Kong, el gorila gigante tiene 8 m de altura y, se dice, 2 000 kg de peso. ¿Es posible que King Kong tuviera ese peso? Considera que un gorila de 1,5 m de alto puede pesar 180 kg. ¿Cuánto debería pesar KIng Kong?

3. En la película Godzilla, el “monstruo” es una especie de dinosaurio de 70 m de altura. Averigua las dimensiones y el tamaño de un dinosaurio (por ejemplo, un tiranosaurio) y, con esa referencia, estima el peso que debería tener Godzilla. ¿Podría moverse con la agilidad que muestra en la película?

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Recursos

Taller de Matemática

Actividades

Poliamantes

Combinando poliamantes formados por 5 triángulos y tetramantes intenta formar los números del 0 al 9. Compara tu trabajo con el de tus compañeros. ¿Quién construyó figuras más parecidas a los números?

1. Entiende qué es un poliamante y construye figuras con ellos. Un poliamante es una figura que se forma al unir dos o más triángulos equiláteros por sus lados. En un poliamante, uno, dos o los tres lados de cada triángulo están unidos a los lados de otros triángulos. Los poliamantes son figuras reversibles de forma que uno de ellos y su imagen en el espejo (su imagen especular) son considerados la misma figura. El poliamante más sencillo está compuesto por dos triángulos:

Hay un solo triamante o poliamante compuesto por 3 triángulos:

Hay tres tetramantes o poliamantes compuestos por 4 triángulos:

La palabra poliamante hace referencia a la semejanza con el diamante de la baraja.

Construye los cuatro poliamantes formados por 5 triángulos. dibuja sobre la red.

2. Hay doce hexamantes o poliamantes compuestos por 6 triángulos. Te mostramos cuatro de ellos; dibuja los ocho restantes.

3. Construye en cartón o madera los doce hexamantes y forma con ellos las siguientes figuras y otras de tu propia creación.

4. Construye figuras combinando diversos poliamantes.

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Evalúa tus logros

–– Actividades 1 y 2. Para realizar conversiones entre medidas de volumen se multiplica o se divide por 1 000. Para realizar conversiones entre medidas de capacidad se multiplica o se divide por 10. –– Actividad 8. Por el principio de Cavalieri, dos prismas que tengan la misma altura y bases de la misma área tendrán el mismo volumen, cualquiera que sea la forma de sus bases.

1. Convierte.

7. Calcula el volumen de los prismas.

a) 5,16 km3 a m3

d) 0,5 dm3 a mm3

b) 426 dm3 a dam3

e) 3 600 000 cm3 a m3

c) 0,016 m3 a dm3

f) 56,75 m3 a cm3

a)

b) 10,3 cm

5,2 cm

4 cm

Sobre las actividades

14 cm

2. Convierte.

6 cm

a) 0,85 hl a ,

d) 24,5 , a dl

b) 54 835 ml a ,

e) 4,5 hl a cl

c) 385 , a kl

f) 70 600 ml a dal

3. Convierte.

15 cm

8. Identifica cuáles de estas figuras tienen el mismo volumen, aplicando el principio de Cavalieri. a

a) 6,2 dm3 a ,

c) 0,575 , a cm3

b) 56,67 m3 a ml

d) 24,75 hl a hm3

4 cm 4 cm

4. Expresa en forma compleja. a) 46 300 dm3

c) 750 000,5 cm3

b) 6 500 300 m3

d) 25 380,2538 hm3

5. Expresa en forma incompleja.

B

4 cm

m

4c

C

m

2c

d 8 cm

3 cm 3 cm

a) 0,5 dam3, 9 m3 y 3 dm3 en cm3. b) 350,6 hm3, 7,345 m3 y 0,5 dm3 en dm3.

8 cm

4 cm 4 cm

c) 25 hm3, 3 895,5 cm3 y 24,85 dm3 en m3.

4 cm

d) 23,543 km3, 450 000 cm3 y 670 dm3 en hm3.

6. Resuelve los problemas. a) El consumo anual de agua en una vivienda ha sido de 140 m3 y 256 dm3. ¿Cuánto han pagado si el metro cúbico cuesta Bs 2,5?

9. Calcula el volumen de los cilindros. a)

b)

b) de una pila manan 140 dm3 de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo será necesario para llenar un depósito de 9 m3? c) de una pila manan 24,1 , de agua por minuto. ¿Cuánto tarda en llenar un depósito de 24,75 m3 y 160 dm3? d) Una laguna contiene 3 542 millones de m3 de agua. En verano pierde 875 000 , por día. ¿Cuántos m3 le quedarán después de 20 días?

14 cm

12 cm

r 8 cm

r = 4 cm

10. Calcula el volumen de las pirámides. b)

a)

15 cm

8 cm 6

cm

5 cm 8 cm

234

234

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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c) Un puesto de venta de pipocas tiene dos recipientes distintos. Uno tiene forma de cono y el otro de pirámide. ¿Cuál de los recipientes puede contener una mayor cantidad de pipocas?

11. Calcula el volumen de los conos. b)

a)

4 cm

6 cm 5

9 cm

cm

5 cm

8 cm r

14 cm

14 cm

12. Calcula el volumen de la esfera y del sector esférico. b) 1

–– Facilito la aplicación de los conceptos estudiados en situaciones de la vida diaria. Muchas veces. Pocas veces.

r = 5 cm

a)

Mi desempeño como docente

2 dm

d) La Géode es un cine construido en Francia que tiene la forma de una esfera de 36 m de diámetro. Calcula su volumen.

a = 75c

r

–– Apoyo a los estudiantes que manifiestan dificultades en su proceso de aprendizaje.

13. Calcula las magnitudes indicadas. a) La arista de un recipiente cúbico de 8 litros de capacidad.

2 cm

m

2c

4 cm

b)

f)

3 cm

4 cm

f) El diámetro de una semiesfera de 428 cm3 de volumen. g) El radio de una esfera si un sector esférico cuyo ángulo mide 60º tiene un volumen de 560 cm3.

b) Una empresa vende jugos de fruta en recipientes cilíndricos de 320 ml de capacidad y 7 cm de diámetro. ¿En cuántos milímetros debería aumentar la altura de los recipientes para que tengan una capacidad de 350 ml conservando el mismo diámetro?

6 cm

4 cm

c)

g)

14. Resuelve los problemas.

4 cm

4 cm 4 cm

a) En un día, las precipitaciones de lluvia fueron de 60 ,/m2. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 2 dm de arista?

cm

4 cm

e) La altura de un cono de 945 cm de volumen cuya altura es tres veces el radio de la base. 3

3

8 cm

4 cm

d)

h) 3 cm

6 cm

7 cm

d) La altura de una pirámide oblicua de 800 cm3 de volumen y apotema de la base igual a la mitad del lado de 10 cm.

Pocas veces.

e)

a)

5 cm

c) El radio de un cilindro oblicuo de 525 cm3 de volumen cuya altura es igual al radio de su base.

Muchas veces.

15. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

2 cm

b) La altura de un prisma de 600 cm3 de volumen, cuya base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12 cm.

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Muchas veces. Pocas veces.

r = 15 cm

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–– Elaboro material didáctico para facilitar la comprensión de los temas.

235

235

Sobre las actividades 16. Calcula el volumen de una pirámide de piedra que

La base de cualquiera de las pirámides es: a2 . La diagonal de la base es: a 2 + a 2 = 2a 2

tiene forma de pirámide hexagonal, considerando que el lado del hexágono de la base mide 10 m y las aristas laterales miden 25 m.

17. Calcula el volumen de la cabaña.

Por tanto, la altura de la pirámide es: a -c 2

=

H = 2m h = 2,5 m

H R

2a 2 m = 2

R = 3, 5 m r = 3m

2

2 a 2 - 2a = 4 2

=

a2 - a = 2

=

a2 = a 2 2

El volumen de una pirámide es: 3 V = 1 $ a2 $ a = a 3 2 3 2

El volumen de las dos pirámides es: 3 V = 2 $ a - 0, 4714a 3 3 2

h

r

18. En un depósito con forma

23. Investiga. Compara los resultados de ambos análisis y formula una conclusión. Los cilindros a y B tienen igual base, pero la altura de a es el doble de la de B. ¿Cómo es el volumen de a comparado con el de B? Los cilindros E y F tienen igual altura, pero el radio de E es el doble que el de F. ¿Cómo es el volumen de E comparado con el de F?

a B

E

F

24. Investiga. En el año 1638 el gran matemático Ga-

de prisma recto, de 4 m de altura y cuya base es un octógono regular, se vierten 160 baldes con 18 litros de agua cada uno. ¿Alcanza el tanque para contener toda el agua o se derramará? Ten en cuenta que 1 litro = 1 dm3.

0,6 m

–– Actividad 26.

lileo Galilei propuso el siguiente problema: “Si se enrolla una hoja de papel en los dos sentidos posibles, se obtienen dos cilindros distintos. ¿Tienen estos cilindros el mismo volumen?”.

0,5 m

19. La figura muestra un cono inscrito en una pirámide de base cuadrada. Encuentra el volumen del cono, si el apotema lateral de la pirámide mide 9 cm y la arista de su base mide 6 cm.

25. Investiga. Si tenemos una esfera inscrita en un cilindro, calcula la diferencia de volúmenes entre la esfera y el cilindro en función del radio de la esfera.

20. La figura muestra un ci-

26. Investiga. Un octaedro

lindro circunscrito en un cubo. Si la arista del cubo es de 3 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?

21. El lápiz de la figura está formado por un cilindro y un cono de radio r. Si L = 24r y h = 3r, expresa el volumen del lápiz en función del radio r. r L

h

22. Betelgeuse es una estrella gigante situada en la

es un cuerpo geométrico limitado por ocho caras que son todas triángulos equiláteros; por tanto, un octaedro está formado por dos pirámides “pegadas” por su base cuadrada, tal como muestra el dibujo. Demuestra que el volumen del octaedro puede obtenerse con la fórmula V = 0, 4714 a 3 , donde la letra a representa la arista del cuerpo.

constelación de Orión. Su radio es 650 veces el radio del Sol. ¿Al volumen de cuántos soles equivale el de Betelgeuse?

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236

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Matemática y valores

Honestidad

Valores HONESTIDAD

Utiliza tus conocimientos sobre volumen y capacidad para apreciar la utilización de la matemática como un instrumento que ayuda a buscar la verdad en otros campos.

Si somos honestos seremos personas dignas de confianza y tendremos la satisfacción que proviene del mismo hecho de ser honesto.

Arquímedes y la densidad de las sustancias Volvamos a la historia de la primera página de esta unidad. ¿Cómo pudo arquímedes descubrir que la corona no era de oro puro? Es posible que arquímedes haya utilizado el concepto físico de densidad.

Sustancia

Densidad (g/cm3)

acero

7,8

agua

1,0

aluminio

2,7

Cada tipo de sustancia tiene una densidad específica (ver la tabla del margen); por tanto, la densidad de dos cuerpos distintos de oro puro es la misma, y si tomamos un cm3 de oro y otro de plata, el de oro pesará más porque el oro tiene mayor densidad que la plata.

Bronce

8,8

Cobre

8,96

Hierro

7,9

arquímedes conocía el peso del oro que había sido entregado al orfebre. Sumergió la corona en agua y, midiendo el volumen del agua desalojada, calculó el volumen de la corona. Con los datos de la masa (“peso”) y volumen de la corona calculó su densidad. Comparó esa densidad con la densidad de una pieza de oro puro y, viendo que eran diferentes, concluyó que la corona no era de oro puro.

Mercurio

13,6

Oro

19,3

Plata

10,5

Plomo

11,3

La densidad es la razón entre la masa y el volumen de un cuerpo: Densidad =

masa (se mide en g cm 3, kg m 3 o en kg dm 3 ) volumen

En el ámbito educativo, tanto los profesores como los estudiantes pueden caer en distintas formas de deshonestidad. No es extraordinario que eso suceda. Como docentes tenemos la tendencia a ver solo las formas de deshonestidad que son comunes en los estudiantes (por ejemplo, hacer trampa en los exámenes), pero reflexionamos poco acerca de las diversas circunstancias en que nosotros mismos somos también deshonestos.

27. Expresa la densidad del oro en kg m 3 y en kg dm 3 . 28. Utilizando la tabla de densidades, determina de qué sustancia están hechos los cubos suponiendo que están hechos de una sustancia pura. La masa está aproximada a los enteros. Masa: 116 kg Masa: 123 kg

25 cm

Masa: 70 kg

35 cm

20 cm

29. Con los datos de la actividad anterior, ¿cuánto debería medir la arista de cada cubo para que todos pesen igual que el más liviano?

30. ¿Es verdad que una barra de plata pura de 0,1 dm3 tiene una masa de 1,05 kg? 31. Una botella vacía tiene una masa de 0,5 kg. Si la llenamos con 2 litros de mercurio, ¿cuál será la masa de la botella llena?

32. Dentro de un recipiente cúbico de 1 m de arista colocamos un cubo de cobre puro de 5 kg de masa y llenamos de agua el recipiente. ¿Cuál es la masa del agua utilizada?

33. Si en 1 kg de oro sustituimos 200 g por una masa similar de plata, ¿cuál será el volumen de la combinación de metales?, ¿cuál su densidad? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Repaso acumulativo 3

Sobre las actividades

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

7. La gráfica representa la cantidad de gasolina que

a) 3 - ^ 2x - 3 h = 5x + ^ - x + 18 h

hay en el depósito de un automóvil durante un viaje.

b) 2 ^ x - 4 h2 - ^ x - 2 h2 = ^ x - 8 h ^ x + 8 h

e)

x+4 + x-1 = 5

f)

x+7 = 7-

4.

b)

c) "0, 2, 3, 4 ,

c) - 36 11

b) 25; 55

d) N. a.

1

(sin los comodines). Indica la probabilidad de que salga 4 de espada. a)

1 13

c)

b)

1 52

d) N. a.

9. Las edades de los alumnos de un curso se indican en la siguiente tabla:. 12 14 13 13 14 12 13 14 12 14 13 15 13 14 13 12 13 13 13 14 12 12 13 14

Y

13 13 14 13 13 12 13 14

X

1

X

La media aritmética es: a) 13,25 c) 14 b) 13,125

d) N. a.

Y 1 1

d) N. a.

10. La cantidad de personas que habita en cada departamente de un edificio de 24 departamentos se indica en la siguiente tabla:

X

3

4

2

5

6

4

2

0

6. Un automóvil circula por una autopista a una velo-

1

2

3

4

6

8

4

3

cidad constante de 120 km/h. Indica la expresión algebraica que nos da la distancia como función del tiempo.

5

4

6

2

8

4

1

3

a) d = t 120

c) d = 120 t

b) d = 120 t

d) N. a.

238

238

1 12

1 1

b)

X

8. Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas

d) N. a.

c)

Y

500

c) 25; 30

5. Indica la gráfica de la función f ^ x h = 1 - x 2 . a)

400

a) 20; 90

d) N. a.

9 11

300

¿Cuántos litros se cargaron durante todo el viaje?

c) 3x - 4 + x 1 5x + 2 4 2 d) 7 - x $ 5x - 6 2 3

¿Cuál es la imagen de 1 mediante la función 2 3 f ^ x h = 2x - 1 ? x -x+2 a) - 9 22

200

¿Cuántos litros tenía en el momento de la partida?

nal determinado por la función “tiene por doble” es: a) "- 4, 2, 1, 4 ,

20

Kilómetros

3. Sea " - 2, 0, 1, 2 , el conjunto inicial. El conjunto fib) "- 4, 0, 2, 4 ,

30

100

2. Resuelve las siguientes inecuaciones. b) ^ x - 1 h2 $ ^ x - 2 h2

40

10

x

a) 5x - 12 2 3x - 4

Y

50

c) a - 7 - 1 = 1 + a + 9 9 2 3 d) 2x - 5x - 6 + 1 ^ x - 5 h =- 5x 4 3

Litros

Actividad 7. No todos los gráficos son funciones. El gráfico de esta actividad no es una función porque a los kilómetros 200 y 400 corresponden dos cantidades distintas de combustible.

La mediana es: a) 4

c) 3,5

b) 3

d) N. a.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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11. Calcula el volumen del prisma pentagonal.

3 9. Cuerpo redondo cuyo volumen es igual a 4rr . 3 10. Unidad de longitud del sistema métrico decimal.

a) 600 cm3

10 cm

b) 500 cm3

11. Se dice del suceso cuya probabilidad es igual a cero.

c) 400 cm3 4 cm

d) N. a.

12. Relación entre dos variables, llamadas una “dependiente” y la otra “independiente”.

6 cm

12. Indica el volumen de la pila que tiene 1,5 cm de radio y 5 cm de altura.

r = 1, 5 cm

ENERGIA

a) 53,5 cm3 h = 5 cm

8. Prisma de base cuadrada y altura igual a la arista de su base.

b) 35,3 cm3 c) 30,5 cm

3

d) N. a.

13. Indica el volumen del cono.

13. Milésima parte de un litro. 14. Medida que cuantifica la dispersión de una serie de datos. 15. El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama ________ muestral. 16. Cuerpo geométrico de base poligonal y caras laterales triangulares. 17. Característica de los experimentos aleatorios.

a) r r2 1

b) r r 3

h = 3r

c) 3r r r 3 cm

2 3

d) N. a.

4

14. ¿Qué volumen de aire se necesita para inflar 200

5

balones de radio 12 cm? a) 1 500 000 cm3

c) 1 447 645,9 cm3

b) 500 000 cm3

d) 144 764,59 cm2

6 7 8

15. Resuelve el crucigrama

9

Tres cosas necesarias para un mundo mejor 1. El principio de ___________ se usa para calcular el volumen de cuerpos de la misma altura. 2. La capacidad de un ___________cúbico es 1 , .

10 11 12 13

3. Si y = kx , se dice que la proporcionalidad entre x e y es __________.

14

4. Promedio que divide una serie ordenada por la mitad. 5. Representación de una función en el plano cartesiano. 6. Valor más frecuente en un conjunto de datos. 7. La probabilidad sirve para estudiar los _________ de azar.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Y 15 16 17

239

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Bibliografía Baldor, Aurelio. Álgebra. Editorial Cádiz S.A., Madrid, 1981. Bosch G., Carlos; Gómez W., Claudia. Matemáticas. Curso de Álgebra. Editorial Santillana, México D.F., 2004. Ignatiev, E.I. En el reino del ingenio. Editorial Mir, Moscú, 1979. Perelman, Y. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca, Barcelona, 1977. Repetto, Celina; Linskens, Marcela; Fesquet, Hilda. Aritmética 3. Kapelusz, Buenos Aires, 1978. Santillana Ed. Matemática 1. México D.F., 2003. Santillana Ed. Matemática 1. Costa Rica, 2001. Santillana Ed. Matemática 8. Buenos Aires, 2005. Santillana Ed. Matemática 8. Costa Rica, 2003. Santillana Ed. Matemática 8. La Paz, 2003. Santillana Ed. Matemática 8. La Paz, 2006. Santillana Ed. Matemática 8. La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemática 8. Santiago de Chile, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 2 ESO. Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 2 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 3 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas I. La enciclopedia del estudiante. Tomo 15. Santillana El País, Madrid, 2005. Santillana Ed. Matemáticas II. La enciclopedia del estudiante. Tomo 16. Santillana El País, Madrid, 2005.