Guia III Periodo

ÁLGEBRA

PROBLEMAS RESUELTOS

V. BINOMIO DE NEWTON

5) Halla “x” :

3).- Halla : 2! . 3! . 1! . 0!

( x  2)! =7 ( x  1)!

1) Halla : 4! – 2

a) 24

4!

-

2!

24

-

2

Se define el factorial de un número entero positivo “n” como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta “n” inclusive. n ! = n =1x2x3x4x…. x(n-1) x n n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”.

a) 40

( x  2)( x  1)! 7 ( x  1)!

b) 56

5).- Halla :

x +2 = 7

a) 24

x = 5

22

c) 24

6) (x + 4)! = 120

5! x 3! 6! x 2!

b) 6

5! x 3 x 2! R= ! x 5! x 2!



3 6

a) 6 d) 120

Solución : (x + 4)! = 5!

Solución :

7).- Simplifica :

x+4=5

1  2

d) 36

e) 124

a) 36 d) 40

x= 1

d) 39

e) 124

d) 5

e) 9

4!0! + 2

6).- Simplifica :

2) Simplifica : R =

Así:

c) 720

4).- (3!)2 + (2!)2! – 0! Es igual a :

Solución :

Solución :

1. FACTORIAL DE UN NÚMERO:

b) 12

c) 7 3! x 6! 5! x 3! b) 30 e) 36

c) 24

2! x 5! x 6! 5! x 4! b) 26 e) 60

c) 120

Ejemplos: 1! = 1

8).- Simplifica :

7) Simplifica :

2! = 1 x 2 3) Simplifica :

3! = 1 x 2 x 3

I=

4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! =

..............................................................

6! =

..............................................................

7! =

..............................................................

8! = ............................................................... 9! = ............................................................... 10!= .............................................................. Pon convención:

6! 5! 4!   5! 4! 4!

6 x 5! 5 x 4! 4!   5! 4! 4!

I=6+5–1

II. Sabemos que:



x! = 24

a=1

ó

a=0

7 ! = 7 x 6x5x4x3x2x   1

a) 13 d) 16

6!

7!=7x6! n ! =n x (n-1) !

c) 204

8! 6! 3!   7! 5! 3! b) 12 e) 9

c) 14

PROBLEMAS PROPUESTOS

PARTE II : Halla el valor de “x” en cada caso:

PARTE I : Resuelve

1).-

1).- Halla: 6! - 4 a) 596 d) 692

Solución : x! = 24 = 4!

c) 25

b) 126 e) 76

10).- Simplifica :

16 13

I = 10

4) Halla :

a ! =1

R =

a) 124 d) 66

16 x 15! x 12! 13 x 12! x 15!

0! = 0=1

OBSERVACIONES : I. Si:

R=

b) 47 e) 56

9).- (3!)2 + (2!)3! + 4

Solución :

Solución : I=

a) 57 d) 27

16! 12! R= 13! 15!

5!0! + (3!)2

2).- Halla: 2!

x! = 4!

a) 32 d) 120

x = 4

46

a) 3 b) 720 e) 624

b) 2

c) 1

d) 5

e) 6

c) 5

d) 2

e) 30

c) 696 2).-

+ 3 + 4 b) 64 e) 36

x! = 6

a) 3 c) 24

x! = 120 b) 4

ÁLGEBRA 3).- x! . 6 . 5 = 6! a) 4 4).a) 3 5).a) 6

b) 3

S = 15 + 20 + 15 c) 2

d) 7

e) 6

PARTE I : 1) c 2) a 6) a 7) e

x! . 7 . 6 . 5 = 7! b) 4

c) 2

d) 5

c) 2

3) b 8) b

4) d 9) a

5) c 10)a

3) a 8) d

4) b 9) e

5) b 10)a

e) 4

7).a) 5

b) 3

d) 6

e) 2

c) 8

d) 3

e) 4

8).- (x + 5)! = 5040 a) 3

b) 12

c) 9

( x  2)! =7 ( x  1)! a) 8 b) 4 c) 7

d) 2

e) 7

a) 2 d) 7

k

n k

8 2) Reduce : E  C 5 8

C2

Teorema :

Solución :

n n Si : Ck  Cp  k  p v k  p  n

2. NÚMERO COMBINATORIO : Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.

d) 3

e) 5

( x  3)! 5 ( x  2)!

3.1. FÓRMULA GENERAL DEL TÉRMINO DE POSICIÓN:K+1.

C

n k

;

n

C ;

n

k

C

t k 1 = C nk X nk a k

k

Nota: La Expansión del Binomio (x+a)

2.2. DEFINICIÓN: b) 3 e) 1

Se pueden desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios. n (x+a) = C no x n + C 1n x n1a + C n2 X n2 a 2 +...+ C nn a n

2.1. NOTACIÓN :

9).-

10).-

n

C 85 C 82



C 83 C 82



3. BINOMIO DE NEWTON: c) 4

(x – 3)! = 120 b) 9

n

C C

E

6).- (x + 1)! = 720 a) 5

S = 50

Combinatorios Complementarios :

PARTE II : 1) a 2) c 6) a 7) c d) 9

2.4. PROPIEDADES :

e) 6

(x + 2)! = 120 b) 3

CLAVES DE RESPUESTAS:

c) 5

n

C  k

n! (n  k )!k!

n≥k≥0

3) Calcula : C 83 Solución : C83 

8x7x6  56 3 x2

4) Calcula : C 62 Solución:

n

1° Presenta n+1 términos.

; donde n, k N

8 x7 x 6 3 x 2  8 x7 x 6 x 2  2 8 x7 8 x7 x3 x 2 2

2° Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

C 62 

6 x2  6 2

5) Calcula : C 24 22 Solución: 22 C 24 22  C 2 

PROBLEMAS RESUELTOS

2.3. REGLA PRÁCTICA :

1) Determina el valor de : n

C  k

n(n  1)(n  2).....( n  k  1) 1x2x3x..... xk

S = C62  C36  C64 Solución :

Ejemplos : C93 

9x8x7  84 1x2x3

C72 

22x21  231 2

S=

7x6  21 1x 2

47

6 x 5 6 x 5 x4 6x5x 4x 3   2 2 x3 2 x 3x4

6) Calcula:

9 C12 4  C5

Solución: 9 C12 4  C4

12x11x10x9 9x8x7x6  4 x3 x 2 4 x3 x 2

ÁLGEBRA 11x5x9



9 x 2 x7

495 +

4.a) 145 d) 1450

126 = 621 5

7) En el desarrollo de ( x + y ) , calcula el tercer termino. Solución: Tenemos que, n = 5

y k = 2

2

3

6

8) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el cuarto termino.

7.-

Tenemos que, n = 6

y k = 3 8.-

C36 ( x 2 )6 3 ( x3 )3

T3  20x 6 x9

PROBLEMAS PROPUESTOS PARTE I : Resuelve los siguientes números combinatorios:

2.-

3.a) 54 d) 45

c) 20

c) 150

C14 12

b) 278 e) 282

c) 158

c) 91

a) 1458 d) 45998

4

c) 10x

c) 816

a) 105x 2 d) 145x

b) 54 e) 25

c) 45

b) 145 e) 126

c) 621

20 C19

b) 25 e) 10

c) 20

40 C36

2

c) 15

c) 55 -2 10

, calcula el

a) 271 d) 238

c) 252 5

4) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el tercer termino. 2

4

b) 20x 3 e) 7x

c) 24887

c) 10x 3

-2

8

5) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el quinto termino.

C64 61

2

a) 70x 2 d) 58x c) 41664

48

2

b) 20x 3 e) 78x

4

c) 10x

-1

a) -10x d) 35x

7

-1

-1

b) 35x 3 e) 37x

c) 42x -1

5

10) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el cuarto termino. a) 10x -1 d) 5x

2

4

b) 20x 3 e) 5x

c) 10x

11) En el desarrollo de ( x + x ) termino 16. 15

-2

8

-1 15

b) 240 e) 246 2

-5

9) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el quinto termino.

-1

3) En el desarrollo de ( x + x ) sexto termino.

2

b) 45892 e) 43298

8

b) 80 e) 76 2

c) 109x

b) 20x e) 72

5

-2

4

b) 126x 3 e) 87x

6

2) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el quinto termino.

a) 10x 2 d) 5x b) 4518 e) 85478

-2

b) 20 e) 26

a) 70 d) 58

C15 13

9

2

a) 56 2 d) 5x

1) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el cuarto termino. a) 27 d) 28

C85

-2

8) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el cuarto termino.

PARTE II : Resuelve los siguientes binomios de Newton :

2

b) 458 e) 541

a) 2548 d) 91390 12.-

b) 15 e) 12

2

c) 5680

c) 508

5

b) 20 3 e) 7x 2

C24 22

a) 276 d) 279

-3

7) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el quinto termino.

C18 15

a) 12 d) 30 11.-

C12 9 b) 80 e) 120

c) 1245

a) 10 2 d) 5x

3

b) 145 e) 106

a) 108 d) 105 10.-

C52

a) 140 d) 220

b) 4528 e) 3403

2

9.-

b) 12 e) 14

a) 3508 d) 4689

C108 107

a) 56 d) 85

T3  20x15

a)10 d) 5

C83 81

13.-

14.b) 22100 e) 145870

a) 618 d) 806

Solución :

c) 4060

C52 49

a) 108 d) 148

T3  10x3 y 2

1.-

b) 154 e) 4510

a) 1233 d) 14528 6.-

T3  C52 ( x )5 2 ( y )2

T3 

5.-

2

6) En el desarrollo de ( x + x ) , calcula el tercer termino.

C30 27

4

c) 70x

a) 10x 2 d) 5x

2

b) 20x -15 e) x

, calcula el -15

c) 10x

ÁLGEBRA

CLAVES DE RESPUESTAS PARTE I : 1) a

2) d

3) c

4) c

5) b

6) a

7) c

8) a

9) d

10)c

11)d

12)c

13)e

14)a

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el índice del radical, se extrae la raíz y se deja indicado el factor que no tiene raíz exacta. Ejem:

7.- (3 6 ) (5 2 ) 2.-

1080

Solución:

3  5

Solución: 3

1080  8  27  5 3

=2x3x

3

=

3

8  27  5 3

3

= 63 5

5

108  22  33  22  32  3  2  3 3  6 3

3.-

PARTE II :

3

5

2) a

3) c

4) a

5) c

6) a

7) b

8) a

9) b

10)a

11)e

Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejem : 3 3 2 ; -5 2 ; 2 ; 2 2

2. RADICALES DOBLES :

VI. RADICACIÓN Tienen la forma: Es la operación que tiene por objeto calcular una expresión llamada RAÍZ conociendo otras llamadas INDICES y RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al índice, reproduzca el radicando.

n

Índice

A

=R

A B

5

5

192  25  2  3  25  5 6

A B 

II. Resuelve: 4.- 6 2 15 2 19 2  7 2 (6+15-19+7) 2 

Radicando ó cantidad sub radical

 2

9.- 5 2

Solución:

5 2 2  52  2 2

9 2

Solución: Agrupamos radicales semejantes.

A2  B

(17  19) 3  (1  7) 2 2 3 6 2

3. REGLA PRÁCTICA

= 25 x 2 = 50



10.- 25 10

na . na 1) n a . b 

2) n

3) 4)

a  b

n n

a a

.

b



 

mn

b 

mxn

n

m

nb m

b

5

Solución:

25 10 5  25 5 10 5

PROPIEDADES A  B  a  b  2 a.b  a  b

3 70 77

5.- 17 3  2 19 3  7 2

Raíz C=

Solución:  1  3     2 7  5  7   11  

Solución:

A C 2

 30 3

= 25 6

Transformar radicales dobles a radicales simples : AC  2

15 4  3 = 15 2 3

 

Solución: 5

= 15 12

1  3  8.-  2  7 5 7 11   

192

1. RADICALES SEMEJANTES

1) b

6 2

= 32 x 10

6.- 5 6  294  8 24 10 54

= 320 donde a>b

LEMAS RESUELTOS

Solución: Transformamos a radicales semejantes.

PROBLEMAS RESUELTOS

5 6  49  6  8 4  6  10 9  6

I.- Simplifica:

5 6  7 6  8  2 6  10  3 6

1.-

5 6  7 6  16 6  30 6

180

Solución:

(5+7+16-30) 6

180  4  9  5  4 9 5

2 6

= 6 5

49

III. Transforma a radicales simples : 11.-

82 7

Solución: Dos factores que sumen 8 : 7 y 1 

8 2 7  7  1

=

7 1

ÁLGEBRA 12.-

18  6 5  15  3

8  60

8)

Solución:

8  4  15  8  2 15

PROBLEMAS PROPUESTOS  15 = 5 x 3 8 = 5+3

I.- Simplifica :

Luego:

1)

8  2 15  5  3

8

b) 2 2

d)

2

e) N.A.

13.-

84  18 3

Solución: 84  18 3  84  2  9 3

84  2 81 3  81  3

= 9- 3

14.-

55 30 2

Solución:

55  2  15 2 55  2 225 2

b) 2 2

d)

e) N.A.

c) 9 2

3) 32 a) 2 2

b) 3 2

d) 5 2

e) 6 2

c) 4 2

55  30 2  3 5  10

15.-

18 6 5

Solución:

e) N.A.

c) 45 5

a) 34 10

b) 24 10

d) 34 5

e) N.A.

a) 53 3

b) 33 2

d) 63 2

e) 53 2

c) 43 2

8) 18 162 -5 98 + 6 12 - 7 27 a) 5 2  6 3

b) 3 2  5 3

c) 127 2  9 3

d) 2 3  9 3

e) 15 2  9 3

2

a) 16 2

b) 4 2

d) 17 2

e) N.A.

c) 8 2 9) (3 7 ) ( 2 2 )

a) 8 5

b) 7 5

d) 2 5

e) N.A.

a) 5 2

b) 3 14

d) 2 5

e) 3 5

c) 6 14

c) 10 5 10) (-5 2 ) (-8 5 ) ( 3 )

48

a) 4 3

b) 3 3

d) 5 3

e) N.A.

c) 2 3

3) 13 7 + 5 5 - 19 5 +

7

b) 14 7  14 5

a) 0

c) 6 7  14 5 d) 2 7  6 5 5)

d) 2 5 6)

b)  40 30

d) 14 30

e) N.A.

c) 14 10

11) (-3 11 ) (4 2 ) b) 7 5

c) 6 5

4)

4

32 - 4 162 + 4

e) N.A.

4

2+

4 1250

4

a) 5 2

b) 3 2

d) 64 3

e) 74 2

c) 44 2

720

a) 6 11

b) 7 13

d) 12 22

e) N.A.

12) (2 2 )

a) 12 5

b) 6 5

d) 8 5

e) N.A.

3

a) 40 30

e) N.A.

245

a) 5 5

7)

7) 7 3 54 + 2 3 16 -5 3 128

c) 94 10

2) 11 5 - 2 5 + 5

55 2 450 55  2 45 10  45  10

d) 25 5

1) 12 2 +5 2 -

a) 5 2

4)

b) 25 15

II.- Efectúa :

162

2

a) 35 2

c) 3 2

8  60  5  3

2)

480

9) 4 810

8

a)

5

c) 9 5

5) 3 3 +

875

a) 63 2

b) 33 5

d) 53 7

e) 73 7

c) 63 5

c)  12 22

3

768 + 2 108 - 5 300

a) 81 3

b)  15 3

d) 15 3

e) 24 3

c)  19 3

a) 16 2

b) 15 2

d) 8 2

e) 16

13) (-3 3 3 )

c) 10 2

3

6) 6 28 - 5 63 - 2 112

18  6 5  18  2 45

50

a) 6 7

b)  9 7

d)  11 7

e) 7 7

c) 15 7

a) 81 d) –27

b) 27 e) 19

c) -81

ÁLGEBRA  1 3  14)  25   2 

a)

5 5 4

d)

125 8

2

3)

3

3

b)

5 5 4

c)

5 5 4

13  1

b)

13  1

c)

14  1

d)

7 2

a) c)

 

15) 4 3 a) 48 d) 32

b) 30 e) 18

 3

c) 16

16) 23 5

a) 16 b) 24

c) –40

d) 40

e) 16

 

17) 3 5

3

a) 135

b) 18 c) 45

13  2 13  1

b) d)

11  2 11  2

e)

11  2

11 2 30 6 5

b)

c)

6 5

d) 6  5

6)

6 5

e) N.A.

21 6 10

a)

5 6

b) 15 6

c)

15  6

d)

15  6

2) c 5) b 8) b

b) 16 e) 64

c) 324

21  7

b)

21  7

c)

21  7

d)

21  6

III.- Transforma a radicales simples

6 2

14  2

e)

3

2) c 5) c 8) c 11)c 14)b 17)a

3) b 6) d 9) c 12)a 15)a 18)c

2.-

2) c 5) a 8) b

3) b 6) c 9) d

1 5

3 2

b)

3 2

c)

6 1

d)

6 1

9) e) N.A.

16  5

32  2 175

a)

20  5

b) 5  7

d)

175  1

e) N.A.

c) 5  7

12  2 35

a)

7  12

b)

12  3

c)

7 5

d)

7 5

10)

6 2

2

b) 2  2

n

1

64 2

a) 2  2 d)

e) N.A.

c) 2  3

3

A

K

 a  b 3

a 3b

Factor Racionalizante n

A

nK

;n>k

 a  b 3 2 3 3 2   a  ab  b   

Expresión Racional

A a-b

a+b



5

22 a

5

2



2 a

5 5

51

4a 5 5

2 a

3 5 20



5

4a 2a

5 2 7 2 6 3 Solución:



=

(7 2  6 3 ) 5 2 7 2  6 3 5 2   ( 7 2  6 3 ) (7 2  6 3 ) 7 2 2  6 3 2

   



35 4  30 6 70  30 6  73 6 98 108  10 7  3 11 5 7  4 11 Solución:

( 7  3 11) (5 7  4 11) 35  4 77 15 77 132   175176 (5 7  4 11) (5 7  4 11)

= 97 - 11 77 5.- Racionaliza: 5 2 7

4 5 3 7

e) N.A.



8a 4

2 a

4.-

Expresión Irracional

 

4 5

2

1 5

3 4

3.-

CASOS :

a)

3 5



5

Solución:

FACTOR RACIONALIZANTE Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.

52 6

5



4 5

7 8

b) 2 3  2 d)

3) c 6) a 9) a

DEFINICIÓN: Es el proceso que transforma a uno de los términos de una fracción (numerador y denominador) escrito en forma irracional, en otro racional.

14  4 6

a) 2 3  2 c)

e)

4 5 Solución:

3. RACIONALIZACIÓN

e) N.A.

28  14 3

a)

8)

2)

13  88

a)

7)

4

a) 144 d) 81

1)

I. 1) b 4) a 7) d II. 1) a 4) a 7) e 10)a 13)c 16)d III. 1) a 4) d 7) b 10)a

3

1.-

CLAVES DE RESPUESTAS

d) –135 e) N.A.

 

18) 3 2

e) N.A.

2

5)

3

PROBLEMAS RESUELTOS

a)

4) e) N.A.

14  52

ÁLGEBRA Solución:

2a 2ax

4)

 5  2 7   4 5  3 7  20 11 35  42    =  4 5 3 7  4 5 3 7  80  63   

62  11 35 17

2 ax a) x 2x a

d)

1

10)

2ax a

b)

2ax x

c)

5 5

a)

e) N.A.

5

d)

11  120  6  5

5) 6.- Racionaliza: 2 11  120 Solución: 2

11 120 12  10 6 2  52



2



( 6  5)

( 6  5) ( 6  5)

=

 12  10

1 d) 3

b) 2 3

c) 3 3

b)

5a3 2 2

e)

10a 5a

c)

53 4a 2a

3

a)

d)

3

3

3

e) N.A.

3x

c)

3

3x 2

a)

e) N.A.

4

4

d)

9a a

b)

9a a

4

2 d) 2

c)

3

b)

2

c)

5 2 2

e) N.A.

e) N.A.

3

5 ax 63 2 2 a x a) 5 3

b)

63 ax 5

e)

6 a2x 2 a

d)

5 2

b)

5 4

e) N.A.

c)

5 2 2

9)

6 x 5

3

4 5 5 5 2

c)

x 4

4 3

4

3x 2

a) 24 3x

b)

d) 64 x

e) N.A.

4

c)

3x 2 3

52

c) 5 2  3 e) N.A. 25 7) 7 2 6 3 a)

d) 5 2  3

5(7 2  6 3 ) 2

5(7 2  6 3 ) 2 e) N.A. c)

3 -12

6 2 5 b) 2 10  2 2

c) 2 2  2 10

d) 5  2 2

6

9)

a) 3 7  3 2

b) 3 7  5 3

c) 3 7  3 5 e) N.A.

d) 5 7  2 3

18 2 2 5

a) 12 2  6 5

b) 6 2  6 5

c) 12 5  2 e) N.A.

d) 12 2  6 5

5(7 2  6 3 ) 2

d)

5(6 3  7 2 ) 2

9 b) 7-2 10

7  2 10

d) 5

e) N.A.

15 6 6

6 6 a) 2

b)

d) 2(6- 6 )

e) N.A.

6 6 2

6 1 2

c)

23

10)

25 2

25 2 a) 2 25 2 2 e) N.A. c)

7 5

b)

7  2 10

c)

a) 2 2  2 5

5)

27x 2

b) 5 2  4 3

a) 7+2 10

d) 4 + 3

4)

2 5 2 4 3

a) 5 2  4 3

8)

c) 13 - 3

6ax

8)

d) 6 a 2 x 2

a)

d) 1+ 2

e) 2 5  2 2

5

3)

b) 5 2  5

b) 1 + 3

3)

9a 2 a

2 a) 5 2

5 5 2

a) 4 - 3

9a 3a a

e) N.A.

8a 2 2a

13

e)

3 4

4a 2 2a

c)

e) 1- 2

9x b)

8a 2a

b)

c) 5 2  1

2)

3x

5

5

4a 2a

II) Racionaliza el denominador de : 5 1) 1 2

3x

a)

7)

5

2)

53 2a 2a

5 2a d) 2a

6)

I.- Racionaliza: 3 1) 3

3

4a 2

a)

PROBLEMAS PROPUESTOS

a)

5 3

8a

6)

4

b)

25 2 2

d)

 28 2 2

CLAVES DE RESPUESTAS I. 1) 5) 9) II. 1) 5) 9)

a a c

2) c 6) c 10)a

3) b 7) d

4) c 8) a

b a a

2) d 6) b 10)b

3) e 7) b

4) c 8) b