Guía Geometría Fórmulas para el Tercer Parcial MA1511

Universidad Simón Bolívar

Curso de Geometría 3° Parcial

Universidad Simón Bolívar

Curso de Geometría Geometría Analítica Es el estudio de la geometría con la utilización de coordenadas AB

Par Ordenado X , Y

Eje de Coordenadas

A 1,4 B - 5,-3

A X1 , Y1  B X 2 , Y2 

Gráfica de un segmento de recta AB en el eje de coordenadas

Distancia entre dos puntos dA,B   distancia entre A y B

d A,B 

Punto medio de un segmento

cos  

  arccos 

d A,B 

X 1 X 2  Y1Y2

cos  

X Y  X Y 2 1

2 1

2 2

2 2

m

Y2  Y1 X 2  X1

Ecuación General de la Recta

 3 4 mAB     5 1 

7   arctan   6

Ax  By  C  0

Ecuación de la Recta conociendo

Ecuación Simétrica o Canónica

7 m  6

Y 

su pendiente

X Y   a  b  1

7 17 X  6 6

 PMAB   2 , 

1  2

X 1 X 2  Y1Y2 ab

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad l1 ll l2  m1  m2 Ecuación de la Recta

d A,B 85

X 1 X 2  Y1Y2  0

Condición de Perpendicularidad entre Vectores Pendiente de un segmento m  Pendiente   arctan m

1  52  4  32

1  5 4  3  PMAB  ,  2   2

 X  X 2 Y1  Y2  PM  1 ,  2   2

Se calculan ambos puntos por separado

Ángulo entre vectores

 X1  X 2 2  Y1  Y2 2

  492355,34

l1  l 2  m1 m2  1

Ecuación Reducida

y un punto de ella

Y  Y1   mX  X1 

Y  4  7  X  1 6

Ecuación General de la Recta

Y  mx  b Ecuación de la recta que corresponde al lugar geométrico del segmento AB

7 x  6 y  17  0

a

David José Rodríguez Rodríguez 2011

Universidad Simón Bolívar Cónicas Ax 2  By 2  Cx  Dy  Exy  F  0

Circunferencia Radio    2

dC,P   Radio

 X  X 0   Y  Y0  2

2

 

Ecuación de segundo grado que corresponde, dependiendo de ciertas condiciones a la ecuación del lugar geométrico de una circunferencia, una elipse, una hipérbola, o una parábola (siempre en el plano).

dC,P  

2

 X  X 0 2  Y  Y0 2

R 2   X  X 0   Y  Y0  2

Ax 2  Ay 2  Bx  Cy  D  0

2

X2 & Y2 poseen el mismo coeficiente

(De canónica a general resolver productos notables, de general a canónica resolver por método de completación de cuadrados)

Parábola

Ax 2  Bx  Cy  D  0

Ay 2  By  Cx  D  0

Cuando el eje es VERTICAL

Cuando el eje es HORIZONTAL

X  X 0 

Y  Y0 

2

Foco

 4 pY  Y0 

 X 0 , Y0  p

2

Foco

 4 p X  X 0 

Ecuación del eje Y  Y0

E. de la directriz Y  Y0  p

E. de la directriz X  X 0  p

Longitud del lado recto 4 p

Longitud del lado recto 4 p

Eje mayor VERTICAL

 X  X 0 2  Y  Y0 2  1

 X  X 0 2  Y  Y0 2  1

AA'   X 0  a, Y0 

AA'   X 0 , Y0  a 

FF '   X 0  c, Y0 

FF '   X 0 ,Y0  c 

b2

BB'   X 0 , Y0  b

b2

d  P ,Q   4 p

ecuación general

Eje mayor HORIZONTAL

a2

V  X 0 ,Y0 

 X 0  p,Y0 

Ecuación del eje X  X 0

Elipse Ax 2  By 2  Cx  Dy  E

Ecuación General de una parábola dependiendo del eje vertical u horizontal; ejemplo de eje vertical

a2

BB'   X 0  b, Y0 

[“a2” siempre es el denominador mayor]

a 2  b2  c 2

Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / Directrices: l1 & l2 / Lados rectos: PQ & P’Q’

David José Rodríguez Rodríguez 2011

Universidad Simón Bolívar Hipérbola  Ax 2  By 2  Cx  Dy  E



ecuación general

Eje mayor VERTICAL

Eje mayor HORIZONTAL

 X  X 0 2  Y  Y0 2  1

 X  X 0 2  Y  Y0 2  1

b2

a2

a2

b2

AA'   X 0 , Y0  a 

AA'   X 0  a, Y0 

FF '   X 0 , Y0  c 

FF '   X 0  c, Y0 

BB'   X 0  b, Y0 

BB'   X 0 , Y0  b

[“a2” siempre es el denominador de la fracción positiva]

c2  a 2  b2

Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / C es el punto medio de AA’, BB’ y FF’

Coordenadas en el Espacio Distancia entre dos puntos en el espacio

d A,B 

dA,B   distancia entre A y B

Ángulo entre vectores

cos  

  arccos 

X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2 X Y  Z  X Y  Z 2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

Condición de Perpendicularidad entre Vectores Esfera v

Plano

dC,P   Radio

d C,P  

Recta  AX  BY  CZ  D  0

 AX  BY  C Z  D  0 

Planos Paralelos

2 2

cos  

X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2 ab

X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2  0

2 2 2 2  X  X 0 2  Y  Y0 2  Z  Z 0 2 R   X  X 0   Y  Y0   Z  Z 0 

 AX  BY  CZ  D  0  V  A, B, C 

AX  BY  CZ  D  0

h

 X 1  X 2 2  Y1  Y2 2  Z1  Z 2 2

i j k a b c

Vector perpendicular al plano:

l

bn  mci  an  cl  j  am  bl k

m n

AX  BY  CZ  D  0

(a,b,c) & (l,m,n) pertenecen al plano

AX  BY  CZ  E  0

David José Rodríguez Rodríguez 2011

Universidad Simón Bolívar Determinantes a cada matriz se le hace corresponder un número al que se le llama determinante a11 a12 a21 a22

 a11  a22  a12  a21

a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

Determinante de segundo orden se resuelve cruzado

_

a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

Determinante de tercer orden se resuelve por el método de la estrella

a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23  a11  a 22  a33   a 21  a32  a13   a12  a 23  a31   a13  a 22  a31   a12  a 21  a33   a32  a 23  a11 

a31

a32

a33 El resultado que se obtiene de esta operación es el valor numérico que le corresponde al determinante

Transformaciones Traslación del punto

PX, Y 

 Va, b 

TPV  X  a, Y  b 

Traslación de una recta Y - Y0   m X  X 0  Va, b m  m Traslación de una figura Va, b (en al plano)

TPV  X  a, Y  b

TPV  X 0  a, Y0  b

X  X - a Y  Y - b

Sustituir en la ecuación de la figura X & Y



Traslación del punto en el espacio PX, Y, Y Va, b, c TPV  X  a, Y  b, Z  c  Traslación del Plano Va, b, c

A X  a   BY  b  CZ  c   D  0

Se obtiene un plano paralelo

AX  BY  CZ  D   Aa  Bb  Cc   0



Traslación de un cuerpo en el espacio Va, b, c

a La traslación es una transformación Rígida: conserva los ángulos y las distancias

TPV  X  a, Y  b, Z  c 

X  X - a Y  Y - b Z  Z - c

Sustituir en la ecuación del cuerpo

David José Rodríguez Rodríguez 2011

Universidad Simón Bolívar Rotación del punto PX, Y

O0,0 *

ángulo 

X   X cos   Y sin  Y   X sin   Y cos 

* Si el centro de Rotación no es (0,0) sino (X0,Y0) entonces trasladar P según el vector (-X0,-Y0) aplicar la rotación y posteriormente trasladarlo según el vector (X0,Y0)

Rotación de la Recta

O0,0 *

Existen varias formas:

R p   X , Y 

ángulo 

1) Se escogen dos puntos que pertenezcan a la recta, se rotan cada uno con el procedimiento arriba expuesto y se construye la nueva ecuación con los nuevos puntos y la nueva pendiente. 2) Se despeja mediante un sistema de ecuaciones X & Y de las fórmulas arriba expuestas en función de X’ & Y’ para sustituir en la ecuación original. Acos  B sin  X  Asin   B cos  Y  C  0

O0,0 *

Rotación de una figura en el plano

ángulo 

1) Se rota el centro, focos, y demás puntos de la figura mediante las fórmulas ya dadas y se construye la nueva ecuación con los nuevos puntos y y las mismas distancias originales. 2) Se despeja mediante un sistema de ecuaciones X & Y de las fórmulas arriba expuestas en función de X’ & Y’ para sustituir en la ecuación original. e

Rotación del punto en el espacio

ejeX ejeY ejeZ

PX, Y, Z

ángulo 

X  X Y   Y cos   Z sin  Z   Y sin   Z cos  X   Z sin   X cos  Y  Y Z   Z cos   X sin  X   X cos   Y sin  Y   X sin   Y cos  Z  Z

Rotación del plano

AX  BY  CZ  D  0

ejeZ

ángulo 

Se procede mediante un procedimiento similar al de una recta en el plano pero con 3 puntos o en su defecto despejando X,Y,Z en función de X’,Y’,Z’ de las últimas fórmulas dadas

Rotación de la recta en el espacio Se rotan ambos planos por separado Rotación de un cuerpo en el espacio

ejeZ

ángulo 

(ver rotación de figura)

La Rotación es una transformación Rígida y conserva las distancias

David José Rodríguez Rodríguez 2011

Universidad Simón Bolívar P X , Y 

Homotecia de un punto

O0,0 *

(Conserva la pendiente)

X  kX Y  kY

H pk  X ,Y 

* Si el centro de Homotecia no es (0,0) sino (X0,Y0) entonces trasladar P según el vector (-X0,-Y0) aplicar la homotecia y posteriormente trasladarlo según el vector (X0,Y0)

Homotecia de una recta

H pk kX , kY 

razón : k

Y - Y0   m X  X 0 

O0,0 *

razón : k

kX0 , kY0 

m’=m: la homotecia de una recta es una recta paralela a la original

O0,0 *

Homotecia de una figura en el plano

razón : k

Se multiplica la razón por los puntos y las distancias que intervienen en la ecuación (el centro, el radio, semiejes, focos…) También se puede despejar X & Y en función de X’ &Y’ para sustituir en la ecuación original

Homotecia de un punto en el espacio P X , Y , Z  O0,0 * O0,0 *

Homotecia del plano en el espacio

razón : k

Se obtiene un plano paralelo de la forma AX  BY  CZ  kD  0

H pk kX , kY, kZ 

A B C X  Y  Z D0 k k K

Homotecia de un cuerpo en el espacio O0,0 *

razón : k

Igualmente se multiplican los puntos y distancias por la razón k

Transformaciones Lineales T  A  B   T  A  T B   T rA  rT  A  es biyectiva Rotaciones Homotecias Simetrías

P X , Y , Z 

P  Xi  Yj  Zk

X   a1 X  b1Y  c1Z Y   a2 X  b2Y  c2 Z Z   a3 X  b3Y  c3 Z

Siempre que:

Tp  T  Xi  Yj  Zk 

T p  X , Y , Z 

a1 b1 c1 a2 b2 c2  0 a3 b3 c3

Tp  XT i   YT  j   ZT k 

i 1,0,0  T i   a1 , a2 , a3  j 0,1,0  T  j   b1 , b2 , b3  k 0,0,1 T k   c1 , c2 , c3 

David José Rodríguez Rodríguez 2011