Guia Funciones Vectoriales - Luis Villamizar

M A T E R IA L IN S T R U C C IO N A L D E A P O Y O A L A C A T E D R A D E F U N C IO N E S V E C T O R I A L E S

M S c. Luis V illa m iza r

2011

Universidad de Carabobo

Facultad de Ingeniería

CONTENIDOS PROGRAMATICOS Tema 1 L im ites y C on tin u id a d . R" como espacio métrico. La norma euelídea. Módulo de los componentes en relación con la norma. Desigualdad de Schwarz. Definición y propiedades de la distancia. Funciones de R " en R m. Funciones reales. Función vec­ torial. Componentes de una función vectorial. Ejemplos. Dominio de una función vectorial. Conjuntos de nivel de una función real. Algunos ejemplos de represen­ tación gráfica de funciones de R 2 en R y de R en R 2. Esfera abierta. Conjunto abierto. Entorno. Entorno reducido. Punto de acumulación de un conjunto. Punto aislado. Int uición geométrica del concepto de limite. Definición de límite en térmi­ nos de esferas abiertas. Definición en términos de distancias. Teorema unicidad del limite (enunciar). Métodos para el cálculo límites. Límite a lo largo de una curva. Ejemplos. Límites iterados. Ejemplo. Demostración de la existencia de lími­ tes por definición. Ejemplo. Teorema: El límite de una función según límites de sus componentes (enunciar y motivar). Continuidad. Definición. Discontinuidad. Extensión continua. Continuidad de una función según la continuidad de sus com­ ponentes (enunciar y motivar). Teorema : Toda transformación lineal de R 71 en R"’ es continua (demostrar). Tenia 2 E l D iferen cial. Derivada Parcial. Definición. Ejemplos. Significado de la deriva­ da parcial como velocidad de crecimiento en una dirección coordenada. Significado geométrico. Función derivada. Derivadas de segundo orden y orden superior. Ejem­ plos. Igualdad de las derivadas cruzadas, (enunciar y motivar). Matriz jacobiana. Analogía con la derivada de una función de una variable. Definición de diferenciabilidad de una función de vanas variables por medio de la matriz jacobiana. La diferencial como una transformación lineal. Definición de transformación afín. La transformación afín aproximante. Plano tangente a la gráfica de una función / : R 2 —> R. Existencia de la matriz jacobiana como condición necesaria pero no suficiente para la diferenciabilidad. Teorema: Continuidad de las derivadas parcia­ les y diferenciabilidad (enunciar y motivar). Funciones de clase C 1 (Continuamente Diferenciables). Tema 3 D eriv a d a D ireccion a l. Definición. El vector gradiente. Matriz jacobiana y el vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Teorema: Máximo y mínimo de 1a. derivada direccional en un punto en relación al vector gradiente (enunciar y demostrar). Conjuntos de nivel y el vector gradiente. Plano tangente a una superficie de la forma F { x , y . z ) — c. Recta tangente a una de la forma f ( x , y) = c. Tema 4 F u n ción C o m p u e sta , F u n ción Inversa, F u n ción Im p lícita . Compuesta de dos funciones. Teorema de la función compuesta o regla de la cadena (enunciar). Casos particulares de la regla de la cadena. Inversa local. Teorema de la función Departamento de Matemática

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inversa (enunciar). Función implícita. Caso particular F ( x . y ) — 0. Caso general F ( X . Y ) = 0. Teorema de la función implícita, (enunciar). Aplicación: Ecuación de la recta tangente a curvas en el espacio de la forma: ( F(x. y. z). G(x. y. z)) — (c t. c2). Tenia 5 E x tre m o s y E x trem os C o n d icio n a d o s. Forma cuadrática R ” . Función lio mogólica. Forma cuadrática como polinomio homogéneo. Matriz asociada a una forma cuadrática. Forma cuadrática definida, semidefinida y no definida. Diagonalización de una forma cuadrática. Método de Guldenfinger (enunciar). Método de los valores característicos. Matriz Hessiana. Analogía con la segunda derivada de una función real de una variable. Desarrollo de Tavlor de segundo orden. Extre­ mos de una función real. Extremos absolutos y relativos. Definición de un conjunto compacto en ?Rn. Teorema: Toda función real, definida sobre un conjunto compac­ to tiene un máximo y un mínimo. Ejemplo. Puntos críticos. Teorema: Análisis de extremos utilizando la matriz Hessiana (enunciar). Caso de dos variables. Extre­ mos condicionados. Definición. Método de sustitución directa y parametrización. Método de los multiplicadores de Lagrange (enunciar). Ejemplos. Tema 6 In tegrales M ú ltip les. Integral iterada en un rectángulo de R 2. Integral iterada sobre regiones más generales. Malla en R 2. Módulo de una malla,. Integral doble co­ mo límites de sumas. Significado geométrico. Integral triple y múltiple. Teorema de Fubini (enunciar). Propiedades. Aplicaciones: Areas. Volúmenes. Momentos estáti­ cos. Centro de gravedad. Momento de inercia. Definición de cambio de variables. Teorema de cambio de variables para integrales dobles (enunciar). Coordenadas Polares. Coordenadas cilindricas. Coordenadas esféricas. Tema 7 Integrales de Línea y de S u perficie. Curvas en forma parainétrica. Curvas suave y parcialmente suave. Vector tangente. Longitud de arco. Integral respecto a la longitud de arco. Aplicaciones: Area de una cerca de altura variable. Centro de masa de un alambre. Campos vectoriales. Rotacional y divergencia. Propiedades. Interpretación física: Mecánica de fluidos, campos electromagnéticos. Integral de línea de un campo vectorial. Propiedades. Significado físico. Trabajo realizado por una. fuerza. Velocidad tangencial promedio de un fluido. Integral de línea de un campo gradiente. Teorema de Groen en el plano (enunciar). Superficies en forma parainétrica. Plano tangente. Vector normal. Areas de superficies. Integral respecto al diferencial de área. Integral de superficie de un campo vectorial. Teorema de la divergencia en el plano enunciar. Teorema de Stokes (enunciar). Teorema de Gauss de la divergencia (enunciar). Aplicaciones.

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BIBLIOGRAFIA 1. ANTON, Howard. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Limusa. México. 1984 2. BRADLEY, G. y SMITH, I\. Cálculo de Varias Variables. Prentice Hall. España. 1998. 3. DA SILVA, José. Cálculo de Punciones Vectoriales. Facultad de Ingeniería. Univer­ sidad de Carabobo. Bárbula. 1980. 4. FALCON, F. y VILLAM IZAR. L. Complemento de Funciones Vectoriales. Univer­ sidad de Carabobo. Bárbula. 1993 t). GARCIA, V. y RODRIGUEZ, R. Integración en J?n, Aplicaciones y Teoremas Asociados. Facultad de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Bárbula. 1989. 6. HERNANDEZ, Jaime. Funciones de Varias Variables. Facultad de Ingeniería. Uni­ versidad de Carabobo. Bárbula. 1973. 7. MARSDEN, Y. y TRO M BA, A. Cálculo Vectorial. Fondo Educativo Interameri•cano. España. 1981. 8. LEITHORD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Haría. México. 1993. 9. PITA, Claudio. Cálculo Vectorial. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México. 1995. 10. RODRIGUEZ, R. y TO VAR DE SOUTO, Y. Las Formas Cuadráticas en el Estu­ dio de Extremos de Funciones. Facultad de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Bárbula. 1981. 11."SMITH, R. y MINTON, R.. Cálculo. Tomo 2. McGraw Hill. Colombia. 2001. 12. SPIEGEL, Murray. Cálculo Superior. 'Editorial Interamericana. México. 1972. 13. 8TEW ARD, James. Cálculo Multivariable. Editores Thompson. Tercera edición. 1998. 14. THOMAS, G. y FINNEY, R. Cálculo Varias Variables. Editorial Pearson. Novena Edición. México. 1999 15. WILLIAMSON, R., CR.OWELL, R. y T R O T T E R , H. Cálculo de Punciones Vec­ toriales. Prentice Hall. New Jersey. 1972.

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MATERIAL INSTRUCCIONAL DE APOYO

1. Demuestre que R 4 con las operaciones: X 4- Y

— {X\ 4- X¡\, X2 -r J/2. x 3+ V'i ■*4 + Vi)

A o A'

=

(A.r1: A.T2, Ax3, Ax4)

es un espacio vectorial, donde: A — (xi,x2, ¡r3, x4) e Y - (y ¡, y2, ys-tk), A € R. 2. Determine sí

elconjunto definido por: 5 = {(.T], 2-2, 2:3^ 4) |Ti = X2 = T3 = ;C4}

es un subespacio vectorial de R 4. 3. Verifique si el conjunto formado por las ternas de números reales (x , y , z ) tal que \x\ = \y\, es un subespacio vectorial de R 3. 4. Sean los conjuntos: A

=

{(a:, y) ¡ x > 0, y > 0}

B

=

{ ( x , y ) \ x y > 0}

Verifique si definen un subespacio vectorial en R 2. 5. Determine si los conjuntos definidos por: a) Si = b)

S2 —

{ ( x, y, z)

|

{ ( x , y, z)

\

8y + 92 = 0} x = 2t, y = t, z = 511 € R e}

3a- -

definen un subespacio vectorial en M3. 6. Dados los puntos Ap = (2,1), A i = (3 /2 ,1 /2 ) y la esfera abierta R. /(.r) — ,r~. Y.r € ¡1. 2 L 21. Sean U v V dos vectores en R ” t ales que: lic/|: = p\'i! = r - v i ! Demuestre que el ángulo entre U y V es de ~/3. C ual es el ángulo entre C y Í ’ - C . 22. Sean X e Y dos vectores en R" tales que: a)

||Y|!

=

5 . ||1'|¡ - 4

y IjY + V'|| - 7. Calcule ||Y - V|!

b)

X e

Y

forman un ángulo de tt/G. ||Y|| = 4 y ||Y|| — 3.Calcule

l| A '-r| i 23. Tres vectores A'. V y Z son tales que: ||Y|; = |¡z¡! ^ o . |:v|| ^ (J • ü-v -

y

4- z\\ = IIy 4- y ~ z |!

Si el ángulo que forman A”e Yes r / 8. Calcular el ángulo que forman V'v Z. 24. Mencione (sí lo hay) un conjunto diferente al R ’'que sea abierto y cerrado a la vez Justifique su respuesta. 25. Considere el conjunto: .4 = {(x . ?/)j x > 0. y > 0. y < x. x < 3 } Represente: El conjunto derivado de A. L4']. el conjunto clausura [Aj. elconjunto interior .4°]. el conjunto complementario \AC) y el conjunto frontera [AF], 26. Sea: .4 = {(x , y) |x = 1¡n. y — l/n. v = 1,2. 3. ■••} Describa los conjuntos interior, derivado, complementario y frontera de A. Es A un conjunto acotado7. Justifique su respuesta. ,27. Determine y represente el dominio de: ln [y ■ln(l -f x + y)] f(x,y) = V y'c Departamento de Matemática

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o s

-r

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|JA'4 Y|,y

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28. Determine y represente el dominio de: yj'xy ■ln sen y log(or - y2) + y/4 -

2x 2 - y 2

29. Determine y represente el dominio de: f ( x , y ) — araseni. ( - % — ) + v/36 - 4:r2 - % 2 \x + y j 30. Determine y represente el dominio de la función: V^ln(x - y 2 + 6) - 1 /(*>?/) log(senh ( f - 1) 31.

Determine y represente el dominio de: in(cosx) + ln(cosy) xy y j eosh ( 2 . r ) *log( 100—x2 —y2)

32.

Determine y represente el dominio de: Y x~v are sen

(í+ f)J

33. Determine y represente el dominio de: log (x+y/y)

f{x,y) -

hi(5—i) y s e n b (2 i-y )

34. Determine y represente el dominio de: .2 -_ „2 X* y f{x,y )~

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35. Determine y represente el dominio de: ln(x — 2) •y/y + ^/x

g(x, y) = log

senh(2x — y)

36, Determine y represente el dominio de: ln{l+.r+&)

_ v 4 ~ x 2 " y 2 ' \/ij ■sbn x . 37.

Determine y represente el dominio de: \ / ¡ ñ ( 3 - |s2 - y | ) f(x,y) are sen (y - x)

38. Determine y represente el dominio de: \ f ¿ S q j” + ln(-™/) ^/'ln(x + y + 3) 39. Obtenga y represente el dominio de la función: ln[sen(a; + y) •cosh(ln(y — x))j f(x,y) = V

x+ > J x?+ y

40. Determine y represente el dominio de: 3- —3/ tog(l/+3)

h(x, y) = ln

( n H

.

41. Determine y represente el dominio de: y/senh[r ■ln(y — x 2)] y) =

* * (? d £ p ) Departamento de Matemática

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42, Determine y represente el dominio de: /

p-^/tt-senh(¡r2-.y)

\

fh'.y)

1»8 ( “ ) '

( £ @ 2) 0 /

43. Determine y represente el dominio de: \/lñ(3~—~! x 2 — 2y \) f(:r-V) arcsen(?/ - x) 44. Determine y represente el dominio de: \j z-V H r,y) =

^4-T2- y2 In(.Ty)

45. Determine y represente el dominio de: y^ n ( t o t ) +

'y/v

/(* .y ) = v 2 - :ry 46.

Determine y represente el dominio de: \/s« nh ( f ' ¿ ) ■\' y - I 2 + 6 /(a "-y) = I n (^ )

47.

Determine y represente el dominio de:

f (x, y) 48.

x —y + 1 y + 3x2 — 3

+ In

\ 36 — 4x 2 — 9y 2

Determine y represente el dominio de: e'\/ú/+2)'senh(;r2~2')

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•'

V

,

o

- > U -n

'

• I------

;

ó la to Facultad do Ingeniería

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49.

Determine y represente el dominio de: /

. H . xy) \

f(x-V)

v/l2 -3 r 2-4j,2

\ 50.

í +2

/

Determine y represente el dominio de: { \Zsen [* ( y - t ) ] ^ f(x-y) =

V 51. Aplicando la definición verifique que el limite de f ( x . y ) — 3x2 + y es 5 cuando • ( x , y ) -> (1 ,2 ). 52.

Sea la función: 3x 2y ¿ f(x-y)

=

x 4 + 2y4

6 E s posible definir el valor /(O . 0) de tal modo que / sea continua en este punto?. Si su respuesta os afirmativa, defínalo. Explique.

rtóx. Sea: si (x. y)

(0. 0 )

/(a-, y) = 1

si (x. y) = (0, 0)

Estudie la continuidad de / en X q = (0. 0). 54.

Estudie la continuidad de / en X Q — (0,0). si: ^ f(x-.y)

si (x. y)

=

0 55.

(0, 0)

si (x ,y ) — (0 , 0)

Estudie la continuidad de: si (x, y) 7^ (0, 0) •

f(x,y) =

0 Departamento de Matemática

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si (x, y) = (0, 0) Luis Villamizar

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56.

Dada la función : ■^0

-

si ( x , y )

(0 , 0)

f{x,y) 0

si (x, y) - ( 0 , 0 )

a) Determine si / es continua. b) Verifique si / es diferenciable en (x ,y ) = (0,0). 57.

Sea: 2^ 5

si (x ,y ) ± (0 , 0 )

0

si (x, y) = ( 0 , 0 )

/(s .v ) =

a) Determine si esta función es continua en (0,0). b) Estudie su diferenciabilidad en (0,0) 58". ¿Porque en la definición de derivada parcial de una función en un punto X o, éste debe pertenecer al interior del dominio?. 59. Sea. 1

si x > 0 , y > 0

0

en la región complementaria

/(x ,y ) = <

Demuestre que las derivadas parciales en el origen existen, pero / no es continua en ese punto. 60. Dada la función:

x-'+V2

si ( x , y )

(0 , 0 )

/(*> y) 0

si (x, y) = (0 , 0 )

Verifique, si satisface el teorema de las derivadas cruzadas (Schwarz) en el punto * o = (0,0)

Départamento de Matemática

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Universidad de _Carabobo . _

61.

*n

Facultad de Ingeniería . _

Sea la función definida por: si ( x ,y ) ¿ (0,0) f(x-y) =

0

si ( x , y )

(0,0)

a) Determine si f ( x , y ) es continua en (0,0). b) Verifique si f xy — f yr en (0,0). 62.

Sea la función:

x+y

si x + *y

'

0

ffa y) 0

si x + y = 0

a) Calcule / x(0 ,y), si y ¿ 0 y f T\0,0). b) ¿Que puede decir acerca de las derivadas cruzadas en el punto (0,0) tomando en cuenta el resultado anterior?. 63.

Verifique si la función dada es diferenciable en X q = (0,0).

+y¿

si (*,?,) ¿ ( 0 , 0 )

0

si { x , y ) — (0.0)

f{x,y) =

64.

Sea: si ( x , y ) ¿ (0,0) 0

si (a:, y) = (0,0)

Verifique si / satisface el teorema de la derivadas cruzadas en X q = (0,0). ¿Qué pue­ de decir acerca de la diferenciabilidad de ésta función en ese punto, con el resultado obtenido?. 65.

Determine si la función: xyse n( l/y )

siy^O

0

si y = 0

f(x,y) Es de clase C 1 en (0,0). Es diferenciable en ese punto?. Departamento de Matemática

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06.

Facultad de Ingeniería

Dada la función:

(x~ + y~) sen

si ( x. y) -A (U.O)

\jT-+y-

0

í

si (x. y ) - (0. 0 )

Determine si f es diferenciable en A'(, — (0,0). ¿Es continuamente difereneiable en X „ = (0. 0)7. 67, Sea: x 1 sen(1 ,/.t ) 4 y2 cus 1/y)

si .r

0 V y ^ 0

/{■r.y) = 0

si x — 0 V y = ü

Determine si f es una funeión diferenciable en (0.0). ¿Es de clase C 1 allí? 68. Sea: )

si ,/• - y i'- o

/(■r - y) 0

si x - y = 0

Determine se f es una funeión de clase C'1 en (0,0). ¿Es diferenciable nllí?. 69.

Sea xy2s e n ( l )

si x ± 0

0

si x = 0

'

/(r,y) =

a) Determine si / es una función de clase C 1 en (0,0) b) Podrá encontrarse un función afín que permita aproximar a / en una bola abierta centrada en (0.0)?. Justifique su respuesta. 70.

Dada la función: ■r^y eos 1 72^57 )

si (x, y) ± (0. 0)

0

si (a.\ y) = (0, 0)

.9(2-, y) = <

Determine si g es diferenciable en (0.0). Es de clase C 1 en ese punto?. Departamento de Matemática

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71.

Sea: xysen ( — )

si (x. y) ± (0. 0)

0

si (x. y) — (0. 0)

f(r-y) =

Determine si f es de clase C 1 en (.v . y ) - (0.0). ¿Es f diferenciable allí? Justifique su respuesta. 72. Sea: í x~ sen ( 7) + y2 eos í j-)

si x ¿ 0. y

0

^

si x = 0 . y = 0

/(* • //)= < 0

Determine si / es una función difomuciable en (0.0). ¿Es de clase C 1 allí? 73. Dada la función: j f^¡ p

si (x .y ) ^ ( 0. 0 )

0

si (2;. y) — (0. 0 )

.f(-r.y) ■■

Verifique si / es una función de clase C 1 en A u = (0. 0). 74.

Dada la función, determine si es continuamente diferenciable en .(x.y) — (0.0) si (x. y ) * (0. 0 ) f ( r {x + y) + y ■