Guia Estadistica Estudiantes Definitivo PDF

 

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD UNIVERSIDA D NACIONA NACIONAL L EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA VICERRECTORADO ACADÉMICO.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

DOCENTES COLABORADORES: BELKIS LÓPEZ (GUANARE – ESTADO PORTUGUESA) RONIER SALAZAR (SAN TOMÉ – ESTADO ANZOÁTEGUI) ARGENIS BRITO (SAN TOMÉ – ESTADO ANZOÁTEGUI) ALEXY FUENMAYOR (MARACAIBO – ESTADO ZULIA) JESÚS PEROZO (ACARIGUA – ESTADO PORTUGUESA) JULIO CAMPOZANO (NÚCLEO CARACAS) MANUEL RODRIGUEZ (NÚCLEO CARACAS) MARIO TOVAR (NÚCLEO CARACAS) MARCOS SARMIENTO (VICERRECTORADO ACADÉMICO)

CARACAS, 26 DE MARZO DE 2014

1

 

TEMA: TEM A: E STADÍSTICA DES CR IPT IPTIVA. IVA.

UNIDAD I: ESTADISTICA, VARIABLES Y GRÁFICOS. 1.- Escoge el tipo de variable estadística de que se hable: “Tiempo que se tarda en recorre 1 Km”.  a) Variable cualitativa nominal. b) Variable cualitativa ordinal. c) Variable cuantitativa discreta. d) Variable cuantitativa continúa.

Solución: Por definición la opción correcta es la d) variable cuantitativa continua. 2.- En una ciudad hay tres millones de personas con derecho a voto, de las que el 53% son mujeres. Se quiere elegir una muestra constituida por 3000 personas. ¿Cuántos hombres y mujeres deberán formar parte de la muestra para que sea representativa de la población?

Solución: Para que la muestra guarde la misma proporción de hombres y mujeres que en la población, se deberá elegir: 53  3000 100

 1590  Mujeres

47  3000 100

 1410 Hombres

3.- Se ha evaluado la acción global de un fármaco sobre un conjunto de enfermos con las siguientes variaciones clínicas: -1 = peor; 0 = igual; 1 = algo mejor; 2 = mejor; 3 = mucho mejor. ¿Con qué escala de medida ha sido registrada esta variable? a) Discreta. b) Nominal c) Ordinal. d) Con ninguna escala.

Solución: Por definición la opción correcta es la c Variable Ordinal. 4.- La tabla adjunta muestra el número de faltas en una clase a lo largo de un mes.

2

 

Nº Faltas

1

2

3

4

5

6

Nº Estudiantes

10

7

6

2

1

4

Representar gráficamente los datos usando un diagrama de barra.

Solución: El eje de la abscisa (x) representará el núme número ro de faltas, mientras que el eje de las ordenadas (y) representará el número de estudiantes.

5.- Al preguntar a 30 estudiantes cuántas asignaturas han suspendidos, 13 de ellos contestaron que 5 materias. ¿Qué sector circular le corresponde al valor 5 de la variable de suspenso?

Solución: El total de estudiantes (30) corresponde a 360º, entonces con una regla de tres resolvemos. 30 ---------- 360º 13 ----------

X=

13  360º 30

 156º  

X

Le corresponde el sector circular de 156º. 6.- Para representar gráficamente datos cuantitativos de modo que se conserven los datos originales se utilizará: a) Un diagrama de caja. b) Un histograma. 3

 

c) Un diagrama por sectores. d) Un diagrama de tallos y hojas.

Solución: Por definición la opción correcta es la d un diagrama de tallos y hojas. 7.- Dada la siguiente tabla que representa las ciudades y los centros de votación; calcule el porcentaje de centros de la ciudad de caracas. CIUDAD

Nº DE CENTROS

VALENCIA

30

MARACAY

27

MARACAIBO

43

CARACAS

25

BARINAS

40

MÉRIDA

15

Solución: Realizamos la sumatoria de los centros de votación. CIUDAD

Nº DE CENTROS

VALENCIA

30

MARACAY

27

MARACAIBO

43

CARACAS

25

BARINAS

40

MÉRIDA

15

Total

180

Entonces quiere decir, que 180 centros de votación corresponden al 100%, por lo tanto, 13,9% le correspondería a la ciudad de caracas.

4

 

UNIDAD II: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA (MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN). 1.- Disponemos de los siguientes números 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 34 y 22. Determinar el rango de esos números.

Solución:  El menor valor es 6 y el mayor valor es 57. Rango = Mayor Valor – Menor valor. Rango = 57 – 6

Rango = 51.

2.- La tabla adjunta muestra el número de faltas en una clase a lo largo de un mes. Nº Faltas

0

1

2

3

4

5

Nº Estudiantes

10

7

6

2

1

4

Cuál es el valor de su moda.

Solución: Según el concepto de moda la respuesta r espuesta correcta es cero (0) faltas. 3.- Dada la siguiente tabla de frecuencia, complete los valores faltantes. Xi

fi

Fi

Xi.fi

1

5

3

7

12

21

4

2

14

7

8

8

1

10

4

11

3

56 23

33

Total

Solución: Recordemos el concepto y aplicación de la frecuencia acumulada (Fi), producto Xi.fi, sumatoria. Entonces tendremos los siguientes valores. 5

 

Xi

fi

Fi

Xi.fi

1

5

5

5

3

7

12

21

4

2

14

8

7 8

8 1

22 23

56 8

10

4

27

40

11

3

30

33

Total

30

171

4.- Las notas de un estudiante en seis exámenes han sido: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 respectivamente. Hallar la mediana de las notas.

Solución: Las notas ordenadas son: 68, 72, 78, 84, 87 y 91. Como hay un número par de ellas, hay dos valores centrales, 78 y 84, cuya media aritmética es:

   x  

 x 

 x =

(Ver Anexo 1 – Formulario)

n

78  84 2

= 81

; 81 es la nota pedida (mediana).

5.- La siguiente tabla de frecuencia representa el dinero gastado en telefonía móvil en un mes por un grupo de 50 estudiantes de bachillerato. DINERO

Nº ESTUDIANTES (fi)

[0 – 5)

4

[5 – 10)

12

[10 –15)

14

[15 – 20)

10

[20 – 25)

6

[25 – 30)

4 6

 

Calcular el gasto medio en móvil del grupo de estudiantes.

Solución: Para este caso debemos calcular la media ponderada. n

 X   



 MCi    fi

i 1

   fi

(Ver Anexo 1 – Formulario)

 

Procedemos a calcular los valores solicitados en la fórmula, quedando la tabla de frecuencia de la siguiente manera: DINERO

Nº ESTUDIANTES (fi)

Marcas (Xi)

Xi.fi

[0 – 5)

4

2.5

10

[5 – 10)

12

7.5

90

[10 –15)

14

12.5

175

[15 – 20)

10

17.5

175

[20 – 25) [25 – 30)

6 4

22.5 27.5

135 110

Total

50

695

 Aplicando la fórmula final, tenemos: tenemos:  X  =

695 50

 = 13.9 es el gasto medio.

6.- Dados los siguientes números hallar la desviación media. 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18 y 5 Solución: Calculamos la media aritmética de los datos.

   x  

 x 

n

 x  = 9.5

La fórmula de desviación media es:

    X     X   

 MD 

 N 

(Ver Anexo 1 – Formulario)

Resolviendo numerador tenemos: 7

 

MD = 12  9.5   + 6  9.5   + 7  9.5   + 3  9.5   + 15  9.5   + 10  9.5   + 18  9.5   + 5  9.5   MD =

34 8

= 4.25 es el resultado solicitado.

7.- En una población con 2500 habitantes adultos se ha realizado un estudio sobre su altura. La distribución de la altura es normal (unimodal y simétrica). Sabiendo que en el intervalo (172,196) se encuentra 2375 habitantes y que la altura media es de 184 centímetros. Calcular la desviación típica de la distribución.

Solución:  En el intervalo (172,196) se encuentra 2375 habitantes, lo que supone el 95% de la población total. Como el intervalo que contiene el 95% de los datos de una distribución es ( X  - 2s,  X  + 2s), se tiene que  X  - 2s = 172. Sustituyendo los datos del enunciado obtenemos la siguiente ecuación.  X  - 2s = 172

184 – 2s = 172 Despejando s (desviación típica) el resultado es 6.

8

 

UNIDAD III: MOMENTO, SESGO Y CURTOSIS. 1.- El valor de la curtosis se toma como como referencia al: a. La distribución uniforme. b. La distribución exponencial. c. La distribución T-student. d. La distribución normal.

Solución: La curtosis es una medida que toma como referencia la distribución normal y todas las comparaciones que se realizan al determinar “cuán puntiaguda” es una distribución es respecto a la curtosis de una distribución normal con su misma desviación típica.  La respuesta válida es “d”. 2.- El concepto de momento respecto a un punto se refiere a: a. La suma de de los cuadra cuadrados dos de las d distancias istancias determin determinada ada entre los valores medidos. b. La suma de las dis distancias tancias determin determinada ada entre los valores medidos y dicho punto elevada a la “n”.  c. La suma de los valores absolutos absolutos de las d distancias istancias determin determinada ada entre los valores medidos. d. NA

Solución: El momento por definición se refiere a la suma de las distancias elevada a un exponente. Dependiendo del exponente se habla de 1er momento, 2do momento, y así sucesivamente. La respuesta válida es “b”. 3.- Si una distribución ssimétrica imétrica tiene una d desviación esviación típica de 5, el valor del cuarto momento respecto a la media para que la distribución sea leptocúrtica debe ser: a. Mayor a 1875. b. Menor a 1875. c. Igual a 1875. d. NA.

Solución: aplicando que k   

m4

, queda que m4    ks 4   y sustituyendo queda

 s 4 m4  3  5  1875 . La respuesta válida es “a”.   4

4.- Si los segundos momentos respectos a las medias de dos distribuciones son 9 y 16 mientras con los terceros momentos son -8,1 y -12,8 respectivamente, se puede concluir que: a. La primera distribución es más sesgada sesgada que la segunda y a la derecha. b. La primera distribución es más sesgada sesgada que la segunda y a la izquierda. c. La primera distribución distribución es menos ssesgada esgada que la segunda y a la derecha. d. La primera distribución distribución es menos ssesgada esgada que la segunda y a la izquierda. 9

 

módulo ódulo que distribución Solución: El coeficiente de sesgo indica al comparar el m es más sesgada. Aplicando que a3   distribución: a3 

 12,8 ( 16 )

3

 

a3 

 12,8 (4) 3

 8,1 ( 9)

  3

 8,1 (3) 3

m3 (   m2 ) 3

 0,3  

, queda que para la primera

y

para

la

segunda

 0,2 . El que tiene mayor sesgo será en este caso la

primera distribución y el signo indica que lo está a la izquierda. La respuesta válida es “a”. 5.- Sean tres números consecutivos de forma:

El primer momento está definido por: a.

.

b. c. d.

. .

por lo cual Solución: Al ser un número consecutivo tenemos que: . Al aplicar la definición del primer momento queda: La respuesta válida es “a”. 6.- La relación entre el segundo momento respecto a la media y el segundo momento respecto a un punto arbitrario es: a. m2   m´ 2   m´1 2 . b. m2   m´ 2   m´1 2 . c. m2   m´2   2m´1  . d. m2   m´2   2m´1 .

Solución: Se tiene que d i   xi   A . (1) Por lo cual 

d i n



 xi n



 A n

 d    x   A . (2)

Luego restando 1 menos 2 queda: d i  d    xi   A     ( x   A)   xi   x .

De esta forma resulta: 10

 

m2  



d 2 n

 x   x 2 n

  d   d  

2



n

 2d    d     2

2

d 2

 

d 2  2d d   d 

2



n

d 2 n

 2d  

d  n

 d   2

1 n



 d  

2

n

  Pero: 

d 2

 m´  2  y m´1  d   

n

2  m2   m´ 2   m´1   

La solución válida es “a”. 7.- La relación entre el quinto momento respecto a la media y un punto ordinario es: 2 3 5   ´1   m   ´3  10 m´1  m´2  4m´1  . a) m5  m´5 5m´1 m´4   10 m 2 3 5   ´1   m   ´3  10 m´1  m´2  4m´1  . b) m5  m´5 5m´1 m´4   10 m 2   ´3  10 m´1 3 m´2  4m´1 5 . c) m5  m´5 5m´1 m´4   10 m   ´1   m 2 3 5   ´1    m´3  10 m´1  m´2  4m´1  . d) m5  m´5 5m´1 m´4   10 m

Solución: El procedimiento es análogo a los anteriores, sin embargo, vamos a desarrollarlo:

 x   x 5   d   d 

5

m2  



n

2



n

d 5  5d 4 d   10d 3 d   10d 2 d   5d d   d  4

5

n

 d 5  5  d 4 d   10  d 3 d   10  d 2 d   5  d d   d  2



3

3

4

5

n

 d 5  5d   d 4  10d   d 3  10d   d 2  5d   d   d  1 2

3

4



5



n

 

 Aplicando propiedades queda: 

d 5 n

 5d  

d 4 n

 10d   2

d 3 n

2

 10d   3

3

d 2 n

 5d   4

d  n

4

 d   5

5

m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 5m´1  m´1 m´1  

1

n



 

m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 5m´1   m´1   2

3

5

5

m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 4m´1  2

3

5

La solución válida es “d”. 11

 

T E MA MA : P R O B A B I LI LI D A D DE ES .

UNIDAD IV: TEORIA DE PROBABILIDAD. 1.- Si lanzamos dos dados simultáneamente. Calcule la probabilidad de que la suma de ambos resultados sea siete.

Solución: Construimos el espacio muestral. S = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

N = 36.

Sea el evento A que la suma de ambos resultados sea siete.  A = {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) } P(A) =

h  N 

 P(A) =

 

6 36

 

h=6

 P(A) =

1 6

 

2.- Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras; otra contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Hallar la probabilidad de que ambas sean blancas.

Solución:  Sea el evento A bolas blancas de la primera bolsa. Sea el evento B bolas blancas de la segunda bolsa. P(A  B) = P(A)xP(B)

(Ver Anexo 1 – Formulario)

4     3   P(A  B) =      

 4  2    3  5 

P(A  B) =

1 4

 

3.- Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno. Cuál es la probabilidad de que sea la misma. 12

 

Solución: Hemos de hallar la probabilidad de que los dos escriban la “a”, o que los dos  escriban la “e”, o que los dos escriban la “i”, o que los dos escriban la “o”, o bien que los dos escriban la “u”. Además, tengamos en cuenta que lo que escriba uno de los niños no depende para nada en lo que escriba el otro. P(aa   ee   ii   oo  uu) = P(aa) + P(ee) + P(ii) + P(oo) + P(uu) = P(a)P(a) + P(e)P(e) + P(i)P(i) + P(o)P(o) + P(u)P(u) Sustituyendo tenemos: 1 5

1

1

5

5

 

1

1

5

5

 

1

1

5

5

 

1

1

5

5

 

1

1

5

25

  =

+

1 25

 +

1 25

 +

1 25

+

1 25

=

5 25

=

1 5

 

4.- Las probabilidades de que llueva o nieve en una ciudad determinada el día de navidad, el día de año nuevo o en ambos días son: P(C) = 0.60, P(N) = 0.60 y P(C  N) = 0.42. Verifique si los eventos N y C son independientes .Solución:  Sustituyendo en la fórmula para una probabilidad condicional, obtenemos: P(N/C) =

 P (C      N )  P (C )

=

0.42 0.60

 = 0.70

Ya que P(N/C) = 0.70 no es igual que P(N) = 0.60, encontramos que los eventos N y C son dependientes. 5.- En una muestra de 1.000 personas hay 300 que saben inglés, 100 que saben ruso y 50 ambos idiomas. Con estos datos averigua si son independientes o no los sucesos “saber inglés” y “saber ruso”.  

Solución: Sea el evento A saber inglés. Sea el evento B saber ruso. Entonces P(A) = P(A  B) =

50 1000

300 1000

= 0.3

P(B) =

100 1000

= 0.1

= 0.05

Para que los sucesos A y B sean independientes se ha de cumplir que P(A  B) = P(A)xP(B). Pero P(A)xP(B). = 0.3 x 0.1 = 0.03 y esto es diferente a P(A  B) = 0.05; por lo tanto A y B no son independientes. 13

 

6.- En una clase, un 40% de alumnos aprobaron filosofía, y un 50% matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha aprobado matemáticas es 0.6. ¿Qué porcentaje porcentaje de alumnos aprobaron aprobaron ambas asignaturas

Solución: Sea el evento A aprobar filosofía. Sea el evento B aprobar matemáticas. Entonces P(A) = 0.4 y P(B) = 0.5.  Además se sabe también que P(A/B) = 0.6. Esto último nos indica que en este caso los sucesos Ay B, por la razón que sea, no son independientes. De la fórmula de probabilidad condicional: P(A/B) =

 P ( A    B )  P ( B)

 despejamos el numerador, nos quedaría:

P(A  B) = P(A/B) x P(B)

sustituyendo

P(A  B) = 0.6 x 0.5 = 0.3 lo que significa significa un 30% 30% de los estudiantes qu que e aprueban filosofía y matemáticas. 7.- Un economista piensa que las probabilidades de que el precio de la carne de res suba durante el mes siguiente son de 2 a 1, las posibilidades de que permanezca sin cambio son 1 a 5 y las posibilidades de que suba o permanezca sin cambio son de 8 a 3. ¿Son consistentes las probabilidades correspondientes?

Solución. Las probabilidades correspondientes de que la carne de res suba durante el mes siguiente, de que permanezca sin cambio y de que suba o permanezca sin cambios son: 2 2 1

=

2 3

1

 

Puesto que

1 5 2 3

+

1 6

 =

5 6

=

1 6

 

  y no

respectivamente y 8 11

8 83

=

8 11

 

, las probabilidades no son consistentes. De

ahí que se debe cuestionar el criterio del economista.

14

 

UNIDAD V: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. 1.- En un examen de matemática, la calificación media fue 72 y la desviación típica 15. Determinar en unidades estándar la p puntuación untuación de los es estudiantes tudiantes que obtuvieron 93.

Solución:   Aplicamos la fórmula de distribución normal. normal.  Z  

  X    X   s

(Ver Anexo 1 – Formulario)

 

Sustituyendo los valores del problema tenemos:  Z  

93  72 15

= 1.4

2.- Hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos haya un varón, suponemos que la probabilidad de que nazca un varón es

1 2

 

Solución:   Aplicamos la fórmula de distribución binomial. binomial.  P ( X ) 

 N !

 X 

 X !( N    X )!

   N  X 

  p  q

  (Ver Anexo 1 – Formulario)

Sustituyendo los datos tenemos: N = 4; p =

1 2

1

 (Éxito) ; q = 1 – p (Fracaso) q=   2

y para X = 1. 1

 P ( X ) 

4!  1!(4  1)!

   

4 1

   12      12         

 

Resolviendo factoriales, potencias, productos y división obtenemos como resultado

1 4

 

3.- Se informó a dos estudiantes que habían recibido puntuaciones estándar de 0.8 y -0.4 respectivamente, en una prueba de inglés. Si sus puntuaciones fueron 88 y 64 respectivamente. Hallar la media de las puntuaciones de esa prueba.

Solución 15

 

Con la fórmula de distribución normal:  Z  

  X    X   s

 establecemos la siguiente relación de la media

estudiante iante y obtenemos el  X  =  X    Z   s   sustituimos los valores para cada estud siguiente sistema de ecuación: Primer estudiante

88 =  X   + 0.8xs

Segundo estudiante

64 =  X  + (-0.4xs)

Resolviendo el sistema de ecuación, eliminando la desviación típica (s) obtenemos de resultado 72 para  X  . 4.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una inyección de cierto suero es 0.001. Hallar la probabilidad de que entre 2000 individuos exactamente 3 reaccione negativamente.

Solución: La solución la realizaremos con la distribución de Poisson:  X     

  

e

 P ( X )    

 X !

(Ver Anexo 1 – Formulario)

 

Entonces, tenemos probabilidad de reacción negativa 0.001 y cantidad de individuos 2000 esto nos permite calcular      

= Nxp

  = (0.001)x(2000)   

   =

2

Sustituyendo en la fórmula tenemos: 3

 

2

    2.718   2  P ( X   3)    Resolviendo la expresión, obtenemos de resultado

3!

0.180. 5.- En el laboratorio de una empresa se realiza prueba de dureza a un cierto artículo. Los registros históricos de la misma indican que hay una probabilidad de 20 artículos 2 son no conforme, Se pide. Cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 10 halla: 1) cero no conforme; 2) uno no conforme 3) menos de 3 no conforme.

Solución:

16

 

Se define una variable aleatoria X como (X) el número de artículos no conforme en una nuestra de 10 artículos. De acuerdo al planteamiento del problema, la variable aleatoria sigue una distribución Binomial con parámetro p = 2/20 = 0.10; n = 10, lo que implica que sigue la función de probabilidad de X será 1) P (X = x) = (10X) (0.10)x ( 1  – 0.10)10-x 1) P( X = 0) = (100) .0100 .9010= 0.34868 2) P(X = 1) = (101) (0.10)1 0.909 = 0.38742 2

3) P(X < 3) = Ʃ  (10x) (0.10)x (0.90)10-x = (100) 0.100 0.9010 + (101) 0.101 0.90101  + (102)0.102  X=0  0.9010-2 = 0.92981. 6.- Se tiene ti ene que la producción de una empresa de manufactura de cierto tipo de rolíneras, cuyos diámetros deberían ser ¼ de pulgada. Debido a variabilidades en el proceso de manufactura y a las condiciones exigidas por el clientes, las rolíneras se clasifican como sobre medida, bajo medida y aceptables, si los

diámetros miden respectivamente más de 0.2505”,   menos de 0.2495” y entre 0.2495” y 0.2505”, De acuerdo con los registros llevados por el departamento de Control de Calidad de la empresa, se ha determinado que 4% de la rolíneras que se producen son sobre medida, el 6% bajo medida y el 90% son aceptables. Si se seleccionan, al azar, 10 de estas rolíneras, cuál será la probabilidad de obtener 3 sobre medida, 1 bajo medida y 6 aceptable. Solución: Los posibles resultados resultados son tres, se define las siguientes variables aleatorias: (X1) = Rolíneras sobre medidas, (X2) = Rolíneras bajo bajo me medidas, didas, (X3) Rolíneras aceptable; esto implica P[X1 =3, X2 = 1, X3 = 6] =10! / 3!*1!*6! (0.04) 3(.06)1(.090)6 = .2x10-4 7.- Un lote que contiene 25 probetas de concreto, se seleccionan 5 al azar y se prueba. Se menos de 2 resultan ser no conforme, se acepta las 20 probetas restante, en caso contrario se rechaza el lote. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote sise sabe que hay 4 no conforme?

Solución: N = 25, n =5 K = 4, se define una variable aleatoria X como (X) Número de probeta no conforme en la muestra o sea se pide 1.

17

 

P(X < 2) = P (X≤1) = Ʃ P(X) = (4x) (25 - 45 - x) / ( 255) = (40) (215) / (255) + (41) (214) / (255) = 0.834 X = 0.

18

 

UNIDAD VI: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 1.- En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr. y desviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr?

Solución: P(X > 3030 3030)) = P ( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100)  = P( Z < 2.14) = 0.9838 (VER TABLA CURVA NORMAL ) 2.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

(VER TABLA CURVA NORMAL)

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. 3.- Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a. El número de las medias muéstrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.

Solución Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

19

 

a)

(0.7607)(200)=152 medias muéstrales 4.- En una casaestándar de retiro de la edad de las personas tiene una media de 76 años y una desviación 10 años.

a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener una probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?

Solución. µ=76 años σ=10 años  P(X 0,05(100) 6.- Un médico administra un medicamento a N = 5 pacientes. Los resultados de cada paciente son respectivamente muere, vive, vive, muere, muere. Hallar la media de todas las proporciones Muéstrales, si se toman muestras de tamaño n = 2. También hallar el error estándar de las proporciones muéstrales.

Solución Las muestras posibles de tamaño n = 2 y la proporción de éxitos (vive), se indican en la tabla siguiente. Se cumple también 5C2 = 10. M = muere, Vive = V. Ns = Nº de muestras posibles = 10 Sabemos:  p   Donde:

S  n

 

p = proporción muestral de éxitos.

S = proporción de éxitos en una muestra. n = 2.

21

 

Proporción de Éxitos P 0,5 0,5 0,0 0,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0 P = 4,0

Muestra M1  V2  M1  V3 M1  M4 M1  M5 V2  V3 V2  M4 V2  M5 V3  M4 V3  M5 M4  M5   P  

  P    Ns

4 10

 0,40  

donde: p = proporciones.  p  = media

de todas las proporciones.

Ns = Nº de muestras posibles. Es decir  P (media de todas las proporciones) es igual a u (media de la población) = 0,40. Cálculo del error Estándar de las Proporciones Muéstrales.   P  

 (1   )  N   n n

 N   1



(0,4)(0,6) 5  2 2

5 1

 0,3

 

7.- Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?

Solución. µ=162 cm. σ=20 cm.  P( 159 159 < X 1.1429) = 1  – Pr (Z  1.1429) Donde Z tiene una distribución normal estándar, por lo tanto   4

 

Pr    I 1 X i  300  = 1 – 0.8735 = 0.1265



26

 

UNIDAD VIII: PRUEBA DE HIPÓTESIS. 1.- Los sistemas de de escape de emergencia para tripulaciones de aeronaves son impulsados por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea 50cm/s. se sabe que la desviación estándar de esta rapidez es σ = 2 cm/s. El

investigador decide especificar un nivel de confianza α = 5%. Selecciona una muestra n = 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de X = 51.3 cm/s. A que conclusión llega usted. Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

El parámetro de interé interéss es µ, la rapidez rapidez promedio de combustión combustión Ho: µ = 50cm/s H1: µ ≠ 50cm/s  α =0.05  La estadística de prueba es Zo = X - µ/σ/√n  Zo = 51.3 – 50/ 2/√25 = 3.25 

0 0.025= 1.96 sacado de la tabla de la normal 7. 8. Z Conclusión dado que 3.25> 1.96 se rechaza Ho  existe una fuerte evidencia en la rapidez promedio de combustión es mayor de 50cm/s.

2.- Se toma una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado s 2  = 0.0153 (onzas de fluidos)2. Si la varianza es mayor que 0.01 (onzas fluidos)2  implica que existe una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menor de liquido. ¿Existe evidencias en los datos que sugiera que el fabricante tiene problema con el llenado? Utilice un α = 5% 

Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

El parámetro de interés es la varianza de la pob población lación s2  H0 : σ2 = 0.01 H1 : σ2 > 0.01 α = 0.05  El estadístico de prueba χ 2 = ( n-1) s2 / σ2  Se rechaza H0 si χ2 >χ20.0519= 30.14 Calculo χ2 =19 (0.0153)/ 0.01 = 29.07 Conclusión 29.07 < 30.14 implica no hay evidencia fuerte de que la varianza del volumen de llenado sea mayor que 0.01 (onzas de fluido)2

27

 

3.- En una impresora gráfica se utiliza una pieza moldeada por inyección. Antes de firmar un contrato de largo plazo, el fabricante de la impresora desea asegurarse de que el proveedor puede producir piezas con una piezas con una desviación estándar de longitud de 0.025mm como máximo. Para ello se obtiene una muestra aleatoria de 75 piezas obteniendo una desviación estándar muestral de longitud s = 0.022mm. ¿A qué conclusión debe llegarse si utiliza α= 0.01? 

Solución. 1. El parámetro de interés es la desviación desviación estándar d de e la pobla población ción 2. Ho : σ2 = 6.25x10-4  3. H1 : σ2 < 6.25x10-4  4. α = 0.01  5. El estadístico de prueb prueba a es Z = (s – σ)/ σ/√(2n)1/2  6. Se rechaza Ho si Z< -Z0.01 = -2.33 7. Z = (0.022 – 0.025)/ 0.025/√(2*75)1/2 = -1.47 8. Conclusión Z = -1.4 -1.47 7 no es menor -2.33 -2.33 no es posible rechazar Ho  la evidencia del proveedor no es suficiente. 4.- Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores no conforme en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel calidad. Utilice α = 5%. El fabricante toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos dispositivos y encuentra que ccuatro uatro de ellos son no conformes. ¿El fabricante puede demostrar la calidad del proceso?

Solución. 1. El parámetro de interés es es la fracción p de artículo artículoss no conforme en el proceso Ho : p = 0.05 H1 : p < 0.05 α = 0.05  El estadístico de prueba Z = ( X  – np) / ( np (1-p))1/2 X=4; n= 200 P = 0.05 6. Rechaza Ho si Z < Z 0.05 = -1.645 7. Calculo (4 – 200*0.05)/ (200(0.05*0.95))1/2 = -1.95 8. Conclusión -1.95 < -1.645 se rechaz rechaza a Ho se concluye que se tiene la calidad aceptable. 2. 3. 4. 5.

5.- Un artículo publicado en una revista de materiales describe los resultados de prueba de resistencia la adhesión de 22 especímenes de aleación U- 700. 28

 

La carga para la que que cada esp espécimen écimen falla es la siguiente en MPA los datos son: 19.8; 18.5; 17,6; 16,7; 15,8; 15,4; 14,1; 13,6; 11,9; 11,4; 11,4; 8,8; 7,5; 15,4; 15,4; 19,5; 14,9; 12,3; 11,9; 11,4; 10,1; 7,9 . La media muestral es 13.71, mientras que la desviación estándar es s = 3.55 ¿Sugiere los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10 MPA? Utilice α = 5% 

Solución: 1. El parámetro de interés es la carga promedio de falla µ 2. Ho  µ = 10 3. H1 µ > 10 Se rechaza H o si la carga promedio de falla es mayor que 10 MPA 4. α = 0.05  5. El estadístico de prueba es to = (x-µ)(n / s)1/2  → to = (13.71  – 10)/22 / 3.55)1/2 = 4.90 6. t0.05 22-1=21 = 1.721 7. Conclusión 4.90> 1. 1.721 721 se rechaza rechaza Ho  la carga de falla es mayor que 10MPA 6.- Se analizan dos catalizadores para determinar la forma en que afecta el rendimiento promedio de un proceso químico. De manera específica, el catalizador 1 es el está empleando en este momento pero el catalizador también es aceptable. Debido a que el catalizador 2 es más económico, éste puede adoptarse siempre y cuando no cambie el rendimiento del proceso. Se hace una prueba en una planta piloto; los resultados aparecen en el cuadro siguiente. ¿Existe alguna diferencia entre los rendimientos promedio? Utilice α = 0.05 

29

 

Datos del rendimiento del catalizador Observaciones

Catalizador 1

Catalizador 2

1

91.50

89.19

2

94.18

90.95

3

92.18

90.46

4

95.39

93.21

5

91.79

97.19

6

89.07

97.04

7

94.72

91.07

8

89.21

92.75

Promedio

92.255

92.733

Desviación típica

2.39

2.98

Solución 1. Los parámetros de interés son, µ 1 y µ2 los cuales representan el rendimiento promedio del proceso con los catalizadores 1 y 2 respectivamente 2. Ho : µ1 - µ2  3. H1 : µ1 ≠ µ2  4. α= 0.05  5. El estadístico de prueba to = X1 - X2 /sp√1/n1 +1/n2  6. to 0.02514>2.145 o si to 0.02514< -2.145 7. s2p = (n1-1)s12 + (n2-1)s22/ (n1+n2-2) = (8-1)(2.39)2 + (8-1) (2.98)2/ (8+8-2) = 7.30 sp = √7.30 = 2.70  to= (92.255 – 92.733) / 2.70√(1/8 +1/8) = -0.35 Conclusión -2.145 < -0.35 < 2.145 no es posible rechazar la hipótesis nula Ho  no se tiene evidencia fuerte que permita concluir que el catalizador 2 dará como resultado un rendimiento prome promedio dio diferente con el uso del catalizador catalizador 1. 7.- Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de lentes intraocular utilizados en el 30

 

ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con una primera solución y, éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna rezón para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? α = 0.01 

Solución. 1. Los parámetros de interés son p1 y p 2, la proporción de lentes que son satisfactorios después del procedimiento de pulido. 2. Ho : p1 = p2  3. H1 : p1 ≠ p2 4. α = 0.01  5. El estadístico de prueba es Z = (p1  – – p2 ) / (p1 (1-p1) (1/n1 -1/n2))1/2  P1 = 253/300 = 0.8433; p2 196/300 = 0.6533; n 1  = n2 = 300; p = (253 + 196) / (300 +300) = 0.7483 6. Rechaza Ho si Z > Z.0.005 = 2.58 ó Z < -Z 0.005 = -2.58 7. Z = ( 0.8433  – 0.6533) / (( 0.7483* 0.2517) (1/300 +1/300))1/2  = 5.36 2.58 implica que se rechaza H Conclusión 5.36> o

31

 

UNIDAD IX: ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y DISTRIBUCIÓN 1.- En los ajustes de de regresión se usa el criterio de minimizar a. Suma de los valores valores absolutos. b. Suma de de cuad cuadrado rado de de los residuos. c. Desviación Media. d. Desviación Típica.

Solución: el método de mínimos cuadrados para el ajuste de las curvas de regresión implica obligatoriamente minimizar la función f unción de sumar los cuadrados de los residuos. La respuesta válida es “a”. 2.- Los siguientes datos representan las longitudes y pesos de una serie de osos, calcular el coeficiente de correlación. LONGITUD (PULG)

PESO(LB)

53

80

67.5

344

72

416

72

348

73.5

262

68.5

360

73

332

37

34

Solución. Recordemos la fórmula para calcular el coeficiente de correlación:  R 

S 

 XY 

S 

 XX 



S 

  (Ver Anexo 1 – Formulario)

YY 

Completando la tabla, tenemos:

32

 

Nº

LONGITUD (PULG) (X)

PESO(LB) (Y)

XY

 x  

 y

1

53

80

4240

2809

6400

2

67.5

344

23220

4556.25

118336

3

72

416

29952

5184

173056

4

72

348

25056

5184

121104

5

73.5

262

19257

5402.25

68644

6

68.5

360

24660

4692.25

129600

7

73

332

24236

5329

110224

8

37

34

1258

1369

1156

Total

516.5

2176

151879

34525.75

728520

Teniendo

presente:

  1

  x    S   XX  XX  2

n

 X 

2

  2

;

  1

  y    S YY  YY  2

n

2

 

 X 

  2

y

1

correspondiente o obtenemos btenemos   xy      X  y   sustituimos los valores correspondiente S   XY  XY  n

S 

 XX   XX 

 1179.22 ;

S 

YY  YY 

 136648  ;

S 

 XY   XY 

 11391 .

Finalmente el coeficiente de correlación es 0.90 y presenta una correlación fuerte. 3.- Si  s y x  3  y  s y  5 , el coeficiente de correlación será: a. 0,6 . b. 0,4 . c. 0,64 . d. NA.

Solución: El coeficiente de correlación, se relaciona con el error típico de 2

estimación

por:

    s y  x    . r   1     s y     

Al

sustituir

resulta:

33

 

2

 3    2 r   1     1  0,6  1  0,36   0,64  0,8 . La respuesta válida es  5  “d”.

 xy   x  es equivalente a: 2    x  

4.- La ecuación de regresión  y      a. Y   Y    s xy 2   X    X  .

 s x 

b. Y   Y  

 s x

 s 

   X    X .

2

 xy

c.  X   Y   d. Y    X  

 s xy

  Y    X  .

 s x 2  s x

 s 

  Y    X .

2

 xy

Solución: Las simplificaciones de la ecuación normal se desarrolla al escribir  y  Y   Y   ;  x    X    X  . Por lo cual, la expresión queda:   xy   X    X    2    x  

Y   Y     

(1)

Pero:  s xy 

 xy n

   x 2 ;  s x    n

Sustituyendo los anteriores en (1) resulta:  Y   Y      xy2   X    X     x     ns xy     n s 2   X    X        x  

Y   Y    Y   Y  

 s xy

   X    X 

 s x 2

La respuesta válida es “a”.

5.- La pendiente y punto de corte para la recta de mínimos cuadrados son: a. m 

n xy    x   y  2

n  x 2   x 

 y  x 2     x  xy   , b  . 2 n  x 2   x  34

 

b. m  c. m  d. m 

n xy    x  y  2

n  x 2   x 

n xy    x   y  2

n  x 2   x 

n xy    x   y  2

n  x   x  2

 ,  ,  ,

 y  x 2     x  xy  b . 2 n  x 2   x   y  x 2     x  xy  . b 2 n  x 2   x   y  x 2     x  xy  . b 2 2 n  x   x 

Solución: Para determinar las ecuaciones normales, hay que minimizar la función suma de cuadrado de los residuos.  S   S    2   2     0  y mx b  x      m  m   xy  mx  bx   0   2  S    y  mx  b      S   S   b   2 y  mx  b  1  0  b   y  mx  b   0  

   xy  mx 2  bx   0  xy   m    x 2   b   x   0   m  x 2   b   x    xy          y  mx  b   0    y  m  x   b  0  m  x  nb    y   

  Resolviendo por la Regla de Cramer queda:  x 2    xy   x   y

 y  x 2     x  xy  b b     2  n  x 2     x   x 2   x n  x

m

 xy   x n   y

n xy    x   y  m     2  n  x 2   x   x 2   x n  x

La respuesta válida es “a”.

6.- La expresión r  

 xy

 x  y  2

2

, es equivalente a:

35

 

 a) r   

b) r     c) r     d) r    

 s x s y  s x  s x  s y

.

 s xy  s x s y  s y  s x

.

.

.

Solución: Se tiene que:  s xy 

 xy n

 x 2

,  s x 

n

,  s y 

  y 2 n

.

Sustituyendo en la expresión inicial queda: r  

 xy

 x  y  2

2



ns xy

 

 ns ns  2

 x

2

 y

ns xy

 2

n  s x

2



ns xy

 s   ns  s  2

 y

 x



 y

 s xy  s   x s y

 

La respuesta válida es “c”.

7.- Las ecuaciones normales para el ajuste de la curva  y  a   bx  cx 2  son: a. 2 ( y  a    bx  cx 2 ) 1 . b. 2 ( y  a    bx   cx 2 )  x  . c. 2 ( y  a  bx      cx 2 ) x 2  . d. TA.

Solución: Se tiene que derivando parcialmente la función suma de cuadrados de los residuos:

 2   sa  2 ( y  a  bx  cx ) 1   s 2  2 ( y  a  bx  cx 2 )  x     s  ( y  a  bx  cx )    b   s  2 ( y  a  bx  cx 2 )  x 2   c

Las tres ecuaciones anteriores son las ecuaciones normales. La respuesta válida es “d”.

36

 

UNIDAD X: SERIES CRONOLÓGICAS. 1.- ¿Con qué movimiento característico de una serie en el tiempo asociaría principalmente “un incendio en una fábrica que retrasa 3 semanas su producción? a) Cíclico. b) Estacional. c) Irregular. d) Ninguna de las anteriores.

Solución. La opción correcta es la c, porque se trata de movimientos esporádicos de las series en el tiempo debido a sucesos de azar. 2.- Una empresa estudia la evolución de los precios de tres componentes (A,B,C) para una pieza en los últimos 5 años.  AÑO

A

B

C

1

3

4

1

2

4

6

1.5

3

5

6.5

2

4

4.5

7

2.5

5

7

4

3

Calcular un índice simple para estudiar la evolución de los precios del componente A tomando como período de referencia el año 1.

Solución. Desarrollando la evolución de los precios tomando como período de referencia el año 1, tenemos.

37

 

Índice Simple de Precios  AÑO

A

B

C

A

B

C

1

3

4

1

100 (3/3)x100

100

100

2

4

6

1.5

133.33 (4/3)x100

150

150

3

5

6.5

2

166.67 (5/3)x100

162.50

200

4

4.5

7

2.5

150 (4.5/3)x100

175

250

5

7

4

3

233.33 (7/3)x100

100

300

Las columnas B y C se desarrolla aplicando la analogía de la columna A. 3.- Se tiene la siguiente serie de producción y queremos determinar la ecuación de la recta que representa la tendencia de la serie.  Años

Miles (Ton)

1962

6

1963

8

1964

10

1965

14

1966

18

Solución.  Años

Miles (Ton)

Xi

Yi

Xi.Yi

Xi

1962

6

0

6

0

0

1963

8

1

8

8

1

1964

10

2

10

20

4

1965

14

3

14

42

9

1966

18

4

18

72

16

10

56

142

30

Total

 

38

 

    b x   Yi  N   A

 

56 = 5a + 10b

i

 b x i    x . y   a x   2

i

142 = 10a + 30b

i

i

Resolviendo el sistema de ecuación nos queda: queda: a = 5; b = 3. Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 5 + 3X con origen en el año 1962. 4.- El consumo en combustible combustible (miles de litros) litros) en una empresa y los índices de precios del combustible en seis años han sido tal y como muestra la tabla siguiente. Sabiendo que el precio del combustible fue de 1.5   / litros en el año 2011, calcular el gasto en el combustible de la empresa en cada año.  Año

Consumo

Índice (base 2009=10 2009=100%) 0%)

2006

60

91

2007

70

93

2008

75

95

2009

78

100

2010

80

114

2011

85

120

Solución Consumo

Índice (base

Índice (base

Precio  / litros  

Gasto

2006

60

2009=100%) 91

2011=100%) (91/120)x100 = 75.83

1.5x0.758 1.5x0.7583=1.137 3=1.137

68.22

2007

70

93

(93/120)x1 (93/120)x100 00 = 77.5

1.5x0.775 1.5x0.775=1.162 =1.162

81.34

2008

75

95

(95/120)x100 = 79.17

1.5x0.791 1.5x0.7917=1.187 7=1.187 89.025

2009

78

100

(100/120)x10 (100/120)x100 0 = 83.33

1.5x0.833 1.5x0.8333=1.249 3=1.249 97.422

2010

80

114

(114/120)x1 (114/120)x100 00 = 95

1.5x0.95=1. 1.5x0.95=1.425 425

114

2011

85

120

(120/120)x100 = 100

1.5

127.5

 Año

39

 

5.- Una empresa estudia la evolución de los precios de tres componentes (A,B,C) para una pieza en los últimos 5 años.  AÑO

A

B

C

1

3

4

1

2

4

6

1.5

3

5

6.5

2

4

4.5

7

2.5

5

7

4

3

Calcular un índice conjunto de la evolución de los precios utilizando una media aritmética de índices simples y tomando como referencia el año 1.

Solución  AÑO

A

B

C

A

B

C

Media aritmética

1

3

4

1

100 (3/3)x100

100

100

300/3 = 100

100

2

4

6

1.5

133.33 (4/3)x100

150

150

433.33/3 = 144.44

144.44

3

5

6.5

2

166.67 (5/3)x100

162.50

200

529.17/3 = 176.39

176.39

4

4.5

7

2.5

150 (4.5/3)x100

175

250

575/3 = 191.67

191.67

5

7

4

3

233.33 (7/3)x100

100

300

633.33/3 = 211.11

211.11

6.- En cierto país el salario medio por hora, en unidades monetarias corrientes, de los trabajadores de un determinado sector productivo y los índices de precios de consumo a lo largo de los seis años fueron:

40

 

 AÑOS

SALARIOS/HORA

ÍNDICE DE PRECIO (2000 = 100)

2006

5.2

144

2007

5.8

166

2008 2009

6 6.3

179 194

2010

6.4

204

2011

8.4

209

Calcule los índices de precios con base 2006.

Solución. Coeficiente de enlace base 2006: k = 100/144 = 0.69445  AÑOS

SALARIOS/HORA

ÍNDICE DE PRECIO (2000 = 100)

INDICE DE PRECIO (2006=100)(0.69445)XBASE 2000

2006

5.2

144

100

2007

5.8

166

166x0.69445 = 115.28

2008

6

179

179x0.69445 = 124.31

2009

6.3

194

194x0.69445 = 134.72

2010 2011

6.4 8.4

204 209

204x0.69445 = 141.67 209x0.69445 = 145.14

7.- Antonio alquiló un local el 1 de enero de 2010 por 3000 euros euros mensuales, impuestos no incluidos. La revisión del alquiler se efectúa según los valores del IPC. Dispone de dos tablas con información sobre el IPC de cada año. (base 2005=100) Mes de enero

2010

2011

2012

IPC%

128.712

133.413

138.34 41

 

 Antonio quiere saber cuál será la renta que tendrá que pagar en 2013 si la previsión del IPC para enero de 2013 esta en 1.8% de incremento sobre el año del mes de enero del 2012.

Solución. IPC (2013) = IPC (2012)x(1.018) = 138.34x(1.018) = 140.83 Mes de enero

2010

2011

2012

2013

IPC%

128.712

133.413

138.34

140.83

Índice IPC

(133.413/128.712) (133.413/128.712) = 1.03652

(138.34/133.413 (138.34/133.413)) = 1.03693

Incremento IPC

[(133.413/128.712) – 1]x100 = 3.652

[(138.34/133.413) -1 [(138.34/133.413) ]x100 = 3.693

1.8

3000x1.0365 3000x1.03652 2 = 3109

3109.56x1.03693 3109.56x1.03693 = 3224.40

3282.44

 Alquiler

3000

42

 

BIBLIOGRAFIA. Freund, J; Simon, Gary (1994). Estadística Elemental. Octava Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana, S.A: México. Salama, D. (1987). Estadística. Metodología y Aplicaciones. Tipografía Principios: Caracas. Spiegel, M. (1991). Estadística. Segunda Edición. Mc Graw Hill: Madrid.

43

 

ANEXO Nº 1 FORMULARIO. 1.- Media de muestra

   x  

 x 

n

2.- Media Ponderada n

 X   



 MCi    fi    fi

i 1

n

 

donde:  = Sumatoria i   1

MCi = Marca de clase fi = frecuencia absoluta de la clase



fi = Total de datos

3.- Desviación Media  X      X        MD 

donde: MD = Desviación media

 N 

X = Valores de la muestra  X  = Media aritmética

N = Total de datos 4.- Momento, Sesgo y Curtosis m3

m4 k     s

4

a    (   m )3 2

 

3

 

5.- Probabilidad. P(A) =

h  N 

 

donde: A = Suceso h= Posibilidad de ocurrir el suceso. N = Total de posibilidades

6.- Sucesos Independientes. P(A  B) = P(A)xP(B) 44

 

7.- Probabilidad Condicional. P(N/C) =

 P (C      N )  P (C )

 

8.- Distribución normal.  Z  

  X    X   s

 

donde: Z = unidad estándar.  X   = Media

s = Desviación típica. 9.- Binomial.  P ( X ) 

 N !

 X 

   N  X 

  p  q

 X !( N    X )!

 

10.- Distribución de Poisson  X     

 P ( X )    

  

e

 X !

 

e = 2.718

11.- Coeficiente de correlación.  R 

S 

 XY 

S 

 XX 



S 

 

donde:

  1

  x    S  XX   XX  2

YY 

2

n

  1

      YY 

S 

 y

 X 

 X 

  2

  2

 

 

n 1

  xy      X  y   S  XY   XY  n

Rango -1   R  1  

Recomendamos la siguiente dirección para un formulario en línea: https://docs.google.com/document/d/11UagZDAvCj96ZwJQ40jok3wfBS4w8Wgrc0x0e  _JA7xk/edit?hl=es    _JA7xk/edit?hl=es

45