Guía Estadística Descriptiva 1

GUÍA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Septiembre 2015-Febrero 2016

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ASIGNATURA: NIVEL: CRÉDITOS: PRERREQUISITOS:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CUARTO CUATRO MATEMÁTICA PARA ECONOMÍA INVESTIGACIÓN BÁSICA OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA Aplicar las técnicas estadísticas en la recopilación, organización presentación e interpretación de la información cualitativa o cuantitativa de una investigación, que permita una verdadera toma decisiones de una manera creativa y original. UNIDADES I. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN , TABULACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS II. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS III. PROBABILIDADES IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD V. ELEMENTOS DE MUESTREO BIBLIOGRAFÍA: BÁSICA: Newbold Paul, Carlson Willam L.,Thorne Betty. (2008) Estadística para Administración y Economía. Sexta Edición. España.Prentice Hall. COMPLEMENTARIA: Levin, R. y Rubin, D. (2010) Estadística para la Administración y Economía. Séptima edición. México:Prentice Hall. Mason,Lind,Marchal (2005). Estadística para Administración y Economía. Décima edición, Colombia: Alfaomega. Walpole, R., Myers, R., Myers., Sharon; Ye, K. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Novena edición. México: Pearson.

RECOMENDADA: Lind, Douglas A., Marchal, William G., Mason, Robert D. (2005). Estadística para la Administración y Economía. Décimo primera edición. México: McGraw Hill Interamericana. 2

Anderson D., Sweeney D., Williams T. (2008). Estadística para la Administración y Economía. Octava edición. México: Internacional Thomson. Galindo E. (2011). Estadística métodos y aplicaciones para administración e ingeniería. Tercera edición. Quito: ProCiencia Editores.

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA UNIDAD I. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de: a) Seleccionar una muestra mediante una técnica de muestreo, asegurándose que sea una representación de la población b) Identificar las variables y clasificarlas de acuerdo a su tipología. c) Convertir los datos sin procesar en información útil, mediante la organización apropiada en tablas de frecuencias y su representación gráfica. d) Interpretar de manera adecuada la información obtenida. e) Reconocer la importancia de la Estadística y su relación con el proceso de investigación. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de: Operaciones con números reales. CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA ORGANIZACIÓN Y TABULACIÓN DE DATOS 1.1. Introducción, concepto, importancia y principales ramas de la Estadística 1.2. Conceptos básicos: población, muestra, elemento o unidad de análisis, muestreo, parámetro, estadístico, variable y su clasificación. 1.3. Organización y Tabulación de Datos 1.3.1. Ordenamiento de datos categóricos 1.3.1.1. Distribución de frecuencias 1.3.1.2. Representación Gráfica: Representación en Barras Representación Circular o tarta 1.3.1.3. Diagrama de Pareto. Representación Lineal. (representación series de tiempo) 1.3.2. Ordenamiento de datos numéricos 1.3.2.1. Tablas o cuadros de frecuencia para datos no agrupados 4

1.3.2.2. 1.3.2.3. 1.3.2.4.

Tablas o cuadros de frecuencia para datos agrupados Representación Gráfica, Histograma, Polígono frecuencias, Ojivas. Diagrama de Tallo y hoja

de

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Complete el siguiente cuadro con un ejemplo de cada una de las posibles variables que se pueden obtener a partir de los diferentes tipos de población señalados. En la última fila proponga usted un ejemplo. VARIABLES VARIABLES POBLACIÓN CUANTITATIVAS CUALITATIVAS Continuas Discretas Nominales Ordinales Habitantes del Metropolitano de Quito Docentes de la UTE

Distrito

Usuarios de los parqueaderos de la UTE Estudiantes del Cuarto semestre de COMEX

2. En una encuesta reciente se pidió al profesorado de una universidad que respondiera a varias preguntas. Indique el tipo de datos de cada pregunta. a) Indique su nivel de satisfacción con la carga docente b) ¿Cuántos artículos ha publicado en revistas durante el último año? c) ¿Ha asistido a la última reunión del consejo de departamento? d) ¿Cree usted que el proceso de evaluación de la docencia debe revisarse? 3. Se ha formulado una serie de preguntas a una muestra de clientes de una tienda de helados. Identifique el tipo de datos que se pide en cada pregunta. a) ¿Cuántos años tiene? b) ¿Cuál es su sabor de helado preferido? c) ¿Cuántas veces al mes toma helado? d) ¿Tiene hijos de menos de 10 años que vivan en casa? e) ¿Ha probado el último sabor de helado? 4. Se va aplicar una encuesta de opinión ciudadana acerca de la gestión del Presidente Rafael Correa y del Alcalde Mauricio Rodas. Indique el tipo de datos del siguiente grupo de preguntas que son parte del cuestionario: a) Edad 6

b) Nivel de instrucción c) ¿Cómo calificaría usted a la gestión que realiza el presidente Rafael Correa? (Muy buena, buena…) d) ¿Está o no de acuerdo con la gestión que realiza el Alcalde Mauricio Rodas? e) ¿Según usted cuál es el mayor problema que afecta a la ciudad de Quito?

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5. Con la información proporcionada por los estudiantes en el primer día de clases del semestre anterior se elaboró la siguiente matriz de variables: Nº Edad Género 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 18 19 20 21 19 19 19 19 20 21 19 20 26 19 19 18 27 21 21 20 22 25 19 23 23 21 20 19 19

Masculino Femenino Femenino Masculino Femenino Femenino Masculino Femenino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Masculino Femenino Femenino Masculino

Gasto Número Calificación de Estatura Mensual de Grado (Buena, Muy Peso(kg) (m) en hermanos Buena,…) internet 1 Muy buena 1,60 53 58 3 Muy buena 1,45 46 35 1 Muy buena 1,53 50 30 1 Muy buena 1,85 85 40 1 Muy buena 1,55 64 18 3 Muy buena 1,60 65 20 1 Muy buena 1,70 74 18 2 Sobresaliente 1,60 55 25 3 Muy buena 1,72 69 50 3 Muy buena 1,78 65 30 2 Muy buena 1,54 48 56 0 Muy buena 1,57 50 30 1 Sobresaliente 1,65 50 45 2 Muy buena 1,65 66 27 2 Sobresaliente 1,80 69 29 2 Muy buena 1,70 70 25 0 Muy buena 1,64 60 15 3 Muy buena 1,60 53 38 2 Muy buena 1,73 65 50 1 Buena 1,63 59 25 3 Muy buena 1,50 57 26 3 Muy buena 1,70 63 35 0 Buena 1,73 51 27 1 Muy buena 1,65 63 35 3 Buena 1,55 57 40 2 Buena 1,58 52 40 0 Buena 1,68 73 35 1 Sobresaliente 1,55 58 30 3 Muy buena 1,60 65 20 0 Muy buena 1,70 74 40

Uso del internet videos deberes chat deberes deberes chat deberes videos deberes chat noticias deberes deberes deberes chat deberes deberes noticias videos chat deberes deberes chat deberes noticias deberes deberes chat chat deberes

No. De Asignaturas Reprobadas 3 1 2 3 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 3 1 4 2 0 2 0 1 2 3 5 3 4 1 4 2

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Con esta información clasifique las variables de acuerdo a su tipología Cualitativa Variable

Nominal

Cuantitativa Ordinal

Discreta

Continua

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6. Escriba el nombre que corresponde a cada gráfico o diagrama estadístico y el tipo de variable para el que recomienda su utilización.

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7. Con las variables uso del internet y calificación de grado de la matriz de variables de la página 8, construya las tablas de distribución de frecuencia, con todos sus elementos (número, título,..). Interprete una clase. Construya un gráfico de sectores. 8. Una empresa ha llegado a la conclusión de que hay siete defectos posibles en una de sus líneas de productos. Construya un diagrama de Pareto de las siguientes frecuencias de defectos. Escriba un reporte que resuma la información que le proporciona la gráfica. Código de defectos Frecuencia A 10 B 70 C 15 D 90 E 8 F 4 G 3

9. Una compañía de seguros médicos realizó una investigación de todo el proceso de presentación de reclamaciones y pago de indemnizaciones. Se seleccionó un equipo de personas clave de los departamentos encargados de tramitar las reclamaciones, de relaciones con los proveedores y de marketing, de auditoría interna, de procesamiento de datos y de revisiones médicas. Basándose en su experiencia y en una revisión del proceso, los miembros del equipo finalmente llegaron a un acuerdo sobre una lista de posibles errores. La tabla que se muestra a continuación muestra los errores en la tramitación de las reclamaciones al seguro médico y su correspondiente frecuencia CATEGORÍA TIPO DE ERROR FRECUENCIA 1 Códigos de procedimientos y diagnósticos 43 2 Información del proveedor 8 3 Información del paciente 7 4 Tablas de precios 16 5 Solicitudes de contratos 36 6 Ajustes de los proveedores 9 7 Otros (errores de programas y sistemas) 4 a) Construya un diagrama de Pareto. b) Qué recomendaría usted para reducir los errores y controlar el proceso?

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10. En el siguiente cuadro se presenta los registros del precio mensual promedio final de comercialización del barril de petróleo ecuatoriano en los años 2012-2014, publicado por el Banco Central del Ecuador (Cifras económicas del Ecuador). Construya una gráfica de líneas (series temporales). Año Mes 2012 2013 Enero $99,96 $99,81 Febrero 103,20 100,09 Marzo 111,99 99,67 Abril 111,79 95,76 Mayo 101,68 96,39 Junio 86,15 94,81 Julio 89,78 101,07 Agosto 95,14 97,91 Septiembre 99,49 97,36 Octubre 94,58 92,18 Noviembre 91,37 84,37 Diciembre 92,65 90,35 Describa la información que le ofrece la gráfica.

2014 $91,52 97,95 96,50 97,81 95,94 98,90 91,19 85,95 83,33 73,36 61,59 45,37

11. Con las variables: número de hermanos y número de asignaturas reprobadas de la matriz de variables de la página 8: a) Elabore las tablas de frecuencia con todos sus elementos (número, título,..). b) Interprete 2 clases. c) Construya un diagrama de barras 12. Con las variables: estatura y gasto mensual en internet de la matriz de variables de la página 8: a) Construya las tablas de distribución de frecuencia. b) Interprete la tercera y cuarta clase. c) Elabore un histograma de frecuencias, las ojivas mayor y menor que.

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13. En la siguiente tabla se muestran los registros del precio mensual promedio final de comercialización del barril de petróleo ecuatoriano periodo 2012-2014 99,96 103,20 111,99 111,79 101,68 86,15 89,78 95,14 99,49 94,58 91,37 92,65 99,81 100,09 99,67 95,76 96,39 94,81 101,07 97,91 97,36 92,18 84,37 90,35 91,52 97,95 96,50 97,81 95,94 98,9 91,19 85,95 83,33 73,36 61,59 45,37 Con esta información: a) ¿Cuál es el precio más alto del periodo considerado y cuál el más bajo? b) Elabore una tabla de distribución de frecuencias c) ¿En qué clase se encuentra el mayor porcentaje de los meses considerados en el registro y a qué precios corresponde? d) ¿En cuántos meses el precio fue inferior a $89,81? e) ¿Cuántos meses registraron un precio de $45,37 hasta $78,7 y a qué porcentaje corresponde? 14. El número de horas que les toma a los mecánicos retirar, reparar y reinstalar una transmisión en uno de los talleres de la ciudad durante un día de la semana anterior, se registra de la manera siguiente: 4,3 3,1 6,6 6,3

2,7 4,5 2 6,7

3,8 2,6 4,4 5,9

2,2 5,5 2,1 4,1

3,4 3,2 3,3 3,7

A partir de estos datos, elabore una distribución de frecuencias con intervalos de una hora. ¿A qué conclusiones puede llegar acerca de la productividad de los mecánicos si toma en cuenta la distribución de frecuencias?. Si el gerente del taller cree que más de 6,0 horas es evidencia de un desempeño insatisfactorio. ¿De qué magnitud es el problema de desempeño de los mecánicos en este taller en particular. 15. Construya el diagrama de tallo y hojas para la variable peso y edad de la matriz de variables de la página 8. a) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso inferior a 65kg? b) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso de 70kg o más? c) ¿Cuántas personas tienen más de 20 años? d) ¿Cuántos estudiantes tienen entre 21 y 23 años inclusive? 13

16. La siguiente representación de tallo y hoja informa el número de pedidos por día en una empresa de ventas por internet. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

a) b) c) d) e)

1 2 532 96 2 135 2912 2266778 01599 001133034679 03346 9467 7170

¿Cuántos días se estudiaron? ¿Cuántas observaciones hay en la cuarta clase? ¿Cuál es el valor más grande y cuál el más pequeño? ¿Enuncie los valores reales de la séptima clase? ¿En cuántos días se registraron 200 pedidos o más?

17. El siguiente Histograma muestra las calificaciones promedio obtenidas por un grupo de estudiantes de Estadística.

a) ¿Cuántos estudiantes se presentaron a la evaluación? 14

b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación de 6,6 o más y a qué porcentaje corresponde? c) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron una calificación inferior a 6,6? d) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la tercera clase? e) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la última clase? f) ¿Cuál es el punto medio de la cuarta clase? 18. La siguiente tabla de distribución de frecuencias representa el número de créditos reprobados por un grupo de estudiantes durante su carrera universitaria. Xi fi Fi ni Ni 0 47 0,50 1 0,69 2 3 8 87 4 89 5 6 3 Σ a) Complete la tabla b) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron 3 o más créditos? c) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron a lo mucho 2 créditos? d) ¿Cuántos estudiantes reprobaron entre 3 y 6 créditos inclusive? e) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron más de 4 créditos? 19. La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios mensuales en dólares de los empleados de una empresa: salarios [354, 414) [414, 474) [474, 534) [534, 594) [594, 654) [654, 714)

fi 1

Σ

7

Fi

ni

11 30 39

Ni 0,24

0,18

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a) b) c) d) e)

¿Cuál es el tamaño de la población? ¿Cuántos empleados tienen un salario de $594 o más? ¿Cuántos empleados tienen un salario de $ 414 a $ 654? ¿Qué porcentaje de empleados gana menos de $534? ¿Qué porcentaje de empleados gana por lo menos $474?

20. El supervisor de una planta ha obtenido una muestra aleatoria de las edades de los empleados y del tiempo que tardan en realizar una tarea (en segundos). Represente los datos con un gráfico de barras. Tiempo Menos de 40 Entre 40 y Un minuto Total segundos menos de 60 como mínimo Edad segundos Menos de 21 10 13 25 [21,35) 16 20 12 [35,50) 18 22 8 50 o más 10 27 19 Total 21. El capitán de un barco pesquero tiene la creencia de que la pesca mínima para recuperar la inversión debe ser de 5000 libras por viaje. A continuación tenemos los datos de una muestra de la pesca de 20 salidas al mar que el barco hizo recientemente: 6500 6700 3400 3600 2000 7000 5600 4500 8000 5000 4600 8100 6500 9000 4200 4800 7000 7500 6000 5000 Construya una ojiva que le ayude a responder las siguientes preguntas: a) Aproximadamente ¿Qué fracción de los viajes recupera la inversión según el capitán del barco? b) ¿Cuál es el valor medio aproximado del arreglo de datos para los viajes del capitán?

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22. La Asociación Nacional de vendedores de bienes raíces de Estados Unidos recabó los datos siguientes de una muestra de 130 vendedores, que representan sus ingresos totales por comisiones anuales: Ingresos Frecuencia 5000 o menos 5 [ 5 000, 10 000) 9 [10 000, 15 000) 11 [15 000, 20 000) 33 [20 000, 30 000) 37 [30 000, 40 000) 19 [40 000, 50 000) 9 Más de 50 000 7 Total Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes: a) ¿Aproximadamente qué proporción de vendedores gana más de $25 000? b) ¿Alrededor de cuánto gana el vendedor medio de la muestra? c) Cuál es el ingreso aproximado al año de un vendedor cuyo desempeño es cercano al 25% del ingreso máximo anual esperado? 23. Las siguientes gráficas resumen el precio de un artículo requerido en la industria y consultado en varios establecimientos de la ciudad de Guayaquil. a) ¿Cuál es el nombre de las gráficas? b) Interprete los puntos marcados en cada una.

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II. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de: a) Seleccionar la medida estadística adecuada en función de la naturaleza de los datos. b) Calcular las medidas de tendencia central, variabilidad y forma de datos agrupados y no agrupados en casos de aplicación reales. c) Identificar las características de las medidas tendencia central, variabilidad y forma. d) Interpretar de manera adecuada las medidas estadísticas. e) Evaluar la representatividad de las medidas de tendencia central. CONTENIDOS 2. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS 2.1. Medidas de tendencia central 2.1.1. Media Aritmética 2.1.2. Media Geométrica 2.1.3. Media Ponderada 2.1.4. Mediana 2.1.5. Moda 2.2. Medidas de dispersión 2.2.1. Rango 2.2.2. Rango Intercuartílico 2.2.3. Diagrama de Caja y Bigote 2.2.4. Varianza 2.2.5. Desviación típica o estándar 2.2.6. Coeficiente de Variación 2.3. Medidas de Posición 2.3.1. Fractiles 2.4. Medidas de Forma 2.4.1. Coeficiente de asimetría 2.4.2. Coeficiente de curtosis

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Diez economistas recibieron el encargo de predecir el crecimiento porcentual que experimentará el índice de precios al consumidor (IPC) para el próximo año. Sus predicciones fueron: 3,6 3,1 3,9 3,7 3,5 3,7 3,4 3,0 3,7 3,4 Calcule e interprete las medias de tendencia central. 2. El tiempo (en segundos) que tardó una muestra aleatoria de empleados en realizar una tarea es: 23 35 14 37 28 45 12 40 27 13 26 25 37 20 29 49 40 13 27 16 40 20 13 66 Con estos datos (sin procesar): a) Construya un diagrama de tallo y hojas b) Calcule e interpretar las medidas de tendencia central c) Calcule e interpretar las medidas de dispersión o variabilidad. d) El 23% de los empleados realiza la tarea en un tiempo superior a……………….. e) El 37% de los empleados realiza la tarea en un tiempo inferior a………………… 3. Los siguientes son los gastos mensuales en transporte (en dólares) de un grupo de estudiantes de una universidad recolectados un martes: 147 95 93 127 143 101 123 83 135 129 185 92 115 126 157 93 133 51 125 132 Con estos datos (sin procesar) calcular e interpretar: a) Las medidas de tendencia central. b) Las medidas de dispersión o variabilidad. c) ¿Cuál de las variables es más dispersa: crecimiento porcentual (numeral 1), tiempo (numeral 2) o gastos (numeral 3)? d) Calcule e interprete el quintil 2 y el decil 6. e) ¿La media de cuál de las variables es más representativa? 19

f) Si cada gasto mensual registrado se incrementa en un 10% ¿cuál sería el gasto promedio?. ¿Cambiaría la conclusión del literal c.? g) Comente la asimetría de las distribuciones (crecimiento porcentual, tiempo y gasto). 4. Los siguientes datos corresponden a una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de un fabricante de Miami 17 21 18 27 17 21 20 22 18 23 El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de tres botes por día indica variaciones de producción inaceptables. ¿Deberá el gerente preocuparse por las tasas de producción de la planta? 5. Una empresa lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos. A continuación presentamos registros del Kilometraje semanal: 810 1 450

450 560

756 469

789 890

210 987

657 559

589 788

488 943

876 447

689 775

a) Calcule la mediana del Kilometraje que recorre un camión. b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones. c) Compare el resultado de los incisos a) y b) e indique cuál es la mejor medida de la tendencia central de los datos 6. El gerente de producción de la imprenta Hinton desea determinar el tiempo promedio necesario para fotocopiar una placa de impresión. Utilizando un cronómetro y observando a los operadores, registra los siguientes tiempos (en segundos) 20,4 20,0 22,2 23,8 21,3 25,1 21,2 22,9 28,2 24,3 22,0 24,7 25,7 24,9 22,7 24,4 24,3 23,6 23,2 21,0 Un tiempo promedio por placa menor a los 23,0 segundos indica una productividad satisfactoria. ¿Debe estar preocupado el gerente de producción?

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7. En la construcción de un edificio están trabajando 40 obreros, 10 residentes de obra y 5 ingenieros. El salario por día asignado se registra en la siguiente tabla: Categoría Salario diario Obrero $25 Residente de Obra $40 Ingeniero $100 Determine el salario medio pagado en la construcción del edificio. 8. El precio del barril de petróleo ecuatoriano en el mes de Enero del 2013 fue de $99,81 y en el mes de Diciembre $90,35. ¿En promedio el precio del barril de petróleo creció o decreció y cuál es esa tasa de crecimiento o decrecimiento? 9. En el 2010 el salario básico en el Ecuador fue de $240 dólares y en el 2015 es de $354. ¿Cuál es el cambio porcentual promedio del salario en el periodo considerado? 10. Un investigador obtuvo las respuestas siguientes a una de las preguntas incluidas en una encuesta de evaluación: totalmente en contra, en contra, ligeramente en contra, un poco de acuerdo, de acuerdo, altamente de acuerdo, totalmente de acuerdo. ¿Cuál es la mediana? 11. En un mercado se han obtenido los siguientes datos sobre ventas de naranjas de un tipo determinado: Puesto A B C D E F

Precio ($/kg) 1,00 1,50 1,25 1,40 1,70 0,90

Ingresos por ventas ($) 150 150 150 154 136 162

Determine el precio medio de las naranjas vendidas en el mercado. 12. Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artículo de fin de semestre 10% y los exámenes parciales 10%. A partir de los datos siguientes calcule el promedio final para los 5 estudiantes del seminario 21

Estudiante 1 2 3 4 5

Tareas

Parciales 85 78 94 82 95

Artículo 89 84 88 70 90

94 88 93 88 92

Ex. Ex. final Semestral 87 90 91 92 86 89 84 93 82 88

13. Los siguientes datos corresponden a las primeras calificaciones (sobre 2,5 puntos) de dos aulas de la asignatura de Estadística Descriptiva correspondientes al pasado periodo académico. AULA 1 2,5 2,1 2,1 2,0 2,0 2,2 1,7 1,8 2,4

1,2 2,5 2,5 1,8 2,1 2,1 2,3 1,9 1,5

2,2 2,1 0,9 2,3 2,0 2,2 2,5 1,4 1,7

AULA 2 0,7 1,6 1,3 1,9 1,2 1,7 1,3 2,0 1,0 1,6

1,9 1,5 1,7 1,4 1,5 1,7 2,2 1,8 2,1 2,0

1,9 2,1 2,1 1,4 1,8 1,1 1,9 1,9 1,2 1,4

Con esta información: (para cada una de las aulas) a) Construya una tabla de distribución de frecuencias con pérdida de información. b) Calcule e interprete las medidas de tendencia central y las de variabilidad o dispersión. c) Calcule e interprete el quintil 4, el decil 7 y el percentil 17 d) El 43% de los estudiantes supera la calificación de…………….. e) Construya e interprete la gráfica de caja y bigote. f) Elabore una tabla resumen con los valores de las medidas obtenidas en cada grupo de datos. g) ¿Cuáles serías las conclusiones más relevantes al comparar las dos distribuciones?

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14. Utilizando las tablas de distribución de frecuencia de las variables estatura, peso y gasto mensual en internet de la matriz de variables del numeral 5 (página 8). a) Calcular e interpretar las medidas de tendencia central y variabilidad b) Construir e interpretar el diagrama de caja y bigote para cada una de las distribuciones. c) ¿Cuál de las variables presenta mayor dispersión o variabilidad? d) Calcule e interprete las medidas de forma 15. El siguiente diagrama de caja representa a los salarios (en dólares) percibidos por 50 empleados de una fábrica. Redacte un informe donde mencione la información que le proporciona la gráfica.

16. Los siguientes diagramas muestran las calificaciones que obtuvieron los estudiantes de dos de las aulas de Fundamentos de Matemática (primer parcial), del curso de nivelación de la universidad. Compare estas dos distribuciones y escriba un informe.

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17. La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una o dos compañías y examinando minuciosamente la administración de cada compañía con el fin de hacer una transacción lo menos riesgosa posible. Durante los últimos cinco años, la primera compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 28% con una desviación estándar del 5,3%. La otra compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 37,8% con una desviación estándar de 4,8%. Si consideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersión relativa en la recuperación, ¿cuál de las dos compañías ha seguido una estrategia más riesgosa? 18. En la siguiente tabla se muestra el número de casas que una inmobiliaria vendió y la frecuencia de cada nivel de ventas. Casas No. de meses 6 7 10 12 17 20

7 5 4 3 3 2

El dueño de la inmobiliaria espera que estas cifras reflejen un incremento en el número promedio de ventas por encima del 8,3 que vendió en meses anteriores y una reducción en la variabilidad de las ventas mensuales que habían sido de 6,2. De lo contrario él ha decidido vender el negocio. ¿Qué le aconsejaría al dueño de la inmobiliaria? 19. Una muestra de las facturas de las ventas semanales de un local comercial del centro de Quito es la siguiente: 1 299 1 626 1 044 1 287 1 476 885 858 Se implementa un programa publicitario para emparejar las ventas. Una muestra subsiguiente de ventas es: 1 365 1 185 1 071 1 101 1 278 1 272 ¿La campaña publicitaria logró el objetivo? 24

20. Dos marcas de zapatos para correr fueron evaluados en cuanto a uso y desgaste. Cada una reportó los siguientes números de horas de uso antes que se detectara un desgaste significativo: Marca A Marca B 82 101 60 87 91 79 58 86 93 102 69 69 79 a) ¿Cuál marca parece presentar mayor desgaste? b) ¿Cuál marca de zapatos parece tener un programa de control de calidad que produzca la mejor consistencia en su desgaste? 21. Un corredor de inversiones muestra sus registros de las tasas de rendimiento (en porcentaje) sobre dos valores para 10 meses seleccionados: Valor 1 Valor 2 6,4 7,7 7,4 7,5 6,5 6,4 8,1 8,5 7,3 8,4 8,4 8,2 6,5 8,3 5,5 7,5 6,4 6,1 5,8 5,5 a) ¿Cuál valor puede ser mejor para los clientes que están interesados en un rendimiento más alto? b) ¿Cuál valor debería aconsejar el corredor a sus clientes que prefieren menos riesgo?

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA III. PROBABILIDADES OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de: a) Definir correctamente los términos básicos utilizados en la teoría de probabilidades. b) Diferenciar los enfoques de probabilidad: objetivo y subjetivo c) Identificar las relaciones entre los eventos. d) Utilizar las técnicas de conteo en la determinación del número de resultados posibles de un experimento y en el cálculo de probabilidades. e) Aplicar de forma adecuada las diferentes reglas de probabilidad en la estimación de probabilidades de problemas prácticos. f) Hacer uso de los métodos probabilísticos en la toma de decisiones de casos prácticos. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:

CONTENIDOS 3. PROBABILIDADES 3.1. Definición de términos: Probabilidad Experimento Espacio Muestral Punto Muestral 26

Evento Eventos mutuamente excluyentes Eventos colectivamente exhaustivos 3.2. Enfoques de las probabilidades: 3.2.1. Probabilidad clásica 3.2.2. Frecuencias Relativas 3.2.3. Probabilidad subjetiva 3.3. Análisis combinatorio 3.3.1. Permutaciones 3.3.2. Variaciones 3.3.3. Combinaciones 3.4. Reglas de las probabilidades 3.4.1. Regla de la adición 3.4.2. Regla del complemento 3.4.3. Regla de la multiplicación 3.4.4. Probabilidad condicional 3.4.4.1. Diagrama de árbol 3.4.4.2. Tablas de contingencia 3.5. Teorema de Bayes 3.5.1. Formulación 3.5.2. Probabilidad total 3.5.3. Pasos para calcular la probabilidad 3.5.4. Resolución de casos prácticos

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Señale con una x el concepto de probabilidad que corresponde a cada estimación. Probabilidad

Estimación CLÁSICA EMPÍRICA SUBJETIVA La probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda. Se ha realizado una encuesta a 500 ciudadanos de la capital para que respondieran a un cuestionario relacionado con aspectos ambientales. Una de las preguntas solicitaba una respuesta de sí o no. ¿Cuál es la probabilidad de que la respuesta sea afirmativa? Se va sortear entre los estudiantes del aula un obsequio, por lo que se ha entregado a cada uno un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que usted sea el ganador del premio? La probabilidad de que usted después de 5 años sea el dueño de una gran empresa. En el aula se va a escoger aleatoriamente a 3 estudiantes para que representen al curso en una reunión de la asociación de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que usted forme parte del grupo seleccionado? Una empresa planea contratar a un nuevo presidente y ha preparado una lista de 5 candidatos todos igualmente capacitados. Dos de ellos son hombres. Se desea estimar la probabilidad de que se contrate a una mujer. TÈCNICAS DE CONTEO

1. En la ciudad las placas de los autos constan de 3 letras seguidas de 4 números. Cuántas placas distintas pueden hacerse. a) Si se admiten repeticiones b) Si la palabra OSO no está permitida c) No se admiten repeticiones d) Empiecen con la letra P 2. Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable que huyó, contenía las letras RLH seguidas por tres dígitos, de los cuales el primero era 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro de que los 3 eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóviles que la policía tendría que revisar. R= 72 28

3. Tres ruedas, cada una con los dígitos del 1 al 9 se disponen en una máquina tragamonedas, de manera que cada rueda pueda girar en forma individual. a) ¿Cuántas diferentes ordenaciones son posibles? R=729 b) ¿Cuántas ordenaciones que tengan el dígito 1 en la posición intermedia. R=81 4. Una empresa desarrollo cinco bases para lámparas de mesa y cuatro pantallas intercambiables. ¿Cuántos arreglos diferentes de base y pantalla se pueden ofrecer? R=20 5. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de la construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? R=12 6. A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para que vaya a uno de los recorridos planteados por la convención?. R=18 7. En un estudio médico los pacientes clasifican 8 formas de acuerdo con su tipo sanguíneo ; y también de acuerdo con su presión sanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas en las que se puede clasificar un paciente. R=24 8. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral? R=156 9. Los estudiantes de humanidades de una universidad se clasifican como estudiantes de primero, segundo, penúltimo o de último año y también de acuerdo con su género. Calcule el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de esa universidad. R=8

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10. Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponible en 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que incluya todos los diversos estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes tendría que mostrar? R=20 11. Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o cobertizo y un patio o un porche cubierto. De cuántos planos diferentes dispone el comprador. R=48 12. Un medicamento para aliviar el asma se puede adquirir en 5 diferentes laboratorios y en forma de líquido, comprimidos o cápsulas, todas en concentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes puede un médico recelar la medicina a un paciente que sufre de asma? R=30 13. En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carretera se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y las pruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones. ¿Cuántas pruebas se necesita realizar? R=210 14. ¿De cuántas formas distintas se pueden responder una prueba de verdadero-falso que consta de nueve preguntas? R=512 15. Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. a) ¿De cuántas formas diferentes puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta? R=1024 b) ¿De cuántas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta y obtener todas las respuestas incorrectas? R=243 16. De cuántas maneras distintas un director de un laboratorio de la investigación puede seleccionar a dos químicos de entre siete solicitantes y a tres físicos de entre nueve solicitantes? R=1764

30

17. Hace algunos años la empresa Wendys Hamburgers anunció que tenía 256 formas de preparar una hamburguesa. Usted puede elegir u omitir cualquier combinación de lo siguiente para su hamburguesa: mostaza. Salsa de tomate, cebolla, pepinillos, tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga. ¿Es cierto lo que dice el anuncio?. Indique cómo obtuvo su respuesta 18. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 4 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 9 mujeres? R=4 410 19. Se desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer semestre y 2 de segundo semestre. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cuántas maneras puede formarse esta comisión?. R=105 20. De una empresa se seleccionan 9 trabajadores, de un grupo de 13 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar? R=715 21. Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra COLUMNA? R= 5040 22. En un concurso regional de ortografía, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral S para el número de ordenamientos posibles al final del concurso para: a) Los 8 finalistas R=40320 b) Los 3 primeros lugares. R=336 23. ¿De cuántas formas se pueden cubrir las 5 posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones? R=6720 24. Encuentre el número de formas en que se puede asignar 6 profesores a 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna a más de una sección. R=360 25. De un grupo de 40 boletos se sacan 3 billetes de lotería para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales en S para dar los 3 premios, si cada concursante sólo tiene un billete. R=59 280 31

26. ¿De cuántas maneras se puede plantar 5 árboles diferentes en un círculo? (2.43) R=24 27. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra INFINITO? R=3360 28. Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 5248 R=24

REGLAS DE LAS PROBABILIDADES

1. El siguiente diagrama de Venn, indica el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a alguno de los dos eventos, proporcione las probabilidades indicadas.

P

=

a) b) c) d) e) f)

P(A) P(A\B) P(A∩B) P(AUB) P(AUB)’ P(B)’

2. Para el siguiente diagrama encuentre :

3.

La probabilidad e A es 0,6 y la de B es 0,45 y la de cualquiera de los dos 0,8. Cuál es la probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,25

4.

La probabilidad de A es 0,4 y la de B es 0,45 y la de cualquiera de los dos es 0,85. Cuál es la probabilidad tanto de A como B? Sol. 0 32

5.

La probabilidad de A es 0,6 y la de B es 0,4 y la de cualquiera de los dos es 0,76. Cuál es la probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,24

6.

La probabilidad de A es 0,6, la de B es 0,45 y la probabilidad de tanto A como B es 0,3. Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos? Sol. 0,75

7.

Un estudiante está tomando dos cursos, Historia y Matemáticas. La probabilidad de que apruebe el curso de Historia es 0,6 y la de que apruebe el curso de Matemáticas es 0,7. La probabilidad de que apruebe ambos es 0,5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos uno? Sol. 0,8 b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe uno de los cursos? Sol. 0,3 c) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguno de los cursos? Sol. 0,2

8. En un curso estudian 25 alumnos, de los cuales 15 juegan al fútbol, 12 al baloncesto y 7 practican los dos deportes. a) ¿Cuántos estudiantes no juegan ni al fútbol ni baloncesto? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 5 Sol. 0,2 b) ¿Cuántos estudiantes practican sólo uno de los dos deportes? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 13 Sol. 0,48 9. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B, 3 leen únicamente la revista A. Con esta información determinar: a) Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 10 Sol. 0,4 b) Cuántos estudiantes leen la revista A. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 18 Sol 0,45 c) Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 12 Sol. 0,3 d) d) Cuántos estudiantes leen una de estas revistas?¿Cuál es la probabilidad? Sol.15 Sol. 0,375 10. El dueño de una tienda de música observa que el 30% de los clientes que entran en la tienda pide ayuda a un dependiente y que el 20% compra antes de irse. También observa que el 15% de todos los clientes pide ayuda y compra algo. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haga al menos una de estas dos cosas? Sol. 0,35

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11. Durante el año anterior, las ventas semanales de una empresa han sido “bajas” durante 17 semanas, “considerables” durante 25 semanas y “altas” el resto de las semanas. Cuál es la probabilidad de que las ventas esta semana sean: a) Por lo menos considerables Sol. 0,673 b) Bajas o altas Sol. 0,519 12. Según una oficina de empleos de 80 personas que solicitaron trabajo el año pasado, 45 tenían experiencia laboral y 30 tenían título profesional. Sin embargo 15 de los solicitantes tenían tanto experiencia como título. a) ¿Cuántas personas tenían sólo experiencia laboral? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 30 Sol. 0,375 b) ¿Cuántas personas no tenían ni experiencia laboral ni título profesional? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 20 Sol. 0,25 c) ¿Cuántas personas tenían experiencia laboral o título profesional? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 60 Sol. 0,75 13. En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que: a) El estudiante haya cursado matemáticas o historia Sol. 0,88 b) El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias. Sol. 0,12 c) El estudiante haya cursado historia pero no matemáticas. Sol. 0,34 14. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60% una cuenta deahorros y 50% tienen ambas. Si se selecciona un cliente al azar. a) Cuál es la probabilidad de que éste tenga una cuenta de cheques o una cuenta de ahorros? Sol. 0,9 b) Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una sola de las cuentas? Sol. 0,4 15. El presidente de una junta de Directores dice: “Existe el 50% de probabilidad de que esta compañía tenga utilidades, 30% de que se quede a nivel y 20% de que pierda dinero el siguiente semestre”. a) Utilice la regla de la adición para encontrar la probabilidad de que no pierda dinero el próximo semestre b) Use la regla del complemento para encontrar la probabilidad de que no pierda dinero el próximo semestre. 34

16. Supóngase que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cuál es la probabilidad de su ocurrencia conjunta? 17. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale impar”. Estos eventos son: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique 18. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale un número mayor que 4”. Estos eventos son: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique 19. Suponga que la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de A en el cuso de esta materia es 0,25 y la de que tenga una B es 0,5. Cuál es la probabilidad de que su calificación sea mayor que una C? 20. Una empresa va a instalar una nueva máquina que deberá probarse antes de que esté lista para funcionar. La tabla adjunta muestra la valoración del directivo de la probabilidad del número de días necesarios para que la máquina esté lista para usarse. Número de días Probabilidad 3 0,08 4 0,24 5 0,41 6 0,20 7 0,07 Sea A el evento “Se necesitan más de 4 días para que la máquina esté lista para funcionar” y sea B el suceso “se necesitan menos de 6 días para que la máquina esté lista para funcionar” a) Halle la probabilidad del evento A Sol. 0,68 b) Halle la probabilidad del evento B Sol. 0,73 c) Halle la probabilidad del complementario del evento A Sol. 0,32 d) Halle la probabilidad de la intersección de los eventos A y B Sol. 0,41 e) Halle la probabilidad de la unión de los eventos A y B Sol. 1 21. El director de unos grandes almacenes ha examinado el número de reclamaciones que se reciben semanalmente por la mala calidad del servicio. La tabla adjunta muestra las probabilidades de los números de quejas semanales obtenidas en este examen. Sea A el evento “habrá como mínimo una reclamación a la semana” y B el evento “habrá menos de 10 reclamaciones a la semana”

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Número de reclamaciones 0 1-3 4-6 7-9 10-12 Más de 12 a) b) c) d) e) f) g)

Probabilidad 0,14 0,39 0,23 0,15 0,06 0,03

Halle la probabilidad de A Sol. 0,86 Halle la probabilidad de B Sol. 0,91 Halle la probabilidad del complementario de A Sol. 0,14 Halle la probabilidad de la unión de A y B Sol. 1 Halle la probabilidad de la intersección de A y B Sol. 0,77 Son A y B mutuamente excluyentes? Son A y B colectivamente exhaustivos?

22. Encuentre los errores en cada una de las siguientes afirmaciones: a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3 unidades en un día dado del mes anterior son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente. b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la de probabilidad de que no llueva es 0.52 c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 errores al imprimir un documento so: 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29 respectivamente. 23. Un nuevo modelo de auto deportivo presenta fallas en el sistema de frenado 15% de las veces y defectos en el mecanismo de dirección 5% de las veces. Supóngase (y es de esperar) que estos problemas se presentan de forma independiente. Si ocurre uno u otro de tales problemas el auto se denomina “una estafa. Si se tiene ambos problemas el vehículo es “una amenaza”. Un profesor compró uno de esos vehículos el día de ayer cuál es la probabilidad de que le resulte una: a) ¿Una estafa? Sol. 0,185 b) ¿Una amenaza? Sol. 0,0075 24. La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es 0,6, y la de que su esposa también lo esté es de 0,7. Hallar la probabilidad de que en ese momento: a) Los dos estén vivos. Sol. 0,42 36

b) Sólo el hombre viva. Sol. 0,18 c) Sólo viva la esposa. Sol. 0,28 d) Al menos uno esté vivo. Sol. 0,88 25. Un inversionista compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de ¾ y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es de 1/10. Si los eventos son independientes, determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten su valor Sol. 0,025 b) Ninguna aumente su valor Sol. 0,15 c) Una aumente su valor Sol. 0,5417 d) Dos aumenten su valor Sol. 0,2833 e) Por lo menos dos aumenten su valor Sol. 0,3083 f) Por lo menos una aumente su valor Sol. 0,85 26. Si A y B son sucesos independientes con probabilidad de que no ocurra ni A ni B. Sol. 0,0625

. Cuál es la

27. El consejo de Saner Automatic Door Co. Está formado por 12 integrantes, 3 de los cuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas y procedimientos para la empresa. Debe seleccionar un comité de 3 miembros en forma aleatoria, del personal del consejo para que redacten el manual. a) Cuál es la probabilidad de que todos los integrantes del comité sean varones? Sol. 0,3818 b) Cuál es la probabilidad de que al menos un elemento del citado comité sea una mujer? Sol. 0,6182 28. En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los siguientes datos. De las personas que acuden al comedor: 59% son hombres, 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor, tomado al azar sea alcohólico? Sol. 0,356 29. Durante un estudio de accidentes automovilísticos se encontró que el 60% de los accidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios. a) Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado dado que sucedió de noche? Sol. 0,6167 37

b) Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que está relacionado con un conductor ebrio? Sol. 0,7115 c) Si el accidente no sucedió en la noche, cuál es la probabilidad de que esté relacionado con un conductor no alcoholizado? Sol. 0,625 30. El gerente regional de General Express, un servicio privado de mensajería, está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.65. Más aún sabe, que si los choferes hacen una huelga existe la probabilidad de 90% que los pilotos apoyen la huelga. a) Cuál es la probabilidad de que ambos grupos vayan a huelga Sol. 0,585 b) Si los pilotos hacen huelga, cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga. Sol. 0,78 31. De acuerdo con una encuesta la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor a $35 000 es 0,75. De los hogares encuestados, 60% tenía ingresos mayor a $35 000 y 52% tenía dos autos. Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos aut y un ingreso mayor que $35 000 al año. Sol. 0,45 32. Un corredor de bolsa sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que un cliente compre acciones es del 65%. La probabilidad de que el cliente compre un bono del gobierno si ya tiene acciones es del 35%. a) Cuál es la probabilidad de que el cliente posea ambos? Sol. 0,2275 b) Los eventos son independientes? 33. Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara o se desecha. Después se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. 34.

Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale sello. Si en el primer lanzamiento sale cara, entonces se lanza un dado. Enliste todos los elementos del espacio muestral.

35.

Suponga que se selecciona de forma aleatoria, tres artículos de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso (D) o no defectuoso (¬D). Enliste los elementos del espacio muestral. 38

36. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. a) Construya un diagrama de árbol para mostrar los elementos del espacio muestral. b) Liste los elementos que corresponden al evento A en el que el dado salga un número menor que 3. c) Liste los elementos que corresponden al evento B de que resulten dos sellos. d) Liste los elementos que corresponden al evento A’. e) Liste los elementos que corresponden al evento A’∩B f) Liste los elementos que corresponden al evento AUB 37. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de la construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? 38. Se lanzan 3 monedas al aire. Elabore un diagrama de árbol que ilustre todos los resultados posibles de este experimento. 39. En base al diagrama del ejercicio anterior calcule la probabilidad de obtener: a) Todas caras Sol. 1/8 b) Al menos un sello Sol. 7/8 c) Dos caras Sol. 3/8 d) A lo mucho una cara. Sol. 1/2 40. Una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Si se saca al azar una bola y luego se saca otra sin que se haga la reposición, calcule las probabilidades siguientes: a) ambas sean blancas Sol. 29/185 b) La primera sea roja y la segunda sea blanca Sol. 2/37 c) Ninguna sea naranja Sol. 118/185 d) Ambas son rojas o blancas Sol. 52/185 e) La segunda no sea azul Sol. 11/15 f) La primera sea naranja Sol. 1/5 g) Al menos una sea azul Sol. 86/185 h) A lo sumo una sea roja Sol. 182/185 i) La primera sea azul, pero la segunda no Sol. 22/111 j) sólo una sea roja Sol. 26/111 39

41. Una caja contiene 9 tickets numerados del 11 al 19. Si se extraen 3 a la vez, hallar la probabilidad de que sean: Impar, impar, impar, o par, impar, par Sol. 0,2381 42. Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro bolas verdes. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y a continuación, una bola verde. a) Cuando habiendo extraído la primera bola ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. Sol. 0,2449 b) Cuando habiendo extraído la primera bola esta no es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. Sol. 0,2857 43. Una caja contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Se extraen tres bolas sucesivamente de la caja. Hallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja, blanca y azul, si las bolas: a) Se reemplazan Sol. 0,0356 b) No se reemplazan Sol. 0,044 44. Una caja que contiene 14 artículos ha sido inspeccionada encontrándose 3 defectuosos. Se selecciona al azar 3 de éstos, calcule la probabilidad de no incluir artículos defectuosos. (Realice el cálculo con y sin reemplazo). Sol. 0,4851 Sol. 0,4533 45. Un bolso contiene 3 monedas de 25 centavos y 5 de 1 dólar y otro contiene 6 monedas de 25 centavos y 2 de un dólar. Si se escoge al azar de uno de los bolsos una moneda, cuál es la probabilidad de que sea de un dólar. Sol. 0,4375

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TABLAS DE CONTINGENCIA, TABLAS DE PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

1. El 80% de los hombres y el 10% de las mujeres beben cerveza. Suponiendo que hay el mismo número de hombres y mujeres, encontrar: a) La probabilidad de seleccionar un bebedor de cerveza, cuando una persona se selecciona al azar. Sol. 0,4 b) La probabilidad de seleccionar una bebedora de cerveza, cuando una persona se selecciona al azar. Sol. 0,05 c) La probabilidad de seleccionar una mujer, dado que la persona seleccionada es de las que bebe cerveza. Sol. 0,1111 2. Si de cada 100 varones, 5 tienen daltonismo y de cada 10 000 mujeres, 25 tienen daltonismo, cuál es la probabilidad de seleccionar un varón dado que tiene daltonismo?. Suponga que existe el mismo número de hombres y mujeres en la población considerada. Sol. 0,9524 3. El propietario de un gimnasio, desea construir un perfil de miembros para desarrollar una campaña publicitaria que atraiga a clientes potenciales. El 30% de los miembros actuales son mujeres, el 80% de ellas es menor de 30 años. El 60% de los hombres son menores de 30 años. Cuál es la probabilidad de que un miembro seleccionado de manera aleatoria sea: a) Una mujer menor de 30 años Sol. 0,24 b) Una mujer mayor de 30 años Sol. 0,06 c) Un hombre mayor de 30 años o una mujer menor de 30 Sol. 0,52 d) Un hombre o una mujer mayor de 30 años Sol. 76 4. De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De los 800 bachilleres, 500 tienen trabajo. Cuál es la probabilidad de que un joven de 18 años tomado aleatoriamente sea: a) Un bachiller empleado Sol. 0,5 b) Empleado pero no bachiller Sol. 0,1 c) Desempleado o no bachiller Sol. 0,5 d) Empleado o no bachiller Sol. 0,7 5. Una clasificación de los estudiantes en una universidad se presenta en la siguiente tabla: 41

Semestre Varones (V) Mujeres (M) Primer Semestre S1 500 700 Segundo Semestre S2 600 420 Tercer Semestre S3 300 400 Cuarto Semestre S4 250 100 Total Un estudiante es seleccionado aleatoriamente. Encontrar: a) P (S2V) Sol. 0,183 b) P (V o S3) Sol. 0,627 c) P (M/ S4) Sol. 0,286 d) P (S1) Sol. 0,367 e) P (V o S1o S2) Sol. 0,847

total

6. Usted recolectó datos sobre 500 economistas en la academia, la industria privada y el gobierno respecto a sus opiniones sobre si la economía podría ser estable, podría expandirse o podría entrar en un período de contracción en el futuro próximo. Sin embargo parte de la información se perdió, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial. Con base en los datos restantes, cree una tabla de probabilidad. Economía Expansión (E) Contracción ( C) 100 35 40

Economistas Estable (S) TOTAL Academia (A) 125 Industria privada (I) 110 Gobierno (G) 25 65 TOTAL 200 De la tabla de probabilidad halle: a) P(A) Sol. 0,65 d) P(A∩E) Sol. 0,2 b) P(G) Sol. 0,13 e) P(S/A) Sol. 0,385 c) P(A∩S) Sol. 0,25 f) P(GUS) Sol.0,48 g) La probabilidad de un economista de la academia pronostique una economía estable. h) 50/110 corresponde a la probabilidad…………. i) 25/65 corresponde a la probabilidad…………. j) Según la tabla defina la probabilidad que corresponde a un suceso improbable……..

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7. A los estudiantes de una clase de estadística para los negocios se les preguntó qué nota esperaban sacar en el curso y si hacían más problemas de los que ponía el profesor. La tabla adjunta muestra las proporciones de estudiantes en cada una de las ocho clasificaciones conjuntas. Problemas NOTA ESPERADA realizados A B C Menos de C Sï 0.12 0.06 0.12 0.02 No 0.13 0.21 0.26 0.08

a) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente en esta clase hiciera más problemas. Sol. 0,32 b) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente en esta clase espere una A. Sol. 0,25 c) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que hiciera más problemas espere una A. Sol. 0,375 d) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que espere una A hiciera más problemas. Sol. 0,48 e) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que hiciera más problemas espere una calificación de menos de B. Sol. 0,4375 f) ¿Son independientes “resolución de más problemas” y “nota esperada”. 8. Cruce las variables (matriz de variables página 8), género y calificación de grado. Con esta información formule tres ejemplos de probabilidad marginal, tres de probabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional. 9. Cruce las variables (matriz de variables página 8), número de créditos reprobados y uso del internet. Con esta información formule tres ejemplos de probabilidad: marginal, tres de probabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional. 10. En un determinado sector el 20% de los trabajadores tiene contrato en prácticas, el 60% tiene un contrato temporal, y el resto son fijos. En cada una de estas categorías son menores de 35 años el 90%, el 75% y el 55% respectivamente. a) Qué porcentaje de trabajadores son menores de 35 años en este sector. Sol. 74% b) Si se elige al azar un trabajador y es mayor de 35 años. Cuál es la probabilidad de que esté en prácticas Sol. 0,077 43

11. En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas del mismo tipo. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina, es respectivamente 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina y se elige una pieza al azar, que resulta ser no defectuosa. Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A. Sol. 0,3367 12. Tres vendedores A, B y C suministran 15%, 50% y 35% respectivamente de la cantidad total de un componente usado en el ensamblaje de cierto producto. Las probabilidades respectivas de falla de este componente son 0.1, 0.2 y 0.4 según los tres fabricantes. Determine la probabilidad de que un componente seleccionado aleatoriamente no falle. Sol. 0,745 13. Un profesor imparte la asignatura de Estadística a tres aulas A, B, C con 30, 26 y 28 alumnos respectivamente. Se sabe que en el grupo A han reprobado 5 alumnos, en el grupo B, 4 y en el C, 3. a) ¿Qué porcentaje de alumnos han aprobado? Sol. 14,29% b) ¿Qué porcentaje de los aprobados corresponde al grupo C? Sol. 34,72% 14. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y consumo. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50% para la industria y el 20% restante son para consumo. Han resultado impagos el 5% de los créditos para vivienda, el 6% de los créditos para la industria y el 11% de los créditos para consumo. Un crédito ha resultado impago. Calcular la probabilidad de que sea un crédito para la industria. Sol. 0,448

15. Las máquinas A y B son requeridas para completar una orden de producción, la máquina A produce el 25% y la máquina B el 75% de la producción total. El porcentaje de producción defectuosa para A es 3% y para B es 4%. Una parte del producto es seleccionada aleatoriamente de la producción total y se observa que no es defectuosa. Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la máquina A? Sol.252

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16. El departamento de personal de una empresa grande ha descubierto que sólo el 60% de los candidatos investigados están realmente capacitados para asumir un cargo en la compañía. Una revisión de registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística, mientras que el 20% de quienes no estaban calificados habían recibido instrucción estadística mucho antes. Cuál es la probabilidad de que usted esté calificado dado que ha tenido entrenamiento en Estadística. Sol. 0,834 17. En un programa de capacitación para el personal del área administrativa de una empresa el 80% de los capacitados son mujeres, y 20% varones. El 90% de las mujeres asistió a la universidad, y el 78% de los varones también. a) Una persona que participa en el programa se selecciona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer que no asistió a la universidad? Sol. 0,08 b) Al seleccionar una persona al azar se sabe que ha asistido a la universidad, cuál es la probabilidad de que sea una mujer. Sol. 0,822 c) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades (a priori, condicionales y conjuntas. 18. Un profesor observa que pone una calificación final de sobresaliente al 20% de los estudiantes. El 70% de los que obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvo una calificación de sobresaliente en el examen parcial. Además el 10% de los estudiantes que no obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvo un sobresaliente en el examen parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que obtuvo un sobresaliente en el examen parcial obtenga una calificación final de sobresaliente. Sol. 0,636 19. Se recibieron dos cajas de camisas para hombre marca Old Navy provenientes de la fábrica, a caja uno contenía 25 camisas deportivas y 15 de vestir, en la caja dos había 30 deportivas y 10 de vestir. Se seleccionó al azar una de las cajas y de esas se eligió, también aleatoriamente una camisa para inspeccionarla. La prenda era deportiva. Dada esta información, cuál es la probabilidad de que dicha camisa provenga de la caja uno. Sol. 0,4545 20. Hay 4 personas que se consideran para el puesto de presidente y ejecutivo en jefe en la empresa Dalton Enterprise. Tres de los aspirantes tiene más de 60 años. 2 son mujeres, de las cuales sólo una es mayor de 60 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato sea mayor de 60 y mujer? Sol. 0,25 45

b) Dado que el candidato es hombre ¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años? Sol. 0 c) Dado que la persona es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Sol. 0,3333 21. Una investigación demuestra que el 30% de los profesores de la nación dejan la profesión después de diez años. Además de quienes la abandonan, el 60% tienen un título avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión el 20% tienen un título avanzado. El Sr. Y el profesor favorito de los estudiantes, acaba de obtener un título avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a los estudiantes y consiga un trabajo distinto? Sol. 0,5625 22. Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de Estadística pasaron la primera evaluación. De quienes pasaron el 80% estudiaron y el 20% de quienes no pasaron si estudiaron. ¿Debería usted estudiar paras las pruebas de este profesor? Sol. 0,857 23. Una editorial envía la publicidad de un libro de texto de contabilidad al 80% de todos los profesores que imparten la asignatura de contabilidad. El 30% de los profesores que reciben esta publicidad adopta el libro, al igual que el 10% de los que no la reciben. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que adopta el libro haya recibido la publicidad? Sol. 0,9231 24. El Gerente de crédito de un almacén de electrodomésticos, sabe que el almacén utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de los tres métodos son: 0,75; 0,60; y 0,65 respectivamente. El Gerente acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho: a) Personalmente Sol. 0,739 b) Por teléfono Sol. 0,169 c) Por correo Sol.0, 092 25. Una empresa se especializa en proporcionar evaluaciones de sus perspectivas a tiendas de ropa para dama en centros comerciales. El director de la empresa informa que evalúa las posibilidades como buenas, regulares o malas. Los registros de las evaluaciones anteriores indican que en el 60% de los casos, las perspectivas son buenas, en el 30% son regulares y en el 10% son malas. De las evaluadas como buenas el 80% dieron utilidades durante el primer año, de las evaluadas como regulares, el 60% produjeron utilidades el primer año, y de las evaluadas como malas, 20% 46

arrojaron beneficios durante el primer año. Conie’s Apparel fue uno de los clientes de la empresa que obtuvo utilidades el año pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que se le haya dado una calificación inicial de mala? Sol. 0.0294 26. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0,75. De los que compran pintura de látex, el 60% también compra rodillos. Sin embargo, sólo el 30% de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura y lata de pintura. ¿cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex? Sol.0,857

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de: a) Identificar el tipo de variable aleatoria de acuerdo a la naturaleza de la información. b) Describir las características de cada una de las distribuciones de probabilidad. c) Calcular correctamente las probabilidades en los problemas de aplicación práctica d) Resolver problemas aplicados a la carrera utilizando las distribuciones probabilísticas. e) Construir una tabla de distribución de probabilidad y su representación gráfica para casos prácticos y reales. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de: Funciones reales CONTENIDOS 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4.1. Variable aleatoria y su tipología 4.2. Distribución de probabilidad (discreta) 4.3. Distribuciones de probabilidad discretas 4.3.1. Distribución Binomial 4.3.2. Distribución hipergeométrica 4.3.3. Distribución de Poisson 4.3.4. Aproximación de la distribución de Poisson a la Binomial 4.4. Variable aleatoria continua 4.4.1. Distribución normal 4.4.1.1. Características 4.4.1.2. Gráficos y familias de distribuciones normales 4.4.1.3. Cálculo de la distribución normal estándar 4.4.1.4. Determinación del área bajo la curva 4.4.2. Distribución normal como una aproximación a la Binomial

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SER RESUELTOS 1. Cuáles de las siguientes variables son aleatorias discretas y cuáles continuas a) b) c) d) e) f) g)

El tiempo entre llegadas de clientes a un cajero automático de un banco El número de clientes de una peluquería La temperatura exterior el día de hoy Los carros vendidos Los ingresos Los empleados requeridos para completar un trabajo. Número de accidentes automovilísticos que ocurren al año

2. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del experimento de lanzar una moneda tres veces y observar el número de sellos. 3. Una urna contiene 3 bolas azules, 5 rojas y 4 verdes. Si se extraen 3 bolas (con reposición) Construya una tabla de distribución de probabilidad para el número de bolas verdes. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. 4. Con los datos del ejercicio anterior. Construya la tabla de distribución de probabilidad para el número de bolas verdes pero esta vez hágalo sin reposición. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. 5. Si llueve un vendedor de paraguas gana $30 al día, y si no llueve pierde $6 al día. ¿Cuál es el valor esperado si la probabilidad de lluvia es 0,3? 6. El número de quejas de los empleados de una empresa oscila entre 0 a 6 cada día como se muestra en la siguiente tabla. Calcule e interprete el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. Quejas (X) 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad p(X) 0,13 0,17 0,13 0,26 0,09 0,05 0,17

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7. Las tablas siguientes muestran “variables aleatorias “y sus probabilidades. Sin embargo, sólo una de las tres es realmente una distribución de probabilidad. ¿Cuál es?

Utilizando sea: a) b) c) d)

la distribución de probabilidad correcta, encuentre la probabilidad de que x Exactamente 15 No más de 10 Más de 5 Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de ésta distribución. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. Un director de producción sabe que el 5% de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún defecto. Se examinan 6 de estos componentes, cuyas características pueden suponerse que son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga un defecto? Sol. 0,7351 b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tenga un defecto? Sol. 0,2321 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tenga un defecto? Sol. 0,0328 2. Un político cree que el 25% de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyará firmemente una propuesta que desea presentar. Suponga que esta creencia es correcta y que se seleccionan 5 macroeconomistas aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 5 apoye firmemente la propuesta? Sol. 0,7627 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los cinco apoye firmemente la propuesta? Sol. 0,1035

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3. Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad. Últimamente se ha estado preocupando acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad tengan un trabajo secreto. Sus asistentes estiman que 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entran en esta categoría, pero la señora Bruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar. a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón. ¿Cuál es la probabilidad de que los individuos tengan un empleo? Sol. 0,0001 b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? Sol. 0,2150 c) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de tres de los individuos investigados tengan trabajo? Sol. 0,1673 4. En el pasado mes de agosto el ECU911 informó que sólo el 35% de las llamadas eran emergencias reales. Si de este registro de llamadas se seleccionan 8. a) Elaborar la tabla de distribución de probabilidad para la variable aleatoria número de llamadas que no son emergencias reales. b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 pero menos de 7 llamadas no sean emergencias? Sol. 0,8056 c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo mucho 3 llamadas sean emergencias reales? Sol. 0,7064 5. Encontrar la probabilidad de que en el lanzamiento de una moneda, 6 veces aparezcan: a) Cero caras Sol. 1/64 b) Dos caras Sol. 15/64 c) Cinco caras Sol. 3/32 6. En un hospital, el 60% de los recién nacidos son varones. En un día particular nacen 8 bebés. a) Qué probabilidad existe que 3 o más de ellos sean varones? Sol. 0.950 b) Cuál es el número de recién nacidos varones esperado? Sol. 5 c) Cuál es la desviación estándar? Sol. 1.38 d) Construya una distribución de probabilidad para la variable x: número de recién nacidos varones. e) Construya la distribución gráficamente. 51

7. Encontrar la probabilidad de contestar, en forma aleatoria correctamente al menos 6 de las 10 respuestas en un examen de verdadero-falso Sol. 193/512 8. Una vacuna contra la influenza ofrece una eficacia del 95% en la creación de inmunidad. En una muestra aleatoria de 4 personas vacunadas, determinar la probabilidad de que: a) Ninguna contraiga la enfermedad. Sol. 0.8145 b) Por lo menos dos contraigan la enfermedad Sol. 0.014 c) Máximo una contraiga la enfermedad Sol. 0.9859 9. Una encuesta a nivel nacional realizada por una universidad a 17 000 estudiantes universitarios de último año, revela que casi el 70% desaprueba el consumo de drogas. Si se seleccionan al azar a 18 de tales estudiantes y se les pide su opinión, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 pero menos de 14 desaprueben el consumo de drogas? Sol. 0,6077 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 1. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 5 pertenecen a minorías y 5 no. Al final, el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes, ¿cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones de solicitudes de personas que pertenezcan a minorías? Sol. 0,2619 2. Como subgerente de su empresa de materias primas, usted debe contratar 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un título? Sol. 0,0491 3. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente? Sol. 0,1231 4. La jefatura de Policía de una ciudad de Estados Unidos está vacante. El comité de selección, encargado de recomendar un nuevo jefe al consejo urbano, recibió 12 solicitudes para el puesto. Cuatro de los doce solicitantes son mujeres o miembros de 52

una minoría social. El comité decide entrevistar a los 12 aspirantes del cargo. Para comenzar, selecciona al azar 4 de los solicitantes para entrevistarlos el primer día y ninguno de ellos es mujer o miembro de una minoría. El periódico local indica en un editorial que hay discriminación. Cuál es la probabilidad de que esto sea cierto? Sol.0,141 5. Una florería tiene 15 camiones de reparto que se utilizan principalmente para entregar flores y arreglos florales. Suponga que 6 de los 15 vehículos tienen problemas con los frenos. Se seleccionan 5 camiones al azar para probarlos. Cuál es la probabilidad de que a) 2 de los vehículos examinados tengan frenos defectuosos? Sol. 0,4196 b) 2 de los vehículos examinados no tengan problemas de frenos? Sol. 0,2397 c) A lo sumo tres de los vehículos examinados tengan problemas en su sistema de frenos? Sol. 0,9530 6. En la producción de un determinado artículo, encontramos que por cada 20 que se produce 3 de ellos resultan defectuosos. Si se toma una muestra de 8 artículos. Cuál es la probabilidad de que: a) Por lo menos dos sean defectuosos Sol. 0,3429 b) Por lo menos dos no sean defectuosos Sol. 1 7. El Ministerio de Medio Ambiente sospecha que algunas fábricas infringen los reglamentos contra la contaminación ambiental, en lo que se refiere a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que si se inspeccionan 5 empresas no se encuentre ninguna infracción? Sol. 0,3991 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas descubra a 2 que infringen el reglamento? Sol. 0,1316 8. Se selecciona al azar un comité de 3 personas a partir de 4 médicos y 2 enfermeras. a) Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de médicos en el comité. b) Grafique la distribución c) Calcule . Sol. 0,8

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9. Un distribuidor de electrodomésticos recibe un envío de 20 planchas, de las cuales hay 3 defectuosas. Para conocer si el lote está bueno prueba 6 aparatos. El distribuidor aceptará el lote si encuentra a lo más un aparato defectuoso ente los probados. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el envío? Sol. 0,2017 10. Entre las 80 estaciones de servicio que hay en una ciudad, 10 entregan una cantidad menor que la que el cliente compra. Un inspector de la dirección de hidrocarburos visita aleatoriamente cinco de ellas para verificar si la cantidad vendida es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que se descubra al menos una fraudulenta? Sol. 0,4965 DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1. Se estima que 0.5% de las llamadas telefónicas al departamento de facturación de una empresa de telecomunicaciones, reciben la señal de ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1200 llamadas del día de hoy, por lo menos 5 hayan recibido dicha señal? Sol. 0,7149 2. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondos por día ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 4 cheques sin fondos en un día determinado? Sol. 0,1338 3. El encargado de los préstamos en un Banco, con base a sus años de experiencia, estima la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es de 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo? Sol. 0,0613 b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo? Sol. 0.0803 4. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presenta una tasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a los distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgan defectuosos supera el 30%, usted planea vender en su lugar camisetas Grateful Dead. ¿Cuál artículo agregará usted al inventario? Sol. 0,9896 5. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos. Cuál es la probabilidad de que: a) Reciba exactamente 18 llamadas en 2 minutos. Sol. 0,084 54

b) Reciba exactamente 4 llamadas en un periodo de 30 segundos. Sol. 0,1754 c) Reciba a lo mucho 2 llamadas en un periodo de 15 segundos. Sol. 0,5432 6. A una cafetería llegan en promedio 9 personas en un periodo de 30 minutos calcule la probabilidad de que: a) En 30 minutos, por lo menos lleguen 4 personas. Sol. 0,9789 b) En los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente. Sol. 0,0498 7. En una oficina de bienes raíces se venden en promedio 4 casas por semana. Calcule la probabilidad de que el número de casas vendidas en una semana cualquiera supere el valor medio. Sol. 0,3712

DISTRIBUCIÒN NORMAL 1. Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de texto en un año en una universidad sigue una distribución normal que tiene una media de $380 y una desviación estándar de $50. a) Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de $400 en libros de texto en un año? Sol. 0,6554 b) Cuál Es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de 360 en libros de texto en un año? Sol. 0,6554 c) Explique gráficamente por qué las respuestas de los apartados a) y B) son iguales? d) Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre 300 y 400 dólares en libros de texto en un año? Sol. 0,6006 e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de texto que incluya el 80% de todos los estudiantes de esta Universidad. Explique por qué podrá encontrarse cualquier número de intervalos que lo incluya y halle el más corto. 2. Una empresa produce sacos de un producto químico y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación de 2,8 gramos. Se elige aleatoriamente un saco a) Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10gramos de impurezas? Sol. 0,2148 b) Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas? Sol. 0,1587 55

c) Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas? Sol. 0,3692 3. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4. a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. Sol. 0,2266 b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. Sol. 22,66% c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5 puntos? Sol. 232 4. Las edades de un grupo de 320 individuos tienen como media 24 y desviación típica 5. ¿Cuantos tendrán menos de 27 años? Sol. 232 5. Una radio de la ciudad, encuentra que el tiempo que los radioescuchas sintonizan la estación sigue una distribución normal. La media de la distribución es de 15 minutos y la desviación estándar 3,5 minutos. ¿Cúal es la probabilidad de que un radioescucha particular la sintonice: a) más de 20 minutos Sol. 0,0764 b) menos de 20 minutos Sol. 0,9236 c) entre 10 y 12 minutos Sol. 0,1185 6. Un estudio reciente de los sueldos por hora del personal de mantenimiento en aerolíneas importantes mostró que el salario medio por hora era $ 16,50 (dólares) con una desviación estándar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de la tripulación, cuál es la probabilidad de que gane: a) Entre $16,50 y $20,00 por hora? Sol. 0,3413 b) Más de $20,00 por hora? Sol. 0,1587 c) Menos de $15,00 por hora? Sol. 0,3336 7. Los paquetes de cereal de una marca X vienen en cajas de 36 onzas que tienen una desviación estándar de 1,9 onzas. Se piensa que los pesos están distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que la caja pese: a) Menos de 34,8 onzas? Sol. 0,2643 b) Más de 34,8 onzas? Sol. 0,7357 56

c) Entre 34,3 y 38,9 onzas? Sol. 0,7503 d) Entre 39,5 y 41,1 onzas? Sol. 0,0292 8. Se publica que los frenos de los nuevos autos de la marca Lambourginis duran un promedio de 35 000 millas con una desviación estándar de 1 114millas. Cuál es la probabilidad de que los frenos del auto que usted acaba de comprar le duren: a) Más de 35 000 millas? Sol. 50% b) Menos de 33 900 millas? Sol. 16,11% c) Menos de 37 500 millas? Sol. 98,75% d) Entre 35 200 y 36 900 millas? Sol. 38,50% 9. El promedio de los salarios en los bancos comerciales en Illinois es de 22,87 dólares por hora, con una desviación estándar de 5,87 dólares, Cuál debe ser su salario por hora si desea ganar: a) Más del 80% de todos los empleados? Sol. $27,80 b) Más que el 30% de todos los empleados? Sol. $19,82 c) Menos que el 20% de todos los empleados? Sol. $27,80 d) Más que el 50% de todos los empleados? Sol. $22,87 10. La estatura promedio de un grupo de 100 personas fue de 160cm y la varianza de 100, además se sabe que se distribuyen normalmente. Cuál es la probabilidad de que una persona mida: a) Entre 140 y 165 cm? Sol. 0,6688 b) Entre 170 y 180 cm? Sol. 0,136 c) 185 y más? Sol. 0,0062 d) Menos de 130? Sol. 0,0013 11. El vicepresidente de personal de una empresa ha desarrollado un nuevo programa de capacitación completamente adaptable al ritmo de sus usuarios. Los nuevos empleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo; el término del entrenamiento se da cuando el material es aprendido. El programa ha resultado especialmente efectivo en acelerar el proceso de capacitación, ya que el salario de un empleado es de sólo 67% del que ganaría al completar el programa. En los últimos años, el promedio de término del programa ha sido 44 días, con una desviación estándar de 12 días. a) Encuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa ente 33 y 42 días. Sol. 0,2537 57

b) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días? Sol. 0,1210 c) ¿De terminarlo en menos de 25 o más de 60 días? Sol. 0,1489 12. El gerente de créditos de un almacén de electrodomésticos estima las pérdidas por malos clientes durante el mes en la siguiente forma: La pérdida tiene distribución normal con media de $50 000; además la probabilidad de que sea menor de $60 000 y mayor de $40 000, es 0,40. Cuál es la desviación estándar? Sol. $18 867.9 13. Los ingresos en cierto sector económico se distribuyen normalmente, la clasificación de los grupos económicos, de mayor a menor ingreso, son los siguientes: Grupo A B C D E

Porcentaje 8 16 38 24 14

Si el ingreso del grupo C, está comprendido entre $26 500 y $ 29 800 a) Calcule la media y la desviación típica Sol. µ=27502,9 σ=3235,29 b) Si en dicho sector se ocupa un total de 23 000, personas, cuántas personas esperamos que tengan un ingreso superior a los $30 000? Sol. 5 074 personas 14. En un examen de estadística la media fue 72 y la desviación típica 9. El 10% del curso recibirá grado A. Cuál es la nota mínima para optar por éste grado? Sol. 84 puntos 15. El sueldo promedio de 45 empleados de una empresa es de 491 dólares la desviación típica de 84 dólares. a) Cuál es salario de un empleado que desea gana más que el 20% de todos los empleados. Sol. 419,6 dólares b) Cuántos empleados tendrán un sueldo entre 600 y 630 dólres. Sol. 2 empleados 16. En el examen de Estadística la media fue 6.9 y la desviación típica 1.6. El 16% de los estudiantes del curso se exoneró. a) ¿Cuál fue la calificación mínima de éstos estudiantes que ya no se presentarán al examen final? Sol. 8,5 puntos 58

b) Si se consideran 30 estudiantes, cuántos tendrían una calificación entre 5 y 6,5. Sol. 9 estudiantes 17. Si el percentil 70 de un grupo de calificaciones sobre 100 puntos, que siguen una distribución normal es 77 y la varianza es 40. a) calcule la media Sol. 73,65 b) El número de personas que se ha considerado es 150, cuántos de ellos tienen entre 80 y 90 puntos Sol. 23 personas DISTRIBUCIÒN NORMAL COMO APROXIMACIÒN DE LA DISTRIBUCIÒN BINOMIAL 1. Una compañía de alquiler de automóviles ha observado que la probabilidad de que un automóvil necesite una reparación en un mes cualquiera dado es 0,2. La compañía tiene 900 automóviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 200 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? Sol. 0,0475 b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? Sol. 0,3372 2. Se sabe que el 10% de todos los artículos que salen de un determinado proceso de producción tiene un defecto. Se eligen aleatoriamente 400 artículos de un elevado volumen de producción de un día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los artículos seleccionados tenga un defecto? Sol. 0,7967 b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artículos seleccionados tenga un defecto? Sol. 0,4525 c) ¿Cuál es la probabilidad de entre 34 y 48 de los artículos seleccionados tenga un defecto? Sol. 0,7495 3. Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber qué piensan de un nuevo plan te trabajo propuesto. Si el 60% de todos los obreros de esta empresa es partidario de este nuevo plan. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra sea partidario del plan? Sol. 0,0207 4. Una auditoría reciente a una empresa que se especializa en la elaboración de declaraciones de impuestos de clientes profesionales indicó que el 5% de las declaraciones del año anterior preparadas por la empresa tenía algún error. 59

Suponiendo que la tasa continúe en este año y la empresa elaboró 60 declaraciones. ¿Cuál es la probabilidad de que cometa algún error en: (aplicar el factor de corrección) a) Más de 6 declaraciones? Sol. 0,0192 b) Al menos 6 declaraciones? Sol. 0,0694 c) Exactamente 6 declaraciones? Sol. 0,0502 5. Una empresa de mecánica automotriz anuncia que puede cambiar un silenciador en 30 minutos o menos. Sin embargo, el departamento de normas de trabajo de la compañía realizó un estudio reciente y encontró que 20% de los silenciadores no se instalaron en 30 minutos o menos. Otra sucursal instaló 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto: (aplicar el factor de corrección) a) ¿Cuántas de las instalaciones, en la sucursal, se esperaría que tomasen más de 30 minutos? Sol. 10 b) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 8 instalaciones de silenciadores requieran más de 30 minutos? Sol. 0,1894 c) ¿cuál es la probabilidad de que 8 o menos instalaciones de silenciadores requieran más de 30 minutos? Sol. 0,2981 d) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 instalaciones de silenciadores requieran más de 30 minutos? Sol. 0,1086

60

PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA V. ELEMENTOS DE MUESTREO OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de: a) Aplicar procedimientos de muestreo para poblaciones finitas e infinitas

CONOCIMIENTOS PREVIOS Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de: Probabilidades EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Asuma que se tiene una población de 950 personas y desea obtener una muestra aleatoria de 30. Emplee la tabla de números aleatorios para seleccionar los 30 de los 950 individuos. Proporcione una lista de los elementos seleccionados. 2. Con el ejemplo anterior utilice el muestreo sistemático para seleccionar la muestra. Enliste todos los resultados. 3. Una compañía local de televisión por cable está planeando agregar un canal a su servicio básico, puede escoger de entre 5 canales y por ello desea tener la opinión de sus suscriptores. Sabe que 7 500 de ellos son estudiantes universitarios, 9 000 empleados administrativos, 2 000 obreros y otros 1 000. La compañía va a seleccionar 90 de sus clientes para que respondan al cuestionario de opinión. ¿Cuál sería el número de clientes por cada grupo? 4. En una población bajo estudio existen 2 000 mujeres y 8 000 hombres. Si vamos a seleccionar 250 individuos de esta población ¿cuántos deberán ser mujeres para que la muestra sea considerada representativa?

61

TABLAS ESTADÍSTICAS

62

63

64

Área

Áreas bajo la curva normal

0

z

z −3.4 −3.3 −3.2 −3.1 −3.0

.00 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0013

.01 0.0003 0.0005 0.0007 0.0009 0.0013

.02 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 0.0013

.03 0.0003 0.0004 0.0006 0.0009 0.0012

.04 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012

.05 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011

.06 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011

.07 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011

.08 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0010

.09 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010

−2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5

0.0019 0.0026 0.0035 0.0047 0.0062

0.0018 0.0025 0.0034 0.0045 0.0060

0.0018 0.0024 0.0033 0.0044 0.0059

0.0017 0.0023 0.0032 0.0043 0.0057

0.0016 0.0023 0.0031 0.0041 0.0055

0.0016 0.0022 0.0030 0.0040 0.0054

0.0015 0.0021 0.0029 0.0039 0.0052

0.0015 0.0021 0.0028 0.0038 0.0051

0.0014 0.0020 0.0027 0.0037 0.0049

0.0014 0.0019 0.0026 0.0036 0.0048

−2.4 −2.3 −2.2 −2.1 −2.0

0.0082 0.0107 0.0139 0.0179 0.0228

0.0080 0.0104 0.0136 0.0174 0.0222

0.0078 0.0102 0.0132 0.0170 0.0217

0.0075 0.0099 0.0129 0.0166 0.0212

0.0073 0.0096 0.0125 0.0162 0.0207

0.0071 0.0094 0.0122 0.0158 0.0202

0.0069 0.0091 0.0119 0.0154 0.0197

0.0068 0.0089 0.0116 0.0150 0.0192

0.0066 0.0087 0.0113 0.0146 0.0188

0.0064 0.0084 0.0110 0.0143 0.0183

−1.9 −1.8 −1.7 −1.6 −1.5

0.0287 0.0359 0.0446 0.0548 0.0668

0.0281 0.0351 0.0436 0.0537 0.0655

0.0274 0.0344 0.0427 0.0526 0.0643

0.0268 0.0336 0.0418 0.0516 0.0630

0.0262 0.0329 0.0409 0.0505 0.0618

0.0256 0.0322 0.0401 0.0495 0.0606

0.0250 0.0314 0.0392 0.0485 0.0594

0.0244 0.0307 0.0384 0.0475 0.0582

0.0239 0.0301 0.0375 0.0465 0.0571

0.0233 0.0294 0.0367 0.0455 0.0559

−1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1.0

0.0808 0.0968 0.1151 0.1357 0.1587

0.0793 0.0951 0.1131 0.1335 0.1562

0.0778 0.0934 0.1112 0.1314 0.1539

0.0764 0.0918 0.1093 0.1292 0.1515

0.0749 0.0901 0.1075 0.1271 0.1492

0.0735 0.0885 0.1056 0.1251 0.1469

0.0721 0.0869 0.1038 0.1230 0.1446

0.0708 0.0853 0.1020 0.1210 0.1423

0.0694 0.0838 0.1003 0.1190 0.1401

0.0681 0.0823 0.0985 0.1170 0.1379

−0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5

0.1841 0.2119 0.2420 0.2743 0.3085

0.1814 0.2090 0.2389 0.2709 0.3050

0.1788 0.2061 0.2358 0.2676 0.3015

0.1762 0.2033 0.2327 0.2643 0.2981

0.1736 0.2005 0.2296 0.2611 0.2946

0.1711 0.1977 0.2266 0.2578 0.2912

0.1685 0.1949 0.2236 0.2546 0.2877

0.1660 0.1922 0.2206 0.2514 0.2843

0.1635 0.1894 0.2177 0.2483 0.2810

0.1611 0.1867 0.2148 0.2451 0.2776

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 −0.0

0.3446 0.3821 0.4207 0.4602 0.5000

0.3409 0.3783 0.4168 0.4562 0.4960

0.3372 0.3745 0.4129 0.4522 0.4920

0.3336 0.3707 0.4090 0.4483 0.4880

0.3300 0.3669 0.4052 0.4443 0.4840

0.3264 0.3632 0.4013 0.4404 0.4801

0.3228 0.3594 0.3974 0.4364 0.4761

0.3192 0.3557 0.3936 0.4325 0.4721

0.3156 0.3520 0.3897 0.4286 0.4681

0.3121 0.3483 0.3859 0.4247 0.4641

Apéndice A Tablas y demostraciones estadísticas

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554

.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591

.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628

.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664

.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700

.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736

.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772

.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808

.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844

.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159

0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186

0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212

0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238

0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264

0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289

0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315

0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340

0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365

0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222

0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236

0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251

0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713

0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719

0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726

0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732

0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738

0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744

0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750

0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756

0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761

0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918

0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920

0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922

0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925

0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927

0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929

0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931

0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932

0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934

0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981

0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982

0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982

0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983

0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984

0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984

0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985

0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985

0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986

0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997

0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997

0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997

0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997

0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997

0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997

0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998