Guia Estadistica Aplicada

Guía de Estadística y Probabilidades

INTRODUCCION La estadística es una de las herramientas mas ampliamente utilizadas en la investigación científica. Su aplicación en instituciones gubernamentales y educativas, en los negocios y en la industria, en la banca y en otros quehaceres diarios hace de la estadística una herramienta indispensable. Sin embargo el termino ―Estadística‖ tiene varios significados para diferentes personas; para la gente común y corriente la estadística solamente significa números. En el periodo de la mañana se puede encontrar la estadística mas reciente sobre los delitos de la ciudad: de asesinatos, de robos de automóviles, de asaltos y demás delitos que hayan sido denunciados en determinado periodo de tiempo; de los nacimientos y muertes que han ocurrido, o en la relación con el deporte, el numero de partidos ganados y perdidos por equipos integrantes de la liga de ese deporte. Para otras personas es un método para obtener, presentar y escribir grandes cantidades de datos, y para otras es un método para tomar decisiones en situaciones difíciles. El objetivo es aclarar los significados de la Estadística, definir sus conceptos básicos utilizados con frecuencia y analizar los usos y abusos de los métodos estadísticos. Aunque los significados sean diferentes, todos ellos forman parte del concepto total de ―Estadística‖. La palabra Estadística tiene su sentido mas amplio para aquellas personas cuyo trabajo requiere de un conocimiento de los aspectos mas técnicos. Para estas personas, la estadística tiene relación con aquellos conceptos y técnicas que se utilizan en la recopilación, organización, resumen, análisis, interpretación y comunicación de información numérica. También la ―Estadística‖ proviene de la palabra ―estado‖, porque la función tradicional de los gobiernos centrales es y ha sido llevar la cuenta de la cantidad de habitantes, nacimientos, defunciones, empleo y desempleo, cantidad de empresas, costo de vida y muchas otras características de nuestra sociedad. Estos conceptos y técnicas juegan un papel importante en las actividades que realizan los profesionales de todas las ciencias. Hoy en día, muchas actividades están relacionadas con la estadística y muchas ocupaciones implican el uso del método estadístico.

PROPOSITO La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas que surgió por la necesidad concreta que el hombre tiene que conocer la resolución de problemas relacionados con la recolección, procesamiento, análisis e interpretación de datos numéricos cuyo conocimiento le permitirá tomar decisiones acertadas. Para el conocimiento de la realidad concreta que al hombre le interesa, considera tres etapas fundamentales que son:  Planear la búsqueda y la obtención de la información.  Sistematizar y organizar la información de tal forma que se pueda describir y analizar con facilidad.  Efectuar inferencias sobre la realidad a partir de la información obtenida, haciendo estimaciones verificando hipótesis.

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La interpretación de la información permite obtener conclusiones que enriquecen nuestro conocimiento de la realidad y nuestra capacidad para transformarla. El propósito es de proporcionar los conocimientos para llevar a la práctica las etapas que te permitirán la resolución de cualquier problema estadística. APLICACIONES DE LA ESTADISTICA La estadística día a día gana terreno en su aplicación en toda actividad humana por simple que esta sea. La estadística se aplica en los programas de Gobierno, Ingeniería, Agronomía. Economía, Medicina, Biología, Psicología, Pedagogía, Sociología, Física, etc; no hay alguna ciencia que no la use o profesión que no lo aplique. Algunos ejemplos del uso de la estadística son: 1) En las agencias gubernamentales, tanto federales como estatales utilizan la estadística para realizar planes y programas para el futuro. 2) En el campo de la ingeniería se aplica en muchas actividades tales como: a) b) c) d)

La planeación de la producción. El control de la calidad. Las ventas. El almacén, etc.

3) En la Sociología se aplica para comparar el comportamiento de grupos socioeconómicos y culturales y en el estudio de su comportamiento. 4) En el campo económico su uso es fundamental para informar el desarrollo económico de una empresa o de un país que da a conocer los índices económicos relativos a la producción, a la mano de obra, índices de precios al consumidor, las fluctuaciones del mercado bursátil, las tasa de interés, el índice de inflación, el costo de vida, etc. 5) En el campo demográfico la Estadística se aplica en los registros de los hechos de la vida diaria, tales como:  Nacimientos.  Defunciones.  Matrimonios.  Divorcios.  Adopciones.  Etcétera. En materia de población los datos aportan una buena ayuda para fijar la política de estímulos al control de la natalidad, dirigir la inmigración o emigración, establecer los planes de lucha contra las enfermedades epidémicas o plagas que azotan los campos, etcétera. 6) En el campo educativo la Estadística contribuye al conocimiento de las condiciones fisiológicas, psicológicas y sociales de los alumnos y de los profesores. Al perfeccionamiento de los métodos de enseñanza y de evaluación. 7) Industria. La mayor parte de los industriales la utilizan para el control de calidad. 8) Agricultura. Se emplea en actividades como experimentos sobre la reproducción de plantas y animales entre otras cosas. También se usa la Estadística para determinar los efectos de clases de semillas, insecticidas y fertilizantes en el campo.

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9) Biología. Se emplean métodos estadísticos para estudiar las reacciones de las plantas y los animales ante diferentes períodos ambientales y para investigar la herencia. Las leyes de Mendel sobre la herencia en donde los factores hereditarios se atribuyen a unidades llamadas genes y al estudio sistemático de los cruzamientos entre individuos portadores de genes diferentes, lo que ha permitido precisar de qué manera los genes se separan o se reúnen en las generaciones sucesivas. La verificación de las hipótesis formuladas por Mendel y sus continuadores necesitó el empleo de la Estadística, la cual en este caso ha lanzado las primeras luces sobre el mecanismo de la herencia. 10) Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de fármacos se analizan por medio de métodos estadísticos. Los médicos investigadores se ayudan del análisis estadístico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La Estadística también se aplica en el establecimiento y evaluación de los procedimientos de medida o clasificación de individuos con el propósito de establecer la especificidad y sensibilidad a las enfermedades. 11) Salud. Los técnicos de la salud la utilizan para planear la localización y el tamaño de los hospitales y de otras dependencias de salud. También se aplica en la investigación sobre las características de los habitantes de una localidad, sobre el diagnóstico y la posible fuente de un caso de enfermedad transmisible; sobre la proporción de personas enferma s en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la proporción de enfermos de influenza en dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y el otro no. También se aplica en cualquier otro tipo de investigación similar a éste. 12) Psicología. Los psicólogos se valen de los conceptos y técnicas de la estadística para medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre. 13) Negocios. Los hombres de negocios pueden predecir los volúmenes de venta, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, etcétera. 14) En la Física se utiliza la Estadística para obtener datos y probar hipótesis.

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1. Definición.- La Estadística es el estudio científico relativo al conjunto de métodos encaminados a la obtención, representación y análisis de observaciones numéricas, con el fin de describir la colección de datos obtenidos, así como inferir generalizaciones acerca de las características de todas las observaciones y tomar las decisiones más acertadas en el campo de su apli cación. 1.1 Clasificación: La Estadística como disciplina o área de estudio comprende técnicas descriptivas como inferenciales. Incluye la observación y tratamiento de datos numéricos y el empleo de los datos estadísticos con fines inferenciales. Para su estudio se clasifica de la siguiente forma: a) Estadística Descriptiva: Es una parte de la estadística que se encarga de organizar, describir, ordenar, resumir y presentar datos de manera informativa. b) Estadística Inferencial: Es una técnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas. Es también la que nos proporciona la teoría necesaria para inferir o estimar las leyes de una población partiendo de los resultados o conclusiones del análisis de una muestra. Estas dos partes de la estadística no son mutuamente excluyentes, ya que para utilizar los métodos de la inferencia estadística, se requiere conocer los métodos de la estadística descriptiva. 1.2 Población y Muestra a) Población Estadística o Universo: Es un conjunto de elementos (personas, entidades u objetos), del cual se quiere saber algo que nos interesa para tomar una determinación; que contiene una o mas características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir a ellos. A cada elemento de la población se denomina unidad elemental o unidad estadística. El número de datos de una población se simboliza con la letra (N). Ejercicio 1: Los empleados de una empresa en un día laborable, constituyen una población en la que cada empleado (unidad estadística), tiene muchas características a ser observadas, como por ejemplo: sexo, estado civil, lugar de procedencia, grado de instrucción, etc. (características cualitativas), o numero de hijos, ingresos mensuales, etc. (características cuantitativas). El resultado de medir una característica observable de una unidad elemental. Se denomina dato estadístico o valor observado o simplemente observación. Tenemos que población finita si tiene un número finito de elementos. En caso contrario la población infinita. Pero en la práctica, una población finita con un número grande de elementos se considere población infinita. Parámetro: Es una medida descriptiva que resuma una característica de la población como: la media (µ) o la varianza (ϭ2), se calcula a partir de los datos observados de toda la población. Ejercicio 2: Mencione tres ejemplos de población - Población de ventas anuales de los supermercados de Lima Metropolitana. - Población de todos los posibles resultados cara y sello que se obtienen al arrojar una moneda un número indefinido de veces. - Población de puntajes de rendimiento en la solución de ejercicios matemáticos de todos los alumnos de la carrera de Ingeniería Industrial tercer ciclo.

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b) Muestra: Es un subconjunto de la población que se estudia para determinar el parámetro que describe la característica deseada de la misma. Todas las muestras son subconjuntos de la población pero no todas son representativas. Las muestras representativas se seleccionan aleatoriamente. Muestra aleatoria es aquella que se obtiene de tal manera que cada posible observación disponible en la población, tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. El número de datos que constituye una muestra se llama tamaño de la muestra y se simboliza con la letra (n).

Ejercicio 3: Cite un ejemplo de muestra -Si se desea estimar el gasto promedio anual de los estudiantes del C.B., se extraería una muestra formada por cierto número de estudiantes, se determinaría el gasto anual correspondiente a cada uno de ellos y después se obtendría el promedio. Se utiliza una muestra debido a que simplemente no se tiene el tiempo ni los recursos para establecer el contacto con todos los estudiantes del C.B., aun cuando es posible hacerlo. Estadístico o estadígrafo: Es una medida descriptiva que resuma una característica de la muestra, como: la media ( x ) o la varianza (s2) calculada a partir de los datos observados de una muestra aleatoria. Ejercicio 4: En un campo de experimentación agrícola se ha desarrollado una variedad de jitomate. Se desea determinar el peso promedio de los jitomates de cada planta. Determinar el parámetro y el estadígrafo. Solución: El parámetro de la población es: El peso promedio de todos los jitomates producidos por cada planta en una cosecha determinada. El estadístico o estadígrafo es el peso promedio de todos los jitomates producidos por planta, en una muestra aleatoria de plantas cultivadas de la cosecha. ( x ). 2. Variables: Se clasifican de la forma siguiente a) Variable Cualitativa.- Es aquella que representa una cualidad ya sea en una población o muestra, no lleva clasificación numérica. Por ejemplo, la variable ―estado civil‖ puede adoptar las modalidades: soltero, casado, divorciado, viudo, etc. La cual puede ser: Variable cualitativa nominal o variable categórica, cuando se definen categorías. Teniendo en cuenta el número de observaciones para cada categoría como por ejemplo la variable ―color de ojos‖ con las posibles modalidades (castaño, azul, negro etc.). Variable cualitativa ordinal, es cuando se ordena los casos en términos de grado por ejemplo la variable ―clase social‖ con las posibles modalidades (bajo, media, alto); otra variable ―estudio‖ con las posibles modalidades (1er grado, 2do grado, etc.) b) Variables Cuantitativa.- Son variables que se obtienen como resultados de mediciones o conteos, (son variables numéricas). Son variables cuantitativas el peso de personas, temperatura, el coeficiente intelectual de personas, la presión sanguínea, el número de estudiantes del primer semestre, el número de accidente que se producen en un periodo dado de una región geográfica. Las variables cuantitativas se clasifican en:

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Variables Cuantitativas Discretas, cuando toman valores numéricos aislados o enteros positivos y no pueden tomar ningún valor entre dos consecutivos fijados por ejemplo el número de monedas que una persona lleva en su bolsillo; el número de admisiones en un hospital durante un día determinado. Variables Cuantitativas Continuas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores entre dos números, por muy próximos que los fijemos por ejemplo la estatura de los estudiantes de la carrera de ingeniería industrial; nivel de colesterol de ciertos pacientes de hospital general, la edad etc. Ejercicio 5: Un empresario desea saber entre las marcas de carro (Ford, Nissan, Chrysler),cuál es el de preferencia de los habitantes de una ciudad de la República; para ello se encuesta a 20 personas habiéndose obtenido los siguientes resultados: F, N, C, F, C, C, N, C, F, N, N, N, F, C, N, F, N, C, F, N. ¿Que tipo variable es? y ¿Qué marca es la de mayor preferencia? Solución: Es una variable cualitativa nominal, porque a los habitantes encuestados los agrupa en tres categorías sin tener un orden que esta dado por la marca de carro. De los 20 encuestados la mayoría prefiere carros de marca Nissan. Ejercicio 6: En una encuesta acerca de la preferencias de una marca de bebida gaseosas por sus colores: Negro(N), Blanco (B), Rojo(R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas: B,N,N,B,R,,N,N,B,B,N,B,N,N,R,B,N,B,R,B,N ¿Qué tipo de variable es y porque?; ¿Qué color de bebida es más favorecido?

Ejercicios de Aplicación I 1. Del siguiente problema identifica y escribe en la línea cuál es la población, la muestra, el parámetro y el estadígrafo. De todos los estados de la República Mexicana se desea saber el ingreso bruto sobre recaudación de impuestos sobre la renta y el promedio de ingresos de diez de los estados tomados al azar. La población es _________________________________________________________ La muestra es __________________________________________________________ El parámetro es _________________________________________________________ El estadígrafo o estadístico es _____________________________________________ 2. Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo(B), medio(M), alto(A), 20 familias dieron los siguientes respuestas: M,B,B,M,A,B,B,M,M,B,M,B,B,A,M,B,M,B,M,A,M,B ¿Que tipo variable es?: _________________________________ ¿Qué nivel socioeconómico mas frecuente se presenta?_______________________________ Explica con tus propias palabras, ¿cuál es el objetivo de la investigación?. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. La compañía Market con base en Chicago pidió una muestra de 1960 consumidores que probaron un plato de pescado congelado elaborado por la empresa Matón de los 1960 consumidores consultados 1176 dijeron que comprarían el platillo si se pusiera a la venta.

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a) ¿Que informaría la compañía Market de Matón, respecto a la aceptación del plato de pescado congelado si se pusiera a la venta? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ b) Este es un tipo de estadística descriptiva o inferencial y porque. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4. Clasifique las variables detalladamente: Profesión, Nacionalidad, grado de instrucción, número de hijos, número de celular, dirección, año de nacimiento, edad, estado civil, ingreso mensual familiar promedio, número de DNI 5. El médico de una guardería desea saber el crecimiento que tuvo cada niño a su cuidado, durante los primeros 6 meses del año, para ello se obtuvieron los siguientes resultados en centímetros: 8, 8, 7, 5, 4, 3, 4, 7, 5, 9, 3, 4, 7, 6, 5, 7, 3, 5, 4, 5, 3, 9, 7, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 8, 3, 4, 9, 5 Escribe la variable que se investiga: ______________________________________ Es una muestra o población: _____________________________________________ ¿Qué tipo de variable es? _______________________________________________ 6. El maestro del grupo 502 del plantel 2 ―Cien Metros‖, evaluó el grado de aprovechamiento en el curso de estadística, bajo la siguiente escala: Excelente, Bien, Regular, Mal; habiendo obtenido los siguientes resultados: R, B, M, R, E, M, B, R, R, M, B, E, B, R, B, B, R, B, B, R, B, M, E, R, R, B, B, E, B, R, R, R, B, B, R, B, R, R, B, E, M, R, B, R Responda las siguientes preguntas: ¿Cuál es la variable que se está evaluando? ___________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron E? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron B? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron R? ____________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron M? ____________________________________ ¿Cuántos elementos tiene la muestra? ________________________________ ¿En cuántas categorías se agrupan los elementos? ______________________ ¿Qué tipo de variable es la que se está evaluando? ______________________ 7. Las edades de los jóvenes que escuchan las casi 60 estaciones de radio, con canciones románticas en la ciudad de Tacna son: 20 19 27 21 18 16 15 23 17 13 14 15 20 21 22 23 14 16 19 20 21 20 23 19 16 14 17 15 27 24 21 30 29 32 18 17 23 29 23 24 19 13 14 17 29 32 31 21 20 30 34 24 21 19 18. ¿Qué tipo de variable es?_____________________________________________________ ¿Cuál la edad máxima y edad mínima?__________________________________________ Es una muestra o población: __________________________________________________ 8. En una encuesta a 180 propietarios de residencias de lujo, 80 eran de la Molina, 60 eran de san Isidro, 30 eran de Mira flores y 10 de Pueblo Libre. ¿Qué tipo de variable es? 9. Un informe de la revista ―Futuro‖ revelo que los japonenses pronto controlaran un 35% de las ventas de autos en Estados Unidos, comparado con el 28% de los finales de los años 90 esta apenas a un 8% por encima de lo ocurrido en 1980. ¿Esta información contiene estadística descriptiva, inferencial o ambas? Explique

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3. Descripción de Datos.- La primera tarea de la Estadística descriptiva son ordenar, clasificar y resumir los datos obtenidos en la investigación de campo, para ello se concentran en tablas de Frecuencias. Ordenados los datos se facilita su representación en diagramas y gráficas de diferentes tipos. Además permite señalar donde los valores tienden a concentrarse e indica los valores menores y mayores. 3.1 Distribución de Frecuencias o Tablas de Frecuencia.- Los datos agrupados en tablas, nos permiten ver con facilidad el número de observaciones iguales o comprendidos en un intervalo, a este número de repeticiones iguales de la variable se llama frecuencia 3.2 Frecuencia Simple o Absoluta.- Es la observación de una característica particular de una población o muestra dada y se denota por (fi). Por ejemplo hay tres clases de carros entonces habrá tres frecuencias. Otros valores relacionados con la frecuencia son: 

Frecuencia Acumulada (Fi), como su nombre lo dice es la que va acumulando las frecuencias simples o absolutas (fi).

Fi  f i 1  f i



Frecuencia Relativa, se denota por hi y viene hacer el cociente de la frecuencia simple y el tamaño de la muestra.

hi  

fi n

Frecuencia Relativa Acumulada: Se representa por Hi y se determina por:

H i  hi 1  hi

Las frecuencias relativas y relativas acumuladas, siempre se expresa en porcentajes. Y la suma de las frecuencias relativas (hi) es siempre la unidad. Para el caso de una muestra de tamaño 29 Procedimiento: 1) Número de intervalos (k): Usamos la fórmula de Sturges k  1 3.3 log n

rango  vmax  vmin rango 3) Amplitud o ancho del intervalo (c): c  k 2) Rango del intervalo:

4) Marca de clase (mi): Es la semisuma del límite inferior y límite superior Ejercicio 8 Sean los siguientes puntajes de los coeficientes de inteligencia de 40 estudiantes universitarios 93 108 112 90 108 99 110 102 124 96 105 115 108 104 104 103 120 110 108 107 107 93 109 125 106 110 124 110 130 97 115 130 95 136 122 92 102 98 140 103 Se tiene la tabla de distribución de Frecuencias Complete Intervalos de clase 90  98 98  106 106  114 114  122 122  130 130  138 138  146 Total

Marcas de clase

fi

Fi

hi

7 9 13 3 4 3 1

0.175 0.225 0.325 0.075 0.1 0.075 0.025

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a. ¿Cuál es la variable de estudio y que tipo es? ¿Es muestra o población; tamaño?

b. ¿Que representa los intervalos de clase y las frecuencias absolutas?

c. ¿Cómo interpretaría la frecuencia acumulada F 5 y h5?

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Ejercicios de Aplicación II 1. Determine el cuadro de frecuencias cardiacas de un grupo de 50 fumadores 80 75 70 89 83 90 75

79 76 73 88 82 76 85

69 79 78 91 81 79 66

77 71 68 83 78 80

69 78 70 81 73 68

80 77 91 68 79 72

76 80 66 79 84 79

80 74 72 86 80

a) ¿Cuál es la variable de estudio y que tipos es? b) Es una población o muesta? c) ¿Cuál es el peso máximo y peso mínimo? d) Interpretar f3, h6 y F4 2. Construir la tabla o cuadro de distribución de frecuencias de una muestra que representa el peso de 53 personas en kilogramos 45 80 72 64 69 59 68 60

50 63 70 61 60 46 58 90

50 65 73 79 60 57 80 51

62 64 49 52 70 54 54 75

60 47 54 62 43 77 64

52 67 60 40 87 60 61

64 61 65 81 43 53 59

a) ¿Cuál es el peso máximo y peso mínimo? b) ¿Cuál seria la interpretación de la frecuencia absoluta f3 y frecuencia acumulada F5? 3. Los ingresos quincenales en dólares de 45 personas son 63 89 36 49 42 53 70 57 64 72 52 51 59 60 67 57 53 64 76 44 Construir una distribución de frecuencias a) ¿Cuál es el valor máximo y mínimo? b) ¿Cuántos intervalos de clase sugeriría? c) Interpretar la f2 , h5, , H2

56 62 62 67 73

64 42 60 61 56

59 68 71 67 62

35 62 61 51 63

78 26 55 81 60

4. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresa fueron: 31 15 36 25 24

17 39 19 28 23

27 20 18 30 29 37 33 28 31 21

28 10 41 26 33 27 22 23

34 12 27 31

25 4 46 18 24 26 29 35

Construir una distribución de frecuencias y determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares. 5. Las notas del examen parcial de matemática I dieron la siguiente distribución de frecuencias a) Completar la distribución de frecuencias. b) ¿Que porcentaje de notas se encuentran en el complemento del intervalo [6,12>?

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Nº de días ausentes

Marcas de clase



hi

Hi

0.15

6

  15 

0.45 0.70 13.5 0.10

Total 6. Los tiempos de vida útil (en días) de un tipo de batería, se tabulo en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencias relativa acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00. Determinar la distribución de frecuencias absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es 11, si la segunda marca de clase es 6, y si el límite inferior del cuarto intervalo es 12. R. vmin=0; c=4 7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Si se tienen: marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias: h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4- h1 y h3=h1+0.10 y F6=60, Construir la tabla de distribución de frecuencias. R. vmin=10; c=20 8. El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 6 intervalos, siendo las frecuencias: f 2=25, F3=75, F5=130. Si el límite inferior del sexto inérvalo igual a 60, y el 70% de los consumos son mayores de 49,99m3. Completar la distribución de frecuencias R. vmin=35; c=5 9. La oficina de Estadística Laboral ha hecho una muestra de 30 comunidades en todo el país sobre los precios de productos básicos, en cada comunidad al principio y al final del mes de agosto, con el fin de encontrar aproximadamente cuanto ha variado el índice de precios al Consumidor (IPC) durante ese mes. Los cambios porcentuales en los precios para las 30 comunidades son: 0.7 0.1 -0.5

0.4 0.5 -0.3

-0.3 0.2 0.1

0.2 0.3 0.5

-0.1 1.0 0.4

0.1 -0.3 0.0

0.3 0.0 0.2

0.7 0.2 0.3

0.0 0.5 0.5

-0.4 0.1 0.4

a) Organice los datos en un arreglo ascendente. b) Utilizando las cuatro clases de igual tamaño, construya una distribución de frecuencias: -0.5 a -0.2; -0.1 a 0.2; 0.3 a 0.6; y 0.7 a 1.0. c) ¿Cuántas comunidades tienen precios que no cambian o que aumenten menos de 1.0%? d) Son estos datos continuos o discretos.

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4. Diagrama de Tallo (o tronco) y Hojas Es una técnica que se usa para organizar datos sin perder la identidad de cada dato observado, como si ocurre en una distribución de frecuencias por intervalos. El diagrama de tallo y hojas se construye partiendo cada Dato numérico en dos. El tallo que consiste del digito o los dígitos iniciales y las hojas que consisten de los dígitos restantes del dato. Usualmente se eligen entre 5 y 20 tallos. Los tallos ordenados son ubicados en forma vertical. Las hojas ordenadas de cada tallo son ubicadas horizontalmente. Ejercicio 1 Sean los siguientes ingresos quincenales de 45 trabajadores 63 89 36 49 56 64 59 35 43 53 70 57 62 43 68 62 64 72 52 51 62 60 71 61 59 60 67 57 67 61 67 51

78 26 55 81

53 64 76 44

73 56 62 63

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a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) Halle el porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52 c) ¿Cuál es el valor de en medio o centra? d) ¿Cuántos valores están entre 50 y 65?

Solución: a) Utilicemos el primer digito de cada dato como tallo y el segundo como hoja. Para el número 63 por ejemplo, el tallo es 6 y la hoja es 3. Como el dato mínimo es 26 y el dato máximo es 89, entonces los tallos empiezan en 2 y terminan en 8. Después de organizar todos los datos, el diagrama de tallo y hoja resulta: Tallo

Hojas

2 6 4 5 6 7 8

6 56 3349 112335667799 000112222334447778 012368 19

b) El porcentaje de ingreso quincenales inferiores a $52 es (9/45) = 0.2 o 20% c) El valor de en medio o central es: $61 d) Hay 26 valores entre 50 y 65 Ejercicio 2 Los siguientes datos representan el periodo de duración en meses de 32 baterías ―DURA‖ doble A: 3.3 4.0 6.0 4.2 6.0 5.4 4.5 6.7 1.5 7.0 6.5 7.4 5.2 5.7 6.2 4.7 5.0 5.2 6.8 3.8 2.4 3.6 2.8 5.6 5.5 6.2 5.3 6.5 5.5 6.0 7.1 5.9 a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) ¿Cuál es el valor de en medio? c) ¿Cuántas baterías duran entre 2.9 y 5.8 meses?

Solución:

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a) Utilicemos dígito entero de cada dato como tallo y el digito decimal como hoja. Para el número 5.2. por ejemplo, el tallo es 5 y la hoja es 2. Como el dato mínimo es 1.5 el dato máximo es 7.4, entonces los tallos empiezan en 1 y termina en 7. Después de organizar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas resulta: Tallo

Hojas

1 2 3 4 5 6 7

5 48 368 0257 0223455679 000225578 014

b) El valor de medio es: 5.5 meses c) Hay 16 baterías que duraron entre 2.9 y 5.8 meses. Ejercicio 3 El siguiente es el diagrama de tallo y hojas de los valores (un entero y dos decimales) de una variable continua. El tronco consiste de un entero y un decimal: Tallo

Hojas

1 2 3 4 5 6 7

5 48 368 0257 0223455679 000225578 014

a) ¿Cuántos datos se observaron? Indique el mínimo y el máximo. b) ¿Cuál es el valor del centro? Solución: ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

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5. Representación Grafica de los datos de la Muestra.- Los gráficos dan una idea mucho mas sintética que los cuadros estadísticos, unas veces su finalidad es simplemente tratar de mostrar a otras personas la evolución de dicho fenómeno, pues mientras que la interpretación de un cuadro estadístico requiere de ciertos conocimientos, cualquiera puede comprender fácilmente que una línea ascendente indica un aumento del fenómeno estudiado. Al igual que los cuadros estadísticos, en los gráficos se considera: 1) El titulo. 2) El grafico propiamente dicho 3) Las notas explicativas. 5.1 Representación Grafica de Variables Cuantitativas.- Las más usadas son: 1) Histograma. 2) Polígono de Frecuencias. 3) Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas 1) Histograma.- Es una representación grafica de la distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante una serie de rectángulos continuos que tienen: a) Sus bases sobre un eje horizontal (eje de las X) con centros en las marcas de clase y longitud igual al tamaño de los intervalos de clase. b) Las alturas proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) tomados sobre el eje de las Y. Nota: Para la determinación de la escala vertical se usara criterio común dependiendo de los datos. Generalmente puede ser de 5 en 5 o de 10 en 10 2) Polígono de Frecuencias.-Son líneas rectas que se trazan entre las intersecciones del punto medio del intervalo de clase y la frecuencia. a) Si la variable es discreta, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras en el diagrama de barras. b) Si la variable es continua o esta agrupada en intervalos de clase, el polígono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulo en el histograma. 3) Polígono de Frecuencias Acumuladas y Ojivas.-Esta representación es valida para variables estadísticas agrupadas en intervalos de clase o categorías. En el eje de las abscisas (X), representamos los intervalos de clase, en el extremo superior de cada intervalo se levanta una vertical con altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada, luego se unen los extremos superiores de las líneas verticales con segmentos rectilíneos. Así obtendremos la Ojiva del polígono de frecuencias acumuladas. Alcanzando su máxima altura en el último intervalo. Histograma y Polígono de Frecuencias de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de inteligencia (k)

Coeficientes de inteligencia (mi)

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Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de Inteligencia (k) Ejercicios de Aplicación III 1. a) Escriba los números 17, 45, 38, 27,6,48,11, 57, 34 y 22 en una lista ordenada. b) Determine el rango de estos números. 2. Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras (lb.) Encuentre (a) El tamaño del intervalo de clase y los límites de clase. 3. Las calificaciones finales en matemáticas de 80 estudiantes universitarios se reportan en la muestra siguiente: 68 73 61 66 96 79 65 86

84 79 65 78 78 62 80 67

75 88 75 82 89 67 73 73

82 73 87 75 61 97 57 81

68 60 74 94 75 78 88 72

90 93 62 77 95 85 78 63

62 71 95 69 60 76 62 76

88 59 78 74 79 65 76 75

76 85 63 68 83 71 53 85

93 75 72 60 71 75 74 77

A partir de esta tabla, encuentre: a) La calificación más alta y más baja. b) Determine el cuadro de distribución de frecuencias (ki, mi, fi, Fi). c) El numero de estudiantes con calificaciones de 75 o más. d) Interprete la frecuencia f4, F6. 4. En una compañía, el sueldo mínimo y máximo de 200 empleados es de $150 y $300 respectivamente. Tales sueldos se tabulan en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Si se sabe que 20 empleados ganan al menos $150, pero menos de $180; 60 ganan menos de $210; 110 ganan menos de $240; 180 ganan menos de $270 y el 10% restante de empleados gana a lo más $300. Construir la distribución de frecuencias y graficar su polígono de frecuencias. Rp. vmin =150; c=30 5. Se muestra los pesos de 40 estudiantes hombres de una universidad, con precisión de una libra. Construya una distribución de frecuencias y represente a través de un polígono de frecuencias.

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138 146 168 146 161

164 158 126 173 145

150 140 138 142 135

132 147 176 147 142

144 136 163 135 150

125 148 119 153 156

149 152 154 140 145

157 144 165 135 128

Además interprete F2 y f5. 6. El Midland Nacional Bank seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes, enseguida se presentan los saldos (en dólares) a fin de mes: 404 74 57 185 302 127

234 141 968

149 758 712

279 72 503

215 863 489

123 703 327

55 125 608

43 350 358

321 440 425

87 234 37 252 303 203

68 27

489 521

a) Coloque los datos en una distribución de frecuencias usando $100 como tamaño de intervalo de clase y $0 como el punto de partida. b) Trace un polígono de frecuencias acumuladas. c) El banco considera como cliente preferido a un estudiante con un saldo final de $400 o más en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos 7. Las importaciones anuales de un grupo selecto de Proveedores Electrónicos se muestra en la siguiente distribución de frecuencias a) Complete y muestre las importaciones en forma de un histograma. b) Represente las importaciones mediante un polígono de frecuencias Importaciones

Marcas de clase

2 5 5 8 8  11 11  14 14  17

Nº de proveedores 6 13 20 10 1

Total

50

Fi

8. Dada la siguiente distribución de frecuencias, completar Nº de días ausentes



Marcas de clase

Nº de empleados 5

3 6 9

  15

Fi

hi

hi (%)

17 40 8 2

50

Total a) Elabore un histograma e interprete. b) Elabore un polígono de frecuencias acumuladas e interprete. c) Interprete la tasa de ausentismo de los empleados observado de los gráficos. 9. La tabla muestra un a distribución de frecuencias de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R. De acuerdo con esta tabla determine: a) Complete el cuadro de distribución de frecuencias. b) El porcentaje de empleados que ganan menos de $280 a la semana. c) El porcentaje de empleados que reciben por semana más de $260, pero menos de $300.

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d) Represente los salarios semanales de los 65 empleados a través de una Ojiva. Salarios

mi

Nº de empleados 8 10 16 14 10 5 2

250  260 260  270 270  280 280  290 290  300 300  310 310  320 Total

5.2

Fi

65

Representación Grafica de Variables Cualitativas.-Los gráficos de barras y también los gráficos circulares:

más

usados

son

los

1) Gráfico Circular: Para esto trabajaremos con un ejemplo. En un examen de Estadística aprobaron 40 alumnos, desaprobaron 8 alumnos y no se presentaron 6 alumnos. Categorías Aprobados Desaprobados No se presentaron Total

fi 40 8 6 54

S.C (grados) 267 53 40 360

Cálculo de los sectores circulares Aprobados

(total )54  360 360 x 40 x  266.67  267 54 40  x

360 x8  53.33  53 Desaprobados  54

360 x6  40 No se presentaron  54

Examen de Estadística 40

Aprobados

53

Desaprobados 267

NSP

2) Gráfico de barras.- Para esto trabajaremos con un ejemplo. Se tiene como variable cualitativa nominal el estado civil de un grupo de personas adultas, se establecieron las siguientes categorías Estado Civil Casados Solteros Divorciados Viudos No declaran

fi 25 13 2 4 6

17

hi (%) 50 26 4 8 12 Prof. Sharmila Cano Villafuerte

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Total

50

100

- Gráfico de barras para frecuencias absolutas: En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categoría. Luego la base=2x5=10cm. En la escala vertical, criterio común de acuerdo a los datos que se tiene. - Gráfico de barras para frecuencias relativas En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categoría. En la escala vertical, criterio común de acuerdo a los datos que se tiene. Observe que son porcentajes

Categorías Para el alumno representar el grafico de barras de las frecuencias relativas

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Ejercicios de Aplicación IV 1. La tabla dada muestra el numero de pacientes en miles, dados de alta de hospitales, con el diagnostico de virus de inmunodeficiencia humana (VIH), desde 2000 hasta 2004, Grafique estos datos a través de barras. Año Altas de pac. con VIH

2000 146

2001 165

2002 194

2003 225

2004 234

2. Representar en gráficos de barras los siguientes cuadros a) Inflación en los cuatro Frecuencia porcentual (%) primeros meses Enero 10 Febrero 26 Marzo 24 Abril 40 Total 100 b) Ganancia en millones de soles de una empresa en Frecuencia Absoluta los cuatro trimestres del año anterior Primero 50 Segundo 70 Tercero 60 Cuarto 100 Total 280 3. Se muestra el área de los cinco grandes lagos bajo jurisdicción de Estados Unidos. Grafique los datos a través de un diagrama de barra y circular. Grandes Lagos

Área (en millas cuadradas)

Michigan Superior Huron Erie Ontario total

22342 20557 8800 5033 3446 60178

4. Representar en diagramas circulares los siguientes cuadros y completarlos a) Programas de TV. Preferidos

Frecuencia porcentual (%)

Policiales Cómicos Telenovelas Sin preferencias Total

S.C (grados)

50 15 25 10 100

b) Alumnos Matriculados por facultades

Frecuencia Absoluta

Contabilidad Educación Psicología Derecho Total

8000 6000 5000 3000 22000

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S.C (grados)

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6. Medidas de Tendencia Central.-Son valores que resumen a un conjunto de datos que nos trata de indicar el centro de los datos. También sirve como base para medir y evaluar valores anormalmente altos y anormalmente bajos. En estadística tiene importancia medir la tendencia central, denominados también promedios, tales como: Media, Moda, Mediana, media geométrica, media armónica. 6.1 Mediana.-La mediana es un valor que divide a un conjunto de observaciones ordenadas en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual número de observaciones. La notación que vamos emplear Me. Tenemos 2 casos: - Para datos no agrupados: a) Cuando la variable en estudio es discreta y n (número de elementos de la distribución) es impar, la mediana será el valor ordenado del centro. Ejemplo: 3, 8, 56, 14, 24, 31, 2, 7, 52; n=9 Primero ordenamos en forma ascendente 2, 3, 7, 8, 14, 24, 31, 52, 56 luego M e  14 b) Si la variable es cuantitativa discreta y n es par, la mediana es la semisuma de los dos términos centrales. Ejemplo: 39, 56, 87, 22, 15, 90, 43, 33; n=8. Hallar la mediana Ordenando en forma ascendente 15, 22, 33, 39, 43, 56, 87, 90 luego Me 

39  43  41 2

- Para datos Agrupados: Cuando la variable en estudio es cuantitativa continua

M e  li 

(n / 2  Fi 1 ) c fi

li : Limite inferior de la clase que contiene a la mediana. Fi 1 : Frecuencia acumulada del intervalo anterior a la clase que contiene la mediana. n : Número de datos c : Amplitud o longitud de intervalo que contiene a la mediana Ejercicio 1 Complete y halle el sueldo mediano correspondiente a 80 trabajadores de la tabla de frecuencias e interprete. Sueldos mi fi Fi 11 90  120 13 120  150 20 150  180 17 180  210 15 210  240 3 240  270 1 270  300 Total 80 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. ………… …………………………………………………………………………………………

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Nota:(Cálculo de Mediana para frecuencias relativas) Si en lugar de las frecuencias absolutas se utilizan las frecuencias relativas (o porcentajes), entonces, haciendo hi=fi/n, Hi-1=Fi-1/n

M e  li 

(1 / 2  H i 1 ) c hi

Ventajas de la mediana: Como estadígrafo de posición, la mediana es más recomendable que la media aritmética, cuando: a) La mediana, solo depende de datos ordenados y no del valor de los datos. Por lo tanto no es sesgado por algún valor grande o pequeño. b) Existan valores extremos excepcionalmente grandes o muy pequeños, puesto que la mediana no esta afectada por los valores extremos como sucede con la media. c) Se trabaja con tablas de frecuencias con intervalos en donde no se indica el extremo inferior del primer intervalo o no se indica el extremo superior del último intervalo, o ambos casos. Esto no niega que exista la mediana, ella existe y siempre se puede calcular. d) Si se tiene datos cualitativos, se ordena de acuerdo a rangos, clasificaciones o categorías. Ejercicio 2 En el siguiente cuadro de frecuencias se presenta un conjunto de estudiantes clasificados por su rendimiento en cinco categorías ¿Cuál será la mediana? CATEGORIAS Pésimo - 8 Malo 8 - 10 Regular 11 - 13 Bueno 14 - 16 Excelente 17 y + Total

fi 4 7 12 10 7 40

hi 0.100 0.175 0.300 0.250 0.175 1.000

Fi

…………………………………………………………………………………………………… … ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 6.2 Moda.- Es el valor que mas veces se repite en una población o muestra; se denota por M o . Tenemos dos casos: - Primer Caso: 1) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,9,9,12 Mo =7 porque se repite 3 veces. Esta distribución se llama unimodal por que solo posee una moda. 2) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 15, 19, 20, 35, 47, 59, 65 No tiene moda porque ninguno de ellos esta repetido. 3) La siguiente distribución es bimodal, es decir tiene dos modas: 8,9,9,13,13,13,18,20,24,24,24,33,59,78,78

M o  13 y M o  24 Nota: Cuando tiene más de dos modas se llama multimodal.

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- Segundo Caso: Para datos agrupados; la moda esta dado por la formula:

M o  li 

1 c 1   2

1  f M  f 1 ( f1 Frecuencia de la clase inmediata anterior a la clase modal y f M frecuencia de la clase modal). 2  f M  f 2 ( f 2 Frecuencia de la clase inmediata posterior a la clase modal y f M frecuencia de la clase modal). Ejercicio 3 Determine el sueldo modal de los 80 trabajadores dados en el cuadro de distribución de frecuencias del ejercicio 1 e interprete

6.3 Media Aritmética.- Denominada simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividido por el número de observaciones. 6.3.1 Media para datos no tabulados: 1) Media de una Población.- La media de N valores x1, x2, x3,….., xN, de la variable cuantitativa X, observados en una muestra es el número: N



x i 1

 : Media de una población xi : Todo los valores de la población. N : Número de elementos de una población

i

N

Ejercicio 4 Hay dos 12 fabricantes de automóviles en EE.UU. a continuación se presentamos el numero de patentes otorgados por el gobierno de EE.UU. a partir del años pasado. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Compañía General Motors Nissan D. Benz Toyota Honda Ford Mozde Chysla Porsele Misuvichi Volvo BMW

Nº de patentes 511 385 275 257 249 234 210 97 50 36 23 13

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a) Es una muestra o población:……………… b) ¿Cual es su media aritmética e interprete? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………… Nota: Toda característica Medible de una población se denomina parámetro. 2) Media de una Muestra.- La media de n valores x1, x2, x3,….., xn, de la variable cuantitativa X, observados en una muestra es el número: n

x

x

i

i 1

n xi : Todo los valores

x : Media de una muestra

n : Numero de elementos de una muestra Ejercicio 5 Cierta Empresa se especializa en Tratos a largo plazo de países extranjeros, interesa saber la tasa de interés de estos acuerdos financieros, en una muestra aleatoria de 6 bonos presenta lo siguiente: Nº 1 2 3 4 5 6

Articulo Bono de Australia Bono de Bélgica Bono de Canadá Bono de Francia Bono de Italia Bono de España

Tasa de interés 9.5% 7.25% 6.50% 4.75% 12.00% 8.30%

¿Cual es la media de la tasa de interés de la muestra e interprete? ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… 6.3.2 Media para datos de tamaño menor 30 (29) 3) Media Para Datos de Variable Cuantitativa.- Si n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3,…, xk, con frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3,…, fk, entonces, su media es el número: k

x

 f .x i 1

i

i

n

Ejercicio 6 Completar el cuadro y calcular la media aritmética de la distribución del numero de hijos por familia Valores X xi

Frecuencias fi

0 1 2 3 4 Tot1al

1 4 7 6 2 20

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Productos fi.xi

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a) Es una muestra o población:……………… b) ¿Cual es su media aritmética e interprete? …………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… 4) Media Para Datos Agrupados.- También puede considerarse como una media aritmética ponderada. Si n valores de alguna variable estadística cuantitativa x están tabulados en una distribución de frecuencias de k intervalos, donde: m1, m2, m3,…, mk, son las marcas de clase, y f 1, f2, f3,…, fk, son las frecuencias absolutas o simples respectivas, entonces, su media es el número: k

x

fm i 1

i

i

n mi : Marcas de clase

x : Media

n : Número de datos.

f i : Frecuencias simples o absolutas

Ejercicio 7 Complete el cuadro de distribución de frecuencias de los ingresos quincenales de 45 personas y determine la media aritmética e interprete. Ingresos Quincenales 26  34 34  42 42  50 50  58 58  66 66  74 74  82 82  90 Total

mi

Nº de personas 1 2 4 10 16 8 3 1

fi.mi

45

…………………………………………………………………………………………………… ……… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Nota: La media aritmética de datos tabulados, se calcula también, utilizando las frecuencias relativas. En el caso de datos agrupados por intervalos, se tiene: k

x   hi mi i 1

Ejercicio 8 Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden su media es: xi fi fixi

5 3 15

8 2 16

6 4 24

2 1 2

Total 10 57

x

57  5,7 10

O también puede ser x  (5)(3)  (8)( 2)  (6)( 4)  (2)(1)  57  5,7 3 2  4 1

10

Ejercicio 9 Si el examen final del un curso cuenta tres veces mas que una evaluación parcial y un estudiantes obtiene una calificación de 85 en el examen final, 70 y 90 en los dos parciales, la

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calificación media es x

(1)70  (1)90  (3)85 415   83 11 3 5

La calificación media o promedio es de 83 puntos. Propiedades de la Media -Al evaluar la media se incluyen todos los valores. -Para un conjunto de observaciones la media es única. -La media es una medida útil para comparar dos o más poblaciones. -La media aritmética no puede calcularse en las distribuciones que tiene intervalos de clases de extremos abiertos (menor que o mayor que). Otras Propiedades Importantes: 1. La media aritmética de una constante es igual a la misma constante.

 x( k )  k 

2. La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable. x(kx)  k x





3. La media de la suma de dos o mas variables, es igual al la suma de las medias de cada una de dichas variables. x( x  y)  x( x)  x( y)





4. La media de una variable mas una constante, es igual a la media de la variable más la constante. x( x  k )  x( x)  k





5. Si una muestra de tamaño n con media x , se divide en dos o tres submuestras de tamaños n1, n2 y n3; con sus medias respectivas x1 , x 2 y x3 . Donde n= n1+ n2+ n3 Entonces x 

n1 x1  n2 x 2  n3 x3 n

Ejercicio 10 a) En una empresa la edad promedio de las 17 trabajadoras mujeres es de 31.2 años y la edad promedio de los 23 trabajadores hombres es de 38 años ¿cual es la edad promedio del total de trabajadores?

b) En un examen de Estadística participaron tres grupos A, B y C con un total de 180 alumnos; habiendo Obtenido nota promedio general de 72 puntos. Los puntajes promedios de los grupos A y B fueron 75 y 62, y estaban constituidos por 80 y 60 alumnos respectivamente. ¿Cuál es la nota promedio del grupo C?

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6.4 Uso de los promedios 1. de los promedios definidos, la media aritmética se usa con más frecuencia por su mejor tratamiento algebraico. Pero no siempre es un buen promedio. 2. Si la distribución de las frecuencias es simétrica (o casi simétrica), la media, o la mediana o la moda es el promedio representativo, pues, en este caso, los tres promedios son iguales o casi iguales). 3. Si la distribución tiene una marcada asimetría, entonces, la mediana es la medida promedio más representativa. Ejercicios de Aplicación V 1. Si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 11 en el curso A de 5 créditos, 13en el curso B de 4 créditos, y 16 en el curso C de 3 créditos, entonces, su promedio (ponderado por los créditos) es. R. 12.92 2. Si en este mes el aumento de los alimentos fue del 5%, de vivienda el 10% y de educación 8% entonces a) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta el 40% de su sueldo en alimentos, el 35% en vivienda y el 25% en estudios esta dado por: R. 0.075 b) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta S/. 1200 en alimentos, S/.600 en vivienda y S/.1000 en estudios esta dado por: R. 0.0714 3. Los sueldos del mes de enero de 200 empleados de una empresa tiene una media de $230. a) Si el 60% de los empleados son hombres (el resto son mujeres) y tienen un sueldo medio de $250, ¿Cuánto es el sueldo medio de las mujeres en enero? R. 200 b) Si en el mes de julio, se propone un aumento del 30% a cada sueldo de enero más una bonificación de $30 ¿Cuánto dinero adicional necesitara la empresa para pagar los sueldos de julio? R. $19800. 4. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente, se escogen 15 familias de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros cúbicos: 11.2 21.5 16.4 19.7 14.6 16.9 32.2 18.2 13.1 23.8 18.3 15.5 18.8 22.7 14.0 Si en la ciudad hay 5000 familias, ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permaneces igual? R. media=18.46, consumo estimado=92300

5. En este mes los precios de venta de una muestra de 60 antigüedades vendidas en Erie Pennsylvania, el mes pasado, fueron organizados en la siguiente distribución de frecuencia. Estime el precio de venta medio, mediano y modal; (interprete cada medida) Precio de venta [70,80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110[ [110, 120[ Frecuencia 3 7 18 20 12 6. Una muestra de familias que están suscritas a la compañía telefónica United Bell, registro los siguientes números de llamadas recibidas la semana pasada. Determine la media y la mediana de la llamadas recibidas 52 43 30 38 30 42 12 46 39 37 34 46 32 18 41 5

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7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Se tiene algunas marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias relativas h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4-h1 y h3=h1+0.10 y F6=60. Construir la tabla de distribución de frecuencias y determine el puntaje medio y mediano de la prueba de aptitud e interprete 8. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es $400. Se propone dos alternativas de aumento a) $ 75 a cada uno. b) 15% de su sueldo mas 10 dólares a cada uno. Si la empresa dispone a los más de $94000 para pagar sueldos, ¿Cuál es la alternativa mas conveniente? R. a) 95000; b) 9400, alternativa b) 9. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del numero de alumnos respectivas:1, 1,1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2. a) ¿Cuánto es la media, mediana y moda de las notas?, ¿Qué valor escogería como promedio? b) ¿Cuánto es la nota mínima para estar en el quinto superior? R. a) 14.2 5; 15; 16 b) 16

10. A una muestra se aplicó un test para medir autoestima y los puntajes se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud, siendo la puntuación mínima 25, la tercera marca de clase 62.5. Si las frecuencias en porcentajes del primero al tercero son: 5, 15, 25, y si el 90% de las puntuaciones son menores que 85. a) Calcule el promedio,mediana. b) Si se considera normal una autoestima comprendida entre 55 y 84 puntos, ¿Qué porcentaje de la muestra no tiene un autoestima normal? Rp. a) Me=71.67

11. La compañía Petroperu maneja un pequeña refinería en Ica que vende gasolina al por mayor, a minoristas independientes, Las ventas de la semana pasada fueron las siguientes: Galones de Gasolina 0  10 10  20 20  30 30  40 40  50 50  60 60  70 70  80 Total

Nº de operaciones 10 20 30 25 15 10 5 5

Fi

120

a) Determine la media de los galones vendido en cada operación. b) La moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25, 000 galones 12. Los siguientes son los números de videocámaras Temban producidas durante 50 turnos de ocho horas seleccionadas al azar. Determine la media del número de videocámaras elaboradas durante un turno de ocho horas e interprete 348 322 399 386

371 344 400 341

360 399 359 351

369 362 329 354

376 384 370 395

397 365 398 338

368 380 352 390

361 349 396 333

374 358 366

410 374 377 335 356 343 432 376 347 385 392 375 379 389 390

13. Complete los siguientes cuadros de distribución halle la media, mediana y moda interprete.

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e

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a) Cuadro de frecuencias de los pesos en kilogramos de 50 personas. Pesos Kg 73  79 79  85 85  91 91  97 97  103 103  109 109  115 Total

mi

Nº personas 2 6 8 11 13 8 2

Fi

50

c) Cuadro de frecuencias de coeficientes de inteligencia de 40 niños. Puntajes 88  96 96  104 104  112 112  120 120  128 128  136 136  144 Total

Nº niños

mi

Fi

5 8 15 3 5 2 2 40

c) Cuadro de frecuencias de alturas en centímetros de 40 estudiantes universitarios. Alturas m 117  126 126  135 135  144 144  153 153  162 162  171 171  180 total

mi

Nº estudiantes 2 3 10 13 6 4 2

Fi

40

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7. Medidas de Posición.7.1 Cuartiles: Son medidas de posición que dividen en cuatro partes iguales al conjunto de valores ordenados de una distribución de frecuencias. Estas medidas son: el primer cuartil Q1 , el segundo cuartil Q2 y el tercer cuartil Q3 El segundo cuartil Q2 coincide con la mediana M e , luego M e  Q2

Las formulas para calcular los Cuartiles se derivan de la formula de la mediana y los pasos son los mismos:

Q1  li 

(n / 4  Fi 1 ) c fi

Q3  li 

(3n / 4  Fi 1 ) c fi

7.2 Deciles: Son medida de posición que dividen en 10 puntos iguales al conjunto de los valores ordenados de una distribución de frecuencias. Estas medidas son el primer decil D1 , el segundo decil D2 y así sucesivamente hasta el noveno decil D9 .

D1 distribuye al lado izquierdo el 10% de los datos y al otro lado el 90%, es decir ocupa la posición n/10. El segundo decil clasifica a los datos colocando al lado izquierdo el 20% del número de datos y al otro lado el 80 %, ósea, ocupa la posición 2n/10. Ver figura

La formula para los Déciles es

Dr  li 

((rn) / 10  Fi 1 ) c fi

7.3 Percentiles: Son medidas de posición que indican el lugar que corresponde a un puntaje dentro de una escala ordenada de cien elementos. Su formula:

Pr  li 

(rn / 100  Fi 1 ) c fi

- Pr : Indica el percentil buscado. - r, el rango del percentil, es decir, la situación dentro de la escala ordenadas de cien elementos. - rn/100, el valor de este término indica el intervalo donde se halla el percentil. - n, número de elementos de la distribución de frecuencias. Ejercicio 9 Hallar del siguiente cuadro de distribución de frecuencias a) Q1 y Q3 b) D2 y D9 c) P10 y P90

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Intervalos 88  96 96  104 104  112 112  120 120  128 128  136 136  144 total

fi 5 8 15 3 5 2 2

Fi

40

Solución: a) Q1 y Q3

b) D3 y D8

c) P10 y P90

Ejercicios Aplicación VI 1. En una prueba de aptitud mental la menor y mayor puntuación fueron 50 y 199 respectivamente. Los puntajes (sin decimales) se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud donde el 20% de los casos son menores que 95 y el 705 de los caso son menores que 140. a) Hallar el intervalo centrado en la mediana donde se encuentra el 50% de los puntajes. b) ¿En el cuartil 2, el punto medio del cuartil 1 y 3? R. a) Me=Q2=125 [102.5, 147.5 [ b) si 2. Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias de puntajes obtenidos de un grupo de 120 alumnos después de haber rendido una prueba matemáticas a) Determinar el 25% inferior ( Q1 ) y el 25% superior ( Q3 ) b) Que puntajes se encuentran en el décimo superior y que puntajes deben tener los que se encuentran en el 20% inferior.

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c) Calcular el P10 y el P90 Intervalos 40  45 45  50 50  55 55  60 60  65 65  70 70  75 75  80 80  85 85  90 Total

fi 3 6 13 26 30 12 15 8 5 2

Fi

120

3. El consumo mensual de agua (en metros cúbicos) de una muestra de 225 viviendas, se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de cinco intervalos de igual longitud. Si el consumo mínimo es de 35 m3, el consumo medio de 45 m3, y si 1/3 de la muestra consume al menos 43 m3 pero menos de 47m3. a) ¿Qué porcentaje de la muestra consume al menos 47 m3? b) ¿Cuántos metros cúbicos como mínimo consumen el 60% de las viviendas con mayor consumo? R. a) 75 de 225 b) P40=43.8 4. Se tiene la distribución de las edades de 80 alumnos de la escuela de ingeniería Industrial de alguna universidad de Lima edades 15  18 18  21 21  24 24  27 27  30 Total

Nº alumnos 5

hi

Hi

Fi

0.5875 0.925 0.0375 80

a) Complete la tabla. b) Interpretar f2, F3 y H4 c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes. d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes. 5. Determinar el 4to decil y el 72avo percentil de la siguiente distribución de frecuencias. Intervalos de clase 40  50 50  60 60  70 70  80 80  90 90  100 Total

fi

Fi

8 20 30 40 10 2 110

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8. Medidas de Dispersión.Hemos estudiado, que los datos tienden a concentrarse o agruparse alrededor de los valores medios y a esta característica hemos denominado medidas de tendencia central. Ahora vamos a examinar el efecto contrario. Consideremos que los datos tienden a extenderse alejándose de los valores medios, lo que llamamos grado de dispersión o variabilidad de datos. Se hace necesario medir el grado de separación o dispersión de los datos con respecto a un valor central. Las principales mediadas de dispersión son: El rango, desviación media, el rango intercuartil, varianza desviación estándar y coeficiente de variación. 8.1 Para datos no agrupados: 1. El Rango.- Amplitud de variación, extensión o recorrido de los datos se designa por la letra I; indica la extensión de los valores que puede tomar la variable cuyas medidas constituyen los datos. Se calcula por la formula: I= valor máximo – valor mínimo 2. Desviación Media.- Es la media de las desviaciones. La formula para calcularla es:

DM 

1 n  xi  x n i 1

3. Varianza.- Es una medida que cuantifica el grado de dispersión o de variación de los valores de una variables cuantitativa con respecto a la media aritmética. Si los valores tienden a concentrarse alrededor de su media, la varianza es pequeña. Si los valores tienden distribuirse lejos de la media, la varianza es grande. 2

n

 xi   

2 

-Varianza Poblacional

i 1

N

 2  var ianza

N  número total de datos de la poblacion

x  datos de la población   media aritmetica de la poblacion -Desviación Estándar Poblacional: Debido a la dificultad de interpretar la varianza por sus unidades cuadráticas, la raíz cuadrática de la varianza poblacional se denomina Desviación estándar. 2

n

 

 x i 1

N

2

 x  x  n

-Varianza Muestral

s  2

 

i

i 1

i

ó

n

2

 x  x  n

s  2

i 1

i

n 1

s 2  var ianza n  número total de observaciones de la muestra. x  valor de la muestra

x  media aritmetica de la muestra

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 x n

s

- Desviación Estándar Muestral

i

i 1

2

 x

 x

n

s

n

i 1

i

2

 x

n 1

ó

8.2 Para Datos Agrupados: 1. Amplitud de Variación.- Para hallar la amplitud de variación se resta el límite inferior de la clase más pequeña, del límite superior de la clase mayor. k

2. Desviación media.- Como la media es x 

fm i 1

i

i

DM 

entonces

n

1 k  fi mi  x n i 1

3. Varianza y Desviación Estándar.k

s  2

fm i

i 1

2 i

n

k

x

2

fm

s

2 i

i

i 1

n

x

2

ó k

s  2

fm

k

2 i

i

nx  n 1 n 1

i 1

fm

2

s

i 1

i

n 1

2 i

2



nx n 1

Investigación para el alumno (puntos extras) ¿Cómo se llega a la 1era formula de varianza? k

Partiendo de aquí

 f (m

s2 

i

i 1

i

 x) 2

n Nota:  La desviación Estándar también llamada desviación típica.  Si s 2  0 , entendemos que los xi coinciden con la media x , es decir que todos las observaciones están concentradas en un mismo punto, por lo que la dispersión es mínima. (Nula).  La varianza se calcula también con frecuencias relativas (o porcentuales). En efecto, si se hace hi  fi n en la varianza de datos agrupados, se tiene s2 

k

h m i 1

i

2 i

2 x ,

donde x 

k

h m i 1

i

i

4. Coeficiente de Variación (C.V.).-Es una medida de dispersión relativa (libre de unidades de medida), que se define como la desviación estándar dividido por la media aritmética C.V 

s x

El coeficiente de variación se utiliza para comparar la variabilidad de dos o más de series de datos que tengas medias iguales o diferentes o que tengan unidades de medidas iguales o diferentes (por decir, una serie en kilogramos y otra serie en metros). 5. El Rango Semiintercuartilar.- El rango semiintercuartilar o desviación cuartilar de un conjunto de datos se denota por Q y se define como:

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Q

Q3  Q1 2

Donde Q1 y Q3 son el primer y tercer cuatil de los datos. Algunas veces se usa el rango intercuartilar Q3  Q1 , aunque el rango semiintercuartilar es más común como medida de dispersión. Ejercicios de Aplicación VII 1. Calcule el I, la media aritmética y desviación media (DM). a) El departamento de estadística de la universidad ofrece 8 cursos de estadística básica, teniendo la cantidad de estudiantes inscritos en tales cursos, 34, 46, 52, 29, 41, 38, 36 y 28 b) 5 representantes de servicios al cliente de cierta empresa que trabajan el último viernes vendieron respectivamente: 5, 8, 4, 10, 3 video grabadoras. c) La siguiente lista indica el número de minutos necesarios para la instalación de puertas en una muestra de 10 puertas 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, 42. d) Una muestra de 8 compañías sobre la industria aérea espacial fue examinada con relación a sus rendimientos sobre la inversión el Año pasado, los resultados son en porcentajes: 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12, 14.8, 12.2, 15.6 2. Un fabricante produce dos tipos de dispositivos para televisores, A y B, los cuales tiene una duración media de 1495 horas para A y 1875 horas para B, con desviaciones estándar 280 horas para a y 310 horas para B. ¿Cuál dispositivo posee presenta menor variabilidad o dispersión? 3. Complete el siguiente cuadro de distribución de frecuencias: k 30  35 35  40 40  45 45  50 50  55 55  60 60  65 65  70 Total

fi

Mi

fi*mi

mi2

fi*mi2

3 7 11 22 40 24 9 4 120

Halle la media, la varianza y desviación estándar 4. Las edades de 5 pacientes de pabellón de quemados en el hospital son 38, 26, 13, 41, 22 años ¿Cuál es la varianza y desviación poblacional? 5. La oficina de Filadelfia de cierta empresa contrato 5 postulantes a contabilidad este año sus sueldos mensuales al comienzo fueron: 2536, 2173, 2448, 2121, 2629 Calcule la media poblacional, varianza poblacional, desviación estándar poblacional. Si su oficina en Miami contrata 6 postulantes de contabilidad donde su sueldo mensual promedio fue 2550 dólares y la desviación estándar 250 dólares. (Compare) 6. El número de pacientes atendidos en la sala de emergencia de un hospital para una muestra de 5 días del año pasado fueron: 103, 97, 101, 106, 103 hallar la desviación media

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7. En un examen final de estadística, la calificación media de un grupo de 150 estudiantes fue 78 y la desviación estándar fue 8. Sin embargo, la calificación final media de álgebra del grupo fue 73 y la desviación estándar fue 7.6. ¿En que materia hubo mayor variabilidad o dispersión? 8. La distribución de medidas de SAT para un grupo de estudiantes de preparatoria tiene una medida de primer cuartil igual a 825 y de tercer cuartil igual a 1125. Indique el coeficiente de variación cuartilar para la distribución de las puntuaciones del SAT de este grupo de estudiantes. 9. Dada la distribución de frecuencias de 150 persona según su edad, calcule su desviación estándar Edad Nº de personas

20,30 30,40 40,50 50,60 60,70 15

22

48

40

25

10. En un examen de historia las 4 secciones: A, B, C, D del segundo semestre de alguna universidad obtuvieron los puntajes medios 46.7 - 41.3 - 34.8 y 29.2 con sus respectivas desviaciones estándares: 8.7 - 10.3 - 9.1 y 12.3 ¿Cuales son su coeficientes de variación o dispersiones relativas y en que orden se deben colocar según la homogeneidad de su rendimiento?

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9. Asimetría y Curtosis.9.1 Asimetría.- Es la deformación horizontal de las curvas de frecuencias.  Cuando la curva esta inclinada o alargada hacia la derecha, se denomina asimetría a la derecha o asimetría positiva. Observamos que la media aritmética queda hacia el lado mas largo (el derecho) y que x  M e  M o 

Cuando la curva esta alargada o inclinada a lado izquierdo, se llama asimetría a la izquierda o asimetría negativa. Notamos que la media esta del lado mas largo (el izquierdo) y que x  M e  M o



Cuando la curva esta igualmente inclinada a los dos lados por eso se llama curva simetría. Es importante observar que la media, mediana y moda coinciden en un mismo punto del eje horizontal en este caso x  M e  M o

x Me Mo

Mo Me x

x  Me  Mo 9.2 Coeficiente de Asimetría.- Es la deformación horizontal de una distribución de frecuencias. Se presenta los siguientes coeficicentes de Asimetria ( As ): 1) Primer coeficiente de asimetría de Pearson

As 

x  Mo s

o

As 

3( x  M e ) s

Si As  0 , la distribución es simétrica.

Si As  0 , la distribución es sesgada hacia el lado izquierdo. Si As  0 , la distribución es sesgada hacia el lado derecho. Es razonable pensar que tiene sentido obtener este coeficiente en distribuciones unimodales. 2) Segundo coeficiente de asimetría de Pearson As 

Q3  Q1  2M e Q3  Q1

Este coeficiente se utiliza cuando no se puede calcular la media y la desviación estándar.

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Si As  0 , la distribución es simétrica. Si As  0 , la distribución es sesgada hacia el lado izquierdo. Si As  0 , la distribución es sesgada hacia el lado derecho. 9.3 Curtosis.- Es el grado de deformación vertical o apuntamiento; son tres: Leptocúrtica, Mesocúrtica y Platicúrtica. Luego el coeficiente de curtosis (k ) esta dado por:

k

Q3  Q1 2( P90  P10 )

Si k  0.263 , la distribución es Mesocúrtica. Si k  0.263 , la distribución es Leptocúrtica. Si k  0.263 , la distribución es Platicúrtica o Platocúrtica.

Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

Ejercicios de Aplicación VIII 1. Determine el coeficiente de Asimetría por los dos procesos de pearson para la distribución 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 Intervalos fi

15

20

30

20

15

2. Calcule el sesgo para las tasas de alquiler mensual de 200 departamentos que están dados en la siguiente tabla Tasas de alquiler 150,180 180,210 210,240 240,270 270,300 300,330 Nº de Dptos

3

8

10

13

33

40

330,360 360,390 390,420 420,450 35

30

16

12

3. Se han medido las pulsaciones de un equipo de atletas después de una carrera obteniendo los siguientes datos: 70,75 75,80 80,85 85,90 90,95 95,100 Pulsaciones total Nº de atletas

3

3

7

10

12

8

43

a) Hallar el primer coeficiente de Pearson. b) Que tipo de apuntamiento corresponde a la distribución dada. 4. En una prueba de Probabilidad y estadística aplicada a 20 alumnos se obtuvo la siguiente distribución de puntos.

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35,45 45,55 55,65 65,75 75,85 85,95

Puntos Nº de alumnos

1

3

8

3

3

total

2

20

a) Calcular la desviación media respecto al promedio. b) Determinar la desviación estándar. c) Determinar le primer coeficiente de Pearson. d) Calcular el coeficiente de Curtosis. 5. El departamento de personal de cierto ministerio hizo un estudio de salarios de 120 funcionarios del sector administrativo, obteniendo los siguientes resultados: Salarios 0 2 2 4 4 6 6 8

hi 0.25 0.40 0.20 0.15

a) Calcular la media, varianza y desviación estándar. b) calcule le primer cuartil y la mediana. c) Si hay un aumento del 100% de sus salarios para los 120 funcionarios. ¿Habrá alteración en la media y en la Varianza? 6. Un Encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz de dos proveedores. En su propio laboratorio, ha probado ambas muestras con respecto a su duración de su vida útil, con los siguientes resultados: Duración de la vida útil, en horas Empresa A 10

700,900 900,1100 1100,1300 1300,1500 Total

Muestras Empresa B 3

16

42

26

12

8 60

3 60

a) ¿Los focos de que empresa tiene el mayor promedio en la duración de la vida útil? b) ¿Los focos de cual de las empresas tiene mayor uniformidad? 7. Una distribución de frecuencias sobre notas de 50 estudiantes de Algebra Lineal presenta las frecuencias relativas h3 y h5 borrosas. Si se sabe que la media fue de 7.9 Determinar la varianza y desviación típica. Además hallar el coeficiente de curtosis Notas de estudiantes 0.5  2.5 2.5  4.5 4.5  6.5 6.5  8.5 8.5  10.5 10.5  12.5 12.5  14.5

Numero de estudiantes Frecuencias relativas 0.02 0.10 0.16 0.10 0.02

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8. Se tiene la siguiente información sobre una distribución de frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba de rotura (en kgr/cm2). Los intervalos tiene la misma amplitud 20 k

fi 10

Fi

mi

18 23

 120

17 4

fi*mi 300 400 350 410

50 Total a) Completar el cuadro de distribución de frecuencias. b) Hallar la media, desviación media, desviación típica y el primer coeficiente de asimetría 9. En una encuesta se obtuvo la siguiente información Puntaje 20  40 40  50 50  60 60  80 80  96 Total

fi

hi

30

90 Además se sabe que h1  h5 , h2  h4 y h2  h1  1/ 9 , Halle la media y varianza. R. 57; 261.57

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Números Índices 1. Introducción Uno de los métodos estadísticos que se utilizan con mayor frecuencia en economía, administración de empresas, demografías de empresas, demografía y otros campos de la estadística aplicada, es el número de índices. Básicamente un numero índice, es el cociente de cualquier medición de una variable ( o mas variables) con respecto a una de sus mediciones que se toma como base. El objetivo de los números índices es cuantificar variaciones de las mediciones de una variable a través del tiempo. En este sentido el número índice es el cociente de la medición de la variable en un periodo determinado con respecto a un periodo base. Las mediciones pueden estar relacionadas con cantidad, precio o valor. Los números índices se clasifican en índices simples o elementales e índices compuestos o agregados. 2. Índices Simples.2.1 Definición.- Sea xt la medición de una variable X registrada en un periodo determinado t (año, mes o día) y x0 (x0≠0) la medición de la variable para el periodo base t0. Se denomina índice simple de X para el periodo t con respecto al periodo base

to , al número que

denotaremos por I t / t o o I t / t o ( X ) o I t y se define por:

It / t0 ( X ) 

xt x0

o

It / t0 ( X ) 

xt x100% x0

El porcentaje de variación entre valores x0 y xt se calcula por:

x  % var iacion   t  1.00 %  ( I t / t 0 x100  100)%  x0  Si el porcentaje de variación es positivo, se dice que ha habido un incremento, si es negativo se dice que ha habido una baja. Ejercicio 1: En el cuadro siguiente se dan los promedios de los salarios, en dólares, de los trabajadores de una empresa de 1975 a 1983. Calcular los correspondientes números índices para cada uno de los nueve años utilizando como año base: a) 1975 b) 1978 c)1983 Solución: Años 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983

Salarios 310 330 370 380 430 450 480 540 570

1975=100 100 107 119 123 139 145 155 174 184

Índices 1978=100 82 87 97 100 113 118 126 142 150

1983=100 54 58 65 67 75 79 84 95 100

a) La primera columna de índices del cuadro se obtuvo dividiendo cada salario de la cifra anual entre 310, que es el salario del año base 1975 (1975=100)

I 76/ 75 ( X ) 

330  100%  107 310

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La interpretación del número índice es como sigue. El índice 183.9, por ejemplo significa que en 1983 habido un aumento respecto a 1975 de (184-100) %=84%. Por otra parte si la cifra resultante es negativa se dice que habido una baja. Ahora verifique la segunda y tercera columna de índices y haga 2 interpretaciones de c/u respectivamente. b)…………………………………………….…………..…………………………… …………………..…………………….……………….……………………………. ………………………………………..………………………………………………. .……………………………………………………………………………………… .…………………………………………………….………………………………… .……………………………………………………………….………………………. c)……………………………………………….…………..…………………………… ..……………………………………….……………….……………………………. .………………………………………..………………………………………………. .………………………………………………………………………………………… .…………………………………………………….………………………………… ………………………………………………………………………………………..

2.2 Índices Simples de Precios, Cantidades y Valores 2.2.1 Índices Simple de Precios.- Si p1 y p0 son los valores de variable precio P, en los periodos respectivos t y t0 , entonces el índice simple de precios en el periodo t con respecto al periodo base t 0 , es el número:

I t / t0 ( P) 

pt p0

o

I t / t 0 ( P) 

pt x100% p0

2.2.2 Índices Simple de Cantidades.- Si q1 y q0 son los valores de la variable cantidad Q, en los periodos respectivos t y t0 , entonces el índice simple de cantidades en el periodo t con respecto al periodo base t 0 , es el número:

I t / t0 (Q) 

qt q0

o

I t / t 0 (Q) 

qt x100% q0

2.2.3 Índices Simple de Valores.- El valor V, de cierto artículo en un periodo determinado es igual a su precio multiplicado por la cantidad vendida (o producida). El índice de valor simple en un periodo determinado t con respecto al periodo base t0 , se define por:

I t / t0 (V ) 

pt q t  I t / t0 ( P)  I t / t0 (Q) p9 q9

Donde pt q1 y p0q0 son los valores respectivos en el periodo t y en el periodo base.

Ejercicio 2: En el cuadro siguiente se dan los precios promedios en dólares y las cantidades de consumo promedios en kilogramos de un artículo desde 1980 a 1982. Tomando como base el año 1980, calcular los índices de precios, de cantidades y de valores para 1981 y 1982.

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Solución: Año 1980 1981 1982

Precio $ 15 20 25

Cantidad kg 6.5 7.4 7.8

Índice Precios 100 133

Índice Cantidad 100 114

Índice Valor 100 152

Índices de precios:

I81 / 80 ( P) 

p81 20   1.33 ó 133% p80 15

Índices de cantidades:

I81 / 80 (Q) 

q81 7.4   1.14 ó 114% q80 6.5

I81 / 80 (V ) 

p81q81 20  7.4   1.52 o 152% p80q80 15  6.5

Índices de valores:

Ahora comprueba los índices respectivos dado en el cuadro para el año 1982 ……………..…………………….……………….…………..…………………………….. ..………….………………………………….……………….……………………………... ..…………………………………….……..………………………………………………... ..…………………………………………………………………………………………..… ………..………………………………………………………………………………………. ………….……………………………………….…………..…………………………… …………….………………………………….……………….……………………………. ……………………………………………..………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… .…..……………………………………………………….………………………………… .…….……………………………………………………………….………………………. ………..……………………………………………………………………………………..

3 Índices Compuestos o Agregados 3.1 Definición.- Un número índice compuesto se define como una combinación de números índices simples cada uno de ellos referidos a una misma base. Los índices compuestos se clasifican en compuestos no ponderados y compuestos ponderados. 3.2 Índices Compuestos no Ponderados.-Uno de los métodos de cálculo de índices compuestos no ponderados o simples, es el método de la media agregada simple conocida también como índice agregado simple. El índice agregado simple es el cociente de la suma de las medidas de dos o mas variables en el periodo t entre la suma de las medidas de esas variables en el periodo base t 0 . 

El índice agregado simple de precios de varios artículos en un periodo t con respecto al periodo base t 0 se define por:

I t / t 0 ( P) 

p p

t

0



El índice agregado simple de cantidades de varios artículos en un periodo t con respecto al periodo base t 0 se define por:

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I t / t 0 (Q) 

q q

t

0

Nota El índice compuesto no ponderado de valor se define por:

I t / t 0 (V ) 

pq p q

t t

0 0

Ejercicio 3: En el siguiente cuadro se da una canasta de artículos básicos que comprueba que comprende 4 ítems A, B, C y D, los precios en dólares y las cantidades consumidas en kilogramos durante los años 1990 y 1995. Tomando el año 1990 como base. Calcular los índices compuestos no ponderados de precios y cantidades de 1995.

Ítem A B C D

Precio promedio 1990 1995 (p0) (p1) 0.50 0.80 0.80 0.90 1.00 1.50 3.00 4.50 5.30 7.70

Cantidad consumo 1990 1995 (q0) (q1) 5.5 6.2 4.0 5.0 1.5 2.0 2.4 3.0 13.4 16.2

Índices Precios Cantidad

Solución: Tomando el año 1990 como base, el índice agregado simple de precios para 1995 resulta:

I1995/ 1990( P) 

p p

t



0

0.8  0.9  1.5  4.5 7.7   1.45 0.5  0.8  1.0  3.0 5.3

En consecuencia, de 1990 a 1995 hubo un aumento del 45% en el precio de esa canasta de artículos. Tomando el año 1990 como base, el índice agregado simple de cantidades para 1995 resulta:

I1995/ 1990(Q) 

q q

t

0



6.2  5.0  2.0  3.0 16.2   1.21 5.5  4.0  1.5  2.4 13.4

En consecuencia, de 1990 a 1995 hubo un aumento del 21% de artículos de esa canasta.

Ítem A B C D

Precio promedio 1990 1995 (p0) (p1) 0.50 0.80 0.80 0.90 1.00 1.50 3.00 4.50 5.30 7.70

Cantidad consumo 1990 1995 (q0) (q1) 5.5 6.2 4.0 5.0 1.5 2.0 2.4 3.0 13.4 16.2

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Índices Precios Cantidad 1.60 1.13 1.50 1.50 5.73

1.13 1.25 1.33 1.25 4.96

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Otra forma de definir el índice compuesto no ponderado es el método de la media aritmética simple:

 Indices

 Numero de Indices El índice de precios de 1995 con base en 1990, usando el cuadro es

I1995/ 1990( P) 

5.725  1.43 4

El índice de cantidades de 1995 con base en 1990, usando el cuadro es

I1995/1990(Q) 

4.960  1.24 4

Los índices compuestos no ponderados asignan igual importancia a cada precio o cantidad componente, esto nos permite que un bien con un precio o valor alto, domine el índice, por otra parte no es muy utilizado.

3.3 Índices Compuestos Ponderados.- Las ponderaciones usadas para índices compuestos de precios son las cantidades de los bienes o ítems. Las ponderaciones para el índices de cantidades agregadas son los precios de los bienes de año base. 3.3.1 Índices de Laspeyres 

El índice de precios de Laspeyres en un periodo t con respecto a un periodo base t0, es la media aritmética ponderada de los índices simples de precios p t/p0 que usa como ponderación a los valores del año base p0q0, esto es,

pt

p q p ( P)  p q 0 0

ILt / t 0

0



0 0



pq p q

t 0

0 0

El índice de cantidades de Laspeyres en un periodo t con respecto a un periodo base t 0, es la media aritmética ponderada de los índices simples de cantidades qt/q0 que usa como ponderación a los valores del año base p0q0, esto es,

qt

p q q (Q)  p q 0 0

ILt / t 0

0



0 0

p q p q

0 t

0 0

3.3.2 Índices de Paasche 

El índice de precios de Paasche en un periodo t con respecto a un periodo base t 0, es la media aritmética ponderada de los índices simples de precios pt/p0 que usa como ponderación a los valores del año base p0qt, esto es,

pt

p q p ( P)  p q 0 t

IPt / t 0

0

0 t





pq p q

t t

0 t

El índice de cantidades de Paasche en un periodo t con respecto a un periodo base t 0, es la media aritmética ponderada de los índices simples de cantidades qt/q0 que usa como ponderación a los valores del año base ptq0, esto es,

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qt

pq q (Q)  pq



pq  pq p q pq



t 0

IPt / t 0

0

t 0

pq pq

t t

t 0

Nota Importante

ILt / t 0 ( P)  IPt / t 0 (Q) 

t 0

t t

0 0

t 0

pq p q

t t

 I t / t 0 (V )

0 0

3.3.3 Índices de Fisher: Es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche. 

El índice ideal de precios de Fischer en el periodo t es:

IFt / t 0 ( P)  ILt / t 0 ( P)  IPt / t 0 ( P)



El índice ideal de cantidades de Fischer en el periodo t es:

IFt / t 0 (Q)  ILt / t 0 (Q)  IPt / t 0 (Q) Ejercicio 4: En la siguiente Tabla contiene las unidades, precios promedios y consumos per capita de 3 artículos básicos en una ciudad en los periodos de 2000 y 2005. Calcular los índices compuestos: a) De precios b) De cantidades Por los métodos de Laspeyres, Paasche y Fisher del periodo 2005, tomando el año 2000 como base.

Ítem A B C

Unidade s Litro Pieza docena

Precio promedio 2000(p0) 2005 (p1) $10 $15 15 20 20 25

Cantidad consumo 2000(q0) 2005(q1) 40 80 20

60 100 40

Solución: a) Construyendo la tabla para los cálculos 

El índice de precios de Laspeyres en el periodo 2005 tomando como año base 2000

I 2005/ 2000( P) 

pq p q

t 0



0 0



600  1600  500 2700   1.35 ó 135% 400  1200  400 2000

El índice de precios de Paashe en el periodo 2005 tomando como año base 2000

I 2005/ 2000( P) 

pq p q

t t

0 t



900  2000  1000 3900   1.34 ó 134% 600  1500  800 2900

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

El índice de precios de Fischer en el periodo 2005 tomando como año base 2000 Índices compuestos ponderados Precio por Cantidades Ítem p0q0 p1q0 p0qt ptq1 A 400 600 600 900 B 1200 1600 1500 2000 C 400 500 800 1000 2000 2700 2900 3900

IF2005/ 2000( P)  IL2005/ 2000( P)  IP2005/ 2000( P)  1.35  1.34  1.34 ó 134% De estos resultados, se concluye que en el año 2005 hubo un incremento en el precio de esa canasta de 35% según el método de Laspeyres, 34% según los métodos de Paache y de Fisher. b) Ahora determine los índices de cantidades y la conclusión

4. Cambio del Periodo Base.- Es frecuente cambiar la base de un número índice en un periodo dado a un periodo mas reciente para reemplazar los índices que se encuentran obsoletos con el fin de que las comparaciones actuales resulten mas significativas. Para cambiar el índice I t / a de base antigua ―a‖, al índice I t / n de base nueva ―n‖ se utiliza la siguiente regla:

It / n 

It / a 100 , o expresado en %, I t / n   It / a . In / a In / a

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Ejercicio 5: En la siguiente Tabla se dan los índices A tomando a 1990 como año base: Obtener los índices. a) B tomando como base nueva al año 2000. b) C tomando como base nueva al año 1995. Año 1990 1995 2000

Índice A 100 300 450

Solución: a) El índice B1 de 1990 en base 2000 es:

I1990/ 2000 

100 I 2000/ 1990

 I1990/ 1990 

100  100  22.22 450

El índice B2 de 1995 en base 2000 es:

I1995/ 2000 

100 I 2000/ 1990

 I1995/ 1990 

100  300  66.67 450

El índice B2 de 2000 en base 2000 es:

I 2000/ 2000 

100 I 2000/ 1990

 I 2000/ 1990 

100  450  100 450

Tabla de Cambio de Base Año Índice A Índice B 1990 100 B1=22.22 1995 300 B2=66.67 2000 400 B3=100.0 b) Ahora determine los índices de C en base 2000 y complete la tabla Año 1990 1995 2000

Índice A 100 300 400

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Índice C

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5. Uso de los Números Índices Los números índices se usan con frecuencia para cuantificar las diferencias de los valores de una o más variables a lo largo del tiempo. Las entidades estatales o privadas confeccionan números índices para diversos fenómenos económicos. Uno de los usos más importantes de los números índices es la denominada Deflación de Precios e Ingresos. Esta técnica es el proceso de ―ajustar‖ precios e ingresos y expresarlos en términos del valor de la moneda de un periodo base. Para la deflación estadística se usa como deflactor el índice simple de precios al consumidor IPC, indicador del costo de vida. Este índice simple, como ya es sabido, se obtiene dividiendo el precio pt en un periodo t, entre el precio p0 en un periodo base t0. Esto es,

IPC 

pt  100 p0

El valor (precio o salario) deflacionado o valor real en el periodo t con respecto al periodo base t0, se obtiene dividiendo el valor nominal del periodo t entre el IPC de ese periodo, esto es,

Valor Deflaciona do 

Valor No min al  100 IPC

Si el valor es el precio, se tendrá el precio real o deflacionado y si el valor es el ingreso o salario, se tendrá el salario real o deflacionado. Ejercicio 6: El salario de una persona fue de 4000 unidades monetarias en 2000 y de 8000 unidades e 2001, entonces hubo un incremento nominal de $4000. Pero, si el índice de precio al consumidor fue de 1.2 en 2001 con respecto a 2000 entonces su salario real es de

Salario real 

Valor No min al 8000   6666.67 dolares IPC 1.2

Y ha tenido un incremento real de solo 2666.67 dólares

Ejercicios de Aplicación IX 1. Dado los promedios anuales de los precios al por menor (por kilogramos) de un articulo de consumo diario de 2000 a 2005 Años Precios

2000 4.8

2001 5.4

2002 5.7

2003 6.6

2004 6.3

2005 5.2

Calcular los índices de precios tomando como base el año: a) 2000, b) 2002. 2. Dadas las siguientes producciones de un bien en kg.

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Años Producción

2001 40

2002 36

2003 41

2004 94

2005 90

2006 104

2007 107

2008 106

a) Calcular los índices de producción usando como base el año 2001. b) Cambiar la base a 2004: 3. Si en 2001 el precio de un bien fue de 12% más que en 2000, 25% más que en 2002 y 10% menos que en 1999, calcule los índices de precios de estos cuatro años con base en 1999. R. 100, 80.65, 90 y 72

4. Si en 2002 la producción de un bien fue de 15% menos que el año anterior, 30% mas que en 2003 y 40% menos que en 2000, calcule los índices de cantidades de consumo de dicho bien de 2000 a 2003 con base en 2002. R. 167, 117.65, 100 y 76.92 5. Los índices de producción de un bien 1999 a 2003 fueron respectivamente 1.00, 1.15, 1.20, 1.24, y 1.30. Si en 2002 se produjeron 2.79 toneladas de dicho bien, calcular la producción de los demás años. R. 2.25, 2.5875, 2.7, 2.79 y 2.925 6. En enero de 2000 una fabrica gasto en salarios de 50 obreros, la suma de $ 6000 y en diciembre del mismo año con 75 obreros gasto $9900. Tomando como base el mes de enero, calcular a) El índice de empleados para diciembre (cantidad). b) El índice de gastos de salarios (valor). c) El índice de costo por obrero o índice per capita (de precio). R. a) 1.50, b) 1.65, c) 1.65/1.50=1.10 7. Si el índice de cantidad del año 2000 con base 1990 en de 110 y con base de 1995 es de 130, calcular el índice de cantidad de 1995 con base de 1990. R. 0.8462 o 84.62% 8. En 2004 el precio de venta de un bien se ha fijado en 20% mas con respecto al año anterior. Si se quiere que el valor total de la venta se incremente en 80% durante el año 2004 con respecto al año anterior, ¿En que porcentaje debe incrementarse la cantidad de bienes a vender? R. 1.5, Incremento en 50% 9. En 2003 el valor de la producción de un bien disminuyó en 20% con respecto al de 2002, mientras que el precio aumento en 30%, ¿Cuánto es le porcentaje de variación de la producción? R. I (Q)=0.6154, disminuyó en 38.46% 10. Una fabrica bajo la producción de un bien en 15% de 2003 con respecto a 2002, pero aumento el precio del mismo en 25% en el mismo lapso, calcular el porcentaje de variación del valor total de las ventas de dicho bien, en 2003 con respecto a 2002. R. aumento en 6.25% 11. Si en el año 2000 el ingreso de una persona ha tenido un incremento del 110% con respecto al año 1995 que era de $10000 y si por otra parte el índice del costo de vida se triplica en ese lapso: a) ¿Cuánto es el ingreso real de esa persona en 2000? b) ¿Cuánto debería ser su ingreso nominal de manera que mantenga su poder adquisitivo de 1995? R. a) 7000 b) 30000 12. En la tabla que sigue se dan los precios en soles al por mayor y la producción en kilogramos de tres artículos básicos A, B y C de los años de 1995 a 1997 en una determinada región. a) Calcular el índice de precios i) media, ii) mediana para 1997 con base en 1995. b) Calcular el índice compuesto de precios de 1997 con base 1995, por el método de i) Laspeyres, ii) Paasche, iii) Fisher. c) Calcular el índice compuesto de de cantidad de 1997 con base 1995, por el método de i) Laspeyres, ii) Paasche, iii) Fisher.

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Artículos A B C

1995 2.4 32 12

Precio promedio 1996 1997 2.8 3.6 44 55 18 25

Cantidad consumo 1995 1996 1997 3400 4000 4300 60 66 75 30 33 37

R. ai) 1.77 ó 177% aii) 1.72 ó 172% b) 1.5603, 1.5596, 1.5599 c) 1.2609, 1.26028, 1.2605

13. En 2000 el precio de un artículo, expresado en dólares de 2005, fue de $0.60. Si el índice de precios creció en un 20% en ese lapso, ¿Cuál es el precio nominal de ese artículo en 2000? R. $0.72

14. Al gerente de una empresa se le ha presentado un dilema. Ha estado pensando en la posibilidad de bajar el precio del producto que comercializan, ya que parece que el precio al menudeo es demasiado alto en estos últimos días. Sin embargo, sabe que el costo de los materiales está incrementándose con rapidez; y no será viable la reducción de precios. Usted le recomienda obtener un índice de precios ponderado, con la finalidad de compararlo con los precios de la competencia. Para ello, usted recopila la información siguiente: Producto A B C D E F G H

2006 Precio 530 1200 850 700 960 1000 890 740

2009 Cantidad 6 4 10 5 8 5 6 12

50

Precio 600 1300 900 750 1000 1150 980 800

Cantidad 5 6 8 5 7 7 5 12

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Probabilidad.1. Experimento o Fenómeno Aleatorio.- Es aquel experimento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud, porque presenta varias posibilidades. 2. Fenómeno Aleatorio Determinista.- Es todo fenómeno cuyo resultado se puede predecir con exactitud. Lo contrario seria fenómeno aleatorio no determinista. 3. Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio dado. Generalmente se le representa con la letra mayúscula ―S‖ o ―  ‖. Cada posible resultado del experimento, se le llama un punto muestral o muestra. El concepto de Espacio Muestral se equipara al del conjunto universal de la teoría de conjuntos. Ejercicio 1: Cual de los siguientes enunciados representa un fenómeno aleatorio a) El tiempo que demora un automóvil para desplazarse de un lugar a otro de la ciudad. b) El monto de la venta de un día en una tienda, no se puede predecir con exactitud. c) El numero total de goles que se hacen los dos equipos en un partido de fútbol. d) La hora en que despierta una persona. e) El numero de accidentes en una carretera durante un mes. f) El resultado de lanzar al aire una moneda que no esté cargada (normal). g) El resultado que se obtiene al lanzar un dado normal. Solución: a) Es un fenómeno aleatorio, porque puede demorarse, poco o mucho, según la intensidad del transito, las señales de los semáforos y otros factores accidentales que no se pueden prevenir. b) Es un fenómeno aleatorio, porque como puede venderse mucho o poco o nada, tiene varias posibilidades. c)………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… d)………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… e)………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… f)………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… g)………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………

Ejercicio 2: Fenómenos aleatorios deterministas. a) Enciendo un fósforo y observo la combustión. Es un fenómeno determinista porque forzosamente tiene que apagarse después de un corto tiempo. b) De cierta altura se deja caer una piedra sin que haya obstáculo alguno entre ella y el suelo. Es experimento determinista porque la piedra caerá al suelo por la ley de la gravedad y

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se puede predecir que distancia recorrerá en un tiempo dado. c) La hora en que despierta una persona utilizando un reloj despertador. Es un fenómeno determinista porque:………………………………………………. …………………………………………………………………………………………..….. ………………………………………………………………………………………………

Nota: Los modelos que mencionaremos a continuación son experimentos aleatorios que es necesario recordar porque van a ser utilizados al desarrollar la teoría de probabilidades. Modelo 1 Al lanzar un dado observamos el número que aparece en la cara superior. Por lo tanto el espacio muestral consiste en los seis números posibles

  1,2,3,4,5,6

Modelo 2 El lanzar dos dados a la vez. El espacio muestral esta formado por las 36 parejas posibles que se pueden formar combinando las 6 posibilidades del primer dado con las 6 posibilidades del segundo.

 (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);  (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);    (3,1); (3,2); (3,3), (3,4); (3,5); (3,6)    (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)  (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);    (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6).. n(Ω)=62=36 En la pareja (1,2) indica que el 1er dado la cara superior salió a y en el segundo dado la cara superior salió 2. Modelo 3 Al lanzar una moneda legal y observemos la figura que aparece en la cara superior. Los resultados posibles son dos: cara o sello, que representamos con las letras ―c‖ y ―s‖, entonces el espacio muestral consiste en los dos resultados posibles

  c, s;

n()  21  2

Modelo 4 Lancemos dos monedas legales. Los resultados posibles son 4; el espacio muestral tendrá 4 elementos,

  cc, cs, sc, ss;

n()  22  4

Modelo 6 De una baraja de 52 cartas bien mezcladas, saquemos una carta, el espacio muestral tendrá 52 elementos:

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13 espadas 13 corazones 13 tréboles 13 diamantes u otros Total 52 cartas

n()  52 elementos

La teoría de probabilidades estudia los eventos o sucesos que se definen en la forma siguiente: 4. Eventos o Sucesos Definición: Evento o suceso es simplemente un subconjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio, en otras palabras en un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos de denotan con letras mayúsculas A, B, C, D, R, Q etc. Observación: - El suceso o evento que consta de un solo elemento se llama suceso elemental - Se llama evento imposible, aquel resultado o situación que no se da en un experimento aleatorio o espacio muestral. Se simboliza por  y se lee ( fi ) . - Si en un evento se hallan todos los elementos del espacio muestral A   , entonces A es un suceso o evento seguro. Ejercicio 3:En el modelo 1 del lanzamiento de un dado. Determinar el evento A de obtener un número par. Solución: El espacio muestral de lanzar un dado es   1,2,3,4,5,6 Vemos que los posibles números pares que se observan en el espacio muestral son: 2, 4 y 6. Por tanto el evento pedido es A  2,4,6 Ejercicios de Aplicación X 1. De un ejemplo de experimento aleatorio que es de interés (a) Ingeniero Electricista, (b) Un economista, (c) el gerente de una compañía de automóviles, (d) Un medico, (e) un ingeniero Industrial. 2. Determine el espacio muestral del lanzamiento de un dado tres veces. Usando diagrama de árbol y cuantos elemento dicho espacio muestral tiene. 3. Construir el espacio muestral apropiado para los siguientes experimentos aleatorios. (a) Se lanzan una moneda y un dado simultáneamente y se observa las caras superiores (b) El lanzamiento de una moneda cuatro veces, (c) Contar el número de automóviles que llegan a una estación de servicio en un día. (d) Verificar el estado de un transistor (0=apagado o 1=prendido) (e) Observamos el tiempo de vida de un artefacto eléctrico. (f) De una urna que contiene bolas blancas y negras se escoge una y se anota su color (g) Verificar el estado de dos transistores (apagado o prendido). (h) Se pregunta a una persona la fecha de su nacimiento (día del año). (i) Inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fabrica. (j) Un dardo se lanza en un blanco circular de radio R. 4. Describa el espacio muestral que representa las opciones posibles para un inversionista que planea escoger dos de las cinco oportunidades de inversión que le han recomendado.

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5. Tres artículos son extraídos con reposición, de un lote de mercancías; cada articulo ha de ser identificado como defectuosos D y no defectuosos por N. describa todos los puntos posibles del espacio muestral para este experimentó. 6. Dos personas Ay B se distribuyen al azar en tres oficinas numeradas 1, 2 y 3. Si las dos personas pueden estar en la misma oficina, defina un espacio muestral adecuado. 7. Suponga que la demanda diaria de gasolina en una estación de servicio esta acotada por 1000 galones, que se lleva a un registro diario de venta. Describa el espacio muesrtral. 8. El gerente general de una firma comercial, entrevista a 10 aspirantes a un puesto. Cada uno de los aspirantes es calificado como: Deficiente, Regular, Bueno y Excelente. (a) Dar un espacio muestral adecuado para este experimento. (b) Describir los siguientes eventos A: ―Todos los aspirantes son calificados como deficientes y excelentes‖. B: ―Solo la ultima persona entrevistada es calificada como excelente‖. 9. Determine los siguientes eventos: (a) En el modelo 2 de lanzar dos dados, representar los siguientes eventos: A= ¿Qué la suma de los dos números que se obtengan sea menor que 8? B= ¿Qué la suma de los dos números que se obtengan sea mayor o igual que 10? (b) En el modelo 3 de lanzar una moneda legal representar los eventos: A= ¿Obtener cara? B= ¿Obtener sello? C= ¿Obtener cara o sello? D= ¿No obtener cara ni sello? (c) En el modelo 4 de lanzar dos monedas expresar los eventos siguientes: A= ¿Obtener dos veces cara? B= ¿No obtener cara? C= ¿Obtener por lo menos una vez cara? D= ¿Obtener una vez sello? (d) Del lanzamiento de tres monedas a la vez, expresar los siguientes eventos: A= ¿No obtener sello? B= ¿Obtener una vez cara? C= ¿Obtener dos veces cara? D= ¿Obtener por lo menos dos veces cara? E= ¿Obtener por lo menos una vez cara? (e) En el modelo 5 de obtener una carta, expresar el evento siguiente: A= ¿Extraer un as?

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5. Algebra de Eventos Los sucesos o eventos son conjuntos, en consecuencia se puede combinar sucesos para formar nuevos sucesos, para el efecto se realizan diferentes operaciones con conjuntos. 5.1 Unión de dos eventos Es el evento que consiste de todos los elementos o puntos muestrales que pertenecen a A o a B, o ambos esto es, A  B  w   / w  A  w  B

El evento AUB describe el evento de que ocurra por lo menos uno de ellos. Ejercicio 4: En el modelo 1 del lanzamiento de un dado. Solución: a) Determinar el evento de obtener un número par o menor que 5. Solución: Determinamos lo eventos

A  Obtener un número menor que 5  1,2,3,4 B  Obtener un número par  2,4,6

El evento unión se obtiene reuniendo los elementos de ambos eventos y teniendo en cuenta que no deben haber elementos repetidos.

A  B  1,2,3,4,6

b) Hallar el evento de obtener un número impar o múltiplos de 2 Solución: Determinamos lo eventos

A  Obtener un numero impar  1,3,5 B  Obtener multiplos de 2  2,4,6  B Luego el evento unión A  B  1,2,3,4,5,6  

Se observa que el evento unión es un evento seguro c) Hallar el evento de obtener un divisor de 6 o múltiplo de 3

5.2 Intersección de dos Eventos La intersección de dos eventos es el evento que se realiza cuando ocurren simultáneamente ambos eventos a la vez.

A  B  w   / w  A  w  B.

El evento A  B describe el evento que ocurran ambos A y B Ejercicio 5: 1. En el modelo de lanzar par de dados legales. Determinar el evento de obtener números iguales y menores que 3

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Solución: Determinamos los eventos:

A  Obtener dos numeros menores que 3  (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

B  Obtener los dos numeros iguales   (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5).(6,6) A  B  (1,1); (2,2) 2. Del lanzamiento tres monedas buenas a la vez. Determinar el evento de no obtener cara y por lo menos dos veces sello y por lo menos una vez sello. Solución: Determinamos los eventos:

A  No obtener cara  sss B  Obtener por lo menos dos veces sello  sss, ssc, scs, css, C  Obtener por lo menos una vez sello  sss, ssc, scs, css, scc, csc, ccs

A  B  C  sss 3. En el lanzamiento de dos monedas. Determinar el evento de obtener a lo más dos caras y una cara.

Nota: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no tienen elementos en común, esto es:

A B 

5.3 Diferencia de dos eventos La diferencia del evento A menos B es el evento A  B , que consiste en todos los puntos muestrales que pertenecen al evento A y no pertenecen al evento B. Esto es,

A  B  w   / w  A  w  B

El evento A  B  A  B describe el evento que ocurra A y no ocurra B. Ejercicio 6: 1. Del lanzamiento de tres monedas buenas a la vez. Determinar el evento diferencia de obtener por lo menos una vez cara y no por lo menos dos veces cara. Solución: Determinamos los eventos

A  Obtener por lo menos una vez cara  ssc, scs, css, ccs , scc, csc, ccc B  Obtener por lo menos dos veces cara  ccc, scc, scc, csc

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A  B  ssc, scs, css Se toman los elementos de a que no están en B 2. Al lanzar dos dados normales. Determinar el evento diferencia de obtener números iguales y menores e iguales que 6

5.4 Complemento de un evento Es el evento A , que esta formado por todo los puntos muestrales o elementos del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Es decir, A  w   / w    w  A

El evento A describe el evento que ocurra en  y no ocurra en A. Ejercicio 7: 1. En el modelo de lanzar un dado legal. Determinar el evento complemento de obtener un número par Solución: Determinamos el espacio muestral y el evento

A  2,4,6

  1,2,3,4,5,6

Luego el evento complemento estaría formado por los números impares

A  1,3,5 2. En el modelo de lanzar tres monedas buenas. Determinar el complemento de obtener por lo menos una vez cara Solución:

5.5 Probabilidad Definición.- Se puede definir como el estudio de fenómenos o experimentos puramente aleatorios o libres de determinación. En el estudio de la probabilidad interesa deducir las leyes del azar y los resultados que estos determinan. Definición Clásica.- Dado un evento A, asociado a un experimento aleatorio, se llama probabilidad de A y se denota por P(A) , el cual es el cociente; del numero de resultados favorables para la ocurrencia del evento A entre el numero total de posibilidades. (Numero total de elementos del espacio muestral. Esto es:

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P( A) 

n( A) numero de casos favorables al evento A  n() numero de casos posibles

Ejercicio 8: Del lanzamiento de un dado. a) Determinar la probabilidad de obtener un número par b) Hallar la probabilidad de obtener un numero mayor que seis a) Determinar la probabilidad de obtener un número par Solución: Sabiendo que   1,2,3,4,5,6

El evento A= {Obtener un número par al lanzar un dado legal}= 2,4,6 Se tiene tres resultados favorables; entonces

P( A) 

3  0.5 6

b) Hallar la probabilidad de obtener un numero mayor que seis Solución: Sabiendo que   1,2,3,4,5,6 El evento B= {obtener un número mayor que 6}= 

P( B) 

0 0 6

B es un evento imposible y su probabilidad es cero. Ejercicio 9: En el modelo 3 de lanzar una moneda, determinar la probabilidad de los siguientes eventos: a) De obtener sello. b) De obtener a lo mas un sello a) De obtener sello. Solución: Sabiendo que el espacio muestral   c, s B= {Obtener sello}= s  P( B) 

1  0.5 2

b) De obtener a lo mas un sello Solución: Sabiendo que   c, s

C= {obtener cara o sello}= c, s =  2  P(C )   1 2 C es un evento seguro.

Ejercicio 10: Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a) Dos caras b) menos de dos caras c) a lo mas dos caras

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R. 38%, 50%, 88%

Ejercicio 11: En una caja hay 25 bolas numeradas del 1 al 25. Se extrae al azar una bola ¿Cual es la probabilidad que el numero de la bola extraída: a) no exceda de 25 b) sea 32 c) sea por lo menos 15

R. 100%, 0%, 30%

5.6 Definición Axiomática de la Probabilidad Sea un experimento aleatorio y sea  espacio muestral correspondiente. En cada evento A asociamos un número real llamado probabilidad de A, designado por P(A) y satisface las propiedades siguientes: 1) 0  P( A)  1 ; lo que significa que la probabilidad será un número positivo o cero, pero nunca será un número negativo. 2) P()  1; significa que la probabilidad del suceso o evento seguro  es igual a la unidad. 3)

P( A  B)  P( A)  P( B) ; siendo A y B mutuamente excluyentes. ( A  B   )

Ejercicio 12: En el experimento aleatorio de lanzar una moneda ¿Cuál seria la probabilidad a) Obtener 2 caras; b) Obtener a lo más un sello y c) Obtener una cara? Solución: Se determina los eventos a) A= {Obtener dos caras}=  entonces

P( A) 

n( A) 0   0. n() 2

A es un evento imposible y su probabilidad es cero. b) B= {Obtener a lo mas un sello}= s, c   entonces P( B) 

n( B ) 2   1. n() 2

B es un evento seguro y su probabilidad es uno. c) C= {Obtener una cara}= c; entonces P(C )  n(C )  1  0.5 . n()

2

La probabilidad de obtener siempre cara es igual a la probabilidad de obtener sello

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Propiedades Importantes: 1) P( )  0 Probabilidad del suceso o evento imposible. 2) P( A)  1  P( A) La probabilidad de un evento A, es igual a la unidad menos la probabilidad del evento complementario A .O también P( A)  1  P( A) . Ejercicio 13: En el experimento de lanzar 2 monedas, determinar la probabilidad del complemento de obtener más de una cara. Solución: Sea   cc, cs, sc, ss. Se determinan los eventos

A  Obtener por mas de una cara  cc A  No obtener mas de una cara  cs, sc, ss

entonces P( A)  n( A)  3 n() 4 otra forma P( A)  1  P( A)  1  1/ 4  3 / 4 3) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) siendo A y B eventos cualesquiera.

( A  B)   Generalizando

P( A  B  C)  P( A)  P( B)  P(C)  P( A  B)  P( A  C)  P( B  C)  P( A  B  C) donde A, B y C eventos cualesquiera. 4) A  B entonces P( A)  P( B) Ejercicio 14: En el experimento de lanzar un dado normal. Halle la probabilidad de obtener un número primo o impar. Solución: Sea   1,2,3,4,5,6 y los eventos A= {Obtener un número primo}= {2, 3, 5} B= {Obtener un número impar}= {1, 3, 5} A  B = {Obtener un número impar o primo}= A  B  1,2,3,5 n( A  B ) 4  PA  B    0.67 n() 6 Aplicando la propiedad 3) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) PA  B 

n( A) n( B) n( A  B) 3 3 2 4        0.67 n() n() n() 6 6 6 6

Ejercicio 15: En una encuesta a 34 estudiantes de la Escuela de Negocias muestra la siguiente elección por especialidades; 10 contabilidad, 5 finanzas, 6 administración, 3 sistemas y 10 marketing. Suponga que usted elige a un estudiante (a) ¿Cuál es la probabilidad que su especialidad sea Administración? (b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir a un estudiante que sea de Sistemas o Finanzas?

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R. 18%, 24%

5.7 Probabilidad Condicional.- Sean A y B dos eventos asociados con un experimento aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y que P( B)  0 . Bajo estas condiciones se establece la siguiente definición. Se llama probabilidad condicional de A dado B, y se escribe P( A / B), al cociente de la probabilidad de la intersección de los eventos A y B entre la probabilidad del evento B.

P( A / B) 

P( A  B) P( B)

Ejercicio 16: En el experimento de lanzar dos dados legales, sabiendo que la suma de los dos números es 6, calcular la probabilidad de que el primer número sea par. Solución    (1,1); (1,2); )............(6,6) 36 pares B= {(1,5); (2,4); (3,3); (4.2); (5,1)}, n(B)=5 A= {Que el primer numero sea par} A= {(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}

A  B  (2,4); (4,2)  P( A  B)  P( A / B) 

2 Por lo tanto 36

P( A  B) 2 / 36 2   P( B) 5 / 36 5

Ejercicio 17: Como serian las probabilidades dadas, use definiciones o propiedades. (a) Si B es un evento cualquiera diferente del vacío. P( / B)  (b) Si A y B sean mutuamente excluyentes entonces.

P( A / B)  P A  B  / C  

(c)Siempre que A y B sean eventos cualesquiera

P( A  B) / C   ; Ejercicio 18: Un ingeniero tiene dos carros viejos M y N, ellos tienen problemas de arrancar en la mañanas frías. La probabilidad de que ambos arranquen es 0.1, la

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probabilidad de que arranque N y no M es 0.2, la probabilidad que ninguno de ellos arranque es 0.4. Hallar la probabilidad que (a) El carro M arranque. (b) Arranque M dado que N arranco. (c) Arranque N dado que M arranco. (d) Arranque N dado que M no arranca.

R. a)40% b) 33% c)25% d)33%

Ejercicios de Aplicación XI 1. En un determinado suburbio residencial, 60% de los hogares se suscriben al periódico metropolitano publicado en una ciudad cercana, 80% se suscriben al periódico local y 50% se suscriben a ambos periódicos. Si se selecciona al azar una familia ¿Cuál es la probabilidad de que este suscrita 1) al menos a uno de los dos periódicos y 2) Exactamente a uno de los dos periódicos? R. 1) 0.95; 2) 0.4 2. Si el 12% de los clientes de una tienda de libros solicitan que sus compras sean envueltas en papel de regalo, el 29% de los clientes pagan con tarjeta, y el porcentaje de clientes que pagan con tarjeta y piden que sus compras sean envueltas en papel de regalo es de 7%. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente no pague con tarjeta ni solicite que sus compras sean envueltas? R. 66% 3. Determine el complemento para cada uno de los siguientes eventos: a) Del problema 7 de ejercicios propuestos IX ―La demanda en un día determinado fue mas de 8000 galones‖ b) Del modelo de lanzar dos monedas legales; ―Obtener por lo menos una vez cara‖ 4. Considere elegir al azar, un alumno de cierta universidad. Sea A, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y B el evento que tenga el alumno una tarjeta Mastercard. Suponga que P( A)  0.5 P( B)  0.4 y P( A  B)  0.25 a) Calcule la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno elegido no tenga ninguna de esas tarjetas? c) ¿Describa, en términos de A y B, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta Visa, pero no Mastercard, y luego calcule la probabilidad de este evento? 5. Determine la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes: a) La probabilidad de tomar de manera aleatoria una cuenta por cobrar en moratoria, dado que 5 por ciento de las cuentas están en esa condición.

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b) La probabilidad de que una inversión en un terreno tenga éxito. En el área en cuestión, por lo general sólo la mitad de estas inversiones tienen éxito, pero los métodos de decisión del inversionista de que se trata lo han conducido a tener un récord 30 por ciento mejor que el inversionista promedio en el área. c) La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados después de lanzados sea siete. R a) 0.05, b) 0.65, c) 1/6

6. Sea A el evento en el que el siguiente requisito para ayuda de un asesor de software de estadística se relacione con el paquete SPSS, y sea B el evento en el que el siguiente requisito es para ayudad con SAS. Supóngase que P(A)=0.30 y P(B)=0.50. a. ¿Por qué no es posible que P(A) + P(B)=1? b. Calcule P( A) c. Calcule P( A  B) d. Calcule P( A  B) R. 0.70; 0.80; 0.20 7. Sean los sucesos: S= {Población de 10 a 19 años de edad} A= {Población de 10 a 19 años que estudian} B= {Población de 10 a 19 años que trabajan} Como seria determinar (a) A  B (b) A  B (c) A (d) B

(e) A  B

8. De un Comité de 20 estudiantes pertenecientes a Estadísticas, Economía y Agronomía, se va a elegir al azar Presidente del Comité; se sabe que la probabilidad de elegir un estudiante de Economía es 2/5, ¿Cuál es la probabilidad que el Presidente no sea de Economía? 9. Una caja contiene 220 tornillos iguales, de los cuales 80 son producidos por la maquina A, 60 por la maquina B, 50 por la maquina C y 30 por la maquina D. Si elige un tornillo al azar de la caja, ¿Cuál es la probabilidad que el tornillo elegido haya sido o producido por las maquinas A o C? 10. Se lanza un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número impar de puntos en cada dado? 11. En una baraja corriente de 52 cartas, llamemos: A  Que sa lg a espada; B  Que sa lg a J , Q o K  Calcular: a) P(A)

b) P(B)

Técnicas de Conteo: Ejercicios 12, 13, 14 Usando regla del producto para k-tuplas 12. Responda las siguientes preguntas: (a) Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición cinco líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuantas formas puede hacer el viaje? (b) El propietario de una casa realiza algunas remodelaciones, requiere los servicios de un plomero y de un contratista electricista. Si hay 12 contratistas plomeros y 9 contratistas electricistas en la zona ¿De cuantas formas se puede seleccionar a los contratistas? (c) Consideremos el experimento de lanzar una moneda o un dado de cuantas formas ocurre. (d) Un producto se vende en tres mercados, en el primer mercado se tienen disponibles 5 tiendas; en el segundo 4 y en el tercer mercado 6 tiendas ¿De cuantas maneras puede venderse el producto?

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(e) Una familia recién ha llegado a una ciudad, requiere los servicios de un obstetra y un pediatra. Hay dos clínicas de fácil acceso, cada una con 4 obstetras y 3 pediatras. La familia obtiene los máximos beneficios del seguro de salud si se asocia con una clínica y selecciona a ambos médicos ¿De cuantas formas se puede selecciona a los médicos? Usando permutaciones: Se llama Permutación a cualquier secuencia ordenada de k-objetos tomado de un conjunto de n objetos distintos. En la permutación es importante el orden. El numero de permutaciones de tamaño k que se puede construir a partir de n objetos se indica por medio de

Pk ,n 

n! (n  k )!

13. Hay diez asistentes de enseñanza disponibles para calificar los exámenes de un determinado curso. El primer examen consiste en 4 preguntas, y el profesor desea seleccionar un asistente distinto para calificar cada pregunta (solo un asistente por pregunta). ¿De cuantas maneras se puede elegir a los asistentes para calificar el examen? Usando combinatorias: No importa el orden C nr 

n! (n  r )! r!

14. Resolver (a) Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas, sin importar el orden entonces, el número de formas de seleccionar estas dos cartas es. (b) Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen, de calculo III; - De cuantas maneras puede el estudiante escoger las ocho preguntas. - Si las tres primeras preguntas son obligatorias, ¿De cuantas maneras puede escoger las preguntas? - Si tiene que contestar cuatro de las cinco primeras preguntas ¿De cuantas formas puede hacerlo? (c) De cuantas maneras puede seleccionarse una partida de 4 o más personas, si hay 10 personas disponibles. (d) ¿Cuantas comisiones integradas por un varón y una dama pueden formarse de cinco varones y ocho damas, si cierto varón se rehúsa a trabajar con dos chicas?. (e) ¿Cuantos equipos de fútbol pueden formarse con doce hombres que puedan ocupar cualquier posición delantera y 10 hombres que pueda ocupar cualquiera de las demás posiciones? (f) Daniel Enrique tiene 15 amigos: De cuantas maneras puede invitar a una cena a 6 de ellos. (g) Cuantos elementos tiene el espacio muestral asociado al experimento aleatorio de extraer al azar 3 bolas rojas de una urna que contiene 6 bolas rojas a) A la vez. b) Una a una sin reposición. c) Una a una con reposición. 15. Determinar la probabilidad de los siguientes eventos a) Que salga un número par al lanzar un dado. b) Que resulte un rey al sacar una carta de una baraja corriente de 52 cartas c) Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas legales. d) Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 azules.

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16. Una lotería consta de 10000 billetes. Un billete se premia con 100 soles, cuatro con 50 soles, diez billetes con 20 soles, veinte billetes con 10 soles, 165 billetes con 5 soles, 400billetes con 1 sol cada uno. Los demás billetes no se premian. Se compra un billete, ¿Cuál es la probabilidad de ganar (a) por lo menos 10 soles; (b) a lo mas 5 soles? R. a) 0,0035 b) 0.06. 17. De 25 personas que contrajeron cierta enfermedad al mismo tiempo y que fueron llevados a una misma área de un hospital, 20 se recuperan completamente en 3 días; al cabo del cual, se escogen aleatoriamente 5 personas para hacer un chequeo ¿Cuál es la probabilidad que los 5 sean dados de alta? ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 4 sean dados de alta?; ¿Cuál es La probabilidad que ninguno sea dado de alta? 18. Una muestra aleatoria de 10 fabricas que emplean a 10000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada. 19. La distribución de los miembros de los partidos políticos es Partido A Nº total 105 Militantes Militantes 15 Mujeres

B 100

C 70

D 45

E 40

F 15

20

5

10

3

2

¿Cuál es la probabilidad de que un militante seleccionado aleatoriamente (a) Sea una mujer; (b) pertenece al partido D; (c) Sea un hombre miembro del partido C? 20. En una serie de observaciones sobre la longitud de vida de ratas machos, un biólogo ha encontrado que el 95% sobrevive aun 200 días después de nacer; 82% sobrevive 400 días; 45% sobreviven 600dias; 9% sobreviven 800 días y no sobreviven después de 1000 días. Estime las probabilidades de los eventos: (a) Se mueren dentro los primeros 200 días (b) Se mueren entre los 200 y 400 días (c) Sobreviven a lo más 400 días (d) Mueren dentro los 1000 días. R. a) 5% b) 13% c) 83% d)100%. 21. De una baraja de naipes de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una sola carta, esta sea un as de espadas o un dos de oros? 22. En una baraja de 52 cartas, sabemos que la probabilidad de extraer un rey es 4/52 y la probabilidad de extraer un as es 4/52, si se hace una sola extracción ¿Cuál es la probabilidad de extraer un rey o as? 23. Una caja contiene 200 piezas de las cuales 100 son producidas por la maquina A, 60 por la maquina B y 40 por la maquina C. Si una pieza es escogida al azar de la caja: a) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producida por la maquina A o por la maquina B? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera producida por la maquina A o por la maquina B? 24. En una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta, esta sea un as o bien el 10 de oros, o el cuatro de espadas? 25. José Manuel se presenta a dos universidades Ay B. El estima la probabilidad que sea admitido en la universidad A en 0.8; a la universidad B en 0.75, en al menos una de ellas en 0.95 ¿Cuál es la probabilidad que ingrese a ambas universidades? 26. Sean Ay B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que P( A)  0.20 , P( B)  0.30 y P( A  B)  0.10 ;

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calcular (a) P( A  B) ; (b) P( AB) , (c) P( B A) , (d) P( A  B) 27. En una encuesta publica se determina que la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es 0.30, que consuma Ay B es 0.12, que consuma solamente Ay C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que una persona consuma (a) A o B pero no C. (b) Solamente A. R. a) 60% b) 30%. 28. La probabilidad que llueva en Arequipa el 12 de octubre es 0.10. de que truene es de 0.05 y que llueve y truene es 0.03 ¿Cuál es la probabilidad que llueve o truene ese día? 29. La probabilidad que la señorita hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas en un día es 0.20; y por lo menos 9 llamadas en un día es 0.50 ¿Cuál es la probabilidad que la Srta., hablantina reciba 6,7 u 8 llamadas en un día? 30. De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 15% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente a una persona. ¿Cuál es la probabilidad que (a) Juega fútbol o ajedrez? (b) Practica solo uno de estos deportes? (c) no práctica ni fútbol ni ajedrez? 31. De 150 pacientes examinados en una clínica se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? 32. Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 estudiaban francés, 80 estudiaban ingles y 60 ambos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes se selecciona uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado francés o ingles o ambos idiomas? 33. En cierta universidad para varones, el 5% de los estudiantes del ultimo año eran miembros del club B, el 10% eran veteranos de guerra y el 1% eran miembros del club B y veteranos de guerra. Si se seleccionó al azar un estudiante del último año ¿Cuál es la probabilidad de que sea veterano de guerra o haya pertenecido al mencionado club? 34. Se lanzan tres monedas. Calcular la probabilidad de que todas sean caras si: a) La primera de las monedas es cara. b) por lo menos una de las monedas es cara. 35. En Lima Perú la probabilidad que llueva el día primero de julio es 0.50 y la probabilidad que llueva los dos primeros días de julio es 0.40. Dado que llovió el día primero, ¿Cuál es la probabilidad que llueva al día siguiente? 36. En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: (a) Sea un estudiante Varón. (b) Sea un estudiante varón., si es de ciencias. © Sea un estudiante de ciencias, si es varón (d) Sea un estudiante de ciencias y varón. 37. La probabilidad que la construcción de un edificio termine a tiempo es de 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se terminé la construcción a tiempo es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad que (a) la construcción se termina a tiempo y no haya huelga. (b) No haya huelga dado que la construcción se termino a tiempo.

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(c) La construcción no se termina a tiempo si hubo huelga. (d) La construcción no se termina a tiempo si no hubo huelga. 38. Se lanza un par de dados legales. Calcular la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor si: a) Aparece un cinco en el primer dado. b) Aparece un cinco en uno de los dados por lo menos 39. Sean dos eventos A y B no independientes, con P(A) = 0.39, P(B) = 0.21 y P(AB) = 0.47. Obtenga la probabilidad de que: a) b) c) d)

No ocurran ni A ni B. Ocurran A y B. Ocurra B, si A ha ocurrido. Ocurra A, si B ha ocurrido.

40. Si P(A) = 3/14, P(B) = 1/6, P(C) = 1/3, P(AC) = 1/7, P(B/C) =5/21, encuentre: a) P(A/C)

b) P(BC)

c) P(C/B)

41. La probabilidad de que una compañía emplee una nueva estrategia de mercado es 0.54 y la probabilidad de que la nueva estrategia de mercado sea adoptada y que las ventas crezcan a los niveles proyectados es 0.39. ¿Cuál es la probabilidad de que si la compañía emplea la nueva estrategia de ventas, las ventas crezcan a los niveles proyectados?

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5.8 Regla general de la Multiplicación.De la probabilidad condicional P( A / B) 

P( A  B) P( B)

Despejamos P( A  B)  P( A / B) P( B) o P( A  B)  P( B / A) P( B) que es equivalente en palabras. La probabilidad de la intersección (realización simultanea) de dos eventos A y B es igual al producto de la probabilidad condicional de A dado B, por la probabilidad del evento condicionante B. O también igual al producto de la probabilidad condicional de B dado a, por la probabilidad condicionante A. Propiedades: 1. Si P( A)  0 , se define P( A / B)  0 2 Si A  B   entonces, P( A  B)  0

P( A)  1 o también P( B / A)  P( A / A)  1 P( A) P( B) 4. Si B  A, entonces, P( B / A)  P( A) 3. Si A  B, entonces, P( B / A) 

5. Si A1 y A2 son eventos mutuamente excluyente entonces

P(( A1  A2 ) / B)  P( A1 / B)  P( A2 / B) 6. Si A1 y A2 son eventos cualesquiera entonces

P(( A1  A2 ) / B)  P( A1 / B)  P( A2 / B)  P( A1  A2 / B) 7. La probabilidad P( A / B)  1  P( A / B) 8. La probabilidad P( / B)  0 9. La probabilidad P( / B)  1 Ejercicio 19: Supongamos que en una urna hay 7 bolas del mismo tamaño de las cuales 4 son blancas y 3 son rojas. Se extraen sucesivamente dos bolitas al azar sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea blanca y la segunda roja?

R. 2/7

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Independencia 5.9 Definición.- Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P( A  B)  P( A) P( B)

Nota.1. Si A  AB  AB donde AB  AB   entonces P( A)  P( AB)  P( AB) 2. Si B  AB  AB donde AB  AB   entonces P( B)  P( AB)  P( AB) 3. Si   A  AB  AB donde AB  AB   , A  AB   y AB  A   entonces

P()  P( A)  P( AB)  P( AB) 5.9.1 Teorema.- Si los eventos A y B son independientes, entonces: a) A y B son eventos independientes entonces P( AB)  P( A) P( B) b) A y B son eventos independientes entonces P( AB)  P( A) P( B) c) A y B son eventos independientes entonces P( AB)  P( A) P( B) Observación: Se deja de tarea para que demuestre el alumno, use la nota de la definición 5.9 Ejercicio 20: La probabilidad de que un comerciante, venda dentro de un mes, un lote de refrigeradoras es ¼ y la probabilidad de vender un lote de cocinas dentro de un mes es de 1/3. Hallar la probabilidad de que: i) Vende los dos lotes de artículos dentro de un mes. ii) Vende ―al menos uno‖ de los lotes dentro de un mes. iii) Vende ―ninguno‖ de los lotes dentro de un mes. iv) Solamente vende el lote de refrigeradoras dentro de un mes.

R. 8%, 50%, 50%, 17%

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5.10 Regla de la probabilidad Total y regla de Bayes 5.10.1 Definición de Partición del Espacio Muestral.- Se denomina partición del espacio muestral  , a una colección de k eventos A1 , A2 ,...., Ak que sean mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral  , es decir se verifican las siguientes condiciones:

1) P( Ai )  0, para cada i  1,2,...., k 2) Ai  Aj   ,  i  j k

3)  Ai  , o i 1

k

 P(A )  1 i 1

i

5.10.2 Teorema (regla de la probabilidad total) Si k eventos A1 , A2 ,...., Ak constituyen una partición del espacio muestral  , entonces para cualquier evento B en  , k

P( B)   P(Ai ) P( B / Ai ) i 1

5.10.3 Teorema de la Regla de Bayes) Si los eventos: A1 , A2 ,...., Ak constituyen una partición del espacio muestral  , entonces para cualquier evento B de  tal que P (B)>0

P( Ai / B) 

P( Ai ) P( B / Ai ) para cada i=1,2,……,k P( B)

Ejercicio 21: En una empresa del total de trabajadores, se tiene que el 50% son Técnicos profesionales, el 30% son Oficinistas y el 20% Personal de Servicio; además se tiene que el 8% de los profesionales, el 9% de los oficinistas y el 10% del personal de servicio son provincianos (nacidos fuera de la capital). Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser provinciano (B). Hallar la probabilidad de que el trabajador sea técnico Profesional (A1)

R. 46%

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Ejercicio 22: Un ensamblador de computadoras usa partes que provienes de 3 proveedores P1, P2 y P3 . De 2000 partes recibidas 1000 provienen de P1 , 600 de P2 , y el resto de P3 . De experiencias pasadas, el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de P1 , P2 y P3 son respectivamente 3%; 4% y 5%. Si se elije una computadora al azar. a) ¿Cual es la probabilidad de que contenga una parte defectuosa? b) Y si contiene una parte defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido proveído por P2 ?

R. a)4% b)32%

Ejercicios de Aplicación XII 1. En la facultad de Economía, el 25% de los estudiantes desaprobaron matemáticas, el 15% desaprobaron Estadística y el 10% desaprobaron las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar. i) Si desaprobó Estadística, ¿Cuál es la probabilidad de que desaprobara Matemáticas? ii) Si desaprobó Matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que desaprobara Estadística? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que desaprobara Estadística o Matemática? 2. Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4, 0.5 y 0.3. Cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar uno de tales televidentes, ¿Qué probabilidad hay de que vea a) dos de los tres programas? b) al menos uno de los tres programas? R. a) 0.29, b) 0.79 3. En el hipódromo de Monterrico, 4 caballos A, B, C y D compiten en una carrera; A es 2 veces la probabilidad de ganar que B; B tiene 2 veces la probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces la probabilidad de ganar que de D. a) ¿Cuáles son las probabilidades de victoria de cada uno de los caballos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que B o C gane? 4. Se sabe que el 30 % de las lavadoras de cierta compañía requieren servicio mientras esta vigente la garantía, en tanto que solo 10% de sus secadoras necesitan este servicio. Si alguien

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compra una lavadora y una secadora de esta compañía, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas maquinas requieran servicio de garantía? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna maquina requiera servicio? R. 0.03; 0.63 5. En una oficina hay dos computadoras Ay B que trabajan de manera independiente. Si en un momento cualquiera la probabilidad de que la maquina B este en mal estado es ¼ y la probabilidad de que sólo la maquina A este en mal estado es 3/10, ¿cuál es al probabilidad de que sólo la máquina B este en malas condiciones? R.3/20 6. En un almacén hay doce artículos de los cuales 4 son defectuosos; si se extraen 2 artículos, calcule la probabilidad de que: a) Ambos artículos son defectuosos. b) Ambos artículos no son defectuosos. c) Por lo menos uno es defectuoso. 7. La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5. Si A y B disparan, ¿cuál es la probabilidad de que se pegue en el blanco? 8. Si P(A)=0.5; P(B)=0.25 y P(C)=0.166 si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes dos a dos. Calcular a) P( A  B  C) b) P( A  B  C ) c) P( B  A) 9. En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Si se toma al azar tres artículos uno tras otro. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean buenos? R. 7/24 10. La probabilidad de que un estudiante apruebe matemática I es 2/3, y que apruebe calculo I es 4/9. Si la probabilidad de aprobar por al menos una de estas materias es 4/5 ¿Cuál es la probabilidad que apruebe ambos cursos? R. 14/45 11. Ocho parejas de casados se encuentran en un salón 1) Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad de que: a) ambos sean esposos. b) una sea mujer y el otro hombre. 2) Se escogen al azar 4 personas, hallar la probabilidad de que a) Se escojan dos parejas de casados b) Ninguna de las cuatro personas son casados. 12. En la universidad se publican 3 revistas: A, B, C el 30% de los estudiantes leen la revista A, el 20% lee B y el 15% lee C, el 12% leen Ay B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente 3% leen A, B y C. Se pide: a) Porcentaje de estudiantes que leen al menos una de las 3 revistas. b) Porcentaje de estudiantes que leen B o C, pero no A. c) Porcentajes de estudiantes que leen A o bien, no leen B ni C 13. Si P(A)=1/2; P (B)=1/4 y si A y B son eventos mutuamente excluyentes Calcular a) P(A) b) P( A  B) c) P( A  B) d) P( AB) 14. Cierta familia tiene 3 hijos y sabemos que dos de ellos son niñas, Suponiendo que los nacimientos de niños y niñas son igualmente probables, y suponiendo además que el sexo del hijo mayor no afecta en ningún modo al sexo del hijo menor, calcule la probabilidad que la familia tenga tres niñas (probabilidad Condicional) R.¼ 15. La siguiente tabla presenta la clasificación de 356 estudiantes de la universidad de Lima, de acuerdo a su especialización y procedencia

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Especialidad Procedencia Limeño L Provinciano P Extranjero Q Total

Ingeniería Industrial 100 20

Administración Economía

Derecho

Total

40 60

50 50

20 10

210 140

5 125

0 100

1 101

0 30

6 356

Sea E: elegir al azar un estudiante del grupo (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la facultad de ingeniería industrial y no sea extranjero? R. 0.6461 (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la facultad de ingeniería industrial dado que es limeño? R. 0.524 (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea de la facultad de Economía o administración dado que es provinciano? R. 0.786 16. Si A, B y C son eventos mutuamente Independientes tal que P( A  B  C)  2 / 5 , P( A  B)  1/ 12 y P( A  C )  1/ 15 - Calcular P( A  B  C )

R. 3/5

17. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼ y la probabilidad que su esposa viva 10 años más 1/3. Hallar la probabilidad de que: (a) Ambos vivan 10 años más. (b) Al menos uno viva al cabo de 10 años. (c) ninguno viva al cabo de 10 años. (d) Solamente la esposa viva al cabo de 10 años. R. 1/12; 0.5; 1/2 y 1/4

18. Se conoce que un paciente responde a un tratamiento de una enfermedad con probabilidad 0.8. Si 3 pacientes son tratados en una manera independiente, encontrar la probabilidad que al menos uno responda al tratamiento. R. 0.992 Probabilidad Total y Bayes 1. En la empresa editora RA. el 25% de los trabajadores y el 10% de la trabajadoras mujeres tienen sueldos superiores a los 1000 soles. Además, el 60% de los trabajadores son mujeres. Si se selecciona al azar un trabajador y gana más de 1000 soles mensuales, ¿Cuál es la probabilidad que el trabajador elegido sea mujer? R. 0.38 2. Supongamos que la población de Lima esta formado por el 60% de hombres y el 40% de mujeres. Supongamos también que el 50% de los hombres y el 30% de las mujeres fuman. Determine la probabilidad que la persona que fuma es hombre. R. 0.71 3. En una universidad, el 60% de los estudiantes son del grupo estudiantil SIP y el 40% del grupo FER. En las elecciones para Presidente de la Asociación de Estudiantes se presentarón dos candidatos, Nicolás y Ramiro. Realizadas las elecciones, el 80% de grupo SIP y el 10% del grupo FER votaron por Nicolás. El 20% de SIP y el 90% de FER votaron por Ramiro. Si se selecciona un votante al azar ¿Cuál es la probabilidad de que haya votada por Ramiro?; ¿Cuál es la probabilidad de que el votante sea de SIP dado que voto por Ramiro? R. 0.48; 0.25

4. En una encuesta al departamento de Arequipa mostró que el 20% de la personan fuman. Se encontró que la probabilidad de muerte causada por cáncer al pulmón, dado que la persona fuma, era 10 veces mayor que la probabilidad de muerte causada por cáncer al pulmón, dado que la persona no fuma. Si la probabilidad de muerte causada por el cáncer al pulmón en el departamento de Arequipa es de 0.06 ¿Cuál es la probabilidad de muerte debido al cáncer al pulmón dado que la persona fuma? R. 0.21

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5. El dado A tiene 4 caras rojas y 2 cara blancas, y el dado B tiene 2 caras rojas y 4 caras blancas. Una moneda es lanzada una sola vez. Si el resultado es cara se usa el dado A para continuar el juego; si sale sello se debe usar el dado B. (a) Hallar la probabilidad de que el resulte cara roja en el primer lanzamiento. R. 0.50 (b) Dado que en los dos primeros lanzamientos resultan caras rojas ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara roja en el tercer lanzamiento? R. 0.60 (c) Si los primeros 3 lanzamientos resultan en caras rojas, ¿Cuál es la probabilidad de que este utilizando el dado A? R. 8/9 6. En el Departamento de historias clínicas de un Hospital, tres empleados tienen la tarea de procesar los registros de los pacientes. El primer empleado, A1 procesa el 50% de los registros, el segundo A2 el 30% y el tercero A3 el 20%. El primer empleado tiene tasa de error en su trabajo de 0.03, el segundo de 0.045 y el tercero de 0.025. Se selecciona un registro al azar entre los que procesaron durante una semana y se encuentra que tiene un error. El bibliotecario de registros médicos desea saber la probabilidad de que el registro haya sido procesado por el segundo empleado. R. 0.40

7. El banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es 0.2. También ha estimado que el 30% de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 70% de los préstamos pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones. Se pide calcular. a) Probabilidad de que un préstamo que se haya hecho para financiar un viaje de vacaciones no se pagué a tiempo. R. 0.097 b) Probabilidad de que si el préstamo para propósitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo. R. 0.63 8. En la facultad de ingeniería Industrial de la Universidad de Lima hay 5 secciones del curso de Probabilidad y Estadística, las secciones están conformadas de la siguiente manera: Sección 1: 36 Varones y 14 Mujeres Sección 2: 15 Varones y 35 Mujeres Sección 3: 20 Varones y 30 Mujeres Sección 4: 38 Varones y 12 Mujeres Sección 5: 40 Varones y 10 Mujeres Se lanza una moneda 3 veces. Si obtenemos 3 caras se elige la sección 1, si obtenemos 3 sellos se elige la sección 3, si obtenemos 2 caras se elige la sección 2, si obtenemos 2 sellos se elige la sección 4 y si obtenemos una cara se elige la sección 5. Después de haber elegido una sección, se selecciona 3 estudiantes al azar y resulta que son mujeres. ¿Cual es la probabilidad de que sean de la sección 2 o sección 4? R. 0.81 9. Una compañía de seguros opina que la población limeña puede ser dividida en dos clases: aquellas personas propensas a accidentes y aquellos que no son propensos. Sus estadísticas muestran que una persona propensa a accidente tendrá un accidente alguna vez dentro de un periodo de un año con probabilidad 0.4, mientras sus probabilidades decrecen a 0.2 para una persona que no es propenso a accidentes. Si suponemos que 30% de la población limeña es propensa a accidentes. Calcular a) Probabilidad de que una persona que una nueva póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza. R. 0.26 b) Suponiendo que el nuevo poseedor de una póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza, ¿Cuál es la probabilidad de que él es propenso a accidente? R. 0.46

10. En un día cualquiera cuatro maquinas M1, M 2 , M 3 y M 4 producen un bien de consumo en las siguientes proporciones M 1 produce el doble de M 4 , M 3 produce el triple de M 4 , mientras que M 1 produce la mitad de M 2 . Las producciones no defectuosas son respectivamente 95%, 95%, 90% para M1 , M 2 , M 3 Si se elige al azar un artículo de la producción de un día y se encuentra que la probabilidad de que resulte no defectuoso es 0.93

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a) ¿Cuál es el porcentaje de producción no defectuosa de M 4 ? b) ¿De que maquina es mas probable que provenga un articulo defectuoso?

R. 0.90

11. Las probabilidades de que los socios S1 y S2 sean elegidos presidente de su club son 0.4 y 0.6 respectivamente. Las probabilidades de que sea aumenten las cuotas mensuales de los socios son de 0.9 si sale elegido S1 y de 0.2 si sales elegido S 2 a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un aumento en las cuotas mensuales de los socios? R. 0.48

b) Si se aumenta la cuota mensual, ¿Como se modifican las probabilidades de que salgan elegidos los socios S1 y S2 ? 12. Se estima que la probabilidad de una compañía B tenga éxito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidora la compañía a no intervine en el mercado, y es de 0.15 si la CIA A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendría en el mercado con probabilidad de 0.7 a) ¿Cuál es la probabilidad de que CIA B tanga éxito? R 0.39 b) Si la compañía B no tuviera éxito ¿en cuanto se estima la probabilidad de que A intervenga en el mercado? R. 0.98 13. Un candidato a la alcaldía Provincial, conoce que sus partidarios en tres distritos A, B y C corresponden a los porcentajes de 60%, 25% y 15% del total de sus electores. Sin embargo, el comité que dirige su campaña sabe que en estos tres Distritos hay cierta cantidad de infiltrados que apoyan a otros candidatos y están con la proporción de 5%, 3.5% y 2% respectivamente. si se va a escoger al azar un volante y se sospecha que es infiltrado. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al distrito A?

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6. Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad.6.1 Definición.-Se denomina variable aleatoria, a una variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral  . Dicha variable aleatoria X (V.A.X) también es una función X: Ω—>Rx. Donde  es el dominio de la V.A.X y Rx={xєR /X=X(w); wєΩ } es el rango siendo este un subconjunto de los números reales. Además w es un evento o elemento de  Ejercicio 1: Considere el espacio muestral que consiste en el lanzamiento de una moneda tres veces consecutivas. Describa los elementos de la V.A.X que se define como ―el número de caras obtenidas‖ Solución: X se define en  como ―el número de caras obtenidas‖, entonces X es una variable aleatoria cuyo rango es el conjunto Rx  0,1,2,3 y el espacio muestral esta dado por:   sss, ssc, scs, css, scc, csc, ccs , ccc

sss Si X=1, corresponde los eventos elementales ssc, css y scs Si X=2, corresponde los eventos elementales scc , ccs y csc Si X=3, corresponde los eventos elementales ccc Si X=0, corresponde al evento elemental

Ejercicio 2: Considerando como variable aleatoria X el tiempo de vida de un artefacto eléctrico donde el espacio muestral consiste en el tiempo de duración de un artefacto electrodoméstico obtenido al azar de un lote (   w  R / w  0 ) entonces X es una función identidad cuyo rango es el conjunto

Rx  x  R / x  0

Dentro de la variable aleatoria continua tenemos la función de densidad y la función de distribución acumulada. Nota: La variable aleatoria es pues, una función que atribuye a cada evento elemental un número que no es aleatorio o imprevisible sino fijo y predeterminado. 6.2 Variable aleatoria Discreta.- Son aquellas variables que representa datos que provienen del conteo del número de elementos. Cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores (ejercicio 1). Si la variable aleatoria X es discreta, su rango se expresara en general por:

Rx  x1, x2 , x3 ,..., xn ,..

6.2.1 Función de probabilidad.- Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina función (ley o modelo de distribución) de probabilidad de X a la función f(x) definida por f(x)=P[X=x] para todo x número real y que satisface las siguientes condiciones: i) f ( x)  0 x  R

ii )

 f (x )  1 i

x i R x

La condición ii) n

Es:

 f ( x )  1 , si i 1

i

Rx  x1, x2 , x3 ,..., xn es finito

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Es:

 f ( x )  1 , si i 1

i

Rx  x1, x2 , x3 ,..., xn ,..., etc.es infinito.

Nota 1:  Si A  Rx , entonces la probabilidad de A es el número:

P( A) 

 P( X  x )   f ( x ) i

x i R x

xi R x

 Si pi  f ( xi ) , la media de X se calcula por  

 2   pi xi   2

i

px

i i

y la varianza por

2

La grafica de una distribución de probabilidades discreta es la grafica de Bastones que consiste de segmentos verticales continuos o punteados de longitud proporcional a la probabilidad respectiva en cada valor xi de la variable. Ejercicio 3: Sea X la V.A definida como ―el número de caras que ocurren‖ al lanzar una moneda 3 veces. a) Determinar la distribución de probabilidad de X Graficar. b) Calcular la probabilidad P[0  x  2] Solución:

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6.2.2 Función de Distribución Acumulada de Variable Aleatoria Discreta (f.d.a).La función de distribución acumulada de probabilidades o simplemente distribución F(x), se define por:

F ( x)  P( X  x)   P( X  k )   f (k ) para    x   kx

kx

Ejercicio 4: Del ejercicio anterior hallar a) La función de distribución acumulada F(x) de la V.A. discreta X y graficar. b) Calcular P[0  x  2] Solución: a)

F (0)   f (k )  f (0)  k 0

1 8

F (1)   f (k )  f (0)  f (1)  k 1

1 3 4 1    8 8 8 2

F (2)   f (k )  f (0)  f (1)  f (2)  k 2

1 3 3 7    8 8 8 8

F (3)   f (k )  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)  k 3

1 3 3 1 8     1 8 8 8 8 8

Por tanto

F(x)

x0  0, 1 / 8, 0  x  1  F ( x)  1 / 2, 1  x  2 7 / 8, 2  x  3  x3  1, x

b)

P[0  x  2]  P[ x  2]  P[ x  0]  F (2)  F (0) 

7 1 6 3    8 8 8 4

6.3 Variable aleatoria Continua.-Es aquella representa mediciones como tiempo, peso, longitud etc. cuyo rango es un intervalo en los reales o un conjunto infinito no numerables de valores reales.

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6.3.1 Función de Densidad de Probabilidad.- Se dice que la función f(x) es una función de densidad (ley o distribución) de probabilidad de la variable aleatoria continua X si satisface las siguientes condiciones: i) f ( x)  0 x  R 

ii )  f ( x)dx  1 

iii ) P( A)  Px  A   f ( x)dx Para cualquier intervalo A  R A

Nota 2: 1) La condición i) expresa que la grafica de f(x) no tiene puntos por debajo del eje de las abscisas. La condición ii) indica que el área total bajo la curva es igual a 1. La condición iii) expresa ―Probabilidad igual a área‖. Esto es, si A  a, b , la probabilidad Pa  X  b es igual al área de la región limitada por la curva, el eje X y las rectas X=a y X=b es decir:

Pa  X  b   f ( x)dx b

a

Pa  x  b

a

b

2) No es difícil verificar que si el evento A es cualquier intervalo en la recta real, entonces P(A) Satisface los axiomas de la probabilidad. 3) Si x0 es cualquier valor específico de la variable aleatoria continua X, entonces:

P( X  x0 )  Px0  X  x0    f ( x)dx  0 x0

x0

Como consecuencia se tiene: a) P( A)  0, no implica A  

b) Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b

Ejercicio 5: Sea f(x) una función definida en todos los reales por

kx2 , si x  0,2 f ( x)    0, si x  0,2 a) Hallar el valor de la constante k para que f(x) sea una función de densidad para alguna V.A:X. Graficar. b) Calcular P[0  x  1]

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Solución:

6.3.2 Función de Distribución Acumulada de la Variable Aleatoria Continua.- (f.d.a) F(x) de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x), se define por:

F ( x)  PX  x   f (t )dt para    x   x



F ( x)  PX  x f(x)

x

Ejercicio 6: Del ejercicio 5 halle a) La función de distribución acumulada F(x) de la variable aleatoria continua X y graficar. b) Determine el valor de P[1/ 4  x  5 / 4]

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Solución: a) Si x2 también F(x)=1

Si 0  x  2 se tiene F ( x)  PX  x  

3 2 t dt 08 x

Entonces integrando

3 2 x3 t dt  0 8 8 x

Por tanto F(x)

si x  0  0,  x 3 F ( x)   , si 0  x 2 8 si x  2  1

x

b)

P[1/ 4  x  5 / 4]  P[0  x  5 / 4]  P[0  x  1/ 4]  F (5 / 4)  F (1/ 4) 125 1 124 P[1/ 4  x  5 / 4]  F (5 / 4)  F (1/ 4)     0.24 512 512 512 6.4 Valor Esperado o Esperanza Matemática.La distribución de probabilidad de una variable aleatoria se caracteriza básicamente a través de medidas de la tendencia central y de la dispersión. Estas medidas características de la distribución denominadas parámetros se describen por medio de la esperanza matemática. 6.4.1 Media de una variable aleatoria.La media de una variable aleatoria X o media de una distribución de probabilidad de X es un número real que se denota por µX o µ. La media es denominada también Esperanza Matemática o Valor Esperado de X, y se denota también por E(X). 

Media de una V.A discreta X con función de probabilidad f(x) es la expresión:

  E( X ) 

 x f (x )

x i R X

i

i

Si el rango de X, es un conjunto finito RX  {x1 , x2 ,..., xn } entonces, n

  E ( X )   xi f ( xi ) i 1

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Si el rango de X, es un conjunto infinito numerable RX  {x1 , x2 ,.....} entonces, 

  E ( X )   xi f ( xi ) i 1

En este caso, si la suma indicada no es igual a un número real, se dice que la esperanza de X no existe. 

Media de una V.A continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es la expresión: 

  E ( X )   xf ( x)dx 

Siempre que el valor de la integral sea un número real, en caso contrario, se dice que la media de X no existe. 6.4.2 Varianza de una variable aleatoria.La varianza de una variable aleatoria se denota por cualquiera de las formas: σ 2, Var(X) 

Varianza de una V.A.X Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) con media igual µ. La varianza de X de la expresión:

 2  E ( X   )2   ( xi   )2 f ( xi )

Cuando X es Discreta



Cuando X es Continua 

 2  E ( X   )2   ( xi   )2 f ( xi ) 

Desviación estándar de una V.A.X Es la raíz cuadrada positiva de su varianza:

  2 Una de las propiedades de la varianza que se usa en el cálculo es:

 2  Var ( X )  E( X   )2  E( X 2 )   2 Ejercicio 7: Calcular la media y la varianza de la distribución de probabilidad; de la variable aleatoria X que se define como el número de caras cuando se lanzan cuatro. Solución: X es una variable aleatoria discreta, cuya distribución de probabilidad que se define cono el numero de caras obtenidas del lanzamiento de cuatro monedas esta dado en el cuadro siguiente: xx f(xx)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

4 1/16

La media de X es el numero 4

1 4 6 6 1   1   2   3   4   2  16   16   16   16   16 

  E ( X )   xi f ( xi )  0 i 1

Esto significa que si una persona lanza 4 monedas, muchas veces, en promedio obtendrá 2 caras por lanzamiento. La varianza usando la propiedad

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Guía de Estadística y Probabilidades 4 1 4 6 4  1  80 2 E ( X 2 )   xi f ( xi )  02    12    22    32    42    5  16   16   16   16   16  16 i 1

Por lo tanto la varianza

 2  E ( X 2 )   2  5  22  1

La desviación estándar

  Var ( X )  1

Ejercicio 8: Calcular la media y la varianza de la variable aleatoria continua X definida con el tiempo de vida útil de un objeto en miles de horas, cuya función de densidad de probabilidad es:

 x 1  , si 0  x  2 f ( x)   2  en el resto  0, Solución: Como la variable aleatoria es continua La media o esperanza matemática se calcula: 2

 x 2 x3  2  x   E ( X )   xf ( x)dx   x1  dx       0  2  2 6 0 3 

2

En consecuencia, puede esperarse que la vida útil promedio del objeto sea de (2/3)1000=666.67 horas. La varianza de X es 2

 x3 x 4  2  x E ( X )   x f ( x)dx   x 1  dx       0  2  3 8 0 3 2



2

2

2

 2  E( X 2 )   2 

2 4 2   3 9 9

  2 

2  0.47 3

La desviación estándar

En consecuencia, puede observarse que la varianza de la vida útil de un objeto sea de (2/9)1000=222.22 horas. Y la desviación estándar ( 2 / 3)1000  471.40 horas 

Mediana y Moda de una V.A.X La mediana de una variable aleatoria ZX es el número Me tal que:

F (Me)  PX  Me  0.5

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La moda de una variable aleatoria X, es el valor de la variable con mayor probabilidad (caso discreto), o donde alcanza su máximo (caso continuo. Ejercicio 9:Del ejercicio 7 y 8 hallar la moda y mediana Solución (7): Como X es una variable aleatoria discreta. La moda, esta dada por el mayor valor de la de X con mayor probabilidad entonces Mo=2 Para la media, hallamos la distribución de acumulada de X del lanzamiento de cuatro monedas:

x0 0  x 1 1 x  2 2 x3 3 x4 x4

 0,  1 / 16,   5 / 16, F ( x)   11 / 16, 15 / 16,  1,

Se observa que en x=2 puede ocurrir cualquier valor entre 5/16 y 11/16. En particular F (2)=0.5. Por lo tanto la Me=2 Solución (8): Como X es una variable aleatoria continua. La moda, esta dada por el máximo valor de la función de densidad que es este caso seria f(0)=1 por lo tanto Mo=1 Para la media, hallamos la distribución de acumulada de X del tiempo de vida útil:

si x  0  0, 3  x F ( x)   x  , si 0  x 2 4  1 si x  2  La mediana es el numero Me que satisface F(Me)=0.5 o P( X  Me)  0.5 Luego

0.5  F ( Me)  Me 

Me2 4

con 0  Me  2

Resolviendo esa ecuación cuadrática se tiene Me  2  2 Se observa que tomando el valor positivo el valor de la mediana es mucho mayor que el considerable 0,5. Entonces consideramos el negativo ya que este esta cercano a 0.5 donde

Me  2  2  0.59

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6.5 Distribuciones Importantes de Variable Aleatoria Discreta.6.5.1 Distribución de Bernoullí.Antes de dar a conocer la distribución de Bernoullí debemos saber: Una prueba o ensayo de Bernoullí a todo experimento aleatorio que consiste de solo dos resultados posibles mutuamente excluyentes, generalmente llamados: éxito (E) y fracaso (F). Luego la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoullí, de manera que atribuye a ―E‖ el valor 1 y a ―F‖ el valor 0, se denomina variable aleatoria de Bernoullí. Si p=P[X=1]es la probabilidad de éxito, donde 00), y se describe X  Exp (  ) , si su función de densidad de probabilidad es

e  x , si x  0 f ( x)   si x  0  0, La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma cuando α=1. Luego, si X  Exp (  ) se tiene:



1



y

2 

1

2

Ejercicio 15: El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye exponencialmente con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días. a) ¿Qué probabilidad hay que tiempo de falla sea mayor que 400 días?. b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿Qué probabilidad hay que trabaje mas de 200 días mas? c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días. Solución:

.R. a) 0.33 b) 0.57 c)0.37 y 27%

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6.6.2 Distribución Normal.Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución normal con parámetros media µ y varianza σ2 y se describe X  N (  , 2 ) , con función de densidad:

f ( x)  Donde      

 ( x   )2  1 exp  , 2 2  2   

   x  

  0 .Con grafica

y

f(x)

x µ La distribución normal es el modelo probabilístico que se usa mas frecuentemente y sirve como una buena aproximación de muchas distribuciones que tienen aplicaciones importante. Propiedades: 

Es simétrica con respecto al eje vertical X=µ, ya que f(x) solo depende de x mediante la expresión (x- µ)2, luego, f(µ+x)= f(µ-x).



Tiene valor máximo en x=µ (su moda). Este valor máximo es f ( x) 

 

Tiene al eje X como una asíntota horizontal. El área total que encierra la curva y el eje X es igual a 1.

1 .  2

6.6.3 Distribución Normal Estándar.Se la variable aleatoria continua X tiene distribución normal X  N (  , 2 ) , entonces la variable aleatoria estándar Z=(X-µ)/σ, tiene una distribución normal N (0,1) . En efecto la variable estándar Z tiene media igual cero y varianza igual a uno. Esto es E (Z)=0 y Var (Z)=1. Además, la probabilidad 1  x    

  1 P[ X  x1 ]   e 2    2 x1

2

dx

Si X toma el valor de x, entonces, el correspondiente valor de Z es z=(x-µ)/σ. Si X toma el valor de x1, entonces, el correspondiente valor de Z es z1=(x1-µ)/σ. También -∞