Guia Estadistica 2

Sección 4

Frases para meditar:  La cosa más importante de la vida no es capitalizar las ventajas. Cualquier tonto  puede hacer esto; lo que verdaderamente verdaderamente importa es beneficiarse con las pérdidas; esto exige inteligencia y señala la diferencia entre un hombre de juicio y un necio.  La ingratitud es tan natural como la cizaña. La gratitud es como la rosa, tiene que ser cultivada, regada, amada y  protegida.  Los hombres que luchan un día son buenos; los hombres que luchan un año  son mejores; pero aquellos que luchan toda una vida, aquellos son los imprescindibles. imprescindibles. (Bertol Brecht)

Probabilidad Experimento estadístico : Es un ensayo que se desarrolla con una muestra seleccionada seleccionada al azar, azar, con la finalidad finalidad de buscar un conocimiento conocimiento o confirmar lo existente; debido a que los resultados del experimento no  pueden conocerse de antemano, antemano, éstos estarán sujetos al azar. Por ejemplo, cuando se lanza al aire una moneda, asumiendo que no tendrá ninguna tendencia tendencia de de ladearse ladearse hacia un lado, entonces al caer, caer, puede mostrar cara o sello, o cuando arrojamos un dado, los resultados posibles que podrán formarse estarán constituidos por los números 1, 2,3, 4, 5, y 6; como no sabemos exactamente cuál de ellos saldrán, se dice que estos resultados estarán sujetos al azar.

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Espacio muestral: Constituyen todos los resultados posibles que  pueden obtenerse al desarrollar en experimento; así al lanzar tres monedas, los resultados posibles que podrán obtenerse estarán constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituyendo en total ocho elementos; si lanzamos lanzamos dos dados su espacio muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6). Al número total de elementos del espacio muestral se le denota  por n(S), siendo siendo S el espacio espacio muestral. muestral. Ejemplo 4.1.  La sociedad sociedad minera minera cuenta con dos salas de entrenamiento entrenamiento  para sus futuros profesionales; las nuevas ingresantes ingresantes Ana, Beatriz y Carmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir su entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas  personas a las las salas, construya construya su espacio espacio muestral. muestral.

Solución :  Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles casos: #

1 2 3 4 5 6 7 8

Sala 1

Sala 2

ABC AB-BC A-C A--B--C ---

C A B BC AC AB ABC

Evento o suceso: Es un resultado específico del espacio muestral; así, cuando lanzamos lanzamos una moneda, podemos podemos estar interesados interesados en obtener solo solo los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, observamos que el evento evento # 4, 4, sólo ocurrirá ocurrirá una vez, vez, o los eventos #  pares, ocurrirán en conjunto tres veces (2, 4 y 6). Cuando el evento no suceda o será imposible imposible de de que suceda suceda se le denota por por cero; como como ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca sucederá, por lo que su valor estará asociado a cero.

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Espacio muestral: Constituyen todos los resultados posibles que  pueden obtenerse al desarrollar en experimento; así al lanzar tres monedas, los resultados posibles que podrán obtenerse estarán constituidos por: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS, constituyendo en total ocho elementos; si lanzamos lanzamos dos dados su espacio muestral estará constituido por cualquiera de los 36 resultados pares de números como: (1,1), …(1,6), ….(6,1),…(6,6). Al número total de elementos del espacio muestral se le denota  por n(S), siendo siendo S el espacio espacio muestral. muestral. Ejemplo 4.1.  La sociedad sociedad minera minera cuenta con dos salas de entrenamiento entrenamiento  para sus futuros profesionales; las nuevas ingresantes ingresantes Ana, Beatriz y Carmen serán asignadas a cualquiera de éstas salas para recibir su entrenamiento; sin importar cuántas y cómo deberán ser asignadas estas  personas a las las salas, construya construya su espacio espacio muestral. muestral.

Solución :  Las salas pueden albergar a todas o a una sola de las ingresantes, no interesa el orden cómo estarán distribuidas; en consecuencia el espacio muestral estará conformada por los posibles casos: #

1 2 3 4 5 6 7 8

Sala 1

Sala 2

ABC AB-BC A-C A--B--C ---

C A B BC AC AB ABC

Evento o suceso: Es un resultado específico del espacio muestral; así, cuando lanzamos lanzamos una moneda, podemos podemos estar interesados interesados en obtener solo solo los eventos caras, entonces analizando esta situación, podremos obtener cero (caras) o una (cara); de igual manera, en el lanzamiento de un dado, observamos que el evento evento # 4, 4, sólo ocurrirá ocurrirá una vez, vez, o los eventos #  pares, ocurrirán en conjunto tres veces (2, 4 y 6). Cuando el evento no suceda o será imposible imposible de de que suceda suceda se le denota por por cero; como como ejemplo, puede decirse que al lanzar un dado el evento # 7 nunca sucederá, por lo que su valor estará asociado a cero.

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Permutación: Es un grupo ordenado de elementos; lo cual quiere decir que la posición de cada uno de ellos es respetada; así si tenemos tres letras como la M, A, E y nos interesara formar una palabra con estas tres letras, tendremos las siguientes palabras: MAE, MEA, AME, AEM, EMA, EAM. Como podemos apreciar, cada palabra es diferente pese a contar con las mismas letras, por ello la posición de cada elemento define una palabra diferente a la otra. En el caso de de contar contar con un número número mayor mayor de tres letras, digamos cinco, seis, o más, podría surgir una interrogante; ¿cuántas  palabras podremos formar con ellas, considerándolas a todas a la vez?; es obvio que ya no serán solo seis, habrán más; para saber exactamente este número, partamos razonando del ejemplo de las tres letras: el número total de palabras que pueden obtenerse al permutar permutar las tres letras, se obtiene primero primero teniendo tres posibilidades posibilidades para formar formar la primera primera letra; una vez escogida cualquiera de estas tres posibilidades, quedarán solo dos  posibilidades para tomar la segunda letra, y formada estas dos  posibilidades, solo quedará una posibilidad para escoger la tercera letra; contando todas las palabras formadas al hacer estas conjeturas observamos que hay seis posibles posibles palabras que podrían formarse. formarse. La Fig. 4.1 presenta todas las posibilidades posibilidades de formar un número de palabras cuando se tiene tres elementos, tomándolas todas al ama a de ár bol   por tener azar; esta forma de representarlo se llama di agr am semejanza con un árbol, partiendo de un tronco y con sus respectivas ramificaciones; ramificaciones; en la medida que el número de elementos sea más grande, el árbol será más grande y con mayores ramificaciones. Consideremos ahora el caso de que contamos con n elementos, todos diferentes y queremos obtener los posibles nuevos elementos que  podrían formarse tomándoles tomándoles todos a la vez; una forma de determinarlo sería construyendo su diagrama de árbol, semejante al de la fig. 4.1; otra forma también podría ser, razonando analíticamente como el hecho para las tres letras; así si hay n elementos, entonces para la primera vez existirán n posibilidades, para la siguiente n-1 posibilidades, para el subsiguiente n-2 posibilidades, así hasta llegar al último elemento, donde solo habrá 1 posibilidad; ahora uniendo todos estas posibilidades, tendremos que se habrán formado n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*2*1= n! elementos.

78 Fig. 4.1 Diagrama de árbol para construir todas las palabras posibles con las letras M, A, E

 A M

E M

 A E

E M  A

E

= MAE

 A E

MEA = =  AM  AME

M  A

 AEM =  AE = EMA

M

= EAM

De este modo podemos deducir que si tenemos n elementos, y queremos formar un conjunto de nuevos elementos diferentes, tomándoles todas a la vez, el número total de elementos permutados será n!. Ahora, si de un total de n elementos tomáramos r elementos de modo que r n y deseáramos permutarlos, tomándolos de r  formas, el número total de elementos diferentes o permutados será:

n!

.

(n r )! De manera manera general, la fórmula para determinar el número número total de n! . elementos permutados tomándolas tomándolas de r formas es: nPr = (n r )! Ejemplo 4.2. Se presentan cuatro postulantes para ocupar un puesto de trabajo; el jefe de personal hará la respectiva entrevista a dichos  postulantes: a) ¿De cuántas maneras podrá hacerse la entrevista si se los llama a todos de uno en uno?, b) ¿De cuántas maneras podrá hacerse la entrevista, llamándoles llamándoles en grupos de dos?

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Solución:  a) Si los postulantes están designados por las letras A, B, C y D, entonces una primera primera podría ser llamándoles en ese orden: A, B, C, y D; una segunda forma podría ser llamándoles en el orden B, A, C, D; otra forma podría ser D, C, B, A y así sucesivamente se podría ir ensayando todas las opciones posibles; cualquier selección de una de estas formas da opción a escoger cuatro posibilidades a la primera vez; habiendo escogido cualquiera de estas cuatro formas, en el siguiente caso existen tres posibilidades para cada una de estas formas; escogiendo estas tres formas, quedan dos posibilidades, y por último queda solo una  posibilidad para la última opción; finalmente, finalmente, el número total de  posibilidades que podrán formarse, para llamar en ese orden a los  postulantes será: 4*3*2*1 = 4! = 24. El posible orden en que podrán  presentarse, de estas 24 posibilidades, puede obtenerse, construyendo construyendo el diagrama de árbol.  b) Si a los postulantes se los llama l lama de dos en dos, entonces el número de

casos posibles será: 4P2 =

4! (4

2)!

 = 12 maneras.

Ejemplo 4.3.  En una carrera de cien metros planos compiten diez atletas  para ocupar los tres primeros puestos, ¿de cuántas maneras podrán ganarse estos puestos?

Solución: Si los atletas están identificados con las letras A, B, C, …, J, entonces los tres primeros puestos los pueden ocupar ABC, ó BAC, ó JAH, etc., por lo tanto habrán : 10P3 = 720 maneras de ocuparlos; en este caso, como es una competición atlética, se entiende que es importante el orden de llegada para estar dentro de los tres primeros lugares y ganar los  premios respectivos. respectivos. Permutaciones con objetos repetidos: Si de un total de n elementos, existen n1, n2, n3,… sub elementos que se repiten, el número total de elementos que podrán formarse al permutarlos será: nPn1,n2,n3,….=

n! n1!*n 2!*n3!*...

Combinación: En un caso como éste, no interesa el orden cómo aparezcan los elementos, basta con que aparezcan todas ellas; a ello se le llama una combinación, y se lo define como un grupo no ordenado de

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elementos; así si tenemos las tres letras A, M, E, y no nos interesara cómo aparecerán estas tres letras al querer combinarlas, nos dará igual que las palabras formadas como, AME, EMA, EAM,..., sean las mismas, o tengan el mismo valor. La fórmula que permite obtener el número de combinaciones de n elementos tomadas de r maneras es: nCr =

n! r !*(n

r )!

Ejemplo 4.4. Considere el ejemplo 4.3, donde solo nos interesa saber quienes fueron los tres primeros en llegar a la meta, más no el orden cómo llegaron, ¿de cuántas maneras podrán hacerse esta selección?

Solución :  En este caso, no interesa en qué orden llegarán los tres  primeros ganadores, o sea da igual que sea ABC, o BAC, o CAB, etc., por lo que el problema se reduce a una combinación de diez elementos

tomados de tres en tres 10C3 =

10! 3!*(10

3)!

= 120 formas.

Ejemplo 4.5. De siete alumnos que pertenecen al tercio superior del curso de estadística se escogerán al azar a tres para integrarse al consejo de facultad, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección?

Solución :  El orden en que sean elegidos estos tres alumnos no importa, dado que solo interesa que sean elegidos tres, por lo tanto es una combinación de 7 elementos tomados de 3 maneras de modo que habrán 7C3 = 35 formas de hacer la elección. Ejemplo 4.6.  Se recibe una caja que contiene diez disquetes, de los cuales hay cuatro que presentan problemas en su sector de arranque; se escogerá indistintamente tres disquetes al azar: a) ¿De cuántas maneras podrá hacerse esta selección?  b) Si solo se desea escoger los disquetes que están en buen estado de ¿cuántas maneras podrá hacerse esta selección? c) Si se desea escoger dos disquetes buenos y dos malos, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección?

Solución :

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a) En este caso, solo se escogerán tres disquetes del lote de los diez, sin importar si presentan problemas o no en su sector de arranque; además no interesa el orden en que salgan; por lo tanto es un problema de combinación de diez elementos tomados de tres maneras, esto es, habrán 10C3 = 120 formas de seleccionarlos.  b) Para este caso, de los diez disquetes hay seis que están en buen estado, y de ellos se desea sacar tres que reúnan estas condiciones; el número de posibilidades de seleccionarlos será una combinación de seis elementos tomados de tres maneras: 6C3 = 20 formas. c) De las seis buenas se seleccionará de dos maneras, y de las cuatro malas, se seleccionará también de dos maneras; por cada caso habrán: : 6C2  = 15 maneras de escoger las buenas y : 4C2 = 6 maneras de escoger las malas; para ver las posibilidades de escoger las buenas y malas, tendremos 15*6 = 90 posibilidades. Ejemplo 4.7.  Una caja contiene ocho bolas blancas, seis bolas negras y cinco bolas rojas; se hará el experimento de extraer sucesivamente cuatro  bolas al azar, sin reponerlas: a) ¿De cuántas maneras podrá hacerse esta selección?  b) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas blancas? c) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas negras? d) ¿De cuántas maneras se podrá sacar las cuatro bolas rojas? e) ¿De cuántas maneras se podrá sacar dos bolas blancas, una bola negra y una bola roja?

Solución : a) En total tenemos 19 bolas; sin importar el color se extraerán cuatro  bolas al azar, por lo tanto todas las posibilidades que podrían suceder son 19C4 = …  maneras.  b) Considerando que solo tenemos ocho bolas blancas, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 8C4 = .. maneras. c) Considerando que solo tenemos seis bolas negras, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 6C4 = .. maneras. d) Considerando que solo tenemos cinco bolas rojas, se extraerán al azar cuatro, el número total de posibilidades será: 5C4  = ... maneras. e) Considerando que tenemos ocho bolas blancas, seis bolas negras y cinco bolas rojas, de los cuales se extraerán dos blancas, una negra y

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una roja, el número total de posibilidades será el producto de estas tres posibilidades: 8C2 *6C1 * 5C1 = …  maneras Probabilidad: Se define como la relación entre el número de eventos y su espacio muestral: Probabilidad =

 Número _ de _ eventos

; de esta expresión podemos

 Espacio _ muestral  deducir que cuando Número_de_eventos es igual a cero, la probabilidad será cero, y cuando el Número_de_eventos es igual a su espacio muestral, la probabilidad será uno; de este modo, la probabilidad en el peor de los casos será cero, y en el mejor de los casos uno. Una probabilidad igual a cero, significará que el evento será imposible de que suceda, en cambio una probabilidad igual a uno, significará que el evento será exitoso en todo el sentido de la palabra; y si continuamos analizando esta expresión,  podemos concluir que una probabilidad igual a 0,50 indicará que el evento podría suceder o como no podría suceder; una probabilidad cercana a cero, indicará que es menos seguro que el evento tienda a suceder, y en el caso contrario, cuanto más cerca esté la probabilidad a uno, significará que el evento es más seguro de que suceda. La  probabilidad también puede ser expresada en términos porcentuales. Ejemplo 4.8. Considerando el caso de la caja de los diez disquetes, ¿cuál será la probabilidad de escoger tres buenos si estas se extraen al azar?

Solución:  Deberá tenerse en cuenta el evento seleccionar tres disquetes en  buen estado, de solamente los buenos, y el espacio muestral de seleccionar tres disquetes del total de los disquetes, luego desarrollar el cociente de acuerdo a la definición de probabilidad; esto es: Probabilidad de escoger tres disquetes en buen estado =

Selecciona r  _ 3 _ disquetes _ en _ buen _ estado Selecciona r  _ 3 _ disquetes _ del  _ total 

=

6

C 3 C 3

 = 1/6 = 16,7%

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Fuentes de probabilidad: En razón de que la probabilidad está definida como la relación entre el número de eventos y su espacio muestral, su determinación es factible en el caso de que los eventos pueden conocerse de antemano o basarse en experimentos reales; esta referencia es conocido como hechos empíricos o históricos; de otra manera pueden predecirse ciertos acontecimientos basados en modelos de comportamientos teóricos

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que siguen determinadas leyes matemáticas, lo cual también  posibilita el cálculo de la probabilidad; sin embargo hay situaciones en los que no se cuenta con ninguna información empírica, ni existe información de un modelo que permita describir un comportamiento matemático teórico; esto hace que el cálculo de probabilidades no podrá determinarse con facilidad; cuando estas situaciones se presenta, se acude al criterio de la persona que hace el estudio; considerando estos tres planteamientos, decimos que existen tres formas para hacer cálculos de probabilidades: 1. A posteriori ; basado en antecedentes históricos o experimentos reales, llamado también fuentes empíricas; la frecuencia relativa es el caso típico de esta forma, dado que se lo define como la relación de la frecuencia observada sobre el total observado, equivalente a la relación evento sobre el espacio muestral. 2. A priori ;  se sustentan en que los resultados posibles se basan en comportamientos teóricos que pueden expresarse mediante ciertas fórmulas matemáticas; éstos son conocidos como modelos teóricos de distribuciones de probabilidad, teniendo dentro de ellas a la distribución normal, la distribución de Poisson, etc. ; la probabilidad se estima en base al criterio particular de 3. Subjetivas  la persona que desarrolla el estudio; ello estará basado en el conocimiento del tema, su experiencia personal, su criterio, etc.; en estos casos no existe una forma matemática que puede definir la opinión personal, ni antecedentes cuantitativos para estimarlo. Así una persona podría estimar que la probabilidad de que una persona con cáncer pueda tener la posibilidad de curarse, mientras que otro  podría ser pesimista de su recuperación, ambos con criterios diferentes para una sola realidad, debido a sus concepciones o experiencias particulares. Ejemplo 4.9. En una carrera de cien metros planos, compiten cinco norteamericanos (N), seis europeos (E), y cuatro asiáticos (A) para disputarse las medallas de oro, plata y bronce; determine la probabilidad de que estas medallas sean ganadas por: a) Los norteamericanos b) Los europeos c) Los asiáticos d) Dos europeos y un asiático e) Dos asiáticos y un norteamericano.

Solución:   El orden de llegada a los tres primeros puestos nos interesa,  puesto que cada medalla significa una determinada posición, y porque los  premios son distintos. Tenemos 15 atletas, de los cuales 5 son N, 6 son E,

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y 4 son A; todos los resultados posibles de llegada a estos tres  primeros puestos será: n(s) = 15P3 = 2730 maneras. 5 P 3 a) Probabilidad de que ganen los N: = 2,20% 15 P 3 6 P 3  b) Probabilidad de que ganen los E: 6= 4,40% 15 P 3 4 P 3 c) Probabilidad de que ganen los A: = 0,88% 15 P 3 6 P 2 * 4 P 1 d) Probabilidad de que ganen 2 E y 1 A:  = 4,40% 15 P 3 4 P 2 * 5 P 1 e) Probabilidad de que ganen 2 A y 1 N:  = 2,20% 15 P 3 Eventos excluyentes : Si el éxito de un evento no está condicionado por otro, se dice que son eventos excluyentes; así una persona puede estar vivo o estar muerto, pero no puede decirse que está vivo y muerto a la vez; estar vivo significa excluir el de estar muerto; una persona puede ganarse la Tinka, como no ganársela. Una persona puede ser de talla alta o talla baja, pero no se puede decir que es alto y también bajo al mismo tiempo. Eventos dependientes : Se dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno está condicionado por el otro; así, si una persona va viajar de Lima a Huacho, dependerá de un vehículo para llegar a este destino, porque sería imposible pensar que podría irse a pié, salvo situaciones muy particulares; los dos eventos son la persona que viaja y el vehículo que lo transporta; de igual manera otro evento dependiente es el caso de que el incremento en la venta de envases de botellas de plástico está asociado al consumo de bebidas; otro caso puede suceder al momento de lanzar un par de dados, nos podría interesar obtener la suma de los números menores de cinco, si éstos solo hubieran sucedido con números  pares. Ejemplo 4.10. En una caja existen cinco bolas negras y tres bolas rojas; se extraerán sucesivamente dos bolas al azar y sin reposición; determine la probabilidad de que la segunda sea roja si la primera fue negra.

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Solución :  Este es un caso de eventos dependientes; solo nos interesa que la segunda bola sea roja si en la primera extracción, la  primera haya sido negra; esto se puede representar del siguiente modo:

P(RN) =

3 5 * = 26,78%. 8 7

Eventos independientes.  Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no tiene nada que ver nada con el otro; así, la fuente de una PC puede fallar en cualquier momento en tanto que el televisor  puede seguir funcionando, sin que la falla de la fuente afecte al televisor. Ejemplo 4.11. A fin de mes, al cobrar mi sueldo, estoy en condiciones de comprarme un televisor de pantalla plana o una nueva computadora; la  probabilidad de comprarme el televisor es de 35% y la probabilidad de comprarme una nueva computadora es de 24%, ¿cuál será la probabilidad de que me compre los dos aparatos?

Solución:   Estos dos eventos son independientes, el que me compre el televisor o la computadora nada tienen que ver entre sí, solo dependerá de mi capacidad de gasto, por lo tanto la probabilidad de comprarme ambos aparatos será: P(Tv o PC) = P(Tv)*P(PC) = 0,35*0,24 = 8,4%. Probabilidad expresada en términos de conjunto: Considere el gráfico de los conjuntos A y B, como el mostrado en la Fig. 4.2; A y B constan de 5 elementos y 8 elementos respectivamente, denotados n(A) = 5 y n(B) = 8; la intersección de los dos conjuntos proporciona dos elementos y se denota por n(A B) que es equivalente a n(A,B)  = 2; el espacio muestral de estos conjuntos está constituido por n(S)  = 11 elementos. Estos dos conjuntos no son independientes, porque ambos están asociados unos a otros, por lo que se dice que ambos conjuntos son dependientes. La probabilidad de que ocurra el evento A se denota por P(A) y

es igual a

n( A)

  = 5/11, y la probabilidad de que ocurra el evento B:

n( S ) n( B ) P(B) =  = 8/11. n( S )

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La probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B, se interpreta como la probabilidad de que ambos se interceptan y se denota por: P(A B) = P(A,B) =

n( A, B ) n( S )

 = 2/11.

Fig. 4.2 Representación gráfica de dos conjuntos A y B

 A

B

Suma de probabilidades:   La probabilidad de que dos conjuntos dependientes puedan ocurrir, para cualquiera de los dos casos se denota  por P(A B) = P(A) + P(B)  –   P(A,B),  esto es, puede ocurrir A o B, pero no simultáneamente ambos, por ello se le resta su intersección; si los eventos son excluyentes, es decir lo que sucede con A nada tiene que ver con B, se denota por P(A B) = P(A) + P(B). A estas expresiones se le conoce como la ley de la suma de probabilidades   y la fórmula puede extenderse para más de dos conjuntos. Considerando la figura mostrada, podemos afirmar que la  probabilidad de que sucedan cualquiera de estos dos eventos A ó B es: P(A B) = P(A) + P(B) –  P(A,B) = 11/13 = 84,62% Ejemplo 4.12. Se lanza simultáneamente dos dados; estime: a) La  probabilidad de obtener una suma par o una suma múltiplo de tres, con

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los números obtenidos números obtenidos.

b) La suma ocho o la suma diez, con los

Solución:  a) El espacio muestral está formado por 36 elementos, {(1,1), (1,2) …(6,6)}, entonces n(S) = 36; si A es el evento suma de números pares, entonces habrán 18 elementos: {(1,1), (1,3), … (6,4),(6,6)} y n(A) = 18; si B es el evento suma múltiplo 3, habrán 9 elementos: {(1,2), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (4,5), (5,1), (5,4), (6,6)} y n(B) = 9. Hay elementos comunes que se repiten tanto en A como en B, por lo que n(A,B) = 9, entonces: P(A B) = P(A) + P(B)  –  P(A,B) = 21/36 = 58,33%  b) Si A es el evento suma de sus números igual a ocho, entonces se  producen 5 casos {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}y si B es el evento suma de sus números igual a diez, entonces hay 3 casos: {(4,6), (5,5), (6,4)}, luego: P(A B) = P(A) + P(B) = 5/36 + 3/36 = 2/9 = 22,22%; en este caso los dos eventos son independientes, dado que lo que sucede a A no lo afecta a B. Ejemplo 4.13. En el tercer año de ingeniería industrial hay 86 alumnos matriculados, de los cuales 35 de ellos dijeron haber llevado el curso de Estadística, 43 dijeron haber llevado el curso de Matemática III, en tanto 18 alumnos dijeron haber llevado ambos cursos a la vez; se seleccionará al azar a un alumno; determine la probabilidad de que: a) No haya llevado ninguno de estos cursos b) Haya llevado solo el curso de Estadística c) Haya llevado solo el curso de Matemática III d) Haya llevado ambos cursos.

Solución :  En la Fig. 4.3 se presenta el comportamiento de estos dos conjuntos; para ello de acuerdo a las condiciones del problema se han hecho las respectivas deducciones.

88 Fig. 4.3 Representación gráfica de

E=35

17

26

los cursos que llevaron los alumnos

M=43

18

25

S=86

Determinando la solución de acuerdo a los requerimientos del problema: a) La probabilidad de que un alumno no haya llevado ninguno de estos 26 cursos: *100 = 30,23% 86  b) La probabilidad de que el alumno haya llevado solo Estadística: 17 *100 = 19,77% 86 c) La probabilidad de que el alumno haya llevado solo Matemática: 25 *100 = 29,07% 86 d) La probabilidad de que el alumno haya llevado Estadística o 60 Matemática: P(EUM) = P (E) + P(M) –  P(E,M) = *100 = 69,77% 86 Probabilidad condicional:   Cuando la probabilidad de que suceda un evento está condicionado a que suceda el otro, se dice que es una  probabilidad condicional y se denota por P(A/B); se define como la  probabilidad de que suceda A dado que sucedió B, se expresa mediante la

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relación: P(A/B) =

 P ( A, B)

;  para

calcular

esta expresión, primero

 P ( B) deberá suceder B, y P(B) deberá ser diferente de cero, luego suceder A. La probabilidad condicional de que suceda B dado que sucedió  P ( A, B) ; con P(A) ≠ 0,  para el caso del ejemplo A se define: P(B/A) =  P ( A) anterior la probabilidad: P(A/B) = n(A,B)/n(B) = 2/8, y P(B/A) = n(A,B)/n(A) = 2/5 Producto de probabilidades:  Si de la intersección de los eventos A y B de la probabilidad condiciona despejamos P(A,B), obtenemos la relación: P(A,B)= P(A/B)*P(B) ; esta expresión define el producto de  probabilidades para dos eventos, y se interpreta como una probabilidad conjunta, en el sentido de que los eventos A y B ocurren simultáneamente; en el caso de que ambos eventos no ocurren de esta manera, entonces P(A/B) = P(A), por lo que P(A,B) = P(A)*P(B) . Eventos independientes.   Si los eventos A y B  son independientes tal 0 y P(B) 0  con P(B/A) = P(B),   entonces P(A,B) = que P(A) P(A)*P(B). Ejemplo 4.14.  En un salón de clases hay quince alumnos de los cuales ocho son varones; el director de la escuela se presenta de improviso y llama al azar sucesivamente a tres alumnos para que les apoye en un  programa de proyección social; determine la probabilidad de que el tercer alumno sea un varón si los dos anteriores también los fueron.

Solución: Sea A el evento el primer alumno seleccionado es varón, B el segundo es varón y C el tercer alumno también es varón. La probabilidad de que el primer alumno seleccionado sea varón es P(A) = 8/15; la  probabilidad de que el segundo alumno sea varón si el primero también lo fue es P(B/A) = 7/14, y la probabilidad de que el tercer alumno también sea varón si los dos anteriores los fueron es P(C/A,B) = 6/13 = 46,15% Ejemplo 4.15. Una caja contiene cuatro bolas blancas y tres bolas negras, se extraen dos bolas sucesivamente sin reponerla, determine la  probabilidad de que: a) Las dos sean blancas b) Las dos sean negras

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c) Ambas sean de diferente color d) La segunda sea negra siempre que la primera haya sido blanca e) La segunda sea blanca si la primera también fue blanca. Solución:  a) La probabilidad de extraer las dos bolas blancas, está condicionado a que la segunda sea blanca, dado que la primera también fue blanca; esto es P(B1, B2) = P(B1)*P(B2/ B1), donde P(B1) = 4/7, y P(B2/ B1) 4 3 = 3/6, luego P(B1, B2) =  *  = 28,57% 7 6  b) Siguiendo el mismo criterio: P(N1,N2) = P(N1)*P(N2/N1) = 14,28% c) Que ambas sean de diferente color implica que pueden salir B y N ó N y B, entonces la probabilidad será: P(B,N) + P(N,B) = 54,14% d) P(N/B) = P(N)*P(B/N) = 14,28% e) P(B2/ B1) = P(B1)*P(B2/ B1) = 14,28% Ejemplo 4.16. Un paquete contiene 100 discos duros, HD, de los cuales 10 están en mal estado; es extraerán dos de estos al azar; determine la  probabilidad de que el segundo esté en mal estado.

Solución : El que el segundo disco sea malo no está condicionado a que el  primero sea bueno o malo; por lo tanto puede ser que en la primera extracción el disco sea bueno o sea malo, de modo que habrán dos casos: Caso 1: Probabilidad de que el HD sea malo en la segunda extracción si el

 primero fue bueno:

90

*

10

 = 9,09%

100 99 Caso 2: Probabilidad de que el HD sea malo en la segunda extracción si el 10 9  primero fue malo: *  = 0,91% 100 99 La probabilidad de que el segundo HD sea malo es la probabilidad 90 10 10 9 conjunta: * + *  = 10% 100 99 100 99 Ejemplo 4.17.  La probabilidad de que una fuente de PC funcione sin fallar antes de las 3 000 horas es de 98%, en tanto que la probabilidad de que el cooler del HD dure el mismo tiempo es de 90%; determine la  probabilidad de que ambos componentes fallen al mismo tiempo.

91

Solución:   Sea A la probabilidad de que funcione sin fallar la fuente = 0,98 y sea B la probabilidad de que el cooler funcione sin fallar = 0,90; entonces ~A = 0,02 y ~B = 0,10 constituyen la probabilidades de falla de cada uno de los componentes; la probabilidad de que ambos fallen al mismo tiempo es P(~A,~B) = P(~A)*P(~B) = 0,02 * 0,10 = 0,002 = 0,2% Diferentes interpretaciones de la probabilidad conjunta: Matemáticamente esta probabilidad se interpreta como la intersección de dos conjuntos; sin embargo en la vida real no se habla de esta manera, por ello es necesario colocarse en su verdadero contexto; para facilitarlo se  presentan diferentes maneras de enfocarlos, que finalmente se refleja en la intersección de dos o más conjuntos; así P(A,B), puede interpretarse de las siguientes maneras: Probabilidad de que ocurra A mientras ocurra B. Probabilidad de que se produzca A mientras se haya elegido B. Si probablemente se elige al azar A, entonces también se habrá elegido  probablemente al azar a B. Si ocurre A entonces también ocurre B. Los dos eventos ocurren al mismo tiempo. Los eventos A y B ocurren simultáneamente, por lo tanto sus  probabilidades también ocurren simultáneamente, etc. Diferentes interpretaciones de la probabilidad condicional:  De igual manera, esta probabilidad puede interpretarse de las siguientes maneras, si la expresión es P(A/B): Probabilidad de que suceda A dado que sucedió B. Probabilidad de que si ocurre A, entonces ocurrió B. Si se elige B entonces habrá una probabilidad de que pertenezca a A. Eligiendo B entonces habrá una probabilidad de que ocurra A. Si ocurrió B, entonces también ocurrirá A. Si ocurrió A, entonces también ocurrió B. Hay una probabilidad de que eligiendo B, ocurra A. Ejemplo 4.18. Un determinado día, en una casa comercial, se observó y cuantificó que existían clientes de ambos sexos que compraban shampoos de marca Olorum y de otras marcas; el resumen de este comportamiento se muestra en la siguiente tabla:

92

Shampoos comprados en la casa Compran

Hombres (H) Mujeres (M)

comercial

Shampoo Olorum (O)

Shampoo de otras marcas (X)

Total de consumidores

40 70 110

100 150 250

140 220 360

Las celdas de esta tabla pueden representarse en términos de conjuntos: Shampoos comprados en la casa comercial Compran

Shampoo Olorum (O) Hombres (H) H,O Mujeres (M) M,O O =(H,O) (M,S)

Shampoo otras marcas (X) H, X M,X X=(H,X) (M,X)

Total de Consumidores H = (H,O) (H,X) M= (M,O) (M,X)

Espacio muestral: 360

En términos de probabilidades, la tabla puede expresarse como: Shampoos comprados en la casa comercial Compran

Shampoo Olorum (O)

Shampoo de otras marcas (X)

Total de consumidores

Hombres (H) Mujeres (M)

P( H,O) P(M,O) P(O)

P(H,X) P(M,X) P(X)

P(H) P(M) (Espacio muestral)

Expresando en forma específica de acuerdo a los cálculos de  probabilidades: Shampoos comprados en la casa comercial Compran

Shampoo Olorum (O)

Shampoo de otras marcas (X)

Total de consumidores

Hombres (H) Mujeres (M)

0,111 0,194 0,305

0,278 0,417 0,695

0,389 0,611 1.000

De este se obtiene: a) Probabilidad de que el cliente compre shampoo Olorum = 0,305  b) Probabilidad de que el cliente sea un hombre = 0,389

93

c) Probabilidad de que el cliente no compre shampoo Olorum = 0,695 d) Probabilidad de que el cliente sea una mujer = 0,611 e) Probabilidad de que el cliente que compra shampoo Olorum sea un hombre = 0,111 (Probabilidad conjunta) f) Probabilidad de que el cliente que no compra shampoo Olorum sea una mujer = 0,417 (Probabilidad conjunta) g) Probabilidad de que si el cliente compra shampoo Olorum haya sido un hombre - Probabilidad condicional: P(O/H) = 0,111/0,389 = 28,53% h) Probabilidad de que si el cliente es un hombre haya comprado shampoo Olorum: P(H/O) = 0,111/0,305 = 0,3639 i) Probabilidad de que el shampoo de otra marca haya sido comprado  por una mujer: P(X/M) = 0,417/0,695 = 0,600 Ejemplo 4.19. En una encuesta sobre preferencias alimenticias hecha a 150 personas, se encontró que 90 de ellas decían que consumían pollo, mientras que 70 personas decían que consumían pescado, en tanto que 30 decían consumir ambos alimentos; se va escoger al azar a una de estas  personas, determine la probabilidad:

Consumen POLLO = A

60

30

40 20

Consumen PESCADO = B B

a) De que solamente consuma pescado Sea A el conjunto de las personas que consumen Pollo, donde n(A) = 90, y B el conjunto de personas que consumen Pescado donde n(B) = 70, el número de personas que consumen Pollo y Pescado está representado por la intersección de estos dos conjuntos: n(A,B) = 30. El espacio muestral representa a las 150 personas consultadas, de los cuales 20 no consumían ninguno de estos alimentos; observando el gráfico se determina que los que consumen solamente Pescado son 40 personas, así que la probabilidad de que el grupo de personas que consumen solamente pescado será: 40/150 = 26,70%  b) De que consuma solamente pollo: 60/150 = 40,00% c) De que consuma ambos alimentos:

94

Esto está formado por la unión de los dos conjuntos P(A B) = P(A) + P(B) –  P(A,B) = (90 +70 –  30)/150 = 86,70% d) De que consuma pollo, dado que consumió pescado Esto es una probabilidad condicional, para que consuma pollo  primero deberá haber consumido pescado: P(A/B) = P(A,B)/P(B) = 30/70 = 42,86% e) De que consuma pescado, dado que consumió pollo P(B/A) = P(A,B)/P(A) = 30/90 = 33,33% f) De que no consuma ninguno de estos alimentos: 20/150 = 13,33% Ejemplo 4.20.  Para constituir la directiva de la Mesa de Concertación se requiere tres personas, integrados por hombres o mujeres, para ello se cuenta con diez potenciales candidatos, dentro de los cuales hay cuatro mujeres; si todos están calificados para presidir esta mesa y la selección se hará al azar; determine la probabilidad de que: a) La directiva esté conformado sólo por hombres El problema puede resolverse de dos maneras: a.1 Aplicando el concepto de probabilidad condicional P(H1,H2,H3) = P(H1)*P(H2/H1)*P(H3/(H1,H2)) = (6/10)*(5/9)*(4/8) = 16,67% a.2 Utilizando combinatorias: Los números de eventos se calculan considerando que del total de seis hombres se elegirán tres sin importar el orden en que aparezcan; de igual manera, su espacio muestral será la combinación de diez personas tomados de tres: P(H1,H2,H3) = 6C3/10C3 = 16,67%  b) El Comité esté conformado sólo por mujeres P(M1,M2,M3) = P(M1)*P(M2/M1)*P(M3/(M1,M2)) = (4/10)*(3/9)*(2/8) = 3,33% Que también es igual a P(M1,M2,M3) = 4C3/10C3 c) El comité esté conformado por dos hombres y una mujer Existen tres casos posibles en que pueden formase este comité: P(H1,H2,M) = P(M,H1,H2) = P(H1,M,H2) P(H1,H2,M) = (6/10)*(5/9)*(4/8) = 16,77% Luego, la probabilidad de que este grupo esté conformado por dos hombres y una mujer será: P(2H,M) = (1/6)*3 = 50%; de igual manera el problema puede determinarse utilizando combinatorias: P(2H,M) = 6C2*4C1/10C3 = 50% d) El comité esté formado por dos mujeres y un hombre P(2M,H) = 6C1*4C2/10C3 = 30%

95

e) El comité esté formado por una mujer Que exista una sola mujer en el comité significa que hay dos hombres, por lo tanto es el mismo caso que la pregunta c) f) En el comité haya por lo menos una mujer Quiere decir que puede haber una mujer o dos mujeres: P(M,2H) + P(H,2M) = 0,50 + 0,30 = 80% Ejemplo 4.21. En una universidad, una muestra de profesores es clasificado de acuerdo a su grado académico y su estado civil, según se muestra en la tabla: Tabla de clasificación de profesores, según grado académico y estado civil:

Soltero Casado Viudo Divorciado

Sin grado académico 13 12 8 4

Maestro

8 11 2 7

Doctor

4 5 6 2

Se seleccionará al azar a un profesor; determine la probabilidad de que: a) Sea un Maestro Divorciado.  b) Si es Divorciado que sea Doctor. c) Si es Doctor que sea Casado o Viudo. d) Si es Sin Grado o Maestro, que sea Soltero o Viudo. Solución:  Totalizando por filas y columnas: Sin grado Maestro Doctor Total académico (Sg) (M) (Doc) 13 8 4 Soltero (S) 25 12 11 5 Casado (C) 28 8 2 6 Viudo (V) 16 4 7 2 Divorciado (D) 13 Total 37 28 17 82 a) Probabilidad de que sea una Maestro Divorciado: P(M,D) = 7/82. b) Probabilidad si es Divorciado que sea Doctor: P(D/Doc) = P(D,Doc)/P(Doc) = 2/17. c) Probabilidad si es Doctor que sea Casado o Viudo): P(Doc/(C+V) = P(Doc,(C+V))/(P(C+V) = 11/44.

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d) Probabilidad si es Sin Grado o Maestro, que sea Soltero o Viudo: P((Sg+M)/(S+V)) = P((Sg+M),(S+V))/P(S+V) = 31/41. Ejemplo 4.22.  En una asamblea de estudiantes de la facultad de ingeniería, estaban reunidos 265 alumnos, quienes comentaban acerca de sus experiencias en los cursos de Estadística, Matemática y Lenguaje de Programación. De este grupo 89 alumnos dijeron haber llevado Estadística, 130 dijeron haber llevado Matemática y 110 dijeron haber llevado Lenguaje de Programación; por otro lado, 22 dijeron haber llevado solo Estadística y Matemática, en tanto que 54 dijeron haber llevado solo Matemática y Lenguaje de Programación, y 21 dijeron haber llevado solo Estadística y Lenguaje de Programación. En relación a aquellos que solamente tenían experiencia con un solo curso, 28 manifestaron haber llevado Estadística, 36 dijeron haber llevado Matemática y 17 dijeron haber llevado Lenguaje de Programación, en tanto que 69 alumnos dijeron no tener ninguna experiencia con estos cursos. Se tomará un alumno al azar; determine la probabilidad de que: a) Haya llevado los tres cursos.  b) Haya llevado Estadística o Matemática c) Haya llevado cualquiera de los tres cursos

Solución:   En el siguiente gráfico se muestra la relación entre estos tres conjuntos

E = 89

M = 130

a

b d

c f 

g e

L = 110 69

Alumnos que llevaron Estadística: a + b + c + d = 89 Alumnos que llevaron Matemática: b + c + e + g = 130 Alumnos que llevaron Lenguaje de Programación: c + d + e + f = 110

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Alumnos que solo llevaron Estadística y Matemática: b Alumnos que solo llevaron Matemática y Lenguaje de Programación: e Alumnos que solo llevaron Estadística y Lenguaje de Programación: d Alumnos que solamente llevaron Estadística: a Alumnos que solamente llevaron Matemática: g Alumnos que solamente llevaron Lenguaje de Programación: f Alumnos que llevaron simultáneamente los tres cursos: c Alumnos que no llevaron ningún curso: 69 Total de alumnos computados: a + b + c + d + e + f + g + 69 = 265. Relacionado estas expresiones se obtiene c = 18, y con ello los valores de a = 28, b = 22, d = 21, e = 54, f = 17, y g = 36. a) Probabilidad de que un alumno haya llevado los tres cursos: P(c) = 18/265, que es equivalente a P(E,M,L) = 18/265 = 6,79%  b) Probabilidad de que un alumno haya llevado Estadística o Matemática: P(EUM) = a + b + g = 86/265 = 32,45% c) La probabilidad de que haya llevado cualquiera de los tres cursos se entiende como la unión de estos tres conjuntos: P(EUMUL) = a + b + c + d + e + f + g = 196/265 = 73,96%

E jercicios:  C Cálculo  d de  p probabilidades 4.1. 4.2.

4.3.

4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

4.8.

Defina el concepto de espacio muestral así como el de evento. Dos lapiceros de color azul y rojo serán asignados indistintamente a Carlos, Miguel y Rosa; si no interesa si uno de ellos puede o no recibir algún lapicero, determine el espacio muestral de este ensayo. Juan, Pedro y María, ingresarán a dos habitaciones distintas, sin interesar cómo aparecerán en cada una de ellas; describa el espacio muestral de este experimento. Se arroja cuatro monedas al aire; construya su espacio muestral y diga el número de eventos con dos y tres caras. ¿En qué se diferencia una permutación de una combinación? ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra FRANCIS?, tomándolas: a) Todas a la vez b) De tres en tres. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra VERANON?, tomándolas: a) Todas a la vez b) De dos en dos, c) De tres en tres. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra UNIVERSITARIA, tomándolas todas a la vez?

98

4.9. 4.10. 4.11.

4.12.

4.13.

4.14. 4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

¿Cuántas palabras pueden formarse con cinco letras diferentes del alfabeto? Hay seis caminos que van de A a B y tres de B a C, ¿de cuántas maneras se puede ir de A a C, pasando por B? En una competencia por el campeonato de fútbol de una zonal, hay ocho equipos participantes, ¿cuántos encuentros serán necesarios, si cada equipo ha de jugar dos veces en su campo con cada uno de los demás? Una empresa recibe a tres nuevos ingenieros que pasaron una rigurosa prueba de selección; estos serán asignados indistintamente a las secciones de Mantenimiento, Producción y Logística, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta designación? R: 3P3 ¿De cuántas maneras puede seleccionarse a tres postulantes de un total de quince, para ocupar cargos de asistentes de gerencia en una empresa?  R: 15C3 ¿Cuántos números pueden formarse con los dígitos numéricos?, tomándoles: a) Todos a la vez b) De tres en tres. ¿De cuántas formas pueden escogerse a tres ingenieros y cuatro administradores para ser enviados a un curso de planeamiento estratégico, considerando que existen 20 profesionales, de los cuales 9 son ingenieros?  R: 9C3*11C4 Se recibe un paquete de veinte cajetillas de cigarros, de los cuales ocho son de la marca Winston, y el resto de la marca Hamilton Light; se escoge al azar tres cajetillas, de cuántas maneras podrán obtenerse, que las tres cajetillas sean: a) De la marca Winston b) Dos Hamilton Light y una de Winston. R: a) 56 b) 336  Se cuenta con cinco chips de memoria que serán incorporados a la  placa madre de una PC, ¿de cuántas maneras podrán colocarse estos chips, considerando que cada uno tiene su propio número de serie, y el orden en que serán colocados es valedero?  R: 5P5 Una PC requiere que se coloquen seis slots con las mismas características, donde serán incorporadas seis tarjetas controladoras (video, HD, sonido, etc.); de ¿cuántas maneras diferentes podrán colocase estas tarjetas en los slots si se cuenta con un lote de 20 tarjetas?  R. 924 En un hipódromo compiten quince caballos de carrera para ocupar los tres primeros puestos, ¿cuántas posibilidades existen de ocupar estos tres primeros puestos? R: 455

99

4.20. Un examen consta de diez preguntas, cada una con cinco alternativas, siendo la respuesta correcta, una sola; si un alumno responde al azar de ¿cuántas maneras diferentes pueden contestarse las respuestas?  R. ( 5C 1 )10 = 9765 625 4.21. Un empresa multinacional está aperturando nuevas gerencias en diferentes lugares del país, ello implicará reasignar a sus  profesionales a dichas secciones para ocupar los cargos creados; de este modo reasignará a tres ingenieros de sistemas, cuatro ingenieros informáticos y dos ingenieros industriales; para ello cuenta en su planilla con siete ingenieros de sistemas, seis informáticos y cinco industriales. La gerencia considera que todos estos profesionales tienen la misma posibilidad de ser designados en esas gerencias; ¿de cuántas maneras podrán hacerse designaciones. R: 5 250 maneras 4.22. Cinco alumnos de un grupo de doce, serán seleccionados para ocupar la lista de representantes estudiantiles ante el Consejo de Facultad de la Universidad, considerando que el primero será el Presidente, el segundo el Secretario y el resto de Vocales; a) ¿De cuántas maneras podrá conformarse la lista? b) Si solo interesa que sean elegidos los cinco, ¿de cuántas maneras podrá hacerse esta selección?  R: a) 12 P 5 b) 12C 5 4.23. En un nido escolar, un niño recibe doce piezas de un rompe cabezas, de los cuales formará una figura geométrica con sólo siete  piezas, ¿Cuántas figuras geométricas podrá formar?  R: 12 P 7  en el campeonato mundial de fútbol 4.24. Considerando que  participarán 32 equipos, ¿cuántas posibilidades habrán para ocupar los ocho primeros puestos, considerando que es importante el sitial ocupado? R: 32 P 8 4.25. Defina el concepto de probabilidad y ¿porqué se dice que está comprendido entre cero y uno? 4.26. ¿De qué manera pueden obtenerse datos para estimar la  probabilidad? Con ejemplos explique la naturaleza de cada una de ellas. 4.27. Proporcione casos en los que se presenten probabilidades condicionales. 4.28. En una fila de soldados están alineados 20 personas, de los cuales quince tienen cabello negro; el sargento seleccionará al azar a cinco soldados de la fila, determine la probabilidad de que el

 

4.29.

4.30.

4.31.

4.32.

4.33.

4.34.

4.35.

100

cuarto y el quinto sean de cabello negro, sin interesar cómo salieron los tres primeros. En los juegos olímpicos, participan en una carrera de cien metros  planos, siete atletas americanos, nueve europeos, y cinco asiáticos  para disputarse las medallas de oro, plata y bronce; ¿cuál será la  probabilidad de que estas medallas sean ganadas? por: a) Ningún americano b) Ningún europeo c) Ningún asiático d) Dos europeos y un americano e) Dos asiáticos y un europeo. Una caja contiene cinco bolas Blancas y ocho Negras; se extrae tres bolas sucesivamente sin reponerlas; determine la probabilidad de que estas tres bolas sean: a) Blancas b) Negras c) Dos Blancas y una Negra?  R: a) 3,5% b) 19,58% c) 27,97% Una caja contiene tres bolas blancas y cuatro negras; tres personas A, B y C, en ese orden, efectúan extracciones de una bola sin reponerla; el primero que obtenga la bola blanca gana el juego. Determine: a) La probabilidad de que gane la persona A b) La  probabilidad de que gane la persona B c) La probabilidad de que gane la persona C. Se lanzan simultáneamente dos dados; determine la probabilidad de que la suma de los números sea: a) Mayor de ocho b) Menor o igual a siete c) Más de cinco y menos de diez d) Mayor de siete, siendo esta suma impar. a) 10/36 b) 21/36 c) 20/36  Se tiene dos cajas con características similares; la primera contiene seis bolas Blancas y cinco bolas Negras, mientras que la segunda contiene nueve bolas Blancas y seis bolas Negras; se escoge una caja al azar y se extraen tres bolas en forma consecutiva: ¿Cuál será la probabilidad de que estas bolas sean: a) Dos Blancas y una  Negra b) Dos Negras y una Blanca c) Dos negras y una Blanca. Si se extrajeran en forma consecutiva cinco bolas, ¿cuál será la  probabilidad de que estas sean? d) Blancas e) Negras f) Dos  Negras y tres Blancas g) Tres Negras y dos Blancas. Hay ocho postulantes aptos para ocupar tres vacantes de médicos residentes en un hospital; la probabilidad de seleccionar a un médico varón siempre es de 0,65; si se seleccionó a un varón y una mujer, ¿cuál será la probabilidad que el tercer médico sea: a) Un varón b) Una mujer? Se recibe una caja conteniendo 20 CD, de los cuales se sabe que ocho contienen alguna grabación; a fin de proceder a grabar nuevos documentos se selecciona una muestra de cuatro CD;

 

101

estime la probabilidad de que: a) La muestra contenga a lo más dos CD grabados b) Contenga no menos de tres CD grabados. R: a) 84,69% b) 15,31% 4.36. En un congreso de ingenieros están reunidos 178 personas, quienes, entre otros puntos, conversan acerca del uso de desodorantes en su aseo diario; de estos 80 dicen usar desodorante tipo aerosol, 100 dicen usar desodorante tipo barra, en tanto que 24 dicen usar ambos tipos. Se escoge al azar a uno de estos asistentes; determine la probabilidad de que: a) No use ningún tipo de desodorante b) Use solo desodorante en aerosol c) Si usa desodorante en aerosol, también use desodorante en barra d) Si usa desodorante en barra, también use desodorante en aerosol.  R: a) 12,36% b) 31,15% c) 24%

d) 30%

4.37. Se tiene una urna que contiene 25 bolas, de los cuales siete son de color blanco, nueve de color rojo y el resto de color negro; se extraerán sucesivamente cinco bolas al azar, sin reponerlas; determine la probabilidad de que: a) Todos sean blancos b) Todos sean negros c) Todos sean rojos d) Tres sean rojos, uno blanco y otro azul e) Dos sean azules y los restos negros. 4.38. Se tienen dos cajas con las mismas características; la primera contiene cuatro bolas blancas y cinco negras, en tanto que la segunda contiene seis bolas blancas y ocho negras. Se seleccionará al azar una caja, de donde se extraerán dos bolas sucesivamente sin reponerlas; determine la probabilidad de que: a) Las dos sean blancas.  b) La segunda sea negra, si la primera fue blanca.  R; 16,57%, 27,08%

4.39. Una casa especializada en el negocio de ensamble de equipos de cómputo recibe un pedido de 15 nuevas PC; los pedidos son atendidos y enviados a las unidades solicitantes, sin embargo el ingeniero de planta manifiesta que en este pedido cuatro presentan  problemas de configuración; por lo tanto, la empresa envía al técnico para hacer las respectivas correcciones. Este toma tres PC al azar; determine la probabilidad de que: a) Los tres no tengan ningún problema de configuración b) Los tres tengan problemas de configuración c) Dos estén bien y uno esté con problemas d) Dos estén con problemas de configuración. 4.40. En el salón de clases de Matemática hay 23 alumnos, de los cuales diez son varones; se designará al azar a un alumno para delegado:

 

102

a) ¿Cuál será la probabilidad de que sea designado una alumna? Si se seleccionan al azar a tres para delegados; ¿Cuál será la probabilidad de que estos sean? b) Mujeres c) Varones d) Dos mujeres y un varón e) Dos varones y una mujer f) El tercer delegado sea una mujer. 4.41. Susana recibe como regalo dos cajas conteniendo cada uno de ellos jabones de las marcas Camay y Lux; una caja tiene diez  jabones Camay y la otra doce jabones Lux; ella elige una caja al azar y extrae dos jabones en forma sucesiva. a) ¿Cuál será la  probabilidad de que los dos jabones sean de la marca Camay?  b) ¿Cuál será la probabilidad de que los dos jabones sea de la marca Lux? 4.42. La Srta. Lina es más afortunada que Susana y en su cumpleaños recibe como regalo tres cajas conteniendo diferentes tipos de  jabones. La primera caja contiene tres jabones Eno de Pravia, cuatro jabones Lux y cinco jabones Camay; la segunda caja contiene seis jabones Lux, cuatro jabones Eno de Pravia y tres  jabones Camay, mientras que la tercera contiene seis jabones Eno de Pravia y solo tres jabones Lux. En momentos de emoción invita a una de sus amigas a extraer de cualquier caja tres jabones, para averiguar si estos tres son de la misma marca, ¿Cuál será la  probabilidad de que estos jabones sean? a) De la marca Lux b) De la marca Camay c) De la marca Eno de Pravia d) Dos sean Lux y uno Camay e) Dos sean Camay y uno Lux 4.43. La siguiente tabla muestra las características preferenciales de un grupo de clientes provincianos y capitalinos que acuden a una casa comercial a informarse respecto a unos modelos de PC con multimedia, recientemente incorporados al mercado: Clientes Capitalinos Provincianos

Les gustan

No les gustan

Indecisos

40 24 30 35 41 24 A fin de conocer el estado anímico del cliente, la empresa escogerá al azar a un cliente, determine la probabilidad de que: a) Al cliente no le guste la PC b) El cliente sea capitalino c) El cliente no sea provinciano e indeciso d) El cliente sea de la capital y le gusta la PC e) El cliente sea un provinciano y le guste la PC f) Al cliente le guste la PC y sea a la vez  provinciano g) El cliente sea capitalino y no le guste la PC o esté indeciso h) El cliente sea provinciano y le guste la PC i)

 

103

Si el cliente es indeciso sea provinciano j) Si el cliente es  provinciano o capitalino sea indeciso k) Si no le gusta la PC que sea provinciano l) Si es un indeciso es porque es  provinciano 4.44. Una empresa industrial cuenta con una plana de profesionales formados por ingenieros químicos, ingenieros industriales e ingeniero de sistemas, según se indica en el siguiente cuadro: Número de profesionales en la Empresa Ingenieros Químicos Industriales Sistemas

Varones

Mujeres

11 16 9 10 3 2 Se selecciona un profesional al azar; determine la probabilidad de que este sea: a) Un ingeniero varón b) Sea un ingeniero industrial c) Sea un ingeniero industrial mujer d) Un ingeniero varón y al mismo tiempo químico e) Sea ingeniero industrial y varón f) Un ingeniero industrial o ingeniero de sistemas pero varón g) Sea una mujer y que sea al mismo tiempo ingeniero químico o ingeniero de sistemas h) Sea un ingeniero de sistemas i) Sea un profesional cualquiera j) Si es ingeniero químico, que sea una mujer k) Si es mujer que sea ingeniero industrial l) Si es varón que sea ingeniero químico o ingeniero de sistemas. 4.45. La probabilidad de que tres personas acierten en el blanco con un dardo son iguales 0,80, 0,75 y 0,67. Se produce un lanzamiento simultáneo de las tres personas, y dos de ellos aciertan en el  blanco; determine la probabilidad de que la tercera persona haya fallado. 4.46. Un agricultor cuenta con tres parcelas de tierras agrícolas de iguales dimensiones en Humaya, Supe y Barranca, en los cuales siembra y cosecha papaya; para ello utilizó como fertilizante Humus, Urea y NPK, obteniendo en promedio por cada plantón los siguientes resultados: Cantidad de papaya obtenida en promedio por plantón Con abono: Humus Urea NPK

Lugares Humaya

44 46 40

Barranca

Supe

46 45 51

44 47 51

 

104

De esta cosecha el agricultor, a fin de evaluar la calidad de la  papaya tomará una de ellas al azar; determine la probabilidad de que esta: a) Fue sembrado en Humaya b) Fue sembrado en Supe o Barranca c) Fue sembrado con Humus d) Fue sembrado con NPK o Urea e) Haya sido cosechado en Humaya habiendo utilizado Humus f) Haya sido fertilizado con Urea y cosechado en Supe g) Haya sido fertilizado con Humus o NPK y cosechado en Barranca h) Haya sido fertilizado con Humus o Urea y cosechado en Supe i) Haya sido cosechado en Humaya habiendo sido fertilizado con Urea j) Haya sido cosechado en Barranca habiendo sido fertilizado con NPK k) Si fue cosechado en Barranca o en Supe, que haya sido fertilizado con Urea. 4.47. En una reunión de confraternidad conformado por 87 ingenieros informáticos, conversando estos acerca de su experiencia  profesional, 43 dijeron haber trabajado en el sector industrial, mientras que 38 dijeron haber trabajado en la Administración Pública; si 17 dijeron haber trabajado en ambos sectores, determine la probabilidad de que seleccionando al azar a un ingeniero informático, éste esté trabajando en el sector industrial, mientras haya trabajado en la Administración Pública. 4.48. Una expedición conformada por 261 turistas que visitaron la  provincia de Huaura durante el primer semestre del año se les  preguntó sobre lugares turísticos visitados; dichas personas  proporcionaron las siguientes respuestas: 122 dijeron haber visitado sus playas (Hornillos, Colorado, Tambo de Mora, y otros), 137 visitaron el área urbana, y 117 visitaron La Campiña. 37 Dijeron haber visitado sus playas y La Campiña, 41 visitaron sus  playas y el área urbana, mientras que 59 visitaron el área urbana y La Campiña, y 50 dijeron no haber visitado ninguno de estos lugares. a) ¿Cuántos turistas visitaron los tres lugares? b) ¿Cuántos turistas no visitaron ninguno de estos tres lugares? c) Seleccionando al azar a un turista, ¿Cuál será la probabilidad de que este haya visitado la Campiña o sus playas? 4.49. De 183 pacientes que se encuentran internados en un hospital, 103 sufren de Diabetes, 71 sufren del corazón, y 66 sufren de úlceras. Simultáneamente 23 pacientes sufren de diabetes y del corazón, 16 sufren del corazón y de las úlceras, 28 sufren de diabetes y úlceras, mientras que 11 pacientes están sufriendo de estas tres enfermedades. Se selecciona al azar a un paciente: a) ¿Cuál será la

 

4.50.

4.51.

4.52. 4.53.

4.54.

105

 probabilidad de que el paciente sufra del corazón?  b) ¿Cuál será la probabilidad de que este paciente no sufra ninguna de estas enfermedades? c) ¿Cuál será la probabilidad de que el paciente sufra de estas tres enfermedades? d) ¿Cuál será la probabilidad de que el paciente sufra sólo de úlceras? Tres personas participan en un premio; las probabilidades de ganar un premio por cada una de las personas es, respectivamente 0,15, 0,18 y 0,17; estime la probabilidad de que se gane el premio. Un laboratorio farmacéutico recibe un lote de doce balanzas electrónicas, de los cuales cinco estaban bien calibrados y el resto  presentaba problemas de esta naturaleza. El laboratorista selecciona cuatro de ellas al azar, dispuesto a calibrarlo; a) ¿Cuál será la probabilidad de que estas cuatro balanzas estén mal calibradas? b) ¿Cuál será la probabilidad de que seleccione tres  buenas y una mala? c) ¿Cuál será la probabilidad de que la segunda esté mal calibrada? d) ¿Cuál será la probabilidad que la segunda y la tercera estén bien? Se lanza tres veces una moneda, ¿cuál será la probabilidad de que las tres sean caras?  R: P(C,C,C) = P(C)*P(C)*P(C)= 1/8 En la escuela de Ing. de Sistemas hay 15 PC de los cuales cinco necesitan ser repotenciadas; en la escuela de Ing. Informática hay 18 PC de los cuales seis necesitan ser repotenciadas, mientras que en la escuela de Ing. Industrial solo hay nueve PC y cuatro necesitan ser repotenciadas; la facultad solo dispone de fondos  para repotenciar a tres, por lo que la selección deberá hacerse al azar. Se envía al técnico, y como éste no conoce bien la universidad ni el estado de las máquinas, escogerá al azar cualquier escuela y seleccionará tres PC; determine la probabilidad de que: a) Sea seleccionada la escuela de Ing. Informática b) Las tres PC requieran ser repotenciadas seleccionando de cualquier escuela b) Solo dos requieren ser repotenciadas c) Solo una requiere ser repotenciada. Una planta de elaboración de bebidas de soda cuenta con dos lavadoras de botella; una de ellas procesa el 30% de las botellas utilizadas diariamente y rompe un 5% de los que la lava, mientras que la otra procesa el resto y rompe el 4%. Determine la  probabilidad de que una: a) Botella lavada no esté rota. b) Botella seleccionada haya sido lavada en la primera máquina.

 

106

4.55. La probabilidad de que una máquina deje de funcionar al no contar con materia prima es de 0,12 y la probabilidad de que  produzca piezas defectuosas es de 0,04; ¿cuál será la probabilidad de que produzca productos defectuosos y falle a la vez?  R:  P(P,D)=P(P)*P(D)= 4,8%

4.56. A fin de colocar publicidad en tres grandes diarios de la capital, el departamento de marketing de una empresa desarrolla una encuesta sobre preferencias de lectura de tres diarios de mayor circulación; estima que solo el 15% de los encuestados lee El Comercio; 12% lee solamente La República, y el 10% lee solamente Ojo; en tanto que el 6% dicen leer los tres periódicos, 7% dicen leer El Comercio y La República y 9% dicen leer El Comercio y Ojo; el 17 % dicen no leer ninguno de estos  periódicos; se escogerá una persona al azar, determine la  probabilidad de que: a) Lea solamente dos periódicos b) Lea menos de tres periódicos 4.57. Una institución académica cuenta con diferentes modelos de PC, cuyos discos duros (HD), son de diferentes marcas, según se muestra en la siguiente tabla: Tabla. Número de PC de acuerdo a sus modelos y discos duros Marca de HD Modelo de PC Samsung Maxtor Seagate Pentium III 13 14 11 Pentium IV 22 28 30 Pentium D 12 10 13 Se seleccionará una PC al azar, determine la probabilidad de que: a) Su HD sea Maxtor o la PC sea Pentium D.  b) Si tiene HD Samsung, que no sea Pentium III ni Pentium D. c) Si es Pentium D, que tenga HD Samsung o Seagate. d) Que sea Pentium III y no tenga HD Seagate.  R: a) 56,86%, b) 27,5%, c) 49,61%

d) 17,65%

4.58. Un camión ubicado en una calle adyacente al mercado central de Huacho está descargando un cargamento de cajas con tomates; el inspector de calidad clasifica la mercadería en aceptable o no aceptable según pase el sistema de inspección; para ello considera que si el 70% de estas son declaradas aceptables se recibirá la mercadería, de otro modo se lo rechazará; para ello deberá tomar dos muestras al azar para inspeccionarlo. El proveedor manifiesta que la probabilidad de encontrar una caja con tomates en buen

 

107

estado es del 95%. a) ¿Cuál será la probabilidad de rechazar este lote si se toman dos cajas al azar? b) Si se toman cuatro cajas al azar, c) ¿Cuál será la probabilidad de que todas estas cajas estén en mal estado? d) Si por efectos del clima, los tomates empiezan a descomponerse aumentando esta  probabilidad a 15%, estime si se podrá rechazar la mercadería cuando se inspecciona aleatoriamente un lote de dos cajas. 4.59. La probabilidad de que una empresa de transportes llegue temprano saliendo de Lima a Barranca, haciendo escala en Huacho es de 0,85; la probabilidad de que llegue a tiempo a Huacho y tarde a Barranca es 0,23; a) Determine la probabilidad de que llegue a tiempo a Huacho si llegó tarde a Barranca b) Si la probabilidad de llegar a tiempo a Huacho es 0,67, estime la  probabilidad de llegara Barranca si se llegó a tiempo a Huacho. 4.60. En una caja se encuentran doce micro procesadores, de los cuales se sabe que tres tienen problemas en su memoria, a fin de descartar a los deficientes se los probará de uno en uno; estime la  probabilidad de encontrar el último microprocesador defectuoso en la quinta prueba. 4.61. Se cuenta con seis mainboard, cuatro tarjetas de video, y cinco HD, de los cuales se escogerán solo tres al azar para ser enviados a un ensamblador de PC, ¿cuál será la probabilidad de que estas sean?: a) Las mainboard b) Las tarjetas de video c) Los HD d) Dos tarjetas y una mainboard e) Dos HD y una tarjeta de video.  R: a) 6C3/15C3 5C2 *4C1/15C3

b) 4C3/15C3

c) 5C3/15C3

d) 4C2*6C1/15C3

e)

4.62. La probabilidad de que el candidato A gane una curul ante el Congreso, en las próximas elecciones generales es 0,25, la  probabilidad de que el candidato B gane otra curul es 0,20, y la  probabilidad de que el candidato C, también gane otra curul es 0,30. ¿Cuál será la probabilidad de que los tres ganen la curul? 4.63. La probabilidad de que Luis venda un de software aplicaciones, si es que Pedro logró vender una PC a un amigo suyo es de 0,32; por otro lado la probabilidad de que Pedro logre vender una PC a cualquier cliente es de 0,16, Estime la probabilidad de que ambos logren vender el software y una PC.

 

108

Sección 5 Frases para meditar:  Lo difícil solo es rutina, lo imposible solo toma más tiempo Si piensas que fracasarás,  ya fracasaste  Más vale apuntar la lanza a la luna y que le caiga a un águila, que apuntar al águila y le caiga a una roca Cuando se quiere se puede,  piensa en grande y tus hechos crecerán Sólo el que no hace nada, no  se equivoca de nada

Distribuciones de Probabilidades Empíricas Supongamos que lanzamos tres monedas al aire y evaluamos los casos posibles que podrían suceder cuando caiga al piso; así, podríamos esperar que estas tres monedas muestren los posibles resultados: CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS; donde C representa cara y S sello; el conjunto de estos resultados posibles es denominado espacio muestral , y en este caso existen ocho resultados posibles; si ahora, solo estaríamos abocados a conocer un resultado específico del espacio muestral, como que éstos solo muestren dos caras, una sola cara, etc., a esto se le denomina evento o suceso; de este modo, si de este experimento estaríamos interesados en computar solo los eventos caras entonces, como resultados posibles, habrán cero caras, una cara, dos caras o tres caras. A estos eventos posibles que podrían obtenerse del experimento, se le denominan variable aleatori a, porque sus resultados solo dependen del azar o de la casualidad; por lo general a esta variable aleatoria se lo representa por x.

 

109

Si nos abocamos a construir una tabla de frecuencias que muestre todos los eventos posibles de obtener cara, en este experimento, tendríamos lo que se muestra en la siguiente tabla. Tabla 5.1 Tabla de frecuencia de evento caras al lanzar tres monedas Evento Caras Frecuencia

0 1

1 3

2 3 Espacio muestral

3 1 8

Si las monedas están bien hechas, la probabilidad de obtener cara o sello será el mismo, en estos casos se dice que la moneda no está sesgada. Si evaluamos la probabilidad de obtener caras, para cada una de las  posibilidades, entonces la tabla 5.2 es propicia para mostrar los cálculos obtenidos; para este caso el evento cara fue sustituido por la variable aleatoria x. Tabla 5.2 Distribución de probabilidades para el caso del lanzamiento de las tres monedas

Evento cara xi

Frecuencia foi

Probabilidad P(xi=r)

0 1 2 3

1 3 3 1

0,125 0,375 0,375 0,125

Prob.

1,00

De esta tabla puede deducirse lo siguiente: a) La probabilidad siempre es un número positivo y está comprendido entre cero y uno: 0 ≤ P(xi) ≤ 1.  x b

 P ( x ) =

 b) La suma de todas las probabilidades es igual a uno,  x a

1, para x = a, …, b

 

110

Como decimos que la variable aleatoria puede tomar cualquier valor, su comportamiento estará asociado a situaciones fortuitas; este comportamiento es conocido como distribución de probabilidad o función de probabilidad de la variable aleatoria x. En una distribución de probabilidad, la variable aleatoria puede tomar valores enteros o discretos , y valores reales o continuos ; el caso tratado corresponde a una variable aleatoria discreta, porque sus resultados  posibles solo son números enteros; en el caso que los resultados posibles fuesen cualquier número definido dentro de un intervalo, se dice que la variable aleatoria es continua; por otro lado, las distribuciones de  probabilidad  pueden ser empíricas o teóricas ; se dice que son empíricas cuando provienen de la observación directa o de la experimentación; se dice que son teóricas cuando son determinadas a priori u obedecen a determinadas leyes matemáticas. Con referencia al ejemplo precedente, de acuerdo a las características de los problemas, pueden formularse diferentes modelos de distribuciones de probabilidad, empíricas o teóricas; éstas últimas, para ser aceptadas como tales, deberán ser validadas mediante pruebas estadísticas que más adelante veremos la forma de validarla. Función de probabilidad discreta: Si f(x)  describe una función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, para x una variable aleatoria entera, definida dentro de un rango, como x = 0, 1, 2, …,n, entonces f(x)  = P(X = x) define la probabilidad de que suceda el evento x. Así, en el caso de lanzar una moneda el evento puede ser cero o una cara, de modo que la variable aleatoria x solo podrá tomar el valor 0 ó 1 y su función de probabilidad estará asociado con x = 0, f(0) = P(X = 0) = 0,50, y para x = 1, f(1) = P(X = 1) = 0,50. Función de probabilidad acumulada: La función de probabilidad acumulada se representa mediante F(x) = P(x < r ) y define la  probabilidad acumulada de que un evento discreto sea menor o igual al  x 2 r  1

 f  ( x)

evento r ; la expresión se simboliza por F(xr ) = P(x < r ) =  x  x1

donde x1 define el límite inferior de la función de probabilidad, y r un valor menor o igual al límite superior x 2.

 

111

Función de probabilidad continua: Si f(x)  define una función de  probabilidad continua, para x definido dentro en el intervalo [a, b], entonces la probabilidad de que un evento suceda entre a y r se denota por

P(x

r 

r ) =

a

 f  ( x)dx .

El siguiente caso es un ejemplo de la forma de configurar un modelo de distribución de probabilidad continua: En una granja avícola los  pesos de los pollos siguen una función de probabilidad definida por f(x) = 2x  –  6, donde x representa los pesos de los pollos en kilos comprendidos entre los tres y cuatro kilos; comparado con el caso del lanzamiento de las monedas, la variable aleatoria, peso de los pollos pueden tomar cualquier valor como 3,12 kilos, 3,0983 kilos, 3,99754 kilos, etc. En este caso la tabla de distribución de probabilidades no tendrá las mismas características que la tabla de probabilidades de una variable discreta. También para estos casos deberá tenerse en cuenta: a) 0 ≤ f(x) ≤ 1  b)

b a

 f  ( x)dx  = 1, para x €[a,b]

Ejemplo 5.1. Considerando la función de probabilidad del peso de los  pollos; se va seleccionar un pollo al azar, determinar la probabilidad de que  pese entre los 3,3 y 3,7 kilos.

Solución:  Se trata de determinar P(3,3

x

3,7) =

3, 7 3, 3

(2 x

6)dx = 40%

Valor esperado de una distribución de probabilidad ,  E(x).  El valor esperado de una distribución de probabilidad, define su media aritmética o  promedio esperado de su variable aleatoria definida dentro de su rango; también se le conoce como Esperanza Matemática.  Las expresiones que lo describen son: Valor esperado de una función de probabilidad discreta:  x 2

 xf  ( x)

= E(x) =  x1

Valor esperado de una función de probabilidad continua:

 

112

= E(x) =

b a

 xf  ( x)dx

Si aplicamos este concepto de valor esperado, obtenemos que el  peso promedio esperado de un pollo de la granja es de E(x) = 3,67 kilos. Varianza: Se define como la suma de los cuadrados de los valores observados menos su valor esperado (desviaciones), multiplicado por su función de probabilidad f(x). Varianza para una función de probabilidad discreta: V(x) = 2 = E(x - )2

V(x) =

2

 f  ( x) [x –  E(x)]2

 =

Varianza para una función de probabilidad continua: V(x) =

2

 =

b a

[x –  E(x)]2*f(x)dx

Casos en que pueden suceder diferentes distribuciones de probabilidad. Si queremos encontrar distribuciones de probabilidad de las observaciones realizadas, algunas de ellas pueden aproximarse o explicarse de acuerdo a ciertos comportamientos matemáticos o explicarse mediante modelos teóricos; en este caso se dice que las distribuciones de  probabilidad son teóricas, porque se explican dentro de ciertos modelos teóricos; cuando no es posible explicarlos bajos estos parámetros, se dice que las distribuciones de probabilidad son empíricos, porque provienen directamente de las observaciones, y para ellos pueden construirse determinadas ecuaciones matemáticas. Para el primero caso, existen una serie de modelos de distribuciones de probabilidad, como; la Bernoulli, la Binomial, la Poisson, la Beta, la Normal, la t de student, la Chi cuadrado, la F, etc.; para el segundo caso pueden construirse distribuciones probabilidad como una triangular, trapezoidal, etc. Función de distribución uniforme : f(x) = k. En este caso la función es una constante definida en el intervalo [a, b], su representación gráfica representa un rectángulo, por lo que también se dice que la distribución es rectangular.

 

113

Función de distribución triangular : Existen una serie de posibles combinaciones de esta función, pudiendo suceder los siguientes casos: f(x) = kx para a < x < b, la figura formada con el eje X forma un triángulo rectángulo o una distribución triangular. f(x) = kx + m para a < x < b, su figura representa un trapecio o una distribución trapezoidal. f(x) = f(x1) para a < x c f(x2) para c < x d , la combinación de estas dos funciones representan otros tipos de triángulos. Estas representaciones gráficas se indican en la siguiente figura. Ejemplo 5.2. Una empresa cuenta con un servicio de alquiler de automóviles; su experiencia en el manejo de este tipo de actividades le ha  permitido configurar una distribución probabilidad de alquiler de autos por día según se expresa mediante la expresión: p(x) = 0,286  –   0,048x, donde x denota el número de vehículos alquilados por día, pudiendo variar entre cero y cinco unidades por día. Si la utilidad generada por alquilar uno de

Y = f ( x) Y = f ( x 1)

Triangular 

Rectangular 

Y = f ( x 2)

Trapezoidal Y = f (x 2)

Trapezoidal Y = f (x)

Fig.

Y = f (x 1)

Diferentes distribuciones de probabilidades empíricas

estos autos es de S/ 45, encuentre: a) Ganancia esperada por día.

 

114

 b) Probabilidad de alquilar más de dos autos por día. c) Probabilidad de alquilar menos de tres autos por día. d) Probabilidad de alquilar entre dos y cuatro autos, inclusive. Solución:  Este es un caso de distribución de probabilidad discreta, dado que el alquiler de autos sólo se da en números enteros; reemplazando cada valor de x en p(x) se obtiene el cuadro de probabilidades Autos alquilados: x Probabilidad: p(x)

0 0,286

1 0,238

2 0,190

3 0,142

4 0,094

5 0,046

Entonces: a) Promedio esperado de alquilar autos por día; sin necesidad de estar multiplicando cada valor de x por su respectiva probabilidad, se lo  puede determinar aplicando el concepto de esperanza: 5

5

 x *  p ( x) =

E(x) = 0 5

0,048 x)

0 5

0,286 x 0

 x * (0,286 5

0,048x 2 0

5

 x

 0,286 0

 x 2

0,048

1,65 autos

0

Como cada vehículo genera una ganancia de S/ 45, entonces por el  promedio esperado se espera una ganancia de: S/ 45*1,65 = S/ 74,20  b) P(x >2) = P(x =3) + P(x =4) + P(x = 5) = 28,2% c) P(x < 3) = P(x = 0) + P(x =1) + P(x =2) = 71,4% d) P(2 x 4) = P(x =2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 42,6% Ejemplo 5.3.  Un albergue proporciona servicios de alojamiento a sus turistas y visitantes; sin embargo la demanda de alquileres de cama por día varía de acuerdo a ciertas épocas estacionales que no permiten establecer con exactitud el número de camas solicitadas por día; estas variaciones se muestran en el siguiente cuadro: Habt/día 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ocurre 6 7 9 12 15 15 13 10 7 5 3 a) Construya la tabla de probabilidades, y presente su histograma de frecuencias relativas y absolutas relativas.  b) Encuentre el promedio de alquiler de camas por día. c) ¿Cuál será la probabilidad de alquilar menos de diez camas por día? d) ¿Cuál será la probabilidad de alquilar más de 11 camas por día, inclusive?

 

115

e) ¿Cuál será la probabilidad de alquilar entre siete y doce camas por día? Solución: a) Construyendo la tabla de probabilidades: Habit. Frec. Prob Frec. X Ausol. P(x) rel. acm. 5 6 0,0588 0,0588 6 7 0,0686 7 9 0,0882 8 12 0,1176 9 15 0,1470 10 15 0,1470 11 13 0,1274 12 10 0,0980 13 7 0,0686 14 5 0,0490 15 3 0,0294

 b) El promedio esperado de alquilar camas en un día cualquiera se 15

 x *  p ( x) = 9,6569 que es

obtiene desarrollando: E(x) = 5

aproximadamente igual a diez camas. c) Probabilidad de encontrar menos de diez camas: 9

P(x < 10) = P(x

 x *  p ( x)  = 48,04%

9) = 5

d) Probabilidad de encontrar más de once camas, inclusive: 15

P(x

 x *  p ( x) = 37,24%

11) = 11

e) Probabilidad de encontrar entre siete y doce camas, incluye estos dos números: 12

P(7

x

 x *  p ( x)   = 72,55%

12) = 7

 

116

Ejemplo 5.4.   Las edades de un grupo jóvenes practicantes de turismo de aventura se encuentran comprendidos entre los 15 y 30 años, distribuidos mediante la función de probabilidad: f(x) = 0,00302x –  0,0013; encuentre: a) La probabilidad de encontrar jóvenes menores de 23 años  b) Probabilidad de encontrar jóvenes entre los 19 y 24 años c) Promedio de edad de los alumnos Solución: La función de probabilidad es continua dado que la variable aleatoria x  puede tomar cualquier valor comprendido entre sus límites; luego: a) La probabilidad de encontrar jóvenes menores de 23 años: 23

P(x < 23) =

15

(0,0030 x

0,0013)dx  = 44,86%

 b) Probabilidad de encontrar jóvenes entre los 19 y 24 años: P(19 < x  10) c) P(x < 9).  R: a) 36,77%, b) 51,42%

c) 40,55%

 

5.19

119

Si f(x) = kx2  es una función de probabilidad en el intervalo [0, 5], halle el valor de k   y calcule su valor esperado.  R: k = 3/125, E(x) = 15/4

5.20

Para f(x) =

 x

que define una función de probabilidad en el

 x 2 dominio de: 15 x k , encuentre: a) El valor de k.  b) P(x 15). c) P(x < 16). d) P(15,5 x 16,1).  R: k = 16,13 5.21 Determine el valor de k   para x perteneciente al intervalo [3, k] para que f(x) = 0,05(1,91  –  0,070x) denote una función de probabilidad y encuentre su promedio.  R: k = 23, E(x) = 10,6383 1 5.22 Determine el valor de a si f(x) =  define una función de 2  x 2  probabilidad para a x 7; del mismo modo determine su valor esperado.  R: a = 2, E(x) = 13/3 5.23 Si una distribución de probabilidad se comporta linealmente en forma creciente, con su variable aleatoria comprendida en el intervalo [5, 15], formule su ecuación si pasa por el punto (5; 0,02) y determine: a) La probabilidad de que su variable sea mayor que diez b) La probabilidad de que su variable esté comprendido en el intervalo [7,4 á 12,3] c) Su valor esperado.  R: f(x) = 0,016x-0,06; 70%; 47,82%

5.24

En el centro de cómputo de una empresa, se puede encontrar hasta ocho alumnos de ingeniería informática, desarrollando sus prácticas  pre profesionales. La probabilidad de encontrar un determinado  Ax número de practicantes está definido por la función f(x) = ,  x 1 siendo x la variable aleatoria número de alumnos, y A una constante; determine: a) El valor de A.  b)  Número de practicantes que se espera encontrar en promedio. c) Su desviación estándar.  R: a) A= 0,1620

5.25

b) 4,83

Una función de probabilidad se distribuye uniformemente en el intervalo [5, 200], encuentre su media y su varianza. R: E(x) = 102,5

 

5.26

120

Si f(x) =

2 x

es una función de probabilidad definida en el

 x 2 4 intervalo 0 < x < B, hallar: a) El valor de B. a) 1,50

b) P(x > 1).  R:

b) 52,79%

5.27

Una empresa comercializadora de equipos de cómputo manifiesta que sus ganancias tienen una distribución uniforme comprendido entre los $ 500 y $ 2 500 por semana; determine: a) Promedio esperado de ganancias por semana b) La probabilidad de que gane más de $ 1 256 por semana. 5.28 Si f(x) = 6x  –  2,5 para 1 x 1,24 denota una función de  probabilidad, encuentre su desviación estándar. 5.29 Una función de probabilidad se comporta linealmente pasando por los puntos (5, 0,01) y (45, h); encuentre dicha función y calcule P(x >20), así como

su valor esperado.  R: f(x) =

0,03x 0,25 ; 40

76,56%

5.30

En un juego de azar se puede ganar hasta un máximo de $ 100; la  probabilidad de ganar un monto de este dinero está regido por la 2 14 x 0,0606 x 2 funcion f(x) = , siendo x la variable aleatoria 50000 monto a ganar; si una persona participa en este juego, determine el monto que espera ganar.  R: $63,24 0,5 5.31 Si f(x) = 1,3333  –   para 3 x 3,91 define una función de  x 1  probabilidad, grafique esta función y determine: a) P(x > 3,5) b) P(x < 3,2) c) P(3,2 < x < 3,5) 5.32

5.33

Si f(t) =

t 

denota la probabilidad de que una bacteria puede

t 2 4 vivir en un cultivo, hasta un tiempo B horas; determine: a) El valor de B b) La probabilidad de que viva más de 4 horas c) ¿Cuánto tiempo se espera que viva esta bacteria?  R: B = 7,99 La edad de los alumnos que ingresan a una universidad se distribuye mediante la función de probabilidad f(x) = 0,3  –   0,01x, siendo x la variable aleatoria edad en años y está comprendido entre 15 y 25 años; determine: a) Promedio de edad de los alumnos ingresantes

 

121

 b) Probabilidad de que ingresen alumnos entre los 17 y 19 años.  R: a) 19,17años

b) 24%

Si f(x) = 0,5 + 0,3x2 para 5 x 5,123, denota la función de ganancia para una apuesta de juegos al azar, expresada en cientos de  Nuevos Soles, encuentre lo que se espera ganar.  R: 5,096  5.35 Los sueldos de los empleados de la administración pública se distribuyen mediante una función triangular, cuya base se encuentra entre los 440 y 2200 Nuevos Soles por mes, estando la mayoría de ellos considerados en la escala de los peores pagados. Determine: a) Función de probabilidad de estos sueldos b) Promedio mensual de sueldos c) La probabilidad de que un empleado gane más de 5.34

S/ 1500 por mes.  R: f(x) = 5.36

Si f(x) =

0,6 x

2500

x

2121800

; prom = S/1126,67 

denota una función de probabilidad para

2 x 5,78 valores de x definidos en: 4, 5, 6, 7, 8; construya la tabla de  probabilidades y encuentre su valor esperado. R: 6,11 5.37 Si f(x) = 0,15x + 0,05 para 0 x < 2 y f(x) = 0,526  –  0,088x para 2 x 4,5 define una función de probabilidad, construya su respectiva curva y determine su valor esperado. 5.38 Las utilidades, hasta por un máximo de $ 5 (miles de US $), por concepto de ventas de PC de una empresa dedicada a la comercialización de estos productos sigue una función de  probabilidad f(x) = 0,05 + ax2; determine el valor de a y calcule la  probabilidad de que gane más de $ 2,3 mil en un mes.  R: a  = 0,018 , 31,24%

5.39

Sí f(t) = 0,03 para 10 t < 20 y f(t) = 0,05 para 20 t 34, construya la curva de la función y halle su media y su desviación estándar. 5.40 La probabilidad de llegada de clientes a una estación de servicio sigue una distribución triangular, creciente entre los 5 y 65 clientes  por la mañana, y decreciente entre los 65 y 160 por la tarde. Encuentre la probabilidad de que lleguen menos de 15 clientes en la mañana, así como el promedio esperado de llegada de clientes durante el día.

 

122

5.41

La estatura de la población de una determinada ciudad, sigue una función de probabilidad definida por f(x) = 2x + 1 donde x es la variable aleatoria altura expresada en metros, definido en el intervalo: A x 2,05; encuentre: a) A b) La probabilidad de encontrar adultos que miden entre 1,95 y 1,98 metros c) Si se toma una muestra de 500 habitantes adultos, ¿cuántos se esperan que midan entre 1,91 y 1,94 metros?  R: a) 1,8457  1 5.42 Si f(x) =  para a < x < b, encuentre E(x2). b a ax 5.43 Demostrar que f(x) =  es una función de probabilidad definido  x 1 en 0 x 20 y determine el valor de a.  R: 0,05898 5.44 Un negocio vende computadoras personales semanalmente entre 15 y 31 unidades; el comportamiento probabilística de estas ventas sigue una tendencia lineal creciente hasta las 24 unidades, y decreciente a partir de esta cantidad. Encuentre su función de  probabilidad y determine el promedio de ventas de las  x 15 computadoras, así como su desviación estándar.  R: f(x) = 72 31 x  para x

[15, 24> y f(x) =

56

  para x

[24,31]; promedio esperado

de ventas = 23,3 unidades por semanas

5.45

Según un estudio desarrollado por una consultora en marketing, la función de probabilidad de consumo de cerveza por persona en una localidad de la selva peruana, se distribuye uniformemente entre cinco y cuarenta y cinco litros por año, encuentre: a) El consumo  promedio de la población b) Su desviación estándar c) Probabilidad de que un poblador consuma entre veinte y veinticinco litros de cerveza por año d) Probabilidad de que un  poblador consuma menos de quince litros de cerveza por año. 5.46 La probabilidad de que un guía turístico pueda recibir como propina  por conducir y orientar a los turistas en un museo, sigue la a ,  siendo x  la cantidad de dinero $ US que distribución f(x) =  x

 

5.47

5.48 5.49

5.50

5.51

123

 pueda recibir por tour. Determine el valor de a si éste puede recibir entre $1 y $10 como propina. R: 0,4343 Una estación de grifo tanquea diariamente entre quince y treinta galones de petróleo diesel 2 a los vehículos inter provinciales que se acercan a este; la distribución de ventas de este combustible es creciente y de forma trapezoidal, siendo una de sus alturas igual a 0,0054; encuentre: a) La función de probabilidad de ventas de este combustible b) La probabilidad de vender más de 25 galones a un vehículo que se acerca a esta estación c) La probabilidad de vender menos de 20 galones d) Promedio esperado de ventas por vehículo. 0,4 x  A Demuestre que el valor esperado de f(x) = es 7,256; si  x 1 este es una función de probabilidad en x = 5, 6, …, 10. Un centro educativo recibe semestralmente nuevos postulantes. Según registros históricos se ha podido percibir que la afluencia del número de postulantes, se aproxima a un triángulo isósceles, cuya  base está conformado entre 600 y 2 500 postulantes. Encuentre la función de probabilidad de llegada de postulantes a este centro educativo y determine la probabilidad de que en un semestre cualquiera, postulen menos de 2 200 postulantes. Un virus informático, recientemente creado, puede infectar un sistema de redes hasta las cinco horas antes de ser detectado y eliminado; si la función de probabilidad de vida de este virus se  Ax define por f(x) = , siendo x la variable aleatoria horas de vida  x 1 del virus y A una constante; determine: a) La probabilidad de que el virus “viva” más de tres horas b) Promedio d e vida del virus dentro 21,79% 2,90 horas de la red.  R: A = 0,312 Por experiencias previas se sabe que cada comensal que asiste a un restaurante cinco tenedores puede gastar entre US $ 15 y $ 50  por servicio, comportamiento descrito mediante la función de  probabilidad f(x) = 0,076  –   0,00146x, donde x denota el gasto en $  por servicio, determine: a) La probabilidad de que gaste menos de $ 25 por servicio b) La probabilidad de que gaste más de $ 18 c) Promedio esperado de gasto por servicio así como su desviación estándar.