GUIA EJERCICIOS N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios Título Actividad: Nombre Asignatura: Semana Nº:

Aplicaciones de Progresión Geométrica Álgebra

Sigla

14

Actividad Nº

12

MAT200

Lugar

Sala de clases

APRENDIZAJES ESPERADOS: Aprendizaje 1

Resolver problemas de fenómenos modelados con progresiones geométricas en contextos de educación superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA RECUERDA: a) El primer término de la progresión es a1.

b) La razón R, se puede obtener de la siguiente manera:

,o

,o

c) El término de lugar n es:

d) La suma de los

n

……, etc.

an  a  R n1 1





a1  R  1 primeros términos es: S n  ; R  1. n

( R  1)

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 1

EJEMPLO 1 Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, estaba muy deprimido por haber perdido a su hijo en una batalla. Un sabio de su corte llamado Sissa Ben Dahir le llevó el juego del ajedrez para animarlo y le enseñó a jugar. El rey Shirham, quedó tan impresionado con el juego que se ofreció a regarle a su inventor lo que pidiera como recompensa. Así, el inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad anterior hasta llegar a la última. a) Determine la cantidad de granos que se debieran colocar en la casilla 10. b) ¿Cuál será la cantidad total de granos que debió recibir el sabio Sissa Ben Dahir? DESARROLLO El primer término de la progresión a1, corresponde a la cantidad de granos de trigo que se deben colocar en la casilla 1 del ajedrez, y la razón R, corresponde al valor por la cual se debe ir multiplicando la cantidad de granos de trigo de la casilla anterior. a1 = 1

R=2

a) Determinar la cantidad de granos de trigo que se deben colocar en la casilla 10, corresponde a calcular el décimo término de la progresión (a10).

an  a1  R n1

a10  a1  R 9 a10  1 2 9

a10  512 Respuesta: En la casilla 10 del tablero de ajedrez, se deben colocar 512 granos de trigo. b) Determinar la cantidad total de granos que debió recibir el sabio, corresponde a calcular la suma de todos los términos de la progresión, es decir la suma de los primeros 64 términos de la progresión (S64), ya que el tablero de Ajedrez tiene 64 casillas.

Sn 

a1 ( R n  1) R 1

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 2

S 64  S 64

a1 ( R 64  1) R 1

1  (2 64  1)  2 1

S 64  1,844674407  1019 Respuesta: El sabio debió recibir un total de

1,844674407 1019 granos de trigo.

Ejemplo 2 En un laboratorio de inmunología se tiene un cultivo de células, donde la población inicial es de 2 células. Este cultivo se comporta de tal manera que la población se triplica cada hora. Determine: a) ¿Cuál será la población de células al cabo de 4 horas? b) ¿Cuál será la población de células al cabo de 2 días? DESARROLLO El primer término de la progresión a1, corresponde a la población inicial de células del cultivo, y la razón R, corresponde al valor por la cual se debe ir multiplicando la cantidad de células de la hora anterior. a1 = 2

R=3

a) Determinar la población de células al cabo de 4 horas, corresponde a calcular el quinto término de la progresión, ya que el segundo término corresponde a la población de células al cabo de una hora.

an  a1  R n1 a5  a1  R 4

a5  2  3 4

Þ a5 =162

Respuesta: Al cabo de 4 horas la población de células será de 162. b) Determinar la población de células al cabo de 2 días (48 horas), corresponde a calcular el término de posición 49 de la progresión.

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 3

an = a1 × Rn-1 a49  a1  R 48 a49  2  348  a  1,595328862  10

23

49

Respuesta: Al cabo de 2 días la población de células será de

I.

1,595328862 1023 .

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

1. La tasa de crecimiento de una población es del 2% anual. Si la población actual es de 600.000 habitantes, determine: a) ¿Cuántos habitantes aprox. tendrá dentro de doce años? b) ¿Cuántos habitantes aprox. tendrá dentro de veinte años? 2. Diego, decide ahorrar dinero durante un año y medio. Si el primer mes ahorra $1.000, el segundo mes $2.000, el tercer mes $4.000, determine: a) ¿Cuánto dinero ahorra el décimo mes? b) ¿Cuál es el ahorro total que tendrá Diego? 3. Víctor trabaja en una empresa eléctrica durante ocho horas diarias. Su trabajo consiste en solucionar problemas eléctricos de diferentes hogares chilenos. Si en la primera hora de trabajo se registraron 4 solicitudes, y las solicitudes registradas durante un día se cuadruplican cada hora, determine: a) ¿Cuántas solicitudes se registran en la quinta hora de jornada laboral? b) ¿Cuántas solicitudes registró Víctor en su día de trabajo?

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 4

II.

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

4. Una población de moscas, aumenta cada día a una razón constante. Se sabe que el séptimo día la población es de 3.200 moscas y el décimo día 25.600 moscas. Determine la población de moscas al cuarto día. 5. La altura de un árbol de rápido crecimiento aumenta cada año a una razón constante. Si en el segundo año tiene una altura de 1,125 metros y el quinto año mide exactamente 3,796875 metros. ¿Cuántos metros de altura aproximadamente, tendrá el árbol al noveno año? (aproxime el resultado). 6. Héctor, padre de Matías, decidió ahorrar dinero desde el primer cumpleaños de su hijo. Si el primer año ahorró $100, el segundo año $210, el tercer año $441 y así durante los demás cumpleaños. ¿Cuánto dinero en total tendrá guardado Héctor al otro día del cumpleaños número 18 de Matías? ( Aproxime su resultado a un número entero)

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ANEXO DE EJERCICIOS GUIA N°12 APLICACIONES PROGRESION GEOMETRICA

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Con los siguientes ejercicios de aplicaciones de la progresión geométrica,

podrás

seguir

practicando,

para

abordar

los

aprendizajes esperados de la Guía, relacionados al cálculo de términos de una progresión o sumas de una progresión geométrica en ejercicios aplicados.

III.

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

7. En un estudio realizado a una empresa, se observó que debido a un gran virus, el primer día se infectaron cuatro computadores, el segundo día seis computadores, el tercer día nueve computadores. Si el virus se sigue propagando de igual forma, determine: a) ¿Cuál es la cantidad aproximada de computadores infectados el vigésimo día? b) ¿Cuál es aproximadamente el total de computadores infectados los 20 primeros días? 8. Tamara deposita $1.500.000 en una cuenta de ahorro en el Banco Vida Segura, a una tasa de interés del 1,2% mensual. Determine: a) Al cabo de dos años, ¿cuál es el monto aproximado que se acumuló? b) Al cabo de tres años, ¿cuál es el monto aproximado que se acumuló? 9. Joaquín compró en una automotora un auto cero kilómetro marca Toyota Yaris a un precio de $6.500.000. Sabiendo que al final de cada año de uso, sufrirá una depreciación del 10% del valor que tenía al principio de ese año, determine: a) ¿Cuál será el valor del auto al cabo de 3 años? b) ¿Cuál será el valor del auto al cabo de 5 años?

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 7

IV.

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. 10. Una empresa constructora tomó la decisión de comprar una nueva máquina excavadora. Se calcula que al final de cada año sufrirá una depreciación porcentual con respecto al valor del principio del año. Si el valor de la máquina, al cabo de 4 años es de $52.488.000 y al cabo de 7 años es de $38.263.752. Determine el valor de la excavadora al final de 12 años. (Aproxime su resultado a un número entero). 11. Para construir un complejo turístico, una empresa compra un terreno de 100 hectáreas, las que se pagarán en 15 abonos bajo una progresión geométrica. Se sabe que el décimo primer abono es de $6.246.400 y el décimo cuarto abono es de $49.971.200. Determine el valor del terreno. 12. Una empresa de publicidad ofrece para un puesto de trabajo un salario inicial, y un aumento anual en un porcentaje constante. Javier se presenta a la entrevista y el encargado del departamento de recursos humanos le explica que en el segundo año de trabajo su sueldo será de $463.050 y que en el cuarto año de trabajo será de $510.512,625. Determine el salario aproximado que Javier recibiría en el décimo año de trabajo en la empresa.

AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 8

LISTA DE COTEJO GUÍA N°12: APLICACIONES DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA A continuación se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder completar todos los pasos del desarrollo de un ejercicio. Esta lista, te permitirá revisar si lo que estás generando como desarrollo tiene todos los pasos que serán considerados en la evaluación:

Calcula el n-ésimo término de una Progresión Geométrica:  Identifica de la PG los valores asociados a “a1” y “R”.  Reemplaza en la fórmula del n-ésimo término los datos de la PG.  Obtén el valor del n-ésimo término.  Interpreta el valor del n-ésimo término de la progresión geométrica.  Redacta una respuesta escrita, que permite identificar a que corresponde el valor obtenido de la PG.

Calcula el lugar de una Progresión Geométrica dado el término:  Identifica del enunciado los datos relevantes.  Reemplaza en la fórmula del término de la progresión geométrica los datos obtenidos del enunciado.  Despeja la potencia que contiene a la incógnita.  Resuelve la ecuación logarítmica.  Obtén el valor de n.  Interpreta el valor de n de la progresión geométrica en el contexto del problema dado.

Calcula

la

suma

de

los

n-ésimos

primeros

términos

de

una

Progresión Geométrica:  Identifica los datos necesarios “a1” y “R” del enunciado.  Identifica el valor de “n”. AGOSTO 2015 / Programa de Matemática. 9

 Reemplaza los valores en la fórmula de la suma de los “n” primeros términos de la progresión geométrica.  Interpreta el valor de la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica.  Redacta una respuesta escrita.

Calcula un término de una PG, teniendo información de otros términos de la misma progresión:  Identifica información en el enunciado de la progresión geométrica.  Reemplaza los datos obtenidos en sus respectivas fórmulas de la progresión geométrica.  Despeja de ambas expresiones el término “a1”.  Iguala las expresiones despejadas.  Calcula el valor de “r”.  Identifica el primer término y la razón de la progresión geométrica.  Calcula el valor numérico del término pedido.  Interpreta el valor del término de la progresión geométrica en el contexto del ejercicio en el contexto del problema dado.  Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la progresión geométrica en el contexto del ejercicio.

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SOLUCIONES 1.

a) Dentro de 12 años tendrá 760.945 habitantes. b) Dentro de 20 años tendrá 891.568 habitantes.

2.

a) El décimo mes ahorra $512.000. b) El ahorro total de Diego será de $262.143.000.

3.

a) Víctor en la quinta hora recibe 1.024 solicitudes. b) Víctor recibe en el día 87.380 solicitudes.

4.

La población de moscas al cuarto día será de 400 moscas.

5.

Al noveno año el árbol tendrá una altura aproximada de 19,22 metros.

6.

En 18 años tendrá ahorrado aproximadamente $57.352.708.

7.

a) El vigésimo día se infectaron aproximadamente 8.867 computadores. b) En los veinte días habrá aproximadamente 26.594 computadores infectados.

8.

a) Al cabo de dos años se acumuló aproximadamente $1.997.209. b) Al cabo de tres años se acumuló aproximadamente $2.304.569.

9.

a) Al cabo de 3 años el valor del auto será $4.738.500. b) Al cabo de 5 años el valor del auto será $3.838.185.

10. Al final del año 12 la excavadora tendrá un valor de $22.594.363. 11. El valor del terreno es de $199.878.700. 12. Al llevar 10 años en la empresa, recibirá el décimo año de trabajo un sueldo de $684.136.

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