Guia Do Professor_PI6ano

TYUIOÇ

Índice 1. Grelhas de apoio ................................................................................................. 5 2. Propostas de resolução – Manual ................................................................ 19 3. Propostas de resolução – Caderno de atividades ................................... 75

1

Projeto PI

1

1

GRELHAS DE APOIO

Estas grelhas estão disponíveis em formato editável em

6

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ TPC ____.o

Período Data

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ TRABALHO DE GRUPO ____.o Período ATIVIDADE: ____________________

GRUPO I

GRUPO II

Parâmetros a avaliar Comportamento Organização Empenho Iniciativa Originalidade Cumprimento de prazos Qualidade do trabalho realizado Cooperação/distribuição de tarefas

AVALIAÇÃO

GRUPO III

GRUPO I

GRUPO II

GRUPO IV

GRUPO III

GRUPO VI

GRUPO V

GRUPO IV

GRUPO V

GRUPO VI

7

8

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ COMPORTAMENTO ____.o

Período Data

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ MATERIAL ____.o

Período Data

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

9

10

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ RELATÓRIO ____.o

Período PROPOSTO EM: ____/____/____ Entregou

o

N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

SIM

NÃO

AVALIAÇÃO QUALITATIVA

OBSERVAÇÕES

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

REGISTO DE OBSERVAÇÃO DIRETA – MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ FICHA DE AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA N.o ____ ____.o Período QUESTÃO COTAÇÃO N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Total

11

12

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação – NOVEMBRO

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação

PLANO de ______________

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação – 1.o PERÍODO

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação novembro

PLANO de ______________

desde ______________

Nível

13

14

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação – CARNAVAL

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação novembro

1.o Período

PLANO de ______________

desde ______________

Avaliação Carnaval

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação – 2.o PERÍODO

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação novembro

1.o Período

Avaliação Carnaval

PLANO de ____________

desde ____________

Nível

15

16

Matemática 6 | Guia do Professor

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação – 3.o PERÍODO

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação novembro

1.o Período

Avaliação Carnaval

2 .o Período

PLANO de ___________

desde ___________

Nível

Grelhas de Apoio

Escola: ______________________________________

Ano Letivo ____/____

MATEMÁTICA TURMA: 6.o ____ Avaliação

N.o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NOME

Avaliação novembro

1.o Período

Avaliação Carnaval

2 .o Período

3.o Período

17

2

2

2

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Manual

As resoluções assinaladas com

encontram-se

disponíveis em formato projetável, em bem como as resoluções dos Testar

20

Matemática 6 | Guia do Professor

Volume 1 UNIDADE 1 Figuras no plano

1.3. P = 12 + 13 + 5 = 30 Logo, P = 30 cm. b¥h A= 2

APLICAR – pág. 9

A = 5 ¥ 12 = 60 = 30 2 2 Logo, A = 30 cm2.

1. 1.1. Por exemplo, [AO]. 1.2. [BD] 1.3. Por exemplo, [BD] e [CD].

2.

2. 2.1. Corda. 2.2. Corda (diâmetro). 2.3. Raio.

(24 – 2 ¥ 5) : 2 = = (24 – 10) : 2 = = 14 : 2 = =7

3.

(120 – 2 ¥ 35) : 2 = = (120 – 70) : 2 = = 50 : 2 = = 25 Logo, A = 35 ¥ 25 = 875. Assim, A = 875 m2.

3.

Por exemplo,

O

4.

4.

Um dos pedidos do professor consistia na construção de um diâmetro (uma corda que passa no centro da circunferência). Contudo, a Inês não o construiu. Assim, a construção que não respeitou o pedido do professor foi a da Inês.

5.

(21 ¥ 3) + (7 ¥ 6) + 10 = 115 R.: 115 cm

A˚ = 6 ¥ 6 = 32 = 18 2 2 Logo, A˚ = 18 m2. 5 90 ¥ 18 = = 15 6 6 R.: O Sr. Costa pretende pavimentar 15 m2. 5.

P = 4 ¥ 8 = 32 Como os polígonos têm o mesmo perímetro, P = 32 cm. Assim, 32 = l ¥ 5. Logo, a medida do comprimento do lado do pentágono é 6,4 cm (32 : 5 = 6,4).

6.

Como a base e a altura do triângulo são iguais, respetivamente, à base e à altura do quadrado, então a área do triângulo é metade da área do quadrado. Assim, A˚ = 50 : 2 = 25, ou seja, A˚ = 25 cm2.

APLICAR – pág. 11 1. 1.1. P = 2 ¥ 3 + 2 ¥ 5 = 6 + 10 = 16 Ou P = 3 + 5 + 3 + 5 = 16 Logo, P = 16 cm. A=c¥l A = 5 ¥ 3 = 15 Logo, A = 15 cm2. 1.2. P = 2 ¥ 3 + 2 ¥ 4 = 6 + 8 = 14 Logo, P = 14 cm. A=b¥h A=4¥2=8 Logo, A = 8 cm2.

A˚ = b ¥ h 2

APLICAR – págs. 26 e 27 2.

Os ângulos representados nas figuras A e D, pois têm o vértice no centro da circunferência.

3.

Os polígonos representados nas figuras B e D, pois todos os seus vértices são pontos da circunferência.

Propostas de Resolução – Manual

4. 4.1. A = P ¥ ap 2 P = 5 ¥ 4,4 = 22 Logo, A = 22 ¥ 3 = 2 = 11 ¥ 3 = = 33 Logo, A = 33 cm2. 4.2. A = P ¥ ap 2 P = 6 ¥ 6 = 36 Logo, A = 36 ¥ 5,2 = 2 = 18 ¥ 5,2 = = 93,6 Logo, A = 93,6 cm2. 4.3. A = P ¥ ap 2 168 A= ¥ 24,9 = 2 = 84 ¥ 24,9 = = 2091,6 Logo, A = 2091,6 cm2. 5.

6.

P = 5 ¥ 3 = 15 A = P ¥ ap 2 Como a medida do comprimento do apótema do polígono é igual à medida do comprimento do raio da circunferência, A = 15 ¥ 2,06 = 2 = 7,5 ¥ 2,06 = = 15,45 Logo, A = 15,45 cm2. A = P ¥ ap 2 Assim, 6,88 = 20 ¥ ap, ou seja, 6,88 = 10 ¥ ap. 2 6,88 Logo, ap = = 0,688 cm 10

7.

Como o polígono [ABCDEF] é regular, A–B = B–C = C–D = = D–E = E–F = F–A. Por outro lado, O–A = O–B = O–C = O–D = = O–E = O–F, pois os segmentos correspondentes são raios da mesma circunferência. Assim, os triângulos em que o polígono [ABCDEF] ficou decomposto são isósceles e geometricamente iguais (critério LLL da igualdade de triângulos). Em particular, os ângulos ao centro que cada um desses triângulos definem são geometricamente iguais. Desta forma, a amplih 360º h tude de cada um deles é 60º i = 60ºi . j 6 j Como tal, a amplitude de cada um dos restantes ângulos internos de cada triângulo isósceles é dada por 180º – 60º = 60º. 2 Logo, os três ângulos internos de qualquer um dos triângulos isósceles em que o polígono ficou dividido têm 60º de amplitude. Desta forma, os triângulos são equiláteros, pois a ângulos de igual amplitude opõem-se lados de igual comprimento.

8. 8.1. ᐉ = 2 ¥ ap 8.2. Aquadrado =

1 P ¥ ap = 4ᐉ ¥ ᐉ = ᐉ ¥ ᐉ 2 2 2

APLICAR – págs. 30 e 31 2.

A = p ¥ 52 ≈ 3,14 ¥ 25 = 78,5. Logo, AO = 78,5 cm2.

3. 3.1. AΟ = pr2 AΟ = p ¥ 42 = 16p ≈ 3,1416 ¥ 16 = 50,2656 Logo, AΟ = 16p cm2 ≈ 50,27 cm2 PΟ = 2pr PΟ = 2p ¥ 4 = 8p ≈ 8 ¥ 3,1416 = 25,1328 Logo, PΟ = 25,1328 cm. 16 3.2. r = =8 2 AΟ = pr2 AΟ = p ¥ 82 ≈ 3,1416 ¥ 64 = 201,0624 Logo, AΟ = 201,0624 cm2. PΟ = p ¥ d PΟ = p ¥ 16 ≈ 3,1416 ¥ 16 = 50,2656 Logo, PΟ = 50,2656 cm.

21

22

Matemática 6 | Guia do Professor

4. 4.1. PΟ = p ¥ d PΟ = 3,1416 ¥ 3 = 9,4248 PFigura = 9,4248 + 6 = 15,4248 Logo, PFigura = 15,4248 cm. AΟ = p ¥ r2 AΟ = 3,1416 ¥ 1,52 = 7,0686 Logo, AFigura = 7,0686 cm2. 4.2. P = p ¥ d 2 3,1416 ¥ 4 = 12,5664 = 6,2832 P = 2 2 PFigura = 6,2832 + 3 ¥ 4 = 6,2832 + 12 = 18,2832 Logo, PFigura = 18,2832 cm. p ¥ r2 A = 2 3,1416 ¥ 22 12,5664 A = = = 6,2832 2 2 A=l¥l A = 4 ¥ 4 = 16 AFigura = 6,2832 + 16 = 22,2832 Logo, AFigura = 22,2832 cm2. 4.3. P = p ¥ d 2 3,1416 ¥ 6 18,8496 P = = = 9,4248 2 2 PFigura = 9,4248 + 3 ¥ 6 = 9,4248 + 18 = 27,4248 Logo, PFigura = 27,4248 cm. p ¥ r2 A = 2 3,1416 ¥ 32 28,2744 A = = = 14,1372 2 2 A=l¥l A = 6 ¥ 6 = 36 AFigura = 36 – 14,1372 = 21,8628 Logo, AFigura = 21,8628 cm2. 5.

r = 12 = 6 2 AΟ = p ¥ r2 AΟ = 3,1416 ¥ 62 = 113,0976 cm2 Afuro = 3,1416 ¥ 12 = 3,1416 cm2 Asuperfície do CD = 113,0976 – 3,1416 = 109,956 cm2

6. 6.1. Atriângulo = b ¥ h 2 Ahexágono = 6 ¥ Atriângulo 2 ¥ 1,7 A[LOK] = = 1,7 cm2 2 Logo, A[GHIJKL] = 6 ¥ 1,7 = 10,2 A[GHIJKL] = 10,2 cm2

b¥h 2 Ahexágono = 6 ¥ Atriângulo 2,3 ¥ 2 A[DOC] = = 2,3 2 Assim, A[ABCDEF] = 6 ¥ 2,3 = 13,8. Logo, A[ABCDEF] = 13,8 cm2. 6.3. A área do círculo está compreendida entre a área do hexágono inscrito na circunferência e a área do hexágono circunscrito à circunferência. Assim, a área do círculo está compreendida entre 10,2 cm2 e 13,8 cm2. 6.4. AΟ = p ¥ r2 AΟ = 3,1416 ¥ 22 = 3,1416 ¥ 4 = 12,5664 cm2 A área obtida está compreendida entre 10,42 cm2 e 13,8 cm2. 10,42 cm2 < 12,5664 cm2 < 13,8 cm2 6.2. Atriângulo =

7. 7.1. Para saber quantas voltas deu a roda da bicicleta da Rute, divide-se a distância percorrida pelo perímetro da roda. PO = 2 ¥ p ¥ 25 ≈ 2 ¥ 3,14 ¥ 25 = 157 157 cm = 1,57 m Assim, para determinar o número de voltas, basta 785 fazer = 500. 1,57 R.: A roda da bicicleta da Rute deu 500 voltas. 7.2. Para calcular a distância percorrida multiplica-se o perímetro da roda pelo número de voltas dadas: 1,57 ¥ 1250 = 1962,5 Reduzindo a quilómetros: 1965,5 m = 1,9625 km. R.: A Rute percorreu 1,9625 km. 7.3. O raio da roda da bicicleta da Bárbara é menor do que o raio da roda da bicicleta da Rute. Assim, tem um perímetro menor, pelo que tem de dar mais voltas para percorrer a mesma distância. 8.

Começa-se por calcular o comprimento do lado do quadrado: 32 cm : 4 = 8 cm 8.1. Para calcular o perímetro da figura é necessário calcular o perímetro de dois círculos, um com 8 cm de diâmetro e outro com 4 cm de diâmetro. PO = p ¥ d PO = p ¥ 8 ≈ 3,14 ¥ 8 = 25,12 PO = p ¥ 4 ≈ 3,14 ¥ 4 = 12,56 P = 25,12 + 12,56 + 12,56 = 50,24 Logo, P = 50,24 cm.

Propostas de Resolução – Manual

8.2. Para calcular a área da parte colorida é necessário calcular a área do quadrado, adicionar a área de um círculo com 4 cm de raio e subtrair a área de dois círculos com 2 cm de raio. An = ᐉ ¥ ᐉ An = 8 ¥ 8 = 64 Al = pr2 Al = p ¥ 42 ≈ 3,14 ¥ 16 = 50,24 Al = p ¥ 22 ≈ 3,14 ¥ 4 = 12,56 AT = (64 + 50,24) – (12,56 + 12,56) = = 114,24 – 25,12 = 89,12 Logo, a área da parte colorida é 89,12 cm2.

6. 6.1.

6.2.

r

D’

6.3.

4 3 2 1

D’

A’

–5 –4A–3 –2 –1 O 1 2 3 4 A’ 5 x –1 D B’ B D’ –2 –3 –4 C C’

E C’

D

r

4.2. C E’

7. 7.1.

C’ A’

E

D

C’

B’ D’ A = A’

5. 5.1.

D = D’

B

C C’

7.2. A

6 cm

x

y

C E’

B’

4 3 2 1

A’ –5 –4A–3 –2 –1 O 1 2 3 4 –1 D B –2 –3 –4 C

[A], [B] e [D]

4. 4.1.

D’

y C’

B’

3. 3.1. Utilizando o eixo das abcissas como eixo de reflexão, a imagem do triângulo [EFD] é o triângulo [GHI]. 3.2. E Æ J; D Æ K; F Æ L

C’

A’ A’ –5 –4A–3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 –1 D B –2 –3 –4 C

APLICAR – págs. 36 e 37 2.

y 4 3 2 1

A

D D’

B B’

C

B

5.2. O ponto C encontra-se à mesma distância dos pontos A e B.

A’

x

23

24

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APLICAR – págs. 40 e 41 1. 1.1. Meia volta em torno de O – centro de rotação. 4. 4.1. Todos os pontos da imagem 2 resultaram da rotação de centro O e amplitude de 90º de sentido positivo da imagem 1, e o ponto F é imagem do ponto B. Então, o ângulo BOF tem 90º de amplitude. 4.2. A imagem 2 foi obtida da imagem 1 através de uma rotação. Como a rotação é uma isometria, foram preservadas a forma e as dimensões da figura 1. Logo, a área da imagem 2 é 5,5708 cm2. 5. 5.1. Como a rotação é uma isometria, foram preservados o comprimento das semirretas e a amplitude do ângulo original. Logo, a amplitude do ângulo A’B’C’ é também 50º. 5.2. C B X

α = 50º

β = 120º

A

B’

7. 7.1. 360º : 24 = 15º 7.2. Quando cada cadeira avança uma posição, a amplitude do ângulo de rotação é 30º. Logo, a cadeira do Rui avançou quatro posições, tendo ocupado a posih h ção inicialmente ocupada pela cadeira 2 i120º = 4i . j 30º j 7.3. Como a cadeira foi ocupar a posição da cadeira 6, percorreu oito posições. Assim, 8 ¥ 30º = 240º. 7.4. d = 2 ¥ 10 = 20 PO = p ¥ d Proda ≈ 3,1416 ¥ 20 = 62,832 62,832 : 12 = 5,236 5,236 ¥ 5 = 26,18 R.: A cadeira do Rui percorreu 26,18 m.

APLICAR – págs. 44 e 45 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Simetria rotacional. Simetria rotacional. Simetria axial e rotacional. Simetria axial.

3. 3.1.

A’ C’

3.2. 6. 6.1. O triângulo [A’B’C’] resultou de uma rotação do triângulo [ABC] como a rotação preserva o comprimento dos segmentos de reta e a amplitude dos ângulos da figura original, a área do triângulo [ABC] é igual à do triângulo [A’B’C’]. Atriângulo = b × h 2 1 × 2 = 1 cm2 A[A’B’C’] = 2 6.2. C 1cm A’ A

B 120º R

C’

B’

A amplitude do ângulo que define a rotação é 120º.

3.3.

3.4.

4.

H Rotação de 180° e rotação de 360°. + Rotação de 90°, rotação de 180°, rotação de 270° e rotação de 360°. × Rotação de 90°, rotação de 180°, rotação de 270° e rotação de 360°. % Rotação de 180° e rotação de 360°.

Propostas de Resolução – Manual

5.

6.

A. A reta r é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo esse mesmo eixo, observa-se que a figura transformada coincide, ponto por ponto, com a figura original. B. A reta s é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo esse mesmo eixo, observa-se que a figura transformada coincide, ponto por ponto, com a figura original. Tal não se verifica aquando da reflexão da figura segundo a reta t. Assim, a reta t não é um eixo de simetria. C. A reta u não é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo a reta u, observa-se que a figura transformada não coincide, ponto por ponto, com a figura original. A afirmação é verdadeira. Qualquer reta que se trace, que passe pelo centro do círculo, divide-o em dois semicírculos geometricamente iguais.

7. 7.1.

8.2. O símbolo da equipa do Henrique tem simetria axial.

B

9. 9.1. Sabe-se que VE– = VF– e [VG] é comum a os dois triângulos. Por outro lado, a reta VG é a bissetriz do ângulo FVE, pelo que FVˆG = GVˆE. Assim, pelo critério LAL de igualdade de triângulos, [EVG] e [FVG] são geometricamente iguais. 9.2. Como [EVG] e [FVG] são triângulos geometricamente iguais, os lados correspondentes desses triângulos – – também . o são. Logo, EF = GF. 9.3. Como VG é a bissetriz do ângulo FVE, a reta VG é um eixo de simetria da figura. Assim, como V–E = V–F, EF é perpendicular a VG. 9.4. EF é perpendicular a VG e E–F = G–F. Logo, o ponto E é a imagem de F pela reflexão de eixo VG.

PRATICAR – págs. 46 a 51 1.

Uma isometria é uma transformação geométrica que não altera a forma nem a dimensão da figura. Assim, as transformações que preservam estas propriedades são as representadas nas alíneas 1.1., 1.3. e 1.4.. 1.1. Isometria de rotação.

7.2.

8. 8.1.

B

• Rotação de 90° • Rotação de 180° • Rotação de 270° • Rotação de 360°

1.2. Não é isometria. 1.3. Isometria de reflexão.

1.4 Isometria de translação.

25

26

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2.

A

B

C

D

E

F

3. 3.1. A reta r não é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo a reta r, observa-se que a figura transformada não coincide, ponto por ponto, com a figura original. 3.2. A reta s é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo esse mesmo eixo, observa-se que a figura transformada coincide, ponto por ponto, com a figura original. 3.3. A reta t não é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo a reta t, observa-se que a figura transformada não coincide, ponto por ponto, com a figura original. 3.4. A reta u é um eixo de simetria. De facto, se considerarmos a reflexão da figura segundo esse mesmo eixo, observa-se que a figura transformada coincide, ponto por ponto, com a figura original. 4. 4.1. P = 9 ¥ 3 = 27 Logo, P = 27 cm. 4.2. PO = p ¥ d 27 = 3,1416 ¥ d d = 27 : 3,1416 ≈ 8,59 r=d:2 r = 8,59 : 2 = 4,30 Logo, r = 4,30 cm. 4.3. A = P ¥ ap 2 27 A= ¥ 4,12 = 2 = 13,5 ¥ 4,12 = = 55,62 Logo, A = 55,62 cm2. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Ponto H. Segmento de reta [IG]. Triângulo [FGH]. Ponto B.

6. 6.1. a) F b) H c) H 6.2. Tem quatro simetrias de rotação. Simetria de rotação de centro O e amplitude 90º; simetria de rotação de centro O e amplitude 180º; simetria de rotação de centro O e amplitude 270º; simetria de rotação de centro O e amplitude 360º. 7.

8. 8.1.

C’

B’

A

D

A’

B C

8.2. Como a reflexão central de centro num determinado ponto (neste caso D) é uma isometria, os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são geometricamente iguais. 9. 9.1. Como o perímetro do polígono é aproximadamente igual ao perímetro do círculo, temos: p ¥ 2r Área do polígono = ¥r 2 Área do polígono = p ¥ r2 9.2. a) É uma melhor aproximação do polígono de 32 lados, pois quanto maior é o número de lados de um polígono inscrito numa circunferência, maior é a aproximação da sua área à área do círculo. b) São melhores aproximações as do polígono de 32 lados, pois quanto maior é o número de lados de um polígono inscrito numa circunferência, maior é a aproximação do seu perímetro ao perímetro do círculo, o mesmo acontecendo com o raio do círculo e a apótema do polígono. 9.3. Área do círculo = p ¥ r2

Propostas de Resolução – Manual

10. 10.1. Considere-se p ≈ 3,14. 5 r = = 2,5 2 AΟ = p ¥ r2 AΟ = p ¥ 2,52 = 6,25 p ≈ 3,14 ¥ 6,25 = 19,625 A– = c ¥ l A– = 4 ¥ 3 = 12 Asombreada = 6,25 p – 12 ≈ 19,625 – 12 = 7, 625 Logo, Asombreada = 67, 625 cm2. 10.2.Considere-se p ≈ 3,14. AΟ = p ¥ r2 Acírculo maior = p ¥ 42 = 16 p ≈ 3,14 ¥ 16 = 50,24 Acírculo menor = p ¥ 22 = 4 p ≈ 3,14 ¥ 4 = 12,56 Asombreada = 50,24 – 12,56 = 37,68 Asombreada = 37,68 cm2. 11. Como a área do quadrado é igual a 16 cm2, a medida do lado do quadrado é 4 cm. Sabe-se que o diâmetro do círculo é igual ao lado do quadrado. Assim, o raio do círculo tem 2 cm (4 : 2 = 2). AΟ = p ¥ r2 AΟ = p ¥ 22 = 4 p ≈ 3,14 ¥ 4 = 12,56 Asombreada = 16 – 12,56 = 3,44 Logo, Asombreada = 3,44 cm2.

13.3.

Polígono

Centro da simetria

Número de simetrias

A

centro do polígono

3

B

centro do polígono

4

C

centro do polígono

5

D

centro do polígono

6

13.4. A observação realizada sugere que um polígono regular com n lados tem n simetrias de rotação com centro no centro do polígono (o número de lados é igual ao número de simetrias de rotação). 14. 14.1. AΟ = p ¥ r2 AΟ = p ¥ 3,092 = 9,5481 p ≈ 3,14 ¥ 9,5481 = 29,98 cm2. A = P ¥ ap 2 7¥5 A= ¥ 3,09 = 2 = 17,5 ¥ 3,09 = = 54,07 Logo, A = 54,075 cm2. 54,075 – 29,98 = 24,095 Logo, Asombreada = 24,095 cm2. 15. 15.1. a)

b)

12.

15.2. 13. 13.1. Sim. O triângulo (equilátero) tem 3 eixos de simetria, o quadrado tem 4 eixos de simetria, o pentágono tem 5 eixos de simetria e o hexágono tem 6 eixos de simetria. A

B

C

D

13.2.A observação realizada sugere que um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria (o número de lados é igual ao número de eixos de simetria).

22 cm 16. D’ B’ C’ D C A = A’

B

27

28

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17. 17.1. A área do círculo é igual à área da figura porque o círculo foi cortado em 4 partes iguais, que foram utilizadas na construção da figura. 17.2. O perímetro da figura é maior do que o perímetro do círculo porque além do perímetro do círculo tem mais dois raios. 18. Perímetro da roda: PO = 2pr P = 2p ¥ 30 ≈ 2 ¥ 3,14 ¥ 30 = 188,4 188,4 cm = 1,884 m 15 km = 15000 m Cálculo do número de voltas: 15000 : 1,884 ≈ 7961,78 R.: Para percorrer 15 km a roda deu, aproximadamente, 7961 voltas. 19. H–G = A–B + B–C + C–D + D–E + E–F H–G = 2 + 3 + 4 + 1 + 2 = 12 F–G = 2 • Área AAHGP = 12 ¥ 2 = 24. Semicírculo de arco BC: 2 A = p ¥ 1,5 ≈ 3,14 ¥ 2,25 = 3,5325 2 2 Semicírculo de arco DE: 2 A = p ¥ 0,5 ≈ 3,14 ¥ 0,25 = 0,3925 2 2 ATotal = 24 + 3,5325 + 0,3925 = 27,925 Logo, a área total é 27,925 cm2. • Perímetro H–G = 12 H–A = G–F = 2 Semicírculo de arco BC: P = p ¥ 3 ≈ 3,14 ¥ 3 = 4,71 2 2 Semicírculo de arco DE: P = p ¥ 1 ≈ 3,14 ¥ 1 = 1,57 2 2 P = 12 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4,71 + 4 + 1,57 = 30,28 Logo, o perímetro é 30,28 cm.

21.

22. 22.1.A deslocação de um ponto para o seu consecutivo corresponde a uma amplitude do ângulo de rotação de 36º (360 : 10 = 36). Logo, 144º corresponde a quatro deslocações (144 : 36 = 4). Trata-se, portanto, do ponto G. 22.2.P = d × π P = 20 × 3,14 P = 62,8 cm 1 Como a rotação corresponde a do perímetro do 5 círculo, vem: 62,8 : 5 = 12,56 P = 12,56 cm 22.3.Os triângulos [IOH] e [OCD] são isósceles e geometricamente iguais, pelo que os ângulos correspondentes são geometricamente iguais. 22.4.Um eixo de simetria. O triângulo [OCD] é um triângulo isósceles.

TESTAR – págs. 58 e 59 1. 1.1. 65° 1.2. 65°. O ponto G é o transformado do ponto B. Assim, a rotação sofrida é a mesma que sofreu o ponto A, logo a amplitude do ângulo de rotação é a mesma, 65°. 1.3. Vértice A B C D Imagem

20.

A

10 cm

B

F

G

H

I

Propostas de Resolução – Manual

2. 2.1.

6. 6.1.

C’

A’ B’ A O

90º

C B

2.2. O triângulo [A’B’C’] resultou de uma rotação do triângulo [ABC]. Como a rotação preserva o comprimento dos segmentos de reta e a amplitude dos ângulos da figura original, o triângulo [A’B’C’] também é equilátero. 3. 3.1.

C’

D

D’ E

8. 8.1. Três eixos de simetria. A

F

E’

3.2. Ao considerar a reflexão segundo o eixo assinalado (reta r), observa-se que a figura transformada coincide, ponto por ponto, com a figura original. Logo, os dois triângulos são geometricamente iguais.

5.

7. 7.1. 128°. Ângulo obtuso. 7.2.

r C

4.

6.2. O primeiro polígono é um triângulo isósceles, pois trata-se de um triângulo com apenas um eixo de simetria. O segundo polígono é um triângulo equilátero, pois trata-se de um triângulo com três eixos de simetria. 6.3. Um triângulo isósceles tem pelo menos um eixo de simetria. Um triângulo equilátero tem três eixos de simetria.

PΟ = π × d PΟ = π × 135 ≈ 3,14 × 135 = 423,9 Logo, PΟ = 423,9 m. A– = c × l A– = 10 x 8 = 80 AΟ = π × r2 AΟ = π × 42 = 16 π ≈ 3,14 × 16 = 50,24 Apiscina = 80 + 50,24 = 130,24 Como cada metro quadrado de azulejo custa 15 € tem-se: 130,24 × 15 = 1953,6 R.: O Sr. Costa gastará, aproximadamente, 1954 €.

B

E

C

D

8.2. Simetria de rotação de centro O e amplitude 120º, simetria de rotação de centro O e amplitude 240º e simetria de rotação de centro O e amplitude 360º. P 8.3. A = × ap 2 36 A= ×4= 2 = 18 × 4 = = 72 Logo, A = 72 cm2.

29

30

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UNIDADE 2 Números naturais e potências APLICAR – pág. 63 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

0, 3, 6, 9, 12 0, 4, 8, 12, 16 0, 10, 20, 30, 40 0, 12, 24, 36, 48

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

{1, 2, 4, 8} {1, 2, 5, 10} {1, 2, 7, 14} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

3.

A Afirmação falsa é a [B], pois o 1 não é múltiplo de 4.

4. 4.1. D10 = {1, 2, 5, 10} D14 = {1, 2, 7, 14} Divisores comuns de 10 e 14 = {1, 2} 4.2. Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48} Múltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48} Os múltiplos comuns de 3 e 6 menores do que 48 são 0, 12, 24, e 36. 5.

O 1 e o 19.

6.

O 1 e o 23.

7.

A. Por exemplo: 1432 é divisível por 4, pois 2 ¥ 3 + + 2 = 6 + 2 = 9 e 8 é divisível por 4. B. Por exemplo: 7323 é divisível por 3, pois 7 + 3 + + 2 + 3 = 15 e 15 é divisível por 3. C. 6741 é divisível por 9, pois 6 + 7 + 4 + 1 = 18 e 18 é divisível por 9. D. Por exemplo: 1266 é divisível simultaneamente por 2 e por 3, pois é um número par e 1 + 2 + 6 + + 6 = 15 e 15 é divisível por 3. E. 8244 é divisível simultaneamente por 2, por 3 e por 4, pois é um número par, é divisível por 3 (8 + 2 + 4 + 4 = 18 e 18 é divisível por 3) e é divisível por 4 (2 ¥ 4 + 4 = 12 e 12 é divisível por 4).

8.

171 + 51 = 3 ¥ 57 + 3 ¥ 17 = 3 ¥ (57 + 17) Logo, 171 + 51 é divisível por 3.

9. 9.1. 57 Æ 2 ¥ 5 + 7 = 17 Como 17 não é divisível por 4, logo 57 não é divisível por 4. 969 Æ 2 ¥ 6 + 9 = 21 Como 21 não é divisível por 4, logo 969 não é divisível por 4. 132 Æ 2 ¥ 3 + 2 = 8 Como 8 é divisível por 4, então 132 é divisível por 4. 9.2. 57 Æ 5 + 7 = 12 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 9. Logo, 57 é divisível por 3 mas não é divisível por 9. 969 Æ 9 + 6 + 9 = 24 24 é divisível por 3, mas não é divisível por 9. Logo, 969 é divisível por 3 mas não é divisível por 9. 132 Æ 1 + 3 + 2 = 6 6 é divisível por 3, mas não é divisível por 9. Logo, 132 é divisível por 3 mas não é divisível por 9. 9.3. 969 – 57 = 3 ¥ 323 – 3 ¥ 19 = 3 ¥ (323 + 19) Logo, a diferença 969 – 57 é divisível por 3. 9.4. Dada uma divisão inteira (D = d ¥ q + r), se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d), então divide o resto. Assim, como 3 divide o dividendo e o divisor, irá dividir o resto. De facto, os números 969 e 132 podem ser escritos, respetivamente, como 3 ¥ 323 e 3 ¥ 44. Por definição de diferença, r = 3 ¥ 323 – 3 ¥ 44 ¥ q, pelo que, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração, r = 3 ¥ (323 – 44 ¥ q), ou seja, r é múltiplo de 3. Assim, 3 é divisor de r. 10. 1560 : 4 = 390 Assim, 1560 ¥ 724 = (4 ¥ 390) ¥ 724. Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos: (4 ¥ 390) ¥ 724 = 4 ¥ (390 ¥ 724) Logo, o produto de 1560 por 724 é múltiplo de 4, pelo que tem 4 como divisor.

APLICAR – págs. 72 e 73 2. 2.1. 0,33 × 0,34 = 0,33 + 4 = 0,37 2.2. 45 × 35 = (4 × 3)5 = 125 2.3. 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33

Propostas de Resolução – Manual

h h 7 h h 5 h h 7 – 5 h 13 h 2 2.4. i 13 i : i 13 i = i 13 i =i i j3j j3j j3j j3j 2.5. 304 : 54 = (30 : 5)4 = 64 2.6. 33 × 23 × 612 = (3 × 2)3 × 612 = 63 × 612 = 63 + 12 = 615

3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

2 × 2 = 22 2 3 × 2 4 = 23 + 4 = 2 7 3 22 × 25 = 28 × 25 = 28 + 5 = 213 4 × 23 = 2 × 2 × 23 = 22 × 23 = 22 + 3 = 25 212 : (22)3 = 212 : 26 = 212 – 6 = 26 2213 : 1113 = (22 : 11)13 = 213

11.

24 × 2x = 512 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 512 : 16 = 32 Como 16 × 2 = 32, então 32 = 25. Logo, 24 × 25 = 512.

12.

716 = 73 × 713

13.

265 : 2 = 128 128 : 2 = 64 64 : 2 = 32 32 : 2 = 16 16 : 2 = 8 8:2=4 4 : 2 = 2 então 256 = 28 ou 256

4. 4.1. A = c × l A = 53 × 73 = (5 × 7)3 = 353 Logo, A = 353 cm2. 4.2. A = b × h 2 4 2 × 23 24 + 3 27 A= = = = 26 2 2 2 6 2 Logo, A = 2 cm . 5.

2

128 2

64 2

32 2

230 × 26 = 230 + 6 = 236 R.: 236 livros.

16 2

8 2

6. 6.1. (22)4 ¥ 23 = 28 × 23 = 28 + 3 = 211 Logo, 211 > 26. 2 6.2. 52 ¥ 34 = 54 × 34 = (5 × 3)4 = 154 Logo, 54 × 34 > 104. 6.3. 720 : 220 = (7 : 2)20 = (3,5)20 e (3,5)20 > 320 Logo, 720 : 220 > 320. 7.

8.

9.

2 14.

A afirmação falsa é a [D], pois (7 + 72 + 32 = 49 + 9 = 58. 210 × 23 × 24 = 2(10 + 3 + 4) = 217 R.: 217 laranjas.

10. 10.1. 48 × 58 = 208 10.2. 163 : 83 = 23 h 1 h7 h 1 h5 h 1 h2 10.3. i i : i i = i i j3j j3j j3j 4 4 4 10.4. 2 × 3 = 6 10.5. 2,46 × 2,44 : 2,43 = 2,410 : 2,43 = 2,47 10.6. 153 : 53 × 23 = 33 × 23 = 63

=

2

2n ¥ 2m = = 2 ¥ 2 ¥ ... ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ ... ¥ 2 =

14243 14243

n vezes m vezes = 2n + m (7n)m = = 7n ¥ 7n ¥ ... ¥ 7n =

A afirmação é falsa. 52 = 5 × 5 = 25 e 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 3)2

4

102

14243

m vezes = 7 ¥ 7 ¥ ... ¥ 7 ¥ 7 ¥ 7 ¥ ... ¥ 7 ¥ .... ¥ 7 ¥ 7 ¥ ... ¥ 7 =

= 100 e

14243 14243

n vezes = 7n ¥ m 15.

n vezes

14243 n vezes

67 ¥ 34 = (2 ¥ 3)7 ¥ 34 = 27 ¥ 37 ¥ 34 = 27 ¥ 311 Logo, k = 11.

APLICAR – págs. 76 e 77 3. 3.1. Um número primo é um número natural superior a 1, que tem apenas dois divisores, o 1 e ele próprio.

31

32

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3.2. Um número composto é todo o número natural superior a 1, que tem mais do que 2 divisores. 3.3. O número 1 não é primo nem composto. 3.4. O número 8 é um número composto porque tem 4 divisores: 1, 2, 4 e 8. 3.5. O número 5 é um número primo porque admite apenas dois divisores: 1 e 5. 3.6. O número 2 é o único número que é simultaneamente par e primo. 4. 4.1.

30 2 15 3 5 5 1 30 = 2 ¥ 3 ¥ 5

4.2.

45 3 15 3 5 5 1 45 = 3 ¥ 3 ¥ 5

4.3.

24 2 ¥ 12 2 ¥ 2 ¥ 6 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 3 24 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 3

4.4.

26 2 ¥ 13 26 = 2 ¥ 13

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 6.

18 = 2 ¥ 3 ¥ 3 56 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 7 120 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 5 2310 = 2 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 7 ¥ 11 10 ¥ 16 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 5 5 ¥ 20 ¥ 18 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 5 n = 2 Æ 22 – 1 = 4 – 1 = 3 n = 3 Æ 23 – 1 = 8 – 1 = 7 n = 5 Æ 25 – 1 = 32 – 1 = 31 n = 7 Æ 27 – 1 = 128 – 1 = 127 n = 11 Æ 211 – 1 = 2048 – 1 = 2047 Logo, os cinco primeiros números de Mersenne são 3, 7, 31, 127, 2047.

7. 7.1. Como o número 2 faz parte da decomposição em fatores primos, então o número é divisível por 2, ou seja, o número é par. 7.2. O algarismo das unidades não pode ser zero, porque o número não é divisível por 10, já que o número 5 não faz parte da decomposição em fatores (10 = 2 ¥ 5). 7.3. 2 ¥ 3 ¥ 19 = 114 8. 8.1. Por exemplo, 2 ¥ 2 ¥ 32 ¥ 5 ¥ 7 8.2. Por exemplo, 6, 9 e 35 6=2¥3 9 = 32 35 = 5 ¥ 7 8.3. Como o número é divisível por 10 (10 = 2 ¥ 5), o algarismo das unidades é 0. 9. 9.1. 36, 66 e 108 9.2. 36 = 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 66 = 2 ¥ 3 ¥ 11 108 = 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 3 9.3. Um número é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3. 10. Como cada grupo deve ter o mesmo número de alunos e não pode sobrar nenhum, temos de decompor 26, número total de alunos, em fatores primos. 26 = 2 ¥ 13 Logo, a professora pode dividir a turma em 2 grupos de 13 alunos ou em 13 grupos de 2 alunos. 11. Se o número é maior do que 300 e menor do que 400, o algarismo das centenas é 3. Sabe-se que o algarismo das dezenas é 7. Se o número é múltiplo de 2 e de 5, então é múltiplo de 10, ou seja, é divisível por 10. Logo, o algarismo das unidades é 0. R.: O número é 370.

Propostas de Resolução – Manual

APLICAR – págs. 80 e 81 2. 2.1. m.d.c. (12, 18) 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 12 = 22 ¥ 3 8 = 2 ¥ 32 Logo, m.d.c. (12, 18) = 2 ¥ 3 = 6 2.2. m.m.c. (4, 15) 4 2 15 3 2 2 5 5 1 1 4 = 22 15 = 3 ¥ 5 Logo, m.m.c. (4, 15) = 22 ¥ 3 ¥ 5 = 60 2.3. m.d.c. (4, 24) 4 2 24 2 2 2 12 2 1 6 2 3 3 1 24 = 23 ¥ 3 4 = 22 Logo, m.d.c. (4, 24) = 22 = 4 2.4. m.m.c. (7, 28) 7 7 28 2 1 14 2 7 7 1 7=7 28 = 22 ¥ 7 Logo, m.m.c. (7, 28) = 22 ¥ 7 = 28 2.5. m.d.c. (26, 39) 26 2 39 3 13 13 13 13 1 1 26 = 2 ¥ 13 39 = 3 ¥ 13 Logo, m.d.c. (26, 39) = 13 2.6. m.m.c. (16, 28) 16 2 28 2 8 2 14 2 4 2 7 7 2 2 1 1 28 = 22 ¥ 7 16 = 24 Logo, m.m.c. (16, 28) = 24 ¥ 7 = 16 ¥ 7 = 112

3.

m.m.c. (18, 32) 18 2 9 3 3 3 1

32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2

18 = 2 ¥ 32 32 = 25 Logo, m.m.c. (18, 32) = 25 ¥ 32 e a opção correta é a [A]. 4.

Como a é múltiplo de b, então a = x . b, onde x é um número inteiro. Assim, b é divisor de a e de si próprio. Então, m.d.c. (a, b) = b. Logo, a afirmação correta é a [D].

5.

O mínimo múltiplo comum entre dois números primos diferentes é o produto dos dois números.

6.

Como os números primos só têm dois divisores, o 1 e o próprio número, o máximo divisor comum entre dois números primos diferentes é o 1.

7.

Para um número ser divisível por 18 e 42, tem de ser múltiplo dos dois números. Como a Filipa pretende o menor número, basta determinar o m.m.c. (18, 42). 42 2 18 2 21 3 9 3 3 3 7 7 1 1 2 18 = 2 ¥ 3 42 = 2 ¥ 3 ¥ 7 Logo, m.m.c. (18, 42) = 2 ¥ 32 ¥ 7 = 126.

8.

Para saber qual o número máximo de ramos que a Carolina pode fazer, é necessário calcular o m.d.c. (120, 140, 180). 120 2 140 2 180 2 60 2 70 2 90 2 30 2 35 5 45 5 15 3 7 7 9 3 5 5 1 3 3 1 1 120 = 23 ¥ 3 ¥ 5 140 = 22 ¥ 5 ¥ 7 180 = 22 ¥ 32 ¥ 5 Assim, m.d.c. (120, 140, 180) = 22 ¥ 5 = 20 e, portanto, a Carolina pode fazer 20 ramos. Para saber qual a composição de cada ramo, basta dividir o número de rosas, de tulipas e de margaridas pelo número de ramos. Rosas: 140 : 20 = 7

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34

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Tulipas: 120 : 20 = 6 Margaridas: 180 : 20 = 9 R.: Cada ramo é constituído por sete rosas, seis tulipas e nove margaridas. 9.

Se o mínimo múltiplo comum entre dois números é o produto desses números, então os números são números primos. Logo, o máximo divisor comum entre os dois números diferentes é 1.

10. a = 2 ¥ 32 ¥ 5 e b = 3 ¥ 53 ¥ 7 m.m.c. (a, b) = 2 ¥ 32 ¥ 53 ¥ 7 = 2 ¥ 9 ¥ 125 ¥ 7 = 15 750 m.d.c. (a, b) = 3 ¥ 5 = 15 11. Para saber quanto tempo é necessário para ambas terminarem uma volta ao mesmo tempo, basta calcular o m.m.c. (12, 15). 12 2 15 3 6 2 5 5 3 3 1 1 12 = 22 ¥ 3 15 = 3 ¥ 5 Assim, m.m.c. (12, 15) = 22 ¥ 3 ¥ 5 = 60. R.: A Maria e a Aurora terminam uma volta ao mesmo tempo ao fim de 60 minutos (1 hora). 12. Para determinar o número máximo de turmas é necessário calcular o m.d.c. (276, 112, 400). 276 2 112 2 400 2 138 2 56 2 200 2 69 3 28 2 100 2 23 23 14 2 50 2 1 7 7 25 5 1 5 5 1 276 = 22 ¥ 3 ¥ 23 112 = 24 ¥ 7 400 = 24 ¥ 52 Assim, m.d.c. (276, 112, 400) = 22 = 4 Logo, a escola tem, no máximo, quatro turmas. Para determinar o número de rebuçados que cada turma vai receber, é necessário dividir o número de rebuçados pelo número de turmas. 400 : 4 = 100 Logo, cada turma vai receber 100 rebuçados. 13. Para saber quando é que os dois sinais voltam a piscar em simultâneo, é necessário calcular o m.m.c. (105, 195).

105 3 195 3 35 5 65 5 7 7 13 13 1 1 105 = 3 ¥ 5 ¥ 7 195 = 3 ¥ 5 ¥ 13 Assim, m.m.c. (105, 195) = 2 ¥ 5 ¥ 7 ¥ 13 = 1365 R.: Os dois sinais voltam a piscar em simultâneo ao fim de 1365 segundos. 14. Se 105 é o mínimo múltiplo comum entre os três números, então 105 é divisível pelos três números. D105 = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} Para que a soma desses números seja 15, os três números são o 3, o 5 e o 7 (3 + 5 + 7 = 15). 15. Para determinar quantos membros ficam em cada fila, é necessário calcular o m.d.c. (39, 65, 130). 130 2 65 5 39 3 65 5 13 13 13 13 13 13 1 1 1 39 = 3 ¥ 13 65 = 5 ¥ 13 130 = 2 ¥ 5 ¥ 13 Assim, m.d.c. (39, 65, 130) = 13. Dividindo o número de membros da juventude do partido (130) pelo número de membros em cada fila (13), obtém-se o número de filas necessárias. 130 : 13 = 10 Logo, são necessárias dez filas. 16. A decomposição em fatores primos do número 15 é 3 ¥ 5. Como o número 5 já está na decomposição em fatores primos do número A, então x = 3 e y = 5.

PRATICAR – págs. 82 e 87 1. 1.1. 33 = 3 ¥ 3 ¥ 3 = 27 h 1 h2 1 1 1 1.2. i i = ¥ = j4j 4 4 16 1.3. 134 = 1 ¥ 1 ¥ ... ¥ 1 = 1

14243

34 vezes 1.4. 09 = 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 ¥ 0 = 0 1.5. 0,52 = 0,5 ¥ 0,5 = 0,25 h h3 h h3 h h3 1.6. i2 1 i = i 2 ¥ 3 + 1 i = i 7 i = 7 ¥ 7 ¥ 7 = 343 j 3j j j j 3j 3 3 3 3 27

Propostas de Resolução – Manual

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

13 + 04 + 102 = 1 + 0 + 100 = 101 104 – 103 = 10 000 – 1000 = 9000 102 – 3 + 0707 = 100 – 3 + 0 = 97 112 + 035 + 102 – 5 = 1 + 0 + 100 – 5 = 96

3. 3.1. 027 = 0 3.2. 23 = 2 ¥ 2 ¥ 2 = 8 Logo, 23 = 8. 3.3. 27 = 3 ¥ 3 ¥ 3 Logo, 33 = 27. 3.4. 102 = 100 3.5. 105 = 100 000 3.6. 1707 = 1 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

34 ¥ 36 ¥ 3 = 34 + 6 + 1 = 311 210 ¥ 310 ¥ 110 = (2 ¥ 3 ¥ 1)10 = 610 84 : 24 = (8 : 2)4 = 44 107 : 103 = 107 – 3 = 104 35 ¥ 25 : 65 = = (3 ¥ 2)5 : 65 = = 65 : 65 = = (6 : 6)5 = = 15 4.6. 146 : 26 ¥ 74 = = (14 : 2)6 ¥ 74 = = 76 ¥ 74 = = 76 + 4 = = 710 5.

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7.

23 ¥ 33 = 63 Nessa urbanização há 63 apartamentos.

23 ¥ 22 = 25 35 ¥ 45 = 125 43 : 43 = 1 43 : 23 = 23

8. 8.1. 60 2 30 2 15 3 5 5 1 60 = 22 ¥ 3 ¥ 5 8.2. 105 3 35 5 7 7 1 105 = 3 ¥ 5 ¥ 7 8.3. 125 5 25 5 5 5 1 125 = 53 8.4. 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 420 = 22 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 7 9.

70 2 35 5 7 7 1 70 = 2 ¥ 5 ¥ 7 9.1. Por exemplo, 2 ¥ 35. 9.2. 70 = 2 ¥ 5 ¥ 7 Estes fatores são todos números primos. 10. 10.1.

18

2

2

¥

9

¥

3

¥

3

18 = 2 ¥ 3 ¥ 3 90

10.2.

23 ¥ 24 = 27 Na escola há 27 alunos.

2 2

2

¥

45

¥

3

¥

15

¥ 3 ¥ 3 ¥ 5 90 = 2 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 5

35

36

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10.3.

10.4.

150 2 75 3 25 5 5 5 1 150 = 2 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 5 180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

180 = 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 5

11. 11.1. m.d.c. (3, 12) 3 3 1

12 2 6 2 3 3 1 12 = 22 ¥ 3

3=3 Logo, m.d.c. (3, 12) = 3 11.2. m.m.c. (3, 12) 3 3 12 2 1 6 2 3 3 1 3=3 12 = 22 ¥ 3 Logo, m.m.c. (3, 12) = 22 ¥ 3 = 12 11.3. m.d.c. (12, 32) 32 2 12 2 6 2 16 2 8 2 3 3 4 2 1 2 2 1 12 = 22 ¥ 3 32 = 25 Logo, m.d.c. (12, 32) = 22 = 4 11.4. m.d.c. (15, 25) 25 5 15 3 5 5 5 5 1 1 15 = 3 ¥ 5 25 = 52 Logo, m.d.c. (15, 25) = 5 11.5. m.m.c. (10, 12) 10 2 12 2 5 5 6 2 1 3 3 1 10 = 2 ¥ 5 12 = 22 ¥ 3 Logo, m.m.c. (10, 12) = 22 ¥ 3 ¥ 5 = 60

11.6. m.d.c. (33, 38) 33 3 38 2 11 11 19 19 1 1 33 = 3 ¥ 11 38 = 2 ¥ 19 Logo, m.d.c. (33, 38) = 1 11.7. m.d.c. (100, 40) 100 2 40 2 50 2 20 2 25 5 10 2 5 5 5 5 1 1 40 = 23 ¥ 5 100 = 22 ¥ 52 Logo, m.d.c. (100, 40) = 22 ¥ 5 = 4 ¥ 5 = 20 11.8. m.m.c. (80, 90) 80 2 90 2 40 2 45 3 20 2 15 3 10 2 5 5 5 5 1 1 80 = 24 ¥ 5 90 = 2 ¥ 32 ¥ 5 Logo, m.m.c. (80, 90) = 24 ¥ 32 ¥ 5 = 720 11.9. m.m.c. (55, 21) 55 5 21 3 11 11 7 7 1 1 55 = 5 ¥ 11 21 = 3 ¥ 7 Logo, m.m.c. (55, 21) = 3 ¥ 5 ¥ 7 ¥ 11 = 1155 12. 12.1. 21 e 55 são primos entre si se m.d.c. (21, 55) = 1. 21 3 55 5 7 7 11 11 1 1 21 = 3 ¥ 7 55 = 5 ¥ 11 Logo, m.d.c. (21, 55) = 1 e, portanto, 21 e 55 são números primos entre si. 12.2. 70 e 165 não são primos entre si se m.d.c. (70, 165) for diferente de 1. 70 2 165 3 35 5 55 5 7 7 11 11 1 1 70 = 2 ¥ 5 ¥ 7 165 = 3 ¥ 5 ¥ 11 Logo, m.d.c. (70, 165) = 5 e, portanto, 70 e 165 não são primos entre si. 12.3. O mínimo múltiplo comum entre dois números primos entre si é o produto desses dois números.

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13.

A opção [A] é falsa. 15 é um número composto, pois D15 = {1, 3, 5, 15}. A opção [B] também é falsa, uma vez que um número primo tem dois divisores (1 e o próprio número). A opção [C] não é a correta pois o 1 é divisor de qualquer número. Em particular, é divisor de 11 e de 33. Logo, 11 e 33 têm, pelo menos, um divisor em comum. Logo, a opção correta é a [D].

14.

Para saber quando voltam a ocorrer os dois eventos em simultâneo, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum entre 5 e 6. M5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...} M6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} Assim, os eventos voltam a ocorrer em simultâneo passados 30 anos, ou seja, em 2037.

15.

16.

Para saber o comprimento de cada uma das partes, é necessário calcular o máximo divisor comum entre 200, 180 e 240. 200 2 180 2 240 2 100 2 90 2 120 2 50 2 45 3 60 2 25 5 15 3 30 2 5 5 5 5 15 3 1 1 5 5 1 3 2 2 2 200 = 2 ¥ 5 180 = 2 ¥ 3 ¥ 5 240 = 24 ¥ 3 ¥ 5 Assim, m.d.c. (200, 180, 240) = 22 ¥ 5 = 20. Logo, cada uma das partes terá 20 cm. 200 + 180 + 240 = 620 620 : 20 = 31 Então, o António vai obter 31 pedaços. 32 × 32 = 34 = (3 × 3) × (3 × 3) = 81 32 × 32 = 92 = 9 × 9 = 81 As duas amigas têm razão pois 32 é igual a 9, logo, 92 é 9 × 9 = 81, da mesma forma que 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

17. 17.1. 25 ¥ 35 : 64 = = (2 ¥ 3)5 : 64 = = 65 : 64 = = 65 – 4 = =6

17.2. 62 : 22 – 9 + 33 : 32 = = (6 : 2)2 – 9 + 33 – 2 = = 32 – 9 + 3 = =9–9+3= =3 17.3. 1100 + (22 + 1) x 53 : 52 = = 1 + (4 + 1) ¥ 53 : 52 = = 1 + 5 ¥ 53 : 52 = = 1 + 53 + 1 : 52 = = 1 + 54 : 52 = = 1 + 54 – 2 = = 1 + 52 = = 1 + 25 = = 26 18.

36 : 32 = = 36 – 2 = = 34 = =3¥3¥3¥3= = 81 R.: Cada sala tinha 81 pessoas.

19. 19.1. 0,25 = 0,52 Logo, a = 0,5 e b = 2. h h3 19.2. 1 = 13 = i 1 i j2j 8 2 Logo, a = 2 e b = 3. 16 24 hi 2 hi 4 19.3. = = 81 34 j 3 j Logo, a = 2 e b = 4. 20. h 3 h2 20.1. 42 – i i representa a área colorida de amarelo. 42 j 2j h 3 h2 representa a área do quadrado [ABCD] e i i reprej2j senta a área do quadrado [EFGH]. 20.2. A[ABCD] = ᐉ2, ou seja, A[ABCD] = 42 h h2 A[EFGH] = ᐉ2, ou seja, A[EFGH] = i 3 i j2j h 3 h2 42 – i i = j2j 9 64 9 55 = 16 – = – = 4 4 4 4 21.

Sejam a e b dois números naturais e seja a um múltiplo de b. Então a = x • b, onde x é um número inteiro. Assim, b é divisor de a e de si próprio. Então, m.d.c. (a, b) = b. Logo, a opção correta é a [B].

37

38

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22. 22.1. a x b = = 22 ¥ 33 ¥ 7 ¥ 22 ¥ 3 ¥ 52 ¥ 113 Aplicando a propriedade comutativa da multiplicação, temos: 22 ¥ 22 ¥ 33 ¥ 3 ¥ 52 ¥ 7 ¥ 113 = = 24 ¥ 34 ¥ 52 ¥ 7 ¥ 113 22.2. m.d.c. (a, b) = 22 ¥ 3 = 4 ¥ 3 = 12 22.3. 12 é um divisor comum a a e a b porque 12 = 22 ¥ 3 e 22 e 3 são fatores comuns aos dois números. 23. 23.1. 220 2 110 2 55 5 11 11 1 220 = 22 ¥ 5 ¥ 11 23.2. Por exemplo, 4 ¥ 55. 24.

m.d.c. (120, 66) 66 2 120 2 33 3 60 2 11 11 30 2 1 15 3 5 5 1 66 = 2 ¥ 3 ¥ 11 120 = 23 ¥ 3 ¥ 5 Assim, m.d.c. (120, 66) = 2 ¥ 3 = 6. Logo, :6

120 20 = 66 11 :6

25.

Para saber quando os dois irmãos voltam a passar juntos no ponto de partida, é necessário calcular o m.m.c. (30, 40). 30 2 40 2 15 3 20 2 5 5 10 2 1 5 5 1 30 = 2 ¥ 3 ¥ 5 40 = 23 ¥ 5 Assim, m.m.c. (30, 40) = 23 ¥ 3 ¥ 5 = 8 ¥ 3 ¥ 5 = 120. Logo, os dois irmãos voltam a passar juntos no ponto de partida passados 120 segundos.

26.

Para determinar o número de páginas do álbum é necessário calcular o m.d.c. (24, 18). 24 2 18 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 24 = 23 ¥ 3 18 = 2 ¥ 32 Assim, m.d.c. (24, 18) = 2 ¥ 3 = 6. Logo, o álbum terá, no máximo, seis páginas e cada página terá quatro fotos a cores e três a preto e branco.

27.

D14 = {1, 2, 7, 14} D21 = {1, 3, 7, 21} Os divisores comuns a 14 e a 21 são o 1 e o 7. Como se trata de mais do que uma pessoa, ao pequeno almoço juntaram-se sete pessoas da família Costa.

28. 28.1. 235 : 2 = 235 – 1 = 234 28.2. 332 : 3 = 332 – 1 = 331 29.

Para determinar o valor de x e o valor de y é necessário decompor em fatores primos o mínimo múltiplo comum de a e de b e comparar com a decomposição em fatores primos de x e de y. 148 500 2 74 250 2 37 125 3 12 375 3 4 125 3 1 375 5 275 5 55 5 11 11 1 Assim, 148 500 = 22 ¥ 33 ¥ 53 ¥ 11. Como o mínimo múltiplo comum de dois números, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente, 52 e 3 não são fatores utilizados no cálculo de m.m.c. (x, y). Comparando a decomposição em fatores primos de a, b e 148 500, verifica-se que x só pode ser igual a 11 e y, por ter expoente 2, é igual a 2.

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30. 30.1. a = 12 – 8 = 4 30.2. Como 2a ¥ 2a = 2a + a e a + a = 14, então a = 14 : 2 = 7. 30.3. Como 27 = 33, vem que 3a = 35 ¥ 33, ou seja, 3a = 35 + 3. Logo, a = 5 + 3 = 8. 30.4. 93 : a3 = (9 : a)3 Então, (9 : a)3 = 33. Logo, a = 3. 31.

Número de mulheres: 7 Número de sacos: 7 ¥ 7 = 72 = 49 Número de gatos: 7 ¥ 7 ¥ 7 = 73 = 343 Número de gatinhos: 7 ¥ 7 ¥ 7 ¥ 7 = 74 = 2401 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800 Adicionando o homem e o autor da poesia: 2800 + 2 = 2802 R.: Entre pessoas, sacos, gatos e gatinhos iam 2802 para St. Ives. Nota: A resposta certa também pode ser um: Apenas o autor vai para St. Ives.

32. 32.1. (2 ¥ 4)2 : 8 = = 82 : 8 = = 82 – 1 = = 81 = =8 32.2. 4 ¥ 456 ¥ 43 : 460 = = 41 + 56 ¥ 43 : 460 = = 457 ¥ 43 : 460 = = 457 + 3 : 460 = = 460 : 460 = = (4 : 4)60 = = 160 = =1 32.3. (22 ¥ 5)2 x (2 ¥ 10)5 = = (4 ¥ 5)2 ¥ 205 = = 202 ¥ 205 = = 202 + 5 = = 207 = = 1 280 000 000 32.4. 460 ¥ 560 : 2060 + 11005 + 445 : 445 = = (4 ¥ 5)60 : 2060 + 1 + (4 : 4)45 = = 2060 : 2060 + 1 + 145 = = (20 : 20)60 + 1 + 1 = = 160 + 1 + 1 = =1+1+1= =3

32.5. [(37 ¥ 27 : 63)2 : 38] : 28 = = [((3 ¥ 2)7 : 63)2 : 38] : 28 = = [(67 : 63)2 : 38] : 28 = = [(67 – 3)2 : 38] : 28 = = [(64)2 : 38] : 28 = = 64 ¥ 2 : 38 : 28 = = 6 8 : 38 : 2 8 = = (6 : 3)8 : 28 = = 28 : 28 = = (2 : 2)8 = = 18 = =1 2 32.6. 8 2¥ 8 ¥3 2 = 4 ¥2 82 ¥ 16 = = 16 ¥ 23 82 = 3= 2 (23)2 = 3 = 2 26 = 3= 2 = 26 – 3 = = 23 = =8 33.

1296 2 648 2 324 2 162 2 81 3 27 3 9 3 3 3 1 Como se pretende uma potência de base 6, aplicando a propriedade associativa da multiplicação, tem-se: 36 = 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 = (2 ¥ 3) ¥ (2 ¥ 3) = 6 ¥ 6 = 62 1296 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 3 = = (2 ¥ 3) ¥ (2 ¥ 3) ¥ (2 ¥ 3) ¥ (2 ¥ 3) = = 6 ¥ 6 ¥ 6 ¥ 6 = 64 Logo, 36 ¥ 1296 = 62 ¥ 64 = 62 + 4 = 66.

34.

(4 + 1)3 = 53 = 125 e (4 + 1) ¥ (4 + 1) x (4 + 1) = = 5 ¥ 5 ¥ 5 = 53 = 125 43 + 13 = 64 + 1 = 65 Logo, quem tem razão é a Maria.

36 18 9 3 1

2 2 3 3

39

40

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35.

O João não tem razão. Sendo, por exemplo, n = 3, (a + b)3 = (a + b) ¥ (a + b) ¥ (a + b), que é diferente de a3 + b3.

36. 36.1. 422 = 42 ¥ 2 = 44 (42)2 = 42 ¥ 42 = 42 + 2 = 44 Logo, 422 = (42)2. 36.2. A conclusão não está correta porque se n e m forem diferentes de 2 a igualdade não se verifica. Sendo n = 2 e m = 2, a22 = (a2)2 porque 22 = 2 ¥ 2. Se, por exemplo, n = 3 e m = 3, a33 = a3 ¥ 3 ¥ 3 = a27 (a3)3 = a3 ¥ a3 ¥ a3 = a3 + 3 + 3 = a9 3 Logo, a3 ≠ (a3)3. 37.

38. 39.

64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 64 = 26 Pela decomposição em fatores primos verifica-se que 64 = 26. Então, z = 2. Para determinar y, como se trata de uma potência de expoente 3, tem-se, aplicando a propriedade associativa da multiplicação, 64 = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 = = (2 ¥ 2) x (2 ¥ 2) ¥ (2 ¥ 2) = 4 ¥ 4 ¥ 4 = 43, ou seja, y = 4. Da mesma forma, para determinar x, como se trata de uma potência de expoente 2, tem-se, aplicando a propriedade associativa da multiplicação 64 = 2 ¥ ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 = (2 ¥ 2 ¥ 2) ¥ (2 ¥ 2 ¥ 2) = 8 ¥ 8 = = 82, ou seja, x = 8.

40.

8=3+5 10 = 3 + 7 12 = 5 + 7 14 = 11 + 3 16 = 11 + 5

41. 41.1. 288 : 144 = 2 41.2. 323 : 1 = 323 41.3. 5 ¥ 175 = 875 875 : 35 = 25 Logo, b = 25. 42.

b = a 4 ¥ 5 ¥ 74 = 22 4 = 2 ¥3 ¥7 2¥2¥2¥2¥5¥7¥7¥7¥7 = = 2¥2¥3¥3¥3¥3¥7 4 ¥ 5 ¥ 343 = = 81 6860 = 81

43.

Como se pretende dividir o terreno em quadrados iguais, é necessário calcular m.d.c. (16, 24). 16 2 24 2 8 2 12 2 4 2 6 2 2 2 3 3 1 1 4 24 = 23 ¥ 3 16 = 2 3 Assim, m.d.c. (16, 24) = 2 = 8. Então, o número de quadrados à largura do terreno é 16 : 8 = 2 e o número de quadrados ao comprimento do terreno é 24 : 8 = 3. Logo, o recreio será dividido em seis quadrados (2 ¥ 3 = 6) com 8 m de lado, onde serão pintadas seis bandeiras.

44.

D308 = {1, 2, 4, 11, 14, 22, 28, 44, 77, 308} Os divisores cuja soma é igual a 22 são 4, 7 e 11 (4 + + 7 + 11 = 22).

Por exemplo, 6 e 12. Como o número é, simultaneamente, divisível por 12, 16 e 18, então é o menor múltiplo comum a estes três números. M12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, ...} M16 = {0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, ...} M18 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, ...} Assim, m.m.c. (12, 16, 18) = 144. Logo, o número é o 144.

TESTAR – págs. 92 e 93 1. 1.1. 53 = 5 ¥ 5 ¥ 5 Logo, a opção correta é a [B].

Propostas de Resolução – Manual

2. 2.1. 3 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 3 ¥ 3 = 35 Logo, ? = 5. 2.2. 2 ¥ 7 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 = = 14 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 ¥ 14 = = 146 Logo, ? = 6. 2.3. 10 ¥ 5 ¥ 2 ¥ 100 ¥ 103 = = 10 ¥ 10 ¥ 102 ¥ 103 = = 101 + 1 + 2 + 3 = = 107 Logo, ? = 7. 2.4. 1000 ¥ 1 ¥ 10 ¥ 104 ¥ 10 = = 103 ¥ 10 ¥ 104 ¥ 10 = = 103 + 1 + 4 + 1 = = 109 3. 3.1. 35 ¥ 34 : 38 = = 35 + 4 : 38 = = 39 : 38 = = 39 – 8 = = 31 = =3 3.2. 410 : (43)2 ¥ 23 = = 410 : 43 ¥ 2 ¥ 23 = = 410 : 46 ¥ 23 = = 410 – 6 ¥ 23 = = 44 ¥ 23 = = (22)4 ¥ 23 = = 22 ¥ 4 ¥ 23 = = 28 ¥ 23 = = 28 + 3 = = 211 = = 2048 h h3 h h2 h h2 3.3. i 3 i : i 3 i ¥ i 3 i = j5j j 5j j 5j h h 3 –2 h 3 h 2 = i 3i ¥i i = j 5j j 5j

=

h i j

3 hi 1 hi 3 hi 2 ¥ = j 5j 5j

h h1+2 = i 3i = j 5j h h3 = i 3i = j 5j

= 27 125

3.4. 82 : 42 ¥ 2 = = (8 : 4)2 ¥ 2 = = 22 ¥ 2 = = 22 + 1 = = 23 = =8 3.5. 93 : 35 = = (32)3 : 35 = = 32 ¥ 3 : 35 = = 36 : 35 = = 36 – 5 = = 31 = =3 h 460 : 458 ¥ 26 h 3 i = 3.6. i j 109 : 59 j h 60 – 58 ¥ 26 h 3 i = j (10 : 5)9 j

= i4

6h 3 h 2 = i 4 ¥9 2 i = j 2 j 6h 3 h 22 = i (2 ) 9¥ 2 i = j j 2 6h 3 h 4 = i 2 ¥9 2 i = j 2 j

h 4 + 6h 3 i = j 29 j

= i2

h 10 h 3

= i29 i = j 2 j = (210 – 9)3 = = (21)3 = = 23 = =8 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

62 = 36 23 = 8 33 = 27 72 = 49

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

22 < 52 73 > 53 76 > 73 175 = 176 27 < 77 1031 + 10 < 1032

41

42

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6. 6.1. 112 + 73 = = 121 + 343 = = 464 6.2. 33 – 52 = = 27 – 25 = =2 6.3. 73 – 32 = = 343 – 9 = = 334 7.

8.

Número de gavetas: 4 Número de caixas: 4 ¥ 4 = 16 Número de esferográficas: 4 ¥ 4 ¥ 4 = 64 R.: O Filipe tem 64 esferográficas. 112 2 484 2 56 2 242 2 28 2 121 11 14 2 11 11 7 7 1 1 112 = 24 ¥ 7 484 = 22 ¥ 112 Assim, m.d.c. (112, 484) = 22 = 4. Logo,

12.

Para analisar, simultaneamente, o peso e a qualidade dos enchidos, a quantidade de enchidos produzidos tem de ser um múltiplo de 24 e de 40. 24 2 40 2 12 2 20 2 6 2 10 2 3 3 5 5 1 1 3 40 = 23 ¥ 5 24 = 2 ¥ 3 3 Assim, m.m.c. (24, 40) = 2 ¥ 3 ¥ 5 = 8 ¥ 3 ¥ 5 = 120. Logo, para analisar, simultaneamente, o peso e a qualidade dos enchidos, a fábrica tem de produzir, no mínimo, 120 enchidos por dia.

13.

Como a e b são números primos, é necessário decompor 143 em fatores primos. 143 11 13 13 1 143 = 11 ¥ 13 Logo, a = 11 e b = 13 ou a = 13 e b = 11.

14.

12 2 6 2 3 3 1

16 2 8 2 4 2 2 2 1 12 = 22 ¥ 3 16 = 24 Assim, m.m.c. (12, 16) = 24 ¥ 3 = 16 ¥ 3 = 48. Número de caixas de pastilhas elásticas de morango: 48 : 12 = 4 Número de caixas de pastilhas elásticas de menta: 48 : 16 = 3 R.: A Filipa terá de comprar quatro caixas de pastilhas elásticas de morango e três caixas de pastilhas elásticas de menta.

15.

Para calcular o preço máximo de cada bilhete, é necessário calcular o máximo divisor comum das quantias a pagar por cada escola, ou seja, m.d.c. (27, 36, 51). 27 3 36 2 51 3 9 3 18 2 17 17 3 3 1 9 3 1 3 3 1 36 = 22 ¥ 32 51 = 3 ¥ 17 27 = 33 Assim, m.d.c. (27, 36, 51) = 3. R.: Cada bilhete poderia ter custado, no máximo, 3 €.

:4

112 28 = 484 121 :4

9.

Como m.m.c. (a, b) ¥ m.d.c. (a, b) = a ¥ b, então b = m.m.c. (a, b) ¥ m.d.c. (a, b) a Substituindo pelos valores dados, tem-se: 5 7 3 2 4 2 b = 2 ¥ 3 ¥ 7 4¥ 132 ¥ 19 ¥ 2 ¥ 3 ¥ 7 = 2 ¥ 3 ¥ 7 ¥ 13 = 25 ¥ 37 ¥ 73 ¥ 192 = = 24 004 512

10. 10.1. m.m.c. (a, b) = a ¥ b 10.2. Como os números são primos só têm um divisor em comum, o 1. Logo, m.d.c. (a, b) = 1. 11.

Para o número ser divisível, simultaneamente, por 5 e por 12, tem de ser o menor múltiplo comum a 5 e a 12. M5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...} M12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...} Logo, m.m.c. (5, 12) = 60.

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UNIDADE 3 Relações e regularidades APLICAR – pág. 97 1. 1.1. 0,10 × 250 = 25 R.: 25 € 1.2. 0,20 × 1,5 = 0,3 R.: 0,3 kg 1.3. 0,75 × 500 = 375 R.: 375 litros 2. 2.1. 0,20 × 36 = 7,2 O desconto será de 7,2 euros. 36 – 7,2 = 28,8 R.: Terá de pagar 28,8 euros. 2.2. Como o desconto é de 20% a Ana pagou 80% do preço da camisola. Logo, 80 36 = 100 ? 36 × 100 ?= 80 ? = 45 R.: Antes dos saldos, o preço da camisola era 45 €. 3. 3.1. 0,20 × 13 500 = 2700 O valor da entrada inicial é 2700 €. 3.2. 13 500 – 2700 = 10 800 O valor a pagar pelas 10 mensalidades é 10 800 €. Logo, cada mensalidade é 1080 € (10 800 : 10 = 1080). 4. 4.1. 12 em 25 é o mesmo que 48 em 100, logo no 6.° A preferem ir a Londres 48% dos alunos. No 6.° B, 10 em 20 também preferem ir a Londres. Logo, 10 em 20 corresponde a 50 em 100 e assim 50% preferem ir a Londres. A percentagem é maior na turma do 6.° B. 4.2. 0,40 × 30 = 12. Logo, 12 alunos preferem Paris como destino da sua visita. Assim, 18 alunos preferem Londres (30 – 12 = 18).

APLICAR – págs. 104 e 105 2. 2.1. 2.2.

3. 3.1.

Figura 4

3.2. Se a figura 1 tem um quadrado azul, a figura 2 tem dois quadrados, a figura 3 tem três quadrados e a figura 30 terá 30 quadrados azuis. Na figura 1 há 8 quadrados castanhos, na figura 2 há 10 quadrados castanhos e na figura 3 há 12 quadrados castanhos. Os quadrados castanhos são sempre mais 2 do que os da figura anterior. A figura 30 terá mais 29 × 2 quadrados do que a primeira figura, ou seja, 66 quadrados (8 + 29 × 2 = 66). 4.

1.º Termo: 11 2.º Termo: 11 + 3 = 14 3.º Termo: 14 + 3 = 17 4.º Termo: 17 + 3 = 20 5.º Termo: 20 + 3 = 23

5. 5.1. 1 e 11. 5.2. Sequência 1: 13, 15, 17 Sequência 2: 17, 20, 23 5.3. Cada termo, com exceção do primeiro, é obtido somando 3 unidades ao termo anterior (3n – 1). 5.4. Não. Porque se adicionarmos 2 unidades a um número ímpar obtemos o número ímpar consecutivo e 48 é um número par. 6. 6.1. A Beatriz vai precisar de mais contas vermelhas, porque os termos que correspondem a posições ímpares têm bolas vermelhas e os termos que correspondem a posições pares são preenchidos alternadamente por bolas verdes e amarelas. 6.2. Na posição ímpar. 6.3. Na 12.ª posição está uma bola amarela. As bolas amarelas estão situadas de 4 em 4 posições, ou seja, nas posições múltiplas de 4. Logo, a primeira bola amarela está na 4.ª posição, a seguinte na 8.ª posição e a terceira na 12.ª posição. Na 40.ª posição também estará uma bola amarela. 7. 7.1. A figura 4 terá 20 (5 ¥ 4 = 20) círculos e a figura 10 terá 50 (5 ¥ 10 = 50) círculos.

43

44

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7.2. À exceção do primeiro termo, cada termo é obtido adicionando 5 unidades ao termo anterior. O termo geral da sequência é 5n, onde n representa o número da figura.

Outro processo ? = 3 × 10 : 2 = 15 6.2. 1 = 8 porque 8 × 4 = 32 × 1 4 32 Outro processo

8. 8.1.

? = 8 × 4 : 32 = 1 6.3. 15 = 5 porque15 × 3 = 9 × 5 9 3 Outro processo ? = 15 × 3 : 5 = 9 6.4. 4 = 6 porque 6 × 8 = 4 × 12 8 12 Outro processo ? = 6 × 8 : 4 = 12

Número de figura

1

2

3

4

10

Número de pontos da figura

3

6

9

12

30

8.2. 45: 3 = 15. Logo, a figura número 15 terá 45 pontos. 8.3. À exceção do primeiro termo, cada termo é obtido adicionando 3 unidades ao termo anterior. O termo geral da sequência é 3n, onde n representa o número da figura.

APLICAR – págs. 108 e 109 2. 3 2.1. 4 2.2. Antecedente: 3 Consequente: 4 3. 3.1. 3, 4, 9, 12. 3.2. Extremos: 3, 12; Meios: 4, 9. 3.3. 3 está para 4 assim como 9 está para 12. 3.4. 3 × 12 = 36 4 × 9 = 36 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

7. 7.1. Por exemplo, 5 = 15 7.2. Por exemplo, 15 = 5

11 = 6 132 ? ? = 6 × 132 : 11 = 72 R.: 72 cêntimos. 1 = 2,5 9. 9 ? ? = 2,5 × 9 = 22,5 R.: Deve utilizar 22,5 dl. 10. 3 = ? 4 12 ? = 12 × 3 : 4 = 9 R.: 21 lápis (12 + 9 = 21). 8.

11.

3 =2 4,38 ? ? = 4,38 × 2 = 2,92 3 4 =3 6,68 ? ? = 6,68 × 3 = 5,01 4 R:. 7,93 euros (2,92 + 5,01 = 7,93).

12.

7 =9 8,4 ? ? = 9 × 8,4 = 10,80 7 Ou 8,4 : 7 = 1,2 1,2 × 9 = 10,80 R:. Pagaria 10,80 €.

4. 4.1. 1 = 2 9 18 4.2. 3 = 12 2 8 5. 5.1. Se 13 funcionários são do sexo masculino, 11 são do sexo feminino. Assim, a razão é 11 . 24 13 5.2. 11 6. 3 15 = porque 3 × 10 = 2 × 15 6.1. 2 10

3 porque 5 × 9 = 3 × 15. 9 9 porque 15 × 3 = 9 × 5. 3

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6.2. 1 = ᐉ 75 750

APLICAR – págs. 112 e 113 2. 2.1.

Logo, ᐉ = 750 = 10 75 1 = c 75 375 Logo, c = 375 = 5 75 R.: Largura: 10 cm e comprimento: 5 cm.

50 ≠ 60 ≠ 70 1,52 1,65 1,68 Não são diretamente proporcionais. 2.2. 1 = 2 = 3 14 28 42 São diretamente proporcionais. 3.

Constante de proporcionalidade: 20 = 4. 5 X

1,3

12 : 4 = 3

5

6,2

Y

1,3 ¥ 4 = 5,2

12

20

6,2 ¥ 4 = 24,8

4. 4.1. Cada unidade de comprimento medida no mapa corresponde a 12 000 000 de unidades iguais medidas na realidade. 1 ? 4.2. = 12 000 000 31 400 000 ? = 31 400 000 = 2,6 cm 12 000 000 5. 5.1.

Comprimento do lado do quadrado

Perímetro do quadrado

2

4¥ 2 = 8

3

4 ¥ 3 = 12

6,4

4 ¥ 6,4 = 25,6

8

4 ¥ 8 = 32

7. 7.1. 1 : 0,5 = 2 Logo, 2 é a constante de proporcionalidade.

1

2

3¥ 2 = 6

12

Tempo (dias)

0,5

2:2=1

3

12 : 2 = 6

7.2. 5500 unidades = 55 centenas. 1

…

55

0,5

…

?

1 = 55 0,5 ? ? = 55 × 0,5 = 27,5 R.: Sim, a empresa consegue cumprir o prazo de entrega. 8.

2 3 6,4 = 8 = 1 . 5.2. Sim, porque = = 8 12 25,6 32 4 6. 6.1. a) Perímetro na planta: 2 × 4 + 2 × 5 = 18 Logo, 1 = 18 75 ? 75 × 18 ?= = 1350 1 1350 cm = 13,5 m 1 3 b) = 75 ? 75 × 3 ?= = 225 1 1 4 = 75 ? 75 × 4 ?= = 300 1 A = 225 × 300 = 67 500 67 500 cm2 = 6,75 m2

Número de pares de sapatos (centenas)

P[ABC] = 14 A–C = 14 – 4 = 5 2 Os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes e [AB] e [DE] são lados correspondentes desses triângulos. Assim, 4=5 3 ? ? = 15 = 3,75 4 R.: O comprimento do segmento de reta [EF] é 3,75 cm.

PRATICAR – págs. 114 e 119 1. 1.1.

porque o motivo que se repete é

45

46

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1.2.

1.3.

porque o motivo que se repete é

porque o motivo que se repete é

2. 2.1. a) 13 b) 52 c) 13 – 26 ou 26 – 39 ou 39 – 52 etc. … 2.2. Cada termo, exceto o primeiro, obtém-se adicionando 13 unidades ao termo anterior. Sétimo termo: 65 + 13 + 13 = 91 Oitavo termo: 91 + 13 = 104 3.

4.

Dentro da caixa estão 4 contas pretas, 1 branca e 3 pretas, tal como ilustra o esquema seguinte:

1.º monte: 3 2.º monte: 3 + 3 = 6 3.º monte: 6 + 4 = 10 4.º monte: 10 + 5 = 15 5.º monte: 15 + 6 = 21 R.: O 5.º monte terá 21 embalagens de CD.

5. 5.1. a) 5 2 6 b) 3 c) 5 16 5.2. Antecedente: 5 Consequente: 16 6. 6.1. Os termos são: 7, 3, 35, 15 6.2. Extremos: 7, 15 Meios: 3, 35 6.3. 7 está para 3 assim como 35 está para 15. 6.4. 7 × 15 = 105 3 × 35 = 105 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

7. 7.1. Por exemplo, 5 = 2 . 35 14 14 7.2. Por exemplo, = 35 . 2 5 8. 8.1. 20 = 60 35 ? ? = 35 × 60 = 105 20 ? 8.2. = 9 4,5 27 ? = 9 × 4,5 = 1,5 27 8.3. 0,5 = 3 ? 6 ? = 0,5 × 6 = 1 3 5 15 8.4. = 24 ? ? = 24 × 15 = 72 5 9. 9.1. Tabela 1 6,9 = 12 = 20,1 = 24 = 3 2,3 4 6,7 8 Há proporcionalidade direta. Tabela 2 4 = 8 = 16 ≠ 10 2 4 8 6 Não há proporcionalidade direta. 9.2. A constante de proporcionalidade é 3. 10.

1 = 7 0,95 a a = 0,95 ¥ 7 = 6,65 1 R.: O Sr. António terá de pagar 6,65€.

11.

5:1=5 9 : 2 = 4,5 Logo, o preço do frango não é diretamente proporcional ao número de frangos.

12. 12.1. a) 130, 120, 110, 100, 90, 80, 70, 60, 50, 40 b) Sequência 1: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 Sequência 2: 130, 120, 110, 100, 90, 80, 70, 60, 50 c) Com exceção do primeiro termo, cada termo é obtido multiplicando por 2 o termo anterior.

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12.2. 32 não pode ser termo da sequência 2, porque todos os termos da sequência são múltiplos de 10.

17.

Folhas de gelatina: 4 = 9 4 ? ?=9 Iogurtes naturais: 4 = 9 2 ? ? = 2 × 9 : 4 = 4,5 Leite: 4 = 9 0,5 ? ? = 0,5 × 9 : 4 = 1,125 Natas frias: 4 = 9 4 ? ?=9 Açúcar: 4 = 9 100 ? ? = 100 × 9 : 4 = 225 Arroz tufado de chocolate: 4 = 9 50 ? ? = 50 × 9 : 4 = 112,5 Logo, são necessárias 9 folhas de gelatina, 4,5 iogurtes naturais, 1,124 dl de leite, 9 dl de natas frias, 225 g de açúcar e 112,5 g de arroz tufado de chocolate.

18.

4,5 : 500 = 0,009 €/g 1,5 : 200 = 0,0075 €/g R.: A Filipa comprará a embalagem de 200 g, pois é a que apresenta a melhor relação preço/quantidade.

13. 13.1. Figura 4

Figura 5

13.2. O termo geral da sequência é 2n + 1. Para construir a figura de ordem 30, são necessários 61 quadrados (2 ¥ 30 + 1 = 61). 14. 14.1. 3.º termo: 30 4.º termo: 30 – 3 = 27 5.º termo: 27 – 3 = 24 6.º termo: 24 – 3 = 21 14.2. 3.º termo: 30 2.º termo: 30 + 3 = 33 1.º termo: 33 + 3 = 36 15. 15.1.

Figura 5

15.2. O número de ordem de cada termo é igual ao número de triângulos. Logo, a figura 20 é formada por 20 triângulos. 15.3.

Número da figura

1

2

3

4

5

6

Número de segmentos

3

5

7

9

11

13

15.4. 41 segmentos. O número de segmentos é igual ao dobro da posição da figura mais uma unidade. 15.5. Cada termo da sequência, exceto o primeiro, é obtido somando duas unidades ao termo anterior. 16. 16.1 a) A razão é 15 . 27 b) Número de rapazes: 27 – 15 = 12 Logo, a razão é 12 . 27 6 16.2 . Os rapazes são 12 (27 – 15 = 12), logo metade 27 são 6. O total dos alunos é 27 e 6 é a parte dos alunos que pratica andebol.

19. 19.1

? = 30 25 10 ? = 25 × 30 10 ? = 75 45 = 30 ? 10 ? = 45 × 10 30 ? = 15 ? × 30 = 30 10 30 × 30 ?= 10 ? = 90 A

25

10

15

30

B

75

30

45

90

47

48

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19.2 A constante de proporcionalidade é 3 (30 : 10 = 3). 19.3 Por exemplo, A tabela seguinte relaciona o número de amigos que vão a um espetáculo, A, com o preço a pagar pelas respetivas entradas, B. Completa a tabela, sabendo que as grandezas A e B são diretamente proporcionais. 20.

21.

3 = 45 9 a a = 9 ¥ 45 = 135 3 6 = 12 ou 6 = 15 ou 15 = 30 ou 12 = 30 ou 15 30 12 30 6 12 6 15 12 = 6 ou 15 = 6 ou 30 = 15 ou 30 = 12 30 15 30 12 12 6 15 6

22. 22.1. Como na compra de dois frascos é oferecido o terceiro, se o João quiser comprar seis frascos, só irá pagar quatro, pois dois são oferecidos. 4 ¥ 3 = 12 R.: Por seis frascos o João terá de pagar 12 €. 22.2. O preço a pagar não é diretamente proporcional ao número de frascos de champô. Se o João comprar um frasco paga 3 €, se comprar dois frascos paga 6 € e se comprar três frascos também paga 3 € (traz um de oferta). Logo, 3 = 6 ≠ 6 . 1 2 3 23.

1 x = 600 000 12 000 000 x = 12 000 000 ¥ 1 = 120 = 20 6 600 000 R.: No mapa, as duas cidades distam 20 cm.

24.

A. As grandezas não são diretamente proporcionais. Um aluno pode estudar muito tempo e tirar uma nota baixa, outro pode estudar pouco tempo e tirar boa nota. B. As grandezas são diretamente proporcionais. O preço a pagar varia em função do peso. C. As grandezas não são diretamente proporcionais. Duas pessoas, uma alta e uma baixa, podem ter o mesmo peso. D. As grandezas são diretamente proporcionais. O preço a pagar pelos parafusos varia de acordo com a quantidade comprada.

25. 25.1. As tostas que ficam sem nada são as que não se encontram nas posições múltiplas de 2 e 3 (não há necessidade de considerar os múltiplos de 4 pois todos os múltiplos de 4 são múltiplos de 2). Logo, serão as tostas das posições 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. Assim haverá 10 tostas sem nada. 25.2. Queijo e azeitona, pois o número 18 é múltiplo de 2 e de 3, mas não é multiplo de 4. 25.3. Sim. As tostas colocadas nas 12.ª e 24.ª posições, porque 12 e 24 são múltiplos comuns de 2, 3, 4. 26.

1.º termo: 2 2.º termo: 5 3.º termo: 2 + 5 = 7 4.º termo: 5 + 7 = 12 5.º termo: 7 + 12 = 19

27. 27.1.

Figura 4

27.2. Com exceção do primeiro, cada termo é obtido adicionando n + 1 ao anterior. 27.3. A afirmação é verdadeira, à 6ª. figura. 28. 28.1. 0 = 2 x 28 x = 28 ¥ 0 = 0 2 2 = 0,5 28 x 28 ¥ 0,5 = 7 x= 2 2 = x 28 105 x = 105 ¥ 2 = 7,5 28 Peso (kg)

0

2

0,5

7,5

Valor recebido (€)

0

28

7

105

28.2. Para sabermos qual o preço por quilograma, é necessário saber qual é a constante de proporcionalidade. 28 : 2 = 14 A constante de proporcionalidade é 14, isto é, cada quilograma de bolo de chocolate custa 14 €.

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29.

2 = 6 6 18 Aplicando a identidade fundamental das proporções, o produto dos meios tem de ser igual ao produto dos extremos, ou seja, 6 ¥ 6 = 36 e 2 ¥ 18 = 36. Como há proporcionalidade direta, então a tonalidade é a mesma.

30. 30.1.

1 = 5,5 15 000 ? ? = 5,5 × 15 000 1 ? = 82 500 82 500 cm = 0,825 km R.: Os atletas vão percorrer 0,825 km até ao primeiro posto de controlo. 1 = ? 30.2 15 000 900 000 ? = 900 000 = 60 15 000 R.: A distância entre o ponto de partida e a meta é 60 cm. 31.

30 – 12 – 12 = 6 6:2=3 Assim, B–C = 3 cm. Como as dimensões dos dois retângulos são diretamente proporcionais, vem que: 12 = 8 3 F–G Deste modo, F–G = 3 ¥ 8 = 24 = 2. 12 12 Logo, F–G = 2 cm.

2. 2.1. a) 20 b) Por exemplo, 5 e 9. 2.2. a) Sequência 1: 25, 29, 33 Sequência 2: 26, 29, 32 b) Cada termo da sequência é obtido somando 3 unidades ao termo anterior. 2.3 Sim. É o termo que se encontra na 39.ª posição (85 – – 1 = 84 e 84 é múltiplo de 4). 3. 3.1. Escala numérica 1: 300 000

Escala gráfica 0

6 km

3.2. A distância, no mapa, entre Fira e Oia é 2,5 cm. 1 2,5 = 300 000 x 300 000 ¥ 2,5 x= = 750 000 1 750 000 cm = 7,5 km R.: A distância, em linha reta, entre Fira e Oia é 7,5 km. 4.

TESTAR – págs. 124 e 125 1. 1.1. 3 7 Antecedente: 3 Consequente: 7 1.2. 3 = 18 7 ? ? = 18 × 7 = 42 3 Logo, utilizará 42 doses de farinha de trigo. 1.3. 3 ≠ 15 . 7 45 R.: Não conseguiu porque a razão entre as doses de farinha de milho e farinha de trigo não é a mesma.

3

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Para se saber se as duas razões formam uma proporção, é necessário escrever a proporção e, aplicando a propriedade fundamental das proporções, verificar se o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 = 8 3 11 2 ¥ 11 = 22 3 ¥ 8 = 24 Como 22 ≠ 24, as duas razões não formam uma proporção.

Futebol, basquetebol, râguebi, basquetebol. Basquetebol. Nas posições pares. Bola de basquetebol, pois 72 é um número par. a) Basquetebol. Ocupam todas as posições pares. As posições ímpares são ocupadas alternadamente por bolas de futebol e de râguebi. b) 10 de futebol e 10 de râguebi.

49

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6. 6.1. 4 + 4 + 3 + 3 = 14 1 = 14 150 ? ? = 150 × 14 = 2100 2100 cm = 21 m R.: A sala tem 21 m de perímetro. 6.2. 1 = 3 150 ? ? = 150 × 3 = 450 450 cm = 4,5 m 1 =2 150 ? ? = 150 × 2 = 300 300 cm = 3 m A = 4,4 × 3 = 13,5 R.: O quarto tem 13,5 m2 de área. 7. 7.1.

3. 3.1. [D] 3.2. Há 12 caixas, cada uma com 10 lápis. Assim, ao todo há 120 lápis (12 ¥ 10 = 120).

APLICAR – pág. 9

Peso (kg)

3 × 3,2 =2 4,5

3

5

3 × 11,2 =7 4,8

Preço (€)

3,2

4,8

4,8 × 5 =8 3

11,2

7.2. 3,2 = 1,6 2 O preço de 1 kg de ananás é 1,6 €. 73. Se 1 kg de ananás custa 1,6 €, então 20 kg de ananás custam 32 € (20 × 1,6 = 32). 8.

0,8 ≠ 2,4 1 4 Logo, as grandezas não são diretamente proporcionais.

Volume 2 UNIDADE 4 Sólidos geométricos APLICAR – pág. 7 1. 1.1. B, D, G e H 2. 2.1. 2.2. 2.3. 24.

D, E, G, I e J AeF BeH C

1.

A. Falsa. 320 mililitros são 32 centilitros. B. Verdadeira C. Falsa. 47 decímetros cúbicos são 47 litros.

2.

A. … 180 cm3. B. … 24 m2. C. … 2,2 dm.

3. 3.1. Vcubo = a ¥ a ¥ a Vcubo = 7 ¥ 7 ¥ 7 = 343 Vcubo = 343 mm3 343 mm3 = 0,000 000 343 m3 Vparalelepípedo = c ¥ l ¥ h Vparalelepípedo = 3 ¥ 1 ¥ 2 = 6 Logo, Vparalelepípedo = 6 m3 3.2. Volume cubo 343 mm3 = 0,000 343 dm3 = 0,000 343 ᐉ Volume paralelepipedo 6 m3 = 6000 dm3 = 6000 ᐉ 4.

4,5 : 0,75 = 6 (75 cᐉ = 0,75 ᐉ) A Eduarda vai precisar de seis garrafas.

5.

4,3 : 0,33 ≈ 13 (33 cᐉ = 0,33 ᐉ) R.: A quantia feita dá para 13 treinos.

6.

10 ¥ 33 = 330 330 cᐉ = 3,30 ᐉ = 3,30 dm3 3,30 dm3 : 3300 cm3 V = Ab ¥ h 3300 = 100 ¥ h h = 3300 : 100 = 33 R.: O prisma tem 33 cm de altura.

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APLICAR – págs. 20 e 21 3. 3.1. Frente, lado, cima. 3.2. Lado, frente, cima. 4. 4.1.

4.2.

5.

A B

C

6.

[A]

APLICAR – págs. 24 e 25 2. 2.1. O sólido C não é um poliedro porque não é limitado apenas por superfícies planas. 2.2. 12 arestas. 2.3. Zero vértices. 2.4. O sólido B, que só tem 5 faces. 3. 3.1. [C] 4. 4.1. A afirmação é falsa. Uma esfera é um não poliedro. 4.2. A afirmação é falsa. O cubo é um poliedro porque é limitado apenas por superfícies planas. 4.3. A afirmação é falsa. O cilindro é um não poliedro. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

A, C, D, F, G, I, N e O E, H, J, L e M B A, C, D, F, G, I, N e O B, E, H, J, L e M

6. 6.1. a) 4; 6; 8; 5 b) 3; 4; 6; 4 c) 6; 12; 18; 8 d) 4; 8; 12; 5 e) Triângulo, quadrado, hexágono e retângulo. 6.2. A. Verdadeira, porque todos os sólidos representados são limitados apenas por superfícies planas. B. Falsa. F+V=A+2 8 + 12 = 18 +2 20 = 20 verdade O sólido verifica a fórmula de Euler.

APLICAR – págs. 28 e 29 2.

[B]

3.

Caixa B.

4. 4.1. A. Prisma pentagonal. B. Prisma hexagonal. C. Prisma quadrangular. D. Prisma triangular. E. Prisma quadrangular. 4.2. Prismas retos: B e E: Prismas oblíquos: A, C e D. 5. 5.1. Num prisma, o número de vértices é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Logo, como o prisma tem 12 vértices, o polígono da base tem 6 lados ⎛⎝ 12 = 6 ⎛⎝, pelo que se trata de um 2 hexágono. 5.2. Num prisma, o número de arestas é sempre igual ao triplo do número de lados do polígono da base. Logo, como o prisma tem 15 arestas o polígono da base tem 5 lados ⎛⎝ 15 = 5 ⎛⎝, pelo que se trata de um 3 pentágono. 5.3. Num prisma, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o prisma tem 9 faces, então tem 7 faces laterais. Desta forma, o polígono da base terá 7 lados, pelo que se trata de um heptágono. 5.4. Num prisma, o número de faces laterais é igual ao mínimo de lados do polígono da base. Como o prisma tem 5 faces laterais, o polígono da base tem 5 lados, pelo que se trata de um pentágono.

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6. 6.1. A classificação dos prismas faz-se de acordo com o polígono da base. Como, num prisma, o número de vértices é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base, o prisma é pentagonal (número de vértices do prisma: 10; número de lados do polígono da base: 5) 6.2. A classificação dos prismas faz-se de acordo com o polígono da base. Como, num prisma, o número de arestas é sempre igual ao triplo do número de lados do polígono da base, o prisma é triangular (número de arestas: 9; número de lados do polígono da base: 3). Como os lados são de igual comprimento, o prisma é triangular regular. 6.3. A classificação dos prismas faz-se de acordo com o polígono da base. Num prisma, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o polígono tem 8 faces, tem 6 faces laterais, pelo que o polígono da base é um hexágono. Assim, o prisma é hexagonal. 6.4. A classificação dos prismas faz-se de acordo com polígono da base. Num prisma , o número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base. Como o prisma tem 7 faces laterais, o polígono da base tem 5 lados, pelo que o polígono da base é um pentágono. Assim, o prisma é heptagonal. 7. 7.1. Não. Num prisma, o número de vértices é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base, pelo que tem sempre um número par de vértices. 7.2. Prisma quadrangular. 7.3. Prisma quadrangular. 7.4. Prisma triangular. 7.5. Não. Os prismas são poliedros com duas bases geometricamente iguais; as suas faces laterais são quadriláteros com dois pares de lados paralelos. Logo, um prisma não pode ter apenas uma face pentagonal. 8. 8.1. Num prisma, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o prisma tem 5 faces laterais, sabe-se que o polígono da base tem 5 lados. Como o número de vértices é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base, o prisma tem 10 vértices.

8.2. Num prisma, o número de arestas é sempre igual ao triplo do número de lados do polígono da base. Como se sabe, o polígono da base do prisma tem 5 lados. Logo, o prisma tem 15 arestas (5 ¥ 3 = 15). 8.3. Num prisma, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o prisma tem 5 faces laterais, sabe-se que o polígono da base tem 5 lados. 8.4. A classificação dos prismas faz-se de acordo com o polígono da base. Como o polígono da base tem cinco lados (um pentágono) o prisma diz-se pentagonal. 8.5. Os prismas são poliedros com duas bases geometricamente iguais. Assim, o prisma referido tem um total de 7 faces (5 faces laterais e duas bases). 9.

Verdadeira. Todos os prismas são limitados apenas por superfícies planas, isto é, são poliedros, mas nem todos os poliedros têm duas bases geometricamente iguais, isto é, nem todos são prismas (uma pirâmide é um poliedro, mas não é um prisma).

APLICAR – págs. 32 e 33 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Quadrado, triângulo, hexágono e octógono. Quadrangular, triangular, hexagonal e octogonal. A C Nove

3. 3.1. Falsa. As faces laterais são triângulos, mas a base não tem que ser obrigatoriamente triangular; por exemplo, a base de uma pirâmide pentagonal é um pentágono. Só a pirâmide triangular tem todas as faces triangulares. 3.2. Verdadeira, porque todas as pirâmides são limitadas apenas por superfícies planas. 4.

A. Pirâmide hexagonal. B. Pirâmide pentagonal. C. Pirâmide quadrangular. D. Pirâmide triângular.

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5. 5.1. Não. Numa pirâmide, o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Logo, não pode existir uma pirâmide com um número ímpar de arestas. 5.2. A afirmação é falsa. Numa pirâmide, o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Logo, não pode existir uma pirâmide com um número ímpar de arestas. 6. 6.1. Não. As faces laterais de uma pirâmide são triângulos e sua base é um polígono. Assim, a sua base tem de ser, pelo menos, um triângulo. Nesse caso, a pirâmide é triangular e tem quatro vértices. Logo, uma pirâmide tem de ter pelo menos quatro vértices. 6.2. Uma pirâmide pode ter, no mínimo, quatro vértices. As faces laterais de uma pirâmide são triângulos e a sua base é um polígono. Assim, a sua base tem de ser, pelo menos, um triângulo e, portanto, a pirâmide é triangular. Logo, tem quatro vértices. 7.

Pirâmide hexagonal (2 ¥ 6 = 12) ou prisma quadrangular (3 ¥ 4 = 12).

8. 8.1. Numa pirâmide, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o polígono da base tem 7 lados, a pirâmide tem 8 faces (7 laterais e uma base). 8.2. Numa pirâmide, o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Como o polígono da base tem 7 lados, a pirâmide tem 14 arestas. 8.3. Numa pirâmide, o número de vértices é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um. Como o polígono da base tem 7 lados, a pirâmide tem 8 vértices. 8.4. A classificação das pirâmides faz-se de acordo com o polígono da base. Como o polígono da base é um heptágono a pirâmide diz-se heptagonal. 9. 9.1. Numa pirâmide, o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Como a pirâmide tem 5 arestas laterais, o polígono da base tem 5 vértices e, como tal, 5 lados. Logo, a pirâmide tem um total de 10 arestas.

9.2. Numa pirâmide, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o polígono da base tem 5 lados a pirâmide tem 6 faces (5 laterais e uma base). 9.3. O polígono da base tem cinco lados. Logo é um pentágono. 94. Numa pirâmide, o número de vértices é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um. Como o polígono da base tem 5 lados, a pirâmide tem 6 vértices. 10. As pirâmides são sólidos geométricos com uma única base (que é um polígono) e todas as suas faces laterais são triângulos. Sendo assim, são sólidos limitados apenas por superfícies planas, ou seja, são poliedros. Por outro lado, é óbvio que nem todos os poliedros são pirâmides porque, por exemplo, o cubo é um poliedro (porque é limitado apenas por superfícies planas) e não é uma pirâmide.

APLICAR – págs. 36 e 37 2. 2.1. Não, porque não é limitado apenas por superfícies planas. 2.2. A – Vértice B – Geratriz C – Eixo 2.3. O sólido D 2.4. A. Esfera B. Pirâmide C. Prisma D. Cilindro 2.5. B e C porque são limitados apenas por superfícies planas. 2.6. Triângulo (retângulo). 3. 3.1.

3.2.

3.3.

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4.

A. Falsa. O cone tem apenas uma base. B. Falsa. O cilindro e o cone são não poliedros. C. Verdadeira D. Falsa. A esfera não tem vértices, mas o cone tem um vértice.

6. 8 2 4 2

5. 5.1.

5.2.

6. 6.1. Frente

cima

lado

6.2. Frente

cima

lado

6.3. Frente cima

lado

6.4. Frente cima

lado

7. 7.1. Cubo 7.2. Três. 7.3. Palhinhas: 12 ¥ 0,02 = 0,24 Plasticina: 0,30 0,24 + 0,30 = 0,54 R.: A Filipa gastou 0,54 €. 7.4.

APLICAR – págs. 40 e 41

APLICAR – págs. 44 e 45

2.

2.

3. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

BeC BeC

Prisma pentagonal. Prisma triangular. Pirâmide quadrangular. Prisma hexagonal.

5. 5.1. 1,5 cm 5.2. 3 cm

Área da base do prisma

Altura

Volume do prisma

15 cm2

8 cm

a

b

10 dm

15 m3

16 cm2

c

32 000 dm3

a = 15 ¥ 8 = 120 Logo, a = 120 cm3. 15 m3 = 15 000 dm3 b = 15 000 : 10 = 1500 Logo, b = 1500 dm2. 16 cm2 = 0,16 dm2 c = 32 000 : 0,16 = 200 000 = 20 Logo, c = 20 km.

Propostas de Resolução – Manual

3. 3.1. V = a ¥ a ¥ a V = 10 ¥ 10 ¥ 10 = 1000 Logo, V = 1000 cm3. 3.2. V = p ¥ r2 ¥ h V ≈ 3,14 ¥ 32 ¥ 6 = 169,56 Logo, V = 169,56 cm3. 3.3. V = c ¥ l ¥ h V = 5 ¥ 4 ¥ 3 = 60 Logo, V = 60 cm3. 3.4. V = p ¥ r2 ¥ h V ≈ 3,14 ¥ 1,52 ¥ 8 = 56,52 Logo, V = 56,52 cm3. 4.

V2 = c ¥ l ¥ h V2 = 4 ¥ 4 ¥ 12 = 192 Logo, V2 = 192 m3. VT = 960 + 192 = 1152 Logo, VT = 1152 m3. 7.3. Vcilindro = p ¥ r2 ¥ h V ≈ 3,14 ¥ 3,52 ¥ 10 = 384,65 (d = 7 cm; r = 3,5 cm) Como temos meio cilindro: 384,65 : 2 = 192,325 R.: = 192,325 cm3. 8.

Caneca 1 V=c¥l¥h V = 9 ¥ 9 ¥ 15 = 1215 1215 cm3 = 1,215 dm3 = 1,215 ᐉ Caneca 2 V = p ¥ r2 ¥ h V ≈ 3,14 ¥ 42 ¥ 1 = 753,6 d = 8 cm; r = 4 cm 753,6 cm3 = 0,7536 dm3 = 0,7536 ᐉ R.: A Marta deve usar a caneca com a forma de um paralelepípedo porque tem capacidade para mais de 1,2 ᐉ de sumo (1 + 0,2 = 1,2).

9.

10 ¥ 33 = 330 330 cᐉ = 3,30 ᐉ = 3,3 dm3 = 3300 cm3 Vprisma = Ab ¥ h Æ 3300 = 100 ¥ h 3300 h= = 33 100 R.: O prisma tem 33 cm de altura.

4¥2=8 V=a¥a¥a V = 8 ¥ 8 ¥ 8 = 512 Logo, V = 512 cm3.

5. 5.1. Sólido D. 5.2. Os sólidos A e D, porque têm o mesmo volume (24 u.v.). 6.

Volume da panela: V = p ¥ r2 ¥ h V ≈ 3,14 ¥ 102 ¥ 15 = 4710 Logo, V = 4710 cm3. d = 20 cm; r = 10 cm 4710 cm3 = 4,710 dm3 = 4,710 ᐉ 4,71 : 2 = 2,355 Como o copo tem 1ᐉ, O Joel terá de encher o copo 3 vezes, sendo que da última vez não utilizará a água toda no copo.

7. 7.1. V = c ¥ l ¥ h V = 7 ¥ 1 ¥ 2 = 14 = 7 2 2 Logo, V = 7 cm3. ⎛ 3 1 = 3¥2+1 = 7 ⎛ ⎝ 2 2 2 ⎝

7.2. Para podermos calcular o volume do sólido, temos de dividi-lo em dois paralelepípedos. V1 = c ¥ l ¥ h V1 = 12 ¥ 16 ¥ 5 = 960 Logo, V1 = 960 m3.

PRATICAR – págs. 46 a 51 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

10 7 Duas 6 Prisma pentagonal. Sim, porque é limitado apenas por superfícies planas. Pentágono. Sim. V + F = A + 2 10 + 7 = 15 + 2 17 = 17 1.9. Sim, porque o polígono da base é pentágono com os lados todos iguais.

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2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

A, B, C, E, F, H, I e K D, G e J A, C, F, I e K FeI D, G e J

3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Heptágono (14 : 2 = 7) Pentágono (10 : 2 = 5) Pirâmide hexagonal (6 + 1 = 7) Prisma triangular (9 : 3 = 3)

4.

9.

O sólido B.

5. 5.1. VA = 2 u.v.; VB = 7 u.v.; VC = 4 u.v.; VD = 5 u.v.; VE = 6 u.v.; VF = 5 u.v.; VG = 4 u.v.; VH = 7 u.v.; VI = 6 u.v.; VJ = 2 u.v. 5.2 Por exemplo, B e H, pois têm o mesmo volume. 6.

7. 7.1.

r = 5 logo, r2 = 25 V = pr2 ¥ h V = p ¥ 52 ¥ 15 = 375 p Logo, V = 375 p dm3 e a opção correta é a [A].

Sólido

Faces F

Vértices V

Arestas A

F+V

Pirâmide quadrangular

5

5

8

10

Prisma triangular

5

6

9

11

7.2. A soma do número de faces com o número de vértices é igual ao número de arestas mais 2 unidades. 8 8.1. 13 cubinhos 8.2.

8.3. Partindo da construção anterior, verifica-se que a base do cubo é formada por 16 cubinhos (4 ¥ 4), a altura também terá 4 cubinhos. Logo, Vcubo = 4 ¥ 4 ¥ 4 = 64. 64 – 13 = 51 R.: No mínimo, o Luís necessita de 51 cubinhos.

Po = 29,7 2pr = 29,7 Logo, r = 29,7 ≈ 29,7 = 4,73 2p 2 ¥ 3,14 Vcilindro = pr2 × h Vcilindro = p × 4,732 × 21 ≈ 3,14 × 4,732 × 21 ≈ 1475,3 Logo, Vcilindro = 1475,3 cm3. ᐉ = 29,7 : 4 = 7,425 Vparalelelípedo = 7,425 × 7,425 × 21 = 1157,7431 Logo, Vparalelelípedo = 1157,7 cm3. R.: A Maria escolheu o pacote cilíndrico.

10. 10.1. Num prisma o número total de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base. Se o prisma tem 24 arestas, a base tem 8 lados (24 : 3 = 8). Como nos prismas o número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base, o prisma tem 8 faces laterais. 10.2. Num prisma o número total de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base. Se o prisma tem 24 arestas, a base tem 8 lados (24 : 3 = 8). Como nos prismas o número de vértices é igual ao dobro do número de lados do polígono da base, o prisma tem 16 vértices (8 × 2 = 16). 10.3. Numa pirâmide o número total de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base. Se a pirâmide tem 24 arestas, a base tem 12 lados (24 : 2 = 12). Como nas pirâmides o número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base, o prisma tem 12 faces laterais. 11. 11.1. Não, porque o número de arestas de um prisma é igual ao triplo do número de arestas da base e não existe nenhum número natural, cujo triplo seja 17. 11.2. Não, porque o número de arestas de uma pirâmide é igual ao dobro do número de arestas da base sendo, por isso, sempre um número par. 11.3. Não, porque o número de vértices de um prisma é igual ao dobro do número de vértices da base sendo, por isso, sempre um número par. 11.4. Sim, a pirâmide quadrangular. 11.5. Não, porque as faces laterais de um prisma são quadriláteros. 11.6. Sim, a pirâmide triangular.

Propostas de Resolução – Manual

12.

13.

14.

Como num prisma o número arestas laterais é igual ao número de lados do polígono da base e o número total de arestas é igual ao triplo do número de lados do polígono da base, o prisma tem 100 arestas laterais e 300 arestas no total. Como numa pirâmide o número arestas laterais é igual ao número de lados do polígono da base e o número total de arestas é igual ao dobro do número de lados do polígono da base, a pirâmide tem 100 arestas laterais e 200 arestas no total. Vcubo = a ¥ a ¥ a Vcubo = 20 ¥ 20 ¥ 20 = 8000 Logo, Vcubo = 8000 cm3. Vcilindro = p ¥ r2 ¥ h Vcilindro ≈ 3,14 ¥ 42 ¥ 20 = 1004,8 Logo, Vcilindro = 1004,8 cm3. Vsólido = 8000 – 1004,8 = 6995,2 Logo, Vsólido = 6995,2 cm3. 8 faces; 12 arestas; 6 vértices Verifica a relação de Euler, pois: F+V=A+2 8 + 6 = 12 + 2 14 = 14

15. 15.1. 18 caixotes 15.2. 4 ¥ 4 ¥ 4 – 18 = 64 – 18 = 46 R.: 46 caixotes. 15.3. 4 m ¥ 4 m ¥ 4 m 15.4. Um contentor alberga no máximo 64 caixotes. Como cada contentor (cheio) rende à empresa 11 456 €: 11 456 : 64 = 179 Logo, o aluguer da cada caixote é 179 €. Se um cliente pretender alugar cinco caixotes: 179 ¥ 5 = 895 R.: Para alugar 5 caixotes, o cliente terá de pagar 895 €. 16.

Vpacote = 12 ¥ 4 ¥ 4,5 = 216 Logo, Vpacote = 216 cm3. 10 × 216 = 2160 R.: O menor volume da caixa tem de ser 2160 cm3.

17.

150 000 ᐉ : 3 = 50 000 ᐉ 50 000 ᐉ = 50 000 dm3 = 50 m3 Abase = 50 : 2 = 25 Abase = 25 m2 Logo, lado = 5 m, pois a base é quadrada.

18. 18.1. Vpiscina = Ab ¥ h Vpiscina = 3 ¥ 2,6 ¥ 6 ¥ 1,5 = 35,1 2 Logo, Vpiscina = 35,1 m3. 18.2. 35,1 m3 = 35 100 dm3 = 35 100 ᐉ 0,25 = x 100 35 100 x = 0,25 ¥ 35 100 = 87,75 100 R.: O Pedro deverá comprar 87,75 ᐉ de desinfetante. 19. 19.1. Vaquário = c × l × h Vaquário = 25 × 30 × 50 = 37 500 37 500 cm3 = 37,5 dm3 = 37,5 ᐉ R.: 37,5 ᐉ. 19.2 V = 50 × 30 × 6 = 9000 Logo, V = 9000 cm3. R.: O António deve comprar 9000 cm3 de areia. 19.3 37 500 – 9000 = 28 500 Assim, 28 500 cm3 = 28,5 dm3 = 28,5 ᐉ R.: Enche completamente o copo 28 vezes e ainda terá que encher uma vez até metade da altura. 20.

A. Prisma pentagonal. B. Pirâmide quadrangular. C. Prisma hexagonal. D. Prisma retangular ou paralelepípedo. E. Pirâmide hexagonal. F. Cubo.

21.

Se duplicarmos a área da base, a altura terá de reduzir para metade de modo a manter o volume.

22.

Planificação A.

23.

10 (3 + 7 = 10)

24.

O cubo tem 12 arestas. Logo, cada aresta tem 10 m (120 : 12 = 10) Vcubo = a × a × a Vcubo = 10 × 10 × 10 = 1000 Logo, Vcubo = 1000 m3. Como o prisma e o cubo são equivalentes, o prisma também tem 1000 m3 de volume. 1000 : 25 = 40 R.: A altura do prisma é 40 m.

57

58

Matemática 6 | Guia do Professor

25.

Vcaixa = c × l × h Vcaixa = 66 × 20 × 22 = 29 040 Logo, Vcaixa = 29 040 cm3. Cada frasco tem 11 cm de diâmetro (66 : 6 = 11). Logo, o raio da base de cada cilindro é 5,5 cm (11 : 2 = 5,5). Vcilindro = πr2 × h Vcilindro = 5,52 × π × 20 = 605π Logo, Vcilindro = 605π cm3. O volume dos 12 cilindros é V = 605π × 12 = 7260π V = 7260π cm3 Logo, o volume ocupado pela areia é V = (29 040 – 7260π)cm3 ≈ 6243,6 cm3.

26. 26.1. V = c ¥ l ¥ 2 ¥ h Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos: V = 2 ¥ (c ¥ l ¥ h) O volume duplica. 26.2. Quando se duplica a altura e o comprimento: V=2¥c¥l¥2¥h Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos: V = (2 ¥ 2) ¥ (c ¥ l ¥ h) = 4 ¥ (c ¥ l ¥ h) O volume quadruplica. 26.3. Quando se duplica a altura, o comprimento e a largura: V = 2 ¥ c ¥ 2 ¥ l ¥ 2 ¥ h Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos: V = (2 ¥ 2 ¥ 2) ¥ (c ¥ l ¥ h) = 8 ¥ (c ¥ l ¥ h) O volume aumenta 8 vezes.

TESTAR – págs. 58 e 59 1. 1.1. a) A b) C c) B d) D e) D f) E g) D 1.2. A. Prisma triangular. B. Pirâmide quadrangular. C. Prisma retangular ou paralelepípedo. D. Cone. E. Prisma pentagonal.

1.3. Sim, é um poliedro convexo (5 + 5 = 8 + 2). 2. 2.1. Foram utilizados 24 cubinhos. 2.2.

2.3. Sim. Por exemplo, 2 ¥ 2 ¥ 6 ou 1 ¥ 4 ¥ 6 ou 1 ¥ 3 ¥ 8. 3. 3.1. A – 9 arestas e 6 vértices B – 8 arestas e 5 vértices 3.2. O número total de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base. 3.3. O número total de vértices da pirâmide é igual ao número de vértices da base mais um. 4.

Pirâmide pentagonal.

5.

Prisma pentagonal.

6.

VB p ¥ (2r)2 ¥ h p ¥ 22 ¥ r2 ¥ h 22 4 = = = = VA p ¥ r2 ¥ h p ¥ r2 ¥ h 1 1 A razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A é 4 para 1.

7.

1–D 2–A 3–C 4–B

8.

V = Ab ¥ h V = 8 ¥ 4 ¥ 4,83 ¥ 12 = 927,36 2 Logo, V = 927,36 m3. Outro processo Para se saber a área da base, calcula-se a área de um dos triângulos e multiplica-se pelo número de lados da base: Atriângulo = b ¥ h 2 Atriângulo = 4 ¥ 4,83 = 9,66 2 Logo, Atriângulo = 9,66 m2. Abase = 8 ¥ 9,66 = 77,28 V = Ab ¥ h V = 77,28 ¥ 12 = 927,36 Logo, V = 927,36 m3.

Propostas de Resolução – Manual

9.

10.

Vparalelepípedo = c × l × h Vparalelepípedo = 8 × 4 × 3 = 96 Logo, Vparalelepípedo = 96 cm3. Os extremos são dois meios cilindros que juntos fazem um cilindro. Assim, Vcilindro = πr2 × h Vcilindro = 22 × π × 3 = 12π. Vcilindro = 12π cm3 ≈ 37,68 cm3 Vtotal = Vparalelepípedo + Vcilindro Vtotal = 96 + 37,68 = 133,68 Logo, Vtotal = 133,68 cm3.

1.3.

Classificação de Matemática dos alunos do 6.º B no final do 3.º período 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2

3

4

5 Classificação

1.4. Como se pode ler na tabela 20% ⎛ 4 = 0,20 = 20%⎞ . ⎝ 20 ⎠

V = 549,5 cm3 r = 50 mm = 5 cm Abase = 52 × π = 25π Abase = 25π cm2 ≈ 78,5 cm2 549,5 : 78,5 = 7 Altura = 7 cm

2. 2.1. 25 – 4 – 10 – 6 = 5 Atividade depois das aulas 10

11. 11.1. Vdepósito = c × l × h Vdepósito = 60 × 40 × 20 = 48 000 Vdepósito = 48 000 cm3 = 48 dm3 11.2 Vcaneca = πr2 × h Vcaneca = 42 × π × 9 = 16 × π × 9 = 144π Vcaneca = 144π cm3 ≈ 452,16 cm3 = 0,452 16 dm3 11.3 É verdade. O volume de 100 canecas é 45,216 dm3 (0,452 16 × 100 = 45,216), que é inferior ao volume do depósito que é 48 dm3.

8 6 4 2 0 Equitação Música Inglês Informática Atividades

2.2. 16% dos alunos têm equitação como atividade extracurricular ⎛⎝ 4 = 0,16 = 16%⎞⎠ . 25 2.3. Frequência Frequência Atividade

UNIDADE 5 Representação

e interpretação de dados

absoluta

Equitação

4

Música

10

Inglês

5

Informática

6

Total

25

APLICAR – pág. 63 1. 1.1. Contando o número de classificações ficamos a saber que há 20 alunos. 1.2. Frequência Frequência Notas

absoluta

2

4

3

7

4

5

5

4

Total

20

relativa 4 20 7 20 5 20 4 20

= 0,20 = 20% = 0,35 = 35% = 0,25 = 25% = 0,20 = 20% 1 = 100%

relativa 4 = 0,16 = 16% 25 10 = 0,40 = 40% 25 5 = 0,20 = 20% 25 6 = 0,24 = 24% 25 1 = 100%

3. 3.1. 44 alunos (13 + 4 + 8 + 10 + 5 + 4 = 44). 3.2. 4 raparigas. 3.3. A afirmação é falsa porque há mais alunos que preferem voleibol (18 alunos) do que futebol (17 alunos).

59

Matemática 6 | Guia do Professor

APLICAR – pág. 65

APLICAR – pág. 67

1. 1.1. 23 portugueses 17 brasileiros 10 ingleses 14 espanhóis Número total de amigos: 23 + 17 + 10 + 14 = 64 R.: A Raquel tem 64 amigos na rede social. 1.2. Nacionalidade portuguesa. 1.3. Frequência Frequência

1. 1.1. A moda é o valor mais frequente do conjunto de dados. Logo, a moda é 3. –x = 2 + 5 ¥ 3 + 2 ¥ 4 + 5 + 6 = 36 = 3,6 10 10 1.2. A moda é o valor mais frequente do conjunto de dados. Neste caso, o conjunto de dados é bimodal, porque tem duas modas: 4 e 5. –x = 1 + 2 + 3 ¥ 4 + 3 ¥ 5 + 2 ¥ 6 + 8 +10 = 60 = 5 12 12

Nacionalidade

absoluta

Portuguesa

23

Brasileira

17

Inglesa

10

Espanhola

14

Total

64

relativa 23 ≈ 0,36 64 17 ≈ 0,27 64 10 ≈ 0,15 64 14 ≈ 0,22 64 1

1.4. Nacionalidade dos amigos da

rede social que a Raquel utiliza Frequência absoluta

60

2. 2.1. 15 + 9 + 6 = 30 R.: A equipa realizou 30 jogos. 2.2. O resultado mais frequente é aquele em que obtém 3 pontos, ou seja, é a vitória. 2.4. –x = 15 ¥ 3 + 9 ¥ 1 + 6 ¥ 0 = 54 = 1,8 30 10

25 20 15 10 5 0 Portuguesa Brasileira Inglesa Espanhola Nacionalidade

1.5. a) 30 amigos. b) Cerca de 110 amigos. 2. 2.1. A equipa tem 13 atletas. 2.2. A altura dos atletas varia entre 179 cm e 205 cm. 2.3. 17 9 18 0 1 3 6 17|9 lê-se 179 cm 19 4 7 9 20 0 1 3 3 5 2.4. 205 – 179 = 26 Logo, a diferença entre as alturas é 26 cm. 2.5. Sete atletas (com 197 cm, 199 cm, 200 cm, 201 cm, 203 cm, 203 cm e 205 cm de altura). 2.6. Há quatro atletas com altura superior a 2 m. Assim, 4 ≈ 0,31 = 31% 13

3. 3.1. –x = 328 + 227 + 301 + 345 = 1201 = 300,25 4 4 3.2. 320 ¥ 4 = 1280 1280 – (421 + 203 + 322) = 1280 – 946 = 334 R.: Vendeu 334 viagens com destino a Paris. 3.3. –x = 221 ¥ 80 + 184 ¥ 65 + 352 ¥ 70 + 281 ¥ 85 = 221 + 184 + 352 + 281 78 165 = ≈ 75 1038 R.: 75 €. 3.4. Madrid: 381 + 342 + 293 + 364 = 1380 Londres: 221 + 184 + 352 + 281 = 1038 Paris: 421 + 203 + 322 + 334 = 1280 Berlim: 328 + 227 + 301 + 345 = 1201 Logo, a moda dos destinos europeus é Madrid.

APLICAR – págs. 76 e 77 2. 2.1. Variáveis qualitativas: nacionalidade e código postal. Variáveis quantitativas: idade, número de refeições e altura. 3. 3.1. Sondagem, porque só foram inquiridos os sócios que, numa determinada tarde, saíam do ginásio, da aula de hidroginástica.

Propostas de Resolução – Manual

3.2. Todos os sócios do ginásio. 3.3. Não, porque a amostra é pouco representativa da população. A amostra é enviesada. 3.4. Partindo do princípio que o ginásio funciona com todas as modalidades simultaneamente, bastaria fazer a recolha de dados à entrada do ginásio. 4. 4.1. Não, para verificar a qualidade, os foguetes teriam de ser testados. Realizando um censo, o empresário ficaria sem foguetes. 4.2. O empresário deveria recolher uma amostra da produção. 5. 5.1. 20 – 2 – 10 – 5 = 20 – 17 = 3

Número de colegas

Desporto favorito dos colegas do Francisco

5.4. O gráfico circular. Basta observar que metade do círculo corresponde ao futebol. 6. 6.1. Natureza qualitativa. 6.2. 25% × 192 = 9,25 × 192 = 48 R.: 48 alunos. 1 6.3. . A área correspondente ao menu vegetariano é, 6 aproximadamente, um terço de metade do círculo, ou seja, 1 da área do círculo ⎛⎝ 1 × 1 = 1 ⎞⎠ . 6 3 2 6 6.4. Por exemplo, Qual é a percentagem de alunos que preferem o menu de sanduíche? (Pode ser respondida pela observação do gráfico). Nesse dia, almoçaram mais rapazes ou mais raparigas na cantina? (Não pode ser respondida pela observação do gráfico).

12 10

PRATICAR – págs. 78 a 83

8

1.

6 4 2 0 Atletismo Basquete

Futebol

Voleibol Desporto

5 = 0,5 = 25% 20 10 5.3. Futebol: = 0,50 = 50% 20 Logo, 0,5 ¥ 360º = 180º 5 Voleibol: = 0,25 = 25% 20 Logo, 0,25 ¥ 360º = 90º 2 Basquetebol: = 0,10 = 10% 20 Logo, 0,10 ¥ 360º = 36º 3 Atletismo: = 0,15 = 15% 20 Logo, 0,15 ¥ 360º = 54º 5.2.

Loja favorita: Natureza qualitativa. Tempo médio de uma visita ao centro: Natureza quantitativa contínua. Número de deslocações: Natureza quantitativa discreta.

2. 2.1. Sondagem 2.2. 540 clientes 2.3. Todos os clientes da empresa (3493 clientes). 3.

Aprendizagem de um instrumento musical

Flauta Harpa Piano Violino Guitarra

Desporto favorito dos colegas do Francisco Basquetebol

10% Atletismo 36º

15% 54º

25% Voleibol

180º

50%

Futebol

4. 4.1. Filmes (43%) 4.2. 100% – 43% – 15% – 5% – 27% = 10% R.: 10% 4.3. 27% × 1000 = 0,27 × 1000 = 270 R.: Há 270 pessoas que têm as notícias como programa preferido.

61

62

Matemática 6 | Guia do Professor

5. 5.1. Programa televisivo mais longo: 68 minutos Programa televisivo mais curto: 7 minutos 5.2. A amplitude é 61 minutos (68 – 7 = 61). 5 5.3. Há 20 programas, logo = 0,25 = 25%. 20 6. 6.1. 3 = 0,3 = 30% 10 6.2. 1 – ⎛⎝ 1 + 1 + 3 ⎞⎠ = 1 – ⎛⎝ 4 + 5 + 6 ⎞⎠ = 5 4 10 20 20 20 15 20 15 5 1 =1– = – = = 20 20 20 20 4 7.

A imagem que transmitimos Palavras

Tom de voz

10% 35%

36º 126º 198º

9.4. Que percentagem de alunos prefere Ciências da Natureza? 10. 10.1.

3 4 5 6 7 8 9

4 2 3 0 0 1 1

7 4 7 2 1 2 8

8 7 9 3 4 6 8 3 5 7 2

10.2. 34% e 98% 10.3. 98% – 34% = 64% 10.4. –x = 38 + 44 + 82 + 82 + … + 81 + 66 + 73 + 37 = 25 = 63,32% 10.5. 5 = 0,20 = 20% 25 10.6. Não satisfaz 5 20% 0,20 × 360º = 72° Satisfaz pouco

4

16% 0,16 × 360º = 57,6°

Satisfaz

9

36% 0,36 × 360º = 129,6°

Satisfaz bastante

5

20% 0,20 × 360º = 72°

Excelente

2

8%

55%

Gestos e posturas

Frequência relativa

Ângulo

Palavras

10%

0,10 × 360 = 36°

Tom de Voz

35%

0,35 × 360 = 126°

Gestos e posturas

55%

0,55 × 360 = 198°

Classificação Satisfaz pouco

9. 9.1. O objeto em estudo é a disciplina preferida dos alunos da turma da Jéssica. 9.2. Sim. Há correspondência entre as áreas e a altura das colunas. 9.3. Quantos alunos têm Educação Física como disciplina preferida?

Satisfaz

16% 36% Não satisfaz

8. 8.1. Pontuação máxima: 81 Pontuação mínima: 56 8.2. A amplitude é 25 (81 – 56 = 25). 8.3. –x = 77 + 56 + 72 + 63 + 70 + 73 + 66 + 68 + 58 + 81 + 77 + 67 = 69 12 8.4. A. Falsa. A média aumenta, pois foi retirado um valor inferior à média inicial. B. Falsa. A amplitude mantém-se porque o valor máximo e valor mínimo não foram alterados. C. Verdadeira. A moda é o valor mais frequente, ou seja, 77.

0,08 × 360º = 28,8°

20%

8%

20%

Excelente Satisfaz bastante

11. 11.1. Por observação do gráfico de barras, 23 + 11 + 5 + 1 = 40. R:. Foram entrevistados 40 atletas. 11.2. Modalidade desportiva: Natureza qualitativa. Idade: Natureza quantitativa contínua. 11.3. 16 + 3 = 29 29 = 0,725 = 72,5% 40 11.4. 0,20 × 40 = 8 R.: 8 atletas. 11.5. Por observação do gráfico, 11 + 5 + 1 = 17. R:. 17 atletas.

Propostas de Resolução – Manual

11.6. Judo: 0,125 × 40 = 5 Futebol: 0,45 × 40 = 18 Ginástica: 0,075 × 40 = 3 Natação: 0,20 × 40 = 8 Golfe: 0,15 × 40 = 6

13.6.

Frequência Frequência absoluta relativa Segunda-feira

75

Terça-feira

100

Modalidade

Frequência absoluta

Quarta-feira

120

Judo

5

Quinta-feira

180

Total

475

Futebol

18

Ginástica

3

Natação

8

Golf

6

12. 12.1. A. A afirmação é verdadeira. A moda é 6 e a amplitude é 6 (7 – 1 = 6). B. A afirmação é falsa. –x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 ¥ 6 + 7 = 45 = 4,5 10 10 C. A afirmação é falsa. O valor máximo e o valor mínimo mantêm-se. Logo, a amplitude não é alterada. D. A afirmação é verdadeira. –x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 ¥ 6 + 2 ¥ 7 = 52 ≈ 4,73 11 11 E. A afirmação é falsa. O valor mais frequente continua a ser o 6. F. A afirmação é falsa. O valor máximo e o valor mínimo mantêm-se. Logo, a amplitude não é alterada. G. A afirmação é falsa. –x = 1 + 2 + 4 + 5 + 3 ¥ 6 + 7 = 42 ≈ 4,67 9 9 Logo, a média aumenta. H. A afirmação é falsa. O valor mais frequente continua a ser o 6. 13. 13.1. Dados de natureza qualitativa. 13.2. 100 – (20 + 40 + 25) = 100 – 85 = 15 R.: 15% 13.3. 40% ¥ 180 = 0,40 ¥ 180 = 72 R.: 72 gelados. 13.4. Os dados do problema não são suficientes para determinar o número de gelados com sabor a baunilha que foram vendidos na terça-feira. 13.5. Aproximadamente 230 gelados.

75 ≈ 0,16 475

Ângulo 0,16 ¥ 360º = 57,6º

100 ≈ 0,21 0,21 ¥ 360º = 75,6º 475 120 ≈ 0,25 0,25 ¥ 360º = 90º 475 180 ≈ 0,38 0,38 ¥ 360º = 136,8º 475 1

Distribuição de vendas de gelados segundo os dias da semana

Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira

13.7. Por exemplo, Que percentagem de vendas foi realizada na terça-feira? 13.8. Não, porque a amostra é pouco representativa da população. A amostra é enviesada. 14. 14.1. Natureza qualitativa. Cor preferida 14.2. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Azul

Vermelho Verde Branca Cor preferida

7 = 0,28 = 28% 25 14.4. a) Não. Na turma B, 50% preferem a cor verde, enquanto na turma A só preferem verde 32% ⎛ 8 = 0,32 = 32%⎞ . ⎝ 25 ⎠ b) Os dados do problema não nos permitem responder a esta questão pois não sabemos o número de alunos da turma B. 14.3.

63

64

Matemática 6 | Guia do Professor

15. 15.1. A D. Maria dos Anjos tem 15 patos. Atendendo ao gráfico circular, o número de patos é 1 do número 4 total de animais. Logo, a D. Maria dos Anjos tem 60 animais (15 ¥ 4 = 60). 15.2. 6 ¥ 360º 60 15.3. 60 = Gatos 360º 72 Gatos = 60 × 72º = 12 360º Logo, porcos = 60 – 15 – 24 – 6 – 12 = 3. Animal

Frequência absoluta

Patos

15

Galinhas

24

Porcos

3

Gatos

12

Cães

6

TESTAR – págs. 88 e 89 1.

Que animais de estimação tens em casa? Natureza qualitativa. Quantos animais de estimação tens em casa? Natureza quantitativa discreta. Quanto pesa o teu animal de estimação preferido? Natureza quantitativa contínua.

2. 2.1. 46 8 47 1 3 3 4 4 5 5 6 8 8 9 48 1 1 2

46|8 lê-se 46,8 kg

2.2. 46,8 kg e 48,2 kg. 2.3. 48,2 – 46,8 = 1,4 46,8 + … + 47,8 2.4. ≈ 47,6 kg 15 2.5. 3 = 0,2 = 20% 15 R.: 20% dos dias. 3. 3.1. 360º – (72º + 112º + 120º) = 360º – 304º = 56º 72º 3.2. = 0,2 = 20% 360º 120º 1 3.3. = 360º 3 1 × 330 = 110 3 R.: 110 €.

4.

Frequência absoluta

Ângulo

Cereais e derivados, e tubérculos

28%

0,28 ¥ 360º = 100,8º

Carne, pescado e ovos

5%

0,05 ¥ 360º = 18º

Hortícolas

23%

0,23 ¥ 360º = 82,8º

Fruta

20%

0,20 ¥ 360º = 72º

Laticínios

18%

0,18 ¥ 360º = 64,8º

Leguminosas

4%

0,04 ¥ 360º = 14,4º

Óleos e gorduras

2%

0,02 ¥ 360º = 7,2º

5. 5.1. Tipo de filme: natureza qualitativa. 5.2. Por exemplo, Quantos amigos do Álvaro têm os filmes de comédia como tipo de filme preferido? 5.3. Comenta a afirmação: Mais de metade dos amigos do Álvaro têm os filmes de comédia como tipo de filme preferido. 6. 1 1 6.1. 4 . O ângulo de 90º corresponde a do círculo 4 (360 : 90 = 4). 6.2. 6 ¥ 4 = 24 R.: 24 alunos. 6.3. Laranja: 9 Morango: 6 Manga: 6 24 – 9 – 6 – 6 = 3 R.: 3 alunos.

UNIDADE 6 Números racionais APLICAR – pág. 93 1.

3 = 75% = 0,75 4

2.

1– 2 = 5 – 2 = 3 5 5 5 5 R.: 3 dos alunos da turma não têm cabelo louro. 5

Propostas de Resolução – Manual

3. 3.1. 1 + 7 = 8 3 3 3 2 15 8 7 20 27 3.2. 3 – +1= – +1= + = 5 20 20 20 20 20 4 (¥5)

4.3. 1 –

5. 5.1. Por exemplo: 5 = 6 + 1 4 8 2 5.2. Por exemplo: 12 = 44 – 20 7 14 14 5.3. Por exemplo: 1 = 7 – 6 4 8

(¥4)

3.3. 2 3 + 2 1 = 2 ¥ 4 + 3 + 2 ¥ 3 + 1 = 11 + 7 = 4 3 4 3 4 3 (¥3) (¥4) 33 28 61 = + = 12 12 12 h h h h 3.4. 3 – i 1 + 5 i + 0,1 = 3 – i 2 + 25 i + 0,1 = j 5 j 10 10 j 2j (¥2)

(¥5)

:2

4 2 3 27 1 30 27 1 3 1 = – + = – + = + = = 1 10 10 10 10 10 10 10 10 5 (¥10)

:2

h3 i j 10

h 3.5. 3 – (0,3 + 0,4) + 0,25 = 3 – + 4 i + 25 = 10 j 100 3 7 25 30 7 25 23 25 = – + = – + = + = 1 10 100 10 10 100 10 100 (¥10)

(¥10)

:5

255 51 = 230 + 25 = = 100 100 100 20 :5

2 1 3.6. 3 2 – 2 + 0,1 = 3 ¥ 3 + 2 = 11 – + = 1 10 3 3 3 (¥3)

=

11 6 1 5 – + = + 1 = 50 + 3 = 53 3 3 10 3 10 30 30 30 (¥10)

3.7.

(¥3)

7 – 1 + 3 – hi 1 + 0,5hi = 28 – 3 + 3 – hi 1 + 1 hi = j2 j 12 12 j2 3 4 2j

(¥4)

=

APLICAR – pág. 95 1. 1.1. 1 de 18 Æ 4 2 1.2. de 12 Æ 3 1.3. 5 de 24 Æ 4

(¥12)

(¥6)

3.8. 0,5 + 1 – 1 + 2 = 5 + 1 – 1 + 2 = 5 + 5 – 1 + 2 = 2 4 10 2 4 10 10 4 (¥5)

1 4 1 3 = 1 – + 2 = – + 2 = + 2 = 3 + 8 = 11 4 4 4 4 1 4 4 4

2.

Utilizando a noção de inverso: 2.1. k = 4 1 7 2.2. k = 3 2.3. k = 1 = 10 0,3 3 3. 3.1. 3 ¥ 2 + 1 = 6 + 5 = 11 5 5 5 5 h8 h h h 2 2 3.2. + ¥ i – 1i = 2 + 2 ¥ i 8 – 3 i = 2 + 2 ¥ 5/ = j 7 5 j3 7 5 j3 3j 1 5 / 3 2 = + 2 = 6 + 14 = 20 7 3 21 21 21 (¥3)

(¥4)

1 1 47 1 – 2,1 + 3 = + – 21 + 3 ¥ 3 + 1 = 3 3 10 3 10 3 (¥3)

(¥10)

(¥3)

141 10 63 10 = + – + = 30 30 30 3 (¥10)

:2

151 63 100 88 100 188 94 = – + = + = = 30 15 30 30 30 30 30 :2

4. 4.1. Como 1 > 1 , existem mais bolas verdes. 4 5 4.2. Representa a fração de bolas amarelas, verdes e cor de laranja. 1 + 1 + 2 = 4 + 5 + 2 = 9 + 2 = 5 4 13 20 20 13 20 13 (¥4)

1 ¥ 18 = 18 = 4,5 4 4 2 ¥ 12 = 24 = 8 3 3 5 ¥ 24 = 120 = 30 4 4

(¥3)

25 3 2 25 36 12 61 12 49 + – = + – = – = 12 1 2 12 12 12 12 12 12

3.9. 4,7 +

157 260 157 103 = – = 260 260 260 260

(¥5)

= 117 + 40 = 157 260 260 260

(¥13)

(¥20)

(¥7)

1 2 1 16 2 3 32 6 38 3.3. 3 ¥ 2 + : = ¥2+ ¥ = + = 5 5 3 5 5 1 5 5 5 1 2 3 1 3/ 4 1 3.4. : +1: = ¥ +1¥ = + 4 =3+8= 3 3 4 3 / 2 3 2 3 6 6 (¥3) (¥2) 11 = 6 3 3.5. + 1 ¥2+ 3 :2= 3 + 2 + 3 ¥ 1 = 3 + 2 + 3 = 5 3 4 5 3 4 2 5 3 8 (¥3)

(¥5)

9 10 3 19 = + + = + 3 = 152 + 45 = 197 15 15 8 15 8 120 120 120 (¥8)

(¥15)

3 1 13 9 117 ¥4 = ¥ = 5 2 5 2 10 1 2 7 17 7 5 35 3.7. 2 : 3 = : = ¥ = 3 5 3 5 3 17 51 3.6. 2

65

66

Matemática 6 | Guia do Professor

3.8. 0,5 : 2 + 0,3 ¥ 2 = 5 ¥ 5 + 3 ¥ 2 = 25 + 6 = 5 3 10 2 10 3 20 30 (¥3)

4.

–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4

5.

A 1 –5 B 1 –2 C10 D15

(¥2)

:3

87 29 = 75 + 12 = = 60 60 60 20 :3

3.9. 2 3 : 0,4 + 3 : 1 = 11 : 4 + 3 ¥ 5 = 11 ¥ 10 + 15 = 4 5 4 10 1 4 4 1 :2

110 240 350 175 = 110 + 15 = + = = 16 8 16 16 16 1 (¥16)

6. 6.1.

A

:2

–3 4. 4.1. 3 ¥ 35 = 3 ¥ 35 = 3 ¥ 5 ¥ 7 = 7 5 27 5 ¥ 27 5 ¥ 3 ¥ 9 9 4.2. 7 : 21 = 7 ¥ 16 = 7 ¥ 2 ¥ 8 = 8 2 16 2 21 2 ¥ 3 ¥ 7 3 5.

5 : 1 = 5 ¥ 4 = 20 = 20 4 1 1 O Tiago pode fazer 20 bolos.

6.2.

0

A –3

0

7. 7.1. –6

–5

(¥20)

(¥12)

(¥15)

(m.m.c. (3, 5, 4) = 60) 59 60 59 1 =1– = – = 60 60 60 60 6.3. 1 ¥ 12 000 = 12 000 = 4000 3 3 R.: 4000 m2

APLICAR – págs. 102 e 103 2.

A. –12,5 B. 1 2 C. –37,5 D. –3 E. 475,5 F. 3 4 G. 0

3. 3.1. 0, 33 , 13, +83 11 3.2. +83, 33 , 3 2 , 13 11 5

–3

–2

–1

0

7.2. 0

6. h h 6.1. 1 – i 1 + 2 + 1 i j3 5 4j h h h h 6.2. 1 – i 1 + 2 + 1 i = 1 – i 20 + 24 + 15 i = j 3 j 60 60 60 j 5 4 j

–4

3 4,1 5

8 9,1 10

7.3. –3 13 –2 – 5

–1

0

2 5

1

8. 1 1 8.1. –2; –1 ; –0,8; – 4 2 8.2. a) –2 < – 1 1 4 1 b) – > – 1 1 2 4 c) 0,8 > –0,8 d) – 1 > –0,8 2 8.3. A afirmação é falsa. Os números inteiros são números racionais. 9. 9.1. 0,4 > 0,31 9.2. –0,2 > –0,3 9.3. 1 = 0,5 2 9.4. – 1 < – 1 2 3 9.5. –0,345 < 0 9.6. –0,35 = – 7 20 3 4 9.7. < 4 3 9.8. +0,19999 < +2

Propostas de Resolução – Manual

10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 11.

7.4. O simétrico de –11 é 11. 0 < 11 7.5. |–14| = +14 e |+14| = +14 +14 = +14 7.6. |–15| = +15 e |+12| = +12 +15 > +12

ab dd c>b

8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Por exemplo, 2,956 km. (2,95 < 2,956 < 2,96)

APLICAR – págs. 106 e 107 3. 3.1.

–

9.

3 4

2,5

0,5

1 – 0 2

3

3.2. 3 > 2,5 > 0,5 > 0 > – 1 > – 3 2 4 1 3 3.3. ; –3; 0; ; –0,5; –2,5 2 4 3 1 3.4. ; 3; 0; ; 0,5; 2,5 2 4 3.5. 0; 3 1 3 3.6. – ; – 2 4 4. 5.

Por exemplo,

|−15| = |+15| |−3| > +1 −2 < |−70| 0 < |−3012| 3 . 4 É um número racional, negativo e não é inteiro. Logo, não pertence a Z–. Por exemplo, –

10. A. Verdadeira B. Falsa, o valor absoluto de um número positivo é sempre um número positivo. C. Falsa, o valor absoluto de um número é sempre um número não negativo. D. Verdadeira

4 . 3

Número

Simétrico

Valor absoluto

0

0

0

–2

2

2

– 2 5

+2 5

2 5

3,65

–3,65

3,65

11. A. Sendo a < 0, b < 0 e |a| < |b|, então a > b. B. Sendo a > 0, b > 0 e |a| < |b|, então a < b. C. Sendo a < 0, b < 0 e |a| = |b|, então a = b. D. Sendo a > 0, b > 0 e |a| = |b|, então a = b. E. Sendo a < 0 e b > 0, então a < b. F. Sendo a < 0 e a > b, então |a| < |b|. G. Sendo a > 0 e a < b, então |a| < |b|.

APLICAR – págs. 112 e 113 6. 2 6.1. A 1 3

3. 3.1. 4 + 3 = 7

B1– 1 3 2 6.2. – 3 6.3. A opção correta é a [B]. B –1

7. 7.1. –6 > –7 7.2. 0 > –7 7.3. |–5| = +5 +3 < +5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

3.2. 3 + (–5) = –2 A

0

1

–5

–4 –3 –2 –1

h h 3.3. – 5 + i– 3 i = – 8 = –4 2 j 2j 2 –4

–3

–

5 2

–2

–

3 2

–1

0

67

68

Matemática 6 | Guia do Professor

h h 5 3.4. 7 + i– 1 i = 6 j 3j 6 –1

–

1 3

0

5 6

1

6. 6.1. |7 – 3| = |3 – 7|, porque: |7 – 3| = |4| = 4 e |3 – 7| = |–4| = 4 h h 6.2. 1 – i– 3 i > |1 – 2|, porque: j 2j h 3h 1 – i– i = 1 + 1,5 = 2,5 e |1 – 2| = |–1| = 1 j 2j 6.3. –2 + (–0,1) < |–2 + (–0,1)|, porque: –2 + (–0,1) = –2 – 0,1 = –2,1 |–2 + (–0,1) = |–2 –0,1| = |–2,1| = 2,1

2

7 6

4. 4.1. 7 – 3 = 7 + (–3) = 4

–3 –2 –1 0 1

2

3

4

5

6

7

4.2. 5 – 12 = 5 + (–12) = –7 –7 –5 –3

0

2

4

6

7.

8 10 12

h h 4.3. –2 – 1 = –2 + i– 1 i = – 7 j 3j 3 3

Cálculo da parte dos alunos que estudaram entre 3 h e 10 h: h h h h 1 – i 1 + 1 + 1 i = 1 – i 5 + 10 + 8 i = j 8 j 40 40 40 j 4 5j (¥5)

–3

7 – 3

–2

–1

1 – 3

0

1 3

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

–

5 2

–2

–

3 2

–1

0

(¥8)

= 1 – 23 = 40 – 23 = 17 40 40 40 40 Cálculo do número de alunos que estudaran entre 3 h e 10 h: 17 ¥ 120 = 2040 = 51 40 40 51 alunos estudaram entre 3 h e 10 h.

1

h h 4.4. – 5 – i– 3 i = – 5 + 3 = – 2 = –1 2 j 2j 2 2 2 –3

(¥10)

1

2 – (–5) = 2 + 5 = +7 2 + (–7) = 2 – 7 = –5 5 + (–11) – (+2) = 5 – 11 – 2 = –6 – 2 = –8 2 – (–7) + (–5) + (–3) = 2 + 7 – 5 – 3 = + 9 – 8 = +1 3 + hi– 2 hi = 3 – 2 = 1 6 j 6j 6 6 6 –0,73 – (–0,3) = –0,73 + 0,3 = –0,43 h h – 5 – i+ 1 i = 5 – 1 = – 6 = –2 3 3 j 3j 3 3 2 1 + 1 + 3 = 9 + 1 + 3 = 13 4 4 4 4 4 4 4

8. 1 5 1 8.1. Como 1 = 6 , vem que > > . Assim, o per2 12 12 2 12 curso maior é o 1. 1 8.2. + 5 = 6 + 5 = 11 2 12 12 12 12 (¥6)

8.3. 1 – 5 = 6 – 5 = 1 2 12 12 12 12 (¥6)

1 corresponde ao percurso 3. 12 9.

:2 h h 26 13 5.9. 12 – i– 2 i = 12 + 2 = 24 + 2 = = 7 7 j 14 j 7 14 14 14 14 (¥2)

b

:2

2 4 6 1 hi 3 hi hi 4 hi 1 3 4 + – – + = – – =– – =– 5 5 5 5 j 5j j 5j 5 5 5 h 1h 1 5.11. 0,4 + i– i – (–0,25) = 0,4 – + 0,25 = j 2j 2 = 0,4 – 0,5 + 0,25 = –0,1 + 0,25 = +0,15 1 11 3 6 11 5.12. –3 – (–0,6) + 2 = –3 + 0,6 + = – + + = 5 5 1 10 5

0

1

4 3

4 –b 3

4 4 – b = + (–b) 3 3

5.10.

(¥10)

:2

=–

2 1 30 6 22 24 22 + + =– + =– =– 10 5 10 10 10 10 10 :2

(¥2)

10. 1 1 + 1 =– 2 + 1 =– 1 10.1. a) – + 0,1 = – 5 5 10 10 10 10 (¥2)

4 hi se subtrairmos à soma uma 5j das parcelas obtemos a outra paecela. h 4h h 4 h 1 Assim, i+ i – (+0,1) = i+ i – = j 5j j 5 j 10 (¥2) h 8h 1 7 = i+ i – =+ = 0,7 j 10 j 10 10 Nas bolas estavam escritos os números +0,7 e 0,1.

b) (?) + (+0,1) =

h i+ j

Propostas de Resolução – Manual

h h h h h h c) i+ 4 i + (+0,1) = i+ 4 i + i+ 1 i = j 5j j 5 j j 10 j (¥2)

h i+ j

8 hi hi 1 hi 9 + + =+ 10 j j 10 j 10 h 4h h 4h h 1h h 4 h h1h 10.2. i– i + (–0,1) = i– i + i– i = i– i – i i = j 5j j 5j j 10 j j 5 j j 10 j

4 4 e . 5 5 1 4 7.4. Por exemplo, – e . 3 3 7.3. Por exemplo, –

7.5. Por exemplo, –4 e 4.

(¥2)

h i– j

=

8 hi hi 1 hi 9 – =– = –0,9 10 j j 10 j 10

Por exemplo, –

9.

– 3 = –0,3 10 –0,3 < –0,29 < –0,288 R.: –0,29

PRATICAR – págs. 114 a 119 1.

[B]

10. 10.1. –2 < –1 10.2. –5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4

2. 2.1. 3 + 5 = 8

0

4

5

6

7

8

–4 –3 –2 –1

0

1

2

3

11. 11.1. 3.° piso porque (–1) + (+4) = –1 + 4 = +3. 11.2. 6 andares, porque 3 – (–3) = 3 + 3 = 6. 11.3. a) Piso 0, porque (–3) + (+3) = 0. b) Piso –1, porque (–3) + (+4) + (–2) = –1.

5

12. 12.1.

1

2

3

2.2. 3 + (–5) = –2

–5

9 . 2

8.

2.3. 3 – 5 = –2 –2

–1

0

1

2

3

4

2.4. 3 – (–5) = 8

–5

12.2.

–2

0

2

4

6

8

3.

3 – |2 – (+6)| = 3 – |2 – 6| = 3 – |–4| = 3 – 4 = –1

4.

Por exemplo, a = 1 e b = 1 . 3

5.

[B]

2

–1

0

1 11 2 4 +3

→

→

–0,25 0

→

6. 6.1.

1

2

3

4

13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8.

3 + (–5) = 3 – 5 = –2 –7 + (–12) = –7 – 12 = –19 –8 + 13 = +5 –12 – 30 = –42 0,5 + 1,7 = 2,2 –0,1 + (–0,98) = –0,1 – 0,98 = –1,08 –3 – 4 = –7 –0,33 – 1,35 = –1,68 13 hi 5 hi 13 5 18 13.9. – – = + = =9 2 j 2j 2 2 2 :2

6.2. 3 > 11 > 2 1 > 0 > –0,25 4 3

1 h 3h 1 3 2 1 13.10. – – i– i = – + = = 4 j 4j 4 4 4 2

7. 7.1. Por exemplo, 7 e 6 . 4 3 7.2. Por exemplo, – 1 e – 4 . 2 2

h h 3 2 5 13.11. – 3 + i– 2 i = – – = – = –1 5 5 5 5 j 5j 13.12. –3,9 + 0,23 + (–0,12) = –3,9 + 0,23 – 0,12 = = –3,67 – 0,12 = –3,79 13.13. –3 + (–5) – (–2) – 4 = –3 – 5 + 2 – 4 = –8 + 2 – 4 = –6 – 4 = –10

:2

69

70

Matemática 6 | Guia do Professor

13.14. –3,1 – 2,3 + 4,7 – 3 = –5,4 + 4,7 – 3 = –0,7 – 3 = –3,7 :3

9 3 2 5 – =– 4 – 5 =– = – 6 2 3 6 6 6

13.15. –

(¥2)

14. 14.1.

–3,5

:3

–

18.7.

3 4

–4

0

+2 +3,5

+7

14.2. –3,5 e 3,5 14.3. –4 < –3,5 < – 3 < 0 < +2 < +3,5 < +7 4 14.4. 3 4 14.5. 4 15.

18.2. 18.3. 18.4. 18.5. 18.6.

18.8. 18.9. 18.10. 18.11.

[A] 18.12.

16. 16.1. a) +14,75 m b) –13m c) (–13) + (–2) = –13 – 2 = –15 h h h h h h d) i– 45 i + (+5) = i– 45 i + i+ 20 i = – 45 + 20 = j 4j j 4j j 4j 4 4 25 =– 4 h Í Èh ÈÍ 16.2. Í[(–13) + (+3)] – Í i– 45 i + (+3)ÍÍ = j j 4 Í Î ÎÍ h 45 hÍ Í 3 = Í(–13 + 3) – i– + iÍ = j 4 1 jÍ Í (¥4)

h 45 12 h Í Í = Í(–10) – i– + iÍ = j 4 4 jÍ Í Í h 10 h h 33 h Í = Í i– i – i– i Í = Íj 1 j j 4 jÍ

19. 19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6. 19.7. 19.8.

(¥4)

Í 40 33 Í = Í– + Í= 4Í Í 4 Í 7Í 7 = Í– Í = Í 4Í 4

17. h h h h 17.1. i– 2 i + 5 = i– 2 i + 15 = 13 j 3j j 3j 1 3 3 (¥3)

19.9.

0 > –7 |–10| = |+10| |–25| < |–30| |–40| > |+20| |–18| < +20 2 1 – –90

28 20 3 51 =– – – =– 10 10 10 10 19.13. –32,4 + (–4,7) = – 32,4 – 4,7 = –37,1

(¥10)

(¥2)

(¥10)

Propostas de Resolução – Manual

19.14. 45,4 + 3,004 = 47,404 3 19.15. –80,1 – = –80,1 – 0,3 = –80,4 10 20.

3 31 e 10 100

21. 21.1. –7,9 > –7,91 21.2. – 3 > – 5 8 8 21.3. –7,3 = –7 3 10 –7 3 = – 73 = –7,3 10 10 1 21.4. – = –0,5 2 21.5. –3,002 > –3,02 21.6. 4,3333 < 4 1 3 1 13 4 = = 4,33(3) 3 3 22. 22.1. O baile de máscaras deu lucro de 58,75. As despesas foram: (-52,5) + (-63,75) = 116,25 € e as receitas 175 €. Logo o lucro foi: 175 – 116,25 = 58,75 € 22.2. Deu mais lucro a venda de porta-chaves: 58,75 < 85,30 < 115,65 (nota que 128,45 – 12,8 = = 115,65) 22.3. A associação conseguiu 259,70 € para ajudar o canil, pois as receitas foram 85,30 € + 175 € + 128,45 € = = 388,75 € e as despesas foram (–52,5 €) + (–63,75 €) + + (–12,8 €) = –129,05 € Logo, conseguiu juntar (+388,75 €) + (–129,05 €) = = 259,70 € 23. 23.1. |–2,5| = +2,5 ou |+2,5| = +2,5 Í Í Í Í Í Í Í Í 23.2. Í– 1 Í = Í– 1 Í ou Í+ 1 Í = Í– 1 Í Í 3Í Í 3Í Í 3Í Í 3Í 23.3. |+6| = |–6| ou |–6| = |–6| Í 3Í 3 23.4. Í– Í = Í 5Í 5 23.5. 5 + (–2) = +3 porque (+5) – (+3) = –2 1 h 1h 23.6. – + i+ i = 0 3 j 3j 23.7. (–7) + (+5) = –2 porque (–2) – (+5) = –2 – 5 = –7 23.8. –7,5 – (2,5) = –10 porque 10 – 7,5 = 2,5

Í Í 23.9. 1 + 1 = Í– 2 Í 3 3 Í 3Í

24.

A –1

B

0,25 1 1 0 – – 2 4

4 1 5

25. 25.1. Laranjas: 400 ¥ 0,5 = 200 200 + 346 = 546 400 – 36 = 364 546 = 1,5 364 Abacaxi: 100 ¥ 0,9 = 90 100 – 20 = 80 80 ¥ 1,2 = 96 96 – 90 = 6 Maçãs: 300 ¥ 0,25 = 75 300 ¥ 0,7 = 210 210 – 75 = 135 Tipo de Fruta

QuantiQuantidade dade comprada estragada

Preço de compra

Preço de venda

Saldo

4 €/kg

8 €/kg

–64 €

Morangos

100 kg

58 kg

Laranjas

400 kg

36 kg

0,50 €/kg 1,5 €/kg +346 €

Abacaxi

100 kg

20 kg

0,90 €/kg 1,2 €/kg

Maçãs

300 kg

0 kg

0,25 €/kg 0,7 €/kg +135 €

Uvas

60 kg

25 kg

1 €/kg

2 €/kg

+6 €

+10 €

25.2. a) Morangos b) O saldo seria +497 € (346 + 6 + 135 + 10 = 497). 25.3. 1480 – (–64 + 346 + 6 + 135 + 10) = 1479 – 433 = = 1048 € O saldo obtido nas outras 3 semanas foi 1048 €. 26. 26.1. –3 –5 + (–2) – (–3 – 5 + 4) = –3 – 5 – 2 + 3 + 5 – 4 = = –14 + 8 = –6 4 h 6 2h 26.2. – – i– + i – 5 = –2 – (–2 + 2) = –2 – 5 = –7 2 j 3 1j (¥3)

2 4 h 1 2h 5 4 h 1 6h 26.3. –1 – + i– + i = – – – i– + i = 3 6 j 3 1j 3 6 j 3 3j (¥3)

5 4 h 5h 5 2 5 2 = – – – i– i = – – + = – 3 6 j 3j 3 3 3 3 7 26.4. 3 – 0,45 – + (2 – 5) = 3/ – 0,45 – 0,7 – 3/ = –1,15 10

71

72

Matemática 6 | Guia do Professor

h h 26.5. 7 – 2 + 1 – i– 1 i + (–2 – 5) = 3 3 1 j 3j (¥3)

7 2 3 1 7 7 2 3 1 21 – + + – = – + + – = 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 (¥3) 12 =– = –4 3 h3 h3 1h 2h 26.6. – i – i + |3 – 4| – 2 = – i – i + |–1| – 2 = j4 j4 2j 4j =

b) 157, 25 – 2,7 = 154, 55 R.: A Aurora tem, aproximadamente, 1,55 m de altura. c) 157,25 – 0 = 157,25 R.: A Maria tem, aproximadamente, 1,57 m de altura.

(¥2)

=–

27

–3

h1h i i j4j

+

1 2 1 4 8 9 4 5 – =– + – =– + =– 1 1 4 4 4 4 4 4

(¥4)

(¥4)

3 1 1 < –3,22 < –3 < 3 < 3 < 3,8 3 8 2

28. 28.1. –17 28.2. C 28.3. Entre I e H. 28.4. 7 e 4. 2 29. 29.1. A fatura da luz foi de 75 €. 29.2. 754 – 351 = 403 R.: 403 € 29.3. 323 + 127 = 450 R.: 450 € 29.4. –370 + 400 = 30 R.: 30 € 29.5. 108 + 24 = 132 R.: 132 € 30. 30.1. A Mariana, a Catarina e a Marília. 30.2. Sim, a Maria. 30.3. a) 1,62 + (–0,05) = 1,62 – 0,05 = 1,57 R.: A Helena tem, aproximadamente, 157 m de altura. b) 1,62 + 0,083 = 1,703 R.: A Catarina tem, aproximadamente, 1,703 m de altura. c) 1 7 = 17 = 1,7 10 10 1,62 + 0,017 = 1,637 R.: A Marília tem, aproximadamente, 1,637 m de altura. 30.4. a) 158 – 3 = 158 – 0,75 = 157,25 4 R.: O Luís tem, aproximadamente, 1,57 m de altura.

TESTAR – págs. 124 e 125 1. 4 h 1h 1.1. – – i– i < – 2 + |–1| 3 j 2j 3 4 h 1h 4 1 Por uma lado, – – i– i = – + = 3 j 2j 3 2 (¥3)

(¥3)

8 3 5 + =– 6 6 6 Por outro lado, 2 2 – + |–1| = – + 1 = 3 3 2 3 1 =– + = 3 3 3 5 1 Assim, – < . 6 3 1.2. |–8| > |4| (|–8| = 8 e |4| = 4) h h 1.3. |–7| – i– 4 i = +7 + 4 j 7j 7 h 4h De facto, |–7| – i– i = j 7j 4 = |–7| + = 7 4 =7+ 7 =–

2. 2.1. 750,7 + 1233,45 = 1984,15 R.: O André ficou com um saldo de 1984,15 €. 2.2. 750,7 + (–177,77) = 750,7 – 177,77 = 572,93 R.: O André ficou com um saldo de 572,93 €. 3. 1 2 13 3 3.1. A 1 ; B 1 2 ; C 1 – ;D1 4 3 8 2 3 3.2. – 2 Í 13 Í 13 3.3. Í– Í = Í 8Í 8 3.4. Não, porque não há nenhum ponto cuja abcissa seja um número inteiro positivo. h1h 3.5. Ponto A i i j4j

Propostas de Resolução – Manual

h h h h 3.6. i– 13 i + i+ 1 i = – 13 + 1 = – 13 + 2 = – 11 j 8j j 4j 8 4 8 4 8 (¥2)

3.7.

1 – hi 3 hi = 1 – 3 = 1 – 6 = – 5 4 j2j 4 2 4 4 4 (¥2)

4. 3 3 4.1. – – (–1) = – + 1 = – 3 + 4 = 1 4 4 1 4 4 4

8..

|0| = 0 O simétrico de 0 é 0. Í 3Í 3 Í– Í = Í 5Í 5 O simétrico de – 3 é + 3 . 5 5 |–0,1| = 0,1 O simétrico de –0,1 é 0,1.

(¥4)

4.2. –3 + 2 – 5 – (–3) = –3/ + 2 – 5 + 3/ = –3 4.3. +0,25 – 1,2 + 1 = 0,25 – 1,2 + 0,2 = –0,95 + 0,2 = 5 = –0,75 4.4. –4 + (–1) – (–2) + 12 = –4 – 1 + 2 + 12 = –5 + 2 + 12 = = –3 + 12 = +9 :2

h h 2 1 4.5. 3 + i– 4 i = 3 – 4 = 6 – 4 = = 7 j 14 j 7 14 14 14 14 7 (¥2)

4.6. –0,15 + 5..

h i– j

:2

1 hi = –0,15 – 0,5 = –0,65 2j

Ponto A.

6. 6.1. –7 é um número inteiro, mas não é um número natural. 6.2. 5,3 é um número racional, mas não é um número inteiro. 6.3. – 11 é um número racional negativo. 3 6.4. Todos os números inteiros são números racionais. 7..

– 1 + |–13| – (–13) = – 1 + 13 + 13 = 2 2 1 1 (¥2)

=–

1 26 26 51 + + = 2 2 2 2

(¥2)

9. 9.1. 200 + (–800) + (–1000) + 500 + (–900) + (–1200) = = –3200 0 + (–900) + (–600) + 500 + (–900) + (–700) = 2600 (–700) + 0 + 200 + 0 + (–1000) + (–800) = –2300 Logo, a opção correta é a [A]. 9.2. Atendendo à justificação dada em 9.1., o Carlos foi quem perdeu mais peso e o Pedro foi quem perdeu menos. 9.3. 82 – 3,2 = 78,8 R.: 78,8 kg 9.4. 94 – 2,6 = 96,6 R.: 96,6 kg 9.5. 75 kg = 75 000 g 75000 + (–700) + 200 + (–1000) + (–800) Outro processo 75 – 0,7 + 0,2 – 1 – 0,8 10. 10.1. –1 10.2. –2 + (–2) = –4 10.3. A Rita tem razão porque o dado tem mais faces com números negativos (três) do que com números positivos (duas). Assim, neste jogo o Vítor tinha mais possibilidades de ganhar.

73

3

3

3

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Caderno de Atividades As resoluções assinaladas com

encontram-se

disponíveis em formato projetável, em bem como as resoluções dos Testar e Provas Globais

76

Matemática 6 | Guia do Professor

Caderno de atividades

7. 7.1.

UNIDADE 1 Figuras no plano PRATICAR – págs. 8 a 15 1.

A, C e D.

2.

A e B.

3. 3.1. A = P ¥ ap 2 P = 8 ¥ 8,29 = 66,32 cm Assim, A = 66,32 ¥ 10 = 2 = 33,16 ¥ 10 = = 331,6 Logo, A = 331,6 cm2. 3.2. A = P ¥ ap 2 P = 6 ¥ 4,62 = 27,72 cm Assim, A = 27,72 ¥ 4 = 2 = 13,86 ¥ 4 = = 55,44 Logo, A = 55,44 cm2. 3.3. A = P ¥ ap 2 Logo, A = 119 ¥ 17 = 2 = 59,5 ¥ 17 = = 1011,5 Logo, A = 1011,5 cm2. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Não é uma isometria. É uma isometria (translação). É uma isometria (reflexão). É uma isometria (rotação).

5. 5.1. Por exemplo, C. 5.2. Por exemplo, H. 5.3. Por exemplo, B. 6.

[C]

7.2.

7.3.

7.4.

8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Não é eixo de reflexão. Não é eixo de reflexão. Não é eixo de reflexão. É eixo de reflexão.

9. 9.1. Pç = 2pr Pç interior ≈ 2 ¥ 3,14 ¥ 2 = 12,56 Logo, Pç interior = 12,56 cm. O diâmetro da circunferência exterior é 8 cm (2 ¥ 4 = 8). Logo, o seu perímetro é 4 cm. Assim, Pç exterior = 2 ¥ 3,14 ¥ 4 = 25,12 Logo, Pç exterior = 25,12 cm. Pfigura = 12,56 : 2 + 25,12 : 2 + 4 = = 6,28 + 12,56 + 4 = = 22,84 Logo, Pfigura = 22,84 cm. A A 9.2. Afigura = ç exterior – ç interior 2 2 Aç = pr2 Aç exterior ≈ 3,14 ¥ 42 = = 3,14 ¥ 16 = = 50,24 Aç interior ≈ 3,14 ¥ 22 = = 3,14 ¥ 4 = = 12,56

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

Assim,

14.

Afigura = 50,24 – 12,56 = 2 2 = 25,12 – 6,28 = = 18,84 Logo, Afigura = 18,84 cm2. 10. 10.1. CBˆA = 90º porque o raio de uma circunferência é perpendicular à reta tangente à circunferência no ponto de tangência. 10.2. A C

B

10.3. A mediatriz do segmento de reta [AB] é paralela à reta [BC]. 11.

Como a reta r é a bissetriz do ângulo ABC, ABˆD = = DBˆC = 45º = 22,5º. 2 Num triângulo, a lados de igual comprimento opõem-se ângulos de igual amplitude. Logo, BDˆA = = ABˆD = 22,5º. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, a amplitude do ângulo DAB é 135º (180º – 2 ¥ 22,5º = 135º).

12. 12.1.

Aquadrado = ᐉ ¥ ᐉ Aquadrado = 5 ¥ 5 = 25 Apolígono regular = P ¥ ap 2 Apentágonos = 2 ¥ 5 ¥ 5 ¥ 3,44 = 2 = 25 ¥ 3,44 = = 86 Aheptágono = 7 ¥ 5 ¥ 5,19 = 90,825 2 Aç = pr2 Aç = 3,14 ¥ 3,462 ≈ 37,59 ATotal = (25 + 86 + 90,825) – 37,59 = = 201,825 – 37,59 = = 164,235 Logo, ATotal = 164,235 m2.

15. 15.1. Simetria de rotação. 15.2. É um triângulo equilátero. 15.3. ᐉ = 30 : 3 = 10 cm A= b¥h 2 10 ¥ 8,7 = 87 = 43,5 A= 2 2 Logo, ATotal = 261 cm2. Outro processo Ahexágono = P ¥ ap 2 6 Ahexágono = ¥ 10 ¥ 8,7 = 261 cm2. 2 15.4. As amplitudes dos ângulos internos do triângulo são: 72º, 72º e 36º. 360 : 10 = 36º 180 – 36 = 144º 144 : 2 = 72º 72º 72º 36º

12.2. [C]. É a única situação em que as dobras correspondem a eixos de reflexão entre os furos. 13.

A Francisca não tem sempre razão. Se os eixos de reflexão forem paralelos, a composição de duas reflexões corresponde a uma translação. Por exemplo,

16. 16.1. Sim, tem nove eixos de simetria. B A

C

I

D

O

E

H G

F

77

78

Matemática 6 | Guia do Professor

16.2. O transformado é o triângulo [BOA]. 360° : 9 = 40° 120° : 4° = 3

3.2. A composição de duas reflexões em eixos paralelos é uma translação.

B A

I

C

D

40º O 40º 40º

4. 4.1.

B’

A’

E

H G

C

F

16.3. A distância percorrida pelo ponto A é 27,91 cm, que corresponde a 4 9 do perímetro da circunferência. Pç = 2pr Pç ≈ 2 ¥ 3,14 × 10 = 3,14 × 20 = 62,8 Logo, Pç ≈ 62,8 cm. 4 Então, 9 × 62,8 = 27,91

4.2.

O

C’

A

B

A

B

C

R.: 27,91 cm

TESTAR – págs. 16 e 17 1.

Pç = p ¥ d Pç ≈ 3,14 ¥ 3 = 9,42 Logo, Pç = 9,42 cm. Aç = pr2 Aç ≈ 3,14 ¥ 1,52 = = 3,14 ¥ 2,25 = = 7,065 Logo, Aç = 7,065 cm2. Phexágono = 6 ¥ 1,74 = 10,44 Logo, Phexágono = 10,44 cm. P Ahexágono = ¥ ap 2 10,44 ¥ 1,5 = Ahexágono = 2 = 5,22 ¥ 1,5 = = 7,83 Logo, Ahexágono = 7,83 cm2.

5. 5.1.

60°

A 60°

60°

Triângulo equilátero acutângulo.

B

Tiângulo isósceles acutângulo.

C

Triângulo escaleno obtusângulo. 5.2. Não tem eixos de reflexão.

2. 2.1. Reflexão. 2.2. Translação. 2.3. Rotação. Não tem eixos de reflexão

3. 3.1. Figura B.

5.3. O triângulo equilátero tem três eixos de simetria, o triângulo isósceles dois eixos de simetria e o triângulo escaleno não tem eixos de simetria.

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

UNIDADE 2 Números naturais e potências

4.3.

PRATICAR – págs. 22 a 29 1.

Potência 4 6¥6 5¥5¥5 2¥2¥2¥2¥2

Forma Valor Base Expoente abreviada numérico 41

4

1

4

2

6

2

36

3

5

3

125

5

2

5

32

6 5 2

2. 2.1. 53 = 5 ¥ 5 ¥ 5 = 125 24 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 16 2.2. 2 = = 6 6¥6 36 h1h3 1 2.3. i i = ¥ 1 ¥ 1 = 1 j3j 3 3 3 27 3 2¥2¥2 8 2.4. 2 = = 6 6 6 h 1 h 3 h 3 ¥ 3 + 1 h 3 h 10 h 3 10 ¥ 10 ¥ 10 1000 i = i i = 2.5. i3 i = i = j 3j j j j3j 3 3¥3¥3 27 2 h h 2.6. 0,42 = i 4 i = 4 ¥ 4 = 16 j 10 j 10 10 100 3. 3.1. 13 + 104 ¥ 02 = 1 ¥ 1 ¥ 1 + 10 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 + 0 ¥ 0 = = 10 001 3.2. 22 + 101 – 4 = 2 ¥ 2 + 10 – 4 = 10 3.3. 122 – 102 + 1011 = 12 ¥ 12 – 10 ¥ 10 + 101 = = 144 – 100 + 101 = 145 3.4. 33 – 101 – 0254 = 3 ¥ 3 ¥ 3 – 10 – 0 = 27 – 10 = 17 3.5. 102 + 103 – 10 + 52 = = 10 ¥ 10 + 10 ¥ 10 ¥ 10 – 10 + 5 ¥ 5 = = 100 + 1000 – 10 + 25 = 1115 3.6. (23)2 – 82 + 1100 = (2 ¥ 2 ¥ 2)2 – 82 + 1100 = = 82 – 82 + 1 = 1 4. 4.1. 43 ¥ 23 : 82 + 32 = = (4 ¥ 2)3 : 82 + 32 = = 83 : 82 + 32 = = 83 – 2 + 32 = = 81 + 32 = =8+9= = 17 4.2. 5 – 32 ¥ 2 + (32 – 22)2 + (22)2 = = 5 – 9 ¥ 2 + (9 – 4)2 + 24 = = 5 – 18 + 52 + 16 = = 5 – 18 + 25 + 16 = = 46 – 18 = = 28

63 ¥ 62 = 28 : 24 63 + 2 = 8–4 = 2 65 = 4= 2 (2 ¥ 3)5 = = 24 25 ¥ 35 = = 24 = 25 – 4 ¥ 35 = = 2 ¥ 35 = = 2 ¥ 243 = = 486

5.

Por exemplo, 25 = 16 + 9, isto é, 52 = 42 + 32.

6.

A. Um número maior do que 1 que tenha exatamente dois divisores, o 1 e ele próprio, diz-se um número primo. B. Um número composto é um número maior do que 1 com três ou mais divisores. C. Existe um número que não é primo nem composto. Esse número é o um.

7. 7.1. 14 2 7 7 1 14 = 2 ¥ 7 7.2. 15 3 5 5 1 15 = 3 ¥ 5 7.3. 19 19 1 7.4. 100 2 50 2 25 5 5 5 1 100 = 2 ¥ 2 ¥ 5 ¥ 5 = 22 ¥ 52 8.

2 ¥ 5 ¥ 32 = 2 ¥ 5 ¥ 3 ¥ 3 = 90

9.

Por exemplo: 8, 9 e 10.

10.

Número de álbuns: 10 Número de páginas: 10 × 10 = 100 Número de fotografias: 10 × 10 × 10 = 1000 R.: 1000 fotografias.

79

80

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11.

63 = 6 × 6 × 6 = 216 Logo, a opção correta é a [C].

12.

(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32 = = 32 + 2 + 2 + 2 = = 38

13. 13.1. 912 × 95 = 912 + 5 = 917 13.2. 236 × 23 = 236 + 1 = 237 h h9 h h3 h h9–3 h6h6 13.3. i 6 i : i 6 i = i 6 i =i i j7j j7j j7j j7j 9 9 – 1 8 13.4. 13 : 13 = 13 = 13 13.5. 35 × 45 = (3 × 4)5 = 125 h 5h9 h 8h9 h3 8 h 9 24 9 13.6. i i × i i = i × i = j3j j 7j j5 35 7j 19 19 19 13.7. 20 : 5 = (20 : 5) = 419 13.8. 1252 : 52 = (125 : 5)2 = 252 13.9. 52 × 53 × 105 = 55 × 105 = 505 13.10. 108 : 58 × 27 = 28 × 27 = 215 13.11. 84 : 82 : 22 = 84 – 2 : 22 = 82 : 22 = (8 : 2)2 = 42 13.12. 254 × 44 = 1003 = (25 × 4)4 : 1003 = 1004 – 1003 = = 1004 – 3 = 1001 14. 14.1.

18. 18.1. 52 = 25 18.2. 23 = 8 18.3. 72 = 49 h8h2 64 18.4. i i = j7j 49 3 18.5. (0,4) = 0,064 18.6. 110 000 = 1 18.7. 0,13 = 0,001 h h5 1 18.8. i 1 i = j 10 j 100 000 18.9. 0300 = 0 19.

Se o número termina em 6 é garantidamente divisível por 2. Sendo assim admite pelo menos três divisores (o 1, o 2 e o próprio número), pelo que é um número composto.

20.

(q ¥ r)5 = (q ¥ r) ¥ (q ¥ r) ¥ (q ¥ r) ¥ (q ¥ r) ¥ (q ¥ r) = =q¥r¥q¥r¥q¥r¥q¥r¥q¥r= = q ¥ q ¥ q ¥ q ¥ q ¥ r ¥ r ¥ r ¥ r ¥ r = q5 ¥ r5

21.

Número de pisos: 7 Número de apartamentos do prédio: 7 ¥ 7 Número de pessoas que moram no prédio: 7 ¥ 7 ¥ 7 = 343 R.: No prédio número sete da Rua do Sete moram 343 pessoas.

16

4

×

4 22.

2

×

2

×

2

×

2 23.

24

6

2

×

×

3

×

4

2

×

43 = 4 ¥ 4 ¥ 4 = 4 ¥ 4 ¥ 4 = hi 4 hi 3 23 2 ¥ 2 ¥ 2 2 2 2 j 2 j

2

14.2. 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24 24 = 3 × 2 × 2 × 2 = 3 × 23 15.

10 000 000 = 107

17.

O maior divisor de um número é o próprio número. R.: 32

613 : 213 ¥ 34 = = (6 : 2)13 ¥ 34 = = 313 ¥ 34 = = 313 + 4 = = 317

24. 24.1. 145 = = (2 ¥ 7)5 = = 25 ¥ 75 24.2. 67 = = (2 ¥ 3)7 = = 27 ¥ 37 24.3. 105 ¥ 125 = = (2 ¥ 5)5 ¥ (22 ¥ 3)5 = = 25 ¥ 55 ¥ (22)5 ¥ 35 =

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

= 25 ¥ 55 ¥ 22 ¥ 5 ¥ 35 = = 25 ¥ 55 ¥ 210 ¥ 35 = = 25 + 10 ¥ 35 ¥ 55 = = 215 ¥ 35 ¥ 55

Logo, :8

56 7 = 72 9 :8

25. 25.1. 72 + 103 = 7 ¥ 7 + 100 = 49 + 100 = 149 25.2. (3 + 23)2 = (3 + 2 ¥ 2 ¥ 2)2 = (3 + 8)2 = 112 = 121 25.3. 63 – 32 = 6 ¥ 6 ¥ 6 – 3 ¥ 3 = 216 – 9 = 207 25.4. (22 – 3)3 = (2 ¥ 2 – 3)3 = (4 – 3)3 = 13 = 1 25.5. 7 ¥ 23 = 7 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 = 56 25.6. (8 + 32) ¥ 5 = (8 + 3 ¥ 3) ¥ 5 = (8 + 9) ¥ 5 = 17 ¥ 5 = 85

27. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 27.6.

32 + 42 = 52 42 – 7 = 32 102 + 7 = 107 33 + 5 = 32 22 ¥ 23 = 25 93 : 33 = 33

26.

28.

67 Æ 6 + 7 = 13

29.

Qualquer múltiplo positivo de 7, exceto o próprio 7, não é um número primo pois admite, garantidamente, pelo menos três divisores (para além do 1 e do próprio número, também admite pelo menos o 7 como divisor).

30.

Para saber qual o maior comprimento possível é necessário calcular o m.d.c. (80, 68). 80 2 68 2 40 2 34 2 20 2 17 17 10 2 1 5 5 1 68 = 22 ¥ 17 80 = 24 ¥ 5 Assim, m.d.c. (80, 68) = 22 = 4. R.: 4 metros.

31.

Para saber quantas chamadas são necessárias para que voltem a sair os dois prémios em simultâneo, é necessário calcular o m.m.c. (30, 50). 30 2 50 2 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 30 = 2 ¥ 3 ¥ 5 50 = 2 ¥ 52 Assim, m.m.c. (30, 50) = 2 ¥ 3 ¥ 52 = 150. R.: 150 chamadas.

Para simplificar as frações, utilizando a decomposição em fatores primos, é necessário calcular o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador. 26.1. m.d.c. (15, 36) 15 3 36 2 5 5 18 2 1 9 3 3 3 1 15 = 3 ¥ 5 36 = 22 ¥ 32 Assim, m.d.c. (15, 36) = 3. Logo, :3

15 5 = 36 12 :3

26.2. m.d.c. (99, 330) 99 3 33 3 11 11 1

330 2 165 3 55 5 11 11 1 2 330 = 2 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 11 99 = 3 ¥ 11 Assim, m.d.c. (99, 330) = 3 ¥ 11 = 33. Logo, : 33

99 3 = 330 110 : 33

26.3. m.d.c. (56, 72) 56 2 28 2 14 2 7 7 1

72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 72 = 23 ¥ 32 56 = 23 ¥ 7 Assim, m.d.c. (56, 72) = 23 = 8.

32. 32.1. 3 e 5; 5 e 7; 11 e 13; 17 e 19; 41 e 43; 71 e 73.

81

82

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32.2. Primos gémeos

número par entre os dois primos gémeos 5e7 Æ 6 11 e 13 Æ 12 17 e 19 Æ 18 41 e 43 Æ 42 71 e 73 Æ 72 Logo são múltiplos de 6.

37.3. Como percorrem 1500 metros em cada volta, a Carla percorreu 3000 metros (2 ¥ 1500 = 3000) e a Inês percorreu 4500 metros (3 ¥ 1500 = 4500).

Æ

Æ6=6¥1 Æ 12 = 6 ¥ 1 Æ 18 = 6 ¥ 3 Æ 42 = 6 ¥ 7 Æ 72 = 6 ¥ 12

38.

33. 33.1. m.d.c. (a, b) = 2 ¥ 3 ¥ 5 = 30 33.2. m.d.c. (a, b) = 2 ¥ 32 ¥ 54 ¥ 7 = 78 750 34. 34.1. A. 34.2. Por exemplo, o 18 é par e tem divisores ímpares: 1, 3 e 9. Aliás, qualquer número servia como contra-exemplo pois o 1 é divisor de todos os números e é ímpar. 35.

36.

74 ¥ 72 = =7¥7¥7¥7¥7¥7= = 76 2m designa o produto de m fatores iguais a 2. 2n designa o produto de n fatores iguais a 1. 2m ¥ 2n = 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2… ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 ¥ … 14243 14243 m vezes n vezes Assim, no produto 2m ¥ 2n existem m + n fatores iguais a 2. Logo, 2m ¥ 2n = 2m + n.

37. 37.1. Para saber ao fim de quanto tempo se voltam a encontrar na meta, é necessário calcular o m.m.c. (12, 8). 12 2 8 2 6 2 4 2 3 3 2 2 1 1 12 = 22 ¥ 3 8 = 23 Assim, m.m.c. (12, 8) = 23 ¥ 3 = 8 ¥ 3 = 24. R.: Voltam a encontra-se na meta ao fim de 24 minutos. 37.2. Como a Carla demora 12 minutos a dar uma volta completa, em 24 minutos deu duas voltas (24 : 12 = 2). Como a Inês demora 8 minutos a dar uma volta completa, em 24 minutos deu três voltas (24 : 8 = 3).

Para determinar o comprimento de cada toalha, é necessário calcular o m.d.c. (174, 135). 174 2 135 3 87 3 45 3 29 29 15 3 1 5 5 1 174 = 2 ¥ 3 ¥ 29 135 = 33 ¥ 5 Assim, m.d.c. (174, 135) = 3. R.: Cada toalha mede 3 m.

TESTAR – págs. 30 e 31 1. 1.1.

6

José

Alberta

Luísa

48

48

48 24 12 6 3 1

×

8

2 × 3 × 2 × 4 2 × 2

2

×

24 3 × 8

2 2 2 2 3

4 × 2 2 × 2

1.2. Sim, todos chegam à mesma decomposição. Qualquer um dos três esquemas permite escrever o 48 como um produto de dois fatores e, de seguida, escrever cada fator que não seja um número primo como o produto de dois fatores, repetindo o processo até que todos os fatores sejam primos. 1.3. 48 = 2 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 2 ¥ 2 = 24 ¥ 3 1.4. 40 2 20 2 10 2 5 5 1 40 = 23 ¥ 5 2. 2.1. 3 ¥ 9 ¥ 32 ¥ 27 = = 3 ¥ 32 ¥ 32 ¥ 33 = = 31 + 2 + 2 + 3 = = 38 2.2. 4 ¥ 24 : 16 ¥ 32 = = 22 ¥ 24 : 24 ¥ 25 = = 22 + 4 : 24 ¥ 25 =

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

= 26 : 24 ¥ 25 = = 26 – 4 ¥ 25 = = 22 ¥ 25 = = 22 + 5 = = 27 3.

8.

8 ¥ 8 ¥ 8 = 512 O boletiMMatemático tinha 512 palavras.

Miguel: 7h 7h5m 7 h 10 m 7 h 15 m 7 h 20 m 7 h 25 m 7 h 30 m 7 h 35 m 7 h 40 m 7 h 45 m 7 h 50 m 7 h 55 m 8h

UNIDADE 3 Relações e regularidades PRATICAR – págs. 34 a 39 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Catarina: 7h 7h7m 7 h 14 m 7 h 21 m 7 h 28 m 7 h 35 m 7 h 42 m 7 h 49 m 7 h 56 m 8h3m

R.: Acordaram às 7 h 35 m. 5.2. D14 = {1, 2, 7, 14} D21 = {1, 3, 7, 21} Como distribuíram igualmente, por todos, 14 pãezinhos e 21 cubinhos de açúcar, conclui-se que eram 7 pessoas. 6.

Entre dois quaisquer números ímpares há sempre um número par e o único par que é primo é o 2 (todos os outros números pares, para além de serem divisíveis por 1 e por eles próprios, também são divisíveis pelo 2). Sendo assim, entre dois números ímpares haverá sempre um número composto.

37 = 32 ¥ 35

4. 4.1. 23 ¥ 52 = =2¥2¥2¥5¥5= = 8 ¥ 25 = = 200 4.2. 53 + 22 ¥ 5 = =5¥5¥5+2¥2¥5= = 125 + 4 ¥ 5 = = 125 + 20 = = 145 5. 5.1.

7.

A afirmação é falsa. Entre dois números compostos não há sempre um número primo. Por exemplo, os números 14 e 15 são consecutivos e ambos compostos. Entre dois números primos não há sempre um número composto. Por exemplo, o 2 e o 3 são consecutivos e ambos primos.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20

2. 2.1. 19 2.2. Por exemplo, 7 e 10. 2.3. Sequência 1: …, 27, 31, 35, 39 Sequência 2: …, 22, 25, 28, 31 2.4. Cada termo, exceto o primeiro, é obtido adicionando 4 unidades ao termo anterior. 2.5. Não. 12 001 (12 005 – 4 = 12 001) teria de ser múltiplo de 3, o que não acontece (1 + 2 + 0 + 0 + 1 = = 4 e 4 não é divisível por 3). 3.

Por exemplo, 4 = 8 . 5 10

4.

0,15 ¥ ? = 350 350 ?= ≈ 2333,33 0,15 R.: 2333,33 €

5. 5.1. Na tabela 1 há proporcionalidade direta, pois a razão entre as duas grandezas, tomadas pela mesma ordem, é constante e não nula ⎛⎝ 3 = 3 = 12 = 21 = 3⎞⎠ . 1 3 4 7 5.2. A constante de proporcionalidade é 3. 6. 6.1. 7, 4, 28 e 16.

83

84

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6.2. Extremos: 7 e 16. Meios: 4 e 28. 6.3. Sete está para quatro assim como vinte e oito está para dezasseis. 7 14 49 6.4. = = 4 8 28 7.

1.º termo: 1 2.º termo: 2 ¥ 1 + 1 = 2 + 1 = 3 3.º termo: 2 ¥ 3 + 1 = 6 + 1 = 7 4.º termo: 2 ¥ 7 + 1 = 14 + 1 = 15 5.º termo: 2 ¥ 15 + 1 = 30 + 1 = 31 6.º termo: 2 ¥ 31 + 1 = 62 + 1 = 63 7.º termo: 2 ¥ 63 + 1 = 126 + 1 = 123

9.3.

3 24 = 2 ? 24 × 2 ?= 3 ? = 16 R.: Terá de utilizar 16 doses de sumo de manga.

9.4. Número de sumos Preço

2

3

5

9

3,40 €

5,10 €

8,50 €

15,30 €

9.5. Um sumo custa 1,70 € (3,40 : 2 = 1,70). 32 × 1,70 = 54,40. R.: Logo, os 50 € não são suficientes. 10. 10.1.

8. 8.1. 8.2. 8.3. As estrelas de sete pontas estão na 5.ª e na 10.ª posições (as estrelas ocupam as posições que correspondem ao múltiplos naturais de 5). 8.4. As estrelas de sete pontas ocupam as posições que correspondem aos múltiplos naturais de 5. Logo, na posição 155 estará uma estrela de sete pontas. Assim, atendendo ao grupo de enfeites que se repete, o enfeite que se encontra na posição 156 é uma bola. 8.5. a) O enfeite mais frequente é a bola. Cada grupo que se repete tem duas estrelas de cinco pontas, duas bolas e uma estrela de sete pontas. Assim, os primeiros nove grupos têm 18 estrelas de cinco pontas, 18 bolas e 9 estrelas de sete pontas. Como a fita termina com uma bola, terá de ter mais uma bola, ou seja, 19. b) Irá precisar de nove estrelas de sete pontas. Cada grupo de cinco enfeites tem uma única estrela de sete pontas no final. Assim, para a fita ter 19 enfeites com a forma de bola terá de ter nove grupos completos (cada grupo tem duas bolas) e mais uma bola, o que corresponde a nove estrelas de sete pontas. 9. 9.1. 3 . O antecedente é 3 e o consequente é 2. 2 9.2. Não, pois as razões não são equivalentes 3 ≠ 8 . 2 6

Figura 4 10.2. A figura 1 tem dois quadrados, a figura 2 tem quatro quadrados, a figura 3 tem seis quadrados, a figura 4 tem oito quadrados. Logo, a figura 30 terá 60 quadrados. 10.3. 2n 10.4. a) Número da figura 1 2 3 4 5 Número de palitos

7

12

17

22

27

b) 5 × 30 + 2 = 152 R.: A figura 30 é formada por 152 palitos. c) O número de palitos de cada figura é igual ao quíntuplo do número da figura mais dois: 5n + 2. 11. 11.1. É a razão entre a distância no mapa e a distância real. Por exemplo, 1 cm no mapa corresponde a 100 000 cm na realidade. 11.2. Se 1 cm corresponde a 100 000 cm, 8 cm correspondem a 800 000 cm. 800 000 cm = 8 km R.: As duas cidades encontram-se a 8 km. 11.3. O mapa que tem maiores dimensões é o do Fernando. No mapa do Fernando 1 cm representa 1 km, enquanto que no mapa do Pedro 1 cm representa 1,2 km, logo é mais pequeno. 12. 12.1.

Diagrama 4

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

12.2. Diagrama Palitos

6n – 2 12.3. Diagrama Área

1

2

3

4

5

10

17

4

10

16

22

28

58

100

1

2

3

1

3

5

12.4. 4n – 1

TESTAR – págs. 40 e 41 +3

1.

2

+3

5 +5

3 32

+5

13

18

–2

30

6. 20 = 30 = 60 = 100 = 5 6.1. 4 6 12 20 6.2. A constante de proporcionalidade representa o número de lados do pentágono.

11

+5

8

6 x = 7 21 6 × 21 x= = 18 7 21 – 18 = 3 R.: Os dois irmãos têm três anos de diferença de idade.

+3

8

–2

5.

–2

28

26

2. 2.1.

UNIDADE 4 Sólidos geométricos PRATICAR – págs. 48 a 59 1. 1.1.

Vista de cima

Sólido

Vista de frente

Vista de lado

Cima

3

3

3

Frente

3

4. 9 4.1. 4 = 14 x x = 9 × 14 = 31,5 4 R.: Para subir nove andares o elevador demora 31,5 segundos. 4.2. 4 = x 14 38,5 x = 4 × 38,5 = 11 14 R.: Em 38,5 segundos o elevador sobe 11 andares.

Lado Cima

Lado

2. Conclui-se que as vistas são iguais.

3. 3.1.

1 =3= 150 ? ? = 3 ¥ 150 = 450 1 R.: 450 cm 3.2. 150 ¥ 75 = 11 250 R.: 11 250 cm2

3

Frente

3

2.2. 1.ª figura – 4 2.ª figura – 7 3.ª figura – 10 4.ª figura – 13 2.3. O número de regiões é igual ao triplo do número de ordem da figura mais um (3n + 1). Assim, na 100 ª. figura há 301 regiões (3 × 100 + 1).

3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Prisma quadrangular Esfera Cilindro Cubo

4. 4.1. O sólido representado é um poliedro porque é limitado apenas por superfícies planas. 4.2. 7 faces, 10 vértices e 15 arestas. 5. 5.1. É o sólido B porque é formado por oito cubinhos com 1 cm3 de volume (um cubinho é a unidade de medida) e tem a forma de um cubo. 5.2. O sólido A e sólido B, porque ambos são formados por oito cubinhos. Os sólidos A e B têm assim o mesmo volume. Logo, são equivalentes.

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6. 6.1. Os sólidos A, B, C, E, F, G e J são poliedros, pois são sólidos limitados apenas por superfícies planas. 6.2. Os sólidos D, H e I são não poliedros, pois são sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas. 6.3. Os sólidos A, C, E, F, G e J são prismas, pois são poliedros com duas bases geometricamente iguais e as suas faces laterais são quadriláteros com dois pares de lados paralelos. 6.4. O sólido B é uma pirâmide, pois é um poliedro com uma única base e com faces laterais triângulares. 6.5. A 6.6. C 6.7. J 6.8. C, E e G 6.9. F 6.10. F 7.

8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Nome do Número Número Número Polígono sólido de faces de arestas de vértices da base Pirâmide pentagonal

6

10

6

pentágono

Pirâmide hexagonal

7

12

7

hexágono

Cubo

6

12

8

quadrado

Prisma heptagonal

9

21

14

heptágono

Prisma triangular

5

9

6

triângulo

Pirâmide triangular

4

6

4

triângulo

7 Cubo. Prisma triangular. Pirâmide hexagonal.

9. 9.1. 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. 9.2. 10 vértices, 15 arestas e 7 faces. 9.3. 7 vértices, 12 arestas e 7 faces. 10. O número de vértices de um prisma é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Como o polígono da base tem de ter pelo menos 3 vértices (triângulo), o prisma tem de ter pelo menos 6 vértices.

11. Numa pirâmide o número de faces é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um. Como o polígono da base com menor número de lados é o triângulo, o polígono da base tem pelo menos 3 lados e, portanto, a pirâmide tem pelo menos 4 faces (3 + 1 = 4). 12. Num prisma, o número de faces é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais dois (as bases). Assim, se o prisma tem 16 faces, 14 delas são laterais, pelo que o polígono da base tem 14 lados. Logo, a base do prisma tem 14 arestas. 13. Numa pirâmide, o número de vértices é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um. Logo, o polígono da sua base tem 6 lados (7 – 1 = 6). Como o número de faces de uma pirâmide é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um, conclui-se que a pirâmide tem 7 faces (6 + 1 = 7). 14. Os prismas e os cilindros têm duas faces paralelas geometricamente iguais (bases). 15. Num prisma as faces laterais são quadriláteros com dois pares de lados paralelos. 16. Os cilindros e os cones são sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas (são não poliedros). 17. Sim, o cubo é um prisma porque tem duas bases e as suas faces são geometricamente iguais (quadrados). 18. 18.1. Sim, prisma triangular. 18.2. Não existe. Numa pirâmide, o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base. Logo, uma pirâmide tem sempre um número par de arestas. 18.3. Sim, pirâmide hexagonal. 18.4. Não existe. Num prisma, o número de vértices é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base, pelo que um prisma tem sempre um número par de vértices. 19. 19.1. 72,5 cm3 = 0,0725 dm3 19.2. 45 234 m3 = 45,234 dam3 19.3. 2,5 ᐉ = 2,5 dm3

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

19.4. 22,5 m3 = 22 500 ᐉ 19.5. 340 cm3 = 0,34 ᐉ 19.6. 0,525 ᐉ = 525 cm3 20. 20.1. Numa pirâmide, o número de vértices é sempre igual ao número de lados do polígono da base mais um. Como a pirâmide tem 7 vértices, então o polígono da base tem 6 lados (7 – 1 = 6), pelo que se trata de um hexágono. 20.2. Num prisma, o número de faces laterais é sempre igual ao número de lados do polígono da base. Como o prisma tem 5 faces laterais, então o polígono da base tem 5 lados, pelo que se trata de um pentágono.

✗

21.

✗

✗

22. 22.1. Num polígono, o número de vértices é igual ao número de arestas. Assim, o polígono da base dos dois sólidos tem 100 arestas. Relativamente ao prisma, como o número de arestas é sempre igual ao triplo do número de lados do polígono da base, então o prisma tem 300 arestas. Como o número de faces é igual ao número de lados do polígono da base mais duas, o prisma tem 102 faces. Relativamente à pirâmide, como o número de arestas é sempre igual ao dobro do número de lados do polígono da base, então a pirâmide tem 200 arestas. Como o número de faces é igual ao número de lados do polígono da base mais uma, a pirâmide tem 101 faces.

22.2. Prisma: Número de faces + número de vértices = 102 + 200 = = 302 Número de arestas = 300 Pirâmide: Número de faces + número de vértices = 101 + 101 = = 202 Número de arestas = 200 Como se pode verificar, para os dois sólidos, o número de faces mais o número de vértices é igual ao número de arestas mais dois. 23. 23.1. V = a × a × a = a3 V = 43 = 64 V = 64 Logo, V = 64 cm3. 23.2. 0,04 m = 4 cm V = Ab × h V = 2 × 4 × 8 = 64 V = 64 Logo, V = 64 cm3. 23.3. V = Ab × h V = 10 × 3 = 30 V = 30 Logo, V = 30 cm3. 23.4. V = Ab × h Ab = πr2 V = π × 62 × 18 = π × 36 × 18 = 648π V = 648π cm3 ≈ 2034,72 cm3 23.5. V = Ab × h Ab = πr2 r = 10 : 2 = 5 V = π × 52 × 12 = π × 25 × 12 = 300π V = 300π cm3 ≈ 942 cm3 23.6. V = Ab × h Ab = πr2 V = π × 52 × 8 = π × 25 × 8 = 200π V = 200π cm3 ≈ 628 cm3 23.7. Vprisma = Ab × h Vprisma = 4 × 4 × 10 = 160 Vcilindro = Ab × h Vcilindro = πr2 × h Como o diâmetro do cilindro é igual à aresta da base do paralelepípedo, r = 2. Vcilindro = π × 22 × 10 = π × 4 × 10 = 40π Vprisma – Vcilindro = (160 – 40π) cm3 ≈ 34,4 cm3

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24. 24.1. Num prisma, o número de arestas é sempre igual ao triplo do número de lados do polígono da base e o número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base. Assim, o polígono da base do prisma tem oito lados (24 : 3 = 8) e, portanto, o prisma tem oito faces laterais. 24.2. Numa pirâmide, o número de arestas é igual ao dobro do número de lados do polígono da base e o número de vértices é igual ao número de lados do polígono da base da base mais um. Assim, o polígono da base da pirâmide tem 12 lados (24 : 2 = 12) e, portanto, a pirâmide tem 13 vértices (12 + 1 = 13). 24.3. Numa pirâmide, o número de arestas é igual ao dobro do número de lados do polígono da base e o número de faces laterais é igual ao número de lados do polígono da base. Assim, o polígono da base da pirâmide tem 12 arestas (24 : 2 = 12) e, portanto, a pirâmide tem 12 faces laterais. 25.

Outras soluções possíveis:

27. 27.1. V = Ab × h V = 500 × 450 × 400 = 90 000 000 V = 90 000 000 mm3 = 90 dm3 = 90 ᐉ 27.2. 90 : 5 = 18 R.: A avó da Marta precisa de encher o balde 18 vezes. 28.

B e D.

26. 26.1. O cubo é um poliedro porque é um sólido geométrico limitado apenas por superfícies planas. 26.2. 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. 26.3. N.º de faces + N.º de vértices = N.º de arestas + 2 6 + 8 = 12 + 2 14 = 14 Verdadeiro Logo, verifica a fórmula de Euler. 26.4. A afirmação é verdadeira. Os prismas são poliedros com duas bases geometricamente iguais e cujas faces laterais são quadriláteros com dois pares de lados paralelos. Logo, um cubo é um prisma. Contudo, nem todos os prismas são cubos: por exemplo, o prisma triangular não é um cubo, pois tem, entre outras características, 5 faces e bases triangulares. 26.5. Por exemplo,

Vprisma = Ab × h VP1 = 6 × 9 × 16 = 864 VP2 = 6 × 4 × 8 = 192 Logo, 192 × 3 = 576. Como o preço dos produtos é o mesmo e a capacidade do pacote de leite grande é maior, este representa uma melhor relação quantidade/preço.

29. 29.1. Por exemplo: Pirâmide hexagonal e prisma quadrangular. Pirâmide eneagonal e prisma hexagonal. Pirâmide dodecagonal e prisma octogonal. 29.2. Seis e quatro lados, respetivamente, na pirâmide e no prisma (pirâmide hexagonal eprisma quadrangular). 30.

Vprisma = Ab ¥ h P Ab = ¥ ap 2 7 × 11 Ab = ¥ 15 = 577,5 2 Vprisma = 577,5 ¥ 20 = 11 550 Logo, Vprisma = 11 550 m3.

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

31. 31.1. O sólido A é limitado apenas por superfícies planas, ao contrário do sólido B que é limitado, no todo ou em parte, por superfícies curvas. Os dois sólidos têm duas bases geometricamente iguais. 31.2. O sólido B não é um poliedro pois é limitado, no todo ou em parte, por superfícies curvas. 31.3. N.º de faces + N.º de vértices = N.º de arestas + 2 6 + 8 = 12 + 2 14 = 14 Verdadeiro Logo, verifica a fórmula de Euler. 31.4. A figura 3. 31.5. A figura 4.

35.

Se o prisma retangular e o cubo são equivalentes, têm o mesmo volume. Como cada face de um cubo tem quatro arestas, cada aresta tem 6 cm (24 : 4 = 6). Logo, o volume do cubo é Vcubo = 63 = 216. Como Vprisma = Ab × h, para determinar a altura basta dividir o volume pela área da base. 216 : 36 = 6 Assim, o prisma tem 6 cm de altura.

36.

Vmolde A = π × 52 × 7,5 = π × 25 × 7,5 = 187,5π Vmolde A = 187,5π cm3 ≈ 588,75 cm3 Vmolde B = π × 3,752 × 10 = π × 14,0625 × 10 = = 140,625π Vmolde B = 140,625π cm3 ≈ 441,5625 cm3 Vparafina = 5 × 25 × 50 = 6250 6250 : 585 ≈ 10,7 6250 : 441,5625 ≈ 14,2 R.: A Cristina ficou com mais velas verdes.

32. 32.1. Um cubo. 32.2. Um prisma triangular. 32.3. Uma pirâmide hexagonal. 33. 33.1. Como cada cubo tem 8 cm3 de volume, 80 cubos ocupam 640 cm3 (80 × 8 = 640). 33.2. Como a altura da caixa é 10 cm, a área da base da embalagem terá de ser 64 cm2. Assim, as dimensões, em cm, podem ser: h

c

l

10

2

32

10

4

16

10

8

8

34. 34.1. VFrutinhas = 7 × 5 × 6 = 210 VFrutinhas = 210 cm3 Como 1 dm3 = 1 ᐉ, vem 210 cm3 = 0,210 dm3 = 0,21 ᐉ A informação é verdadeira. A diferença que se verifica deve-se à espessura da embalagem, o volume externo é ligeiramente inferior ao volume interno. 34.2. VLaranjinha = π × 32 × 12 = π × 9 × 12 = 108π VLaranjinha = 108π cm3 ≈ 339,12 cm3 339,12 cm3 = 0,339 12 dm3 = 0,339 12 ᐉ e 0,33912 ᐉ > 0,2 ᐉ. 34.3. Como cada conjunto de três unidades custa 1,59 €, o preço de cada unidade é 0,51 €. Logo, o preço de um litro de sumo é 2,55 € (0,51 × 5 = 2,55).

TESTAR – págs. 60 e 61 1.

Sólido

Vista de cima Vista de frente Vista de lado

2. 2.1. a) A, B, D, E, F, H, I e J. b) C e G. c) A, H e I. d) B e J. e) D e F. f) G. 2.2. a) 10 vértices, 7 faces e 15 arestas. b) Triângulo. 2.3. [B] 2.4. A afirmação é falsa. O poliedro H verifica a fórmula de Euler: N.º de faces + N.º de vértices = N.º de arestas + 2 7 + 10 = 15 + 2 17 = 17 Verdadeiro 3.

O número de arestas de uma pirâmide não pode ser um número ímpar porque é igual ao dobro do número de lados da base.

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4. 4.1. V1 = 1,2 × 0,6 × 0,8 = 0,576 V1 = 0,576 m3 0,576 m3 = 576 dm3 4.2. V2 = π × 52 × 40 = π × 25 × 40 = 1000π V2 = 1000π cm3 ≈ 3140 cm3 3140 cm3 = 3,14 dm3 5.

A. Cone. B. Pirâmide quadrangular. C. Pirâmide hexagonal. D. Prisma quadrangular ou paralelepípedo. E. Prisma pentagonal.

6.

O cubo pintado inicialmente tem 10 cm de aresta. Ao retirar os cubos pintados, obtém-se um cubo de 8 cm de aresta (retirou-se um de cada lado). 8 ¥ 8 ¥ 8 = 512 R.: 512 cubinhos.

7.

Vcubo gelo = 33 = 27 27 × 5 = 135 Vcopo = π × 32 × 18 = π × 9 × 18 = 162π Vcopo = 162π cm3 ≈ 508,68 cm3 Volume do gelo no estado líquido: 11 × 135 = 123,75 12 508,68 – 123,75 = 384,93 R.: O copo ainda comporta 384,93 cm3.

UNIDADE 5 Representação

e interpretação de dados PRATICAR – págs. 64 a 69 1. 1.1. Dados quantitativos contínuos. 1.2. Dados quantitativos discretos. 1.3. Dados qualitativos.

3.

Nacionalidade, meio de transporte utilizado e código postal.

4. 4.1. Sondagem. 4.2. 200 pessoas da zona de intervenção da loja de animais. 4.3. 85 + 31 + 16 + 26 = 158 200 – 158 = 42 Com o círculo representa 100%, vem 200 = 42 100 ? ? = (100 × 42) : 200 = 21 R.: 21% dos inquiridos têm os gatos como animal de estimação preferido. 5. 5.1. Registam-se mais queixas nos hospitais. 5.2. Concordo. 52 000 : 365 ≈ 142,5 5.3. O gráfico não permite responder à questão. 6.

A. Afirmação verdadeira. B. Afirmação falsa. C. Afirmação falsa. D. Afirmação verdadeira. E. Afirmação falsa. F. Afirmação falsa. G. Afirmação falsa. H. Afirmação falsa.

7. 7.1. Foram recolhidas 5220 toneladas. 7.2. Foram recolhidas 18 285 toneladas 7.3. 5220 + 5070 + 8550 = 6280 3 R.: A média anual é 6280 toneladas. 7.4. O gráfico [A], porque o papel representa 50% dos produtos recolhidos para reciclagem. O total de toneladas de plástico e vidro são as mesmas que as de papel. Produtos recolhido 7.5. para a reciclagem em 2009

2. 2.1. Foram realizadas 12 medições de temperatura. 2.2. 20 °C 2.3. 4 + 5 + 8 + 11 + 12 + 12 + 14 + 15 + 16 + 16 + 17 + 20 = 12 11 = ≈ 12,7 12 2.4. 20 – 4 = 16. A amplitude térmica é 16 °C.

7.6. Não.

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

8. 8.1. Dados qualitativos. 8.2. 25% + 35% + 20% = 80% 100% – 80% = 20% R.: 20% dos sócios praticam natação. 8.3. 35% × 240 = 35 × 240 = 3800 = 84 100 100 R.: 84 sócios. 8.4. Não existem dados suficientes para responder a esta questão. 8.5. Cerca de 250. 8.6. Modalidades praticadas na terça-feira 40% 35%

2.2. Tipo de combustível utilizado para o aquecimento das casas

UNIDADE 6 Números racionais PRATICAR – págs. 76 a 83

30% 25% 20% 15% 10% 5% 0 Aeróbica

Natação

Musculação

RPM

8.7. Por exemplo, qual é a modalidade mais praticada à terça-feira? 8.8. Por exemplo, em que dia se verificou uma maior afluência de sócios nos primeiros dias da semana? 8.9. Não, porque os inquiridos eram praticantes de natação.

TESTAR – págs. 70 e 71 1. 1.1. Dados qualitativos. 1.2. [C] 1.3. 0,40 × 20 = 8 R.: Deslocam-se de autocarro 8 colegas. 1.4. a) 0 1 2 5 6 7 7 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 9 2 2

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

+12 –6 +2351 –14 –89 +47 +4

2. 2.1.

–2 –2,5

0 –3 5

1

2 5 4

3 +5 +6 2 2

2.2. + 5 e –2,5 2 3 5 5 6 2.3. –2,5 < –1 < – < < + < + 5 4 2 2 3 2.4. + 5 2.5. 2,5 3.

b) Máximo 22 e mínimo 1. c) 22 – 1 = 21 2. 2.1. 25% – (12% + 6%) = 7%

–1

4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Número

Simétrico

Valor absoluto

–4

+4

4

+8

–8

8

3 h 3h i– i + 2 j 2j

3 h 3h i+ i – 2 j 2j

3 2

0,5

–0,5

0,5

(+3) + (+8) = 3 + 8 = 11 (+12) + (+8) = 12 + 8 = 20 (+17) + 0 = 17 + 0 = 17 (–4) + (–5) = –4 – 5 = –9 (–1) + (–9) = –1 – 9 = –10 0 + (–5) = 0 – 5 = –5

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4.7. (–12) + (+14) = –12 + 14 = +2 4.8. (–1,2) + (+1,4) = –1,2 + 1,4 = 0,2 h h h h 4.9. i+ 3 i + i– 1 i = + 3 – 1 = 2 j 5j j 5j 5 5 5 4.10. (+5) – (+5) = +5 –5 = 0 4.11. 0 – (–3) = 0 + 3 = 3 4.12. (–4) – 0 = -4 4.13. (–2) – (+1) = –2 – 1 = -3 4.14. (+5) – (+3) = +5 – 3 = 2 h h h h 4.15. i– 1 i – i– 2 i = – 1 + 2 = 1 j 3j j 3j 3 3 3 4.16. (+0,2) – (-1,4) = +0,2 + 1,4 = 1,6

7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

|+27| = |–27| O simétrico de –1 > 0 |–325| > +122 |+120| < |–240| –|–2| < +1

8. 8.1. 0

3

5

3+5

8.2. –4

2 + (–4)

0

2

8.3. 5. 5.1. 0,2 > 0,19 5.2. –3 > –5 2 3 5.3. < 3 4 5.4. –7 < –2 2 3 5.5. – > – 3 4 3 5.6. 0,15 > – 50

–5 3

8.4.

–4

+2

+8

+

+

+

–6

–2

10

+

+

–8

+8 + 0

6.2. +65

–25

10

+

+

40

–15 +

+

25

–5 + 20

7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

5 > –4 –23 < –18 –3 < 0 3 < |–15|

+10

–5+3 01 1 1 3 2 6 3 2

–2 –3

6. 6.1. Por exemplo: –2

–1

( )

– 5+ – 4 6 3

1

3 2

2

–1 –4 3

–5 6

–1 0 1 3 6

1

9. 9.1. Por exemplo, (+5) + (+4) = +9. Para que a soma seja um número inteiro positivo ambos os números têm de ser inteiros positivos. 9.2. Por exemplo, (–12) + (–3) = –12 – 3 = –15. Para que a soma seja um número inteiro negativo ambos os números têm de ser inteiros negativos. 9.3. A soma de dois números inteiros com o mesmo sinal nunca pode ser zero. 9.4. Por exemplo, (–4) + (+10) = –4 + 10 = +6. O valor absoluto do número positivo tem de ser maior do que o valor absoluto do número negativo. 9.5. Por exemplo, (+4) + (–10) = +4 – 10 = –6. O valor absoluto do número positivo tem de ser menor do que o valor absoluto do número negativo. 9.6. Por exemplo, (+6) + (–6) = 0. Os números têm de ser simétricos. 10. 0

11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

1

3

|–6| = +6 |–9| > +4 20 < |–700| +6 < |+3 + (–150)|

b

3+b

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

12. 12.1. –2

0

1

–2

0

1

6–4

4

6

4

6

12.2. 12.3. –5 –3 – 5 –4 3

–3

–2

–1

0

12.4.

1

1 5 –2

–5 3

12.5. –4

–3

12.6.

1 2

( )1

–1 – 4 5

13 – 5 –2 2 4

5 2 3

01 –4 – –3 2 10 5

–1

0

31 4

2

3

–1 9 10

–2

3 5

0

6 4

1

2

13. 13.1. A temperatura mais baixa verificou-se no dia 1 e mais elevada no dia 7. 13.2. –6

–4 –3 –2 –1 0

3

5 6

13.3. A maior amplitude térmica verificou-se no dia 7, quarta-feira. 13.4. Valores inteiros compreendidos entre –4 e –1. R.: –3 ou –2.

19. 2 19.1. – 3 91 19.2. 60 89 19.3. 20 24 19.4. – 5 20. 20.1. Negativo, porque há dois números negativos e um só positivo. 20.2. De quatro maneiras. Têm de sair valores iguais nos dois rapas. 20.3. Três no primeiro lançamento e zero no segundo. A Inês obteve (–1) – (–3) = 2 e a Cláudia 3 – 0 = 3. 20.4. Pontuação máxima: 3 – (–3) = 3 + 3 = 6 Pontuação mínima: (–3) – (+3) = –6

TESTAR – págs. 84 e 85 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

A distância é 1. A distância é 2,5. Pontos C e E. Pontos B e D. A distância de ambos os pontos à origem é 2,5. 1.5. Ponto A.

14. –4

3 + (–4) 0

1

3

4

2. 2.1.

3–4 –3

15.

–7

0

7

–8

–6

1

3

–15

–14 –12

–5

2

4

–13 –11 –4

–2

5 –1

6

–16 –9

–17 –10

16.

[A]

17.

[A]

18.

Por exemplo, –

–3

2.2.

–2

–1 –0,5 0

1

2

5 2

3

4

–4 5 –1 – 8 10

0

1

2.3.

4 –1 – 2 0 4

1

2

3

15 17 4 4

5

3. h 1h h 2h 2 1 2 30 5 6 + + = + + = 3.1. 2 + i+ i – i– i = j 3j j 5j 1 3 5 15 15 15 (¥15) (¥5) (¥3) 41 = 15 1 , –0,25 e –0,3. 10

93

94

Matemática 6 | Guia do Professor

h h h h 3.2. i– 2 – 1 i + i– 1 i = – 2 – 1 – 1 = j 5 10 j j 10 j 5 10 10 (¥2)

=–

4 1 1 6 3 – – =– =– 10 10 10 10 5

2 + 2 – 0,2 = 3 2 2 – +2– = 3 10 2 2 1 =– + – = 3 1 5

3.3. –

(¥5)

(¥15)

(¥3)

10 30 3 + – = 15 15 15 20 3 = – = 15 15 17 = 15 3 3 1 3.4. –1 + – = 4 2 8 3 1 =– 7 + – = 2 8 4 =–

(¥2)

PROVA GLOBAL 1 – págs. 87 e 88 1.

79

2.

[B]

3. 3.1. Vermelha. 3.2. Bola branca. O padrão repete-se de 6 em 6 bolas, logo na 60.ª posição estará uma bola vermelha e, consequentemente, na 63.ª posição uma bola branca. 4.

8 faces, 12 vértices e 18 arestas.

5. 5.1. Dados de natureza qualitativa. 5.2. 25% – 10% = 15% 120 × 0,15 = 18 R.: 18 sanduíches.

(¥4)

= – 14 + 12 – 1 = 8 8 8 =– 2 – 1 = 8 8 =– 3 8 4. 4.1. –11 034 < –417 < –86 < 1993 < 5892 Fossa das Marianas < Mar Morto < Vale da Morte < < Serra da Estrela < Kilimanjaro 4.2. a) (+1993) – (–417) = 1993 + 417 = 2410 R.: A diferença de altitudes é 2410 m. b) (–417) – (–86) = –417 + 86 = –331 R.: A diferença de altitudes é 331 m. 4.3. 5 892 – (–11 034) = 5 892 + 11 034 = 16 926 R.: A amplitude é 16 926 m. 5. 5.1. 1935 – (–2900) = 1935 + 2900 = 4835 R.: Passaram 4835 anos. 5.2. Nota: Esta questão tem uma resposta diferente consoante o ano em que está a ser resolvida. Em 2014: 2014 – (–1700) = 2014 + 1700 = 3714 Em 2015: 2015 – (–1700) = 2015 + 1700 = 3715 Em 2016: 2016 – (–1700) = 2016 + 1700 = 3716 Em 2017: 2017 – (–1700) = 2017 + 1700 = 3717 5.2. –1700 – (–2900) = –1700 + 2900 = 1200 R.: 1200 anos.

6.

Vjarro = 21,3 × 13 × 14 = 3876,6 Vjarro = 3876,6 cm3 Vcopo = π × 42 × 11 = π × 16 × 11 = 176π Vcopo = 176π cm3 3876,6 – 2 × 176π = 3876,6 – 352π ≈ 2771,32 2771,32 : 176π ≈ 5 R.: Bebeu cinco copos.

7.

37 °C porque 32 – (–5) = 32 + 5 = 37.

PROVA GLOBAL 2 – págs. 89 e 90 1.

105 3 35 5 7 7 1

350 175 35 7 1

2 5 5 7

105 = 3 ¥ 5 ¥ 7 350 = 2 ¥ 52 ¥ 7 Assim, m.m.c. (105, 350) = 2 ¥ 3 ¥ 52 ¥ 7 = 1050. 1 1 Logo, + = 105 350 (¥10)

(¥3)

10 3 = + = 1050 1050 13 = 1050 2.

[B]

Propostas de Resolução – Caderno de Atividades

3.

r = 6 cm Aç = pr2 Aç = p ¥ 62 = 36 p ≈ 113,1 Logo, Aç = 113,1 cm2.

4.

1 ? = 100 6

Vprisma = Ab × h P Ab = × ap 2 6 ¥ 6,5 Ab = × 5,6 = 2 39 = × 5,6 = 2 = 19,5 × 5,6 = = 109,2 Vprisma = 109,2 × 21 = 2293,2 Logo, Vprisma = 2293,2 cm3. R.: O pacote com a forma de paralelepípedo.

? = 6 ¥ 1 = 0,06 100 0,06 m = 6 cm R.: 6 cm 5. 5.1. Número de pacotes de pipocas Preço

1

2

4

6

1,25 €

2,50 €

5€

7,50 €

5 = 1,25 4 A constante de proporcionalidade representa o preço de cada pacote de pipocas. 5.3. Ganhou 33 euros e75 cêntimos (27 × 1,25 = 33,75). 5.4. Vparalelepípedo = c × l × h Vparalelepípedo = 11 × 11 × 20 = 2420 Logo, Vparalelepípedo = 2420 cm3. 5.2.

6. 6.1. Dados de natureza qualitativa. 6.2. 1 – ⎛⎝ 1 + 1 + 1 ⎞⎠ = 1 – ⎛⎝ 2 + 4 + 5 ⎞⎠ = 10 5 4 20 20 20 11 20 11 9 =1– = – = 20 20 20 20 9 360 × 40 = = 18 20 20 R.: 18 espetadores. 6.3. 120 + 300 = 420 (despesas) 40 × 10 + 4 × 1,25 = 400 + 5 = 405 (proveitos) 405 – 420 = –15 R.: O espetáculo não deu lucro, deu 15 euros de prejuízo.

95