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Matemática Matemática 9.º Ano Maria Augusta Ferreira Neves António Pinto Silva

9

Guia do Professor

A cópia ilegal viola os direitos dos autores. Os prejudicados somos todos nós.

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Índice

1. Inequações. Valores aproximados de números reais............................................................. 3 2. Funções ............................................................................................................................................ 16 3. Equações........................................................................................................................................... 30 4. Geometria Euclidiana. Paralelismo e perpendicularidade.................................................... 42 5. Área e volume de sólidos.............................................................................................................. 52 6. Trigonometria no triângulo retângulo......................................................................................... 62 7. Lugares geométricos. Circunferência......................................................................................... 73 8. Organização e tratamento de dados........................................................................................... 89 Soluções................................................................................................................................................. 103

Apresentação

Caro professor, Com a implementação do novo Pograma e Metas Curriculares do Ensino Básico, cada um de nós, enquanto professores, enfrenta novos desafios e preocupações. Como tal, o nosso objetivo é ajudar a implementar as melhores estratégias pedagógicas e agilizar a elaboração de diferentes materiais em vários momentos do ano letivo. Para o atingir, apresentamos, para cada capítulo, uma ficha de treino, minitestes, uma ficha de preparação para o teste de avaliação e um teste de avaliação. Acreditamos que assim potenciará as capacidades dos alunos com melhores desempenhos e recuperará os alunos com maiores dificuldades, respeitando o ritmo de aprendizagem da turma. Votos de sucessos pessoais e profissionais.

2

Os autores

ISBN 978-972-0-84202-2

M9FNGP © Porto Editora

Recursos por capítulo

M9FNGP © Porto Editora

1

INEQUAÇÕES. VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS

3

Ficha de treino 1 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Matemática | 9.º ano Data /

/20

2

1.1.

2.

−3 0 1  1 ( −1) ×  2  + 3 × ( −1)  

2.2.

(2,5 × 105):(0,2 × 107)

Determina a aresta de um cubo que tem de volume: 3.1. 27 cm3

4.

2

Calcula e apresenta o resultado em notação científica. 2.1. – 4 × 10– 3 × (– 5) × 10– 8

3.

−1

1  1   1.2.  − − 1 ×  −2 −  2 2    

3.2.

343 cm3

Na figura ao lado, [ABCD] é um retângulo e o arco EC tem centro em A. 4.1. Determina o valor exato de AC . 4.2. Qual é o valor exato da abcissa do ponto E?

5.

6.

Completa com o sinal > ou < de modo a obteres afirmações verdadeiras. 5.1. – 6 … – 7

5.2.

π … 10

5.3. – 100 … – 10

5.4.

3,14 ….. π

Resolve as seguintes equações e apresenta o conjunto-solução. 6.1. 3x + 1 = 4x – 3

6.2. 6x – 4 + x = 3x + 2 – 2x

6.3. 2(x – 1) = 4 + (– 2x + 3)

6.4.

6.5.

7.

1 1+ 2x x − 1) =−2 − ( 3 2

x − 1 3x = −1 3 2

6.6. 1 −

x +3 = −2(1 − x ) 2

Atualmente a idade da mãe é seis vezes a idade do filho. Daqui a 24 anos a mãe terá o dobro da idade do filho. Qual é a idade de cada um?

8.

Sabendo que as duas figuras geométricas são equivalentes (têm a mesma área), determina o valor de x.

4

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1. Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões.

Ficha de treino 1

9.

Números cruzados

1

2

3

4

5

6

A B C D E F Horizontais: A. O m.d.c. de dois números primos entre si; m.m.c. (2, 3) B. 6– 10 : 3– 10 × 211; 0,0012 × 104 + 240 × 10– 1; número designado por

10 x 2 y 2 (para x ≠ 0, y ≠ 0) 2x2y 2 −3

2  1 C. (– 3) × (– 3) ; m.m.c. (2 × 3; 2 × 3);   : ( −5 ) 5

5

–5

2

3

D. (– 3)0 – 1; o valor da expressão

x2y 3 para x ≠ 0 e y = 3 y 2x2

E. Solução da equação 4 5 = 2a + 3 ;

( −2 )

4

 1 ×−   3

−4

F. Número que colocado no lugar de a transforma a «igualdade» numa afirmação  1 2 ; −  verdadeira 2 × 2 =  2 5

a

7

−8

Verticais: 1. 0,7567 × 104 × 16000 × 10– 3

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3. Solução da equação 2x = (2– 16)– 2 ; 0,00012 × 105 4. [(– 2)3]2 ; m.d.c. (50, 75) 5. 3,2 × 10– 7 × 3 × 108 6. 0,065 × 106 + 0,536 × 103 5

Miniteste 1.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.2. − x + 2 ≤ 0 1.3. − x < −10 1.4. x − 1 < 0 1.5.

1 x < −2 2

1.6. −3 x − 1 < 0

Sejam a e b dois números reais não nulos. Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(A) Se a < b , então −a > −b (B) Se a − 1 > 0 , então −a > −1 (C) Se 2a < 2b , então a < b (D) Se a < b , então 2a < 2b (E) Se

1 1 < b , então −b < − 3 3

(F) Se a < b e b < c , então ab < bc (G) Se

1 1 > , então a > b , com a, b ∈ ℝ+ a b

Sendo a = −

1 , escreve por ordem crescente os números: 2 a , − a , a 2 , 2a , − 2a , a 3 ,

6

/20

Sendo x ∈ ℝ , escreve uma expressão equivalente a cada uma das expressões seguintes onde

1.1. −1 < x

3.

Data /

a expressão do 1.º membro é x.

2.

N.º

Matemática | 9.º ano

1 a

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1.

/20

Miniteste 1.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Representa os seguintes conjuntos em extensão:

 1.1. A = x ∈ ℕ : x <  1.2. B =

3  2

]−∞ , 1] ∩ {−3 ,

0 , 3}

5  1.3. C =  −3 , 3  ∩ ℤ  

2.

Considera os seguintes conjuntos de números reais: A= C {x ∈ ℝ : x ≥ 2} ; B = ]−1 , 1[ e=

[0 ,

+ ∞[

2.1. Escreve o conjunto A sob a forma de intervalo de números reais. 2.2. Representa sob a forma de condição os conjuntos B e C. 2.3. Qual é o maior número inteiro pertencente ao intervalo B? E o menor? 2.4. Qual é o número real que pertence simultaneamente a B e a C ?

3.

Representa sob a forma de intervalo os seguintes conjuntos: A=

{x ∈ ℝ :

x < −2}

B = {x ∈ ℝ : 0 < x ≤ 4}

{x ∈ ℝ :

− x ≥ −1}

D=

{x ∈ ℝ :

x ≥ 0 ∧ x < 3}

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C=

7

Miniteste 1.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

/20

Na reta real está representado o conjunto A.

Qual é o menor número inteiro que pertence ao conjunto A ?

2.

Representa os seguintes conjuntos usando intervalos de números reais. 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

3.

Para cada par de conjuntos A e B, determina sob a forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais A ∩ B e A ∪ B . 3.1. A=

{x ∈ ℝ :

x ≥ −1} e B = {x ∈ ℝ : x < 2}

3.2. A=

{x ∈ ℝ :

x > −1} e B =

 3.3. A=  x ∈ ℝ : − π ≤ x < 

8

{x ∈ ℝ : − 2 < x ≤ 5}

1  e B= 2

{x ∈ ℝ : − 3 ≤ x < 4}

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1.

Matemática | 9.º ano

Miniteste 1.4. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

2.

3.

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Coloca os símbolos > , ≥ , < ou ≤ de modo a obteres uma afirmação verdadeira. 1.1.

x > 3 ⇔ 2 x.....6

1.2.

x + 1 ≤ −2 ⇔ x − 1..... − 4

1.3.

−2 x < 1 ⇔ x..... −

1 2

Resolve, em ℝ , as seguintes inequações: 2.1.

1 3x > − x 2

2.2.

−

2.3.

2 − ( x − 1) ≤ x

x −1 >0 2

Considera a seguinte inequação:

1 1  −  x −  − 2 ( x − 3) > − x 2 2   3.1. Resolve, em ℝ , a inequação dada. 3.2. Qual é o maior número inteiro que pertence ao conjunto-solução da inequação?

4.

Quais são os números em que a diferença entre o seu dobro e o seu triplo nos dá um número

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não superior a 30?

9

Miniteste 1.5. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

(A)

{ x ∈ ℝ : x ≤ −1 ∧ x > 2}

(B)

{ x ∈ ℝ : x ≤ −1 ∨ x > 2}

(C)

{ x ∈ ℝ : x ≥ −1 ∨ x < 2}

(D)

{ x ∈ ℝ : x ≥ −1 ∧ x < 2}

2. Determina o conjunto-solução das seguintes condições: 2.1.

x > −1 ∧ x < 3

2.2.

x > −1 ∨ x < 3

2.3.

−1 ≤ x < 3 ∧ x > 2

2.4.

−1 ≤ x < 3 ∨ x > 2

2.5.

x < −1 ∧ x > 0

2.6.

x < −1 ∨ x > 0

3. Resolve, em ℝ , as seguintes condições: 3.1.

x −1 1 ≤ 3 ∧ −2 ( x − 1) > − 2 2

3.2.

0 < 1− 3x ≤ 1

3.3.

x − 1 > 2   −2 − 3 x < 0

4. O perímetro do triângulo da figura seguinte está compreendido entre 30 cm e 40 cm, sendo x um número real superior a 1. Determina o valor de x.

10

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1. Qual dos seguintes conjuntos corresponde à representação na reta numérica?

Miniteste 1.6. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Recorrendo às propriedades das operações em ℝ , simplifica as seguintes expressões com radicais: 1.1. 1.2. 1.3.

2.

2

7−

3 7 2

1.4.

1  π π −  5 

1.5.

2 3 − 27 − 12

Recorrendo à calculadora, escreve com duas casas decimais um valor aproximado de: 2.1.

1 3

2.2.

− 5

2.3.

2× 3

2.4.

1+ 5 2

2.5.

3.

(2 − 3 ) 2 ( 2 − 3)

π+ 3 5

Sabe-se que 1,3 e 2,1 são aproximações dos números reais x e y, respetivamente. Qual é o erro máximo que se comete ao calcular x + y e que valores pode tomar esta soma,

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sabendo que 1,3 e 2,1 são aproximações de x e y com erros inferiores a: 3.1.

1 ? 10

3.2.

1 1 e ? 10 5

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

11

Ficha de preparação para o teste de avaliação 1 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

2.

Qual dos seguintes valores corresponde a uma dízima infinita não periódica? (A)

36

(B)

3,6

(C)

0,36

(D)

0,0036

Considera os intervalos A =  −∞, 2  e B =  −1, 

5  .

2.1. Escreve o conjunto B na forma de uma condição. 2.2. Qual dos seguintes intervalos é igual a A ∩ B ? (A)  −∞ , 5    (B)  −∞ , 5    (C)

]−1, 2[

(D)

]−1, 2]

2.3. Determina A ∪ C , sendo C = [– 1, 2[. 2.4. Qual é o maior número inteiro que pertence ao conjunto B ? 2.5. Escreve um número irracional que pertença ao conjunto A. 3.

Observa a seguinte figura:

Determina as abcissas dos pontos A e B.

12

/20

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1.

/

Ficha de preparação para o teste de avaliação 1

4.

Resolve, em ℝ , a seguinte inequação:

1 7 x −1 − 3x < − 2 2 3 Apresenta o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.

5.

A qual dos seguintes conjuntos pertence o número

3?

(A) [1,6; 1,7] (B) [1,72; 1,73] (C) [1,7321; 1,733] (D) {1,72; 1,73} 6.

Considera o seguinte conjunto:

A=

{x ∈ ℝ : x ≥ −1 ∧ 2 x < 3}

6.1. Representa o conjunto A na forma de intervalo. 6.2. Mostra que A ∩ B = A , sendo B o conjunto-solução da inequação 2 – 3 (x + 2) ≤ x. 7.

Considera os seguintes retângulos: Retângulo A

Retângulo B

Determina um valor inteiro de x de modo que o perímetro do retângulo A seja maior do que o perímetro do retângulo B.

8.

O pai do João é vendedor num stand de automóveis. Mensalmente recebe 800 euros e 1% do valor de cada automóvel vendido. No mês de agosto vendeu automóveis de um modelo que custava

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25 000 euros. Qual é o número mínimo de automóveis que vendeu nesse mês, sabendo que recebeu mais de 1600 euros?

13

Teste de avaliação 1

90 minutos

Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

/20

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1.

Matemática | 9.º ano

Considera o seguinte conjunto:

1  A = 1 ; ; − 3, 5; 5 

1  2 ; − ; π; 1− 5  3 

1.1. Deste conjunto, indica os números que são: a) naturais;

b) inteiros;

b) racionais;

d) irracionais.

1.2. Com material de desenho adequado, assinala com rigor

2 e 1 − 5 na reta real.

1.3. Representa, em extensão: a) B = { x ∈ A : x < 0}

b) C = A ∩  − 1,2 ; 1, 42 

2.

Indica um número irracional maior que – 2 e menor que – 1.

3.

Efetua as operações e indica qual das seguintes expressões numéricas representa um número irracional. 3.1.

4.

(

)(

3 − 1 1+ 3

)

3.2.

(3 − 2 2 )

2

3.3.

(

)

5 − 20 ×

5 2

Na tabela seguinte estão representados conjuntos de números reais na forma de condição, na forma geométrica e na forma de intervalo. Conjunto

Condição

Representação geométrica

Intervalo

A B

{ x ∈ ℝ : x ≥ 0}  −∞, − 1

C 4.1. Completa-a. 4.2. Determina: a) A ∩ B

b) A ∩ C

c) B ∩ C

d) A ∪ B

e) A ∪ C

f) B ∪ C

g) A ∪ B ∪ C 14

Teste de avaliação 1 · 90 minutos 5.

Resolve, em ℝ , as seguintes inequações:

(

)

(

5.1. 2 − 5 x − 1 < 3 2 − x

5.2. 1 −

x − 2 −4 x 5 + ≤ 2 3 6

5.3. x − 2 ( x − 1) ≥

5.4. −

6.

)

1 3

2 ( x − 1) 3 − 2x + 3 (1 − x ) > 1 + 3 2

Considera a equação

x 3x − 1 1 − < . 2 3 6

6.1. Resolve a inequação e apresenta o conjunto-solução. 6.2. Qual é o maior número inteiro que não verifica a inequação?

7. Determina os valores que x pode tomar de modo que a expressão 1 −

3 ( x − 2) representa 4

um número pertencente ao intervalo [– 2, 1[. 8.

Determina o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições.  −3 x < 0  8.1.  1− x  −3 ( x − 1) > 2 

8.2.

9.

x −1 x ≤ 3 ∨ 7 − 2 ( − x − 1) < 2 3

Determina x de modo que o perímetro do quadrado A seja maior do que o perímetro do

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retângulo B.

15

16

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2

FUNÇÕES

Ficha de treino 2 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20

Matemática | 9.º ano

N.º

Data

Professor

/

/20

1. Admitindo que a regularidade numérica se mantém, determina o 6.º termo e a expressão do termo geral das seguintes sequências: 1.1. 3, 7, 11, 15, 19, …

1.2. 1,

2.

1 1 1 1 , , , , ... 4 9 16 25

A lei de formação de uma sequência é a seguinte: “O primeiro termo é 3 e qualquer termo, a partir do segundo, é igual à soma do quíntuplo do anterior com 1.” Determina o quarto termo da sequência.

3.

Observa a seguinte sequência de construções, formadas por retângulos. Admite que a regularidade se mantém para as construções seguintes.

Construção 1

Construção 2

Construção 3

Construção 4

3.1. Quantos retângulos tem a construção 7? 3.2. Há alguma construção com 1200 retângulos? Explica como obtiveste a tua resposta. 3.3. Escreve a expressão do termo geral da sequência.

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4.

Calcula o 5.º termo da sequência cujo termo geral é: 4.1.

M9FNGP-2

n +1 n −1

4.2. 2n – n2

4.3.

n ( n − 1) n

17

Ficha de treino 2

5.

Considera a reta que representa graficamente a equação y = 3x + 1.

x

–3

–2

0 –2

y

11 2

2 13

5.2. Representa a reta de equação = y 3x + 1.

5.3. Desenha no mesmo referencial o gráfico da reta de equação y = 7 e determina as coordenadas do ponto de interseção dos dois gráficos.

6.

Resolve, em ℝ , as seguintes equações:

6.1. 2x – 4 – 4x = – (3x + 3)

6.2.

− (− 3 + x ) −

6.3.

−

6.4.

3 ( x − 2) −

x =3 2

x −2  x − 1 − 2 0 = 3  5 

2 ( x + 2) = 1 5

6.5. – 6 – 3(x – 3) + 2(x – 2) = 0

6.6. 18

−

x − 1 3x − 2 − − 3x = 0 3 2

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5.1. Completa a seguintes tabela:

Miniteste 2.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20

Matemática | 9.º ano

N.º

Data

Professor

1.

/

/20

A avó da Maria demora 60 dias a fazer uma colcha em croché, se trabalhar 3 horas por dia. Considera que, em cada dia, a avó da Maria faz o mesmo número de tiras de croché. Quantas horas teria de trabalhar por dia se quisesse fazer uma colcha em 45 dias? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

2.

O Sr. Joaquim tem 120 vacas e ração para as alimentar durante 30 dias. Pediu ao Pedro para este calcular o número de dias para que daria a ração que tem em armazém para diferentes números de vacas. Admite que cada vaca come a mesma quantidade de ração por dia. O Pedro elaborou a seguinte tabela: x

120

60

80

y

30

60

45

Sendo: x : número de vacas y : número de dias de ração 2.1. Mostra que x e y são inversamente proporcionais. 2.2. Determina a constante de proporcionalidade e diz qual o seu significado. 2.3. Se o Sr. Joaquim tivesse 90 vacas, para quantos, dias daria a ração? 2.4. Escreve uma expressão algébrica que relacione x com y.

3.

Nas frases seguintes estão implícitas duas variáveis. Diz se a relação entre elas poderá ser de proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa ou nenhuma destas relações. 3.1. Número de peças iguais cortadas de um rolo de arame / comprimento de cada peça 3.2. Peso das maçãs / custo total das maçãs 3.3. Tempo gasto ao telefone / conta mensal de telefone 3.4. Volume de leite num copo / distância da superfície do leite ao bordo do copo

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4.

Considera a tabela ao lado. Completa-a sabendo que:

x

1

y

12

2

3

4

5

4.1. x e y são grandezas diretamente proporcionais; 4.2. x e y são inversamente proporcionais. 19

Miniteste 2.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Observa os seguintes gráficos: (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

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1.

/

Diz, justificando, quais destes gráficos pode representar uma relação de proporcionalidade: 1.1. direta;

2.

1.2. inversa;

Existem vários triângulos, de dimensões diferentes, com 12 cm2 de área. 2.1. Completa a tabela que se segue, indicando, em centímetros, as medidas das bases e das alturas de três triângulos diferentes com 12 cm2 de área. Triângulo 1 Triângulo 2 Triângulo 3 Base

6

Altura

8

2.2. Qual dos gráficos pode representar a relação entre a medida da base (b) e a medida da altura (a) de triângulos com 12 cm2 de área? (A)

20

(B)

(C)

(D)

Miniteste 2.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

Distância de travagem A distância percorrida por um automóvel entre o momento em que o seu condutor inicia a travagem e o momento em que

o

automóvel

para

denomina-se

distância

de

travagem (Dt). A distância de travagem pode ser calculada, em metros, utilizando a fórmula: 2

v  1 Dt   × =  10  2 em que v é a velocidade do veículo (km/h). 1.

Resolve a equação dada em ordem a v.

2.

Completa a tabela seguinte. Velocidade (v) (km/h) Distância de travagem (Dt) (m)

3.

30 4,5

70 12,5

24,5

90

110 60,5

78

Desenha o gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade, graduando cada um dos eixos com uma escala adequada.

4.

O gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade está contido:

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(A) numa linha reta; (B) numa curva designada por hipérbole; (C) num quarto de circunferência; (D) numa curva designada por parábola. 21

Ficha de preparação para o teste de avaliação 2 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Qual dos seguintes gráficos corresponde a uma proporcionalidade direta ou a uma proporcionalidade inversa? Em caso afirmativo, identifica a constante de proporcionalidade e a expressão algébrica correspondentes. Mostra todos os cálculos que efetuares.

22

1 .1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

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1.

/20

Ficha de preparação para o teste de avaliação 2

2.

Verifica, em cada caso, se existe alguma relação de proporcionalidade, direta ou inversa, entre as variáveis x e y. Em caso afirmativo indica a constante de proporcionalidade. Mostra como obtiveste a tua resposta. 2.1.

2.2. x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

y

30

15

5

7,5

y

15

7,5

5

3,5

2.3.

2.4. x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

y

3

6

9

12

y

0,6

1,2

9 5

12 5

x

0

1

2

3

y

1

3

6

9

2.5.

3.

2.6. x

–3,7

y

10

−

1 2

74

0,3

−

370 3

5 3 111 − 5

Na tabela seguinte estão representados alguns valores das variáveis x e y. 3.1. Completa-a de modo que x e y sejam:

x

a) diretamente proporcionais;

y

1

3 6

12

4

b) inversamente proporcionais. 3.2. A partir de cada uma das tabelas que completaste em 3.1., onde está definida uma relação de proporcionalidade entre x e y, representa essa relação através de uma representação: a) algébrica;

4.

Considera as seguintes funções, definidas algebricamente: (I) y = 3 (IV) y =

M9FNGP © Porto Editora

b) gráfica.

3 x

(II) y = 3 x (V) y =

3 x +3

(III) y =

x 3

(VI) y= x + 3

Identifica as funções: 4.1. cujo gráfico é uma reta; 4.2. que são de proporcionalidade direta e indica a constante de proporcionalidade; 4.3. que são de proporcionalidade inversa e indica a constante de proporcionalidade.

23

Ficha de preparação para o teste de avaliação 2

5.

Acerca de um triângulo sabemos que a sua área é 12 cm2. M9FNGP © Porto Editora

5.1. Usando as letras da figura, escreve uma relação entre elas, do tipo y = k constante. 5.2. Completa a seguinte tabela: x

1

y 6.

k , com x

3 8

24

O Luís foi a casa de um amigo e demorou 15 minutos a efetuar o percurso a uma velocidade média de 100 km/h. Quanto tempo levaria a efetuar o percurso se tivesse ido a uma velocidade de 60 km/h?

7.

Os três cães do Diogo levam oito dias a consumir um saco de ração para cães. Se o Diogo oferecesse dois dos seus cães, quanto tempo duraria o saco da ração? Admite que os cães comem a mesma quantidade de ração diariamente.

8.

A Inês foi comprar fruta ao mercado. Deslocou-se de bicicleta, a uma velocidade média de 15 km/h e demorou 5 minutos. 8.1. Qual a distância de casa da Inês ao mercado? 8.2. Qual foi, em metros por minuto, a velocidade média a que a Inês se deslocou? 8.3. Quanto tempo demoraria a chegar ao mercado se se deslocasse a uma velocidade média de: a) 10 km/h

9.

b) 20 km/h

c) 50 km/h

Uma torneira, com um caudal de 30 litros por minuto, enche um tanque em 20 horas. Quanto tempo demorará a encher o tanque com um caudal de 50 litros por minuto?

24

Ficha de preparação para o teste de avaliação 2

10. Nos gráficos seguintes estão representadas funções quadráticas do tipo y = ax2. Para cada caso, identifica a respetiva expressão algébrica. 10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

11. Resolve as seguintes equações: 11.1. x2 = 9

11.2.

x2 – 16 = 0

11.3. x2 + 16 = 0

11.4. x2 – 2 = 0

11.5.

3x2 – 9 = 0

11.6. (x – 2)2 – 36 = 0

12. Um retângulo tem de área 242 m2. Se o comprimento é o dobro da largura, quais são as dimensões do retângulo?

13. O quadrado da soma de um número negativo com 2 é 49. Qual é esse número? 14. A operadora de telemóveis W tem um plano que permite aos clientes falar 100 minutos para números da mesma rede por uma mensalidade de 10 €. Caso este limite de tempo seja ultrapassado cada minuto excedente custará 0,30 €. Por sua vez, a operadora M, tem um plano cuja mensalidade é 5 € e cada minuto em chamadas para a mesma rede custa 0,10 €. O gráfico ao lado representa essas duas situações. 14.1. Determina T1 e T2.

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14.2. A partir de quantos minutos um dos planos será sempre mais económico que o outro? Justifica a tua resposta.

25

Teste de avaliação 2

90 minutos

Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

M9FNGP © Porto Editora

1.

/

Observa as seguintes representações gráficas e expressões algébricas. (I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

(VI)

1 x

(A) y = − x 2

(B) y = 2

(C) y =

(E) y = x + 1

(F) y = – x

(G) y= x − 1

(D) y = x (H) y = x2

1.1. Associa cada representação gráfica a uma das expressões algébricas. 1.2. Identifica cada uma das funções representadas pelas expressões algébricas. 1.3. Como se designam os gráficos das funções representadas. 2.

O gráfico de uma função contém o ponto A (2, 6). Escreve a expressão algébrica da função, sabendo que se trata de uma função de:

2.1. proporcionalidade direta; 3.

2.2. proporcionalidade inversa.

De acordo com o Decreto n.º 150 de junho de 1911, «o comprimento da Bandeira Nacional é de vez e meia a sua altura».

3.1. Constrói, num referencial, o gráfico que traduz a relação entre a altura da Bandeira Nacional e o seu comprimento, para valores da altura compreendidos entre 10 e 60 cm (inclusive).

3.2. Qual das quatro equações que se seguem permite calcular o perímetro (P) de uma Bandeira Nacional, dada a sua altura a?

(A) P =

5 x 2

(B) P = 5 x

(C) P =

5 2x

(D) P =

3.3. Se uma Bandeira Nacional tem 2,10 metros de comprimento, qual é a sua altura?

26

5 x

Teste de avaliação 2 · 90 minutos 4. Para pavimentar um passeio de uma rua em calçada à portuguesa, cinco trabalhadores demoram 12 dias. Admitindo que se mantém a proporção, quantos trabalhadores seriam necessários para pavimentar a mesma rua em 10 dias?

5.

Na noite de S. João, o Pedro lançou um balão. A altitude, em metros, a que o balão se encontrava em cada instante, em horas, é dada pela expressão algébrica A(t) = –100 (t –1)2 + 100, sendo A a altitude a que o balão se encontra em metros, num determinado instante t, em horas.

Nota: t = 0 significa 00:00. 5.1. A que horas o Pedro lançou o balão? 5.2. A que altitude se encontrava o balão às 01:45? 5.3. A que horas o balão se encontrava a 75 metros do solo? 5.4. Durante quanto tempo o balão se manteve no ar? 6.

18 bananas custam tanto como 12 peras.

6.1. Quantas bananas custam tanto como 8 peras? 6.2. Escreve uma expressão algébrica na forma B = K × P, em que B representa o número de bananas e P representa o número de peras. O que representa k no contexto da situação descrita?

7.

Os automobilistas necessitam de conhecer qual é a distância mínima que devem guardar entre dois carros em movimento. Estas distâncias dependem das condições atmosféricas (ver gráfico ao lado).

7.1. Qual é a distância mínima que deve guardar-se entre

com chuva sem chuva

dois carros em movimento quando circulavam:

a) com mau tempo a 40 km/h? b) com bom tempo a 30 km/h?

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7.2. Um condutor desloca-se a 60 km/h com bom tempo no limite da distância de segurança. De repente começa a chover. Qual a distância que deverá aumentar relativamente ao carro que vai à sua frente?

27

Teste de avaliação 2 · 90 minutos 8.

Na fotografia abaixo (figura 1), podes ver o teleférico do Parque das Nações. Na figura 2, está representado um esquema do circuito (visto de cima) efetuado por uma M9FNGP © Porto Editora

cabina do teleférico.

Figura 1

Figura 2

8.1. Uma cabina parte do ponto A, passa por B e regressa ao ponto A sem efetuar paragens durante este percurso. Sejam:

• t o tempo que decorre desde o instante em que a cabina parte do ponto A; • d a distância dessa cabina ao ponto A. Qual dos gráficos seguintes poderá representar a relação entre t e d?

Gráfico A

Gráfico B

Gráfico C

Gráfico D

8.2. No teleférico do Parque das Nações, o número de cabinas em utilização não é sempre o mesmo, mas duas cabinas consecutivas estão sempre igualmente espaçadas. O ajuste da distância entre as cabinas é feito automaticamente, de acordo com a fórmula n × c = 3, em que:

• c representa a distância, em quilómetros, entre duas cabinas consecutivas; • n é o número total de cabinas em utilização. Quando o teleférico está em funcionamento, a sua velocidade média pode variar entre 11 e 17 quilómetros por hora. Qual é o maior número possível de voltas completas que uma cabina pode dar durante uma hora? Justifica a tua resposta, começando por referir o significado da constante 3 na fórmula

n × c = 3. 28

Teste de avaliação 2 · 90 minutos 9.

No referencial cartesiano da figura seguinte está representada a reta que contém os pontos

A e B de coordenadas (0, 1) e (4, – 1), respetivamente.

1 9.1. Mostra que a equação da reta AB é y = − x + 1. 2

9.2. Determina o comprimento do segmento de reta [AC], sendo C o ponto de interseção da reta AB como eixo Ox e A o ponto de interceção da reta AB com o eixo Oy.

9.3. Sabendo que D pertence à reta AB e que a ordenada de D é 2, determina a abcissa do ponto D.

9.4. Determina a ordenada do ponto da reta AB que tem abcissa 3. 10. Considera a função f definida por: f(x) = 3x , – 3 ≤ x ≤ 3 10.1. Calcula f(– 1) – 2 f(0). 10.2. Mostra que f(a + b) = f(a) + f(b). 10.3. Mostra que f(ax) = a f(x). 10.4. Observa o gráfico seguinte onde está representada a função, g, de proporcionalidade

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inversa.

Resolve a equação f (x) = g (x) e interpreta geometricamente as soluções que determinaste.

29

30

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3

EQUAÇÕES

Ficha de treino 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

Considera o polinómio na variável x : A =x 2 −

/20

1 x +3 2

Determina o valor de A para: 1.1.

2.

3.

1.2. x = −

1 2

1.3. x = – 0,2

Resolve, em ℝ , as seguintes equações:

1 x= 0 2

2.1.

−

2.4.

2( x − 1) = 0

2.7.

−

2.10.

x −3 = 1− x 3

x −1 = 3 2

1 2

1 2.3. −1 = t 2

1 3

2.2. − x = 2.5. x −

1 1 = − 2 2

2.6. −

2.8. 1 −

x −1 = 0 2

1  0 2.9. 1 − 2  x +  = 2 

2.11. x −

x −1 = −2 ( x + 1) 2

2.12.

1 1 +x= 2 2

2 ( x − 1) 1− x = 1− 2 3

Resolve em ordem a y cada uma das seguintes equações.

3.1.

4.

x = −1

x + 2y = 3

3.2.

1 ( x − y ) =x + y 2

Um vaso de manjerico custa 3 euros e um vaso de gerbérias custa 2 euros. O que representam as expressões?

5.

4.1.

3x

4.2.

2y

4.3.

3 x + 2y

Escreve o termo geral de cada uma das sequências numéricas, admitindo que a

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regularidade se mantém.

5.1. 2, 4, 6, 8, …

5.2. 3, 6, 9, 12, 15, …

5.3. 3, 5, 7, 9, …

5.4. 5, 8, 11, 15, 17, …

5.5.

1 1 1 1 , , , ,... 2 4 8 10

5.6.

5 10 15 20 , , , ,... 7 14 21 28

31

Ficha de treino 3

6. Observa cada uma das figuras e determina x. As medidas são expressas em centímetros.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

Observa cada uma das figuras e determina x. As medidas são expressas em centímetros.

8.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

Na figura, [ABCV] é uma pirâmide triangular. A base da pirâmide é o triângulo [ABC], retângulo em C. Sabe-se que AC = BC = 4 cm e VC = 3 cm.

8.1. Determina o volume da pirâmide. 8.2. Determina VA , VB e AB . 8.3. Classifica, quanto ao comprimento dos lados, o triângulo [ABV].

32

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7.

6.1.

Miniteste 3.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Observa o seguinte retângulo:

1.1. Escreve, de uma forma simplificada e sem usar parênteses, a área do retângulo. 1.2. Calcula o valor numérico do perímetro do retângulo para x = 2 . 2. Qual das seguintes expressões é igual a 2(x – 3)2 + (x – 1) (x + 1) ? (A) – 12x + 19 (B) 3x2 – 12x + 17 (C) 2x2 – 5 (D) – 17 3. Fatoriza as seguintes expressões: 3.1. 2x – x2 3.2. 36 – 4x2 3.3. x2 + 2x + 1 3.4. (x – 1)2 – 2 (x – 1)(x + 1) 4. A diagonal de um quadrado mede

2.

Qual é a medida do perímetro do quadrado? (A) 4 2 (B) 4 (C) 1 2 2

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(D)

M9FNGP-3

33

Miniteste 3.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

/

/20

Professor

Qual das seguintes equações tem duas soluções?

0 (A) x ( x + 3 )(1 − x ) = (B) −

2.

1 0 ( x + 4 ) x 2 − 16 = 2

(

)

(C)

( x − 3)

(D)

1 x ( x − 1)( x − 3 ) = 0 2

2

= 0

Escreve uma equação que tenha como soluções:

2.1. – 3 e 0 2.2. − 2 e π 3. Resolve, em ℝ , as seguintes equações: 3.1. 3x2 – 9 = 0

3.2. (2 – 3x)2 = 4 3.3. – 3x2 + 4x = 0 3.4. (x – 2)2 – x2 + 4 = 0 3.5. x2 + 4 = 0 4. Na figura seguinte está desenhado um retângulo com 3 cm2 de área. As medidas estão expressas em centímetros sendo x um número positivo inferior a 1.

Determina as dimensões do retângulo.

34

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1.

Miniteste 3.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

2.

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Qual das equações seguintes é uma equação completa do 2.º grau? (A) x 2 = 1

(B)

( x − 3)

(C) x 2 = ( x − 3 )( x + 3 ) + x

(D)

( x + 1)

2

2

− 6x = 0 = 1

Escreve na forma a ( x − d ) + e , com a, d e e números reais e a ≠ 0 , os seguintes 2

polinómios do 2.º grau.

2.1. x 2 + 5 x + 4 2.2. − x 2 − x + 2 2.3. 2 ( x − 2 ) + 3 x 2

2.4.

3.

( x − 1)( x + 1)

( x + 1) −

2

2

Resolve, em ℝ , as seguintes equações utilizando o método de completar o quadrado, o caso notável, a diferença de quadrados e a lei do anulamento do produto.

3.1. x 2 − 2 x + 1 = 0 3.2. 4 x 2 − 4 x = 3 3.3. −2x 2 =

1 1 x− 2 4

3.4. x 2 + 2x = −2

1 2 −4 x − 3x = 2

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3.5.

35

Miniteste 3.4. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

/

(A) tem uma solução; (B) não tem qualquer solução; (C) tem como soluções – 2 e 2; (D) tem como soluções – 4 e 0. 0. Considera a equação − x 2 + kx − 1 =

2.1. Determina k de modo que a equação tenha uma única solução. 2.2. Resolve a equação para k = 2.

3.

O binómio discriminante da equação −2 x 2 + x − 3 = 0 é:

(A) –23 (B) 25 (C) 4 (E) 20 4.

Resolve, em ℝ , as seguintes equações aplicando a fórmula resolvente.

4.1.

−2 x 2 + 5 x + 4 = 0

4.2.

1 1 − x2 − x − 9 = 0 3 2

4.3.

2( x − 2)2 + 3 x = x 2 + 2

4.4. ( x − 1)( x + 1) −

36

/20

Sabe-se que o binómio discriminante de uma equação do segundo grau é igual a – 4. Podemos concluir que a equação:

2.

Data

( x + 1)2 = 0 2

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1.

Matemática | 9.º ano

Miniteste 3.5. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

1. Relativamente às raízes de uma equação do 2.º grau, sabe-se que a soma é 2 e o produto é – 3. Identifica a equação. (A) x2 + 2x – 3 = 0 (B) x2 – 2x + 3 = 0 (C) 2x2 – 4x – 6 = 0 (D) x2 – 1 = 0 2. Num jardim retangular, uma parte é relvada e a outra, com a forma de um quadrado, é destinada a flores. As dimensões dos quadriláteros estão expressas em função de x, para 2 x> . 7

A área da parte relvada é 136 m2. 2.1. De acordo com os dados, determina x. Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro. 2.2. Qual é o perímetro do jardim? Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro. 3. A soma das idades do João e do Tiago é 20 anos. No ano passado, o quadrado da idade do Tiago era igual à quarta parte do quadrado da idade do João. Que idades têm os dois irmãos? 4. Observa o triângulo na figura seguinte. As medidas dos lados do triângulo estão expressas

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em função de x, para x > 10 .

Determina o valor de x de modo que o triângulo seja retângulo. Mostra como obtiveste a tua resposta. 37

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

2.

Simplifica as seguintes expressões: 1.1.

( x − 3 )  x + 21 

1.2.

2 (2 – x) (x – 3)

1.3.

1 ( x − 1)( x + 1) 2

1.4.

1   x −  −1 2 

1.5.

2  1  1 −2  x −   x +  + ( x + 3 ) 2 2   

1.6.

2 1   2 x −  + ( x + 1) 2  

2.1. x 2 – 3x

2.2.

x2–9

1 2 x −3 4

2.4.

x 2 – 2x + 1

2.5. (x – 3)2 – 16

2.6.

25 – (x + 1)2

2.7. (x 2 – 1) – (x – 1) (x + 3)

2.8.

2(x + 3)2 – (x + 3) (x + 2)



2

2

Resolve as seguintes equações: 1 3.1. − x 2 = 0 3

3.2. x 2 =

1 3.4. − x 2 − 3 = 0 2

3.5. x 2 − 7 x + 12 = 0

3.7.

4.



Fatoriza as seguintes expressões:

2.3.

3.

7a + 1 = −a 2 5

3.8.

1 x 2

3 2 1 x= −x 2 2

3.3. 25 x2 = 9 3.6. p2 – 4p + 3 = 0 3.9. 0,03x2 – 0,04x – 0,01 = 0

Adicionando a um número o seu quadrado obtemos 72. De que número se trata?

5.

O quadrado da diferença entre um número e 1 é igual a 9. De que número se trata?

6.

Na figura ao lado estão representados dois retângulos.

6.1. O que representam as expressões: a)

7 + 2x ?

b)

c)

(7 + 2x) (2 + 2x)?

d) (7 + 2x) (2 + 2x) – 14 ?

2 + 2x ?

6.2. Determina x sabendo que a parte colorida a cor de laranja tem de área 52 m2. 38

/20

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1.

/

Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

7.

A distância da casa do Alexandre à biblioteca excede em 105 metros a distância da biblioteca à escola. Se o Alexandre seguir o caminho que liga a casa à escola anda 195 metros. Na ida para a escola o Alexandre seguiu diretamente para a escola. Na vinda para casa seguiu o caminho escola – biblioteca – casa.

Quantos metros percorreu a mais na volta do que na ida?

8.

Uma caixa sem tampa foi construída partindo de uma cartolina quadrada, cortando em cada canto um quadrado de 5 cm de lado.

O volume da caixa é de 1125 cm3. Qual era o comprimento do lado da cartolina?

9.

A Adriana vende bonecas de trapos. Vende um certo número de bonecas por 1000 euros. Se vendesse cada boneca mais cara 5 euros, teria ganho mais 200 euros. Quantas bonecas vendeu?

10. A Alice comprou um certo número de bolas de Natal por 60 euros. Se cada bola custasse menos 1 euro teria comprado mais 5 bolas.

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Quantas bolas de Natal comprou a Alice?

39

Teste de avaliação 3 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

Considera a equação x2 – 4x + 3 = 0. Qual das seguintes equações é equivalente à equação dada? (A) 2(x – 1) (x – 3) = 0 (B) x(x – 4) – 3 = 0 (C) (x + 1) (x + 3) = 0 (D) (x – 2)2 = 3

2.

3.

Resolve, em ℝ , as seguintes equações: 2.1.

 1 3  x −  ( 2x + 3 ) = 0 2  

2.2.

2  0  a − 3 = 7 

2.3.

1 t = −3 t 2 4

2.4.

63 = 7 x 2

2.5.

x2 − 6x = 5

2.6.

2 1 2 ( x − 1) = 2

2

A figura seguinte é formada por três quadrados.

3.1. Mostra que a área da figura é dada pela expressão: A = 3x2 + 6x + 5

3.2. Determina o perímetro da figura sabendo que a área é igual a 365 cm2. Apresenta os cálculos que efetuares.

40

/20

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1.

/

Teste de avaliação 3 · 90 minutos 4.

Considera a equação: (x – 3)2 – (x – 3) (x + 2) = 0 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) É uma equação do segundo grau completa. (B) – 1 é uma solução da equação. (C) É uma equação do 1.º grau. (D) É uma equação impossível.

5.

Para cada valor de k a equação x 2 − ( k − 1) x −

k = 0 é uma equação do 2.º grau. 2

5.1. Resolve, em ℝ , a equação para k = 1. 5.2. Para que valor de k a equação tem duas soluções distintas, sendo uma delas a solução nula?

5.3. Mostra que não existe nenhum valor de k de modo que a equação tenha uma única solução.

6. Se ao lado de um quadrado retirarmos 5 cm a sua área diminui 75%.

Qual é a área do quadrado inicial?

7. Na quinta da Joana há um terreno retangular onde fica presa uma ovelha para não comer as culturas envolventes. O retângulo tem 120 m2 de área e de perímetro 44.

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Qual é a largura do retângulo? Mostra como obtiveste a tua resposta.

41

42

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4

GEOMETRIA EUCLIDIANA. PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

Ficha de treino 4 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

1. Observa a figura seguinte:

ˆ = EDI ˆ= GFJ ˆ = 50° . As retas r e t são paralelas e BAD 1.1. Utilizando as letras da figura, indica: a) dois pares de retas concorrentes; b) duas retas paralelas distintas de r e s; c) duas semirretas com retas-suporte distintas; d) duas semirretas com a mesma reta-suporte; e) duas semirretas com retas-suporte distintas e com sentidos opostos; f) dois segmentos de reta com o mesmo comprimento; g) dois segmentos de reta cujo extremo é o ponto F.

1.2. Determina o valor de: ˆ a) HID

ˆ b) CBJ ˆ c) EFB

1.3. Justifica que as retas r, s e t são paralelas entre si.

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1.4. Justifica que os triângulos [DEI] e [FGJ] são iguais.

43

Ficha de treino 4

2. Na figura seguinte estão representados, num mesmo plano, uma reta r e um ponto P

2.1. Utilizando régua e esquadro determina um ponto Q, pé da perpendicular à reta r traçada de P para r.

2.2. Quantas retas existem que passam por P e são paralelas à reta r ?

3.

Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Os pontos A, B, C e D pertencem à reta s e o ponto E pertence à reta r.

3.1. Qual dos segmentos de reta da figura tem o mesmo comprimento que a distância entre as retas r e s ?

3.2. Escreve por ordem decrescente os segmentos de reta de acordo com a medida do seu comprimento.

3.3. Admite que ED = 4 e BD = 8 . Determina o valor de BE .

44

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exterior à reta r.

Miniteste 4.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

1.

Enuncia o teorema recíproco do Teorema de Pitágoras e identifica a sua hipótese e tese.

2.

Em cada uma das implicações enuncia a condição suficiente e a condição necessária e diz se a implicação recíproca é verdadeira. 2.1. Se um quadrilátero é um paralelogramo, então é um trapézio. 2.2. Se um quadrilátero é um quadrado, então é um retângulo. 2.3. x 2 = 4⇒x = −2 2.4. Se um triângulo tem os dois lados iguais, então tem dois ângulos internos iguais. 2.5. x 3 =−8 ⇒ x =−2 2.6. 2 x 2 = 0 ⇒ x = 0

3.

Considera o seguinte teorema: “Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas retas paralelas são iguais.”

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Identifica a hipótese e a tese do teorema.

45

Miniteste 4.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Na figura está representado o sólido composto por um paralelepípedo retângulo e por um prisma triangular reto. Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular.

1.1. Utilizando as letras da figura, indica: a) uma reta paralela ao plano ABC; b) um plano paralelo ao plano AIJ; c) um plano perpendicular ao plano BCG; d) a interseção dos planos ABF, BCG e HEF; e) três retas paralelas não simultaneamente complanares.

1.2. Justifica que: a) a reta IB é secante ao plano EFG; b) o plano JIB é concorrente com o plano EFG; c) a reta EH é paralela à reta BC; d) um plano paralelo ao plano BCG é paralelo ao plano DAI.

46

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1.

/20

Miniteste 4.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

Na figura seguinte estão representados dois cubos com duas faces adjacentes.

O ponto O é o ponto médio da aresta [BC]. 1.1. Utilizando as letras da figura, indica: a) dois planos perpendiculares; b) duas retas perpendiculares no ponto B; c) dois semiplanos perpendiculares; d) o plano mediador do segmento de reta [BF].

1.2. Justifica que: a) a reta EF é perpendicular ao plano IJK; b) a reta MN é perpendicular ao plano ADH.

1.3. Sabendo que o volume do cubo [ABCDEFGH] é 64 cm3, determina: a) o comprimento da aresta do cubo [ABCDEFGH]; b) a distância entre os planos EFG e MNK; c) a distância entre a reta EB e o ponto A;

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d) a distância entre a reta AB e o plano MNK.

47

Ficha de preparação para o teste de avaliação 4 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

/20

Considera a seguinte implicação: Para quaisquer x, y ∈ ℝ + , x < y ⇒

1 1 > . x y

Indica a condição necessária e a condição suficiente.

2.

Considera o seguinte teorema: “Um número múltiplo de 2 e 5 é múltiplo de 10.” Enuncia a hipótese e a tese do teorema.

3.

Na figura seguinte, [ABCD] é um paralelogramo. Os lados [AB] e [CD] estão contidos no plano α e β , respetivamente.

3.1. Qual é a posição do plano α relativamente à reta CD ? 3.2. Podemos afirmar que os planos α e β são paralelos? Justifica a tua resposta.

ɺ e AQ ɺ são paralelas, onde P e Q são os planos β e α , 3.3. Admite que as semirretas CP respetivamente. Podemos afirmar que os planos α e β são paralelos? Justifica a tua resposta.

48

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1.

Matemática | 9.º ano

Ficha de preparação para o teste de avaliação 4

4.

Na figura seguinte está representado um prisma triangular cujas bases são triângulos retângulos isósceles.

Considera os semiplanos determinados pela reta AE e pelos pontos B e C. Qual é o ângulo formado entre esses semiplanos? 5.

Na figura seguinte está representado um cone de vértice V. O ponto O representa o centro da base do cone que está contido no plano β e [OAVB] é um retângulo.

5.1. Qual é a projeção ortogonal do ponto V no plano β ?

5.2. Admite que o raio da base do cone é OA = 6 cm e OV = 10 cm.

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Qual é a altura do cone?

M9FNGP-4

49

Teste de avaliação 4 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

/20

Para cada uma das implicações seguintes indica a condição necessária e suficiente e diz se a implicação recíproca é verdadeira ou falsa. 1.1. A soma de dois números naturais pares é um número par. 1.2. Se x = 4 então x 2 = 16 . 1.3. Um divisor de 4 é divisor de 16. 1.4. x × y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0

2.

Na figura seguinte está representado um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular [ABEFGHIJ] reto e no prisma triangular [BCHEDI].

2.1. Usando as letras da figura, indica: a) dois planos perpendiculares; b) dois planos paralelos; c) três retas paralelas não complanares.

2.2. Justifica que: a) a reta GJ é paralela ao plano HCD; b) a reta HC é secante ao plano GAF; c) o plano mediador do segmento [AB] é o plano HCD são secantes.

50

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1.

Matemática | 9.º ano

Teste de avaliação 4 · 90 minutos 3.

Na figura ao lado estão representados um prisma e uma pirâmide quadrangular regular.

3.1. Indica pares de retas: a) complanares; b) não complanares; c) paralelas; d) concorrentes; e) perpendiculares; f) oblíquas. 3.2. Tendo por base a figura indica uma reta e um plano de tal modo que: a) a reta seja paralelas ao plano; b) a reta pertença ao plano; c) a reta seja perpendicular ao plano; d) a reta seja concorrente com o plano. 3.3. Indica um par de planos que sejam: a) paralelos; b) coincidentes; c) concorrentes; d) perpendiculares; e) oblíquos.

4.

O Sr. Francisco quer colocar um corrimão numa rampa. Como é que deve proceder para garantir que o corrimão é paralelo à rampa?

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Justifica a tua resposta com palavras ou desenhos.

51

52

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5

ÁREA E VOLUME DE SÓLIDOS

Ficha de treino 5 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

O sólido, tal como está representado na figura em baixo, diz-se desenhado em perspetiva. Supondo que o observamos na direção da seta obtemos uma vista desse sólido. Desenha o modelo que representa essa vista no quadriculado que se segue. A esta vista do sólido chamamos vista de frente.

1.2.

Tendo por base o mesmo sólido da figura anterior, este pode ser viso de uma outra direção. A esta vista do sólido chamamos vista de frente.

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No quadriculado seguinte desenha o modelo que representa esta vista.

53

Ficha de treino 5

Desenha as vistas de cada um dos seguintes sólidos.

3.

Constrói, com dez cubinhos, um modelo de sólido cujas vistas de frente e de lado sejam as

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2.

mesmas. 4.

Supõe um modelo de sólido (constituído por cubinhos) com as seguintes vistas de frente e de lado:

4.1. Haverá mais do que uma solução para este problema? 4.2. Tenta descobrir dois sólidos que utilizem, respetivamente, o maior e o menor número de cubos. 4.3. Indica o volume e a área total e cada um deles, tomando para unidades os elementos de um cubinho. 54

Miniteste 5.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Calcula o volume da pirâmide, sabendo que [ABC] é um triângulo retângulo isósceles,

AD = AB e AC = 4 cm.

2.

Considera a pirâmide quadrangular regular [ABCDV] representada na figura seguinte. Sabe-se que [VO] é a altura da pirâmide e AB = 5 cm e VO = 6 cm.

2.1. Determina o volume da pirâmide. 2.2 Determina o comprimento do apótema da pirâmide. 2.3. Determina: a) a área lateral da superfície da pirâmide; b) a área total da pirâmide. 2.4. Qual é o volume de um prisma quadrangular regular cuja base coincide com a base

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[ABCD] e tem altura [VO]?

55

Miniteste 5.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Na figura seguinte está representado um cone reto.

Sabe-se que o raio da base mede 4 cm e a geratriz tem 10 cm de comprimento. 1.1. Determina a área total do cone. 1.2. Determina o volume do cone. Apresenta o resultado com uma casa decimal. 1.3. Considera um cone com a mesma base do anterior e cuja altura é metade da altura do cone dado. Qual é o seu volume?

2.

Na figura seguinte está representada a planificação de um cone.

Determina: 2.1. a área da base do cone; 2.2. a área total do cone; 2.3. a altura do cone; 2.4. o volume do cone.

56

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1.

/

Miniteste 5.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Determina o volume dos seguintes sólidos geométricos. 1.1. Semiesfera

1.2. Cone e semiesfera

1.3. Cilindro em que se removeu um cone

2.

Indica duas pirâmides retangulares com dimensões cujo volume é 384 cm3.

3.

Indica dois cilindros com dimensões diferentes cujo volume é 6912π cm3.

4.

O sólido da figura é composto por um cilindro e por duas semiesferas com o mesmo raio. Determina: 4.1. a área, em centímetros quadrados, da superfície do sólido. Apresenta o resultado com uma casa decimal. 4.2. o volume, em centímetros cúbicos, do sólido.

5.

Na figura ao lado está representado uma esfera no interior de um cubo cujas faces são tangentes às faces da esfera. Sabendo que a área de superfície do cubo é 150 cm2, determina a

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área da superfície esférica.

57

Ficha de preparação para o teste de avaliação 5 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Considera um cubo cuja aresta mede a unidades.

1.1. Para que valor de a é que a soma da medida do comprimento de todas as arestas é igual à metade da medida da área total do cubo? 1.2. Para que valor de a é que a medida da área total do cubo é igual à medida do seu volume? Justifica as tuas respostas e apresenta todos os cálculos que efetuares. 2.

Na figura seguinte está representado um cone em que o raio da base mede 5 m e a geratriz 13 m. Determina a altura do cone com aproximação ao decímetro.

3.

Na figura seguinte está representado um paralelepípedo. As suas dimensões estão indicadas na figura.

3.1. Se aumentarmos uma unidade a todas as arestas, quanto aumenta o volume do paralelepípedo? 3.2. Se duplicarmos todas as arestas, quantas vezes aumenta o seu volume? 3.3. Quais as dimensões que deverá ter uma pirâmide quadrangular regular para ter o mesmo volume que o paralelepípedo?

58

M9FNGP © Porto Editora

1.

/

Ficha de preparação para o teste de avaliação 5

4.

As duas pirâmides da figura seguinte são regulares. As medidas estão em centímetros.

4.1. Qual das pirâmides tem maior volume? Justifica a tua resposta. 4.2. Em qual das pirâmides é maior a área da superfície total? Justifica a tua resposta.

5.

Determina o volume de cada um dos seguintes sólidos. 5.1. Pirâmide trapezoidal

6.

5.2. Cone reto

5.3. Pirâmide triangular

Determina a área total e o volume dos seguintes sólidos geométricos: 6.2. Semicone

6.3. Esfera

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6.1. Pirâmide quadrangular

59

Teste de avaliação 5 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

/

Mostra que o volume da semiesfera é

1 do volume do cilindro. 3

A figura seguinte representa um modelo de uma rampa.

O triângulo [ABC], retângulo em B, é uma vista lateral da rampa. Sabe-se que AB = 85 cm e BC = 16 cm. 2.1. Determina o valor de AC . Apresenta o resultado com aproximação à centésima do centímetro. 2.2. Sabendo que AD = 1,05 m, determina o volume da rampa.

60

/20

Na figura seguinte estão representados uma semiesfera de raio r e um cilindro cujo raio da base é r e altura 2r.

2.

Data

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1.

Matemática | 9.º ano

Teste de avaliação 5 · 90 minutos 3.

Num reservatório de forma cúbica utilizaram-se 600 dm2 de chapa de ferro. Qual é a capacidade do reservatório?

4.

Na figura seguinte está representado o modelo geométrico de um monumento. Este é constituído por dois prismas retos e por uma esfera.

Calcula o volume do sólido representado no modelo.

5.

Na figura seguinte está representado o paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH]. Sabe-se que a área do quadrado [ADHE] é 81 cm2 e AB = 12 cm.

Calcula a razão entre o volume da pirâmide [DBCG] e o volume do paralelepípedo [ABCDFGH].

Calcula o raio de uma esfera gerada por um semicírculo de perímetro igual a 5,1 m.

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6.

61

62

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6

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Ficha de treino 6 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

2.

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Quais dos seguintes pares de triângulos são semelhantes? Justifica a tua resposta. 1.1. 1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

Observa a figura. 2.1. Mostra que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes. 2.2. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determina AC . 2.3. Determina AE .

3.

Determina x aplicando o Teorema de Pitágoras. 3.1. 3.2.

3.4.

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3.3.

63

Ficha de treino 6

4.

Admite que a unidade de comprimento é o centímetro.



AB = 7

 

AE = 9 BE = 5



AF = 5,04

 

ED = 3,6

AB // CD

4.1. Determina o valor de EC . 4.2. Mostra que as retas AC e DF são paralelas. 4.3. Determina o valor de DF .

5.

Na figura seguinte, [SAB] e [SCD] são dois triângulos retângulos. Sabe-se que: 

AB = 4 cm



CD = 7 cm



BD = 12 cm



SB = x cm

5.1. Determina o valor de x. 5.2. A figura seguinte representa um tronco de cone, modelo geométrico de um balde. O cone foi gerado pela rotação do triângulo [SCD] em torno de [SD].

Calcula o volume do tronco de cone. Apresenta a resposta com aproximação à decima do centímetro cúbico.

64

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Sabe-se que:

Miniteste 6.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

Na figura pode observar-se o triângulo retângulo [ABC].

1.1. relativamente ao ângulo agudo CBA, identifica: a) o cateto oposto;

b) o cateto adjacente;

c) hipotenusa.

b) cosα

c) tanα

1.2. Determina: a) sin α

2.

Observa os triângulos retângulos de cada uma das figuras e determina x e y. Apresenta estes valores arredondados à décima do centímetro. 2.1.

2.2.

3. Qual dos seguintes valores não pode representar o cosseno de um ângulo agudo? (A)

2 3

(B)

5 3

(C)

−1 −2

(D)

5 4

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4. Os triângulos retângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes.

Escreve o valor de sin(DF̂E). M9FNGP-5

65

Miniteste 6.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Matemática | 9.º ano Data /

M9FNGP © Porto Editora

1. Sabe-se que sin 60º =

/20

3 3 e que tan 30º = . 2 3

Sem usar a calculadora, completa: 1.1. cos 30º = … 1.2. sin 30º = … 1.3. cos 60º = … 1.4. tan 60º = … 2. Relativamente a um ângulo agudo sabe-se que sin x = 0,2. Determina o valor de

1 . cos x

Apresenta o resultado com uma casa decimal.

3. Sabe-se que sin α =

2 . 5

Calcula o valor exato de: 3.1. cos α

3.2.

1 tan α

4. Mostra que (1 − cos x ) + sin2 x = 2 − 2 cos x . 2

5. Determina o valor exato de sin θ e de cos θ, sabendo que x = 1 + 2 sin θ e x = 3 – cos θ, sendo θ um ângulo agudo.

6.

Para um dado ângulo agudo α , sabe-se que sin α =

3 . 3

6.1. Determina o valor de α. Apresenta o resultado em graus e minutos arredondado à unidade. 6.2. Calcula o valor de tan α – cos α. Apresenta o resultado com duas casas decimais. 66

Miniteste 6.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Determina as medidas dos elementos que faltam nos seguintes triângulos. Caso seja necessário, apresenta o resultado com uma casa decimal. 1.1.

2.

1.2.

Na figura seguinte pode observar-se um triângulo inscrito numa semicircunferência de centro em O.

De acordo com os dados da figura calcula a área de um círculo de diâmetro [AB]. Apresenta o resultado com duas casas decimais. 3. Recorrendo a uma calculadora, calcula, apresentando o resultado com quatro casas decimais. 3.1. sin 20º

3.2. cos 49,6º

3.3. tan (88º 15’) 4.

Observa a figura ao lado.

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Sabe-se que: ▪ PT = 72 cm

▪ TS ⊥ PS

▪ RQ ⊥ PQ

▪ SP̂T = 15º

▪ RP̂S = 35º

▪ QP̂R = 20º

Determina RQ . Nos cálculos intermédios utiliza quatro casas decimais. Apresenta a resposta com aproximação à décima do centímetro. 67

Miniteste 6.4. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Observa a figura ao lado. De acordo com os dados da figura, determina a distância do avião ao solo. Apresenta o resultado arredondado às unidades do metro.

2.

O cabo está preso no topo de uma torre. A torre tem 16 m de altura e o cabo tem 22 m de comprimento. Determina a amplitude que o ângulo faz com a linha do solo. Apresenta o resultado arredondado à décima do grau.

3.

Na figura abaixo está representada uma circunferência na qual está inscrito o quadrado [ABCD]. Sabe-se que AC = 2 .

3.1. Qual é a amplitude do arco BC? 3.2. Determina a área da região sombreada. Apresenta o resultado com uma casa decimal.

4.

Observa a seguinte figura:

De acordo com os dados, determina a altura da árvore. Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro. 68

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1.

/20

Ficha de preparação para o teste de avaliação 6 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

2.

Data /

Em qual das seguintes opções sin α = (A)

Matemática | 9.º ano

/20

2 ? 3

(B)

(C)

(D)

Na figura pode observar-se o triângulo retângulo [ABC]. Sabe-se que sin(AĈB) =

3 . 2

2.1. Determina a amplitude do ângulo CBA. 2.2. Calcula a área do triângulo [ABC]. 3.

Observa a seguinte figura.

Determina a altura da árvore. Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro. 4.

Observa a seguinte imagem da calculadora do Tiago.

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Calcula o valor exato e o valor aproximado (4 c.d.) de tan 75º.

69

Ficha de preparação para o teste de avaliação 6

5. Um avião levanta voo com um ângulo de elevação de 30º. (A) 200 m (B) 300 m (C) 400 m (D) 500 m 6.

Na figura seguinte pode observar-se um terreno com a forma de um paralelogramo.

Calcula a área do terreno. Apresenta o resultado, em metros quadrados, com zero casas decimais. 7.

Um barco navega na direção AB, próximo de um farol (C).

No momento em que se encontra no ponto B, a que distância o barco se encontra do farol? 8.

Calcula a área de um pentágono regular com 10 cm de lado. Apresenta o resultado arredondado à decima do centímetro quadrado.

9.

Sabe-se que sin α = 0,6. Calcula tan α .

10. Simplifica a expressão (sin α – cos α)2.

70

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A que altitude se encontra o avião após percorrer 800 m?

Teste de avaliação 6 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

Completa a seguinte tabela utilizando uma calculadora ou uma tabela trigonométrica. Ângulo x

sin x

cos x

tan x

27º 0,7112

57,29 0,5471

Apresenta os valores das razões trigonométricas com quatro casas decimais e as amplitudes dos ângulos em graus e minutos (0 c.d.). 2.

Na figura ao lado está representado o triângulo [RIO], retângulo em I. Calcula:

3.

2.1. sin (RÔI)

2.2. cos (RÔI)

2.3. tan (RÔI)

2.4. sin (IR̂O)

2.5. cos (IR̂O)

2.6. tan (IR̂O)

Para cada uma das situações seguintes, calcula o valor de x. Apresenta os resultados com uma casa decimal. 3.1.

4.

3.2.

3.3.

A figura seguinte representa o paralelepípedo [ABCDEFGH].

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De acordo com os dados da figura, determina o valor de: 4.1.

AG

4.2. CÂG Apresenta os resultados arredondados às unidades.

71

Teste de avaliação 6 · 90 minutos 5.

Determina o perímetro dos seguintes triângulos. Apresenta o resultado com uma casa decimal.

6.

5.2.

Observa a seguinte figura e determina AB . Apresenta o resultado com duas casas decimais.

7. Calcula a área de um polígono regular cujo lado mede 6 cm e tem: 7.1. seis lados; 7.2. oito lados. Apresenta os resultados à décima do centímetro quadrado. 8.

Observa a seguinte figura:

Determina a altura da árvore. Apresenta o resultado arredondado à décima do metro. 9. Sabe-se que sin x =

3 . 5

Sem usar a calculadora, determina: 9.1. cos x 9.2. tan x 10. Prova que sin x (sin x + cos x) – cos x (sinx – cos x) = 1. 72

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5.1

M9FNGP © Porto Editora

7

LUGARES GEOMÉTRICOS. CIRCUNFERÊNCIA

73

Ficha de treino 7 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

M9FNGP © Porto Editora

1. Desenha a mediatriz do segmento de reta [AB] da figura.

2.

Desenha um ângulo de 120º de amplitude e a bissetriz desse ângulo.

3.

Observa as figuras e determina o valor de x. 3.1.

4.

3.2.

3.3.

Observa as figuras e determina os valores de x e y. 4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

Os triângulos [ABC] e [BDC] são iguais.

5.

O retângulo [ABCD] foi dividido em nove retângulos iguais. Utiliza as letras da figura e completa.   5.1. AI + BG = ...   5.2. AF + CD = ...   5.3. DC + GI = ...   5.4. AH + KO = ...

74

Ficha de treino 7

6.

Desenha: 6.1. a figura B obtida da figura A pela reflexão de eixo e;

   6.2. a figura B, transformada da figura A pela translação associada ao vetor w= u + v .

7.

Observa a figura ao lado. 7.1. Descreve a isometria que transforma: a) a figura A na figura B; b) a figura B na figura C; c) a figura C na figura A. 7.2. Explica porque não é possível transformar a figura C na figura D usando uma isometria ou uma composição de isometrias.

8.

Observa a figura ao lado. 8.1. Completa.   a) GL + FD = ...   b) JM + FE = ...

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8.2. Descreve a isometria que transforma: a) a figura 7 na figura 5; b) a figura 3 na figura 8. 8.3. Descreve uma composta de duas isometrias que transforme a figura 1 na figura 7. 75

Miniteste 7.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

Qual dos seguintes lugares geométricos representa uma coroa circular?

2.

Representa no quadriculado:

/20

2.1. o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de D;

2.2. o lugar geométrico dos pontos mais próximos da semirreta ȦB do que da semirreta ȦD;

2.3. o lugar geométrico dos pontos a uma distância superior a três unidades de C.

3.

Um cão de guarda está preso com uma trela de 2 m de comprimento. A outra extremidade da trela está ligada a um tubo com 5 m de comprimento, ao longo do qual pode mover-se até às extremidades. Desenha a cor vermelha a parte do terreno em que o cão pode movimentar-se. Usa uma escala de 1:100.

76

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1.

/

Miniteste 7.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

1.

2.

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Ao ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo chama-se: Circuncentro

Incentro

Baricentro

Ortocentro

O ângulo EFG é um ângulo reto inscrito na circunferência da figura seguinte. Determina, geometricamente, o centro da circunferência. Explica o processo que utilizares, justificando cada um dos passos seguidos. Esse processo não deve envolver a medição de segmentos.

3. Assinala com a letra P o local onde deve ser construído um posto de abastecimento de

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combustíveis que fique igualmente distanciado dos pontos A, B e C.

77

Miniteste 7.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

Data /

/20

Na figura seguinte, A e B são pontos de uma circunferência de centro O. AC é uma reta tangente à circunferência no ponto A. Sabe-se que AÔB = 80º e AB = 5 cm.

1.1. Mostra que o triângulo [ABO] é isósceles. 1.2. Determina a amplitude do ângulo CAB. 1.3. Calcula DE . Explica como obtiveste a tua resposta. 2. Para cada uma das figuras determina o valor de x. Explica como obtiveste a tua resposta.

78

N.º

Matemática | 9.º ano

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

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1.

/20

Miniteste 7.4. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Matemática | 9.º ano Data /

/20

1. Observa as seguintes figuras:

Dos ângulos desenhados, indica os que são: 1.1. ângulos inscritos;

1.2. ângulos ao centro.

2. Determina as amplitudes dos ângulos identificados com uma letra. Justifica a tua resposta. 2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

M9FNGP © Porto Editora

2.1.

79

Miniteste 7.5. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

2. Determina a amplitude dos ângulos ou arcos identificados com uma letra. Justifica a tua resposta. 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

/20

M9FNGP © Porto Editora

1. Como se designa cada um dos ângulos relativamente à sua circunferência?

80

Matemática | 9.º ano

Miniteste 7.6. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Matemática | 9.º ano Data /

/20

1. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular é 144º. Quantos lados tem o polígono?

6

8

10

12

2. Tendo em conta as medidas das amplitudes dos ângulos internos do polígono, determina x.

3. Na figura seguinte podes observar dois lados consecutivos de um polígono regular.

Qual é a soma dos ângulos internos deste polígono?

4. Observa o hexágono regular da figura.

Determina a amplitude:

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4.1. do ângulo x; 4.2. de um ângulo interno; 4.3. de um ângulo externo.

M9FNGP-6

81

Miniteste 7.7. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

As retas AD e BD são tangentes à circunferência. 1.1. Determina a amplitude do ângulo AOB. 1.2. Explica porque é que o quadrilátero [ADBO] pode ser inscrito numa circunferência.

2. Para cada figura, determina as amplitudes dos ângulos identificados com letras. 2.1.

2.2.

2.3.

2.4. AB // CD AD = DC

82

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1. Na figura seguinte, A, B e C são pontos de uma circunferência de centro O.

Ficha de preparação para o teste de avaliação 7 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

Na figura está representado um campo retangular com 100 m de comprimento e 60 m de largura, junto ao qual passa um rio. Na figura seguinte podes observar um esquema do terreno. O ponto A representa uma árvore existente no campo.

No desenho, o lado de cada quadrícula corresponde a 10 metros. No campo vão ser plantadas duas árvores numa zona que obedece às seguintes condições: •

a distância das árvores ao rio é de 60 m;

•

as árvores distam da árvore já existente 30 m.

Assinala com as letras P e Q os locais onde vão ser plantadas as duas árvores. 2.

Descreve os lugares geométricos correspondentes às partes sombreadas das figuras. 2.1.

2.2.

3. Qual das seguintes opções define uma esfera? Lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto dado é maior ou igual a r (r > 0) M9FNGP © Porto Editora

Lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto dado é igual a r (r > 0) Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto dado é igual a r (r > 0) Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto dado é menor ou igual a r (r > 0) 83

Ficha de preparação para o teste de avaliação 7

4. Em relação à figura seguinte, sabe-se que: o ponto O é o centro da circunferência;

•

as cordas [AD] e [BC] são paralelas;

•

AÔB = 80º e CD = 120º.

Determina:

5.

4.1. AB

4.2. OB̂A

4.3. BC

4.4. DA

Na figura seguinte está representada uma circunferência, de centro em O, em que:

•

o retângulo [ABCD] está inscrito na circunferência;

•

o segmento de reta [DB] é um diâmetro;

•

a reta t é tangente à circunferência no ponto A.

•

CD = 100º.

5.1. Qual é a amplitude do arco AB? 5.2. Sabendo que DO = 5 cm e que BC = 6 cm, determina AB . 5.3. Determina a amplitude do ângulo EAB. Mostra como obtiveste as tuas respostas.

84

M9FNGP © Porto Editora

•

Ficha de preparação para o teste de avaliação 7

6.

O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440º tem: Quatro lados Seis lados Oito lados Dez lados

7.

Observa a seguinte figura:

7.1. Determina a amplitude do ângulo AOC. 7.2. Mostra que o quadrilátero [ABCO] é inscritível numa circunferência.

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8.

Observa o seguinte pentágono:

Determina o valor de x.

85

Ficha de preparação para o teste de avaliação 7

9.

Na figura seguinte está representada a circunferência de centro O e diâmetro [QS]. M9FNGP © Porto Editora

A reta PR é tangente à circunferência no ponto Q. A amplitude do ângulo QPO é 34º. 9.1. Qual é a amplitude do ângulo POQ? 9.2. Determina a amplitude do ângulo RQT. Mostra como obtiveste a tua resposta. 10. Na figura seguinte podes observar dois ângulos excêntricos: um com o vértice no interior da circunferência e outro com o vértice no exterior da circunferência.

Sabe-se que: 

AÊB = 20º



AB = 60º

Determina a amplitude do ângulo AFB. Explica como obtiveste a tua resposta.

86

Teste de avaliação 7 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

1. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O. Com as letras da figura escreve: 1.1. três raios;

1.2. um diâmetro;

1.3. duas cordas. 2. A figura seguinte apresenta um octógono regular, [ABCDEFGH] inscrito numa circunferência de centro O. 2.1. Determina a amplitude do ângulo: a) COD

b) ODC

c) BAH

d) EOH

2.2 Qual é o nome do quadrilátero [FBCE]? 2.3. Calcula a área da parte colorida da figura sabendo que o raio da circunferência é 30 cm e o lado do octógono mede, aproximadamente, 23 cm. Apresenta o resultado arredondado à décima do centímetro quadrado. 3. Na figura as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O, nos pontos A e B, respetivamente. Sabe-se que AP̂O = 18º. Determina BÔA e OÂB.

4. Na figura, a reta OM é perpendicular à corda [AB] e passa pelo ponto médio da corda. Sabendo que MÔA = 55º, determina: 4.1. OÂM

4.2. MB̂O

4.3. BÔA 5. Na figura ao lado podes observar um icoságono regular (figura geométrica com 20 lados e 20 ângulos iguais). Relativamente ao icoságono, calcula:

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5.1. a soma das amplitudes dos ângulos internos; 5.2. a soma dos ângulos externos; 5.3. a amplitude de cada ângulo interno; 5.4. a amplitude de cada ângulo externo. 87

Teste de avaliação 7 · 90 minutos

6. Observa cada uma das figuras e determina o valor de x. 6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

7. Qual é o lugar geométrico dos pontos que distam: 7.1. no plano, igualmente de dois pontos dados? 7.2. no espaço, igualmente de dois pontos dados? 7.3. no plano, 2 cm de um ponto dado? 7.4. no espaço, 2 cm de um ponto dado? 7.5. no plano, igualmente de duas semirretas com a mesma origem? 8. No referencial ao lado: 8.1. desenha a mediatriz de [AB]; 8.2. a coroa circular cujas circunferências têm raios AB e AC ; 8.3. a bissetriz do ângulo BAC; 8.4. o círculo cuja circunferência contém A, B e C. 88

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6.1.

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8

ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS

89

Ficha de treino 8 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Completa. Fração

Decimal

Percentagem

1 4

0,3 5% 3 5

0,35 80% 2.

Na figura seguinte pode observar-se quatro bolas vermelhas, três bolas verdes, duas bolas cor-de-rosa e uma bola azul.

Escreve sob a forma de fração, sob a forma decimal e sob a forma de percentagem a razão entre: 2.1. o número de bolas verdes e o número de bolas vermelhas _____; _____; _____ 2.2. o número de bolas vermelhas e o número total de bolas _____; _____; _____ 3.

90

Completa. 3.1.

5 15 = 7 ...

3.2.

18 ... = 20 10

3.3.

150 ... = 420 28

3.4.

12 ... = 17 255

3.5.

2 30 ... = = 5 ... 15

3.6.

5 1 40 = = ... 7 ...

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1.

/

Ficha de treino 8

4.

O diagrama de Carroll apresentado refere-se à informação recolhida relativamente aos alunos do 9.º ano da escola do João.

Prefere a disciplina de Matemática Prefere outra disciplina

Número de rapazes 38 62

Número de raparigas 46 54

4.1. Quantos rapazes preferem a disciplina de Matemática? 4.2. Quantos alunos preferem a disciplina de Matemática? 4.3. Encontrou-se, por acaso, Qual é mais provável?

um

aluno

do

9.º

ano

da

escola

do

João.

a) Ser rapaz ou rapariga? b) Ser rapaz e não preferir a disciplina de Matemática ou rapariga e preferir a disciplina de Matemática? 5.

No diagrama de Venn seguinte pode observar-se os nomes dos 16 alunos da turma 9.º E da escola da Luz.

5.1. Quantos alunos têm quatro letras no nome? 5.2. Quantos alunos têm menos de quatro letras no nome? 5.3. De acordo com os dados do diagrama de Venn, completa o seguinte diagrama de Carroll.

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Número de alunos cujo nome tem mais de 4 letras

Número de alunos cujo nome tem 4 ou menos letras

Rapariga Rapaz 91

Miniteste 8.1. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

M9FNGP © Porto Editora

1.

/20

Um grupo de alunos de uma turma do 7.º ano questionou quantos minutos os seus colegas de escola jogavam playstation antes de dormir. Apresentou o conjunto de dados segundo o diagrama de caule e folhas.

Caule

Folhas

2

0 1 1 2 5 5 7

3

3 7 7 8 8

4

0 2 5 6 8 8

5

0 0 4 4 4 5 9

6

0 0 0 0 5 5 5 8

7

2 3 3 4

2 | 0 representa 20 minutos

1.1. Classifica a variável em estudo. 1.2. Indica a amplitude do tempo que este grupo de alunos joga playstation antes de dormir. 1.3. Agrupa os dados em seis classes, considerando o valor mínimo para extremo inferior da 1.ª classe e constrói a tabela de frequências.

2.

Considera os seguintes dados: 1,25

1,20

0,98

1,29

1,00

1,15

0,99

1,13

1,19

1,11

1,01

1,05

1,12

0,95

1,24

1,29

1,09

1,16

1,04

0,98

0,98

0,99

1,08

1,03

1,22

1,20

1,22

1,21

1,09

1,14

1,25

0,96

1,24

1,13

1,26

2.1. Classifica a variável em estudo. 2.2. Considerando o valor mínimo para extremo inferior da 1.ª classe, agrupa os dados em classes de amplitude 0,05 e constrói a tabela de frequências. 2.3. Representa o conjunto de dados através de um histograma. 92

Miniteste 8.2. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

Professor

1.

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data /

/20

Uma experiência aleatória consiste em lançar uma moeda duas vezes e registar a face que fica voltada para cima: face nacional (N) ou face europeia (E). O acontecimento contrário do acontecimento “Sair pelo menos uma face nacional (N)” é: {(N, N)} {(N, N); (N, E); (E, N)} {(E, E)} {(N, N); (E, E)}

2.

Seja Ω o espaço de resultados de uma experiência aleatória que consiste em lançar um dado, com as faces numeradas de 1 a 6, e registar o número da face que ficou voltada para cima. 2.1. Identifica o universo de resultados, Ω . 2.2. Considera os seguintes acontecimentos: A: “Sair um número ímpar” B: “Sair um número maior que 4” Escreve os acontecimentos: a) A b) A ∪ B c) A ∩ B 2.3. Escreve um acontecimento C de Ω de modo que: a) A e C sejam acontecimentos disjuntos; b) B e C sejam acontecimentos complementares;

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c) A ∪ C seja um acontecimento certo.

93

Miniteste 8.3. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/

/20

os ponteiros de cada uma delas e anotar se saiu vermelho (V) ou branco (B).

I

II

III

IV

1.1. Qual é a roda cuja probabilidade de sair cor vermelha é (A) I

(B) II

1 ? 3

(C) III

(D) IV

1.2. Para duas das rodas, a probabilidade de sair cor vermelha é maior que 60% e menor que 70%. Quais são essas rodas? 2.

Um saco contém 20 berlindes: seis são verdes, nove são azuis e os restantes são amarelos. Qual é a probabilidade de, retirando um berlinde ao acaso, este ser: 2.1. verde? Apresenta a resposta em percentagem. 2.2. amarelo? Apresenta a resposta sob a forma de fracção irredutível.

3.

Num cesto há molas da roupa de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Sabe-se que a probabilidade de tirar uma mola vermelha é

1 1 e a de tirar uma mola azul é . 6 3

Sabendo que o cesto tem 15 molas verdes, determina quantas molas tem de cada uma das outras cores.

94

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1. Considera as seguintes rodas da sorte e as experiências aleatórias que consistem em rodar

Miniteste 8.4. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

Sejam A e B dois acontecimentos, disjuntos, de uma determinada experiência aleatória.

( )

Sabe-se também que P A =

1 1 e P (B ) = . 4 2

De acordo com essas informações, calcula:

2.

( )

1.1. P ( A )

1.2. P B

1.4. P ( A ∪ B )

1.5. P A ∪ B

(

1.3. P ( A ∩ B )

)

Numa cidade existem dois jornais: A e B. Interrogaram-se 8800 pessoas dessa cidade e verificou-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal A, 4000 são assinantes do Jornal B e 800 não lêm qualquer um destes jornais. Qual é a probabilidade de que uma das pessoas inquiridas, escolhida ao acaso, seja assinante de ambos os jornais? Para responderes a esta questão constrói um diagrama de Venn.

3.

Uma caixa contém bombons com três tipos de chocolate: chocolate branco, chocolate preto e chocolate de leite. A probabilidade de tirar, ao acaso, um bombom de chocolate preto é

1 e a de tirar um 3

bombom de chocolate branco é 0,25. Na caixa há 15 bombons de chocolate de leite.

3.1. Mostra que na caixa há 36 bombons. Apresenta os cálculos que efetuares.

3.2. Qual é a probabilidade de retirar um bombom da caixa que: a) não seja de chocolate de leite? b) não seja de chocolate preto ou não seja de chocolate de leite? c) não seja de chocolate preto e não seja de chocolate de leite?

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d) seja de chocolate preto ou não seja branco?

95

Miniteste 8.5. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Lança-se um dado cúbico, equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6 e roda-se o pião, equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 4. Registaram-se os números saídos.

1.1. Completa a tabela seguinte, calculando a soma dos pontos obtidos. +

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

3

4

4

5

1.2. Escreve todas as formas de obter soma 5. 1.3. Determina a probabilidade de a soma ser: a) igual a 5;

b) superior a 8.

2. Observa a roda da sorte e o saco da figura seguinte. O saco contém três bolas azuis, duas bolas vermelhas e uma bola azul.

Um jogo consiste em rodar a roda da sorte e, caso saia número par, o jogador tira uma bola do saco. O jogador ganha um prémio se a bola tirada do saco tiver cor vermelha. O João vai jogar. Qual é a probabilidade de o João ganhar o prémio? (A) 96

1 9

(B)

1 2

(C)

1 3

(D)

2 3

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1.

/

Miniteste 8.6. 20 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

1.

/

/20

O João desconfiava que o dado que utilizava num jogo não era equilibrado.

Lançou-o 1000 vezes e calculou o valor da frequência relativa para cada face. Registou os dados obtidos na seguinte tabela:

Número da face

1

2

3

4

5

Frequência relativa

0,23

0,22

0,14

0,17

0,12

6

1.1. Completa a tabela. 1.2. Vai lançar-se novamente o dado. Qual é a probabilidade esperada de sair: a) o número 3? b) um número primo? 1.3. O dado será equilibrado? Justifica a tua resposta. 2. Uma roleta tem oito secções iguais, sendo umas pintadas de azul, outras de verde e outras de vermelho.

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O gráfico seguinte mostra o resultado de 3000 experiências com a roleta.

Quantas secções de cada cor se espera que a roleta tenha? M9FNGP-7

97

Ficha de preparação para o teste de avaliação 8 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Professor

Data /

/20

Em cada jogada do Jogo do Monopólio lançam-se dois dados numerados de 1 a 6 e adicionam-se o número de pintas das duas faces que ficam voltadas para cima. 1.1.

Qual é o espaço amostral correspondente ao lançamento dos dois dados nas condições anteriormente descritas?

1.2.

Mostra que os acontecimentos elementares não são equiprováveis. Justifica a tua resposta recorrendo a um exemplo.

1.3.

Considera os seguintes acontecimentos: A : “Obter um número maior que 11” B : “Obter o número zero” C : “Não obter um número negativo” D : “Obter um número par” a) Classifica os acontecimentos referidos. b) Identifica os acontecimentos associados à experiência: b1) A ∩ B

2.

b2) A ∩ C

b3) A

b4) A ∩ B

Foi lançado um dado com 12 faces, numeradas de 1 a 12. Qual é a probabilidade de sair:

3.

2.1.

o número 1?

2.2.

um número inferior a 4?

2.3.

um número primo?

O professor de Matemática levou dois dados para a aula. Um dos dados tem quatro faces numeradas de 1 a 4 e o outro tem seis faces numeradas de 1 a 6. Lançaram-se os dois dados sobre uma mesa e calculou-se o produto dos números que apareceram nas faces voltadas para baixo dos dois dados. 3.1.

Constrói uma tabela de dupla entrada onde seja possível observar todos os resultados possíveis.

3.2.

Qual é a probabilidade de o produto dos valores saídos nos dois dados ser igual a 4?

3.3.

A Joana lançou os dois dados e calculou a soma dos valores saídos nas faces que ficaram voltadas para baixo. Qual é a probabilidade de a soma ser menor que 6?

98

M9FNGP © Porto Editora

1.

Matemática | 9.º ano

Ficha de preparação para o teste de avaliação 8

4.

O João realizou um inquérito aos alunos de duas turmas do 9.º ano sobre o tipo de programas preferidos de televisão. Obteve os resultados que podem observar-se no gráfico.

4.1.

Qual é o tipo de programa mais popular?

4.2.

Quantos alunos foram inquiridos?

4.3.

Escolhendo um destes alunos ao acaso, qual é a probabilidade de: a) preferir Documentários? Apresenta o resultado na forma de percentagem arredondada às unidades. b) preferir Filmes ou Telenovelas? Apresenta o resultado na forma decimal arredondado às centésimas. c) Não preferir Noticiários?

5.

Uma caixa contém sete bolas coloridas para enfeitar o pinheiro de natal. Três são vermelhas e as restantes são prateadas. O João vai retirar duas das bolas da caixa, sucessivamente e com reposição. 5.1. Completa a seguinte tabela de dupla entrada. V

V

V

P

P

P

P

V V V P P P

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P 5.2. Calcula a probabilidade de o João retirar: a) duas bolas com a mesma cor; b) pelo menos uma bola prateada.

99

Teste de avaliação 8 90 minutos Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática | 9.º ano Data

Professor

/20

Em determinada altura do ano, plantaram-se 31 roseiras com a mesma altura. Três meses depois mediu-se a altura de cada uma das roseiras. Os dados, em centímetros, foram os seguintes: 25 35 40 60

80 99 85 92

93 95 96 71

62 72 82 92

65 77 83 94

80 71 77 62

41 43 52 63

82 85 95

1.1. Determina a amplitude das medidas das alturas das roseiras. 1.2. Agrupa os dados em cinclo classes considerando o valor mínimo para extremo inferior da primeira classe e constrói o respetivo histograma. 2.

Considera as seguintes experiências. A : Tirar, ao acaso, uma carta de um baralho com 52 cartas e verificar que carta saiu. B : Lançar para cima de uma mesa 50 pioneses e verificar se ficam com a cabeça voltada para cima ou voltada para baixo. C : Largar uma pedra de uma altura de 10 metros e medir o tempo que demora a chegar ao solo. D : Rodar um rapa e verificar qual a letra da face (R, T, D ou P) que fica voltada para cima. E : Colocar um cubo de gelo a uma temperatura de 20 ºC e verificar em que estado físico fica a água. 2.1. Diz quais das experiências realizadas são aleatórias. 2.2. Quantos são os casos possíveis e os acontecimentos elementares da experiência: a) A

b) B

c) D

2.3. Qual o universo de resultados e os acontecimentos elementares da experiência D? 2.4. Na experiência B não se deve aplicar a Regra de Laplace para calcular a probabilidade de um dos seus acontecimentos. Explica porquê. 3.

O Tiago resolveu a equação 2x (2x + 4) (– x – 1) = 0 e escreveu, em três pedaços de papel, cada uma das soluções, amarrotou-os e colocou-os num saco. De seguida, pediu à Susana que, ao acaso, retirasse, sucessivamente e sem reposição dois dos papéis e mostrasse os números que neles estavam escritos.

100

3.1. Escreve todos os casos possíveis. 3.2. Classifica cada um dos seguintes acontecimentos. a) A: “O produto dos números ser igual a 0.” b) B: “A soma dos números ser negativa.” c) C: “O produto dos números ser negativo.” d) D: “A diferença entre a primeira solução e a segunda solução ser 2.”

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1.

/

Teste de avaliação 8 ∙ 90 minutos 4.

Um cesto de fruta tem oito maçãs, seis peras, quatro laranjas e dois pêssegos. Tira-se um dos frutos ao acaso. Qual é a probabilidade de escolher: 4.1. uma pera? Apresenta o resultado na forma decimal. 4.2. uma maçã? Apresenta o resultado na forma de percentagem. 4.3. uma laranja ou um pêssego? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 4.4. um fruto que não seja maçã? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

5.

Na figura seguinte são apresentados os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras compostas pelos símbolos

e

.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Observa que a figura correspondente ao primeiro termo da sequência não possui o símbolo , que só aparece a partir do segundo termo. Admitindo que se mantém a regularidade da sequência, qual é a probabilidade de, 6.

escolhendo um dos símbolos da figura 20, ao acaso, o símbolo escolhido ser . Sejam S o espaço de resultados e A e B dois acontecimentos de S, associados a uma certa experiência aleatória.

7.

Qual é o valor de P (B) sabendo que P (A) = 25%, P (A ∪ B) = 60% e A e B são disjuntos?

Observa os dois dados tetraédricos da figura, ambos com as faces numeradas de 3 a 6.

Uma experiência consiste em lançar os dois dados tetraédricos sobre uma mesa e multiplicar os números que aparecem nas faces que ficaram voltadas para baixo. Sugestão: Para responderes às questões seguintes organiza os dados numa tabela de dupla entrada.

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7.1. Quantos produtos diferentes se podem obter nesta experiência? 7.2. Os acontecimentos elementares são igualmente prováveis? Justifica a tua resposta. 7.3. Qual é a probabilidade de o produto dos números saídos ser um múltiplo de 3? 7.4. Num dos dados a face com o número 5 ficou voltada para baixo. Qual é a probabilidade de obter um produto múltiplo de 5?

101

Teste de avaliação 8 ∙ 90 minutos 8.

Uma caixa contém bolas indistinguíveis ao tato de duas cores diferentes: azul e roxo. acaso, uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser de cor roxa é igual a

9.

3 . Quantas bolas roxas existem na caixa? 5

Numa fábrica é produzido um determinado tipo de peças para automóveis. Numa operação de controlo de qualidade registaram-se os seguintes dados, relativos às duas máquinas que produzem as peças. Máquina A

Máquina B

Boas

44

92

Defeituosas

6

8

As peças foram colocadas numa caixa e, posteriormente, foi retirada uma ao acaso. Qual a probabilidade de: 9.1. sair uma peça defeituosa? 9.2. sair uma peça boa, sabendo que foi produzida pela máquina B?

10. Ao disputar um treino de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo duas vezes. Sabe-se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,9. Qual é a probabilidade de: 10.1. acertar sempre no alvo? 10.2. acertar pelo menos uma vez no alvo? 10.3. errar sempre o alvo. 11. Numa estação de lavagem de carros um funcionário tem três carros para lavar: um preto, um vermelho e um branco. 11.1. De quantas maneiras diferentes pode o funcionário realizar a sequência de lavagem dos três carros? 11.2. Se escolher um dos carros ao acaso, qual é a probabilidade de começar por lavar o carro preto? 12. Num quadrado, de lado 10 cm, desenhámos um triângulo de altura 8 cm e base igual ao lado do quadrado. Suponhamos que, lançando uma moeda ao ar, o centro da moeda cai em qualquer ponto do quadrado com a mesma probabilidade. Calcula a probabilidade de o centro da moeda cair no triângulo. 102

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Sabe-se que o número de bolas azuis é 8 e, extraindo-se, ao

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S SOLUÇÕES

103

Soluções Miniteste 1.4. 1.1. >

Ficha de treino 1

2.1. S =

1 12 2.1. 2 × 10– 10 3.1. 3 cm

25 6 2.2. 1,25 × 10– 1 3.2. 7 cm

1.1.

1.2. −

4.1. AC = 29 5.1. >

4.2. 1 + 29 5.2. <

6.1. S = {4}

6.2. S = {1}

5.3. <

5.4. <

9  6.3. S =   4

5

9 6

6 6 5 5 3 6

Miniteste 1.1. 1.1. x > –1 1.2. x ≥ 2 1.3. x >10 1.4. x < 1 1.5. x< – 4 1 1.6. x > − 3 2. Afirmações verdadeiras: (A), (C), (D) e (E) Afirmações falsas: (B), (F) e (G) 1 < 2a < a3 < a2 < −a < −2a 3. a

2.3. 0 2.4. 0 3. A =

]−∞, − 2[ ;

]−∞, + ∞[ =

2.4. S =

2.5. S = { }

2.6. S =

[ −1, + ∞[ ]−∞ , − 1[ ∪ ]0, + ∞[

5  3.1. S =  −∞ ,  4 

3.2. S =

]3, + ∞[

]−1, 3[

Miniteste 1.6. 1.1. 7 − 4 3 1.2. 2 − 6 1.3. −

7 2

2 1.4. π −

π 5

1.5. −3 3 2.1. 0,33 2.4. 1,62

2.2. –2,24 2.5. 2,18

B = ]0, 4] ; A =

]−∞, 1] ;

Miniteste 1.3. 1. 4 2.1. ]−1, 3]

2.2. ]−∞, − 1] ∪ [1, 3[ 2.3. [ −1, + ∞[

D = [0, 3[

2.3. 3,46

3.1. Erro máximo: 0,2; x + y = ]3,2; 3,6[ 3.2. Erro máximo: 0,3; x + y = ]3,1; 3,7[ Ficha de preparação para o teste de avaliação 1 1. (B)

{ x ∈ R : −1 < x < 5 }

3. A = 1 –

C= {x ∈ ℝ : x ≥ 0}

2.3. ]−∞ , 2[

2.4. 2

3

5 ; B=1+ 5

5  S  , + ∞ 4. = 4 

5. (C)

 3 7. x ∈  0,   2 8. Quatro automóveis

Teste de avaliação 1 1.1. a) 1; 5

1 1 c) 1; ; – 3; 5; − 5 3

b) 1; – 3; 5 d)

2 ; π; 1 − 5

1.2.

2.4. {−2} ∪ ]0, 3[ 3.1. A ∩ B =− [ 1, 2[ ; A ∪ B =−∞ ] , + ∞[ 3.2. A ∩ B = ]−1, 5]; A ∪ B = ]−2, + ∞[

1  3.3. A ∩ B =−3,  ; A ∪ B =−π [ , 4[ 2 

1   1.3. a)  −3; − ;1 − 5  3  

2. Por exemplo: – 2

104

ℝ

 19  4. x ∈  7,   2

2.5. Por exemplo:

1.3. C ={−2, − 1, 0, 1} 2.2. B =

2.2. S =

2.3. S = ]2, 3[

2.1. S =

2.2. (D)

{−3, 0}

[2, + ∞[ {x ∈ ℝ : −1 < x < 1} ;

3  S  , + ∞ 2.3. = 2 

]−∞ , 1[

Miniteste 1.5. 1. (B)

2.1. B =

Miniteste 1.2. 1.1. A = {1}

2.1. A =

2.2. S =

1.3. >

13   3.1. S =  −∞ ,  3.2. 2 5  4. Números maiores ou iguais a – 30

4  13  6.4. S =   6.5. S =  −  7   8 7. Filho: 6 anos; mãe: 36 anos. 8. x = 15 9. 1 2 3 4 A 1 B 2 3 6 C 1 2 4 D 0 E 7 1 2 F 2 2 5

1.2. B =

]0, + ∞[

1.2. ≤

 1 1  b) − ; ; 1; 2   3 5 

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Capítulo 1 – Inequações. Valores aproximados de números reais

Soluções 3.2. 17 − 12 2 ; irracional

3.1. 2 4.1. Conjunto

Representação geométrica

Condição

{x ∈ ℝ : −

A

3.3. −

5 2

Intervalo

}

 − 2,1  

2 < x ≤1

B

{ x ∈ ℝ : x ≥ 0}

[0, + ∞[

C

{x ∈ ℝ : x < 1}

]−∞ , − 1[ b)  − 2, −1

4.2. a) [0, 1]

c) ∅

g) R

 3  5.1. S =  − , + ∞   2 

7  S  , + ∞ 5.2.= 11 

3  5.3. S =  −∞,  2 

7  5.4. S =  −∞, 16  

1  S  , + ∞ 6.1. = 3  7. x ∈ ]2, 6] 8.1. S = ]0, 1[

6.2. S = {0}

16  6.3. S =    11 

6.4. S = {3}

6.5. S = {–1}

8  6.6. S =    29 

Miniteste 2.1. 1. Quatro horas 2.1. 3600

2.2. 3600

2.3. 40 dias

3600 2.4. y = x 3.1. e 3.4. Proporcionalidade inversa 3.2. Proporcionalidade direta 3.3. Não há relação de proporcionalidade. Miniteste 2.2. 1.1 (C) e (H) 2.1. Retângulo 1 Base 6 Altura 4

d)  − 2, + ∞  e) ]−∞, 1] f) ]−∞ , − 1[ ∪ [0, + ∞[

6.1. S = {1}

1.2. (E) Retângulo 2 3 8

Retângulo 3 12 2

2.2. (C)

6.2. 0

Miniteste 2.3. 1. v = ± 200Dt

8.2. S =

2.

]−∞, 7 ]

9. x ∈ ]2, + ∞ [

Velocidade (v) (km/h)

30

50

70

90

110

15 600

Capítulo 2 – Funções

Distância de travagem (Dt) (metros)

4,5

12,5

24,5

40,5

60,5

78

Ficha de treino 2 1.1. 23, …, 4n – 1

3.

1 1 ,..., 2 36 x 2. 406 3.1. 19 3.2. Não 3.3. 3n – 2 1.2.

3 2 4.2. –15 4.3. 4 5.1. 4.1.

x y

4. (D) –3 –8

5.2. e 5.3.

–2 –5

–1 –2

0

3 2

2

4

1

11 2

7

13

Ficha de preparação para o teste de avaliação 2 1.1. Proporcionalidade inversa: y =

6 x

1.2. e 1.4 Não existe 1.3. Proporcionalidade direta: y =

3 x 2

1.5. Proporcionalidade inversa: y = −

4 x

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1.6. Proporcionalidade direta: y = − x 2.1., 2.2. e 2.6. Não existe 2.3. Proporcionalidade direta; constante: 3 2.4. Proporcionalidade direta; constante: 0,6 2.5. Proporcionalidade inversa; constante: 37 3.1. a)

(x, y) = (2, 7)

x y

1 4 3

4,5

3

12

6

4

16

105

Soluções b)

1 12

x y

3 4

3.1.

12 4

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3.2. a) y =

2 6

4 12 x; y = 3 x

b)

3.2. (B) 3.3. 1,40 m 4. Seis trabalhadores 6.1. 12 bananas

4.1. (I); (II); (III) e (IV) 4.2. (II); constante: 3 ; (III); constante:

3 P 2 8.1. Gráfico A 8.2. Cinco voltas completas

1 3

6.2. B =

4.3. (IV); constante: 3 5.1. y =

24 x

5.2.

9.2. AC = 5 9.3. x = – 2 1 24

x y

3 8

4 6

2 12

6. 25 minutos 7. 24 dias 8.1. 1,25 km 8.2. 250 metros por minuto 8.3. a) 7,5 minutos b) 3,75 minutos 9. 12 horas 10.1. y = x2 10.2. y =

9.4. y = − 10.1. –3

c) 1,5 minuto

10.3. y = 10.4. 11.1. 11.2. 11.3.

11.4. S = 11.5. S =

{− {−

} 3}

2, 2 3,

10.4. S = {–2, 2}

Capítulo 3 – Equações

1 2 x 2

1 2 x 3 y = – 2x2 S = {– 3, 3} S = {– 4, 4} S={}

1 2

11.6. S = {– 4, 8} 12. Comprimento: 22 m; largura: 11 m 13. – 9 14.1. T1 = 50; T2 = 125 14.2. A partir de 117 minutos o plano da operadora M é sempre mais económico.

Ficha de treino 3 9 7 1.1. A = 1.2. A = 2 2 2.1. S = {0}

 2 2.2. S =  −   3 2.5. S = {0} 2.8. S = {3}

1.3. A = 3,14 2.3. S = {– 2}

2.4. S = {1} 2.6. S = {1} 2.7. S = {– 5} 2.9. S = {0} 3  2.10. S =   2.11. S = {– 1} 2.12. S = {7} 2 −x + 3 x 3.1. y = 3.2. y = − 2 3 4.1. Custo de x vasos de manjericos 4.2. Custo de y vasos de manjericos 4.3. Custo de x vasos de manjericos e y vasos de gerbérias 1 5.1. 2n 5.2. 2n + 1 5.3. 2n 5n 5.4. 3n 5.5. 3n + 2 5.6. 7n 6.1. x = 10

6.2. x = 5

6.3. x = 2,5

6.4. x = 6 2

6.5. x = 17

6.6. x = 3

7.1. x = 3

7.2. x = 2 10

7.3. x = 4 3

25 7.5. x = 17 7.6. x = 3 2 2 8.1. 40 cm 8.2. VA = 41 cm; VB = 41 cm; AB = 4 2 cm 8.3. Isósceles

7.4. x = Teste de avaliação 2 1.1. (I) – (C); (II) – (E); (III) – (B); (IV) – (F); (V) – (H); (VI) – (A) 1.2. (A) e (H): função quadrática (B): função constante (C): função de proporcionalidade inversa (D), (F) e (G): função linear (E): função afim 1.3. (I): hipérbole; (II), (III) e (IV): reta; (V) e (VI): parábola 2.1. y = 3x 2.2. y =

106

12 x

Miniteste 3.1. 1.1. Área: 15 a2 + a – 2 2. (B) 3.1. x (2 – x) 3.3. (x + 1)(x + 1) 4. (C)

1.2. Perímetro: 34 3.2. (6 – 2x) (6 + 2x) 3.4. (x – 1) (– x – 3)

Miniteste 3.2. 1. (B) 2.1. Por exemplo: x(x + 3) = 0

Soluções

(

)

b) Medida do comprimento do retângulo maior c) Área do retângulo maior d) Área da parte colorida. 6.2. x = 2 m 7. 60 metros 8. 25 cm 9. 40 bonecas 10. 15 bolas

2.2. Por exemplo: x + 2 ( x − π ) =0 3.1. S =

{−

3, 3

 4 3.2. S = 0,   3

}

 4 3.3. S = 0,  3.4. S = {2}  3 3.5. S = { } 4. Comprimento: 3 cm ; largura: 1 cm

Teste de avaliação 3 1. (A)  3 1 2.1. S = − ,   2 2  3  2.3. S =  − , 0   4 

Miniteste 3.3. 1. (B)

 

.2. −  x +

2.1.

2

1 9 + 2  4

2

{

2.5. S = 3 − 14 , 3 + 14

1 2 ( x − 1) − 2 2

5  39  2.3. 2  x −  + 4 8 

2.4.

3.1. S = {1}

 1 3 3.2. S =  − ,   2 2

 1 1 3.3. S =  − ,   2 8

3.4. S = {

2.1. k ∈ {−2, 2}

}

2.2. S = {1}

4.3. S = {2, 3}

4.4. S =

{−1, 3}

Miniteste 3.5. 1. (C) 2.1. x ≈ 1,82 m 2.2. 47,32 m 3. João: 13 anos; Tiago: 7 anos 4. x = 25 Ficha de preparação para o teste de avaliação 3

1 2 1 x − 2 2

1.5. x 2 + 6 x +

19 2

2.1. x(x – 3) 1  1  2.3.  x − 3  x + 3  2  2  2.5. (x – 7)(x + 1) 2.7. –2(x – 1) 3.1. S = {0}

1.2. −2 x 2 + 10 x − 12 1.4. x 2 − x −

3 4

5 4 2.2. (x – 3)(x + 3)

1.6. 5 x 2 +

2.4. (x – 1)( x – 1) 2.6. (4 – x)(6 + x) 2.8. (x + 3)(x + 4)  1 3.2. S = 0,   2

 3 3 3.3. S =  − ,  3.4. S = ∅  5 5 3.5. S = {3, 4} 3.6. S = {1, 3}  −7 − 29 −7 + 29  3.7. S =  ,  10 10   M9FNGP © Porto Editora

1 3 2.6. S =  ,  2 2

5.2. k = 0 7. Largura: 10 metros

Ficha de treino 4 1.1. Por exemplo: a) AD e BE ɺ e JK ɺ c) EF

b) AI e BJ ɺ e JK ɺ d) HI

ɺ e BA ɺ FG

f) [AI] e [BJ]

e) 4.2. S = ∅

1.3.

{−3, 3}

Capítulo 4 – Geometria euclidiana. Paralelismo e perpendicularidade

 5 − 57 5 + 57  4.1. S =  ,  4 4  

5 3 x− 2 2

}

5.1. S = ∅ 6. 100 cm2

3. (A)

2 1.1. x −

2.4. S =

3.2. 34 cm 4. (C)

3.5. S = {2, 4} Miniteste 3.4. 1. (B)

 21 2.2. S =   2

 −4 − 19 −4 + 19  3.8. S =  ,  3 3    2 − 7 2 + 7  3.9. S =  ,  3   3 4. 8 5. – 2 ou 4 6.1. a) Medida da largura do retângulo maior

g) [EF] e [JF] 1.2. a) 50º b) 50º 2.2. Uma reta 3.1. [ED] 3.2. [AE], [BE], [CE] e [DE] 3.3. 4√5

c) 50º

Miniteste 4.1. 1. Um triângulo com os comprimentos dos lados a, b e c tais que  +  =   é retângulo no vértice oposto ao lado de comprimento c. Hipótese:  +  =   Tese: o triângulo é retângulo no vértice oposto ao lado de comprimento c. 2.1. Condição suficiente: o quadrilátero é um paralelogramo. Condição necessária: o quadrilátero é um trapézio. A implicação recíproca não é verdadeira. 2.2. Condição suficiente: o quadrilátero é um quadrado. Condição necessária: o quadrilátero é um retângulo. A implicação recíproca não é verdadeira. 2.3. Condição suficiente:   = 4 Condição necessária:  = −2 A implicação recíproca é verdadeira. 2.4. Condição suficiente: o triângulo tem dois lados iguais Condição necessária: o triângulo tem dois ângulos iguais A implicação recíproca é verdadeira. 2.5. Condição suficiente:   = −8 Condição necessária:  = −2 A implicação recíproca é verdadeira. 2.6. Condição suficiente: 2 = 0 Condição necessária:  = 0 A implicação recíproca é verdadeira. 3. Hipótese: ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas retas paralelas; Tese: os ângulos correspondentes são iguais.

107

Soluções 2.1.

16π cm2

2.2. 48π cm2

2.3.

4 3 cm

2.4.

64 × 3π cm3 3

1.2.

30 π

Miniteste 4.3. 1.1. a) Por exemplo, ABF e EFG b) Por exemplo, AB e BC c) Por exemplo, os semiplanos determinados pela reta EF e que contêm os pontos G e B. d) o plano MNK

1.3. 384 π 2. Por exemplo: pirâmide com base de 48 cm de comprimento e 6 cm de largura e altura 4cm ou pirâmide com base quadrada com 12 cm de lado e altura 8 cm. 3. Por exemplo: cilindro com 69,12 cm de altura cujo raio da base mede 10 cm ou cilindro com 48 cm de altura cujo raio da base mede 12 cm.

1.3. a) 4 cm

b) 2 cm

c) 2 2 cm

d) 2 cm

4.1. 351,9 cm2

Ficha de preparação para o teste de avaliação 4 1. Condição suficiente: x < y; condição necessária:

1 1 > x y

2. Hipótese: o número é múltiplo de 2 e 5 Tese: o número é múltiplo de 10 3.1. Paralelo 3.2. Não 3.3. Sim 4. 45º 5.1. A 5.2. 8 cm Teste de avaliação 4 1.1. Condição suficiente: os números são pares Condição necessária: a soma dos números é par A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, 3 + 5 = 8 e, no entanto, 3 e 5 são ímpares. 1.2. Condição suficiente: x = 4; condição necessária: x 2 = 16 A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, ( −4 ) = 16 . 2

1.3. Condição suficiente: o número é divisor de 4 Condição necessária: o número é divisor de 16 A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, 8 é divisor de 16 mas não de 4. 1.4. Condição suficiente: xy = 0 Condição necessária: x = 0 v y = 0 A implicação recíproca é verdadeira. 2.1. Por exemplo: a) os planos ABE e ABH b) os planos AFJ e BEI c) as retas GJ, HI e CD 3.1. Por exemplo: a) EH e FG b) EI e BC c) EF e AB d) IF e EF e) EF e BF f) FG e IF 3.2. Por exemplo: a) reta AE e o plano BCG b) o plano ABF e a reta EF c) a reta AB e o plano BCG d) a reta IF e o plano ABC 3.3. Por exemplo: a) os planos ABC e EFG b) os planos ABC e CDA c) os planos FGI e BCG d) os planos ABC e BCG e) os planos EFI e ABF 4. Basta garantir que o corrimão seja paralelo a uma reta contida na rampa.

Capítulo 5 – Áreas e volumes de sólidos Miniteste 5.1.

64 2 cm3 3 2.1. 50 cm3 2.3. a) 65 cm2

108

544 π cm3 3

Ficha de preparação para o teste de avaliação 5 1.1. 2 cm 1.2. 6 cm 2. 120 cm 3.1. 342 unidades 3.2. 8 vezes 3.3. Pirâmide com 90 unidades de altura cuja medida do lado da base é 5. 4.1. Q 4.2. Q 5.1. 150 u. v. 5.2. 84 π u. v. 5.3. 60 u. v. 6.1. Volume: 192 u. v.; área: 144 u. a. 6.2.

Volume: 84 π u. v.; área: 3 232 + 18 u. a.

6.3.

Volume:

1 π u. v. ; área: π u. a. 3

Teste de avaliação 5 2.1. 86,49 cm 3. 1000 dm3

2.2. 71,4 dm3 4. (1,62 + 0,036 π ) m3

1 6

5.

6. 5,1 π m

Capítulo 6 – Trigonometria no triângulo retângulo Ficha de treino 6 1. São semelhantes: 1.1., 1.3. e 1.5.

3.1. x = 17 cm 3.3. x = 561 cm

3 61 cm 2 3.2. x = 10 cm 3.4. x = 466 cm

4.1. EC = 6,48 cm 5.1. x = 16 cm

4.2. DF = 15,48 cm 5.2. 1168,7 cm3

2.2. AC = 61 cm

2.3. AE =

Miniteste 6.1. 1.1. a) [AC]

b) [BC] c) [AB] 1 3 1.2. a) sinα = b) cos α = c) tan α = 3 2 2 2.1. x ≈ 6,2 cm e y ≈ 4,8 cm 2.2. x ≈ 5,7 cm e y ≈ 4,0 cm 2 13

4.

Miniteste 6.2. 2.2. 6,5 cm b) 90 cm2

2.4. 150 cm3

Miniteste 5.2.

56π cm2

4.2.

25π cm2

5.

3. (D)

1.

1.1.

Miniteste 5.3. 1.1. 281 250π

1.2. 153,6 cm3

16 × 21π cm3 1.3. 3

1.1. 2. 1,0

3 2

1.2.

1 2

21 21 3.2. 5 2 = 5. sin θ 0,6 = e cos θ 0,8 6.1. 35º 16’ 6.2. –0,11

3.1.

1.3.

1 2

1.4.

3

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Miniteste 4.2. 1.1. a) Por exemplo, EF b) Por exemplo, BCG c) Por exemplo, ABF d) O ponto F e) Por exemplo, EH, FG e BC

Soluções Miniteste 6.3. 1.1. a ≈ 3,5; b = 2 2. 88,94 cm2 3.1. 0,3420 4. 29,0 cm

1.2. a = 5; b ≈ 36,9º 3.2. 0,6481

Miniteste 6.4. 1. 1123 m 2. 46,7º 3.1. 90º 4. 16,58 m

3.3. 32,7303

3.2. 0,6 u. a.

Ficha de preparação para o teste de avaliação 6 1. (D) 3 3 cm2 2 4. 3,7321 6. 8746 m2 8. 172,0 cm2 10. 1 − 2sin α cos α

 = 30º 2.1. CBA

2.2.

3. 4,20 m 5. (C) 7. 600 m 9. 0,75

Teste de avaliação 6 1. Ângulo x sin x 27º 0,4540 42º 20’ 0,7112 56º 50’ 0,8371 3 4 2.1. 2.2. 5 5

4 2.4. 5 3.1. 4,8 cm

7.1. a) É a reflexão deslizante de eixo y = 1 e vetor correspondente a um deslocamento horizontal de duas unidades para a esquerda. b) É a rotação de centro no ponto de coordenadas (0, 1) e amplitude 180º (ou –180º). c) É a reflexão deslizante de eixo vertical, paralelo ao eixo Oy, que contém, por exemplo, o ponto de coordenadas (1, 0). 7.2. Tal não é possível porque as figuras C e D não são iguais.   8.1. a) GA b) JD 8.2. a) Rotação de centro P e amplitude 12º (ou –240º).  b) Translação associada ao vetor NO (por exemplo)  8.3. Por exemplo: translação associada ao vetor MH , seguida de uma rotação de centro no ponto P e amplitude 120º. Miniteste 7.1. 1.

2.1. tan x 0,5095 1,0117 1,5300 3 2.3. 4

2.2.

cos x 0,8910 0,7030 0,5471

3 2.5. 5

2.3.

3 2.6. 4

3.2. 41,2º

4.1. 56 cm 5.1. 19,7 cm 6. 109,34 cm

4.2. 16º 5.2. 18,5 cm

7.1. 18 27 cm2 8. 3,5 m 4 9.1. 5

7.2. 173,8 cm2 9.2.

3.3. 29,2 cm

3 4

3. 5m 2m

Capítulo 7 – Lugares geométricos. Circunferência Ficha de treino 7 1.

2.

Miniteste 7.2. 1. Incentro 2. Se o ângulo EFG inscrito na circunferência é reto, então o arco de circunferência EG é uma semicircunferência e o segmento de reta [EG] é um diâmetro da circunferência. Assim, o centro da circunferência é o ponto médio do

3.2. x = 148º

segmento de reta [EG] que pode ser determinado com a ajuda do compasso e da régua.

4.2. x = 45º; y = 70º 4.4. x = 62,5º e y = 17,5º  5.2. EA (por exemplo)  5.4. AM (por exemplo) 6.2.

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3.1. x = 135º 3.3. x = 120º 4.1. x = 32º 4.3. x = 60º e y = 120º  5.1. AM (por exemplo)  5.3. DP (por exemplo) 6.1.

109

Soluções 3.

Miniteste 7.3.  = 40º 1.2. CAB 2.1. x = 30º 2.3. x = 55º

1.3. DE = 5 cm 2.2. x = 122º 2.4. x = 55º

Miniteste 7.4. 1.1. I e V 2.1 a = 20; b = 31º 2.3. e = d = 49º 2.5. g = 18º ; h = 72º

1.2. III 2.2. c = 41º 2.4. f = 75º 2.6. i = 74º; j = 16º

Miniteste 7.5. 1.1. Ângulo com o vértice no exterior da circunferência 1.2. Ângulo inscrito na circunferência 1.3. Ângulo ex-inscrito 1.4. Ângulo de um segmento 1.5. Ângulo ao centro 1.6. Ângulo com o vértice no interior da circunferência 2.1. a = 60º 2.2. b = 25º 2.3. c = 45º 2.4. d = 100º 2.5. e = 40º 2.6. f = 70º Miniteste 7.6. 1. 10 3. 5040º

Teste de avaliação 7 1.1. [AO], [BO] e [CD] 1.2. [AC] 1.3. Por exemplo, [AB] e [AC]. 2.1. a) 45º b) 135º c) 270º d) 270º 2.2. Trapézio isósceles 2.3. 278,3 cm2 3.1. 144º 3.2. 18º 4.1. 35º 4.2. 35º 4.3. 110º 5.1. 3240º 5.2. 360º 5.3. 164º 5.4. 16º 6.1. 140º 6.2. 30º 6.3. 65º 6.4. 55º 6.5. 50º 6.6. 50º 6.7. 20º 6.8. 125º 6.9. 60º 7.1. Mediatriz do segmento de reta definido pelos dois pontos 7.2. Plano mediador do segmento de reta definido pelos dois pontos 7.3. Circunferência de centro no ponto dado e raio 2 cm 7.4. Superfície esférica de centro no ponto dado e raio 2 cm 7.5. Bissetriz das duas semirretas 8.1.

2. x = 80º 4. x = 120º

Miniteste 7.7.  = 140º 1.1. AOB 1.2. O quadrilátero [ADBO] é inscritível numa circunferência porque os seus ângulos internos opostos são suplementares. 2.1. a = 95º e b = 105º 2.2. c = 87º e d = 89º 2.3. e = 100º e f = 50º 2.4. g = 108º e h = 54º

8.2.

Ficha de preparação para o teste de avaliação 7 1.

2.1. Lugar geométricos dos pontos do quadrilátero [ABCD], AB que estão a uma distância de O correspondente a ou 2 superior. 2.2. Lugar geométrico dos pontos do quadrilátero [ABCD] mais próximos da semirreta ȦB do que da semirreta ȦD 3. “Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto dado é menor ou igual a r (r > 0)” 4.1. 80º 4.2. 50º 4.3. 80º 4.4. 80º

110

8.3.

8.4.

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5.1. 100º 5.2. 8 cm 5.3. 50º 6. Dez lados 7.1. 100º 7.2. O quadrilátero é inscritível numa circunferência porque os seus ângulos internos opostos são suplementares. 8. x = 40º 9.1. 56º 9.2. 62º 10. 40º

Soluções Capítulo 8 – Organização e tratamento de dados Ficha de treino 8 1. Fração 1 4

2.1.

Decimal

Percentagem

0,25

25%

3 10

0,3

30%

1 20

0,05

5%

3 5

0,6

60%

7 20

0,35

35%

4 5

0,8

80%

Classes [0,95; 1,00[ [1,00; 1,05[ [1,05; 1,10[ [1,10; 1,15[ [1,15; 1,20[ [1,20; 1,25[ [1,25; 1,30[ Total

Frequência absoluta 7 4 4 5 3 7 5 35

2.3.

3 ; 0,75 e 75% 4

4 2 ou ; 0,4; 40% 10 5 3.1. 21 3.2. 9 3.3. 10 3.4. 180 3.5. 75; 6 3.6. 35; 280 4.1. 38 4.2. 84 4.3. a) É tão provável ser rapaz como rapariga. b) É mais provável ser rapaz e não preferir a disciplina de Matemática. 5.1. 6 5.2. 5 5.3. 2.2.

Número de alunos

Número de alunos

2 3

9 2

Rapariga Rapaz

Miniteste 8.1. 1.1. Quantitativa discreta 1.2. 54 minutos 1.3. Por exemplo: Frequência Classes absoluta

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2.2.

Miniteste 8.3. 1.1. (D) 1.2. I e II 2.1. 30%

3 ou 0,3 ou 30% 10 3. Cinco molas vermelhas e dez molas azuis 2.2.

Miniteste 8.4.

Frequência relativa 7 37

[20, 30[

7

[30, 40[

5

5 37

[40, 50[

6

6 37

[50, 60[

7

7 37

[60, 70[

8

8 37

[70, 80[

4

Total

37

2.1. Variável quantitativa contínua

Miniteste 8.2. 1. {(E, E)} 2.1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2.2. a) A̅ = {2, 4, 6} b) A∪B = {1, 3, 5, 6} c) A̅∩B = {6} 2.3. Por exemplo: a) C = {2, 4, 6} b) B = {1, 2, 3, 4} c) C = {2, 4} 3. {(N, E); (N, N); (E, N); (E, E)}

4 37 1

1.1.

1 2

1.2.

3 4

1.4.

3 4

1.5.

1 4

1.3. 0

5 44 3. 36 2.

Miniteste 8.5. 1. + 1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

2. (1, 4); (2, 3); (3, 2) e (4, 1) 3. a)

1 6

b)

1 8

4. (A)

111

Soluções Teste de avaliação 8 1.1. 74 cm 1.2.

1

2

3

4

5

6

0,23

0,22

0,14

0,17

0,12

0,12

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Miniteste 8.6. 1.1. Número da face Probabilidade

1.2. a) 0,14 ou 14% b) 0,48 ou 48% 1.3. Não 2. Quatro vermelhas, uma verde e três azuis Ficha de preparação para o teste de avaliação 8 1.1. Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 1.3. a) A é um acontecimento elementar, B é um acontecimento impossível, C é um acontecimento certo e D é um acontecimento composto b1) A∩B = { } b2) A∩C = {12} b3) A̅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Ω b4) A ∩ B = 1 2.1. 10

2.3.

2 5

3.1.

3.2.

3 2.2. 10

× 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

4 4 8 12 16

3 16

3 8 4.1. Filmes 4.2. 39

3.3.

4.3. a) 5.1. V V V P P P P 5.2. a)

112

7 39

V (V, V) (V, V) (V, V) (P, V) (P, V) (P, V) (P, V)

25 49

b) V (V, V) (V, V) (V, V) (P, V) (P, V) (P, V) (P, V)

7 13

c) V (V, V) (V, V) (V, V) (P, V) (P, V) (P, V) (P, V) b)

P (V, P) (V, P) (V, P) (P, P) (P, P) (P, P) (P, P)

40 49

12 13

P (V, P) (V, P) (V, P) (P, P) (P, P) (P, P) (P, P)

P (V, P) (V, P) (V, P) (P, P) (P, P) (P, P) (P, P)

P (V, P) (V, P) (V, P) (P, P) (P, P) (P, P) (P, P)

2.1. A, B e D 2.2. a) 52 casos possíveis e 52 acontecimentos elementares b) 50 casos possíveis e 2 acontecimentos elementares c) 4 casos possíveis e 4 acontecimentos elementares 2.3. Universo de resultados: S = {R, T, D, P} Acontecimentos elementares: {R} , {T} , {D} e {P}. 3.1. (–2, –1); (–2, 0); (–1, –2); (–1, 0); (0, –2) e (0, –1) 3.2. a) Possível não elementar (acontecimento composto) b) Acontecimento certo c) Acontecimento impossível d) Acontecimento elementar 4.1. 30% 4.2. 40% 4.3. 30% 4.4. 60% 19 5. 6. 35% 20 7.1. 10 7.2. Não 3 7.3. 7.4. 1 4 8. 12 7 9.1. 9.2. 92% 75 10.1. 0,81 10.2. 0,01 10.3. 0,99 1 11.1. 6 11.2. 3 12.

2 5