Guia Didactica Unidad8

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

8

ESO

Tablas y gráficas

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 8

Tablas y gráficas

Debemos ser conscientes de la importancia de los conceptos que se van a trabajar en esta unidad; por tanto, nuestro objetivo principal debe ser que los alumnos reconozcan y sepan valorar la presencia de las gráficas y las funciones en la vida que les rodea. Por ello trataremos de realizar actividades sacadas de contextos reales. Muchas situaciones del entorno escolar son propicias para la representación gráfica: el registro de la temperatura exterior durante un período de tiempo determinado, la relación entre el número de kilos de fruta que compramos y el precio que tenemos que pagar… Tampoco debemos olvidar que la prensa escrita es muy útil para la búsqueda de ejemplos que nos pueden ayudar al desarrollo de todos los contenidos de la unidad. Intentaremos que representen e identifiquen puntos en el plano mediante sus coordenadas cartesianas, haciéndoles ver la importancia de que las coordenadas son pares ordenados. Pondremos ejemplos de tablas en las que se recoja la relación de dependencia existente entre dos magnitudes. Un ejemplo que verán muy claro y cercano a ellos será la relación entre el tiempo de duración de una llamada y el coste de la misma. Los alumnos deben apreciar la importancia de este tema aplicado a la vida real, aprender que muchas relaciones que ven son funciones y ser capaces de escribir estas relaciones mediante fórmulas o de representarlas en los ejes coordenados. Aprovecharemos los contenidos de proporcionalidad directa de la unidad seis para trabajar con las funciones lineales, intentando que vean la relación que existe entre magnitudes directamente proporcionales.

OBJETIVOS 1. Representar e interpretar puntos en el plano.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Localizar y representar puntos en el plano a partir de sus coordenadas cartesianas. 1.2 Representar una situación mediante un punto en los ejes coordenados.

2. Identificar si dos variables están relacionadas mediante una función y distinguir entre variables dependiente e independiente.

2.1 Diferenciar si dos variables están relacionadas o no mediante una función, distinguiendo las variables dependiente e independiente. 2.2 Representar e interpretar una función mediante tablas, gráficas o fórmulas, y saber pasar de unas a otras. 2.3 Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas de la vida.

3. Reconocer e interpretar funciones lineales sencillas.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

3.1 Reconocer, interpretar, representar y relacionar las funciones lineales con las magnitudes directamente proporcionales.

CONTENIDOS • Ejes de coordenadas. Eje de abscisas y eje de ordenadas. Origen de ordenadas • Coordenadas de un punto • Representación en el plano de puntos determinados por sus coordenadas cartesianas • Relaciones dadas por tablas • Relaciones dadas por gráficas

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Unidad 8

Tablas y gráficas

• Relaciones dadas por fórmulas • Función • Variables dependiente e independiente • Representación gráfica de una función • Función lineal o de proporcionalidad directa • Pendiente

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para poder identificar y representar las funciones lineales o de proporcionalidad directa es necesario que los alumnos sepan identificar variables directamente proporcionales y construyan la tabla de valores asociada.

2. Previsión de dificultades Una de las dificultades que pueden surgir es en la interpretación de gráficas, ya que esta actividad exige que los alumnos analicen a la vez la evolución de dos variables, lo cual requiere un elevado grado de abstracción.

3. Vinculación con otras áreas Los contenidos desarrollados en la unidad facilitan la interpretación de situaciones relacionadas con las ciencias naturales y las ciencias sociales. Respecto a las primeras, es clara la utilidad de las técnicas estudiadas para el manejo de datos obtenidos a partir de la observación de un fenómeno físico, biológico, meteorológico, etc., y la posterior extracción de conclusiones a partir de los mismos. La conexión con las ciencias sociales se produce a partir de los numerosos fenómenos cuya evolución con el tiempo se describe mediante gráficas.

4. Esquema general de la unidad Cada día somos bombardeados con miles de datos: en la prensa, en la radio, en la televisión, etc. Por eso, en este tema trataremos de que el alumno vea y sepa interpretar esa información mediante gráficas o funciones. Comenzaremos con la representación de puntos en los ejes de coordenadas o cartesianos, para pasar después a las distintas relaciones con las que vamos a trabajar: relaciones dadas por tablas, por gráficas o por fórmulas. Veremos cómo se puede pasar de una relación a otra. Introduciremos el concepto de función, distinguiendo las variables dependiente e independiente. Pondremos ejemplos de tablas, gráficas e incluso fórmulas que no corresponden a funciones, para que los alumnos se vayan familiarizando con esta definición.

TABLAS Y GRÁFICAS

Ejes coordenados

Funciones

Coordenadas

Variable independiente

Representaremos funciones a partir de los siguientes pasos: construcción de una tabla, representación de los puntos obtenidos y estudio del sentido de la unión de los puntos.

Tablas

Gráficas Variable dependiente

Acabaremos con las funciones lineales o de proporcionalidad directa, caso particular de funciones. Pero, como dijimos al principio, lo importante de este tema radica en la capacidad de interpretar y construir gráficas, para lo cual intentaremos que los ejemplos y ejercicios sean más abundantes.

Relaciones de variables

Fórmulas

Función de proporcionalidad directa

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Coordenadas en el plano. 2.ª Relaciones dadas por tablas. 3.ª Relaciones dadas por gráficas. 4.ª Relaciones dadas por fórmulas. 5.ª Función. Representación gráfica. 6.ª Función de proporcionalidad directa. 7.ª Actividades de consolidación. 8.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Tablas y gráficas

Unidad 8

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Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunicación escrita y comunicación oral.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a funciones, tablas y gráficas, son las subcompetencias razonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcompetencias aplicación del método científico en diferentes contextos, conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico y medio natural y sostenible.

Competencia social y ciudadana A través del tema de la actividad “Moverse en una cuadrícula” podremos trabajar algunos de los descriptores de la subcompetencia participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, valorando la labor de la ONU al servicio de la sociedad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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Unidad 8

Tablas y gráficas

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA er

1. nivel de concreción

2.º nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Comunicación oral.

Comunicación escrita.

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

– Expresa con fórmulas situaciones reales descritas con lenguaje ordinario.

Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Tratamiento de la información y competencia digital

3. nivel de concreción

– Participa en debates en clase, respetando las intervenciones de los compañeros.

Razonamiento y argumentación.

Social y ciudadana

DESEMPEÑO

er

Valorar el diálogo como medio para resolver conflictos, interactuar y mediar de forma adecuada sabiendo escuchar y mostrándose disponible al intercambio de ideas.

Lingüística

Interacción con el mundo físico

DESCRIPTOR

SUBCOMPETENCIA

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información (numeración, gráfica…).

Actividades 14 y 39 – Interpreta gráficas que representen situaciones de la realidad. En toda la unidad

– Identifica relaciones de proporcionalidad directa y las expresa mediante una función lineal. – Representa gráficas. – Identifica puntos en el plano cartesiano. En toda la unidad

– Entiende la necesidad de la normalización para el progreso humano. Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, interpreta gráficas

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Ser conscientes de las implicaciones éticas de la aplicación científica y tecnológica en diferentes ámbitos y de sus limitaciones.

Medio natural y desarrollo sostenible.

Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

– Fomenta el reciclaje y el ahorro de la energía. Valora los beneficios que aporta.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos; desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

– Valora el papel de la ONU en las relaciones internacionales y la resolución de conflictos.

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Organiza y analiza la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

Autonomía e iniciativa personal

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Planificación y realización de proyectos.

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

Actividades 6 y 7

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net Actividades 4 y 22, organiza tus ideas, autoevaluación – Interpreta enunciados y los representa en forma gráfica. Pon a prueba tus competencias: Calcula y resuelve

– Resuelve problemas con respuesta múltiple. Actividades de ampliación

Tablas y gráficas

Unidad 8

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Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para el medioambiente: actividad 6. • Educación para el consumo: actividad 40. • Educación ciudadana: actividad 53. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

Bibliográficos

– Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad. • Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadística”. SM

– Unidad II: Gráficas. • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.º de ESO. – ¿Qué tiempo hace? • Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.º de ESO. – Unidades 6 y 7.

Otros

• LACASTA, E., y PASCUAL, J. R.: Las funciones en los gráficos cartesianos. Madrid. Síntesis. 1998 www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Páginas de los libros interactivos del MEC sobre coordenadas cartesianas e interpretación de gráficas:

Otros

www.e-sm.net/1esomatprd14

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatprd15

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Unidad 8

• Utilización de la calculadora para el cálculo de valores de una función conocida su fórmula. • Prensa, para la interpretación de gráficas que ya están construidas.

Tablas y gráficas

Sugerencias didácticas Entrada La foto que ilustra la entrada permite comprobar cuál es la estructura de una ciudad y apreciar las ventajas que tiene, ya que la podemos interpretar como unos ejes coordenados donde la confluencia de dos calles puede considerarse como un par ordenado de puntos.

Desarrolla tus competencias 1. Con esta actividad, los alumnos ya empiezan a familiarizarse con los desplazamientos sobre una cuadrícula, y así resultará más fácil introducir en el epígrafe 1 las coordenadas cartesianas, tal y como indican las sugerencias didácticas. 2. Esta actividad nos servirá para que los alumnos interpreten las manzanas como las regiones que resultan de dividir los ejes en sus marcas de clase. 3. Podemos sugerir a los alumnos que busquen las vistas aéreas de estas ciudades desde Google Maps. Cuando las localicen verán que lo que tienen en común las cuatro ciudades es que son circulares. Les podemos pedir que también busquen la vista aérea de su ciudad y que la comparen con las anteriores. Entre las ventajas que encontrarán en el diseño circular destacaremos que pueden ir del centro de la ciudad a la periferia de una forma más clara y rápida. 4. Se podría enlazar esta actividad con la anterior y debatir en clase las ventajas e inconvenientes de cada uno de los tres tipos de ciudades. La resolución de todas estas actividades permite que los alumnos entiendan la necesidad de normalización en el mundo que nos rodea.

la interpretación del par ordenado, podemos indicarles que consideren el par como unas coordenadas de desplazamiento sobre un terreno: – El punto de partida es el origen. – La primera coordenada indica un desplazamiento horizontal, hacia la izquierda si es negativa, o hacia la derecha si es positiva. – La segunda coordenada indica un desplazamiento vertical, hacia arriba si es positiva, o hacia abajo si es negativa. • Habrá que hacer hincapié en los puntos que tienen una de sus coordenadas nula, ya que los alumnos tienen dificultades a la hora de asimilar su situación en los ejes. Para ello usaremos el mismo símil que antes, indicando que si, por ejemplo la primera coordenada es nula, no realizamos desplazamiento horizontal, y, por tanto, el punto quedará situado sobre el eje Y. Por el contrario si la segunda coordenada es nula solo realizamos desplazamiento horizontal, y, por tanto, el punto quedará situado sobre el eje X. • Es muy útil dibujar en la pizarra unos ejes coordenados y marcar en ellos diferentes puntos e ir preguntando a todos los alumnos, uno por uno, las coordenadas de uno de los puntos. • También podríamos darles las coordenadas de los puntos que forman una figura en el plano, para que los representen, los unan e indiquen la figura que resulta.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

2, 32 y 33

Medio

33 y 34

Alto

35

1. Coordenadas en el plano • Debemos insistir en la colocación de los números negativos a la izquierda del eje horizontal, pero también se pueden representar en la parte inferior del vertical. • Los alumnos suelen confundir los nombres de los ejes, por lo que recordaremos las veces que sea necesario que el eje de abscisas es el horizontal, y el de ordenadas, el vertical. • Analizaremos detenidamente cómo varían los signos de las coordenadas del par dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto: – Primer cuadrante: positivo – positivo. – Segundo cuadrante: negativo – positivo.

2. Relaciones dadas por tablas • Podemos ir introduciendo la idea de función para completarla en el epígrafe 5 de la unidad más formalmente. • Es importante que vean desde un primer momento que para que una relación sea una función, a cada valor de la primera magnitud le debe corresponder un único valor de la segunda. • Hacer hincapié en el concepto de dependencia e independencia a partir de ejemplos cotidianos, y que ellos sean capaces de ver cuál es la variable dependiente y cuál la independiente.

– Tercer cuadrante: negativo – negativo. – Cuarto cuadrante: positivo – negativo. De este modo será más fácil que entiendan la importancia de no cambiar el orden de las coordenadas, pues obtendremos otro punto distinto, en muchas ocasiones perteneciente incluso a otro cuadrante, debido a la diferencia de los signos. • Conviene destacar que al representar un punto, la primera coordenada se hace en el eje de abscisas, y la segunda, en el eje de ordenadas. Para que les resulte más fácil

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

36

Medio

6, 7 y 37

6 y 7. Estos ejemplos de funciones nos servirán para demostrar que muchos fenómenos del mundo que nos rodea se describen mediante las diferentes representaciones de las funciones. Tablas y gráficas

Unidad 8

7

Sugerencias didácticas

3. Relaciones dadas por gráficas • Es bueno detenernos en este apartado, ya que a algunos alumnos les suele costar bastante trabajo la interpretación de las gráficas dibujadas para contestar a determinadas preguntas. • Practicaremos con los alumnos sobre gráficas dibujadas, para que sepan en cada momento si la pregunta que les hacen se debe responder fijándonos en el eje X o en el eje Y. • Podemos ayudarnos de las gráficas encontradas en revistas o en la prensa diaria para realizar actividades en este apartado. • Conviene destacar que no todas las gráficas representan una función. Para ello les pondremos una gráfica en la que un punto x tenga dos valores diferentes. De este modo preparamos el terreno para el concepto de función, que se da en el epígrafe siguiente.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

9 y 54

Medio

10, 40, 55 y 57 60, 64 y 65

Alto

4. Relaciones dadas por fórmulas • Este apartado completa los dos anteriores. Por tanto, sería bueno volver a tratar los conceptos básicos de las funciones, marcándolos sobre la fórmula: y = variable dependiente, x = variable independiente, obtención de un único valor de y con la fórmula… • Incidir en la traducción al lenguaje algebraico de distintas relaciones. Los alumnos ya están familiarizados con él, puesto que se ha desarrollado extensamente en la unidad 7. • Debemos realizar muchos ejercicios de obtención de valores antes de hacer representaciones de funciones, insistiendo en que se acostumbren a desarrollar todas las operaciones, para no poner el resultado directamente.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

12 a 14, 38 y 39

Medio

15 y 16

Alto

62 y 63

14 y 39. Con estas actividades trabajaremos la competencia lingüística, ya que los alumnos deberán esforzarse en comprender la descripción verbal que se hace de la función para luego transcribirla al lenguaje algebraico.

5. Concepto de función • Hacer ver al alumno que y = f(x), pudiendo ser utilizado de forma indistinta cualquiera de los dos. • Realizaremos ejercicios en los que el alumno tenga que distinguir entre variable dependiente y variable independiente, para que queden claros los conceptos. 8

Unidad 8

Tablas y gráficas

• Trataremos de que los alumnos distingan situaciones que corresponden a funciones de otras que no lo son. • Insistir en que los tres apartados anteriores son tres formas distintas de representar lo que se formaliza en este apartado. Podemos hacer ejercicios en los que el alumno tenga que pasar de una forma de representación a otra.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18, 19, 41 y 42

Medio

20 y 21

Alto

58 y 59

6. Representación gráfica de una función • Para representar gráficamente una función, debemos indicar a los alumnos que lo primero que deben hacer es la tabla de valores. • Una vez hecha la tabla de valores, harán las divisiones de los ejes. Conviene advertirles que estas divisiones no tienen por qué mantener la misma escala. De hecho, en el ejemplo de la teoría se aprecia perfectamente que no hay la misma escala. • Por último, una vez representados los pares ordenados de la tabla de valores, se unirán si dentro del contexto de la función tiene sentido o no. • Es necesario indicar a los alumnos que, aunque cada uno de ellos haga la tabla de valores con diferentes datos, el resultado de la gráfica siempre va a ser el mismo. • Cuando tengan que representar gráficas de funciones lineales, como la de la actividad 24, hay que advertirles que tienen que trazar toda la recta, no solo el segmento que une los pares obtenidos en la tabla de valores.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

15 y 24

Medio

26, 43, 44 y 56

Alto

45, 46 y 61

7. Representación gráfica de la proporcionalidad directa • Hacer ver al alumno que estas funciones no deben ser tratadas de una forma aislada. Son un caso particular de los que hemos visto. • Sería conveniente volver sobre algunos de los ejercicios de la unidad 6 para que vean con más claridad la relación existente con la razón de proporcionalidad directa e indicar que cuando se trata de funciones se denomina pendiente. • Mencionar que todas las funciones de proporcionalidad directa deben pasar por el origen de coordenadas. Para ello podríamos dibujar en unos mismos ejes un par de rectas.

Sugerencias didácticas

• Para que interpreten el papel que juega la pendiente en las funciones de proporcionalidad directa, deberíamos dibujar en unos mismos ejes estas cuatro funciones: y = 2x

y =

1 2

x

y = −2 x

1 y = − x 2

Con estos ejemplos, los alumnos asociarán a cada tipo de recta si su pendiente es negativa, menor que 1…

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

28, 29, 47 a 49 y 53

Medio

30, 31 y 50

Alto

51 y 52

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias APRENDE A PENSAR: MOVERSE EN CUADRÍCULA

Organiza tus ideas En esta página nos encontramos un esquema de los conceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad. Esto nos da una idea general para poder desarrollar los contenidos de cada uno de los epígrafes y alcanzar los objetivos que nos hemos propuesto. Está dividida en tres núcleos principales: – Coordenadas en el plano, representación. – Función y relación de las distintas formas de expresar una función: tablas, gráficas y fórmulas. – Estudio de la función de proporcionalidad directa.

Las actividades planteadas en este apartado son continuación de las del texto de entrada. La ciudad de Nueva York es un claro ejemplo de ciudad cuadriculada. Además, gracias a los nombres que tienen las diferentes calles, y que se aprecian en el plano, los alumnos entenderán mejor el significado de cuadrícula. Como en el texto se habla sobre la ONU, podemos aprovechar esta información y ampliarla, para desarrollar en los alumnos la competencia social y ciudadana, haciéndoles ver la importancia del papel que desempeña la ONU en la resolución de los conflictos internacionales y fomentando en ellos un espíritu cívico y de respeto a los ciudadanos del mundo. INTERPRETA GRÁFICAS: LAS MARGARITAS

Para repasar con los alumnos todos los contenidos de la unidad, resulta muy interesante completar con ejemplos los apartados en donde no figuren. Les podemos decir que dibujen unos ejes coordenados y marquen en ellos los puntos A(3, 2), B(–2, 3), C(–3, –2), D(2, –3).

En esta actividad, los alumnos deben aplicar los contenidos aprendidos en la interpretación de gráficas y se vuelve a poner de manifiesto cómo las funciones nos sirven para interpretar situaciones y describir fenómenos del mundo que nos rodea.

También puede ser interesante que con sus palabras intenten explicar cómo pasar de una forma de representación a otra, corrigiéndoles nosotros posteriormente.

CALCULA Y RESUELVE: EL CINE Esta actividad es muy útil para los alumnos, ya que les permite ver cómo las matemáticas pueden ser utilizadas en su propio beneficio para decidir cuál es la solución más óptima ante un problema cotidiano.

Tablas y gráficas

Unidad 8

9

Actividades de refuerzo Unidad 8

Tablas y gráficas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar la unidad, el alumno debe saber representar puntos sobre los ejes de coordenadas, obtener valores de la fórmula de una función y dibujar su gráfica. Se debe insistir también en la interpretación de funciones que ya están dibujadas. • Manejar con soltura la representación de puntos en los ejes de coordenadas, para pasar después a las funciones. • Trabajar el concepto de función: cuándo una gráfica corresponde a una función o no, variable dependiente e independiente. • Interpretar gráficas. • Hay que hacerles ver que este tema es muy importante para el desarrollo posterior de las matemáticas y que los conceptos de este tema están relacionados, por ejemplo, con las magnitudes directamente proporcionales. • Insistir en que las funciones se encuentran en casi todos los ámbitos. Podemos utilizar periódicos, revistas, etc., para buscar ejemplos reales que lleguen al alumno.

ACTIVIDAD DE GRUPO Hundir la flota

Y

Cada alumno tiene que dibujar unos ejes de coordenadas como los de la figura y tres barquitos que tienen que cubrir una, dos y tres coordenadas en forma horizontal o vertical.

1 O

1

X

Los alumnos se colocan por parejas y se elige al azar quién empieza. Por turnos, cada uno debe indicar un punto, el otro deberá decir “tocado” si en la coordenada hay un barco, pero quedan partes de este por descubrir; “hundido” si se han descubierto todos los puntos de ese barco, o “agua” si en ese punto no hay barco. Gana el jugador que “hunde” todos los barcos del adversario.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. A: Marcos; B: Ángel; C: Cristina; D: Rosa; E: Casimiro; F: Marcial. 2. a) A (–4, 1) B (–3, –3) C (3, 0)

b)

Y

D

E 1 O G

3. Primera tabla → y = 3x + 1

Segunda tabla → y = –2x + 1

4. I c)

II a)

III b)

5. a) 210 km

b) 800 m

c) 125 km

H

1 F

Tercera tabla → y = 3x + 5 IV d)

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 8

Tablas y gráficas

X

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 8

Tablas y gráficas

2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00

Altura (m)

Altura (m)

1. Te presentamos a la familia Moraga. De izquierda a derecha: el abuelo Marcial, de 65 años y jubilado; el pequeño Marcos, de 2 años y todavía en la guardería; Ángel, de 12 años, estudiante de 1.º de ESO; Rosa, la madre, de 43 años; Casimiro, de 46 años, agente de seguros, y por último, Cristina, la hija mayor, estudiante de universidad, de 19 años. ¿Sabrías asociar cada uno de nuestros personajes con uno de los puntos de la gráfica? 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00

B

D

C

E F

A

0,60

0,50

0,20 0

0,00

10

30

20

40

50

70 60 Edad (años)

Y

2. a) Escribe las coordenadas de los vértices del triángulo. b) Representa en el plano los siguientes puntos. D(2, 5)

E(–1, 4)

F(2, –3)

G(–2, –3)

A

H(4, 0)

1 O

1

X

C

B

3. Une cada fórmula con su tabla de valores. x –1 0

2

x

0 –1 1

x

0

1

Y –2 1

7

Y

1

Y

5

8 11

y = 3x + 5

3 –1

y = 3x + 1

2

y = –2x + 1

4. Encaja las piezas del puzle de forma que coincida la fórmula de la función con su representación gráfica. I

a)

III

y = 2x

c) y = –x

II

b) y=x

IV

d) y = –3x

800

A

600

537

C

Alto del Chiquero

b) ¿A cuántos metros de altura está el alto del chiquero?

B D

400 0

40

75

120

a) ¿Cuál es la longitud de la etapa? c) ¿Cuántos kilómetros de bajada tiene la etapa?

160 210 Distancia (km)

Tablas y gráficas

Unidad 8

Página fotocopiable

Alto (m)

5. En la siguiente gráfica se representa el recorrido de una etapa ciclista. Fíjate bien en el dibujo y responde a las siguientes preguntas.

11

Actividades de ampliación Unidad 8

Tablas y gráficas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la unidad y que tienen la posibilidad de avanzar un poco más. Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, y también otros donde aparezcan varias funciones representadas sobre los mismos ejes. Nos centraremos en la interpretación gráfica, por ser esta una de las aplicaciones más directas de las funciones. También les propondremos que representen funciones en las que algunos de sus términos estén compuestos por fracciones. Sería interesante que les enseñásemos a probar algunos valores antes de representar, para conseguir que los resultados obtenidos estén formados por números enteros.

ACTIVIDAD DE GRUPO Funciones humanas Retira los pupitres de la parte central de la clase y, sobre la cuadrícula que forman los azulejos, dibuja unos ejes coordenados. Pide a cada alumno que escriba una función y haz una lista con todas. Luego, divide la clase en grupos de tres. Cada grupo deberá elegir al azar una de las funciones y, cogiéndose de las manos, tendrán que representarla sobre la cuadrícula del suelo, de forma que estén encima de uno de los puntos de la función y los brazos imiten una recta. El grupo que represente mal la recta quedará eliminado.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Sí.

4. a) Dedicaban menos dinero al ahorro en el tercer trimestre de 2007.

b) No.

2. a)

Y

Dedicaban más en el tercer trimestre de 2005 y en el cuarto trimestre de 2008.

1 1

O

X

b) 2% 5. a) Apartamentos: mayo de 2010.

b)

Alojamientos de turismo rural: enero de 2010.

Y

Campamentos: mayo de 2009 y abril de 2010.

1 1

O

X

b) Agosto de 2009. 6. La función es: y = 1,95 + 0,92x. A 20 km del aeropuerto: 20,35 €

3. a) N.º de miles de personas

265

Pagando 29,55 € habríamos tomado el taxi a 30 km del aeropuerto.

250 235

Mujeres Hombres

220 2006

2007

2008

7. La función que nos permite cambiar el dinero es: 2009

b) La población que ha tenido un mayor porcentaje de crecimiento es la de los hombres. Dicho porcentaje es 4,6.

y = 1,45x Por 15 euros nos darían 21,75 dólares. Es una función lineal, la variable independiente son los euros, y la dependiente, los dólares.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 8

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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Tablas y gráficas

Unidad 8

1. Di si los siguientes conjuntos de puntos están alineados. a) A(0, –1), B(1, 2) y C(2, 5).

b) D(0, –5), E(1, –3) y F(3, 2).

2. Representa las siguientes funciones. ⎧⎪ a) f ( x ) = ⎪⎨ 4 x si x es menor que 0 ⎪⎪⎩ 2 x si x es mayor o igual que 0

⎧⎪ b) f ( x ) = ⎪⎨ x si x es mayor que 0 ⎪⎪⎩ −x si x es menor o igual que 0

3. La tabla adjunta nos muestra la evolución de la población masculina y femenina de la provincia de Ciudad Real. Año

Mujeres

Hombres

2009

264 235

263 038

2008

261 694

260 649

2007

256 649

253 473

2006

255 299

251 565

Se pide: a) Dibujar en los mismos ejes de coordenadas una gráfica aproximada para el crecimiento de hombres y otra para el crecimiento de mujeres. b) ¿Cuál de las dos poblaciones ha experimentado un mayor porcentaje de crecimiento? ¿Cuál es ese porcentaje?

4. La siguiente gráfica muestra el porcentaje destinado al ahorro de una familia. Pueden dedicar dinero al ahorro

40

a) ¿En qué época podían dedicar menos dinero al ahorro? ¿Y más?

Cada división vertical representa un trimestre

39 38

b) ¿Qué diferencia de porcentaje hay entre el tercer trimestre de 2008 y el primer trimestre de 2007?

37 36 35 34 2005

2006

2007

2008

2009

5. La siguiente gráfica nos muestra la evolución del grado de ocupación por tipo de alojamiento de vacaciones. 80

Evolución del grado de ocupación por tipo de alojamiento

60

b) ¿En qué fecha habríamos tenido más dificultad para encontrar alojamiento? Abr-10 May-10

Mar-10

Dic-09

Ene-10 Feb-10

Ago-09

Sep-09 Oct-09 Nov-09

May-09 Jun-09 Jul-09

40 20 0

a) ¿Cuándo se produce la menor ocupación de apartamentos? ¿Y de alojamientos de turismo rural? ¿Y de campamentos?

Apartamentos Acampadas Alojamientos de turismo rural

6. Para ir al aeropuerto de Barajas tomamos un taxi. Nos cobran 1,95 euros por la bajada de bandera y 0,92 euros por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál es la función que relaciona el precio del trayecto con los kilómetros recorridos? a) Si hemos tomado el taxi a 20 kilómetros del aeropuerto, ¿cuánto debemos pagar?

7. Sabiendo que 1 euro equivale a 1,45 dólares, escribe una función que nos permita cambiar dinero en euros por dinero en dólares. ¿Cuántos dólares nos darían por 15 euros? La función que has obtenido, ¿es lineal? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente?

Tablas y gráficas

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Página fotocopiable

b) Y si hubiéramos pagado 29,55 euros, ¿a cuántos kilómetros del aeropuerto habríamos tomado el taxi?

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 8

Tablas y gráficas

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen representados en los ejes de coordenadas.

B

C A 1 O D

F 1 E

2. Representa en los ejes de coordenadas los siguientes puntos. A(2, 3)

B(3, –1)

C(–2, 4)

D(2, –3)

E(0, –2)

F(–3, 0)

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados corresponden a una función. a) El número de personas que trabajan en la pesca y la cantidad de pescado recogida. b) La cantidad de dinero que obtenemos al vender manzanas a 1,20 €/kg. c) Hacemos corresponder a cada persona los días de vacaciones que tuvo en navidades y en verano. 4. De los enunciados que corresponden a funciones en el ejercicio 3, indica cuáles son las variables dependiente e independiente. 5. En la siguiente tabla se muestra la evolución del número de habitantes de Luciana (Ciudad Real) en el siglo XX. Año

1900

1920

1950

1960

1980

Habitantes

800

740

650

620

560

a) Dibuja la gráfica correspondiente a la tabla. b) Fijándote en la gráfica, ¿qué población había en 1930 aproximadamente? 6. Dada la fórmula y ⴝ 2x ⴚ 3, calcula el valor de y para los siguientes valores de x. a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

e) –1

f) –3

7. Determina la fórmula que relaciona los valores de la tabla. x

–1

0

1

2

y

1

3

5

7

8. Copia y completa la tabla de magnitudes directamente proporcionales y escribe la fórmula de la función que las relaciona. A continuación represéntala.

Página fotocopiable

x

14

2

y

1 –3

0

–1

–2 6

9. En una tienda de fotografía digital cobran 20 céntimos por cada fotografía impresa. a) Escribe la fórmula de la función que se deduce del enunciado anterior. b) Representa gráficamente la función.

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Tablas y gráficas

Propuesta de evaluación

Tablas y gráficas

Unidad 8

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. A(–2, 2), 2.

B(2, 5),

C(0, 4),

D(–1, –2),

E(1, –4),

F(3, 0)

Y

C

A 1 O 1

F

B

E

X

D

3. a) Corresponde a una función. b) Corresponde a una función. c) No corresponde a una función. 4. a) La variable independiente son los pescadores, y la dependiente, el pescado. b) La variable independiente son las manzanas, y la dependiente, la cantidad de dinero. c) No es función. 800 N.º de habitantes

5. a)

b) 700 habitantes aproximadamente.

600 400 200 1900

1920

1950

1960

1980

6. a) y = 3

c) y = –1

e) y = –5

b) y = 1

d) y = –3

f) y = –9

7. y = 2x + 3 8. y = –3x Y

2

–6

1

–3

1

0

0

O 1

–1

3

–2

6

9. a) y = 0,20 · x

b)

1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0

1

X y = _3x

2

Página fotocopiable

y

Precio (€)

x

3 4 5 6 Nº. de fotos

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