Guia Derivadas FMM 029

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GUÍA DE EJERCICIOS: DERIVADAS

1.-

Usando la definición de derivada calcule las siguientes derivadas: a)  f ( x)

2.-

b)  f ( x)

2x + 1

=

2

=  x + 3 x + 5

c)  f ( x)

=

Obtenga  f ' ( x)  para las siguientes funciones: a)  f ( x)

 x +  x

=

 x − 23  x  b)  f ( x) = 3 cos x + 2 sen x   sen x + cos x c)  f ( x) = sen − cos 16 3 2 d)  f ( x) = 1 −  x +    x (1 −  x ) 2 e)  f ( x) =    x e x ⋅ cos x f)  f ( x) = 1 − sen x g)  f ( x) = 2e x + ln x   h)  f ( x)

 x

=

 j)  f ( x)

=

k)  f ( x) l)  f ( x)

=

Resp: Resp.:

− 3 sen x +

2

− 3 x

−

1 3

−

2 cos x

16  x 2

2  x + x  x − 2 x −1  x 2

 x

Resp.: 2e

1

+  x

e x (cos x + sen x)

=

i)  f ( x)

Resp.:

e

+ sen x

e x

1

 x −  x + 1  x − 1

=

 x

 

Resp.:

 

 x ⋅ x 2

Resp.: +1 

Resp.:

1 + 2  x

−

1 3

2 x 2

2 ( x −1) 2 3 x 2 +1

2  x ⋅  x 2 +1

5

m)  f ( x) n)  f ( x)

=

(t 2 − 1) ⋅ ( x 3 + 5 ) 2 2

12

=  x ⋅ ( x − 1)

2) 3

2 3 7 sen 2  x − sen 2  x   3 7 2  p)  f ( x) = 2 cos ec (  x ) o)  f ( x)

=

2

⋅ (x +

1

Resp.: (sen x )2 ⋅ cos x

1 −

2

3.-

 dy  :  dx 

Derivar implícitamente las expresiones que se indican  a)  y  x − x y  b)

sen y

c)  y 2

=

= 16  

=  y cos

 

Resp.:

( x −  y )( x 2 +  y 2 )  

d) cos( x +  y )

=  x  

e) sen( x + z )

=

Resp.: Resp.:

 b)  y = xe

Resp.:

= −2  

Resp:

−

 x 2 2

 y sen x + sen  y

cos x − x cos  y 3 x 2 + y 2 − 2 xy 2 y + x 2 + 3 y 2 1

− 1 − sen( x + y )

[cos( x + z ) + e  x ln  y ]⋅ y e

− x

cos  x 2 sen 2 y

 xy' = ( 1 − x 2  ) y

−x

 xy' = ( 1 − x ) y

 x 2 y' ' −2 xy' +(  x 2

c)  y = xsenx  x

e)  y =

+

2 ) y = 0

 y' ' + xy' − y = xe x ' ' ' + y' ' + ' + = 0

d)  y = e

enx + 2 cos x

 dy    para las funciones dadas en forma paramétrica. dx    

Obtenga  a)  x

=

a (t − sen t ); y

 b)  x

=

e 2t ; y

c)  x

=

t 3

d)  x

=

et  cos t ; y

=

+ 3t + 1; y =

Demuestre que  y

7.-

Sea  f ( x)

=

a (1 − cos t )  

=

e −2t   

6.-

=

=

t 3

− 3t + 1  

et  sen t  

 x 2e x

2

2 3 1 2  x +  x 3 2

Sea  f ( x)

2

Resp.:

sen t  1− cos t  −4 t 

Resp.:

−e

Resp.:

3t 2 − 3

Resp,:

sen t + cos t  cos t − sen t 

3t 2 + 3

 satisface la ecuación diferencial

−

d 2 y dx

2

−2

dy dx

+  y =

e x .

x − 1 . Hallar los puntos de la gráfica de  f  en que la pendiente de

la recta tangente en ese punto sea igual a: Resp: a)  x = 12 ∨ x = −1 8.-

 x

2  y

Demostrar que la función dada satisface la ecuación respectiva: a)  y = xe

5.-

 x −

 y

2  x

−

e − x ⋅ ln y  

f) sen x + cos 2 y 4.-

Resp.:

 y −

a) 0 b)  x

b) –1 =

0∨ x

1 = −2

c) 5. c)  x

3 = 2 ∨

x

= −2

ax + b . Hallar los valores de a y b tales que la recta  y = 2 x  sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 2, 4 ). Resp: a = −2; b = 4 =  x +

9.-

Hallar los valores de las constantes a, b y c  para los cuales las gráficas de los dos  polinomios  f ( x)

3

=  x − c

 y  g ( x )

2

=  x +

misma tangente. 10.-

Demostrar que la recta  y

 y 11.-

3

2

=  x − 6 x + 8 x .

= − x  

ax + b  se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la Resp.: a = −1; b = 2; c = −1

es tangente a la curva dada por la ecuación

Hallar los puntos de tangencia.

Existe

un

 P (0) =  P (1)

= −2 ; P ' (0) =

 P ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d    −1 ; P ' ' (0) = 10 . Calcular a, b, c y d .

polinomio

2

12.-

Mediante derivación implícita, demuestre que si  x 3

13.-

Si  x

=

e − t  ⋅ sen t  ;  y

=

et  ⋅ cos t . Encuentre

dy

.

2

+  y 3 =

tal

2

a 3  entonces  y ' =

−3

Resp: e

que:

 y  x 2 t 

14.-

dx ¿En qué punto de la curva  y =  x  x  la tangente es paralela a la recta 3 x −  y + 6 = 0 ?. Resp:  x = 0 ∨ x = 4

15.-

¿Para qué valores de  x  la gráfica de  f ( x) horizontal?.

16.-

¿En qué punto de la curva  y

=  x

4

=

2 x3 − 3 x 2 − 6 x + 87   tiene una tangente Resp:  x = 1.61 ∨ x = −0.61

 la recta normal tiene la pendiente 16?. Resp:  x

= −

1 4

17.- Si el costo de manufacturar x artículos es C(x) =  x 3 + 20 x 2 + 90 x + 15  , halle la función de costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artículo número 50. Resp.: C  ' ( 50 ) = 9590  ; C (50) − C ( 49) = 9421 2

18.- Si el costo de producir “q” unidades de un artículo está dado por C ( q ) = q − 50q + 800 , determine el costo marginal para un nivel de producción de 100 unidades. 19.- La demanda semanal de televisores plasmas es:  p = 600 − 0.05 x 0 ≤  x ≤ 12.000 Donde p denota el precio en dólares y  x la cantidad demandada. La función del costo total semanal vinculada con la producción de estos televisores está dada por: C (  x ) = 0.000002 x 3 − 0.03 x 2 + 400 x + 80000  donde C(x) denota el costo total de producción de  x televisores. a) Encuentre la función Ingreso R y la función de Ganancia P  b) Encuentre la función de Costo Marginal C’, la función de Ingreso Marginal R’ y la función de ganancia marginal P’.

c) Encuentre la función de Costo Promedio

C   asociada a la función de costo C (  x .

d) Encuentra la función de Costo Promedio Marginal

20.- la función de consumo para la economía de Estados Unidos de 1929 a 1941 es: C (  x ) = 0.712 + 95.05  donde C(x) es el gasto personal y  x es el ingreso personal, ambos en miles de millones de dólares. Encuentre la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. A esta cantidad se le denomina  Propensión marginal al consumo. 21.- Para las siguientes funciones, determine los puntos críticos, indicando si representan máximos, mínimos o ninguno de ellos. a)  y  b)  y

2

=  x + 5 x − 1 . 5

Resp:  x

2

=  x − 20 x + 1 .

Resp:  x

3

c)  y

=  x + 3 x + 1 .

d)  y

= − x +

e)  y

4

2

=  x − 3 x +

0  máx;  x

5 2

=

 min.

2  min

Resp: no existe máximo ni mínimo.

4x + 2 . 3

=

= −

Resp:  x

2.

Resp:  x

=

0 no es máximo ni mínimo;  x

=

2  max. 3

= 2

 min.

22.- Estudie las siguientes funciones, indicando puntos críticos, máximos o mínimos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad, monotonía y gráfica. a)  y  b)  y c)  y

x

= =

2

e

− x

+1 2

=  x ⋅ e

d)  y =

− x

1  x (e − e − x ) 2 − x

23.- Dada la función  f ( x) a)  b) c) d)

=  x ⋅ e

2

 determine:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos de f , si es que existen. Puntos de inflexión de f , si existen. Intervalos de concavidad.

24.- Las utilidades de una empresa para los primeros once años de vida están dados por U(t) = 2t 3 36t2 + 162t – 50 donde U: ingreso en $ y t: tiempo en años. Determine: a) El trazado de la gráfica U(t)  b) En que años se regístrale mínimo y el máximo de la utilidades Resp: t  = 9 ; t  = 3 2

25.- Si el costo de producción de q artículos es C (q ) = 14 q + 35q + 25 , y el precio de venta de cada artículo es  p = 50 − 12 q , determine: a) La producción que maximiza la Utilidad  b) La Utilidad máxima

Resp: 10 artículos Resp: 50 U.M.

26.- Un vendedor de bicicletas ha determinado que el costo anual del inventario “C” depende del número de bicicletas ordenadas “q”, mediante la función:

C ( q )

=

4860 q

+ 15q +

750000

Determinar: a) El número de bicicletas que se deben ordenar para que el costo anual del inventario sea mínimo. Resp: 18 bicicletas  b) El valor del costo mínimo. Resp: 750540

27.- Determine el nivel de producción que maximice la ganancia en una empresa en donde las funciones de costo y demanda son : C ( x)

=

3800 + 5 x −

 x 2

1000

( No olvidar que Ingreso (x) = x P(x) )

 p( x) = 50 −

 x

100

Resp: 2250 unidades

28.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:

C ( q ) = 50.000 + 20q + 0.0001q 2  I ( q) = 60q − 0.004q 2 a) Calcule las funciones de costos e ingresos marginales, y calcule cuantas unidades se deben  producir para que se tenga que los ingresos marginales sean iguales a los costos marginales.  b) Encuentre cuántas unidades maximizan la utilidad. Recuerde que Utilidad = Ingreso – Costo. Compare con la respuesta dada en a). Resp.: a) 4878 b) 4878 29.- Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital: a)

lim

(2 − x) ⋅ e x 3

 x → 0

 x −1

 b) lim  x →1

c)

lim

 x → 0

d) lim

−

e

x−2

.

Resp: -1/6

−1

 x 2 − 1 ln(cos(ax))

ln(cos(bx)) ln x

.

Resp:

 x − 1  x ⋅ c tg x − 1 e) lim .  x → 0  x 2  x + 2 f) lim 2  x → −2 x − 4 sen x − x g) lim 3

a2 b2

 x →1

Resp: -1/3.

 x → 0

 x

  x + c  30.- Aplicando L´Hopital, hallar la constante c de modo que lim    x   x − c  →∞

=

4   Resp: c

=

ln 2