Guia de Trabajo Relaciones y Funciones Decimo Grado 2014

Relaciones y funciones

Décimo grado

2016/2017

Román Alvarado Colegio Maya

Relaciones Se llama relación del conjunto A en el conjunto B , a todo subconjunto del producto cartesiano AxB A se llama conjunto de partida y B conjunto de llegada. Dominio: El conjunto de las primeras componentes de una relación se llama Dominio de R. Recorrido: El conjunto de las segundas componentes de R se llama Recorrido de R o Rango. Dado el conjunto de los números dígitos. Encuentra el dominio y grafica cada una de las relaciones siguientes: 1)

R=

2)

R=

3)

R=

4)

R=

5)

R=

6)

R=

7)

R=

8)

R=

9)

R=

10) R =

Grafica cada una de las relaciones, indicando claramente el dominio y el rango. 11) R = 12) R = 13) R = 14) R = 15) R = 16) R = 17) R = 18) R = 19) R = 20) R = 21) R = 22) R =

1

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23) R = 24) R =

FUNCIÓN: Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular.

Una función entre dos conjuntos A y B f : A  B es cualquier relación que asigne a todos y cada uno de los elementos de A (preimágen) uno y sólo uno de los elementos de B (imágenes). Las funciones se caracterizan entonces por el hecho de que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados, y además, cada uno de ellos posee sólo una imagen en el conjunto de llegada. Vale la pena destacar que toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función. Una relación entre dos conjuntos A y B no vacíos será una función, si y sólo si, verifican dos condiciones fundamentales: 

Existencia: Significa que cada elemento del conjunto A deberá poseer imagen en el conjunto B.



Unicidad: Significa que ningún elemento de A tendrá más de una imagen.

f : A  B  x  A, y  B / y  f ( x)

x1 , x2  A,  f  x1   y1  f  x2   y2   x1  x2

Ejemplo: Dados los conjuntos

k   3,4,5 y H   7,8,9,10 No son funciones de K en H

Son funciones definida de K en H

f    3,7  ,  4,10  ,  5,7   g    5,9 ,  4,9  ,  3,9  h    3,8 ,  4,7  ,  5,9 

r    3,10  ,  5,8  s    3,8 ,  4,9  ,  5,7  ,  3,10  t    3,7  ,  4,8 ,  5,11 

Ejercicios:

2

Relaciones y funciones Décimo grado 2016/2017 Román Alvarado Colegio Maya 1. Dados los conjuntos :A={0,2,4,6}, B={1,3,5,7} ; determina cuales de las siguientes relaciones de A en B representan funciones, además establezca el dominio y el rango. a. {(0,3);(2,5);(4,7);(6,5)} b. {(0,1); (2,3); (4,7); (6,5)} c. {(2,5); (2,3); (0,7); (4,1)} d. {(2,1); (2,3); (2,7); (2,5)}

2. Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados representan una relación o una función: 1. {(1,2), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3)} 2. {(1,4),(2,4),(3,6),(6,7),(10,9)} 3. {(6,4), (6,3),(3,4),(3,6),(1,4)} 3 Indica si los siguientes pares ordenados representan una función. a) (1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3) b) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5) c) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4) d) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) e) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16) f) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5) g) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5) 4 Indica cuales de las siguientes figuras representan una función.

x y z w

b)

1 2 3 4

x y z w

1 2 3 4

x y z w

c) d)

__________________________

________________________________

1 2 3 4

x y z w

e)

__________________________

__________________________

3

1 2 3 4

x y z w

__________________________

1 2 3 4

a)

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4. Dadas las gráficas siguientes utiliza el criterio de la recta vertical para verificar si esta representa o no una función

1.

Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones

a) b) c) d) e)

R = {(-5,2), (7,2), (8,1), (3,6), (-4,-5)} R = {(0,-7), (1,-5), (-1,-9), (2,-3), (3,-5)} R = {(0,-2), (7,2), (0,1), (5,6), (-6,-5)} R = {(1,-1), (-2,2), (3,-3), (2,6), (5,-5)} R = {(2,2), (7,2), (2,1), (3,1), (-4,2)}

4

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6

Construcción de funciones Resolver cada situación en forma lógica y ordenada. 1. El área de la base de un cilindro es de 40π m2. Exprese el volumen en función de la altura. 2. Una caja cerrada tiene una base cuadrada de lado y una altura h. si el volumen de la caja es 80 cm cúbicos, exprese el área de la superficie de la caja como función de x. 3. El volumen de un cilindro circular recto es 20 pulgadas cúbicas. Exprese el área de la superficie del cilindro como una función de su radio r. 4. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de altura 15 pies y radio 5 pies. Si el tanque se llena de modo que el radio del círculo en la superficie del agua es r, exprese el volumen del agua en el tanque como función de la profundidad d. 5. Un hombre de 6 pies de altura está a x pies de distancia de un asta de 20 pies que tiene una luz en la parte superior. Exprese la longitud del cilindro como una función de su radio r. 6. Fluye agua por un tanque cónico de 10 m de radio y 25 m de altura. Cuando el nivel del agua está a una altura de h y radio r, expresa el volumen del agua en función del la altura. 7. Si el ancho de un rectángulo es la quinta parte de su largo, determina el perímetro en función de su área. 8. Dada un circunferencia de radio r, precisa el área de la circunferencia en función de su diámetro d. 9. Se inscribe un cubo de arista x en un esfera de radio r. Exprese el volumen de la esfera en función de la arista del cubo. 10. Se desea construir un tanque de gas en forma de cilindro circular recto de 2.5 m de altura y a cada extremo del cilindro van unidas dos semiesferas de radio r. Exprese el volumen del tanque en función de r. 11. Un pista de atletismo tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo de radio r en cada extremo. Si la distancia total alrededor de la pista es 200 metros, exprese el área encerrada por la pista en función de r. 12. El volumen de un cilindro circular recto es 20 pulgadas cúbicas. Exprese el área de la superficie del cilindro como una función de su radio r. 13. Se construye una ventana con la forma de un rectángulo, con un semicírculo de radio r en la parte superior. Si el área de la ventana es 10 pies cuadrados, exprese el perímetro de la ventana como función de r. 14. Un cartel de base x y altura y tiene un área de 540 cm2 con márgenes de 2 cm a los lados y 1.5 cm en las partes superior e inferior. Exprese el área impresa en función de la base del cartel. 15. La altura de un recipiente cilíndrico es el doble que el radio de su base, exprese el volumen del cilindro en función de su altura. 16. El perímetro de un rectángulo es de 26 unidades, exprese el área del rectángulo en función de su largo. 17. Una persona tiene una pared de piedra en un costado de un terreno. Dispone de 1600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados. Exprese el área del corral en términos del ancho de este.

5

Relaciones y funciones Décimo grado 2016/2017 Román Alvarado Colegio Maya 18. Un globo asciende desde un punto con velocidad constante de 1.5 m/s, a 30 m del punto de despegue se encuentra una casa. Si t es el tiempo en segundos, exprese la distancia que existe entre la casa y el globo en función del tiempo.

Dominio y Rango de Funciones. 1.

Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a función.

2.

Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e imagen de cada una de ellas:

6

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3. Determinar el rango de las siguientes funciones 1.

f ( x)  x  1 11.

2.

f ( x)  2 x

3.

x 1 f ( x)  x3

4.

5.

6.

7.

 x 1 x3

f ( x) 

f ( x)  f ( x) 

f ( x) 

2x  3 x2 1

12.

f ( x)  2 x  3

13.

f ( x) 

14.

f ( x) 

15.

f ( x)  

1 x

16.

f ( x) 

2 ( 2 x  2) 2

17.

f ( x) 

1 x 5

18.

f ( x) 

1 ( x  2) 2

19.

f ( x) 

x6 x3

x x 1 4x  1 5x  3

8.

f ( x) 

x ( x  2) 2

9.

f ( x) 

1 x  16

10.

f ( x) 

f ( x)   x

1 ( x  2) x  1

3

2

3  2x x5

7

4x  1 x2  9

Evaluación de funciones 1.

Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican.

f (1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5). Los valores de x tales que f (x) = 0. g(- 1,5) ; g(- 0,5) ; g(0) ; g(0,5) ; g(4). Los valores de x tales que g(x) = 2. Los valores de x tales que g(x) = -2. 2.

3. Dada la función f ( x)  x2  x  2 , hallar: f(-3), f(a-5) y f(f(-1)). 4. Dada la función f(x) = x2 -7x +7, se pide: a) Imagen de





2 1

b) Anti imagen de 1 5. En la función afín f(x) = 3x – 1 se pide: a. Calcular las imágenes por f de 3,2 ; -1,5; 5/3;

5 3

2.

Dada la función f : R

Hallar: a) f(-1) b) f

 R definida por f(x) = x2 –x +2.

 2   c) f(1) d) f(-4) d) f(b) e) f(3 2 ) f) f(5m) g) f(x2) h) f(x+5)  3

i) f(-x3) j) f(x-3) Sean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x, funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto de los números reales,evalúe en los valores indicados: a. f(-3) =

f(a) =

b. g(15) =

f(0) =

g(-5)=

g( x +1 ) =

c. h( 3) =

h( -2) =

h(1/ 2) =

d. q(4) =

q(-7) =

q( a - 2b) =

Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones denominadas algebras de funciones:

 g  (x) = f(x) + g (x) D(f + g )(x) = Df(x)  Dg(x)  g  (x) = f(x) - g (x) 2. D(f - g )(x) = Df(x)  Dg(x) 3. Producto  f  g  (x) = f(x)  g (x) D(f . g )(x) = Df(x)  Dg(x) f ( x)  f  f  (x) =  (x) = Df(x)  Dg(x) - {x/g(x)  0} 4. Cociente  D  g ( x)  g  g 1.

f Resta  f Suma

Ejemplo: Sean las funciones reales f(x) = x+5 y g(x) = x2 + 3x -10 .Hallar a) Solución a)

f

 g  (x) = (x+5) + (x2 + 3x -10) = x2 +4x – 5

b)

f

 g  (x) = (x+5) - (x2 + 3x -10) = -x2 -2x + 15

f

 g  (x)

b) 

f  g  (x)

Ejercicios propuestos de algebra de funciones En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g Determine las funciones resultantes

f

 g  x  ,

f

 g  x  ,

 f .g  x  ,  f

g  x 

1.

f  x  x  1

g  x  x  4

2.

f  x  x  2

3.

f  x  x  5

4.

f  x 

5.

f  x  x

g  x  x 2  1

6.

f  x  x  2

g  x  2x 2  4x

7.

f  x  x  4

g  x  x 2  4

8.

f ( x) 

g  x   3x  6 g  x  x 2  1

x 1 x 1

2x  6 x4

g  x 

1 x

g  x   5  2 x

Composición de Funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g". Sean f : A  B y g : B  C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él. El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g. Definición: Sean f : A  B y g : B  C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: g o f : A  C  ( gof )(x) = g( f(x) ) Ejemplo: Si f y g son las funciones definidas por: f(x) = b) ( fog )(x) Solución:

x3 y g(x) = 2

x hallar: a) ( gof )(x)

a)

( gof )(x) = g( f(x) ) =

f (x) =

b)

( fog )(x) = f( g(x) ) =

g ( x)  3 = 2

x3 2 x 3 2

Dadas las siguientes funciones calcular la función compuesta señalada:

Tipos de funciones y sus características FUNCION DE PRIMER GRADO: y

· f(x) = ax + b

f (x)

f (x)

a>0

y

a 0

C) a > 0; c > 0

D) a > 0; c < 0

E) Falta información

11) Si f(x) = kx2 + 2x + 3 si k > 0. Entonces la gráfica que corresponde a esta función es:

12) ¿Cuál de las siguientes funciones puede representar la parábola de la figura? A) B) C) D) E)

f(x) = x2 f(x) = x2 + 1 f(x) = (x + 1)2 f(x) = x2 - 1 f(x) = (x – 1)2

13)¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = -x 2 – 4?

14) Si en la función f(x) = ax2 + bx, a y b son no nulos y de signos opuestos, entonces ¿cuál(es) de los siguientes gráficos puede(n) representar la función f(x)?

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo I y IV E) Sólo I, III y IV 15) La parábola de la figura, es la representación gráfica de la función f(x) = c + bx – ax 2. Del gráfico se puede deducir que: A) a < 0 y b2 – 4ac = 0 B) a > 0 y b2 – 4ac = 0 C) a < 0 y b2 – 4ac > 0 D) a > 0 y b2 – 4ac < 0 E) Nada se puede deducir 16) La intersección de la parábola y = −x2 + 4x +12 con el eje x es en los puntos: A)(6,0)y (2,0)

B)(−6,0)y (−2,0)

C)(−6,0)y (2,0)

D)(0,6)y (0,−2)

17) La intersección de la parábola y = 4x2 −4x−3 con el eje y es en el punto: A) (− 3,0) B) (0,3) C) (0,−3) D) (3,0) E) No se puede determinar 18) La función que representa la curva dada es: A) y = x2 +4 B) y = x2 −4 C) y = −x2 −4 D) x = y2−4 E) x = y2+4

E) (6,0)y (−2,0)

19) La función cuya gráfica es la dada en la figura cumple las siguientes condiciones: A) B) C) D) E)

    

>0;a0 =0;a0;a>0

20) La gráfica que representa mejor a la función f(x) = (X – 2) 2 es:

21) La función f(x) = x2 - 6x + 8 intersecta al eje y en el punto: A) (2 , 0)

B) (4 , 0)

C) (0 , 8)

D) (8 , 0)

E) (2 , 0) y (4 , 0)

22) La función f(x)= x2-3x-10 intersecta el eje x en los puntos: A) (0 , -10)

B) (-10 , 0)

C) (-2,0) y (5,0)

23) La ecuación de segundo grado 12x2 – 4x + 7 = 0, tiene: A) Dos soluciones reales, iguales B) Dos soluciones reales, distintas C) Dos soluciones complejas D) Una solución real y una compleja E) No tiene solución

D) (0 , 2) y (0 , -5)

E) (0 , 0)

Parte 2 1): Si f(x)  A) 4 17 B) 2 11 C)  2 11 D) 2 17 E)  2

 2x  3 2

, entonces f(7) es igual a:

2. ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x 2 + 1?

A)

D)

B)

E)

3. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) = ? A) 8 B) 4 C) 3 D) 2 E) Ninguna de las anteriores 4. f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) = ? A) −1 B) −6 C) 15 D) 26 E) No se puede determinar

C)

5.

¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

A) y  x 1 B) y  x  1 C) y  x  2 D) y  x  1  1 E) y  x  1  1 6.

¿Cuál es el dominio de la función f(x) 

A) 2, B)   2, C) 0, D)   ,2  2, E)  4,

x 2  4 en los números reales?

7. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

8. Del gráfico de la función real f(x)  1  x , se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1 Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 9.Si f(x) = 5x, entonces 5  f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores. 10 Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es A) 5 B) 3 C) 2 D) 0

E) –1 11. Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x)  g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 12. Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por f(x)  A) 1 B) -1 C) 3 D) -3 1 E) 3

1x , entonces f(-2) x 1

13. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1) 2 + 1?

14. De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 15. Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1? A) {-2} B) {-2,2} C) {2} D) {4}

E) No tiene solución en el conjunto de los números reales 16. La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) = A) 2x B) x  x C) x  x D) x  x E) 3 x  x

The

End