Guía de problemas de programación lineal

Lic. Elda Gómez de Huck - Lic. Cristian Bergesse U.T.N. Fac. Reg. Rafaela - Investigación Operativa

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Trabajo Práctico Asignatura: Investigación Operativa

Tema: Programación Lineal

Para tener en cuenta: Cuando resuelves problemas de programación lineal: a) Define con la mejor precisión posible las variables de decisión; ello te ayudará a interpretar mejor los resultados del problema y a su vez a plantear con corrección las restricciones del mismo. b) No olvides, cuando estableces el modelo matemático, tener en cuenta la no negatividad de las variables, ya que trabajaremos, en todos los problemas, con las variables con valores mayores o iguales a cero. c) Cuando grafiques, utiliza una escala adecuada, no olvides nombrar los ejes coordenados, utilizar colores para diferenciar las gráficas de las diferentes restricciones y tener mucho cuidado cuando estableces la región factible si, entre las restricciones, hay alguna recta. d) Cuando resuelves un problema por el Método Simplex, trata de utilizar fracciones en lugar de números decimales, ya que te permitirá realizar mejor los cálculos. Revisa bien los cálculos de cada paso antes de pasar al siguiente. Si ese mismo problema lo resolviste por el método gráfico, verifica que los resultados obtenidos en el método gráfico coinciden con los obtenidos en el Simplex. e) Por último, interpreta todos los resultados, incluyendo las variables de holgura.

EJERCICIO 1: Un fabricante de bombones entrega a sus productos en cajas de un Kg., en dos variantes, A y B. Las dos variantes poseen tres tipos de bombón a saber, de licor, de nuez y de fruta. La caja tipo A, contiene 300 grs. de bombones de licor, 500 grs. de bombones de nuez y 200 grs. de bombones de fruta. La caja de tipo B contiene 400 grs., 200 grs. y 400 grs. de cada tipo de bombón respectivamente. La utilidad por cada caja del tipo A es de $24 y para la caja del tipo B de $18. El fabricante dispone de 100 Kg. de bombones de licor, 120 Kg. de bombones de nuez y 100 Kg. de bombones de fruta. Determinar en forma gráfica y analítica la cantidad de cajas que se pueden armar en esta situación, para que el beneficio sea óptimo. ¿Existen sobrantes?. ¿De qué tipo de Bombón?. ¿Cuántos grs. (puede expresarse en kg, dependiendo la unidad a utilizar en el problema)?

EJERCICIO 2: Realice en el ejercicio anterior con las siguientes suposiciones y resuelva para cada caso: a) El fabricante quiere elaborar como máximo 150 cajas de bombones tipo A. b) El fabricante quiere elaborar como mínimo 275 cajas de tipo B. c) El fabricante quiere armar como máximo 150 cajas de cada tipo de bombón. d) Por la venta de una caja de tipo A obtendrá un beneficio de $15 y por una de tipo B $20 .

EJERCICIO 3: Una empresa fabrica dos productos: aspiradoras y lustradoras. El beneficio que deja cada aspiradora es de $30 y el de cada lustradora es de $20. Ambos productos sufren un proceso común requiriendo las aspiradoras 30 min.. por unidad y las lustradoras 15 min. por unidad, disponiéndose de 15000 min. por mes. Los productos deben procesarse también en la sección maquinado, necesitando las aspiradoras 10 min. por unidad, al igual que las lustradoras, sobre un total de 9000 min..

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En la sección armado tenemos 7000 min. utilizables, necesitando las aspiradoras 12 min. y las lustradoras 10 min., por unidad. Se sabe también que la capacidad máxima del mercado de aspiradoras es de 600 unidades y lo máximo que se puede vender en el caso de las lustradoras es de 450 unidades. Resolver e interpretar todos los resultados

EJERCICIO 4: La terapia de radiación incluye el uso de máquinas de rayos externos que pasa radiación ionizante a través del cuerpo del paciente dañando tanto tejidos cancerosos como sanos. Lo normal es que se administren los rayos con precisión desde diferentes ángulos en un plano de dos dimensiones. Debido a la atenuación, cada rayo descarga más radiación sobre el tejido cercano al punto de salida. La dispersión también causa que parte de la radiación se descargue sobre los tejidos que están fuera de la trayectoria directa del rayo. Como las células del tumor casi siempre se encuentran diseminadas de manera microscópica entre células sanas, la dosis de radiación a través de la región del tumor debe ser suficiente para matar las células malignas que son un poco más sensibles a ésta, pero lo suficientemente pequeña como para no matar a las células sanas. Al mismo tiempo, la dosis agregada que reciben los tejidos críticos no debe exceder los niveles de tolerancia establecidos con el objeto de prevenir complicaciones que puedan resultar más serias que la enfermedad misma. Por la misma razón la dosis que recibe la anatomía sana debe minimizarse. Debido a la necesidad de balancear cuidadosamente todos estos factores, el diseño de la terapia de radiación es un proceso muy delicado. La meta principal del diseño es elegir la combinación de rayos que debe utilizarse y la intensidad de cada uno para generar la mejor distribución de la dosis posible. (La fuerza de la dosis en cualquier punto del cuerpo se mide en unidades llamadas kilorads). En base a un análisis anatómico de un tipo especial de tumor, un grupo de médicos ha estimado con detalle los datos necesarios para aplicarle un tratamiento suponiendo por cuestión de simplicidad que se utilizaran solo dos tipos de rayos y sabiendo que la absorción de la radiación es aditiva cuando se administra más de un rayo (en forma secuencial). Los datos para el diseño del tratamiento de radiación figuran en la siguiente tabla: Fracción de la dosis de entrada absorbida por área (en promedio por kilorads de entrada) ÁREA Tejido crítico Región del tumor Centro del tumor Anatomía sana

RAYO 1 0.3 0.5 0.6 0.4

RAYO 2 0.1 0.5 0.4 0.5

Además se sabe que la absorción promedio de la dosis para los tejidos críticos no debe exceder 2.7 kilorads, el promedio sobre el tumor debe ser igual a 6 kilorads y en el centro del tumor debe ser de por lo menos 6 kilorads. Calcular la dosis en kilorads en el punto de entrada de los rayos 1 y 2 para que la absorción promedio de la dosis para la anatomía sana sea mínima. Resolver por Método Simplex.

EJERCICIO 5: Una cervecería produce cerveza común y la de tipo ale. La cerveza se vende a 5 dólares el barril y el de ale a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza común requiere 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo. La producción de un barril de cerveza ale requiere 2 libras de cebada y 1 libras de lúpulo. Se dispone de 600 libras de cebada y de 250 libras de lúpulo y solo se desea elaborar como máximo 9 barriles de cerveza ale. Determine gráficamente la solución que permita maximizar los ingresos.

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EJERCICIO 6: Bevco produce una bebida con sabor a naranja, Oranje, al mezclar refresco y jugo de naranja. Cada onza de refresco de naranja contiene 0.5 onzas de azúcar y 1 miligramo de vitamina C. Cada onza de jugo de naranja contiene 0.25 onzas de azúcar y 3 miligramos de vitamina C. A Bevco le cuesta 2 centavos producir una onza de refresco de naranja y 3 centavos una onza de jugo de naranja. El departamento de mercadotecnia de Bevco ha decidido que cada botella de 10 onzas de Oranj, debe contener por lo menos 20 miligramos de vitamina C y a lo sumo 4 onzas de azúcar. Utilice la Programación Lineal para determinar cómo Bevco puede satisfacer los requerimientos del departamento de mercadotecnia, al menor costo. Resolver por el Método Simplex e interpretar.

EJERCICIO 7: Una compañía recibió una orden de una mezcla de 2000 Kg. de una mezcla de cereales y de carne de vaca especial como alimento de los perros Ovejeros alemanes. El cereal cuesta $3/Kg. y la carne $4/Kg. Solamente hay 800 Kgs. de cereal y hay que usar al menos 600 Kgs. de carne en la mezcla. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se deberá utilizar, de manera tal que se minimice el costo total y cumplir con los requerimientos al mismo tiempo?

EJERCICIO 8: Una Compañía de productos químicos que fabrica entre otros artículos dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que se compran a proveedores externos debe establecer la cantidad de cada fertilizante que debe producirse, este mes, con el fin de lograr las mayores utilidades respetando las restricciones establecidas y sabiendo que todo lo que se produzca se venderá a través de un mayorista. Consideraciones de producción: Los dos fertilizantes son mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. El primer fertilizante está elaborado con el 5% de nitrato, 5% de fosfato, el 10% de potasio y el 80 % restante es material de relleno (barro). El otro posee 5% de nitrato, 10% de fosfato, 5% de potasio y 80% de barro. El mayorista comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la compañía pueda fabricar. Está dispuesto a pagar $715 por tonelada del 5-5-10 y $690 por tonelada del 5-10-5. Este mes, la disponibilidad y costos de materias primas son: 1100 Tn. de nitrato a $2000 la Tn., 1800 Tn. de fosfato a $800 la Tn. y 2000 Tn. de potasio a $1600 la Tn.. El relleno está disponible en cantidades ilimitadas al precio de $100 la Tn.. No hay restricciones para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de maquinarias durante este mes, pero se tiene un costo de $150 por tonelada por concepto de mezclado de los fertilizantes. ¿Cómo utilizar los recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio) de manera que se obtengan las mayores utilidades para la compañía?.

EJERCICIO 9: Una fábrica de especies (condimentos para distintas comidas) debe colocar en cajas paquetes de dos pesos diferentes (50 grs. Y 100 grs.) de un nuevo sabor dedicado a la alta cocina, de manera tal que cada caja pese exactamente 1,5 kg. y su costo sea mínimo. Se sabe que cada paquete de tipo A (pesa 50 g) ocasiona un costo de $2 y cada paquete de tipo B (pesa 100 g) de $3,8 y además que cada caja debe contener como mínimo 14 paquetes de B y no más de 20 paquetes de A. Determinar por el Método Simplex cuántos paquetes de cada tipo se deben colocar en cada caja para optimizar la situación?. Dé una interpretación a los demás resultados encontrados.

EJERCICIO 10: En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a $45 y contiene 150 g. de polvorones, 100 g. de mantecados y 80 g. de roscas de vino. El segundo se vende a $56 y contiene 200 g. de polvorones, 100 g. de mantecados y 100 g. de roscas de vino. Se dispone de un total de 200 Kg. de polvorones, 130 Kg. de mantecados y 104 Kg. de roscas de vino. La empresa solo dispone de 1200 cajas de embalaje.

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* Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compañía. * Resolver gráficamente e interpretar los resultados. Calcular disponibilidad ociosa (utilizar una escala adecuada que permite visualizar bien los puntos de intersección).

EJERCICIO 11: Una compañía fabrica tabicón y ladrillo, la empresa obtiene un margen de utilidad de $3.25 y $6.00 por cada 100 ladrillos y por cada 100 tabicones, respectivamente. En estos momentos la compañía no tiene compromisos por pedidos de clientes de ladrillos o de tabicones. No existe inventario de ninguno de los dos productos. La producción de ladrillo y tabicón requiere un proceso de dos etapas. Primero se les moldea y después se le hornea. En el proceso de moldeado se requieren 4 hs. de tiempo para fabricar 100 ladrillos y de 8 hs. para fabricar 100 tabicones. El proceso de horneado no difiere para ninguno de los dos productos; se requieren 8 hs. por cada 100 piezas de cada uno. Existen disponibles un máximo de 80 hs. de tiempo de moldeado y el máximo tiempo disponible para el proceso de horneado es de 120 hs. por semana. Es posible vender todas las piezas que se pueden fabricar. * Plantear el problema que permita maximizar las utilidades de la compañía. * Resolver e interpretar los resultados.

EJERCICIO 12: Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podrían pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión aporta 300 dólares a la utilidad, y cada automóvil , 200. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la compañía.

EJERCICIO 13: Un criador de ganado porcino dispone para la alimentación de los mismos de dos tipos de alimentos A1 y A2, deseando que el consumo diario de cada animal no supere los 400 grs. de azúcar pero no sea inferior a los 800 grs. de grasa. La cantidad de azúcar contenida en cada alimento es de 20 grs. por kg. de A1 y de 90 grs. por kg. de A2, mientras que hay 60 grs. de grasa por kg. de A1 y 30 grs. por kg. de A2. El costo por kg. de A1 es de $ 4 y por cada kg. de A2 de $12. - Resolver por el método gráfico e interpretar

EJERCICIO 14: Dorian Auto fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más probables son hombres y mujeres de ingresos altos. Para llegar a estos grupos, Dorian Auto lanzó una campaña ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas: series cómicas y juegos de fútbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial en series cómicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial en juegos de fútbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cómica, cuesta 50 dólares y un comercial de 1 minuto en un juego de fútbol, cuesta 100 dólares. Dorian quisiera que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresos altos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran los comerciales. Determine gráficamente que debería hacer Dorian Auto para alcanzar sus requerimientos comerciales a un costo mínimo.

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EJERCICIO 15: Una fábrica textil desea optimizar el beneficio mensual del sector que impermeabiliza lonas. Se conocen los datos referentes a tiempos estándar de operación en ese sector, capacidad neta de horas máquina, características del mercado y capacidad de despacho. Existe la restricción adicional de entregar al mercado, en forma mensual 6000 m. de lona Playera. El objetivo de la dirección de la empresa, es hallar el programa que haga máximo el margen de contribución a gastos generales. •

Tiempos estándar, capacidad de equipos: Playera Camionera Lonas Equipos 1 2 3 2 3

1 0,5

3

Campera

Disp. Equipos (hs./ mes)

1

500

2 1

480 720

Los tiempos estándar están dados en horas/100 m. •

Demandas Lonas Demanda máxima m/mes

•

Camionera

Campera

80000

70000

20000

Margen de contribución Lonas Playera Margen

•

Playera

4 $/m

Camionera

Campera

7 $/m

3$/m

Capacidad de despacho total máxima: 100000 m/mes. Plantear el problema.

EJERCICIO 16: PROTRAC, Inc. produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de producción (llamada equipo de remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover escombros (el E-9) y el miembro mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC juzga que durante ese período será posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántos E-9s y F-9s deben producirse?. En la toma de esta decisión, los principales factores a considerar son los siguientes: PROTRAC tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que venda y de $4000 por cada F-9. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 hs., respectivamente. Cada E-9 consume 10 hs. de operación mecánica en el departamento A y 20 hs. en el departamento B, mientras que cada F-9 consume 15 hs. en el departamento A y 10 hs. en el departamento B. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de hs. de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor a 135 hs. Esta verificación se realiza en un tercer departamento que no tiene relación con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de 30 hs. de comprobación y cada F-9 de 10.

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Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, es necesario construir al menos un F-9 por cada 3 E-9s. (3 E-9 = B1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 >= B2 X1, X2, X3 >= 0 Ck Q L CJ Z1 ZJ - CJ

Xk R T /// /// ///

X1

X2

X3

X4

X5

λ1

λ2

C1 Z1 P1

C2 Z2 P2

C3 Z3 P3

C4 Z4 P4

C5 Z5 P5

C6 Z6 P6

C7 Z7 P7

B H G /// Z ///

θ θ1 θ1 /// /// ///

Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que cumplida la condición de optimidad: a) el problema no tenga solución b) posea solución óptima única c) posea solución óptima alternativa Establezca condiciones a los elementos de dicha tabla para que no cumplida la condición de optimidad: a) el problema no tenga solución b) posea solución básica pero no óptima c) posea soluciones degeneradas d) una variable de la base tenga valor cero

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EJERCICIO 24: I) ¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones? Justificar. a) Todo punto factible maximiza a la función económica. b) Si un problema tiene soluciones degeneradas no tiene solución óptima. c) Las soluciones básicas factibles de un problema de mínimo están en el borde de la región factible. d) Un problema con región factible no acotada no tiene solución. e) Si una variable de holgura (representa disponibilidad de recurso), se agota tendrá en la línea de ZJ – CJ un valor igual a cero. II) Dada una tabla del Simplex correspondiente a un PL de máximo con tres variables y tres inecuaciones, ¿qué sucede si: • en Zj - Cj existen todos valores menores o iguales a cero • en Zj - Cj hay tres ceros y los restantes son valores positivos • en la base existe una variable artificial, en Zj - Cj hay un valor negativo y ya se sabe que es el último paso del Simplex • en la línea de Zj - Cj no existen valores positivos y no puede sacar ninguna variable de la base

Seguimos resolviendo ejercicios de práctica: EJERCICIO 25: Una empresa embotelladora de bebidas refrescantes tiene dos productos principales, D1 y D2, cuya producción se realiza en dos secciones, una de envasado y otra de embalaje de los productos. La capacidad semanal, en horas de trabajo, de la sección de envasado es de 230 mientras que la sección de embalaje dispone de 250 horas de trabajo semanales. El envasado y embalaje de 1000 litros de ambos tipos de bebidas requieren la utilización del siguiente número de horas en cada sección: D1 2 1

Envasado Embalaje

D2 1 2

Disponibilidad 230 250

La empresa tiene una provisión casi ilimitada de materia prima para la producción de las bebidas, sin embargo se sabe que D2 tiene una demanda semanal nunca superior a los 120000 litros. Si estimamos un margen de beneficio de 30 centésimos de euro por litro para D1 y de 50 centésimos de euro para D2, determinar el plan de producción semanal que hace máximo el beneficio de la empresa.

EJERCICIO 26: Una empresa fabrica tres productos P1, P2 y P3 utilizando dos sistemas de fabricación mecánica F1 y F2. La tabla adjunta muestra las unidades fabricadas de cada uno de los productos empleando los sistemas de fabricación a nivel unitario: F1 F2

P1 4 2

P2 3 3

P3 2 5

La demanda semanal estimada para cada uno de los tres productos es de 12, 15 y 25 unidades respectivamente, siendo los costos unitarios de fabricación de 12 dólares para el sistema de fabricación F1 y 5 dólares para F2. Determina el plan de producción semanal que satisfaga la demanda prevista a un costo mínimo.

EJERCICIO 27: Una empresa se dedica a la producción de lámparas de mesa y lámparas de techo; a tal efecto tiene organizados cuatro departamentos de producción: A, B, C y D. A y B son comunes para los dos productos, mientras que C es

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específico para lámparas de mesa (M) y D para lámparas de techo (T). La capacidad máxima de cada departamento al mes, expresada en las unidades de cada producto que se podrían elaborar (en el caso de que no se produjera nada del otro), viene recogida en la siguiente tabla:

A B C D

M 500 400 250 -

T 200 300 150

Los beneficios que se obtienen por la venta de una unidad de estos productos son: 1000 u.m. y 2000 u.m. para M y T respectivamente. Calcular los productos a elaborar, en qué cuantía, el beneficio máximo y la capacidad ociosa de los distintos departamentos.

EJERCICIO 28: Una refinería de petróleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero), el Venezuela (medio) y el México (pesado), cuyos precios en el mercado libre son de $ 40, de $ 36 y de $ 32 el barril, respectivamente. De cada uno de los crudos en el proceso de destilación y refino se obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, así como unas pérdidas por obtención de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes barriles de los productos refinados:

1 barril Arabia 1 barril Venezuela 1 barril México

Gasolina 0.40 0.30 0.20

Keroseno 0.20 0.20 0.30

Gas-oil 0.30 0.40 0.40

La refinería ha firmado un contrato con una compañía multinacional para el suministro de 1.500.000 barriles de gasolina, 400.000 de keroseno y 700.000 de gas-oil, durante el próximo año. ¿Qué cantidad debe adquirir de cada tipo de crudo para el costo sea mínimo?

EJERCICIO 29: Una empresa se dedica a la elaboración de dos productos P1 y P2, que le proporcionan un beneficio de $ 50 por m3 y $ 60 por m3, respectivamente. Dicha elaboración da lugar a la aparición de dos gases tóxicos G1 y G2, que son evacuados a la atmósfera en la proporción indicada en la tabla adjunta: Tipo de gas tóxico G1 G2

Por m3 de P1 24 8

Por m3 de P2 36 12

Debido a la aparición de nuevas normas en materia de polución, la emisión diaria de G1 y G2 no deberá superar los 600 litros y 800 litros respectivamente. El director de producción de la citada empresa, mediante la aplicación de un mecanismo antipolución (MAP) en el proceso de fabricación de P1 y/o P2, puede eliminar los gases tóxicos G1 y G2 en un 75% y un 50%, respectivamente, independientemente del proceso al que lo aplique. La utilización del citado mecanismo (MAP) en cualquiera de los dos procesos de fabricación produce una disminución de $ 10 en el beneficio obtenido por m3 del producto correspondiente. La dirección desea conocer: las cantidades de P1 y P2 que se deben obtener diariamente a fin de conseguir optimizar el beneficio sin incumplir la nueva normativa.

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