Guía de Matemática Superior

 

  Asignatura: MATEMÁTICA SUPERIOR Ejercicio 2 2.. 

Establezca la propiedad de los números reales que se está usando. a)  b) 

7 + 10 = 10 + 7

c)  d) 

5 a +b

(

2  x + y

 

) = ( x + y) 2  

(

) = 5a + 5b   ( x + a ) ( x + b ) = ( x + a ) x + ( x + a ) b  

3.  Ejercicio 3.

Envío por correo de un paquete. La oficina de correos sólo aceptará paquetes para los cuales el largo más lo que mida alrededor no sea mayor que 108 pulg. Por consiguiente, para el paquete de la figura debemos tener:  L + 2 ( x + y )  108  

a)  ¿La oficina de correos aceptará un paquete que mide 6 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de alto y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mide 2 por 2 por 4 pies?  b)  ¿Cuál es el mayor largo aceptable para un ´paquete que tiene base cuadrada y mide 9 por 9 pulgadas?   Ejercicio 4. 4. 

Escribe cada número fraccionario en forma decimal, luego indica qué tipo de decimal es cada uno y si existen, la parte entera, el ante período y el periodo. a) e)

12 9 13 4

 

b)

 

f)

7 15 13 5

 

 

c) g)

17 6 17 8

 

d)

 

h)

5 3

 

19 25

 

Ejercicio 5. 5. 

Exprese cada uno de los decimales periódicos en forma de fracción a) e)

0,73   5,23  

b) 0,28   f) 2,3217  

c) g)

0,257   2,135  

d) 1, 45   h) 12,4987   Página 6 de 143 

 

  Asignatura: MATEMÁTICA SUPERIOR 6..  Ejercicio 6

Demostrar de donde sale el número de oro,

=

1+ 2

5

 

Ejercicio 7 7.. 

Si construimos un decágono regular de lado una unidad, entonces demostrar que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al número de oro.

Ejercicio 8. 8. 

Determina una fracción equivalente a 7/5, de modo que se multiplican los términos, resulta 5915. Ejercicio 9. 9. 

Al determinar la generatriz de la siguiente fracción Determina el valor de

25 37

  se obtuvo,

0, abc .

a − b + c.  

Ejercicio 10. 10. 

A las 8 de la mañana, un termómetro marcaba  –  3ºC.  3ºC. Cuatro horas después, la temperatura subió a 5ºC y siete horas después, bajo 8ºC. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las 7pm?

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UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA

Conjuntos e intervalos

Valor absoluto y distancia a,

El valor absoluto de un número  denotado por a  es la distancia desde a   hasta 0 sobre la recta de los números reales. La distancia siempre es positiva o cero, de modo que tenemos a    0  para cada número a.   ,

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Ejercicios de aplicación Ejercicio 1. 1. 

Utiliza el método de Thales para representar en la recta numérica, los siguientes números racionales. a)

3 5

1

b) −  

 

c)

3

12 5

 

d)

9 7

 

2.  Ejercicio 2.

Representa de manera exacta en la recta numérica, utilizando el teorema de Pitágoras, los siguientes números Irracionales. a)

5

 

b)

14

 

c)

41

 

d)

59  

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  Asignatura: MATEMÁTICA SUPERIOR Ejercicio 3. 3. 

Exprese el intervalo en forma de desigualdad, y luego grafique el intervalo. a) −3; 0  

b)

e)  −2; +  

f)

2; 8  

;6

−

1 d)  −6; −   

c)  2; 8    

g)



−; + 

 

2

h) −5; 8  

Ejercicio 4. 4. 

Exprese cada conjunto mediante la notación de los intervalos.

Ejercicio 5. 5. 

Determina la distancia entre los números dados a) 2 y 3 e) −

3 10

b)  – 2,5 2,5 y 1,5 11

 y

8

 

f) −

1 21

7  y

15

 

c) 2 y 17 g)

57  y

−

d)  –  3  3 y 21 −

38  

h)

2, 6  y

−

−

1, 8  

Ejercicio 6. 6. 

Signos de números, sean a, b y c números reales tales que Determina el signo de cada expresión.

a  0, b  0 y c  0.  

Ejercicio 7. 7. 

Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números racionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales es necesariamente irracional? ¿Qué sucede con la suma? Ejercicio 8. 8. 

Ariel,un Beto, Carlos que y Dany juegan En cada partida hay solo perdedor, debe darlecuatro a cadapartidas u no dede uno suscartas. tres contrincantes una suma Página 10 de 143 

 

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de dinero igual a la que el contrincante tiene en ese momento. En la primera partida perdió Ariel, en la segunda Beto, en la tercera Carlos y en la cuarta Dany. Al finalizar las cuatro partidas, los cuatro tienen S/ 64 cada uno. ¿Cuánto tenía Ariel al comenzar la primera partida? 9.  Ejercicio 9.

Se tienen cuatro objetos a, b, c y d, que pesan, en conjunto, 303 kg. Se sabe que a pesa 10 kg más que c, y d pesa 5 kg más que b. Además, el más pesado de los cuatro objetos y el más liviano pesan, en conjunto, 3 kg menos que los otros dos objetos juntos. Determina el mayor de los pesos. Ejercicio 10. 10. 

Ocho camisas y un pantalón cuestan S/ 125. Además, ocho pantalones y una camisa cuestan S/ 370. ¿Cuál es el precio de un pantalón?

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2.  Ejercicio 2. En un estante se pueden colocar 24 libros de castellano y 20 libros de inglés; o 36 libros de castellano y 15 libros de inglés. ¿Cuántos libros de castellano únicamente entran en el estante?  

Ejercicio 3. 3.  Una cierta cantidad de postes se ubican a lo largo de una avenida, si se colocan 4 focos en cada poste sobraría 14 focos, pero para ubicar 6 focos en cada poste faltaría 10 focos. ¿Cuál es la suma de cifras del número de focos que se dispone actualmente?  Ejercicio 4. 4.  A Christian le prometieron pagar por un año de trabajo S/ 2 100 más una refrigeradora y dos licuadoras. Si luego de seis meses de trabajo es despedido y recibe como pago S/ 1 500 más una licuadora, ¿cuánto cuesta la refrigeradora?

Ejercicio 5. 5.  Luana decide ordenar su guardarropa y se da cuenta que entre sus pantalones, faldas y minifaldas ocurre lo siguiente: sin contar las faldas hay 24 prendas; sin contar las minifaldas hay 36 prendas; sin contar los pantalones hay 28 prendas. ¿Cuántas minifaldas más debe comprar para tener igual cantidad que faldas?

6.  Ejercicio 6. María Fernanda tiene 30 billetes de S/ 100 y 30 de S/ 50. Dado que tiene una deuda de S/ 3 500, decide pagarla con 42 billetes de los que tiene. ¿Cuál es la menor cantidad de billetes que usaría u saría para comprar una Tablet, de valor S/ 700, con el dinero que le queda?

Ejercicio 7. 7.  Una ejecutiva de una compañía de ingeniería tiene un salario mensual más un bono para la navidad de 8 500 soles. Si gana un total de 97 300 soles al año, ¿cuál es su salario mensual en soles?

Ejercicio 8. 8.  Juan, Rosa y Mathías han decidido regalar a Lizbeth, por su cumpleaños, el vestido que desea hace tiempo. Sin embargo, ninguno de ellos tiene el dinero suficiente para comprar el vestido; a Juan le faltan 17 soles; a Rosa, 13 soles y a Mathías, 21 soles. Ellos deciden juntar sus ahorros y descubren así que no solo Página 13 de 143 

 

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pueden regalar el vestido a Lizbeth, sino que también pueden comprarle otro igual y tener todavía un sobrante de 7 soles. ¿Cuánto cuesta el vestido?

9.  Ejercicio 9. Un comerciante compra lapiceros y por cada docena le regalan 3 lapiceros, y cuando por cada docena regala 1. Si ellapiceros comerciante vende 444 lapiceros,los sinvende, que quedara lapicero alguno, ¿cuántos le regalaron?

Ejercicio 10. 10.  Con las bolitas que tengo puedo formar dos cuadrados compactos exactamente, tal que los lados se diferencian en 6 bolitas. Pero si formamos un triángulo equilátero, también compacto, colocando en su lado una cantidad de bolitas igual a la suma de las cantidades de bolitas que se colocaron como lados en cada cuadrado, sobrarían 9 bolitas. Si formamos un solo cuadrado compacto, el más grande posible, ¿cuántas bolitas sobrarán? 

MÁXIMO COMÚN DIVISOR  –  MÍNIMO  MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Máximo común divisor (MCD) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD es aquel número que cumple dos condiciones: 1.  Es un divisor común del conjunto de dichos números. 2.  Es el mayor valor posible.

Ejemplo  Ejemplo  Dados los números 6; 12 y 18, determina el MCD de dichos números.

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Observaciones: Observaciones:  

La cantidad de divisores comunes de dos o más números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos números.   El MCD está contenido en los números.

▪

▪

Mínimo común múltiplo (MCM) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM es aquel número que cumple dos condiciones: 1.  Es un múltiplo común del conjunto de dichos números. 2.  Es el menor valor posible.

Ejemplo  Ejemplo  Dados los números 4; 3 y 6, determina de termina el MCM de dichos números.

Observaciones:: Observaciones  

Los múltiplos comunes de un conjunto de números, son también múltiplos de su MCM.   El MCM contiene a cada uno los números.

▪

▪

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Métodos para calcular el MCD y el MCM Por descomposición simultánea MCD MCM Se extrae de los números, todos los Se extrae de los números, todos los factores comunes hasta obtener factores comunes y no comunes hasta en cada uno. El números PESÍ. El producto de de los obtener productola deunidad los factores extraídos es el factores extraídos es el MCD MCM de dichos números. dichos números.

Ejemplo

Ejemplo

Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides Consiste en aplicar reiteradas veces el siguiente teorema

Para hallar el MCD de dos números, dividimos el mayor de los números entre el menor; luego el divisor pasa a ser el dividendo y el residuo pasa a ser divisor, efectuamos este proceso hasta que la división resulta exacta; el último divisor, será el MCD de dichos números. El procedimiento se representa mediante el siguiente esquema:

Ejemplo Determina el MCD (403;91) por el método del algoritmo de Euclides. Resolución: Tenemos

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Ejercicios de aplicación Ejercicio 1. 1.  ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 480 y 320?

Ejercicio 2. 2.  ¿Cuántos múltiplos comunes de tres cifras tienen los números 12; 20 y 8?

Ejercicio 3. 3.  Se tiene dos números enteros e nteros positivos que suman 114. Si la suma del MCD y MCM de dichos números es 510, calcula la diferencia de los números.

Ejercicio 4. El MCD de dos números enteros positivos es 18 y la suma de dichos números es 180. Calcula la cantidad de parejas de números que cumplen con dicha condición. Página 17 de 143 

 

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5.  Ejercicio 5. ¿Cuántos pares de números cumplen que la suma de ellos es 300 y su máximo común divisor es 12?

Ejercicio 6. 6.  ¿Cuántos pares de números enteros positivos cuyo MCD es 36 existen entre 300 y 500? 

Ejercicio 7. 7.  La suma del MCD y del MCM de dos números es 960 y el cociente del MCM entre el MCD es 63. Halla la suma de los números.

Ejercicio 8. 8.  Se sabe que al calcular el MCD de dos números mediante divisiones sucesivas se obtienen los cocientes sucesivos 3; 2; 4 y 2. Calcula la suma de dichos números, si la diferencia de los mismos es 245.

9.  Ejercicio 9. El mínimo común múltiplo de dos números primos entre sí es 420 y la suma de dichos números es 47. Calcula la diferencia de los números.

Ejercicio 10. 10.  Lo cocientes sucesivos obtenidos al hallar el máximo común divisor de dos números mediante el algoritmo de Euclides son 2; 3; 4 y 2; además, ambos números suman 288. Calcula la suma de cifras del MCM de ambos números.

MODELADO DE MCD Y MCM Ejercicios de aplicación Ejercicio 1. 1.  ¿Cuántos ladrillos, cuyas longitudes son 12; 18 y 10 cm, serán necesarios, como mínimo, para poder formar el cubo compacto?

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2.  Ejercicio 2. Calcula cuántos focos como mínimo serán necesarios colocar alrededor de un aviso publicitario de forma rectangular de 1296 cm por 936 cm, si debe a ver un foco en cada una de las esquinas y en el punto medio de cada lado; además, la separación entre dos focos debe ser una u na cantidad entera en cm.

Ejercicio 3. 3.  Carlos, Joaquín y Luciana miden el largo de la pizarra usando reglas de 20 cm; 50 cm y 60 cm, respectivamente. Si cada uno pudo medir exactamente con su respectiva regla, ¿cuál es la menor longitud que tiene la pizarra?

Ejercicio 44..  Eduardo tiene su negocio de aceite para autos y ha h a adquirido 3 barriles con 240 L, 180 L y 200 L. Si desea vender el aceite en recipientes de volúmenes iguales, ¿cuántos recipientes como mínimo necesita para que no sobre aceite?

Ejercicio 55..  Un terreno de 960 m de largo y 880 m de ancho será dividido en parcelas cuadradas. Si en cada una de las esquinas de las parcelas habrá una estaca, ¿Cuántas estacas como mínimo se necesitarán?

6.  Ejercicio 6. Un tanque puede ser llenado en un número exacto de minutos por cualquiera de losmenor tres grifos que vierten 50 ytener 40 litros por minuto, respectivamente. ¿Cuál es la capacidad que45; debe el tanque?  

Ejercicio 7. 7.  En un terreno de forma triangular cuyos lados son 1 200 m; 980 m y 720 m, se desea colocar estacas que estén separadas una misma distancia en metros. ¿Cuántas estacas como mínimo se colocarán si debe a ver una estaca en cada esquina?

8.  Ejercicio 8. En una pista circular tres atletas corren en una misma dirección. El primero demora 10 s en dar una vuelta, el segundo 11 s y el tercero 12 s. ¿Cuántos minutos tardan en pasar juntos por la partida por primera vez? Página 19 de 143 

 

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9.  Ejercicio 9. Se quiere cercar un terreno rectangular, cuyos lados son 360 y 192 metros, con parcelas cuadradas cuyos lados son una cantidad entera en metros. Además, en cada una de estas parcelas se debe colocar un poste. ¿Cuál será la menor cantidad de postes que se emplearán?

10.  Ejercicio 10. Tres móviles A, B y C parten al mismo tiempo de un punto de una pista circular de 540 m de circunferencia. A se desplaza con velocidad de 12 m/s, B con velocidad de 9 m/s y C con velocidad de 15 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que los tres móviles realicen el segundo encuentro luego de la partida?

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