Guia de Matematica 2013

 

2 La Matemática genera en las personas la capacidad de pensar de forma abstracta, encontrar la similitudes entre fenómenos , crear el hábito de enfrentar problemas, establecer criterios de verdad, tomar consecuentes iniciativas, perfecciona habilidades investigativas, el dominio del espacio y del tiempo, la organización y optimización de recursos, la capacidad de previsión, entre otras habilidades, por ello es de suma importancia su estudio desde los primeros años de escolaridad. Por otra parte, la matemática es el soporte oculto de otras ciencias, la medicina, la química, la física, la arquitectura, la ingeniería, la actividad industrial, la economía, las artes, la música ..., la usan para desarrollar sus ideas de forma analítica y numerica. Sin embargo la matemática ha estado envuelta de actitudes de recelo, terror y en algunos casos de desprecio.

Este material didáctico dirigido a los jovenes inscritos en el Curso Propedéutico de la Universidad Nacional Experimental del Táchira UNET, y desean realizar sus estudios universitarios en las carreras de Ingeniería, Arquitectura y Electrómedicina . Para el estudio de este material no se presupone ningún conocimiento previo, por lo que es accesible a todos los alunmos desde el primer momento y su objetivo es hacer que desarrollen habilidades y destrezas en el álgebra elemental, asi como el desarrollo del razonamiento matemático teniendo para ello la ayuda y orientación de los facilitadores del área.

Este material didáctico se encuentra en revisión, por tanta agradecemos las sugerencias de todos los estudiantes y facilitadores para mejorarlo. ¿ Qué pasaría en nuestra sociedad en unos años con adultos analfabetos matemáticos?

 

 

Matemática. Curso Propedéutico. UNET 

CONTENIDO 1. Conjunto ddee los Nú Números meros Reales. 2. Máximo comú comúnn diviso divisor. r. 3. Mínimo ccomún omún múltiplo. 4. Poten Potenciaci ciación. ón. 5. Radicación. 6. Polinomios. 7. Producto Notable. 8. Técnicas ddee Facto Factorización. rización. 9. Ecuaciones ddee una variable. 10. Ecuaciones de Ord Orden en superior superior.. 11. Sistemas ddee Ecu Ecuaciones. aciones. 12. Inecuaciones. 13. Función Exponenciales. 14. Función Logaritmica. 15. Línea Recta. 16. Cónicas. 17. Trigono Trigonometría. metría.

3

 

4

Conjunto numérico

 

Números Naturales N Números Enteros Z Números Racionales Q Números Irracionales I Números Reales R

Conjunto de los Números Naturales. Son los números con los que contamos. Por lo general se utiliza el símbolo  N  para representarlo.

 

Se denotan N   = 1, 2, 3...

Operaciones definidas en  N. Adición. Si se suman dos números naturales el resultado es otro número natural.

Propiedades de la adición. Conmutativa

a + b  =  b + a

 

Asociativa   (a + b) + c  =  a + (b + c) Multiplicación. Si se multiplica dos números naturales el resultado es otro número natural.

Propiedades de la multiplicación. Conmutativa Asociativa

 

 

ab  =  ba

(ab)c  =  a (bc)

Distributiva   a(b + c) =  ab + ac Identidad Subconjunto de los números naturales. Pares

P  =

 Imparess  Impare

I   = =

  

 

a(1) = 1(a)

 

2, 4, 6, .. ..., ., 12,...

1, 3, 5,..,15,...

Conjunto de los números enteros  Z .



Se denotan Z   = ..., −12, .. ..., ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .. ..., ., 12,...

Operaciones definidas en  Z . Adición.

Los enteros positivos se escriben, con frecuencia, sin el signo  “ + ” . Si se suma dos números enteros negati negativos vos el resultado será siempre un número entero negativo. Si se suma dos números enteros positivos el resultado será siempre un número entero positivo.

 

 

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Si se suma dos enteros de signos contrario, el resultado llevará el signo del símbolo de mayor valor absoluto.

Propiedades de la adición.

Conmutativa

a + b  =  b + a

 

Asociativa

 

(a + b) + c  =  a + (b + c)

Elemento neutro

a + 0 = 0 + a  =  a

 

Inverso aditivo

a + ( a) = 0

−

 

Cuando se efectúa sumas algebraicas de números enteros, se suman separadamente los enteros positivos y los negativos, negati vos, luego se procede a efectuar la operación final.

Multiplicación: El producto de dos números enteros da otro número entero. Si se multiplica dos números positivos el producto es positivo. (+)(+) = +

Si se multiplica dos números negativos, el producto será positivo. ( )( ) = +

− −

Si se multiplica un número negativo por otro positivo, el producto será negativo.

−

( )(+) =

−

Si se multiplica un número positivo por otro negativo, el producto será negativo.

− −

(+)( ) =

Propiedades de la multiplicación.

Conmutativa Asociativa

a.b  =  b.a

 

 

Elemento Neutro

(a.b).c  =  a. (b.c) a,1 = 1.a

 

Distributiva   a.(b + c) =  a.b + b.c Subconjunto de los números enteros.

 − −  

Z+

= 0, 1, 2, 3, ..., ..., 12,...

Z−  = ..., Z



0  =

12, ..., ...,

...,

 

 − − − 3,

2,

1

Enteros positiv positivos os   Enteros negativos

−12, .....,., −3, −3, −1, 1, 2, 3, .....,., 12,...



  Enteros sin el cero

 

6

Conjunto de los números racionales. Los números racionales son aquellos que se representan como el cociente de dos números, en donde el numerador pertenece a los enteros y el denominador pertenece a los enteros sin el cero. Se denotan Q  =



a (irreducible) :  a b



∈ Z ∧ b ∈ Z − {0}

Todo número racional se puede escribir de la forma decimal finito, 1   = 0, 3333... 3

 1   = 0, 5  o decimal infinito periódico, 2

 

Operaciones definidas en  Q. a  c  a + c    ;  +  = b b b con   b = 0, a  c  a c    =  ; b b b con   b = 0,   ac

 

Adición

 

Sustracción

−

 −





Multiplicación

a   c   ad + cb  +  = bd d b d =0 a   c   ad cb  = b d bd d =0   ac

  − 

−

 =

bd

bd d=0   a   c   a d   ad  =  = b b bc dc con   b = 0, d = 0 ,   c = 0

= 0, con   b 

División



 ÷







Propiedades.  

Conmutativa

a c  c a  = bd db con   b = 0, d = 0 a c e  a c e  = b d f  b d f 

    

Asociativa

Elemento Neutro

= 0, con   b 

d = 0,

a b

1



  

f  = 0

a b

            1  =

con   b = 0

 

Distributiva

a c  e  =  + f  b d

ae ac + b f  bd

= 0,   d =  0, con   b 

  

f  = 0

Subconjunto de los racionales.

  ∈ ∈    ∈ ∈  ∈ −{ }∧ ∈ − { }   ∈

Q+ =

a b

Q  :  ab

Z +

  Racionales positiv positivos os

Q−  =

a b

Q  :  ab

Z −

  Racionales Racional es negativos

Q

0 =

a b

Q  :  a

Z

0

b

Z

− {0}



  Racionales sin cero

 

 

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Conjunto de los números irracionales. Son todos aquellos números que no se pueden expresar como un fracción. Su representación decimal es no periódica. Se utiliza el símbolo  I  para representarlo.

√ 2 = 1, 4142135623730950488016887242097 ... π  = 3, 1415926535897932384626433832795 ...

√ 3 = 1, 7320508075688772935274463415059 ... Conjunto de los números reales. El sistema de números reales consiste en la unión de los números racionales e irracionales. Por tanto, cualquier número real puede ser racional o irracional. Se utiliza el símbolo  R  para representarlo.

Símbolos de agrupación. Para indicar el orden de algunas operaciones se usan los símbolos:



  paréntesis,





  corchete,

  llaves.

Para eliminarlos, se emplea el mismo procedimiento que para los números, es decir, cuando un símbolo de agrupación esté afectado por el signo  “ + ”, se puede eliminar sin que se altere nada de lo que está en su interior. Cuando el símbolo de agrupación esté afectado por el signo  “ − ”, para eliminarlo se cambian los signos

“ + ”  o  “

− ” que están en su interior por “ − ” o “ + ”  respectivamente.

EJERCICIOS Ordene los elementos de los conjuntos A, B , C  en el mismo orden de sus correspondientes puntos a la izquierda o a la derecha de la recta de números reales: A  = B  =

C   =

−  

 2 2,   3,   21,   5, 7, , 3

11 π  , π 3

√ 3

− √  √  ,  − 8, − 2,   3, −

1 ,   2π, π, 3

− 32 , − 4,46, −

√  − − −

 − −    −    −

 3 5 7 5, 10,   0, , , 1,   2.5 , , 4 3 4  21 3 ,   1,26, 3.2 3,   4,   , 2 4

−

√  3

7,

  25   3   , ,   0,26, 3 2

4,43

 

8 Efectue las siguientes operaciones:

  1  1 1. 3  + 12   2 2. 5

3.

 −

 1 14

   −  − 1 8

  3  2  + 20 5

 9 5

 −  403

−   −   −  −  −      −  − −      −  −  −      −  −  − −      −  − −   −   −   −    −   −   −  −  −   1 15

  2  1  +  + 4. 3 30

2 9

5.   1 2

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

  2 3

1 2

 9 2 4 3

  1 10

 1 3

3 5

 4 9

 1  1 + 15 3

4 9

 3 18

 1  188 2 2  + 5 5 3

2 3

1 2

1  3  + 8 4

5 4

 9 2 2 3

4 5

  1  + 7

 1 9

1  3  + 8 4

2  1  155  + 9 2

  5 2

 2 3

 2 9

 1 3

 2 5

 4  9  + 7 8

 3 18

 − 25 −  34

3  7 2  + 4 2 3

 4 30

 7  1  + 3 2

 2 7

+

 1 9

    

−  37  +  17 −  25



 

 

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  2 13. 7

      −  −  −  − −  9 2 2 3

5 4

 1  7  1 +  + 6 3 2

 3 18

4 5

−

9

 3 4

   

14.   45  +  32 25  + 34 −   61 +  17 +  57 −  32 En las siguientes expresiones, eliminar los signos de agrupación y reducir los términos semejantes.

          − − − − − − − − −−  −− −   − −   −         − − −  − − −  − − − − −  −  − −  − −   − −  − −  − −          −   − −  − −   − − −   −  −  −   −  −  −

1.   3a − 5b + 2c + 2a + 3b − 4c 2.

3.

4.

5.

6.

7.

10x

5y

4x + 12x

7x + 2y

10

3x + 9x

5c

7b

m

6m

3x 4

 5 8

a

2

 3 b 2

3y

11a

n + 9m

4x + 5y + 6x

3y

30n

4x + 5y + 6x

+ 2c

3b + 4c

3x  5  + 16 8

5a  7 b  + 2 2

 9 c 2

6a

+ 2˜n

4˜n

 3 x 8

3y

 5 x  +1 8

 c

2

+a

4x

3y

7b + 2 a

5b

7n

9m

 x

2

b+c

4x

 +

 7 24

+ 17n

a

2˜n

b

c

m

n

˜ n

 

10

Máximo o mayor común divisor

 

Máximo común divisor (MCD)

Mínimo o menor común múltiplo

 

Mínimo común múltiplo (mcm)

Potenciación

 

Propiedades de potencia

Radicación

 

Propiedades de radicales

Máximo o mayor común divisor (MCD). Para determinar el número común más grande que divide a dos o más números, se debe hallar los divisores de cada uno de ellos y luego intersectar ( que estén en todos) los divisores de todos los números,  el mayor  es el

MCD. D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 D(12)

∩ D(18) = 1, 2, 3, 6

M C D (12, 18) = 6

Otra forma de obtener el MCD es descomponer los números en factores primos, para luego realizar el producto de los factores comunes con su menor exponente. MCD (16,36) 16 2 8

2

4

2

2

2

16 = 24

1

36 2 18 2 9

3

3

3

36 = 22 32

1 M C D (16, 36) = 22 = 4

 

 

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11

Mínimo o menor común múltiplo (mcm) Para determinar el número común más grande que sea múltiplo de dos o más números, se debe hallar los múltiplos de cada uno de ellos y luego intersectarlos . 3N   = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... 6N   = 0, 6, 9, 12, 18, 24,... 3N 

 ∩  ∩ 6N   = 0, 6, 12, 18, 24,...

mcm(3,6) = 6

Otra forma para obtener el mcm es descomponer los números en factores primos, para luego efectuar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Obtener el mcm (16,36) 16 2 8

2

4 2

2 2

16 = 24

1

36 2 18 2 9

3

3

3

36 = 22 32

1 mcm(16, 36) = 24 32 = 144

EJERCICIOS Calcular el MCD y mcm de los siguentes números 1.   15, 30, 45, 60

5.   50, 80, 120, 300

2.   25, 50, 75, 100

6.   45, 75, 95

3.   90, 150, 300

7.   120, 192, 1764

4.   150, 250, 720

8.   2250, 625, 12500

 

12

Potenciación. Definición. La potenciación potenciación repres representa enta un producto en el cual la base se multi multiplica plica por sí mism mismaa las veces que indic indicaa el exponente. an , a es la base,   n es el exponente e indica las veces que se repite la base como factor. P   =

  ∈ a, n

Propiedades.

Z

− {0} ×

Z+

:  a

∈ Z − {0} como base y n ∈

an

1

n

m

a n m

a a



 

=  a n.m

  =  a −n =  a

n+m



a n b

= 1 con  a = 0



como exponente



a1 =  a

an =   a.a.a.a.a... a0

Z+

 

1

a− n

an

m

a

  =  a n

  =  a n−m

   a.b.c

n

=   abn

n

=  a n bn cn

Radicales.

√ 

El símbolo radical se expresa   n a   en donde

Definición. Sea n  un número entero positiv positivoo mayor a  1, y  a  un número real.

√  √  2. Si  a > 0, entonces a  es un número real positivo  b, tal que b 1.   a  = 0, entonces   n a   = 0   n

n

=  a

√ 

3.   a) Si  a