Guía de Geometria Descriptiva

EDICIÓN 2010

Geometría Descriptiva Guía de Curso ING. MIGUEL BARREDA DE LA CRUZ ING. EDMUNDO OCOLA TICONA ING. GUSTAVO CHAVEZ ORTEGA ING. JUAN JOSÉ MILÓN GUZMÁN Universidad Católica San Pablo Facultad de Ingeniería Industrial

.

Derecho de autor © 2004 por Universidad Católica San Pablo Publicado por Universidad Católica San Pablo, Arequipa, Perú Todos los Derechos Reservados Prohibida la reproducción parcial o total sin autorización de la Universidad y del Autor Ficha Catalográfica: Milón G., Juan J., 1971Geometría Descriptiva, Guía de curso / Juan J. Milón G. p. cm. Incluye Referencias Bibliográfica y Contenido. 1. Geometría. 2. Dibujo. 3. Ingeniería. I. Titulo. II. UCSP. 2004. Este libro ha sido escrito en fuente AvantGarde Bk BT Impreso en Perú por la Universidad Católica San Pablo 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

PRESENTACIÓN

Se entiende por geometría descriptiva a la parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano (dos dimensiones) y representar en él las figuras de sólidos (tres dimensiones). El estudio de éste curso es de formación básica para el estudiante de ingenierías. La metodología optada para conseguir que el alumno tenga un correcto aprendizaje, envuelve cursos de larga duración, esto se debe a la amplitud de los temas y al desarrollo de procedimientos realizados en salón clase. Una propuesta para conseguir que el alumno consolide sus conocimientos de una manera práctica y en un período de tiempo razonable, es con el uso de la presente GUÍA DE CURSO PARA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. Se coloca en éste texto los conceptos básicos de geometría descriptiva complementados con diferentes trabajos para ser desarrollados por los alumnos. Estos se clasifican en dos tipos: trabajos para salón de clase, que envuelven ejercicios dónde podrán ser asesorados directamente por el profesor y, los trabajos para casa, que son ejercicios para ser entregados en la próxima sesión; ambos con calificación. Se debe entender que la presente guía no substituye de manera alguna a los textos expuestos en las referencias bibliográficas, simplemente representa los apuntes que el alumno debería hacer durante clases, empleando este tiempo para desarrollar ejercicios y de esta manera, afianzar sus conocimientos del curso.

Ing. Juan José Milón Guzmán, Ph.D.*

*

Pre-grado en Ingeniería Mecánica Eléctrica, Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa. Maestría en Ingeniería Mecánica, Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Doctorado en Ingeniería Mecánica. Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Actual profesor de la Universidad Católica San Pablo.

Contenido

PRESENTACIÓN

3

1 INTRODUCCIÓN

7

1.1. Algunas consideraciones

7

1.2. Conceptos previos

10

1.3. Notas finales

10

2 PERSPECTIVAS, PROYECCIONES Y EL PUNTO

11

2.1. Perspectiva Isométrica

11

2.2. Proyecciones

11

2.3. Tipos de proyección

12

2.4. Normalización para el curso y depurado

15

2.5. Análisis de visibilidad en las proyecciones ortogonales

20

2.6. Planos auxiliares

24

2.7. El punto

37

3 LA RECTA

40

3.1. Proyecciones especiales

40

3.2. Posiciones particulares de una recta

44

3.3. Posiciones relativas entre rectas

48

4 EL PLANO 4.1.

61

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

1 INTRODUCCIÓN

Geometría Descriptiva es la ciencia del trazado geométrico que nos permite resolver y desarrollar las relaciones de una estructura tridimensional. Hace uso de la proyección ortogonal sobre planos de proyección mutuamente perpendiculares que luego son abatidos sobre una superficie perpendicular. Se considera a Gaspard Monge1, como el “Padre de la Geometría Descriptiva”.

1.1. Algunas consideraciones 1.1.1. Materiales de Dibujo • Escuadras de 45 x 45 º y 30 x 60 º • Compás • Escalímetro • Lápiz o Portaminas • Borrador

1.1.2. Precauciones Higiénicas • Al mover las escuadras no tocar el papel • Tener todo en orden y

lavarse las manos constantemente

• Evitar exceso de sudoración • Evitar tocarse el cabello • No tocar las líneas dibujadas • limpiar los instrumentos al finalizar el dibujo

1

(1746-1818), matemático francés, considerado el inventor de la geometría descriptiva. Nació en Beaune y estudió

en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Su teoría general de la curvatura de las superficies geométricas estableció la base de gran parte del posterior trabajo del matemático alemán Carl Friedrich Gauss en este terreno.

Página 7 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

1.1.3. Formatos de papel Dentro de la estandarización en el uso de papel, nos acogeremos a la norma europea de base AC – IM (0,840 x 1,188 – 1,00 m) descritos en la Fig. 1 y Tabla 1.

1 1 8 8 ,0

A4 A3 8 4 0 ,0

A4 A1

A2

Figura 1. Formato de papel.

Tabla 1. Formato de papel, dimensiones formato A0 A1 A2 A3 A4 A5

dimensiones (mm) 840 x 1188 594 x 840 594 x 420 297 x 420 297 x 210 148 x 210

Página 8 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

1.1.4. El sistema Internacional Presentamos una breve descripción del Sistema Internacional de Unidades, éste sistema debe ser utilizado y respetado en planos y esquemas.

Tabla 2. Unidades SI base Magnitud

unidad

símbol o

Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura

metro kilogramo segundo amperio kelvin

m kg s A K

termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

mol candela

mol cd

Tabla 3. Ejemplos de unidades SI derivadas, expresadas a partir de las unidades de base Unidad SI Magnitud superficie volumen velocidad aceleración masa específica volumen específico

Nombre metro metro metro metro

cuadrado cúbico por segundo por segundo al

cuadrado kilogramo por metro cúbico metro cúbico por kilogramo

Sí mbolo m2 m3 m/s m/s2 kg/m3 m3/kg

1.1.5.Letras y números Las normas exigen legibilidad, homogeneidad y aptitud para reproducción (fotocopiado, etc.). Las letras pueden ser verticales o inclinadas (75º a la derecha). Para letras verticales, las proporciones están dadas según la Fig. 2.

Página 9 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

y Figura 2. Letras y números.

1.2. Conceptos previos El Plano, o plano geométrico, es bidimensional, ilimitado, transparente y sin espesor. La Línea limita una porción de plano, no tiene espesor. El Punto limita una porción de línea, no tiene ninguna dimensión. Para efectos académicos estas figuras geométricas serán dibujadas con espesor (plano y línea) y con dimensiones (punto). Un punto que se mueve genera una línea. Una línea que se mueve genera un plano. Un plano (o superficie) que se mueve genera un volumen.

1.3. Notas finales Las recomendaciones al respecto del uso de papel, de letras, etc., son referidas en forma general. Los conceptos completos deben ser realizados en un curso de dibujo previo al presente.

Página 10 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

2 PERSPECTIVAS, PROYECCIONES Y EL PUNTO

2.1. Perspectiva Isométrica La perspectiva isométrica nos da una visión muy próxima de la real

y es

ampliamente usada para la representación de objetos. Sus ejes están inclinados en 120º unos con otros, por ese motivo las escuadras son de gran ayuda para la realización de esta perspectiva (Fig. 3).

Figura 3. Perspectiva isométrica.

2.2. Proyecciones Proyectar es objetivizar lo que nuestro sentido de la vista capta de las formas y dimensiones de los objetos en un plano. Referente a la Fig. 4: El plano de proyección es una superficie sin espesor, transparente, ilimitado, bidimensional donde se fija o proyecta la imagen de un objeto. La proyección es una figura que resulta de proyectar los puntos que se observa del objeto en dirección del plano de proyección. Una recta visual es la línea por donde transita la mirada del observador hasta encontrar el objeto. Una recta proyectante es la línea por donde se fija el objeto en el plano de proyección. El foco de proyección o punto de proyección, es el lugar desde donde se realiza la proyección. La variación en la posición del foco de proyección y del objeto proyectado, definen los diferente tipos de proyección.

Página 11 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

im a g e n p ro y e c t a d a O b je t o Fo c o d e p ro y e c c ió n Figura 4. Proyección de un objeto.

2.3. Tipos de proyección 2.3.1. Proyección Cónica Las rectas visuales parten de un punto (Fig. 4).

2.3.2. Proyección cilíndrica El foco de proyección se supone en el infinito, los rayos proyectantes son paralelos entre si. Tenemos proyección cilíndrica ortogonal y oblicua (Fig. 5).

a. Proyección ortogonal Las rectas visuales inciden el plano de proyección con un ángulo igual a 90º (Fig. 5a). Este método de proyección es el utilizado en el presente curso.

b. Proyección oblicua Las rectas visuales inciden el plano de proyección con un ángulo diferente de 90º (Fig. 5b).

Página 12 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

(a) (b) Figura 5. Tipos de proyección cilíndrica, ortogonal (a) y oblicua (b)

Para proyectar objetos de tres dimensiones, se utiliza la proyección ortogonal por el método del tercer diedro (norma americana) o del primer diedro (europea). Normalmente se presentan proyecciones según el sistema americano el cual será utilizado en el presente curso. Ambos métodos son descritos a continuación.

2.3.3.Proyección de objetos (método del tercer diedro) El objeto se localiza atrás del plano de diseño. Se define tres proyecciones del objeto: vista horizontal (o superior), vista frontal y vista de perfil (lateral derecha). Este método es mostrado en la Fig. 6.

2.3.4. Proyección de objetos (método del primer diedro) El objeto se localiza en frente del plano de diseño. A diferencia del método del tercer diedro, la vista de perfil es la vista lateral izquierda (Fig. 7).

Página 13 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

V IS TA H O R IZ O N TA L

V IS TA H O R IZ O N TA L

V IS TA F R O N TA L

V IS TA D E P E R F IL

V IS TA D E P E R F IL V IS TA F R O N TA L

Figura 6.

Proyección de objetos (método del tercer diedro)

Página 14 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

V IS TA H O R IZ O N TA L

V IS TA H O R IZ O N TA L V IS TA D E P E R F IL

V IS TA F R O N TA L

V IS TA D E P E R F IL

V IS TA F R O N TA L

Figura 7. Proyección con el método del primer diedro

2.4. Normalización para el curso y depurado Para efectos didácticos, utilizaremos el sistema de proyecciones del tercer diedro, el depurado de este sistema es mostrado en la Fig. 8. Es importante resaltar

Página 15 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

que a partir de ahora la vista horizontal frontal y perfil serán llamados plano H, plano F y plano P, respectivamente. Los planos H, F, P; definen relaciones entre ellos: Planos adyacente son planos contiguos, por ejemplo P es adyacente de F. Planos anexos son planos que no son contiguos, por ejemplo P es anexo a H o viceversa. Línea de pliegue es aquella línea ligeramente más gruesa y que separa dos planos adyacentes en el depurado.

H

H F

F

P

F P Figura 8. Depurado en el sistema de proyección.

Adelantando un poco el curso, en el proceso de realizar las proyecciones de un objeto, las aristas visibles se dibujan con líneas continuas y las aristas no visibles se dibujan con líneas discontinuas como se muestra en la Fig. 9.

H F

F P

Figura 9. Aristas visibles y no visibles.

Problema 1. Trabajo para salón de clase. Dibujar el sólido en perspectiva Isométrica (Fig. 10). Optar el sistema del tercer diedro. Escala 1:1.

Página 16 de 108

Guía para el curso de Geometría Descriptiva. Facultad de Ingeniería Industrial. Universidad Católica San Pablo.

H F

F P

Figura 10. Problema 1.

Página 17 de 108

Figura 11. Solución al problema 1, sin escala.

Problema 2. Trabajo para salón de clase. Determinar las vistas del sólido mostrado en la Fig. 12. Optar el sistema del tercer diedro. Escala 1:1.

H F

F P Figura 12. Problema 2

H F

F P

Figura 13. Solución del problema 2, sin escala.

Problema 3. Trabajo para casa: dibujar el sólido en perspectiva isométrica. (Fig. 14). Escala 1-1

H F

F P

Figura 14. Problema 3.

2.5. Análisis de visibilidad en las proyecciones ortogonales En el tema anterior, se analizaba visibilidad en base al sólido mostrado. En la mayoría de problemas, no se tendrá a disposición una perspectiva tridimensional del problema, es entonces necesario realizar un análisis de visibilidad basándonos simplemente en las proyecciones ortogonales. Como ya se mencionó, en las proyecciones ortogonales, las aristas visibles se trazan con líneas continuas y las ocultas con líneas discontinuas, éstas podrían determinar diferentes disposiciones del sólido (Fig. 15).

Figura 15. Visibilidad de las proyecciones.

2.5.1. Reglas fundamentales • Es visible el contorno de toda proyección, en cualquier plano de proyección. • En general, en las proyecciones de un objeto: En la vista horizontal son visibles los puntos que están arriba e

o

invisibles los que se encuentran abajo. En la vista frontal son visibles los puntos que están adelante e

o

invisibles los que están detrás. En la vista perfil son visibles los puntos que están a la derecha e

o

invisibles los que están a la izquierda. • Es visible la arista o vértice más cercano al observador, que aparece en cualquier vista adyacente como el más cercano que aparece en la línea de pliegue común. • Es visible el vértice o arista más lejana del observador si se encuentra dentro del contorno de la proyección. •

Si el vértice de un poliedro convexo se encuentra dentro del contorno de una proyección, todas las aristas que terminan en él tendrán la misma visibilidad.

Problema 4. Trabajo para salón de clase. Determinar la visibilidad del objeto de la Fig. 16, escala 1:1

BH

E

C

EH

B

A

A

C

H

FH

H

D

D

H

EF

F

EP C

F A

C

F

BF F

D

FF BH

H

D

F

P

A

P

FP

F

P

P

BP

Figura 16. Problema 4.

BH C

EH AH

FH

H

D

H

H

EF

F

EP C

BF

AF

D

C

F

D

F

P

P

BP

AP FP

FF

F

P

Figura 17. Solución al problema 4.

Problema 5. Trabajo para salón de clase. Determinar la visibilidad del objeto de la Fig. 18, escala 1:1.

BH

VH

AH

H F

D AF

BF

D

VF Figura 18. Problema 5.

F

C

H

C

F

H

En la Fig. 19 es visible la arista D más cercano al observador y sus respectivas aristas en F son visibles en el plano F, el vértice V es invisible en el plano H por estar más lejano al observador. BH

VH

AH

H F

D AF

BF

D

F

C

H

C

F

H

VF Figura 19. Solución problema 5, sin escala.

Problema 6. Trabajo para salón de clase. Determinar la visibilidad del objeto en la Fig. 20, escala 1:1.

BH

C

AH

H

D H F

AF

D

BF Figura 20. Problema 6.

H

C

F

F

Para hallar la visibilidad de dos aristas que se cruzan en un plano de proyección, trazamos una línea de referencia desde el punto de cruce, hasta encontrar las proyecciones de las dos rectas en el plano adyacente. La primera recta que encuentre dicha línea será visible en el punto de cruce del primer plano. En la Fig. 21, observamos en el plano H los puntos 1 y 2, trazamos una línea de referencia en el plano H, la primera recta que encontramos es AC (llamamos 1), luego BD (denominamos 2). La primera recta que encontramos es visible en el plano F. Lo mismo sucede con el punto 3-4.

BH

2 AH

3 -4

C

H

1 D

H F

AF

H

D

F

3 1 -2 BF

4 C

F

Figura 21. Solución al problema 6, sin escala.

2.6. Planos auxiliares Son nuevas proyecciones requeridas de un objeto (recta, plano, cuerpo geométrico, etc.). La determinación de la proyección de un plano auxiliar depende del requerimiento del problema.

2.6.1. Plano auxiliar de la vista horizontal Son aquellos planos auxiliares que guardan una relación de perpendicularidad con el plano horizontal. Estos planos muestran la verdadera magnitud de la altura del objeto (Fig. 22). "Si vamos a determinar una vista auxiliar al plano H, las medidas salen de un plano adyacente él (de F por ejemplo).

AH

F

AH

F

A

H 1

A

AP

A1 A

A

F

F

F

Figura 22. Plano auxiliar al plano horizontal.

Para determinar un plano auxiliar al plano H, se necesita las vistas H y F. Luego se traza la posición del plano auxiliar (H-1). Posteriormente se dibujan las líneas de referencia perpendiculares a la línea de pliegue H-1 a partir de los vértices del objeto en el plano H. Se toman las distancias de cota del plano F. Las líneas generadas en el plano auxiliar tienen visibilidad según análisis respectivo. Problema 7. Trabajo para salón de clase. Determinar la vista auxiliar H-1 (Fig. 23), escala 1:1.

V

B

A D

H 1

C BH

AH VH D

C

H

H

3 4 .0

VF 8 .0

H F

AF D

F

BF C

F

Figura 23. Problema 7.

V

B

A D

H 1

34.

0

A

B1

8 .0

C BH

AH

V

D

1

D

C

H

1

C

VH

H F

1

1

H

8 .0

3 4 .0

VF

AF D

BF C

F

F

Figura 24. Solución al problema 7, sin escala.

2.6.2. Plano auxiliar de la vista frontal Son aquellos planos auxiliares que guardan una relación de perpendicularidad con el plano frontal. Estos planos muestran la verdadera magnitud de la profundidad o el alejamiento de las proyecciones del objeto. Para determinar un plano auxiliar al plano F, se necesita las vistas H y F (Fig. 25). Luego se traza la posición del plano auxiliar (F-1). Se dibujan las líneas de referencia perpendicular a la línea de pliegue F-1 a partir de los vértices del objeto en el plano F. Se toman las distancias de cota del plano H. Las líneas generadas en el plano auxiliar tienen visibilidad según análisis respectivo. Si vamos a determinar una vista auxiliar al plano F, las medidas salen de un plano adyacente él (H o P, por ejemplo). A

AH

H

A1 F

F

A

A

AP AF

A

F 1

F

F

Figura 25. Plano auxiliar al plano frontal.

Problema 8. Trabajo para salón de clase. Determinar el plano auxiliar F-1(Fig. 26). Escala 1:1

V

AH

BH D

C F 1

8 ,0

2 0 ,0

3 2 ,0

VH

H F

D

C

H

H

VF

AF D

F

Figura 26. Problema 8.

B

A

BF C

F

V

AH

D

C F 1

8 .0

3 2 .0 2 0 .0

VH

H F

D

C

H

2 0 .0

H

VF

BF C

F

V1

A

D

1

C

AF D

B

A

BH

1

B1 1

8 .0 3 2 .0

F

Figura 27. Solución al problema 8, sin escala.

2.6.3. Plano auxiliar de la vista de perfil Son aquellos planos auxiliares que guardan una relación de perpendicularidad con el plano de perfil. Estos planos muestran la verdadera magnitud del apartamiento de las proyecciones del objeto. Para determinar un plano auxiliar al plano P, se necesita las vistas F y P. (Fig. 28), Luego se traza la posición del plano auxiliar (P-1). Se trazan las líneas de referencia perpendicular a la línea de pliegue P-1 a partir de los puntos del objeto en el plano P. Se toman las distancias de cota del plano F Las líneas generadas en el plano auxiliar tienen visibilidad según análisis respectivo.

AH 1

F

P

F

A

AP

A1 A

AF

AP

AF F Figura 28. Plano auxiliar al plano de perfil.

F

Problema 9. Trabajo para salón de clase. Determinar el plano P-1 (Fig. 29).

V

B

A D

P 1

C

VF

AF D

F

VP

BF C

C PD

F

F Figura 29. Problema 9.

P

P

BPA P

En la Fig. 30, observamos el desarrollo del problema 9. Luego de llevar los puntos importantes (A, B, C, D, y V), se trasladan las medidas del plano adyacente (plano H). Una vez determinada la vista auxiliar, se analiza la visibilidad de los vértices y las caras.

V

AH

D

C F 1

8 .0

3 2 .0 2 0 .0

VH

H F

D

C

H

D C

F

BF C

V1

2 0 .0

H

VF

AF D

B

A

BH

F

A 1

1

B1 1

8 .0 3 2 .0

Figura 30. Solución al problema 9, sin escala.

2.6.4. Vistas auxiliares sucesivas y planos complementarios Si el plano auxiliar no resuelve el problema de proyectar el objeto en la posición requerida, se puede hacer uso de más planos auxiliares. Para hallar la nueva proyección, siempre las medidas deben ser obtenidas de los planos adyacentes. La determinación de la localización de la vista auxiliar y el número de estas, esta en función del criterio del proyectista (necesidad de aclaración, detalles difíciles, etc.)

Problema 10. Trabajo para salón de clase. Determinar los planos auxiliares -1 y 1-2 (Fig. 31).

B

A C

D E

F

H 1

1 2

G

H

A E H F

B F

D H

C G

D A

C B

H E Figura 31. Problema 10.

G F

Al igual que el problema anterior, para el plano 2 (por ejemplo), son tomadas las medidas del plano H con la línea de pliegue H-1. Para cada vista auxiliar solicitada, es necesario realizar el análisis de visibilidad.

B

A C

D E

F

38.

H 1

G

H

43.

A E D H D A

E H F

A

5

B F

1 2

E

F

G

D

4 3 .5

G

B C

A

B

C G C B

H

C

D

3 8 .0

H F

0

H E

G F

Figura 32. Solución al problema 10, sin escala.

Problema 11. Trabajo para casa: Las letras de la Fig. 33 son sólidos geométricos. Hallar los planos auxiliares pedidos. Sugerencia: Analizar el problema sin numerar los vértices para evitar confusión en la nomenclatura. Analizar los puntos por hileras (horizontales, etc.).

2

1 H

1

H F

Figura 33. Problema 11.

Problema 12. Trabajo para casa, determinar los planos auxiliares H-1, 1-2, y 2-3.(Fig. 34).

B

A

1 2

C E

F

H 1

G

H A E

B F

D H

C G

D A

C B

H F 3

H E Figura 34. Problema 12.

G F

2

2.7. El punto

Ahora estudiaremos el punto como una representación geométrica visible (pequeña esfera o una cruz). El punto A (Fig. 35), en los planos H, F, P, se proyecta ortogonalmente, luego, AH, AF, AP, son las proyecciones de A en dichos planos. La distancia desde el punto objeto a sus proyecciones en los planos H, F, P, respectivamente se denomina cota, alejamiento y apartamiento, respectivamente.

C o ta

AH

F

A p a rta m ie n t o

AP

lín e a d e re f e re n c ia

AF

F Figura 35. Proyección de un punto

2.7.1. Depurado y Abatimiento de planos de proyección El depurado consiste en girar 90º los planos H y P, tomando el plano F como fijo, el giro se realiza alrededor de H-F y F-P como muestra la figura 6 (izquierda). Posteriormente se realiza el ABATIMIENTO (Fig. 36 derecha). Este proceso de abatimiento es para simplificación en el análisis de objetos tridimensionales, es decir, llevamos problemas de tres dimensiones al plano bidimensional.

H F P

c o ta

a le ja m ie n to

AH

AH

a p a rta m ie n to

H F

a le ja m ie n to

AF

AP

AF

AP F P

Figura 36. Abatimiento y depurado de un punto.

2.7.2. Posiciones relativas entre puntos, orientación Para determinar la posición de un punto B lo relacionamos con otro punto A, cuya posición la asumimos conocida. Así, el punto B de acuerdo a sus proyecciones en el plano H, se halla más atrás y a la derecha de A. En el plano F, B se halla más arriba y a la derecha (Fig. 37). Referente a la orientación, ésta se define siempre en el plano H, se toma de referencia otro punto, por ejemplo, en la Fig. 36, el punto B se encuentra al Noreste de A con un ángulo de 60º. La nomenclatura usada es siempre nombrar primero al Norte (N) o al Sur (S), luego dar el ángulo que forma éste (N o S) con la recta que une ambos puntos para luego nombrar el otro punto cardinal (E u O), el ángulo establecido debe ser menor a 90º. 60º

a t ra s

B A

a rrib a

BF iz q u ie rd a

AF

BP

O

A

H F

P

AH

E

N

0º

d e re c h a

a d e la n te

F

BH

BH

N6

iz q u ie rd a

AH

E S

BF

BP

d e re c h a

AF

a b a jo

A F P

F

P

Figura 37. Posiciones relativas entre dos puntos. Orientación.

Problema 13. Trabajo para casa. Determinar las posiciones relativas de los puntos A y B, Fig. 38, escala 1:1.

AF BF H F AP BP Figura 38. Problema 13.

3 LA RECTA

Una línea recta queda determinada por dos puntos cualesquiera. La situación de una línea recta queda definida si se conoce su verdadera magnitud, su orientación y el ángulo que hace con respecto al plano H. En la Fig. 39, observamos la recta AB y su respectivo abatimiento

BH B

AH

F A

H F

BF AF

BF AF

BP F P

AP

F Figura 39. Proyección de una recta.

3.1. Proyecciones especiales 3.1.1. Verdadera magnitud de una recta La proyección de una recta está en verdadera magnitud (VM) si la longitud que representa es exactamente la misma que tiene la recta que se proyecta. Para hallar la verdadera magnitud de una recta, se proyecta un plano auxiliar paralelo a una proyección cualquiera.

Problema 14. Determinar la VM de la recta AC (Fig. 40).

C

H

C

F

AH H F AF

Figura 40. Problema 14.

1 6 ,0

3 9 ,5

VM

C

1

A1 2 0 ,0

1 H

C

H

C

F

AH H F

2 0 ,0

1 6 ,0

AF

Figura 41. Solución al problema 14, sin escala.

3.1.2. Vista de punta de una recta Se proyecta un plano perpendicular a un plano donde la recta se muestre como VM. Problema 15. Trabajo para salón de clase. Determinar la recta AC como punta (Fig. 42).

C

H

AH H F C AF

F

Figura 42. Problema 15.

A C2

C

VM

A1

2

1

C

1 H

H

AH H F C

F

AF Figura 43. Solución al problema 15, sin escala.

3.1.3. Pertenencia Si un punto pertenece a una recta, las proyecciones de dicho punto aparecerán en todas las proyecciones de la recta formando parte de la misma. Problema 16. Determinar si los puntos M y N pertenecen a la recta AB (Fig. 44).

N M AH

H

C

H

C

F

H

H F

C

P

N M

P

F

AF

AP F P

Figura 44. Problema 16.

Al observar la solución del problema 15 en la Fig. 45, observamos que el punto M al ser levado al plano P, pertenece a la recta AC. Al analizar el punto N, se observa que la vista en el plano F interfecta a la recta AC, entonces, M y N pertenecen a la recta AC.

N

1 6 ,0

AH

C

H F

C N M

H

H

2 2 ,0

M

H

2 2 ,0

C

F

P

N

F

1 6 ,0

F

AF

M

P

P

AP F P

Figura 45. Solución al problema 16, escala 1:1.

3.1.4. Relación entre segmentos Los segmentos que determina un punto sobre una recta tienen la misma razón (o proporción) en sus proyecciones. En la Fig. 45 podemos comprobar:

AM AH M H AF M F = = CM CH M H C F M F 3.2. Posiciones particulares de una recta Recta horizontal es paralela al plano H, sus cotas son iguales, su proyección horizontal lo muestra en VM y su proyección frontal es paralela a la línea de pliegue HF (Fig. 46). Recta Frontal es paralela es paralela al plano F, sus alejamientos son iguales, su proyección frontal lo muestra en VM y su proyección horizontal es paralela a la línea de pliegue H-F (Fig. 47). Recta de perfil es paralela al plano P, sus apartamientos son iguales, su proyección de perfil lo muestra en VM y su proyección frontal y horizontal se encuentra sobre una misma línea de referencia (Fig. 48).

C

H

VM

A

H

H F C A

F

C

P

C

P

AP

F

F

P

Figura 46. Recta horizontal.

AH

C

H

H C

F

VM

F

AP

AF F

P

Figura 47. Recta frontal.

AH

H

C

H

F

C

F

C

P

VM

AF

AP F

P

Figura 48. Recta de perfil.

Recta vertical es perpendicular al plano H, sus proyecciones en H es un punto y en F paralelo a F-P, se muestra en VM en los planos F y P. Recta normal es perpendicular al plano F. Sus proyecciones en F es un punto y en VM en los planos H y P. Recta perpendicular al plano P es perpendicular al plano P, sus proyecciones en P es un punto y en H y F se muestran paralelos a la línea de pliegue H-F y en verdadera magnitud.

Problema 17. Trabajo para salón de clase. Dibujar una recta vertical de 60 mm, una recta normal de 65 mm y una recta perpendicular al plano de perfil de 64 mm. Escala 1:1, (Fig. 49).

H F

F P

Figura 49. Problema 17.

Problema 18. Trabajo para casa. Dividir el segmento AC de acuerdo a la proporción:

AM 4 = MC 3

(Fig. 50).

C

H

C

F

AH

AF

Figura 50. Problema 18.

Problema 19. Trabajo para casa. Completar las proyecciones de AB, RS y JK sabiendo que: AB es horizontal y esta apoyada en los planos F y P. RS es de perfil y esta apoyada en los planos H y F. JK es frontal y esta apoyada en los planos H y P. La verdadera magnitud de las tres rectas es 5 m. Escala 1:100 (Fig. 51).

J R

H

H

H F A

F

Figura 51. Problema 19.

3.3. Posiciones relativas entre rectas 3.3.1. Rectas que se cortan Si dos rectas se cortan son concurrentes y coplanares y su punto de intersección es correspondiente en todas sus vistas (Fig. 52).

BH C

H

AH D

H

A1

H F

D

AF

D

F

1

B1 C BF Figura 52. Rectas que se cortan.

C

F

F 1

1

3.3.2. Rectas que se cruzan No tienen ningún punto en común. No son coplanares.

a. Visibilidad entre rectas que se cruzan Para determinar la visibilidad entre rectas que se cruzan, trazamos una línea de referencia desde el punto de cruce, hasta encontrar las proyecciones de las dos rectas en el plano adyacente. La primera recta que encuentre dicha línea será visible en el punto de cruce del primer plano. Problema 20. Trabajo para salón de clase. Determinar la visibilidad de las rectas AC y BD. Fig. 53.

BH C

H

AH D

H

H F AF

D

BF

C

F

F

Figura 53. Problema 20.

Convención: entre dos rectas que se cruzan, la que está debajo se entrecortará (Fig. 53). En la Fig. 54, observamos en el plano H los puntos 1 y 2, trazamos una línea de referencia en el plano H, la primera recta que encontramos es AC (llamamos 1), luego

BD (denominamos 2). La primera recta que encontramos es visible en el plano F. Lo mismo sucede con el punto 3-4. BH YH AH

C Q HRH

XH

D

H

H

H F AF

D Q X FY F BF

F

F

RF C

F

Figura 54. Solución al problema 20. Sin escala.

Problema 21. Trabajo para casa. AB JK y RS son ejes de tres tuberías de 300 mm de diámetro, mostrar la visibilidad en los planos H, F y 1. La escala es de 1/100, Fig. 55.

RH

J

H

BH

H

AH

SH

KH

H F

J

F

SF AF RF KF

BF

1

Figura 55. Problema 21.

3.3.3. Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común y son coplanares. Si dos rectas son paralelas, sus proyecciones respectivas en los diversos planos también las mostraran paralelas. Si una de ellas se muestra en VM o de punta, la otra paralela se proyectara recíprocamente de punta o en VM, respectivamente. Para determinar la VM de la distancia entre dos rectas paralelas, se llevan ambas rectas de punta. Problema 22. Trabajo para salón de clase. Determinar la VM de la distancia entre las paralelas AC y MN (Fig. 56).

C M

AH

N

H

H

H

H F M

N F

N F

C

M

F

AF

AP F

Figura 56. Problema 22.

P

P

C

P

P

A C2

2

M 2N

2

C

VM

A1 M 1

V M d e la d is ta n c ia e n tre re c t a s p a ra le la s

VM

N

1

1

C

1 H

M H

AH

N

H

H

F M

H

N F

N F

C

M

F

AF

P

C

P

P

AP F

P

Figura 57. Solución al problema 22, sin escala.

3.3.4. Rectas perpendiculares Si dos rectas al cortarse o cruzarse forman 90º, son perpendiculares, esto se cumple siempre y cuando una de ellas este en VM (Fig. 58). Para verificar esta teoría, debe colocarse una recta como punto y la otra como VM. Si las proyecciones de las rectas son perpendiculares entre si, NO implica que dichas rectas sean perpendiculares.

B

A T

R B P, R P

D D

P

Figura 58. Rectas perpendiculares

A P, TP

Para comprobar si dos rectas son perpendiculares, llevamos una de ellas como punta, en esa vista la otra recta debe mostrarse en VM. Problema 23. Trabajo para salón de clase. Determinar si las rectas AB y CD son perpendiculares, escala 1:1 (Fig. 59).

C

AH

H

D

H F

C

BH

H

BF

F

AF D

F

Figura 59. Problema 23.

2

A2

1 VM

A1 90 º

1

C

H

C

D

F

C

C

B2 B1

H

1

VM

1

H

AH

D

BH

H

BF

F

AF D

F

Figura 60. Solución del problema 23, sin escala.

2

D

2

3.3.5. Orientación de una recta Nos indica la posición respecto al Norte Magnético, la orientación siempre se dará en el plano H, el Norte será en dirección vertical y hacia arriba, el valor angular se indicará tomando de referencia un extremo de la recta, se utiliza un ángulo agudo y siempre refiriéndose primero al N o S. Por convención la primera letra es la referencia, así en la Fig. 61, la recta CA tiene una orientación SφO (C como referencia), o también, la recta AC tiene una orientación de NφE (A esta como referencia). N O O Sφ

AH

C

φ

E H

N

S O

H

H C

F

F

AF

φ

AH

E Ν φ

C

H

C

F

E S

F AF

Figura 61. Rumbo y orientación de una recta

3.3.6. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación que hace ésta con el plano H. Para hallar la pendiente se determina la VM de la recta en un plano adyacente al plano H. La pendiente puede estar en elevación o depresión, dependiendo de la referencia. En la Fig. 62 tenemos que la pendiente de la recta AC es de αº en elevación (A es referencia) y si nos referimos a CA es de αº en depresión.

A1

αº e s ió n depr

1 H

c ió n e le v a

VM

αº

C

1

C

H

C

F

AH H F

AF Figura 62. Pendiente de una recta.

a. Expresión de la pendiente En grados, se expresa directamente con el valor del ángulo (en elevación o depresión), Porcentaje de pendiente, tenemos:

pendiente(%) =

elevación vertical diferencia de cotas = distancia vertical distancia horizontal

Problema 24. Trabajo para salón de clase. Determinar la pendiente (en º y en %) de la recta AC (Fig. 63).

C AH

H

H F

AF

C

C AH

F

H

H F

AF

C

F

Figura 63. Problema 24.

La pendiente de la recta AC es de 11,5º o 20% en elevación, puesto que la cota de C es menor que la de A. Si tomamos en sentido inverso, la pendiente de la recta CA es de 11,5º o 20% en depresión, ya que la cota de A es mayor a la de C.

C

A1

C

A1

1

1

7 /3 5 = 0 .2 0 = 2 0 %

7

1 1 ,5 º

35

C

1 H

AH

C

1 H

H

A

H

H

F

F

A

C

F

F

20 H

100

H

AF

C

F

Figura 64. Solución al problema 24.

Problema 25. Trabajo para salón de clase. Una abeja desciende con un rumbo S 60 E. El recorrido que hace desde A hasta tocar el piso es 10 m (en línea recta). Determinar la pendiente de esa trayectoria. Escala 1:100 (Fig. 65).

AH

H F

AF

c a m p o d e a te rriz a je Figura 65. Problema 25.

ca m p o

1

A1

H

de a te rriz

8 .0 c m

a je

B1 cm

cm

3 .2

7 .3

AH

60 º

BH H F

AF

BF c a m p o d e a t e rriz a je

Figura 66. Solución al problema 24, sin escala.

***EVALUACIÓN***

4 EL PLANO

El concepto de plano esta dado sobre una superficie infinita. Para efectos de estudio la definición de un plano podrá ser cualquier polígono.

4.1. Determinación de un plano Para determinar un plano es necesario tener: tres puntos no colineales, una recta y un punto exterior, dos rectas que se cortan, o dos rectas paralelas (Fig. 67).

D BH

BH AH H F

C

F

H F C

AH C

BF A

BH

AH

H

H F A C

C

H

C

F

C

AH

H

H F A F

F

BF

C

D

F

Figura 67. Determinación de un plano.

4.2. Rectas contenidas en un plano Una recta está contenida en un plano, si pasa por dos puntos que Una recta está contenida en un plano, si

pasa por un punto que pertenece al plano y es paralela a una recta que esta contenida en dicho plano (Fig. 68b).

F

BF

F

F

pertenecen a este plano (Fig. 68a).

H

BH

H

BF AF

D

H

D

F

BH M

BH M

XH

H

YH

N

AH C H F

C A M

YH H

A H F

F

N XF

C

H

C

F

AF

F

YF

N

H

N

F

H

H

F

F

XH

H

M

YF

XF

F

BF

BF

a

b

Figura 68. Rectas contenidas en un plano.

4.3. Rectas notables en un plano Son la recta horizontal frontal y de perfil. Estas condiciones hacen que las rectas notables sean infinitas para un mismo plano. La recta horizontal, frontal y de perfil son aquellas que pertenecen al plano y se muestran en VM en el plano H, F, y P respectivamente (Fig. 69).

BH

A

XH

XH

VM

A

H

H F

A

BH

C

H

BF

A C

H F

C

H

BF A

F

VM

YF

F

a Figura 69. Rectas notables en un plano

XH

YH

H

XF

XF

F

BH

C

H F

BF

F

H

XF

C C

AF C

b

YH

H

F

YF F

c

P

BP P

VM

AP

4.4. Puntos pertenecientes a un plano Un punto pertenece a un plano, si dicho punto pertenece también a cualquier recta que contiene el plano (Fig. 70).

BH XH M A

H

YH H

H F

C

H

C

F

BF XF A

F

M

F

YF

Figura 70. Punto que pertenece a un plano.

4.5. Posiciones particulares de un plano El plano horizontal es un plano paralelo al plano H, se proyecta en VM en H y de canto en el plano F, todos los puntos tienen cotas iguales (Fig. 71a). El plano frontal es un plano paralelo al plano F, se proyecta en VM en F y de canto en el plano H, todos los puntos tienen alejamientos iguales (Fig. 71b). El plano de perfil es un plano paralelo al plano P, se proyecta en VM en P y de canto en el plano F, todos los puntos tienen apartamientos iguales (Fig. 71b). BH

VM

AH

C

H F AF

BF

C

BH

AH H

F

C

H F

BF H

C

BF AF

VM

Figura 71. Plano horizontal, frontal y de perfil..

BP P

VM

F

AF C

a

C

F

P

AP

F

b

c

El plano vertical es un plano perpendicular al plano H, se proyecta de canto en dicha vista (Fig. 72a). El plano normal es un plano perpendicular al plano F, se proyecta de canto en dicha vista (Fig. 72b). El

Plano

ortoperfil

es

un

plano

perpendicular al plano P, se proyecta de canto en dicha vista (Fig. 72c).

BH

C

BH AH H F

C

H

H

AH

BF

AF

C

F

AF

AP

C BF

BF

BP

AF

H F

a

C

F

F

P

F

b

c Figura 72. Plano vertical, normal

y ortoperfil.

4.6. Plano de canto Para hallar la proyección de canto de un plano, es necesario colocar una recta (que pertenezca al plano) en vista de punta. Para colocar la recta (que pertenece al plano) como punta, podemos seguir dos caminos, el primer camino es aprovechar una recta notable que ya se encuentra en VM en una vista principal (H, F, o P), luego trazamos un plano perpendicular a esa recta en VM y obtenemos la recta de punta y en consecuencia el plano de canto. El segundo camino, mas largo, es localizar una recta cualquiera (que pertenezca al plano), llevarla a VM y luego de punta, en esta ultima vista el plano se mostrara de canto.

C

P

Problema 26. Trabajo para salón de clase. Colocar el plano ABC de canto, utilizar una recta notable y una recta cualquiera, escala 1:1, Fig. 73.

BH

AH

C

H F

AH H

BF AF

H F

C

H

C

F

BF AF

C

F

Figura 73. Problema 26.

Para el primer caso, clocamos la recta MN de tal manera que sea una recta horizontal, entonces en el plano H se mostrara en VM y posteriormente hallamos su vista como punta en el plano 1, en esta vista el plano estará de canto (Fig. 74a). Para el segundo caso, localizamos una recta MN en el plano H y en cualquier posición, luego hallamos su VM en el plano 1 y su vista como punta el plano 2, en esta última vista el plano estará de canto (Fig. 74b).

1 2

A 1

M

VM

1

C

1

H

1

H

B1 BH M

VM

H

M N

1

N

H

M

1

H F

H

M A

N H

H F

BF N

A

F

C

2

H

C

H

C

F

BF M

F

F

M 2N

2

2

H

1

A C

B2

C

BH A

H

A

1

1

B1

1

C A

N

F

F

N

F

F

a

b

Figura 74. Solución al problema 26, sin escala.

4.7. Verdadera magnitud de un plano Se proyecta el plano de canto (cualquier método) y luego se traza un plano paralelo a éste hallándose la VM del plano. Problema 27. Trabajo para salón de clase. Colocar el plano ABC en su VM, Fig. 75.

BH

AH H F

C

H

C

F

BF AF

Figura 75. Problema 27.

B2 A2 H

1

H

VM

1

B1 BH M

H

VM

M N

H

1

N

C A1 C

AH H F

2

1

C

H

C

F

1

BF XF AF

N

F

Figura 76. Solución al problema 27, sin escala.

4.8. Orientación de un plano La orientación de un plano se determina por la orientación de una recta horizontal contenida en el plano. Nota: • La orientación de un plano sólo se da en el plano H. • La nomenclatura es la misma que para una recta. • Por convención la primera letra es la referencia.

Problema 28. Trabajo para salón de clase. Determinar la orientación del plano ABC, Fig. 77.

BH

AH H F

C

H

C

F

BF AF

Figura 77. Problema 28.

En la Fig. 78 tenemos que el plano ABC tiene una orientación según MN de NαE. Si hablamos de NM es de S α O.

BH M

H

VM

N

N

N

α H

O

M

H

E H

S N

AH

C

H F

H

N

O

M

BF XF AF

H

H

E

β

S

N

F

C

F

Figura 78. Solución al problema 28, sin escala.

4.9. Pendiente y recta de máxima pendiente de un plano 4.9.1. Pendiente de un plano Es la tangente del ángulo de inclinación que hace una recta horizontal perteneciente al plano. Sabemos que esa pendiente se observa en el plano adyacente al plano H donde aquella recta se muestra en VM. Se puede expresar la pendiente en grados sexagesimales o en porcentaje de pendiente. Este procedimiento ya fue descrito en el ítem 3.3.6.

4.9.2. Recta de máxima pendiente de un plano Es una recta (o cualquiera paralela a ella), que poseen la mayor pendiente entre todas las rectas contenidas en dicho plano. Es aquella recta por donde rodaría una esfera que se dejara libre en el plano. Por convención la recta de máxima pendiente se indica con una flecha que apunte en esa dirección. La recta de máxima pendiente es la pendiente del plano. Para determinar la recta de máxima pendiente de un plano, se proyecta dicho plano de canto en una vista adyacente al plano H. En esta vista se mostrará el ángulo de inclinación respecto a la horizontal o paralela a ella.

Problema 29. Trabajo para salón de clase. Determinar la recta de máxima pendiente (y su orientación) del plano ABC, Fig. 79.

BH

AH H F

C

H

C

F

BF AF

Figura 79. Problema 29.

En la Fig. 80, tenemos que la pendiente máxima es de 28,5º.

Para hallar la

orientación de esa recta, se escogen dos puntos cualesquiera (K y L por ejemplo), escogemos una posición, dentro del plano, a K. para determinar L, sabemos que KL es perpendicular a MN.

H

N

O

1

E

B1 BH

S

M

1 2 .5 º

M

H

VM

KH

N

1

N 1K

H

A1 2 8 ,5 º

AH LH

H F

1

C

H

C

F

L1 C

1

BF XF AF

N

F

Figura 80. Solución al problema 29.

Problema 30. Trabajo para casa. Dadas las proyecciones H y F de un plano ABCD, trazar en ellas un circulo de diámetro 33 mm y centro O. Escala 1:1, (Fig. 81).

BH

AH O

H

C

D

H

D

F

H

H F

AF Figura 81. Problema 30.

C

BF

F

Problema 31. Trabajo para casa. Completar la proyección de las letras grabadas en la plancha metálica ABCD. Además, hallar la verdadera magnitud de la plancha con sus letras. (Fig. 82).

AH

BH

D

H

C

H

D

F

C

F

H F

AF Figura 82. Problema 31.

BF

5 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS

5.1. Paralelismo Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común. Una recta es paralela a un plano cuando la recta es paralela a una recta contenida en el plano. Dos planos son paralelos cuando dos rectas que se cortan o son concurrentes, son paralelas a otras dos que se cortan o son concurrentes en el otro plano. En la Fig. 83, los planos ABC y MNO son paralelos porque AB es paralelo a MN y BX es paralelo a NY

BH

C AH

H

XH N

M

H

H

YH

O

H

Figura 83. Planos paralelos.

5.1.1. Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada Una recta es paralela a un plano cuando la recta es paralela a una recta contenida en el plano

Problema 32. Trabajo para salón de clase. Trazar desde la recta AB un plano paralelo a la recta CD. (Fig. 84).

AH

C

D

H

D

F

H

BH

H F AF

BF

C

F

Figura 84. Problema 32.

Trazar la recta BX paralela a CD, esta puede partir de cualquier punto de la recta AB, de esta manera determinamos el plano ABX cuya recta BX es paralela a CD.

AH

D

H

D

F

XH

C

H

BH

H F

XF

AF

C

BF

F

Figura 85. Solución al problema 32.

5.1.2. Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas Cada recta generada a partir del punto, para generar el plano, debe ser paralela a cada dada recta. Problema 33. Trabajo para salón de clase. Desde el punto X trazar un plano paralelo a las rectas CD y EF, Fig. 86.

D

H

EH

XH C

H

FH

H F EF D XF Figura 86. Problema 33.

C

F

FF F

A

H

D

H

EH

XH C

H

FH

BH

H F AF

EF D XF

C

F

FF F

BF Figura 87. Solución al problema 33, sin escala.

5.1.3. Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado El procedimiento es el mismo que el anterior, solamente que las rectas que se trazan a partir del punto son paralelas a dos rectas contenidas en el otro plano.

5.2. Perpendicularidad Dos rectas (que se cortan o se cruzan) son perpendiculares, si entre ellas hay 90º, ést, siempre y cuando una de ellas se muestre en VM. Una recta es perpendicular a un plano si la recta es perpendicular a dos rectas que se cortan contenidas en dicho plano. Si una recta es perpendicular a un plano, también lo será a todas las rectas contenidas en el plano Un plano es perpendicular a otro plano cuando por lo menos tiene una recta perpendicular al segundo plano, y viceversa.

5.2.1. Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano Para que una recta sea perpendicular a un plano, la recta debe ser perpendicular a dos rectas pertenecientes al plano. Problema 34. Trabajo para salón de clase. Por el punto P trazar una recta perpendicular al plano ABC, Fig. 88.

AH

PH

C

H

C

F

BH

H F

BF

PF

AF

Figura 88. Problema 34.

Trazamos dos rectas notables pertenecientes al plano: CE horizontal y CD vertical, estas se muestran en VM en el plano horizontal y frontal respectivamente. Trazamos la recta PQ perpendicular a la VM de las rectas CE y CD. Q puede quedar en cualquier posición manteniendo la misma dirección.

El

punto

AH

PH VM

EH D

H

Q

C

H

C

F

H

BH

H F

BF

D EF

F

PF

VM

Q

F

AF Figura 89. Solución al problema 34, sin escala.

5.2.2. Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta Para que una recta sea perpendicular a un plano, la recta debe ser perpendicular a dos rectas pertenecientes al plano. Problema 35. Trabajo para salón de clase. A partir del punto P, trazar un plano perpendicular a la recta AC, Fig. 90.

AH

H F

C

H

C

F

PF

AF

Figura 90. Problema 35.

PH

En la Fig. 91 tenemos que, en el plano H, determinamos la recta PR perpendicular a la recta AC, para que sea valida la perpendicularidad, la recta PR debe estar en VM en el plano H; por lo que en el plano F hacemos la recta PR paralela a la línea de pliegue H-F. En el plano F hacemos lo mismo, determinamos la recta PQ perpendicular a la recta AC, para cumplir la perpendicularidad, En el plano H hacemos PQ paralela a la línea de pliegue.

VM

RH

AH

PH

Q C

H F

H

H

PF

RF

AF

F

VM

C

Q

F

Figura 91. Solución al problema 35, sin escala.

5.2.3. Trazar un plano que contenga una recta perpendicular a un plano Para que dos planos sean paralelos, dos rectas (pertenecientes una a cada plano), deben ser perpendiculares entre sí. Para que ésas dos rectas sean perpendiculares, una de ellas debe estar en VM. Como ya debe haber sido percibido, a medida que se va aprendiendo un nuevo método, es necesario recordar los conceptos adquiridos anteriormente.

Problema 36. Trabajo para salón de clase. A partir de la recta PQ trazar un plano perpendicular al plano ABC, Fig. 92.

Q

AH

H

PH C

H

BH

H F

BF Q

F

PF C

F

AF

Figura 92. Problema 36.

Trazamos en el plano H, la recta PR perpendicular a la VM de CE. Igualmente en el plano F trazamos la recta PR perpendicular a la VM de CD. CD y PR pertenecen al plano ABC (Fig. 93).

Q

AH

PH

VM

EH D

H

C

H

H

RH

BH

H F

BF Q D

F

F

PF

VM

EF

C

F

AF RF Figura 93. Solución al problema 33, sin escala.

5.2.4. Por un punto trazar un plano perpendicular a dos planos Para que dos planos sean paralelos, dos rectas (pertenecientes a cada plano), deben ser perpendiculares, para que dos rectas sean perpendiculares, una de ellas debe estar en VM. Problema 37. Desde el punto P, trazar un plano perpendicular a los planos ABC y DEF, Fig. 94.

D

AH

H

PH C

EH

H

BH

H F

FH FF

BF

EF

PF C AF

F

D

F

Figura 94. Problema 37.

Trazamos rectas (PR y QR) perpendiculares a los planos ABC y DEF, respectivamente.

Q

AH

D

H

PH

VM

C

EH VM

H

BH

H F

H

RH

BF

Q

FH FF

F

EF

PF

VM

C

VM F

AF

D

F

RF Figura 95. Solución al problema 37.

Problema 38. Trabajo para casa. Completar las proyecciones del plano PQR, paralelo al plano ABCD. El plano ABCD contiene a la horizontal AB y también contiene a la recta CD que mide 56 mm (Fig. 96).

AH Q

H

PH

BH

H F

C

H

D

H

PF

AF

RH

Figura 96. Problema 38.

Problema 39. Trabajo para casa. Completar la vista frontal del rectángulo ABCD, (Fig. 97).

BH AH

C D

H

H F BF

AF

Figura 97. Problema 39.

** EXÁMEN PARCIAL **

H

6 INTERSECCIONES

6.1. Intersección de una recta con un plano. Método de la vista de canto Colocar al plano de canto, el punto de intersección entre la recta y el plano es llevado a las vistas principales, luego se analiza visibilidad entre la recta y el plano (con sus lados). Problema 40. Trabajo para salón de clase. Determinar la intersección entre el plano ABC y la recta PQ, (Fig. 98).

BH

Q

H

AH PH

H F

BF

Q

C

H

C

F

F

AF PF

Figura 98. Problema 40.

Colocamos el plano ABC de canto (mediante una recta horizontal vista como punto). También llevamos la recta a ése plano auxiliar. Determinamos el punto de intersección y lo llevamos a las vistas principales. Luego analizamos visibilidad entre la recta y los lados del plano

H

BH

1

B1 Q

Q

1

H

A1

VM

P1 C

AH PH

H F

BF

Q

C

H

C

F

1

F

AF PF Figura 99. Solución al problema 40, sin escala.

6.2. Intersección de planos, método de la vista de canto Se halla la vista de canto de uno de los planos, se halla los puntos de intersección de la vista de canto con el otro plano, luego se lleva estas intersecciones con a las vistas principales, posteriormente se analiza visibilidad.

Problema 41. Hallar la intersección entre el plano ABC y el plano MNO, (Fig. 100).

AH M

H

BH

H F

O M

C

C

BF

Figura 100. Problema 41.

H

N

F

H

H

F

AF

N

O

F

F

Ponemos de canto al plano ABC, localizamos los puntos de intersección de ABC con MNO, llevamos estos puntos a las vistas principales, después analizamos visibilidad. El sombreado se realiza con fines didácticos, en los ejercicios a presentar no debe haber ningún detalle estético.

A M

H

H

BH

XH

H F

O M

N

YF C

H

H

H

C

F

F

BF

N

XF

C

F

YH A

F

1

F

1

N

Y1

X1 O

1

M

B1

F

O

1

A1 Figura 101. Solución al problema 41.

1

Problema 42. Trabajo para casa. Hallar la intersección entre los planos mostrados, (Fig. 101).

BH

LH

N

H

C

H

C

F

AH

M D

H

H

H F

N

AF LF

Figura 102. Problema 42.

D

F

F

BF

M

F

Problema 43. Trabajo para casa. Hallar la intersección entre el plano y la recta mostrados, (Fig. 103).

LH BH

AH

D H F

M

H

C

H

C

F

H

LF D

F

AF BF M

Figura 103. Problema 43.

F

7 DISTANCIAS

Se define distancia como la verdadera magnitud (VM) de ésa medida (distancia entre dos figuras geométricas dadas).

7.1. Distancia de un punto a una recta Es la longitud del segmento perpendicular a ésta. Problema 44. Trabajo para salón de clase. Determinar la distancia entre la recta AB y el punto, (Fig.104).

LH BH

AH

H F LF A

F

BF

Figura 104. Problema 44.

Si colocamos la recta AB de punta, la distancia de ella al punto estará en VM

LH BH

AH

H F LF AF

F 1

BF

A

1

1 2

VM L1

B1

VM

A 2 B2

L2 Figura 105. Solución al problema 44.

Problema 45. Trabajo para casa, realizar el mismo ejemplo anterior hallando la VM del plano formado por la recta AB y el punto, Fig. 45.

LH BH

AH

H F LF AF BF Figura 106. Problema 45.

7.2. Menor distancia entre dos rectas Es la longitud de un segmento perpendicular a ambas rectas dadas.

Problema 46. Trabajo para salón de clase. Hallar la menor distancia entre las rectas AB y CD, Fig. 107.

BH

AH C

H

D

H

H F C A

F

D

F

F

BF

Figura 107. Problema 46.

Colocamos la recta AB de punta, la distancia perpendicular entre la recta CD y AB (de punta, es la VM de la menor distancia entre ellas. Como la distancia

perpendicular no se interfecta en el plano 2, se extiende la recta CD hasta que ambas rectas sean perpendiculares.

BH

AH C

H

D

H

H F C

F

D

AF

F

F 1

BF

D A1

C

1

1 2

1

D

VM

2

B1

VM

C

2

A 2 B2

Figura 108. Solución al problema 46.

7.3. Distancia de un punto a un plano Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto al plano.

Problema 47. Trabajo para salón de clase. Determinar la distancia entre el plano ABC y el punto Q. (Fig. 109).

BH PH

AH H F

C

H

C

F

BF AF

PF Figura 109. Problema 47.

Colocamos al plano ABC de canto, trasladamos el punto P a ese plano, luego, trazamos la perpendicular entre P y el plano de canto, ésta distancia se encuentra en VM.

H

1

B1

P1

BH PH

VM A1

VM

C A

H

H F

C

H

C

F

1

BF AF

PF Figura 110. Solución al problema 47.

Problema 48. Trabajo para casa. Las rectas AB y CD que se muestran representan dos tuberías que quieren ser unidas por una tercera. Determinar los puntos en que deberán hacerse las conexiones para hacer la instalación más económica. El costo de la tubería es de 2500,00 US$/m. Determinar también la orientación y pendiente de esta tubería de unión. Escala 1:1000. Fig. 111.

C

H

BH AH D

H

D

F

H F C

F

AF BF Figura 111. Problema 48.

Problema 49. Trabajo para salón de clase. Determinar la menor distancia con pendiente de 30º descendente de CD a AB, Fig. 112.

BH

A

H

H F

A

C

H

C

D

H

D

F

F

F

BF Figura 112. Problema 49.

Se forma el plano CDM que contiene a la recta CD y es paralelo a AB, en el plano 1 se coloca CDM de canto. En el plano 1 se colocan las direcciones según la pendiente solicitada, se escoge aquella que cumple la condición requerida (30º descendente de CD a AB). Perpendicular a esta dirección, se traza el plano 1-2, en el plano 2, la distancia que buscamos se proyecta como punto (X, Y), localizándose en la intersección de AB y CD. Finalmente llevamos X y Y a las vistas principales.

A2 C

2

X2Y2 D

2

B2 M

2 1 H

A1

2

X1

1

B1 C

1

M 30 º

1

Y1

BH M

XH AH

C

VM

H

30 º

YH

H F

C

D H

D

H

F

M YF AF XF Figura 113. Solución al problema 49.

D BF

F

F

1

8. ÁNGULOS

8.1. Angulo entre dos rectas que se cruzan Se define como el ángulo que se forma entre una de las rectas y una paralela a la otra que corta a la primera. Se toma siempre el menor ángulo formado entre las dos rectas. Problema 50. Determinar el ángulo entre las rectas AB y CD, Fig. 114. BH

AH C

H

D

H

H F C

F

AF

D

F

BF

Figura 114. Problema 50.

Colocamos CD en VM y después en punta (plano 2), cualquier vista que se tome a partir de la vista de punta, dará la VM, entonces, en el plano 3 trazamos la paralela a AB, en este plano ambas rectas se mostraran en VM. BH

AH C

H

D

H

H F C

F

D

AF

F

F 1

BF

D A1

C

1

2 3

1 2

1

D

VM

2

D

3

B1

A 2 B2

C

2

C B3

3

A

3

5 2 ,0 º

Figura 115. Solución al Problema 50.

8.2. Ángulo entre una recta y un plano Para observar el ángulo entre un plano y una recta, es necesario mostrar en una vista al plano de canto y a la recta en VM, solamente en esta vista se observara la VM del ángulo formado entre la recta y el plano.

Problema 51. Trabajo para salón de clase. Determinar el ángulo entre el plano ABC y la recta PQ, Fig. 116.

BH PH

Q

AH

C

H F

H

H

BF

Q

F

AF PF

C

F

Figura 116. Problema 51.

Colocamos al plano ABC de canto (vista 1) y luego en VM (vista 2), sabemos que cualquier vista tomada a la VM del plano, lo mostrara de canto, por esto, trazamos el

plano 3 paralelo a la recta PQ, en esta vista, el plano está de canto y la recta en VM, determinando así el ángulo pedido.

A3 Q

B3

3

C

4 6 ,2 º

3

P3

B2

1

A

2

VM

P2

2

Q

2

1

H

B1

P1

C

2

BH PH

VM

Q

Q

1

A1

H

C A

H

C

H F

H

BF A

1

Q

F

F

PF

C

F

Figura 117. Solución al problema 51.

8.3. Ángulo entre dos planos 8.3.1. Ángulo entre dos planos adyacentes

Cuando dos planos son adyacentes, significa que tienen una arista en común. Para hallar el ángulo entre éstos planos, debemos llevar ésta recta de punta.

Problema 52. Trabajo para salón de clase. Determinar el ángulo entre los planos ABC y ABD, Fig. 118.

AH C

H

BH D

H

H F

BF A

F

C D

F

Figura 118. . Problema 52.

F

Los dos planos se cortan en AB. Se debe proyectar AB en VM y luego de punta, en esa vista ambos planos se muestran de canto y por lo tanto se tendrá la VM del ángulo requerido.

D

1

A1

H A

1

C

VM

1

1 2 B1 C

H

C

1 0 4 ,2 º

H

BH D

H

H F

BF A

F

C D

2

F

F

Figura 119. Solución al problema 52.

8.4. Angulo entre dos planos no adyacentes Tenemos que colocar a ambos planos en vista de canto.

A 2B 2

D

2

Problema 53. Trabajo para salón de clase. Determinar el ángulo entre los planos ABC y MNO, Fig. 120.

AH M

H

BH N H F

O M

C

H H

H

C

F

BF

F

N

AF

O

Figura 120. Problema 53.

F

F

En la vista 2, colocamos al plano ABC en VM, cualquier vista adyacente a ésta, mostrará al plano ABC de canto, en la vista 3 colocamos al plano MNO de canto, podemos ahora medir el ángulo entre los dos planos AH M

H

BH

2 3

N H F

O M

C

H H

H

C

F

BF

F

1

C

2

C

F

N

B2 N

O

1

M

M

C 3 B3 N3

3

2

2

1

M O

2

VM

F

N

AF

1

2

VM

7 4 ,6 º

A2

1

O

3

A3

B1

F

O

1

A1

Figura 121. Solución al problema 53, sin escala.

Problema 54. Trabajo para casa. Determinar los ángulos entre las caras ABD-ADC, ABD-BDC, ABC-ABD, ADC-BDC, y ADC-ABC del tetraedro (Fig. 122). Trabajar A-2 en un mismo dibujo.

AH

BH D

H

C

H

H F AF

D

F

BF

C Figura 122. Problema 54.

F