Guia de Geometria Analitica
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Matérias Básicas
Geometria Analítica 3º. Semestre
GUÍA DE APRENDIZAJE
Alma Alicia Benitez Pérez. Ofelia Santiago Escoto. J. Ventura Ángel Felícitos.
Guía de Estudio Geometría Analítica
Objetivo General del Curso. El curso permitirá al alumno introducirse al estudio de los sistemas de coordenadas y los métodos de la Geometría Analítica, favoreciendo el uso e integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría y trigonometría y al mismo tiempo. El desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde un enfoque geométrico analítico y a su vez facilite a futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica. Justificación. El desarrollo del programa de Geometría Analítica se centra fundamentalmente en el planteamiento y solución de problemas, que promoverán las habilidades del pensamiento tales como: análisis, interpretación y síntesis, así como las preceptúales y también las de elaboración de conjeturas, argumentación, abstracción y generalización, incorporando con ello las líneas de orientación curricular propuestas en el modelo educativo. Indicaciones Generales. En este guía se presentan definiciones breves de cada uno de los temas del programa de Geometría Analítica por unidades, así como ejercicios resueltos, presentando un desarrollo claro de cada uno de ellos. Igualmente se integran ejercicios para su solución, con los cuales los alumnos podrán reforzar los conocimientos adquiridos. A. O. V.
Benítez Santiago Ángel
Academia de Matemáticas Matutino
Guía de Estudio Geometría Analítica
PROGRAMA UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. Objetivo: conocer el plano cartesiano, la representación de los puntos en el, para calcular distancias, perímetros y áreas, así como la división de un segmento en una razón, que tenga aplicación en problemas teóricos, como en la vida real. 1.1 1.2 1.3 1.4
Distancia Entre Dos Puntos. Perímetros y Áreas de Figuras Rectangulares. División de un Segmento en una Razón Dada. Aplicaciones.
UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. Objetivo: desarrollar habilidades para analizar y describir las relaciones existenciales entre subconjuntos de puntos en el plano que cumple con una condición y las ecuaciones que los definen, para así comprender los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. 2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. UNIDAD 3. LA RECTA. Objetivo: identificar, obtener y transformar las diferentes formas de la recta, para interpretar y resolver problemas. 3.1 Formas de la Ecuación de la Recta. a) Punto Pendiente. b) Pendiente Ordenada al Origen. c) Abscisa y Ordenada al Origen. d) Ecuación General. e) Ecuación Normal. A. O. V.
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f) Distancia de un Punto a una Recta. 3.2 Aplicaciones. UNIDAD 4. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES. Objetivo: deducir y aplicar las ecuaciones de las cónicas incluida la circunferencia en la resolución de problemas teóricos y de la vida real. 4.1 Circunferencia. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Circunferencia, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Circunferencia. e) Aplicaciones. 4.2 Parábola. a) Con Vértice en el origen. b) Con Vértice Fuera del Origen. c) Dada la Parábola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Parábola. e) Aplicaciones. 4.3 Elipse. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Elipse, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Elipse. e) Aplicaciones. 4.4 Hipérbola. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Hipérbola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Hipérbola. e) Aplicaciones.
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UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Objetivo: conocer la importancia de las coordenadas polares y la relación con el plano cartesiano con la finalidad de resolver problemas teóricos y de la vida real. 5.1 Relación de Sistemas Rectangulares y Polares. 5.2 Trazo de Gráficas en el Sistema Polar. 5.3 Transformación de Ecuaciones de Segundo Grado con Dos Variables, de Rectangulares a Polares y Viceversa. UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. Objetivo: aplicar ecuaciones paramétricas en la resolución de problemas teóricos y reales. 6.1 Gráficas de Curvas en Forma Paramétrica 6.2 Ejercicios de Eliminación del Parámetro. 6.3 Aplicaciones en la Física. BIBLIOGRAFIA. 1) Geometría Analítica. Lehmann Charles H. LIMUSA. 2) Geometría Analítica. Joseph Kindle Mc. Graw Hill (libro de texto). 3) Geometría Analítica. Gordon Fuller CECSA. UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. 1.1 Sistema Coordenado Bidimensional (Plano). Ejemplo. Trazar en el plano coordenado los siguientes puntos. 1) P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué figura representa?
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y 4
3
Q 2
P
1
x −3
−2
−1
1
2
3
4
−1
R
−2
S
−3
−4
Un cuadrado
1.2 Distancia Entre Dos Puntos. Definición: Si (x 1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) son las coordenadas de dos puntos, la distancia entre ellas está dad por:
d = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Ejemplos. 1) Encontrar la distancia del segmento de recta definida por los puntos A (-2, 5) y B (12, -15). A. O. V.
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y
A(-2,5)
4 2
0
2
x
4
B(12,-15)
A) Comprensión
d ( AB) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
B) Planteamiento d ( AB) = (12 − (−2)) 2 + (−15 − 5) 2 d ( AB) = (14) 2 + (20) 2 a ( AB) = 596 d ( AB) = 24.41u
2) Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su perímetro.
A. O. V.
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y D(3,8)
A(2,3)
0
C(9,8)
B(7,3)
x
Solución: C) Resultados A) comprensión B) Planteo Se determinan las distancias de los lado, para el perímetro
Distancia AB =
(1 − 7) 2 + (3 − 3) 2
= (−6) 2 + 0 = 6 Distancia DC = =
(3 − 9) 2 + (8 − 8) 2 AB
3) Comprobar que los puntos A(1,1), B(0,5) y C(-3,0) son los vértices de un triángulo rectángulo. Dibujar las alturas del triángulo y calcular sus longitudes.
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y B(0,5)
A(1,1)
C(-3,0)
0
x
A) Comprensión ( 34 ) 2 = ( 17 ) 2 + ( 17 ) 2 Por la distancia de vértice a vértice o 34 = 17 + 17 longitudes de sus lados y le teorema de Pitágoras. Lo que se quiere demostrar B) Planteamiento (CB ) 2 = ( AB) 2 + ( AC ) 2
Luego : CB = (−3) 2 + (5) 2 = 9 + 25 = 34 AB = (1) 2 + (1 − 5) 2 = 1 + 16 = 17 AC = (1 + 3) 2 + (1) 2 = 16 + 1 = 17
1.3 División proporcional de un segmento de recta. A. O. V.
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Definición: Las coordenadas del punto P0 que divide al segmento P1P2 en la proporción
r1 y r + y 2r1 x r + x 2r1 están dadas por: x 0 = 1 2 y y0 = 1 2 r1 + r2 r2 r1 + r2
Ejemplos. 1) Si B es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A( x1 , y1 ) y C ( x 2, y 2 ) , determinar las coordenadas de B. A) Comprensión
Se tiene que: Supongamos que B tiene de coordenadas (x,y) y puesto que B es x1 + 1( x 2 ) x1 + x 2 = un punto medio del segmento AC, se x = 1+1 2 tiene: AB = BC
y=
y1 + (1) y 2 = y1 + y 2 1+1
Y por lo tanto
r=
AB AB BC = = =1 BC AB BC
sustituyendo este resultado en las formulas :
x=
x1 + ry 2 , r ≠ −1 1+ r
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y=
y1 + ry 2 , r ≠ −1 1+ r
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2) Si el punto P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos de un segmento dirigido P1P2, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón P1P: PP2 =-3. y
8
P
7
6
P2
5
4
3
2
P1
1
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
PLANTEAMIENTO:
X +4=-12 +3x;
r =P1P/ PP2=(x-x1)/(x2-x)=-3
;
3x-x =4+12;
r = P1P/ PP2=(y-y1)/(y2-y)=-3
2x=16;
DESARROLLO:
x =8
(x +4)/(4-x)=-3; x +4=-3(4-x);
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y-2=-18 +3y 3y-y =-2+18
2y=16 ;
y =8
(y-2)/(6-y)=-3; y-2=-3(6-y)
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3) Los vértices de un triángulo son A (-1,3); B (3,5) y C (7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. y
B
5
D 4
3
A
E
2
1
x −1
1
2
3
4
5
6
7
−1
8
C
2
PLANTEAMIENTO:
yE =(5-1)/2;
xD =(x1+ x2)/2; yD =(y1+ y2)/2;
DE =√((5-1)2+(2-4)2); DE =√(42+(-2)2);
xE =(x1+ x2)/2; yE =(y1+ y2)/2;
DE=√(16+4); DE=√20; DE=4.472 u.
d =√((x2-x1)2+(y2-y1)2).
AC/2=(√((7-(-1))2+(-1-3)2)/2;
DESARROLLO.
AC/2=(√(82+(-4)2))/2;
yE =4/2;
yE =2.
xD =(3-1)/2;
xD =2/2;
xD =1.
AC/2=(√(64+16))/2; AC/2=(√80)/2;
yD =(5+3)/2;
yD =8/2;
yD =4.
AC/2=8.944/2; AC/2=4.472 u.
xE =(3+7)/2;
xE =10/2;
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xE =5.
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Ejercicios Propuestos. 1)
A (0,0); B (3,4); C (8,4) y D (5,0) y; une los puntos indicados, ¿qué figura representa? Sol. » Un paralelogramo.
2)
Uno de los dos extremos de un segmento es el punto P (7,8) y su punto medio M (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo Q. Sol. » Q (1, -2).
3)
Una circunferencia tiene como diámetro al segmento con extremos P (3,4) y Q (5,-2). Encuentra las coordenadas del centro y el radio. Sol. » C (1, 1) y r =5 u.
4)
Calcular el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(8,2), B(-1,5), C(7,-1) y D (-2,-6) y las longitudes de los lados AD y BC. A = 84u 2
Sol. AD = 10u BC = 10u
El segmento que une A(-2,-1) con el punto B(3,3) se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3AB, determinar las coordenadas del punto C. Hacer gráfica.
5)
Sol. c(18, 15). Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento formado por A82,-4) y B(8,12).
6)
Sol. 7)
4 20 P1 (4, ) yP2 (6, ) . 3 3 Los puntos M(2,-1) y P (-2,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo. Hallar sus vértices. Sol. A(-5,7), B(3,1) y C(1,-3)
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UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. Ejemplos.
xy = 1 . 1 1 Primer Paso. Intersección con los ejes. y = ; si x =0 es infinito; y si x = ; y x y =0 es también infinito; por lo tanto no pasa por el origen. 1 Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; y = ; como se altera la −x ecuación; entonces la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por 1 –y; x = ; también se altera, por lo tanto la curva tampoco es simétrica con el −y eje x. consecuentemente no hay simetría con el origen. 1 Tercer Paso. Extensión de la curva: y = ; para “x” todos los nos. Reales x 1 excepto x =0 y; x = ; todos los nos. Excepto en y =0. y 1 Cuarto Paso. Asíntotas. y = ; x ‡0; entonces se tiene una asíntota vertical en x x 1 =0 y; x = ; y‡0, entonces se tiene una asíntota horizontal en y =0. y 1 Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para y = ; Sí x =2 ; y =0.5 ; x =x 1 2 ; y =-0.5 ; ahora si x = ; y =2 ; x =0.5 ; y =-2 ; x =-0.5 ; etc. y 1) Construir la curva cuya ecuación es:
y
3
2
1
x −3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
4
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2) Construir la curva cuya ecuación es:
y 2 = x3 .
Primer Paso. Intersección con los ejes. y = x3 ; si x =0; y =0; y si x = 3 y 2 ; si y =0; x =0; por lo tanto, pasa por el origen. Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; y = (− x ) ; la ecuación se altera; por lo tanto la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por –y; 3
x = 3 (− y ) ; la ecuación no se altera; por lo tanto, la curva es simétrica con el eje x. 2
Tercer Paso. Extensión de la curva: y = x 3 ; x≥0 y; para x = 3 y 2 ; y son todos los nos. Reales. Cuarto Paso. Asíntotas. La ecuación no tiene denominadores ni para “x” ni para “y”. Por lo tanto, no hay asíntotas. Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para y = x3 ; si x =1; y =1; si x =2; y =2.8; x =3; y =5.2; si x =4; y =8. etc.
y
4
3
2
1
x −1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
5
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2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. Definición: Para obtener la ecuación de un lugar geométrico: • Se escogen los ejes coordenados que simplifiquen la forma de la ecuación resultante. • Después de construir los ejes, se ubica el punto P(x,y) cuyo lugar geométrico se desea determinar en una posición representativa. • Se expresa la solución que P debe cumplir en función de las coordenadas (x,y) y de otras constantes cualquiera que aparezcan en la definición del lugar geométrico. Ejemplos. 1) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al punto (-4,0) sea igual al valor absoluto de su distancia al eje y. De donde;
Solución Sea P(x,y) un punto del lugar geométrico. Sea A el punto (-4,0) y B el pie de la perpendicular de P al eje y
PA = ( x + 4) 2 + y 2 De acuerdo con la definición de abscisa, la distancia de P al eje y es x. Por tanto PB= x Utilizando (1),(2) y (3) se tiene
( x + 4) 2 + y 2 = x Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado y simplificando, se obtiene y²+8x+16=0 La condición dada es, entonces, PA=PB
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2) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (-1,2) y B (4,-1).
y
3
A 2
1
x −1
1
2
3
−1
4
5
B
−2
3
PLANTEAMIENTO:
x2 + 2x + 1 + y 2 − 4 y + 4 − x2
Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces PA =PB;
PA =
(x + 1)2 + ( y − 2)2 ;
PB =
(x − 4)2 + ( y + 1)2 .
DESARROLLO:
(x + 1)2 + ( y − 2)2
=
(x − 4)2 + ( y + 1)2 ;
+ 8 x − 16 − y 2 − 2 y − 1 = 0 10 x − 6 y − 12 = 0 ; 5 x − 3 y − 6 = 0 ; y=
5x − 6 ; 3
si x =0, entonces y =-2 y, si x =3, entonces y =3.
x + 2x + 1 + y − 4 y + 4 = 2
2
x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1
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3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje “y” es siempre igual a su distancia del plano A (4, 0). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Sea P (x, y) un punto cualquiera del 8x-16 =y2; lugar geométrico y, sea B el pie de la perpendicular bajada y2-8x+16=0; de P al eje “y”. y 2 + 16 x= ; 8 Entonces PB = PA; si y =0 entonces x =2;
por definición PB = x y PA =√((x-4)2+(y-0)2);
si y =±2 entonces x =2.5;
de donde x =√((x-4)2+y2);
si y =±4 entonces x =4
x2 =x2-8x+16+y2;
y
4
3
P
B 2
1
A 1
2
3
4
x 5
6
−1
−2
−3
−4
5
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4) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.
xy − 2 xy − 3x + 2 x − 5 y − 2 y + 15 + 2 = 0 − xy − 7 y − x + 17 = 0 xy + x + 7 y − 17 = 0 17 − x y= x+7 si x =0 entonces y =2.4 si x =3 entonces y =1.4 si x =-3 entonces y =5 si x =-7 entonces y =∞ se tiene una asíntota vertical. Y en y =-1 se tiene una asíntota horizontal.
mac = mbc y − y1 m= 2 x2 − x1 y −3 mAC = x +1 y −1 mBC = x−5 y −3 ⎛ y −1⎞ = 2⎜ ⎟ x +1 ⎝ x −5⎠ ( y − 3)(x − 5) = 2( y − 1)(x + 1) xy − 5 y − 3x + 15 = 2 xy − 2 x + 2 y − 2
y
6
5
4
3
A
2
1
B
x −3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
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5) Los extremos A y B de una barra de longitud 21 se mueve a lo largo de los ejes coordenados. ¿ Qué lugar geométrico describe C. Punto medio de la barra?
Solución El ángulo Φ se llama parámetro Dada la figura de acuerdo a las De las ecuaciones se tiene condiciones del problema
x = cos φ ; t
y = senφ t
de las cuales
x2 = cos 2 φ 2 t
y2 = sen 2φ 2 t
Y sumando
x2 y2 + =1 t2 t2
La figura da: X= tcosΦ Y= tsenΦ
o sea, x²+y²=t²
C describe, pues una circunferencia de Las ecuaciones representan centro (0,0) y radio 1. paramétricas representan el lugar geométrico buscado.
Ejercicios Propuestos. A. O. V.
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1) Construir la curva cuya ecuación es: a) x 2 y − x 2 − y = 0 b) xy − 2 y − 3 = 0 c) xy − 2 x − 1 = 0 d) x 4 − 4 x 2 − y = 0 2) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “y” disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje “x”. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Sol. » x-2y-3 =0. 3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4, 1) es siempre igual a su distancia del eje “y”. Sol. » x 2 + y 2 − 9 x − 2 y + 17 = 0 . 4) Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (-3, -2). A partir d su definición, hallar la ecuación de esta circunferencia. Sol. » x 2 + y 2 + 6 x + 4 y + 4 = 0 . 5) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “x” es siempre igual a su distancia del punto A (0, 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Sol. » x 2 − 8 y + 16 = 0 . 6) Determinar la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (2,4) y (2,-2) es siempre igual a 8. Sol. 16x 2 + 7 y 2 − 64x − 14 y − 41 = 0 7) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C, si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.
Sol. xy + x +7y – 17=0
UNIDAD 3. LA RECTA. A. O. V.
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3.1 Inclinación y Pendiente. Definición: La inclinación ( α ) es el ángulo( menor de 180° y medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) formado por una recta y por la parte positiva del eje X La pendiente ( m ) de la recta que pasa por dos puntos está expresa por y − y1 m = tan α = 2 x 2 − x1
rectas con pendiente m1 y m 2 no nulas, son perpendiculares, sus 1 y pendientes son recíprocas opuestas o negativas, entonces m 2 = − m1
Si dos
m1m2 = −1 Ejemplo.
Una recta l 1 pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y otra recta, l 2 , pasa por el punto C(-7,1) y por el punto D cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que l 1 perpendicular a l 2 . Puesto que m=
Ahora bien, si dos rectas perpendiculares se debe satisfacer
y 2 − y1 x 2 − x1
m1m2 = −1
sustituyendo (1) en (2) se tiene:
se tiene que
m1 =
2+6 8 = 3+ 4 7
1+ 6 7 m2 = = −7− x 7+ x
........ (2)
8 7 ( )( ) = 1, 7 7+x ........(1)
de donde resulta: x=1
3.2 Angulo entre rectas. A. O. V.
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Definición: Si β es el ángulo formado por las rectas l1 y l 2 con pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces el ángulo que forman está dado por m − m1 tan β = 2 1 + m1m 2 Ejemplos. 1) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7); La recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A. Planteamiento
6 +1 17 = m = 11 Llamemos B(3,9), C(9,7) y D(-2,1) los 6 5 1− puntos dados, y si, designamos por m1 11 y por m2 las pendientes de CD y AB y puesto que respectivamente, entonces
m1 =
1− 7 6 −6 = = − 2 − 9 − 11 11
.......(1)
m=
..........(4)
y 2 − y1 x 2 − x1
puesto que ω = 45° se tiene que
se tiene
tan 45° = 1 .........(2)
y 2 = m2 ( x2 − x1 ) + y1
y como tan ω =
.........(5)
Resultado m2 − m1 1 + m2 m1
sustituyendo obtenemos:
.......(3)
(1)
y
(2)
Sustituyendo (4) y las coordenadas de A y B en (5) resulta: en
17 (3), y 2 = 5 (−2 − 3) + 9 = −8
3.3 La recta como una curva de pendiente constante. A. O. V.
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Definición: Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, se toman dos puntos P( ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y 2 ) de la recta, formándose un triángulo rectángulo. Si se toma otro par de puntos P1 y Q1 en la misma recta, se obtiene otro triángulo rectángulo, el cual es semejante con el anterior. Y por tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta es constante y puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.
m=
y − y1 x − x1
3.4 Condiciones que determinan una recta. A. O. V.
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Definición: Por dos puntos, pendiente y un punto Ejemplos. 1) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos i) (3,4), (1,-2) ii) (0,-5), (2,1) iii) (4,7), (0,-5)
Comprensión Se identifican los puntos en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por esos puntos
Planteamiento Resultado Se sustituye cada una de las combinaciones de puntos en la fórmula 4 − (−2) 6 m= = =3 de la pendiente 3 −1 2 − 5 −1 − 6 m= = =3 y − y1 0−2 −2 m= x − x1 7 − (−5) 12 m= = =3 4−0 4
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2) Trabajando sólo con el valor de la pendiente y el valor del punto que se proporciona graficar las siguientes rectas: a) Trazar la recta de pendiente igual a 2, y que pasa por el punto por el punto Q(3,5) Para graficar sin tabular se localiza el punto en un plano cartesiano para tomarlo como referencia para posteriormente trabajar con el valor de la pendiente.
b) Trazar la recta de pendiente igual a 2/3 y que pasa por el punto (0,-2)
m=
2 3
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P(0,-2)
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3.5 Formas de la Ecuación de la recta. Definición:
y − y1 = m( x − x1 )
Forma de punto y pendiente
y = mx + b
Pendiente Intersección
y − y1 y1 − y 2 = x − x1 x1 − x 2 x y + =1 a b
Forma de dos puntos Forma con dos intersecciones
Ax + By + C = 0
Forma General
en donde A, B y C son constantes arbitrarias, m= − origen b = −
A y su ordenada B
al
C B
Ejemplos. Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las pendientes indicadas: a) (-3,2), m= a)
(-3,2), m=
2 , b) (2,4), m=3 3
2 , 3
a) Comprensión La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura
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b) Planteamiento
y−2=
2 ( x + 3) o 2x – 3y + 12 = 0 3
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b) (2,4), m=3. a) Comprensión
b) Planteamiento
La recta citada en el texto se indica en y-4 = 3(x-2) o 3x-y-2 = 0 la siguiente figura
c) Hallar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación es 2x + 3y – 12 =0. a) comprensión
b) Planteamiento
Despejamos y en la ecuación 2x + 3y – 12 =0 2 2 y= − x + 4 de donde m= − y b=4 3 3
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d) Hallar la ecuación de la recta determinada por los dos puntos (-2,-2) y (5,2) .
a) Comprensión La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura
b) Planteamiento
y − y1 y1 − y 2 = x − x1 x1 − x 2 y+2 −2−2 = x+2 −2−5 − 4( x + 2) = −7( y + 2) − 4 x − 8 = −7 y − 14 4x − 7 y = 6
e) Cambiar la ecuación 4x – 5y – 8 = 0 a su forma de dos intersecciones. a) Comprensión 4x − 5 y = 8 x 5y − =1 2 8 x y + =1 a b x y + =1 2 −8 5
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f) Los vértices de un cuadrilátero son: A(-2,1), B(2,5), C(9,6) y D(7,2). Determinar: a) La pendiente del lado BC b) La ecuación del lado BC c) La ecuación del lado CD d) El punto medio del lado AB e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del lado AB f) La ecuación del lado AB en la forma: i) Pendiente- ordenada al origen ii) General iii) Simétrica y iv) Determinar la abscisa y ordenada al origen g) La ecuación del lado CD en forma simétrica Solución
a) Comprensión: El cuadrilátero antes citados, se ilustra a continuación.
a) La pendiente del lado BC Planteamiento A. O. V.
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Resultado La pendiente del lado BC es: Academia de Matemáticas Matutino
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m=
y 2 − y1 x 2 − x1
m=
6−5 9−2
m=
b) La ecuación del lado BC Planteamiento Resultado De la ecuación de la recta se conoce la pendiente y dos puntos. y − y1 = m( x − x1 )
y−2=
6−2 ( x − 7) 9−7
d) El punto medio del lado AB Planteamiento A(-2,1) y B(2,5) x + x1 y + y1 xm = 2 ym = 2 2 2 1+ 5 −2+2 xm = ym = 2 2
1 ( x − 2) 7 7( y − 5) = x − 2 y −5 =
7 y − 35 = x − 2 x − 7 y + 33 = 0
1 y − 5 = ( x − 2) 7
c) La ecuación del lado CD Planteamiento La ecuación de la recta tiene la forma y − y1 ( x − x1 ) y − y1= 2 x 2 − x1
1 7
Resultado
4 ( x − 7) 2 y − 2 = 2 x − 14 y−2=
De donde la ecuación 2x-y-12=0
Resultado 0 xm = = 0 2
ym =
6 =3 2
La pareja ordenada del punto medio es
Pm (0,3)
e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del lado AB
A. O. V.
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Planteamiento D(7,2) y Pm (0,3)
Resultado
y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1
y − y1 = y −3 =
−1 x 7 7( y − 3) = − x 7 y − 21 = − x La ecuación es: x+ 7y –21 = 0 y −3=
2−3 ( x − 0) 7−0
f) La ecuación del lado AB ecuación de la recta en la forma : i) Pendiente-ordenada al origen ii) General iii) Simétrica iv) Determinar la abscisas y ordenada al origen Planteamiento
Resultado
A(-2,1) y B(2,5)
Pendiente – Ordenada al Origen y = x+3 General x- y + 3 = 0
y − y1 =
y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1
5 −1 ( x − (−2)) 2 − (−2) 4 y − 1 = ( x + 2) 4 y-1 = x+2 y −1 =
Simétrica
x- y = -3 x y − = −3 −3 −3 Abscisa al origen = -3 Ordenada al origen = 3
g) La ecuación del lado CD en forma simétrica. Planteamiento
C(9,6) y D(7,2)
Resultado
2x- y = 12 la ecuación pedida es
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y − y1 =
y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1
x y − =1 6 12
6−2 ( x − 7) 9−7 y − 2 = 2 x − 14 y−2=
2 x − y − 12 = 0
3.6 Forma Normal de la ecuación de la recta. Definición: Una recta está determinada por dos cantidades: (1) la distancia perpendicular desde el origen hasta la recta y (2) el ángulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X. Ecuación de la Forma Normal x cos ω + ysen ω = p Ax + By + C
Fórmula de conversión de la
± A2 + B 2
=0
forma general a la forma normal Ejemplos.
Cambiar las siguientes ecuaciones a su Solución forma normal: a) A=3 y B=4, aplicando la fórmula a) 3x + 4y +5 = 0 antes descrita se tiene: b) 5x-12y –10=0 c) –5y + 7= 0 Ax + By + C 3 x + 4 y + 5 3 x + 4 y + 5 = = =0 d) –3x-2 =0 5 ± A2 + B 2 32 + 4 2 b)
c)
d)
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5 x − 12 y − 10 − 25 + 144 − 5y + 7 − 25 − 3x − 2 − 9
=
5 x − 12 y − 10 =0 − 13
= y−
7 =0 5
= x+
2 =0 3
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3.7 Distancia de un punto a una recta. Definición: Fórmula de la distancia de un punto a una recta d = x1 cos ω + y1 senω − p =
Ax1 + By1 + C ± A2 + B 2
Ejemplo. Hallar las distancias desde los puntos (2,3) y (1,-4) hasta la recta 3x – 4y –8 =0. Planteamiento
Resultado Empleando la fórmula mencionada se tiene que: Ax + By + C =0 ± A2 + B 2 3x − 4 y − 8
El signo de d nos indica que el punto antes (2,3) está arriba de la recta. Sustituir a x=1 y y=-4 para obtener la distancia desde (1,-4)
3(1) − 4(−4) − 8 11 d= =− − 9 + 16 5 −5 3x − 4 y − 8 =0 El signo negativo indica que el punto −5 Sustituimos a x=2 y y=3 para obtener la está debajo de la recta distancia desde (2,3) d=
3(2) − 4(3) − 8 14 = 5 −5
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3.8 Sistemas de Rectas. Definición: Una ecuación de primer grado en x y y que contiene una constante, representa un sistema de rectas y la constante arbitraria es un parámetro. Ejemplo.
Escribir la ecuación del sistema de rectas paralelas a la recta 2x – 3y + 6= 0. Hallar la ecuación del sistema que pasa por el punto (4,3). Solución
Cualquier recta paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente y se puede escribir como 2x – 3y = k
Para obtener una recta del sistema que pase por el punto (4,3), se sustituye esas coordenadas en la ecuación del sistema a fin de encontrar el valor de k. 2x − 3y = k 2(4) − 3(3) = k k = −1
Por lo que para cada valor de k esta ecuación representa una recta con 2 . Esto La ecuación pedida será pendiente constante igual a 3 2x – 3y + 1= 0 dará un sistema de rectas paralelas a la recta dada con k como parámetro
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3.9 Rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas. Definición: La ecuación para hallar el sistema de rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas es ( A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 . Ejemplos 1) lar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas x – 2y + 4 = 0 y 2x + y + 6=0 y por el punto (3,-2). Solución Se escribe la ecuación del sistema de rectas que pasa por la intersección de las rectas dadas: ( x − 2 y + 4) + k (2 x + y + 6) = 0
Para escoger la recta del sistema que pasa por el punto (3,-2), se obtiene a k sustituyendo x=3 y y=-2 en la ecuación
(3+4+4)+ k(6-2+6)=0
11 10 y este valor de k lo reemplazamos en la ecuación del sistema para obtener la recta solicitada 10 K = -11 o
k= −
11 ( 2 x + y + 6) = 0 10 12 x + 31 y + 26 = 0 4 2) Obtener ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por la intersección 3 de las rectas 4x – 5y – 5 = 0 y 2x + 3y –11 = 0. ( x − 2 y + 4) −
Solución
Entonces la pendiente es m =
4 + 2k . 5 − 3k
Aplicando la ecuación antes descrita se 4 Esta de debe ser igual a y, así , tiene: 3 4 + 2k 4 4 A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 = y k= , Se sustituye este 5 − 3k 3 3 4 x − 5 y − 5 + k (2 x + 3 y − 11) = 0 valor de k y la ecuación se conviertes (4 + 2k ) x + (3k − 5) y − 11k − 5 = 0 en: Se despeja para obtener la ecuación de la recta y = mx + b y=(
4 + 2k 11k + 5 )x + 5 − 3k 3k − 5
4 (2 x + 3 y − 11) = 0 9 44 x − 33 y − 89 = 0
(4 x − 5 y − 5) +
Ejercicios Propuestos. A. O. V.
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1.- Hallar el valor de la ordenada para que la recta que pasa por los puntos (3,y) y (-4,5) forme un ángulo de 135° con la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (9,1)
Sol. y=9 2.- Determinar el valor de los coeficientes de A y B de la ecuación Ax – By + 4 =0. De una recta. Si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6) Sol. A= 29/19 B= 16/19 3.- Encontrar las ecuaciones de las medianas y un punto de intersección del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3,-2), B(-3,6) y C(4,4) 4.- Para un triángulo equilátero ABC, se conoce la ecuación de la lado AC: 2x – 3y –5 =0, y la del lado AB: x + y +1=0; Obtener la ecuación del lado BC si se sabe que éste pasa por el punto (1,1) Sol. 17x + 7 y –24 = 0 5.- Dados dos vértices de un cuadrado A(-1,3) y B(6,2) , determinar las ecuaciones de sus lados. Sol. 3x-4y+15=0; 4x+3y-30=0; 3x-4y-10=0, 4x+3y-5=0 6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-2) y determina sobre los ejes coordenados dos segmento cuya suma algebraica es 12. Sol. x-5y-15=0;
2x+y-8=0
7.- Se instala una empresa con una inversión de $ 50, 000, el costo de producción de un artículo es de $3,00 y se venderá al mercado en un precio unitario de $4,50. Determina la ecuación que representa la ganancia considerando que los artículos producidos son igual a los vendido y cuantos artículos hay que producir para tener una ganancia de $ 10,000. Sol. y =1.50x-5000 X= 40 000 artículos 8.- La pendiente de la recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a ¾. Hallar las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia de A. Sol. (5,7) y (-1,1) A. O. V.
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UNIDAD 4. ECUACIÒN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES
4.1 Circunferencia. Definición.
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama Centro de la Circunferencia y la distancia constante se llama radio. Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x , y) y sin termino en xy representa una circunferencia, si los coeficientes de x² y y² son iguales. La ecuación de la circunferencia en forma ordinaria donde el centro (h , k) y radio r es:
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Si el centro esta en el origen de coordenadas, o sea, h = 0 y k= 0, la ecuación toma la forma:
x2 + y2 = r 2 La ecuación de la circunferencia en su forma general es:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Si tenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia
( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 16 Resolviendo los binomios tenemos
x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 − 16 = 0 Reduciendo términos determinamos así la ecuación general de la circunferencia.
x 2 + 4x + y 2 − 6 y − 3 = 0 A. O. V.
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Ejemplo 1) Los extremos de el diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) , B(4,5). Hallar la ecuación de la curva.
Y
8 7 6
(-4,5)
5
c(-1,4) 4 (2,3)
3 2 1
4
A. O. V.
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3
2
1
0
1
2
3
4
X
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Planteamiento: A (2,3) , B (-4,5) Por punto medio encontramos el centro de la circunferencia.
x1 + x2 2 2−4 = 2 −2 = 2 = -1
y1 + y 2 2 3+5 = 2 8 = 2 = 4
xm =
ym =
d=
( x − x1) 2 + ( y − y ) 2
r=
(−1 − 2) 2 + (4 − 3) 2
r=
9 +1
r=
10
Resultado: Sustituimos en la ecuación general de la circunferencia, centro y radio.
C ( -1 , 4 )
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
Desarrollo: Con el centro C ( -1 , 4 ) y un punto A ( 2 , 3 ) determinamos el radio con la fórmula de distancia entre dos puntos
( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 10 Ecuación de la circunferencia
Ejemplo 2) La ecuación de una circunferencia es ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20 . Hallar la ecuación de la tangente a este circulo en el punto ( 6 , 7 ). Y
10 9 8
(6,7)
7
X+
6 5
2Y
-2
0=
4
0
C(4,3)
3 2 1
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X
1 2 3 4
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Planteamiento:
Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es : 1 m=2 Con la ecuación punto pendiente
De la ecuación ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20 determinemos Centro y Radio. C(4,3) r = 20
y − y1 = m( x − x1 ) Determinamos la ecuación de la recta tangente en el punto ( 6, 7 ) Resultado:
Con el C ( 4, 3 ) y el punto de tangencia ( 6 , 7 ) determinamos su pendiente con la relación. m=
y 2 − y1 x 2 − x1
m=
3−7 4−6
m=
−4 −2
m= Desarrollo:
y − y1 = m( x − x1 ) 1 y − 7 = − ( x − 6) 2 2 y − 14 = − x + 6 x + 2 y − 14 − 6 = 0 x + 2 y − 20 = 0
2
Ejemplo 3) Determinar centro y radio de la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (1 , -2) , B (5 , 4) y C (10 , 5) 8
Y
7 6
(10,5)
5
(5,4)
4 3 2 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X
1 2 3
(1,-2) C(9,-3)
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Planteamiento:
A. O. V.
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Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia sus coordenadas deben satisfacer la
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ecuación
− 3 E − F = −43 − 3(6) − F = −43
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 A(1,−2)1 + 4 + D − 2 E + F = 0
− 18 − F = −43
B(5,4)25 + 16 + 5D + 4 E + F = 0 C (10,5)100 + 25 + 10 D + 5E + F = 0 Deduciendo: D − 2 E + F = −5................1 5 D + 4 E + F = −41............2 10 D + 5 E + F = −125.........3 Desarrollo:
− F = −43 + 18 − F = −25 F = 25 Cálculo de D
D − 25 E + F = −5 D − 2(6) + 25 = −5 D = −5 − 25 + 12
Resolviendo el sistema de ecuaciones.
Con 1 y 2 D – 2E + F = -5………Mult (-5) 5D + 4E + F = -41 -5D +10E - 5F = 25 5D + 4E + F = -41 14E – 4F = -16………. 4 Con 4 y 5 14E – 4F =-16…………Entre (2) -3E - F = -43…………Mult (-2) 7E – 2F = -8 6E + 2F = 86 13E =78 78 E= E= 6 13 Resultado:
D = −30 + 12 D = −18 Sustituyendo en la Ecuación General E, D Y F
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 + y 2 − 18 x + 6 y + 25 = 0
Cálculo de F
Ejemplo 4) Una circunferencia pasa por los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4) y su centro esta sobre la recta 3x − 2 y − 23 = 0 . Hallar la ecuación, graficar. Y
10
9
8
7
6 5
4
(1,4)
3
(-3,3)
2
8x + 1
10
9
8
7
6
4
3
2
1
0
1
3y + 1
2
1= 3
0
4
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X
3x
-2 y-
3
4
6
23 =
2
5
5
0
11
6
7
8
9
C(2,8.5)
10
11
12
13 14
15
16 17
18
19
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Planteamiento:
y=
Por lugar geométrico determinamos otra recta que pasa por el centro, con los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4)
17 2
C(2, −
17 ) 2
Determinamos el radio con el centro y el punto A(-3,3)
( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 4)2 Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:
( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 = ( x − 1) 2 ( y − 4) 2
r=
(2 + 3) 2 + ( −
r=
25 + (
r=
100 529 + 4 4
r=
629 2
Desarrollando binomios
x 2 + 6x + 9 + y 2 − 6 y + 9 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 8 y + 16 Reduciendo
8x + 2 y + 1 = 0
Y con la ecuación que pasa por el centro 3x – 2y – 23 = 0 resolvemos el sistema para encontrar el centro.
Desarrollo: 8x + 2y + 1 = 0 3x – 2y – 23 = 0 11x - 22 = 0
22 11
x=
17 − 3) 2 2
23 2 ) 2
Resultado
x= 2 8(2) + 2y + 1 = 0 16 + 2y +1 = 0 2y = -17
Sustituyendo en la Ecuación ordinaria
( x − 2) 2 + ( y +
17 2 629 ) = 2 4
Ecuación de la circunferencia
Ejemplo 5) Una circunferencia es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2 , 5), y el centro esta sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuación de la circunferencia. Graficar. Y
10
9
8
7
6
(2,5)
5
4
C(6,3)
+1 =0
3
2
2
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x+
10
11
2y -
12
x
2x
3
-y
1
+
14
12
15
=0
16
17
X
y
2
13
=
Benítez Santiago Ángel
3
9
A. O. V.
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Planteamiento
x + 2y – 12 = 0 x + y - 9 = 0……. Mult (-1) x + 2y – 12 = 0 -x – y + 9 = 0 y -3 =0 y=3 x + 2(3) =12 x =12 – 6 x=6 C (6 , 3) Resultado:
De la ecuación de la tangente determinamos la pendiente
2x – y + 1 = 0 Despejamos “y”
-y = -2x – 1 y = 2x + 1 m=2 La recta que es perpendicular a la tangente es la recta del radio y pasa por el centro, por lo tanto su
Calculo del radio
1 pendiente será − 2 Desarrollo:
(6 − 2) 2 + (3 − 5) 2
r=
r = 16 + 4
Con la ecuación punto pendiente, determinamos la ecuación del radio que pasa por el punto (2 , 5) punto de tangencia.
r=
y − y1 = m( x − x1) 1 y − 5 = − ( x − 2) 2 2 y − 10 = (− x + 2)
20
Sustituyendo centro y radio en la Ecuación ordinaria
( x − 6) 2 + ( y − 3) 2 = 20 Ecuación de la circunferencia
x + 2 y − 12 = 0 Resolviendo el sistema.
Ejemplo 6) Reducir la ecuación x 2 + y 2 − 18x + 6 y + 25 = 0 a su forma ordinaria. 8
Y
7
6 5 4
3
2 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X
1
2 3 4
r = 8.09
5
6 7 8
9
10 11 12
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13
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Planteamiento:
Resultado:
Completando el trinomio cuadrado perfecto factorizamos para reducir la ecuación.
( x − 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65 C(9 , -3)
r=
65
Desarrollo: Ordenamos términos La mitad del coeficiente del término lineal se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la igualdad.
x 2 − 18x + 81 + y 2 + 6 y + 9 = −25 + 81 + 9 Se factoriza el trinomio
( x − 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65
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Benítez Santiago Ángel
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Ejercicios Propuestos. 1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) que pasa por el punto (-1,5). Sol. x 2 + y 2 − 10 x + 4 y = 56 2) Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) (-3,7) Sol. x 2 + y 2 − 2 x − 6 = 22 3) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (5,3), (6,2) y (3,-1) Sol. x 2 + y 2 − 8x − 2 y + 12 = 0 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (2,3) y (-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta x − 3 y − 11 = 0 Sol. x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 5) Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas 2 x − 3 y + 21 = 0 , 3x − 2 y − 6 = 0 , 2 x + 3 y + 9 = 0 Sol. ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 13 6) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea tangente a la recta 3x + 4 y − 16 = 0 Sol. ( x + 4) 2 + ( y − 2) 2 = 16 7) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,3) y que sea tangente al eje “y” Sol. x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 9 = 0 8) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pase por el punto (6,0) Sol. x 2 + y 2 − 36 = 0 9) Hallar de la circunferencia que pase por el origen de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6 Sol. x 2 + y 2 + 12x − 16 y = 0 , x 2 + y 2 + 12x + 16 y = 0 10) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,5), (3,-2), (1,-4) Sol. x 2 + y 2 + 7 x − 5 y − 44 = 0 11) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta x − 2 y + 9 = 0 Sol. x 2 + y 2 + 6 x − 6 y − 47 = 0 12) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11,2) y es tangente a la recta 2x + 3y – 18 = 0 en el punto (3,4) Sol. 5x 2 + 5 y 2 − 98x − 142 y + 737 = 0 13) Una circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0, hallar su ecuación. Sol. ( x − 6) 2 + ( y + 3) 2 = 25 14) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que tienen pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 = 26 Sol. 5x – y -26 = 0 , 5x – y + 26 = 0 15) Determina las ecuaciones de las circunferencias que tienen sus centros en el origen y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 − 4 x + 4 y + 7 = 0 A. O. V.
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Sol. x 2 + y 2 = 9 − 2 8 , x 2 + y 2 = 9 + 2 8
4.2 Parábola. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija “directriz” de la parábola.
En donde; V es el vértice, F el foco, P un punto cualquiera, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, MM’ cuerda y, FP radio focal o radio vector. 4.2.1 Ecuación de la Parábola con Vértice en el Origen y Eje Focal un Eje Coordenado. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “x” la ecuación será
y 2 = 4 px .
En donde; el F(p, 0); la ecuación de la directriz es x=-p; LR=l4pl y; Si p>0 la parábola abre a la derecha. Pero si p0 la parábola abre hacia arriba. Pero si p
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