GUIA DE ESTUDIO – CINEMATICA Ing. Alex F. Santos
Resumen Cinemática Parte de la Mecánica que describe el movimiento sin considerar las causas que lo producen. Desplazamiento: Cambio en la posición de un objeto (partícula). Es una cantidad vectorial. ∆x = xf - xi
donde: ∆x es el desplazamiento xf es la posición final del objeto xi es la posición inicial del objeto
Velocidad promedio: Es el desplazamiento de la partícula dividido por el intervalo de tiempo durante el cual ocurre el desplazamiento. Es una cantidad vectorial. En una gráfica posicióntiempo se puede determinar calculando la pendiente de la línea recta que une dos puntos sobre la curva que corresponden a los tiempos inicial y final del intervalo. vx = ∆x/∆t
donde: ∆x es el desplazamiento ∆t es el intervalo de tiempo (∆t = tf - ti) vx es la velocidad promedio del objeto
Rapidez promedio: Es la distancia total recorrida dividida por el tiempo total que lleva viajar esa distancia. Es una cantidad escalar. Rapidez promedio = distancia total/ tiempo total
Velocidad instantánea: Es el valor de la velocidad de una partícula en un instante particular de tiempo. Es igual al valor límite del cociente ∆x/∆t cuando ∆t se acerca a cero. Es una cantidad vectorial cuya magnitud es la rapidez instantánea. En una gráfica posición-tiempo, es igual a la pendiente de la línea recta tangente a la curva en un punto específico. vx = lim ∆x/∆t = dx /dt ∆t→0
Aceleración: Es el cambio en la velocidad de un objeto dividido por el intervalo de tiempo en el cual se produce. La aceleración es un vector y su dirección está determinada por el cambio en la velocidad. ax = ∆v/∆t UNAH-VS
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Aceleración instantánea: Es el valor de la aceleración de una partícula en un instante particular de tiempo. Es igual al valor límite del cociente ∆v/∆t cuando ∆t se acerca a cero. Es una cantidad vectorial. En una gráfica velocidad-tiempo, es igual a la pendiente de la línea recta tangente a la curva en un punto específico. ax = lim ∆x/∆t = dv /dt ∆t→0
Cuando el movimiento de un objeto se realiza en línea recta y la velocidad es constante se le llama Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
Cuando el movimiento de un objeto se realiza en línea recta y la aceleración es constante se le llama Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA).
Reglas de Oro de Cinemática: Las siguientes ecuaciones pueden utilizarse para resolver diversos problemas siempre que la aceleración sea constante. Debe tenerse el cuidado de que los datos a introducir estén expresados en las mismas unidades de medida, y que aquellas que son vectores lleven el signo que corresponde a su dirección. Donde: 1. vf = vi + at 2. xf = xi + vit + ½at2 3. vf2 = vi2 + 2a(xf - xi)
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xi = posición inicial xf = posición final vi = velocidad inicial vf = velocidad final a = aceleración t = tiempo
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Ejemplos Capítulo 2, Problema 32 (Física para Ciencias e Ingeniería, Tomo I, Quinta Edición) El conductor de un auto aplica los frenos cuando ve un árbol bloqueando el camino. El auto se detiene de manera uniforme con una aceleración de -5.60m/s2 durante 4.2 s, haciendo marcas de neumáticos de 62.4m de largo que terminan en el árbol. ¿Con qué rapidez el auto golpea el árbol? Solución.
final
inicio a= -5.60 m/s2 vf= ¿?
vi= ¿?
Δx= 62.4m t= 4.2s
xi=0m
Datos:
xf=62.4m t= 4.2s
t= 4.2s
xi= 0 xf= 62.4m a= -5.6m/s2 (la aceleración se mantendrá constante durante el frenado) t= 4.2s vi =¿? vf =¿?
Observando las reglas de oro notamos que en las ecuaciones donde aparece la velocidad final también aparece la velocidad inicial (ambas desconocidas): xf = xi + vit + ½at2 vf = vi + at vf2 = vi2 + 2a(xf - xi) Por lo tanto, determinamos primero a que velocidad se movía el auto antes de frenar: xf = xi + vit + ½at2 vit = xf - xi - ½at2 vi = (xf - xi - ½at2)/t vi = [62.4 m - 0 - ½(-5.6 m/s2)(4.2 s) 2] (4.2s) UNAH-VS
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vi = 26.62m/s Finalmente encontramos la velocidad final así: vf = vi + at vf = 26.62m/s + (-5.6 m/s2)(4.2 s) vf = 3.097 m/s Esta es la respuesta que se busca. (La velocidad a la que el auto choca con el árbol)
GRÁFICAS Es frecuente el uso de gráficas para comparar el comportamiento de una cantidad física (llamada variable dependiente) con respecto a otra cantidad (variable independiente). En cinemática se acostumbra a comparar la posición, la velocidad y la aceleración de un objeto (todas consideradas variables dependientes) con respecto al tiempo (variable independiente). Para cada gráfica se debe tener el cuidado de: 1. Establecer en el eje horizontal a la variable independiente y en el eje horizontal se ubica la variable independiente. 2. Indicar en qué unidades se mide cada variable. 3. Dividir a cada eje en segmentos uniformes.
Tomando como ejemplo el problema anterior (2.32), procederemos a realizar la gráfica de la posición, velocidad y aceleración del auto con respecto al tiempo. La gráfica más sencilla es aquella donde la variable dependiente permanece constante, es decir que su valor será siempre el mismo dentro del intervalo de tiempo que estamos considerando. La forma de la gráfica será una línea recta horizontal. En este problema, la aceleración del auto permanece constante durante todo el frenado, entonces su gráfica con respecto al tiempo queda así: a(m/s2) En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 1 unidad y cada división del eje vertical vale 1 unidad.
4.2 0
t(s)
-5.6
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La aceleración indica cómo la velocidad cambia a medida que pasa el tiempo. En este problema, la aceleración indica que la velocidad del objeto debe disminuir en 5.6m/s cada segundo. La gráfica de aceleración nos indica que forma tendrá la gráfica de velocidad: Si la aceleración es constante y positiva, la gráfica de velocidad será una línea recta inclinada hacia arriba (pendiente positiva). Si la aceleración es constante y negativa, la gráfica de velocidad será una línea recta inclinada hacia abajo (pendiente negativa).
Gráfica de velocidad con respecto al tiempo v(m/s) En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 1 unidad y cada división del eje vertical vale 5 unidades.
26.62
3.09 0
4.2
t(s)
La gráfica de posición con respecto al tiempo tiene forma de parábola cuando la gráfica de velocidad es una línea recta inclinada: Si la gráfica de velocidad es inclinada hacia arriba, la gráfica de posición será una parábola cóncava hacia arriba (forma de U). Si la gráfica de velocidad es inclinada hacia abajo, la gráfica de posición será una parábola cóncava hacia abajo (forma de U invertida).
Gráfica de posición con respecto al tiempo x(m)
En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 1 unidad y cada división del eje vertical vale 10 unidades.
62.4
0
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4.2
t(s)
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Física para Ciencias Médicas, Quinta Edición, Serway
Capítulo 2, Problema 26 Una avioneta Cessna tiene una rapidez de despegue de 120km/h. a) ¿Qué aceleración constante se requiere para que se eleve después de una carrera de despegue de 240m? b) ¿Cuánto tiempo toma el despegue? Solución. inicio
vf =33.33 m/s
xi =0
final
xf =240m
Datos: xi= 0 xf= 240m a= ¿? (la aceleración se mantendrá constante durante el despegue) t=¿? vi =0 (Debe de arrancar desde el reposo) vf =120km/h = 33.33m/s
Observando las reglas de oro notamos que no debemos utilizar las ecuaciones donde aparecen a la vez la aceleración y el tiempo (ambas son desconocidas): xf = xi + vit + ½at2 vf = vi + at vf2 = vi2 + 2a(xf - xi) Por lo tanto, determinamos primero la aceleración de la avioneta durante el despegue: vf2 = vi2 + 2a(xf - xi) vf2 - vi2 = 2a(xf - xi) vf2 - vi2 = a 2(xf - xi) [(33.33 m/s) 2 - 02] = a 2(240 m - 0) UNAH-VS
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a = 2.31m/s2 Finalmente encontramos el tiempo que debe durar el despegue así: vf = vi + at vf - vi = at vf - vi = t a 33.33m/s - 0 = t (2.31 m/s2) t= 14.43 s
Esta es la respuesta que se busca.
GRÁFICAS Aceleración versus tiempo (o aceleración en función del tiempo) a(m/s2) 2.31
En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 2 unidades y cada división del eje vertical vale 0.5 unidades.
0
t(s)
14.43
Velocidad versus tiempo (o velocidad en función del tiempo) v(m/s) En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 2 unidades y cada división del eje vertical vale 5 unidades.
33.33
0
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14.43
t(s)
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Posición versus tiempo (o posición en función del tiempo) x(m)
En esta gráfica cada división del eje horizontal vale 2 unidades y cada división del eje vertical vale 30 unidades.
240
14.43
t(s)
Moncho y Adela realizan una carrera en una pista de 64pies de longitud. Adela se aprovecha de un descuido de Moncho y arranca 2s antes que él con una aceleración de 2pies/s 2. Moncho reacciona y arranca con una aceleración de 3.75pies/s2. (Ambos mantienen constante su aceleración respectiva hasta llegar a la meta.) a.) Elabore un esquema de la situación. b.) ¿Llegarán Moncho y Adela juntos a la meta? c.) Si no llegan juntos, ¿quién llega primero y qué distancia separa a los competidores en ese instante?
Solución
xi =0
xf =64 pies
Datos: Moncho xi= 0 xf= 64 pies a= 3.75 pies/s2 t=¿? vi =0 (Debe de arrancar desde el reposo) vf = ¿? UNAH-VS
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Adela xi= 0 xf= 64 pies a= 2 pies/s2 t=¿? vi =0 vf = ¿? Página 8
Una forma de encontrar las respuestas es determinando cuánto tiempo le toma a cada uno llegar a la meta: Moncho xf = xi + vit + ½at2 xf = ½at2 xf = t2 ½a 64 pies = t2 2 ½(3.75pies/s ) 34.133 s2 = t2
Adela xf = xi + vit + ½at2 xf = ½at2 xf = t2 ½a 64 pies = t2 2 ½(2.0pies/s ) 64 s2 = t2
5.84 s = t
8s
=t
Moncho arranca 2s después que los hace Adela, por lo que al tiempo de él se le deben sumar 2s: tM = 5.84s + 2s = 7.84s Aún así, Moncho llegará antes que Adela a la meta con 0.16 s de ventaja. Para encontrar la separación de ambos debemos determinar en que posición se encuentra Adela cuando Moncho está llegando a la meta: La separación entre Para t = 7.84s ambos es: xf = xi + vit + ½at2 ∆x = xfM - xfA xf = ½at2 ∆x = 64 pies -61.46 pies xf = ½(2pies/s2)(7.84s)2 = 61.46 pies ∆x = 2.54 pies
Problemas RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS ORDENADAMENTE. SUGERENCIAS: 1. LEA DETENIDAMENTE EL PROBLEMA PARA COMPRENDER EL CASO E IDENTIFICAR LA INFORMACIÓN QUE SE LE SOLICITA. 2. DIBUJE UN ESQUEMA DE LA SITUACIÓN. EN DICHO ESQUEMA ESTABLEZCA LAS REFERENCIAS QUE NECESITA PARA MEDIR POSICIONES HORIZONTALES Y VERTICALES. 3. ELABORE UNA TABLA CON LOS DATOS A UTILIZAR, INCLUYENDO TANTO VALORES CONOCIDOS COMO INCÓGNITAS. 4. ELIJA LA ECUACIÓN QUE LE PERMITA OBTENER NUEVA INFORMACION RELEVANTE. 5. ASEGÚRESE QUE LAS RESPUESTAS ENCONTRADAS TENGAN LAS UNIDADES DE MEDIDA ADECUADAS. 6. ELABORE LAS GRAFICAS CORRESPONDIENTES QUE LE AYUDEN A CONFIRMAR SUS RESULTADOS.
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MRUA 1.
Si la posición de una partícula que se mueve en una sola dimensión, está definida por x = -4.9t2 + 15t + 5, donde x se mide en metros y t en segundos, determine lo siguiente: a.) Las ecuaciones de movimiento de la partícula y sus condiciones iniciales (valores de posición, velocidad y aceleración cuando t = 0). b.) Las gráficas de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. c.) La velocidad promedio en el intervalo de t = 0 y t = 3 s d.) La distancia que ha recorrido la partícula a los 3 s.
2.
Si la posición de una partícula que se mueve en una sola dimensión, está definida por x = 2t3 - 6t - 5, donde x se mide en pies y t en segundos, determine lo siguiente: a.) Las ecuaciones de velocidad y aceleración en función del tiempo. b.) La rapidez media y la velocidad media entre t = 0 y t = 4 s. c.) La aceleración media entre t = 0 y t = 3 s.
3. Un vehículo se mueve con una rapidez de 108 km/h sobre una carretera recta cuando bruscamente el conductor presiona el freno al ver un bus que obstruye la vía 105 m adelante. La magnitud de la desaceleración máxima que experimenta el vehículo es 4.5 m/s2. Determine: a.) La distancia que recorrería el vehículo hasta detenerse. b.) El tiempo que le tomaría detenerse. c.) En base a lo anterior, ¿chocará el vehículo con el bus? Si no choca ¿a qué distancia del bus se detendrá?
CAÍDA LIBRE 4.
Un balón es arrojado al aire verticalmente a 36 m/s. Después de 3 segundos se hace lo mismo con otro balón. Determine: a.) ¿Qué velocidad inicial debe tener el segundo para alcanzar al primero a 30 metros del suelo? b.) El tiempo en el que se alcanzan.
5.
Un muchacho lanza hacia arriba una pelota de béisbol y la atrapa 3 segundos después de haberla lanzado. Para atrapar la pelota bajó su brazo de manera que su mano quedó medio metro abajo del nivel del lanzamiento inicial. Determine: a.) La velocidad inicial de la pelota. b.) El tiempo en el que la pelota alcanza su altura máxima. c.) La altura máxima de la pelota.
PROYECTILES 6.
Un arquero lanza una flecha con una rapidez inicial de 45 m/s formando un ángulo de 50 con la horizontal, como muestra la figura. Un asistente, que está de pie al nivel del suelo, a 150m de distancia del punto de lanzamiento, lanza una manzana directamente hacia arriba con la mínima rapidez necesaria para encontrar la trayectoria de la flecha. Determine: a.) La rapidez inicial de la manzana. b.) El tiempo que debe esperar el asistente para que al lanzar la manzana ésta sea atravesada por la flecha.
50 150 m
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7.
Un cuadrangular se batea de tal manera que la pelota apenas libra un muro de 19 metros de altura, localizado a 120 metros del plato de “home”. La bola se golpea a un ángulo de 34º con la horizontal a una altura de 1.10 m del suelo. Determine: a.) La rapidez inicial de la pelota. b.) El tiempo que tarda la pelota en llegar al muro. c.) La velocidad de la pelota cuando llega al muro (expresada en coordenadas rectangulares y expresada en magnitud y dirección).
8.
Un automóvil se encuentra estacionado en un acantilado que mira al océano sobre una pendiente que forma un ángulo de 25 por debajo de la horizontal. El descuidado conductor deja el vehículo en neutral y los frenos de emergencia están defectuosos. El auto rueda pendiente abajo desde su posición de reposo con una aceleración de 4.0 m/s2 a lo largo de una distancia de 50 m hasta el borde del acantilado, el cual está 38 m arriba del océano. Encuentre: a.) La posición del vehículo respecto a la base del acantilado cuando cae al océano. b.) El “tiempo de vuelo” del automóvil (tiempo que permanece en el aire).
CIRCULAR 9.
En una pista de carreras de 120 metros de diámetro una corredora aumenta su velocidad a ritmo constante desde 4 m/s hasta 7.5 m/s a lo largo de una distancia de 30 metros. Determine: a.) La aceleración total de la corredora cuando ha recorrido los 30 metros (magnitud y dirección). b.) El tiempo que le toma realizar el recorrido anterior.
10. La siguiente figura representa la aceleración y velocidad totales, en un instante dado, de una partícula que se mueve en la dirección de las manecillas del reloj, en un círculo de 3.0 metros de radio. Determine: a.) La aceleración total de la partícula (magnitud y dirección), en el instante mostrado, si tarda en detenerse 2.5 s. b.) Dibuje a la aceleración radial y a la tangencial. c.) La distancia que recorre la partícula hasta detenerse.
a
v 12.5m/s
11. La rapidez de los dientes de una sierra circular de 250 mm de diámetro es 45 m/s cuando se apaga el motor de la herramienta, provocando que la rapidez disminuya a ritmo constante hasta que la sierra se detiene al cabo de 9 segundos. Determine el instante en el que la aceleración total de los dientes es 40 m/s2.
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