Guía de Estadística Primer Parcial. PDF
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guía segundo semestre admin....
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Cont onte est sta a breveme brevement nte e las si gui ent nte es preguntas. Enlatabla1.10semuestrapartedelainformaciónqueuna compañíadeteléfonoscelularesposeesobresusempleadosen unabasededatos. Tabla 1.10
Nombre
Edad
Sexo
Estatura
Estado civil
Dependientes económicos
Nivel de estudios.
López José Melgar Adri Ad ri ana Núñez Pedro
39
M
1.63
Casado
2
Secundaria
30
F
1.65
Soltero
1
Licenciatura
45
M
1.78
Viudo
3
Preparatoria
a) ¿Cuáles ¿Cuáles son las unidades análisis análisis ?
López José, Melgar Adriana, Núñez Pedro b) ¿Cuáles ¿Cuáles son las variabl es que aparecen aparecen en la y tabla y de qué tipo s on cada una de ellas? Variable Variable
Clasificación dela variable
Nombre Variable de etiqueta Edad Variable cuantitativa discreta Sexo Variable cualitativa categórica Estatura Estado Civil Dependientes económicos Nivel de estudios.
de dos respuestas Variable cuantitativa continua Variable cualitativa categórica Variable cuantitativa discreta Variable cualitativa jerarquizada jerarquizada
c) Si la tabla contempla la infor mación de todos los empleados de la compañía, ¿se trata de una población o una muestra?
Población.
La compañía Consulta Mitofsky realizó una encuesta electoral en mayo de 2006 con 1400 ciudadanos mexicanos para conocer sus intencionesdevotoenlaseleccionespresidenciales.Losresultados fu er on l os s igu ie nt es : Andrés Manuel López Obrador Felipe Calderón Roberto Madrazo Patricia Mercado Roberto Campa
34% 34% 28% 3% 1%
a) ¿Cuál fue la población objetivo del estudio?
Conocer las intenciones de voto en las elecciones presidenciales b) ¿Cuál fue la muest ra?
1400 ciudadanos mexicanos c) Identifi ca los elementos de estudio:
Andrés Manuel López Obrador Felipe Calderón Roberto Madrazo Patricia Mercado Roberto Campa
d) Los resultados representan un parámetro o estadístico:
Estadístico, pues es una cantidad numérica calculada sobre una muestra que resume su información sobre algún aspecto e) El estudi o es observacional o experimental
Considero que es observacional pues un estudio observacional se refiere a que los estudios en los que el factor de estudio no es asignado por los investigadores, sino que estos se limitan a observar, medir y analizar determinadas variables, sin ejercer un control directo de la intervención.
Encadaunadelassituacionespresentadasacontinuaciónexplica silosresultadosrepresentanunparámetrooestadístico a) Una encuesta sobre discriminación en México realizada en 2005 señala que 95% de los homosexuales se siente discriminado.
Estadístico. Las características similares de las muestras las denominamos estadísticos . La media de la muestra (a la que conocemos como ) es un estadístico. En este caso las encuestas se realizan a muestras. b) Una encuesta sobre servicios bancarios en México señala que 21% de los mexicanos tiene una cuenta de ahorro, 14% una tarjeta de crédito y sólo 6% posee una cuenta de cheques. Estadístico. Las características similares de las muestras las denominamos estadísticos . La media de la muestra (a la que conocemos como ) es un estadístico. En este caso, así como el anterior, las encuestas se se llevan a cabo para las muestras. c) Resultados del censo de población y vivienda en el año 2000 en México señala que el promedio de vida de los hombres es de 73.4 años y 77.9 años en las mujeres Parámetro. Pues es una cantidad numérica calculada sobre una población, en este caso el “censo” y resume los valores que esta toma en algún atributo. Intenta resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros). a. ¿Qué elementos se deben considerar para que una muestra sea representativa de la población en general?
Investigarquéesyparaquésirvenlasdistribucionesdemuestreo: Demedias Deproporciones Devariaciones
De medias: Esta distribución de las medias de la muestra (la distribución de muestreo) tendría su propia media (mu x barra subíndice) y su propia desviación estándar o error estándar, (sigma x barra subíndice).
×
×
La distribución de muestreo de la media Derivación de la distribución de muestreo de la media
Distribu ciones de muestreo a detalle
En la terminología estadística, la distribución de muestreo que obtendríamos al tomar todas las muestras de un tamaño dado constituye una distribución teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impiden que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población. Afortunadamente, los especialistas en estadística han desarrollado fórmulas para estimar las características de estas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesaria la recolección de grandes números de muestras. En casi todos los casos, los responsables de las decisiones sólo toman una muestra de la población, calculan estadísticas para esa muestra y de éstas infieren algo sobre los parámetros para toda la población. Ilustraremos esto brevemente. La distribución de muestreo de la media: Esta distribución es la distribución de todas las medias de muestra y tiene:
× ×
= Media de la distribución de muestreo de
“mu x barra
subíndice”
= Error estándar de la media (desviación
de muestreo
las medias conocida como
de la media) conocido como
estándar de la distribución “sigma
Distribución muestral de Proporciones Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la
distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadísitico media.
Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los números posibles de éxitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que np 5 y n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el número obtenido entre el número de intentos. La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.
A es ta f ór mu la s e le p ued e agr egar el f act or de c or rec ci ón de condic iones necesarias.
si se c um pl e con las
La distribución de la varianza muestral Dada una muestra aleatoria simple {xi} de tamaño n obtenida de una variable aleatoria X con media E[X] y varianza σ2 finitas, se cumple que conforme n →∞
La distribución de la media muestral se parece a una distribución normal para muestras grandes
La varianza muestral En muchos casos es importante conocer el valor de la varianza de la población • Para aplicar el teorema central del límite • Para estimar riesgos en inversiones (el riesgo depende de la varianza) • Para estimar desigualdades en ingresos, rentas, etc. Repetimos el estudio que hemos realizado para la media muestral Partimos de que la varianza muestral es una variable aleatoria Queremos relacionar sus momentos con los de la población Y si es posible, identificar su distribución Esperanza de la varianza muestral Si denota la media muestral, se tiene que
̅
El valor esperado de la varianza muestral no es la varianza de la población Definamos la varianza muestral como Esperanza de la varianza muestral Con esta definición, tenemos E[ El valor esperado de población) •
]=
coincide con el valor deseado (varianza de la
•
es un estimador insesgado de
Distribución de la varianza muestral Nos gustaría tener información adicional sobre la varianza muestral y su distribución La distribución de la varianza muestral no es simétrica: tiene asimetría positiva. •
Distribución de la varianza muestral Si la variable X tiene una distribución normal •
La distribución de ( n − 1)s2 /σ 2 es una χ 2 (chi-cuadrado) con n − 1 grados de libertad
DENSIDAD CHI CUADRADO
2,5%
95%
2,5%
8. En una empresa de exportación de cítricos se investiga el peso medio de
cierta variedad de naranjas. Se admite un error máximo de 10 gramos, con una confianza del 95%. Se sabe por estudios anteriores que el peso medio se distribuye normalmente, siendo la desviación típica de 60 gramos. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se va a elegir? Datos
Error máximo: 10 gramos Confianza: 95% S= 60 gramos
=[ⅇ] ( )( ) 1. 9 6 60 = 10 = 138.2976
El tamaño mínimo de la muestra será de 138 de cierta variedad de naranjas. 9. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración
aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas? Datos
Media real: 10 gramos Confianza: 96% S= 40 hrs.
=[ⅇ] (2. 0 53)(40) = 10 = 67.436944
Para estimar la media de la población, el tamaño de la muestra será de 67 focos con una duración media real cuyo error máximo será de 10 horas. 10. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad
de México, se encuentra que 340 están suscritas a HD. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.02? Datos
P= 0.02 Confianza: 95% 500 familia representa el 100% 340 familias= 68%
= ⅇ
3 2) = (1.96)(0.(0.062)8)(0. = 2089.8 = 2090
Por lo tanto, Se concluye que se puede tener una confianza del 95 % de la proporción muestral si basamos nuestra estimación de P sobre una muestra aleatoria de tamaño 2090, la cual no diferirá de la proporción real por más de 0.02. 11. Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para
conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere una confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.10?
= ⅇ
Datos
(0.50)(0.50) 2401 ( 1. 9 6) = (0.10) = 25 = 96.04
p= 0.50=q Confianza: 95% Error máximo= .10
Se requiere un tamaño de muestra de 96 personas que residan en el estado en donde labora, para que la estimación tenga un error máximo de 0.10 con una confianza del 95% Sea la población de elementos: {11,12, 13}. a) Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. # MUESTRA 1 2 3
POSIBLES OPCIONES
{11,12} {11,13} {12,13}
11.5 12 12.5
1/3 1/3 1/3
b) Calcule la varianza de la población.
= ∑( ) + (1212) +(1312) ( 1112) = 3 = 23 = 0.66
c) Calcule la media y varianza de las medias muéstrales.
( ̅ ) = ⁄ (.) ̅ = =
=0.3329
() = ̅ =
5)(1) = 12 () = ̅ = (11.5)(1)+(12)(1)+(12. 3 12. Una compañía de seguros tiene 25000 automóviles asegurados. Se asume
que el pago anual a un asegurado es una variable aleatoria que se aproxima a una Normal con media $500.000 y desviación estándar $20.000. Se selecciona una muestra aleatoria de 40 automóviles asegurados, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un pago anual promedio de por lo menos $506.540? Datos
= $. = $20.000
n= 40 automóviles
( ≧ .−. ( ≧ ( ≧ .
500.000 506.540
≈ .% ≈ % 13. Las ventas mensuales de una línea de productos en una empresa comercial
es una variable aleatoria que se aproxima a una Normal con media $800.000. Se revisan los últimos 25 registros mensuales de esta empresa y se encontró una desviación estándar de $32.000, ¿cuál es la probabilidad de encontrar ventas promedio mensual por debajo de $810.949? Datos
= $.
n= 25 registros mensuales
= $32.000
( < .. ( < .√ ( < ..√
800.000
≈ .% ≈ %
810.949
La probabilidad de encontrar ventas promedio mensual menores a $810.949 es de 95%, podría asumirse que sus ventas no son muy dispersas a su media de $800.000
14. Un fabricante de medicamentos asegura que cierta medicina cura una
enfermedad de la sangre en el 82,5% de los casos. En una muestra aleatoria de 200 individuos: ¿Cuál es la probabilidad de que esta medicina cure al menos 172 individuos?
( ≥
Datos n= 200 individuo s p= 82.5 % de los casos q=17.5%
15. Una empresa de pasteles fabrica, en su producción habitual, un 3% de
pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del 5% de pasteles defectuosos.
( > = % = . (̂ > .(.−. )(.) = 97% = .97 ( > .. ( > . .
Datos
n= 500 pasteles
3%
≈ .%
0.5
16. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25
= 6
observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza muestral: 17. Mayor que 9.1 18. Entre 3.462 y 10.745 19. Se considera una medición física realizada con un instrumento de precisión, donde el interés se centra en la variabilidad de la lectura. Se sabe que la medición es una v.a. con distribución Normal y desviación típica 4 unidades. Se toma una m.a.s. de tamaño 25. Obtener la probabilidad de que el valor de la varianza muestral sea mayor de 12.16 unidades cuadradas.
http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01b.html http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/EItema5.pdf levin
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