GUÍA DE EJERCICIOS (Limites)

 

Guía de Limites de Funciones

1

GUÍA DE EJERCICIOS N°4 - LÍMITES PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN Evaluar los siguientes límites:

 x 2 − 3 x + 6 li lim m   5x − 1 1.  x →2

lim

3.

5.

 x →1

2.

 x 2 − 1

li lim m

 x − 1

 x → 4

li lim m

lim lim 3  x + 4

 x →4

 x 3 − 2 x 2 +  x  

lim lim

x −1

 x →4

6.

( x lim lim 7.

4 − 16 +  x

 x →0

4.

 x →3

2

 

 x 25 − ( x + 1)

2

 5 + ( x + 1)

− 9) ( x 3 + 2 x 2 − 3 x )  x 2 − 3 x

0 FORMA INDETERMINADA 0 :

1.

Calcula Calcula los los siguientes siguientes límites, límites, elimina eliminando ndo las las indetermi indeterminaci naciones ones que que se presen presenten ten 3  x − 1

 Lim 2 a  x→1   x − 1  x 4 − 16  Lim 3 d  x → 2  x − 8

 Lim !

 Lim e

 $

v −3 2h + 3 − h

 Lim m

h−3

h →3

 p

2.

r →8

 Límites de funciones

t 2 − 5t  + 6

 x → 2

 f  ( x)

=  x 2 − 3 x ,

t 3 + 64

 Lim c. t →−4  t  + 4  x − 64  Lim  x → 64  x − 8 " 2

 Lim  x + 2 x + 1 i  x → −1  x + 1

 Lim l

( x − 2)2  x 2 − 4

( x + 1)3  Lim 3 q  x→−1  x + 1

r  − 8  

&ada la "unci'n

 Lim n

r  − 2

3

 Lim

t 2 − 9

3

v +1 − 2

v →3

t →3

  m −1

 x − 1  Lim #  x →1    x − 1 5+ n − 5  Lim n →0 2n %

3 2  Lim 5u4 + 8u 2 g u →0 3u − 16u

 Lim

m→1

2 3m − 3

o

 x − 2

+  x − 6 −  x + 2  Lim  x → 2 4 −  x 2

 x → 2

 x

3

 Lim r

 Lim  f  ( x + h) −  f  ( x ) h #allar h → 0

 x → 27

2

 x − 3

 x − 27

 

Guía de Limites de Funciones

2

 Lim

3.

&ada  f  ( x) =     5 x + 1   #allar

4.

(esu (esuel elve ve lo los s sig sigui uien ente tes s lím límit ites es::

 f  ( x + h) −  f  ( x )

h→0

h

(3 x − 1) 2 a  Lim ( x + 1)  x →1

 Lim d

 x →0

d

 Lim e 5.

g

3 +3

v →2 v !  Lim

− x

e #

 x →−1

1 5.

1 −  x  x →1 1 −  x c  Lim

−4

 Lim

 x − 4

 x → 2

 Lim

h

2

 x − 2

 Lim

( x +  h ) 3 −  x 3

h →0

  cuando

v−2

3

− x  x 3 −3  x

 x > −

2

 x →1

"

( x 2 + 3 x + 2)

 Lim

 x 2 + 4 x + 3

(2 x + 3)(  x − 1) 2 x 2 +  x − 3 (2 + h) −2 − 2 −2

h →0

i

h

(esu (esuel elve ve lo los s sig sigui uien ente tes s lím límit ites es::

( )   a )i  f    x = bx

2

+ cx + d  ,

 Lim demuestre que

 f  ( x + h) −  f  ( x)

h →0

h

= 2bx + c

 f  ( x + h) −  f  ( x ) 2 ! )i  f  ( x  )   = x  , demuestre que

 f  ( x ) = c )i

1

 x , demuestre que

h →0  Lim

 Lim

= 2 x

h  f  ( x + h) −  f  ( x)

h →0

h

=−

1

 x 2

LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

*tilice *tilic e la divisi'n divisi'n sint+tica para "actoriar, "actoriar, - así poder eliminar eliminar las indetermin indeterminacio aciones nes en los siguientes límites:

1.

3.

5.

7.

 Lim  x →1

 Lim  x → 3

6 x 5 − 4 x 4 + 3 x 2 − 9 x + 4

 Lim 2.

 x 2 −  x − 6  x − 3

 

 Lim

 x →1 / 2

 Lim

 x 4 − 8 x 3 + 9 x − 2

 

4.

4 x 3 − 8 x 2 + 11 x − 4 2 x − 1

 

6.

a 4 − a 2 + 2a + 2

a → −1  

 Límites de funciones

a +1

5 x 4 +  x 3 − 2 x − 76

8.

 x

→ −2  

 Lim

 x → −2

 Lim

a → −2

 Lim  x →1

 x 3 − 2 x 2 +  x + 18  x 3 + 4 x 2 −  x − 10

 

 x + 2 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16

 

a+2  x 4 + 5 x − 6

 

 x − 1

 

Guía de Limites de Funciones

3

Solucio!"#

 Indeterminaciones 0/0  Indeterminaciones 1) 1) a  a 32 ! 6    

# 13 o 14

i  p 112

c 4/

d /3

e 6

" 16

g 012

$ 14 q 

%  r 127  

l 15

m 023

n 

5 2) 2) 2  2 0 3 3) 3)   2 5 x + 1 4) 4) a  a 12 ! 14 c 12 d  e   ________________  __________ ______ La división sintética en El cálculo de límites 1 01 2 057 3 5 4 05  ________________  __________ ______

" 12 g 32  

5 3

 

# 12

6 2/

TEOREMA DE LA UNICIDAD 1.

all allar ar el el lí lími mite te,, en cas caso o de que que ei eist sta. a. 2  x + 1,   si  x < 5  f    x = ( )  li lim m  f  ( x)  x → 5 6 x − 7,  si  x > 5 a allar  , si

 x 2 + 2 x − 5,   si  x < 1  f  ( x) =  li lim m  f  ( x) 3 x − 7,  si  x > 1 ! allar  x →1  , si  x 2 − 4 ,   si  x < 2   f  ( x) =   x + 2 li lim m  f  ( x)  x(6 x − 12),  si  x > 2  x → 2  c allar  , si

Si

 ax 2 − 4 ,   si x > 3  f  ( x) =   x − 2 −  x,   si x < 3  

3.

Si

 3ax − 4 ,    f  ( x) =  4 x − 7 4 x,  

4.

5ax 2 − 3,   si x > −1  f  ( x) =  li lim m  f  ( x)  si x < −1 − 5 x,  Calcula el valor de a para que  x→  −1   eista. Si

2.

lim  f  ( x)

Calcula el valor de a para que  x →3

  eista.

2

 Límites de funciones

si x

>2

si x

lim  f  ( x ) < 2   Calcula el valor de a  para que  xlim →2   eista.

7 

i 014

/ 

 

Guía de Limites de Funciones

4

Para Complementar

CÁLCULO DE LÍMITES

1)

lim( 3 x  x →1

lim lim

4)

lim ( x

− 6 x + 1)

2

2)  x → 2

 x 2 − ( a + 1) x + a  x 2 − a 2

 x → a

lim 5)

 x +  x − 2

 x →1

lim lim

 x 2 − 2 x + 1

7)

lim lim

10)

lim lim

8)

 x 2 − 6 x + 9

 x →0

 x

11)

4 2 lim lim  x 4 − 6 x 3 + 8 x − 3  x 1 13) →  x − 2 x + 2 x − 1

lim

16)

19)

 x →0

−

 x

 x → −2

 x + 2  x + 3 − 1

 Límites de funciones

 x →5

17)

 x 3 + 7 x 2 + 15 x + 9

 x − 5 x

  1 + 1      x → 4  x + 2  x − 2    

6) 

lim lim 9)

 x →1

2

lim lim

 x →5

3

3

lim 

 x 2 − 25

 x 3 − 6 x 2 + 5 x

 x 2 + 2 −  x

12)

 x 4 −  x 3 +  x − 1

( x + 1) 3 lim  x → −3 ( x + 3) 4 lim

15) 18)

lim lim

 x →a

 x → −3

 x + 2  x + 3 − 1

 x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 lim lim

21)

 x − a  x − a

 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 4

 x → −2

lim lim +

20)

 x → −4

( − 3 x +  x )

2

4 3 lim  x3 − 2 x2 +  x − 2  x → 2  x + 4 x − 11 x − 2 14)

3

   x − 2  x 2 − 4     − li lim m    x → 2   x 2 − 4 −  x 2     lim

22)

3 +  x

 x →−3

lim

2

lim

 x + 5 x + 3 x − 9 3

 x 2 − 2 x + 1

3)

 x 2 +  x − 2

2

 x →−1

− 2 x + 1)

2

 x →0

 x + 2  x + 3 − 1