Guia de Ejercicios Calculo 1-Ing. Valencia

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO GUIA DE EJERCICIOS MAT - 101 CALCULO I

L=

(

)

⎡ x 2 + sgn x 2 − 1 − 1 ⎤ ± ⎢ ⎥⎦ x →− 2 ⎣ lim

Elaborado por: Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta Colaboradores: Ariel Cruz Limachi Julio Uberhuaga Conde

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS PRIMER PARCIAL FUNCIONES Cuales son relaciones y cuales funciones 1 5 3 ⋅ y 2 = 25 − 9 ⋅ x 2 + 13 ⋅ y y2 ⋅ x − 3 ⋅ y2 = 1 2

x3 + y 3 − 3a ⋅ xy = 0

3

y = x 2 − arcsen ( y − 1) =

4

r=

π 4

2 1 − cos θ

9

x3 y 2 = e5 x y x − 2

6

( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 4a 2 ⋅ x 2 = c 4

10

3y 3y+2 = x+ 2 x −3

7

⎛ x⎞ e y + 2 x3 + In ⎜ ⎟ − 4 = 6e y + 2 ⎝2⎠

11

x+ y =2

8

r 2 = 9 cos ( 2θ )

12

y + x =4

2 Para las funciones siguientes hallar su dominio

1

y=

x ( x − 3)

⎛ 2+ x⎞ + In ⎜ ⎟ ⎝ 2− x⎠ x2 − 1

−x

2

1 + y= 2 2+ x 4− x

3

y=

9 1 − + x −3 x

(

(

x2 − 5x + 6

2

2

x − 16

4

y = In arcse x + 6 x + 9

5

y = lg 4 7

16

y=

))

⎛ x9 + 18 ⎞⎟ + lg 1 ⎜ lg 3 8 27 ⎟ ⎜ x8 2 ⎝ ⎠

4+ x

4

( x + 1)

2

+

18 19

y = x 2 + 4 x − 12 +

⎛ ⎛ x ⎞⎞ y = arcsen ⎜ In ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ e ⎠⎠

y = −x +

7

⎛ x −1 ⎞ y = In ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 − x +1 ⎠

12

y=

8

y = sen ( 2 x ) cos ( 2 x )

13

y = lg (2 x −9) ( x − 4) − 1

9

y = In2 x −9 ( x − 4 ) − 1

14

y = sen ( 2 x ) + sen ( 3x )

10

⎡ ⎤ y = log 4 ⎢log 1 log3 x ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦

15

y = senx ⋅ cos x

(

x −3 − 49 x +1

⎛ 2x ⎞ y = arcsen ⎜ ⎟ ⎝ 1+ x ⎠ y = arcsen (1 − x ) + In ( In ( x ) )

17

2 2+ x

6

11

)

x 2 − 3x − 4 5 − 16 − x 2

⎡ 4 ⎣

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

3⎤

Rpta: ⎢ − , −1⎢ U ⎥ −1, − ⎥ 3 4

⎦

⎡ 1 ⎤ ⎣ 3 ⎦ Rpta: ]1, 2] Rpta: ⎢ − ,1⎥

3x 2

Rpta: [ 2,5[

x + 20 − x 2

Rpta: ⎡ −2, − 3 ⎤ U ⎡ 3, 2 ⎤

y = 1 − 4 − x2

⎣

1

⎦

⎣

⎦

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

Para las funciones siguientes hallar su Rango 1

y=

2

y=

x2 + 3

⎤ 3⎤ ⎦ ⎦

Rpta: ⎥1, ⎥ 2

x2 + 2 x

Rpta: [ 0, ∞[

10

y = − x2 − 4 x + 4 − x2

Rpta: ⎡ − 15, −1⎤

11

f( x ) = 8 x

12

4 x2 − 1 f( x ) = 2x +1

x2

4

y = 2x − x

5

y=

( x − 2)

2

⎣

x2 − 1 sgn x 2 − x − 6 − 1

⎦

Rpta: {−10, −5}

6

2− x + 3x − 1 2 f( x ) = 5 x − 1 − 15 + 6 x + 2

7

f( x ) =

x2

2 x2 + x + 1 2 x +1 − 5 y= 2 x − 2 +1

⎤2 ⎤ Rpta: ⎥ ,1⎥ ⎦9 ⎦

13

x2 x + 2 ⎡ 13 ⎡ − 3x − 1 Rpta: ⎢ − ,3⎢ x 2 ⎣ 4 ⎣

14

y=

∈ ]−3,5[

5 x − 15 2x − 5 + x2 x−4 x+2

x− x

Rpta: ⎡ 2, 2 3 ⎤

⎣

:

]−22, 26] + {−29}

∧ x ∈ ]0,1[

5− x f( x ) = x 2 − 4 , x ]1,3] ∈ 2

⎤ ⎦

2

3

4

(

)

⎛ x 1 ⎞ y = x 6 ⋅ sen3 ( x 2 ) ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ 3 ⎝ x x ⎠ ⎛ 1 + x4 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ y = ⎜1 − +x ⎟⎜ + ⎜ ⎟ ⎝ x 1 − x ⎟⎠ 1 x + ⎝ ⎠

1 ⎞ y = x ⎜ x x + ⎟ sen( x 4 ) x3 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ x 2 + 1 − 2 − 6 cos( x) ⎟ y = In ⎜ ⎜ x 2 + 16 + x ⋅ sen 2 x ⎟ ( )⎠ ⎝

y = x + 2 x 2tg ( x )

9

⎛1⎞ 1 y = x ⋅ sen ⎜ ⎟ + ⋅ sen ( x ) ⎝ x⎠ x

6

y = x + 4 x2

10

y = tg

11

y = x + −x + x ⋅ x

12

y = x2 + x + 1 − x2 − x + 1

ex +1

7

y=

8

⎛ x +1 +1⎞ y = In ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x −1 +1 ⎠

e− x − 1

x + sec ( x ) − ctg ( x ) 2

Realizando un análisis completo construya la grafica de: 1 2

yx − x 2 − 100 = 0

x ⋅ y = 10

3

yx 2 − x − 9 y = 0

4

y=±

5

x2 y 2 − 1 − 2 y 2 + 1 = 0

(

x 2

x +1

)

8

x 2 y − x 2 − 50 xy + 125 = 0

15

y 2 x − x2 = y 2

9

x3 − xy − x 2 y + y 2 = 0

16

xy 2 − 6 x − xy = 6

10

xy 2 − 2 = 2 x − xy

17

11

2 y = e− x + 3 x − 2

18

( ) x ( y2 − x ) − 4 y2 +1 = 0

19

y = x3 − 3 x + 2

12

y=

2 x2 − 4 x + 6 2

x − 2x + 2

2

y = In x 4 − In (1 − x )

3

⎣

Rpta: [ 0, ∞ ]

5

3

2⎛

1⎡

Rpta: ⎥ −1, − ⎢ 2

Identificar cuales son funciones pares y cuales impares 1

⎦

Rpta: ]−2, ∞[

1− x + x −1 2−

⎡ 4⎤ ⎣ ⎦ ⎡ 5 ⎤ Rpta: ⎢ − ,1⎥ ⎣ 7 ⎦

Rpta: ⎢ 0, ⎥ 7

9

x +1

y=

x2

Rpta: ]−1,1[

2

3

f( x ) =

8

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

x3 + x 2 − 1

6

y=

7

y 2 x 2 − 25 = x 4 + 3

(

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

x2 − 1

)

1

y=

13

x3 + x 2 − 6 x 2x − 3 y= 3x + 2

14

20

y=

21

y=

x2 x2 − 1

x3 4− x

FUNCIONES ESPECIALES Determinar el dominio

f( x ) =

2

f( x ) =

3

f( x ) = −

4

f( x ) =

5

4 9− x

2x −1 1− x

(1 −

Rpta: ]1, ∞[

1− x

x− x

f( x) = x − 16 +

)(1 +

7

f( x) =

x −x

Rpta: x ∈ Z

)

(

x 2 + x − 12 sgx x 2 + 12

(

x − 3 − sgn x 4 − 16

)

)

Rpta: ]−∞, −4] U ]4, ∞[

3 3

x + 2x +1

4 2

f( x ) = x − 16 −

9

Rpta: ]−1,1[

x2 − 4 x x− x

4 2

(

x + 3 − 2sgn x 4 − 16

x 2 − 1 − x3 − 1 +

(

x − 3 − sgn x5 − 32

f( x) =

x2 − 2

⎪⎧ x − x f( x) = ⎨ ⎪⎩ x − x + 6

Rpta: ]−∞, −5[ U [ 2, ∞[ U {−2}

)

1− x − 2

Rpta: ⎡1, 3 2 ⎡ U ⎡ 2, 3 3 ⎡

⎣

4 2

x −1

)+

x 2 − 1 − x3 − 1 − sgn ( x )

x

es par

x

es impar

f( x) =

− sgn ( x ) + 1 x −1

+

Analizar el dominio, el rango y trazar la grafica de las siguientes funciones 1

y= x + x

23

y = x +1

2

f ( x) = 2 − 3 − x 2 − 1 + 6

24

f ( x) = 4 − 7 − x 2 + 4

3

y = sgn x 2 − 4 x − sgn x 2 + 2 x

25

⎛ x +1 ⎞ y = x − sgn ⎜ ⎟ −1 ⎝ x−2⎠

(

⎤ ⎦

Rpta: ⎢ , 2 ⎥ U ]3,9[ 4

3− x

6

8

⎡1 ⎣

4 x − 16

1

)

(

)

3

x2 − 9 − 2 x − x2

⎣ ⎣

⎣

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

4

⎛ x −1 ⎞ y = x 2 sgn ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x −2⎠

5 6

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

26

y = 2 x2 − 8 x + 5

y = 1 + 2 x + 1 − sgn x 2 − 1

27

y = x + x +1

y = 4 − 5 − x2 − 1 + 2

28

y = x2 − 4

29

f( x ) =

30

⎛ x +1 ⎞ y = x sgn ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x −2⎠

31

x = y + 2 −1

32

f( x) =

33

⎛ x+2 ⎞ 2x + 5 −1 f( x ) = 9 − x 2 ⋅ sgn ⎜⎜ ⎟⎟ + x+3 ⎝ x −1 ⎠

(

)

x 2 sgn ⎡⎣( x − 1) x + 2 ⎤⎦

(

)

2x + 3

∧

x ∈ [ −3,3]

3x − 1 − 2 x − x − 1 + 4 x − 2

7

f( x ) =

8

y = 1+ x − x

9

f( x ) = 1 + 2 x + 1 − sgn x 2 − 1

10

f( x) =

x +x x− x

11

f( x) =

2− x x− x

12

f( x) =

x −1 + x + 2 x −1+ x + 2

34

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ y = sen ⎜ x ⎟ + sen ⎜ x ⎟, ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

13

f( x) =

x +x x+ x

35

f( x) =

14

2− x + 3x − 1 2 y= 5 x − 1 − 15 + 6 x + 2

36

1⎫ ⎧ f( x) = x x + ⎨ x + ⎬ 2⎭ ⎩

15

y=

37

x + sgn ( x − 3) − 2 y = 2sgn ⎜⎛ 9 − x 2 ⎟⎞ + +1 ⎝ ⎠ x − 2 + x −1 − x − 3

38

x + 2 + 2 − sgn ( x ) ⎛ x −3 ⎞ y = sgn ⎜ ⎟+ x + 3 +1 ⎝ x+4⎠

39

⎛π ⎞ ⎛π f( x ) = sen ⎜ x ⎟ + sen ⎜ ⎝2 ⎠ ⎝2

40

⎧⎛ x − 4 + 2 ⎞ ⎪⎜⎜ ⎟ sgn ( x + 3) ⎪⎝ x − 4 + 1 ⎟⎠ y=⎨ ⎪ x sgx x ( ) ⎪ x −1 ⎩

x −1 − x 1 1 + x x x

(

)

∧ x ∈ [ −4, 4]

x2

1⎤ ⎤ x ∈ ⎥ −2, ⎥ 5⎦ ⎦

∧

x + { x} + 1 sgn ( x ) − x

e

−x

2

+ x +1 +

(

16

y=

17

⎧⎪ x f( 9 − x ) si y = ⎨ ⎪⎩ x + 1

18

; x 3

x + 3 + sgn ( x − 1) y = sgn ⎛⎜ 9 − x 2 ⎞⎟ + x + 2 +1 ⎝ ⎠

4

(1 −

x x− x −6 x− x

)(1 +

x −x

)

x ∈ [ −2, 2]

4x − 3 −1 3 − 4x

⎞ x ⎟ en [ −2, 2] ⎠

x ≥2 x 4 −4≤ x < 0

42

0 ≤ x ≤ −1

log a ( x) si a > 0 ∧ a ≠ 0 21

22

log ( x ) ≥ 0

⎧lg ( x) ⎪ a log a ( x) = ⎨ ⎛1⎞ ⎪log a ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎩ ⎧ ⎪ x +2 ⎪ ⎪ x f( x) = ⎨ + x2 ⎪ 2 ⎪1 − x + 1 ⎪ ⎩ 2x −1

)}

⎧ sgn − x 4 − x2 x ≤2 ⎪ ⎪ f( x) = ⎨ ⎪ x 4− x x >2 ⎪⎩ x ⎧sgn x 2 − 4 x2 ≤ 9 ⎪ ⎪ ⎪ x+6 x 2 − 12 x < −27 f( x ) si f( x ) = ⎨ ⎪ 3 ⎪ x 2 + 10 x + 21 x−3 > 6 ⎪⎩ ⎧sgn x 2 − 4 x ≤3 ⎪ ⎪⎪ x + 6 f( x) = ⎨ 3< x x 1 ⎪⎩ 2 x + 3

Rpta: ⎤ −∞, 2 ⎤

5

⎦

⎦

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

6. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = sgn

(

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

x − 2x −1 − x − 3

⎧1 − x ⎪ 7. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = ⎨ x ⎪−3 ⎩

∧

x ∈ [ −3,5]

⎧⎪ − x − 1 ⎪⎩ x ⋅ sgn ( x ) − 2

[ −4, −1] [0, 4]

y g( x ) = x ⋅ x − 2

⎧x −1 ⎪ 2 ≤ x < 5 y g( x ) = ⎨3x − 2 ⎪ x≥5 ⎩ −2

⎧⎪ x + 2 x − 1 ⎪⎩ x + 2

8. Hallar ( f ⋅ g )( x) si f( x ) = ⎨

⎧⎪ x 2 − 5 x ⎪⎩ x − 2 − 2 x

9. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = ⎨

)

x x 3 x 1 ⎪ ⎪ x −1 12. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = ⎨ y g( x ) = ⎨ −2< x ≤ 2 2 x =1 ⎪ 1− x ⎪x+2 ⎪ ⎪2 + − x x≤2 x < −1 ⎩ ⎩sgn ( x ) + x

( (

))

⎧ x2 − 5 ⎧⎪1 − x [ −2, −1[ ⎪ y g( x ) = ⎨ 13. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = ⎨ ⎪⎩ 4 + cos ( x ) x > 0 ⎪ sen ( x ) − 5 ⎩

]−∞, 0[ ⎤ π⎡ ⎥⎦ 0, 2 ⎣⎢

⎧( x − 1)2 − 5 ⎪ Rpta.: ( f + g ) x = ⎨ ( ) −1 ⎪ ⎩ 2 14. Hallar ( f + g )( x ) si f( x) = x − 6 x + x − 3 + x x ∈ [ 0,3] y g( x ) = x x − 6

Rpta.:

6

[ −2, −1[ ⎤ π⎡ ⎥⎦ 0, 2 ⎣⎢

x ∈ ]−2, 4]

( f + g )( x ) = 6 x − 3

x ∈ [ 0,3]

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

⎧−2 x ⎪ 2 15. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = x − 3 + x + 1 y g( x ) = ⎨ x − 1 ⎪2 x ⎩

x>3

16. Hallar ( f + g )( x ) si f( x ) = x + 3 + 2 x

−1 ≤ x ≤ 3 x < −1

⎧−2 ⎪ Rpta.: ( f + g ) x = ⎨ x 2 + 3 ( ) ⎪2 ⎩ ⎧ x+6 ]−2, 0[ ⎪ ; ]−1,1[ y g( x ) = ⎨ 2 ⎪x2+ x [ 0,1[ ⎩ Rpta.:

17. Hallar y =

g( x ) f( x )

⎧⎪ x − 1 sgn ( 3 − x )

si f( x ) = ⎨ x2

⎪⎩

[0, 6] ]6,10[

x>3 −1 ≤ x ≤ 3 x < −1

⎧⎪4 − 2 x + = f g ( )( x ) ⎨ 2 ⎪⎩( x + 1) + 2

⎧⎪ x − 2 ⎪⎩ x x − 2

y g( x ) = ⎨

]−8,3[ ]3,8[

⎧ x−2 ⎪ ⎪ x −1 ⎪⎪ x ( x − 2 ) Rpta.: g( x ) = ⎨− x −1 ⎪ ⎪x−2 ⎪ ⎪⎩ x ⎪⎧1 − 2 x 18. Hallar y = ( f + g ) x si f( x ) = ⎨ ( ) ⎪⎩ 3 + cos x

[ -1,0[ [ 0,∞[

⎧ x2 ⎪ y g( x ) = ⎨ ⎪⎩ senx 2

[0,3[ ]3, 6] ]6,8[

]−∞, 0[ [ 0,π ]

⎧( x − 1)2 ⎪ ⎪4 + sen ⎪⎪ Rpta.: g( x ) = ⎨ ⎪3 + sen ⎪ ⎪2 + sen ⎩⎪

( x2 ) ( x2 ) ( x2 )

7

]−1, 0[ [0,1[

[ −1, 0[ x=0

]0, π ] ⎤ π ,π ⎤ ⎦2 ⎦

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 1. Si g ( x −1) =

x−2 x −1 y ( f o g )( x ) = , hallar f ( x + 2 ) x +1 2x +1

7 x 2 − 139

2. Si f (x 2 − 20 ) = 2 x + 17 3.)Si f ⎛ x −1 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ x+2 ⎠

Rpta.: f ( x + 2 ) =

x+2 x+3

Rpta.: (g o f )( x ) =

y f ( x −1) = g ⎛ 2 ⎞ , hallar ( g o f )( x ) ⎜ ⎟ ⎝x⎠

14 x + 24 13 x + 5

x + 2x2 +1 2x −1 3x − 1 −1 , g⎛ 1 ⎞ = y (h o g o f )( x −3 ) = hallar h ⎛⎜ 3 x +1 ⎞⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ x + ⎟ ⎜ x x −3 x+8 ⎝ x⎠ 4

⎛ 162 x − 20 ⎞ ⎟ ⎝ 171x − 35 ⎠

2

Rpta.: h −1⎛⎜ 3 x +1 ⎞⎟ = ⎜ 2 ⎝

4. Hallar ( g o f

)( x )

si: f( x ) = ( x − 2 )

5. Hallar el rango de ( g o f

)( x )

f ∈ [3,∞[

-1

y

⎡1 ⎡ g ∈ ⎢ ,∞ ⎢ ⎣2 ⎣ Rpta.: ( g o f ) x = x ( )

g( x ) = 2 + x -1

x ∈ ]−8,1[

2 si: f( x ) = 4 x − x

y

⎠

g( x ) = 1 − x

x ∈ ]−4,0[

Rpta.: Rang ( g o f

6. Si

f⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

7. Si f ( x ) =

2 x3 − 5 = 3 + 3 . Hallar 3x + 4

(x)

3

9. Si f ( x −1 ) =

∧

( f o g )( x ) = x 2 + 6 x + 2

. Hallar f( x )

5 ⎡⎣

7 x 3 + 11 b) ( f o f )( f ( x ) ) = 4 x3 + 3 −1

∧

g( x )

3 x3 + 1

2x + 5 −1 −1 y g ( x −1 ) = . Hallar ( g o f )( x −2 ) 3 x−6 x +1

⎧1 x 0 ⎩ 11. Hallar

)( x ) ⎤⎦1,

3x + 2 3x − 1 7 ⋅ x −1 y ( g o h o f )( x ) = . Hallar h( x −3 ) , g( x) = x x+6 x−5 6 − 5⋅ x

2 8. Si ( g o f )( x) = x − 4

x+2

f

3 x − 11 Rpta.: a) f ( x ) = − 4x − 7 −1

−1

x ∈ [3, 4]

( f o f )( x )

12. Hallar ( f o g )( x )

⎧⎪1

⎧x ⎪ Rpta.: ( f o f ) x = ⎨ 1 ( ) − ⎪ 2 ⎩ x

x 1

⎧⎪ x + 3 x si: f( x ) = ⎨ ⎪⎩ x + x

Rpta.:

]0, 4] ]4, ∞[

⎧ x2 − 1 ⎪ y g( x ) = ⎨ ⎪⎩ x3

8

( f o f )( x ) = x4

x0 x ∈ ]1, ∞[

]−2, 2[ ]2, ∞[ Rpta.: Dom ( f o g ) : ]−2, ∞[ − {0, 2}

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO

13. Hallar ( f o g )( x )

MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA

⎧3 x − 1 ; − 3 ≤ x < 4 ⎪ y g(x ) = ⎨ 2 x ⎪⎩ x + 1 ; 4 ≤ x ≤ 8

⎧x2 −1 ; − 7 < x ≤ 1 ⎪ si: f ( x ) = ⎨ 2 ; 1< x ≤ 5 ⎪ ⎩x + 2

2 ⎧ 2 ⎪9 x − 6 x ; − 2 < x ≤ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 Rpta.: ( f o g )( x ) = ⎨ ;