Guía de Autoestudio de Matemáticas para el curso de Reforzamiento

Matemática

Agosto 2013

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO Comisión de matemática encargados de elaborar el documento

Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) -UNI Iván Cisneros Díaz - UNAN-Managua Francisco Emilio Díaz Vega -MINED Humberto Jarquín- MINED Héctor Flores Guido -UNAN-León Luisa Mercedes Barrera Delgado- UNAN-León Carlos José Medina Prado -UNAN-León José Manuel Siles Huerta -UNI Elías Martínez Rayo -UNI Marco Antonio López González -UNAN-León

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO I.

Aritmética

1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a : a) 312

b) 911

c) 333

d) 933

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? a) 90%

b) 99%

c) 100%

4. Al simplificar [(9 - 4) + (-10 + 3)] (6 resultado es: a) 1

b) -1

d) 101%

(-5)) [(-12 + 8) (6 - 9) (95 - 90)] el

c) 2

d) -2

5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? a) 15

b) 18

6. Al simplificar 4 (3)2 6 - 3 a) 19

b) -11

c) 17

+ 2 [5 (7) - 15 c) 11

d) 20

3] 4

12 - 9. El resultado es d) 29

7. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir usando sólo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? a) 55

b) 4.54

c) 4.55

d) 5!

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? a)

59

b) 79

c) 10

d) 60

de los hombres están casados con los

9. En una ciudad

de las mujeres. Si

nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad? a)

b)

c)

d)

10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? a) 3

b) 10

d)

c)

11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5 ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? a) 21

b) 25

c) 49

d) 50

2 4 6 − ÷  12. El resultado de 3  5 7  , es:

A.

−

4 15

B.

−

4 35

C.

−

7 45

D.

−

2 105

E.

−

4 75

13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? A. 8%(17)

B. 10%

C. 16%

D. 20%

E. 60%

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14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los

3 7 de los del costo de un juguete 5 2

que me ha costado C$40.00? A. gano C$24 B. pierdo C$24 C. gano C$100 D. pierdo C$40

E. gano C$44

15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40 %, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9,000, la mayor de las aportaciones fue de: A. C$10 500 B. C$12 000.

C. C$24 000

D. C$60 000

E. C$65 000

16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? A. 88

B. 85

C. 84

D. 78

E. 75

17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$ 240.00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$ 30.00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$ 40.00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? A. 4 B. 7 C. 5 D. 8 E. 6

18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? A. 5

B. 10

C. 15

D. 16

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E. 18

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19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante?

A.C$ 1 000

B.C$ 1 500

C. C$ 2,000

D. C$ 2 200

E. C$ 3,000

20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000 cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma? A. 1 090 cc

B. 999,1 cc

C. 991 cc

D. 990 cc

E. 910 cc

21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? a) 2003n

b) n2 + 2003

22. La solución de

a) 2

c) n3

d) 2n2 + 2003

c) 1

d) -1

es:

b) -2

23. Calcular el producto L

H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo

a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39 a) 310

b) 280

24. Una epidemia mató los

c) 300

d) 100

de las reses de un ganadero y luego él vendió los

de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? a) 1600; 950; 220 d) 1600; 84; 1300

b) 1728; 1080; 432

c) 1539; 1080; 243

−2 −4 25. Al realizar la operación: (4,62 x 10 ) : (2,2 x 10 ) se obtiene el número:

a) 2100

b) 2,1

c) 21

d) 210

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 1 3 26. La Expresión 2 + 2 es equivalente a:

A.

2 −32 2

4 + 23 2 + 3 4 10

B.

4 − 23 2 − 3 4 10

C.

D.

4 − 23 2 + 3 4 10

E.

4 + 23 2 + 3 4 6 1+ 2

27. Al racionalizar el numerador de A. 5 − 4 2

B. 4 2 − 5

C.

3− 2

resulta:

1

D.

5−4 2

1

E.

5+4 2

1 4 2 −5

28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: A. 18

B. 36

C. 48

D. 56

21 + 2 0 + 2 − 1 −2 −3 −4 29. Al simplificar la expresión 2 + 2 + 2

A. 6

B. 8

C. 31 / 2

=?

E. 72

se obtiene:

D. 24

E. 512

30. Se va a tender una línea eléctrica de 35.75 km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125 m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al final ¿cuántos postes serán necesarios en total? A. 30 B. 36 C. 140 D. 180 E. 287

31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? A.

0

B. 15

C. 21

D. 30

E. 10

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 32. En la sustracción

, la suma del minuendo, el sustraendo y la

diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo? A. 16

B.

32 3

C. 8

D. 4

E. 2

42 − (3 − 2)2 2 33. El valor numérico de la expresión ( −6 + 1) es: 3 3 − A. 5 B. 10 C. – 1

34. Si A comió

1 4 1 2

comió; C comió queque quedó?

A.

1 4

35. Con los

B.

2 7

de un queque, B comió

1 3

3 D. 5

E.

1

de lo que quedó después que A

de lo que quedó después que A y B comieron ¿Qué parte del

1 9

C.

1 12

D.

1 24

E.

1 48

del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su 3 5

cumpleaños. Con los del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas? A. C$350

B. C$ 200

C. C$150.00

D. C$100.00

E. C$ 70.00

36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. A. 26%

B. 24%

C. 11%

D. 5%

E. 2%

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 37. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47 286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? A. C$ 5.00 2.00

B. C$4.00

C. C$3.50

D. C$2.20

E. C$

38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, es decir F=k

m1m2 d2

. Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están −8

separadas 1 cm, la fuerza de atracción es de F = 6.67 x10 dinas. ¿Cuál es la fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia? −4 A. 6.67 x10 dinas

−6 B. 6.67 x10 dinas

−10 D. 6.67 x10 dinas

−12 E. 6.67 x10 dinas

−9 C. 6.67 x10 dinas

39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por asegundo? A. 650 m.

B. 375 m.

C. 300 m.

D. 275 m.

E. 167 m.

40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? A. 2 : 5

B. 3 : 7

C. 3 : 5

D. 4 : 7

E. 7 : 3

41. Por un préstamo de 20 000 pesos se paga al cabo de un año 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? a. 15%

b. 24%

c. 12%

d. 1,2%

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? A.

0

B. 15

C. 21

D. 30

E. 10

43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? a) 7

b) 9

c) 8

d) 10

44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M, se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? A.

7

B. 15

C. 21

D. 30

E. 37

45. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47 286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? A. C$4

B. C$3,50

C. C$2,20

D. C$ 2

E. C$0,50

46. En la sustracción a – b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo?

A. 16

47. Con los

B. 2 7

32 3

C. 8

D. 4

E. 2

del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su 3 5

cumpleaños. Con los del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas? A. C$350

B. C$ 200

C. C$150

D. C$100

E. C$ 70

48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO A. C$1,5

B. C$1

C. C$2

1   2 49. El valor de la expresión, a) – 2

b) 2

−2

+ (− 2)

D. C$0,50

E. C$5

2

(− 2)3

es: c) 1

d) – 1

50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000 personas. El año 1930 la población fue de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de:

a) b) c) d) e)

540 000 personas 720 000 personas 1 440 000 personas 1 620 000 personas 2 200 000 personas

51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. a. C$10 000

b. C$12 500

c. C$ 6 000

52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1,3

d. C$100 000

1017 segundos y la de la

pirámide de Keops 1,5 1011 segundos. La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación científica es: a) 1,2999985 1011 b) 1,2999985 1017 c) 1,2999985 10-11 d) 1,2999985 10-17

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 53. Al invertir $ 50.000 al 6 % anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de A) 50 000 • (1,06)4 B) 50 000 • (1,06)3 C) 50 000 • (1,18)4 D) 50 000 • (1,015)3 E) 50 000 • (1,015)4 ¿A qué equivale 15 kg? a) 15 t

b) 1 500 t

c) 1500 g

d) 0,0015 g

e) 0,015 t

54. ¿Cuál es la conversión correcta de 20 l? a) 20 decímetro cúbico. b) 20 metro cúbico. c) 20centímetro cúbico. d) Un kilogramo 55. ¿A que equivalen 1,5 h? a) 0,015 días.

b) 120 s

c) 0,54 min

d) 5 400 s

56. ¿A qué es igual 12 m? 57. a) 10 km

b) 120 km

c) 1 000 km

d) 1 200 cm

58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20 km / h , esta velocidad convertida a m/s es: 59. a) 10 m/s

b) 5,56 m/s c) 5 m/s

d) 20 m/s

60. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es: a) -120 F

b) -434 F

c) -523 F

d) -549 F

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO ALGEBRA

I.

SELECCIÓN MÚLTIPLE

a 2 (a + b 2 ) (a 3 − b 3 ) (a 2 − b)

1. El valor numérico de la expresión A.

7 10

B.

21 10

C. −

(

)(

(a 2 + b 2 ) (2 a − 3 b 2 )

21 10

D.

27 10

para a = 1 y b = – 2 es:

E. −

27 10

)

n m m n 2. El resultado de b − 5y 5y + b es

2

A. b n + 25 y m

2

2

2n 2m B. b + 25y

C. b n − 25 y m

2

2n 2m D. b − 25y

E. 0

3. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es: A. (3x – 6) (x + 4)

B. (x – 2) (3x + 4)

D. (x – 2) (3x + 2)

E. (x + 2) (3x – 4)

C. (x – 6) (x + 4)

4. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es 2

2

2

2

2

A. (x – 8y) ( x + 8xy + 16y )

2

D. (x – 8y) ( x – 8xy + 16y )

5. La simplificación de A.

a b (3 a + b)

B.

2

2

2

B. (x + 8y) ( x – 8xy + 16y ) C. (x + 4y) ( x – 8xy + 16y ) 2

E. (x – 4y) ( x + 4xy + 16y )

a2 − 4 b2

b a

ab+ 2b2

÷

3 a2 − 5 ab− 2b2 3 a2 + ab a C. b

es D. 1

E.

a (3 a + b) b (3 a − b)

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 1 1 − a a 6. Al simplificar la expresión se obtiene 1 1 + a a 2 A. (1 + a )

a

2 B. (1 + a )

a− 1

2 C. (1 − a )

1− a

2 D. ( a − 1)

E.

a− 1

(1 − a ) 2 a+ 1

 12 x 2 − 4 x 1 3 x 2 + 8 x − 3  es + ÷  x − 1  4 x 2 − 11 x − 3 x2 − 9   (2 x+ 1)2 4 x2 − 1 D. E. 5 x− 3

7. El resultado de la siguiente operación A.

4 x2 + 1 (x− 1)(4 x+ 1)

B.

4 x+ 1 x+ 1

x y −  y x

8. Al desarrollar  A.

x2 y2

−

y2 x2

B.

x 2 y2 x 4 − y4

C.

(x+ 1)(4 x+ 1)

(x + 1)(4 x + 1)

−2

se obtiene C.

x2 y2

2 x+ 5 − 3 2

B.

2 x+ 5 + 3 2

D.

x 4 − 2x 2 y 2 + y 4

9. Al racionalizar el denominador de la fracción

A.

x2 − 1

C.

3 − 2 x+ 5 2

x 4 − 2 x 2 y2 + y 4

x− 2 3+

2 x+ 5

E.

x 2 y2

x 2 y2 x 4 + y4

se obtiene

2 x+ 5 − 3 D. − 2

E.

2 x+ 5 − 3 2x

10. El conjunto solución de la ecuación

A. {2, 5/2}

B. {– 5}

3x 15 = 1+ es x− 5 x− 5

C. {5}

D. {– 5, 5}

E. φ

11. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x 2 + kx + k = − 2 − 3 x es: A. 1 B. – 1 C. ± 1 D. – 5 E. No existe

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

12. Al resolver el sistema de ecuaciones 4  2  3 x+ y + 3 x− y = 3    2 4 − =1  3 x + y 3 x −y 

se obtiene que el valor de la variable y es A. 1/2

13. Al efectuar A.

B. – 2/3

x2 − 4 (x− 2) 2

2(x+ 2) x− 2

+

C. – 2

(x+ 2) 2

x2 − 4 2 B. x− 2

14. Al resolver la ecuación

D. 3/4

se obtiene C.

2(x− 2) x+ 2

D.

15. Al resolver el sistema de ecuaciones

D. 4

E. 1

(

  

2x + 2y

)

2

E. 2

= 5 + 2 6 xy

2 x− 3 y = 1

C. 1/3

se obtiene que el

D. 1

16. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es : A. (– 2, 0) ∪ (1, +∞) B. [– 2, 0) ∪ [1, +∞) [1, +∞) D. [– 2, 0) ∪ (1, +∞)

2 x2 − 4

x+ 1 2 x− 1 + = 4 se obtiene que la diferencia entre la x− 1 x+ 1

mayor y la menor de las raíces es A. 5 B. 8 C. 10

valor de la variable y es: A. 1/2 B. 2/3

E. – 3 /2

E. 3

C.

(– 2, 0) ∪

E. ( – 1, 0) ∪ (2, +∞)

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 17. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a – 3 es:

A. 2

4 3

B.

C.

8 3

D.

22 3

2 | ≤ 2 es 3 8 4 4 8 C. – ≤ x ≤ D. ≤x≤ 3 3 3 3

E. – 2 4

18. El conjunto solución de la desigualdad | x + A. –

8 8 ≤x≤ 3 3

B. –

4 8 ≤x≤ 3 3

19. El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤ A. [– 5, – 2]

B. [– 1, 5]

E. –

8 4 ≤x≤– 3 3

7−x ≤ 3 es 2

C. [1, 5]

D. [– 1, 13]

E. [– 5, 2]

20. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo A. (– 1, ∞) B. ( – ∞, 6) C. (6, + ∞) D. (– 6, – 1) E. (– 1, 6)

21. El conjunto solución de la desigualdad

(x + 1 0 ) (x − 2 ) ≤0 x2 − 7 x− 8

A. [– 10, – 1] ∪ [2, 8]

B. [– 10, – 1) ∪ [2, 8)

D. [– 10, 1] ∪ [2, 8)

E. [– 10, – 8) ∪ (1, 2]

22. El conjunto solución de la ecuación A. {3, – 11}

B. {– 3, – 11}

2 x+ 3 − x − 2 = 2

C. {3, 11}

D. {

es C. (– 10, – 1) ∪ (2, 8)

es

3, 11}

E. { −

3 , 2} 2

23. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es A. – 3 B. 3 C. 2.5 D. – 5 E. – 1

1  24. Si  x +  x 

A. 3 3/2

2

= 3 , entonces x 3 + 1 es igual a: 3 x

B. 27/8

C. 9

D. 0

E. x2 – 1 + 1/x2

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 25. El conjunto solución de 3x + | x | = – 8 es A. φ B. R C. 4 3

D. – 4

26. Al factorizar la expresión A)

B)

D)

E)

E. 0– 8 /

, uno de los factores es: C)

27. El resultado simplificado de A)

B)

D)

E)

, es: C)

28. Si x, y, z, son números positivos que satisfacen

x+

1 1 1 7 = 4, y + = 1, z + = y z x 3

entonces el valor de xyz es: A. 2/3

B. 1

C. 4/3

29. Si N > 1, entonces A. N1/27

B. N 1/ 9

3

D. 2

es igual a:

N3 N 3 N

C. N 1/ 3

D. N28/9

30. La expresión A.

E. 7/3

E. N13 / 27

es igual a: B.

C. .

D.

Sugerencia utilice la igualdad 31. Si A. 0

= 3 entonces B. 2

C.

es igual a : D.

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 32. Si A.

B. x+ y

C.

 x −2 / 3 y− 4 / 3 z− 4 33. Al simplificar   x −1/ 3 y2 / 3 z − 7 / 3 

A. x6 y z

B. x y6 z5

D.

   

−3

resulta

C. x y z5

D. x6 y5 z6

E.

1 x y6 z 5

34. Si 2x 3 + x 2 + p x + 2 p 2 es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces el valor de p es: A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 E. 4

3 1 < es: 2 x+ 3 x− 2 3 3 B. ( – ∞, − ) ∪ (2, 9) C. ( – ∞, ) ∪ (2, 9) 2 2

35. El conjunto solución de la desigualdad A. ( – ∞, −

3 ) ∪ (– 2, 9) 2

D. ( – ∞, – 2) ∪ ( −

3 , 9) 2

E. ( – ∞, –

3 3 ) ∪ (– , 2) ∪ (2, 9) 2 2

36. Dos A. 5

enteros B. 7

C. 10

D. -4

37. Si A. -1

B. -2

C. -3

D. -4

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38. El polinomio A.

B.

se anula en 1 , luego p(x) es divisible por : C. D.

39. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: A) x = 650 , y = 16 B) x = 640 ; y = 26 C) x = 340; y = 326 D) x = 568; y = 98

40. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100. La edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: A) 40.5 B) 50.3 C) 44.2 D) 41.6

41. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16

42. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

43. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien: Preso: Vamos, ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO Carcelero: ¿Cuántos años tienes?

Preso: Veinticinco.

Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños.

Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás.

¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8

44. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos.

Daniel : ¿Qué edades tienen?

Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después depensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita másdatos.

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Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente.

Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! - responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más.

Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.

Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo?

A) 6; 6; 1

B) 9; 2; 2

C) 6; 3; 2

D) 9; 4; 1

45. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números? A) 27 B) 16 C) 15 D) 14

46. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1/3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1/2 de los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio? A) 18 B) 36 C) 30 D) 42

47. Halla tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. A. 6.25; 9.25; 12.25

B. 8.5 ; 10 ; 11.5 C. 8.75 ; 9.1 ; 9.45 D. 9.23 ; 9.4 ; 9.57

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 48. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.? A. 12 B. 13 C. 14 D. 20 E. 25

49. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.

A.

t+ +1 t

B.

1 t− 1

C.

t− −1 t

D.

t t− 1

E.

t2 − t

50. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez. A. 40 litros litros

B. 45 litros

C. 30 litros

D. 35 litros

E. 25

51. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números? A. 4

B. 6

C. 7

D. 10

E. 11

52. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre. A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

E. 12

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 53. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal? A. 1 hora horas.

B. 2 horas

C. 3 horas

D. 4 horas

E. 5

54. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo? A. 72

B. 56

C. 48

D. 36

E. 18

55. Por Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa? A) 21 B) 23 C) 25 D) 27

56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16. A) 19 B) 20 C) 21 D) 22

57. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. A) 24 B) 46 C) 13 D) 57

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO I. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS 1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del ∠ BOA es:

C

B A. 20º D

O

B. 30º

C. 40º

D. 60º

A

2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es A. Un punto. B. Dos puntos D. Dos rectas diferentes E. Falta información ↔

E. 80º

↔

↔

C. Una única recta

↔

3. En la figura, m 1 ⊥ m 4 , m 2 ⊥ m 3 ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera? ↔

↔

m1

↔

A. m 1 || m 2

↔

↔

B. m 1 ⊥ m 3

↔

↔

C. m 3 || m 4

↔

m2

↔

↔

m4

↔

D. m 2 ⊥ m 4

↔

m3

E. NDLA

4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es

A. 3x – 4

5.

R

S

•

•

B. 3x – 6

C. 3x + 2

xº 50º

T

120º

•

D. 6x – 12

E. 6x + 6

A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:

130º

yº

xº

6. A

90º

__

__

En la figura, si AB || CD , el valor de x es:

B 140º

C

D

7. A partir de la información brindada en la figura, el valor de z resulta:

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO D A

D

__

y

En la figura,

C D | | B E , C A

8.

__

⊥

__

__

, entonces el valor de y es:

E A

B

130º x C

9.

x

En la figura, el valor de x es 115º A. 25º

140º

B. 40º

C. 45º

D. 65

E. 75º

10. En la figura, el valor de x es

xº 150º

11. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces EF = ? A. 5

B. 6

C. 9

D. 11

E. 22

A

12.

En la figura αº + βº = 255º, entonces ¿m∠ A = ?

β

α C

B

13. Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?

C 25º A

D

xº

A. 25

B

B. 50

C. 65

D. 75

14.

E. 130

A __

B

__

120º

Si AB || CD , ¿Cuál es el valor de x? E A. 170º

B. 150º

C. 120º

D. 100º

E. 80º

xº C

D

15. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 16. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

17

↔

60º

m1

110º ↔

xº

m2

18.

↔

↔

↔

En la figura las rectas m1 y m 2 son paralelas. Entonces el valor de x es A. 170

B. 50

C. 85

D. 25

E. 30

↔

84°

En la figura las rectas m1 y m 2 son paralelas. Entonces el valor de x es

↔

m1 (x – 6)°

A. 170

B. 50

19.

P

C. 85

E. 20

↔

(3x + 10)°

m2

Q 2

S

D. 25

1

Si m ∠ P = 90º, ∠ 1 ≅ ∠2, ∠ 3 ≅ ∠ 4, entonces m ∠ R es

3 4

A. 30º

R

B. 45º

C. 60º

__

20. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de AC . Se toma otro punto O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de

A. 2

B. 1

C.

1 2

D.

AO − OC . OB

3 2

E. Falta información.

Soluciones

1 2 3 4

C C E E

5 6 7 8

D C A B

9 10 11 12

E A D A

13 14 15 16

C B E B

17 18 19 20

B E B A

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO II. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

RECTÁNGULO

PARALELOGRAMO

TRAPECIO

ROMBO

b d

h

D

h b

b

A=bh

h

B

d

A=bh

A=

B’

1 1 A = (B + b)⋅h = B’⋅h 2 2

1 D⋅d 2

TRIÁNGULOS

c

a

h

b b

A=

1 base x altura 2

h

a

1 A= ab 2

A=

1 ah 2

Fórmula de Herón: (Área de un triángulo en función de sus lados)

A=

3 2 x 4

x

A=

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

s ( s− a) (s− b) (s− c) , donde s

a+ b+ c

2. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, las longitudes de sus lados (a, b, c), la altura correspondiente a la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m, n), se cumplen las siguientes relaciones métricas:

C

nc

i) h =

nm

ii) b =

iii) a =

mc

iv) m + n = c

a

b h n A

m D

B c

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es A. 11 m

B. 11.22 m

C. 12.

D. 12.22

E. 13 m

2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol mide 36 m, su sombra mide A. 36 m

B. 30 m

C. 18 m

D. 15 m

E. 9 m

3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es A. 7.07

B. 14.14

C. 24.14

D. 24.99

E. 50

En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y, respectivamente son

4. y

8 4

x A. 11 y 13

B. 15 y 16

C. 9 y 8

5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo? A. 20 m

B. 30 m

C. 31.5 m

D. 120 m

E. 126 m

6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es A. 4 m

B. 7.07 m

C. 12.25 m

D. 14 m

E. 15.5 m

7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden: A. 15 m y 27.5 m

B. 20 m y 22.5 m

C. 7.5 m y 25 m

D. 30m y 12.5 m

E. 40m y 2.5 m

8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide A. 50/3

B. 25/9

C. 100/9

D. 25

E. 200/9

9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 106 , otro 5 15 . Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

10.

7 6

9

El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano, mide: A. 21

B. 22

C. 27

D. 31

E. 54

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Página 27

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO ¿Cuál es el área del triángulo de la figura?

11.

6 10

12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es

B. 2 15

A. 7.5

D. 15 3

C. 15

E. 10

13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es 2 2 2 2 2 A. 2220 m B. 160 m C. 128 m D. 80 m E. 64 m 2

14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm . Entonces el perímetro de la figura es:

A. 16 cm

A

15.

B

H

C

B. 21 cm

C. 24 cm

D. 48 cm

E. 84 cm

Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes)

D

G

F

E

C B

__

16. Se tiene un trapecio ABCD donde es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces AD = ? A. 60 cm.

B. 50 cm.

C. 40 cm.

D. 30 cm.

E. 20 cm.

17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

5 cm y

5 + 40 cm 2

A.

B. 2 13 cm

C. 45 cm

D. 11.32 cm

E. 5.66 cm

18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es D C G A

B

H

A. 100 cm2

B. 120 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2

E. 200 cm2

F E

19.

ABCD es un cuadrado, el ∆ ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a

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Página 28

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO D

E

C

F

A 20.

B

B

C

D

B. 135°

D. 60°

E. 45°

C. 90°

En la figura, ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18, AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?

E A

A. 150°

F

21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es: A. 86 m

2

2

2

B. 176 m

2

C. 226 m

2

D. 288 m

E. 300 m

22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF en 2 cm es igual a D

A

A.

1 2

B.

1 3

D.

1 6

E.

1 8

F B

E

C

C.

1 4

23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

E. 24

24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es A

Q R

B

P

A. 8.5 cm

B. 17 cm C. 34 cm

D. 51 cm E. 68 cm

C

25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es

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Página 29

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO B

A

70°

55° 60°

A. AB

60°

B. BC

C. CD

D. DA

E. BD

C

D

26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, ∆CMN es equilátero, El área de ∆CMN es igual a D C M

A

N

B

A. 0.866

B. 0.7071

D. 0.5

E. 0.4641

C. 0.75

27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es F C

B E

G

A. D.

A

2 –1

B. 0.5

2

C. 0.451

E. 0.375

D

28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden A. 30°

B. 45°

C. 35°

D. 75°

E. 60°

29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con AD || BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD . m∠BAC = 30°, AC = 4

B

3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a

C A. 6

A

B. 12

C. 12 3

D. 24

E. 30

D

30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces el área del trapecio mide

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Página 30

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 2

2

A. 300 3 cm .

B. 400 cm .

2

2

C. 300 cm .

D. 200 cm .

2

E. 200 3 cm .

31. En la figura, m∠BAC = α , m∠BPC = m∠BQC = 90°. Entonces la medida de ∠BHC es

A

P

H

Q

B

C

A. 180 – α

B. α

C. 90 – α

D. 2α

E. 3α

32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

5 cm y A. 5

B. 6

C. 8

D. 9

E. 10

33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es

A. 1/6

B. 21/100

D. 2/5

E. 4/9

C. 1/3

34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y m∠BAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es

A A. 2 3 –

5

D. 2

D

B. 2 3 + 5

C. 1

E. 3.5

C

B

35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm , AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es E

D O

A

B

C

A. 112 cm 2

B. 117 cm 2

D. 140 cm 2

E. 360 cm 2

C. 120 cm 2

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Página 31

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de AE es E

A

109 cm

D. 30

B. 15 cm

C.

61

E.

C

D

B

A

11

37 132

En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?

52.8

x

66

10

38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. 2 Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a A

R

N

B

P

D

M

39

Q

A. 10 cm 2

B 20 cm2

D. 40 cm 2

E. 50 cm 2

C. 30 cm 2

C A En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC?

6 3 C

B

x 40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE? A

D G F A. 12

B

C

B. 10

C. 9

D. 8

E. 6

E

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Página 32

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO SOLUCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D C C D B C D E A A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B C D C B B D B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

E D B C B E A B C A

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A B B A A A E B B D

III. CIRCUNFERENCIA Y POLÍGONOS RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA A

T

S

S

U

R Q

O

P

Q

Q

R

U

T

R

B

T

S

PA = PB

QT2 = QR ⋅ QS

QR ⋅ QS = QU ⋅ QT

QR ⋅ QS = QU ⋅ QT

∠APO ≅ ∠BPO

ÁNGULOS DETERMINADOS POR SECANTES Y TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA A A

C

P A P

P B

B

D

B

ÁNGULO INSCRITO m ∠ APB =

1 m AB 2

ÁNGULO SEMI-INSCRITO m ∠ APB =

1 m PB 2

ÁNGULO INTERIOR m ∠ APB =

1 [m AB + m CD ] 2

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Página 33

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO m ∠ APC =

A

1 [ m AC + m BD ] 2

A

A

C P

P P

B

D

C B B

ÁNGULOS EXTERNOS

⁀

⁀

m∠ P = 1 [m AB – m CD], m∠ P = 1 [m AC – m AB], 2

2

⁀ m∠ P =

⁀

1 [m ACB – m AB] 2

LONGITUDES DE ARCOS y ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

◊ Para un arco AB que mida θ°, su longitud está dada por: s =

⁀

◊ Si el arco se mide en radianes, resulta ÁREA DE UN CÍRCULO

πr θ ° 180°

s=rθ

π ⋅ d2 A = π r2 = 4

REGIONES CIRCULARES r

1. Sector circular:.

1 2 π r 2θ ° 1 A= = r s , A = r θ , θ en radianes. 360° 2 2

O

s

θ

s

2. Segmento Circular:

h

x

Tenemos h=r–y

θ

r

y

θ 1 θ 1 = x cot = 4r 2 − x2 , 2 2 2 2 θ θ x = 2 r sen = 2 y tan , 2 2

y = r cos

◊ Si θ se mide en radianes, el área del segmento circular está dada por: A=

1 2 1 (r s – x y) r (θ – sen θ) = 2 2

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Página 34

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 3. Corona Circular: A = π (R2 − r2 )

r R R θ

4. Trapecio Circular:

r A=

πθ° (R 2 − r 2 ) 360°

ó A=

1 θ ( R 2 − r 2 ), θ en radianes 2

Si hacemos h = R – r y s1 y s 2 son las longitudes de los arcos exterior e interior respectivamente, se tiene: A =

1 1 h θ (R + r) = h ( s1 + s 2 ) 2 2

EJERCICIOS PROPUESTOS B

1.

En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80° respectivamente, entonces el valor de θ es

C

θ

D

A 2.

C

El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de B

A

C

3.

El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de

A

D

4.

B

Y X

Z

La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud π. ¿Cuánto mide la cuerda XZ?

2

5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m . El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Entonces el área del círculo menor es

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Página 35

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

A.

1 2

B.

4 9

C. π

D. 2π

E.

1 π 2

__

Q

6.

C

En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y TP es un segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide

7.

A. r 2

P

T

10

B. r 3

C. 3r

D. r 5

E. 5r

Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada?

8

8.

C ___

En la figura AC es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m ∠ BAC = ?

•O

B

A

A. 25°

B. 50°

9.

10.

C. 65°

D. 90°

E. 130°

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

D

B P

En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del ∠BPA es 35°. Los medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente

A C A. 100 y 25

B. 50 y 50

C. 100 y 50

11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por

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Página 36

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO r

r s

s

q p

r p

q

A

q

p

s

r p s

q

C

D

B

12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. CD y DA son diámetros de las circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ⊥ CA . Si BD = 2, entonces el área sombreada es igual a B

A. 1 C

D

B. π

C. 2π

D.

3π 4

9π 4

E.

A

13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del ∠BAC es A 110° 130° C

A. 55°

B. 60°

C. 65°

D. 110°

E. 130°

B 14. En la figura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ⊥ BC , BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a

A

B

A. π

C

B. 2π

C. 3π

D. 4π

E. 5π

15. La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?

x A. 3 3

B. 6 3

C. 6

D. 18

E. 9 3

6 3

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Página 37

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 16.

A B

La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada? A. 0.025 B. 0.048 C. 0.1428 D. 0.153 E. 0.1582

0.4

C

17.

A

Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D.

B P

Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP? C A. 6

D

B. 12

C. 15

D. 25

E. 50

18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?

A. ( π −

D.

3 ) cm2 2

π 3 cm2 3

B. ( π −

3 3 ) cm2 2

C. (2π −

3 ) cm2 2

E. (2π − 3 3 ) cm2

19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m ∠A = 50º y m ∠C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’. Entonces la medida del ángulo A’ es:

C’

B

A’ A. 40º

B. 60º

C. 80º

D. 100º

E. 120º

C

A

B’ 20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio

3 . El área del cuadrilátero AOBC es

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Página 38

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO A

C

O

6

A. 3

B.

D. 6

E. 12

C 3 3

B 21. Si un ángulo central de 30° en una circunferen cia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide A. π/36 B. π/6 C. π D. 36/π E. 180 22. En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es

O

A. 0.5

23

B. 0.866

C. 1

D. 1.5

E. 2

Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura.

A

B

C

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es: 3 2 1 A. 2 B. C. 1 D. E.

2

3

2

24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1? B. 1 + 2

A. 1

C. 2

2

D. 2 +

E. 2.5

25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada?

B E

A A. 1/2

B. 2

C. π/4

C

F D. 3π/4

E. π/4 – 1/2

26. Si el radio de un círculo aumenta en π unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro? A. π

B. 2π

C. 3π

D. π

2

2

E. 2π

27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?

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Página 39

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO r

A. 1

B. 1.5

C. 2

D. 2.5

E. 3

28. En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?

A. 6 3 – 3π

A

29.

B

O

B. 3 3 – 2π

C. 2π – 1

En la figura, m ∠ BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en O?

C

30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva? A. 25 π

B. 20π

C. 15π

D. 10π

E. 5π

31 La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide A. 3 + 2 2

B. 4

C. 6

D. 4 + 2 2

E. 8

32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

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Página 40

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO B. 4 – π

A. 8 – 2π

C. 12 – 3π

D. 8 – 3π

E. 4 + π

33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

O

• A

C

A.

1 6

π 6

B.

C.

3 4π

D.

3 4

E.

π 12

B

34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? A. Pentágono

B. Hexágono

C. Octógono

D. Decágono

E. Dodecágono

35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si m∠DEC = k ⋅ (m ∠BOA), entonces el valor de k es: B D A

O

C

1 3

A.

E

B.

1 2

C. 1

D. 2

E. 3

36 . Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A. 50%

B. 100%

C. 200%

D. 100π%

E. 400%

37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?

A.

2 3

B.

3 5

C.

4 9

D.

9 25

E. 2

38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:

A. 1

B.

3

C.

3 2

D.

5 3

E.

2+ 3 2

39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide: A. 11

B. 12

C. 13

D.

184

E.

192

40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene:

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Página 41

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO A. 1.5

B. 2

Soluciones 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 C 9 B 10 C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C. 2.5

B B B D D C B B C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

D B E B A E C A E D

D.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3

E. 3

A A C A A E B B D B

IV. VOLUMEN CUERPOS SÓLIDOS PRISMAS ◊ Para un prisma recto se tiene: A L = P⋅⋅ a = P ⋅ h, A T = P⋅⋅ a + 2 A b donde A L : área lateral , A T : área total, A b : área de la base P : perímetro de la base, a: longitud de la arista lateral. ◊ Para un paralelepípedo rectangular, si a, b y c representan el largo, ancho y alto, tenemos: Volumen: V=abc Area total: A T = 2⋅⋅(a b + b c + a c) d La diagonal está dada por d = a 2 + b2 + c2 ◊ Para un cubo de lado a, se tiene: Volumen: V = a 3

PIRÁMIDE: Volumen

Area total:

V=

c b

a

AT = 6 a2

Diagonal: d =

3a

1 ⋅ Ab ⋅ h donde Ab: área de la base y h: altura 3

Áreas Únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares.

AL =

1 ⋅P⋅⋅a 2

AT =

1 ⋅P⋅⋅a + A b donde P: perímetro de la base, a: apotema de las caras laterales 2

PIRÁMIDE TRUNCADA O TRONCO DE PIRÁMIDE Si A B es el área de la base de la pirámide original, Ab el área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene:

a

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h

Página 42

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO Volumen:

V=

1 h [ AB + Ab + 3

Area Lateral: A L =

1 (P + P’) ⋅ a 2

AB Ab ]

Area Total:

1 (P + P’) ⋅ a + A B + A b 2

AT =

Si H es la altura de la pirámide original, k es la distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de cono, entonces si V es el volumen de la pirámide original y V’ el volumen de la pirámide que se quita:

k H

V'  k  =  V H y S = 4 π R2

h

3

4 V = πR3 El volumen3del cono truncado es la diferencia V – V’

VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA VOLUMENES Y ÁREAS DE CILINDROS Y CONOS CIRCULARES ◊ Para un cilindro circular de radio r y altura h, tenemos . Área Lateral: A L = 2 π r h.

Volumen:

V = Ab ⋅ h = π r 2 h

Área total: A T = AL + 2Ab = 2 π r h + 2 π r 2

◊ Para los conos en general, su volumen está dado por:

V=

1 1 π r 2 h. Ab ⋅ h = 3 3

◊ Para un cono circular recto,

g A L = π r g , donde g =

h +r 2

2

A T = A L + AB

2πr

CONO TRUNCADO:

r

V= g

h R

1 π h ( R2 + r 2 + Rr) 3

A L = π g (R + r), A T = A L + π (R2 + r 2 )

EJERCICIOS PROPUESTOS Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

Página 43

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

1. En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30 cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma?

A. 100

B.

250

3

C. 100

3

D. 300

E. 50

3 + 300

2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado? A.

6 2

3.

B.

3 2

C.

2 2

D.

6 4

E.

3 4

B A

C

La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta

D

G

E F

4.

De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente

5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es 3

A. 900 cm

3

3

B. 1688.25 cm

C. 2833.8 cm

D. 4583.5 cm

3

3

E. 9000 cm

6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal? 3

A. 13 cm

B. 87 cm

3

3

3

C. 88 cm

D. 1850 cm

E. 9250 cm

3

7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? B. 3

C. 4

D. 5

8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b =

c 2

A. 2

E. 6

, ¿Cuál es el volumen en términos

de c?

a

c b

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Página 44

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO B.

C.

D.

3 4 c

3 2 c

3 c

2 c 2

2 2 c

A.

E.

9. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? A. 1.5

B. 2.25

C. 4

D. 4.75

E. 5

10. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? A. 3/2

B. 2

C. 9/4

D. 3

E. 27/8

C.

3

B.

3 0 3 4

A. 40

0 4 3

11. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirámide es D. 40

E. 120

12. En un tronco de pirámide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado 3 respectivamente. Hallar la diferencia (en m ) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de base igual a la sección del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas. B. 7

C. 40

D.

0 4 3

A. 4

E. 70

13. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una sección paralela a la base a 14 cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es 2

A. 2.14 cm

B. 5.76 cm

2

2

2

C. 16.32 cm

D. 31.36 cm

E. 44.08 cm

2

14. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es 3 3 3 3 3 A. 270 pulg B. 270π pulg C. 540 pulg D. 540π pulg E. 2160π pulg 3

15. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200 m y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es 2

A. 190.98 m

2

B. 576.25 m

2

C. 600 m

D.

625.13 m

2

2

E. 712 m

16. Un cono de revolución tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es A. 351.52 cm

3

3

B. 294.05 cm

C. 202.8 cm

3

D. 135.2 cm

3

3

E. 67.6 cm

17. Dado un cono circular recto con radio 3 m y generatriz 5 m, entonces su área lateral es A. 2π

B. 12π

C. 15π

D. 16π

E. 30π

18. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6 cm. de radio y 8 cm. de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4.5 cm. es 2

A. 304.84 m

B. 216 m

2

2

C. 152.42 m

2

D. 84.82 m

2

E. 28.27 m

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Página 45

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 19. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es A. 2.5a

B. 5a

C. 6.5a

3

D.

35 a

E.

5a π

20. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2

B. 1

C. 3/2

D. 2

E. 4

21. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2

B. 1

C. 3/2

D. 3/4

E. 3

22. La altura de un cono es 5 cm. Un plano a 2 cm. del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del 3 cono más pequeño es 24 cm , el volumen del cono más grande es 3

C. 240 cm

3

3

3

D. 120 cm

E. 48 cm

2

B. 375 cm

m 0 4

3

A. 750 cm

23. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la superficie total del cubo es

π

, entonces el área

de la superficie de la esfera es A. 10 m

2

2

B. 15 m

2

2

C. 20 m

2

D. 30 m

E. 40 m 2

3

24. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26 m . Si el volumen de dicha pirámide es 78 m , entonces su altura mide A. 3 m

B. 4 m

C. 6 m

D. 9 m

E. 12 m

3

π

m c

Si el cono de la figura tiene un volumen de

3 0 9 0 0 1

C

25

, C es el

B A

un diámetro y m∠ACB = 120°, entonces el diámetro de la

vértice,

base, en centímetros, es A

B A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

E. 30

2

26. El área de la superficie total de un cubo es 12 m . Entonces la longitud de su diagonal es A.

2

B.

3

C. 2

D.

5

E.

6

27. Si la generatriz de un cono mide 25 m y el diámetro de su base es 8 m, su volumen mide A. 200 m

3

3

B. 400 m

C. 413.48 m

3

3

D. 418.88 m

3

E. 1587.4 m

28. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es A. 4π

B. 8π

C. 2 3

D. 4 3

E. 8 3

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Página 46

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 1 2 3 4 5 6 7

E B B D C D C

8 9 10 11 12 13 14

D C E C D B D

15 16 17 18 19 20 21

D B C C D A D

22 23 24 25 26 27 28

B C D D E C D

29 30 31 32 33 34 35

C B A D C B B

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Página 47

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

EJERCICIO 1

1) Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados. a) b)

A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {3, 5, 7} A = {a, e, i, o, u}, B = {c, d, h}

2) En los productos cartesianos del ejercicio 1 defina 2 relaciones y 2 funciones. 3) Determine cuales relaciones representan funciones y cuáles no.

a) b) c) d) e) f) g) h)

f = {(2, 6), (-3, 6), (4, 9), (2, 10)} g = {(a, 2), (b, 3), (c, 5), (a, 7)} h = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} i = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} y = 5x – 3 y2 = –x2 – 1 f(x) = x2 + x – 6 y=±

4) Hallar el dominio y rango de cada función. a) b) c) d)

f = {(0,-1), (3, -2), (1,0), (-3, 5), (2,6)} f(x) = 2x – 6 y = 3x2 + 5x – 1 g(x) =

e) y =

f) 5) Efectuar las evaluaciones indicadas para cada función. a) f(x) = 2x2 + 5x – 3, f(0), f (-1), f(x2 – 3), f(x + h) b) g(x) = c)

, g(7), g(-5), g(x+9), g(x4 – 2) , y(2), y(0), y(-3), y(h+3)

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Página 48

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO EJERCICIO 2

Hallar dominio, rango y trazar gráfica de cada función.

1) f(x) = 3x - 2

11) h(x) = x2 + 6x - 2

2) g (x) = 4

12) g (x) = -5x + 1

3) y = - (x + 5)2 + 1

13)

,x≤2 − 2 x h( x) =  2 − x − 4 x +1, x > 2

 x − 2 , x ≥ 2 h( x ) =  − x 2 , x < 2

4) h( x) = 3 x − 1 + 8

14)

5) g (x) = 2 | x + 6 |

15) y = - (x + 2)3 + 5

6) y = x3 - 1

16)

7)

8)

 3 , x ≤ − 3  h(x) = − x , − 3 < x ≤ 3 − 3 , x > 3 

y = −

4− x

| x − 2 | + 3 , x < 0 f ( x) =  ,x≥0 x + 5

17)

18)

x 2 , x < 2  y = 5 , x = 2 − x + 6 , x > 2 

x 2 + 3 , x < − 2  h( x ) = 0 , x = − 2  2 − x + 1 , x > − 2

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Página 49

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 9)

 25 − x 2 , − 5 ≤ x ≤ 5 y =   x − 5 , x > 5

2 10) y =  4 − x , x ≤ 1 

 x 2 + 2 , x > 1

19)

20)

f (x ) =

16 − 3x 2

x 2 , x < − 1   g( x ) = x 3 , | x | < 1 2x , x ≥ 1 

Resolver los siguientes problemas.

1)

Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartón, cuyas dimensiones son 20 x 30 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área x2, y doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V, de la caja, como función de x.

2) La tasa de crecimiento ″y″, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en Libras, mediante la fórmula y = cx(21 - x), donde c es una constante positiva, y, 0 < x 3

, x ≥ 25 4 d) f ( x ) =  log1 / 5 x , 0 < x < 25

f ) g( x ) = 3x + 3− x

g) h(x) = log1 /10 x

h) y = log 4 x

i) f ( x ) = log 2 ( x + 2)

j) y = log 2 x + 3

k) f (x) = 2x + 3

l) y = log2

2 m) y =   3

x

ñ ) y = 2 + 3−x

x

n) h( x ) = log3

1 x

o) f ( x ) = log 5 ( x − 2)

2 q ) f ( x ) = 5− ( x + 1)

p ) h( x ) = log 2 | x − 5 |

7) En un mismo sistema graficar cada par de funciones y sacar algunas conclusiones geométricas.

a) y = ax

,

y = − ax

b) y = ax

,

y = a− x , a > 1

8) ¿Porqué fue excluido a < 0 del estudio de ax ?

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Página 55

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

9) El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1800 entre las 7:00 A.M. y las 9:00 A.M. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se puede mostrar, usando métodos de cálculo, que t horas después de las 7:00 A.M. el número f(t) de bacterias está dado por f(t) = 600(3)

t/2

.

a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 A.M.; a las 10:00 A.M. y a las 11:00 A.M. b) Trace la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 4

10) Si $1000 se invierten al 12% anual y se capitalizan los intereses mensualmente, ¿cuál es el monto acumulado después de 1 mes? ¿2 meses? ¿6 meses? ¿1 año?

11) Si cierta marca de automóvil se compra por C dólares, su valor comercial v(t) al final de t años está dado por v (t) = 0.78C (0.85)t-1. Si el costo original es de $10000, calcule, redondeando a unidades, el valor después de (a) 1 año; (b) 4 años; (c) 7 años.

EJERCICIO 7

Resolver las siguientes ecuaciones.

5x - 2

a) 10

= 348

 x x + y = 2 h)  ( x + y )3x = 279936

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO x-1

b) log2 (9

x-1

+ 7) = 2 log2 (3

53x − 2 y = 3125 i)  116 x − 7 y = 14641

+ 1)

2 2 +1 2 −2   = 2  5x − 1 − 3x k ) 5 x − 3x    2

c) Log (x - 9) + log 100x = 3

1 d ) 103x − 7 x = 100 2

x + 2+ x − 3 2

e) 2

− (5)2

l ) Log2 (3x − 2) = log1 / 2 x

x + x −3 2

+8=0

m ) Log 3 (2x − 3) − log 3 (5x + 2) = log 3 (x − 2) − 2

f)

1 Log (x 2 + 2x) − log x − 2 = 0 2

n ) Log 2 x − log 2 (x + 1) = 3 log 2 4 2 ñ ) 2x + 1 − 4x = 1 2

x

x

g ) 49 − 50 (7 ) + 49 = 0 EJERCICIO 8 1) Escriba cada ángulo en notación decimal en grados.

a) 40° 10' 25'' 2' 3''

b) 61° 42' 21''

c) 98° 22' 45''

d) 1°

2) Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos.

a) 18.255° 61.24°

b) 29.411°

c) 44.01°

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d)

Página 57

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 3) Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso.

a) 630°

b)

c)

d) 720°

e)

f) -

135°

4) Hallar el ángulo complementario de θ. a) θ = 5º 17' 34''

b) θ = 32.5º

c) θ = 63º 4' 15''

e) θ = 82.73º

5) Halle el ángulo suplementario de θ. a) θ = 48º 51' 37''

b) θ = 152º 12' 4''

d) θ = 136.42º

6) Calcular las funciones trigonométricas restantes si Senθ =

y cosθ

7) Si θ es un ángulo agudo, hallar las seis funciones trigonométricas. a) Senθ =

c) Cosθ =

e) Cotθ =

b) Secθ =

d) Cscθ = 4

f) Tanθ =

8) Calcular el valor de cada expresión.

a ) Sen 2

π π + Cos 2 6 6

b ) Sec

2

π π − Tan 2 3 3

9) Sea P(x, y) en el lado terminal de θ, calcular las seis funciones trigonométricas de θ. a) P(-6, 2)

b) P(-4, -3)

c) P(5, -2)

d) P(-1, 3/8)

10) Hallar las funciones trigonométricas de θ en el cuadrante indicado y su lado terminal cumple la condición dada. a) II C, sobre la recta y = -4x

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Página 58

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO b) IV C, sobre la recta 3y + 5x = 0 c) III C, paralela a la recta 2y – 7x + 2 = 0

11) Un ángulo central θ intercepta un arco de 7 cm de largo en una circunferencia de radio de 4 cm. Aproxime la medida de θ en (a) radianes; (b) grados.

12) Si un ángulo central θ que mide 20° intercepta un arco circular de longitud 3 km.; determine el radio de la circunferencia.

13) La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra, se mide sobre un círculo con centro C en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro terrestre es de 8000 millas aproximadamente, calcule la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide (a) 60°; (b) 45°; (c) 30°; (d) 10°; (e) 1°.

EJERCICIO 9

Graficar las siguientes funciones.

1 Cos 3 x 2

1) y = 4Sen x

6 ) f (x) =

π 2 ) h( x ) = 3Cos ( x − ) 4

7 ) y = Sen (2x − π) + 1

3) y = −

π π 2 Sen ( x − ) 2 4

8 ) g(x) = − Cos(3x + π) − 2

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Página 59

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 1 π Tan ( 2 x − ) 3 4 1 1 π 5 ) f ( x ) = − Cot ( x + ) 2 2 4 4) y =

9 ) y = | Senx | 10 ) y = − | Cosx | + 15

EJERCICIO 10

1) Hallar las funciones trigonométricas restantes de θ.

a) Senθ = 5/13, con θ en el primer cuadrante.

b)

si θ está en el II cuadrante.

c)

d) Secθ

, θ en el I Cuadrante.

e) Si θ > 0 con lado terminal sobre la recta y = -4x en el II cuadrante.

2) Demostrar las siguientes identidades.

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Página 60

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a) Tan 4 θ − Sec 4 θ = 1 − 2 Sec 2 θ

c)

1 + Cos α Sen α Cos α + 1 + = Sen α Cos α Sen α Cos α

e) Sec 2 λ + Tan 2 λ = (1 − Sen 4 λ ) Sec 4 λ

g) ( Csc β − Cot β )4 ( Csc β + Cot β )4 = 1

i)

Csc ( − x ) − Sen ( − x ) = Cot 2 x Sen ( − x )

b)

1 Cos 2 x

d ) ( Sen

f)

h)

2

+ 1 + Tan 2 x = 2 + 2 Tan 2 x

θ + Cos

2

θ )3 = 1

Cot ( − t ) + Tan ( − t) = − Sec 2 t Cot t Cos 3 x − Sen 3 x = 1 + Sen x Cos x Cos x − Sen x

j) ( Cos 2 β − 1) ( Tan2 β + 1 = 1 − Sec2 β

EJERCICIO 11

1- Hallar las funciones trigonométricas de π/12 a partir de los valores de π/3 y π/4

2- Verificar las identidades: a) Sen ( θ – π/6) + Cos (θ – π/3) = b) Tan ( θ + π/4) – Tan (θ – 3π/4) = 0

3- Hallar Sen 2θ, Cos 2θ, Tan 2θ, Si Cosθ = 3/5 y θ en el primer cuadrante. 4- Hallar Sen θ/2, Cos θ/2 y Tan θ/2, si Tan θ = 1 y θ en el tercer cuadrante. 5- Si α y β son ángulos agudos tales que Cos α = 4/5 y Tan β = 8/15 hallar: a) Sen (α + β)

b) Cos (α + β)

c) Cuadrante de α + β

d) Sec (α + β)

6- Si Sen α = – 4/5 y Sec β = 5/3, con α en el tercer cuadrante y β en el primer cuadrante, hallar:

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Página 61

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a) Sen (α + β)

b) Tan (α + β)

c) Cuadrante de α + β

d) Csc (α + β)

7- Exprese como función de un solo ángulo:

a) Cos 48° Cos 23° + Sen 48° Sen 23° b) Cos 10° Sen 5° - Sen 10° Cos 5° c) Cos 3 Sen ( -2) - Cos 2 Sen 3

8) Demostrar las siguientes identidades. 2

a) Csc 2θ − Cot 2θ = Tan θ

θ θ  − Sen  = 1 − Sen θ g )  Cos 2 2 

b ) Sen 3 β = − 4 Sen 3 β + 3 Sen β

h ) 4Sen

c ) (Sen α + Cos α)2 = 1 + Sen 2 α e)

1 − Cos 2θ = Tan 2 θ 1 + Cos 2θ

f ) Cos 4θ = 8 Cos4θ − 8 Cos2 θ + 1

x x Cos = 2Sen x 2 2

i ) 2Sen 2 2 λ + Cos 4 λ = 1 j)

Sen x Sen y 1 = Cot x − Cot y Sen ( y − x)

l ) Cos (u + v ) + Cos (u − v ) = 2 Cosu Cos v

EJERCICIO 12 Hallar soluciones de cada ecuación en el intervalo [0, 2π ] ó 00 ≤ θ ≤ 3600.

1) Sen θ − 2Sen θ Cos θ = 0

7 ) 3 + 3 Cos θ = 2 − 2 Cos 2 θ

2 ) 2 Tan 2 x − Sec 2 x = 0

8 ) 3 Tan β + 3 Cot β = 4 3

3 ) Sen 4 α − 2 Sen 2 α + 1 = 0

9 ) Sen 2 t + Sen t = 0

4 ) Sen

1 θ + Cos θ = 1 2

10 ) 2Sen3 λ + Sen2λ − 2 Sen λ − 1 = 0

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Página 62

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO π  5 ) Cos  2 x −  = 0 4 

11 ) Sen

6 ) Senx + Cosx − 2 2 Senx Cos x = 0

12 ) Tan2x + Tanx =1− Tan2x Tanx

1 u + Cos u = 1 2

FUNCIONES Conceptos generales Si f(x) = x 2 – 3x A.

1 x+ 5

Si f(x) =

y g(x) = x 2 + 2x – 15, entonces para x ≠ 3 y x ≠ -5, B.

x x+ 5

1− − x y g(x) =

A. (– ∞, – 2 ) ∪ [1, ∞)

C. x 4 – 21 x 2 + 45x

f(x) =? g(x)

D. x 2 + 5x

E.

x+ +5 x

x + 2 , el dominio de ( f + g ) está dado por B. (– ∞, 1]

C. [– 2, ∞)

D. [– 2, 1]

E. [1. ∞ )

Si f (x) = 1 – x2 y g (x) = 2x+5, entonces g [f (– 2) ] = ? A. – 80

B. – 3

C. – 1

D. 1

E. 9

Si f(x) = 1 – x3, entonces f (– 1 ) = ? A. – 2

B. – 1

C. 0

D. 1

x 2 , x < − 1  El rango de la función definida por g ( x ) =  x 3 , | x | < 1  2x , x ≥ 1  A. (– 1, ∞) – { 1}

B. ℜ

C. ℜ – { 1}

E. 2

es el conjunto

D. (– 1, ∞)

E. [ 1, ∞)

Si f(x) = 2x+1 para 0 ≤ x ≤ 3, ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el rango de f ? A. {y / 0 ≤ y ≤ 3 }

B. {y / 0 ≤ y ≤ 6 }

C. {y / 0 ≤ y ≤ 7 }

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Página 63

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO D. {y / 1 ≤ y ≤ 6 } Si f(x) =

E. {y / 1 ≤ y ≤ 7 }

1− x para todo x ≠ 1, ¿cuáles de las siguientes proposiciones deben ser x −1

verdaderas? Ι f(3) = f(2)

ΙΙ f(0) = f(2)

ΙΙΙ f(0) = f(4)

B. sólo la Ι

A. Ninguna Todas.

C. sólo la ΙΙ

D. Sólo la ΙΙ y la ΙΙΙ

E.

Si f(x) = 2x y f [g(x)] = – x , entonces g(x) = A. –3x Si f(x) =

B.

−x 2

1− x y g(x) =

C.

La función inversa de f(x) =

Dada f(x) = A. 1/2

B. (– ∞, 1]

E. – 2x

C. [– 2 , ∞)

D. [– 2, 1]

E.

9 − x 2 con x ≥ 0 es

x 2 − 9 , x ≥ 0 B. f −1 (x ) =

D. f −1 ( x ) = ±

D. x

x + 2 , el dominio de ( f + g ) está dado por

A. (– ∞, – 2 ) ∪ [1, ∞) [1. ∞ )

A. f −1 ( x ) =

x 2

9 − x 2 ,x ≥ 0 C. f −1 ( x ) = 9 − x

x 2 − 9 E. f −1 ( x) = ± 9 − x 2 , x ≥ 0

1 , g(x) = x2 – 1, el valor de g [f (2)] es x B. – 3/4

C. 1/3

D. 3/2

E. 3/4

La gráfica de y = | 2 – |x| | tiene la forma

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Página 64

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO Y Y

X A.

Y

X

X

B.

C.

Y

Y

X D.

E.

X

V. Ejercicios propuestos de Geometría Analítica

Distancia entre dos puntos 1. El triángulo de vértices A(-5,-1) B(2,3) y C(3,-2) es: a) Isósceles b)Equilátero c)Rectángulo d)Rectángulo isósceles e) Rectángulo Equilátero 2. El triángulo de vértices (2,3), (-4,-3) y (6,-1) es: a)Isósceles b)Equilátero c)Rectángulo d)Rectángulo isósceles e)Rectángulo equilátero 3. Los vértices de un cuadrado son (-1, 3), (3,-1), (-1,-1) y (3,3). La longitud de sus diagonales es: a) 2 b) 4 c) d) e) 4. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5,1) y (-1,3). El área del cuadrado es: a) 40 b) 20 c) 10 d) 16 e) 8 5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es: a) 3 b) 2 c) 2 d) 6 e) 5 D i vi si ó n de un s e g men to e n un a r az ón dad a 6. D ad os l o s p u nt os A (3, 2 ) y B (5, 4, ) h a l l a un p unt o C, a l i nea do co n A y B , d e m a n er a q u e s e o bt e n g a C A / C B = 3/ 2. a) (2 1 / 5, 1 6/ 5 ) b )(-2 1 / 5, 16/ 5 ) c)( 21/ 5, - 16 / 5) d) (2, 3) e) ( 3, -2 ) Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

Página 65

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 7. D ad o el s e gm ent o d e ex t re m os P 1 ( 3 , -2 ) y P 2 (- 4, 1 ), e nc u ent r e l as co or de n a d as d el pu nt o P qu e l o di vi de en l a ra zó n -2 . a) (1 1 , 4) b) (-5 , -4 ) c)(-5, 4) d)( 1 1, -4 ) e)(-11 , 4 ) 8. En las medianas de un triángulo el baricentro B(x,y) es tal que las distancias de este punto al vértice M(2,4) y al punto medio N(1,-1) del lado opuesto están en la relación MB/BN = 2/1. Las coordenadas de B son: a) (4/3,2/3) b) (-4/3,2/3) c) (-2/3,4/3) d) (2,1) e) (1,2) 9. Las coordenadas del punto que divide al segmento A(-1,4), B(-5,-8) en la razon -1/3 son: a) (1,-2) b) (2,-1) c) (1,10) d) (-1,10) e) (4,5) 10. Las coordenadas del punto que divide al segmento A(3,2), B(-1,-1) en la razon ½ son: a) (2,1) b) (-1,2) c) (-5/3,-1) d) (5/3,1) e) (5/3,-1) Coordenadas del punto medio 11. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5,4); B(-3,8). a)(1,6) b) (4,6) c) (1,-2) d) (-1,6) e) (1,-6) 12. El punto medio de un segmento es (2,2). Si uno de sus extremos es (-2,3), el otro es: a) (6,-1) b) (-2,1) c) (1,6) d) (-6,-1) e) (6,1) 13. Encuentre dos puntos equidistantes de (2,1), los tres sobre la misma línea, si la abscisa de uno de ellos es x=6 y la ordenada del otro es y= -1. a) (2,3) b) (-2,-3) c) (-2,3) d) (2,-3) e) (-6,1) 14. Dados los vértices de un triángulo A(2,0), B(1,-3) y C(2,-5), el otro extremo de la mediana correspondiente a B es: a)(0,-5/2) b) (0,1/2) c) ( 5/2,0) d) (3/2,0) e) (0,-3) 15). La mediatriz del segmento determinado por los puntos A(-2,3), B(4,1) pasa por el punto a) (2,3) b) (3,4) c) (-2,1) d) (1,2) e) (2,4) Pendiente de una recta 16. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-4,-1) y (5,2). a) 2 b) 1/2 c) 1/3 d) 3 e) -1/3 17. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-3,3) y (4,-4) a) 2 b)1 c) 3 d) -2 e) -1 18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-5, 2) y (-5,-4) Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO a) No existe

b) 0

c) 6

d) -2

e) -6

19. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x,-3) y (-2,6) es 3, entonces el valor de x es: a) 2 b) 5 c) 6 d) -5 e) -1 20. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3,4) y (1, Y) es cero, entonces el valor de la ordenada es: a) 3 b) 0 c) No existe d) -2 e) 4 Ecuaciones de la recta 21. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A(-1, 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica. a) x + y = 1 3

b) x + y = 2 2

c) y + x = 1 2

d)

x +

y = 1 2

e) x − y = 1 2

22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y - 8 = 0 y 3x - 2y + 9 = 0. a) 4x +3 y - 10 = 0 b) 4x + y - 9 = 0 c) x - 2y - 8 = 0 d) 4x + y - 10 = 0 e) -x +4 y - 10 = 0 23. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son, P1(-3, 2) y P2(1, 6). a) x + y + 3 =0 b) -x + y - 3 =0

c) x - y - 3 =0 d) x + 2y - 3 =0 e) x + y - 3 = 0

24. Una recta pasa por el punto A( 7 ,8 ) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(-2, 2) y D(3, -4). Hallar su ecuación a) x + y - 82 = 0 b) 6x + 5y - 82 = 0 e) 5x + y - 82 = 0

c) x +6y - 82 = 0

d) 6x - 5y + 82 = 0

25. Hallar el valor de K para que la recta k2x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x - 2y -11 = 0. 2± 7 1 ± 6 1 ± 7 a) b) c) 1 ± 7 d) e) 1 / 2 ± 7 3 3 2 3 3 Ángulos entre dos rectas 26. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (-2, 1), (3,4) y (5, -2). a) 77°28',54°10' 48°22' b) 76°28', 54°10' 48°22' c) 67°28', 54°10' 48°22'

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO d) 77°38', 54°10' 48°2

e) 67°18', 54°10' 48°22'

27. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3,9) y A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. a)7 b) 9 c) 1 d) 2 e) -8 28. Una recta l1 pasa por los puntos (3,2) y (-4, -6) y otra recta l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2. a) 3 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4 29. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos (1, -2) y (3, 8). a) m=5, θ=78°31' 24.24” b) m=5, θ=78°41' 24.24” c) m=5, θ=77°41' 24.24” d) m= 5, θ=77°51' 24.24”

e) m=5, θ=87°41' 24.24”

30. Hallar sus ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son: (8, -1) Y (-2, 1). a) 34°41', 56°19' b) 33°31' , 56°19' c) 33°31' , 60°19' d) 33°41', 56°19' e) 34°41' , 46°19'

(2, 5),

CÓNICAS 31. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por (-3,4) es: a) b) c) d) e) 32. De los siguientes puntos, el único que se encuentra sobre la circunferencia es: a)

b)

c)

d)

e)

33. Si los extremos de un diámetro en una circunferencia con centro en el origen son y , la ecuación de dicha circunferencia es a)

b)

c)

d)

e)

34. Si (2,2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia , la ecuación de dicha cuerda es a) x + y – 4 = 0 b) x – y – 4 = 0 c) x – y + 4 = 0 d) x + y + 4 = 0 e) y – x – 4 = 0 35. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x + 6y = 22 es Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO a)

b)

c)

d)

e)

36. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola y2 , es: a) (-1,0 ) ,x =1 e) (1,0 ) ,x =-1

b) (1,0 ) ,x =1

c) (0,-1, ) ,x =1

d)

37. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (a)

=-4

b)

=-

c)

=-4

d)

=-4

38. El foco y la directriz de la parábola 2y – x2 =0, son: a) (1/2,0),x=-1/2 b) (0,-1/2),y=1 c) (0, 1/2), y= -1/2 (0,1/2)

(-1,0 ) ,x = 2

, 0) es: e)

=4

d)(0,1) y=-1/2

e)

39. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4,0) y directriz x= -4 es: a) y=16x b) y=16x2 c) y2 = -16x d) e) y2 = 10x e) y2 = 16x 40. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el origen y que pasa por (-2,-2) es: b) x = 8y c)x2 = -8y2 d) x = -8y e) y2 = 8x a) x2 = -8y 41. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8 , entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el eje y es: a) b) c) d) e)

42. Si la excentricidad es 4/5 y la distancia focal es 16 , la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es: a) b) c) d) e)

43. La excentricidad de la elipse 2x2 + 4y2 = 8 a) -

b)

c)

d)

es: e) )

44. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor es: a)

b)

c)

45. La ecuación de la elipse que pasa por (3, al eje menor (0,4) es:

d)

20 y eje menor 10 e)

, con vértice correspondiente

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO a)

b)

c)

d) -

e)

46. Los focos de la hipérbola 4x2 -9y2 = 36 son: a) (

b) (

c) (

d) (

e) (0,

47. Las asíntotas de la hipérbola 25y2 - 16x2 = 400 2

a)

b)

c)

son:

d) )

e)

48. La ecuación de la hipérbola con asíntotas a)

b)

c)

49. Los de una hiperbola son

, es: d)

y sus focos

a)

e) . Entonces su ecuación es:

b)

c)

d)

e) 50. La excentricidad de la hipérbola y2 - 4x2 = 4 es: a)

b)

c)

d)

e)

Respuestas No.pregunta. Rta

No.Pregunta Rta

No.Pregunta Rta

No.Pregunta Rta

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

a c e b b a e a c d

c e a d e d d e b c

a b e a c a d c e a

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a b d b a

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GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO 11 12 13 14 15

a e c a d

26 27 28 29 30

a e b b d

41 42 43 44 45

e a d b c

56 57 58 59 60

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“La Educación es un Elemento Central de la Dignidad y También del Desarrollo Humano”