Guía de Actividades SOLUCION - Tarea 1 - El Concepto de Integral
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Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Guía de actividades y rúbrica de evaluación Tarea 1 - El concepto de integral 1. Descripción general del curso Escuela o Unidad Académica Nivel de formación Campo de Formación Nombre del curso Código del curso Tipo de curso Número de créditos
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Profesional Formación disciplinar Cálculo Integral 100411 Teórico Habilitable Si No 3
2. Descripción de la actividad Tipo de actividad:
Individual
Momento de la Inicial evaluación: Peso evaluativo de la actividad: 116 Fecha de inicio de la actividad: miércoles, 17 de octubre de 2018 Competencia a desarrollar:
Colaborativa
Número de 4 semanas
Intermedia, Final unidad 1: Entorno de entrega de actividad: Seguimiento y evaluación Fecha de cierre de la actividad: martes, 30 de octubre de 2018
El estudiante comprende el concepto de antiderivada para determinar integrales definidas e indefinidas aplicando el teorema fundamental del cálculo. Temáticas a desarrollar: Unidad 1 - El concepto de Integral. Integral indefinida. Sumas de Riemann. Teoremas de integración. Integral definida. Pasos, fases o etapa de la estrategia de aprendizaje a desarrollar
La Tarea 1 consta de los siguientes 6 pasos. Paso 1 1 - Elección de ejercicios en el foro. Paso 2 2 - Revisión de los contenidos de la Unidad 1. Paso 3 – Revisión de la guía del software Geogebra. Paso 4 4 - Presentación de aportes en el foro colaborativo. Paso 5 – Realimentación de los aportes en el foro. Paso 6
–
Compilación y entrega del trabajo.
En donde los pasos 1, 2, 3 y 4 se desarrollan de forma individuales y los paso 5 y 6 se desarrollan de manera colaborativa entre los 5 integrantes del grupo. Paso 1 Los ejercicios de la Tarea 1 se dividen en 4 Tipos según la siguiente tabla: Tipo de ejercicios 1 Integrales inmediatas Ejercicio a. Ejercicio b. Ejercicio c. Ejercicio d. Ejercicio e.
Tipo de ejercicios 2 Sumas de Riemann Ejercicio a. Ejercicio b. Ejercicio c. Ejercicio d. Ejercicio e.
Tipo de ejercicios 3 Teorema de integración. Ejercicio a. Ejercicio b. Ejercicio c. Ejercicio d. Ejercicio e.
Tipo de ejercicios 4 Integral definida. Ejercicio a. Ejercicio b. Ejercicio c. Ejercicio d. Ejercicio e.
Cada estudiante debe seleccionar una serie de ejercicios a, b, c, o d y desarrollar ese mismo literal en los 4 tipos de ejercicios, además copiar la tabla siguiente y pegarla en el foro para la Tarea 1 colocando el nombre y el rol a desempeñar en el foro.
Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Rol a desarrollar
Grupo de ejercicios a desarrollar
El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipo de ejercicios Fin de la tabla Paso 2. El estudiante debe ingresar al Entorno de Conocimiento y revisar las referencias requeridas para la Unidad 1. Paso 3. El estudiante debe entrar al Entorno de Aprendizaje practico y revisar el Guía para uso de recursos educativos – Geogebra que lo apoyará en el desarrollo de los ejercicios. Paso 4. El estudiante procede con el desarrollo de los ejercicios seleccionados y presenta los aportes en el Foro para la Tarea 1 teniendo en cuenta los siguientes parámetros: -
Se definen como aportes en el foro a los documentos adjuntos en Word donde se presenten avances del desarrollo de los ejercicios seleccionados utilizando el editor de ecuaciones.
-
Solo se deben presentar los aportes de ejercicios seleccionados en la tabla de elección de ejercicios, si un estudiante elige los ejercicios a, solo debe presentar dichos ejercicios.
-
Se deben entregan los aportes durante el tiempo estipulado para esta actividad en el foro de la Tarea 1.
-
Cada aporte debe ser de autoría del estudiante.
Paso 5 El estudiante revisa los aportes publicados en el foro por un compañero del grupo y procede a realimentar y presentar observaciones, correcciones o comentarios, esta realimentación se deben presentar en el mismo foro haciendo alusión al compañero realimentado. Paso 6 En el transcurso de la última semana del trabajo colaborativo, los estudiantes del grupo compilan los ejercicios en un documento Word que debe contar con los siguientes elementos:
Portada, Introducción, Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Referencias Bibliográficas en normas APA.
Tipo Tipo Tipo Tipo
de de de de
ejercicios ejercicios ejercicios ejercicios
1. 2. 3. 4.
Se debe presentar un solo trabajo por grupo en el Entorno de Evaluación y seguimiento en formato pdf y el nombre del archivo debe ser 100411_(número del grupo), se aclara que, si algún estudiante no presenta aportes, los demás deben compilar el trabajo con los aportes de los que si hayan participado. La nota de cada estudiante depende de la realización de sus ejercicios seleccionados y que este hecho no afecta la nota total, se puede confirmar lo anterior analizando la Rúbrica que se encuentra al final de este documento. Actividades a desarrollar A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad.
Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Desarrollar los ejercicios seleccionados utilizando el álgebra y la trigonometría para reducir las funciones a integrar a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio a.
Ejercicio b.
3 √ 5 1 4
Ejercicio c.
11 −−
Se saca aparte el termino luego procedemos a factorizar el termino del numerador ya que tenemos una diferencia de cubos perfectos, nos quedaría de la siguiente manera:
11 1 1 1
Luego eliminamos términos semejantes ( en este caso el termino semejante es nos quedaría de la siguiente manera:
1 1 1
Resolvemos el termino
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
y obtenemos el siguiente resultado:
− Después de haber simplificado y factorizado el termino − encontramos la solución 2 1 luego procedemos a realizar la integral al termino encontrado el cual es: 2 1 Desarrollamos la integral la cual es: ∫ 2 1 Lo que hacemos es separar cada termino para integrarlo y poder obtener la solución
2 1 2 1 + 2 1 3 2 1
La solución es:
Ejercicio d.
32 2
Ejercicio e.
Tipo de ejercicios 2
Sumas de Riemann
–
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio a.
1
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=8, ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y analizar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8. Ejercicio b.
2 1
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 1], en donde use una partición de n=8, ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Ejercicio c.
[1,1] ∆ 1 81 82 ∆ 82 ∆ 1 . 28 1 28 ∑ .∆ = ∑ 1 2 2
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [-1, 1], en donde use una partición de n=8
=
2 2 ∑1 . 8 8 =
2 2 4 1 8 8 64 644 84 1 4 4 2 ∑= 64 8 1 8 8 8 2 ∑= 512 64 8 8512 ∑ 648 ∑ 82 ∑1 = = = ∑ .∆ = 8512 8 126 8 1 648 8 82 1 82 8 1116 0.6875
ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Ejercicio d.
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, ], en donde use una partición de n=8, ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Ejercicio e. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [1, ], en donde use una partición de n=8, ii. Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Tipo de ejercicios 3
Teorema de integración.
–
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando Ejercicio a.
Ejercicio b.
Ejercicio c.
′
de las siguientes funciones
1 √
1
Resolvemos primero la integral indefinida y tenemos que esta no se puede resolver fácilmente por lo tanto tenemos que hacer una sustitución trigonométrica para poder llevar acabo la solución de la integral
Utilizamos estas sustituciones en la integral t=sin(u) dt=cos(u)du
cos cos2 cos 12 cos2 21
aplicamos un teorema del
Factorizamos y separamos las integrales que salen en forma de suma por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera
∫ cos2 ∫ cos2 ∫ 1 Nuevamente sustituimos 2u utilizando una nueva variable Z=2u Dz=2du Nos quedaría de la siguiente manera
14 cos 211 sin4 2
Finalmente resolvemos las integrales y nos da como resultado
Nuevamente sustituimos z=2u y nos queda
sin2 4 2 Aplicamos la fórmula de doble ángulo y nos da lo siguiente
Sustituimos utilizando
2 21sin cos cos 1 sin 2 21sin 1 sin sin− 12 1 21sin−
y obtenemos
Por ultimo sustituimos u por
y nos da como resultado
Sustituimos los limites en el resultado obtenido y nos queda finalmente
12 1 21sin− cos
12 1 cos cos 12 sin−cos 12 1 12 sin−x Finalmente realizamos la derivada de F’(x)
La cual nos da el siguiente resultado
(cos) (cos) cos si n c os 1 si n 2 2 1 √12 1 ´ cossincos(cos) 2√1 2√1 (cos) 2 (cos) 1 2 1 Ejercicio d.
Ejercicio e.
2
Tipo de ejercicios 4
Integral definida.
–
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida,
1255 Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida,
| 3|
Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Ejercicio c. Calcular la siguiente integral definida,
[ 1]
Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.
[ 1] Lo primero que hacemos es separar la integral ya que tenemos una sumatoria de términos y nos queda de la siguiente manera:
1 Resolvemos la integral y nos da
cos 2 ln2 Reemplazamos los limites de la integral tanto el limite superior como el limite inferior y obtenemos los siguiente:
cos cos2 ln ln 2
Finalmente operamos y obtenemos como resultado
ln2 1 Se adjunta evidencia de la gráfica con el área de la función
Ejercicio d. Calcular la siguiente integral definida,
− 1 Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida,
Realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.
Los ejercicios deben ser presentado utilizando el editor de ecuaciones de Word y deben ser publicados en el foro. Entorno de conocimiento:
Consultar el material bibliográfico de la primera unidad del curso
Entorno de Aprendizaje Colaborativo
Entornos para su desarrollo
Interactuar en el foro para la Tarea 1 y presentando avances de sus ejercicios.
Entorno de Aprendizaje Práctico
Usar las instrucciones del editor de ecuaciones en Word. Usar el manual para instalar Geogebra.
Entorno de Seguimiento y Evaluación Entregar el trabajo con el desarrollo de los 4 tipos de ejercicios según los estudiantes que hayan participado. Individuales:
Productos a entregar por el estudiante
Desarrollo de cada uno de los ejercicios seleccionados en la Tabla de selección de ejercicios; los cuales debe entregar en formato Word y presentar en el foro habilitado para la Tarea 1 que se encuentra en el Entorno de Aprendizaje colaborativo. Colaborativos: Interacción con los aportes de sus compañeros: Los estudiantes debe revisar y realimentar los aportes presentados por los compañeros del grupo en el foro.
Consolidar y entregar el trabajo: Los estudiantes que participen en el foro con aportes deben consolidar el trabajo colaborativo en un documento Word con los siguientes elementos:
Portada, Introducción, Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 1. Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 2. Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 3. Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 4.Referencias Bibliográficas en normas APA. Y lo se debe entregar en el Entorno de Evaluación y Seguimiento en formato pdf y el nombre del archivo debe ser 100411_(número del grupo).
3. Lineamientos generales del trabajo colaborativo para el desarrollo de la actividad
Planeación de actividades para el desarrollo del trabajo colaborativo
Abordar la totalidad de los recursos didácticos dispuestos para la Unidad 1 ubicados en el entorno de conocimiento. • Asistir o acceder a la grabación de la web conferencia programada para la unidad uno (1). Ver programación encuentros web, ubicada en el entorno de aprendizaje colaborativo y foro de noticias del curso. • Revisar los ítems de evaluación y los criterios de evaluación baja, media y alta referenciados en la rúbrica de evaluación, dispuesta al final de este documento. Esto con el fin de conocer la metodología de evaluación de la actividad propuesta. • Abordar la actividad paulatinamente garantizando cuatro (4) aportes significativos en el tiempo en que este activa la actividad Tarea 2, estos corresponden al desarrollo de cada uno de los ejercicios de la serie escogida.
Roles a desarrollar por el estudiante dentro del grupo colaborativo
-
•
Roles y responsabili dades para la producción de entregables por los estudiantes
Compilador Revisor Evaluador Entregas Alertas
Compilador: Consolidar el documento que se constituye como el producto final del debate, teniendo en cuenta que se hayan incluido los aportes de todos los participantes y que solo se incluya a los participantes que intervinieron en el proceso. Debe informar a la persona encargada de las alertas para que avise a quienes no hicieron sus participaciones, que no se les incluirá en el producto a entregar. Revisor: Asegurar que el escrito cumpla con las normas de presentación de trabajos exigidas por el docente. Evaluador: Asegurar que el documento contenga los criterios presentes en la rúbrica. Debe comunicar a la persona encargada de las alertas para que informe a los demás integrantes del equipo en caso que haya que realizar algún ajuste sobre el tema.
Entregas: Alertar sobre los tiempos de entrega de los productos y enviar el documento en los tiempos estipulados, utilizando los recursos destinados para el envío, e indicar a los demás compañeros que se ha realizado la entrega. Alertas: Asegurar que se avise a los integrantes del grupo de las novedades en el trabajo e informar al docente mediante el foro de trabajo y la mensajería del curso, que se ha realizado el envío del documento.
Uso de referencias
Las Normas APA son el estilo de organización y presentación de información más usado en el área de las ciencias sociales. Estas se encuentran publicadas bajo un Manual que permite tener al alcance las formas en que se debe presentar un artículo científico. Aquí podrás encontrar los aspectos más relevantes de la sexta edición del Manual de las Normas APA, como referencias, citas, elaboración y presentación de tablas y figuras, encabezados y seriación, entre otros. En el acuerdo 029 del 13 de diciembre de 2013, artículo 99, se considera como faltas que atentan contra el orden académico, entre otras, las siguientes: literal e) “El plagiar, es decir, presentar como de su propia autoría la totalidad o parte de una obra, trabajo, documento o invención realizado por otra persona. Implica también el uso de citas o referencias faltas, o proponer citad donde no haya coincidencia entre ella y la referencia” y liberal f) “El reproducir, o
Políticas de plagio
copiar con fines de lucro, materiales educativos o resultados de productos de investigación, que cuentan con derechos intelectuales reservados para la Universidad. Las sanciones académicas a las que se enfrentará el estudiante son las siguientes: a) En los casos de fraude académico demostrado en el trabajo académico o evaluación respectiva, la calificación que se impondrá será de cero punto cero (0.0) sin perjuicio de la sanción disciplinaria correspondiente. b) En los casos relacionados con plagio demostrado en el trabajo académico cualquiera sea su naturaleza, la calificación que se impondrá será de cero punto cero (0.0), sin perjuicio de la sanción disciplinaria correspondiente.
4. Formato de Rubrica de evaluación
Formato rúbrica de evaluación Actividad Actividad Tipo de actividad: individual colaborativa Momento de la Intermedia, Inicial Final evaluación unidad 1 Niveles de desempeño de la actividad individual Aspectos evaluados Valoración alta Valoración media Valoración baja El estudiante no El estudiante El estudiante Comprende el comprende el comprende el concepto de concepto de concepto de integral integral indefinida y integral indefinida y utiliza de manera Comprende el indefinida y utiliza utiliza el álgebra y el álgebra y la incorrecta el concepto de la trigonometría trigonometría para álgebra y la Integral para reducir la reducir la función a trigonometría para indefinida función a integrar, integral inmediata. reducir la función a pero no llega a la integrar. solución correcta. (Hasta 25 puntos) (Hasta 15 puntos) El estudiante comprende la El estudiante aplicación de las comprende la sumas de Riemann, aplicación de las no representa sumas de Riemann, correctamente la representa gráfica en Geogebra gráficamente en Comprende las de la aproximación Geogebra la Sumas de del área bajo la aproximación del Riemann curva y presenta área bajo la curva y errores en la compara los dos comparación de los resultados resultados obtenidos. obtenidos.
Puntaje
25
(Hasta 5 puntos) El estudiante no comprende la aplicación de las sumas de Riemann y no representa correctamente la gráfica en Geogebra de la aproximación del área bajo la curva y presenta errores en la comparación de los resultados obtenidos.
(Hasta 25 puntos) (Hasta 15 puntos) (Hasta 5 puntos)
25
Comprende la consecuencia del primer Teorema fundamental del calculo
Comprende la integral definida
Aspectos evaluados
Realimentación de los aportes en el foro.
El estudiante El estudiante no comprende la comprende la consecuencia del consecuencia del primer teorema primer teorema fundamental del fundamental del cálculo para cálculo para integrales, pero no integrales y no lo consigue utilizarlo aplica para hallar para hallar derivadas de derivadas de funciones con funciones con integrales. integrales. (Hasta 25 puntos) (Hasta 15 puntos) (Hasta 5 puntos) El estudiante no El estudiante El estudiante comprende comprende comprende correctamente el correctamente el correctamente el segundo teorema segundo teorema segundo teorema fundamental del fundamental del fundamental del cálculo, y no cálculo, pero no cálculo para consigue calcular consigue calcular Calcular áreas bajo áreas bajo las áreas bajo las las gráficas de gráficas de gráficas de funciones en funciones en funciones en intervalos definidos. intervalos intervalos definidos. definidos. (Hasta 25 puntos) (Hasta 15 puntos) (Hasta 5 puntos) Niveles de desempeño de la actividad colaborativa Valoración alta Valoración media Valoración baja El estudiante El estudiante El estudiante no realimenta al menos realimenta al menos realimenta aportes dos aportes de sus un aportes de sus de sus compañeros compañeros en el compañeros en el en el foro en base foro en base a su foro en base a su a su comprensión comprensión del comprensión del del concepto de la concepto de la concepto de la Integral o su Integral y la Integral y la realimenación no realimentación es realimentación es es correcta. correcta. correcta. El estudiante comprende la consecuencia del primer teorema fundamental del cálculo y lo aplica de manera correcta para hallar derivadas de funciones con integrales
(Hasta 8 puntos)
(Hasta 4 puntos)
(Hasta 1 puntos)
25
25
Puntaje
8
Consolidación del producto
El trabajo cumple con las especificaciones solicitadas como: portada, introducción, desarrollo de los ejercicios y Bibliografía en APA (Hasta 8 puntos)
El trabajo no cumple con las especificaciones solicitadas como: portada, introducción, desarrollo de los ejercicios y bibliografía en APA, o no fue presentado. (Hasta 4 puntos) (Hasta 1 puntos)
El trabajo no cumple con las especificaciones solicitadas pues le faltan elementos como: portada, introducción, desarrollo de los ejercicios y Bibliografía en APA
Calificación final
8
116
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