Guia 3 Calculo 30

 

Cálculo 30 Guia 3: Derivadas Derivadas parciales, derivadas derivadas direccionales. Planos tangentes, tangentes, máximos y mínimos. Aproximaciones Aproximaciones por diferenciales. Profesor: Jesús E. Villarreal R. Universidad de Los Andes. Facultad de Ingenieria. Mérida - Venezuela Problema 1  Determine todas las derivadas parciales de cada función 1)   f  f ((x, y) =

  x2

− y2

2)   f (x, y) =  ex c cos( cos(yy )

 

xy

3)   f  f ((x, y) =  e−xy

4)   f (x, y) = (4x (4x

5)   f  f ((x, y) =  y cos( cos(x x2 + y 2 )

6)   f (x, y) = 2 si sin( n(x x)cos( )cos(yy )

7)   f  f ((x,y ,z) ,z) =  x y + y x + z x z

z

8)   f (x,y ,z) ,z) = ln(xyz ln(xyz); );  determine   ∂f  +  ∂ f  +  ∂ f  ∂x ∂x ∂z

y

 y

  xy

9)   f  f ((x, y) =

∫  ∫ 

g (t)dt

 

10)   f (x, y) =

∫ 

(x2 + y 2 )g (t)dt

−xy

x   yx

11)   f  f ((x, y) =

− y2)3/2

g (t)dt

12)   f (x, y) = (x2 + y 3 )exy

 

2

xy

13)   f  f ((x, y) = arcsin(x arcsin(x3

− y3 )

14)   f (x, y) = ln

 − √   √  x

x2 + y 2

x +

x2 + y 2

En los ejercicios 9 ejercicios  9,,  10  10 y  y 11  11 suponga  suponga que g que  g es  es continua en t en  t,, y use el primer teorema fundamental del cálculo. Problema 2  Dada la función por partes

f  f ((x, y) =

calcular

  ∂f    ∂f  (0 (0,, 0) 0) y  y (0 (0,, 0) 0).. ∂x ∂y

Problema 3   Si Si f   f ((x, y ) = 3x2 y 1)   f x 4)   f xx xx

 

2x2 y 2 ; x4 + y 4 0;

(x, y) = (0, (0, 0)

̸

(1)

(x, y ) = (0, (0, 0)

− xyz xyz +  + y  y 2 z 2 , determine lo siguiente    

2)   f xy xy

 

3)   f xz xz

5)   f zz zz

 

6)   f yz yz

 

Problema 4  Verificar que la función  función   f (x, y ) = arctan ∂ 2 f   ∂ 2 f    + 2   = 0. ∂x 2 ∂y

y , satisface la ecuación de Laplace x

()

Problema 5  Verificar que la función f  función  f ((x, t) =  ex+at + cos(kx cos(kx +  + akt  akt)), satisface la ecuación de 2 2   ∂  f  2 ∂  f  onda ∂t 2   =  a ∂x 2 .   g(x,t x,t))   x du,, satisface la e−u du Problema 6   Si Si   g (x, t) = ; verificar que la función  función   f  f ((x, t) = 2a t 0 2 f  ∂    ∂f    =  a 2 2 . ecuación ecuac ión del calor ∂x ∂t Proble Pro blema ma 7 (La ley del gas ideal) ideal) Nos  Nos dice que P que  P V   V   =  nRT   nRT ;; donde  donde   P  es P  es la presión,  presión,   V   V   es el volumen, T  volumen,  T  es  es la temperatura, n temperatura,  n  es el número de moles del gas y  R  es una constante física ∂P    ∂V    ∂T  1. Despejar Despejar las variables variables P   P ,,  V    V    y  T   T ;; y calcular  ,  y ∂V  ∂T  ∂P    ∂P  ∂V  ∂T  2. Verificar erificar que  = 1 ∂V  ∂T  ∂P  Problema 8  Verifique usando la definición, que las siguientes funciones son diferenciables en

∫ 

√ 

2

−

el punto P  punto  P    dado 1)   f (x, y ) = 3x2 + 9y 9y2 ;   P  P    = (1 (1,, 2)

2)   f (x, y ) = 4x2 y3 ;   P   P   = (1, (1, 1)

3)   f (x,y ,z) ,z) =  x 3 + 3y 3y 2 + z 2 ;   P  P    = (1 (1,, 0, 1) Problema 9  En los siquientes ejercicios, determine la derivada de la función evaluada en el punto dado P  dado  P  y  y en la dirección del vector  vector⃗u  1)   f  f ((x, y) =  y 2 ln( ln(x x);   en el punto punto   P  P    = (1 (1,, 4);   en la direcci dirección ón de  de⃗u   =  = i  i 2)   f  f ((x, y) =  x 2

− j

− 3xy + xy + y  y 2 ;   en el punto punto   P  P    = (−1, 2);   en la direcció dirección n de  de⃗u   = 2i − j √  3)   f  f ((x, y) =  ex sin( sin(yy );   en el punto punto   P  P    = (0 (0,, π/4); π/ 4);   en la direcció dirección n de  de⃗u   = (1, (1, 3) √  punto   P  P    = (1 (1,, −1);   en la direcci dirección ón de  de⃗u   = (−1, 3) 4)   f  f ((x, y) =  x 2 e−xy ;   en el punto √  5)   f  f ((x,y ,z) ,z) =  x 2 + y 2 + z 2 ;   en el punto punto   P  P    = (1, (1, −1, 2);   en la direcci dirección ón de  de⃗u   = 2i − j − k

6)   f  f ((x, y) =  x 2 + y 2 ;  en el origen, en la dirección de⃗u   = (a, b)

7)   f  f ((x, y) =  x sin( sin(yy );  en el punto  punto   P  P    = (1 (1,, π );  en la dirección de⃗u   = ( 2, 3) 8)   f  f ((x,y ,z) ,z) =  x y ;  en el punto   P  P    = (1 (1,, 1, 1) 1),, en la dirección de⃗u  z

−  = (2, (2, −3, 1)

9)   f  ln(yy ) + y + y ln( ln(zz ) + z +  z ln(  ln(x (1, 1, 1), 1), en la dirección de⃗u   = (a,a,a f ((x,y ,z) ,z) =  x ln( x);  en el punto   P   P   = (1, a,a,a)) en   (1, punto   P  (1, 1) 10)   f  f ((x, y) =  x sin( sin(yy );  en el punto  P    = (3 (3,, 0) 0),, en la dirección del vector tangente a   y  =  = x  x 2 en Problema 10   Sabiendo Sabiendo que una funció función n crece crece más rapida rapidamen mente te en   P   P   en la dirección del gradiente, con razon f (P  P )) . Determine un vector unitario en que  f   f  crece  crece más rapidamente en en P   P .. ¿Cual es la razón de cambio en esta dirección?

 ∥∇

∥

1)   f (x, y) =  x 3

− y5 ;

2)   f (x,y ,z) ,z) =  xeyz ; 2

  P   P   = (2, (2, 1)

−   P   P   = (2, (2, 0, −4)

 

Problema 11  La temperatura en ( en  (x,y x,y ,z) ,z)  de una bola con centro en el origen está dada por   200 . T   T   = 2 x + y 2 + z 2 + 5 1. Por inspección, inspección, decida donde la esfera esta más caliente. caliente. 2. Determine Determine un vector vector unitario que apunte apunte en la dirección dirección del mayor mayor incremen incremento to de temperatura en (1 en  (1,, 1, 1) 1)..

−

3. ¿Apunta ¿Apunta el vector de la parte 2 parte  2,, hacia el origen?

√ 

Problema 12   Determine Determine el gradiente gradiente de   f  f ((x,y ,z) ,z) = sin x2 + y 2 + z 2 . Ver erifi ifiqu quee que eell gradiente siempre apunta hacia el origen o hacia afuera del origen. Problema 13  La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en el punto  (  (x, x, y )  es  es f   f ((x, y ). 1 Un montañista en   P  P    nota que la pendiente en la dirección este es   y la pendiente en la 4 1 . ¿En que dirección debe moverse para el más rapido descenso? dirección norte es 4

 −

 −

2

2

+2y y )/100 Problema 14   La elevación de una montaña montaña sobre el nivel del mar en en (  (x, x, y) es  es 3000  3000ee−(x +2 m. El eje X  eje  X  positivo  positivo apunta hacia el este y el eje  Y  positivo  Y  positivo apunta hacia el norte. Una mon-

tañista está directamente sobre P  sobre P (10 (10,, 10) 10).. Si la montañista se mueve hacia el norte. ¿Ascenderá o descenderá y con que pendiente? Problema 15   Si la temperatura en una placa de metal en el punto   (x, y)   es:   a)   f (x, y ) =  b))  f   f ((x, y) = 20 2x2 y2 . Determine la trayectoria que seguiría una particula que 10 + x2 y 2 ;  b detecta calor (la cual siempre se mueve en la dirección del mayor incremento en la temperatura) si parte de ( de  ( 2, 1) 1)..

− −

−

−

Problema 16   Sea  Sea   f  y sea   P ϵU . Sa Sabem bemos os que que   D⃗ u f (P ) f    :   U    R2   R  diferenciable P ) = 3   y √   1  1  y⃗v   = 23  ,   12 . ¿Cuales son las derivadas parciales? D⃗v f (P  P )) = 2; donde  donde⃗u   = √  , √  2 2

( ⊂ − →)

( )

  ∂w   usando usando regla de la cadena. cadena. Exprese Exprese su respuesta respuesta final en térProblema 17   Determinar ∂t minos de t de  t 1)   w  = ln(x ln(x +  + y  y)) ln( ln(x x y );   x  =  = te  tes ;   y  =  = e  e st xy +z 2)   w  =  = e  e xy+ ;   x  = s  =  s +  + t  t;;   y  =  = s  s t;   z  =  = t  t 2

−

3)   w  =  = x  x 2

− y ln( ln(x x);   x  =  = s/t  s/t;;

2

4)   w  =  = e  e x Problema 18   Si Si   W  W    = ln(   ∂W    ∂W  calcular  y  . ∂s ∂t

−

+y 2

−

  y  =  = s  s 2 t

;   x  =  = s  s sin( sin(tt);   y  =  = t  t sin( sin(ss)

√ 

x2 + y 2 ); donde  donde   x  =  se t y   y   =   se−t , usando regla de la cadena,

Problema 19   Sea  Sea   z   =  f   f ((r,s,v r,s,v)) =  r 3 + 2s 2 s +  + v  v 2 ; donde  donde   r  =  xe y ,   s  =  ye  y ex y   v   =  x 2 y. Apl Aplica icarr   ∂z   ∂z .  y la regla de la cadena para calcular ∂x ∂y 3

 

Problema 20   Sea W  Sea  W    =  f   f ((x,y ,z) ,z) =  x 2 + yz  yz;; donde x donde  x =  = 3t2 + 1, 1,  y  = 2t   ∂W   . la regla de la cadena para calcular ∂t

− 4  y  z  =  = t  t 3 . Aplicar

Problema 21   Sea  Sea   w   =  f   f ((x, y)  una función diferenciable; donde   x  =  r cos( cos(θθ)   y   y   =   r sin( sin(θθ). 2 2 2 1 ∂w 2 ∂z ∂w ∂w + . = + Aplicar la regla de la cadena para verificar que: 2 r ∂θ ∂r ∂y ∂x

−

       

Problema 22   Sea z Sea  z  = f   =  f ((u, v ); donde u donde  u =  = x  x 2y  y  v  = 2x + y  tal que satisface la ecuación de 2 2   ∂  f   ∂  f    ∂ 2 f   ∂ 2 f  Laplace   +   = 0 ; entonces verificar que   + 2   = 0. ∂u 2 ∂v 2 ∂x 2 ∂y Problema 23   Sea  Sea   w   =   f (x, y )  una función continua con derivadas parciales segundas continuas; donde   x   =   r cos( cos(θθ)   y   y   =   r sin( sin(θθ). Aplica Aplicarr la regla de la cadena cadena para para verifi verificar car que que:: 2 2 2 2 ∂  w  ∂  w   ∂  w   1 ∂  w  1 ∂w  .  + 2 2 +  =  + r ∂r r ∂θ ∂r 2 ∂y 2 ∂x 2 Problema 24  Los dos radios de un tronco de cono circular recto crecen a razón de 2 de  2 cm/min  cm/min y la altura decrece a razón de   3   cm/min. cm/min. En el instant instantee en que los radios radios son de  de   6   y   12  12   cm y la altura de   8   cm. Calcular:   a)  La razón de cambio del volumen del tronco de cono.   b)   La cm. Calcular:  π 2 2 razón de cambio del área lateral del tronco. Ayuda:   V   V   = 3 (r + rR + R )h  y  A =  A  = π  π((r + R)L. Problema 25  Un tanque de goma con forma de cilindro circular recto, está recibiendo agua a razón de 2 de  2π π m3 /hora /hora.. El radio del tanque está creciendo a razón de 5 de  5  cm/hora  cm/hora.. Calcular la razón de cambio con que crece la altura del agua cuando el radio es de   2   m  y el volumen del agua en el tanque es de 12 de  12π π m3 . dy Problema 26  Use el método de la derivación implícita para determinar   dx

5x 1)   ye−x + 5x

− 17 = 0 2)   x2 cos( cos(yy) − y 2 sin( sin(x x) = 0

Problema 27  En los siguientes ejercicios, la ecuación define implicitamente a z a  z  como función   ∂z   ∂z de de x  x  y  y . Calcular  y   de: ∂x ∂y

− yz 2 + 2xz 2xz   = 0 3)   x3 + y 3 + z 3 − 3xyz xyz   = 0

1) 4xy

2)   xyz + xyz  + cos(xyz cos(xyz)) = 0 4)   xz

− ln( ln(xz xz)) + yz +  yz − ln( ln(yz yz)) = 1

Problema 28   Consideremos el siguiente sistema

{

F ( F (x,y,u,v x,y,u,v)) =  xe u+v + uv 1 = 0 G(x,y,u,v x,y,u,v)) =  ye u−v 2uv 1 = 0

− − −

Si Si P   P (1 (1,, 1, 0, 0) 0),, entonces F  entonces  F (1 (1,, 1, 0, 0) = 0 y 0  y  G  G(1 (1,, 1, 0, 0) = 0. 0. Calcular

4

  ∂u   ∂v  y . ∂x ∂y

 

Problema 29   Consideremos el siguiente sistema

{

F ( F (x,y,u,v x,y,u,v)) =  e u + ev x ye G(x,y,u,v x,y,u,v)) =  ueu + ve v xye

− − −

Si Si P   P (1 (1,, 1, 0, 1) 1),, entonces F  entonces  F (1 (1,, 1, 0, 1) = 0 y 0  y  G  G(1 (1,, 1, 0, 1) = 0. 0. Calcular

  ∂v

 y

  ∂u

.

∂x ∂y Problema 30   Para cada una de las funciones   z   =  f   f ((x, y), determine un vector normal a su gráfica en el punto indicado 1)   f  f ((x, y) =  xy  xy;;  en un punto cualquiera   P   P   = (x, y ) 2)   f  f ((x, y) = sin(x sin(x) + sin(y sin(y );  en el punto  punto   P   P   = (0, (0, 0) 3)   f  f ((x, y) = ln(2 + x +  x +  + y  y); );  en el punto  punto   P   P   = (0, (0, 0) 4)   f  f ((x, y) = sin(sin(x sin(sin(x)cos( )cos(yy)) ))en en el punto  punto   P   P   = (π, π ) 5)   x2 y2 + x2 z 2 + y 2 z 2 + xyz 6)   xy + xz + z x

− 4 = 0;  en el punto  punto   P   P   = (1, (1, 1, 1)

xyz =  = 0;  en el punto  punto   P   P   = (1, (1, 1, 1) − 3xyz

Problema 31  Determine los puntos de la gráfica de la función si los hay para los que el vector N  es normal 1)   f (x, y ) = 2x2 + 3xy 3xy +  + 5y 5 y2 ;   N  = (3, (3, 2, 3)

−

− − x2 + y 2 );   N  = (0, (0, 0, −3)

2)   f (x, y ) = ln(1 + x +  x +  + 2y 2 y);   N  = ( 1, 3, 4) 3)   f (x, y ) = sin(

√ 

Problema 32  Determine la ecuación del plano tangente al elipsoide  elipsoide   3x2 + 12y 12 y2 + 4z 4 z 2 = 84; 84; 6);; graficar. en el punto P  punto  P 0 (2 (2,, 2, 6)

√ 

Problema 33   Determine el plano tangente a la superficie   z   =   x2 +  y 2 que sea paralelo al plano 3 plano  3x x + 8y 8 y 5z  = 10 10..

−

Problema 34   Determine Determine el plano tangente tangente a la superficie z superficie z  = 3x2 que la recta normal tenga por vector paralelo v   = ( 1, 0, 2). 2).

xy + 5y2 en el punto en − 8xy +

 −→ −

Problema 35  Verificar que no existen planos tangentes a la superficie 2x2 + 2y 2y 2

− 5z2 + 2xy 2xy − 2x − 4y − 4z + 2 = 0;

que sean paralelos al plano x plano  x  = 0.   x2 y2 z 2 Problema 36  Determinar los puntos de la superficie 2 + 2 + 2   = 1 donde su plano tangente a b c sea paralelo al plano αx plano  αx +  + βy  βy +  + γz  γz  =  = δ   δ . Problema 37   Halle la ecuación del plano tangente a   F  F ((x,y ,z) ,z) = 3x2 + 5y 2 + 3z 3 z2 2xz 2yz 12 12x x  = 0  que sean paralelos al plano  Z    Z   = 0.

−

−

5

xy  + − 2xy +

 

−

Problema 38  Verificar que el plano 2 plano  2x x 6y + 3z 49 49.. ¿En que punto?

− 49 = 0 es 0  es tangente a la esfera x esfera  x 2 + y2 + z 2 =

Problema 39  Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera   x2 + y 2 + z 2 2y + 26z 26 z 113 = 0 que 0  que sean paralelos a las rectas

−

   

10x + − 10x

 = 2t3t yx = z  = 2t

−

x  = 1 + 3t 3t y  = 1 2t z  =  = t  t

− −

Problema 40   Determ Determine ine la ecuaci ecuación ón del plano tangen tangente te a la superfic superficie ie dada dada en el punto punto indicado

√ 

1)   x2 + y 2 + z 2 = 16; 2)   x2 + y 2

− z2 = 4;

3)   z  =  = x  x 1/2 + y 1/2 ;

(2, 3, 3) (2, 1, 1) (1, (1, 4, 3)

Problema 41  Determine todos los puntos criticos, indique si cada uno de estos puntos da un máximo o un mínimo local o si es un punto de silla. Sugerencia: Use el criterio de la segunda derivada. 1)   f (x, y ) =  x 2 + 4y 4y 2

8y − 1 − 2x + 8y 2)   f (x, y ) =  xy 2 − 6x2 − 3y2  2  4 3)   f (x, y ) =  xy  xy +  +  + x y 4)   f (x, y ) =  x 4 + (x (x y)4

−

Problema 42  Encuentre el valor máximo global y/o el valor mínimo global de f  de  f    en en S   S  1)   f (x, y ) = 3x + 4y 4 y;   S  =  = (x, y ) :  o

{ ≤ x ≤ 1   y   − 1 ≤ y ≤ 1} 2 2 2)   f (x, y ) =  x + y ;   S 2 =  = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 3   y   − 1 ≤ y ≤ 4} 3)   f (x, y ) =  x 2 − 6x +  + y  y − 8y + 7;   S   = {(x, y ) :  x 2 + y 2 ≤ 1}

Problema 43  Determine los máximos y minimos de la función   f  f ((x, y) =   x2 definida sobre la región S  región  S  =  = (x, y) :  x 2 + y 2 1 .

{

≤ }

− y2 + 1 = 0

Problema 44  Determine la forma de la caja rectangular cerrada de volumen   v0  con área de la superficie superficie mínima. mínima. Problema 45  Se desea construir una caja sin tapa rectangular que tenga un volumen de   12 m3 . El costo por m por  m 2 del material que se usará para el fondo es de 4 de  4 $, el que se usará para dos de los lados opuestos es de   3 $, y el que se usará para los otros dos lados opuestos es de  de   2 $. Calcular las dimensiones de la caja para minimizar su costo.

6

 

Problema 46   Un tanque metalico rectangular sin tapa debe contener   256   pies cúbicos de liquido. liqui do. ¿Cuales ¿Cuales son las dimensiones dimensiones del tanque que requieren requieren menos material para su construcción. Problema 47   Determine el vector tridimensional con longitud 9 longitud  9  tal que la suma de sus componentes sea un máximo. Problema 48  Suponga que la temperatura T  temperatura  T  en  en la placa circular (x, y ) :  x 2 + y 2 1 , está dada por T  por  T    = 2x2 + y 2 y . Determinar el punto más caliente y más frio en la placa.

≤ }

 {

−

Problema 49   Sea  Sea   f  f ((x, y) =  x 2 + y 2 , calcular el extremo local de   f  f  que  que cumple la condición x y  = 6.

−

Problema 50   Sea  Sea   f (x,y ,z) ,z) = 4x2 + y 2 + 5z 5 z 2 , calcular el extremo local de   f  f    que cumple la condición 2 condición  2x x + 3y 3y + 4z 4 z  = 12 12.. Problema 51  Calcular el volumen máximo del paralelepipedo rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que se pueden suscribir en el elipsoide  16  1 6x2 + 4y 4y 2 + 9z 9z 2 = 144. 144. Problema 52  Calcular la menor distancia del origen al plano 3 plano  3x x + 4y 4 y + 2z 2 z  = 6. Problema 53  Calcular la distancia mínima del origen a la hipérbola hipérbola x  x 2 + 8xy 8xy +  + 7z 7 z 2 = 225. 225. Problema 54   Consideremos la función z función  z  =  = f   f ((x, y) =  x 4

 + y  y 3 , entonces: − x2y +

1. Calcular Calcular la diferencial diferencial total dz total dz . 2. Si el punto  punto   (2 (2,, 3) 3) cambia  cambia al punto   (2 (2..01 01,, 2.98) 98),, utilice la diferencial   dz  para calcular un valor aproximado de ∆ de ∆f  f . Calcular la correspondiente aproximación lineal de de f   f (2 (2..01, 01, 2.98) 98).. Problema 55   Mediante diferenciales calcule un estimado de

√ 26.91. √ 36. 91. 36.06 26.  3

Problema 56  El volumen de un cilindro circular recto de radio  r  y altura h altura  h es  es  V    V   =  πr 2 h. Al medir el radio se obtuvo  obtuvo   8   cm, cm, con un error de a lo más   0.1   cm; cm; al medir la altura se obtuvo 25 25 cm  cm;; con un error de a lo más  0  0..12 12 cm  cm,, entonces 1. Usando Usando diferenci diferenciales ales estimar estimar el máximo máximo error que se comete al calcular calcular el volumen volumen con estos datos. 2. Estimar Estimar el máximo máximo error porcentual. porcentual.  1 2 πr h. Al me medi dirr el radio radio   r   se 3 comete un error de a lo más  más   2 %, y al medir la altura   h  se comete un error de a lo más   1 %. Calcular el error máximo que se comete al calcular el volumen del cono.

Problema 57  El volumen de un cono circular recto es   V   V   =

7