Guia 2010 Editado

GUIA DE PROBLEMAS Nº 0 : Repaso de análisis vectorial r r Problema 0.1: Dado los vectores A y B , determinar el valor de “Y” para que dichos vectores sean perpendiculares: r r r r r r r r A = 2i + Y j + k B = 4i − 2 j − 2k

r r r Problema 0.2: Con los vectores R1 , R2 y R3 realizar las operaciones indicadas: r r r r R1 = 3i − 2 j + k r r r r R 2 = 2i − 4 j − 3 k r r r r R3 = − i + 2 j + 2 k

r r r 2 R1 − 3R2 − 5 R3 r r r b) R1 × R2 × R3 r r r c) R1 R2 R3 ⋅ ⋅ r r r d) R1 × R2 ⋅ R3 a)

( ( (

) ) )

Problema 0.3: Unidades: Determinar en los Sistemas de Unidades Técnico, MKS, CGS e Inglés, en qué unidades se expresan las siguientes magnitudes: Fuerza, Masa, Aceleración, Trabajo y Potencia. Además encontrar la relación numérica que existe entre los distintos Sistemas de Unidades.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 1 : Cinemática del Punto Movimiento del punto: trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración: Problema 1.1: El movimiento del punto en el plano Oxy se da por las igualdades: x = a cos ω t , y = a senω t ; donde a y ω son magnitudes constantes. Hallar la trayectoria del punto y la ley del movimiento a lo largo de la trayectoria.

Problema 1.2: El movimiento de un punto está dada por : x = 8t − 4t 2 ; y = 6t − 3t 2 ( x e y en metros y t en segundos). Determinar la trayectoria, velocidad y aceleración del punto, para cualquier t . Problema 1.3: Una partícula se mueve a lo largo de una curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 3 e −2t ; y = 4 sen 3t ; z = 5 cos 3t . Encontrar su velocidad y aceleración para cualquier t y luego para t = 0 . Problema 1.4: La velocidad de un punto material está dada por : v(t ) = 20t 2 −100t + 50 donde v está expresada en m/seg. y t en segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo t , la velocidad v y la aceleración a para los primeros seis segundos de movimiento y calcular la velocidad cuando a es nula. Problema 1.5: El desplazamiento de una partícula está dado por s (t ) = 2t 3 − 30t 2 + 100t − 50 Donde “ s ”se mide en metros y t en segundo. Representar gráficamente, en función del tiempo el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 12 primeros segundos del movimiento. Determinar el instante de velocidad nula. Problema 1.6: El desplazamiento de una partícula está dado por: s (t ) = (− 2 + 3 t )e −0.5 t , donde s está en metros y t en segundos. Representar gráficamente en función del tiempo el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 20 primeros segundos del movimiento. Determinar el instante de aceleración nula. Problema 1.7: La aceleración de un punto está dada por : a(t ) = 4t − 30 ,donde a está en metros por segundo al cuadrado y t en segundos. Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones del tiempo. El desplazamiento y la velocidad iniciales son so = - 5 m y vo = 3 m/s respectivamente. r r r r Problema 1.8: Una partícula se mueve con una aceleración a (t ) = 2e −t i + 5 cos t j − 3sen t k . Si en t = 0 la partícula está en el punto P (1, -3, 2) y tiene una velocidad V0 dada por: r r r V0 = 4 i − 3 j + 2 k , hallar la velocidad y la posición de la partícula para cualquier instante t.

Problema 1.9: Una partícula oscila entre los puntos x0 = 40 mm y xf = 160 mm con una aceleración a = k (100 − x ) , donde k es una constante. Cuando la partícula está en x1 = 100 mm, su velocidades es V1 = 18 mm/seg. Determinar: a) el valor de k ; b) la Velocidad V2 de la partícula cuando x2 = 120 mm.

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Problema 1.10: Partiendo de x = 0

y sin velocidad inicial, a una partícula se le imprime una

aceleración a = 0.8 v 2 + 49 , donde a y v se expresan en m/seg2 y m/seg respectivamente. Determinar: a) la posición x1 de la partícula cuando v1 = 24 m/seg. ; b) la velocidad v2 de la partícula cuando x2 = 40 m. Problema 1.11: La velocidad del aire que fluye por una rejilla de ventilación está definida por v = 0.18 . v0 / x , donde v se expresan en m/seg., x en metros y v0 es la velocidad inicial. Para v0 = 3.6 m/seg. , determinar: a) la aceleración del aire en x2 = 2 m.; b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x1 = 1 m. a x 3 = 3 m. Movimiento angular de un punto: desplazamiento, velocidad y aceleración :

Problema 1.12: El punto P se mueve a lo largo del tubo OA con velocidad V y a su vez el tubo gira en el plano Ox1 y1 alrededor del centro O con velocidad ω . Determinar la velocidad del punto P con respecto a los ejes Ox1 y1 , en función de la distancia r = OP.

y1 m

ω P r O

x1

Problema 1.13: Determinar la aceleración absoluta de un punto que se mueve en dirección radial sobre un disco circular, que a su vez gira alrededor de un eje con velocidad angular w constante. Coordenadas normales y tangenciales: Problema 1.14: Un tanque cilíndrico que contiene agua, gira alrededor de su eje con velocidad angular w de manera que no derrama agua. Demostrar que la superficie del agua es un paraboloide de revolución. Problema 1.15: Un punto material describe una trayectoria circular de 0.4 m de radio. Calcular el módulo de su aceleración, si su velocidad es : a) constante y vale 0.6 m/s y b) vale 0.6 m/s pero aumenta a razón de 1.2 m/s cada segundo. Problema 1.16: Un automovilista transita sobre la sección curva de una autopista, de radio 2500 m, a la velocidad de 80 km/h. El automovilista acciona los frenos haciendo que el automóvil desacelere de manera uniforme. Sabiendo que luego de 8 s la velocidad se ha reducido a 45 km/h, determínense la aceleración del automóvil inmediatamente después de que se aplican los frenos.

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Coordenadas radiales y transversales: Problema 1.17: El giro del brazo radial está regido por θ(t) = 0.2. t + 0.02. t3 , donde θ está en radianes y t en segundos. Simultáneamente el husillo motorizado acciona el cursor B y controla su distancia a O según r = 0.2 + 0.04.t2, donde r está medido en metros y t en segundos. Calcular la velocidad y la aceleración del cursor en el instante t = 3s.

Problema 1.18: La pluma OAB gira en torno al punto O, a la vez que el tramo AB se extiende desde el •

••

interior del tramo OA. Tomando a l y l como las derivadas temporales primera y segunda, respectivamente, de la longitud del tramo l = AB ; hallar la velocidad y aceleración del centro B de la polea para las condiciones siguientes: •

••

•

••

θ = 20º , θ = 5º / s, θ = 2º / s 2 , l = 2 m, l = 0.5 m / s, l = 1.2 m / s 2 Problema 1.19: Cuando el cilindro hidráulico rota en torno a O, la presión del aceite en su interior controla la longitud l al descubierto del vástago.• Si la velocidad uniforme de rotación del cilindro es θ = 60 grd / s y l disminuye constantemente a razón de 150 mm/s, calcular los módulos de velocidad v y aceleración a del extremo B cuando l = 125 mm.

Problema 1.20: Mientras el brazo ranurado gira en torno al punto O, el cursor P puede desplazarse hacia el interior mediante el cordel S. La posición angular del brazo está dada por θ (t ) = 0.8t − t 2 / 20 donde θ estás en rad. y t en seg. Cuando t = 0, el cursor se halla en r = 1.6 m, instante en el cual es llevado hacia adentro a razón de 0.2 m/s. Hallar el módulo, dirección y sentido de la velocidad del cursor para: t = 4 s, expresado con respecto a un sistema de eje x-y.

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Problema 1.21: La leva es de tal forma que el centro del rodillo A, que sigue su contorno, se mueve sobre la cardioide definida por : r = b – c . cos(θ) , donde b > c. Si la leva no gira, determinar la aceleración a de A en función de θ si el brazo ranurado gira con velocidad angular constante ω, en sentido antihorario. Movimiento curvilíneo del punto. Problema 1.22: La posición de un punto está dada por: R(t) = ct i + bt j + at 2 k donde a = 1 b = 2 y c = 3 son constantes. Hallar su velocidad y aceleración y describir su movimiento.

Problema 1.23: El movimiento curvilíneo de un punto está definido por vx = 50 – 16.t e y = 100 – 4.t2 donde vx se mide en m/s, y en metros y t en segundos. Se sabe que x = 0 cuando t = 0 . Representar la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración cuando alcanza la posición y = 0 Problema 1.24: Durante un cierto intervalo del movimiento, el pasador P es obligado a moverse por la ranura parabólica fija merced a la guía ranurada vertical, la cual se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 20mm/s. Las cantidades están todas en milímetros y segundos. Calcular los módulos de la velocidad y de la aceleración del pasador cuando x = 60 mm. Problema 1.25: Las esferas del cojinete salen del canal horizontal a una velocidad de modulo u y caen, según se muestra por el tubo de 70 mm de diámetro. Calcular entre qué límites puede variar u para que las esferas entren en el mismo. Los casos límites se representan con trazo discontinuo.

Problema 1.26: El tornillo motorizado parte del reposo y recibe una velocidad rotacional que aumenta uniformemente con el tiempo t según ω = k . t donde k es una constante. Determinar las expresiones de la velocidad y aceleración del centro de la esfera A cuando el tornillo haya girado una vuelta completa. El paso del tornillo (avance por vuelta ) es L.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 2: Cinemática del Cuerpo Rígido. Movimientos simples: traslación; rotación axial y polar.

Problema 2.1: La relación θ (t ) =1.5t 3 − 4.5t 2 + 10 define el movimiento de una leva, donde θ (t ) está expresado en rad. y t en segundos. Determine la coordenada angular, velocidad angular y la aceleración angular de la leva para: a) t = 0 , b) t = 45 s , c) determine el tiempo, la coordenada angular y la aceleración angular, cuando la velocidad angular es cero.

Problema 2.2: La relación θ (t ) = θ 0 (1 − e − t / 4 ) define el movimiento de un disco que gira en un baño de aceite; θ está en radianes y t en segundos. Sabiendo que θ 0 = 0.40 rad . determine la coordenada angular, la velocidad angular y la aceleración angular del disco cuando: a) t = 0 , b) t = 3 s , c) t → ∞ .

Problema 2.3: Cuando se arranca un motor eléctrico alcanza su velocidad nominal de 3300 rpm en 6 s, y cuando se apaga se detiene en 80 s. Si se supone un movimiento uniformemente acelerado, determine el número de revoluciones que el motor realiza: a) al alcanzar su velocidad nominal, b) al girar libremente hasta que se detiene. Problema 2.4: La aceleración angular de la placa circular de la figura, de 600 mm de radio, está definida por la relación α = α 0 e −t . Si para t = 0 la placa está en reposo y α 0 =10 rad / s 2 , determine la magnitud de la aceleración total del punto B cuando: a) t = 0 , b) t = 0.5 s ,c) t → ∞ . Problema 2.5: La placa circular del problema anterior, de 250 mm de radio, inicialmente está en reposo y la relación α = α 0 . cos(π .t / T ) define su aceleración angular. Si T = 1.5 s y

α 0 =10 rad / s 2 , determine la magnitud de la aceleración total del punto B cuando: a) t = 0 , b) t = 0.5 s , c) t = 0.75 s .

Problema 2.6: Una banda transportadora que pasa sobre una polea loca de 12 cm. de radio mueve una serie de componentes pequeños de una máquina. En el instante mostrado, la velocidad del punto A es de 37.5 cm / s hacia la izquierda, y su aceleración es de 22.5 cm / s 2 hacia la derecha. Determine: a) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea loca; b) la aceleración total del componente de máquina en B. (Suponer que no hay resbalamiento entre la banda y la polea loca).

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Problema 2.7: La lijadora de banda mostrada en la figura, inicialmente se encuentra en reposo. Si el tambor propulsor B experimenta una aceleración angular constante de 120 rad / s 2 en sentido antihorario, determine la magnitud de la aceleración de la banda en el punto C cuando: a) t = 0.5 s , b) t = 2s (Suponer que no hay resbalamiento entre la banda y el Tambor B).

Problema 2.8: Los discos A y B giran alrededor de ejes verticales, como se muestra. Sabiendo que la velocidad angular constante del disco B es r r ω B = 30 rad s j y que no existe deslizamiento en el punto de contacto de los discos, determine a) la velocidad angular del disco A, b) las aceleraciones de los puntos de los discos que están en contacto. RA = 4,8 pulg. y RB = 2,4 pulg. Problema 2.9: Durante la aceleración, un volante gira según ϕ = (9 / 32).t 3 . Determinar la velocidad tangencial y la aceleración total del punto que se encuentra a la distancia h = 0.8 m del eje de rotación, en el momento en que la aceleración tangencial, en ese punto, tenga igual módulo que la aceleración normal. Problema 2.10: Una carga B hace girar el árbol de radio r y el piñón 1 de radio r1 montado sobre el mismo eje que el árbol. El movimiento de la carga empieza desde el reposo y se efectúa con una aceleración a constante. Encontrar la ley de rotación del piñón 2 de radio r2 que está engrando con el piñón 1. v r1 1 A 2 r . r2 a B

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Problema 2.11: En el mecanismo del indicador de aguja, el movimiento de la cremallera de la clavija de medición 1 se transmite al piñón 2, sobre cuyo eje esta fijada la rueda dentada 3, engranada con el piñón 4 que lleva la aguja. Determinar la velocidad angular de la aguja si el movimiento de la clavija está dado por la ecuación x (t ) = a.sen (k .t ) y los radios de las ruedas dentadas son respectivamente iguales a r2 , r3 , y r4 .

Problema 2.12: El ensamble mostrado se compone de dos varillas y una placa rectangular BCDE unidas entre sí. El mismo gira con respecto al eje AB con velocidad angular constante de 5 rad/s., en sentido antihorario vista desde B. Determine la velocidad y la aceleración de la esquina E.

Problema 2.13: En el problema anterior, determine la velocidad y la aceleración de la esquina C, suponiendo que la velocidad angular es de 7.5 rad/s y disminuye a razón de 30 rad/s2.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 3 : Movimiento Plano Paralelo Y

M

vB

Problema 3.1: Las correderas A y B, a las cuales está fijada la barra AM del mecanismo, se desplazan por guías perpendiculares entre sí. La distancia AM = b y AB = 1. Determinar la trayectoria del punto M y la relación entre las velocidades de las correderas en función del ángulo ϕ .

B

ϕ vA

A

O

X

D

ω

α

M

C

Problema 3.2: Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda que se desplaza sin rozamiento, si la velocidad del centro C de la rueda es igual vc y el ángulo DMK = α

vC

K Problema 3.3: Determinar la velocidad del centro C de una polea móvil de radio “r” y su velocidad angular ω , si la carga A se eleva con velocidad vA y la carga B desciende con velocidad vB Durante el movimiento el hilo no se desliza sobre la polea y sus ramales son verticales.

////////////////////////////////////////////////////////

vA

vC

vB D B

C

E r

A

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Problema 3.4: En el mecanismo de biela - manivela de la figura, la manivela OA de longitud r gira con velocidad angular ω0 A .La longitud de la biela es AB = L .Teniendo el ángulo ϕ dado, determinar:

a) La velocidad de la corredera B ( v B ) b) La posición del punto M de la biela AB, que tiene la velocidad mínima c) La velocidad angular de la biela.

vA

ω

r

A

• M

ϕ

O

B

vB

/////////

Problema 3.5: En el mecanismo de biela - manivela de la figura, la manivela OA gira con una velocidad angular ω 0 A constante. Hallar la aceleración de la corredera B y la aceleración angular de la biela AB en el instante que el ángulo BOA = 90 o siendo OA = r y AB = L . A

vA

ω0A

B

O

aB /////////

10

B

Problema 3.6: Determinar la velocidad del punto k de un mecanismo de cuatro órganos OA, AB, BO1 en la posición indicada. En ese momento la barra OA, de 20 cm. de longitud, tiene una velocidad angular ω = 2 rad / s. El punto k está ubicado en el centro de la barra BO1.

K 30º

30º

O1

A

O

Problema 3.7: Para la regla AD del elipsógrafo de la siguiente fig., las direcciones de las velocidades de los puntos A y B son conocidas. a) Hallar el centro instantáneo de rotación y además obtener una relación para las velocidades. b) Calcular la velocidad del punto M en función de la v B , y hallar la velocidad angular respecto al centro instantáneo de rotación.

D

Y

vB

M

B

ϕ A

vA

O

X

Problema 3.8: Una rueda se mueve por un riel rectilíneo de tal modo que la velocidad vC de su centro C es constante. Determine la aceleración del punto M de la llanta de la rueda y

O A C

x

ω

α

Problema 3.9: Durante el desplazamiento libre de la barra AB de longitud 2L, su centro C se desplaza a lo largo del eje vertical Ox, según: xC = ( g / 2).t 2 . A su vez, la barra gira con una velocidad angular constante ω en el plano vertical Oxy alrededor del centro C, según ϕ = ω .t . Hallar las velocidades v A y v B de los extremos A y B en función del tiempo.

B

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Problema 3.10: La varilla AB se mueve sobre una pequeña rueda en C mientras el extremo A se desplaza con una velocidad de 25 in / s .Determine: a) Velocidad angular de la varilla. b) La velocidad del extremo B de la varilla.

B AB = 20 in AO = 10 in. OC = 7 in.

C

A O

Problema 3.11: En el mecanismo mostrado, la manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las agujas del reloj de 2000 r.p.m. Para la posición indicada de la manivela determine: a) Velocidad angular de la biela BD. b) Velocidad del pistón P.

AB = 3 in. BD = 8 in.

B

40º

A

β

D

P

Problema 3.12: Para el ejercicio anterior determine la aceleración del punto D y la aceleración angular de la biela BD. Problema 3.13: En el instante que se muestra, la velocidad angular del neumático es de 2 rad / s en el sentido del movimiento de las agujas del reloj y su aceleración angular 3 rad / s 2 en el sentido contrario. Si el rodamiento es sin deslizar, determine la ubicación del punto sobre el neumático con aceleración cero en ese instante.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 4 : Movimiento general del cuerpo rígido Problema 4.1: En el dispositivo de la figura el disco gira respecto de la manivela con velocidad angular ω1 = 0.7 rad / s , la manivela de longitud 0.25 m gira con velocidad angular ω 2 = 0.3 rad / s . Determinar a) la velocidad angular del disco, b) el centro instantáneo de rotación, c) la velocidad de los puntos A y B del disco, d) graficar el campo de velocidades del disco.

ω1 B

A

Problema 4.2: En el problema anterior el disco cambia de sentido de rotación respecto de la manivela. Recalcular. Problema 4.3: Hallar el movimiento resultante si en la figura correspondiente al ejercicio anterior ω1 = − ω 2 = 0.4 rad / s . Cuantificar el movimiento. r ω2 Problema 4.4: En la figura, el disco gira respecto del brazo r acodado con velocidad angular ω 2 = 5 rad / s . a su vez el brazo ω1 gira con una velocidad angular ω1 = 1.5 rad / s . El brazo tiene una longitud r = 0.30 m . Graficar el campo de velocidades del disco 45º y encontrar el módulo de la velocidad angular resultante.

r

Problema 4.5: La plataforma de la grúa que se muestra en la figura gira con una velocidad angular constante ω1 de 0.30 rad / s . De manera simultánea, se está elevando la pluma con una velocidad angular constante ω 2 de 0.50 rad / s relativa a la cabina. Si la longitud de la pluma OP es l = 12 m , determine. a) La velocidad angular de la pluma, b) la aceleración angular de la pluma, c) la velocidad de la punta de la pluma, d) la aceleración de la punta de la pluma.

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Problema 4.6: La varilla AB, de 7 in de longitud, esta conectada al disco mediante una articulación de rótula, y al collarín B por medio de una horquilla. El disco gira en el plano “yz” a una razón constante ω1 =12 rad / s , mientras el collarín tiene la libertad de deslizar a lo largo de la varilla horizontal CD. En la posición θ = 0 , determine, a) velocidad del collarín, b) la velocidad angular de la varilla.

Problema 4.7: La bola de boliche que se muestra, rueda sin deslizarse sobre el plano horizontal “xz” con una velocidad angular r r r r r r ω =ω x i +ω y j +ω z k . Si r r r y v A = (4.8 m / s ) i − (4.8 m / s ) j + (3.6 m / s ) k r r v D = (9.6 m / s ) i + (7.2 m / s ) k , determinar, a) la velocidad angular de la bola de boliche, b) la velocidad de su centro C.

Problema 4.8: El brazo BCD en forma de L gira alrededor del eje “z” con una velocidad angular constante ω1 = 5 rad / s . Si de sabe que el disco de 7.5 in de radio gira alrededor de BC con una velocidad angular constante ω 2 = 4 rad / s , determine la aceleración angular del disco.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 5 : Movimiento relativo del punto Problema 5.1: La barra acodada OAB gira alrededor del eje vertical OB. En el instante considerado, su velocidad y aceleración angulares son, respectivamente, ω = 20 rad / s y α = 200 rad / s 2 , ambas en el sentido de las manecillas del reloj cuando se observan desde el eje “Y” positivo. El collarín D se mueve a lo largo de la barra, y en el instante considerado OD = 8 in . La velocidad y la aceleración del collarín relativas a la barra

son, respectivamente, ω = 50 in / s y α = 600in / s 2 , ambas hacia arriba. Determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración del collarín. Problema 5.2: Resolver el problema 4.1 aplicando las ecuaciones del movimiento relativo. Problema 5.3: El disco D, de radio R, se monta por medio de un pasador al extremo A del brazo OA de longitud L ubicado en el plano del disco. El brazo gira alrededor de O en un eje vertical a velocidad angular constante ω1 , y el disco gira alrededor de A con velocidad angular constante ω 2 . Determine la velocidad del punto P localizado directamente arriba de A, b) la aceleración de P, c) la velocidad y la aceleración angulares del disco.

Problema 5.4: Un auto se dirige de Santa Fe a Formosa por la Ruta nacional Nº 11 a 110 Km/h. Calcular la aceleración de Coriolis del auto cuando pasa por el paralelo de 28º de latitud sur.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 6: Composición de movimientos y cinemática de los Mecanismos Problema 6.1: En un esquema identifique: a) Circunferencia primitiva; b) Circunferencia de cabeza; c) Circunferencia. de raíz d) Paso; e) Altura de cabeza del diente; f) Altura de pie del diente; g) Altura total del diente. Problema 6.2: Si dp es el diámetro de la circunferencia primitiva, p el paso y hp la altura de pie del diente y h la altura total del diente. Determine: a) el número de dientes z ; b) el diámetro de la circunferencia de raíz c) la altura de cabeza del diente hC ; d) el diámetro de la circunferencia de cabeza. Problema 6.3: a) Dibuje un perfil cicloidal con base plana b) Dibuje un perfil epicicloidal c) Dibuje un perfil hipocicloidal d) Dibuje un perfil pericicloidal e) Dibuje un perfil evolvente Problema 6.4: Encuentre la relación de transmisión para los trenes de engranajes:

r1

ω1 r ω 2 2

ω 2 r2

ω1

r1 r2

r1

r3

Problema 6.5 : En un mecanismo planetario, el piñón 1 de radio r1 está fijo, y la manivela AB gira con velocidad angular ωAB. Hallar la velocidad angular del piñón 3 de radio r3. 1

2

ω AB r1

A

vC r2

C

vB r3

B

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Problema 6.8: Defina los siguientes términos: A) Máquina ; B) Par ; C) Órgano ; D) Par Inferior ; E) Par Superior ; F) Par Deslizante ; G) Par Rotante ; H) Par Helicoidal o de Tornillo ; I) Par Abierto ; J) Par Cerrado ; K) Cadena Cinemática ; L) Mecanismo ; M) Bancada ; N) Movimiento Desmodrónico. Respuestas Problema 6. 8 A) Máquina: Es una combinación de piezas resistentes, rígidas o flexibles, vinculadas entre sí con piezas fijas y móviles, de modo que el movimiento de cualquiera de ellas depende del movimiento de las otras. Para su diseño y cálculo deben considerarse tres puntos de vista: 1.- Cinemática de la Máquina: estudia la forma o geometría de los movimientos relativos de cada una de las partes de la máquina.2.- Dinámica de la Máquina: Tiene en cuenta el efecto de las fuerzas que actúan en el movimiento y en la transmisión de esas fuerzas. 3.- Cálculo de los Elementos de Máquina: Estudia la resistencia del material de las distintas partes. Su cálculo difiere de las estructuras estáticas porque la función de la máquina es provocar movimiento y transformar energía en trabajo y viceversa.De acuerdo a la función que van a cumplir, se clasifican en tres grupos: 1.- Motoras: Las que generan energía. 2.- Transmisoras: Las que transmiten energías mecánicas. 3.- Operadoras: Las que utilizan la energía. B) Par: Es el conjunto de dos partes de una máquina que están en contacto y entre las cuales existe un movimiento relativo. Cada parte se llama Elemento. C) Órgano: Se llama así al elemento que forma parte de dos pares en forma simultánea. Clasificación de los pares: 1º) Según el tipo de contacto: D) Par Inferior: Cuando la superficie de contacto entre los elementos es grande. E) Par Superior: Cuando la superficie de contacto es un punto o una línea. 2º) Según el movimiento que permitan: F) Par Deslizante G) Par Rotante H) Par Helicoidal o de Tornillo 3º) Si necesitan fuerzas externas para mantenerse en contacto: I) Par Abierto: Necesita fuerzas externas, aunque sea su propio peso, para mantenerse en contacto. J) Par Cerrado: No necesita fuerzas externas. K) Cadena Cinemática: Es el conjunto de órganos que poseen movimiento relativo. L) Mecanismo: Se denomina a la cadena cinemática cuando un órgano está fijo. A diferencia de la máquina no es necesario que el movimiento de los órganos sea dependientes entre sí. M) Bancada: Es el órgano fijo de un mecanismo. También se llama Zócalo o Bastidor. N) Movimiento Desmodrónico: Es cuando a cada posición de un elemento corresponde simultáneamente, una única posición de todos los demás elementos.

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Problema

6.9:

Identifique

los

distintos

tipos

de

Pares:

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 7: Cinética de partículas Problema 7.1: Determinar la ley del movimiento de una partícula de masa m cuando actúa sobre él una fuerza del tipo: r r r a) F = F0 (Constante) ; b) F = A ⋅ cos (ω ⋅ t − θ 0 ) r r r r r c) F = α ⋅ v , siendo v = dx / dt ; Condiciones iniciales x( 0) = x0 ; v( 0) = v0 r Problema 7.2: Se lanza un proyectil con velocidad inicial v0 formando un ángulo α con la r horizontal. Sobre el proyectil actúa una fuerza debida a la resistencia del aire igual a − β ⋅ v , donde r β es una constante positiva y v la velocidad instantánea. Hallar: a) la velocidad para cualquier t y b) la velocidad límite

Problema 7.3: Una partícula de masa m se mueve en el espacio bajo la influencia de un campo de r r r fuerza F . Suponiendo que en los tiempos t1 y t 2 las velocidades son v1 y v 2 respectivamente, demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energía cinética. r2 r r 2 2 F ∫ ⋅ dr = (m ⋅ v2 − m ⋅ v1 ) / 2 r

r 1 r Problema 7.4: Si F es la fuerza que actúa sobre la partícula y v es la velocidad de la partícula, entonces la potencia aplicada a la partícula es: P = F ⋅ v

Problema 7.5: Una partícula de masa m se mueve en el plano x-y de manera que su vector posición es: r r r B r = a ⋅ cos (ω ⋅ t ) i + b ⋅ sen (ω ⋅ t ) j

Con a, b y m constante positivas a 〉 b y θ =ω ⋅ t

b

r

θ

A a

a) Encontrar la trayectoria de la partícula b) Determinar la fuerza (dirección, sentido y módulo) c) Hallar el trabajo realizado por la fuerza al mover la partícula de A a B y el trabajo total realizado por el campo sobre la partícula cuando ésta completa su vuelta. d) Calcule la potencia instantánea aplicada a la partícula por el campo de fuerza.

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Problema 7.6: Un paracaidista de 70 kg. de peso salta del avión y abre su paracaídas después de recorrer 100m. Calcular la tensión de las cuerdas de suspensión si a los 5 seg., después de abrirse el paracaídas, la velocidad del paracaidista es de 4,3 m/s, suponiendo constante la fuerza de resistencia al descenso cuando se abre el paracaídas. Problema 7.7: Una carga M de masa “m” está suspendida del punto O por medio de un hilo OM0 de longitud “1” . En el instante inicial el hilo forma un ángulo α con la vertical y está en reposo. Se lo suelta y el hilo se encuentra en O1 con un eje perpendicular al plano del movimiento, de diámetro despreciable, y su posición está dada por b = 001 y β . Determinar el valor mínimo de α para el cual el hilo empezará a enrollarse sobre dicho eje. ///////////////////////////////////////////// O

α

β

l b O1

M0

Problema 7.8: Una vagoneta de peso P desciende por los rieles colocados sobre el camino AB, que luego forman un anillo circular de radio “r” ¿Desde qué altura h debe descender la vagoneta sin velocidad inicial, para que ésta pueda recorrer toda la circunferencia del anillo sin separarse de él? Determinar la presión N de la vagoneta sobre el anillo en el punto M, definido por el ángulo MOB =

ϕ

A P

M O

h

ϕ B

Problema 7.9: Un tren que se desplaza a 12 m / s , corta la fuerza motriz y comienza a frenar 500 m antes de llegar a la estación A que está sobre un montículo de 2 m de altura. ¿Cuál debe ser la resistencia al frenado, considerando constante, para que el tren pare en dicha estación, si pesa 1000 tn y la resistencia de rozamiento es de 2 tn ?

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r Problema 7.10: Una fuerza F = 60 din se aplica durante 12 s a una masa m = 10 gr que tiene una r r velocidad v0 = 60 cm / s . En la misma dirección que F . Calcular: a) El trabajo de la fuerza; b) La energía cinética final; c) La Potencia media desarrollada d) La variación de energía cinética

m

r F

r v0

Problema 7.11: Un cuerpo de masa m = 0.5 Kg , parte del reposo y resbala una distancia d =3m sobre el plano inclinado a 45º, hasta chocar con el resorte de constante elástica K = 400 N / m . Calcular: a) La máxima deformación del resorte. b) La deformación del resorte cuando el cuerpo está en reposo sobre el mismo. m d

P K

45 º

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 8: Cinética de sistemas de partículas Problema 8.1: Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistema compuesto por tres masas y distribuidas en el espacio, según: m1 = 3 Kg (2, 4, 6) m2 = 2 Kg (2, 2, 2) m3 = 5 Kg (−4, 2, 0) Problema 8.2: Un sistema está formado por tres masas de 3, 2 y 5 Kg . La m1 tiene una velocidad v y1 = 6 m / s . La m2 se mueve en el plano x − y con una velocidad v 2 = 8 m / s en la dirección de – 30º con respecto al eje x. Encontrar la velocidad de la masa m3 de modo que el centro de masa permanezca en reposo.

Problema 8.3: Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistema compuesto por cuatro masas y distribuidas en el espacio, según:

m1 = 1 Kg (−1, − 2, 2) ; m2 = 2 Kg (3, 2, − 1) ; m3 = 3 Kg (1, − 2, 4) ; m4 = 4 Kg (3,1, 2) Problema 8.4: Un sistema está formado por tres masas de 2, 1 y 3 Kg y tienen los siguientes vectores posición, determinar: a) La velocidad del centro de masa para cualquier t y para t =1 ; b) La Cantidad de movimiento del sistema para cualquier t y para t =1 r r r R1 = 5 t i + (3 t − 2) j + 2 t 2 k r r r R2 = (2 t − 3) i + ( 2 − 5 t ) j + (4 + 6 t − 3 t 2 ) k r r r R1 = t 2 i + (2 t −1) j + (3t − 2) k Problema 8.5: Un sistema formado por tres masas de 1, 3 y 5 Kg . Se mueven bajo la influencia de un campo de fuerzas de manera que sus vectores posición respecto a un sistema fijo están dados por: r r r R1 = 2 t i + t 2 j − 3 k r r r R2 = (t + 1) i + 3 t j + 4 k r r r R3 = t 2 i + t j + (2 t − 1) k Determinar: a) El momento cinético del sistema; b) El momento de fuerza total aplicado al sistema con respecto al origen.

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Problema 8.6: El empleado de una línea aérea coloca en rápida sucesión dos maletas una de 30 lb y otra de 40 lb de peso, sobre un carrito de equipaje de 50 lb . Si se sabe que el carrito está al principio en reposo y que el empleado imparte una velocidad horizontal de 9 ft / s a la maleta de 30 lb y una velocidad horizontal de 6 ft / s a la maleta de 40 lb , determine la velocidad final del carrito si la primera maleta que se coloca sobre el es a) la de 30 lb , b) la de 40 lb . Problema 8.7: Del ejercicio anterior, las maletas ahora tienen una velocidad horizontal v = 7.2 ft / s . a) Si se sabe que la velocidad del carrito es v = 3.6 ft / s y que la primera maleta que coloca tiene un peso de 30 lb , determine el peso de la otra maleta. b) ¿Cuál sería la velocidad final del carrito si el empleado invirtiera el orden en el cual coloca las maletas? Problema 8.8: Se dispara una bala con una velocidad horizontal de v = 500 m / s hacia un bloque A de m A = 3 Kg ; la bala atraviesa el bloque y queda incrustada en otro bloque B de m B = 2.5 Kg . Si se sabe que los bloques empiezan a moverse con velocidades respectivas de y vA = 3m / s v B = 5 m / s , determine a) la masa de la bala, b) su velocidad cuando viaja desde el bloque A al B. Problema 8.9: La bola B de masa m B , se suspende de una cuerda de longitud l unida al carro A, de masa m A , que rueda con libertad sobre una pista horizontal sin fricción. Si a la bola se le da una velocidad horizontal inicial v0 mientras el carro esta en reposo, determine a) la velocidad de B cuando ésta alcanza su elevación máxima, b) la distancia vertical máxima h a que se elevará B, (se supone que v02 〈 2 gl ). A

B

v0

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Cinética de sistemas de partículas: Impacto. Problema 8.10: Sobre la placa metálica de gran masa se lanza una esfera de acero a la velocidad de 16 m / s , con un ángulo de 30º. Siendo 0.5 el coeficiente de restitución efectivo entre la placa y la bola, calcular la velocidad v , y el ángulo de rebote.

16 m / s

η v,

θ,

30º

Problema 8.11: Las pelotas de tenis suelen rechazarse si no consiguen rebotar hasta el nivel de la cintura cuando se las deja caer desde el nivel de los hombros. Si una de ellas pasa exactamente la prueba tal como se indica en la figura, hallar el coeficiente de restitución e y el porcentaje n de la energía original perdida en el choque. Problema 8.12: Si la pelota de tenis del Problema anterior tiene un coeficiente de restitución e = 0.8 al chocar con el piso de la cancha, hallar la velocidad v0 con la que debe lanzarse hacia abajo desde la altura de 1600 mm correspondiente al nivel de los hombros, para que regrese hasta la misma altura (1100 mm) tras rebotar una vez en la superficie de la cancha.

Problema 8.13: Calcular las velocidades v1, y v 2, después del choque de los dos cilindros que se deslizan a lo largo de la barra lisa horizontal. El coeficiente de restitución es e = 0.6 .

v1 = 7 m / s

m1 = 2 Kg

v2 = 5 m / s

m2 = 3 Kg

Problema 8.14: Una pelota, de masa m = 1.5 Kg está suspendida del techo por una cuerda elástica de 1 m de longitud y constante elástica K = 800 N / m . Se alarga la cuerda verticalmente hacia abajo una longitud x = 0.250 m y se la suelta, efectuando un impacto central contra el techo. Determinar cuanto se alarga la cuerda después que la pelota rebota en el techo, sabiendo que el coeficiente de restitución e = 0.8 .

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v1

Problema 8.15: La esfera de masa m1 se mueve con una velocidad inicial v1 hacia la derecha como se indica y golpea a la esfera m1 en reposo de masa m2 . Para un coeficiente de restitución hallar para qué e, relación: m1 / m2 , m1 se queda inmóvil después del choque.

m2

Problema 8.16: El mazo de un martinete de hincar pilotes tiene una masa de 800 Kg y se suelta, a partir del reposo, desde 2 m por encima de la cabeza del pilote de 2400 Kg . Si se observa que el mazo rebota hasta una altura de 0.1 m tras su impacto sobre el pilote,

calcular (a) la velocidad v ,p del pilote inmediatamente tras el impacto, (b) el coeficiente de restitución aplicable y (c) la pérdida porcentual de energía debida al impacto.

α

L = 1m

mA

2m 0.1 m

Problema 8.17: Un cuerpo A de masa m A = 2 Kg se suelta desde la posición α = 90º y en α = 0º choca con un cuerpo B de masa m B = 20 Kg . Si el coeficiente de restitución entre los cuerpos es e = 0.3 determinar las velocidades de los mismos después del choque.

mB

Problema 8.18: Dos esferas de masas m1 = 1Kg y m2 = 2 Kg chocan con velocidades iniciales v1 y v 2 , según la figura. Si el coeficiente de restitución e = 0.75 determinar la velocidad final de cada esfera y la pérdida de energía (en % ) debida al choque.

v1 =1 m / s

β = 45º

α = 30º v2 = 3 m / s

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Problema 8.19: El automóvil B está detenido y recibe el golpe del automóvil A, de masa m A que lleva una velocidad v A = 72 Km / h Si la masa del automóvil B es m B = p.m A , (p es una constante positiva), y si el coeficiente de restitución es e = 0.2 , expresar las velocidades v ,A y v B, de los dos automóviles después del choque en función de p. Evaluar los casos para

p1 = 2 y p 2 = 0.2 . Problema 8.20: Tres cilindros de acero iguales pueden deslizarse libremente por el árbol horizontal fijo. Los cilindros 2 y 3 están en reposo y a ellos se aproxima el cilindro 1 con una velocidad v1 . Encontrar la velocidad final v3, del cilindro 3.

v

1

2

3

m1 = 2 Kg ; m2 = 4 Kg ; m3 = 1Kg ; v1 = 5 m / s ; v 2 = 0 ; v3 = 0 ; e12 = 0.4 ; e23 = 0.2

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 9: Cinética de cuerpos rígidos Problema 9.1: Encontrar el centro de masa de una región semicircular de radio “a” con densidad superficial σ = cte .

Problema 9.2: Encontrar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio “a” con una densidad volumétrica ρ = cte . Problema 9.3: Calcular el centro de masa de la varilla de longitud L, cuya densidad es proporcional a la distancia a unos de sus extremos: λ = K.x . Problema 9.4: Dos discos, con momentos de inercia I 1 e I 2 con respecto al eje x, están montados sobre un mismo árbol, al que se le comunica un ligero movimiento de rotación y luego se lo abandona. Determinar la relación que existe entre las velocidades angulares y los ángulos de rotación de los discos durantes sus vibraciones rotacionales. Problema 9.5: Calcular la energía cinética de una rueda maciza cilíndrica de masa m que rueda sin rozamiento, sabiendo que la velocidad de su centro de masa es vC . Problema 9.6: Un yo-yo está compuesto por dos discos uniformes de radio b unidos por un pequeño eje de radio r y su masa total es M. Unido al eje está una cuerda, cuyo diámetro se desprecia, enrollada varias veces y se lo suelta verticalmente. Determinar la velocidad del eje, cuando el yo-yo ha descendido una altura h.

Problema 9.7: Una placa rectangular de masa m suspendida de dos alambres en A y B se golpea en D en una dirección perpendicular a la placa. Denotando r por F∆t el impulso aplicado en D, determine inmediatamente después del impacto a) la velocidad del centro de masa G, b) la velocidad angular de la placa.

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Problema 9.8: Un disco homogéneo de radio r y masa m se monta sobre una flecha OG de longitud L y masa despreciable. El eje se articula en el punto fijo O, y el disco esta restringido a rodar sobre el piso horizontal. Si el disco gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a la velocidad ω 1 alrededor de la flecha OG, determine a) velocidad angular del disco, b) su cantidad de movimiento angular alrededor de O, c) su energía cinética, d) el vector y el par en G equivalente a las cantidades de movimiento de las partículas del disco.

Problema 9.9: Una barra ligera AB de longitud L = 8 ft y peso W = 40 lb se conecta por medio de un pasador en A a un eje vertical DE que gira con una velocidad angular constante ω = 15 rad / s . La barra mantiene su posición mediante un alambre horizontal BC conectado al eje y el extremo B de la barra. Determine la tensión en el alambre y la reacción en A.

Problema 9.10: Dos barras Ay B de 100 mm , cada una de 300 g de masa, se sueldan a la flecha CD que esta soportada mediante cojinetes en C y D. Si se aplica a la flecha un par M de magnitud igual a 6 N ⋅ m , determine las componentes de la reacciones dinámicas en C y D en el instante en que el eje ha alcanzado una velocidad angular de 1200 r. p.m. . Ignore el momento de inercia de la flecha.

Problema 9.11: Si disco del problema 9.8 gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a la velocidad constante ω1 alrededor del eje, determine a) la fuerza (que se supone vertical) que ejerce el piso sobre el disco, b) la reacción en el pivote O.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 10: Movimiento vibratorio Problema 10.1: Una partícula de m = 12 gr se mueve a lo largo del eje x atraída hacia el punto 0 por una fuerza (en dinas) igual a 60 veces su distancia instantánea x (cm). Si parte del reposo en x = 10 , encontrar: a) La amplitud, b) El período del movimiento.

Problema 10.2: Si la partícula del problema anterior inicia su movimiento en x = 10 con una velocidad hacia 0 de 20 cm / s , determinar: a) su amplitud y período, b) el tiempo en que la partícula llega al punto 0 por primera vez. Problema 10.3: Si una partícula se mueve con M.A.S a lo largo del eje x probar que en la trayectoria: a) la aceleración es máxima en los extremos; b) la velocidad es máxima en el punto medio; c) la aceleración es cero en la mitad; d) la velocidad es cero en los extremos; e) Grafique x (t ) , v (t ) , a(t ) y compare. Problema 10.4: Una partícula se mueve con M.A.S en línea recta. Su máxima velocidad es 20 m / s y

su máxima aceleración de 80 m / s 2 . Encontrar el período y la frecuencia. Problema 10.5: A un cuerpo de m = 2 gr , sujeto a un resorte de constante K = 32 din / cm , se lo aparta de su posición de equilibrio 3 cm y se lo suelta. Encontrar la posición del cuerpo en función de t , si la fuerza amortiguadora es 16 veces la velocidad instantánea. Problema 10.6: Resuelva el prob. 5 si la fuerza amortiguadora es 8 veces la velocidad instantánea. Problema 10.7: Resuelva el Prob.5 si la fuerza amortiguadora es 20 veces la velocidad instantánea Problema 10.8: Un resorte vertical tiene una constante elástica igual a 3 Kg / m . En el instante t = 0 , r se le aplica una fuerza en dirección vertical F (t ) = 12.sen 4t (expresada en kg.), para t ≥ 0 . Del extremo del resorte cuelga un cuerpo de masa 3 UTM. Desprecie el amortiguamiento, encontrar la posición del cuerpo para cualquier tiempo t posterior. Considerar que el peso del cuerpo solo sirve para separar las espiras del resorte. r Problema 10.9: Resolver el problema anterior si F (t ) = 30. cos 6t para t ≥ 0 . r Problema 10.10: Un resorte vertical de constante elástica igual a 17 lb / feet , tiene suspendido un r r r peso de 32 lb y se le aplica una fuerza en dirección vertical F (t ) = 65.sen 4t (expresada en lb ), r para t ≥ 0 . Además actúa una fuerza de amortiguamiento (expresada en lb ) igual a 2 veces la velocidad instantánea del cuerpo en feet / s ( g = 32 feet / s 2 ). Si el cuerpo está en reposo y en la posición de equilibrio: a) Determinar la posición del cuerpo en función de t ; b) Encontrar la amplitud, período y frecuencia de la solución permanente.

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 11: Relatividad Problema 11.1: Un observador situado en la tierra (suponiendo que es un sistema de referencia inercial) ve una nave espacial “O” que se aleja de él a razón de v = 2 ⋅10 8 m / s , y alcanza a una nave espacial “Q” que se retira a razón de v = 1.5 ⋅ 10 8 m / s . Encontrar la velocidad relativa de: a) la nave espacial Q vista por O; b) la nave espacial O vista por Q. Úsese c = 3 ⋅10 8 m / s . Problema Nº 11.2: Un haz de partículas alfa, cada una de las cuales tiene una masa de m = 6.65 ⋅10 −27 kg tiene una velocidad de v = 2.45 ⋅10 7 m / s . Calcule la masa que determinaría un observador estacionario. Problema Nº 11.3: El protón, núcleo del átomo de hidrógeno, tiene una masa de m = 1.67 ⋅10 −27 kg en reposo. Calcule su energía total; a) en reposo; b) cuando se mueve a una velocidad v = 2.5 ⋅10 8 m / s Problema Nº 11.4: Un electrón tiene una energía en reposo de E 0 = 0.511 MeV y se mueve con una velocidad de u = 0.8 c

Determinar a) su energía total, b) su energía cinética c) el módulo de su momento lineal. Problema Nº 11.5: Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la tierra a v = 0.6 c interrumpen su conexión con el control espacial diciendo que van a dormir una siesta de una hora y que luego volverán a llamar. ¿Cual es la duración de su siesta según se mide en la tierra?

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GUIA DE PROBLEMAS Nº 12: Principios elementales de Mecánica Analítica. Problema Nº 1: Con los siguientes datos m = cte., l = cte., g = cte. obtener la Lagrangiana y determinar la expresión del movimiento de la partícula M. y

θ

x

l M

Problema Nº2: Para la máquina de Atwood, conociendo M 1 y M 2 y teniendo en cuenta que la polea se supone sin masa ni rozamiento, encontrar la Lagrangiana y determinar la expresión del movimiento del sistema. .

x (l – x)

M1 M2

Problema Nº3: Una cuenta se desliza por un anillo circular, mientras este gira con velocidad angular constante alrededor del eje z. Encontrar la Lagrangiana y la expresión del movimiento. z g

y

φ θ R x

m

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