Guia 2 Ejercicios Resueltos de Metodo de Las Fuerzas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS EJERCICIOS RESUELTOS DE: Método de las Fuerzas Ejercicio Resuelto CAÑETE, Joaquin C-3064/3

Año: 2009

Corregido: GUTAWSKI Alex

¾ Ejercicio Nº1:

Ehormigon= 300.000 kg/cm2

1t/m C

D

20/50

20/30

20/30

B

A

Sistema Isostático Fundamental

1t/m C 20/30

X1 =1tm

Estructuras 2009

20/50

D 20/30

B

A

METODO DE LAS FUERZAS

X 2=1t

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Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

1t/m C

D

20/50

20/30

20/30

B R

H A

A

RB V

RA

Reacciones y Momento Flector P/Cargas P0 El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: REACCIONES

FLECTOR

Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P0

C

D

MA = 0 MC =0 MD =1,5tm MB =0

1,5tm

B

A

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Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 1 = 1tm

C

D

20/50

20/30

20/30

X1=1tm H RA

B

A R

RB

V A

Reacciones y Momento Flector P/Cargas P1 El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: FLECTOR

REACCIONES , , Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P1

-1tm

MA = -1tm MC = -1tm MD = -0,33tm MB = 0

-0,33tm

C

D

B A

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Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 2 = 1t

C

D

20/50

20/30

20/30

X 2=1t

B R

H A

RB V

RA

Reacciones y Momento Flector P/Cargas P2 El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: FLECTOR

REACCIONES , , Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P2

MA = 0 MC = -2tm MD = -1,67tm MB = 0

-1,67tm -2tm

C

D

B A

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Cálculo de las Deformaciones δij

⎡ Mi ⋅ M j ⎤ dx ⎥ δ ij = E b ⋅ I 0 ⋅ ⎢ ∫ ⎣ Eb ⋅ I ⎦ Mi ⋅ M j dx δ ij = ∫ α ij

Se trabajara con la siguiente expresión: Lo que es lo mismo:

a) Cálculo de las Inercias: 0,20 m ⋅ (0,30 m ) = 45000 cm 4 12 3 0,20 m ⋅ (0,50 m ) = = 208333,33 cm 4 12 3

I AC = I DB = I CD

Adoptando como I 0 = I AB = 45000 cm 4 b) Cálculo de los Coeficientes “αij”:

α ij =

α AC

I AB 45000 cm 4 = = I0 45000 cm 4

α CD

I BE 208333,33 cm 4 = = I0 45000 cm 4

I ij I0

=> α AB = 1,00 => α BE = 4,63

Sistema de Ecuaciones a utilizar

Estructuras 2009

δ10 + X1 ⋅ δ11 + X 2 ⋅ δ12

= 0

δ 20 + X1 ⋅ δ 21 + X 2 ⋅ δ 22

= 0

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a) Cálculo del δ 10 : Barra

l (m)

αij

Diagramas

Integración

Resoluci ón (t2m)

− 1 ⋅1,50 ⋅ (2 ⋅ 0.33 + 1) ⋅ 3 6 4,63

- 0,27

− 1 ⋅1,125 ⋅ (0.33 + 1) ⋅ 3 3 4,63

-0,32

− 1 ⋅ 0,33 ⋅1,5 ⋅ 2,12 3

- 0,35

E b ⋅ I 0 ⋅ δ10

- 0,94

+

1,5tm

-1 tm

-0,33 tm

CD

3,00 4,63

-1 tm

1,125tm -0,33 tm -0,33tm

-

DB

2,12 1,00

+

1,50tm

b) Cálculo del δ 11 : Ba l rra (m)

αij

AC 2,00 1,00

Estructuras 2009

Diagramas -1 tm

-1 tm

-1 tm

-1 tm

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Integración

Resol ución (t2m)

1 ⋅1 ⋅ 2

2,00

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-1 tm -0,33 tm

CD 3,00 4,63

-1 tm -0,33 tm

1 ⋅ ( 2 ⋅ 0,33 ⋅ 0,33 + 1 ⋅ 0,33 6 + 1 ⋅ 0.33 + 2 ⋅1 ⋅1) ⋅ 3 4,63

0,31

1 ⋅ 0,33 ⋅ 0,33 ⋅ 2,12 3

0,077

E b ⋅ I 0 ⋅ δ11

2,387

-

DB 2,12 1,00

-0,33tm

-

Cálculo del δ 12 = δ 21 : Barr l (m) a

αij

Diagramas

2,00

Resolució n (t2m)

1 ⋅1⋅ 2 ⋅ 2 2

2,00

-1 tm

-1 tm

AC

Integración

1,00

-2tm

-

-1 tm -0,33 tm

CD

3,00

4,63

-2tm

-1,67tm

1

6

(2 ⋅ 0,33 ⋅ 1,67 + 0,33 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1,67 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ) ⋅

3 4,63

0,80

-0,33tm

-

DB

2,12

1,00

-1,67tm

1 ⋅ 0,33 ⋅ 1,67 ⋅ 2,12 3

0,39

E b ⋅ I 0 ⋅ δ12

3,19

-

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Cálculo del δ 20 : Barra

l (m)

αij

Diagramas

Integración

Resolución (t2m)

− 1 (2 ⋅1,67 + 2 ⋅) ⋅1,5 ⋅ 3 6 4,63

-0,86

− 1 ⋅ (2 + 1.67 ) ⋅ 1,125 ⋅ 3 3 4,63

- 0,89

− 1 ⋅1,67 ⋅1,5 ⋅ 2,12 3

- 1,77

E b ⋅ I 0 ⋅ δ 20

- 3,52

-1,67tm

+

CD

3,00 4,63

1,5tm

-2tm

-1,67tm

1,125tm -1,67tm

-

DB

2,12 1,00

+

1,5tm

Cálculo del δ 22 : Barra

l (m)

αij

Diagramas

-

AC

2,00 1,00

-2tm

Integración

Resolución (t2m)

1 ⋅2⋅2⋅2 3

2,66

1 (2 ⋅1,67 ⋅1,67 + 1,67 ⋅ 2 + 6 2 ⋅1,67 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ 3 4,63

2,19

1 ⋅1,67 ⋅1,67 ⋅ 2,12 3

1,97

E b ⋅ I 0 ⋅ δ *22

6,82

-2tm

CD

3,00 4,63

-1,67tm

-2tm

-1,67tm

-1,67tm

DB

2,12 1,00

-1,67tm

-

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Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones queda:

− 0,940 + X1 ⋅ 2,387 + X 2 ⋅ 3,180

= 0

− 3,520 + X1 ⋅ 3,180 + X 2 ⋅ 6,820

= 0

=>

X1 = − 0,77 X 2 = 0,88

Cálculo de las Reacciones Finales

R Final = R0 + X1 ⋅ R1 + X 2 ⋅ R2

R HA = 0,88 ⋅1 = 0,88t

RVA = 2 + (−0.77) ⋅ 0,22 + 0,88⋅ 0,11 = 1,93t R VB = 1 + (−0,77) ⋅ (−0,22) + 0,88 ⋅ (−0,11) = 1,07 t R HB = 0,88 ⋅ (-1) = -0,88t Diagrama de Cuerpo Libre Final

1t/m C

D

20/50

20/30

20/30

H

RB = 0,88t

B

H A

R = 0,88t V

R B = 1,07t

V

R A = 1,93t MA = 0,77t Cálculo del Momento Flector Final

M Final = M 0 + X1 ⋅ M1 + X 2 ⋅ M 2

M A = 0 + −0,77 ⋅ (−1) + 0,88 ⋅ 0 = 0,77 tm M C = 0 + (−0.77) ⋅ (−1) + 0,88⋅ (−2) = − 1tm M D = 1,5 + (−0,77) ⋅ (−0,33) + 0,88 ⋅ (−1,67) = 0,28 tm M B = 0 tm Estructuras 2009

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Diagrama del Momento Flector Final

-1tm -1tm

D C 0,28tm

B A

0tm

0,77

¾ Ejercicio Nº2: Estructura con Tensor: Datos: Eb = 210 t/cm2 Ee = 2100 t/cm2

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Sistema Isostático Fundamental

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

Cálculo de Reacciones P/Cargas P0

∑ M A = 0 => − R D ⋅ 10 m + q ⋅ 8 m ⋅ 6 m + P ⋅12 m => R D =

1t

⋅ 6 m ⋅ 8 m 2 t ⋅ 12 m m + => 10 m 10 m R D = 7,20 t

2 2 1 t ⋅ (8 m ) 2 t ⋅ 2 m q ⋅ (8 m ) m ∑ M D = 0 => R A ⋅10 m − 2 + P ⋅ 2 m => R A = 2 ⋅ 10 m − 10 m

=>

R A = 2,80 t Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0 M 0A = 0 M 0B = R A ⋅ 2 m = 5,60 tm

q ⋅ (4 m ) = RA ⋅6m− = 8,80 tm 2 M 0D = − P ⋅ 2 m = − 4 tm M 0C

2

M 0E = 0 Estructuras 2009

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f BC f BD

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2 t q ⋅ l 2 1 m ⋅ (4 m ) = = = 2 tm = f CD 8 8 2 t q ⋅ l 2 1 m ⋅ (8 m ) = = = 8 tm 8 8

Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P0

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 1 = 1tm

Cálculo de Reacciones P/Carga X 1 = 1tm

∑MA = 0

=> R D ⋅ 10 m − X1

=> R D =

X1 1tm = 10 m 10 m

=>

R D = 0,10 t

∑MD = 0

=> R A ⋅ 10 m − X1

=> R A =

X1 1tm = 10 m 10 m

=>

R A = 0,10 t Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga X 1 = 1tm M 1A = 1tm M 1B = R D ⋅ 8 m = 0,80 tm Estructuras 2009

METODO DE LAS FUERZAS

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M 1C = R D ⋅ 4 m = 0,40 tm M 1D = 0

Diagrama de Momentos Flectores P/Carga X 1 = 1tm

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 2 = 1t

Cálculo de Reacciones P/Carga X 2 = 1t

∑ MA = 0

=> R D ⋅ 10 m − X 2 ⋅ 6 m => R D =

X 2 ⋅ 6 m 1t ⋅ 6 m = 10 m 10 m

=>

R D = 0,60 t

∑ MD = 0

=> R A ⋅ 10 m − X 2 ⋅ 4 m => R A =

X 2 ⋅ 4 m 1t ⋅ 4 m = 10 m 10 m

=>

R A = 0,40 t Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga X 2 = 1t M 2A = 0 M 2B = R A ⋅ 2 m = 0,80 tm

M C2 = R D ⋅ 4 m = 2,40 tm M 2D = 0 Estructuras 2009

METODO DE LAS FUERZAS

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Diagrama de Momentos Flectores P/Carga X 2 = 1t

Diagrama de Esfuerzos Normales P/Carga X 2 = 1t

Cálculo de las Deformaciones δij Se trabajara con la siguiente expresión: Lo que es lo mismo:

Ni ⋅ N j ⎤ ⎡ Mi ⋅ M j δ ij = E b ⋅ I 0 ⋅ ⎢ ∫ dx + ∫ dx⎥ Ee ⋅ At ⎦ ⎣ Eb ⋅ I Mi ⋅ M j Ni ⋅ N j dx + E b ⋅ I 0 ⋅ ∫ dx δ ij = ∫ α ij Ee ⋅ At

Nota: El primer sumando corresponde a la estructura de hormigón y el segundo al tensor de acero. Cálculo de las Inercias: 0,20 m ⋅ (0,30 m ) = 45000 cm 4 12 3 0,20 m ⋅ (0,50 m ) = = 208333,33 cm 4 12

I AB = I BE

3

Adoptando como I 0 = I AB = 45000 cm 4

Cálculo de los Coeficientes “αij”: Estructuras 2009

METODO DE LAS FUERZAS

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α ij =

α AB = α BE

I AB 45000 cm 4 = I0 45000 cm 4

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I ij I0

=> α AB = 1,00

I BE 208333,33 cm 4 = = I0 45000 cm 4

=> α BE = 4,63

Sistema de Ecuaciones a utilizar

δ10 + X1 ⋅ δ11 + X 2 ⋅ δ12

= 0

δ 20 + X1 ⋅ δ 21 + X 2 ⋅ δ 22

= 0

Cálculo del δ 10 : Barra l (m)

AB

BD

αij

3,60 1,00

Diagramas

Integración

Resolución (t2m)

− 1 ⋅ (2 ⋅ 0,8 + 1) ⋅ 5,6 ⋅ 3,6 6

- 8,736

1 ⋅ (− 2 ⋅ 5,6 + 4 ) ⋅ 0,8 ⋅ 8 6 4,63

- 1,659

1 ⋅ 8 ⋅ 0,8 ⋅ 8 3 4,63

- 3,686

E b ⋅ I 0 ⋅ δ10

- 14,081

8,00 4,63

Estructuras 2009

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Cálculo del δ 11 : Barra l (m)

αij

Diagramas

Integración

Resolución (t2m)

AB

3,60 1,00

1 ⋅ (2 + 2 ⋅ 0,8 + 2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8) ⋅ 3,6 6

2,928

BD

8,00 4,63

1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 8 3 4,63

0,369

E b ⋅ I 0 ⋅ δ11

3,297

Integración

Resolución (t2m)

1 ⋅ (2 ⋅ 0,8 + 1) ⋅ 0,8 ⋅ 3,6 6

1,248

Cálculo del δ 12 = δ 21 : Barra l (m) αij

AB

Diagramas

3,60 1,00

1 BC

CD

4,00 4,63

4,00 4,63

Estructuras 2009

6

(2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 + 0,8 ⋅ 2,4 + 0,4 ⋅ 0,8 + 2 ⋅ 0,4 ⋅ 2,4) ⋅ 4

0,783 4,63

1 ⋅ 0, 4 ⋅ 2 , 4 ⋅ 4 3 4,63

0,276

E b ⋅ I 0 ⋅ δ12

2,307

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Cálculo del δ 20 : Barra l (m)

AB

αij

Diagramas

3,60 1,00

−1

BC

CD

6

Integración

Resolución (t2m)

− 1 ⋅ 0,8 ⋅ 5,6 ⋅ 3,6 3

- 5,376

(2 ⋅ 5,6 ⋅ 0,8 + 5,6 ⋅ 2,4 + 8,8 ⋅ 0,8 + 2 ⋅ 8,8 ⋅ 2,4) ⋅ 4

- 1,843 4,63

4,00 4,63 − 1 ⋅ (0,8 + 2,4 ) ⋅ 2 ⋅ 4 3 4,63

- 10,321

1 ⋅ (− 2 ⋅ 8,8 + 4 ) ⋅ 2,4 ⋅ 4 6 4,63

- 4,700

− 1 ⋅ 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 4 3 4,63

- 1,382

E b ⋅ I 0 ⋅ δ 20

- 23,622

4,00 4,63

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Cálculo del δ 22 : Barra

l (m)

αij

AB

3,60

1,00

Diagramas

1

BC

4,00

CD

4,00

Tensor

2,00

4,63

6

Integración

Resolución (t2m)

1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 3,6 3

0,768

(2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 + 0,8 ⋅ 2,4 +

2, 4 ⋅ 0,8 + 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 2, 4 ) ⋅ 4

4,63

2,400 4,63

1 ⋅ 2, 4 ⋅ 2, 4 ⋅ 4 3 4,63

1,659

E b ⋅ I 0 ⋅ δ *22

4,827

** 1 ⋅ 1 ⋅ 2,00 = 2 = δ 22

---

E b ⋅ I 0 ⋅ δ *22* = ⎞⋅2 1 ⋅ ⎛⎜ 4,5 ⋅ 10 10 ⎝ 6 ⋅ 10 ⎟⎠

0,1500

E b ⋅ I 0 ⋅ δ 22

4,977

Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones queda:

− 14,081 + X1 ⋅ 3,297 + X 2 ⋅ 2,307

= 0

− 23,622 + X1 ⋅ 2,307 + X 2 ⋅ 4,977 = 0

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=>

METODO DE LAS FUERZAS

X 1 = 1,406 tm X 2 = 4,095 t

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Cálculo del Momento Flector Final

M Final = M 0 + X1 ⋅ M1 + X 2 ⋅ M 2

MA MB MC MD

= 1,406tm = 5,60 − 0,80 ⋅ 1,406 − 0,80 ⋅ 4,095 = 1,20 tm = 8,80 − 0,40 ⋅ 1,406 − 2,40 ⋅ 4,095 = − 1,59 tm = − 4,00 tm Diagrama del Momento Flector Final

Diagrama de Cuerpo Libre Final

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