Guia 1

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1o semestre de 2018 Guia de ejercicios 2 – Nociones de probabilidad

1.- Para cada uno de los experimentos a seguir, describa el espacio muestral e indique el numero de sus elementos. ´ (a) En una linea de producion de piezas defectuosas en un intervalo de ´ se cuenta el numero ´ una hora. (b) Una carpeta con diez nombres contiene tres nombres de mujeres. Se selecciona una ficha tras otra, hasta el ultimo nombre de mujer ser seleccionado, y se anota el numero de fichas ´ ´ seleccionadas. (c) De una poblacion ´ de diabeticos, tres personas son seleccionadas al azar, con reposicion ´ y se anota el sexo de cada una de ellas. (d) Una muestra de agua es retirada de un rio y se observa la concentracion ´ de mercurio en el agua (mg/ml). (e) De un grupo de cinco personas {A, B, C, D, E}, se sortean dos, una tras otra, con reposicion, ´ y se anota la configuracion ´ formada. (f) Como quedar´ıa el espacio muestral del item (e) si las retiradas fuesen sin reposicion? ´

2.- Dos focos se mantienen encendidos hasta que dejan de funcionar. Se supone que ninguno durar´a m´as de 1600 horas. Defina el espacio muestral del experimento y los sucesos: (a) Ambos focos duran menos de 1000 horas. (b) Ninguno se funde antes de las 100 horas. (c) El menor tiempo de duracion ´ de los dos focos es 100 horas.

3.- Cierta ciudad de 100.000 habitantes tiene tres periodicos, A, B y C. De estos, A y C ´ son periodicos de la manana y B es vespertino. Los porcentajes de habitantes que leen estos ´ ˜ periodicos son: A el 10 %, B el 30 %, C el 5 %, A y B el 8 %, A y C el 2 %, B y C el 4 % y A, B y C ´ el 1 %. (a) Determine el numero de personas que lee solo ´ ´ un periodico. ´ (b) ¿Cu´antas personas leen por lo menos 2 periodicos? ´ (c) ¿Cu´antas personas leen al menos un periodico en la manana y uno vespertino? ´ ˜ (d) ¿Cu´antas personas no leen ningun ´ periodico? ´ (e) ¿Cu´al es el porcentaje de personas que leen B o´ C, pero no A?

4.- Sea Ω

= {1, 2, 3, . . .}. Se define P(A) =

X 1 . Demuestre que P(A) es una funcion ´ de 2x x∈A

probabilidad.

5.- Demostrar que 1 − P(Ac ) − P(Bc ) ≤ P(A ∩ B) 6.- Un sistema contiene dos componentes C1 y

C2 y se conecta de tal manera que e´ ste funciona si cualesquiera de los componentes funcionan. Se sabe que la probabilidad de que el

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1o semestre de 2018 Guia de ejercicios 2 – Nociones de probabilidad sistema funcione con solo ´ el componente C1 es 0,8, la probabilidad de que funcione con solo ´ el componente C2 es 0,7; y la probabilidad de que funcione con ambos componentes es 0,71. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione.

7.- Sea P(Ac ) = P(Ac

∩ B)

1 3,

P(A ∪ B) =

5 6

y P(Bc ) = 21 . Calcular: a) P(A ∩ B),

b) P(A ∩ Bc ) y c)

8.- Demuestre que P((A ∩ Bc )c ∩ (Ac ∩ B)c ) = 1 − (P(A) − P(A ∩ B)) − (P(B) − P(A ∩ B)) 9.- Sean A1 , A2 y A3 sucesos tales que A1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω y tomando en consideracion ´ que

A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A2 ∩ A3 . Sabiendo que P(A1 ) = 14 , P(A2 ) =

1 2

y P(A1 ∩ A2 ) = 18 . Hallar P(A3 )

10.- La probabilidad de que Elena apruebe Probabilidades es 0,55 y de que apruebe Calculo es 0,40. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 0,25. ¿Cu´al es la probabilidad de que Elena: (a) Apruebe por lo menos uno de los dos cursos? (b) Apruebe solo uno de los dos cursos? (c) No apruebe ninguno de los dos cursos?

11.- Se posee una urna con 7 fichas, de las cuales 3 son blancas y el resto son verdes. Se seleccionan 3 fichas al azar de la urna, de una en una y sin reemplazo: (a) Calcular la probabilidad de que las dos primeras fichas seleccionadas sean blancas y la ultima sea verde. ´ (b) Calcular la probabilidad de que hayan exactamente una ficha blanca y dos verdes.

12.- Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 bolas azules. Tres jugadores A, B y C extraen una bola, sin devolucion ´ y en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca bola blanca. Calcular la probabilidad de que gane el jugador C.

13.- Un grupo de personas est´a compuesto de 5 m´edicos y 7 param´edicos. Se eligen al azar 2 de ellos. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el primero de los seleccionados sea param´edico y el segundo m´edico? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el segundo seleccionado sea m´edico? (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que ambos seleccionados sean param´edicos?

14.- Una prueba contiene dos problemas. Se sabe que 132 estudiantes resolvieron el primero, 86 se equivocaron en el segundo, 120 resolvieron ambos y 54 se equivocaron en apenas un problema. Cu´al es la probabilidad de que un alumno, escogido al azar: (a) se equivoco´ en ambos problemas? (b) consiguio´ resolver solo ´ el segundo problema?

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15.- La senora K, cuando tiene dolores de cabeza, escoge al azar entre dos analg´esicos. Si ˜ uno de ellos tiene probabilidad 3/4 de aliviar el dolor y el otro tiene probabilidad 2/3, ¿cu´al es la probabilidad de que el dolor de cabeza de la senora K pase? ˜ 16.- Considere el lanzamiento simult´aneo de una moneda y un dado. Defina los eventos: “En la moneda se obtiene cara” y “En el dado sale 6”. Determine si los eventos son independientes. 17.- Demuestre que si A y B en Ω son eventos independientes, entonces: (a) A y Bc son independientes (b) Ac y B son independientes (c) Ac y Bc son independientes

18.- En un estudio de una enfermedad al pulmon ´ se examinan a 10.000 personas mayores de 60 anos. Se halla que 4.000 personas de este grupo son fumadores. Entre los fumadores ˜ 1.800 padecen de desordenes pulmonares. Entre los que no fuman 1.500 tienen desordenes ´ ´ pulmonares. ¿Son los eventos “fumadores” y “desordenes pulmonares” independientes? ´ 19.- Las probabilidades de que dos eventos independientes ocurran son p y q, respectivamente. ¿Cu´al es la probabilidad: (a) De que ninguno de estos eventos ocurra? (b) De que por lo menos uno de estos eventos ocurra? = 0,75; P(B|A) = 0,9; P(B|Ac ) = 0,8; P(C|A ∩ B) = 0,8; P(C|A ∩ Bc ) = 0,6; P(C|Ac ∩ B) = 0,7 y P(C|Ac ∩ Bc ) = 0,3. Calcule: (a) P(A ∩ B ∩ C), (b) P(B ∩ C), (c) P(C) y (d) P(A|B ∩ C)

20.- Suponga las siguientes probabilidades: P(A)

21.- En un club de amigos, 10 practican tenis, 7 practican futbol, 4 practican ambos deportes ´ y los restantes 5 no practican algun ´ deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la probabilidad que, (a) Al menos practique un deporte. (b) No practique tenis. (c) Practique tenis y no practique futbol. ´ (d) Practique tenis dado que no practica futbol. ´ (e) Practique futbol dado que no practica tenis. ´

22.- Sean los eventos A y B tales que P(A) = 0,4, (a) P(A|B);

(b) P(B|A);

(c) P(A|A ∪ B);

P(B) = 0,3 y P(A ∩ B) = 0,1. Encuentre (d) P(A|A ∩ B); (e) P(A ∩ B|A ∪ B)

23.- Un total de 500 parejas casadas y en las cuales marido y mujer trabajan, fueron encuestados sobre sus salarios anuales, con la informacion ´ resultante resumida en la tabla: Por ejemplo, en 36 de las parejas, la esposa gano´ m´as y el esposo gano´ menos de $ 25.000. Si una de las parejas se elige al azar, ¿cu´al es P´agina 3 de 6 Profesores: Ana Calfiqueo S., Jorge Cort´es Q. y Manuel Gonz´alez N.

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1o semestre de 2018 Guia de ejercicios 2 – Nociones de probabilidad Esposa Menos de $ 25.000 M´as de $ 25.000

Esposo Menos de $ 25.000 M´as de $ 25.000 212 198 36 54

(a) la probabilidad de que el marido gane menos de $ 25.000? (b) la probabilidad condicional de que la esposa gane m´as de $ 25.000 dado que el esposo gana m´as que esta cantidad? (c) la probabilidad condicional de que la esposa gane m´as de $ 25.000 dado que el esposo gana menos de esta cantidad?

24.- Considere que las probabilidades relacionadas a los eventos G: “gustar de gatos” y A: “gustar de perros” sean P(G) = 1/4; P(A|G) = 1/2 y P(G|A) = 1/4. Responda: (a) Los eventos G y A son mutuamente excluyentes? Justifique. (b) Los eventos G y A son independientes? Justifique. (c) Calcule la probabilidad de no gustar de gatos dado que gusta de perros. (d) Calcule la probabilidad de no gustar de gatos y no gustar de perros.

25.- Un total de 10.000 estudantes de cierta Universidad, cuya a´ rea de estudio y sexo fueron registrados, respondieron a la siguiente pregunta: Usted est´a a favor, es contrario, o no tiene opinion ´ sobre la “democratizacion ´ del acesso a la Universidad para los estudantes de los Liceos Municipales?´´ El resumen de las respuestas est´a es la tabla: ´ Area Ingenier´ıa Humanas Salud

G´enero M F M F M F

S´ı 550 350 1000 700 280 220

Opinion ´ No No tiene opinion ´ 1000 550 500 750 100 750 300 550 550 570 850 430

Si entre los 10000 alumnos escogemos uno aleatoriamente, cu´al es la probabilidad de: (a) Ser del sexo femenino y ser favorable; (b) Ser contrario, sabiendo que es del a´ rea de ingenier´ıa; (c) Ser del sexo femenino y del a´ rea de la salud, sabiendo que no tiene opinion. ´

26.- En una fabrica de tornillos, las m´aquinas A, B y C producen 25, 35 y 40 por ciento del total producido, respectivamente. De la produccion ´ de cada maquina 5, 4 y 2 por ciento,

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1o semestre de 2018 Guia de ejercicios 2 – Nociones de probabilidad respectivamente, son tornillos defectuosos. Se escoge al azar un tornillo y se verifica que es defectuoso. Cu´al es la probabilidad de que el tornillo provenga de la maquina A? De la B? De la C?

27.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es de 0,1. La probabilidad de que la alarma funcione sabiendo que se produce peligro es de 0,95. La probabilidad de que funcione la alarma dado que no hay peligro es de 0,03. Hallar la probabilidad de que: (a) No haya habido peligro sabiendo que la alarma funciono. ´ (b) Haya un peligro o que la alarma no funcione. (c) No funcione la alarma.

28.- En una granja se tiene que la probabilidad que un animal tenga la gripe aviar es 0, 3. La probabilidad que la reaccion ´ a una prueba sea negativa para un animal sano es 0, 9 y que sea positiva para un animal enfermo es 0, 8. (a) Calcule la probabilidad que para un animal elegido al azar, el examen sea positivo. (b) Calcule la probabilidad que el animal elegido al azar est´e enfermo, dado que el examen fue positivo.

29.- En cada una de 10 urnas (U1 , U2 , . . . , U1 0) hay 10 fichas. La n-´esima urna contiene n fichas blancas y (10 − n) fichas negras. Se selecciona una urna al azar y de e´ sta se saca una ficha. Si se conoce que la ficha seleccionada es blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que la ficha provenga de la urna 4? 30.- Dos proveedores A y B, entregan la misma pieza a un fabricante. Se sabe que el 5 % y 9 % de las piezas entregadas por A y B, respectivamente, son defectuosas y que A entrega cuatro veces m´as piezas que B. Si se extrae al azar una pieza y no es defectuosa, ¿cu´al es la probabilidad de que la haya fabricado A?

31.- La produccion ´ de un artefacto est´a dada por tres m´aquinas. La m´aquina I produce el 20 % del total, pero su 5 % sale defectuoso. La m´aquina II produce el 40 % del total, pero su 6 % sale defectuoso. Y la m´aquina III produce el 40 % del total, pero su 8 % sale defectuoso. Si se selecciona un art´ıculo de la produccion ´ total, determinar la probabilidad de que: (a) el art´ıculo sea defectuoso. (b) el art´ıculo provenga de la m´aquina II sabiendo que es defectuoso. (c) el art´ıculo no sea defectuoso, dado que proviene de la m´aquina I. (d) el art´ıculo proviene de la m´aquina III, dado que no es defectuoso. (e) ¿Existe independencia entre la caracter´ıstica ser defectuoso, de un artefacto y el hecho de ser producido por la primera m´aquina?

32.- La probabilidad de que Alicia estudie para su examen de Estad´ıstica es de 0.2. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es de 0.8. En tanto que si no estudia, la probabilidad es de 0.5. P´agina 5 de 6 Profesores: Ana Calfiqueo S., Jorge Cort´es Q. y Manuel Gonz´alez N.

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1o semestre de 2018 Guia de ejercicios 2 – Nociones de probabilidad (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que Alicia apruebe Estad´ıstica? (b) Dado que Alicia aprobo´ su examen, ¿cu´al es la probabilidad de que haya estudiado?

33.- Suponga que la ciencia m´edica ha desarrollado una prueba para el diagnostico del ´ c´ancer que tiene el 95 % de exactitud tanto en los pacientes que tienen c´ancer como entre los que no tienen. Si 0.5 % de la poblacion ´ realmente tiene c´ancer, calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga c´ancer, si la prueba dice que tiene. 34.- Las llamadas telefonicas a una empresa son recibidas por tres recepcionistas A, B y C, ´ de tal manera que de las 200 llamadas recibidas en un dia, 60 son atendidas por la recepcionista A, 80 por B y las restantes por C. La recepcionista A se equivoca al pasar la llamada en un 2 % de las veces, la recepcionista B en un 5 % y la C en un 3 %. Hallar la probabilidad de que al pasar una llamada recibida en la empresa, e´ sta sea pasada al lugar equivocado 35.- Un virus peligroso est´a presente en el 0.01 % de la poblacion ´ nacional. Se tiene una prueba cl´ınica para detectar la presencia del virus, y esta prueba es correcta en el 99 % de los casos (es decir, entre los portadores del virus, la prueba d´a positivo el 99 % de las veces y entre los no portadores d´a negativo el 99 % de las veces). Un individuo tomado al azar en la poblacion ´ es sometido a la prueba y el resultado de e´ sta es positivo. Al conocer el resultado de la prueba, ¿cu´al es la probabilidad de que este individuo sea realmente un portador del virus?. Comente sobre el valor de esta probabilidad.

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