Guia 1

1.

El costo total de un fabricante es C(q) = 0,1 q3 – 0,5 q2 + 500 q + 200 dólares, donde q es el número de unidades producidas. a) Utilícese el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la cuarta unidad. C (q) = 0,1 q3 – 0,5 q2 + 500 q + 200 C’ (q) = 0,3 q2– q + 500

C’ (3) =0,3(3)2- 3+500=499,7

C’ (3)(4-3) = 499,7(1) =499,7 El costo de fabricación de la cuarta unidad es 499,7 b) Calcule el costo real de la cuarta unidad C(3) = 0,1 (3)3 – 0,5 (3)2 + 500 (3)+ 200 =1698,2 C(4) = 0,1 (4)3 – 0,5 (4)2 + 500 (4) + 200 =2198,4 C(4) – C(3) =2198,4 – 1698,2 = 500,2 El costo real de producir la cuarta unidad es 500,2

2.

El ingreso total mensual de un fabricante es R(q) = 240 q + 0,05 q3 dólares cuando producen q unidades y se venden durante el mes. En la actualidad, el fabricante produce 80 unidades mensuales y planea aumentar la producción mensual en una unidad. a) Utilícese el análisis marginal para estimar el ingreso marginal que generará la producción y venta de la unidad 81 R(q) = 240 q + 0,05 q 3

q0=80

q1=81

R’(q) = 240 + 0,15 q2 R’’(q) =0,3q R’’(81) = (0,3(81))(81-80)=24,3

El ingreso marginal que genera el producir y vender 81 unidades es 24,3

b) Utilícese la función ingreso para calcular el ingreso adicional real que generará la producción y venta de la unidad 81. R(80) = 240 (80) + 0,05 (80) 3 = 44800 R(81) = 240 (81) + 0,05 (81) 3 = 46012,05

R(81) – R(80) = 46012,05 – 44800 =1212,05 El ingreso real que genera el producir y vender 81 unidades es de 1212,05

a) Halle el costo y el ingreso marginal b) Utilícese el análisis marginal para estimar el costo producir la cuarta unidad c) Halle el costo real de producir la cuarta unidad. d) Utilice el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de la venta de la cuarta unidad. e) Halle el ingreso real derivado de la venta de la cuarta unidad. 1 2 x  4 x  57 C(x) = 5 ;

a) 3

a) Costo Marginal: C’(x) =

Ingreso: I(x) =

9x 

p( x) 

1 (36  x) 4

2 x4 5

x2 4

Ingreso Marginal: I’(x) = 9 

b) Costo estimado de producir la cuarta unidad: 2  C’(4)(4-3) =  (4)  4 (1)  5,6 5 

c) Costo real de producir la cuarta unidad: C(4) - C(3) =

1 2 1 (4)  4(4)  57  (3) 2  4(3)  57  143,4 5 5

d) Ingreso real derivado de la cuarta unidad:

I(4) – I(3) = 9(4) 

4.

C(x) =

1 2 x  3x  67 ; 4

Costo Marginal: a)

(4) 2 (3) 2  9(3)   6,25 4 4

1 p( x)  (45  x) 5

C’(x) =

1 x3 2

8x 16

x2 9x  5 Ingreso: I(x)=

9

Ingreso marginal: I(x) =

2x 5

b) Costo estimando de producir la cuarta unidad: 1  C’(4)(4-3) =  (4)  3 (1)  5 2 

c) Costo real de producir la cuarta unidad: C(4) – C(3) =

1 2 1 (4)  3(4)  67  (3) 2  3(3)  67  156,75 4 4

d) Ingreso real derivado de la cuarta unidad: I(4) – I(3) = 9(4) 

5.

C(x) =

1 2 x  2 x  39 ; 3

Costo Marginal: a)

42 32  9(3)  4 5 5 p( x)   x 2  4 x  10

C’(x) =

2 x2 3

I ( x)   x 3  4 x 2  10 x Ingreso: Ingreso marginal:

I ' ( x)  3x 2  8 x  10 I ' ' ( x)  6 x  8

b) el costo estimado de producir la cuarta unidad es:

C’(4)(4-3) =

(3(4) 2  8(4)  10 )(1)  4,67

c) El costo real de producir la cuarta unidad es: 1 2 1 (4)  2(4)  39 - (3) 2  2(3)  39  4,33 3 C (4) – C (3) = 3

d) El ingreso estimado marginal que genera la producción de producir la 81 unidad es:

I’’ (4) = -6(4) +8 =-16 (perdida) e) El ingreso real de la venta de la cuarta unidad:

I (4)  I (3)  4 3  4(4) 2  10 (4)  33  4(3) 2  10 (3)  1

6.

C(x) =

5 2 x  5 x  73 ; 9

p( x)   x 2  2 x  13

C’(x) =

a) Costo Marginal:

10 x5 9

3 2 Ingreso: I ( x)   x  2 x  13 x 2 Ingreso marginal: I ' ( x)  3 x  4 x  13

I ' ' ( x)  6 x  4 b) El costo marginal de producir la cuarta unidad: 10 C’ (4) (1) = ( (4)  5)(1)  9,44 9

c) El costo real de producir la cuarta unidad: 5 5 C(4)-C(3) = (4) 2  5(4)  73  (3) 2  5(3)  73  8,89 9 9

d) El ingreso marginal estimado de producir la cuarta unidad es:

I ' ' (4)(1)  (6(4)  4)(1)  20 e) El ingreso real de la venta de la cuarta venta: 3 2 3 2 I(4)-I(3) =  4  2(4)  13(4)  (3  2(3)  13(3)  10

7.

C(x) =

1 2 x  43 4

a) Costo Marginal:

;

p( x) 

C’(x) =

3  2x 1 x

1 x 2

b) Costo estimado de producir la cuarta unidad: 1  C’(4)(4-3) =  (4) (1)  2 2 

c) Costo real de producir la cuarta unidad: C(4) –C(3) =

8.

C(x) =

1 2 1 (4)  43  (3) 2  43  87,75 4 4

2 2 x  65 ; 7

p ( x) 

12  2 x 3 x

4 x a) C’(x) = 7

b) Costo estimado de producir la cuarta unidad: 4  C’(4)(4-3) =  (4) (1)  2,29 7 

c) Costo real de producir la cuarta unidad C(4) – C(3) =

9.

2 2 2 (4)  65  (3) 2  65  132 7 7

Estime cuánto cambiará la función f ( x)  x 2  3 x  5 cuando x aumenta de 5 a 5,3. f ( x)  x 2  3x  5

x0 =5

x1=5,3

dx=0,3

f ' ( x)  2 x  3

f ' (5)  2(5)  3  7

f’(x1) - f’(x0) =(5.3)2-3(5,3)+5-52+3(5)-5=2,19 f’(5)(0,3)=(2(5)-3)(0,3)=2,1

10.

Estime cuánto cambiará la función f ( x)  3,8.

x  3 cuando x decrece de 4 a x 1

f ( x) 

x 3 x 1

f ' ( x) 

1 ( x  1) 2

f(3,8) – f(4)=

x0 =4

dx= 0.2

f ' ( 4) 

1  0.04 (4  1) 2

3,8 4 3  3  6,009 3,8  1 4 1

 1 f’(4)(0,2)=  2  (4  1)

11.

x1=3,8

 (0,2)  0,008 

Estime el cambio porcentual en la función f ( x)  x 2  2 x  9 cuando x aumenta de 4 a 4,3. f ( x)  x 2  2 x  9

x0=4

x1=4,3

dx=0,3

f ' ( x)  2 x  2

f ' (4)  2(4)  2  10

f(4,3)-f(4)= 4,3 2  2(4,3)  9  4 2  2(4)  9  1,09 f’(4)(0,3)=(2(4)+2)(0,3)=3

12.

Estime el cambio porcentual de la función f ( x)  3x  disminuye de 5 a 4,6.

2 x x2 f ' ( x)  3  2 x f ( x)  3x 

xo=5

x1=4,6 f ' (5)  3 

2 2  3(5)   0,37 4,6 5 52  f’(5)-(0,4)=  3  2 (0,4)  1,25 5  

f(4,6)-f(5)= 3(4,6) 

dx=0,4

52  3,12 52

2 cuando x x

13.

El costo total para un fabricante es C(q) = 0,1 q3 – 0,5 q2 + 500 q + 200 dólares cuando el nivel de producción es q unidades. El nivel actual de producción es 4 unidades y el fabricante planea aumentarlo a 4,1 unidades. Estime en cuanto cambiará el costo total. C(q) = 0,1 q3 – 0,5 q2 + 500 q + 200

qo=4

q1=4,1

C’(q)= 0,3q2 – q+500 C’(4)(0,1)=(0,3(4)- 4+500)(0,1)=49,72 El costo total estimando cambiará en 49,72

14.

El ingreso total de un fabricante es R(q) = 240 q + 0,05 q3 dólares cuando se producen q unidades durante el mes. En la actualidad el fabricante produce 80 unidades al mes y planea reducir la producción mensual en 0,65 unidades. Calcule cuanto cambiará el ingreso mensual total como resultado de la reducción. R(q) = 240 q + 0,05 q3

qo=80

q1=79,35

R(80)= 240 (80) + 0,05 (80)3=44800 R(79,35)=240(79,35)+0,05(79,35)3=44025,05627 R’(q) = 240 + 0,15 q2 R(79,35)-R(80)= -774,94 El ingreso mensual real (perdida) resultado de una reducción es de -774,94 R’(80)(-0,65)= (240 + 0,15 (80)2)(-0,65)= -780 El ingreso mensual estimando resultado de una reducción es de -780

15.

La producción diaria de cierta fábrica es Q(L) = 300 L2/3 unidades, donde L denota la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Actualmente se utilizan 512 horas-trabajador cada día. Calcule el número de horas trabajador adicionales que se necesitarán para aumentar la producción diaria en 12,5 unidades. Q(L) = 300 L2/3 Q’(L) =200L-1/3 (300)

LO=512

L1=?

16.

1 3 q  642q  400 dólares cuando 6 se producen q unidades . El nivel actual de producción es 4 unidades. Calcule la cantidad en la cual el fabricante debería disminuir la producción para reducir el costo total en US $ 13.

El costo total para un fabricante es C(q) =

C(q) =

1 3 q  642q  400 6

C’(x)=

1 2 q  642 2

qo=4

q1=3,8

1  13   (4) 2  642 (a) 2  13  (650)(a) 0,02  a

Para poder reducir el costo a 13 se debe de disminuir a 3,8 unidades

Se proyecta que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será 6 miles. Aproximadamente, ¿cuánto aumentará la población durante el p(t )  20  t 1 siguiente trimestre?