Guía 13 Extremos Relativos

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Asignatura: Cálculo Vectorial Lista de Ejercicios: 13

Ejemplo: Para la función  f ( x ; y)  25  x 2  y 2    Dom ( f )  ( x; y) 

tiene

Valor máximo absoluto = 5 Valor mínimo absoluto = 0

VALORES EXTREMOS RELATIVOS Definición 3: Sea la función  f ( x ; y)   definida en 2

VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS . Diremos que  f (a ; b) ; (a ; b)   Valor Máximo Absoluto de  f   en  D  sii:

2

,   es el

. Diremos que  f (c ; d ) , (c ; d )  D   es un valor Mínimo Relativo si existe  B ((c ; d ) ;   )  tal que:

 D 

Ejemplo: Sea  z  f ( x ; y)  4  x 2  y 2   2

 f (a ; b)  f ( x ; y) ; ( x ; y)  B (( a ; b) ;   )  

Definición 4: Sea la función  f ( x ; y)   definida en

 f (a ; b)  f ( x ; y ) ; ( x ; y )  D  

Tiene  Dom ( f ) 

. Diremos que  f (a ; b) , (a ; b)  D   es un valor Máximo Relativo si existe  B ( (a ;b )  ;  )  tal que:

 D 

Definición 1: Sea la función  f ( x ; y)   definida en 2

/ x 2  y 2  25  

 Ran ( f  )   0 ; 5  

Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez Tema  : Valores Extremos Relativos 

 D 

2

2

 f (c ; d )  f ( x ; y) ; ( x ; y)  B (( c; d ); ) ;   )  

; Ran ( f  )    ; 4  

Valor Máximo Absoluto  f  (0 ;0  ; 0)  4  

Ejemplo ilustrativo: El gráfico de la función  z  f ( x ; y)   ( x1; y1 ; f (x1 ; y1))  

Z

( x3 ; y 3 ; f ( x 3; y 3 ))  

( x 2 ; y 2 ; f ( x 2 ; y 2 ))  

( x1 ; y1 )

X

( x2 ; y2 )  

 

 Y

( x3 ; y3 )  

( x4 ; y4 )  

( x5 ; y5 )  

 f ( x1; y1 ) :  Es un valor máximo relativo

en Definición 2: Sea la función  f ( x ; y)   definida 2 2

. Diremos que  f (a ; b) ; (a ; b)   Valor Mínimo Absoluto de  f   en  D  sii:  D 

,   es el

 f (a ; b)  f ( x ; y ) ; ( x ; y )  D  

Ejemplo: Sea  z  f ( x ; y)  ( x  3) 2  ( y  2) 2  1   Tiene  Dom ( f ) 

2

; Ran ( f  )  1;    

3;2 Valor Mínimo Absoluto  f  (3;2)   )  1 

 f ( x 2 ; y2 ) :  Es un valor mínimo relativo  f ( x 3 ; y3 ) :  Es un valor máximo relativo  f ( x 4 ; y4 ) :  Es un valor mínimo relativo  f ( x 5 ; y5 ) :  Es un valor máximo relativo

Teorema 2: Sea  f ( x ; y)  definido en el conjunto abierto  D  2 .  Sea  P0  ( x0 ; y0 )  D   tal que  f ( P 0 )  es un valor extremo relativo y si los componentes derivadas parciales existen en  P 0  entonces:

Teorema 1: Sea  f ( x ; y)  una función continua en una

df

región plana cerrada y acotada  D 

dx

2

.  Entonces  f   

tiene valor máximo absoluto y también tiene valor mínimo absoluto en puntos de  D .  

( P0 )  0 ;

df     ( P 0 )  0   dy

Ejemplo 1: Determine los puntos críticos de la función  f ( x ; y)   x 3  4 x y  2 y 2  1  

Solución: Derivamos parcialmente e igualamos a cero 

 

 d f ( x; y)  3 x 2  4 y  0 ... (1)   dx    d f ( x; y)     4 x  4 y  0 ... (2)   dy De la ecuación (1)    4 y  3x 2 ... (1)   ahora reemplazando en (2)   4 x  3x 2  0  3x 2  4 x  0    x (3x  4)  0 Los puntos críticos son:  x  0  y  0  (0 ; 0) Si 4 4 4 4   x   y     ;  3 3 3 3

d 2 f ( P0 ) dx1 2

d 2 f ( P0 ) dx1dx2

d 2 f ( P0 )  dx1dxn

d 2 f ( P0 )  n  dx2 dx1

d 2 f ( P0 ) dx  2 2

d 2 f ( P0 )  dx2 dxn  

d 2 f ( P0 ) dxn dx1

d 2 f ( P0 ) dxn dx2

d 2 f ( P0 )  dxn 2

Entonces se obtiene: i) El punto  x 0   corresponde a un Mínimo Relativo si

 1  0 ;  2  0 ; ...;  n  0   cuyo

cumple

valor

mínimo es  f ( x0 )  

Definición 5:  Sea  f : D 

   una función definida en el abierto  D   con derivadas parciales de segundo orden

d2f dx 2

;

d2f

d2f

;

dy 2

2

dx dy

;

cumple

dy dy dx dx

máximo es  f ( x0 )  

 La matriz

d f     2

2

 dx  H    2 d f   dydx

valor

Ejemplo: Determine los extremos relativos de la función  f ( x; y; z)  2 x 2  y 2  3 z 2  5 xy  7 x  3 z  

dxdy 

Solución:

  d f      dy 2 

i) Hallamos los puntos críticos

2

Definición 6:  Sea  f : D 

 1  0 ;  2  0 ;  3  0 ; ...   cuyo

d2f    

simétrica  H    es llamada Hessiana y se define: d2f

ii) El punto  x 0   corresponde a un Máximo Relativo si

df  

   una función definida en el abierto  D   con derivadas parciales de segundo orden 3

dx df   dy

 4 x  5 y  7  0 ...(1)  2 y  5 x  0

...(2)  

df   1  6 z  3  0  z    d2f     ; ; ; ; ; ; ; dz  2 dx 2 dy 2 dz 2 dx dy dx dz dy dx dx dy d y dz dz   De 2(1 2(1)  5(2) 5(2)   2 2 d f d f     4 x  10 y  14 14 35   La matriz simétrica  H    es llamada ;  x ; y         dz d x dz d y 25 x  10 y  0 29 29

d2f

d2f

d2f

Hessiana y se define: d2f  dx 2  d2f  H     dydx d2f   dzdx

d2f

d2f dxdy 2

d f dy 2 2

d f dzdy

d2f

d2f

d 2 f    

  2 d f       dydz   2 d f      2 dz    dxdz  

Criterio de la Matriz Hessiana para los Máximos y Mínimos:  Consideramos la función  f : D   n    con derivadas de segundo orden continuasen el conjunto abierto  D  n   y sea  P0  D   un punto crítico para el cuál el determinante de la Matriz Hessiana se denota por:

35 1   14 El punto crítico es:  P  ; ;   2 9 2 9 2 

 4 5 0    14 35 1        H  f   ; ;     5 2 0      29 29 2       0 6 0  Ahora hallamos hallamos los determ determinantes: inantes: 1 

4  4  0 ; 2 

4

4

5

5

2

  33 

0  y

5 0

  5 2 0  198  0   No es ni máximo ni 3

0

mínimo.

0

6

 

  x y     3 4 

35 1   14 Por tanto  P  ; ;    es Punto Silla 2 9 2 9 2 

06)  f ( x; y) 

Gráficos de Puntos Silla

07)  f ( x; y)  x4  y4  2 x 2  4 xy  2 y 2  

 xy 2

(47  x  y) 

08)  f ( x; y; z)  4 x  xy  yz  x2  y 2  z 2   09)  f ( x; y; z ) 

 x3 3

3

 3xy  3xz  3 y 2  z 2  5x  2   2

10)  f ( x; y; z)  x2  y 2  z 2  xy  x  2 z   11)  f ( x; y; z)  3 ln( x)  2 ln( y)  5 ln ln( z)  ln(22  x  y  z)  

Nota:  Ahora, el problema es ambiguo, ya que el "Hessiano" se puede referir a la matriz o a su determinante. Lo que quieras depende del contexto. Por ejemplo, al optimizar funciones multivariables, multivariables, por el Teorema "criterio de las segundas derivadas" usa el determinante de la matriz Hessiana. Cuando se usa el Hessiano para aproximar funciones, debes usar la matriz 

Teorema (Criterio de las Segundas Derivadas) :  Sea  f : D 

  unas función definida en una región abierta  D , con primeras y segundas derivadas parciales continuas, si (a;b) es un punto critico, y

12)  f ( x; y)  3 x2  2 xy  3 y2  8 x  8 y  5   1;1;  3)  mínimo Rpta: (1;1 13)  f ( x ; y)  x 2 y 2  5 x 2  8 xy  5 y 2   14)  f ( x ; y)  x 3  y 3  3 y 2  3 x  9 y  2   15)  f ( x ; y ; z)  x 2  2 y 2  z 2  xy  7 x  2 z  12   16)  f ( x ; y ; z)  x 2  xz  y  y 2  yz  3 z 2  

2

EXTREMOS CONDICIONADOS Método de Multiplicadores de Lagrange: Sean  f    y  g    dos funciones con derivadas parciales continuas. Para determinar los extremos relativos de  f   (máximos y/o mínimos) sujetos a la condición  g ( x; y)  c , se

siguen los siguientes pasos: 1° Considere la función  F   de Lagrange dado por:  F ( x; y;  )  f ( x; y)    g ( x; y)  c    definiendo el Hessiano de “f” como la función: 

ENTRETENIMIENTO 2 I) Determinar los valores extremos relativos de  f   si existen para las siguientes funciones: 01)  f ( x; y)  18 18 x2  32 y2  36 x 128 y 110  

2° Determine los puntos críticos de la función  F     F x ( x; y ;  )  0  F y ( x; y ;  )  0    F  ( x; y ;  )  0

02)  f ( x ; y)  x 2  2 xy  4 x  8 y  

3° De acuerdo a la naturaleza del problema, se decide si el punto crítico corresponde a un valor máximo o mínimo condicionado de  f   

03)  f ( x ; y)  4 xy 2  2 x 2 y  x  

Ejemplo: Halle los extremos condicionados de

04)  f ( x; y)  x3  y3  18 xy  

 f ( x; y)  x 2  y 2   sujeto a lla a co condición ndición de en enlace lace  x  y  2 .

05)  f ( x; y )  x 3  3xy 2  2 y 3  

Solución:

 

Calculamos los puntos críticos, para esto definimos la función  F   introduciendo la incógnita      F ( x; y;  )  f ( x; y)    x  y  2   De donde:  F ( x; y;  )  x 2  y 2    x  y  2     F x ( x; y;  )  2 x     0

   2 x   F y ( x; y;  )  2 y     0       2 y     F  ( x; y;  )  x  y  2  0  x  y  2

b) precios unitarios de venta de empresa. cada tipo deDetermine bujía quelosmaximiza la utilidad de la Justifique su respuesta. c) Calcule las demandas mensuales que maximizan la utilidad.

Igualando      x  y   De donde  x  1 ; y  1   Por tanto  P (1;1)  

MISCELÁNEA I) Determine los extremos relativos de la función dada en cada uno de los casos, sujeta a las restricciones dadas: 1.  f ( x; y)  xy   para  x 2  y 2  16   2.  f ( x; y)  x 2  y 2   para

 x



2

y 3

4

 

4.  f ( x; y)  25  x 2  y 2   para  x 2  y 2  4 y  0   5.  f ( x; y)  4 x 2  2 y 2  5   para  x2  y 2  2 y  0   6.  f ( x; y)  x2  y   para  x 2  y 2  9   7.  f ( x; y)  x y   para  x 2  y 2  4    x



1 y

  para

1  x

2



1 y

2



plantas ubicadas en Arequipa y Trujillo. Los costos mensuales totales de producción en cada planta son: 2 C A ( x)  50 x  1000   y C T  ( y)  8 y3  400 y  2000  

El precio del mercado para el producto es de 2000 soles la unidad. a) Modele la expresión que representa la función utilidad

 1     

1

03. La empresa sajita S.A. Produce un solo producto en dos

donde  e  son las cantidades producidas en cada planta.

3.  f ( x; y)  cos2 ( x)  cos2 ( y)   para  y  x 

8.  f ( x; y) 

referencia a los costos, sabe que los costos de producción de cada bujía A es de $ 4 y de cada bujía B es $ 6. Las demandas mensuales (en miles de unidades) vienen dadas por: q A  78  6 pA  6 pB   y q B  66  3 pA  6 pB   Se sabe qué  p A   y  p B   representa los precios unitarios de venta (en dólares) de los dos tipos de bujías. a) Modele la función que representa la utilidad de la empresa.

1 16

 

b) Determine la cantidad de unidades que debería fabricar mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible. 

04.  Un servicio de entrega de paquetes establece que las dimensiones de una caja rectangular deben ser tales que, el largo más el doble del ancho, más el doble de la altura sea igual a 120 cm. a) Modele la función que representa el volumen de la caja. b) Determine el volumen máximo de la caja rectangular que puede enviarse. 2

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01.  La Empresa Metal S.A. fabrica una caja metálica cerrada con un volumen de 16 m 3   se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta 20 dólares el metro cuadrado; los lados laterales con un material que cuesta 10 dólares el metro cuadrado. a) Modele la función que representa el costo de fabricación de la caja metálica, que depende del largo " x "  y de ancho " y "   b) Calcule las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo y el costo mínimo. 02. Bujías Champion SA, es una empresa dedicada a la fabricación y venta de bujías. El administrador, en

Rpata: a) V ( x ; y)  60 xy   x y  xy 2   2 b)  x  40 ; y  20 ; z   20  y V  16000 cm. 3  

05. La temperatura de una placa plana cuadrada varía según la relación T ( x; y)  x2  5 y2  6 x 10 10 y  15   donde " x "  e " y "  se miden en metros y la temperatura en C°. Determine en qué punto la temperatura es mínima y calcule su valor. Rpta: (3;  1)  mínimo y T (3  ; 1)  12  C°

06. Si T ( x; y )  2 x2  y 2  y   es la temperatura en cualquier punto ( x ; y) del disco circular limitado por la circunferencia  x 2  y 2  1   Determine los puntos más calientes y los puntos más fríos del disco y la temperatura en esos puntos.

 

 3 1 Rpta:   ;    mínimo y 2   2

 3 1 ;    máximo  2 2  

07.  Determine los puntos extremos de la función  f ( x ; y ; z)  x  y  z   sujeto a las 2 restricciones  x 2  y 2  2  y  x  z   1  

Rpta: Max. (0; 2 ;1)  y Min. (0 ;  2 ;1 ;1)   extremos de la función 08.  Determine 2 los 2 puntos 2

 f ( x ; y ; z)  x  y  z    sujeto a las 2 restricciones

 x 2  y 2  4 y  0   Rpta: Max. (0;1;0)  y Min. (0;  1;0 ;0))  

09.  Un disco circular tiene la forma de una región acotada por el círculo  x 2  y 2  1 . Si T    es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto ( x; y)  del disco y T ( x; y )  2 x 2  y 2  y . a) Modele la función de Lagrange b) Determine los puntos más calientes y más fríos del disco.