Guía 1 - Lógica Proposicional

´s Bello Universidad Universidad Andres e Bello Facult acultad de Ingenier´ ıa ´ n Civil y Construccion o Civil ´ ticas Depart Departamento de Matematicas a

´ Algebra (FMM013) Gu´ıa 1 L´ ogica ogica Proposicional 1. Sean p y q proposiciones. Asuma que lo siguiente es verdadero:  p es verdadera verdade ra s´ı y s´ olo s´ı q es verdadera. ¿Cu´ales ales de las siguientes son entonces verdaderas? a ) Si p es verdadera entonces q es verdadera. b ) Si q es verdadera entonces p es verdadera. c ) Si p es falsa entonces q es falsa. d ) Si q es falsa entonces p es falsa.

2. Determine Determine el valor de verdad de las siguientes siguientes proposiciones (cuando sea posible): a ) Si 1 = 1 entonc entonces es 2 = 2. b ) Si 1 = 1 entonc entonces es 2 = 3. c ) Si 1 = 0 entonc entonces es 1 = 1. d ) Si 1 =  0 entonces 2 =  2.

entonces es 1 = 2. e ) Si 1 = 1 y 1 = 2 entonc  f  ) Si 1 = 3 o 1 = 2 enton entonces ces 1 = 1

 j ) 1 = 2 es una condi condici´ ci´ on on necesaria para que 1 =  2. k ) 1 = 2 es una condi condici´ ci´ on on necesaria para que 1 =  3.

una condic condici´ i´ on on suficiente para l ) 1 = 2 es una que 1 =  3.

g ) 1 = 0 es una una condici condici´ on o´n suficiente para

m ) Si todo lo que digo es falso entonces

que 1 = 2. condici´ i´ on on necesaria para h ) 1 = 0 es una condic que 1 = 2.

n ) Si todo lo que digo es falso entonces

i ) 1 = 1 es una condic condici´ i´ on on necesaria para

n  ˜ ) Una condici´ condicion o´n suficiente suficiente para que 1 =

que 1 = 2.

todo lo que digo es verdadero. 1 = 2. 2 es que 1 = 3.

3. Construya Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes siguientes proposiciones indicando indicando cuales son tautolog´ tautolog´ıas o contradicciones.

a ) ( p ⇒ q ) ∨ (q ⇒  p)

m ) ( p∨ ∼  p) ⇔ (q∨ ∼ q )

b ) p ⇒ (q ∨  p)

n ) ( p ∧ q)∧ ∼ ( p ∨ q)

c ) p ∨ ( p ∨ q ) ⇒∼  p d ) ( p ∧ q ) ⇒∼  p e ) ( p ⇒∼  p) ⇒∼  p  f  ) ( p ⇒∼  p) ⇒  p g ) p ∧ ( p ⇒∼  p)

n  ˜ ) p ∨ q ∨ ∼ r o ) ( p ∧ q) ⇒ r p ) p ⇒ (q ⇒  p) q ) p ⇒ ( p ⇒ q ) r ) ( p ⇔ q) ⇒ ( p ⇔ q)

h ) ( p∧ ∼  p) ⇒ q

s ) ( p ⇒ q) ⇔ (∼  p ∨ q )

i ) ∼ (( p∧ ∼  p) ⇒ q)

t ) ( p ∨ q) ⇔∼ (∼  p∧ ∼ q )

 j ) p ⇔ ( p ∨ q )

u ) ( p ⇒ q) ⇒ (∼ q ⇒∼  p)

k ) ( p ∧ q ) ⇔∼  p

v ) p ∧ (q ∨  p) ⇔∼  p

l ) ( p∧ ∼  p) ⇔ (q ∧ ∼ q)

w ) ( p ⇒ q) ⇒ (( p ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r ))

4. Si q es verdadera ¿Por qu´e p ⇒ q es tambi´ en verdadera independiente de cual es p?. 5. Si p es falsa ¿Por qu´e p ⇒ q es verdadera independiente de cual es q?. 6. Si p es verdadera y q es falsa. ¿Qu´e se puede decir de p ⇒ q ?. 7. Si p y q son falsas.¿Qu´e se puede decir de p ⇒ q?. 8. Sean p,q y r proposiciones. Demostrar, sin usar tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son tautolog´ıas: a ) p ⇒ ( p ∨ q ) b ) ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ (∼  p∧ ∼ q) c ) [( p ⇔ q ) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ ( p ⇔ r ) d ) [( p∧ ∼ q ) ⇒∼  p] ⇒ ( p ⇒ q) e ) ∼ ( p ⇔ q ) ⇔ (∼  p ⇔ q)  f  ) [( p ∧ r) ⇒ (∼ q ∨ r)] ⇔∼ ( p ∧ q) g ) [( p ⇒∼ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r ] ⇒∼  p h ) [ p ∧ ( p ⇒ q )] ⇒ q i ) [( p∧ ∼ q ) ⇒∼  p] ⇒ ( p ⇒ q)  j ) [( p ∧ r) ⇒ (∼ q ∨ r)] ⇔∼ ( p ∧ q) k ) [( p ⇒∼ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r ] ⇒∼  p l ) ( p ∧ q ) ⇔ [( p ∨ q ) ∧ ( p ⇔ q )] m ) ( p ∧ q ⇒ r) ⇔ ( p∧ ∼ r ⇒∼ q) n ) ( p ∧ q ) ⇔ [( p ∨ q ) ∧ ( p ⇔ q )]

9. Dadas p y q proposiciones. Definimos el operador l´ogico p♦q como la proposici´ on que es verdadera solo cuando q es verdadera y p es falsa. a ) Escriba la tabla de verdad para p♦q . b ) Es ♦ asociativo?, Es ♦ conmutativo?. c ) Describa ♦ utilizando los conectivos ∨,∧ y ∼.

Muestre que: d ) (∼  p)♦(∼ q ) ≡ q ♦ p. e ) p♦ p ≡ F   f  ) (∼  p)♦ p ≡ V  g ) ( p ∨ q )♦r ≡ ( p♦r ) ∧ (q♦r) h ) ( p ∧ q )♦r ≡ ( p♦r ) ∨ (q♦r)

10. Exprese en palabras la rec´ıproca y contrarec´ıproca de cada una de las siguientes afirmaciones: a ) Si pienso luego existo. b ) Si no pienso entonces no existo. c ) Si no pienso entonces soy Buda. d ) Si soy Buda entonces pienso.

ajaros tienen el mismo tipo de plumas s´ olo si vuelan juntos. e ) Estos p´  f  ) Estos p´ ajaros vuelan juntos s´ olo si tienen el mismo tipo de plumas g ) Para leer el Tarot es necesario consultar el or´ aculo.

11. Traduzca las siguientes afirmaciones en lenguaje proposicional definiendo p =“Yo soy Julio Cesar” y q =“T´ u eres Brutus”. a ) Si yo soy Julio Cesar entonces tu no eres Brutus. b ) No es cierto que si yo soy Julio Cesar entonces tu eres Brutus. c ) Yo soy Julio Cesar s´ olo si tu no eres Brutus. d ) Tu eres Brutus s´ olo si yo soy Julio Cesar. e ) Yo soy Julio Cesar s´ı y s´ olo s´ı tu no eres Brutus.

olo s´ı yo no soy Julio Cesar.  f  ) Tu no eres Brutus s´ı y s´ g ) O bien tu eres Brutus o yo soy Julio Cesar. h ) O bien yo no soy Julio Cesar o tu eres Brutus.

i ) Para que tu seas Brutus es necesario y suficiente que yo no sea Julio Cesar.

12. Traduzca las siguientes afirmaciones en lenguaje proposicional definiendo p =“La l´ogica es f´acil”, q =“En el examen hay una pregunta de l´ogica” y r =“aprob´e el examen”. ogica es f´acil entonces paso el examen. a ) Si la l´ b ) Si paso el examen entonces l´ ogica es f´acil. c ) Si no paso el examen entonces l´ ogica no es f´acil.

ogica entonces paso el examen. d ) Si no hay pregunta de l´ e ) La l´ ogica es dif´ıcil y paso el examen si no hay pregunta de l´ogica.  f  ) O bien l´ ogica es f´acil y paso el examen o l´ogica es dif´ıcil y no paso el examen. g ) Si l´ ogica es f´acil entonces si hay una pregunta de l´ ogica paso el examen.

ogica es dif´ıcil entonces paso el examen si no hay pregunta de l´ ogica. h ) Si l´ i ) Si no paso el examen entonces hay una pregunta de l´ ogica y la l´ogica es dif´ıcil.

13. Convierta cada una de las afirmaciones siguientes en forma de l´ ogica proposicional y determine si son verdaderas o falsas (si es posible) explicando porque. a ) Si yo fuese una vaca entonces comer´ıa pasto. Como no soy una vaca entonces no

como pasto. b ) Si estamos capacitados para volar tendr´ıamos alas. Como es cierto que podemos

volar y dado que no volar´ıamos a menos que tuvi´eramos alas entonces claramente tenemos alas. c ) Si las f´ abricas en el Oeste polucionan el aire entonces la lluvia ´acida producir´a da˜ no

en el Este. Dado que la lluvia a´cida esta produciendo da˜ no en el Este entonces las f´abricas en el Oeste est´ an polucionando el aire. d ) Si las f´ abricas en el Oeste polucionan el aire entonces la lluvia ´acida producir´a da˜ no

en el Este. Dado que las f´abricas en el Oeste no est´ an polucionando el aire entonces la lluvia ´acida no est´ a produciendo da˜ no en el Este. e ) Si cuando las tasas de inter´ es bajan la inflaci´ on y el mercado accionario suben.

Entonces si la inflaci´on sube tambi´en subir´ a el mercado accionario.  f  ) Si cuando las tasas de inter´ es bajan la inflaci´ on sube y cuando la inflaci´on sube

el mercado de bonos sube. Entonces si las tasas de inter´es ba jan el mercado de bonos subir´ a. 14. Bas´andose en los teoremas de a´lgebra proposicional, demostrar la v´alidez del siguiente ´ argumento:”Para aprobar el curso de Algebra es necesario estudiar mucho. Adem´as yo dedico mucho tiempo a otras actividades. Esto implica no estudiar mucho. Deduzco en ´ consecuencia que reprobar´e Algebra.”

15. Sean p, q y r proposiciones. Asuma que lo siguiente es verdadero. Si p es verdadera y q no lo es entonces r es verdadera. ¿Cuales de las siguientes son entonces verdaderas?. a ) Si p es verdadera entonces r es verdadera. b ) Si p no es verdadera y q es verdadera entonces r es verdadera. c ) Si p no es verdadera o bien q no es verdadera (o ambas no son verdaderas) entonces r no es verdadera. d ) Si r no es verdadera entonces p no es verdadera y q es verdadera. e ) Si r no es verdadera entonces o bien p es falso o q es verdadera (o ambas).

16. Sean p,q y r proposiciones tales que ((∼ p ∨ q) ⇒ r) es falsa. Entregar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta): a ) ∼ q ⇒∼  p b ) r ⇒ ( p ⇔∼ (q ∨ r))

17. Si la proposici´ on p ⇒ q es falsa. ¿Cu´ a l es el valor de verdad de la proposici´ on  p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ r) ∧ q ?