Guia 05 - Cocientes Notables.docx

COCIENTES NOTABLES Son cocientes cuya forma general es: an  bn ; n  z+

ab

El desarrollo de estos cocientes se pueden efectuar directamente sin aplicar los criterios generales de la división algebraica Todo cociente notable debe satisfacer los siguientes principios: 1º El resto de la división debe ser igual a cero. 2º Las bases deben ser iguales 3º Los exponentes deben ser iguales. Nota.- CoNo = Cociente Notable Casos que se presentan

an - bn a - b

Primer caso:

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA INGENIEROS UNI

Docente: Lic. Carlos K. Villegas Rosales

an  bn a  b

Tercer caso:

an - bn a  b

n : Para este caso debe ser un número par necesariamente, lo cual nos da un resto cero y por consiguiente el cociente es notable. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:

an - bn  an - 1  an - 2 b ,  ........., - bn - 1 ab Cuarto caso:

an  bn a-b

n : Ya sea par o impar, el resto no será cero, por consiguiente este tipo de cociente nunca será cociente notable.

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n : En este caso debe ser impar necesariamente; para que el resto sea cero y el cociente sea notable. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:

an  bn  an - 1  an - 2 b , - ........... -,  bn - 1 ab

De:

am  bn ap  b q

se debe cumplir:

m n  = r; r  z+ p q

Además: r  indica el número de términos de q(x). Fórmula del término general de un Cociente Notable En la expansión del CoNo:

an  b n = an-1  an-2 b + a n-3 b2  ….  bn-1 ab T2

T3

TK

Tn

Vemos que el término de lugar “k” adopta la forma matemática: INGENIEROS UNI

Segundo caso:

Condición necesaria y suficiente para obtener un Cociente Notable

T1

n : Puede ser par o impar; siempre será Co no ya que su resto es cero. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:

an - bn  an - 1  an - 2 b  ...........  bn - 1 a-b

a n  bn  a n - 1  a n - 2 b  ...........  b n - 1 ab

TK =  (a)n – k (b) k – 1

; 1kn

Debemos tener en cuenta que: “a” : Primer término del divisor “b” : Segundo termino del divisor “n” : Número de términos de CoNo “k” : Lugar que ocupa el término que queremos determinar Además: i) TK, es (+)  k, es impar ii) TK, es (-)  k, es par, pero solo para CoNo de la forma :   ó   iii) TK siempre es positivo para una CoNo de la forma  Nota: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor.

Ejercicios de la Clase 1. Calcular el valor de “n” en el cociente notable: a3n+2 − bn+2 a5 + b 2 a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

c) 10

- (y 4 ) 3n  6

x n  1  y 2n - 3 Determine el número de términos que tiene su desarrollo. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

3. Al efectuar el desarrollo del C.N:

x

45

-x

-30

x 3  x 2 Hallar el número de términos fraccionarios. a) 2 b) 8 d) 4 e) 6

c) 5

4. Hallar el menor término racional del cociente notable. 3

√47 − 23 √2 3

a) 9 d) 5

√4 − √2 b) -1 e) 8

c) 3

5. En el cociente notable: (x + 2)16 − (x − 2)16 2(x 2 + 4) Halle el valor numérico del quinto término para x = 1. a) -729 b) 126 c) 81 d) 243 e) 729 6. Halle el grado absoluto del primer término central del C.N. x15n+50 − y15n−10 x n+1 − y n−2 a) 11 b) 106 c) 63 d) 40 e) 72 7. Si: x195 y140 + x190 y147 + ⋯ son términos consecutivos del desarrollo de un cociente notable. Halle el número de términos. a) 61 d) 60

b) 59 e) 65

c) 58

8. En el siguiente cociente notable: x 20 − y 30 x2 − y3 Calcule el lugar que ocupa el término que contiene a x10. a) cuarto d) octavo

b) quinto e) décimo

c) sexto

9. Si el octavo término del desarrollo de: 11 x 3n y 3 ( 2 + ) y x tiene G.A=30.Hallar n2 – 11 a) -2 d) 12

b) -7 e) 25

c) 5

10. En el desarrollo del cociente notable: x 3α + y α x 3β − y β El quinto término es x36 y16. Hallar el número de términos del cociente notable. a) 6 d) 10

b) 7 e) 12

c) 8

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3n  21

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(x 2 )

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2. Dado el cociente notable:

11. Reduzca la expresión: x 78 − x 76 + x 74 − x 72 + ⋯ + x 2 − 1 E= 2 x 38 − x 36 + x 34 − x 32 + ⋯ + 2 x +1 a) x60-1 b) x30-1 c) x40-1 10 24 d) x -1 e) x -1 12. Hallar el número de términos en el cociente notable: x 7n − y 6n x7 − y6 Sabiendo que el séptimo termino tiene G.A=57. a) 8 b) 10 c) 11 d) 13 e) 15 13. En el desarrollo del cociente notable: x14 + 128 x2 + 2 Halla el coeficiente del quinto término. a) 16 b) 8 d) 32 e) -8

c) -16

14. Si en el desarrollo del cociente notable: a−2 a−2 x12 +6 − y12 +6 a a x 2 −1 + y 2 −1 90 45 El cuarto término es –x y . Hallar un término central. a) –x60y75 b) –x30y75 c) –x75y60 d) –x45y60 e) –x45y70 15. Halle el valor numérico del termino central del desarrollo del cociente notable: (x + 1)20 − (x − 1)20 , para x = √3 8x(x 2 + 1) a) 16 b) 64 c) 32 d) 28 e) 256 16. Si el tercer término del cociente notable: x 2n − y n M(x, y) = 2β x − yβ Es x16y4. Hallar el número de términos. a) 6 b) 7 d) 9 e) 10

c) 8

17. Si el desarrollo del binomio: 1 m+3 (x 2 − 3a ) x Tiene 29 términos y su término central es de la forma kx-56. Halle la suma de cifras de m + 8a a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 15 18. Halle el número de términos del cociente notable: a (x 3 )2 +1 + y 5a+8 x3 + y 87 Si el cuarto termino es x y3. a) 30 b) 32 c) 36 d) 33 e) 40 19. Si el desarrollo del cociente notable: n 2 x a +12 − y b +90 ; a ϵ Z+ xa − yb b es par, tiene 19 términos y el termino de lugar k es de la forma x40y80. Calcule el valor de: bn + ak T= n−k a) 10 b) -11 c) 13 d) -15 e) 17 20. ¿Qué lugar ocupa el término de la forma R[ab(a+b)2]n del cociente notable generado por: (a + b)22 − (ab)11 ? a2 + 3ab + b 2 a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 2