Guia 03 Vitacura.pdf

Departamento de F´ısica, UTFSM

F´ısica General I I / Prof: A. Brunel.

FIS120: F´ ISICA GENERAL II GU´ IA #3: Potencial El´ ectrico. ectric o.

Objetivos de aprendizaje Esta gu´ıa ıa es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos: Aplicar conceptos de traba jo y energ´ energ´ıa al estudio de la electrost´atica. Comprender, calcular y aplicar los conceptos de potencial el´ectrico, ectrico, tanto para distribuciones de cargas puntuales como continuas. Comprender relaci´on on entre campo el´ectrico ectrico y potencial potenc ial el´ectrico. ectrico .

I. Preguntas conceptuales Responda usando argumentos t´ecnicos ecnicos las siguientes preguntas. Ap´oyese oyese en gr´aficos aficos y ecuaciones ecuaciones seg´ un un corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas. Ver cap´ cap´ıtulo 30 del libro 1 a ) ¿Cu´al al es la diferencia diferenc ia entre potencial potenc ial el´ectrico ectrico y energ´ıa ıa potencia p otenciall el´ectrica? ectrica ? b ) Una carga negativa se mueve en la direcci´on de un campo el´ectrico ectrico uniforme. uniforme . ¿La energ´ıa ıa potencial de la carga se incrementa o disminuye? c ) Una campo el´ectrico ectrico uniforme es paralelo al eje x eje  x.. ¿En ¿ En qu´e direcc di recci´ i´on on se puede desplazar una carga el´ectrica ectrica sin s in tener que realizar ning´un un trabajo externo sobre la carga para moverla? d ) d ) Explique porqu´e, e, bajo ba jo condiciones de equilibrio est´atico, atico, todos los puntos sobre un conductor deben estar al mismo potencial. e ) ¿C´omo omo cambia la diferencia de potencial entre dos puntos cualquiera A y B, cuando se cambia el punto de referencia?  f  )   ) Describa la relaci´on on entre traba jo, energ´ e nerg´ıa ıa potencia p otenciall y potencial poten cial el´ectrico. ectrico . g ) Describa la relaci´on on entre las l´ıneas de campo el´ectrico ectrico y las superficies equipotenciales. h ) Los electrones electrones ¿tienden ¿tienden a ir a regiones regiones de elevado elevado potencial potencial o de bajo potencial? potencial? i ) i ) Dos puntos puntos A y B se encuentran encuentran al mismo potencial, potencial, ¿significa necesariam necesariament entee esto que no se efect´ ua trabajo para llevar una carga positiva de prueba de un punto a otro? ¿Significa que ua no tendr´a que ejercerse fuerza para llevar la carga de prueba de un punto a otro?  j )  j ) Si el potencial es igual a una constante en toda una regi´on del espacio, espacio, V   V ((x,y,z) x,y,z ) =  cte,  cte, ¿que   se puede decir con respecto a E  en   en esa regi´on? on?

1 Haliday, Resnick and Krane, volumen 2 cuarta edici´on. Y/O los cap´ıtulos ıtulos cor respondientes de cualquiera de los otros libros de consulta. consulta.

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II. Problemas propuestos. (1) En la   Figura 1 se muestra una varilla cargada positivamente (de forma uniforme). Desde el punto A   se libera (desde reposo) una part´ıcula de masa M  = 1, 5 10−7 [kg] y carga q  = 2 10−6 [ ]. Se observa que su rapidez al pasar por el punto B  es 40[m/s]. No hay actuaci´on de agentes externos. La diferencia V (B)  V (A) del potencial el´ectrico, es:

·

·

a) Una carga de prueba  q 0 , con masa m, es puesta en reposo en el punto  P  indicado en la Figura 3a. Las tres cargas fuentes quedan clavadas (fijas). Luego de un largo tiempo ¿Cu´al es aproximadamente la magnitud de la velocidad de la carga de prueba? Dato: qm = 2 10−9 [C/kg] b) Un agente externo cambia la configuraci´o n de la   Figura 3a, moviendo lentamente las cargas q 2 y q 3 , a las posiciones T 4 y T 5 , como muestra la Figura 3b. ¿Cu´ al es el trabajo que debe realizar el agente externo?

C

−

Figura 1 Varilla

A

−√  ·

0

B

(2) La F igura 2 representa las l´ıneas de campo y superficies equipotenciales (l´ıneas punteadas) de un sistema de cargas que genera un campo el´ectrico uniforme de magnitud E 0 . Si la distancia entre los puntos A y B es 20[cm] ¿Cu´ al es la magnitud de campo E 0 ? Para ser consistentes con el potencial de las superficies, ¿qu´e direcci´ on deben tener las l´ıneas de campo, izquierda o derecha?

(4) Dos cargas el´ectricas positivas puntuales de igual magnitud, est´an ubicadas sobre el eje y   como muestra la figura. Determine en que ubicaciones sobre el eje x el potencial el´ectrico creado por est´as cargas, en esos puntos, es la mitad del potencial el´ectrico en el origen. Figura 4

Figura 2

y Q

a 

P  

B

A

x   a 

Q

200 V

450 V

700 V

(5) Tres placas de material aislante (A, B y C) muy delgadas (despreciar su espesor) est´ an dispuestas como muestra la  Figura. Sus densidades de carga son las mostradas en la figura.

(3) Tres cargas fijas ”fuentes”q 1 , q 2  y q 3 , cuyos valores est´an mostrados en la figura, est´an ubicadas en los puntos T 1, T 2 y T 3 , como muestra la Figura 3a. Datos: Q = 4[C ] y a = 2[m] Use: k 1/(4πǫ0 ) = 9 109 [N m2/C 2 ].

 ≡

·

Figura 5 -σ

y

q = -Q

Figura 3a

y

P

T  

T  

a  a 

q = -Q

T  

x  T  

2

1

3

q = +Q a 

q = +Q

-σ

σ

q = -Q T  

a 

T  

Figura 3b

x 

q = -Q

2

A

B

σ

σ

d1

C σ

d2

x

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a) S´ı, un electr´on se deja en reposo en el punto 1 (justo fuera de la placa A), ¿Cu´ al debe ser la relaci´on entre las distancias d1  y d 2 , para que llegue con velocidad nula al punto 3? Hint: Asuma que el electr´  on puede  atravesar todas las superficies sin resistencia alguna. b) S´ı, las placas A y C, son cambiadas por placas conductoras de carga neta cero. ¿Cu´ al ser´a el la magnitud del campo el´ectrico en el punto 2? (6) Una bola (esfera llena) conductora, de radio a = 2[m], est´ a cargada con carga Qa = 4[C ]. Esta carga est´a rodeada por una l´ amina esf´erica (cascar´on muy delgado) conductora, de radio b = 4[m] y de carga Qb   = +6[C ]. El origen del sistema de coordenadas se pone en el centro de la bola.

 −

Use: k

 ≡ 1/(4πǫ0) = 9 · 109[N m2/C 2].

 (r) = E (r) rˆ. a) Por simetr´ıa esf´erica, E  Determine E (r) para todo r   en el espacio. b) Determine el potencial el´ectrico V (r) en todo el espacio, 0 r b. [usando la convenci´on V (r = ) = 0]

·

 ≤  ≤ ∞

c) Se conecta la bola a la Tierra2 . La nueva carga Q ′a  de la bola es (en unidades de )

 C

(7) Una bola esf´erica de material aislante de radio R   tiene una carga neta Q. La bola est´ a rodeada por un cascar´on esf´erico conductor (conc´ entrico con la bola) de radio interno 2R y externo 3R y carga neta  Q. Figura 6

R

Q

P

(8) Las l´ıneas de campo el´ectrico de una carga puntual (l´ıneas radiales) y dos superficies equipotenciales (representadas por las l´ıneas punteadas) de niveles 10[V] y 20[V] son mostradas en la Figura. Entonces de las siguientes aseveraciones ¿cu´ales son correctas? 20[V] 10[V]

C A

B

D

I: La carga puntual es negativa. II: Las l´ıneas de campo el´ectrico apuntan hacia afuera. III: Si una carga de prueba se mueve de  A hasta D, el trabajo de la fuerza el´ ectrica sobre la carga es el mismo que al moverse de B a C . (9) Una bola esf´erica de material aislante tiene radio R y carga el´ectrica distribuida uniformemente, con densidad ρ(r) = ρ0 . El origen del sistema de coordenadas est´a en el centro de la bola. Nota: Para esta pregunta es necesario que  tenga el resultado de la pregunta (2) de la  gu´ıa 2, si no lo tiene deber´  a determinarlo. a) Determine el potencial el´ectrico a una distancia r  = R/3 del centro de la bola. Use referencia V ( ) = 0. b) Determine la diferencia de potencial el´ectrico entre los puntos A y B (V B V A ), donde r A  = 0 y r B = R/2.

∞

−

S

a

2R

a) Determine la diferencia de potencial entre los puntos P  (rP  = R) y Q (rQ  = 2, 5R). b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos Q (rQ = 2, 5R) y S  (rS  = 5R) indicados en la figura2, es:

3R

2 Nota: Un conductor conectado a tierra, implica dos cosas: 1) que siempre est´a a un potencial constante, igual al de la tierra, que podemos considerar como cero y 2) la tierra es una fuente infinita de carga.

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(10) Los centros de dos esferas met´alicas cada una de radio 10[cm] est´an separados por 50[cm]. Las esferas son inicialmente neutras pero una carga  Q  se transfiere de una esfera a la otra, creando una diferencia de potencial entre ambas de 100[V ]. Una part´ıcula de carga q 0  > 0 y masa m, donde q 0 /m = 2 10−4 [C/kg], se libera desde el reposo en la superficie de la esfera cargada positivamente y se mueve hacia la esfera cargada negativamente. ¿A qu´e velocidad choca contra esta ´ultima esfera?

·

Respuestas a ejercicios propuestos:

(1) ∆V  = 60[V ] (2) E 0  = 2500[V/m] direcci´ on izquierda. (3) a) v final = 6[m/s];

−

√  · − ±√ 

b) W A.E  = 7, 2 2 1010 [J ]. (4) x = 3a (5) a) d 1  =  d2 ; b) E 2  = 2εσ (6)

  

0

0

, Si  0

≤r≤a ≤ ≤

kQa , Si a r b a) E (r) = r2 k(Qa +Qb ) , Si b < r r2 kQa kQb , Si  0 r a a + b kQa kQa b) V (r) = , Si a r b r + b k(Qa +Qb ) , Si b < r r b ′ c) Q a  = Qb a = 3[C ] 4kQ a) ∆V P →Q  = kQ 2R ; b) ∆V Q→S  = 15R

(7) (8) I  y I II 

−

(9) a) V (R/3) = (10) v = 0, 2[m/s]

≤ ≤ ≤ ≤

−

−

13ρ0 R2 27ε0 ; b)

−

∆V  =

2

− ρ24εR 0

0

III. Problemas resueltos. (1) Determine la veracidad3 de cada una de las siguientes aseveraciones. Justifique todas sus respuesta. a) Se disponen ocho cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos (s´olo sabemos que la magnitud es distinta de cero), est´an fijas en los v´ertices de un cubo imaginario de lado L. Entonces: “Si todas las cargas son de igual magnitud y signo, entonces el potencial el´ectrico en el centro del cubo ser´a cero”. Respuesta: INCIERTO.  El potencial el´ectrico en un punto se determina a partir del trabajo por unidad de carga de la fuerza el´ectrica desde una cierta referencia hasta el punto:  ∆V  = E  d  l. Luego, el valor del potencial depende de donde est´a la referencia, por lo tanto: la aseveraci´on es verdadera si la referencia cero est´a en el centro del cubo, pero ser´a Falsa si est´a en otra ubicaci´on (por ejemplo en el infinito).

 

−  −→ ·

b) Suponga una zona del espacio donde s´olo existe una carga puntual positiva. Luego, la carga se rodea primero por una superficie gaussiana esf´erica de radio R, la cual se sustituye posteriormente por otra superficie gaussiana c´ubica de arista  R. En ambos casos la carga est´a ubicada en el centro de las superficies. Entonces: “Si un electr´on se mueve sobre la superficie gaussiana c´ubica desde un v´ertice del cubo hasta el v´ertice opuesto, entonces el traba jo realizado por la fuerza el´ectrica sobre el electr´on es cero”. Respuesta: VERDADERO.  Ac´ a hay (a lo menos) dos formas de justificar: i) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es independiente √  de la trayectoria. Por consiguiente, si movemos la carga por una esfera imaginaria de radio 23R , la trayectoria del electr´ on es siempre perpendicular al campo el´ectrico que es radial, por lo tanto el trabajo el´ectrico ser´a nulo. 3

Para cada una diga si es: Verdadera, Falsa o Incierta (Verdadera en algunos casos, falsa en otros).

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ii) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es: W  = ∆U  y a su vez la energ´ıa potencial es U  = q e V   donde V  es el potencial el´ectrico. Ahora, el potencial el´ectrico de una carga puntual depende de la distancia a la cual estamos de la carga, en ambos v´ertices la distancia es la misma por lo tanto el potencial es el mismo, diferencia de potencial cero y consecuentemente trabajo cero.

 −

(2) En el plano x

− y hay dos cargas “fuentes”fijas:  q 1  = 6[C ] y q 2  = 10[C ] (ver figura 8). Figura 8

y

q  P2

b= 4 [m]

b/2 q 

P1

x

a = 3[m]

a) Calcule el potencial el´ectrico V (P 1 ) en el punto P 1 = (3, 0, 0) y V (P 2 ) en el punto P 2  = (0, 2, 0). Use como referencia potencial cero en el infinito. Respuesta: El potencial en cada punto (P 1 y P 2 ) es la suma del potencial debido a las cargas q 1  y  q 2 . Ya sabemos que el potencial (con referencia  V ( ) = 0) a una distancia r  de un carga puntual, es: kq  V (r) = r Luego: V (P 1 ) = kqa + √ akq+b 9 109 63  + 10 3, 6 1010 [V ] 5

∞

1

   

2

 ≈ · · ≈ · kq kq 6 10 9 V (P 2 ) = b/2 + b/2  ≈ 9 · 10 · 2  + 2 ≈ 7, 2 · 1010 [V ] 2

1

2

2

b) Una part´ıcula “test”on masa m = 2[kg] y carga q  = 0, 5[nC ], es trasladada por un agente externo desde P 1  hasta P 2  a lo largo de una cierta trayectoria, su rapidez en  P 1  es v1  = 3[m/s], y en P 2  es de v 2  = 4[m/s]. Calcule el trabajo (W e ) realizado por la fuerza el´ectrica sobre la part´ıcula, y el traba jo (W ex ) del agente externo durante el traslado de la part´ıcula. Dependen W e y W ex  de la trayectoria que sigue la part´ıcula. Respuesta: Usando el teorema de trabajo y energ´ıa, tenemos:

W neto W ex  + W e Donde W e W e Entonces W ex W ex

= ∆K  = ∆K  = =

−∆U  = −q ∆V  = −q (V (P 2) − V (P 1 )) −0, 5 · 10−9(7, 2 · 1010 − 3, 6 · 1010) = −18[J ]

= ∆K  W e 2 42  2 32 = 2 2

− · − · − (−18) = 25[J ]

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(3) Una bola esf´erica de material aislante de radio  R  tiene una carga neta Q. La bola est´a rodeada por un cascar´on esf´erico conductor (conc´ entrico con la bola) de radio interno 2R y externo 4R y carga neta 2Q. Donde: Q > 0

 −

Figura 9

S

Q

P

R a

2R

4R

a) Determine el campo el´ectrico para todo  r > R. Respuesta: Para determinar el campo el´ ectrico podemos usar la ley de Gauss (en la gu´ıa 2 ya vimos como se aplica) y el conocimiento adquirido sobre el funcionamiento de los materiales conductores. Luego, el campo el´ectrico ser´ıa:  (r) = E 

 −  ·   · 0

kQ r2

kQ r2

r

si, R < r 2R si, 2R < r 4R si, 4R < r

≤ ≤

r

 

b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos A (rP  = 1, 5R) y C  (rC  = 12R) indicados en la Figura 9. Donde: r i : distancia al centro de la esfera. Respuesta: Sabemos que la diferencia de potencial entre dos puntos P  y R  cualquiera, la podemos determinar a trav´es del campo el´ectrico, seg´un:

  − −→ · −→ R

∆V P →R  =

E  dl

P 

 −→

En este caso si integramos desde  A  hacia C  el vector de trayectoria es: dl = dr r , luego:

 ·   −→ · −→ − −   −  ·     ·       ·    − −      −  −       −  − −  −     − − − − 12R

∆V A→C  =

E  dl

1,5R

2R

∆V A→C  =

1,5R

2R

∆V A→C  = ∆V A→C  = ∆V A→C  = ∆V A→C  =

1,5R

kQ r

kQ kQ

4R

kQ r r2

(drr ) +

2R

kQ dr + 0 + r2

2R 1,5R  + 0

12R

(0) (drr ) +

 k Q r

12R

4R

kQ dr r2

12R 4R

1 1 1 2R 1, 5R 12R 1 2 6R 12R

∆V A→C  = 0

6

4R

1 4R

kQ r r2

(drr )

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c) Si un electr´on es dejado en reposo en el punto A (r = 1, 5R), describa el movimiento posterior del electr´on. Asuma que el electr´on puede atravesar todas las superficies sin resistencia alguna, desprecie cualquier tipo de interacci´on que no sea el de las fuerzas el´ectricas. Respuesta:   El electr´ on al tener carga negativa se mueve en direcci´on contraria del campo el´ectrico, luego comienza a moverse hacia afuera aumentando su velocidad hasta r = 2R, atraviesa el cascar´ on a velocidad constante ( E  = 0), para r > 4R  el cambio de signo del campo el´ectrico hace que el electr´on comience a disminuir su velocidad hasta que se detiene, en un punto (r > 4R) donde pierda toda su energ´ıa cin´etica, pero la fuerza provocada por el campo hace que se devuelva llegando nuevamente al punto A   con velocidad nula y as´ı repitiendo infinitas veces el mismo ciclo.

−→

7