Guia 03 - Productos Notables.docx

1 ( a+b+ c ) [ ( a−b )2+ ( b−c )2+ ( c−a )2 ] 2 (a+b) (b+c) (c+a) + abc ≡ (a + b + c) (ab + bc + ca) =



Productos Notables

Principales Productos Notables 1. Cuadrado de un Binomio o Trinomio cuadrado perfecto  

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 Nota: (a - b)2n = (b - a)2n

2. Diferencia de cuadrados 

(a + b) (a - b) = a2 – b2

3. Cuadrado de un trinomio o Trinomio al cuadrado 

Docente: Lic. Carlos K. Villegas Rosales ACADEMIA PREUNIVERSITARIA INGENIEROS UNI

Definición: Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, considerando implícita la propiedad distributiva de la multiplicación por la forma que se presentan.

10. Identidad de Legendre

Si: a + b + c = 0 se verifican:  a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)  a3 + b3 + c3 = 3abc  (ab + bc + ca) = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2  a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac  a = b = c

2

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

 

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

5. Suma y diferencia de cubos  

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

7. Multiplicación de binomios con un término en común  (x + a) (x – b) = x2 + (a+b)x + ab  (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a+b+c)x2 + (ab+bc+ac)x +abc 8. Identidad Trinómica (Identidad de Argan’d)  

(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) ≡ (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2)

x4 + x 2 + 1 ≡ x4 + x2y2 + y4

9. Identidades Adicionales (Identidad de Gauss)  a3 + b3 + c3 - 3abc

≡

(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-ac-bc)

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(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c) (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)–3ab (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc (a+b+c)3 = 3(a+b+c)(a2+b2+c2)–2(a3+b3+c3)+6ac

1 x+ =3 x

, halle el valor de

E=x 5 + a) 123 d) 84

1 =2 m2 12 m +1 S= 6 3m

2. Si

6. Cubo de un trinomio o Trinomio al cubo    

N

a2n + b2n = 0  a = b = 0

1. Si

3

 

ϵ

R y m; n

Ejercicios de la Clase

INGENIEROS UNI

2

ϵ

Nota: Sean a; b; c

4. Cubo de un binomio o Binomio al cubo 3

2(a2 + b2) 4ab 8ab (a2 + b2)

11. Identidad Condicional

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

3

≡ ≡ ≡

(a + b)2 + (a - b)2 (a + b)2 - (a - b)2 (a + b)4 - (a - b)4

  

m 2+

b) 100 e) 246

3. Si a + b + c = 3, con a el valor de:

b) 2/3 e) 3/2

≠

0, b

c) 1

≠

1, c

≠

2, halle

a 3+ ( b−1 )3 + ( c −2 )3 +6 a ( b−1 )( c−2 )

a) 6 d) 9 4. Si

c) 95

, halle el valor de:

a) 2 d) 1/3

U=

1 5 x

b) 7 e) 10

a=√ 5+ √ 2 y b=√5−√ 2 4 4 N=( a+b ) + ( a−b )

a) 310 d) 224

b) 100 e) 384

c) 8

, halle el valor de:

c) 244

x3 + y3 + z3 = 4a3

;

a>0

5. Si a + b + c = 5 y a3 + b3 + c3 = 50, determine el valor de:

I =√ 5 ( ab+ac +bc )−abc

√2

a) d) 5

≠

Calcule:

b) 4 e) 2

a) 4a3 d) a4

c) 1/3

5, b

2

M=

c) 5

2

a +b +7 3 3 a +b

a) -5 d) 3

b) -3 e) 5

c) 1

8. Si x2 + y2 + z2 = 111, hallar la suma de cifras de: M = (x+y-z)2 + (-x+y+z)2 + (x-y+z)2 + (x+y+z)2 a) 10 d) 14

b) 11 e) 15

9. Si 4a + 9b + 25c = 0; abc

≠

c) 12 0, halle el valor de:

Calcular:

c) 28

10. Reducir: 3

3

√ 2+ √3 + √2−√ 3 −3 √2 √2

(

)(

a) 2 d) 8

)

b) 4 e) 10

c) 6

11. Al simplificar la expresión: P = (x2+1) (x2+2) (x2+3) (x2+4) + 1 Hallar el valor de

√P

a) (x2+5x+5)4 c) (x4+5x+5)2 e) x4+5x2

b) (x2+5x+5)2 d) x4+5x2+5

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b) 24 e) 36

a) 1/3 d) 1/6

3

x + y + x+ y −2 z ( 2 − x −xy + y 2 ) 3z b) 3 e) -1

13. Sabiendo que: x + y + z = 2a x2 + y2 + z2 = 2a2

c) -3

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Simplifique: 3

a2 b2 c2 + + +2 c−b a+c a−b

a) 0 d) 2

b) 1 e) -2

c) -1

15. Si a2 +b2 + c2 = 5(ab + bc + ac), calcular el valor de:

M=

49 ( a 4 +b 4 +c 4 ) −23 ( a+b+ c ) 49 abc ( a+b +c )

a) a/b d) 1/4

b) 4 e) 2

( x+ y )3=8 ( a 2−b2 ) ϵ R+

16. Si

4

c) b/a

,

3

√ xy=√ a2−b2

x 4 +2 x 2 y 2 + y 4 T= 4 2 2 x +x y − y4

(

a) 2 d) 10

)

b) 6 e) 8

c) 4

17. Si

m = (a + b + 4c) (a + b – 2c) n = (a + 4b + c) (a – 2b + c) p = (4a + b + c) (-2a + b + c) tal que m + n + p = 0 , calcular:

( a+b +c )2 T= ab+bc +ac a) 1/3 d) 2

b) 3 e) 1

c) 1/2

18. Si: 2

1

2

a 9 a 9 b 9 + + =0 b c c

() () () Halle el valor de:

12. Si (x + y + 3z)2 + (x + y - 3z)2 = 12z (x + y)

U=

I=

x,y Halle el valor de

( 2 a+3 b )2 ( 3 b+5 c )2 ( 5 c +2 a )2 L= + + ab bc ac a) 18 d) 32

c) 3a4

1 1 1 + +c + =b ( a+ b ) ( b+c ) ( c +b )( c−a ) ( a+b )( a−c )

a+

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a) 1 b) 5 d) 7 e) 10 7. Si a + b = ab = 1, simplificar la expresión:

b) 9a2 e) 3a2

14. Si {a, b, c}  R+ son diferentes entre sí, tales que:

≠ 0 y a + b + c = 8, hallar el valor de: 3 ( a−5 ) +b 3+ ( c−3 )3 E=2c− −a−b ( a−5 ) b

6. Si a

N= √ x 2 y 2 + x 2 z 2 + z 2 y 2

ac 9 b2 L= 2 − ac b

( ) ( )

a) 0 d) -81

9

b) -1/3 e) 9

c) 3

19. Simplifique:

E=

( ( y −z )2+ 4 yz ) ( √ 2 x )2 −x2 [ ( y−z )2 + ( y + z )2 ] 4 xyz

,

a) x d) xy

b) 2xy e) z

c) y

20. Si: −1

−1

−1 −1

−1 −1

a b +a c + b c =ab+ ac+bc=1 abc ≠ 0

,

Halle: 2

2

a b c N= √ + √ + √

2

( bc ) ( ac ) ( ab )

a) 1 d) abc

b) a + b + c e) 1/(abc)

21. Sean {a, b, c, x, y, z}  R  abc

c) 3

≠

0 que verifican

(a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc + x2 - y2 - z2) Indique el valor de:

(

3

3

3

a +b + c abc

a) 3abc d) a + b + c

)( x +x+y +yz++2014 z +3 ) b) 2014 e) 0

c) 1