Grupo 587_Unidad 3_ Paso 5 Trabajo Colaborativo Final
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CALCULO DIFERENCIAL
CURSO: 100410_471
Unidad 3: Paso 5 - Desarrollar trabajo colaborativa
Presentado a: Ing. Luz Mery Rodríguez
Entregado por: Sandra Patricia Mieles Hernández Código: XXXX ( Estudiante No. 1) Brayan Camilo Orozco Álvarez Código: 1003259413 (Estudiante No. 2) Angie Carolina Mieles Hernández Código: 1065897716 (Estudiante No. 3) Iván Andrés Galindo Valero Código: 74347884 (Estudiante (Estudiante No. 4) Yenis Paola Mejía Pedraza Código: 1066094582 (Estudiante No. 5)
Grupo: 100410_587
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Mayo 04 de 2018
INTRODUCCIÓN
En esta nueva guía de actividades de la unidad 3 del Paso 5, abordaremos los temas de: Álgebra de: Álgebra de las derivadas, Derivadas elementales, Derivadas implícitas, implícitas, Derivadas de función producto y función cociente como también las Derivadas de orden superior; teniendo en cuenta que la derivada de una función
=
, es el incremento relativo
de dicha función, cuando el incremento de la variables hace muy pequeño, casi cero. Para la realización de estos, se propondrán alternativas relacionadas con las anteriores temáticas mencionadas aplicadas a diferentes problemas expuestos por nuestro tutor, realizando la debida consulta bibliográfica para emplear nuestros conocimientos y analizar las opciones y posibles soluciones. (Iván Andrés Galindo) Galindo)
En el presente trabajo se realiza un análisis, con el fin de buscar posibles soluciones a los ejercicios de derivadas aplicadas a problemas, haciendo uso de la línea en Geogebra, para graficar dos funciones, con el fin de encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos. De igual forma, se realiza un ensayo debidamente citado y referenciado donde se argumenta claramente cómo aplicar en el desarrollo profesional las derivadas y sus aplicaciones. (Yenis Paola Mejía)
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
A continuación se presentan los ejercicios asignados para el desarrollo de la fase 1 y 2 en este grupo de trabajo.
Estudiante No. 1 Sandra Patricia Mieles Hernández FASE 1
1. Calcular la siguiente derivada
= Solucion
sin4 4
Aplicar la regla del producto :
∙ ʹ = ʹ ∙ ∙ ʹʹ
= , = sin4 = 4 sin4
= 2 A plic ar la la r eg la de la la potenci a:
= −
= 2 − Simplificar
= 2 = ∙ 4 A plic ar la la r eg la de la la cadena:
= sin , = 44 = sin 4 sin = cos cos sin
= ∙
sin = cos cos
A plic ar la la r eg la de la la deri vaci ón :
= cos cos
= 4 4 Sacar la constante:
= 4
∙ ′ = a ∙ f ′
A plic ar la la r eg la de la la deri vaci ón:
=4∙1 Simplificar
=4 = cos cos ∙ 4 Sustituir en la ecuación:
= cos4 cos4∙∙ 4
= 4
= ∙
= 1
2. Derivadas implícitas calcular:
2co 2 coss2 2 = 1 Tratar y como (x) Derivar ambos lados de la ecuación con respeto a x
2co 2 coss2 2 = 1 2co 2 coss2 cos 42 1 = 0 cos 42 = 0 cos cos 4 4 2 = 0
Por conveniencia, escribir
Despejar y: y=
cos cos = 42 Escribir
= 42 cos cos
3. Calcular la siguiente derivadas de orden superior:
= ; ʹʹ 4 = 4 = = :
ʹ 3 = ∙ 3 = ∙ =
Estudiante No. 1 Sandra Patricia Mieles Hernández FASE 2
=
= √
+4
Estudiante No. 1 Sandra Patricia Mieles Hernández FASE 3 Corresponde a un ensayo no menor a una hoja de extensión debidamente citado y referenciado donde se argumente claramente cómo aplicará en el desarrollo profesional las derivadas y sus aplicaciones.
La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de
la
recta
tangente
al
gráfico
de
la
función
en
dicho
punto.
https://www.importancia.org/derivadas.php
Dado lo anterior podemos considerar que las derivadas forman parte de nuestro diario vivir, ya que en muchas ocasiones estamos utilizando esta herramienta, pero no nos damos cuenta, es fundamental ya que nos permite tomar una decisión relacionado con la economía de la nuestra empresa o donde nos encontremos lab orando, en razón a que, si deseamos calcular la utilidad marginal, lo realizamos mediante una función, por ejemplo mediante los ingresos obtenidos por la venta de un productos o por la prestación de un servicio menos el costo de lo producido, podemos determinar la utilidad total que obtuvo la empresa; así mismo las derivadas nos permite optimizar resultados máximos y mínimos los cuales nos ayudaran a despejar o resolver dudas que surgen en nuestro ámbito.
Estudiante No. 2 Brayan Camilo Orozco Álvarez FASE 1
Calcular la siguiente derivada.
= √ √ Soluciòn. Derivar ambos lados con respecto a x
= 4√ √ 4√ √ Aplicar regla de suma / diferencia
= (4√) √ (4√) = (4√ ) Sacar la constante
= 4 (√)
Aplicar regla cadena
= 4 (√ )) (√ )) = √ = 5 = 4 ∙ √ ∙ 5 = = 4 ∙ √ ∙ 5 = 4 ∙ √ ∙ 5 : = = √ √
Sustituir
Simplificar
Sacar la constante
= 3 √ Aplicar leyes de los exponentes
= 3 −
= −
Aplicar regla de potencia
= 33 −− Simplificar
− − = 33 ∶ = = =
= ∙ −
Derivadas implicitas calcular
= Solucion. Derivar ambos lados con respecto a x
2 3 = 12 2 3 = 3 22 3 2 2 2 2 3 Aplicar regla de suma / diferencia
= 2 3 = 3 2 = 22 2 2 3 = 3 3 2 = 3 22 2 2 3 2 12 = 0
12 12 3 22 2 2 3 2 = 0 como ′ 3 222 ′ 33 2′ 2′ = 0
Escribir
3 3 22 3 2 3 = 0 3
Restar
de ambos lados
Simplificar
22 3 2 = 3 2 22 : 4 4 2′ 4 2 33 2 = 3 3 2 : 3 6′ 4 2 3 6 = 3 4 3 4 2 3 6 4 4 3 3 = 3 4 3 Expandir
Expandir
Restar
de ambos lados
Simplificar
2 6 = 3 4 3 2 6: 2′3 2 3 = 3 4 3 23 − = − − − − − − Factorizar
Dividir ambos lados entre
Simplicar
+− = −−+ = −+− −+
Escribir
como
Calcular las siguientes derivadas de orden superior.
= ; ′′ ′ Solucion.
= 40 8 = 120 = 240 = 240
Estudiante No. 2 Brayan Camilo Orozco Álvarez FASE 2 En geogebra, graficar la siguiente funcion encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos.
= 2tan 2tan
= ln 4
Estudiante No. 2 Brayan Camilo Orozco Álvarez FASE 3 Ensayo.
Recordemos inicialmente que cuando nos hablan de derivadas, entendemos que es un componente “por decirlo así” de una función, en donde es entendida como la
pendiente geométrica de la recta tangente del grafico en un punto determinado. En muchas ocasiones cuando escuchamos este concepto, no comprendemos cuál es su utilidad ni mucho menos su importancia, debido a su alto grado de complejidad. Sin embargo, cuando se aplica en funciones, es cuando se
comprende
la utilidad y su importancia; pudiéndola utilizar en el análisis y cálculo de funciones que se nos presentan en la vida diaria, como, por ejemplo: la subida de un carro en una rampa, la construcción de un edificio, la etapa financiera de un área en el mercado, la velocidad de una motocicleta en una rampa y muchas más situaciones. Gracias a estas situaciones y a la resolución de estas con sus respectivas derivadas, es cuando hacemos consiente la importancia de la razón de cambio, ya que, con el resultado obtenido, de su análisis, es donde se fortalecerán gran manera la toma de decisiones, tanto en el área personal cotidiano, como en nuestra vida profesional.
Estudiante No. 3 Angie Carolina Carolina Mieles Hernández FASE 1 1. Aplicando los conceptos de la derivación calcular las siguientes derivadas
= · + Solución Recta tangente a
= 4+: = () + , 4 +
Calcular la recta tangente al punto general x= Encontrar el punto de tangencia: Calcular las pendientes de:
= 4+: = 43+ + = 4+ = : = 12 +2 4 3+ + 43+2 6 1 +6
Sustituir x =
+6
+
Simplificar
12 2
Encontrar la recta con pendiente m
= 12 2
que pasa
: , 4 + = 12+2 24 8+
Por
:
= 12 2 24 24 8+
2. derivadas implícitas:
Calcular
=
Solucion
Derivadas implicitas
=
= : − −
Tratar y como y(x) Derivar ambos lados de la ecuacion con respecto a x
(- y) = (- y)=3 3 (- y)
́
Aplicar la regla de la suma/diferencia: (f ±g)´= ±
)- = 3 3 =
)
′′ = · · ́
Aplicar la regla del producto: (f ·g
, = = 3
f= = =
Aplicar la regla de la potencia:
= 3 −
)= ·· −
Simplificar
= 3 = 3 Aplicar la regla de la cadena:
=
= ·
,u=y
=
Aplicar la regla de la potencia:
= 3 − Simplificar
= 3 = 3
( = · −
Sustituir en la ecuación · u =
= 3 = 3 3 = 3 3 = 1 3 3 = 1 ý 3 3ý ý = 1 =1
Aplicar la regla de derivación:
Por conveniencia, escribir
− 3ý ýý 33ý ý = 1 Restar 3 3 3ý ý 3 = 1 3
Despejar ý : ý=
Simplificar
3ý ý = 1 3 33ý ý:ý3 ý: ý3 1 3ý ý
Factorizar
Factorizar el termino común ý
= ý 3 1 ý 3 11 = 1 3 3 1 − = − − − Dividir ambos lados entre
Ý
Simplificar
= − −
ý
= 133 1
Escribir y como
3. calcular las siguientes derivadas de orden superior f ( x )
cos x
;
´ = ´ = ´ ´ = ´ ´ =
Estudiante No. 3 Angie Carolina Carolina Mieles Hernández FASE 2 Corresponde a dos (2) ejercicios que deberán desarrollar haciendo uso de la aplicación en línea Geogebra (www.geogebra.com www.geogebra.com)).
= +
= 2co 2 coss
Estudiante No. 3 Angie Carolina Carolina Mieles Hernández FASE 3
Corresponde a un ensayo no menor a una hoja de extensión debidamente citado y referenciado donde se argumente claramente cómo aplicará en el desarrollo profesional las derivadas y sus aplicaciones.
ENSAYO
La derivada surge inicialmente por una necesidad de la Geometría: Determinar la tangente de una curva en un punto. El Matemático francés Pierre de Fermat en el siglo XVII, intento la determinación de los máximos y mínimos de algunas funciones. El principio de Fermat era que cada punto de la curva y = f(x), presentaría una dirección representada por la tangente en dicho punto. El prominente matemático observo que cuando el punto tenía tangente horizontal, se presentaba una máximo o mínimo. Así la situación se centraba en hallar tangentes horizontales. Luego Fermat fue el primero en dar las ideas primitivas sobre derivada. http://repository.unad.edu.co/handle/10596/11570
Como lo aplicaría en desarrollo profesional de mi carrera que es la ingeniería industrial La ingeniería y la matemática están estrechamente vinculadas debido a que los conocimientos matemáticos son algunas de las herramientas fundamentales con que los
ingenieros analizan, evalúan y resuelven muchos de sus problemas o proyectos. Para nosotros que somos estudiantes de ingeniería industrial la derivada constituye uno de los conceptos fundamentales aprender y a aplicar, por sus aplicaciones para la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos representativos de situaciones reales, como es el caso de análisis de rapidez de variación, var iación, tasa de cambio, sensibilidad, optimización, análisis de curvas, etc. Es determinar el grado de conocimiento sobre el manejo de las derivadas y sus aplicaciones. https://es.slideshare.net/Maria_Alejos/aplicacin-de-la-derivada-43765122
Estudiante No. 4 Iván Andrés Andrés Galindo Valero
FASE 1 Anexo 1 Aplicando los conceptos
Derivadas
Calcular
Estudiante de la derivación calcular
Implícitas:
siguientes derivadas
las siguientes derivadas
Estudiante 4
= √ √ 3 √ 3
de orden superior
ℎ = √ 3 = 4 = √ ʹ
Calcular la siguiente derivada
Solución:
Calcular
las
;
√ 3 3 √ log 3 √
Simplifico
3 √ = 1 1 3 √
Simplifico
3 √ = 0 Simplifico
0 √
Simplifico
√ Regla de diferenciación
√ =
1 = 2 2 Simplifico
0,0,√ 5 ℎ = 2√ 1 2 2 √ ʹ = Comprobación con Software Geogebra
Derivadas Implícitas:
= , = 4 Calcular
como
Derivo ambos lados de la ecuación con respecto a
= 4 = 3 2
Aplico la regla de la suma/diferencia:
= 3− = 3 = = 1 = 1 ∙
Simplifico
= = = 2 = 2 = 2 = 3 2 = 0 ʹ = 3 ʹ 2 ʹ = 0 ʹ 2 = 3 ʹ 2 2 ʹ = 3 2 3 ʹ = 2 = 2 2 − ʹ = −+
Aplico regla de la cadena
Sustituyo
Escribo
como
y
4 = 0
Comprobación con Software Geogebra
Calcular las siguientes derivadas de orden superior
= √ ʹ ;
Solución:
(√ ) − − = = − 13 1 = 11 31 11 13 : 3 =3
Saco el mínimo común múltiplo
Reescribo fracción con base a mínimo común denomindor
= 13∙ 3 31
Combino fracción por tener denominador igual
= 1 ∙ 333 1 1∙ 1 ∙ 3 1 = 3 1 = 2
= 32 = − 13 − = 1 − = 13 ∙ 1 = ∙ = Segunda Derivada
= ʹʹ [ 1] 3 = 13 ∙ [ 1] = 13 23 −− = 13 ∙ 32 − ∙ ∙ = ∙∙ = ∙ ʹ = √ ʹ = ∙
Comprobación con Software Geogebra
Estudiante No. 4 Iván Andrés Andrés Galindo Valero FASE 2 En geogebra, gráficar la siguiente función encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos
Estudiante
Ejercicio No. 1
Ejercicio No. 2
Estudiante 4
= 4
= 1 4
Ejercicio No. 1
= Solución: Cálculo la pendiente
= 4
Al hallar la pendiente de la función, obtengo la derivada de
4 = 4
4
= 2 4 = 0 = 2 0 = 2 Encuentro la pendiente Sustituyo
2∙1
=1
Simplifico
que pasa por
en la ecuación
=2
2
1,5
La pendiente quedaría
=2 Calculo la ecuacion de la recta
2 =
Calculo la intersección de Sustituyo la pendiente
= 2 1,5: = 1, = 5 5 = 2 ∙ 1 5 = 2 ∙ 1 2∙1=5 2∙1=2 Sustituyo
Despejo
Intercambio lados
Multiplico los números
=
con pendiente
= 2
que pasa por
1,5
2=5 2
2 2 = 5 2 2 =5 → 25= → = 3 = = 2 3 Resto
de ambos lados
Simplifico
Paso a construir la ecuación de la recta
donde
Geogebra: Pendiente de la Recta Tangente de la función
1,5
=2y=3
=
que pasa por
Ejercicio No. 2
= Solución:
=
1,5 = 4
, que pasa por
Calculo la pendiente de
Para hallar la pendiente de funcion, obtengo la derivada de
1 4
4 Aplico leyes de los expnentes: = −
Aplico la regla de la suma/diferencia
= ∙ − = 1 ∙ −− Simplifico = 1 ∙ − Aplico de los exponentes − = = 1 = Multiplico 1 ∙ = Aplico la regla de la potencia
4
La derivada de una constante
= 0
4
4 = 0 = 0
simplifico
Encuentro la pendiente Sustituyo la pendiente
= que pasa por 1,5 =1 en la ecuación
= 1 = 1
= = 1 1 1,5; = 1, = 5 5 = 1 ∙ 1 1 1∙∙ 1 = 5 1∙ 1 ∙ 1 = 5 → 1 1 = 5 → 1 1 = 5 1 =6 = = 1 y = 6 = 6 = Calculo la ecuación de la recta
Sustituyo la pendiente Sustituyo
Despejando
Constituyo la ecuación e la recta La recta tangente quedaría
Respuesta:
quedaría
donde
Geogebra: pendiente de la Recta Tangente de la función
=
que pasa por
1,5
Estudiante No. 4 Iván Andrés Andrés Galindo Valero FASE 3
ENSAYO
“En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor
de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.” Recuperado de:
Derivada. (2018, 5 de abril). Wikipedia, La enciclopedia libre . Fecha de consulta: 22:30, abril 17, 2018 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada&oldid=106720960.
Las derivadas es muy importante impor tante en la materia de cálculo Diferencial, ya que es el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian a variables independientes de las funciones o en los campos de análisis, su principal estudio se centra en las derivadas. Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570
“Existen varios matemáticos que creen que para representar r epresentar las derivadas existen varias
formas para proponerlo:
ʹ ʹ ʹ ʹ
Lagrange: propuso la notación y superiores será
,
Arbogast introdujo la notación
que simboliza la primera derivada, para la segunda
, y así sucesivamente. , significa el operador Derivación, para la segunda
²
derivada se coloca como exponente dos al operador
, y así sucesivamente.
Leibniz propone una notación que es la más utilizada en la actualidad la primera derivada es la de la forma donde se indica la derivada de variable de
, para Leibniz
respecto a la
. “ Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis
de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570
Es tan importante la utilización de las Derivadas ya que se encuentran para la realización de muchos cálculos, como también son de mucho provecho en las áreas de Electricidad, electrónica, física como también en química, ya que permiten realizar estudios de fenómenos evolutivos, permitiendo realizar cálculos de aceleración, flujo, v elocidad, Etc.
Con las derivadas podemos ponerla en práctica en nuestra vida como al realizar los cálculos para construcciones de puentes, ya que por medios de las curvas las cuales pueden disminuir o aumentar la pendiente de la recta. r ecta. El buen uso de estas derivadas de rivadas al igual que las matemáticas son las que siempre utilizamos en nuestra vida diaria.
Estudiante No. 5 Yenis Paola Mejía Pedraza FASE 1
Aplicando los conceptos de la derivación calcular las siguientes derivadas:
= = 2 = 2 2 Derivadas implícitas, calcular:
4 4 = 16 → 8 4 4 8 = 0 → 8 4 4 8 = 0
→ 8 4 = 4 8 → = 48 48 Calcular las siguientes derivadas de orden superior:
= ln → = 1 = − → = − = 1
Estudiante No. 5 Yenis Paola Mejía Pedraza FASE 2
En Geogebra graficamos la función x 3+4 y encontramos la pendiente de la recta tangente en varios puntos:
Hacemos una tabla de x y m x m
-3 27
-2 12
= = 3 = = -1 3
0 0
1 3
Aplicamos la ecuación punto pendiente para cada valor de x. Para x=-3
Para x=-2
Para x=-1
Para x=0
2 12
3 27
= 23 = 27( 3) → 23 = 27 81 → = 27 58 4 4 = 12( 2 2) → 4 = 12 24 → = 12 20 3 = 3( 1) → 3 = 3 3 → = 3 6
Para x=1 Para x=2 Para x=3
4 = 00 00 → = 4 5 = 3 1 → 5 = 3 3 → = 3 2 12 = 12 12 22 → 12 = 12 24 → = 12 12 31 = 27 3 → 31 = 27 81 → = 27 50
En rojo tenemos la ecuación de f(x) En azul tenemos las rectas tangentes en varios puntos desde -3 a 3.
= = 4 = = Hacemos una tabla de x y m x
-3
-2
-1
0
1
2
3
m
-4/9
-1
-4
indefinido -4
-1
-4/9
Aplicamos la ecuación punto pendiente para cada valor de x.
= Para x=-3
83 = 49 ( 3) → 83 = 49 34 → = 49 43 Para x=-2
2 = ( 2 2) → 2 = 2 → = Para x=-1
0 = 4( 1) → = 4 4 Para x=1
8 = 4 1 → 8 = 4 4 → = 4 12 12 Para x=2
6 = 22 → 6 = 2 → = 8 Para x=3
136 = 49 3 → 136 = 49 43 → = 49 230
En rojo tenemos la ecuación de f(x) En azul tenemos las rectas tangentes en varios puntos desde -3 a 3.
Estudiante No. 5 Yenis Paola Mejía Pedraza FASE 3
Ensayo acerca de cómo aplicar en el desarrollo profesional las derivadas aplicadas a problemas
Desde el origen de las derivadas han surgido diversos análisis acerca de los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen como lo son: El problema de la tangente a una curva y el teorema de los extremos: máximos y mínimos. En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial. A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Selaya, R. (2011). ¿Sería necesario aplicar los conceptos de derivadas en nuestro desarrollo profesional como ingenieros industriales? En la rama de la ingeniería es fundamental aplicar todos estos conceptos de las derivadas debido a que los conocimientos matemáticos son algunas de las herramientas fundamentales con que los ingenieros analizan, evalúan y resuelven muchos de sus
problemas o proyectos. Para los estudiantes de ingeniería industrial la derivada constituye uno de los conceptos fundamentales a aprender y a aplicar, por sus aplicaciones para la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos representativos de situaciones reales, como es el caso de análisis de rapidez de variación, tasa de cambio, sensibilidad, optimización, análisis de curvas, etc.
En conclusión, manejar cada uno de los conceptos y aplicarlos en la vida diaria como profesionales de la rama de la ingeniería industrial, nos permite dar solución a diversas situaciones reales, debido a que se pueden analizar, evaluar y resolver muchos problemas y proyectos.
CONCLUSIÓN
Al realizar esta actividad se pudo notar que cada ca da una de las derivadas cumple un papel p apel importante ya que con ellas podermos obtener infinidades de cálculos en el uso de construcciones o como cualquier otro actividad actividad que tengamos por por realizar, y requiera ser evaluada por estas operaciones. Puedo concluir que en el desarrollo de estos ejercicios sobre analislis de las derivadas y sus aplicaciones, adquirir habilidades y me permitirá ampliar mis conocimeintos a cerca de estos temas ya que me servira en el proceso de formación como profesional y ante todo en el área de ingenierias. (Iván Andrés Galindo Valero).
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570
García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 - La derivada y funciones de clase ck. Pág. 102 -134. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de::http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/lo de gin.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live
Selaya, R. (2011).Historia de la derivada. Recuperado de: http://todosobreladerivada.blogspot.com.co/p/historia-de-la-derivada.html
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